0104050分形整合过程在经济预测中的应用

							                   管理科学与系统科学研究新进展
         ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                  2001 年·大连


            分形整合过程在经济预测中的应用
                      邹新月
                                1               2
                                          吕先进
           （1 湘潭工学院   411201,             2 上 海 大 学   200072）


       摘要 本文首先采用一个分形整合模型——误差逗留模型（Error-Duration
       Model）仔细推导了分形时间序列过程的性质，特别是序列自相关系数的性
       质，表明分形整合过程与常规的时间序列分析工具有很大的不同，然后以一
       个实际的时间序列为例，说明了分形整合过程在经济预测中的应用比传统的
       分析工具有较好的预测精度。
       关键字 分形 分形整合 误差逗留模型


1 引言
     经济数据（特别是经济生活中的时间序列）的辨识、建模、估计和预测一直是统计学家，
尤其是计量经济学家们重点研究的对象。人们只有更准确地揭示出经济数据的内在规律，才
能正确把握经济变量之间的本质联系，完整地弄清市场经济的运作范式，从而为经济主管部
门提供客观的决策依据。众所周知，回归分析和时间序列分析方法过去是、今后仍然是经济
领域研究的主要工具，特别是自 ENGLE（1982）提出 ARCH 模型之后，时间序列分析方法
又拓宽了一大步，出现了诸如 ARCH、ARIMA、GARCH、EGARCH、EGARCH-M 等模型，
这些模型较之以前的模型更接近经济生活的实际，所以取得了更好的效果。但是近二十年的
实证研究又表明上述方法与真实的模型之间仍然有一定的不容忽视的差距，或者说其残差不
能完全归结为随机噪声。为解决这个问题，需要人们继续拓宽视野，从更广的角度、更深的
层次来把握经济规律的内涵，这正是实证研究自身发展的需要；另一方面，从 LORENZ 提
出的“蝴蝶效应”，到 HURST 发现的 R/S 分析，再到 MANDOLBROT 分形几何学的创立，
又为统计学家的实证研究奠定了理论基础，两者的有机结合就开创了分形整合过程或者说是
时间序列长程相关性的研究，出现了 ARFIMA、FIGARCH、ARFIMA-GARCH 等模型，甚
至是 GARMA、ARFISMA（文献[1]）等模型，该领域的研究一直是时间序列分析的重点，
在西方计量经济分析的研究中仍然是方兴未艾，因为该领域尚未解决的问题比已经解决的问
题还要多得多，这也许就是其魅力之所在。
     国内学者在该领域的研究也比较活跃，公开发出现了许多研究成果（文献[4]、[5]、 ，
                                             [6]）


    邹新月， 1965 出生， 湖南新化人，湘潭工学院副教授， 博士，研究方向：数量经济理论与应用，
      （0732）8290411（H） 8290046（O）
    电话：
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如文献[6]的理论推广，文献[4]利用 FIGARCH 模型对股市长记忆性的实证分析等等。本文
试图以误差逗留模型（Error-Duration Model）来仔细推导分形整合过程产生的机制和相关的
性质，以及时间序列长程相关性的判别方法，最后通过一个实例说明分形整合过程在经济预
测中的应用。文章主要由两个部分组成，第一部分是误差逗留模型的相关推导，第二部分就
是利用所得到的性质来分析企业生存期的长短对就业的影响，指出这种影响远非 ARCH 或
GARCH 模型可以描述的。


2 误差逗留模型（Error-Duration Model）的推导
    设 {xi , i  1,2, } 是一独立同分布的误差序列，且 E ( xi )  0, VAR ( xi )   为常数，
                                                                                        2


假设误差 x s 逗留期为随机变量 n s ，即 x s 的生存期为[ s ， s  n s ]，再定义关于 x s 的生存示
                            1         t  s  ns
性函数为： s,t                                          ,并设对于所有的 t  s ，有 x s 和  s,t 相互独立。用 p k
                            0         t  s  ns
表示 x s 生存期为 k 的概率，即 p k  Pr(  s , s k  1) ，显然 { p k , k  1,2, } 为单调非增序列，


为方便起见，可取 p 0  1 。 y t 表示在 t 期及以前所有误差 xt i , i  0,1,2,  的累计误差总和，

            t                
即 yt        s ,t x s    t  i ,t x t  i 。
          s              i 0



       如果{         y t }的自协方差存在，不妨用{ rk }表示（k 为时滞）
                                                 ，则下式成立：

                   
      rk   2  p j                                                                 （1）
                   j k

或者如果用{ rk }来表示 p k ，也就是说下式成立：
      p k  (rk  rk 1 ) /  2                                                      （2）
同样，如果{ (1  By t ) }的自协方差存在（B 为后移算子） 不妨用{  k }表示，
                                   ，              则有下式成立：
       k   2 ( p k  p k 1 )                                                     （3）
下 面 我 们 给 出 （ 1 ）、（ 3 ） 两 式 的 证 明 。 根 据 自 协 方 差 定 义 式 ， 有 ：

                                             
rk  E  t i ,i xt i   t  j ,t k xt  j 
        i 0              j k                 



                                                          114
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由假设 x i 和 x j 相互独立（ i  j ）可知：
E ( t i ,* xt i t  j ,* xt  j )  0             （i  j ），显然由  t i ,t  1 可推知  t i ,t  k  1

又因为 E( t2i ,t )  VAR  t i ,t )  E( t i ,t ) 2  pi (1  pi )  pi2  pi 和 E ( xt i )   ，以及
                                                                                                                       2      2
                       (


xt i 与  t i ,t 相 互 独 立 的 假 设 ， 得 到 E( t2i ,t xt2i )  E( t2i ,t ) * E( xt2i )   2 pi ， 展 开

                                             
rk  E  t i ,i xt i   t  j ,t k xt  j  就得到式（1）
                                                          。
        i 0              j k                 
同样对于 (1  By t ) 的自协方差  k ，由以下两式
                  t                                                                    
       yt        s ,t x s    t i ,t xt i   t ,t xt    t i 1,t xt i 1
                s                    i 0                                            i 0

                                                                                 
       y t 1   t 1,t 1 xt 1    t i  2,t 1 xt i  2    t i 1,t 1 xt i 1
                                         i 0                                    i 0

                                                             
相减得到： y t  y t 1   t ,t xt                             (
                                                             i 0
                                                                    t i 1,t     t i 1,t 1 ) xt i 1 ，以及

                                                       
y t  k  y t  k 1   t  k ,t  k xt  k   ( t  k i 1,t  k   t  k i 1,t  k 1 ) xt  k i 1 ，两式中只有 x t  k 的系数
                                                      i 0

不同时为 0，并且 Pr(  t  k ,t  0 |  t  k ,t 1  1)  p k 1  p k ，所以：
( y t  y t 1 )( y t  k  y t  k 1 )   xt2 k ，再由  k 的定义式即有（3）式成立。
        在误差逗留模型满足一定的条件下，以上我们得到了每个误差生存概率 p k 与误差总
和 y k 的自协方差 rk （或  k ）之间的对应关系。显然这里误差逗留模型对应于 p k ，长程相
关性对应于 rk （或  k ），那么 p k 或者说 rk 满足怎样的条件， y k 就是分形整合过程呢？
        关于长程相关性的定义已有许多种形式，严格的数学定义式可参见国外文献[1]或国内
文献[7]，这里我们直接采用 rk 的定义式，即：


                         
                             n
        如果 Lim               j  n
                                      r j   ，就说 y k 具有长程相关性，或者说是分形整合过程。其等价
                 n 




                                        
                                               n
定义式可以表示为 Lim                                   k 1
                                                      kpk   。
                                 n 

                                             2 2 d
        由此我们可以很容易得到：如果参数 d  (0,1] ， p k  k         ，则 y k 具有长程相关性，


                                                                                  115
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甚至只要 p k 满足：对某个常数 c p 和参数 d  (0,1] ，有极限 Lim                                                           1 成立即可。直
                                                                                k    c p k  2 2 d
                                 2
观说来，如果逗留误差 x t 的生存概率 p k 减少的速度比 k 下降的速度来得慢的话， y k 就是
                          1
分形整合过程；如果生存概率 p k 减少的速度比 k 还要缓慢的话，则 y k 不仅仅只是分形整
合过程，而且还是非平稳过程。需要指明的是，分形整合过程 y k 有一个显著的特征就是，

虽然 { p k , k  1,2, } 为单调非增序列，但比率
                                                        p k 1        却是单调非减的，甚至以 1 作为该比
                                                                 pk

率序列的上确界。
     为了说明分形整合过程与 AR 过程在时间序列预测中的本质区别，这里分别选用模型
(1  B ) d y t  xt ， d  1/ 3 ， xt ~ N (0,1) 和 yt  0.5 * yt 1  xt ， xt ~ N (0,1) 以比较两
者的自相关系数递减的快慢速率，计算结果见表 1。
     从表中显示的数据可以看到，在分形整合模型中，参数 d 的符号决定了自相关系数的
符号，而且正相关系数对应的长程相关性显得尤为突出；虽然模型 (1  B )                                                                          y t  xt 和
                                                                                                         1/ 3


yt  0.5 * yt 1  xt 的一阶滞后相关系数均为 0.5,但滞后 10 阶时两者就已经相差 235 倍,这就
说明用 AR 模型来描述分形整合过程时，误差太大，对有长程相关性的时间序列的预测必须
用分形整合过程方法，以提高预测精度。


                                          表 1 两模型自相关系数
                        模型
                                (1  B)1 / 3 y t  xt   (1  B) 1/ 3 yt  xt    yt  0.5 * yt 1  xt
                Lag K
                       1             0.500                 -0.250                     0.500
                       2             0.400                 -0.071                     0.250
                       3             0.350                 -0.036                     0.125
                       4             0.318                 -0.022                     0.063
                       5             0.295                 -0.015                     0.031
                      10             0.235                 -0.005                     0.001
                      25             0.173                 -0.001                    2.98E-8
                      50             0.137                -3.24E-4                  8.88E-16
                     100             0.109                -1.02E-4                  7.89E-31


3 应用实例

    一个国家就业率的高低是反映该国经济发展水平的一项重要指标，对该指标作出准确预


                                                   116
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测无疑有着极其重要的意义，下面结合文献[3]的资料来说明分形整合过程在经济预测中的

重要作用。影响就业率的因素有企业规模和企业数量，为方便计，本例假定企业规模是一样

的。任何一个企业都有创立、发展、衰落直至消亡的过程，所以可把它看作是前文中的一个

误差逗留模型，那么一个企业的生存概率 p k 有怎样的规律呢？如果 p k 是一个 AR 过程，那

么一个企业在第 i 年的 p i 与在第 2*i 年的 p 2*i 应该满足平方关系，即 p 2*i  pi * pi ，但文

献[3]的统计资料显示有 p5  0.401 ， p10 =0.246， p10 /( p5 * p5 )  1.5 显然不符合 AR 模型

的要求。

       现假设企业生存过程是一个分形整合过程，即 pk  c p k 22d ， c p 、 d 为参数。


                                                              2 2 d                  1 log(p n / p m )
在时间标度不变的前提下，由等式 pk  c p k                                              可得 d  1                        ，分别取
                                                                                       2 log(n / m)
n  5,7,9 、 m  10 ，求得参数 d ，然后根据求得的 d 和 p k 值分别计算对应的 c 值，拟合
结果见表 2，对应的图形显示如图 1。
                                表 2 分形整合过程拟合原始数据的离差分析

 K      S k ( pk )   p k / p k 1 1.25k 22(0.65) 1.40k 22(0.62) 1.36k 22(0.63)     (4)-(2)   (5)-(2)   (6)-(2)
 (1)      (2)                           (4)              (5)                 (6)
                       (3)
 1       0.812        0.812           1.247            1.399                1.358        0.435     0.587     0.546
 2       0.652        0.803           0.765            0.829                0.812         0.113    0.177      0.16
 3       0.538        0.826           0.575            0.610                0.601        0.037     0.072     0.063
 4       0.461        0.857           0.469            0.491                0.486        0.008     0.030     0.025
 5       0.401        0.868           0.401            0.415                0.411           0      0.014      0.01
 6       0.357        0.891           0.353            0.362                0.359        -0.004    0.005     0.002
 7       0.322        0.902           0.316            0.322                0.321        -0.006     0.00     -0.001
 8       0.292        0.908           0.288            0.291                0.290        -0.004    -0.001    -0.002
 9       0.266        0.911           0.265            0.266                0.266        -0.001       0         0
 10      0.246        0.923           0.246            0.246                0.246           0         0         0




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                                   管理科学与系统科学研究新进展
             ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                                         2001 年·大连




                                 ★★★ 数列（2）                 ◇◇◇ 数列（4）

                                 ╋╋╋ 数列（5）                 △△△ 数列（6）

                         图1                   、 、
                               原始数列（2）与拟合数列（4）（5）（6）的比较

     从以上图表可知，                  在
             三类分形整合过程都有较高的拟合精度， K>3 以后离差不超过 5%，
而在 K>5 以后离差不超过 1%，可见利用分形整合过程可以提高对经济变量预测的精度。


4 结论
      通过上述分析过程，我们可以得出分形整合过程与常规的时间序列分析工具有很大的
不同，且分形整合过程在经济预测中的应用比传统的分析工具有较好的预测精度，特别是对
于经济生活中那些具有长程相关性的时间序列必须用分形整合过程的方法来预测，才能准确
地揭示出经济数据的内在规律，把握经济变量之间的本质联系，为经济主管部门的理性决策
提供科学的证据。


参考文献
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   1996(73):5-59

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                                管理科学与系统科学研究新进展
            ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                                   2001 年·大连


7．黄登仕, 李后强. 非线性经济学的理论和方法. 四川大学出版社, 1992



      International Business & Management College of Shanghai
                             University

                                             Zou xinyue
                          (Xiangtan Institute Technology, Hunan, 411201)
                                            Lv xianjin
                                   (Shanghai University, 200072)


Abstract This article uses a model, Error-Duration Model, to infer the characters of
time-sequence-procedure, especially the characters of the sequence’s self-relevant Coefficient, and
indicates the procedure has large difference with regular time-sequence analysis tools. The article
also give an example of a real time-sequence to explain that procedure has the better accuracy than
the traditional analysis tools in economic forecasting.
Keywords Distribution Distribution-Conformity             Error-Duration model




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