0104031指数标度在 AHP标度系统中的核心作用

Document Sample
0104031指数标度在 AHP标度系统中的核心作用 Powered By Docstoc
					                   管理科学与系统科学研究新进展
         ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集          2001 年·大连



          指数标度在 AHP 标度系统中的核心作用
                                    **
                              吕跃进
                  (广西大学数学与信息科学系, 530004)
                              张维
                        (天津大学管理学院)


        摘要 当前人们在 AHP 应用中提出了各种各样的标度,本文在分析比较各种标
        度后得出指数标度是核心标度的结论,证明了 1-9 标度与指数标度不相容,指
        出许多标度只是指数标度在某种情况下的特例,提出确定指数标度参数的两
        种方法,最后指出应用指数标度时应注意一些问题并提出了解决办法。
        关键词 层次分析 标度 指数标度

1 引言
      标度系统的选择是新型决策方法 AHP 应用中一个最基本的问题。将人的定性主观判断
转换为一个定量的判断矩阵,其合理性完全取决于标度的选择。在实践中人们提出了互反型
与互补型两种类型的标度,而每一种类型的标度又存在多种不同的标度,不同的标度之间有
什么关系?如何根据具体问题选择最优的标度?由于互补型标度系统可以转换为互反型的,
在本文中主要讨论互反型的标度系统。在目前流行的几个互反型标度(包括 1-9 标度、指数
标度、分数标度)中,指数标度因其以心理学中的韦伯定律为基础,同时具有许多优异的性
能而得到人们广为接受和高度评价,而在实际应用中,人们从各自的观点出发提出了若干个
不同的指数标度系统并且有的作者并没有说明自己提出的标度系统是指数标度,这引起了使
用中的一些混乱,有必要在应用中澄清这些问题。

2 指数标度系统
      1980 年,T.L.Saaty 教授在文献[1]中极力推荐使用 1-9 标度的同时,也讨论了心理学上
的韦伯定律对建立标度系统的作用,已经提出了指数标度系统的初步概念,并在椅子的光学
                          n              n

实验中使用了两个具体的指数标度:2 标度和 9 标度 (n=0,1,2,…,8),可惜他没有对指数
                          2              8


标度作进一步的讨论。
      国内学者舒康,梁镇韩等人在 1990 年在文献[4]中指出了 1-9 标度的缺陷,AHP 原理要
求比较判断数值 c ij 是因素 c i 与 c j 重要性之比,而 1-9 标度给出的却是 c i 与 c j 的重要性之


     广西壮族自治区教育厅科研基金资助(桂教财 1996[403]号)
**
     吕跃进,1958 年出生,广西大学副教授, 天津大学管理学院访问学者。主要研究方向:数学模型,预
     测与决策等。Email: luyj@gxu.edu.cn
                               75
                              管理科学与系统科学研究新进展
           ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                                                   2001 年·大连


差,这一方面引起相对权重的计算结果失真,一方面导致判断矩阵一致性与判断思维一致性
不等价,使矩阵一致性指标不能真正反映思维一致性程度。然后利用心理学上的韦伯-费希
纳定律,即 S=k logR 或 R=10 S               k
                                          (其中 S 为人的主观感觉量,R 为客观刺激量,k 为韦伯
  ,建立了“等距分级,等比赋值”的指数标度法,具体方法是把决策者关于因素 ci 比
常数)
cj 重要程度的主观感觉判断等差距地分成若干个等级,如“同样”重要、     “明显”
                                  “稍”重要、
  “很”重要、
重要、     “极端”重要……等,分别以 cij=0,1,2,… .( i,j=1,2,…,n)表示。
                                                                                                        cij
设相邻两级客观重要性比率为 a(a>1),则 ci 与 cj 客观重要性比率                                                   w i /w j = a
                                          cij
分别称       C=(c ij ) nn , A=(a                  ) nn       为主观感觉判断矩阵和客观差别判断矩阵。计

算排序向量时对客观差别判断矩阵 A 使用特征向量法。
     文[4]中对重要性程度没有规定具体应该分多少级,而从其后面所举的例子来看,该文
作者使用与 1-9 标度相同的 9 级划分方法,为叙述方便,本文记文[4]例子中的指数标度为
a n 标度(n=0,1,2,…,8)。指数标度有着许多突出的优点 [ 7 ][9 ] :以心理学韦伯-费希纳定律为
依据;判断思维一致性与客观差别判断矩阵的一致性等价;因素之间的排序当用对数最小二
乘法时不因参数 a 的改变而改变;可调整参数使排序权值方便灵活地调整直到满意。


3 指数标度 a n 与其它标度的关系
          首先将常见的标度列表如下:
                                  表1            1-9 标度与各种标度的比较
    标度       1-9 标   指数               n                 n                变 形         n            n   9/9~9/1        10/10
                                                                 3                        1.5
                                                                                                      标度
             度       标度        2 2                  98                   9n/8    99       标度
                                                                                                                     ~18/2
区分                                                          标度           标度                                          标度
                     a
                         n    标度                    标度                           标度       a=1.5
 相同           1
                     a0           0                     0        0           0       0
                                                                                          a
                                                                                              0               9/9     10/10
                                  2                     8        8           8       9
                              2                     9       9            9       9
稍微重要          3
                     a   2        2                     2        1           1       1
                                                                                          a
                                                                                              1               9/7     12/8
                                  2                     8        8           8       9
                              2                     9       9            9       9
明显重要          5
                     a4           4                     4        2           4       3
                                                                                          a
                                                                                              2               9/5     14/6
                              22                    98      98           98      99
强烈重要          7
                     a6           6                     6        4           6       6
                                                                                          a
                                                                                              4               9/3     16/4
                              22                    98      98           98      99
极端重要          9
                     a8           8                     8        8           8       9
                                                                                          a
                                                                                              6               9/1     18/2
                              22                    98      98           98      99
通     式       k
                     a k 1       k                 k            k       k           k
                                                                                          a
                                                                                              k
                                                                                                       9             9k
                                  2                 8            8       8           9
                              2                 9           9        9           9
                                                                                                      9k            11  k
标度来源         [1]     [4]              [1]                   [8]      [6]         [7]          [5]             [11]

k 的范围                         0~8                                                0~9      0~6                 0~8




                                                            76
                                管理科学与系统科学研究新进展
         ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                                          2001 年·大连

3.1 指数标度与 1-9 标度之间的关系

  容易看出,1-9 标度与 a n 标度有一个简明的相互转换公式:


                                          k  a k1           (k=1,2,3,…,9)               (1)

  1 至 9 这九个数字本应是重要性程度的九个级别,直接将它们作为标度值是存在许多问
题的。事实上正如许多学者指出的那样[4,5,6,7],1-9 标度的缺陷很多,一是它的排序权值较粗
并且与人们的判断差别较大,二是有可能出现与实际情况相反的逆序,三是矩阵一致性与思
维一致性相脱节。指数标度可以完全克服 1-9 标度的问题。本文下面将进一步指出,当 n  3
时 1-9 标度下的判断矩阵与指数标度下的判断矩阵一致性相矛盾,这就是

  [定理 1]设 A= aij       nn
                                     
                               ,B= bij
                                         nn
                                                  分别是 1-9 标度和指数标度下的判断矩阵,n  3,且 A

中至少有三行元素两两不全等,则当 A 一致时,B 必不一致;反之,当 B 一致时,A 必不
一致。

  证明:如果 A,B 均为一致矩阵,则对任意 1  i,j,k  n 应有 aij a jk  aik ,及 bijbjk=bik

                                         aij 1
由两个标度的关系(1)可知 b ij =a                             ,所以又有 a ij  a jk  a ik  1 ,故得

                          aij a jk  aik
                                                                                               (2)
                         aij  a jk  aik  1

                 xy  c
  而方程组                                  的解为 x=1,y=c 或 x=c,             y=1。因此对任意 1  i,j,k  n
                x  y  c  1

均有    a ij  1, a jk  a ik     或   a jk  1, a ij  a ik 。

  当 a ij  1, a jk  a ik 时,由 k 的任意性知第 j 行与第 i 行对应元素相等。


  当 a jk  1, a ij  a ik 时,对任意 1  i  n, A 的一致性 a ji / a ki  a jk  1 ,所以 a ji  a ki ,
                                          由

即第 j 行与第 k 行对应元素相等。
  由 i,j,k 的任意性可知矩阵 A 中的任意三行元素中必有两行元素对应相等,这与题设相
矛盾。证毕。
  定理 1 说明,1-9 标度与指数标度是不相容的,这是一个不容忽视的问题。


3.2 指数标度与一些新标度的关系
  1990 年以后,不断地有新标度出现在期刊上,我们需要指出的是,尽管其中一些作者

                                                       77
                                  管理科学与系统科学研究新进展
           ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                                2001 年·大连

并没有说明他们提出的新标度是指数标度的一种,而实际上大部分新标度就是指数标度的某
                                                                 n
种变型或特例。文献[7]提出的是 10 级的指数标度,本文记为 9 9 标度(n=0,1,2,…,9),文献[5]

提出的是 7 级指数标度,本文记为(1.5) n 标度(n=0,1,2,3,4,5,6)。文献[8]提出的 3 标度

(或称可复合标度)实际上是划分 9 级的指数标度。文献[6]提出的一个改进的标度,实际
       n
上是对 9 8 标度进行改进,保留标度值不变,但对重要性程度对应的标度作出改变,本文称
           n

之为变形 9 8 标度。上述各指数标度之间的相容性如何?我们将在另一文中加以讨论。


3.3 指数标度与分数标度的关系
  在文献[5]中,提出了两个分数标度 9/9~9/1 标度和 10/10~18/2 标度。经分析发现,9/9~9/1

标度实际上是一种指数标度 3 标度的近似,而 10/10~18/2 标度则是两个指数标度 3 标度


和 a n 标度的平均标度的近似,见表 2。

                                    表 2 指数标度与分数标度的关系
   标度          1-9    指数标度                    9/9~9/1 10/10
               标度             n
                                        3 标度  标度      ~18/2                  (an+ 3 )/2
                          a                                                  标度(平均)
 区分                                                   标度




  相同           1
                      a =1
                          0            0            9/9=1        10/10=1       1
                                      9 8 =1
 稍微重要          3      2
                     a =1.732
                                       1            9/7=1.286    12/8=1.5     1.524
                                      9 8 =1.316
 明显重要          5      4
                     a =3
                                       2            9/5=1.8     14/6=2.333    2.366
                                       8
                                      9 =1.732

 强烈重要          7      6
                     a =5.194
                                       4            9/3=3        16/4=4       4.097
                                       8
                                      9 =3
 极端重要          9
                      a =9
                          8            8            9/1=9        18/2=9        9
                                       8
                                      9 =9

                                               78
                            管理科学与系统科学研究新进展
          ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                                       2001 年·大连

 通    式      k
                 a
                     k 1                 k
                                                            9        9k          (ak-1+ak)/2
                                          8
                                      9
                                                           9k       11  k
 A 的取值                          91/8 = 1.316

 K 的范围                          0~8


4 正确使用指数标度
  从上面各个标度系统之间的关系我们可以看出,指数标度系统在整个层次分析法标度系
统中占有核心地位。与其花费时间寻找新标度,不如先将指数标度研究透彻。指数标度事实
上还存在一些尚未解决的问题,如:如何确定参数 a?如何将数字等级与重要性程度对应得
更加合理?取不同的参数 a,可以得到不同的指数标度;取不同的重要性等级数,也可得到不
同的指数标度;而将同一个重要性程度对应着不同的级别数,又可得到不同的指数标度。因
此,指数标度可以有多种形式,在实际运用中应该如何正确使用指数标度呢?


4.1 重要性程度等级分几级较好
     从心理学上考虑,人们对两个事物差别程度的辨别区分能力是有限的,通常能区分至多
9 级,超过 9 级时的判断极易产生混乱与模糊不清。因此,一般情况下重要性程度等级分为
9 级为宜。但当对精度要求不高时,也可分为 7 级或 5 级或 3 级。而在精度要求很高且两两
比较可借助于其他工具或对问题的了解较清晰足以作出较为精确的判断时,也可分为 9 级以
上。


4.2 如何将重要性程度的语言描述与数量等级对应
                                    、     、
     首先要选择合适的语言来描述重要性程度,文[1]采用“同等重要”“稍微重要”“明
    、
显重要”“强烈重要”和“极端重要”等语言来描述,其中“强烈重要”带有明显的外来语
特征,不一定适合中国人的思维习惯。建议采用国内对重要性程度判断比较流行的语言,如
    、    、   、     、    、     、
“相同”“稍重要”“重要”“明显重要”“很重要”“非常重要”“极端重要”等等。
     现采用 9 级标度,设计如下调查表作调查:
     在对两个因素相对于某一准则作重要性比较时,需要给出这两个因素重要性的差别程
度。如果这两个因素的重要性程度相同,则它们的差别为 0;假如当因素 A 比因素 B 极端
                                          、
重要时,它们的差别数为 8。那么当因素 A 比因素 B 的重要性程度分别用“稍重要”“重
  、     、    、
要”“明显重要”“很重要”“非常重要”时,它们相应的差别数分别应该是多少?请将你
的选择填入表 3 内:

                                表 3 重要性程度级别调查表
 重要性程度描述             同等重要                                                            极端重要

 重要性程度级别之差                  0         1       2        3     4   5      6     7          8




                                                  79
                     管理科学与系统科学研究新进展
        ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                        2001 年·大连

   在调查中还对判断推理的一致性问题作了研究。调查发现,如果 A 比 B 稍重要,B 比
C 稍重要,那么 A 就比 C 明显重要;如果 A 比 B 明显重要,B 比 C 明显重要,那么 A 就比
C 要很重要;如果 A 比 B 很重要,B 比 C 很重要,那么 A 就比 C 极端重要。
   调查的结果为表 4:

                         表 4 重要性程度级别调查结果
  重要性程度描      同等重要      稍重要   明 显       相 当     很重要    非常重要            极端重要
  述                           重要        重要
  重要性程度级        0        1    2         3       4      6                 8
  别之差


4.3 如何确定参数 a
   对于有物理背景时的情形,可咨询有关专家或查阅相应物理文献来确定参数。对于一般
的社会经济系统,参数的确定则应以心理学定律和相应的心理学实验为依据,并可使用以下
两种方式来确定参数:
   方式一:通过调查确定第 1 级与第 0 级的权重之比,这个比率就是参数 a。设计如下的
调查表:
   如果因素 A 比 B 稍微重要(在同等重要与稍微重要之间不可再划分另一个中间级别,
                          ,则你认为它们的重要性程度
即稍微重要是能区分两个因素重要性程度有差别的最小等级)
之比是( )
   ① 55∶45          ② 60∶40       ③ 65∶55           ④ 70∶30           ⑤ 75∶25
   经调查,可取 a=(55/45+60/40)/2=1.3611.
                                                                                k
   方式二:(人为规定)假设因素 A 比 B 相比极端重要,其重要性程度之比为 m,则由 a =m
可得参数 a= k m 。通常情况下,考虑到两两比较中的因素重要性程度应当在同一数量级上
                                                              [10 ]
才容易比较,所以大多数学者都认为 9 是重要性之比的极限。但也有学者                                    持不同的观点,
认为可以突破 9 的限制。
   例如,若取 k=8(即重要性程度分为 9 级),m=9 ,则 a= 8 9 = 4 3  1.3160 ,这就是文[8]
中的 3 标度。若取 k=9,m=9,则 a= 9 9  1.2765        ,可得文[7]中的指数标度。若取 k=6,m=9,
则 a= 9 = 3  1.4422,可得文[5]中的标度,等等。
    6   3




5 结论
  指数标度在层次分析法的标度系统中起着核心作用,指数标度允许有多种形式。若干新
标度实际上指数标度的特例。两个分数标度中 9/9~9/1 标度实际上是一种指数标度 3 标度
                                   n
的近似,而 10/10~18/2 标度则是两个指数标度 3 标度和 a 标度的平均标度的近似。1-9 标
度与指数标度不相容。因此,应重视对指数标度的深入研究,在 AHP 应用中应使用指数标
度。本文对指数标度重要参数的确定提出了两种方法,同时对正确应用指数标度提出了一些
可行的解决方案。
                                   80
                              管理科学与系统科学研究新进展
            ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                                  2001 年·大连



参考文献
1 T.L .Saaty. The Analytic Hierechy Process.New York:Hill,1980
2 王莲芬, 许树柏. 层次分析法引论.北京:中国人民大学出版社, 1990
3 许树柏. 层次分析法原理.天津:天津大学出版社, 1988
4 舒康, 梁镇韩. AHP 中的指数标度法. 系统工程理论与实践, 1990, 10(1) : 6-8
5 陈迁, 王浣尘. AHP 方法判断尺度的合理定义. 系统工程, 1996(5) : 18-20
6 杨永清, 许先云. 改进的层次分析法用于矿井安全管理的综合评价. 系统工程理论与实践, 1999, 19(6) :
  121-125
7 侯岳衡, 沈德家. 指数标度及其与几种标度的比较. 系统工程理论与实践, 1995, 15(10) : 43-46
8 丁俭, 王华, 赵敏. 一种简明的群体决策 AHP 模型及新的标度方法. 管理工程学报, 2000, 14(1) : 16-18
9 刘树林, 邱菀华, 张瑞清. 再论 AHP 中的指数标度法. 系统工程理论与实践, 1995, 15(10) : 78-80
10 张崎, 西村昂. 提高层次分析法评价精度的几种方法. 系统工程理论与实践, 1997, 17(11) : 29-35
11 汪浩, 马达. 层次分析标度评价与新标度方法. 系统工程理论与实践, 1993(5)


    Kernel Function of Index Scale in the Scale System of the AHP

                                            Lu Yuejin
                                (Guangxi University,Nanning, 530004)
                                           Zhang Wei
                              (School of Management, Tianjin University)


Abstract    Many scales were brought forward with the application of the AHP. After analyzing
and comparing with these scales, this paper points out that the index scale is the most important
scale and many scales are only some peculiar examples of index scale. The paper also proofs that
1-9 scale is not consistent with index scale, and it puts forward tow methods to confirm the
parameter of index scale. Finally, the settled methods about the application of index scale in the
AHP are given in the paper.
Keywords      AHP Scale Index scale




                                                81

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Stats:
views:14
posted:11/30/2012
language:Unknown
pages:7
Description: mab paper ,including economic management accounting ans also
201212 29 201212 29
About download professional profile