0104029大学科研与教学的最优管理策略

							                   管理科学与系统科学研究新进展
       ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                 2001 年·大连



            大学科研与教学的最优管理策略
                            1         2        1
                      胡佩农       肖条军       陈怡
                  (1.东南大学高等教育研究所, 210096)
               (2.南京大学管理科学与工程研究院, 210093）


     摘要 本文研究了大学科研与教学之间的相互关系。首先，描述了将要讨论的
     问题；然后，建立了一个关于大学科研与教学的管理战略的一主多从博弈模
     型，并给出了最优管理战略；最后，给出了主要结论。
     关键词 大学 教学 科研 博弈 策略

1 引言
   众所周知，教育是社会进步不可缺少的重要因素，它的作用在知识经济时代日益凸显出
来，作为高等教育的承担者——大学肩负着培养拥有现代知识的高级人才的历史使命。一方
面，随着大学规模的逐年增大，大学的生师比也有所提高，这意味着每位专任教师承担的教
学任务增加；另一方面，随着科研经费投入的不断提高，平均每位教师的科研经费也在不断
提高。这样，每位教师面临在教学与科研方面精力的最优投入问题，而学校却要考虑建立怎
样的分配机制——教学的标准课时工资和科研经费的劳务提成比例，促使整个学校的效用最
大化。学校首先制定分配机制，然后教师采取有利于自己的精力投入，学校和教师的决策相
互影响，学校与教师实质上在进行一主多从博弈，学校为主方，教师（包括科研人员）为从
方，本文试图通过建立一主多从博弈模型来解决这一问题。

2 大学科研与教学管理的一主多从博弈模型描述
   某大学共有教学科研人员 N 位(不包括管理人员)，他们的效用由三部分组成：基本工资、
从事教学部分的效用和从事科研部分的效用。记第 i 位教师在教学方面的投入总量为 x i ，他
在科研方面的投入总量为 y i ；记每标准课时的报酬为 w ，第 i 位教师的基本工资为 w i ；如
果从事科研，第 i 位教师从科研中得到的单位工作量的报酬为 w i ，是学校给予研究人员个
                                  ，即 wi  k i z ， k i  0 ， k i 的
人的项目经费提成比例 z 的线性函数， 0  z  1（全校统一）
大小反映了他从事的项目的盈利性以及他在项目中的位置，于是他在教学方面获得的总课时
                                                               2
报酬为 x i w ，在科研方面获得的报酬为 k i y i z ；从事教学的其他非课时补贴的正效用为 a i x i ，
ai  0 （如为了评职称） a i 越大则非课时补贴的正效用越大，这与教学奖等的力度有关；
                  ，
从事科研的其他非提成正效用为 bi y i ， bi  0 ， b i 越大则非提成的正效用越大，这与学校
                       2


以及上级的奖励力度、职称晋升等有关，科研与教学的交叉负效用为 ci xi y i ， ci  0 ；设教
师 i 在教学方面投入的工作量的努力成本为 d i xi ， d i  0 ， d i 越大需要付出的努力成本越
                               2


大，一般地 a i  d i ，在科研方面投入的工作量的努力成本为 ei y i ， ei  0 ， ei 越大需要付
                                             2



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出的努力成本越大，一般 bi  ei 。从以上描述可知，第 i 位教师的总效用为：
   Vi ( w, xi , y i , z )  wi  xi w  ai xi2  k i y i z  bi y i2  ci xi y i  d i xi2  ei y i2
                         wi  xi w  k i y i z  ci xi y i  (d i  ai ) xi2  (ei  bi ) y i2 。          （1）
   设主方（校方）的目标是提高学校的总体实力，主要包括科研水平和教学质量，并且兼
顾管理成本等负效用，注意到学校只作为教学科研的管理者，有些费用来自于教师，然后用
之于教师，因此，其效用函数可以设为：
                         N                    N                N                N
      U ( w, z )  f x  xi  f y  y i  [ g x ( xi ) 2  g y ( y i ) 2 ] 。                             （2）
                         i 1                 i 1             i 1             i 1


   其中（2）式第一（二）项为教学（科研）总投入给学校带来的正效用，第三（四）项
表示教学（科研）带来的负效用（如管理费用的增加，奖励和一些其他的开支，内部的一些
冲突，总教学（科研）投入越多，这些负效用就越大） f x  0 ， f y  0 ，g x  0 ，g y  0 ，
                       ，
f x （ f y ）越大，教学（科研）总投入给学校带来的正效用越大， g x （ g y ）越大，教学（科
研）总投入给学校带来的负效用越大，很显然，在教学（科研）的投入量较小时，教学（科
研）为学校带来的正效用大于负效用，因此，要求 f x  g x 、 f y  g y 。
  主方（即校方）面临的问题是制定怎样的分配机制以诱使从方（即教师）朝着它的目标
前进，由于教师都是理性的人，观察到校方的决策后，都想在此分配机制下极大化自己的效
用，因此，校方必须在教师的效用函数极大化的约束下进行决策，制定分配机制，即校方的
目标规划为：
                                        N                            N
      m a x U  ( w, z )  f x  xi ( w, z )  f y  y i ( w, z )
    0 w, 0 z 1
                                       i 1                      i 1


                                                N                        N
                                     [ g x ( xi ( w, z )) 2  g y ( y i ( w, z )) 2 ] .
                                               i 1                      i 1


                               
       s.t. ( xi ( w, z ), yi ( w, z ))  arg max Vi ( w, xi , yi , z ) ， i  1,...,N .                    (3)
                                                      xi 0, yi 0

   博弈论的有关概念和求解方法请参见博弈论和最优化方法有关教材[1][2][3]。


3 大学科研与教学管理的一主多从博弈模型的解
   第 1 节对基本模型进行了描述，给出了主从双方的决策目标，本节对基本模型进行求解，
并给出若干性质，为了深入研究，下面首先给出一个假设。

   假设 1 交叉负效用比较小，交叉项系数 c i 满足 ci  2 min{( d i  ai ), (ei  bi )} 。

   根据主从博弈的求解方法，首先，求解从方的决策，即求解（3）式的约束条件，对（1）


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式分别关于 x i ， y i 求偏导，得一阶条件

            V ( w, x , y , z )
              i      i i         w  2( a  d ) x  c y  0 ，                                  （4）
                  x                      i   i i     i i
                     i

            Vi ( w, xi , y i , z )
                                     k i z  ci xi  2(bi  ei ) y i  0 。                     （5）
                   y i

   整理（4）式和（5）式并求解得

                        w         ci          2(ai  d i )     ci
     xi ( w, z )                                                         1i w   2i z .    （6）
                        k i z 2(bi  ei )          ci      2(bi  ei )

                         2(ei  bi )                              ci k i
   其中  1i                                   ， 2i                                 。 由假设 1 可以推
                 4(d i  ai )( ei  bi )  ci
                                            2
                                                      4(d i  a i )( ei  bi )  ci2

得 4( d i  a i )( ei  bi )  ci  0 ，更进一步，从第一节的描述，(6) 式中 w 的系数  1i 为正，
                               2




z 的系数   2i 为负，于是， xi ( w, z ) 是 w 的严格增函数， z 的严格减函数。

                      2(ai  d i )  w         2(ai  d i )     ci
    yi ( w, z )                                                         3i z   4i w .     （7）
                          ci       ki z          ci      2(bi  ei )

                       2( d i  a i ) k i                             ci
   其中  3i                                    ，  4i                                 。从第一节的描述
                 4(d i  a i )( ei  bi )  ci
                                             2
                                                        4(d i  a i )( ei  bi )  ci2

        （7）式中 w 的系数   4i 为负， z 的系数  3i 为正，于是， y i ( w, z ) 是 w 的
                                                   
和假设 1 可知，

严格减函数，是 z 的严格增函数。
   由（6）式和（7）式可得第 i 位教师的总投入量

            xi ( w, z )  y i ( w, z )  ( 1i   4i ) w  ( 3i   2i ) z 。                （8）

                                                               2(ai  d i )     ci 
   约束条件的 Hesse 矩阵为  Vi ( w, xi , yi , z )                                              ，由于 a i  d i ，
                                       2

                                                                 ci        2(bi  ei )
                                                                                        

ai  d i  0 ，又 Hesse 矩阵的行列式的值 4(d i  ai )( ei  bi )  ci2  0 ，所以 Hesse 矩阵是


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                                                       、
负定的，即 Vi ( w, xi , y i , z ) 是 ( x i , y i ) 的凹函数, 如果（6）（7）式不小于 0，它们就是教师

           、
i 的最优解。将（6）（7）式代入规划（3）式的目标函数并整理得
                                       N                            N                               N                N
         U  ( w, z )  ( f x   1i  f y   4i ) w  ( f y   3i  f x   2i ) z
                                       i 1                         i 1                            i 1            i 1


                                              N                       N                                  N          N
                               g x (  1i w    2i z ) 2  g y (  3i z    4i w) 2 。                                           （9）
                                           i 1                      i 1                             i 1          i 1


   对（9）式分别关于 w 、 z 求偏导得一阶条件

     U  ( w, z )          N            N                 N          N         N
                    ( f x   1i  f y   4i )  2 g x (  1i w    2i z )  1i
        w                 i 1         i 1              i 1       i 1      i 1


                                                  N                         N                   N
                                  2 g y (  3i z    4i w)  4i  0 ，                                                             （10）
                                                  i 1                      i 1             i 1



       U  ( w, z )          N            N                 N          N         N
                      ( f y   3i  f x   2i )  2 g x (  1i w    2i z )  2i
           z                i 1         i 1              i 1       i 1      i 1


                                                  N                         N                N
                                  2 g y (  3i z    4i w)  3i  0 。                                                         （11）
                                                  i 1                      i 1             i 1


   整理（10）式和（11）式得

                  h11 w  h12 z  h10
                                      。                                                                                          （12）
                 h21 w  h22 z  h20
                          N                         N                                                N               N
   其中 h10  1 ( f x
            2                   1i    f y   4i ) ， h20  1 ( f y   3i  f x   2i ) ，
                                                              2
                          i 1                     i 1                                             i 1            i 1


                   N                                     N                                              N                  N
       h11  g x (  1i ) 2  g y (  4i ) 2 ， h22  g x (  2i ) 2  g y (  3i ) 2 ，
                   i 1                               i 1                                            i 1                 i 1


                                       N                     N                           N                   N
       h12  h21  [ g x (  1i )(   2i )  g y (  3i )(   4i )] 。
                                       i 1                  i 1                        i 1                i 1


   解方程组（12）得


                                                                                   180
                         管理科学与系统科学研究新进展
       ——第 6 届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集                       2001 年·大连


               h10 h22  h20 h12      h h  h10 h12
        w                         
                                 ， z  11 20         。
                 h11 h22  h12
                             2
                                       h11 h22  h12
                                                   2


                                                                      
    可以验证（9）式的 Hesse 矩阵是负定的，从而，如果 w  0 且 0  z  1 ，则 ( w , z )
                                                          
是规划（3）的最优解；将 w 、 z  代入（6）式和（7）式得 xi ( w , z ) 、 y i ( w , z ) ，如
                                         


果它们不小于 0，则分别为第 i 位教师的最优教学、科研投入量，否则不投入，且还要经过
较复杂的讨论。


4 结论
    第 2 节对主从博弈模型进行了讨论，求出了主方（学校）的最优决策，为学校教学科研
的管理提供了参考性最优决策，给出了最优的标准课时工资补贴以及最优的科研劳务提成比
例；也对从方（教师）进行了讨论，给出了最优解。对于从方来说，综合（6）式和（7）式
可得其教学、科研投入的最优反应函数的性质：
    性质 1 如果假设 1 成立，对每位教师，当课时补贴增加时，他会增加在教学方面的投
入，而减少在科研方面的投入；相反，当科研劳务提成比例增加时，他会增加科研方面的投
入，而减少在教学方面的投入。
              （8）式中 w 和 z 的系数都为正，即有性质 2：
    由假设 1 可以推得，
    性质 2 如果假设 1 成立，每位教师的总工作量随着课时补贴或科研劳务抽成的增加而
严格增加。
    本模型还可进一步扩展，推广到教学课时补贴分成多类或科研项目分成多类的情形，也
可以考虑教师的精力有限的情形，不过，所有这些扩展模型将经过非常复杂的讨论。


参考文献
1   张维迎. 博弈论与信息经济学. 上海人民出版社, 1996 年版
2   罗伯特·吉本斯著, 高峰译. 博弈论基础. 中国社会科学出版社, 1999 年版
3   盛昭瀚, 曹忻. 最优化方法基本教程. 东南大学出版社, 1992 年版




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           Optimal management strategies of scientific research
                      and teaching of University

                       Hu Peinong 1        Xiao Tiaojun 2      Chen Yi 1
              (1.Higher Education Research Institute, Southeast University, 210096)
   (2. Graduate School of Management Science & Engineering, Nanjing University, 210093 )
Abstract This paper studies interrelations between scientific research and teaching of University.
Firstly, it describes the questions that it will discuss. Secondly, it sets up a game model with a
leader and followers on management strategies of scientific research and teaching of University
and gives optimal management strategies. Finally, it gives the main conclusions.
Keywords University teaching          scientific research   game     strategy




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