Soal IPA

					      1               BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

 A.                        Bentuk Pangkat                                         pn a           qn a          (p         q )n a
                                                                                  mn             mn
                                                                                         a            a
1.   Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real
     maka:                                                            2.   Bentuk-bentuk akar sekawan
                                                                                a sekawan dengan      a
          an          a        a                 a
                              n faktor                                               a       a       sekawan dengan a                            a
2.   Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat dan nol
                                                                                         a       b       sekawan dengan                      a       b
          am          an           am        n


          am
           a  n
                       am n , a                       0                 C.                   Bentuk Logaritma
          a0          1, a          0
                                                                      1.   Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan
                                                                           pokok p, maka berlaku:
3.   Sifat pemangkatan bilangan berpangkat                                 p
                                                                            log a n      pn a; a 0, p 0 dan p 1
          (am)n amn
            a
                  n
                               an                                     2.   Sifat-sifat logaritma
                                                                                 p
            b      bn                                                             log (ab) plog a                     p
                                                                                                                       log b
                                                                                 a
          (a  b)n
                     an                          bn                               log an n
                   1                                                                         a
          a m                                                                     p
                                                                                      log                 p
                                                                                                              log a         p
                                                                                                                                log b
                  am                                                                         b
                                                                                 p
                                                                                     log 1       0
 B.                        Bentuk Akar                                           p
                                                                                  log an          n · plog a                n
                                                                                                                                 q
                                                                                                                                     log a
                                                                                                                                 q
                                                                                                                                     log p
1.   Sifat-sifat bentuk akar                                                     p
                                                                                     log a · alog q             p
                                                                                                                    log q
                               m                                                   p
          n
              am              nn                                                  p log a            a
          n
              ab           n
                               a         n
                                             b                                    pn                      m p
                                                                                         log am               log a
                                                                                                          n
          pn a                qn a               (p       q )n a                 a
                                                                                  log a          1
                          n
            a                 a
          n                        , b           0                               p               pn
            b             n
                              b
                                                                                  log a               log an


                                                                   Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                   1
http://mathzone.web.id


                                                                                             Contoh Soal
                                                                                                                    2
1.       Nilai x yang memenuhi persamaan                                                                       A.    log 3                         D.       (3log 2)2
                                                                                                                    3
             1
                 x           1            3 3x          1                                                      B.    log 2                         E.       (2log 3)2
             4
                                           2                     adalah . . . .                                     4
                                                                                                               C.    log 9
                                 2                                                     2
         A.          x                                               D.       x                                Jawab:
                                 9                                                     5
                                 4                                                     4                                               2                2
         B.          x                                               E.       x                                m              1            log a            log b
                                 9                                                     5                                m
                                                                                                                              n        3                3
                                                                                                               n                           log b            log a
                                 5
         C.          x                                                                                                  2          a                    2           b
                                 9                                                                                      ( log a     log 3)          ( log b         log 3)
                                                                                                                        2         2
                                                                                                                         log 3     log 3
         Jawab:
                                                                 1                                                      (2log 3)2                                       Kunci: E
                     x           1             3x           1 3
                 1                          2
                 4
                                                                                                                3       log (log x )
                     x           1                                                                        4.                                  ....
               1                               3x       1                                                      3 log (log x1.000 )
                                           2        3
              22
                                                                                                                                 1
                                               3x       1                                                      A.   1
             (2 2)x              1
                                           2        3                                                                       log (log x )
                                           3x           1
                 2x              2                                                                                    1                   1
                                                    3                                                          B.
         3( 2x 2)                         3x 1                                                                      3.000         1.000 log (log x )
             6x 6                         3x 1                                                                      1              1
            6x 3x                         1 6                                                                  C.
                                                                                                                    3       100 log (log x )
                                                                     5
                             9x             5           x            9                                               1
                                                                                                                    13
                                                                                                               D.
                                                                                              Kunci: C
                                                                                                                    1
                                                                                                               E.   3
                     2                     4                         4            2            2
2.       Jika log x                         log         y                log z , maka z            ....
                                                                                                               Jawab:
         A.          x y                                             D.       x 4y
         B.           x2 y                                           E.       x2 4 y                            3       log (log x )          3    log (log x )
         C.          xy                                                                                                       1.000          3log (1.000log x )
                                                                                                               3log (log x            )
         Jawab:                                                                                                                                   3   log (log x )
          2                          4                       4            2
             log x                   log            y         log z                                                                          3(log 1.000    log log x )
         4               2           4                       4
          log x                      log            y         log z2                                                                          3     log (log x )
                                                                                                                                             3(3      log log x )
                                                                                             x2 y
                     4
                         log x2 ·                   y        4
                                                                 log z2               z2
                                                                                                                                             1
                                                                                              Kunci: B
                                                                                                                                             3                          Kunci: E
             I N G A T
                                     2                  22        2            4
                                                                                  log x2
                                         log x               log x                                        5.   Jika 5log 3    a dan 3log 2    b, 6log 75 sama
                                                                                                               dengan . . . .
                         2
                             log a                                   3
                                                                         log a                                         a                   2    a
3.       Jika                                    m dan                                     n, a > 1 dan        A. 1 b                  D. 1 b
                         3                                           2
                             log b                                       log b
                                                                                                                       a                    2    a
                                               m                                                               B. a                    E. a(1 b )
         b           1, maka                                . . . .                                                      b
                                               n
                                                                                                                    2    a
                                                                                                               C. a      b

                 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     2
http://mathzone.web.id
     Jawab:
                                     log 3                                                                     6                  log 75        log 25 3
          5                                                                                             •          log 75
     •     log 3        a            log 5            a            log 3             a log 5                                       log 6         log 2 3

                                     log 2                                                                                        log 52   3 log 52 log 3
          3
     •     log 2        b            log 3            b                                                                            log 2 3      log 2 log 3
                                                                                                                                  2 log 5 log 3
                                     log 2            b log 3
                                                                                                                                   log 2 log 3
                                                      b (a log 5)
                                                      ab log 5                                                                     2 log 5 a log 5
                                                                                                                                  ab log 5 a log 5
                                                                                                                                  (2 a ) log 5                2 a                  2 a
                                                                                                                                  (ab a )log 5               ab a                 a(1 b )
                                                                                                                                                                                  Kunci: E


                                                                                      Soal-Soal Ujian Nasional
                                                                                       oal- oal


                                                                                3                       A.    { 2, 8}                           D.      {1, 8}
1.   Nilai 2 x yang memenuhi 4 x                                   2
                                                                                    16 x   5
                                                                                                        B.    { 2, 3}                           E.      {2, 8}
     adalah . . . .
                                                                                                        C.    {1, 3}
     A. 2                D. 16
     B. 4                E. 32                                                                                                       1      3           2
                                                                                                                            3   25 2     16 4     27 3
     C. 8                                                                                          6.   Nilai p                                              adalah . . . .
                                                                                                                                 6250,25        810,5
2.   Diketahui 2x            2   x
                                          5. Nilai 22x                     2   2x
                                                                                      . . . .
                                                                                                        A.    2                                 D.      16
     A. 23                                   D. 26
                                                                                                        B.    8                                 E.      36
     B. 24                                   E. 27
                                                                                                        C.    15
     C. 25
                                     3
                                                                                                   7.   Diketahui 2log 5 p dan 3log 2                                    q.
                                     26       5
                             7x           y                                                             Nilai 3log 125 8log 27 . . . .
3.   Nilai dari          5                 1
                                                               untuk x                4 dan
                        x4           6y    3      x   2                                                        3p           q                               3 p2          3
                                                                                                        A.          q
                                                                                                                                                D.
                                                                                                                                                                q
     y    27 adalah . . . .
                                                                                                               p        q                                   3p           q2
                                                                                                        B.         3q                           E.
                                                                                                                                                                 q
     A.   (1        2 2) 9 2                   D.         (1           2 2) 27 2                                        2
                                                                                                               3 pq              1
                                                                                                        C.
     B.   (1        2 2) 9 3                   E.         (1           2 2) 27 3                                        q

     C.   (1        2 2) 18 3                                                                      8.   Akar dari persamaan 35x 1 27x                                3
                                                                                                                                                                                       adalah
                                                                                                        . . . .
4.   Diketahui 3log 2                     x dan           2
                                                              log 5                 y, maka             A. 1                   D. 4
     5
      log 15 . . . .                                                                                    B. 2                   E. 5
          x   y   1                                            1                                        C. 3
     A.     x   y
                                               D.         x            y                                                                                                           2
                                                                                                                                                                         3               3 1
          xy   1                                           1                                       9.   Nilai x dari persamaan                                                             9
     B.                                        E.                                                                                                                3x           2
            xy                                            xy
                                                                                                        adalah . . . .
               xy
     C.                                                                                                        2                                             1
                                                                                                                                                            33
          x         y                                                                                   A.     3                                D.
                                                                                                                1
                                                                                                               42                                             1
                                                                                                                                                             42
5.   Himpunan penyelesaian persamaan                                                                    B.                                      E.
     22x 5 · 2x 1 16        0 adalah . . . .                                                            C.          1
                                                                                                                   33



                                                                                                Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                          3
http://mathzone.web.id

           Analisis
              Setiap tahun selalu keluar 1 soal tentang                          Pahami sifat-sifat dari bentuk pangkat,
              bentuk pangkat, bentuk akar, dan                                   akar, logaritma.
              logaritma. Diprediksikan pada tahun
              2006 akan keluar juga salah satu dari
              ketiga bentuk, apakah bentuk pangkat,
              bentuk akar, atau logaritma.




          2        PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT


 A.                   Persamaan Kuadrat                                3.   Melengkapkan kuadrat
                                                                            Bentuk x2 bx c 0 diubah menjadi bentuk
                                                                            (x p)2 q

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah                                                            b
                                                                            di mana: p          2
                                                                                                    2
                                                                                                b
                        ax2       bx     c       0                                      q       2
                                                                                                        c

                                                                            Sehingga diperoleh x1 dan x2
di mana a, b, c           R dan a            0


                                                                       C.               Jumlah Hasi Kali Persamaan
 B.             Penyelesaian Persamaan Kuadrat                                          Kuadrat

                                                                       Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat
1.       Rumus abc
                                                                       ax2 bx c 0; a, b, c       R dan a 0 maka:
         Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax2
          bx c 0; a, b, c     R dan a 0 adalah                         1.   Jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:
                                                                                            b
                                                                            x1     x2
                                                                                            a
                                   b      b2          4ac
                       x1,2                                            2.   Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:
                                          2a
                                                                                        c
                                                                            x1    x2
2.       Memfaktorkan                                                                   a
         Bentuk a2 bx         c        0 diubah menjadi bentuk

                        1
                                                                        D.         Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat
                          (ax      p)(ax         q)     0
                        a
                                                                       Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dengan
                                                                       diskriminan D
         di mana: p     q     b
                                                                       1. D 0        memiliki dua akar yang sama dan real
                       pq     ac
                                                                       2. D      0    memiliki dua akar bilangan real yang
                                                      p          q          berbeda (x1 x2)
         Sehingga akan diperoleh x1                     dan x2
                                                     a           a     3. D 0        tidak memiliki akar bilangan real



            Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     4
http://mathzone.web.id
                                                                               Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi
 E.              Membentuk Persamaan Kuadrat
                                                                               1.   Tentukan titik potong terhadap sumbu-x
                                                                                    Pada gambar (i) dan (ii), titik potong terhadap
Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2
                                                                                    sumbu -x berturut-turut adalah titik A dan titik B
adalah:
                                                                                    serta titik D dan titik E.

     a(x       x1)(x     x2)   0   a(x2   (x1   x2) x       x1x2)   0          2.   Tentukan titik potong terhadap sumbu-y
                                                                                    Pada gambar (i) dan (ii), titik potong terhadap
                                                                                    sumbu-y berturut-turut adalah titik C dan titik F.
                                                                               3.   Perhatikan koefisien x2, yaitu a.
 F.                       Fungsi Kuadrat                                                 a        0 : Grafik terbuka ke atas
                                                                                              Seperti gambar (i)
                 y                                 y
                                                                                         a        0 : Grafik terbuka ke bawah

                                                        F                                     Seperti gambar (ii)
                                                                               4    Menentukan nilai diskriminan D
                                            D                   E
                 O                 x               O                    x
           A               B                                                             D        0 : Grafik menyinggung sumbu-x
                     C                                                                   D        0 : Grafik memotong sumbu-x pada dua
                                                                                                      titik

                  (i)                               (ii)                                 D        0 : Grafik tidak memiliki titik potong
                                                                                                      dengan sumbu-x




                                                            Contoh Soal
1.    Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan                                  2.   Jika x, dan x2 adalah akar-akar persamaan
      x2 3x n 0 sama dengan jumlah pangkat tiga                                     x2 log x 1.000, maka x1 · x2 sama dengan . . . .
      akar-akar persamaan x2 x n 0, maka nilai n                                    A. 10 1               D. 10
      adalah . . . .                                                                        2
                                                                                    B. 10                 E. 100
      A. 8                  D. 8                                                    C. 1
      B. 6                  E. 10
                                                                                    Jawab:
      C.   2
                                                                                                         x2     log x
                                                                                                                            1.000
      Jawab:
                                                                                                          2     log x
      Misalkan:                                                                                       log x                 log 103
          Akar-akar persamaan x2 3x n 0 adalah                                               (2       log x) log x          3
          a dan b                                                                                                 2
                                                                                              2 log x          log x        3
          Akar-akar persamaan x2 x n 0 adalah c                                       log 2x          2 log x      3        0
          dan d
                                                                                     (log x        1)(log x       3)        0
                 a2 b2     c3 d3
          (a b)  2
                     2ab   (c d)3 3cd(c d)                                          log x         1      atau         log x      3
                                                                                                                                     3
                 32 2n ( 1)3 3( n)( 1)                                                   x        10                        x   10
                   9 2n     1 3n                                                    Jadi, x1 · x2             10 · 10   3
                                                                                                                                10   2
                                                                                                                                         Kunci: B
                 2n 3n      1 9
                        n   10         Kunci: E

                                                                            Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   5
http://mathzone.web.id
3.       Parabola dengan titik puncak (3, 1) dan melalui                                       2        2a
         (2, 0) memotong sumbu-y di titik . . . .                                            a    1
         A.    (0, 5)                                                                    Sehingga diperoleh,
                                               y
         B.    (0, 6)                                                                         y    a(x       1)(x     2)
         C.    (0, 7)                                                                     f(x)      1(x       1)(x        2)
                                                                                                   (x     1)( x       2)
         D.    (0, 8)                                                  x
                                                   1   2     3 4   5                               (x     1)(2       x)                             Kunci: A
         E.    (0, 9)                      1
                                                                               5.   Jika grafik fungsi y x2 ax b mempunyai titik
         Jawab:
                                                                                    puncak (1, 2) maka nilai a dan b adalah . . . .
         P(p · q) P(3, 1)        p 3 dan q  1                                       A. a 1, b 3            D. a 0,5, b 1,5
             Persamaan kuadrat: y a(x p)2 q                                         B. a       1, b     3  E. a 0,5, b       1,5
             Melalui titik (2, 0)  y a(x p)2 q                                      C. a       2, b 3
                                   0 a(2 3)2 ( 1)
                                   0 a( 1)2 1                                       Jawab:
                                   0 a 1                                               Persamaan kuadrat
                                   a 1                                                 y x2 ax b             a 1, b                        a, dan c         b
                                                                                       Melalui titik puncak (1, 2)
               Sehingga diperoleh persamaan
                                                                                              b             a
                   y a(x p)2 q                                                          x             x
                                                                                             2a           2(1)
                   y 1(x 3)2 1
                                                                                                           a
                   y x2 6x 9 1                                                                        1
                                                                                                           2
                   y x2 6x 8
                                                                                                      a     2
               Titik potong dengan sumbu-y maka x                      0               Diskriminan
                    y x2 6x 8
                                                                                                   b2      4ac                        a2      4(1)(b )
                    y 02 6(0) 8                                                          y                                2
                                                                                                         4a                                 4(1)
                    y 8
                                                                                                                                      (( 2)2         4b )
               Jadi, parabola memotong sumbu-y di titik                                                                   2
                                                                                                                                                4
               (0, 8)                       Kunci: D                                                                  8           4        4b
                                                                                                                 8    4               4b
4.       Kurva pada         gambar berikut adalah grafik
                                                                                                                     12               4b
         fungsi . . . .
         A. f(x) (x         1)(2 x)                          y                                                        b           3
         B. f(x) (x         1)(x 2)                                                      Jadi, a         2 dan b              3                     Kunci: C
         C. f(x) 2          x x2                        2
                                                                               6.   Akar-akar persamaan x2   6x  12    0 adalah
         D. f(x) x2          x 2
                                                                           x
                                                                                    x1 dan x2. Persamaan baru yang akar-akarnya
         E. f(x)      (x      1)(x 2)                  1 O         2
                                                                                    3        3
         Jawab:                                                                                 dan x1x2 adalah . . . .
                                                                                    x1       x2
            Persamaan kuadrat
                                                                                    A.   x2 9x 18 0
                    y    a(x     x1)(x     x2)
                                                                                    B.   x2 21x 18 0
                    y    a(x     ( 1))(x        2)
                                                                                    C.   x2 21x 36 0
                    y    a(x     1)(x      2)
                                                                                    D.   2x2 21x 36 0
               Melalui titik (0, 2)                                                 E.   2x2 18x 18 0
                    y    a(x     1)(x      2)
                    2    a(0     1)(0      2)




              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     6
http://mathzone.web.id
     Jawab:                                                                             3       3
     x2 6x     12    0       a    1, b       6, dan c     12                    x                     (x       x1x2 )    0
                                                                                        x1      x2
                         b        6                                                   3 x2    3 x1
          x1   x2                        6                                      x                  (x          x1x2 )    0
                         a        1                                                       x1x2
                    c        12
          x1   x2                     12                                              3( x1    x2 )
                    a        1                                                  x                   (x         x1x2 )    0
                                                                                          x1x2
          Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan
                                                                                             3( 6)
            adalah (x  )(x   ) 0 sehingga jika akar-                                   x           (x         ( 12))     0
                                                                                               12
                    3   3
          akarnya x                                                                                   3
                     1 x 2 dan x1x2 diperoleh:                                                 x         (x      12)     0
                                                                                                      2
                                                                                                        21
                                                                                                x2         x      18     0
                                                                                                        2
                                                                                              2x 2      21x       36     0
                                                                                                                             Kunci: D




                                                        Soal-Soal Ujian Nasional
                                                         oal- oal


1.   Akar-akar persamaan 2x2 2px q2 0 adalah p                    5.   Persamaan 2x2 qx (q 1) 0 mempunyai
     dan q di mana p q 6. Nilai pq adalah . . . .                      akar-akar x1 dan x2. Jika x12 x22 4, maka nilai
     A. 6                  D.  6                                       q . . . .
     B.   2                E.  8                                       A.    6 dan 2            D.   3 dan 5
     C.   4                                                            B.    5 dan 3            E.   2 dan 6
2.   Absis titik balik grafik fungsi                                   C.    4 dan 4
     y px2 (p 3)x 2 adalah p.                                     6.   Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat
     Nilai p sama dengan . . . .                                       2x2 9x c 0 adalah 121, maka nilai c adalah.
                                     2                                 . . .
     A.    3                    D.
                                     3                                 A.    8              D. 5
            3                                                          B.    5              E. 8
     B.                         E. 3
            2                                                          C. 2
     C.    1
                                                                  7.   Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum
3.   Persamaan kuadrat mx2 (m 5)x 20 0, akar-                           2 untuk x 3, dan untuk x 0 nilai fungsi itu 16.
     akarnya saling berlawanan. Nilai m . . . .                        Fungsi kuadrat itu adalah . . . .
     A. 4                   D. 8                                       A. f(x) 2x2 12x 16
     B. 5                   E. 12                                      B. f(x x2 6x 8
     C. 6                                                              C. f(x) 2x2 12x 16
4.   Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan       x2                       D. f(x) 2x2 12x 16
       px 1 0, maka persamaan kuadrat yang akar-                       E. f(x) x2 6x 8
               2    2
     akarnya x1     x2 dan x1         x2 adalah . . . .           8.   Agar F(x) (p 2)x2 2(2p 3)x 5p 6 bernilai
     A.   x2   2p2x 3p 0                                               positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p
     B.   x2   2px 3p2 0                                               adalah . . . .
     C.   x2   3px 2p2 0                                               A. p 1                 D. 1 p 2
     D.   x2   3px p2 0                                                B. 2 p 3               E. p 1 atau p 2
     E.   x2   p2x p 0                                                 C. p 3



                                                               Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   7
http://mathzone.web.id
9.       Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum                              adalah . . . .
         3 untuk x 1 dan grafiknya melalui titik (3, 1),                           A. y x2 4x 5                        D.   y       x2    4x    5
         memotong sumbu-y di titik . . . .                                         B. y x2 2x 5                        E.   y       x2    4x    5
         A.     0, 7                           D.    (0, 2)                        C. y      x2 2x 5
                   2
         B.    (0, 3)                          E.        0, 3                  15. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
                                                            2
                                                                                                     x1
         C.     0, 5
                   2                                                               x2   px    2 dan 2 x                x1       1
                                                                                                                                    . Nilai p   ....
                                                                                                       2                        2

10. Persamaan kuadrat                  yang akar-akarnya 5 dan 2                   A.   4                              D.       2
    adalah . . . .                                                                 B.   2                              E.       4
    A. x2 7x 10                        0                                           C.   1
    B. x2 7x 10                        0                                       16. Persamaan kuadrat (m     1)x2   4x     2m   0
    C. x2 3x 10                        0                                           mempunyai akar-akar tidak nyata. Nilai m yang
    D. x2 3x 10                        0                                           memenuhi adalah . . . .
    E. x2 3x 10                        0                                           A.   2 m 1             D. m     2 atau m 1
11. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan linier                                  B.   1 m 2             E. m     1 atau m 2
                                                                                   C. 1 m 2
                 2x      y         8
                 2y      z         9                                           17. Grafik suatu fungsi kuadrat dalam x, memotong
          3x      y      z         3                                               sumbu-x di titik yang berabsis 1 dan 5, serta melalui
                                                                                   titik (6, 10). Fungsi kuadrat ini mempunyai . . . .
    adalah . . . .
                                                                                   A. nilai maksimum 8
    A. 4                D.   2
    B. 3                E.   3                                                     B. nilai minimum 8
    C. 2                                                                           C. nilai nol untuk x       1
12. Akar-akar persamaan x2   x    6   0 adalah                                     D. nilai maksimum 8
      dan . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya                                    E. nilai minimum 8
                                                                               18. Akar-akar persamaan kuadrat x2 x 2 0 adalah
                    dan 2              3
                                         adalah . . . .
         2        3                                                                x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar-
         A.    39x2     19x       6        0                                                 x      x
                                                                                   akarnya x1 dan x2 adalah . . . .
         B.    39x2     16x       6        0                                                  2       1

         C.    39x2     19x       6        0                                       A.   2x2    3x          2   0
         D.    39x2     19x       6        0                                       B.   2x2    3x          2   0
         E.    39x2     16x       6        0                                       C.   2x2    5x          2   0

                                                                       1
                                                                                   D.   x2    5x       2       0
13. Persamaan kuadrat x2                            (m          1)x   24   0
                                                                                   E.   x2    3x       2       0
         mempunyai dua akar yang berlainan. Batas-batas
         nilai m yang memenuhi adalah . . . .                                  19. Batas-batas nilai p supaya persamaan kuadrat
         A.    2 m 4          D. m 2 atau m 4                                      x2 3px 6 3x 10p, mempunyai akar-akar real
         B.    4 m 2          E. m       2 atau m 4                                adalah . . . .
         C. m       2 atau m 4                                                           p    5    atau p          3
                                                                                   A.         9
14. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar                                    B.    p    5    atau p          3
                                                                                              3
                            y
                                                                                         p        5    atau p          3
                                                                                   C.             9
                                                          x
                        O                                                                p    5       atau p       3
                                       (2,      1)                                 D.         9
                                                                                         5    p        3
                                                                                   E.    9

                                                                               20. Grafik fungsi kuadrat y 3x2 12x 6 memotong
                                                                                   salah satu sumbu koordinat di titik (a, 0) dan
                            (0,   5)                                               (b, 0) dengan a b. Pernyataan berikut benar,


              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     8
http://mathzone.web.id
    kecuali . . . .                                                                                                 24. Persamaan kuadrat 2x2 3x 4 0 mempunyai
    A. grafik terbuka ke atas                                                                                           akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-
    B. a · b 2                                                                                                           akarnya
                                                                                                                                        1    dan      1
                                                                                                                                                          adalah . . . .
                                                                                                                                        x1           x2
    C. a b 4
                                                                                                                         A.    4x2     3x       4    0
    D.       a           b           4 2
                                                                                                                         B.    4x2     3x       2    0
             a           3           2 2                                                                                 C.    4x2     3x       4    0
    E.
             b                                                                                                           D.    4x2     3x       2    0
21. Diketahui persamaan kuadrat x2                                                           x       2       0           E.    4x2     3x       2    0
    mempunyai akar-akar x1 dan x2.                                                                                  25. Nilai x yang menyebabkan pernyataan: ”Jika
    Nilai x13 x23 . . . .                                                                                               x2    x    6 maka x2  3x  9” bernilai salah
    A. 7                  D.   10                                                                                       adalah . . . .
    B. 5                  E.   13                                                                                       A.    3              D. 2
    C.    5                                                                                                             B.    2              E. 6
22. Agar (3m 1)x2 4(m 1)x m                                                          4 untuk setiap                     C. 1
    x real, maka haruslah . . . .                                                                                   26. Fungsi kuadrat yang titik puncaknya adalah
    A. m 0 atau m 5                                                                                                     perpotongan garis y x 3 dan 5x 2y 20 dan
    B.           1           m               5                                                                          melalui (0, 3) adalah . . . .
                 3
                                                                                                                         A.     y        1 x2       2x        3
    C.   0           m               5                                                                                                   2
    D.           5           m           0
                                                                                                                         B.     y        1 x2       2x        3
                                 1                                                                                                       2
    E.       m                   3
                                     m               5
                                                                                                                         C.     y     2x 2      1x
                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                          3
                                     x               2
23. Fungsi f(x)                                        , x                 1 mempunyai kurva
                                     x               1                                                                   D.     y     2x 2      1x
                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                          3
    seperti . . . .
                                                                                                                         E.     y       2x 2        1x
                                                                                                                                                    2
                                                                                                                                                              3
                     y                                                               x       1
    A.                                                            D.             y

                                                 y        2                                          y   1
                     1                                                                               x
                                                                              0

                                                                                                                            Analisis
                                                 x
                         0                                                    2
                             x           1                                               x       1

    B.               y                                            E.                         y                                 Setiap tahun soal tentang persamaan dan
                                                                                                                               fungsi kuadrat pasti keluar minimal 2
                                             y            2                                                                    soal. Bentuk soal yang sering keluar
                                             x                         y     1                   0
                 0                                                                                                             adalah seperti soal nomor 22, 23, 24, dan
                                                                                                     x   1                     26.
                                 x       1


    C.                       y


                                                                                                                              Pelajari cara menentukan fungsi kuadrat
                                                     y        1
                           2                                                                                                  jika diberikan gambar grafik dan juga
                         0 2                          x
         x           1                                                                                                        cara menentukan persamaan kuadrat
                                                                                                                              yang baru jika diketahui akar-akarnya.




                                                                                                                 Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   9
http://mathzone.web.id


          3           SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT


 A.                      Persamaan Kuadrat                                       Jika garis memotong parabola, maka sistem
                                                                                 persamaan memiliki dua persamaan.

                                                                                                 y
                                                                                                                    SPL
1.        Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel
               a1x      b1y     c1
                                                                                                                   SPK
               a2 x     b2 y     c2                                                                                      x
          di mana a1, b1, c1, a2, b2, c2           R
                                                                                 Jika garis menyinggung parabola, maka sistem
2.        Penyelesaian SPL ada empat cara, yaitu:
                                                                                 persamaan memiliki satu penyelesaian.
               Metode grafik: dilakukan dengan menggambar                                            y
               grafik dari SPL                                                                               SPK

               Metode substitusi: dilakukan dengan
                                                                                                                         SPL
               mensubstitusi salah satu peubah
               Metode eliminasi: salah-satu variabelnya                                                                  x
               dihilangkan dengan cara menjumlahkan atau
               mengurangkan kedua persamaan linier
               Gabungan metode eliminasi dan substitusi                          Jika garis tidak menyinggung parabola, maka
                                                                                 persamaan linier-kuadrat tidak memiliki
3.        Bentuk umum SPL tiga variabel                                          penyelesaian.
               a1x     b1y     c1z    d1
                                                                                                         y
               a2x     b2y     c2z    d2                                                                                 SPL

               a3x     b3y     c3z    d3
          di mana a1, a2, a3, b1, b2, b3, d1, d2, d3,             R
                                                                                                                     SPK
                                                                                                                             x




 B.                   Sistem Persamaan Non-Linier                         C.               Sistem Persamaan Kuadrat

1.        Bentuk Umum Sistem Persamaan Linier-Kuadrat                    Bentuk umum sistem persamaan kuadrat dua variabel
              y px q             … Persamaan linier
              y ax 2
                      bx c       … Persamaan kuadrat                         y    ax 2      bx   c
                                                                                       2
2.        Menentukan banyaknya penyelesaian SPL dan                          y    px        qx   r
          sistem persamaan kuadrat (SPK) adalah sebagai                  dengan a, b, c, p, q, r             R
          berikut:




              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     10
http://mathzone.web.id


                                                              Contoh Soal
1.   Jika pembilang dari suatu pecahan ditambah 2                            2.   Jika x dan y memenuhi persamaan
     dan penyebutnya ditambah 1 akan diperoleh hasil                               2    1          1     2
                                                                                            1 dan            8
                               1                                                   x    y          x     y
     bagi sama dengan          2
                                   . Jika pembilang ditambah 1
     dan penyebut dikurangi 2, diperoleh hasil bagi sama                                             1
                3                                                                 maka x                     y
                                                                                                                         . . . .
     dengan     5
                    . Pecahan yang dimaksud adalah . . . .
          2                                     2                                 A.             3
                                                                                                                                     D.       5
     A.                                    D.                                                    2
          3                                     7
                                                                                             5
           6                                    3                                 B.         6
                                                                                                                                     E.       6
     B.                                    E.
          21                                    4                                            6
           8                                                                      C.         5
     C.
          12                                                                      Jawab:
     Jawab:                                                                                              1
                                                                                                                     a dan
                                                                                                                                     1
                                                                                                                                              b
                                      a                                           Misalkan:
                                                                                                         x                           y
     Misalkan pecahan tersebut adalah
                                      b
                                                                                  2a b               1               1            2a b                11
         Pembilang     2   1
                                                                                  a 2b               8               2           2a 4b                16
          Penyebut    1    2
                                                                                                                                     5b               15
              a      2    1                                                                                                           b               3
              b      1    2                                                        2a         b          1
          2(a        2)   b        1                                               2a         3          1
           2a         4   b        1                                                         2a          4
                      b   2a           3        .... (1)                                      a          2

          P embilang          1        3                                          Sehingga diperoleh
          P enyebut           2        5                                                       1                                                  1
                                                                                  a    2             2                                    x
                                                                                               x                                                  2
             a        1    3                                                                   1                                                      1
             b        2    5                                                      b      3             3                                  y
                                                                                               y                                                      3
           5(a       1)    3(b          2)
            5a        5    3b          6                                                             1                       1            1
                                                                                  Jadi,                                                   1
                                                                                                                                                  6.           Kunci: E
                                                                                                 x       y           1           1
                     3b    5a          11               .... (2)                                                     2           3        6
          Substitusi Persamaan (1) ke Persamaan (2)
                                                                             3.   Himpunan penyelesaian sistem persamaan
          3(2a 3) 5a 11
                                                                                         x         y
            6a 9 5a 11                                                                                           z       7
                                                                                         3         2
           6a 5a 11 9
                                                                                     x           3y              z
                  a 2                                                                                                        6
                                                                                     4            2              2
          Substitusi nilai a ke Persamaan (1) atau                                       x        y              z
                                                                                                                         1
          Persamaan (2). Misalkan ke Persamaan (2)                                       6         4             3
          3b 5a 11
                                                                                  adalah {x, y, z}. Nilai x y z                                           . . . .
          3b 5(2) 11
                                                                                  A. 7                     D. 7
          3b 10 11
                                                                                  B. 5                     E. 13
          3b 21
                                                                                  C.   1
           b 7
                                                    2
     Jadi, pecahan tersebut adalah                  7
                                                        .      Kunci: D



                                                                          Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                           11
http://mathzone.web.id
      Jawab:                                                                                           persamaan. Misalkan Persamaan (1).
           x         y                                                                                   x     y
                                        z        7           ...... (1)                                            z  7
           3         2                                                                                   3     2
       x           3y                   z                                                              6     y
                                                         6 ...... (2)                                            ( 3) 7
       4            2                   2                                                              3     2
           x        y                   z                                                                          y
                                                 1            ...... (3)                                              7    3   2
           6         4                  3                                                                          2
                                                                                                                   y
                                                                                                                       2
               Eliminasi y pada Persamaan (1) dan                                                                  2
               Persamaan (2).                                                                                      y   4
                        x         y                                                                    Jadi, x y z 6 4 3 5. Kunci: B
                        3         2
                                             z           7            3
                    x           3y           z                                              4.   Dua buah mobil menempuh jarak 450 km.
                    4            2           2
                                                              6        1
                                                                                                 Kecepatan mobil kedua setiap jamnya 15 km
                        3y                                                                       lebihnya daripada kecepatan mobil pertama. Jika
               x        2
                                            3z               21
                                                                                                 waktu perjalanan mobil kedua 1 jam lebih cepat
               x        3y                  1z                6
               4        2                   2                                                    dari waktu perjalanan mobil pertama, maka rata-
                            5               5z                                                   rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah . . . .
                            4
                                x           2
                                                          15                     .... (4)
                                                                                                 A.    97,5 km/jam                        D.    85 km/jam
                                                                                                 B.    92,5 km/jam                        E.    82,5 km/jam
                                                                                                 C.    87,5 km/jam
               Eliminasi y pada Persamaan (2) dan
                                                                                                 Jawab:
               Persamaan (3).
                                                                                                 Misalkan:
                x               3y               z             6           1
                4               2                2                                                   Jarak yang ditempuh mobil                          1     s1
                    x             y          Z                1            6                         Jarak yang ditempuh mobil                          2     s2
                    6             4          3
                                                                                                     Kecepatan mobil 1 v1
                x               3y               z                6                                  Kecepatan mobil 2 v2
                4               2                2
                            3y                                                 .... (5)              Waktu perjalanan mobil 1                           t1
               x            2
                                             2z                   6
                                                                                                     Waktu perjalanan mobil 2                           t2
                                3   x        5z               12
                                4            2                                                   Diketahui:
               Eliminasi z pada Persamaan (4) dan                                                 s1 s2 450
               Persamaan (5).                                                                     v1 x
                5x                  5z                                                            v2 v1 15                     v2     x        15
                4                   2
                                                     15
                                                                                                  t1 t
                 3x                  5z                  12
                 4                   2                                                            t2 t1 1
                                    2   x            3                                                      s1       450
                                    4                                                             t1        v1        x
                                    2x               12
                                        x            6                                                                s2              450                     450
                                                                                                 t2    t1        1                                  1
               Substitusi nilai x ke Persamaan (4) atau (5).                                                          v2               x                    x   15
               Misalkan ke Persamaan (5).                                                                                                                     450
                                                                                                                                     450        x
                   3 (6)                5z                12                                                                                                x   15
                   4                    2                                                                                               x
                    18                  5z                12                                                          (450            )(x      15)      450x
                     4                  2
                                        5z                   30                                             450x      6.750           x2       15x      450x
                                        2                     4                                                           2
                                                                                                                      x         15x         6.750       0
                                    20z                   60                                                          2
                                                                                                                      x         15x         6.750       0
                                      z                   3
                                                                                                                          (x        90)(x      75)      0
               Substitusi nilai x dan z ke salah satu


           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
 12
http://mathzone.web.id
      x    90        0        atau x             75    0                            C.      {(5, 20), (1, 4)}
                x        90                       x    75                           D.      {( 5, 20), ( 1, 4)}
     (tidak memenuhi)                                                               E.      {(5, 20), ( 1, 4)}
             v1      x        75                                                    Jawab:
             v2      v1       15       75        15    90                           y x2 2x             5           ..... (1)
                     v1       v2       75        90                                 y 4x                            ..... (2)
      vrata-rata
                        2                   2                                       Substitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1)
                     82,5                                        Kunci: E                        4x x2 2x 5
5.   Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan                                        x2 6x 5 0
                                                                                      (x 5)(x 1) 0
      y         x2       2x        5                                                    x    5       0 atau x       1    0
      y         4x                                                                           x       5              x    1
     adalah . . . .                                                                 •       Untuk x      5      y       4x       4(5)   20
     A.    {(5, 20), (1, 4)}                                                        •       Untuk x      1      y       4x       4(1)   4
     B.    {( 5, 20), ( 1, 4)}                                                      HP: {(5, 20), (1, 4)}                                    Kunci: C



                                                                   Soal-Soal Ujian Nasional
                                                                    oal- oal

1.   Himpunan penyelesaian sistem persamaan                                         A.      Rp109.000,00            D.       Rp106.000,00
                                                                                    B.      Rp108.000,00            E.       Rp105.000,00
       6        3     21                                                            C.      Rp107.000,00
       x        y
       7        4        2                                                     4.   Jika x dan y memenuhi sistem persamaan
       x        y                                                                    2    1           1  2
                                                                                               1 dan           8, maka
     adalah {(x0, y0)}. Nilai 6x0y0                    . . . .                       x    y           x  y
            1                                                                          1
     A.                                     D.    6                                  x    y   . . . .
           6
            1                                                                                    3
     B.                                     E.    36                                A.                              D.       5
           5                                                                                     2
     C.    1                                                                                 5
                                                                                    B.                              E.       6
                                                                                             6
2.   Seorang ayah membagikan uang sebesar
                                                                                             6
     Rp100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin                                     C.
                                                                                             5
     muda usia anak makin kecil uang yang diterima.
     Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak
     yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan                                      Analisis
     si sulung menerima uang paling banyak, maka                                            Bentuk soal yang sering keluar adalah
     jumlah yang diterima oleh si bungsu adalah . . . .                                     seperti soal nomor 1 dan 4. Setiap tahun
     A. Rp15.000,00           D. Rp22.500,00                                                soal tentang sistem persamaan linier
     B. Rp17.500,00           E. Rp25.000,00                                                selalu keluar minimal 1 soal.
     C. Rp20.000,00
3.   Hani dan Yasmin berbelanja di suatu pasar. Hani
     membayar Rp853.000,00 untuk empat barang I
     dan tiga barang II. Sedangkan Yasmin membayar                                          Pelajari cara menyelesaikan sistem
     Rp1.022.000,00 untuk tiga barang I dan lima barang                                     persamaan linier dengan dua dan tiga
     II. Harga barang I adalah . . . .                                                      variabel.



                                                                            Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir      13
http://mathzone.web.id


           4                PERTIDAKSAMAAN


 A.                             Pertidaksamaan Linier                                       D.                  Pertidaksamaan Bentuk Akar

1.        Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan                                      Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
          dengan pangkat tertinggi dari variabelnya satu.
                                                                                                           f        g
2.        Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan
                                                                                           dengan syarat terdefinisi f                     0 dan g   0
          linier
          a. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidak-
                samaan adalah
                        x       y        x   z   y       z dan x       z       y   z
                        x       y        x   z   y       z dan x       z       y   z        E.        Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak
          b.     Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan
                 positif

                                                                               x       y   1.   Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real x
                        x       y dan z          0       xz    yz dan                           adalah
                                                                               z       z
                                                                               x       y                       x, jika x               0
                        x       y dan z          0       xz    yz dan                           |x|
                                                                               z       z                       x, jika x               0

                                                                                           2.   Sifat-sifat nilai mutlak
 B.                             Pertidaksamaan Kuadrat
                                                                                                      |p|            p2

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat                                                                    |p       q|       |p|      |q|
          ax2      bx           c    0 atau ax2           bx       c       0
                                                                                                      | pq |        | p || q |
          ax2      bx           c    0 atau ax2           bx       c       0
                                                                                                      |x|      p             p    x        p
di mana a, b, c                     R
                                                                                                       p            p
                                                                                                                      , q         0
                                                                                                       q            q
 C.                             Pertidaksamaan Pecahan
                                                                                                      |x|      p         x        p atau x       p


Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan
yang memuat variabel pada penyebutnya.

                            ax 2         c
Misalkan:                                            0 atau
                            2
                    ax              bx       c
                    ax 2            bx       c
                                                     0
                     x2             bx       c




                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     14
http://mathzone.web.id


                                                                                   Contoh Soal

1.   Perhatikan gambar!                                                                                       Untuk 6           x2           5x        6
                             y                                                                                6   x2 5x                  6
                     5                                             C                                               x2 5                  6
                                                                                                                2
                                                                                                               x   5x 6                  0
                                                                                                                                                       6                             1
                     4                                                                                       (x 6)(x 1)                  0
                          A

                     2                        B
                                                                                                                            6                3    2                     1
                                                                              x
                    O                     2            4         5
                                                                                                        HP: { 6         x       3 atau 2                   x           1}    Kunci: C
     Nilai minimum f(x, y) 2x 3y
                                                                                                  3.    Nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan
     Untuk (x, y) di daerah yang diarsir adalah . . . .
                                                                                                        |x 2|2 4 |x 2| 12 adalah . . . .
     A.    10                                          D.     13
                                                                                                        A.    4 x 8
     B.    11                                          E.     14
                                                                                                        B. x 8 atau      4
     C.    12                                                                                           C. x 2 atau x      2
     Jawab:                                                                                             D.    2 x 2
     Perhatikan titik pojok dari daerah yang diarsir                                                    E. x 8 atau x      2
           Titik Pojok                                 f(x, y)           2x        3y                   Jawab:
                A(0, 4)                                2(0)        3(4)            12                   |x    2|2       4 |x        2|       12            Misalkan |x          2|        p
                B(2, 2)                                2(2)        3(2)            10                                       2
                                                                                                                        p       4p           12
                C(5, 5)                                2(5)        3(5)            25                    p2 4p          12      0
                                                                                                        (p 6)(p         2)      0
     Jadi, nilai minimum adalah 10.
                                                                                                                         p      6
                                                                                    Kunci: A
2.   Himpunan penyelesaian                                         pertidaksamaan
     |x2 5x| 6 adalah . . . .
                                                                                                                                    2                       6
     A.    {x|       6           x        1}
     B.    {x| 3              x           2}
                                                                                                              Untuk p           2            x         2           2
     C.    {x| 6              x            3 atau 2                  x        1}
                                                                                                                                         x       0 (tidak memenuhi)
     D.    {x| 6              x            5 atau 0              x        1}
                                                                                                              Untuk p           6 |x 2|                        6
     E.    {x| 5              x            3 atau 2                  x        0}
                                                                                                                                  6x 2                         6
     Jawab:                                                                                                   x     2       6 atau x 2                             6
           Untuk |x2                     5x|       6                                                                x       8         x                            4
                   |x2           5x|          6
                         2
                     x               5         6
               2
           x         5x              6        0                                                                                 4                           8
          (x       3)(x           2)          0
                                                                                                       HP: {x | x       8 atau x                  4}                        Kunci: B

                                               3       2



                                                                                               Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                       15
http://mathzone.web.id
4.        Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan                                                                   3                       5
                                                                                                5.       2                           2
           1       x                2x           6 adalah . . . .                                     x    3x 2        x                 4x           3
                                                                                                     berlaku untuk . . . .
                    5                                                                5
          A.                    x                          D.       3        x                       A.      x           1
                                                                                                                                         D.           1           x           3
                   3                                                                 3                                   2                            2

                    5                                                                                B.      x       2                   E.       2               x       3
          B.                    x                          E.       3        x   1
                   3                                                                                 C.      x       3
                    5                                                                                Jawab:
          C.                    x            1
                   3                                                                                      3                              5
          Jawab:                                                                                      x  2
                                                                                                           3x 2                     x2
                                                                                                                                         4x           3
            1       x               2x            6                                                      2                             2
                                                                                                      3(x  4x 3)                    5(x  3x           2)
               1    x           2x       6                                                            3x2 12x 9                     5x2 15x           10
                   3x           5                                                                       2x2 3 1                     0
                    x               5                                                                  2x2 3x 1                     0
                                    3
          syarat: •                 x
                                    1                 0                                              (2x 1)(x 1)                    0                     1
                                                                                                                                                                              1
                                                                                                                                                          2
                                    x                 0 1                                            Syarat: •                 x2 3x 2          0
                                    x                  1                                                                     (x 2)(x 1)         0
                        •       2x 6                  0                                                                      x 2 atau x        1
                                   2x                  6
                                                                                                                                              1           2
                                    x                  3
                                                                                                                                                          2       3


                                                                                                                     •         x2 4x 3         0
                                                                                                                             (x 3)(x 1)        0
                                          5                                                                                   x 3 atau x       1
                                3                               1
                                         3


                                5                                                                                                             1
          HP:      x|           3
                                         x             1                             Kunci: C                                                 2
                                                                                                                                                1
                                                                                                                                                  1           2
                                                                                                                                                                      3


                                                                                                     HP: {x| x               3}                                                   Kunci: C



                                                                                          Soal-Soal Ujian Nasional
                                                                                           oal- oal

1.        Nilai minimum fungsi objektif 5x      10y pada                                             A.      400                         D.       200
          himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan                                                B.      320                         E.       160
          yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan                                             C.      240
          seperti daerah yang diarsir pada gambar di bawah
                                                                                                2.   Himpunan                  penyelesaian               pertidaksamaan
          adalah . . . .
                            y                                                                        x           x           6, x    R adalah . . . .
                                                                                                     A.      {x| 2 x 3, x R}
                        32                                                                           B.      {x|x  3 atau x 2, x R}
                        24                                                                           C.      {x| 6 x    2 atau x 3, x                                     R}
                                                                                                     D.      {x|x  2 atau x 3, x R}
                        16
                                                                                                     E.      {x|x 3, x R}

                                                                                      x
                            O                16       24    36          48


                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     16
http://mathzone.web.id
3.   Daerah      yang                     y                              4.   Nilai maksimum dari f(x, y)    4x                   28y yang
     diarsir     pada                30                                       memenuhi syarat 5x    3y    34, 3x                   5y   30,
     gambar di sam-                                                           x 0, y 0 adalah . . . .
                                     15
     ping adalah him-                                                         A. 104                D. 208
     punan (x, y) yang                                                        B. 152                E. 250
     memenuhi . . . .                 O             15 20
                                                                  x           C. 168
                                                                         5.   Diketahui sistem pertidaksamaan x  0, y  0,
     A.    2x y      30,   3x   4y        60,   x       0,   y    0
                                                                              x + y 12 dan x + 2y 16. Nilai maksimum dari
     B.    2x y      30,   3x   4y        60,   x       0,   y    0
                                                                              (2x + 5y) adalah . . . .
     C.    x 2y      30,   4x   3y        60,   x       0,   y    0
                                                                              A. 12                    D. 40
     D.    x 2y      30,   4x   3y        60,   x       0,   y    0
                                                                              B. 24                    E. 52
     E.    2x y      30,   4x   4y        60,   x       0,   y    0
                                                                              C. 36



          Analisis
           Soal tentang pertidaksamaan keluar
           pada tahun 2001, 2002, dan 2005. Tetapi
                                                                                     Pelajari cara menentukan penyelesaian
           tidak keluar pada tahun 2000, 2003, dan
                                                                                     pertidaksamaan.
           2004.




      5         LOGIKA MATEMATIKA


 A.               Pernyataan Kalimat terbuka,                              B.                Konjungsi dan Disjungsi
                  dan Ingkaran

1.   Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki                    1.   Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika
     nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak                           pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai benar.
     sekaligus benar dan salah.
                                                                                              p            q         p       q
2.   Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti
     nilai kebenarannya karena memuat variabel.                                               B            B             B
                                                                                              B            S             S
3.   Ingkaran atau negasi suatu
                                                    p            ~q                           S            B             S
     pernyataan        p     adalah
                                                    B            S                            S            S             S
     pernyataan ~p yang bernilai
     benar jika p bernilai salah dan                S            B
     bernilai salah jika p bernilai
     benar.




                                                                      Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   17
http://mathzone.web.id
2.        Disjungsi terdiri dari:
               Disjungsi inklusif bernilai benar jika kedua               D.                Pernyataan Majemuk
               pernyataan bernilai benar atau salah satu
               pernyataan tunggalnya bernilai benar.
                                                                         1.   Pernyataan majemuk yang ekuivalen
                                                                                  q    p disebut konvers dari implikasi p      q
                           p           q         p       q
                                                                                   p      q disebut invers dari implikasi p    q
                           B           B             B                             q     p disebut kontraposisi implikasi p    q
                           B           S             B                            p    q     q    p artinya implikasi ekuivalen
                           S           B             B                            dengan kontraposisi
                           S           S             S                            q p       p    q artinya konvers dari implikasi
                                                                                  ekuivalen dengan invers dari impliksi tersebut
               Disjungsi eksklusif bernilai benar hanya jika
               salah satu pernyataan tunggalnya bernilai                           Ingkaran Implikasi Konvers        Invers        Kontraposisi
                                                                          p   q
               benar.                                                               p   q    p       q   q       p   p        q      q       p

                                                                          B    B    S   S        B           B           B               B
                           p           q         p       q
                                                                          B    S    S   B        S           B           B               S
                           B           B             S
                                                                          S    B    B   S        B           S           S               B
                           B           S             B
                                                                          S    S    B   B        B           B           B               B
                           S           B             B
                           S           S             S
                                                                         2.   Ingkaran dari pernyataan majemuk
                                                                                    (p    q)    p     q artinya ingkaran dari
                                                                                  p    q adalah p      q
 C.                    Implikasi dan Bimpikasi                                      (p    q)    (p      q)    (q    p) artinya
                                                                                  ingkaran dari adalah p     q adalah
                                                                                  (p    q) (q       p)
1.        Suatu implikasi bernilai salah hanya jika hipotesa                        (p   q)     p      q artinya ingkaran dari
          bernilai benar dan konklusi salah.                                      p q adalah p          q
                                                                                    (p   q)     p      q artinya ingkaran dari
                           p           q         p       q
                                                                                  p q adalah p          q
                           B           B             B
                           B           S             S
                           S           B             B                    E.                Pernyataan Berkuantor dan
                           S           S             B                                      Ingkarannya

2.        Suatu biimplikasi p      q bernilai benar jika                 Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang
          pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang               melibatkan semua atau beberapa anggota semesta
          sama.                                                          mewakili suatu keadaan.
                                                                         1.   Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial adalah
                           p           q         p       q                    pernyataan berkuantor universal dengan kalimat
                           B           B             B                        terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan,
                                                                                [ x M(x)]   x[ M(x)]
                           B           S             S
                           S           B             S                        di mana      Exist         Ada dan             All     Semua
                                                                              Untuk setiap
                           S           S             B
                                                                         2.   Ingkaran pernyataan berkuantor universal adalah
                                                                              pernyataan berkuantor eksistensial dengan kalimat
                                                                              terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan,
                                                                                [ x M(x)]  x[ M(x)]

              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     18
http://mathzone.web.id
                                                                2.   Modus tollens
     F.          Pernyataan Majemuk                                  Premis 1 : p      q
                                                                     Premis 2 :        q
                                                                     –––––––––––––––––––
1.    Modus ponens                                                      Konklusi :     p
      Premis 1 : p    q                                         3.   Silogisme
      Premis 2 : p                                                   Premis 1 : p      q
      –––––––––––––––––––                                            Premis 2 : q      r
         Konklusi :   q                                              –––––––––––––––––––––––
                                                                        Konklusi : p   r




                                              Contoh Soal
1.    Perhatikan kalimat “semua pemain basket berbadan               perguruan tinggi negeri” adalah ada peserta UMPTN
      tinggi”. Negasi kalimat ini adalah . . . .                     tidak ingin masuk perguruan tinggi negeri.
      A. Tidak ada pemain basket yang berbadan tinggi.                                                         Kunci: D
      B. Beberapa pemain basket berbadan tinggi.                4.   Kontraposisi dari pernyataan: “Jika sudut di
      C. Semua pemain basket berbadan pendek.                        kuadran I makin besar, maka nilai tangennya makin
      D. Beberapa pemain basket berbadan pendek.                     besar” adalah . . . .
      E. Tidak ada pemain basket yang berbadan                       A. Jika nilai tangen makin besar maka sudut di
           pendek.                                                        kuadran I makin besar
                                                                     B. Jika nilai tangen makin kecil maka sudut di
      Jawab:
                                                                          kuadran I makin besar
      Negasi dari ”semua pemain basket berbadan tinggi”
                                                                     C. Jika nilai tangen makin kecil maka sudut di
      adalah ”Beberapa pemain basket berbadan pendek”.
                                                                          kuadran I makin besar
                                               Kunci: D
                                                                     D. Jika nilai tangen makin besar maka sudut di
2.    Invers dari pernyataan (p     q)    p adalah . . . .
                                                                          kuadran I makin kecil
      A.    p     (p    q)     D.   ( p   q)     p
                                                                     E. Jika sudut di kuadran I makin kecil maka
      B.    p     (p q)        E.   (p    q) p
                                                                          tengennya makin kecil
      C. ( p q)        p
                                                                     Jawab:
      Jawab:                                                         Misal: P : sudut di kuadran I makin besar
        (p     q)    p                                                        q : nilai tangen makin besar.
        (p ~q)        p                                              Dari pernyataan : p       q
        ( p q)        p                      Kunci: D                Kontraposisi       : q       p
3.    Ingkaran dan pernyataan “Semua peserta UMPTN                   Jadi, jika nilai tangen makin kecil maka sudut di
      ingin masuk perguruan tinggi negeri” adalh . . . .             kuadran I makin kecil.
      A. Semua pesera UMPTN tidak ingin masuk                                                                  Kunci: E
           perguruan tinggi negeri.                             5.   Pernyataan ( p q) (p           q) ekuivalen dengan
      B. Tidak ada peserta UMPTN ingin masuk                         pernyataan . . . .
           perguruan tinggi negeri.                                  A. p       q              D.    p      q
      C. Ada peserta UMPTN ingin masuk perguruan                     B. p        q             E. p      q
           tinggi negeri.                                            C.    p     q
      D. Ada peserta UMPTN tidak ingin masuk
                                                                     Jawab:
           perguruan tinggi negeri.
      E. Tidak ada peserta UMPTN tidak ingin masuk                     I     N       G A        T
           perguruan tinggi negeri.                                              p       q    ( p      q )     (p      q)
      Jawab:
      Ingkaran dari “Semua peserta UMPTN ingin masuk
                                                                                                                          Kunci: E

                                                             Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   19
http://mathzone.web.id
6.    Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai                     Jawab:
      salah, maka pernyataan di bawah ini yang bernilai
                                                                           p q         p       q q               p        p       q        q       p
      salah adalah . . . .
      A. q       p           D.    p      q                                B S         S       B         B                    B                B
      B.    p     q          E.    p q
                                                                           p q         p       q     p                q       p       q
      C.    q   p
                                                                           B S         S       B             S                    B
                                                                                                                                          Kunci: D




                                                          Soal-Soal Ujian Nasional
                                                           oal- oal

1.    Kontraposisi dari pernyataan                    majemuk             A.   Ulangan dibatalkan dan semua murid tidak
      p   (p    q) adalah . . . .                                              bersuka ria
      A. (p    q)     p                                                   B.   Ulangan tidak dibatalkan dan ada murid
      B. ( p q)       p                                                        bersuka ria
      C. (p    q)    p                                                    C.   Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid
      D. ( p q)       p                                                        bersuka ria
      E. (p    q)    p                                                    D.   Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak
                                                                               bersuka ria
2.    Diketahui Premis I : p        q
                                                                          E.   Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid
                Premis II :     q    r
                ––––––––––––––––––––––                                         tidak bersuka ria
                               p     r
                                                                     6.   Negasi dari pernyataan: “Ani cantik tetapi tidak
      Kesimpulan tersebut merupakan . . . .
                                                                          pandai” adalah . . . .
      A. konvers               D. modus tollens
                                                                          A. Ani tidak cantik dan tidak pandai
      B. kontraposisi          E. silogisme                               B. Ani cantik dan pandai
      C. modus ponens                                                     C. Ani tidak cantik atau tidak pandai
3.    Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi:                     D. Ani tidak cantik atau pandai
        p     q                                                           E. Ani cantik atau pandai
       q      r                                                      7.   Argumentasi yang sah adalah . . . .
       ––––––––––
          . . .                                                           A. p      q          D. p        q
                                                                              p     q               p
      adalah . . . .
      A. p     r                   D.     p r                                              p                                      q
      B.   p r                     E.    p  r                             B.   p           q                     E.       p           q
      C. p       r                                                                         p                              p           q
                                                                                           q                                          q
4.    Penarikan kesimpulan dari premis-premis:
                                                                          C.       p           q
         p     q
                                                                                               q
               q
         –––––––––                                                                        p
              . . .
                                                                     8.   Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa dinyatakan
      adalah . . . .
                                                                          lulus ujian apabila semua nilai ujiannya tidak kurang
      A. p                  D.     (p q)
                                                                          dari 4,25” adalah . . . .
      B.    p               E.    q
                                                                          A. Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apabila
      C. q
                                                                               ada nilai ujiannya kurang dari 4,25.
5.    Negasi dari pernyataan: ’’Jika ulangan dibatalkan,                  B. Seorang siswa dinyatakan tidak lulus ujian apabila
      maka semua murid bersuka ria’’ adalah . . . .                            ada nilai ujiannya yang tidak kurang dari 4,25.


          Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     20
http://mathzone.web.id
     C.    Seorang siswa lulus nilai ujiannya di atas 4,25.       12. Ingkaran dari pernyataan: ”Semua peserta ujian
     D.    Seorang siswa tidak lulus atau tidak mendapat              berdoa sebelum mengerjakan soal” adalah . . . .
           nilai 4,25.                                                A. Semua peserta ujian tidak berdoa sebelum
     E.    semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang                   mengerjakan soal.
           dari 4,25 tetapi ia tidak lulus.                           B. Beberapa peserta ujian berdoa sebelum
                                                                          mengerjakan soal.
9.   Negasi dari pernyataan majemuk p                (q   r)
                                                                      C. Beberapa peserta ujian tidak berdoa sebelum
     adalah . . . .
                                                                          mengerjakan soal.
     A. (r      q)     p   D. p ( q                r)
     B. (q      r)   p     E. p ( q                r)                  D.    Semua peserta ujian berdoa sesudah
     C. p (q        p)                                                       mengerjakan soal.
                                                                       E.    Beberapa peserta ujian berdoa sesudah
10. Ingkaran dari pernyataan                                                 mengerjakan soal.
    ”Jika Fathin mendapat nilai 10 maka ia diberi
                                                                  13. Kesimpulan dari tiga premis
    hadiah” adalah . . . .
                                                                       p    q
    A. Jika Fathin tidak mendapat nilai 10, maka ia
                                                                       r    q
         tidak diberi hadiah
                                                                             r
    B. Jika Fathin diberi hadiah, maka ia mendapat
                                                                         . . .
         nilai 10
                                                                      adalah . . . .
    C. Fathin mendapat nilai 10 tetapi ia tidak diberi
                                                                      A.   p                  D. p                 q
         hadiah
                                                                      B.   q                  E. r                  r
    D. Fathin mendapat nilai 10 dan ia diberi hadiah.
                                                                      C. q
    E. Jika Fathin tidak diberi hadiah maka ia tidak
         mendapat nilai 10                                        14. Pernyataan p                 q ekuivalen dengan per-
                                                                      nyataan . . . .
11. Argumen mana yang valid (sah)
    (i) Premis 1 : p          (q r)                                    A.    p  q                      D.     p      q
          Premis 2 : p                                                 B.     p   q                    E.    p       q
          –––––––––––––––––––––––––––––                                C.     p   q
          Konklusi : q       r
    (ii) Premis 1 : q         rp                                  15. Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika
          Premis 2 : p                                                pernyatan berikut benar
          –––––––––––––––––––––––––––––                               p    q
          Konklusi : rq
                                                                      q    r
    (iii) Premis 1 : (p q)           r
                                                                      r    s
          Premis 2 : r       (p q)
          –––––––––––––––––––––––––––––                               dan s pernyataan yang salah, maka di antara
          Konklusi : (p q)           (p q)                            pernyataan berikut yang salah adalah . . . .
     A.    (i) dan (ii)         D.   (i) dan (iii)                    A.    p                 D. p   r
     B.    (i)                  E.   (i) (ii) dan (iii)               B.    r                 E. p     r
     C.    (ii) dan (iii)                                             C.    q




          Analisis
           Soal tentang trigonometri paling banyak                          Pahami aturan sinus dan cosinus. Ingat
           keluar dalam ujian nasional. Tahun 2000                          kembali rumus penjumlahan dan selisih
           sebanyak 5 soal, tahun 2001 sebanyak 7                           dua sudut begitu juga dengan
           soal, tahun 2002-2003 sebnayak 4 soal,                           penjumlahan dan selisih sinus dan
           tahun 2004 sebanyak 6 soal.                                      cosinus.




                                                               Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   21
http://mathzone.web.id


              6              TRIGONOMETRI


 A.                            Rumus-Rumus Trignometri                          B.          Perbandingan Trignometri
                                                                                            Sudut-sudut Istimewa
1.    Perbandingan trigonometri dari suatu sudut
      segitiga siku-siku di B
                                                                                 Fungsi                     Sudut
                                y                   A
              sin        C                                                  Trigonometri      0°     30°        45°         60°         90°
                                r
                                 x              y           r                                           1       1           1
              cos        C                                                      Sinus         0
                                                                                                        2       2
                                                                                                                        2   2
                                                                                                                                    3   1
                                 r
                                                                                                    1       3   1       2       1
                                y                                               Kosinus       1
                                                                                                    2           2               2
                                                                                                                                        0
              tan        C                          B   x       C
                                x                                                                   1       3
                                                                                Tangen        0
                                                                                                    3
                                                                                                                    1           3
      Secara umum didefinisikan                                                 Cotangen                            1
                                                                                                                            1       3   0
                                                                                                        3                   3
                                                                                                    2       3
                                                                                Secan         1     3               2           2
                                        Sisi di hadapan sudut                   Cosecan                 2                   2       3   1
                         sin                                                                                        2       3
                                            Sisi terpanjang


      di mana adalah sudut yang ditanyakan
      Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri adalah
      sudut yang besarnya 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°
                                                                            C.               Perbandingan Trigonometri
                                                                                             Sudut Berelasi
2.    Cotangen, secan, dan cosecan
      •   Cotangen biasa disingkat dengan “cot”                            1.    Relasi di Kuadran I (semua bernilai positif)
                                                                                     sin (90°    ) cos
                                      1        cos A    x
                    cot C                                 dengan tan                 cos (90°     ) sin
                                   tan C       sin A    y
                                                                                     tan (90°    ) tan
                     C 0, dan sin c 0
      •             Secan biasa disingkat ”sec”                            2.    Relasi di Kuadran II (sinus bernilai positif)
                                                                                     sin (180°     ) sin
                                          1         r
                    Sec        C                                                     cos (180°      )     cos
                                       cos C        x
                                                                                     tan (180°     )     tan
                    dengan cos C 0
      •             Cosecan biasa disingkat dengan “cosec”                 3.    Relasi di Kuadran III (tangen bernilai positif)
                                                                                     sin (180°     )      sin
                                           1        r
                    cosec          C                                                 cos (180°      )      cos
                                        sin C       y
                                                                                     tan (180°     ) tan
                    dengan sin          C      0
                                                                           4.    Relasi di Kuadran IV (cosinus bernilai positif)
                                                                                     sin (360°     )    sin
          I         N        G A         T                                           cos (260°      ) cos
                     •         sec2 C tan2 C 1                                       tan (360°     )    tan
                     •         cosec2 C cot2 C 1




                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     22
http://mathzone.web.id
 I         N      G A              T                                                                           Jika tinggi segitiga tidak diketahui,                            C
                                                                                                               pergunakanlah rumus berikut.
     1.     Cara cepat mengingat tanda positif ( ) dan                                                                                                                    b              a
                                                                                                                           1
            negatif ( )                                                                                             L      2
                                                                                                                                       · c · b · sin A                         t
               : Semua                    sin                        tan                cos                                1
                                                                                                                    L      2
                                                                                                                                   · a · c · sin B
                     I                        II                         III            IV
                                                                                                                                                                    A          D                  B
                                                                                                                           1
     2.     Sudut berelasi lainnya                                                                                  L      2
                                                                                                                                   · a · b · sin C                              c

                    sin (90°              )        cos
                    cos (90°               )           sin
                    tan (90°              )            cot
                    sin (270°                 )         cos
                                                                                                           E.          Rumus Penjumlahan dan Selisih
                    cos (270°                  )         sin                                                           Dua Sudut
                    tan (270°                 )        cot
                    sin (270°                 )         cos                                              1.    cos (           )            cos      cos            sin        sin
                    cos (270°                  )       sin
                                                                                                         2.    cos (           )            cos      cos            sin        sin
                    tan (270°                 )         cot
                    sin (     )           sin
                                                                                                         3.    sin (           )         sin       cos         cos            sin
                    cos (      )          cos                                                            4.    sin (               )        sin     cos             cos            sin
                    tan (     )           tan
                                                                                                                                             tan            tan
                                                                                                         5.    tan (           )         1      tan           tan

                                                                                                                                           tan              tan
                                                                                                         6.    tan (           )
 D.            Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas                                                                                           1    tan             tan
               Segitiga
                                                                                                              F.       Rumus Trigonometri Sudut Ganda
1.        Aturan sinus
                                                                                    C                                  atau Rangkap

            a              b                 c
                                                                     b                        a
          sin A          sin B             sin C                                                         1.    cos 2           cos2               sin2
                                                             A                      c             B                            1         2 sin2
2.        Aturan cosinus                                                                                                           2 cos2               1
              a2 b2 c2                         2bc cos A                                                 2.    sin 2       2 sin               cos
                                      2            2             2
                                  b             c            a                                                                         2 tan
               cos A                                                                                           tan 2
                                               2bc                                                       3.
                                                                                                                               1            tan2
               b2        a2        c2          2ac cos B

                                  b2          c2             b2                                                    1                     1        cos
               cos B                                                                                     4.    cos 2
                                              2ac                                                                                                 2

               c2        a2       b2           2ac cos C                                                                                1      cos
                                                                                                                   1
                                                                                                               sin 2
                                      2            2             2
                                                                                                         5.
                                  a             b            c                                                                                 2
               cos C
                                               2ab
                                                                                                                   1                    1      cos
                                                                                                         6.    tan 2
3.        Luas segitiga sembarang                                                                                                       1      cos

                                               1
                                   L           2
                                                         alas                  tinggi




                                                                                                      Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                        23
http://mathzone.web.id

 G.               Rumus Trigonometri untuk Hasil                                                       H.          Rumus Jumlah dan Selisih Sinus
                  Kali Sinus dan Cosinus                                                                           dan Cosinus
                                                                                                                                                   P         Q             P       Q
1.    2 sin           cos           sin (                 )           sin (            )              1.   sin P     sin Q        2 sin                          cos
                                                                                                                                                        2                      2
2.    2 cos              sin        sin (                 )           sin (            )
                                                                                                                                                    P        Q             P       Q
                                                                                                      2.   sin P     sin Q        2 cos                           sin
3.    2 cos              cos             cos (                    )     cos (                   )                                                        2                     2
4.         2 sin         sin            cos (                 )        cos (               )                                                        P        Q             P       Q
                                                                                                      3.   cos P        cos Q         2 cos                       cos
                                                                                                                                                        2                      2
                                                                                                                                                    P        Q             P       Q
                                                                                                      4.   cos P        cos Q          2 sin                      sin
                                                                                                                                                         2                     2




                                                                              Contoh Soal
1.        Dalam segitiga ABC, a, b, dan c adalah sudut-                                                    Jawab:
          sudutnya. Jika tan a                   3
                                                      dan tan b                 4
                                                                                    , maka                    A B 90°
                                                 4                              3
                                                                                                              sin (A B) 5a
          sin c       . . . .
                                                                                                               cos2 (A B) 1                        sin2 (A        B)
                                                              24                                                          1                        (5a)2
          A.      1                              D.
                                                              25                                                          1                        25a2
                   24                                                                                              cos (A        B)            1        25a2
          B.                                     E.       1
                   25                                                                                                                     2                                    4
                                                                                                                sin A sin B               5
                                                                                                                                                    2 sin A sin B              5
                   7
          C.                                                                                                                                                                   4
                   25                                                                                                     cos (A              B)        cos (A        B)       5
                                                                                                                                                                               4
          Jawab:                                                                                                                      1       25a2           cos 90°           5
             a b               c    180°              c           180°        (a           b)                                                       4
                                                                                                                                  1 25a2       0    5
                sin c          sin (180° (a                   b)) sin(a b)                                 Kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh,
                               sin a · cos b                  cos a · sin b                                                                                              9
                                                                                                                            16                         9
                tan a           3        sin a            3,      cos a            4                       1    25a2        25
                                                                                                                                      25a2             25
                                                                                                                                                                 a2     252
                                4                         5                        5
                                                                                                                                                   3
                tan b           4        sin b            4,          cos b        3                                                  a            25
                                                                                                                                                                           Kunci: B
                                3                         5                        5
          sehingga:                                                                                   3.   Untuk 0°  x    360°,                    himpunan penyelesaian
                sin c          3    3        4    4                                                        2 sin 2x 1 adalah . .                   . .
                               5    5        5    5
                                                                                                           A. {x|30° x 15°}
                                9       16       25               1
                               25       25       25                                                        B. {x|x 45°} {x|x                       225°}
                                                                               Kunci: E                    C. {x|15° x 75°}                        {x|195° x          225°}
2.        Pada suatu segitiga ABC yang siku-siku di C, dike-                                               D. {x|75° x 195°}
                                                      2                                                    E. {x|15° x 75°}
          tahui bahwa sin A sin B                     5
                                                          dan sin (A               B)           5a.
          Nilai a adalah . . . .                                                                           Jawab:
                     1                                        5                                            2 sin 2x       1
          A.        5
                                                 D.           3                                                           1
                                                                                                               sin 2x     2
                     3                                        3
          B.                                     E.
                    25                                        5                                                sin 2x     sin 30°
                   1
          C.      25                                                                                                      sin 150°

               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     24
http://mathzone.web.id
            2x        30° k · 360°                                                                                                 1
                                                                                                                             2 ·   2
                                                                                                                                                cos (                    )           cos (           )
            2x        15° k · 180°
                                                                                                                                    1           cos (   )                            cos (           )
            2x        150° k · 360°
                                                                                                                  cos (             )           1 cos (                              )
            2x        75° k · 180°
                                                                                                                cos(                )           1      cos(                           )
     HP          {x       15°       x         75°}      {195°            x       225°}
                                                                                                                cos(                )                cos(                        )
                                                                             Kunci: C                                                                    1
                                                                                                                                                1        2
                                                                                                                                                                 3               1
                                                                                                                                                                                              1
4.   Bentuk   3 cos x sin x, untuk 0                                 x       2 dapat                                                                 1       3                    3
                                                                                                                                                     2                           2
     dinyatakan sebagai . . . .                                                                                                                 2
                                                                                                                                                3
                                                                                                                                                     3           1                                Kunci: E
                                                                                 7
     A.      2 cos            x                   D.    2 cos            x
                                        6                                         6                   6.   f(x)           cos x
                                                                                                                       3 sin x 3 mempunyai nilai mak-
                                                                                                           simum m dan minimum n maka nilai mn . . . .
                                    11
     B.      2 cos x                              E.    2 cos            x
                                     6                                           6                         A.         8                                      D.          2

                                        11                                                                 B.         5                                      E.              2
     C.      2 cos            x
                                         6                                                                 C.          5
     Jawab:                                                                                                Jawab:
     Misalkan                 3 cos x               sin x        r cos (x                      )           f(x)           y cos x               3 sin x                  3
                                                  2                                                        a          1, b              3, c             3
     r           a2           b2              3        ( 1)2             3       1        2
                                                                                                           ymaksimum                            a2           b2              c
                      b            1
     tan                                                                                                                                             2                           2
                      a            3                                                                                                            1                        3                3
     Nilai tan yang bernilai negatif berada di Kuadran II
     dan Kuadran IV.                                                                                                                            1        3        3

     Sehingga:                                                                                                                                  4        3
     tan      (tan 30°)                        tan 150°              (tan 210°)                                                         2            3       5
     tan 330°                                                                                              ymaksimum                    m            5

                                   5              7         11                                                                              2                        2
                                                                                                           yminimum                     1                    3                   3
                          6         6              6         6
                                                                                                                                     1 3                 3
     Jadi,        3 cos x                   sin x      2 cos         x
                                                                             6                                                      2 3
                                                                             7                                                     1
                                                       2 cos         x                                     yminimum                n 1
                                                                              6
                                                                             Kunci: A                      Nilai mn                5 · 1 = 5
                                                                                                                                                                                                  Kunci: B
                                                                             1       3 dan
5.   Jika        dan          sudut lancip, cos (                    )       2
                                                                                                      7.
                                               cos(                      )                                        2
                                    1
     cos         cos                2
                                        , maka cos(                      )           . . . .
                                                                                                                  3
                                                                 1                                                                                       2
     A.      2            3                       D.    1        2
                                                                     3
                                                                                                                                                         3
                      1                                 2                                                                                                                5
     B.     1         3
                              3                   E.    3
                                                             3           1
                                                                                                                            6                                            3
     C.      3        2 3
                                                                                                                2
     Jawab:
     2 cos  cos                         cos (           )    cos (                    )                    Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar
                                                                                                           di atas adalah . . . .


                                                                                                   Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                                       25
http://mathzone.web.id
                                                                               •    Untuk x        0, y       3
          A.    y    sin     2x
                                       3                                                  3       2 cos (0
                                                                                                  1
          B.    y    cos     2x                                                     cos                   3
                                        6                                                         2

          C.    y    2 cos        x
                                           3                                                      6
                                                                                        2
                               x                                               •    k          1 (Dari grafik, 2 gelombang                       2 )
          D.    y    2 sin                                                              2
                                        3
                                                                               Jadi fungsinya:

          E.    y    2 cos        x
                                           6                                   y    2 cos     1 x
                                                                                                          6
          Jawab:
          Grafik tersebut berbentuk fungsi cosinus dengan                                     x
                                                                               y    2 cos
          A 2. Jadi dapat ditulis:                                                                    6
          y A cos (kx        )                                                                                                       Kunci: D
          y 2 cos (kx       )




                                                                 Soal-Soal Ujian Nasional
                                                                  oal- oal


1.    Luas segitiga ABC adalah (3   2 3) cm2. Panjang                          A.   {60 x 180}
      sisi AB      (6  2 3) dan BC        7 cm. Nilai                          B.   {x 60 atau x 180}
      sin (A C) adalah . . . .                                                 C.   {0 x 60 atau 300              x       360}
           1                          7                                        D.   {0 x 60 atau 300              x       360}
      A.                      D.
           7                      6    4 3                                     E.   {60 x 180}
           4                      1     3
      B. 7 3                  E.                                          5.   Batas-batas nilai p agar persamaan
                                     7
           1                                                                   p sin x (p 1) cos x p 2
      C.
           2                                                                   dapat diselesaikan adalah . . . .
2.    Diketahui sin x                  8 ,   0      x   90                     A. p      1 atau p 3
                                      10
      Nilai cos 3x cos x . . . .                                               B. p 1 atau p 3
             18                   6                                            C. p      3 atau p 1
      A.                    D.                                                 D.    1 p 3
             25                  25
              84                 12                                            E. 1 p 3
      B.                    E.
             125                 25
              42                                                          6.   Nilai dari cos BAD pada
      C.
             125                                                               gambar berikut adalah . . . .                         D
                 2 tan x                                                             17              30
3.    Bentuk             ekuivalen dengan . . . .                              A.               D.                                       3
               1 tan2 x                                                              33              34                    6                         C
                                                                                     17              33
      A.        2 sin x                        D.   cos 2x                     B.               E.                                           3
                                                                                     28              35
                                                                                                                                 4
      B.        sin 2x                         E.   tan 2x                           3                                A                          B
                                                                               C.
      C.        2 cos x                                                              7
                                                                          7.   Diketahui PQR dengan PQ 6 cm, QR 4 cm,
4.    Himpunan penyelesaian
                                                                               dan PQR 90°. Jika QS garis bagi PQR, maka
      3 cos (360 x)° 2 sin2 x° untuk 0                       x     360
                                                                               panjang QS . . . .
      adalah . . .

               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     26
http://mathzone.web.id
                   12                                     5
     A.            10
                         2 cm                     D.      6
                                                               2 cm                               A.            0, 6 , 56                       D.       0, 6 , 56 , 1 2 , 2
                                                                                                                                                                       1


                   12
     B.             5
                         2 cm                     E.      6 2 cm                                  B.        {0, , 2 }                           E.           0, 3 , 56 ,
                                                                                                                                                                1              , 2

                   24
     C.            5
                         2 cm                                                                     C.            0, 6 , 56 ,      , 2

                                                    8 .                                      13. Jika panjang sisi-sisi ABC berturut-turut                                   adalah
8.   Diketahui sin a cos a                          25
                      1                1                                                         AB     4 cm, BC        6 cm, dan AC                                          5 cm,
         Nilai                                     . . . .
                    sin              cos                                                         sedangkan      BAC          ,  ABC                                           , dan
                    3                                     3                                        BCA     , maka sin     : sin : sin                                        . . . .
     A.                                           D.
                   25                                     5                                      A. 4 : 5 : 6             D. 4 : 6 : 5
                    9                                     15                                     B. 5 : 6 : 4             E. 6 : 4 : 5
     B.                                           E.
                   25                                      8                                     C. 6 : 5 : 4
                   5
     C.                                                                                                                                         4                                     3
                   8                                                                         14. Diketahui cos (x                      y)       5    dan sin x sin y                 10   .
9.   Persamaan fungsi pada gambar grafik di bawah                                                 Nilai tan x tan y                    . . . .
     adalah . . . .                                                                                             5                                        3
               y                                                                                  A.                                            D.
                                                                                                                3                                        5
           1                                                                                                    4                                        5
                                                                                                  B.                                            E.
                                                                                                                3                                        3
     1    2
     2                     45        105    165        225 285         345                                      3
                                                                                  x               C.
                   15       75        135     195      255      315     360                                     5
           O
                                                                                             15. Persamaan grafik fungsi di bawah adalah . . . .
           1
                                                                                                        y
     A.        y        2 sin (3x           45)°
     B.        y          2 (3x        45)°
     C.        y        sin (3x        45)°
     D.        y        sin (3x        60)°
                                                                                                                                                                         x
     E.        y        2 cos (3x           45)°                                                    O                                       2        5
                                                                                                                  6       3        2            3        6

10. Himpunan penyelesaian
                                                                                                  A.        y         1   sin 3x                D.       y      1     3 sin x
    sin (x 20°) sin (x 70°) 1                                   0
                                                                                                                                   x                                            x
    untuk 0° x 360° adalah . . . .                                                                B.        y         1   sin      3            E.       y      1      3 sin    3
    A. {x| 0° x 70° atau 160°                                   x     360°}                       C.        y         sin (3x      3)
     B.        {x| 25°           x     70° atau 135° x                160°}
                                                                                             16. Jika a sin x                 b cos x           sin (30°            x) untuk setiap
     C.        {x| x        70° atau x ³ 160°}
                                                                                                  x, maka a 3                      b        . . . .
     D.        {x| 70°           x     160°}
                                                                                                  A.         1                                  D.       2
     E.        {x| 20°           x     110°}                                                      B.         2                                  E.       3
11. Himpunan penyelesaian persamaan                                                               C.        1
     2 3 cos 2x 4 sin x cos x 2                                                              17. Diketahui segitiga ABC dengan AC 5 cm,
     dengan 0 x 2 adalah . . . .                                                                 AB 7 cm, dan BCA 120°. Keliling segitiga
     A.            13    , 5 , 4
                               1
                                               D.         3    , 5 , 13                          ABC . . . .
                    6      6                              4      6   12
                                                                                                 A. 14 cm             D. 17 cm
                   3    , 3 , 6
                              1                           3    , 7 , 13                          B. 15 cm             E. 18 cm
     B.            2      4                    E.         4      4   12
                                                                                                 C. 16 cm
     C.            12
                        , 34 , 13
                                12                                                           18. Diketahui A adalah sudut lancip
12. Himpunan penyelesaian cos x                                 sin x         1       0                                   x        1
                                                                                                      1
    untuk 0 x 2 adalah . . . .                                                                    cos 2 A                              . Nilai sin A adalah . . . .
                                                                                                                              2x


                                                                                          Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                        27
http://mathzone.web.id
                                                                                                      A.       y    2 sin (3x 45)°
                  x2   1
    A.                                                  D.        x2           1                      B.       y    2 sin (3x 15)°
                    2x
                    x                                                                                 C.       y    2 sin (3x 45)°
                                                                  x        1
    B.                                                  E.                                            D.       y   2 sin (3x 15)°
                  x2               1                                   x
                                                                                                      E.       y   2 sin (3x 45)°
    C.            x2           1                                                                  24. Himpunan            penyelesaian         pertidaksamaan
19. Persamaan grafik di bawah adalah . . . .                                                          2 sin 2x°   3 0 untuk adalah . . . .
                           y                                                                          A. {x | 15 x 75 atau 195 x 255}
                                                                                                      B. {x | 30 x 60 atau 210 x 240}
                      2
                                                                                                      C. {x | 60 x 120 atau 240 x 300}
                                                                                                      D. {x | 105 x 165 atau 285 x 345}
                                                                                         x            E. {x | 120 x 150 atau 300 x 330}
                                                                 3
              2       O                2                          2        2
                                                                                                  25. Nilai x yang memenuhi          persamaan
                       2
                                                                                                      2 cos x° 2 sin x°               2 untuk 0           x       360
                                                                                                      adalah . . . .
    A.        y            2 sin x                  2
                                                                                                      A. 15 atau 255                  D.   105 atau 345
                                                                                                      B. 45 atau 315                  E.   165 atau 285
    B.        y            sin 2 x              2                                                     C. 75 atau 375
    C.        y            2 sin x              2                                                 26. Turunan pertama dari fungsi f(x) cos3 2x adalah
    D.        y            sin x                                                                      f (x) . . . .
                                            2
    E.        y        2 sin (2x                    )                                                 A. 6 cos2 2x sin 2x D.        3 cos 2x sin 4x
                                                                                                                 2
                                                                                                      B.    3 cos 2x sin 2x E.      6 cos 2x sin 4x
20. Himpunan penyelesaian persamaan                                                                   C. 3 cos 2x sin 4x
    sin x°     3 cos x°                                 2 untuk 0                  x    360       27. Diketahui segitiga PQR dengan PQ                        12 cm,
    adalah . . . .                                                                                    PR 8 cm dan QR 4 7 cm. Jika                              adalah
    A. {15, 285}                                        D.     {165, 255}                             sudut QPR, nilai tan    . . . .
    B. {75, 165}                                        E.     {195, 285}                                      1
                                                                                                      A.       3
                                                                                                                   3                  D.       3
    C. {105, 195}
                                                                                                               1   3
                                                                                                      B.       2                      E.   2 3
21. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB    6 cm,                                                               2
                                                                                                      C.       3
                                                                                                                   3
    AC   10 cm, dan sudut A     60°. Panjang sisi
    BC . . . .                                                                                                                   3                        1
                                                                                                  28. Diketahui sin A            5
                                                                                                                                     dan cos B            2
                                                                                                                                                              dengan
    A. 2 19 cm           D. 2 29 cm                                                                   0° A 90°, 90° B 180°.
    B. 3 19 cm           E. 3 29 cm                                                                   Nilai dari cos (90° A B) . . . .
    C.        4 19 cm                                                                                          4    5 3                    3        8 3
                                                                                                      A.                              D.
                                                                                                                   10                              10
22. Nilai tan 75°                      tan 15°               . . . .
                                                                                                               4    3 3                    3        8 3
    A.        0                                         D.                                            B.                              E.
                                                               2 3                                                 10                              10
    B.        1                                         E.     4                                               4    3 3
                                                                                                      C.
    C.            3                                                                                                10

23. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah . . . .                                            29. Persamaan grafik trigonometri pada gambar
                                                                                                      adalah . . . .
              y
                                                                                                               y
         2
                                                                                                           2
                                                                                              x
         0            15               45               75             105             135
                                                                                                                                                              x
         2                                                                                              O                   5         4              2
          2                                                                                                                  6         3




          Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  28
http://mathzone.web.id
                                                                                          A.    y         2   cos      (3x        20)°
    A.       y       2 sin     x
                                        6                                                 B.    y         2   cos      2(x        20)°
                                                                                          C.    y         2   cos      2(x        20)°
    B.       y       2 cos x
                                    6                                                     D.    y         2   cos      3(x        20)°
                                                                                          E.    y         2   cos      3(x        20)°
    C.       y       2 sin     x
                                        6                                            35. Himpunan penyelesaian dari
    D.       y       2 cos x                                                             2 cos x cos 10° 1 2 sin x sin 10°
                                    6
                                                                                         untuk 0° x 360° adalah . . . .
    E.       y       2 cos 2 x                                                           A. {0 x 70, 310 x 360}
                                        6
                                                                                         B. {0 x 60, 300 x 360}
30. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan                                                 C. {60 x 180, 320 x 360}
    cos 4x° 3 sin 2x° 2                                                                  D. {0 x 90, 240 x 320}
    untuk 0 x 180 adalah . . . .                                                         E. {30 x 120, 245 x 330}
    A. {x| 15 x 75}
    B. {x| 14 x 75}                                                                  36. Nilai x yang memenuhi persamaan
    C. {x| 15 x 45}                                                                        2 3 sin x               2 cos x  2 3
    D. {x| 15 x 45 atau 135 x 180}                                                        untuk 0°                x 360° adalah . . . .
    E. {x| 0 x 15 atau 75 x 135}                                                          A.    15 dan 140                               D.       60 dan 150
                                                                                          B.    45 dan 150                               E.       90 dan 150
31. Nilai x yang memiliki persamaan
                                                                                          C.    30 dan 140
      3 cos x sin x   2
    untuk 0° x 360° adalah . . . .                                                   37. Nilai sinus dari sudut C pada gambar berikut
    A. 75° dan 285°   D. 15° dan 345°                                                    adalah . . . .
                                                                                                              D
    B. 75° dan 345°   E. 15° dan 75°
                                                                                                                                     6
    C.       15° dan 285°
                                                                                                              3
                                                                                                                               2 3
                                                                 10       6 cm,
32. Diketahui segitiga PQR dengan PQ                              3
                                                                                                                                                            C

    QR 10 cm dan sudut P 60°. Sudut R                                      ....                                                               4
                                                                                                                         60°
    A. 45°             D. 90°                                                                                     A              B
    B. 55°             E. 105°                                                                   1                                                2
                                                                                          A.     3
                                                                                                      3                                  D.
    C. 75°                                                                                                                                        3
                                                                                                 1                                                5
33. Diketahui tan                  p, maka cos 2                 . . . .                  B.     6
                                                                                                      11                                 E.
                                                                                                                                                  6
                                                             2                                   1
                                                  (1    p)                                C.          11
    A.       1       p2                     D.                                                   5
                                                  1     p2
                                                                                     38. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A dan B
                           2                      1    p2                                                                1                              2
    B.       2(1      p)                    E.                                            lancip, sin A                  2
                                                                                                                             dan sin B                  7
                                                                                                                                                                7.
                                                  1    p2
                                                                                          Nilai cos C                  . . . .
                 1    p2
    C.                                                                                    A.          3   21                             D.        1    7
             (1       p )2                                                                           14                                           14
                                                                                                      5                                            1
                                                                                          B.         14
                                                                                                          7                              E.       14
                                                                                                                                                        21
34. Persamaan grafik pada gambar di bawah ini
                                                                                                      1
    adalah . . . .                                                                        C.         14
                                                                                                          7
             y
                                                                                     39. Persamaan grafik fungsi pada gambar berikut ini
                                                                                         dapatydinyatakan sebagai . . . .
         2

                                             80                                                  6
                                                                      x                          3
                      20           50                  110                                                                   75
         0                                                                                                                                                      x
                                                                                                 0                30                     120           165
                                                                                                 3
         2                                                                                       6



                                                                                  Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                    29
http://mathzone.web.id
    A.    y        6   sin 2(x 30)°                                                   45. Himpunan penyelesaian persamaan
    B.    y        6   sin (2x 30)°                                                                                                          1    3
                                                                                          sin (x       210)°       sin (x    210)°           2
    C.    y        6   cos (2x 30)°                                                       untuk 0° x 360° adalah . . . .
    D.    y        6   cos 2(x 40)°                                                       A. {30°, 210°}    D. {300°, 330°}
    E.    y        6   cos (x 30)°                                                        B. {210°, 300°}   E. {300°, 360°}
                                               cos x                                      C. {210°, 330°}
40. Turunan pertama f(x)                    sin x tan x
                                                        adalah f (x).
                                                                                      46. Grafik fungsi trigonometri di bawah mempunyai
            1
    Nilai f 4                ....                                                         persamaan . . . .
    A.    8                                 D.       2                                             2
    B.    4                                 E.       4
    C.    2
                                                                                                   1
41. Himpunan                penyelesaian                 pertidaksamaan
    2 cos 2x                3        0 dalam interval                       x                                45       135        225        315         405
    adalah . . . .
                       11                    1      1                   11                A.   y       cos (x       45)°     1
    A.        x|       10
                                 x          10
                                                 , 10           x       10                B.   y       cos (x       90)°     1
              x|       10        x           1     1
                                                 , 11           x       10
    B.                 11                   11                          11                C.   y       cos (x       90)°     1
              x|       11        x           1      1
                                                 , 12           x       11                D.   y       sin (x      45)°     1
    C.                 12                   12                          12
                                                                                          E.   y       sin (x      45)°     1
              x|       12        x           1      1
                                                 , 13           x       12
    D.                 13                   13                          13
                                                                                      47. Nilai x yang memiliki 2 cos x 2 sin x 2 untuk
              x|       13        x           1      1
                                                 , 14           x       13
    E.                 14                   14                          14                0° x 360° adalah . . . .
                                                                                          A. 90° dan 180°         D. 180° dan 360°
42. Himpunan                    penyelesaian                    persamaan
                                                                                          B. 90° dan 270°         E. 270° dan 360°
      3 cos x° sin x°                      1     0 untuk 0              x       360
                                                                                          C. 180° dan 270°
    adalah . . . .
    A. {120, 150}                           D.       {150, 300}                                              3    dan tan          4,        dan
                                                                                      48. Jika sin           5                     3
                                                                                                                                                          adalah
    B. {120, 300}                           E.       {180, 300}
                                                                                          sudut lancip, maka nilai sin (                     )        sin (      )
    C. {150, 270}
                                                                                          adalah . . . .
43. Segitiga ABC dengan AC                           BC     6 dan AB             3.            9
    Nilai sin A° . . . .                                                                  A.   25
                                                                                                                            D.    1

               1                                                                               16                                 32
    A.                                                     C                              B.   25
                                                                                                                            E.    25
              15
               2                                                                               18
    B.                                                                                    C.   25
              15                                     6              6
           4       15                                                                 49. Jika sin x         cos x     p, maka sin x cos x                    ....
    C.    15
                                                                                               1 (p                               1 (1            2
           2                                                                              A.   2
                                                                                                            1)              D.                   p )
    D.    15
                   15                            A         3            B                                                         2

          1                                                                               B.   1 (1         p)              E.    1 p2
    E.    4
               15                                                                              2                                  2

                                                                                          C.   1 ( p2        1)
                                     2                                                         2
44. Diketahui tan                    3
                                         ; 0°             90°
    Nilai cos2 2                sin2 2         . . . .                                50. Dalam segitiga ABC diketahui AB          8 cm,
                                                                                          BC   11 cm, dan CA     5 cm. Jika     sudut di
           5                                       119
    A.                                      D.                                            hadapan sisi BC, maka 10 sin     . . . .
          13                                      169
           7                                       131                                    A.       2 21                     D.         21
    B.                                      E.
          13                                      169                                              4
                                                                                          B.       5
                                                                                                                            E.    2 21
           81
    C.                                                                                         1       21
          169                                                                             C.   2




         Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  30
http://mathzone.web.id
                   1                                              x          1                                      1
51. Jika           2
                                  x              dan sin                     3       maka                                                                  t
                                                                                                    A.                                           D.
    tan x              . . . .                                                                                 1           t   2
                                                                                                                                                      1        t2
                                                            1     2
    A.     2 2                                    D.        4                                                      1                                      t2
                                                                                                    B.                     2                     E.
           2                                                3                                              1           t                              1           t
    B.     3
                   2                              E.        4
                                                                  2

    C.     1       2                                                                                                t
           3                                                                                        C.
                                                                         1
                                                                                                               1           t2
52. Jika sin x cos x                         a untuk 0            x      2
                                                                                 , maka
    tan 2x . . . .                                                                             57. Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi
                       a                                         2a                                 persamaan                      3 cos x       sin x                2 adalah . . . .
    A.                      2                     D.                     2
               (1          a )                              (1        4a )                          A.    75° dan 285°                           D.   15° dan 345°
                                                                                                    B.    75° dan 345°                           E.   15° dan 75°
                       a
    B.                                            E.    2a2                                         C.    15° dan 285°
               (1          a2 )
                                                                                               58. Jika x memenuhi 2 sin2x                            7 sinx             3       0 dan
                       2a
    C.                                                                                               0     x                       maka cos x         . . . .
               (1          4a2 )                                                                                           2
                                                                                                               1        3                             1       2
                                                                                                    A.         3
                                                                                                                                                 D.   2
53. Jika dari segitiga ABC diketahui AC 8,17 cm,
                                                                                                               1                                      1       3
    BC 10 cm dan sudut A 60°, maka sudut C                                                          B.         2
                                                                                                                                                 E.   2
    adalah . . . .                                                                                  C.     1
                                                                                                           2
    A. 105°                 C. 55°
                                                                                               59. Penyelesaian                        2 cos 3x° - 1 0
    B. 95°                  D. 45°
                                                                                                   pada 0° x                            180° adalah . . . .
    C. 75°
                                                                                                   A. x° 60°;                          x 300°
                                    9
54. Pada ABC diketahui cos (B C)   40
                                      . Jika                                                       B. x° 60°;                          100° x 180°
    panjang AC 10 cm, AB 8 cm, maka panjang                                                        C. 0° x°                            20°; 100° x 140°
    sisi BC . . . .                                                                                D. 20° x°                            100°; 140° x 180°
    A.     8 2 cm                                 D.    11 2 cm                                    E. 0° x°                            20°; 140°    x 180°
    B.     9 2 cm                                 E.    12 2 cm                                60. Bentuk                      2 cos x           6 sin x dinyatakan ke
    C.     10 2 cm                                                                                  dalam bentuk k cos (x                                      ), 0          x     2
55. Gambar di bawah adalah grafik fungsi . . . .                                                    adalah . . . .
                                                                                                           2 2 cos x                         1
               y                                                                                    A.                                       3

           4                                                                                               2 2 cos x                         7
                                                                                                    B.                                       6
                                      180°
                                                                                                           2 2 cos x                         4
                        90°                            360°                                         C.                                       3

           4                                                                                                                                 7
                                                                                                    D.     4 2 cos x                         6
    A.     y           sin 4x                     D.    y        sin x           4                                                           4
                                                                                                    E.     4 2 cos x                         3
    B.     y           4 sin x                    E.    y        sin x           4
           y           1 sin x
    C.                 4                                                                       61. Titik-titik sudut segitiga samakaki ABC terletak
                                                                                                   pada lingkaran berjari-jari 3 cm. Jika alas
56. Jika tan                           2t         (sudut lancip), maka
                                  1         t2                                                      AB         2 3 cm maka tan B                          . . . .
                                                                                                               1(       2               3)
    cos    1
                       sama dengan . . . .                                                          A.         3
                                                                                                                                                 D.       2           2 3
           2
                                                                                                           1(       2                  3)
                                                                                                    B.     2                                     E.   3 2                3
                                                                                                    C.         2                   3


                                                                                            Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                       31
http://mathzone.web.id

                                                                             Analisis
62. Jika          adalah sudut lancip yang memenuhi

          tan 2         4        0 , maka cos             . . . .
                      tan                                                      Soal tentang trigonometri paling banyak
      A.      1   2                                                            keluar dalam ujian nasional. Tahun 2000
              2
                                                                               sebanyak 5 soal, tahun 2001 sebanyak 7
              1   5
      B.      5                                                                soal, tahun 2002-2003 sebanyak 4 soal,
      C.      1   3                                                            tahun 2004 sebanyak 6 soal.
              3
              1   6
      D.      2
               1
      E.      3 6                                                              Pahami aturan sinus dan cosinus. Ingat
                                                                               kembali rumus penjumlahan dan selisih
                                                                               dua sudut begitu juga dengan penjum-
                                                                               lahan dan selisih sinus dan cosinus.




      7             DIMENSI TIGA


 A.               Menggambarkan Bangun Ruang                            2.   Sudut surut adalah sudut pada gambar yang
                                                                             dibentuk oleh garis frontal horizontal arah ke kanan
                                                                             dengan garis ortogonal arah ke belakang yang
1.    Bidang gambar adalah bidang datar yang akan                            berpotongan.
      digunakan untuk bangun ruang.
2.    Bidang frontal adalah bidang gambar yang sejajar
      dengan bidang gambar lain.
3.    Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus                   C.                       Volume Bangun Ruang
      terhadap bidang frontal.
              Bidang ortogonal terdiri atas bidang ortogonal
              vertikal dan bidang ortogonal horizontal.
                                                                        No. Bangun          Volume                                        Keterangan
              Bidang ortogonal vertikal adalah bidang                        Ruang
              ortogonal yang menghadap ke kiri atau ke
              kanan.                                                    1.   Prisma        Luas alas                  t     t   tinggi
              Bidang ortogonal horizontal adalah bidang
                                                                        2.   Tabung              r2           t                  22
                                                                                                                                 7
                                                                                                                                         3,14, r     jari-jari, t   tinggi
              ortogonal yang menghadap ke atas atau ke
                                                                                       1    Luas alas                     t t
              bawah.                                                    3.   Limas     3
                                                                                                                                tinggi
                                                                                              1           2                      22
                                                                        4.   Kerucut          3
                                                                                                      r t                        7
                                                                                                                                         3,14, r     jari-jari, t   tinggi


B.                       Jarak Dan Sudut                                5.    Bola               4
                                                                                                 3
                                                                                                      r3                         22
                                                                                                                                 7        3,14, r      jari-jari

                                                                        6.   Kubus                   s3                     s    sisi atau rusuk
1.    Perbandingan proyeksi
                                                                        7.    Balok          p        l           t         p   panjang, l         lebar, t     tinggi
           Panjang garis ortogonal pada gambar
            Panjang garis ortogonal sebenarnya


             Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     32
http://mathzone.web.id


                                                                  Contoh Soal
1.   Rusuk TA, TB, TC pada bidang empat T·ABC                                        •    Perhatikan ATD!
     saling tegak lurus pada T.                                                                    AT   2
                                                                                          tan                               2          Kunci: A
     AB AC 2 2 dan AT 2. Jika adalah sudut                                                         TD    2
     antara bidang ABC dan bidang TBC, maka                                    2.    Bidang V dan W berpotongan tegak lurus
     tan    . . . .                                                                  sepanjang garis g. Garis l membentuk sudut 45°
                                                    3                                dengan V dan 30° dengan W. Sinus sudut antara
     A.    2                            D.
                                                   2                                 l dan g adalah . . . .
                                                    6                                      1
     B.    3                            E.                                           A.                                D.   1    3
                                                   2                                       2                                3
            2
     C.                                                                                      2                               2
           2                                                                         B.                                E.
                                                                                            2                               3
     Jawab:
                                    T                                                        3
                                                                                     C.
                                                                                            2
                          2

                                                                                                       Q         R
                          2 2
                A                                  C                                             30°            W


                    2 2                 D
                                                                                                                        g
                                B                                                                 V        45° P

     •    AB        AC        2 2
                                                                                                                   l
          AT        2
     •    Rusuk TA     TB    TC                                                      Jawab:
             TA    bidang TBC maka TA                               TD
                                                                                     •    QR // garis g
          sehingga
            ATD siku-siku di T                                                       •    sudut antara garis l dan g adalah                 PQR.

     •    Perhatikan            ATD!                                                 •         PQR adalah segitiga samasisi
                                                                                                PQR 60°
          TA        TB          TB          AB 2           AT 2                                sin 60°      1   3                      Kunci: C
                                                                                                            2
                                            (2 2)2           (2)2
                                                                               3.    Pada limas beraturan T·ABCD, AT     3a 2 dan
                                        2
                                                                                     AB 3a. Luas irisan bidang datar melalui A dan
          TA        TC          TC      2                                            tegak lurus TC dengan limas adalah . . . .
     •    Perhatikan            TBC!                                                 A.    a2 3                        D.   6a 2 3

          BC          TB 2       TC 2          22           22      2 2              B.    3a 2 3                      E.   6a 2 6
          BD         1 BC        1 (2     2)           2                             C.    3a 2 6
                     2           2

     •    Perhatikan            TBD!

          TD          TB 2          BO2            4        2        2




                                                                          Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir     33
http://mathzone.web.id
   Jawab:                                                                         1    2a   6     2a 2
                                   T                                              2    3
                                                                                  3 a2 2        3a2 3
                                                                                  2
                                                                                                                            Kunci: B
                                                   E
                               F                                           4.   Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang W
                   3a 2
                                   H                                            membentuk sudut lancip dengan bidang V. Jika W
                          D
                                           G
                                                        C                       memotong V menurut suatu garis s, maka proyeksi
                                                                                g pada W . . . .
                                   U                                            A. tegak lurus pada V
                                                                                B. tegak lurus dengan s
                A             3a           B
                                                                                C. bersilang tegak lurus dengan g
   Perhatikan             TAC!                                                  D. sejajar dengan V
                                                                                E. sejajar dengan s
   AC         AB 2             3a 2
                                                                                Jawab:
   AC         AT     CT
                     3a 2
         TAC adalah segitiga samasisi                                                                       g
   sehingga:                                                                                                        V
                                                                                                        P
   Garis tinggi Garis bagi Garis berat.
   Titik H merupakan titik berat.                                                                  O
   Sehingga:
        TU : HU 2 : 1                                                                                                   s

   FG // DB TH : HU 2 : 3
                                                                                                                W
                          2                    2                                                        O
               FG         3
                               DB              3
                                                       3a 2         2a 2
   Perhatikan irisan bidang datar (layang-layang)!
                                       C

                                                                                    Garis g     bidang W.
                          F                            G
                                       H                                            Bidang V dan W membentuk sudut
                                                                                    (      sudut lancip).
                                                                                    Garis s merupakan garis perpotongan bidang
                                                                                    V dan W.
                                       A
                                                                                    P merupakan titik tembus garis g pada bidang
                                                                                    V (titik P terletak pada garis g)
      AE      TU              TC 2         CF 2                                     Proyeksi titik O pada bidang V adalah O ,
                                                                                    sehingga
                          1 AC
             CF2          2                                                                      garis OO     bidang V
                          1                                                         Garis OO        bidang V dan garis s terletak
                          2
                                   3a 2
                                                                                    pada bidang V, maka
                          3a       2                                                         garis OO      garis s
                          2
                                                                                    Garis g tegak lurus bidang W dan garis s
                                           2                    2
              AE               3a 2                    3a   2                       terletak pada bidang W, maka
                                                       2
                                                                                                   garis g    garis s
                              18a2             9 a2                                 Sehingga diperoleh:
                                               2
                                                                                         garis g bidang OO P dan
                              27 a2            3a      6                                 garis O P pada bidang OO P maka
                               2               2
                                                                                         garis s     garis O P
   Luas layang-layang AGEF                                                          O P merupakan proyeksi garis g pada bidang
       1
       2
               diagonal 1              diagonal 2                                   W tegak lurus dengan s.
       1
                AE        FG                                                                                           Kunci: B
       2


           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
 34
http://mathzone.web.id
5.   Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang                  Jawab:
     rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C                                                                       H                G
                                                               AR         AF 2       FR 2                                        R
     pada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik S
                                                                                 2                   2
     adalah . . . .                                                        a 2              1a   2           E                       F
                                                                                            2                            S
          1a                                                                                                         D                        C
     A.   3
                3 cm        D.   a 2 cm                                   3 a2                                           a 2
          1a
                                                                          2
     B.   3
                   6 cm     E.   a 3 cm                                  1a 6                                A               a       B
          2a                                                             2
     C.   3
                   6 cm
                                                               AS        2 AR        2      1a   6       1a          6
                                                                         3           3      2            3
                                                                                                                                 Kunci: B



                                              Soal-Soal Ujian Nasional
                                               oal- oal

1.   Diketahui kubus ABCD.EFGH di mana titik P, Q        5.    Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
     dan R adalah titik pertengahan rusuk AD, BC, dan          Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis
     CG. Irisan kubus dengan bidang yang melalui P,            CF adalah . . . .
     Q, dan R berbentuk . . . .                                A.        20 cm                   D.          12 cm
     A. segi empat sembarang
     B. segitiga                                               B.        18 cm                   E.          8 cm
     C. jajargenjang                                           C.        14 cm
     D. persegi
     E. persegi panjang                                  6.    Pada kubus ABCD.EFGH, adalah sudut antara
                                                               bidang ACF dan ABCD. Nilai sin . . . .
2.   Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang rusuk
                                                                     1    3                              1       3
     alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak 12 2 cm.              A.    4                           D.      3
     Jarak A ke TC adalah . . . .                                    1                                   1
                                                               B.    3
                                                                          6                      E.      2
                                                                                                                 3
     A. 6 cm                D. 8 cm
     B. 6 2 cm              E. 8 6 cm                                1    2
                                                               C.    4
     C. 6 6 cm
                                                         7.    Prisma segi empat beraturan ABCD EFGH dengan
3.   Diketahui bidang segi empat beraturan T.ABCD              rusak 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong
     dengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan AB.           diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D dan TH
     Sudut antara TP dengan bidang alas adalah .               sama dengan . . . .
     Nilai tan     . . . .                                           12    41 cm                         36      41 cm
                                                               A.    41                          D.      41
                                 1   3
     A.   2 2               D.   2                                   24
                                                               B.    41
                                                                           41 cm                 E.      2 41 cm
          2    2                 1   3
     B.   3                 E.   3                                   30
                                                               C.    41
                                                                           41 cm
     C.   1
                                                         8.    Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
4.   Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.              Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah ,
     Panjang rusuk tegak  11 cm dan panjang rusuk              maka sin       . . . .
                                                                     1                                   1
     alas 2 2 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBC              A.    4
                                                                          2                      D.      2
                                                                                                                 3
     adalah , maka cos       . . . .                                 1    2                              1       6
                                                               B.    2                           E.      2
          3    11                1   3
     A.   11
                            D.   2                                   1
                                                               C.    3
                                                                          3
          5                      8
     B.                     E.                           9.    Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas
          9                      9
                                                               6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus
          2    14
     C.   9                                                    sudut antara bidang TAB dan bidang ABC
                                                               adalah . . . .

                                                    Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                      35
http://mathzone.web.id
                                                                        A.   3 6 cm              D.    3 2 cm
              69                                138
    A.                               D.
              2                                 12                      B.   3 5 cm              E.   3 cm
              69                                138                     C.   3 3 cm
    B.                               E.
              6                                  6
                                                                    16. Diketahui limas T.ABC, TA         TB   5. TC    2,
              139
    C.                                                                  CA CB 4, AB 6. Jika           sudut antara TC dan
              24
                                                                        bidang TAB, maka cos           . . . .
10. Perhatikan gambar di bawah!                                               7                       13
                                                                        A.                    D.
     AT , AB dan AC saling tegak lurus di A. Jarak                           16                       16
    titik A ke bidang TBC adalah . . . .                                      9                       15
                                                                        B.                    E.
          5 6 cm                     T                                       16                       16
    A.
           4                                                                 11
                                                                        C.
          5 3 cm                                                             16
    B.                       5 cm
           3                                                        17. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus dari sudut
          5 2 cm                                     5 cm               antara bidang ABC dan bidang ACF adalah . . . .
    C.                           A                           C
           2                                                            A.   1       2           D.
                                                                             2                         2 2
          5 6 cm                          5 cm
    D.                                                                       2       2                 1   3
           3                                                            B.   3
                                                                                                 E.    3
    E.    5 2 cm                                      B
                                                                        C.       2
11. Pada kubus ABCD.EFGH, adalah sudut antara                       18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.
    bidang ADHE dan ACH. Nilai cos  . . . .                             P adalah titik tengah FG. Jarak titik P dan garis
    A.    1    3                     D.     1    2                      BD adalah . . . .
          2                                 3
          1                                 1                           A.   4 6 cm              D.    2 14 cm
    B.    3
               3                     E.     6
                                                 2
                                                                        B.   4 5 cm              E.    4 3 cm
          1    3
    C.    6                                                             C.   6 2 cm
12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm
                                                                    19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
    dan titik M adalah perpotongan diagonal-diagonal
                                                                        rusuknya 6 cm. Nilai sinus sudut antara CD dan
    AC dan BD. Jarak E ke garis GM adalah . . . .
                                                                        bidang ACH adalah . . . .
    A. 3 2 cm               D. 3 6 cm
                                                                             1       3                 1   6
                                                                        A.   3
                                                                                                 D.    3
    B.    3 3 cm                     E.     6 3 cm
    C.    4 3 cm                                                             1       3                 1   6
                                                                        B.   2                   E.    2
13. Panjang proyeksi garis EG pada bidang BDG                                1       2
                                                                        C.   2
    dalam kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm
                                                                    20. Pada kubus ABCD.EFGH diketahui P adalah titik-
    adalah . . . .
                                                                        titik tengah rusuk AE. Sudut antara bidang PFH
    A. 2 6 cm             D. 6 2 cm
                                                                        dan bidang BDHF adalah b. Nilai sin b . . . .
    B.    4 3 cm                     E.     3 10 cm                          1       6                 1   3
    C.                                                                  A.                       D.
          3 6 cm                                                             3                         3
                                                                             1       2                 1   6
14. Pada limas segi empat beraturan T.ABCD semua                        B.   2                   E.    6
                                                                             1       6
    rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan                          C.   4
    bidang ABCD adalah . . . .
                                                                    21. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
    A. 15°                 D. 60°
                                                                        rusuknya 4 cm dan titik P adalah titik potong EG dan
    B. 30°                 E. 75°
                                                                        FH. Jarak titik P dan bidang BDG adalah . . . .
    C. 45°                                                                   1                         1
                                                                        A.   3
                                                                                     3 cm        D.    3
                                                                                                           6 cm
15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm.                             2                         2
                                                                        B.   3
                                                                                     3 cm        E.    3
                                                                                                           6 cm
    P adalah titik tengah rusuk HE. Jarak titik P ke
                                                                             4       3 cm
    diagonal ruang AG . . . .                                           C.   3


         Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  36
http://mathzone.web.id
22. Diketahui limas beraturan T.ABC, AB 6 cm, dan               26. Suatu garis lurus mempunyai gradien 3 dan
    TA    9 cm. Sudut antara TA dan bidang TBC                      memotong parabola y 2x2 x 6 di titik (2, 4).
    adalah . Nilai tan      . . . .                                 Titik potong lainnya mempunyai koordinat . . . .
          7                               23                        A. (4, 2)              D. (3, 2)
    A.                         D.                                   B. (3, 1)              E. ( 4, 22)
         23                               7
                                                                    C. (7, 1)
          46                         7 23
    B.                         E.
         24                           23                        27. Ditentukan kubus ABCD.EFGH. Tangen sudut
          46                                                        antara CG dengan bidang BDG ialah . . . .
    C.
         12                                                              1       3
                                                                    A.   2                      H            G
23. Dari sebuah bidang empat ABCD diketahui
                                                                    B.       2              E            F
    BC     BD dan AB tegak lurus bidang BCD
                                                                         1       2
    (AB BCD), BC BD 3 2 dan AB 3. Sudut                             C.   2                      D            C
    antara bidang ACD dan BCD . . . .                               D.                      A            B
                                                                             3
    A.                         D.                                   E.       6
         6                           3
    B.                         E.
         5                           2
    C.
         4
24. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.
    Panjang proyeksi TA pada TBC adalah . . . cm.                        Analisis
    A.   53                          T
                                                                             Tahun 2000, soal tentang dimensi tiga
          4
          1                                                                  sebanyak 4 soal, tahun 2001 dan 2004
    B.   32
                                                                             keluar 3 soal, sedangkan tahun 2002,
         3    55
    C.                                                                       2003, dan 2005 keluar 2 soal.
                          cm




         4
                      8




         1    61
    D.   2                 D                       C

    E.       59       A                        B
                                   6 cm

25. Bidang empat beraturan ABCD.
    Sudut antara bidang ABC dan BCD adalah .
                                                                             Pelajari cara menentukan irisan bidang,
    Nilai tan    . . . .
                                                                             jarak antara titik terhadap garis pada
          1                            D
    A.                                                                       bidang, dan sudut antara garis pada
          3
    B. 2 2                                   C                               bidang.
    C.      2
         3                     A
    D.   2
              2
         2 2                               4 cm
    E.
          3                                            B




                                                           Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   37
http://mathzone.web.id


          8         STATISTIKA


A.                  Ukuran Pemusatan                                                          d.   Kuartil
                                                                                                                                                  N                  f1
                                                                                                                                                  4
                                                                                                        Kuartil bawah: Q1           L1                                        c
                                                                                                                                                           f1
1.    Data tunggal
                                         Jumlah semua nilai data                   xi                   di mana L1     Batas bawah kelas
      a.      Rata-rata ( x )                                                                                          kuartil bawah
                                              Banyak data                          n
      b.      Median adalah nilai tengah dari sekumpulan                                                           f1  Frekuensi kelas kuartil
              data (x) yang telah diurutkan dari data terkecil                                                         bawah
              atau sebaliknya.                                                                                     f1  Jumlah frekuensi sebelum
                                                                                                                       kelas kuartil bawah
                           xn        1
                   Me                          n ganjil                                                            N   Jumlah data ( f)
                                2
                                                                                                                    c  Interval kelas
                   Me      xn             xn        1         n genap
                                2          2                                                            Kuartil tengah Median Me Q2 (Lihat
      c.      Modus adalah data yang paling sering muncul.                                              median)
      d.      Kuartil adalah nilai yang membagi data terurut                                                                                  N                 f3
                                                                                                        Kuartil atas: Q3           L3         4                           c
              menjadi empat bagian yang sama banyaknya                                                                                                f3

           Bagian 1     Bagian 2               Bagian 3                 Bagian 4                        di mana L3           Batas bawah kelas kuartil
                      Q1                 Q2                       Q3
                                                                                                                             atas
      Data                                                                      Data
     minimum                                                                  maksimum                                 f3    Frekuensi kelas kuartil
      di mana Q1 kuartir bawah, Q2                                      kuartil tengah                                       atas
      (median), dan Q3 kuartil atas                                                                                    f3    Jumlah frekuensi sebelum
                                                                                                                             kelas kuartil atas
2.    Data berkelompok                                                                                                 N     Jumlah data ( f)
                                          xi        fi                                                                 c     Interval kelas
      a.      Rata-rata: x
                                           fi
              di mana xi            Titik tengah kelas-i
                      fi            Frekuensi-i

      b.      Median: Me             Q2        L2
                                                              N
                                                              2
                                                                   f2
                                                                        f2
                                                                             c            B.                 Ukuran Penyebaran
              di mana       L        Batas bawah kelas median
                            f        Frekuensi kelas median                              1.   Rataan kuartil       1
                                                                                                                       (Q1    Q3)
                                                                                                                   2
                           f2        Jumlah frekuensi sebelum
                                                                                                               1
                                      kelas median                                       2.   Rataan tiga      4
                                                                                                                   (Q1       2Q2        Q3)
                           N         Jumlah data ( f)                                    3.   Statistik lima serangkai
                           c         Interval kelas
                                                    f1                                                                         Q2
      c.      Modus: M0             L0                             c
                                               f1        f2                                                            Q1                 Q3
              di mana L0              Batas bawah kelas modus
                                                                                                                    Xmin                 Xmax
                      f1              Frekuensi kelas dengan
                                      frekuensi sebelum kelas modus
                                                                                         4.   Rentang (jangkauan) adalah selisih antara data
                           f2         Frekuensi kelas dengan
                                                                                              terbesar dan terkecil.
                                      frekuensi sesudah kelas modus
                            c        Interval kelas                                                R    Xmax – Xmin

           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     38
http://mathzone.web.id
5.   Hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3)                7.    Varians
     dengan kuartil pertama (Q1)
                                                                                                    1 n
         H Q3 – Q1                                                                 V     S   2           ( xi        x )2
                                                                                                    ni 1
6.   Simpangan kuartil adalah setengah kali panjang
                                                                       8.    Simpangan baku
     hamparan.
           Qd      1
                       H     1
                                  (Q3 – Q1)                                                                 1 n
                   2         2                                                     S         S2                  ( xi       x )2
                                                                                                            ni 1




                                                          Contoh Soal
1.   Umur rata-rata (rata-rata hitung) dari suatu kelompok                   Jawab:
     yang terdiri dari dokter dan jaksa adalah 40 tahun.                            4    20     5 40 6 70 8 a 10 10
     Jika umur rata-rata para dokter adalah 35 tahun                         x
                                                                                               20   40   70 a 10
     dan umur rata-rata para jaksa adalah 50 tahun,                                80        200   420   8a 100
     maka perbandingan banyaknya dokter dan                                  6
                                                                                                 140   a
     banyaknya jaksa adalah . . . .
                                                                             840        6a       800        8a
     A. 3 : 2                   D. 2 : 1
                                                                                        2a        40
     B. 3 : 1                   E. 1 : 2
                                                                                         a       20                                Kunci: D
     C. 2 : 3
     Jawab:                                                            3.    Pada ujian Bahasa Inggris yang diikuti oleh 40
                                                                             murid, rata-rata nilainya 32 dengan simpangan baku
     Misalkan: •            Rata-rata umur dokter x1
                                                                             25. Karena rata-rata terlalu rendah, maka nilai
                   •        Banyaknya dokter n1
                                                                             dikatrol, masing-masing nilai dikalikan dengan 2
                   •        Rata-rata umur jaksa x2                          kemudian dikurangi 10. Kesimpulan di bawah ini
                   •        Banyaknya jaksa n2                               yang benar adalah . . . .
            n1x1       n2 x2                  35n1        50n2               A. rata-rata nilai menjadi 64
     x                                40
              n1       n2                       n1        n2                 B.    rata-rata nilai menjadi 63 3
                                                                                                              4
                           40n1     40n2    35n1       50n2                  C.    simpangan baku tetap 25
                                     5n1    10n2                             D.    simpangan baku menjadi 50
                                                                             E.    simpangan baku menjadi 40
                                     n1       10
                                     n2        5                             Jawab:
                                                                                Jumlah nilai mula-mula 40 32                         1.280
                                  n1 : n2     10 : 5      2 : 1
                                                                                Simpangan baku (d) mula-mula
                                                           Kunci: D
                                                                                                 2( x       x )2
2.       Nilai Ujian Matematika                 Frekuensi                           d
                                                                                                        f
                        4                            20
                                                                                                   (x       32)2
                        5                            40                            25
                        6                            70                                          f
                                                                                   Jumlah nilai baru               (2 1.280)       (40    10)
                        8                             a
                                                                                                                   2.560 400
                       10                            10
                                                                                                                   2.160
     Dari tabel di atas, nilai rata-rata ujian Matematika                          Rata-rata baru ( xB ) :
     adalah 6, maka nilai a adalah . . . .
                                                                                              2.160
     A. 0                       D. 20                                                  xB                54
                                                                                                40
     B. 5                       E. 30
                                                                                   xB 2xA 10
     C. 10

                                                                  Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir        39
http://mathzone.web.id
                   Simpangan baku baru (dB)                                                  Misalkan:
                                 ( xB         xB )2                                          M0   Modus
                   dB
                                          f                                                  L1   Tepi bawah kelas modus
                                                                                             d1   Selisih nilai f modus dengan f di atas
                                 (2 x A           10       54)2
                                                                                             d2   Selisih nilai f modus dengan f di bawah
                                                   f
                                 (2 x A           64)2                                                           d1
                                                                                             M0    L1
                                          f                                                                 d1         d2

                                4 (2 x A            32)2                                                                     14     9
                                                                                                   48,5
                                                                                                                 (14         9)    (14       10)
                                              f
                                                                                                                     5
                                  ( xA            32)2                                             48,5
                            2                                                                                    5       4
                                              f
                            2     25           50                                                  48,5         0,56         49,06                    Kunci : A
                                                                             Kunci: D   6.   Nilai ulangan 40 siswa disajikan dalam histogram
4.    Perbandingan 7.200 mahasiswa yang diterima pada                                        berikut:
      empat perguruan tinggi digambarkan sebagai dia-
      gram lingkaran berikut ini. Banyak siswa yang                                                   12

      diterima pada perguruan tinggi IV adalah . . . .                                                10

                                                                                                      8
      A.           1.500 orang
                                                                          I                           6
      B.           2.240 orang                                           54°
                                                              IV                                      4
      C.           2.880 orang                                               II
                                                                            72°                       2
      D.           2.940 orang                                     III
                                                                  90°                                       54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5
      E.           3.200 orang
      Jawab:                                                                                 Nilai kuartil bawah pada data di atas adalah . . . .
      Misalkan jumlah siswa yang diterima pada
                                                                                             A. 60                                D.   70
      perguruan tinggi IV adalah n.
                    360         (90   72               54)                                   B. 64                                E.   75
          n                                                    7.200
                                  360                                                        C. 65
                                  20
                   144                                                                       Jawab:
                                 7.200
                   360
                                                                                             1    n         1    40          10
                   2.880
                                                                             Kunci: C        4              4
                                                                                             Kelas Q1            64,5 69,5
5.    Tabel berikut adalah hasil ulangan Matematika
      suatu kelas, maka modus adalah . . . .                                                        Tb           64, 5
                                                                                                 ( f1)           3 6 9
          Nilai      31-36 37-42 43-48 49-54 55-60 61-66 67-72                                       f1          10
              f         4         6           9        14         10         5    2                   c          5

      A.           49,06                            D.      51,33                                                              10 9            5
                                                                                                       Q1        64,5
                                                                                                                                 10
      B.           50,20                            E.      51,83
                                                                                                                 64, 5         0, 5
      C.           50,70
                                                                                                                 65
      Jawab:                                                                                                                                           Kunci: C

          Nilai      31-36 37-42 43-48 49-54 55-60 61-66 67-72

              f         4         6           9        14         10         5    2




                  Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     40
http://mathzone.web.id

                                                           Soal-Soal Ujian Nasional
                                                            oal- oal

1.   Median dari data umur pada                  Umur          f         5.    Rataan hitung dari data pada histogram dari gambar
     tabel di samping adalah . . . .          14 - 71          6               adalah 10. Maka nilai n yang memenuhi
     A. 16,5                                  18 - 11          10              adalah . . . .
     B. 17,1                                  12 - 15          18              A. 4                         9
     C. 17,3                                  16 - 19          40              B. 5                             6
     D. 17,5                                                                   C. 6                     n
                                              20 - 23          16                                   3
                                                                                                                    2
     E. 18,3                                  24 - 27          10              D. 7
                                                                                                                             Nilai
                                                                               E. 8               2,5 5,5 8,5 11,5 14,5 17,5

2.   Diagram berikut menyajikan data berat badan                         6.    Simpangan kuartil dari data pada gambar di bawah
     (dalam kg) dari 40 siswa, modusnya adalah . . . .                         adalah . . . .
                                                                                                       frekuensi
          frekuensi
                                                                                                        26
          12


                                                                                                        14
              8                                                                                         12
                                                                                                         8
              6

                                                                                                                                                   nilai
                                                                                                               0,5      10,5       20,5
              3

              1                                                                A.               6,25                        D.     4,35
                                                         berat
           O      40 44 45 49 50 55 55 59 60 64          badan                 B.               6,05                        E.     3,75
                                                                               C.               4,75
     A.   36,1                     D.   48,0                             7.    Modus nilai ulangan pada                                Nilai               f
     B.   46,5                     E.   40,4                                   data berikut adalah . . . .                           55   -   59        2
     C.   46,9
                                                                               A.               69,75                                60   -   64        6
3.   Simpangan kuartil dari dua data 3, 6, 2, 4, 14, 9,                                                                              65   -   69       11
                                                                               B.               70,75                                70   -   74       12
     12, 8 adalah . . . .                                                      C.               72,50                                75   -   79        9
     A.    1
          22                       D.   4                                      D.               73,25                                80   -   84        7
                                                                                                                                     85   -   89        3
                                          1                                    E.               74,50
     B.   3                        E.    42
     C.    1
          32                                                             8.    Berat badan 48 siswa disajikan dalam histogram
                                                                               berikut ini.
4.   Kuartil atas dari data pada diagram berikut
     adalah . . . .                                                                              12

           frekuensi                                                                             10
                                                                                    frekuensi




                                  14                                                              8
                                        10                                                        6
                             8                                                                    4
                         5                                                                        2
                                             3
                                                                                                         46,5 50,5 54,5 58,5 62,5 66,5 70,5 74,5
                                                        data                                                         berat badan (kg)
                       55,5 60,5 65,5 70,5 75,5 80,5
                                                                               Nilai kuartil bawah data di atas adalah . . . .
     A.   71,5                     D.   73,0                                   A. 47,17                D. 59,17
     B.   72,0                     E.   73,5                                   B. 51,17                E. 63,17
     C.   72,5                                                                 C. 55,17

                                                                    Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                            41
http://mathzone.web.id
9.    Data berikut adalah hasil ujian Matematika suatu                               A.    25 dan 21              D.    2 dan 20,5
      kelas SMA yang nilai rata-ratanya adalah x .                                   B.    25 dan 20              E.    8 dan 20,5
                                                                                     C.    17 dan 21
            Nilai           3       4        5          6       7       8
          Frekuensi         2       4        8         12      16       4
      Siswa dinyatakan lulus bila nilainya lebih besar
      atau sama dengan x 1 . Banyaknya siswa yang                                         Analisis
      lulus ujian ini adalah . . . .                                                       Soal mengenai statistika keluar sebanyak
      A. 20                     D. 36                                                      satu soal pada tahun 2002-2005.
      B. 28                     E. 40                                                      Kemungkinan akan muncul juga satu soal
      C. 32                                                                                pada tahun 2006.
10. Modus dari kelompok data 3, 6, 7, 5, 8, 4, 5, 9
    adalah . . . .
    A. 5,0               D. 7,5
    B. 7,0               E. 6,0
    C. 5,5                                                                                Pahami cara penyajian data dengan
                                                                                          menggunakan diagram dan grafik.
11. Jangkauan dan median dari data 21, 20, 19, 18,
                                                                                          Hafalkan rumus-rumus ukuran pemu-
    17, 22, 22, 18, 17, 23, 24, 25, berturut-turut
                                                                                          satan dan penyebaran data.
    adalah . . . .




          9           PELUANG


     A.          Kaidah Pencacahan, Permutasi dan                               5.   Permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat
                 Kombinasi                                                           k unsur yang sama adalah


                                                                                                       P         n, k     n
1.    Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur yang                                                                 k
      berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur
                                                                                6.   Permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat
      tersebut dengan memperhatikan urutannya.
                                                                                     k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m
2.    Notasi faktorial                                                               unsur yang sama adalah

          n!      n    (n – 1)      (n – 2)            . . .   3    2       1                         n , k
                                                                                              P                    l    m     n
                                                                                                     klm
3.    Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur
      yang tersedia adalah
                                                                                7.   Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah
                           Prn          n        , r      n
                                   (n       r)                                                         Psiklis    (n     1)

4.    Banyak permutasi n unsur yang diambil dan n unsur                         8.   Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur yang
      yang tersedia adalah                                                           berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur
                                                                                     tersebut tanpa memperhatikan urutannya.
                                    n
                                   Pn        n




               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     42
http://mathzone.web.id
9.   Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur              6.    Frekuensi harapan dari kejadian A
     yang tersedia adalah
                                                                                                 fh    P(A)        N
                                     n
                  Crn                         , r       n                  di mana N        Banyaknya percobaan
                              r (n       r)




    B.           Peluang Suatu Kejadian                                C.                Peluang Kejadian Majemuk


1.   Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang                    1.   Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam
     mungkin dari sebuah percobaan.                                        ruang sampel S maka peluang kejadian A    B
                                                                           adalah
2.   Jika setiap anggota ruang sampel mempunyai
     peluang yang sama untuk muncul maka peluang                                P(A      B)     P(A)        P(B)       P(A        B)
     kejadian A yang memiliki anggota sebanyak n(A)
     adalah
                                                                      2.   Jika A dan B masing-masing dua kejadian yang
                              n( A)                                        saling lepas maka peluang gabungan dua kejadian
                 P(A)               , A             S
                              n(S )                                        yang saling lepas adalah

3.   Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel                                    P(A      B)        P(A)    P(B)
     disebut juga kejadian yang mungkin.
4    Jika A komplemen kejadian A maka peluang
     kejadian A adalah                                                3.   Jika A dan B kejadian-kejadian yang saling bebas,
                                                                           maka berlaku
                        P(A )        1    P(A)
                                                                                        P(A      B)        P(A)    P(B)
5.   Frekuensi relatif suatu kejadian A

                                 n( A )
                         fr
                                  N

     di mana N     Banyaknya percobaan




                                                            Contoh Soal
1.   Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang putra                   Jawab:
     dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang                              Kemungkinan yang terjadi:
     beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota
                                                                                Semua putra (5 Putra dan 0 Putri)
     tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka
     banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah . . . .                                         7               6    7
                                                                                 7 C5                                        21
     A. 168                 D. 231                                                        5 (7        5)      1    2
     B. 189                 E. 252
     C. 210

                                                                Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir        43
http://mathzone.web.id
            4 Putra dan 1 Putri                                            dapat diambil murid tersebut adalah . . . .
                              7             3                              A.   4                      D.     9
            7 C5   3C1
                          4 (7     4)   1 (3               1)              B.   5                      E.     10
                               5 6 7                                       C.   6
                                       3
                               1 2 3
                                                                           Jawab:
                               35 3 105
                                                                              Soal nomor 1 sampai 5 harus dikerjakan
            3 Putra dan 2 Putri                                               Soal nomor 6 sampai 10, yang dikerjakan
                               7                       3                      hanya 4 soal, sehingga pilihannya adalah 4
            7 C5   3C2
                          3 (7     3)              2 (3     2)                soal dari 5 soal.
                               5 6 7
                                       3                                                         5             5
                               1 2 3                                                5 C4                                    5
                                                                                            (5    4) 4        1 4
                               35 3 105
                                                                                                                                 Kunci: B
      Jadi, banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah:
      21 105 105 231                        Kunci: D                  4.   Linda memiliki delapan teman akrab. Dia ingin
                                                                           mengundang tiga dari delapan temannya untuk
2.    Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang terdiri                    diajak makan bersama. Tetapi dua di antara mereka
      dari 4 anak Kelas VII, 5 anak Kelas VIII, dan 6                      adalah pasangan suami istri. Kedua suami istri
      anak Kelas IX. Kemudian akan ditentukan pimpinan                     diundang atau keduanya tidak diundang. Banyak
      yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris.                kemungkinan cara Linda mengundang temannya
      Jika kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas                  adalah . . . .
      asal wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya
                                                                           A. 18                 D. 24
      kemungkinan susunan pimpinan adalah . . . .
                                                                           B. 20                 E. 26
      A.    156                         D.   600
                                                                           C. 22
      B.    492                         E.   720                           Jawab:
      C.    546                                                               Kedua suami istri diundang
      Jawab:
                                                                                                      2                     6
         Ketua harus di atas kelas yang lain, artinya                           2 C2       6C1
                                                                                                 (2    2) 2            (6       1) 1
         harus Kelas VIII.                                                                       1    6       6
            Kemungkinan terpilihnya Ketua Kelas IX ada
                                                                                Kedua suami istri tidak diundang
            6 orang.
            Wakil dan Sekretaris ada di Kelas VII dan VIII                                             6                        2
                                                                                6 C3       2C0
            Kemungkinan terpilihnya adalah 9 orang.                                              (6     3) 3           (2        0) 0
            Kemungkinan terpilihnya susunan                                                       6           2
                                                                                                 3 3          2
                               9             9
                  9 P2                             72                                            20       1       20
                          (9       2)        7

            Jadi, 6      72    432 kemungkinan                             Jadi, banyak kemungkinan cara Linda mengundang
                                                                           temannya adalah 20 6 26 cm.
            Wakil dan Sekretaris Kelas VII adalah                                                                Kunci: E
            4 orang.
                                                                      5.   Sebuah kantong berisi empat buah bola merah
                               4             4
                  4 P2                             12                      dan lima bola berwarna putih. Jika dua buah bola
                          (4       2)        2
                                                                           diambil dari dalam kantong satu per satu dengan
            Jadi, 5      12    60 kemungkinan.                             tidak mengembalikan setiap pengambilan, maka
            Sehingga banyaknya kemungkinan susunan                         peluang terambilnya kedua bola itu berwarna merah
            pimpinan adalah: 432 60 492                                    sebesar . . . .
                                          Kunci: B                         A.    1
                                                                                                       D.          1
                                                                                72                                12
3.    Seorang murid diminta mengerjakan 9 soal dari 10                           1                                1
                                                                           B.   16
                                                                                                       E.         6
      soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai dengan
      nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang                           4
                                                                           C.   27

           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     44
http://mathzone.web.id
     Jawab:                                                        •    Peluang terambilnya bola merah pada
     •  Banyaknya bola:                                                 pengambilan kedua:
            n(S) 4 bola merah 5 bola putih                                          n( A )   3       karena sudah
                                                                         P (B | A )                  diambil satu
                  9 bola                                                            n(S )    8
     •  Banyaknya bola merah: n(A) 4 bola                               P ( A B ) P ( A ) P (B | A )
     •  Peluang terambilnya bola merah pada                                         4 3
        pengambilan pertama:                                                        9 8
                         n( A ) 4                                                   12     1
                P ( A)                                                                                       Kunci: E
                         n(S )  9                                                   72     6




                                                  Soal-Soal Ujian Nasional
                                                   oal- oal

1.   Banyaknya garis yang dapat dibuat dari 8 titik          5.    Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang
     yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris          anak, peluang keluarga tersebut mempunyai
     adalah . . . .                                                paling sedikit dua anak laki-laki adalah . . . .
     A. 336                   D. 28                                     1                        1
                                                                   A.                      D.
     B. 168                   E. 16                                     8                        2
     C. 56                                                              1                        3
                                                                   B.                      E.
                                                                        3                        4
2.   Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa gemar
                                                                        3
     Matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa                   C.
                                                                        8
     gemar Matematika dan IPA. Peluang seorang tidak
                                                             6.    Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang
     gemar Matematika maupun IPA adalah . . . .
                                                                   munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10
             25                      4                             adalah . . . .
     A.                       D.
             40                     40
                                                                         5                              9
             12                     3                              A.                            D.
     B.                       E.                                         36                             36
             40                     40
                                                                         7                              11
             9                                                     B.                            E.
     C.                                                                  36                             36
             40
                                                                         8
                                                                   C.
3.   Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih.                       36
     Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari
                                                             7.    Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.
     masing-masing kotak diambil 2 bola sekaligus
                                                                   Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning.
     secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dari
     kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah . . . .          Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola
           1                       3                               secara acak. Peluang terambilnya kedua bola
     A.                        D.
          10                       8                               berwarna sama adalah . . . .
           3                        57                                   1                              9
     B.                        E.                                  A.                            D.
          28                       140                                   8                             16
           4
     C.                                                                   5                             7
          15                                                       B.                            E.
                                                                         16                             8
               1   10     4
4.   Nilai                      . . . .                                   7
              14   15    16                                        C.
                                                                         16
             114                    9
     A.                       D.
             16                    16                        8.    Populasi satu jenis serangga tiap tahun menjadi
             108                    4                              dua kali lipat. Jika populasi serangga tersebut saat
     B.                       E.
             16                    16                              ini mencapai 5.000 ekor, maka 10 tahun yang
             84                                                    akan datang populasinya sama dengan . . . .
     C.
             16


                                                        Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   45
http://mathzone.web.id
      A.    2.557.500 ekor          D.    5.115.000 ekor              13. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat
      B.    2.560.000 ekor          E.    5.120.000 ekor                  bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan.
      C.    5.090.000 ekor                                                Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih
                                                                          kecil dari 400 adalah . . . .
9.    Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang                         A. 10                           D.     80
      muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua                      B. 20                           E.     120
      5 adalah . . . .                                                    C. 40
             6                             3
      A.                            D.                                14. Dalam kotak I terdapat 4 bola merah dan 3 bola
            36                             36
                                                                          putih, sedangkan dalam kotak II terdapat 7 bola
            5                               1                             merah dan 2 bola hitam. Dalam setiap kotak diambil
      B.                            E.
            36                             36                             satu bola secara acak. Peluang terambilnya bola
             4                                                            putih dari kotak I dan bola hitam pada kotak II
      C.
            36                                                            adalah . . . .
10. Di dalam sebuah kotak ada 9 tiket yang diberi                               28                        6
                                                                          A.                        D.
    nomor 1 sampai dengan 9. Jika dua tiket diambil                             63                       63
    secara acak, peluang terambilnya satu ganjil dan                            21                       5
                                                                          B.                        E.
    satu genap adalah . . . .                                                   63                       63
             1                             7                                    8
      A.                            D.                                    C.
            36                            18                                    63

            1                              5                          15. Akan disusun suatu tim peneliti yang terdiri dari
      B.                            E.                                    2 orang matematikawan dan 3 orang teknisi. Jika
            6                              9
             5                                                            calon yang tersedia 3 orang matematikawan dan
      C.
            18                                                            5 orang teknisi, maka banyak cara menyusun tim
11. Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah, 3 kelereng                      tersebut adalah . . . .
    putih dan 2 kelereng biru. Dari dalam kotak diambil                   A. 20                   D. 90
    3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil                    B. 30                   E. 360
    2 kelereng merah dan 1 kelereng putih                                 C. 60
    adalah . . . .
            1                              2
      A.                            D.

                                                                             Analisis
            4                             15
            3                              13
      B.                            E.
            20                            120
                                                                               Soal tentang peluang selalu muncul setiap
            1                                                                  tahun. Tahun 2000-2003 dan 2005 keluar
      C.
            8                                                                  sebanyak 2 soal, sedangkan tahun 2004
12. Sepuluh kartu diberi nomor 1 sampai dengan 10.                             hanya keluar 1 soal.
    Dari kartu-kartu tersebut diambil sebuah kartu
    secara acak. Peluang terambilnya kartu bernomor
    bukan prima dan bukan komposit adalah . . . .
                                            6
      A.    0                       D.                                         Pahami kisaran nilai peluang, faktorial,
                                           25
                                                                               permutasi dan kombinasi.
             4
      B.                            E.    1
            10
             6
      C.
            10




           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     46
http://mathzone.web.id


     10        LINGKARAN DAN IRISAN KERUCUT


 A.        Persamaan-Persamaan Lingkaran                                     5.    Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran x2                        y2        r2
                                                                                   jika dan hanya jika a2 b2 r2.

                                                                                                            y
1.   Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada
                                                                                                                                 P(a, b)
     bidang datar yang berjarak sama terhadap titik
     tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran                                                           r
                                                                                                            O                          x
     dan jarak tertentu disebut jari-jari lingkaran.
2.   Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0)
     dan berjari-jari r adalah x2 y2 r2.

                y                                                            6.    Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b)
                       P(x, y)                       OP       R                    dan berjari-jari r adalah

                                               x2        y2   r                                 (x        a)2       (y         b)2     r2
               O               x
                                               2        2
                                           x        y         r
                                                                             7.    Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:
                                                                                   x2 y2 Ax By C 0

3.   Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran                                                                           A       B
                                                                                   dengan       pusat           P          ,                dan   jari-jari
     x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2.                                                                              2       2

                                                                                           A2        B2
                           y
                                                                                   r                            C.
                                                                                           4          4

                                                                             8.    Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran
                                       r                                           (x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika
                             O                           x

                          P(a, b)                                                                    (h     a)2          (k      b)2        r2



                                                                                          y
4.   Titik P(a, b) terletak pada lingkaran x2                     y2   r2
     jika dan hanya jika a2 b2 r2.
                                                                                                      P(a, b)
                             y                                                                                  r
                                                                                                          R(h, k)
                                           P(a, b)
                                                                                                                                                  x
                                                                                           O
                                   r
                                                     x
                         O




                                                                        Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                    47
http://mathzone.web.id
9.    Titik R(h, k) terletak pada lingkaran
                                                                                                     y
      (x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika
                        (h   a)2           (k        b)2   r2                                                              m(x1, y1)

                y                                                                                                                  y1       b
                                                      R(h, k)
                                                                                                          P(a, b)

                                    P(a, b)                                                                   x1 a                              x

                                           r



                    O                                                     x




10. Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran
                                                                                   C.                Persamaan Parabola
      (x    a)2         (y      b)2        r2 jika dan hanya jika
                                                                                                              y
                        (h   a)2           (k        b)2   r2
                                                                                                                                  l1


           y                                                                                                            a(x, y)

                                                                                          Q( p, y)

                             P(a, b)
                                                     • R(h, k)                                                0             f(p, o)                 x
                                      r



            O                                                    x                                                          l2


                                                                                                x        p
11. Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran
    x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika
                                                                                  1.   Persamaan parabola dengan titik fokus F(p, 0) dan
                        h2   k2           Ah         Bk    C         0                 garis direktriks x p adalah
12. Titik R(h, k) terletak pada lingkaran                                                                          y2 4px
    x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika                                           2.   Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik
                        h2
                             k  2
                                          Ah         Bk    C         0                 fokus F( p, 0) garis direktriks x p adalah
                                                                                                                  y2      4px
13. Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran
    x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika                                           3.   Persamaan parabola yang mempunyai fokus
                                                                                       F(0, p) dan garis direktriks y p adalah
                        h2   k2           Ah         Bk    C         0
                                                                                                                   x2 4py
                                                                                  4.   Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik
                                                                                       fokus F(0, p) garis direktriks y p adalah
 B.                     Persamaan Garis Singgung                                                                  x2      4py
                        Lingkaran
                                                                                  5.   Persamaan parabola di titik (h, k) dengan
                                                                                       persamaan direktriksnya adalah x h p dan titik
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di
                                                                                       fokus F(h p, k) adalah
titik P(a, b) dan berjari-jari r adalah
                                                                                                         (y       k)2    4p(x          h)
                                                                              2
               (x       a)(x1         a)        (y     b)(y1         b)       r


           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     48
http://mathzone.web.id
6.   Persamaan parabola di titik (h, k) dengan                3.    Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu
     persamaan direktriksnya adalah x h p dan titik                 utama garis y k dan sumbu sekawan garis x k
     fokus F(h p, k) adalah                                         adalah
                 (y     k)2         4p(x     h)2                                               2                          2
                                                                                  x        h                y         k
7.   Persamaan parabola di titik (h, k) dengan persamaan                                                                      1
                                                                                      a2                         b2
     direktriksnya adalah y k p dan titik fokus
                                                                    di mana :
     F(h, k p) adalah
                                                                    •   Puncak: (h a, k) dan (h a, k)
                 (x     h)2         4p(y     k)2                    •   Titik sumbu minor: (h, k b) dan (h, k                          b)
8.   Persamaan parabola di titik (h, k), dengan direktriks          •   Fokus : (h c, k ) dan (h c, k)
     y k p dan titik fokus F(h, k p) adalah
                                                              4.    Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu
                  (x    h)2         4p(y     k)                     utama garis x h dan sumbu sekawan adalah garis
                                                                    y k

                                                                                               2                          2
 D.      Persamaan Garis Singgung Parabola
                                                                                  x        h                y         k
                                                                                                                              1
                                                                                      b2                         a2
1.   Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k) pada              di mana:
     parabola (y k)2 4p(x h) dengan gradien m adalah
                                                                    •       Puncak: (h, k a) dan (h, k a)
                                  p
                (y k) m(x h)                                        •       Titik ujung sumbu minor: (h b, k) dan (h b, k)
                                  m
                                                                    •       Fokus : (h, k c ) dan (h, k c)
2.   Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k) pada
     parabola (y k)2     4p(x h) dengan gradien m
                                                              5.    Persamaan garis singgung elips
     adalah
                                  p                                               2                         2
                (y k) m(x h)                                            x     h                y        k
                                  m                                                                                   1 dengan gradien m
                                                                        a2                         b2
3.   Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k)pada
     parabola (x h)2 4p(y k) dengan gradien m adalah                adalah :

                (y     k)     m(x       h)   m2p                        y     k        m x              h             a2 m2       b2
4.   Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k)pada
     parabola (x h)2     4p(y k) dengan gradien m             6.    Persamaan garis singgung elips
     adalah                                                                       2                         2
                (y k) m(x h) m2p                                        x     h                y        k
                                                                                                                      1 dengan gradien m
                                                                        b2                         a2
                                                                    adalah:

 E.              Persamaan Elips                                        y     k        m x              h             b2 m2       a2



1.   Bentuk umum persamaan elips                               E.                     Persamaan Hiperbola
     Ax2 By2 Cx Dy E          0 dengan
     A 0, B 0, A B
2.   Persamaan elips yang berpusat di O(0, 0) dan fokus       1.    Bentuk umum persamaan hiperbola adalah
     di F1( c, 0) dan F2(c, 0) adalah                                       Ax2 By2 Cx Dy E 0
                            x2      y2                              dengan A     0, B     0, A      B
                                             1                2.    Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus di
                            a2      b2
                                                                    F1(0, c) dan F2(0, c) selisih jarak terhadap kedua
     di mana:                                                       fokus sama dengan 2a adalah
     •   c2 a2 b2
                                    c                                                      x2               y2
     •   Eksentrisitas : e                                                                                            1
                                    a                                                    a2   b2
     •   Direktriks: x
                                    a                               di mana: b2         c2 a2
                                    e

                                                         Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir               49
http://mathzone.web.id
3.    Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus di                                                                   c
      F1(0, c) dan F2(0, c) adalah                                             •        Eksentrisitas: e
                                                                                                                          a

                              x2          y2                                                                                                           a
                                                          1                    •        Persamaan direktriks y                             k
                                  2           2                                                                                                        e
                              a           b
                                                                               •        Persamaan asimtot :
4.    Persamaan hiperbola yang berpusat di A(h, k),                                                                  a (x
      sumbu utama sejajar sumbu-x adalah                                                (y         k)                                 h)
                                                                                                                     b
                (x           h )2         (y              k )2                                     x2              y2
                                                                 1                                                             1 , mempunyai asimtot
                     a2                           b2                      6.   Hiperbola
                                                                                                   a2              b2
      di mana:                                                                               b x
                                                                               y
      •     2
           b c a     2       2                                                               a
      •    Sumbu nyata y k, dan sumbu sekawan x h
      •    Koordinat puncak (h a, k) dan (h a, k)                                                  y2              x2
                                                                          7.   Hiperbola                                      1 , mempunyai asimtot
      •    Koordinat titik ujung (h, k b) dan (h, k b)                                             a2              b2
      •    Fokus (h c, k) dan (h c, k)
                                                                                              a
                                          c                                    y                x
      •    Eksentrisitas: e                                                                   b
                                          a
                                                  a
      •    Direktriks x               h
                                                  e
      •    Persamaan asimtot :                                            G.            Persamaan Garis Singgung
                                      b (x                                              Hiperbola yang Berpusat di A(h, k)
           (y        k)                                   h)
                                      a
                                                                          1.   Persamaan garis singgung hiperbola
                                 2b 2
      •    Panjang latus rectum
                                   a                                                    (x         h )2             (y         k )2
                                                                                                                                               1
5.    Persamaan hiperbola berpusat di A(h , k) sumbu                                   a2            b2
      utama sejajar sumbu-y adalah                                             dengan gradien m adalah
                (y           k )2         (x              h )2
                                                                 1                 (y        k)           m( x       h)            a2 m2           b2
                         2                            2
                     a                            b
      di mana:                                                            2.   Persamaan garis singgung hiperbola

      •    b2 c2 a2                                                                     (y             k )2         (x         h )2
                                                                                                                                               1
      •    Sumbu nyata x h, dan sumbu sekawan y k                                      a2            b2
      •    Koordinat puncak (h, k a)dan (h, k a)
                                                                               dengan gradien m adalah
      •    Koordinat titik ujung (h b, k ) dan (h b,)
      •    Fokus (h , k c) dan (h, k c)                                        (y            k)          m( x        h)               b2 m2            a2




                                                                     Contoh Soal
1.    Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran                                  C.       (x    2)2             (y     3)2       25
      x2 y2 4x 6y 17 0                                                         D.       (x    2)2             (y     3)2       16
      dan menyinggung garis 3x 4y 7 0 mempunyai                                E.       (x    4)2             (y     6)2       25
      persamaan . . . .
                                                                               Jawab:
      A. (x 2)2 (y 3)2 25
                                                                                  x2              y2      4x         6y       17       0
      B. (x 2)2 (y 3)2 16
                                                                                        Pusat:                1   ( 4),       1 (6)            P (2,    3)
                                                                                                              2               2

          Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     50
http://mathzone.web.id
          Jari-jari lingkaran:                                                    ketiga lingkaran tersebut dan lingkaran besar L2
                3(2)     4( 3)    7             6        12        7              juga menyinggung ketiga lingkaran itu seperti pada
          r
                    (3)2    ( 4)2                    9        16                  gambar. Perbandingan jari-jari lingkaran L2 dan jari-
                                                                                  jari lingkaran L1 adalah . . . .
              25
                   5
               5                                                                  A.    (1      3) : (1          3)
          Persamaan lingkaran:                                                    B.   14 : 1
              (x 2)2 (y 3)2                     52                                C.    (7     4 3) : 1
              (x 2)2 (y 3)2                     25            Kunci: A
                                                                                  D.    (7     4 3) : 1
2.   Jika titik ( 5, k) terletak pada lingkaran
                                                                                  E.    (7     2 3) : 1
     x2 y2 2x 5 y 21 0
                                                                                  Jawab:
     maka nilai k adalah . . . .
     A.    1 atau 2             D. 0 atau 3                                       r1   Jari-jari L1
     B. 2 atau 4                E. 1 atau 6                                       r2   Jari-jari L2
     C.    1 atau 6
                                                                                  R    Jari-jari lingkaran A, B, dan C
     Jawab:
        Persamaan lingkaran:                                                      O    Titik pusat L1 dan L2
               x2 y2 2x 5y 21 0
        ( 5, k) ( 5)2 k2 2( 5) 5(k) 21 0
                                                                                                             C
                      25 k2 10 5k 21 0                                                                   R
                                k2 5k 6 0                                                                    O
                                                                                                     R
                              (k 1)(k 6) 0                                                          A
                                                                                                                 B
        sehingga k    1 atau k 6     Kunci: C                                                                D
                                                                                                                          E
3.   Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari keliling-
     nya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka
     laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya                           Perhatikan ABC dan BOD!
                                                                                  Segitiga ABC adalah segitiga samasisi,
     adalah . . . .
                                    x                                             sehingga:
     A.     x                  D.                                                   ABC     CAB     BCA 60°
                                            2x                                                                                             1
     B.   2 x                     E.                                              Dengan demikian besar                DBO                 2
                                                                                                                                                 ABC
          x                                                                                                                                1     60
     C.                                                                                                                                    2
         2
                                                                                                                                           30
     Jawab:
          Keliling lingkaran (K)        2 r                                                                                                     OD
                                                                                       OD       r     tan 30°         tan 30°
                                                                                                                                                 r
                                            K
                                  r                                                             r        1   3
                                            2                                                            3

          Luas lingkaran (L)           r2                                                       1r       3
                                                                                                3
                             K
          Substitusi r            ke luas lingkaran                                     OB        DB                  cos 30                    DB
                             2                                                                  cos 30                                          OB
                         2
                    K                  K2            K2                                                  r       2r           2r       3
            L                                                                                         1r                      3
                    2                  4    2        4                                                2
                                                                                                             3    3

          Laju perubahan luas terhadap keliling:                                       r2    OB          BE      2r   3            r
                                                                                                                 3
                             2K        K                                                                         2r
                     L                                         Kunci: C                r1    OB          BE      3
                                                                                                                      3            r
                             4         2

4.   Tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama saling
     bersinggungan luar. Lingkaran kecil L2 menyinggung

                                                                       Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                 51
http://mathzone.web.id
            r2 : r1           2r       3               2
                                                   r : 3r 3                          r                        Dengan demikian
                              3
                              2r                                 2                                                                            1                     1
                 r2                3               r           r 3 3              1                           Besar          SQC              2
                                                                                                                                                   PQR              2
                                                                                                                                                                                60°          30°
                              3
                 r1           2r   3               r             2                                                                                                                   r
                              3                                r 3 3              1
                                                                                                              r     CS        3           tan 30°            tan 30°
                                                                                                                                                                                     3
                              2    3           1           2    3           1
                              3                            3                                                                  3           1    3
                              2                            2                                                                              3
                              3
                                   3           1           3
                                                                3           1
                                                       2
                                                                                                                                  3
                              2    3           1                4            4
                              3                                 3            3
                                                                                  3        1
                                       2                                    4        1                        CQ             CS 2             SQ 2             ( 3 )2               32
                              2
                              3
                                   3               12                       3
                                                                                                                             3           9         12          2 3
                              7     4          3           1 (7             4 3)
                              3     3                      3
                                   1                                    1                                     CQ         CS              3rC3        2 3                3           3rC3
                                   3                                    3
                              7     4 3                                                                                                              3rC3           2 3                  3
                                   1                                                                                                                     rC3        1       3
                                                                                                                                                                    3
      Jadi, r2 : r1           (7           4 3) : 1                                      Kunci: E
                                                                                                                                               1
                                                                                                              Luas           PQR               2
                                                                                                                                                     6         6 sin 60°
5.       PQR segitiga dengan panjang setiap sisinya
                                                                                                                                                               1    3           9 3
      6 cm. C lingkaran dalam PQR. C1, C2, dan C3                                                                                             3      6         2
      adalah lingkaran di dalam PQR yang masing-
                                                                                                              Luas lingkaran C                       r2            ( 3)2              3
      masing menyinggung luar lingkaran C dan
      menyinggung dua di antara tiga sisi segitiga itu.                                                       Luas lingkaran kecil
      Luas bagian PQR yang terletak di luar keempat                                                                  3 Luas lingkaran kecil
      lingkaran itu adalah . . . .                                                                                       3        ( rC3)2            3                  1       3
                                                                             R                                                                                          3
      A.    9 3
                                                                                                              Luas daerah yang diarsir
                                                                             C1
      B.    9 3           2                                                                                     Luas     PQR    Luas lingkaran C                                             (3
                                                                                                                Luas lingkaran kecil)
      C.    9 3           4
                                                                                 C                                 9 3           3
      D.    3 3
                                                               C2                          C3                      9 3           4                                                  Kunci: C
      E.    3 3           2                        P                                            R

      Jawab:                                                                                        6.   Koordinat titik fokus dari persamaan parabola
                                                                                                         y2 4y 8x 28 0 adalah . . . .
                                       R
                                                                                                         A.   ( 4, 2)                              D.       ( 2, 2)
                                                                                                         B.   (2, 2)                               E.       ( 2, 2)
                                                                                                         C.   ( 2, 4)

                                           C                                                             Jawab:
                                       r                                                                      y2     4y          8x           28        0
                                                                                                                                     2
                                                                                                                                  y           4y     8x            28
                  P                    S                            Q
                                                                                                                                         2
                                                                                                                         (y          2)       4      8x            28
                                                                                                                                               2
                      1                1                                                                                         (y          2)      8x            32
            SQ        2
                          PQ           2
                                                       6        3 cm
                                                                                                                                               2
                                                                                                                        (y 2)      (8x 4)
            Perhatikan PQR dan SQC.                                                                           Koordinat puncak ( 4, 2)
            Segitiga PQR adalah segitiga samasisi,                                                            4p 8       p 2
            sehingga:                                                                                         Fokus ( 4 p, 2) ( 4 2, 2)
                                                                                                                                  ( 2, 2)
                 PQR               QRP                     RPQ               60°
                                                                                                                                                                                    Kunci: E


           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     52
http://mathzone.web.id
7.   Persamaan garis singgung pada parabola                                                                Jawab:
     x2 4x 2y 10 0 yang tegak lurus pada garis                                                             4x2          48x           9y        72y                  144
                                                                                                                   2                                      2
     2x        4y       7            0 adalah . . . .                                                      4(x              12x        36)       9(y            8y    16)2
     A.    2x        y           5        0             D.       x           2y   5       0                                 144         144           144
                                                                                                                             2
                                                                                                           4(x          6)           9 (y       4)            144
     B.    x        2y           5        0             E.       2x           y   5       0
                                                                                                                             2                        2
     C.        2x        y           5        0                                                                x        6              y        4
                                                                                                                                                                1
     Jawab:                                                                                                        36                       16

     x2    4x           2y           10            0                                                       a2          36, b2 16, h                       6, k        4
                         x   2
                                     4x             2y          10                                         c2          36 16
               (x        2)2             4          2y          10                                         c            2 5
                        (x           2)2            2y          6                                          Fokus: (6                   2 5,               4) dan
                        (x           2)2            2(y          3)                                                    (6        2 5,            4)
           Puncak (2, 3)                                4p               2                                                                                                     Kunci: C

                                                                     1
                                                           p                                         9.    Persamaan asimtot hiperbola dengan puncak
                                                                     2
                                                                                                           (2, 4) dan ( 6, 4) serta salah satu titik fokusnya
           2x        4y           7           0                                                            adalah (3, 4) adalah . . . .
                                 4y            2x           7                                              A. 4x 3y 10 0 dan 3x 4y 22                     0
                                               1      7           1                                        B. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10                     0
                                 y1               x        m1
                                               2      4           2                                        C. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10                     0
                    m1· m2                    1 (karena tegak lurus)                                       D. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 22                     0
             1                                                                                             E. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10                     0
               · m2     1
             2
                                                                                                           Jawab:
               m2 2
                                                                                                           Puncak            (2, 4), ( 6, 4)
     Persamaan garis singgung:
                                                                                                           Fokus              (3, 4)
     (y    k)       m2(x                 h)        m2 2p
                                                                                                           h a                 2
                                                             1                                             h a                   6
     (y    3)       2(x              2)           (2)2 ·
                                                             2                                                2h                 4
                                                        1                                                      h                 2
     (y    3)       2(x              2)           4 ·                                                          h               a   2                                       k   4
                                                        2
                                                                                                               2               a   2
                                                        1
     (y    3)       2(x              2)           4 ·                                                                          a     4
                                                        2
     y     3        2x               4        2                                                                        h         c     3
                                                                                                                       2         c     3
     y     3        2x           2
                                                                                                                                 c     5
     2x    y        5            0
                                                                                      Kunci: A                         b2         c2       a2

8.   Koordinat fokus pada elips                                                                                                   52       ( 4)2
     ax2       9y            48x              72y          144               0 adalah . . . .                                     25       16       9

     A.        6     2 5, 4                             D.           6 2 5,           4                                 b         3
                                                                                                           Persamaan asimtot:
     B.        6, 2 5                4                  E.           6        2 5, 4                              b
                                                                                                           y k       (x h)
                                                                                                                  a
     C.        6 2 5,                4                                                                              3
                                                                                                           y k        (x 2)
                                                                                                                    4


                                                                                                Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                    53
http://mathzone.web.id
                                3                                                               3
          (i)    y    4           (x    2)                                       (ii) y    4      (x   2)
                                4                                                               4
                                 3      3                                                       3      3
                 y    4            x                                                  y    4      x
                                 4      2                                                       4      2
                    3            11                                                       3     5
                 y    x              0                                                y      x      0
                    4             2                                                       4     2
                 4y 3x           22 0                                                 4y 3x 10 0
                                                                                      Jadi persamaan asimtotnya
                                                                                           3 4y 22 0 dan 3x           4y    10 0
                                                                                                                             Kunci: B




                                                                Soal-Soal Ujian Nasional
                                                                 oal- oal
1.        Garis singgung lingkaran x2          y2    25 di titik                 A.   y    x    4           D.   y     x 3        4
          ( 3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat                             B.   y    2x    4          E.   y     x 2        4
          (10, 5) dan jari-jari r. Nilai r adalah . . . .                        C.   y     x    4
          A. 3                       D. 9
                                                                            6.   Diketahui persamaan hiperbola
          B. 5                       E. 11
                                                                                 9x2 4y2 54x 8y 41 0
          C. 7
                                                                                 persamaan asimtot hiperbola tersebut      adalah . . . .
2.        Koordinat fokus elips                                                  A. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y                    7 0
          9x2 25y2 18x 100y                    116     0                         B. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y                    7 0
          adalah . . . .                                                         C. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y                    7 0
          A. (2, 1) dan ( 6, 1)                                                  D. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y                    7 0
          B. (6, 1) dan (2, 1)                                                   E. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y                    1 0
          C. (3, 2) dan ( 5, 2)
                                                                            7.   Persamaan garis singgung pada                   kurva
          D. (3, 2) dan ( 5, 2)
                                                                                 y   2x2 6x 7 yang tegak lurus garis                 x
          E. (5, 2) dan ( 3, 2)
                                                                                   2y 13 0 adalah . . . .
3.        Salah satu persamaan asimtot hiperbola                                 A. 2x y 15 0
          (x         2)2        (y     1)2                                       B. 2x y 15 0
                                             1 adalah . . . .
             16                       9                                          C. 2x y 15 0
          A. 4x            3y        11 0                                        D. 4x 2y 29 0
          B. 4x            3y        5 0                                         E. 4x 2y 29 0
          C. 3x            4y        6 0
                                                                            8.   Jarak antara titik pusat lingkaran
          D.     3x        4y        10 0
                                                                                 x2 4x y2 4 0
          E.     3x        4y        6 0
                                                                                 dari sumbu-y adalah . . . .
4.        Persamaan garis singgung kurva y x                 2 x di titik        A.   3                     D.    1
                                                                                                                 12
          pada kurva dengan absis 2 adalah . .               ..                        1
                                                                                 B.   22                    E.   1
          A. y 3x 2             D. y      3x                 2
                                                                                 C.   2
          B. y 3x 2x            E. y      3x                 1
          C. y 3x 1                                                         9.   Koordinat salah satu fokus elips
                                                                                 7x2 16y2 28x 96y 60 0 adalah . . . .
5.        Salah satu persamaan garis singgung dari titik
                                                                                 A. (2, 0)               D. ( 1, 3)
          (0, 4) pada lingkaran x2 y2 4 adalah . . . .
                                                                                 B. (2, 6)               E. ( 2, 3)
                                                                                 C. (2, 3)

                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     54
http://mathzone.web.id
10. Suatu garis menyinggung kurva y x3 3x2 2x 5
                                                                         (x     3)2         (y        1)2
    di titik T(1, 3). Persamaan garis singgung tersebut            A.                                       1
                                                                              40                 9
    adalah . . . .
                                                                         (x   3)2           (y        1)2
    A. y 5x 7                 D. y 7x 5                            B.                                       1
                                                                            42                   9
    B. y 5x 10                E. y 7x 10
                                                                         (x   3)2           (y        1)2
    C. y 7x 3                                                      C.                                       1
                                                                            45                   9
11. Diketahui sebuah lingkaran melalui titik O(0, 0),
                                                                         (x     3)2         (y        1)2
    A(0, 8), dan B(6, 0). Persamaan garis singgung                 D.                                       1
                                                                              42                 18
    pada lingkaran tersebut di titik A adalah . . . .
    A. 3x 4y 2 0                                                         (x     3)2         (y        1)2
                                                                   E.                                       1
    B. 3x 4y 32 0                                                             45                 36
    C. 3x 4y 32 0                                            17. Salah satu simbol asimtot hiperbola
    D. 4x 3y 32 0
                                                                   ( x 3)2  ( y 1)2
    E. 4x 3y 32 0                                                                     1
                                                                      16       25
12. Koordinat pusat hiperbola                                      memotong sumbu-y di titik . . . .
    3x2 4y2 12x 32y 10 0 adalah . . . .                                        1                                 1
                                                                   A.     0, 2 4                       D.   0, 4 4
    A. ( 2, 4)              D. (2, 4)
    B. ( 2, 4)              E. (4, 2)                              B.     0, 2 3
                                                                               4                       E.   0, 4 3
                                                                                                                 4
    C. (2, 4)
                                                                               1
                                                                          0, 4 2
                                                                   C.
                                          2
13. Garis singgung pada parabola y x  4 yang te-
    gak lurus pada garis y x 3 memotong sumbu-y              18. Suatu kurva melalui titik P(1, 3). Gradien garis
    di titik . . . .                                             singgung kurva tersebut di titik T(x, y) sama dengan
               13                        19
                                                                   dy
    A.    0,                  D.    0,                                   2x        5 . Persamaan kurva tersebut
                4                         4                        dx
               15                        21                        adalah . . .    .
    B.    0,                  E.    0,
                4                        4                         A. y x2             5x    7
    C.    0,   17                                                  B. y x2             5x    8
                4
                                                                   C. y x2             5x    9
14. Persamaan         garis    singgung    lingkaran               D. y x2             5x    10
    (x 4)2 (y         3)2
                            40 yang tegak lurus garis              E. y x2             5x    11
    x 3y 5          0, adalah . . . .                        19. Elips dengan persamaan 4x2 9y2 36 digeser
    A. y 3x         1 dan y 3x 30
                                                                    1
    B. y 3x         2 dan y 3x 32                                   2 kemudian diputar 90° dengan pusat ( 1, 2).
    C. y 3x         2 dan y 3x 32                                Persamaan bayangan elips tersebut adalah . . . .
    D. y 3x         5 dan y 3x 35                                A. 4(x 3)2 9(y 3)2 36
    E. y 3x         5 dan y 3x 35                                B. 9(x 1)2 4(y 2)2 36
15. Persamaan parabola horisontal dengan titik puncak            C. 4(x 1)2 9(y 2)2 36
    (1, 3) dan melalui titik (3, 7) adalah . . . .               D. 9(x 1)2 4(y 2)2 36
    A. (y 1)2 8(x 3)                                             E. 4(x 1)2 9(y 2)2 36
    B. (y 1)2 12(x 3)                                        20. Diketahui kurva dengan persamaan
    C. (y 3)2 6(x 1)                                             y x3 5x2 7.
    D. (y 3)2 8(x 1)                                             Persamaan garis singgung kurva yang berabsis 1
    E. (y 3)2 12(x 1)                                            dan tegak lurus y 2x 3 adalah . . . .
16. Panjang sumbu minor suatu elips horisontal yang              A. x 2y 5 0            D. x 2y 6 0
    pusatnya M(3, 1) sama dengan 6. Elips tersebut               B. x 2y 7 0            E. 2x y 5 0
    melalui titik P(8, 3). Persamaan elips adalah . . . .        C. x 2y 7 0




                                                        Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   55
http://mathzone.web.id
21. Suatu lingkaran berpusat pada titik potong garis                    27. Persamaan garis asimtot hiperbola dengan
    x    y    1    0 dan garis x      y 3    0 serta                        koordinat titik puncak ( 2, 1) dan (6, 1), serta
    menyinggung garis 3x 4y 35 0. Persamaan                                 salah satu fokus (7, 1) adalah . . . .
    lingkaran tersebut adalah . . . .                                       A. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 2 2
    A. x2 y2 4x 2y 20 0                                                     B. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0
    B. x2 y2 2x y 20 0                                                      C. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0
    C. x2 y2 4x 2y 20 0                                                     D. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0
    D. x2 y2 2x y 20 0                                                      E. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0
    E. x2 y2 4x 2y 20 0                                                 28. Salah satu        persamaan garis singgung kurva
22. Diketahui suatu parabola dengan titik puncak                            y x3 6x2            18x 3 yang tegak lurus dengan
    ( 1, 3) dan titik fokus (3, 3). Persamaan garis                         garis 9y x          2 0 adalah . . . .
    singgung parabola tersebut yang bergradien 2                            A. y 9x            7 0     D. y 9x 3 0
    adalah . . . .                                                          B. y 9x            7 0     E. y 9x 3 0
    A. y 2x 3               D. y 2x 8                                       C. y 9x            7 0
    B. y 2x 4               E. y 2x 12                                  29. Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik
    C. y 2x 7                                                               potong garis x 3y 3 0 dan 2x y 4 0
23. Diketahui hiperbola dengan puncak (0, 6) dan                            serta menyinggung garis 3x     4y   8      0
    (0, 0) serta salah satu fokus (0, 8). Persamaan                         adalah . . . .
    asimtot hiperbola adalah . . . .                                        A.   x2   y2       6x   4y    12       0
                4                              4                                  2       2
    A.    y     3
                    x       3 dan y            3
                                                   x       3                B.   x    y        6x   4y    4    0
                                                                                  2       2
    B.    y         4   x        3 dan y       4x          3                C.   x    y        6x   4y    5    0
                    3                          3                                  2       2
                3x                             3x                           D.   x    y        6x   4y    23       0
    C.    y     4
                            3 dan y            4
                                                           3
                3x                             3x
                                                                            E.   x2   y2       6x   4y    25       0
    D.    y     4
                            3 dan y            4
                                                           3
                16 x                            16                      30. Diketahui parabola dengan koordinat titik puncak
    E.    y      9
                                3 dan y          9
                                                       x        3
                                                                            (2, 3) dan berfokus pada titik ( 1, 3). Persamaan
24. Persamaan garis singgung pada kurva                                     garis singgung pada parabola tersebut dengan
    y ax3 2x2 di titik (1, a 2) dan tegak lurus                             gradien 3 adalah . . . .
    garis x 2y 4 adalah . . . .                                             A. y      3x 4           D. y 3x 4
    A. y    2x 2         D. y 2x 2                                          B. y      4x 3           E. y 3x 4
    B. y    2x 1         E. y 2x 2                                          C. y 4x 3
    C. y 2x 1
25. P adalah titik potong garis x 4y 4 0 dan                            31. Koordinat fokus suatu hiperbola adalah (3, 4 5)
    2x y 10. Persamaan lingkaran yang berpusat                              dan (3, 4       5 ) sedangkan salah satu titik
    di P dan menyinggung garis 3x      4y    0                              puncaknya (3, 6). Hiperbola tersebut mempunyai
    adalah . . . .                                                          asimtot dengan persamaan . . . .
                                                                            A. y      2x 1 dan y 2x 5
    A.    x2    y2          4x     2y      2   0
           2     2
                                                                            B. y      2x 1 dan y        2x 4
    B.    x     y           4x     2y      2   0
                                                                            C. y x 3 dan y x 1
           2     2
    C.    x     y           4x     2y      4   0                            D. y 2x 2 dan y            2x 10
           2     2
    D.    x     y           8x     4y      4   0                            E. y 2x 3 dan y            2x 8
           2     2
    E.    x     y           8x     4y      2   0
                                                                        32. Garis singgung y     x3       2x       1 di titik dengan
26. Diketahui parabola dengan puncak (1, 3) dan fokus                       absis 1 adalah . . . .
    (1, 2). Persamaan garis singgung parabola tersebut                                                         y       1x   1
                                                                            A.   y    2x      2          D.            2    2
    yang sejajar dengan garis 2x         y     3    0
                                                                            B.   y    x     1            E.    y       3x   3
    adalah . . . .
                                                                            C.   y        x 1
    A.    2y    4x          1           D.     2y          4x       1
                                                                        33. Persamaan lingkaran dengan ujung diameter
    B.    2y    2x          9           E.     2y          4x       7
                                                                            A(2, 4) dan B( 4, 2) adalah . . . .
    C.    2y    4x          11

         Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  56
http://mathzone.web.id
    A.   (x   3)2   (y   1)2   10                          39. Koordinat titik fokus elips
    B.   (x   1)2   (y   3)2   10                              9x2 25y2 36x 50y 164                         0 adalah . . . .
    C.   (x   1)2   (y   3)2   10                              A. (6, 1) dan ( 2, 1)
    D.   (x   1)2   (y   3)2   10                              B. ( 6, 1) dan (2, 1)
    E.   (x   1)2   (y   3)2   10                              C. (1, 6) dan (1, 2)
                                                               D. (1, 6) dan (1, 2)
34. Persamaan garis singgung pada parabola
                                                               E. (6, 1) dan ( 1, 1)
    y2 8x yang sejajar dengan garis 2x y 1 0
    adalah . . . .
                                                                                                             x2         y2
    A. y 2x 1             D. 2y x 1                        40. Diketahui salah satu asimtot dari                                  1
    B. y 2x 1             E. y 2x 2
                                                                                                             4          b2
    C. 2y x 1                                                    sejajar dengan garis 6x         3y   5    0. Nilai               b2
                                                                   . . . .
35. Salah satu persamaan asimtot hiperbola dengan                      1
    persamaan 9x2    16y2   36x    32y    124   0                A.                              D.   16
                                                                       4
    adalah . . . .                                               B.    1                         E.   25
    A. 4y 3x 2 0                                                 C.    4
    B. 4y 3x 1 0                                           41. Persamaan hiperbola yang berfokus di titik
    C. 3x 4y 2 0                                               ( 8, 1) dan (18,1) serta jarak kedua puncak
    D. 3x 4y 2 0                                               hiperbola 24 satuan, adalah . . . .
    E. x 3y 4
                                                                       (x        1)2   (y       5)2
                                                                 A.                                   1
36. Gradien garis singgung sebuah kurva di setiap titik                     12              5
            dy                                                                5)2             1)2
    adalah         3x 2   4x   3 . Jika kurva tersebut           B.
                                                                       (x              (y
                                                                                                      1
            dx                                                              144             25
    melalui titik (3, 10) maka persamaan kurvanya
                                                                       (x        1)2   (y       5)2
    adalah . . . .                                               C.                                   1
                                                                            12              5
    A. y x3 2x2 3x 10
    B. y x3 2x2 3x 16                                                  (y        1)2   (x     5)2
                                                                 D.                                   1
    C. y x3 2x2 3x 26                                                       25              16
    D. y x3 2x2 3x 16                                                  (y      1)2     (x     5)2
                                                                 E.                                   1
    E. y x3 2x2 3x 26                                                       144             25


                                                                   Analisis
37. Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada
    lingkaran x2 y2 4x 6y 12 0 adalah . . . .
    A. 3x 4y 19 0
    B. 3x 4y 19 0
                                                                      Soal tentang suku banyak selalu keluar
    C. 4x 3y 19 0
                                                                      setiap tahun. Tahun 2000-2001 keluar
    D. x 7y 26 0
                                                                      sebanyak 2 soal. Tahun 2002-2005
    E. x 7y 26 0
                                                                      keluar 1 soal. Kemungkinan akan keluar
                                                                      juga 1 soal pada tahun 2006.
38. Persamaan parabola dengan fokus (2, 1) dan garis
    direktriks x = 6 adalah . . . .
    A.   y2   2y    8x   31    0
          2
    B.   y    2y    8x   33    0
          2                                                           Pelajari cara menentukan sisa pembagian
    C.   y    2y    8x   35    0
                                                                      dan menentukan akar-akar persamaan
    D.   x2   8x    8y   18    0
          2
                                                                      suku banyak.
    E.   x    8x    8y   24    0




                                                      Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir        57
http://mathzone.web.id


          11           SUKU BANYAK


 A.                     Pengertian Suku Banyak                             C.                   Pembagian Suku Banyak

1.    Bentuk anxn an 1xn 1 an 2xn 2 … a1x a0,                             1.   Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi,
      dengan an 0 dan n bilangan cacah disebut suku                            dan sisa pembagian adalah:
      banyak dalam variabel x berderajat n.
                                                                               Yang dibagi Pembagi Hasil bagi Sisa pembagian
2.    an, an 1, an 2, … , a1, adalah bilangan-bilangan real
                                                                          2.   Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi
      yang merupakan koefisien-koefisien suku banyak
                                                                               oleh suku banyak g(x) berderajat kurang dari n,
      dari masing-masing variabel x, sedangkan a0
                                                                               maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa
      disebut suku tetap.
                                                                               pembagian s(x).

                                                                                                  f(x)     h(x)g(x)     s(x)
 B.                     Nilai Suku Banyak
                                                                          3.   Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi
                                                                               x    k, maka sisanya f(k).
1.    Jika dua buah suku banyak dalam variabel x
      memiliki nilai sama untuk setiap nilai x, maka                      4.   Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi
      koefisien-koefisien suku-suku yang sepangkat                                                                    b
      adalah sama.                                                             ax      b, maka sisanya f                .
                                                                                                                      a
      anxn an 1xn 1 an 2xn 2 …                    a1x   a0    bnxn        5.   Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi ax2
      bn 1xn 1 bn 2xn 2 … b1x                      b0                             bx c, maka hasil baginya h(x)
                                                                               berderajat n 2 dan sisanya s(x) px q.
      maka:
                                                                               Jika pembagi g(x) dapat difaktorkan menjadi faktor-
      an       bn, an   1     bn 1, …, a1     b1, dan a0       b0
                                                                               faktor linier (x c)(x d), maka sisa pembagian
2.    Nilai suku banyak f(x) anxn an 1xn                1
                                                             an 2xn   2        suku banyak f(x) oleh (x         c)(x d) adalah
        … a1x a0 untuk x k adalah:                                                                                          f (c )   f (d )
                                                                               s(x)      px       q dengan p                                dan
      ank  n
             an 1k      n 1
                       an 2k       n 2
                                          …       a1k   a0, dengan                                                              c    d
      k bilangan real.
                                                                                      cf (d )    df (c )
                                                                               q
                                                                                           c     d




                                                        Contoh
                                                        Contoh Soal
1.    Suatu suku banyak f(x) dibagi (x 2) sisanya 5                            Jawab:
      dan (x 2) adalah faktor dari f(x). Jika f(x) dibagi                      •  F(x) dibagi x2 4 sisanya ax b
      x2 4, sisanya adalah . . . .                                                (x2 4) (x 2)(x 2)
      A. 5x 10               D.    5x 30                                          x    2      F( 2)   2a b 0                           .... (1)
      D.       5   x    5
                                     E.       5   x     7                         x 2         F(2 2a b 5                               .... (2)
               4        2                     4         2
      C.       5x      10                                                      •      Eliminasi b dari Persamaan (1) dan (2)


           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     58
http://mathzone.web.id
               2a      b             0                                                                        Jadi, sisanya adalah 80x                            16        5x      1
               2a      b             5                                                                                                                                               Kunci: C
                      4a             5
                                                                                                        3.    Akar-akar persamaan 2x3                             11x        17x 6 adalah
                                    5                        b       5
                          a         4                                2                                                                                                 1
                                                                                                              x1, x2, dan x3. Nilai x1                      x2           x adalah . . . .
     Jadi, F(x) dibagi x                   2
                                                   4 sisanya             5   x    5                                                                                    3 3
                                                                         4        2
                                                                                  Kunci: B                             31
                                                                                                              A.                                         D.       2
                                                                                                                        2
2.   Suku banyak f(x) dibagi (x 1) sisanya 2 dan
                                                                                                              B.       5                                 E.       4
     dibagi (x    3) sisa 7, suku banyak g(x) dibagi
     (x 1) sisa 3 dan dibagi (x 3) sisa 2. Diketahui
                                                                                                              C.       51
     h(x)   f(x) · g(x), jika h(x) dibagi x2 2x   3,                                                                    2
     sisanya adalah . . . .                                                                                   Jawab:
     A.    S(x)          3x            1               D.        S(x)        6x       1
                                                                                                              Misalkan (x       b) faktor dari suku banyak
     B.    S(x)          4x            1               E.        S(x)        7x       2                                3
                                                                                                              f(x) 2x 11 17x 6. Sehingga p merupakan
     C.    S(x)          5x            1
                                                                                                              pembagi dari 6 yaitu 1, 2, 3 dan 6. Cari
     Jawab:                                                                                                   nilai dari f(p) untuk nilai-nilai tersebut sampai
           f(x) dibagi (x                      a) sisanya f(a)                                                ditemukan salah satu faktor dari suku banyak f(x).
           f(x) dibagi (x                      a)(x b) sisanya ax                         b                   p        1       f(1)        2(1)3 11(1)                  17 · 1        6
           f(x) dibagi (x 1)(x 3)
                                                                                                                                           2        0 (bukan faktor)
           f( 1)     a b     2   ..... (1)
           f(3) 3a b 7           ..... (2)                                                                    p            1    f( 1) 2( 1)2 11( 1)2                         17( 1)         6
           Eliminasi           b dari Persamaan (1) dan (2)                                                                                    36        0 (bukan faktor)
            a b                 2
                                                                                                              p        2       f(2)        2(2)3 11(2)2                     17(2)       6
           3a b                 7
                4a              9                                                                                                          0 (bukan faktor)
                                9                        b          1                                         Selanjutnya dicari faktor yang lain dengan cara
                      a         4                                   4
                                                                                                              skematik
                                                                                  9   x        1
     Jadi, f(x) dibagi (x                       1)(x         3) sisanya           4            4   .
                                                                                                                   Suku ke-1     Suku ke-2          Suku ke-3          Suku ke-4
           g(x) dibagi (x                       1)(x         3) sisanya px                q                                2          11                 17                  6          Konstanta
                                                                                                                   2                                                                    pada
           g( 1)               p           q       3             ..... (3)                                                            4                  14                  6          suku
                                                                                                                                                                                        banyak
           g(3)          3p            q        2                ..... (4)                                Faktor
                                                                                                          suku                                                               0   Sisa
           Eliminasi b dari Persamaan (3) dan (4)                                                         banyak
                                                                                                                           2               7                  3
            p q       3
           3p q       2                                                                                       2x3      11x2       17x          6         (x       2) (2x2 7x              3)

                    4p             1                                                                          (x       2) (2x2 1) (x               3)
                                1                        q         11
                      p         4                                  4                                                                  1
                                                                                                              x1       2 x2                x3        3
                                                                                  1x          11                                      2
     Jadi, g(x) dibagi (x                          1)(x 3) sisanya                4           4
                                                                                                 .
          1x        11     9   x           1                                                                                               1                           1         1
          4         4      4               4                                                                  Jadi, x1         2x2           x          2        2 (     )         (3)
                                                                                                                                           3 3                         2         3
                     1 (      9x 2             98 x      11)
                    16                                                                                                                                  2        1      1
                                                     9
                                                    16                                                                                                  4
                               1 (      9x     2
                                                       98 x          11)                                                                                                            Kunci: E
     x2        2x 3           16
                               1 (
                              16
                                        9x2            18 x          27)
                                                       80 x          16


                                                                                                   Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                          59
http://mathzone.web.id
4.    Suku banyak V(x) jika dibagi x2 9 dan x2 16                                5.   Suku banyak (2x3      7x2    ax    3) mempunyai
      sisanya 5x   2 dan nol. Jika V(x) dibagi oleh                                   faktor (2x     1). Faktor-faktor linier yang lain
       2
      x    7x 12 maka sisanya adalah . . . .                                          adalah . . . .
      A. S(x)    17x 68                                                               A.     (x          3) dan (x                     1)
      B. S(x) 17x 68                                                                  B.     (x          3) dan (x                     1)
      C. S(x)    17x 68                                                               C.     (x          3) dan (x                     1)
      D. S(x) 68 17x
                                                                                      D.     (x          3) dan (x                     1)
      E. S(x)    68 17x
                                                                                      E.     (x          2) dan (x                     6)
      Jawab:
         V(x) dibagi x2 9 sisanya 5x                             2                    Jawab:
             x2 9 (x 3)(x 3)                                                                 f(x)            2x3          7x2              ax        3
         V(3) 5(3) 2 14                                                                              faktor (2x                   1) sehingga x                       1
                                                                                                                                                                      2
         V( 3) 5( 3) 2       17
                                                                                                                          3                     2
                                                                                             f       1           2    1                7    1             a   1           3
            V(x) dibagi x2 16 sisanya nol                                                            2                2                     2                 2
               x2 16 (x 4)(x 4)                                                                      0           2    1           7    1            1a        3
                                                                                                                      8                4            2
            V(4) 0
                                                                                                                      1        7            1a           3        0
            V( 4) 0                                                                                                   4        4            2
                                                                                                                                                      1a          1
            V(x) dibagi x2             7x        12 sisanya px            q                                                                           2
                  x2       7x     12        (x    4)(x       3)                                                                                          a        2
           V( 4)            4p    q                                                   Jadi, f(x)                 2x  3
                                                                                                                              7x   2
                                                                                                                                            2x           3.
                  0         4p    q                                  ..... (1)        1
                                                                                      2      2           7        2           3
           V( 3)            3p    q
                                                                                                         1        4           3
                 17         3p    q                                  ..... (2)
                                                                                             2           8        6           0                 Hasil bagi
            Eliminsi q dari Persamaan (1) dan (2)
              4p q       0                                                            2x2 8x                 6        2(x2             4x        3)
              3p q       17                                                                                           2(x          1)(x             3)
                       p         17                                                   f(x)       2x3             7x2          2x           3
                       p         17          q         68                                        2(2x            1)(x             1)(x          3)                        Kunci: B
                                                  2
      Jadi, jika V(x) dibagi oleh x                    7x            12 maka
      S(x)     17x 68.                                               Kunci: A




                                                                        Soal-Soal Ujian Nasional
                                                                         oal- oal

1.    Suku banyak P(x) 3x3 4x2 6x 20 habis                                       3.   Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x 1) bersisa
      dibagi (x   2). Sisa pembagian P(x) oleh                                        8 dan dibagi (x 3) bersisa 4. Suku banyak g(x)
      3x2 2x 2 adalah . . . .                                                         jika dibagi (x    1) bersisa 9 dan jika dibagi
      A.    20x        24                   D.    8x        24                        (x 3) bersisa 15. Jika h(x) f(x) g(x) maka sisa
      B.    20x        16                   E.        32x    16x                      pembagian h(x) oleh (x2 2x 3) adalah . . . .
      C.    32x        24                                                             A.         x       7                                  D.       11x          13
                                                                                      B.     6x          3                                  E.       33x          39
2.    Akar-akar persamaan x3                     4x2    x 4 0 adalah
                                                                                      C.         6x          21
      x1, x2, dan x3. Nilai x12                  x22    x32 adalah . . . .
      A.    2                               D.    17                             4.   Suku banyak 6x3 13x2 qx 12 mempunyai
      B.    14                              E.    18                                  faktor (3x 1). Faktor linier yang lain adalah . . . .
      C.    15

           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     60
http://mathzone.web.id
     A.   2x    1               D.   x    4                     12. Diketahui persamaan x3      x2 x      0. Jika
     B.   2x    3               E.   x    2                              1,    2 dan adalah akar-akar persamaan
     C.   x     4                                                   tersebut, maka nilai dari 2    2 2
                                                                                                         . . . .
                                                                    A. 3                    D. 12
5.   Fungsi y       4x3   6x2   2 naik pada interval . . . .
                                                                    B. 6                    E. 14
     A.   0     x    1          D.   x    0
                                                                    C. 8
     B.   x     1               E.   x    0 atau x    1
                                                                13. Suku banyak x4 ax3 2x2 bx 5 jika dibagi
     C.   x     1
                                                                    oleh (x 2) bersisa 7, sedangkan suku banyak
6.   Suatu suku banyak dibagi (x       5) sisanya 13,               tersebut dibagi (x 3) akan memberikan sisa 182.
     sedangkan jika dibagi (x     1) sisanya 5. Suku                Nilai dari a2 4ab 4b2 . . . .
     banyak tersebut jika dibagi x2 6x 5 sisanya                    A. 1                    D. 16
     adalah . . . .                                                 B. 4                    E. 25
     A.   2x    2               D.   3x    2                        C. 9
     B.   2x    3               E.   3x    3
                                                                14. Akar-akar      persamaan    suku     banyak
     C.   3x    1                                                      3     2
                                                                    px    5x    22x q 0 adalah x1   1, x2 5 dan
7.   Suatu suku banyak bila dibagi oleh x 2 bersisa                 x3. Nilai x1 x2 4x3 . . . .
     11, dibagi oleh x 1 sisanya 4. Suku banyak                                                            1
                                                                      A.     10                     D.    22
     tersebut bila dibagi oleh x2 x 2 bersisa . . . .
                                                                      B.    2                       E.    10
     A. x 5                   D. 5x 1
                                                                      C.   2
     B. x 5                   E. 5x 1
     C. 5x 21                                                   15. Suku banyak x3   Ax2    Bx 6 habis dibagi
                                                                    (x 3x 2). Nilai A B . . . .
8.   Suku banyak (x4 7x3 9x2 13x 7) dibagi
                                                                    A.  5                D. 17
     (x 1) (x 3) menghasilkan sisa . . . .
                                                                    B.  17               E. 19
     A. x 1             D. 2x 1
                                                                    C. 5
     B. x 3             E. 2x 3
     C. 2x 1                                                    16. Persamaan x3 2x2 5x 6 0 mempunyai akar-
                                                                    akar x1, x2, dan x3. Nilai x1 x2 x3 dan x1x2x3
9.   Suku banyak P(x) x3 (a           1)x2 bx 2a, habis
                                                                    adalah . . . .
     dibagi oleh x 2, dibagi x        2 sisanya 4. Nilai a
                                                                    A. 2 dan 6               D. 5 dan 6
     dan b berturut-turut adalah     . . . .
                                                                    B.   6 dan 2             E.   5 dan 6
     A. 7 dan 3              C.       3 dan 5
                                                                    C.   2 dan 6
     B.   2 dan 6            D.       1 dan 3
     E.   4 dan 8                                               17. Suku banyak f(x) jika dibagi x 2 sisanya 8 dan
                                                                    jika dibagi 3x 1 sisanya 1. Sisa pembagian f(x)
10. Akar real persamaan x5 2x4 4x2              ax    b   0
                                                                    oleh 3x2 5x 2 adalah . . . .
    adalah x1 1, x2 3, dan x3.
                                                                    A. 2x 3                 D. 3x 2
    Nilai dari x1 x2 2x3 . . . .
                                                                    B. 3x 3                 E.    3x 2
    A. 0                  D. 3
                                                                    C. 3x 2
    B. 1                  E. 4
                                                                18. p dan q merupakan akar-akar rasional dan
    C. 2
                                                                    persamaan 3x4 8x3 7x 2 0.
11. Suku banyak x4 5x3 ax2 x b jika dibagi x                        Nilai p q . . . .
    bersisa 2 dan dibagi (x  1) bersisa 1. Nilai                              8                            5
                                                                      A.                            D.
    a 3b . . . .                                                              3                            3
    A. 8                  D. 2                                                7                             7
                                                                      B.                            E.
    B. 6                  E. 0                                                3                             3
    C. 4
                                                                              5
                                                                      C.
                                                                              3




                                                           Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir   61
http://mathzone.web.id
19. Diketahui suku banyak
           1 5
    f(x)   2
             x   4x3 6x2 3x 8.
    Nilai suku banyak f untuk x  2 adalah . . . .
                                                                               Pelajari cara menentukan sisa pembagian
    A.    70               D. 18
                                                                               dan menentukan akar-akar persamaan
    B.    6                E. 26
                                                                               suku banyak.
    C.    40


      Analisis
          Soal tentang suku banyak selalu keluar
          setiap tahun. Tahun 2000-2001 keluar
          sebanyak 2 soal. Tahun 2002-2005
          keluar 1 soal. Kemungkinan akan keluar
          juga 1 soal pada tahun 2006.




          12         FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS



 A.                  Fungsi Komposisi                                  B.              Fungsi Invers

1.    Misalkan fungsi f(x) dan g(x) masing-masing                     1.   Suatu fungsi f : A  B memetakan setiap anggota
      terdefinisi pada daerah asalnya, maka:                               A ke B secara unik. Invers dari fungsi f, ditulis
           fungsi f(x) dilanjutkan dengan fungsi g(x)                      f 1 merupakan balikan fungsi tersebut, yaitu relasi
           dinyatakan oleh (g f)(x) g(f(x)) terdefinisi                    yang menghubungkan anggota-anggota di B ke A.
           jika Rf   Dg      .
           fungsi g(x) dilanjutkan dengan fungsi f(x)                 2.   Suatu fungsi f : A       B mempunyai fungsi invers
           dinyatakan oleh (f g)(x) f(g(x)) terdefinisi                    f 1 : B       A jika dan hanya jika f merupakan
           jika Rg    Df     .                                             fungsi bijektif, yaitu fungsi satu-satu dan onto.

2.    Sifat-sifat fungsi komposisi                                    3.   Misalkan f adalah fungsi bijektif dengan daerah
            Pada umumnya, fungsi komposisi tidak bersifat                  asal Df dan daerah hasil Rf maka f 1(x) adalah
            komutatif                                                      fungsi invers dari f jika dan hanya jika (f 1 f)(x)
                                                                             (f f 1)(x) x.
                            (f   g)(x)    (g f)(x)
                                                                      4.   Grafik fungsi f(x) dan grafik fungsi f 1(x) simetri
            Fungsi komposisi bersifat asosiatif                            terhadap garis y x.
            Untuk sembarang fungsi f(x), g(x), dan h(x),              5.   Jika f(x) dan g(x) fungsi bijektif dan f 1(x)dan g 1(x)
            berlaku                                                        masing-masing merupakan fungsi inversnya maka
                                                                           •    (f g) 1(x) (g 1 f 1)(x)
                (f   (g h))(x)      ((f   g) h)(x)
                                                                           •    (g f) 1(x)   (f   1
                                                                                                      g 1)(x)
3.    Dalam fungsi komposisi terdapat unsur identitas,
      yaitu fungsi identitas I(x) x yang memiliki sifat
      (f I)(x) (I f)(x) f(x).


           Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     62
http://mathzone.web.id


                                                                           Contoh
                                                                           Contoh Soal
1.   Jika g(x) (x 1) dan (f g )( x ) x2 3x                                       1,                                                                         1
                                                                                                                        (f g )( x )                                         x2        4x           5
     maka f(x) . . . .                                                                                                                                x            2
     A. x2 5x 5            D. x2 6x 1                                                                                   (f g )( x )                  f (g ( x ))
     B. x2 x 1             E. x2 3x 1
           2                                                                                              Misalkan g(x)                         y
     C. x     4x 3
                                                                                                                   (f       g )( x )            f ( g ( x ))           f (y )
     Jawab:
                                                                                                      1       x2        4x          5             y2           1                   kedua ruas
                                                                                                                                                                            ...... dikuadratkan
                                  (f g ) (x)         f(g(x))                                      x       2
                          x2        3x        1      f(x       1)                                             x2 4x 5
                 2                                                                                                                              y2         1
     (x      1)           (x         1)       1      f(x       1)                                              ( x 2 )2
                                   f(x       1)      (x        1)2 (x 1) 1                                                        y2            x2 4x 5
                                                                                                                                                                              1 ...... sam akan
                                                                                                                                                 ( x 2 )2                              penyebut
                                           f(x)      x2        x 1    Kunci: B
2.   Jika (g          f )( x ) 4x2 4x dan g(x) x2                           1, maka                                               y2            x2 4x 5                          (x       2)2
                                                                                                                                                 ( x 2)2                         (x       2)2
     f(x 2)           adalah . . . .
     A. 2x              1            D. 2x 3                                                                                                    x2         4x           5    (x2          4x       4)
                                                                                                                                  y2
     B. 2x              1            E. 2x 5                                                                                                                           (x     2 )2
                                                                                                                                  y2                   1
     C. 2x              2                                                                                                                       (x         2 )2

     Jawab:                                                                                                                                                1                     1
                                                                                                                                    y
                                                                                                                                                  (x           2 )2          x        2
     Diketahui: (g f ) (x)                      4x2        4x
                                                                                                 Sehingga,
                                   g(x)         x2        1
                                                                                                 g( x )        y                    1
                          (g f ) (x)          g(f(x))                                                                         x         2
                          4x2        4x         f(x)2 1                                                                                 1                              1
                                                                                                 g( x         3)
                                   f(x)2        4x2 4x                 1                                                    x           3            2             x         5
                                   f(x)2        (2x 1)2                                                                                                                                   Kunci: A
                                    f(x)        2x 1
                                                                                                                                           5x    3                                             1
     Jadi, f(x             2)       2(x       2) 1                                         4.    Diketahui fungsi f ( x )                          , x                                         2
                                                                                                                                                                                                   , dan
                                                                                                                                            2x   1
                                    2x       4 1                                                 g(x)       3x              2. Hasil dari (f 1 g )( x )                                    . . . .
                                    2x       3                             Kunci: C                       3x            5
                                                                                                                          ,     x           1
                                                                                                 A.       6x            1                   6
3.                        2
     f (x)            x            1 dan
                                                                                                          3x            5                   1
                                                                                                 B.                       ,     x           6
     (f g )( x )                   1        x   2
                                                          4x       5,                                     6x            1
                              x        2                                                                  3x            5                        1
                                                                                                 C.                       ,     x                6
     maka g(x                 3)       . . . .                                                            6x            1
                                                                                                          6x            5                   1
                  1                                                1                             D.                       ,     x
     A.                                              D.                                                   6x            3                   2
             x         5                                       x       3
                                                                                                          6x            5                   1
                  1                                                1                             E.                       ,     x           2
     B.                                              E.                                                   6x            3
             x         1                                       x       3
                                                                                                 Jawab:
                  1
     C.      x         1
                                                                                                                                    5x            3
     Jawab:                                                                                                        f(x)             2x            1
                                                                                                                                                                   Misalkan f(x)                   y

     Diketahui: f ( x )                     x2        1
                                                                                                                                    5x            3
                                                                                                                        y           2x            1


                                                                                      Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                                                  63
http://mathzone.web.id
                2yx           y      5x        3                                                        Jawab:
               2yx           5x      3         y                                                                                                                           x
                                                                                                        (g f )( x )      g (f ( x ))            g( x )
                                                                                                                                                                       x       1
               x(2y           5)     3         y
                                         3         y                                                    Misalkan: (g f )( x )                   y
                              x                                                                                                                          x
                                         2y         5                                                                              y
                                                                                                                                                     x         1
                                         3         x
                        f 1(x)                                                                                        y x          y             x
                                         2x         5
                                                                                                                   y x             x                 y
               1                     f 1(g(x))              f 1(3x + 2)                                                                                                   kedua ruas
          (f           g )( x )                                                                                        x (y        1)                y              ..... dikuadratkan
                                         3     (3 x   2)                   3x   5                                     x( y        1)2           y2
                                         2(3 x     2)  5                 6x   4   5
                                                                                                                                                         y2
                                                                                                                                   x
                                         3x         5              1
                                                                                  Kunci: A                                                      (y            1)2
          (f 1 g )( x )                               , x
                                         6x         1              6
                                                                                                                   (g f ) 1( x )                         x2
5.    Jika f ( x )                  x, x           0 dan g ( x )             x     , x        1,                                                (x            1)2
                                                                         x        1                                                                  22                4
                  1
      maka (g f ) (2)                              . . . .                                                         (g f ) 1(2)                                                 4
                                                                                                                                                (2        1)2          1
                   1
      A.           4                                     D.    2
                                                                                                                                                                                   Kunci: E
                   1
      B.           2                                     E.    4
      C.        1



                                                                                          Soal-Soal Ujian Nasional
                                                                                           oal- oal

1.    Diketahui: f(x)                     2x         1                                                  A.    2                                      D.        2
                               (f g ) (x            1)        2x   2
                                                                         4x       1                     B.    1                                      E.        3
      Nilai        g( 2)           . . . .                                                              C.   1
      A.           5                                     D.    1                                   4.   Jika f(x)             x         1 dan (f g ) (x)                           2 x   1,
      B.           4                                     E.    5                                        maka fungsi g adalah g(x) . . . .
      C.           1                                                                                    A. 2x 1               D. 4x 3
                                         2  3x                         1              1
                                                                                                        B. 2x 3               E. 5x 4
2.    Diketahui f(x)                           , x                       . Jika f         adalah
                                         4x  1                         4                                C. 4x 5
      invers fungsi f, maka f 1(x                                2)       . . . .                  5.   Diberikan fungsi f dan g dengan f(x) 2x 1 dan
                   4          x               5                                                          (f g )( x )   x , x       1 maka invers dari
      A.                         , x
                   4x          5              4                                                                      x    1
                    x          4                   5                                                    fungsi adalah g 1(x) . . . .
      B.                         , x
                   4x          5                   4                                                               x
                                                                                                        A.              , x        1
                    x          2                   3                                                           x       1
      C.                         , x
                   4x          3                   4                                                           2x  1
                                                                                                        B.          , x                0
                         x                         3                                                            2x
      D.                           , x
                   4x          3                   4                                                           x       1
                                                                                                        C.              , x        0
                          x        , x             5                                                               x
      E.           4x          5                   4                                                             2x , x                     1
                                                                                                        D.     2x   1                       2
3.    Diketahui fungsi f(x)                            6x      3, g(x)           5x       4, dan
          (f g ) (a)              81. Nilai a               . . . .                                            2x   1
                                                                                                        E.           , x                0
                                                                                                                 2x

               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     64
http://mathzone.web.id
6.   Diketahui f : R    dan g : R   R, didefinisikan                                                 12. Diketahui f(x)                x        1 dan (f g ) (x)                  3x2          4 maka
     dengan f(x)     x3  4 dan g(x)  2 sin x. Nilai                                                        g(4) . . . .
     (f g )           1                                                                                    A. 15                                             D.     52
                      2         adalah . . . .
                                                                                                           B. 16                                             E.     57
     A.      4                                    D.        6
                                                                                                           C. 51
     B.     2                                     E.        12
     C.     3                                                                                        13. Diketahui fungsi f yang dinyatakan dengan

7.   Diketahui f : R                     R, g : R                R dengan                                                       x      4                               5
                                                                                                           f(x    3)           2x      5
                                                                                                                                         untuk x                       2,   dan f 1(x) adalah
                                                                     2
     g(x)       3x             7 dan (g f ) (x)                 15x           6x         19.
                                                                                                           invers dari f(x). Rumus fungsi f 1(x)                                          . . . .
     Rumus untuk f(x) adalah . . . .
     A.     5x2           6x       12             D.        5x2       2x        4                                  1        x                   1                   5x           4              1
                                                                                                           A.                 , x               2            D.                    , x          2
                  2                                             2                                                 1        2x                                       2x           1
     B.     5x            6x       4              E.        5x        2x        3
                  2                                                                                               1         x                                       5x           4
     C.     5x            3x       4                                                                                          , x               1                                  , x              1
                                                                                                           B.     1        2x                   2            E.     2x           1                  2
8.   Diketahui fungsi f(x)                       2x         3 dan g(x)               3x        1.
     Nilai x yang memenuhi (f g ) (x                                4)        f(x)       2g(x)                    1            x                1
                                                                                                           C.                    , x            2
                                                                                                                  2x            1
     adalah . . . .
                                                             1                                       14. Diketahui: g(x)                    x           4
     A.       12                                  D.
                                                             2                                                                  (f g ) (x)              x2        3x        2.
     B.       1                                   E.        12                                             Nilai f(0) sama dengan . . . .
     C.       2                                                                                            A. 20                  D. 8
                                        2x      3                                                          B. 16                  E. 6
9.   Diketahui f(x)                               ,x             4 dan g(x)                  2x,           C. 15
                                        x       4
     maka (g f ) 1( x )                      . . . .                                                 15. Diketahui f(x                 2)           x             5
                                                                                                                                                                    , x               1
                                                                                                                                                    2x             1                  2
                       2                                    4x        10
                          ,x 1
               x
     A.                                           D.                     ,x              3                 Jika f 1 (x) adalah invers dari f(x) maka
              3x        1     3                              3        x
                                                                                                           f 1(x) . . . .
              2x        5       2                           4x        10
     B.                   ,x                      E.                     ,x          3
              3x        2       3                            3        x                                           5x 1                          1                      x         2                  1
                                                                                                           A.          , x                      2            D.                    , x              2
                4x        6                                                                                       1 2x                                                 2x         1
     C.                     ,x 4
                x       4                                                                                          x        1                                          2x        3
                                                                                                                              , x               1                                  , x              1
                                                                                                           B.     1        2x                   2            E.        2x        1                  2
                         2x 3
10. Diketahui: f : x          , x                                         4
                          x 4                                                                                         5x        3                   1
                                                                                                           C.                     , x
               (g f ) (x) x2 7x                                     8                                                 2x        1                   2

     Nilai dari             g 5
                              8
                                             . . . .                                                 16. Jika (f g )(x)                    4x2          8x         3 dan g(x)                  2x        4,
     A.     8                                     D.        0                                                             -1
                                                                                                           maka f           (x)        . . . .
     B.     6                                     E.         4                                             A.     x        9                                 D.     2            x         1
     C.     4                                                                                              B.     2                                          E.
                                                                                                                             x                                      2             x        7
                                                                      1
                                                                                                           C.     x2        4x       3
11. Fungsi invers dari f ( x )                         (1        x 3 )5        2 adalah
     f 1(x)           . . . .                                                                        17. f(x)         x        2 untuk x                    0
                                                                                                                       15
                                         1                                       5                         g(x)                     untuk x                 0
                                    5 3                                                                                 x
     A.       1           (x     2)               D.        1       (x        2) 3
                                                                                                                             1
                                                                       5
                                                                                                           Dengan demikian f   g 1 (x)                                       1 untuk x sama
                                      1
                                    5 3                     (x      2) 3
     B.       1           (x     2)               E.                                                       dengan . . . .
                                    5                                                                      A. 1                                              D.     8
     C.     1          (x        2) 3
                                                                                                           B. 3                                              E.     10
                                                                                                           C. 5


                                                                                                Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                                     65
http://mathzone.web.id

18. Fungsi invers dari f(x)
                                                   3x
                                                   2x
                                                              4
                                                              1
                                                                adalah . . . .            Analisis
                 2x              1                       2x      3                          Tahun 2002 dan 2003 soal tentang fungsi
       A.        3x              4
                                               D.        x       4                          komposisi dan fungsi invers keluar
                                                                                            sebanyak 2 soal. Tahun 2001-2002 dan
                 x           4                            x      4
       B.                                      E.                                           2004-2005 hanya keluar 1 soal saja.
                 2x          3                           2x      3

                 3x              4
       C.        2x              1

                                                                                           Pahami cara menentukan fungsi kom-
                                                                                           posisi jika salah satu fungsi diketahui,
                                                                                           begitu juga cara menentukan invers dari
                                                                                           suatu fungsi.




          13                 LIMIT FUNGSI


 A.                   Pengertian Limit di Suatu Titik                              2.   Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari
                                                                                        pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien
                                                                                        variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x)
Misalkan fungsi f(x) didefinisikan di sekitar x                          a, maka        bernilai positif maka
    lim f ( x )           L jika dan hanya jika
x      a                                                                                                           f (x)
                                                                                                            lim
                                                                                                            x      g( x )
                         lim f ( x )      L        lim f ( x )       L
                     x       a                 x     a
                                                                                   3.   Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari
                     lim f ( x )        L disebut limit kiri                            pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien
                 x       a                                                              variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x)
                                                                                        bernilai negatif maka
                     lim f ( x )        L disebut limit kanan
                 x       a
                                                                                                                  f (x)
                                                                                                        lim
                                                                                                        x         g( x )

    B.                           Limit Fungsi Aljabar                              4.   Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) kurang
                                                                                        dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x) maka
1.      Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) sama
                                                                                                                   f (x)
        dengan pangkat tertinggi variabel x pada g(x) maka                                                  lim             0
                                                                                                            x      g( x )
                      f (x)          koefisien variabel x n dari f ( x )
            lim
            x         g( x )         koefisien variabel x n dari g ( x )

        n adalah pangkat tertinggi variabel x.



                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     66
http://mathzone.web.id
                                                                                                                          lim n f ( x )
 C.                         Teorema Limit
                                                                                                                 9.
                                                                                                                          x     c
                                                                                                                                                        n
                                                                                                                                                            x
                                                                                                                                                             lim f ( x ) ,syaratnya lim f ( x )
                                                                                                                                                                c                             x       c
                                                                                                                                                                                                                       0

                                                                                                                       untuk n bilangan genap.

Misalkan n bilangan asli, k konstanta, dan f dan g
fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
     lim k                  k
                                                                                                                  D.                                 Limit Trigonometri
1.   x    c

2.   lim x                  c
     x    c                                                                                                                         sin x                                       x
                                                                                                                1.        lim                           1 atau lim                            1
     lim kf ( x )                    k lim f ( x )                                                                     x      0       x                              x   0    sin x
3.   x    c                            x    c
                                                                                                                                    tan x                                          x
                                                                                                                2.        lim                            1 atau lim                               1
4.   lim (f ( x )               g ( x ))           lim f ( x )                  lim g ( x )                            x      0       x                              x   0       tan x
     x    c                                        x       c                    x       c
     lim (f ( x )               g ( x ))           lim f ( x )                  lim g ( x )                     3.        lim cos x                      1
5.   x    c                                        x       c                    x       c
                                                                                                                       x      0

     lim (f ( x ) g ( x ))                      lim f ( x )                 lim g ( x )                                             sin ax                  a atau lim   ax                               a
6.                                                                                                              4.        lim
     x    c                                 x      c                    x           c                                  x      0       bx                    b      x 0 sin bx                             b
                                     lim f ( x )                                                                                    tan ax                   a atau lim   ax                              a
         f (x)                   x      c                                                                       5.        lim
7.   lim                                               , syaratnya g(x)                           0.                   x      0       bx                     b      x 0 tan bx                            b
     x c g(x )                   lim g ( x )
                                 x      c
                                                               n
                        n
8.   lim f ( x )                        lim f ( x )
     x    c                             x   c




                                                                                              Contoh
                                                                                              Contoh Soal

1.   lim (3 x                   2)          9x2                    2x         5             ....                      I           N              G A            T
     x

                                                                            4                                                               a2          a
     A.       0                                            D.
                                                                            3
                                                                                                                                            lim         ax 2        bx       c        ax 2            dx      c
               1                                                            5                                                           x
     B.                                                    E.
              3                                                             3                                                                           b   d
     C.       1                                                                                                                                          2 a
     Jawab:

     lim (3 x                    2)              9x2               2x           5
     x                                                                                                                    lim               (x        a )( x        b)       x        ....
                                                                                                                2.
                                                       2                        2                                     x
                      lim            (3 x         2)                    9x                  2x     5
                  x                                                                                                                 a            b                                a       b
                                                                                                                      A.                                                 D.
                  lim            9x     2
                                                 12 x              4          9x        2
                                                                                             2x        5                                    2                                         2
                  x                                                                                                   B.                                                 E.      a        b
                      12      ( 12)                            10               5                                     C. 0
                            2 9                                 6               3                                     Jawab:
                                                                                                 Kunci: E




                                                                                                           Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                                        67
http://mathzone.web.id
          lim              (x         a )( x           b)       x                                                                      sin2 x           2 sin2 2 x
                                                                                                                                                               1
          x                                                                                                               lim
                                                                                                                          x    0                         4
                                                                                  (x      a )( x   b)   x                                              x
                          lim     (x       a )( x              b)        x                                                       2                     2 sin2 2 x
                                                                                                                                                              1                 1
                      x                                                           (x      a )( x   b)   x                 lim sin x                                             4
                                                                                                                          x 0   x2                              1x
                                                                                                                                                                        2
                                    ( x a )( x b ) x 2                                                                                                          2
                          lim
                      x               ( x a )( x b ) x                                                                                                  1           1
                                                                                                                          1            2       1        4           2                            Kunci: C
                                      2                                              2
                                  x          (a b )x ab x
                          lim                                                                                                 1                1
                      x                   ( x a )( x b ) x                                                                2         x          3
                      1 (a
                                                                                                            5.   lim                                     ....
                      2
                                    b)                                                         Kunci: D          x    7       x            7

                                                                                                                           1
                            1         x        1                                                                 A.                                              D.         0
3.            lim                                      sama dengan . . . .                                                54
              x   0 31                x        1
                                                                                                                           1
                                                                                                                 B.                                              E.
                                                                             3                                            13
      A.              0                                           D.
                                                                             2                                            1
                                                                                                                 C.
                      1                                                                                                   9
      B.                                                          E.         2
                      3
                                                                                                                 Jawab:
                      2                                                                                                                                                 3           2        x
      C.                                                                                                                       1                   1
                      3                                                                                                   2         x              3                        3 2          x
                                                                                                                 lim                                        lim
      Jawab:                                                                                                     x    7        x           7                x    7          x            7
                                                                                          1
                                                                     1 (1                                                                      3            2           x                 3          2        x
                           1        x          1                     2
                                                                                     x)   2
                                                                                                                              lim
          lim                                               lim                           2                               x        7       3( 2             x (x             7)           3          2        x
          x       0 31                x        1           x    0 1
                                                                  3
                                                                    (1               x)   3
                                                                                                                                                             9          (2           x)
                                                                     1                                                        lim
                                                           1 (1)     2           1                                        x        7       3 2           x (x               7) 3                 2       x
                                                           2                     2        3
                                                                     2           1        2
                                                           1 (1)     3
                                                                                 3                                                                                  (x              7)
                                                           3                                                                  lim
                                                                                                                          x        7       3 2           x (x               7) 3                 2       x
                                                                                               Kunci: D
                                                                                                                                                             1
                      1         cos2 x                 cos x sin2 x                                                           lim
4.        lim                                                                             ....                            x        7    (3 2             x) 3                   2         x
          x       0                                x4
      A.              0                                           D.         1                                                                   1                                         1
                                                                                                                              3 2              7 3              2       7            (3 3)(3             3)
                      1
      B.                                                          E.         1
                      4
                                                                                                                                   1                1
                      1                                                                                                   9         6              54                                            Kunci: A
      C.
                      2
      Jawab:
                      1         cos2 x                 cos x sin2 x
          lim
          x       0                                    4
                                                   x
                                      sin2 x                   cos x             sin2 x
                            lim
                           x    0                               x4
                                      sin2 x (1                 cos x )
                            lim
                           x    0                           4
                                                        x




                  Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     68
http://mathzone.web.id

                                                                                          Soal-Soal Ujian Nasional
                                                                                           oal- oal


1.    Nilai lim                              x2                   . . . .                                                                         x
                      x       0   1           1       x2                                          8.    Nilai lim                                                          . . . .
                                                                                                                   x           2( x              )    tan ( x        )
     A.       2                                           D.          2
                                                                                                                    1                                           1
     B.       0                                           E.          3                                 A.                                             D.
                                                                                                                    2                                           3
     C.        1
                                                                                                                    1                                           2
                                           sin 2 x                                                      B.                                             E.
                                                                                                                    4                                           5
2.   Nilai lim                                                    . . . .
                  x       0       3           2x          9                                                    1
                                                                                                        C.
     A.       3                                           D.          3                                        4
     B.       1                                           E.          6
     C.       0                                                                                                                    2x 2       9x       5
                                                                                                  9.    Nilai lim                                               . . . .
                                                                                                                   x       5                x  5
3.   Nilai lim                        x       5            2x          1        . . . .                 A.     0                                       D.    11
                  x
                                                                                                        B.     8                                       E.
     A.        1                                          D.      2
                                                                                                        C.     9
     B.       0                                           E.
     C.       1                                                                                                                     x tan 2 x
                                                                                                  10. Nilai lim                                            . . . .
                                                                                                                   x       0       1 cos 6 x
                                             2
                                          4x
4.   Nilai lim                                                 . . . .                                         1                                                1
                  x       0       1       cos 2 x                                                       A.                                             D.
                                                                                                               9                                                3
     A.        2                                          D.      2
     B.        1                                          E.      4                                            1                                                2
                                                                                                        B.                                             E.
                                                                                                               6                                                3
     C.       1
                                                                                                               2
                                      6       x                                                         C.
                                                              1                                                9
5.   Nilai lim                                                              . . . .
                  x       2           x2         4        x       2
                                                                                                         lim                                4x
                                                                                                  11.                                                            . . . .
                  1                                               1                                     x              1           2x            1    2x
     A.                                                   D.
                  2                                               4                                     A.     0                                       D.    2
                  1                                               1                                             1
     B.                                                   E.                                            B.                                             E.
                  4                                               2                                            2
     C.       0                                                                                         C.     1

              1               cos2 ( x               2)                                           12. Nilai lim
                                                                                                                                   2 x tan x
                                                                                                                                                        . . . .
6.   lim                                                       . . . .
     x    2   3x 2                    12 x           12                                                            x               1 cos x

     A.       0                                           D.      1                                     A.      4                                      D.    1
                                                                                                        B.     1                                       E.    4
              1
     B.                                                   E.      3                                     C.     0
              3
               1                                                                                                                        x        2
     C.                                                                                           13. Nilai            lim                             ....
                3                                                                                               x              2        2
                                                                                                                                    x            2x

7.    lim             (2 x            5)(2 x         1)         (2 x       5)      . . . .                          1                                           1
                                                                                                        A.                                             D.
     x                                                                                                              4                                           6
     A.       2                                           D.      7                                                 1                                           1
                                                                                                        B.                                             E.
     B.       3                                           E.      14                                                6                                           4
     C.       7                                                                                         C.     0


                                                                                             Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir                         69
http://mathzone.web.id
14.    lim
                     2 sin x cos x                   1
                                                              ....                                                       t3       8
                                                                                                 20. lim                                  ....
       x
             4
                          6 cos2 x              3                                                      t     2   t   2
                                                                                                                              t       6
                 2                                                1                                                                                    5
      A.                                             D.                                                A.        0                               D.
                 3                                                3                                                                                    4
                  1                                               2                                              4
      B.                                             E.                                                B.                                        E.
                 3                                                3                                              3
                                                                                                                 12
      C.         0                                                                                     C.
                                                                                                                  5
                     f (x    h)        f (x)                                                                     sin 5 x
15.    lim                                          untuk                                                  lim                        ....
       h     0                h                                                                  21.
                                                                                                       x     0   sin 3 x
      f(x)            3x2 cos3 (x2                  ) adalah . . . .                                                                                   5
                                                                                                       A.        1                               D.
      A.         18x3 sin3(x2               )        3x cos2(x2                 )                                                                      3
      B.         sin2(x2          ){cos(x2                )       3x2 sin(x2           )}              B.
                                                                                                                 3
                                                                                                                                                 D.     1
                                                                                                                 5
      C.         cos2(x2           ){sin(x2               )       3x2 sin(x2           )}
                                                                                                       C.        0
      D.         6x cos2(x2             ){cos(x2               )          3x2 sin(x2        )}
                                                                                                                     x tan x
                                                                                                 22.       lim                            ....
      E.         6x cos2(x2             ){cos(x2               )          3x2 sin(x2        )}         x     0   1      cos x
                                                                                                                                                       1
                  4x         6         x2           3x         18                                      A.        4                               D.
16.    lim                                                                    ....                                                                     2
       x     3                     3        x                                                          B.        2                               E.    2
                                                                  13                                   C.        1
      A.         1                                   D.
                                                                   4
                      1                                           27                             23.       lim       3x           2       9x 2    2x        5   ....
      B.                                             E.                                                x
                      2                                            4
                      1                                                                                              5                                  1
      C.                                                                                               A.                                        D.    23
                      4                                                                                              6
                                                                                                                      1                                5
                 sin 3 x          sin 3 x cos 2 x                                                      B.            23                          E.
17.    lim                                                            ....                                                                             6
       x     0                    4x3                                                                  C.             2
                                                                                                                     13
                                                              2                                                               4x
      A.         3                                   D.                                          24.       lim                             ....
                                                              3                                        x     0    x           sin 3 x
                 3                                            1
      B.                                             E.                                                          3
                 2                                            2                                        A.                                        D.    3
                                                                                                                 4
                 3                                                                                     B.        1                               E.    4
      C.
                 4                                                                                               4
                                                                                                       C.
                      3                                                                                          3
                  x          27
18.    lim                             ....                                                                 x                 1
       x     3           2                                                                       25. lim                              ....
                     x       9
                                                                                                       x 1 1                  x
                                                               1
                                                              42
      A.         0                                   D.                                                A.         2                              D.    1
      B.         2                                   E.                                                B.         5                              E.
                  1
                 22                                                                                    C.        0
      C.
                                                                                                                          cos2 (     x)
        cos x                     sin x                                                          26. x     lim
19. lim                                              . . . .                                                 2
                                                                                                                     (2 x    ) tan ( 2            x)
    x      2x                     2
             4
                                                                                                                                                        1
                                                                                                       A.        1                               D.
      A.                                             D.               2                                                                                2
                                                                                                       B.        1                               E.    0
                                                                  1       2
      B.         2                                   E.           2                                                  1
                                                                                                       C.
      C.         1                                                                                                   2

             Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  70
http://mathzone.web.id


     Analisis                                                                    Alokasikan waktu yang lebih banyak
      Diprediksikan soal tentang limit akan                                      untuk mempelajari cara menyelesaikan
      muncul sebanyak 2 soal dalam ujian
                                                                                 limit fungsi yang mengandung akar dan
      nasional pada tahun 2006.                                                  fungsi trigonometri.




      14          TURUNAN FUNGSI



 A.                Aturan Turunan                                       6.    Aturan jumlah
                                                                              Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai
                                                                              turunan f (x) dan g (x), maka
1.    Turunan fungsi f(x) pada sebarang bilangan c
      adalah                                                                               (f     g) (x)    f (x)      g (x)
                                     f (c    h)       f (c )
              f (c )       lim                                 ,
                       x         0            h                         7.    Aturan selisih
      asalkan limit ini ada                                                   Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai
                                                                              turunan f (x) dan g (x), maka
2.    Aturan fungsi konstan
                                                                                           (f     g) (x)     f (x)     g (x)
      Jika f(x) k, dengan k sebuah konstanta, maka
      untuk setiap x  R, berlaku f (x) 0.
                                                                        8.    Aturan hasil kali
                                                                              Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai
3.    Aturan fungsi identitas
                                                                              turunan f (x) dan g (x), maka
      Jika f(x)    x maka f (x)              1.
                                                                                       (f . g) (x)    f(x)g (x)       g(x)f (x)
4.    Aturan pangkat
      Jika f(x) axn, dengan a bilangan real tidak nol                   9.    Aturan hasil bagi
      dan n bilangan asli maka
                                                                              Jika f(x) dan g(x), dengan g(x)  0 merupakan
                                                                              fungsi-fungsi yang mempunyai turunan f (x) dan
                       f (x)          anxn        1
                                                                              g (x), maka

5.    Aturan kelipatan konstanta
      Jika f(x) ku(x), dengan k suatu konstanta dan                                    f             g ( x )f (c )    f ( x )g ( x )
                                                                                            (x)
      u(x) mempunyai turunan u (x) maka                                                g                       [g ( x )]2

                        f (x)           ku (x)




                                                                   Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir     71
http://mathzone.web.id

                                                                   KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASAN
                                                                           KOMPILASI SOAL
                                                                   UJIAN NASIONAL Lima Tahun Terakhir


                                                                                                                       5.   Kunci Jawaban: C
1. Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
                                                                                                                            22x           5 · 2x 1                  16              0       (2x)2            5 · 2x · 2              16    0
1.    Kunci Jawaban: B                                                                                                      Misalkan               2x           a           a2        10a 16                         0
                                                                                                                                                                            (a       8) (a 2)                        0
                                                                       x        5
                                                                   4
          4x    2      3
                           16 x       5
                                               22( x     2)
                                                               2           3                                                                                                        a 8 atau a                       2
                                                               4x              20                                           untuk a                    8                    2x          8                x           3
                                                 2x      4
                                                                        3                                                   untuk a                    2                    2x          2                x           1
                                               6x       12     4x           20                                              HP {1, 3}
                                                        2x     8
                                                         x     4                                                       6.   Kunci Jawaban: C
2.    Kunci Jawaban: A
      22x        2 2x            (2x 2 x)2 2(2x · 2 x)                                                                                             1            2           2                   1 1                  3 1         2 1
                                                                                                                                           25 2 16 4 27 3                               (25 2 ) 2 (16 4 ) 3 (27 3 ) 3
                                 52 2 25 2 23                                                                               p         3                                                                 25       1           5   1
                                                                                                                                           6250,25 810,5                                    (625 100 ) 3 (8110 ) 3
3.    Kunci Jawaban: B                                                                                                                         1                3               2           1                2
                      3                                                                                                           (52 ) 6 (24 )12 (33 ) 9                               53 2 33
                7x    26   y5                                                                                                                          25               5
                                                                                                                                                                                                                         2
                                               substitusikan nilai x                        4 dan y       27                                                                                    1        2
            5               1
                                      2                                                                                                   (5 4 ) 300 (3 4 ) 30                              53          33
           x4         6y    3     x

      Akan diperoleh:                                                                                                  7.   Kunci Jawaban: C
                       3                                                    15                                                                                               log 5
                7 4    26       275                                3                                                              2
                                                                                                                                  log 5                    p                                    p                log 5           p log 2
                                                             7 2        36                                                                                                   log 2
            5                    1                       5
                                           2                               1            4
           44         6 27       3    4                 22     6 3                  2
                                                                                                                                  3                                          log 2                                               log 2
                                                                                                                                  log 5                    p                                    q                log 3
                                                          7 2 2 1                             7                                                                              log 3                                                 q
                                                            3 3                             6   9 3
                                                          8                                   8                             Sehingga,
                                                             1 6 1
                                                        22 2 2                               4 2 2
                                                               3 16
                                                                                                                                  3                             log 125                 log 53 3 log 5
                                                                                                                                  log 125
                                                        14 9 3                      7 9 3        2 2   1                                                          log 3                  log 3     log 3
                                                    2(2 2          1)           2 2         1 4 2         1                                                                             3 ( p log 2)
                                                                                                                                                                                                      3 pq
                                                    7 9 3 (2 2                      1)      7 9 3(2 2           1)                                                                         log 2
                                                        8 1                                       7                                                                                           q

                                                    (1       2 2) 9 3
                                                                                                                                  8                            log 27               log 33              3 log 3
4.    Kunci Jawaban: B                                                                                                            log 27
      3log
                                                                                                                                                                log 8               log 23              3 log 2
                2      x dan 2log 5                 y                       3
                                                                               log 2        x
                                                                                                                                                                                    log 3           log 2                  1          1
                                  log 15                                       log 2                           log 2                                                                log 2             q                  log 2        q
               5log   15                                                                     x    log 3
                                   log 5                                       log 3                             x
                                  log 5 3                                                          log 5                                                                                                 1            3 pq 2         1
                                                                                                                            Jadi, 3log 125                          8
                                                                            2
                                                                               log 5         y                 y                                                    log 27                  3pq
                                     log 5                                                         log 2                                                                                                 q                q
                                 log 5 log 3                                log 5           y log 2
                                                                                                                       8.   Kunci Jawaban: E
                                     log 5
                                                                                                                            35x 1              27x 3                             35x 1 33x 9
                                  y log 2           1 log 2
                                                    x                                                                                                                       5x 1 3x 9
                                           y log 2                                                                                                                            2x   10
                                  log 2 ( y             1)                                                                                                                     x   5
                                                        x                                                              9.   Kunci Jawaban: D
                                          y log 2
                                                                                                                                               2
                                  y        1                                                                                          3                                             9
                                                    xy 1 1                                                                                                  3 1                                  3 1
                                           x
                                                                                                                                3x        2                   9
                                                                                                                                                                            32 x        4          32
                                      y              x    x y
                                                     xy 1                                                                                 32                   1                                    8
                                xy           1
                                                                                                                                      2x           4            2
                                                                                                                                                                            32 x        4
                                                                                                                                                                                                33
                                xy          xy         xy                                                                         3                            33


                 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     16
http://mathzone.web.id
                                                                    8                                                       Misalkan akar-akar persamaan yang baru adalah
                                                2x          4
                                                                    3
                                                                                                                                     2        2         2( x1 x2 )         2( p )
                                             6x         12          8                                                                                                                     2p
                                                                                                                                     x1       x2           x1 x2             1
                                                        6x          20
                                                                                                                                     x1    x2            p
                                                                      1
                                                            x       3
                                                                      3                                                     Persamaan kuadrat yang baru
                                                                                                                             2
                                                                                                                            x        (    )   ·   0
                                                                                                                             2
                                                                                                                            x        ( 2p p)x ( 2p) ( p)                         0
2. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat                                                                                     x
                                                                                                                             2
                                                                                                                                     3px 2p
                                                                                                                                            2
                                                                                                                                                0

                                                                                                                5.   Kunci Jawaban: E
1.   Kunci Jawaban: E                                                                                                   2
                                                                                                                     2x          qx       (q       1)        0
         2                          2
     2x           2px           q           0, akar-akarnya p dan q.                                                                      q                              q 1
                                                                                                                     x1         x2          dan x1 x2
     Diketahui p q 6     p q 6                                                                                                            2                               2
                                                                                                           2                     2        2                          2
     Karena pada persamaan kuadrat di atas a 2, b                                                 2p, c   q ,               x1        x2           (x1       x2)         2x1x2       4
     dan akar-akarnya x1 p dan x2 q maka:
                                                                                                                                      2
                        b               2p                                                                                       q                 q 1
     p q                                                p                                                                                     2                      4
                       a                2                                                                                        2                  2

     Karena p                  q        6, berarti: q                 6 q        (q 6)                                               q2
                                                                                                                                              q 1 4                  0
                                                                                                                                     4
                                                                     6 2q        q 6
                                                                       3q        12  q            4                                       q2
                                                                                                                                                   q     3           0
                                                                                                                                          4
     Dari p q 6 didapat:
                                                                                                                                      2
          p ( 4) 6 2                                                                                                          q    4q 12 0
     sehingga p · q 2 · ( 4)                                        8                                                      (q 6) (q 2)      0
                                                                                                                     q 6 0            q 6
2.   Kunci Jawaban: B                                                                                                q 2 0            q   2
                                                                    2
     Absis titik balik fungsi y px      (p 3) x 2 adalah p.                                                          Jadi nilai q adalah 2 dan 6.
     Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat yang persamaannya:
                                                                                                                6.   Kunci Jawaban: B
                  2                                                                           b            D            2
     y       ax            bx       c adalah (x0, y0) dengan x0                                 dan y 0              2x    9x c 0
                                                                                             2a           4a         Diskriminan: D                      b
                                                                                                                                                             2
                                                                                                                                                               4ac
                                                                    2                                                                                         2
     di mana D determinan b           4ac.                                                                                       121                     ( 9)    4(2)(c)
     Pada fungsi di atas a p, b (p 3) dan c 2                                                                                    121                     81 8c
     Diketahui absis titik baliknya adalah p, maka:                                                                               8c                       40
                                                                                                                                   c                      5
                                                     b   ( p 3)
                           x0           p
                                                    2a    2 p                                                   7.   Kunci Jawaban: A
                                                     p 3                                                             Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x                                        3
                                        p
                                                     2p                                                              adalah:
                                                                                                                                    2
                      2                                                                                              f(x) a(x 3)      2
                  2p           p        3       0                                                                                          2
                                                                                                                     x 0      f(0) a(0 3)      2 16
     (2p          3) (p             1)          0                                                                                         9a 2 16
                                                                                                                                              9a 18
                               3                                                                                                               a 2
     Jadi, p                     atau p                     1
                               2                                                                                     Jadi f(x) 2(x 3)
                                                                                                                                        2
                                                                                                                                            2
                                                                                                                                   2
3.   Kunci Jawaban: B                                                                                                            2x   12x 18 2
                                                                                                                                   2
                                                                                                                                 2x   12x 16
     Bentuk umum persamaan kuadrat yang akar-akarnya
                          2                                                                                     8.   Kunci Jawaban: C
     berlawanan adalah ax   c 0, maka b 0.
     Untuk persamaan kuadrat:                                                                                                                      2
                                                                                                                     F(x) (p 2)x         2(2p 3)x                                5p      6, bernilai positif untuk
          2
     mx           (m           5)x          20          0                    m       5   0                           semua x.
                                                                                 m       5                           Syarat selalu bernilai positif:
     a                     b                    c                                                                    (i)   a 0, berarti p 2 0        p 2
                                                                                                                     (ii)  D 0, berarti:
4.   Kunci Jawaban: C                                                                                                              2
                                                                                                                         {2(2p 3)}     4(p 2) (5p 6)                                     0
              2                                                                                                           2                  2
          x           px        1           0           a       1, b      p, c   1                                   4(4p    12p 9) 20p          64p 48                                  0
                                                                                                                                            2
                                                                                                                                          4p     16p 12                                  0
                                    b               p                                                                                         p
                                                                                                                                               2
                                                                                                                                                   4p 3                                  0
          x1          x2                                        p
                                    a               1                                                                                    ( p 3) (p 1)                                    0
                                c        1
          x1 x2                            1
                                a        1
                                                                                                                                                                 1             3


                                                                                                                                Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                             17
http://mathzone.web.id
          p 1 atau p 3
          Karena syarat (i) p                    2 maka yang memenuhi adalah p                                   3.              2           3          2         3               (2          3)(2            3)
9.        Kunci Jawaban: C
          F(x) memiliki nilai maksimum                               3 untuk x             1.                                                                                     4           6(              )       9
                                                                                                                                                                                              6
                      b
          Berarti:               1           b       2a                                                                                                                           4(6)        6( 1)           9
                     2a
                                                                                                                                                                                   6
          Fungsi kuadratnya dapat ditulis:
                          2                                                                                                                                                       39
            F(x)       ax     2ax c
            F(1) a 2a c              a c 3 . . . (i)                                                                            Persamaan kuadrat yang baru adalah
          Melalui titik (3, 1), maka:                                                                                                          19                 6
            F(3) a · 3
                            2
                               2a · 3 c  1                                                                                      x2                x                           0 . . . kedua ruas dikali 39
                                                                                                                                               39                39
                                  3a                        c        1                . . . (ii)                                     39x
                                                                                                                                              2
                                                                                                                                                        19x          6        0
          Dari (i) dan (ii) didapat:
           a c 3               3                            3a 3x                9                                        13.   Kunci Jawaban: E
          3a c 1               1                             3a c                1                                                       2                                     1
                                                                                                                                     x            (m         1) x         2               0
                                                                                                   5                                                                           4
                                                                         4c      10         c
                                                                                                   2
                                                                                                                                     a                   b                        c
                                                                          5
          Berarti, grafiknya melalui titik (0,                              ).                                                       Dua akar berlainan                                                 D             0
                                                                          2
                                                                                                                                                                                              b       4ac             0
10.       Kunci Jawaban: E
          Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan 2 adalah:                                                                                                                         2                   9
                                                                                                                                                                  (m          1)          4(1)                     0
          (x x1)(x x2) 0                                                                                                                                                                                  4
            (x 5)(x 2)   0                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                                             m  2m 1 9                                0
              2                                                                                                                                                                 2
             x   3x 10 0                                                                                                                                                       m    2m 8                              0
                                                                                                                                                                                                                                  2      4
11.       Kunci Jawaban: E                                                                                                                                                   (m 4) (m 2)                              0
             2x y    8 . . . (1)                             y 2x 8                                          . . . (4)          Jadi batas-batas nilai m yang memenuhi adalah m                                                          4 atau
             2y z 8 . . . (2)                               2(2x 8) z                   8                                       m     2.
                                                              4x 16 z                   8                    . . . (5)
                                                                                                                          14.   Kunci Jawaban: D
          3x y z    3 . . . (3)                             3x (2x 8)                   z          11        . . . (6)
          (5) (6) 4x z        8                                                                                                      P(m, n) P(2, 1)    m 2, n    1
                                                                                                                                                                 2
                  5x z        11                                                                                                     Persamaan kuadrat: y a(x m)    n
                                                                                                                                                                                                                          2
                                         x       3                                                                                   melalui titik (0, 5)                                     5       a(0          2)         1
                                         x           3                                                                                                                                        5       4a          1

12.       Kunci Jawaban: A                                                                                                                                                                4a              4

              x2     x       6           0       a        1, b       1, c        6                                                                                                            a           1
                                                                                                                                Sehingga diperoleh persamaan
                                 b                                                                                                            2
                                             1                                                                                     y a(x m)       n
                                 a                                                                                                                                2
                             c           6                                                                                           y            1(x        2)           1
                                                 6                                                                                                  2
                             a           1                                                                                           y            x          4x       4        1
                                                                                                                                                    2
                                                                                                                                     y            x          4x       5
              Akar-akar persamaan yang baru adalah                                                     dan
                                                                                        2          3         2        3   15.   Kunci Jawaban: A
                                                                                                                                         2                                2
                                                                                                                                     x            px         2        x           px          2       0       a           1, b    p, c   2
                                                           (2            3)     (2    3)
                                                                                                                                                                 b            p
               2         3           2           3           (2            3)(2    3)                                                x1           x2                                      p
                                                                                                                                                                 a            1
                                                     2 2         3            2 2      3                                                                     c           2
                                                      4              6         6       9                                             x1 · x2                                          2
                                                                                                                                                             a           1
                                                     2(           )2        4          3(              )
                                                                                                                                      x1                         1             x1             2x1 1
                                                            4             6(          ) 9                                                               x1
                                                                                                                                     2x2                         2            2x2                2
                                                     2( 1)2          4(6) 3( 1)                                                                                               2x1         2x2(2x1             1)
                                                       4(6)          6( 1) 9
                                                                                                                                                                              2x1         4x1 x2                  2x2
                                                      19
                                                      39                                                                                     2 x1        2 x2            4 x1 x2          0
                                                                                                                                         2( x1           x2 )         4 x1 x2             0
                                                                                                                                                        2( p )            4( 2)           0
                                                                                                                                                                                 2p               8
                                                                                                                                                                                  p           4

              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     18
http://mathzone.web.id
16. Kunci Jawaban: D                                                                                                                      2
                                                                                                                   b   4ac                                        0
                                                                                                           2
      (m        1)x  2
                              4x       2m           0                                             [ (3p 3)]  4 · 1 (10p 6)                                        0
                                                                                                     9p2 18p 9 40p 24                                             0
                                                                                                             9p2 22p 15                                           0
           a                  b            c
                                                                                                             (9p 5)(p 3)                                          0
      Akar-akar tidak nyata D                                  O
                       b2 4ac                                  0
             42 4(m 1)(2m)                                     0
                                                                                                                                          5
              16 (4m 4)2m                                      0                                                                          9               3
                  16 8m2 8m                                    0                  2        1
                      m2 m 2                                   0                                                        5
                                                                                                  Jadi, p                 atau p                  3
                 (m 2) (m 1)                                   0                                                        9
   Nilai m yang memenuhi adalah m                                       2 atau m       1.      20. Kunci Jawaban: D
17. Kunci Jawaban: B                                                                                Fungsi kuadrat: y 3x2 12x 6        a 3, b      12, c 6
      Memotong sumbu-x di titik (1, 0) dan (5, 0) sehingga diperoleh                                Memotong salah satu sumbu koordinat di titik (a, 0) dan
      persamaan kuadrat.                                                                            (b, 0)   x1 a, x2 b.
         y a(x x1)(x x2)                                                                          Sehingga diperoleh:
           y        a(x           1)(x         5)                                                   a 3      a 0 maka grafik terbuka ke atas.
      Melalui titik (6, 10)                                                                                                               c           6
                                                                                                     a·b               x1 x2                                  2
           y a(x 1)(x 5)                                                                                                                  a           3
         10 a(6 1)(6 5)
                                                                                                                                                  b               12
         10 5a                                                                                       a        b         x1       x2                                             4
                                                                                                                                                  a               3
           a 2
      Karena a 0 maka mempunyai titik balik                                       minimum.
      Nilai minimum y        0.                                                                      a        b        x1        x2             ( x1      x2 )2            4 x1 x2                16   (4)(2)
      y 2(x 1)(x 5)                           y                                       0                                 8           2 2
      y 2(x2 6x 5)                       4x 12                                        0
      y 2x2 12x 10                           4x                                       12          Jadi, pernyataan yang salah adalah pilihan D.
                                              x                                       3
                                   2                                                           21. Kunci Jawaban: C
      Nilai minimum: y          2(3 ) 12(3) 10
                            18 36 10                                                                 x2       x    2         0          a         1, b            1, c          2
                             8
                                                                                                                                b             ( 1)
                                                                                                         x1       x2                                          1
18. Kunci Jawaban: B                                                                                                            a              1
      x2       x      2       0        a         1, b      1, c         2                                                   c         2
                                                                                                         x1 · x2                                  2
                              b                                                                                             a         1
      x1       x2                        1
                              a
                                                                                                     x13          x23               ( x1          x2 )3           3 x1 x2 ( x1               x2 )
                          c        2                                                                                                      3
      x1 · x2                              2                                                                                        (1)           3(2)(1)
                          a        1
                                                                                                                                    1         6           5
                                           x     x
      Akar-akar persamaan yang baru adalah 1 dan 2 .
                                           x2    x1                                            22. Kunci Jawaban: C
                                                                                                                                      2
                                                                                                                  (3m           1)x  4(m 1)x                               m             4
                                                                                                                     2
           x1       x2            x12 x22               ( x1       x2 ) 2 x1 x2                      (3m          1)x           4 (m 1) x (m                               4)        0
           x2       x1              x1 x2                           x1 x2
                                  ( 1)2          2(2)          3                                              a                             b                          c
                                           2                   2                                           Akar real                                                                    D         0
        x1          x2            x1 x2
                                                    1                                                                                                                 b2        4ac          0
        x2          x1             x1 x2                                                                          ( 4m              4)2           4(3m            1)(m          4)           0
                                                                                                              2
                                                                                                     16m           32m              16            (12m            4)(m          4)           0
                                                                                                                                                          2
      sehingga diperoleh persamaan kuadrat yang baru:                                                16m2          32m              16            12m             52m           16           0

                    3                                                                                                                                         4m2           20m              0
      x2              x            1         0 . . . kedua ruas dikali 2                                                                                              m2        5m           0
                    2
                                                                                                                                                                  m(m           5)           0
           2x2        3x           2         0

19. Kunci Jawaban: C
   Pers. Kuadrat: x2                         3px 6                 3x       10p                                                                       0           5
          x2 3px 3x                          6 10p                 0
         x2 (3p 3)x                          10p 6                 0                                 Nilai m yang memenuhi adalah 0                                                 m        5.
   Akar real:  D 0



                                                                                                          Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                                      19
http://mathzone.web.id
23. Kunci Jawaban: C                                                                                               Sehingga,
             x 2                                                                                                            1                  2                          1 2
       f (x)      ,x   1                                                                                           y          (x          2)           5        y           x       2x    3
             x 1                                                                                                            2                                             2
          Memotong sumbu-x                             f(x)        0
          x 2
                 0   x 2                             0                                                                          ier
                                                                                                                             Linie
                                                                                                         3. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat
           x 1
                         x                           2           . . . . (2, 0)
          Memotong sumbu-y                            x         0                                        1.   Kunci Jawaban: C
                0 2                                                                                            6        3
           f (x)        2        . . . . (0, 2)
                0 1                                                                                                             21           6y          3x         21xy . . . . (1)
                                                                                                               x        y
    Jadi, grafik yang memenuhi adalah pilihan C.
                                                                                                               7        4
                                                                                                                                2         7y           4x       2 xy       . . . . (2)
24. Kunci Jawaban: D                                                                                           x        y
          2x2        3x       4        0        a      2, b            3, c       4                           6y       3x     21xy                 4                24y    12x      84xy
                                   b            ( 3)       3                                                  7y       4x     2xy                  3                21y    12x      6xy
          x1       x2
                                   a              2        2                                                                                                               45y      90xy
                                                                                                                                                                                                      1
                              c         4                                                                                                                                 90xy      45y           x
          x1 · x2                                    2                                                                                                                                                2
                              a         2
                                                                                       1          1           Dari persamaan (1) diperoleh:
          Akar-akar persamaan yang baru adalah                                         x1   dan   x1 .
                         1     1                x2 x1              ( x1 x2 )                                                                                    1
                                                                                                              6y       3x     21xy untuk x                        didapat:
                         x1    x2               x1 x2                 x1 x2                                                                                     2
                                                3                                                                           1                      1
                                                2      3                                                      6y       3·               21 ·         y
                                                2      4                                                                    2                      2
                1             1               1               1                                                         21              3
                x1            x2            x1 x2             2                                               6y           y
                                                                                                                        2               2
          Persamaan kuadrat yang baru adalah                                                                            9               3                       1
               3 1                                                                                                        y                              y
           x2         0 . . . kedua ruas dikali 4                                                                       2               2                       3
               4 2
          4x2 3x 2 0                                                                                                                                                               1 1
                                                                                                              Himpunan penyelesaiannya adalah                                                 .
                                                                                                                                                                                   2 3
25. Kunci Jawaban: D
    x2         x 6                                       x2     3x 9                                                                     6
                                                                                                                                               1 1
                                                                                                                                                               1.
                                                                                                              Jadi, 6x0 y0
    (x         3) (x 2) 0                                     untuk x   3                                                                      2 3
    x          3 atau x 2                                     ( 3)2 3(3)              9                  2.   Kunci Jawaban: B
                                                                       0              9 (benar)                    Sn 100.000, n                               4, dan b           5.000
                                                              untuk x 2
                                                                                                                                         2U1           b(n          1)
                                                               (2)2 2(3)              9                                Sn           n
                                                                                                                                                       2
                                                                      10              9 (salah)
    Jadi, nilai x yang menyebabkan pernyataan bernilai salah adalah                                                                      2U1           ( 5000) (4            1)
                                                                                                              100.000               4
     x 2.                                                                                                                                                 2
                                                                                                              100.000           4U1            30.000
26. Kunci Jawaban: B
      Titik potong kedua garis                                                                                                      130.000
                                                                                                                       U1                                  32.500
          y     x        3                  x    y          3               2                                                          4
                                       5x       2y         20               1                                 sehingga,
          2x        2y         6                                                                                      U4      U1 (n 1)b
          5x        2y        20                                                                                              32.500 (4 1) ( 5.000) 17.500
                                                                                                              Jadi jumlah uang yang diterima si bungsu adalah Rp17.500,00.
              7x      14
               x 2             y 5                                                                       3.    Kunci Jawaban: A
          Sehingga diperoleh titik puncak adalah P(2, 5)                                                       Misalkan: Barang I                          x
          Persamaan parabola                                                                                             Barang II                         y
                                     2
          y a(x p)2 q a(x 2)            5                                                                     4x 3y 853                                             5
          Melalui titik (0, 3)   x 0, y 3                                                                     3x 5y 1.022.000                                       3
                                                                                  2
          y     a(x          2)2       5                    3      a (0 2)             5
                                                                                                              20x       15y             4.265.000
                                                            3      4a 5
                                                                                                               9x       15y             3.066.000
                                                           4a       2
                                                                                                                    11x    1.199.000
                                                                        1
                                                            a                                                         x    109.000
                                                                        2
                                                                                                              Jadi harga barang I adalah Rp109.000,00.

               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  20
http://mathzone.web.id
4.   Kunci Jawaban: E                                                                                     Uji titik pojok

                       1                         1
     Misalkan:                  a dan                     b                                               Titik Pojok                   F(x, y)       5x      10y
                       x                         y
                                                                                                              A(0, 32)                5·0      10 · 32         320
     2     1
                  1         2a           b       1                     1                                      B(6, 20)                5·6      10 · 20         230
     x     y
                                                                                                              C(24, 8)                5 · 24        10 · 8     200
     1     2
                  8         a        2b          8                     2                                      D(48, 0)                5 · 48    10 · 0         240
     x     y

      2a b             1                                                                              Jadi, nilai minimumnya adalah 200.
     2a 4b             16                                                                        3.   Kunci Jawaban: A
           5b           15                                                                              Persamaan garis yang melalui titik (20, 0) dan (0, 15)
              b         3                        a           2                                           15x 20y 20 · 15
                   1                             1                                                         3x 4y 60
                                3                            2                                          Persamaan garis yang melalui titik (15, 0) dan (0, 30)
                   y                             x
                                                                                                        30x 15y 30 · 15
                            1                                 1                                             2x y 30
                   y                             x
                            3                                 2
                                                                                                 4.   Kunci Jawaban: A
                            1                1                1                                               y
     Sehingga,                                                     6                                                                                                F(x, y) 4x 28y
                       x        y        1           1        1
                                         2           3        6                                                                                                     maksimum di titik P(5,3)
                                                                                                          1
                                                                                                      11 3                                                          F(5, 3)  4(5) 28(3)
                                                                                                                                                                             104
4. Pertidaksamaan
                                                                                                          6
                                                                                                                             P (5, 3)

1.   Kunci Jawaban: D

                       y                                                                                                                                        x
                                                                                                          O                       4                      10
                                                                                                                              65
                                                                                                                                                                        y

                                                                                                 5.   Kunci Jawaban: D
                  32 A
                                                                                                       x y 12
                                                                                                                                                                   12
                  24                                                                                  x 2y 16
                                B
                  16                                                                                          y          4                                          8
                                                                                                                                                                               (8, 4)
                                                     C                                                        y      4         x       8
                  8
                                                                                                                                                                                                   x
                                                                       D                                                                                            O             12     16
                                                                            x
                   O            8         16             24       36   48
                                                                                                              F(x, y)          2x 5y maksimum di titik (0, 8)
                                                                                                              F(8, 4)          2(0) 5(8) 40
         Titik A adalah (0, 32)
         Titik B           Titik potong persamaan garis 2x                      y    32 dengan
                           2x        3y          72.                                             5. Logika Matematika
          2x y              32
         2x 3y              72                                                                   1.   Kunci Jawaban: B
                  2y            40                                                                    p        (p            q)
                  y         20               x           6                                                                           (p             q)         p
                                                                                                      Kontraposisi:
         Jadi titik B adalah (6, 20)                                                                                               ( p         q)              p
         Titik C           Titik potong persamaan garis 2x                      3y   72 dengan   2.   Kunci Jawaban: E
                            x       3y       36.
                                                                                                              p          q               p            q
         2x       3y        72                                                                                q          r                q           r
          x       3y        48                                                                            p              r              p             r
                   x        24               y       8                                                Jadi cara penarikan kesimpulan tersebut adalah silogisme.
         Jadi, titik C adalah (24, 8)
                                                                                                 3.   Kunci Jawaban: E
         Titik D adalah (48, 0)
                                                                                                           p              q
                                                                                                          q              r
                                                                                                          p              r




                                                                                                                  Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                            21
http://mathzone.web.id
      p         r            p         r         p       r        p        r   p        r   p       r   p       r   12. Kunci Jawaban: C
                                                                                                                        Ingkaran dari pernyataan: “Semua peserta ujian berdoa sebelum
      B         B                 B                  B                 B            S           S           B
      B         S                 B                  S                 S            B           S           B           mengerjakan soal” adalah “Beberapa peserta ujian tidak berdoa
      S         B                 B                  S                 B            S           B           B           sebelum mengerjakan soal”.
      S         S                 S                  S                 B            S           S           S
                                                                                                                    13. Kunci Jawaban: A

                                                                                                                                                                                     p     q
                                                                                                                           p        q
      Dari tabel kebenaran diperoleh:                                                                                                                                                q     r
                                                                                                                           q        r ekuivalen dengan
      ( p               r)       (p         r)                                                                                                                                       p     r (Silogisme)
                                                                                                                                    r
4.    Kunci Jawaban: A                                                                                                         ..
                                                                                                                                                                                          r
          p     q                                                          p   q
                             ekuivalen dengan                                                                                                                                             p (Modus tollens)
                q                                                              q
                                                                               p
              ...                                                                                                        Jadi, kesimpulannya adalah p.

5.    Kunci Jawaban: D                                                                                              14. Kunci Jawaban: A
      Negasi dari pernyataan: “Jika ulangan dibatalkan, maka semua                                                       Kontraposisi: p                    q           p    q
      murid bersuka ria” adalah “Ulangan dibatalkan dan ada murid
                                                                                                                    15. Kunci Jawaban: D
      tidak bersuka ria”.                                                                                               s pernyataan yang salah
6.    Kunci Jawaban: D                                                                                                  p    q : Benar      p : Salah
      Negasi dari pernyataan: “Ani cantik tetapi tidak pandai” adalah                                                   q   r : Benar       q : Salah
      “Ani tidak cantik atau pandai”.                                                                                   r   s : Benar       r : Salah
                                                                                                                        Sehingga
7.    Kunci Jawaban: B
                                                                                                                           p : Benar
                                                                           q    p                                                                           p       r : Salah
          p         q                                                                                                      q : Benar
                             ekuivalen dengan                                  q                                                                        p           r : Benar
                    q                                                                                                      r : Benar
                                                                               q
                    q
                                                                                                                    16. Kunci Jawaban: C
      Dengan demikian argumennya dapat dinyatakan menjadi modus                                                          (p q)                 r            (p          q)       r       ( p       q)   r
      tolens dan kesimpulan argumen tersebut adalah sah.                                                                 Ingkaran:
8.    Kunci Jawaban: E                                                                                                    [( p       q)       r]            p       q        r
      Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa dinyatakan lulus ujian
      apabila semua nilai ujiannya tidak kurang dari 4,01” adalah
                                                                                                                    6. Trigonometri
      “Semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang dari 4,01 tetapi
      ia tidak lulus”.
                                                                                                                                                                                                                C
9.    Kunci Jawaban: E                                                                                              1.   Kunci Jawaban: A
      p         (q            r)                 p       (q        r)                                                    Luas ABC                  (3       2 3 ) cm2
                                                                                                                                                                                                                          7
                                                 [ p         (q         r)]                                              AB (6 4 3 ) cm dan BC                                       7 cm
                                             p       ( q          r)                                                     Lihat gambar!
                                                                                                                                                                                                   A        6       4 3       B
10. Kunci Jawaban: C                                                                                                     Luas ABC                  (3       2 3 ) cm2, jadi:
    Ingkaran dari pernyataan: “Jika Fathin mendapat nilai 10 maka
                                                                                                                                 AB BC sin
    ia diberi hadiah” adalah “Fathin mendapat nilai 10 tetapi ia tidak                                                                                              3       2 3
                                                                                                                                      2
    diberi hadiah”.
                                                                                                                          (6     4 3) 7 sin
                                                                                                                                                                    3       2 3
11. Kunci Jawaban: D                                                                                                                2
      (i)       p            (q        r)                                                                                                                             6 4 3                    1
                                                                                                                                               sin
                                       p                                                                                                                            7 (6 4 3)                  7

                             q         r                                                                                 sin (A      C)            sin (180                  B)
                                                                                                                                                   sin (180                   )
                q         rp
                           p                                                                                                                                            1
      (ii)                                                                                                                                         sin
                        r q                                                                                                                                             7
                                                                                                                    2.   Kunci Jawaban: C
      (iii)             (p        q                  r
                                                                                                                                       8
                                   r         p       q                                                                     sin x         ; 0                    x       90
                                                                                                                                      10
                     (p          q)         (p       q)
                                                                                                                          cos x           1    sin2 x
      Jadi, argumen yang sah adalah (i) dan (iii).
                                                                                                                                                    8
                                                                                                                                                        2                6
                                                                                                                                          1        10                   10

                    Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     22
http://mathzone.web.id
     Karena 0               x     90 , maka nilai cos x                    0 , jadi yang dipakai        k sin       sin x               k cos                 cos x       p     2
                                   6                                                                          k cos (x                      )       p         2
     adalah cos x
                                  10                                                                                                              p        2              p     2
                                                                                                              cos (x                    )
     Gunakan rumus penjumlahan trigonometri:                                                                                                          k                 2p2     2p   1
                                                 A       B            A       B
     cos A      cos B             2 cos                       cos                                       Persamaan nilai dari consinus antara lain 1 dan 1, maka:
                                                     2                    2
     Jadi:                                                                                                                      p            2
                                                                                                              1                                                   1
                                                                                                                                2
                                                         3x       x             3x       x                              2p                  2p            1
          cos 3x            cos x           2 cos                     cos
                                                              2                      2                                     (p               2)2
                                   2 cos 2x cos x                                                             0            2
                                                                                                                                                              1
                                                                                                                    2p                  2p            1
          cos 2x            1 2 sin2x, sehingga diperoleh
                                                                                                                                (p              2)2
          cos 3x            cos x   2(1 2 sin2x) cos x                                                                                                            1
                                                                                                                                    2
                                                                                                                           2p                2p 1
                                                                  2
                                                              8         6
                                             2 1         2                                                             p2 4p 4                                    2p2     2p    1
                                                             10        10
                                                                                                                      p2 2p 3                                     0
                                                     100 128           6           42                              ( p 1) (p 3)                                   0
                                             2
                                                       100            10          125
3.   Kunci Jawaban: B
                                                                                                                                1               3
                                                                                                        HP: {x             1 atau x                       3}
                                   sin x              2 sin x cos x
                             2
         2 tan x                  cos x                   cos x   2                                6.   Kunci Jawaban: A
     1     tan2 x                 sin2 x             (cos2 x sin2 x )                                   Perhatikan gambar pada soal!
                             1
                                  cos2 x                     cos2 x                                      BAD dan BCD adalah sudut keliling yang saling berhadapan.
                                2 sin x cos x                                                            BAD                BCD                     180                  Misalkan        BAD
                                                             2 sin x cos x
                             sin2 x          cos2 x
                                                                                                                            BCD                     180
                             sin 2 x
                                                                                                                  BCD 180
4.   Kunci Jawaban: D                                                                                   Dengan rumus cosinus diperoleh
     3 cos (360 x)      2 sin2 x ; 0 x 360                                                              BD2        AB2              AD2               2AB · AD cos
            3 cos x     2 sin2 x    0                                                                              42
                                                                                                                               62
                                                                                                                                             2 · 4 · 6 · cos
       3 cos x    2(1 cos2 x ) 0                                                                                   52           48 cos                            . . . . (1)
        2 cos2 x    3 cos x     2 0
                                                                                                        Perhatikan                  BCD!
     (2 cos x    1) (cos x    2)    0
     Karena (cos x     2) selalu positif, berarti tidak mempengaruhi                                    BD2        BC2              CD2               2 · BC · CD · cos (180                   )
     pertidaksamaan. Jadi tinggal menentukan nilai x yang                                                          3   2
                                                                                                                                3   2
                                                                                                                                             2 · 3 · 3 ( cos )
     memenuhi pertidaksamaan 2 cos x          1 0.
                                                                                                               18 18 cos          . . . . (2)
                                                              1                                         Dari (1) dan (2) diperoleh
                                            cos x               ; 0         x     360
                                                              2                                           BD2              52           48 cos
                                                                                                          BD2              18           18 cos
                                                                                                               0           34           66 cos

                        90             270            360                                                  34              66 cos
               60                            300                                                                            34                  17
                                                                                                        cos
                                                                                                                            36                  33

                                                                                                   7.   Kunci Jawaban: B
     Nilai-nilai x yang memenuhi adalah:                                                                       R
     0     x 60 atau 300 x 360
     HP {0 x 60 atau 300 x 360 }
                                                                                                                                             S
                                                                                                           U
5.   Kunci Jawaban: A
     p sin x       (p        1) cos x            p       2                                              4 cm
                                                                                                                45
                                                                                                                  45
                   p                                                                     k                     Q 6 cm                        T                                  P
     tg
               p        1                                         p

          k        p2        (p       1)2                                                                Luas PQR                               Luas PQS                  Luas QSR

                2 p2             2p    1                                          p      1                 PQ QR                                PQ ST QR SU
                                                                                                              2                                     2           2
     Persamaan di atas dapat ditulis:                                                                    PQ QR                                  PQ ST QR SU
                                                                                                             6 4                                6 · QS · sin 45   4 · QS · sin 45


                                                                                                                  Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                 23
http://mathzone.web.id
                                             1                       1
                         24         6QS        2         4QS           2
                                             2                       2
                         24         3 2 QS          2 2 QS
                                                                                                                                         25 65 160
                         24         5 2 QS

                                     24         24 2            12
                         QS                                        2 cm
                                    5 2          5 2             5                                                Jadi, himpunan penyelesaian dari nilai sinus yang kurang dari
                                                                                                                                                      1
8.        Kunci Jawaban: E                                                                                        atau sama dengan                      2 adalah
                                                                                                                                                      2
                                            8                                                                              {x | 0        x           70 atau 160                  x       360 }
                sin      cos
                                            25
                                                                                                            11.   Kunci Jawaban: E
                    1           1          cos          sin
                                                                                                                     2 3 cos 2x                  4 sin x cos x                2 . . . kedua ruas dibagi 2
                  sin         cos           sin        cos
                                                                                                                          3 cos 2x 2 sin x cos x                              1

                    cos            sin             (cos              sin )    2                                             tan 60 cos 2x sin 2x                              1
                                                                                                                          sin 60
                                                   cos2              sin2           2 sin      cos                                       cos 2x                 sin 2x        1
                                                                                                                          cos 60
                                                   1     2 sin           cos
                                                                                                                  sin 60 cos 2x           cos 60 sin 2x                       cos 60
                                                           8                   9          3
                                                   1     2                                                                                                                        1
                                                           25                  25         5                                                      sin (60             2x)
                                                                                                                                                                                  2
          Sehingga                                                                                                                                                                1
                                                                                                                                                 sin(2x             60 )
            1           1
                                    3
                                           15                                                                                                                                     2
                                    5
          sin         cos           8       8
                                    25                                                                                                                                            1
                                                                                                                                             sin 2(x                30 )
9.        Kunci Jawaban: C                                                                                                                                                        2
             Bentuk umum persamaan fungsi trigonometri:                                                                                                  2 (x       30)       20 atau 330
             y A sin k(x    )                                                                                         2(x 30 )               210
             Pada grafik amplitudonya (A) dengan nilai tertinggi adalah                                                  x 30                105
                1    A 1                                                                                                                                        3
                                                                                                                                    x        135
                Periode 165                 45         120                                                                                                      4
                                                                                                                      2(x 30 )               330
                                         360                                                                             x 30                165
                sehingga, k                        3
                                         120                                                                                                  13
                                                                                                                                 x           195
               Sumbu tegak bergeser ke kanan sejauh 15                                               15 .                                     12
                                                                                                                  Karena k      2, yaitu koefisien x, maka nilai x yang lain adalah:
          Jadi, fungsi trigonometri adalah:
           y 1 sin 3(x 15)       sin (3x 45)                                                                               3                     7
                                                                                                                     x
                                                                                                                           4                     4
10.       Kunci Jawaban: A
             Ingat rumus:                                                                                                  13                        25
                                                                                                                     x                                          (tidak memenuhi)
                                                                                                                           12                        12
                                                   A        B                 A       B
                sin A       sin B        2 sin                       cos
                                                        2                         2                                                              3 7 13
                                                                                                                  sehingga, HP                     , ,
                sin (x      20 )         sin (x    70 )          1       0                                                                       4 4 12
                                                                                                            12.   Kunci Jawaban: C
                   (x       20 )     (x      70 )                (x          20 )       (x    70 )                                                               cos 2x sin x 1                   0
          2 sin                                        cos                                            1 0           (cos2 x     sin2 x)              sin x         (cos2 x sin2 x)                0
                                 2                                                  2
                2 sin (x       25 ) cos (45 )               1        0                                                                                              2 sin2 x sin x                0
                                                                                                                                                                sin x( 2 sin x 1)                 0
                                                1                                                                    sin x      0
                    2 sin (x         25 )         2         1        0
                                                2
                                                                                                                            x 0 atau 360                            x      0; x       2
                                                                         1                                               2 sin x 1 0
                                         sin (x        25 )
                                                                         2                                                   2 sin x 1
                                     x      25         45 atau 135                                                                           1
                                                                                                                               sin x
                                               x       70 atau x               160                                                           2

                                                                                                                                                          5
                                                                                                                                     x               ;
                                                                                                                                                 6         6

                                                                                                                  Jadi, HP      {0,               5             2 }
                                                                                                                                             ,
                                                                                                                                         6         6


                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     24
http://mathzone.web.id
13.   Kunci Jawaban: C                                                                           Dengan rumus cosinus didapat:
                                                                                                 AC2      CB2 2AC · CB cos ACB                                    AB2
                           A
                                                                                                           52 x2 2 · 5 · x cos 120                                72
                                                                                                                                                         1
       c    4 cm                                b   5 cm                                                                25     x2           10x (        2   )    49
                                                                                                                                        2
                                                                                                                                       x      5x 24               0
           B                                                         C                                                            (x        3)(x 8)               0
                            a    6 cm                                                                                              x1       3 atau x2             8 (tidak memenuhi)
        a            b            c                                                              Maka, keliling ABC                        5       7     3       15 cm.
      sin          sin          sin                                                        18.   Kunci Jawaban: A
        6            5            4
      sin          sin          sin                                                                         1                x 1
                                                                                                    cos     2
                                                                                                                A
                                                                                                                              2x
      Jadi sin      : sin       : sin           6:5:4
                                                                                                    sin     1A
                                                                                                            2
                                                                                                                         1 cos2                1A
                                                                                                                                               2
14.   Kunci Jawaban: D                                                                                                            x 1              x 1
                                                                                                                         1        2x               2x
                                                    4
                          cos (x          y)
                                                    5                                               sin A        2 sin        1
                                                                                                                                   A cos           1
                                                                                                                                                       A
                                                                                                                              2                    2
                                                    4
      cos x cos y         sin x sin y                                                                               2        x 1           x 1           x2 1
                                                    5                                                                        2x            2x              x

                                       3            4                                      19.   Kunci Jawaban: C
               cos x cos y
                                      10            5                                            Perhatikan grafik pada soal!
                                                    1                                               Nilai maksimumnya adalah 2     A 2
                         cos x cos y
                                                    2                                               Persamaan fungsi trigonometri: y A cos (kx )
      Sehingga,                                                                                     Untuk x 0 mencapai maksimum, sehingga x 0 dan y                                          2
                                                                                                          2 2 cos (0    )
                           sin x sin y
      tan x tan y                                                                                         2 2 cos
                           cos x cos y
                                                                                                    cos      1
                                                         3                                                   1
                            sin x sin y                 10       3
                           cos x cos y                   1       5                                              2
                                                         2                                          Periode: k      1
                                                                                                                2
15.   Kunci Jawaban: A                                                                              Jadi persamaannya: y                                 2 cos x
      Perhatikan gambar pada soal!
                                                                                                                                               y         2 sin (x             )
                                                                                                                                                                          2
                     2
      Periode                    y        sin 3x
                      3                                                                    20.   Kunci Jawaban: C
      Digeser ke atas sejauh 1 satuan maka y                                 1   sin 3x.            sin x             3 cos x                      2 ; 0              x    360
16.   Kunci Jawaban: D                                                                                  a       1, b               3
      a sin x b cos x  sin (30  x)
      a sin x b cos x  sin 30 cos x                                  cos 30 sin x                   k       12        ( 3)2                1 3               4    2

                                      1          1                                                                a           1                1
                                        cos x      3 sin x                                          tan                                          3
                                      2          2                                                                b                3           3
                                      1            1
                                         3 sin x     cos x                                                       150
                                      2            2
                                                                                                 Sehingga,
                                               1                         1                       2 sin 150 sin x                  2 cos 150 cos x                          2
      sehingga diperoleh a                       3 dan b
                                               2                         2
      maka:                                                                                                                                                                 2
                                                                                                    sin 150 sin x                      cos 150 cos x
                                                                                                                                                                           2
                     1                      1       3        1
      a 3      b       3 ( 3)                                        2
                     2                      2       2        2                                                                                                             1
                                                                                                                                        cos (x           150)                2
                                                                                                                                                                           2
17.   Kunci Jawaban: B                                                                                                                           (x      150)             45 atau 315
                                                                                                    x   150  45
                                                                                                          x  195
                                            C
                                                                                                    x 150    315
                                          120                                                             x  465    465                                360        105
                           5                            x
                                                                                                 Jadi, HP {105 , 195 }
               A                                                 B
                                      7



                                                                                                        Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                25
http://mathzone.web.id
21.    Kunci Jawaban: A                                                                                                          2 cos        2 sin x                  2 2 cos (x                     45)°           2
        a2 b2 c2 2bc cos A
                   102              62        2 · 10 · 6 cos 60                                                                                                                                                  1
                                                                                                                                                                                        cos (x            45)°
                                                                                                          C                                                                                                      2
                                                         1
                   100          36            120 ·                                                                                                                                               x       45°    60°     k · 360°
                                                         2
                                                                                                                                                                                                            x   105°      k · 360°
                   136          60                                                       b     10                 a   ?                                                                k 0                  x    105°
       a2          76                                                                                                                                                                atau x                45     60°     k · 360°
           a           76                                                                A     60                      B                                                            k 1                   x    15° k     · 360°
                                                                                                      c    6 cm
                                                                                                                                                                                                          x   345°
           a       2 19
                                                                                                                                 Maka nilai x yang memenuhi adalah 105° atau 345°.
22.    Kunci Jawaban: E
       tan 75   tan 15  tan (45                                      35)           tan (45                30)              26.   Kunci Jawaban: D
                                                                                                                                 f(x)  cos3 2x untuk menentukan f (x) digunakan rumus
                                                    2        19      2         3     4                                                 f(x)   cos g(x)
23.    Kunci Jawaban: E                                                                                                               f (x) n cosn 1 g(x) ( sin g(x) · g (x))
       Bentuk umum persamaan fungsi trigonometri adalah:                                                                         f(x)   3 cos2 2x ( sin 2x · 2)
                                                                                                                                         6 cos2 2x · sin 2x
       y A sin k(x     )    A Amplitudo dan q pergeseran
                                                                                                                                         3 cos 2x (2 sin 2x cos 2x)
       sumbu tegak
       Pada grafik amplitudo (nilai tertinggi) 2 jadi A 2                                                                                3 cos 2x sin 4x
       Periodenya 135       15      120                                                                                    27.   Kunci Jawaban: D
                            360                                                                                                                                R
       Jadi k                                 3
                            120
       Sumbu tegaknya bergeser ke kiri sejauh 15 , jadi                                                               15                                                         8
                                                                                                                                                  4   7
       Maka fungsi trigonometrinya
       y 2 sin 3(x 15)                                                                                                                            Q                                               P
                                                                                                                                                                    12
       y 2 sin (3x 45)
                                                                                                                                   Aturan cosinus
24.    Kunci Jawaban: E                                                                                                                       2                2                2
                                                                                                                                         QR               PR               QP            2 · PQ · QP · cos
       2 sin 2x                     3             0 untuk 0           x        360
                                                                                                                                             2        2                2
       2 sin 2x                               0             2 sin 2x                                                               4 7                8         12              2 · 12 · 8 · cos
                                    3                                                3

                                                                                   1                                                     112          64        144             192 cos
                                                                 sin 2x              3
                                                                                   2                                                     112          208          192 cos
                                                                     2x        240   k · 360
                                                                                                                                                       96          1
                                                                      x        120   k · 180                                      cos
                                                                                                                                                      192          2
                                                                      x        120 ; 300
                                                  atau                x         30   k · 180                                                              x        1
                                                                                                                                 cos                                            x        ,
                                                                                                                                                                                         1r       2 maka y           3
                                                                      x        150 ; 330                                                                  r        2

                                                                                                                                                          y         3           1
                                                                                                                                       sin                                        3
                                                                                                                                                          r        2            2
                   90 120 150                                            300       330
                                                                                                                                                                            1       3
                                                                                                                                                          sin               2
                                                                                                                                       tan                                                   3
       x       0                    2 sin 0                  3       0         3         0                                                                cos                   1
                                                                                                                                                                                2
       x       90                   2 sin 180               3    0                 3         0
       HP          {x | 120                   x        150 atau 300                 x        330 }                         28.   Kunci Jawaban: E

25.    Kunci Jawaban: D                                                                                                                               3                                      4
                                                                                                                                       sin A                               cos A
                                                                                                                                                      5                                      5
       2 cos x              2 sin x
                         2 untuk 0 x < 360                                                                                                                 1
       Ingat persamaan a cos x    b sin x  c mempunyai                                                                                 cos B                               sin B              3
                                                                                                                                                           2
                                                        c                                         c                                    cos (90            (A       B))     cos 90 · cos (A B) sin 90 · sin (A B)
       penyelesaian jika 1                                       1 atau 1                                         1
                                                        k                                    a2           b2                                                               0 · cos (A B) 1 · sin (A B)
                                                                                                                                                                              sin (A B)
       Misal 2 cos x                      2 sin x                2       r cos (x                )                                      sin (A            B)           [sin A cos B cos A · sin B]
                                                                                                                                                                        sin A cos B cos A · sin B
                   r            4        4         8     2 2
                                                                                                                                                                            3            1            4
                                                                                                                                                                                                             3
                            2                                                                                                                                               5            2            5
           tan                           1,        di kuadran 1                          45°
                            2




               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  26
http://mathzone.web.id
                                           3       4 3        15     40 3                                    x     30            315            k · 360
                                          10        5               50                                            x      345    k · 360
                                                                                                                   k     0    x 345
                                           3     8 3
                                                                                                             Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 75 dan 345 .
                                                10
                                                                                              32.   Kunci Jawaban: A

29.   Kunci Jawaban: A                                                                                                  P
      Perhatikan grafik pada soal!                                                                                      60
         Nilai maksimumnya adalah 2                                     A    2                          10
                                                                                                              6
                                                                                                         3

                                      2
         Periode: k                            1                                                    Q                                                         R
                                      2                                                                                      10


         Bergeser ke kiri sejauh
                                                       6                                            Dengan aturan sinus
                                                                                                                        10                                    10
                                                                                                      10                 3
                                                                                                                                  6              10            3
                                                                                                                                                                    6
      Jadi, persamaannya adalah y                              2 sin (x               )
                                                                                  6                 sin 60              sin       R              1 3          sin       R
                                                                                                                                                 2
30.   Kunci Jawaban: E
                                                                                                                                  10 sin             R        5 2
                cos 4x     3 sin 2x                                 2
      1 2 sin2 2x     3 sin 2x    2                                 0                                                                                         1
                                                                                                                                          sin        R          2
          2 sin2 2x 3 sin 2x       1                                0                                                                                         2
         Misalkan sin 2x   a                                                                                               R    45
         2 a2 3a 1       0                                                                          Jadi, benar sudut R adalah 45 .
      (2a 1) (a 1)       0
                                                                                              33.   Kunci Jawaban: E
          2 sin 2x   1
                                                                                                        tan    p
                                      1                                                               cos 2    cos2 x                            sin2 x
              sin 2x
                                      2
                                                                                                                             cos2 x            sin2 x
                   2x             30 ; 150
                                                                                                                                   2
                    x             15 ; 75                                                                                    cos x             sin2 x
         sin 2x  1
                                                                                                                                  2
                                                                                                                             cos x sin2 x
                                                                                                                               sin x cos x
             2x  90 ; 270
                                                                                                                             cos2 x sin2 x
              x  45 ; 135                                                                                                      sin x cos x
      Jadi, HP {x | 0   x                          15 atau 75                 x < 135 }                                      cos x         sin x          1
                                                                                                                             sin x         cos x          p
                                                                                                                                                               p
31.   Kunci Jawaban: B                                                                                                       cos x         sin x          1    p
                                                                                                                             sin x         cos x          p
       3 cos x           sin x             2       a         3, b       ,
                                                                        1c        2                                                   2
                                                                                                                             1    p
      Ingat: a cos x                      b sin x        c merupakan penyelesaian                                                p         1         p2
                                                                                                                             1    p2       1         p2
                              c                                          c                                                       p
                   1                      1 atau         1                            1
                              r                                     a2       b2
      Misalkan 3 cos x                         sin x sama dengan r cos (x                 )
                                                                                              34.   Kunci Jawaban: D
          r      a   2
                              b   2
                                           3 1         4       2                                    Perhatikan grafik pada soal!
                                                                                                             Nilai maksimumnya adalah 2                                 A    2
                         b            1     1                                                                Bergeser ke kanan sejauh 20
          tan                                 3
                         a            3     3
                                                                                                                                                                                    1
                         30                                                                                  Periode             120 diperoleh dari gambar, bahwa                     periode
                                                                                                                                                                                    2
      Sehingga,                                                                                                         110               50         60

       3 cos x           sin x             2                                                                  360
                                                                                                           n         3
                                                                                                              120
        2 cos ( x         30 )             2
                                                                                                    Jadi fungsi persamaannya adalah
                                          1
         cos ( x         30 )                2                                                         y 2 cos 3(x 20)
                                          2
                 x        30              45 atau 315                                         35.   Kunci Jawaban: A
                                                                                                    2 cos x cos 10  1 2 sin x sin 10
         x      30            45           k · 360                                                  2 cos x cos 10   2 sin x sin 10  1
                 x            75           k · 360                                                                  2 cos (x 10)     1
                 k            0           x 75                                                                                                                              1
                                                                                                                                                cos (x            10)
                                                                                                                                                                            2
                                                                                                                                                          x       10        60 atau 300



                                                                                                                 Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                         27
http://mathzone.web.id
       x           10                  60           k · 360
                          x            70  k · 360                                                                 cos C               cos (180                       (A         B) )
           k         10               x 70                                                                                                 cos ( A B )
               x        10             300            k · 360                                                                              [cos A cos B                          sin A sin B }

                          x            310   k · 360                                                                                                3           21            1 2
                                                                                                                                                                                  7
          k 0                      x     310                                                                                                       2            7             2 7
       Jadi, HP                   {0      x 70 , 310                          x     360}                                                         63                 2 7
36.    Kunci Jawaban: E                                                                                                                         14                   14

       2 3 sin x                  2 cos x             2 3                                                                                      3 7                  2 7                   1
                                                                                                                                                                                            7
               a        2 3, b                 2, c       2 3                                                                                   14                   14                  14

       Misalkan 2 3 sin x                                2 cos x sama dengan r cos (x                )   39.   Kunci Jawaban: B
                              2           2                                                                    Perhatikan grafik pada soal!
               r          a           b            12      4        16        4
                                                                                                                   Nilai maksimumnya adalah 6                                                A       6
                                   a 2 3                                                                           Bergeser ke kanan sejauh 30
               tan                                             3
                                   b   2                                                                                                                                                                               1
                                                                                                                   Periode             180 (diperoleh dari gambar bahwa                                                2   periode
                                   60
       Sehingga,                                                                                                                                    360
                                                                                                                   adalah 165                          75            90 )                n                   2
                                                                                                                                                   180
           2 3 sin x                   2 cos x                 2 3
                                                                                                                   Jadi, fungsi persamaannya adalah
                     4 cos (x                  60 )            2 3                                                    y 6 sin (2x 30)
                                                                                                         40.   Kunci Jawaban: B
                                                               1 3
                         cos (x                60 )
                                                               2                                                              cos x                                 cos x
                                                                                                               f (x)
                              x           60          30 atau 330                                                          sin x tan x                      sin x
                                                                                                                                                                             sin x
                                                                                                                                                                             cos x
               x        60             30          k · 360
                                                                                                                           cos x               cos2 x
                         x             90          k · 360                                                                     2
                                                                                                                             sin x             sin2 x
               k        0          x          90                                                                             cos x

37.    Kunci Jawaban: B                                                                                            Misalkan: u
       Perhatikan gambar pada soal!                                                                                    u     cos2 x                         u            2 cos x ( sin x)
                                                                                                                                                                          2 sin x cos x
                                  AD               sin 60           3
               sin B                                                                                                   v     sin2 x                         v            2 sin x cos x
                                  BD                               BD
                                                      BD              3              3
                                                                   sin 60           1 3                                        uv              uv
                                                                                    2                              f ' (x)
                                                                    6                                                                  v2
                                                                              2 3
                                                                     3                                                             2 sin3 x cos x                            2 sin x cos3 x
                                                                                                                                                                         4
                                                                                                                                                                    sin x
                        BD2               BC2         DC2          2 · BC · DC · cos            C                                      1
                                                                                                                                                       3
                                                                                                                                                                1                        1       1
                                                                                                                                                                                                         3
                                                                                                                                   2   2
                                                                                                                                                   2            2
                                                                                                                                                                     2           2       2
                                                                                                                                                                                             2   2
                                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                               f   1
                         12               16        36         2 · 4 · 6 · cos             C                       4                                                             4
                                                                                                                                                                     1       2
               12         52                  48 cos        C                                                                                                        2
                                                                                                                                                4
                                                                                                                                   1       2           ( 2           2)
                                              40      5                                                                            2
               cos        C                                                                                                                                                          4
                                              48      6                                                                                                     4
                                                                                                                                               1       2
                                                                                                                                               2
                                                               x    5         x     5, r   6
               Ingat:                  cos          C
                                                               r    6
                                                                                                         41.   Kunci Jawaban: C
                                          maka y               r2        x2         36     25   11             2 cos 2x                    3            0

                      11                                1 11                                                               2 cos 2x                         3
       Jadi, sin                  C
                      6                                 6
                                                                                                                                                       1
38.    Kunci Jawaban: C                                                                                                      cos 2x                      3
                                                                                                                                                       2
               sin A              1                cos A             3                                                                 2x               30               k · 360
                                  2                                 2
                                                                                                                                           x            15               k · 180
                                  2                                 21
               sin B                7               cos B
                                  7                                 7                                      180         165                 15                                                    150             165          180


                                                                                                               Jadi, HP                            11                             1   1                          11
                                                                                                                                       x                             x              ,                    x
                                                                                                                                                   12                            12 12                           12

                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  28
http://mathzone.web.id
42.   Kunci Jawaban: C                                                                                           sin x cos 210              cos x sin 210              [sin x cos 210          cos x sin 210 ]
        3 cos x          sin x           1         0                                                                                                                             1
                                                                                                                                                                                   3
                                                       2           2                                                                                                             2
         a       3, b             1, k             a           b               4     2
                                                                                                                                                                                 1
                     b        1          1                                                                                                  2 sin x cos 210                        3
         tan                               3                                                                                                                                     2
                     a        3          3
                                                                                                                                                                   1             1
                    30                                                                                                                          2 sin x                            3
                                                                                                                                                                   2             2
         Sehingga,
                                                                                                                                                                                  1
             3 cos x sin x                    1                0                                                                                               sin x                3
                                                                                                                                                                                  2
              2 cos (x 30)                        1            0                                                                                                       x        210 atau 330
                                                                   1                                             Jadi, HP           [210 , 330 }
                         cos (x              30)
                                                                   2                                       46.   Kunci Jawaban: D
                                    x         30               120                                               Perhatikan grafik pada soal!
                                                                                                                 Seperti pembahasan soal sebelumnya maka akan diperoleh
         x     30         120            n · 360
                                                                                                                 persamaan
               x 150     n · 360                                                                                    y sin (x 45)        1
              x  150 ; 270
                                                                                                           47.   Kunci Jawaban: A
      Jadi, HP {150 , 270 }
                                                                                                                  2 cos x 2 sin x                    2     a   2, b 2
43.   Kunci Jawaban: E                                                                                           Misalkan 2 cos x                    2 sin x sama dengan r cos (x                          ).
        Dengan aturan cosinus                                                                                                   2           2           2          2
                                                                                                                    r       a           b           ( 2)           2       2 2
                         62   32 62 36 9 36
         cos A                                                                                                                          b       2
                            2 6 3        36                                                                         tan                                 1
                                                                                                                                        a       2
                          9   1
                                   x 1, r 4 maka:
                         36 4                                                                                                135
                                                                       2       2                                 Sehingga diperoleh,
                                                   y               4       1             15
                                                                                                                  2 cos x 2 sin x                          2
                                                                                                                 2 2 cos (x                 135 )          2
                y    15                       1
         sin A                                  15
                 r   4                        4                                                                                                            1
                                                                                                                        cos (x              135 )            2
44.   Kunci Jawaban: D                                                                                                                                     2
                     y        2                                                                                                     x        135        45             k · 360
         tan                             y        2, x             3 maka:
                     x        3                                                                                                            x    180   k · 360
                                         r            22           32          4     9            13                                       x    90 ; 180
                                                                                                                 Jadi, HP           {90 , 180 }
                     y            2
         sin                                                                                               48.   Kunci Jawaban: C
                     r            13
                                                                                                                                        3
                     x            3                                                                                 sin
         cos                                                                                                                            5
                     r            13
                                                                                                                                        4                          3
                                                                                                                    tan                           cos
         cos2 2          sin2 2              cos 4                                                                                      3                          5
                                              1            2 sin2 2                                                 sin (               )       sin (          )       2 sin       cos
                                              1            2(2 sin                 cos    )2
                                                                                                                                                                                3 3
                                                                                                                                                                           2
                                              1            2(4 sin2                cos2       )                                                                                 5 5
                                                                                          2            2                                                                   18
                                                                                    2             3
                                              1            2               4                                                                                               25
                                                                                    13            13
                                                                                                           49.   Kunci Jawaban: D
                                                             16 9                             288                  sin x cos x    p
                                              1            2                         1
                                                             13 13                            169
                                                                                                                                                    1
                                              288              119                                                      sin x cos x                   sin2 x           cos2 x         (sin x    cos x )2
                                              169              169                                                                                  2
                                                                                                                                                                       1                        p

                                                                                                                                                    1
45.   Kunci Jawaban: C                                                                                                                                (1       p2 )
                                                                                                                                                    2
                                                                           1
      sin (x     210)             sin (x           210)                      3
                                                                           2




                                                                                                                        Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                   29
http://mathzone.web.id
50.    Kunci Jawaban: E                                                                                           55.   Kunci Jawaban: B
                                  A
                                                                                                                        Perhatikan grafik pada soal!
                                                                                                                        Seperti pembahasan soal sebelumnya maka akan diperoleh
                                                                                                                        persamaan
                8                               5                                                                          y 4 sin x
          B                                          C                                                            56.   Kunci Jawaban: A
                             11
                                                                                                                                                  y                2t
                                   52       82 112                   32           2                                        tan                                                          y           2t , x 1 t 2 maka:
               cos                                                                                                                                x           1 t2
                                           2 8 5                    80           5
                                                                                                                                                                                        r               (2t )2      (1   t 2 )2   1 t2
                                   x
               cos                               x          2, r        5 maka:
                                   r
                                                                                                                                                  x       1        t2
                               y            52       ( 2)2              25 4              21                               cos
                                                                                                                                                  r       1        t2
                                      y                    21                                                              cos                2 cos2               1
       10 sin             10                    10                      2 21                                                                                       2
                                                                                                                                                                               1
                                      r                    5

51.    Kunci Jawaban: D                                                                                                    2 cos2 2
                                                                                                                                  1                   cos                  1
                          y           1                                                                                                               cos                  1
              sin x                                 y      1, r      3 maka:                                                cos2 2
                                                                                                                                 1
                          r           3                                                                                                                        2
                                                                                                                                                      1       t2                   1    t2          1    t2
                                                    x        32         1        8     2 2                                                                                 1
                                                                                                                                                      1       t2                            1    t2

                          y                1              1                                                                                                   2                                 2
              tan x                                         2                                                                                          2
                          x               2 2             4                      1            3                                                       1 t2                     1
                                                                                                                                                          2                1       t2
                                                                                        2 2
52.    Kunci Jawaban: C
         sin x cos x a                                                                                                                   1                     1                        1
                                                                                                                                   cos   2                             2
         sin 2x    2 sin x cos x                                  2a                                                                                      1        t               1        t2
                             y         2a
              sin 2x                                 y      2a, r           1                                     57.   Kunci Jawaban: B
                             r          1
                                                                                                                        Pembahasan sama dengan soal nomor 31.
                                                     x         12       2a2           1       4a2
                                                                                                                  58.   Kunci Jawaban: E
                          y                2a                                                                            2 sin2 x 7 sin x 3                                            0
              tan 2x
                          x                          2                                                                  (2 sin x 1)(sin x 3)                                           0
                                          1 4a
                                                                                                                                     1
53.    Kunci Jawaban: C                                                                                                 sin x          atau sin x                              3 (tidak memenuhi)
                                                                                                                                     2
                                                                                Dengan aturan sinus
                                                                                                                        Karena x berada di kuadran I dan IV
                         C                                                        10              8, 17                 maka: cos x 0
                                                                                sin 60            sin B                                               1
              8,17                                                                                1                                cos x                3
                                                10                                   sin B            2                                               2
                                                                                                  2
                                                                                          B       45              59.   Kunci Jawaban: C
      A       60                                                    B                                                   2 cos 3x 1 0
       Jadi,         C    180               60            45            75                                              2 cos 3x  1
                                                                                                                                                  1
54.    Kunci Jawaban: C                                                                                                   cos 3x
                                                                                                                                                  2
                                           9                                                              C
              cos (B         C)                                                                                                    3x         60              k · 360
                                           40
                                                                                              10                                    x         20   k · 120
              cos A           cos (180                (B          C))
                               cos (B                C)                                                                             x         0 ; 20 ; 100 ; 140

                                    9                                            A                  8         B
                                   10                                                                                          0             20                                    100                        140
                                                                                                                        Jadi HP              {0           x            20 ; 100                          x       140 }
              BC2        AC2              AB2            2AC · AB · cos A

                                                                                9                                 60.   Kunci Jawaban: A
                         102          82         2 · 10 · 8
                                                                                40                                          2 cos x   6 sin x dinyatakan ke dalam bentuk
                         100           64           36       200                                                        k cos (x    )
              BC          200              10 2                                                                            a             2, b                      6




               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  30
http://mathzone.web.id
                                                                                                              Irisan bidang yang melalui P, Q, dan R dengan kubus
          k      a2       b2              2        6         8          2 2
                                                                                                              membentuk segi empat sembarang.

                      b               6                                                                  2.   Kunci Jawaban: C
          tan                                      3
                      a               2                                                                       T.ABCD limas beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan
                      1
                                                                                                              rusuk tegak                     12 2 cm.
                      3                                                                                                                                                                                 T

                                                                                                              Jarak A ke TC                        AP                                                             P
                                                                                               1
         Sehingga,             2 cos x                  6 sin x              2 2 cos ( x         )                                                                                      D                             C
                                                                                               3                       ATP                siku-siku di P                                    12 2
61.   Kunci Jawaban: C
                                                                                                                   AT            12 2 ; TP                      6 2
         AB      2 3              BD               3

         AO      3
                                                                                           C                           AP            (12 2 )2               ( 6 2 )2                            A                         B
                              DO              6                                                                                                                                                           12
                                                                                                                                    288 72                       216       6 6 cm
                      CD          OC DO                                                    O
         tan B                                                                                           3.   Kunci Jawaban: A
                      BD            BD
                      3           6                                              A         D         B          Bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 cm.
                                                                                                                Sudut antara TP dengan bidang atas sudut TPC.
                              3
                                                                                                                Dari TPC terlihat TP
                      3           6            3
                                                                                                               PC
                              3                3
                                                                                                                                                                                                    T
                      3 3                 18           3 3          3 2                                            TP                42       22
                                  3                             3                                                                   12         2 3                                  4
                          3           2            2            3                                                                                                                                                     C
                                                                                                              dan
                                                                                                                 TC 4                                                  A                            Q
62.   Kunci Jawaban: C                                                                                                                                                      2
                                                                                                                                                                                                               4
                                                                                                                 Dari rumus cosinus                                                 P
                         4                                                                                    didapat:                                                                      2
         tan 2                            0                                                                            2   2     2                                                                      B
                      tan                                                                                          TC    TP PC
        2 tan            4                                                                                    2 · TP · PC cos
                                          0
       1 tan2          tan
                                                                                                                                                    2                  2
                                                                                                                             2
                                                                                                                            4             2 3                   2 3          2 3 2 3 cos
      2 tan2         4 4 tan2                           0
                     2 tan2      4                      0                                                                16           12           12           2 · 12 cos
                         2 tan2                             4                                                               8             24 cos
                            tan2                        2
                             tan                            2                                                                 8                         1
                                                                                                                   cos
                                                                                                                             24                         3
                                                                                                                                                                                                              3
                                                                                                                   Lihat gambar!                                                            2 2
                      y        2
         tan                                   y            2, x            1 maka:
                      x        1                                                                                                      2 2
                                                                                                                   tan                              2 2                                                   1
                                               r        2           1        3                                                         1

                      x           1           1                                                          4.   Kunci Jawaban: B
         cos                                    3
                      r           3           3
                                                                                                                                                            T


                                                                                                                                                                           11 cm

7. Dimensi Tiga                                                                                                                                         D                           C

                                                                                                                                               P                                Q
1.    Kunci Jawaban: A                                                                                                                A                                B 2 2
      Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R pertengahan rusuk
      AB, BC, dan CG.                                                                                         Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah .
                                                                                                              Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah                                                PTQ           .
                               H                                            G
                                                                                                              TP    TQ

                 E                                              F                                                  2             2             2                    1
                                                                                                              TP            TA            AP            AP            AD            2
                                                                            R                                                                                       2
                                                                                                                                          2                 2
                                                                                                                                 11                 2
                               D                                             C
                                                                                                                            11        2       9
                                                                        Q
                                                                                                              TP                9         3    TQ
                  A                   P                     B
                                                                                                              PQ            AB            2 2 cm


                                                                                                                        Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                                  31
http://mathzone.web.id
      Dari rumus cosinus didapat:
                        PQ
                                 2
                                             TP
                                                     2
                                                             TQ
                                                                  2
                                                                       2 · TP · TQ cos                                          Jarak D ke garis HT adalah DP
                                                                                                                                DP     TD sin        PTD
                                2                2           2
                    2 2                      3           3        2 · 3 · 3 cos                                                  PTD          HTD, jadi DP                          TD sin           HTD
                        8            18              18 cos                                                                                   1                                          1
                                                                                                                                      TD        diagonal alas                                6 2             3 2 cm
      18 cos                         10                                                                                                       2                                          2
                                                                                                                                                      DH
                                                                                                                                      sin    HTD
                                     10                  5                                                                                            TH
                  cos                                                                                                                 DH      tinggi prisma                     8 cm
                                     18                  9

5.    Kunci Jawaban: B                                                                                                                TH          TD 2          DH 2
      Jarak suatu titik terhadap garis adalah                                                          H
                                                                                                  P                                                (3 2)2               82           18          64           82
                                                                                        E
      jarak tegak lurus titik tersebut ter-                                                   Q
                                                                                                                   G                  Maka,
      hadap garis atau perpanjangannya.
                                                                                                           F
      Jarak P terhadap CF adalah PQ.                                                                                                               8
                                                                                        A              D                              sin     HTD
      PQ            CP sin ( PCF)                                                                                      C                           82
                                                                                                           B                          Sehingga diperoleh:
      Untuk mencari sin PCF digunakan
      rumus cosinus.                                                                                                                                                                                 8
         2     2     2                                                                                                                DP      TD sin                HTD             3 2
      PF    CP   CF     2CP · CF cos                                                                                                                                                                 82
        2     2      2   2    2
      PF    FE   EP    4     2  20                                                                                                             3 2 8                    24              24
         2     2     2     2                                                                                                                                                               41
      CP CD       DH    HP
                                                                                                                                                2 41                     41             41
                        2            2               2
                    4            4           2               36                CP       36    6
              2             2                2                                                                             8.   Kunci Jawaban: C
      CF            CB               BF
                        2            2                                                                                                                      H                       G
                    4            2           32                   CF            32      4 2                                                                         I
      Jadi,                                                                                                                                   E                             F
                                             2                                                                                                                                          4
                            20           6                        2
                                                         (4 2)             2 . 6 . 4 2 cos            PCF
                                                                                                                                                        D                            C
                                             68 20                    1                                                                                                         4
      cos           PCF                                                 2                                                                                 4
                                              48 2                    2                                                                        A                        B


                                                                            1                                                              adalah sudut antara BF dan bidang BEG
      sin          PCF                       1 ( 2 2 )2
                                                 1                            2 , jadi:
                                                                            2                                                                      FI
                                                                                                                                      sin
      PQ               CP sin                PCF                                                                                                   BI

                             1                                                                                                                 1                                     1
                    6·         2                     3 2              32        2       18                                            FI         diagonal sisi                               4 2             2 2
                             2                                                                                                                 2                                     2

6.    Kunci Jawaban: B
                                                                                                                                      BI           FI 2         BF 2
                    H                                                                                              F
                                                     G                                                                                                          2
                                                                                                                                                    2 2                 42               8   16
          E
                                     F                                                                                                             24         2 6
                   D                                                                                               1
                                                         C                                                                            Sehingga didapat:
          A                  P                                                                P                    B
                                                                                                             1
                                                                                                           1 2 2                                   FI           2 2                  2
                                         B                                                                                            sin
                                                                                                                                                   BI           2 6                  6
                                                         2
                                         1                                 2        3                                                                       2                   1        1
          PF            12                 2                      1                                                                                                                        3
                                         2                                 4        2                                                                2          3               3        3
          PF sin                     1
                                      1                      1        2        1                                           9.   Kunci Jawaban: D
                  sin                                                            6                                              Sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah
                                     PF                      3        3        3
                                                             2
                                                                                                                                 TDC                                                 T

7.    Kunci Jawaban: B                                                                                                                       DE
                                                                                                                                cos                                                              9
                        H                            G
                                                                                                                                             TD                             9
                                                                                                                                                                                                         C
           E                             F
                                                                                                                                                                                                     6
                                                                                                                                                                                         E
                                                                                                                                                                A       3       D    3
              8                                                                                                                                                                              B
                        D        P
                                                         C
                                                                                                                                                                                                                   1
                                                                                                                                Karena T.ABC limas beraturan, maka DE                                                DC.
                             T                                                                                                                                                                                     3
              A                      B



                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     32
http://mathzone.web.id
                                                                                                         (ADHE, ACH)     CPD
                1
       DE          BC 2 BD 2                                                                       Misalkan: rusuk kubus a
                3
                1           1                                                                                    P
                   62 32      27
                3          3
                1                                                                                        1
                                                                                                        P2 a 2
                  3 3    3
                3
                                                                                                                D                a             C
                         2             2            2        2
       TD           TB           BD             9        3                                              PD          1    ED           1a       2
                                                                                                                    2                 2
                    72       6 2
                                                                                                                                                                                 2
                                                                                                        CP           CD 2             PD 2                 a2       1a
                                                                                                                                                                    2
                                                                                                                                                                            2
                     DE                3         6
       cos
                     TD              6 2        12                                                                   a2              1 a2          3 2
                                                                                                                                                     a              1   a 6
                                                                                                                                     2             2                2

                                                              6                                                                           1a
       sin               1       cos2                1                                                                      PD            2
                                                                                                                                                   2            2           1        1
                                                             12                                         cos                                                                          3
                                                                                                                                                                                          3
                                                                                                                            CP            1a       6            6           3
                                                                                                                                          2
                                      6         144 6                       138
                         1                                                                   12. Kunci Jawaban: A
                                     144         144                        12                                                                                                       H                G
10. Kunci Jawaban: B                                     T                                         AC          62           62
                                                                                                                                                                        E                       F
                                                                             D
                                                                                                               36           36
                                                    5 cm
                                                                                 E
                                                                                                          6 2 cm
                                                                                                                                                                                D                      C
                                                         A                               C
                                                                                                           1   AC            1       6 2           3 2                                   M
                                                                                     F
                                                                                                   MC      2                 2
                                                                 5 cm                                                                                                   A                       B
       AE      jarak (A, TBC)
                                                                             B
          ABC        BC               52        52       5 2                                                                                                                         GE 2           GM 2
                                                                                                   GM          MC 2          CG 2                                   EM
                                                                                                                                                                                                2           2
          TAC       TC                52        52       5 2                                                   (3 2)2                62                                                  6 2          3 6
                                                                                                               9(2)          36
                1                5                                                                                                                                                   36(2)          9(6)
       CD         TC               2
                2                2                                                                             18           36
                                                                                                                                                                                     72        54
                                                                                                               54
                                                                                                                                                                                     18
          ABC        BD               BC 2      CD 2                                                           6 9
                                                                                                                                                                                     2 9
                                                                        2                                 3 6 cm
                                                2        5                                                                                                                       3 2 cm
                                       5 2                 2
                                                         2
                                               25            75                              13.   Kunci Jawaban: C
                                      50
                                                2             2
                                                                                                                                 H                         G
   BD Garis berat pada BCT
   E     Perpotongan ketiga garis berat                                                                              E                                 F
   Jadi BE : ED 2 : 1

                2                2    75                                                                                    D                               C
       BE         BD
                3                3     2                                                                                               P
                                                                                                                        A                          B
                                           2             2                                         Pada kubus ABCD EFGH, AC tegak lurus BD.
          AEB       AE                AB            BE
                                                                                                   Misalkan proyeksi EG pada bidang AC dan BD, maka proyeksi
                                                                 2
                                                2 75                                               pada bidang BDG adalah GP.
                                      52
                                                3 2                                                     GC       6, BD                , BP                  6 2             BP           1 BD       3 2
                                                                                                                                                                                         2
                                               50            25             5
                                      25                                      3
                                               3             3              3                           GP           GB 2             BP 2

11. Kunci Jawaban: B                                                                                                 (6 2)2                 (3 2)2                  72      18
                H                      G                                                                             54              3 6

      E                      F                                                                     Maka panjang proyeksi kecil garis EG pada bidang BDG                                                     3 6

           P                                                                                 14.   Kunci Jawaban: C
                                                                                                   Limas segi empat beraturan T. ABCD semua rusuknya sama
                D                          C
                                                                                                   panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah .
       A                     B                                                                     Misalkan AB BC CD AD TA TB TC TD a



                                                                                                          Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                                  33
http://mathzone.web.id
                 a 2              AO          1 AC             1 a         2
       AC                                     2                2                                     T
                                                                                                                                             FP             AF 2             AP 2
       Perhatikan             AOF!
                                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                            (a 2)2                    1a
                                                                                                                                                                                      2
                                                                                                                                                                                                 2
                                     1a 2
       cos           AO              2                1    2                                D                          C
                     AT                  a            2                                                                                                     2a2             2 a2
                                                                                                                                                                            4
                                                                                                                                                                                                 6 2
                                                                                                                                                                                                 4
                                                                                                                                                                                                   a
                                                                                                    O
                     45                                                             A                         B                                         a
                                                                                                                                                        2
                                                                                                                                                                6
15.    Kunci Jawaban: D
                                                                                Rusuk                6 cm
                                                                                                                                                                                 2                       2
                                                                                Diagonal ruang                          s 3
                                                                                                                                                                    a
                                                                                                                                                                    2
                                                                                                                                                                            6                a
                                                                                                                                                                                             2
                                                                                                                                                                                                     2           a2           3 2
                                                                                                                                                                                                                                a       1 a2               a2
                     H                        G                                                                                              cos                                                                              2         2
                                                                                                                                                                                 a               a
                 P                                                                                                                                                          2            6               2                        (a   6) a            2
                                                                                            AG           6 3                                                                     2               2                                        2
             E                           F
                     D        Q               C                                                 1 AG                                                            2a2              a2              a2                  1        1
                                                                                    AQ
                                                                                                2
                                                                                                                  3 3
                                                                                                                                                                        2                        2
                                                                                                                                                                                                                                3
                                                                                                                                                                    a           3            a           3           3        3
             A                           B
                                                                                    AP               62           32              18.   Kunci Jawaban: E

                                                                                                 36           9         45                   Panjang rusuk                          8 maka panjang diagonal                                        8 2
       Jarak titik P ke AG adalah PQ.                                                                                                              BD        8 2
                                                                                                                                                                                                                                       H                                G

            PQ           AP 2            AQ 2                                                                                                BP             FP      2
                                                                                                                                                                             BF      2                                                                      P

                         45          27                                                                                                                         2           2                                                 E                             F
                                                                                                                                                                                                                                                                        8
                                                                                                                                                            4           8                16          64
                         18          3 2
                                                                                                          T                                                 80              4 5
                                                                                                                                                                                                                                   D                                    C
16.    Kunci Jawaban: D
                                                                                                                                                    1                                                                                          O                    8
       TA TB 5
                                                                                                                                             BO       BD 4 2
       TC 2                                                                                                                                         2                                                                         A                             B
       AC BC 4                                                                                                                          Jarak titik P dan garis BD adalah OP
       AB 6                                                            A
                             1
                                                                                                                                        OP         80       32               48          4 3
       BP        AP          2    AB         3                                                                               C
                                                                                    A                                                   Jadi, jarak titik P dan garis BD adalah 4 3 .

                                                                                                     B                            19.   Kunci Jawaban: D
             TP          TB2             BP 2              52          32
                                                                                                                                             AC         CH          AH               6 2                                                   H                                G
                             25      9            6        4
                                                                                                                                                        1      1
                                                                                                                                             DI           DB =   6 2                                     3 2
             PC              BC 2            PB2               42          32                                                                           2      2                                                                  E                                 F

                             16          9        7                                                                                                     1
                                                                                                                                             AI           AC                3 2                                                            D                                C
                                                                                                                                                        2
                                     2            2                2
                              TP       TC               PC                                                                                                                                                                                             I
             cos
                                     2 TP              TC                                                                                    HI             62          (3 2)2                                                     A                                B

                              42      22 ( 7 )2                        16       4       7        13                                                         36          18               54          3 6
                                     2 4 2                                     16                16
                                                                                                                                                             6               1
17.    Kunci Jawaban: E                                                                                                                      sin                                     6
                                                                                                                                                                             3
                                                                                                                                                            3 6
       Misalkan panjang rusuk adalah a, maka panjang diagonal
                                                                                                                                  20.   Kunci Jawaban: A
       bidang adalah a 2 .                                                                                                                 UV FB a
                                                                                                 H                            G

             AP          1a 2                                                                                                                HF         a 2 (diagonal bidang)                                                              H                                G
                         2                                                              E                               F
                                                                                                                                                        1                   1                                                                          U
                                                                                                                                             UF           HF                  a 2                                                                  b
             FP              AF 2            AP 2
                                                                                                                                                        2                   2
                                                                                                                                                                                                                              E                                 F
                                                                                                D                            C
                                         2                     2
                             a 2                  1a       2
                                                  2                                                           P                              PF             EP 2            EF 2                                                           D                                C
                                                                                        A                a              B
                             2a 2        2 a2              6 a2                                                                                                         2
                                         4                 4
                                                                                                                                                             1a
                                                                                                                                                             2
                                                                                                                                                                                 a2                                                                V
                         a       6                                                                                                                                                                                            A                                 B
                         2                                                                                                                                  1 a2            a2               5 2
                                                                                                                                                                                               a
                                                                                                                                                            4                                4
                                                                                                                                                        a
                                                                                                                                                        2
                                                                                                                                                             5
             BP              AB 2            AP 2
                                                       2
                             a2          1 a 2                                                                                                                                                                   2                     2
                                         2                                                                                                   PU             PF 2            UF 2                     a
                                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                                                                             5               1a
                                                                                                                                                                                                                             2
                                                                                                                                                                                                                                   2
                             a2          2 a2              2 a2
                                                                                                                                                            5 2             2 a2                 3 2             a
                                         4                 4                                                                                                  a                                    a                     3
                         a                                                                                                                                  4               4                    4               2
                                 2
                         2

             Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  34
http://mathzone.web.id
                                                                                                                                 24.   Kunci Jawaban: A                                                                                         T
                                                                2                            2
            PV          PA2        AV 2                    1a                   1a   2                                                                      2                    2                   2        2
                                                           2                    2                                                      TU              TC             UC                         8        3
                         1 a2      1 a2                   3 2       a                                                                                                                                                                       D                 C
                                                            a                   3                                                                      64        9               55
                         4         2                      4         2                                                                                                                                                                                        U
                                                                                                                                                                                                                                   A                     B
                                                                                                                                       AC          6 2
                                                                                         2                               2
                                                                2               a
                                                                                     3           a2              a
                                                                                                                     3           25.   Kunci Jawaban: B
                             PU 2 UV 2 PV                                       2                                2
            cos b                                                                                a                               26.   Kunci Jawaban: E
                                 2 PU UV                                                 2               3 a
                                                                                                 2                                        Misalkan persamaan garis lurus yang bergradien m                                                                             3
                             3 2
                             4
                               a          a2          3
                                                      4
                                                          a2            a2                   1                                            adalah y   3x n
                                      a2 3                          a2 3                     3                                            Memotong parabola di titik (2, 4), maka:
                                                                                                                                              4   3(2) n       n 10
                         x        1                                         2                                                                 Sehingga diperoleh persamaan y                                                       3x       10
            cos b                                     y             3               12           2
                         r        3                                                                                                                         2
                                                                                                                                              y        2x            x         6
                                                                                                                                                                                                 2x2          x        6           3x       10
                         y        2               3         6       1                                                                         y         3 x 10
            sin b                                                     6
                         r        3               3        3        3                                                                                                                     2x2 4x 16                            0
21.   Kunci Jawaban: C                                                                                                                                                                      x2 2x 8                            0
            EC                                                                                                                                                                            (x 2) (x 4)                          0
                    4 3
                                                                                     H                               G                 x      2 atau x                   4
                    2                     8                                                      P
            EQ        4 3                   3                                                                                                 x        2 maka y                     4                    ( 2, 4)
                                                                                                             R
                    3                     3                                     E                                F
                                                                                                 Q                                         x      4 maka y 22       ( 4, 22)
            PR : EQ          GP : GE                                                                                                   Jadi titik potong lainnya adalah ( 4, 22)
            PR : EQ          1:2                                                     D                               C
                                                                                                                                 27.   Kunci Jawaban: C
                  2 PR       EQ                                                                                                        Misalkan panjang semua rusuk kubus                                                          a
                             1                    4                             A                                B
                                                                                                                                                    TC
                    PR         EQ                   3                                                                                  tan                                                                                         H                 G
                             2                    3                                                                                                 GC                                                                     E                 F
22.   Kunci Jawaban: D                                                                                                                 AC         a 2 (diagonal sisi)
                                                                                                                                                   1                  a
            AP          AB 2      BP 2                                                                                                 TC          2
                                                                                                                                                       AC             2
                                                                                                                                                                               2                                               D                     C
                                                                                                                                                       1a                                                                  A            T        B
                        36 9              3 3                                                                                                          2
                                                                                                                                                                2            1
                                                                                                                                       tan                                           2
                                                                                                                                                            a                2
                             2            2
            TP          TB        BP
                        81 9              6 2                                                                                    8. Statistika
                                                                                                             T
              2          2            2
        AP          AT           PT               2 AT · PT cos
                                                                                                                                 1.    Kunci Jawaban: B
            27      81       72       2 · 9 · 6 2 cos
                                                                                                                                           Umur             f            Tepi bawah                               fk
       126           2 9          6 2 cos                                                A                                   C
                      126                     7                                                                                             4-7              6                            3,5                   6
      cos                                                                                                            P3
                                                                                                                 3                          8 - 11          10                            7,5                  16
                     108 2                6 2                                                                B
                                                                                                                                           12 - 15          18                           11,5                  34
      Maka,                                               6 2
                                                                                         23                                                16 - 19          40                           15,5                  74
                    23                                                                                                                     20 - 23          16                           19,5                  90
      tan
                    7
                                                            7                                                                              24 - 27          10                           23,5                 100

23.   Kunci Jawaban: C                                                                                                                                           N               f2
                                                                                                                                       Me          L2            2                           c
                             2                2                                                                                                                           f2
            CD          BC         BD
                        18 18                 6                     A                                                                  L2          Tepi bawah kelas median 15,5
                                                                                                                                       c           Internal kelas 4
                                                                    3
            AC          BC 2       AB 2                                                                                                N           Jumlah frekuensi 100
                                                                                                                                         f2        Frekuensi kumulatif sebelum kelas median
                        18 9              3 3                       B                                    D
                                                                                                     3                                             (6 16 18 34)
                                                                            3 23              3P
                                                                                         C                                             f2          Frekuensi kelas median
            AD          BD 2       AB 2
                                                                                                                                                                             100
                        18 9              3 3                                                                                                                                 2
                                                                                                                                                                                          34                               50 34
                                                                                                                                       Me          15,5          4                                       15,5
                                                                                                                                                                                    40                                       10
            BP          BC 2      CP                  18 9              3
                                                                                                                                                   15,5          1,6             17,1

                             AB           3                                                                                      2.    Kunci Jawaban: D
            tan     P                             1             P
                             BP           3                             4                                                                                                 f0         f   1
                                                                                                                                       M0         L0                                                     c
                                                                                                                                                                2f0            (f    1       f   1


                                                                                                                                                  Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                                                35
http://mathzone.web.id
          TB         Tepi bawah kelas modus 44,5                                                          Kelas Q1           5,5        10,5
          I          Interval 5                                                                           Tb        5; ( f )1           8; f1        12, c        5
          f0         Frekuensi kelas modus 12
          f 1        Frekuensi kelas sebelum kelas modus 6                                                                   18 8                            25        1
                                                                                                          Q1        5                        5       5                96
          f 1            Frekuensi kelas setelah kelas modus 8                                                                12                              6
                                                                                                          Kelas Q3           15,5           20,5
                                                      12 6
          M0         44,5                 5        2 12 (6 8)                                             Tb        15; ( f )3           8 12 26                  46
                                                                                                          f3        14
                                            30
                     44,5                                        4,75                                                          54 46                                  20
                                          24 14                                                                                                                                  6
                                                                                                          Q3        15                               5       15               17 7
                                                                                                                                 14                                   7
3.        Kunci Jawaban: C
          Data setelah diurutkan adalah sebagai berikut.                                                                                         1           1    6   1
                                                                                                          Simpangan kuartil                        (Q3 Q1)     17 7 9 6
          2    3     4    6     8    9    12 14                                                                                                  2           2
                                                                                                                                                 1
                                                                                                                                                   (8,69) 4,345 4,35
                    Q1                                 Q2                       Q3                                                               2

                                                             1                                      7.    Kunci Jawaban: B
          Simpangan kuartil                                    (Q Q1)
                                                             2 3                                          Kelas modus 70 74
                                                             1          1                                 L    Tepi bawah kelas 69,5
                                                               (12 3) 4
                                                             2          2                                 f1   12 11 1
4.        Kunci Jawaban: B                                                                                f2   12 9 3
                                                                                                          c     Panjang kelas 5
                                     3N
                                     4
                                                       f3
          Q3         L2                                      c
                                              f3                                                                                    1
                                                                                                          M0        69,5                         5
                                                                                                                                   1 3
          Q3               Kuartil atas
                                                                                                                               5
          c                Panjang kelas                           5                                                69,5                69,5         1,25        70,75
                                                                                                                               4
               f3          Jumlah frekuensi sebelum frekuensi yang memuat                           8.    Kunci Jawaban: C
                           kuartil atas 27
                                                                                                          1             1
          f3               Frekuensi kelas yang membuat kuartil atas                           10           n             48 12
                                                                                                          4             4
                                              30 27                                 3                     Kelas Q1           54,5           58,5
          Q3               70,5                     5                   70,5          5
                                                10                                 10                     Tb 54,5
                           70,5               1,5           72,0                                          ( f )1        4 6         10 ; f1              12; c       4
5.        Kunci Jawaban: A                                                                                                          12 10                                2
                                                                                                               Q1       54,5              4                  54,5             55,17
                                                                                                                                      12                                 3
               Nilai             fi                    xi                       fi · xi
            3-5                  3                      4                       12                  9.    Kunci Jawaban: E
            6-8                  n                      7                       7n
                                                                                                                     xi fi
            9 - 11               9                     10                       90                        x
                                                                                                                       fi
           12 - 14               6                     13                       78
                                                                                                                (3 2) (4 4) (5 8) (6 12) (7 16) (8 4)
           15 - 17               2                     16                       32
                                                                                                                           2 4 8 12 16 4
                                              fi       20        n      fi · xi 212       7n
                                                                                                                 6 16 40 72 112 32 278
                                                                                                                         46           46
                      fi        fi                          212 7n
          x                                   10                                                                6,04
                           fi                                20 n
                           200 10n                          212 7n                                        Siswa dinyatakan lulus bila nilai                               x 1            nilai    5,04
                                3n                          12                                            Jumlah siswa yang nilainya                              5,04 adalah 12                 16   4   32
                                 n                          4                                             orang.
6.        Kunci Jawaban: D                                                                          10.   Kunci Jawaban: A
              Nilai                  fi       Tepi bawah                   fk                             Data diurutkan: 3 4                            5       5       6     7         8       9
               1-5                8                      2,5                8                             Modus: 5
               6 - 10            12                      5,5               20                       11.   Kunci Jawaban: E
              11 - 15            14                     10,5               26                               Data diurutkan
              16 - 20            26                     15,5               52                               17    17    18 18 19  20
              21 - 2             12                     20,5               64                               21    22    22 23 24  25
                                                                                                            Jangkauan Xmax Xmin 25 17                                                8
                                      1                              3
          n         72                             n        18 ;       n    54                                                     x6       x7       20 21               41
                                      4                              4                                         Median                                                         20,5
                                                                                                                                        2              2                 2

                    Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     36
http://mathzone.web.id
                                                                       5.   Kunci Jawaban: D
9. Peluang                                                                  P Perempuan, L Laki-laki
                                                                            Kemungkinannya PPP, LLL, LLP, LPP.
1.   Kunci Jawaban: D                                                         Ada 4 kemungkinan
                                                                            Kemungkinan paling sedikit mempunyai 2 anak laki-laki adalah
     Ada 8 titik, tidak ada 3 titik yang segaris. Karena tidak ada 3
                                                                            LLL dan LLP.
     titik yang segaris, maka dalam setiap pembuatan garis
     memerlukan 2 titik.                                                                       2     1
                                                                            Peluangnya                 .
     Jadi persoalannya kombinasi 2 dari 8.                                                     4     2

                       8!            8 7 6                             6.   Kunci Jawaban: B
     C(8, 2)                                        28
                      6! 2!           6! 2!                                 Muncul mata dadu berjumlah 9 atau 10 adalah                  (3, 6), (4, 5),
2.    Kunci Jawaban: E                                                      (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4)          Ada 7 kejadian.
       S Jumlah siswa 40                                                                        7          7
       A Jumlah siswa gemar Matematika                                      Peluangnya
                                                                                               6 6         36
       B Jumlah siswa gemar IPA
                                                                       7.   Kunci Jawaban: C
      A B Jumlah siswa gemar mMatematika dan IPA
            c                                                               Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.
     (A B) Jumlah siswa tidak gemar Matematika dan IPA
                                                                            Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning.
     S                                                                      Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak.
                                           3
             M                  B                                           Ditanyakan peluang kedua bola berwarna sama.
             16        9        12                                             Peluang bola merah dari kotak I
                                                                               Peluang bola merah dari kotak II
                                                                               Peluang kedua bola berwarna merah:
                  c        3
     P(A     B)                                                                           5   2    10
                           40                                                   P(M)
                                                                                          8   8    64
3.   Kunci Jawaban: B
     Kotak I : 3 bola merah, 2 bola putih.                                                                                    3
                                                                                Peluang bola kuning dari kotak I
                                                                                                                              8
                                       5!
     n(S)        C(5, 2)                        10
                                      3!2!                                                                       6
                                                                                Peluang bola kuning dari kotak II
                                                                                                                 8
                                       3!
     n(M)        C(3, 2)                        3                               Peluang kedua bola berwarna kuning:
                                      2! !!
     Peluang terambilnya dua bola merah dari kotak I                                   3 6 18
                                                                                P(K)
                                                                                       8 8 64
            n(M )           3
      P1                                                                        Peluang kedua bola berwarna sama:
            n(S )          10
     Kotak II: 3 bola hijau, 5 bola biru                                                                   10    18   28       7
                                                                                P      P (M ) P (K )
                                                                                                           64    64   64      16
                                     8!
     n(S)      C(8, 2)                         28
                                    6!2!                               8.   Kunci Jawaban: D
                                                                            Populasi serangga setiap tahun menjadi 2 kali lipat membentuk
                                     5!
     n(B)      C(5, 2)                         10                           barisan geometri, dengan
                                    2!3!
                                                                            U1 a 5000
     Peluang terambil 2 bola biru dari kotak II
                                                                                    10.000
            n( B )         10                                               r                 2
      P2                                                                             5.000
            n(S )          28
                                                                            10 tahun yang akan datang populasinya                  S10
     Jadi, peluangnya adalah:
                            3 10               3                                        (r n 1)
      P     P1 P2                                                                Sn
                           10 28               28                                         r 1
                                                                                         5.000(210      1)      5.000(1.024 1)
4.   Kunci Jawaban: C                                                           S10
                                                                                             2 1                       1
      n ! n faktorial n (n 1) (n 2) . . . 1
                                                                                        5.000 (1.023)           5.115.000
     16! 16 · 15 · 14 . . . 1, dengan ketentuan:
      0! 1 dan 1! 1                                                    9.   Kunci Jawaban: E
       1       16 15                  240                                   Dua dadu dilambungkan bersama-sama
                                                                                                                1
      14!    16 15 14!                16!                                  Munculnya mata dadu pertama 3 adalah    dan mata dadu
                                                                                          1                     6
      10 10 16 160                                                         kedua 5 adalah    .
                                                                                          6               1 1 1
     15! 16 15! 16!                                                        Maka kejadian yang diharapkan
                                                                                                          6 6 36
     Karena penyebutnya sudah sama maka:
                                                                       10. Kunci Jawaban: C
       1     10          4            240 160            4   84             1   2     3    4    5    6   7   8    9
      14!    15!        16!               16!                16!           n(S)    9




                                                                                    Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional              37
http://mathzone.web.id
      Banyaknya tiket dengan nomor ganjil adalah n(A) 5                                      3 orang teknisi dari 5 orang teknisi
        Peluang terambilnya tiket bernomor ganjil pada pengambilan
                                                                                                                   5!             4 5
        pertama adalah                                                                           5 C3                                         10 cara
                                                                                                                  2! 3!            2
                           n( A )        5                                                 Jadi banyaknya cara menyusun tim tersebut adalah
              P(A)
                           n(5)          9                                                 3 10 30
           Peluang terambilnya tiket bernomor genap pada pegambilan
           kedua adalah                                                               10. Lingkaran
                              4     1
               P (B )                         karena sudah diambil satu.
                              8     2                                                 1.   Kunci Jawaban: C
                                                                                                                 2    2
                                                           5 1          5                  Diketahui lingkaran x     y     25
               Jadi, P            P ( A) P (B )
                                                           9 2         18                  Garis singgung di titik ( 3, 4) menyinggung lingkaran lain yang
                                                                                           pusatnya (10, 5).
11. Kunci Jawaban: A                                                                          Gradien garis singgung:
    5 merah, 3 putih, 2 biru 10 kelereng
                                                                                                               x            ( 3)          3
    Dari 10 buah kelereng diambil 3 kelereng secara acak,                                        m
                                                                                                              y              4            4
                                                 10!
      seluruhnya ada              10 C3                     120 cara.                            Persamaan garis singgungnya melalui titik ( 3, 4):
                                                 7! 3!
      Terambilnya 2 merah dan 1 putih, yaitu:                                                         y     4               3                       3
                                                                                                                                      y       4       (x         3) . . . . (i)
         2 merah dapat diambil dari 5 merah.                                                     x        ( 3)              4                       4

                           5!                                                                    Karena yang ditanyakan panjang jari-jari lingkaran kedua
               5 C2                     10 cara                                                  yang berpusat di (10, 5), maka dapat langsung digunakan
                          2! 3!
                                                                                                 rumus garis singgung lingkaran:
           1 putih dapat diambil dari 3 putih
                                                                                                 y        b        R 1 m2
                                                                                                                   m(x           a)
                           3!
               3 C1                     3 cara                                                   dengan (a, b) adalah pusat lingkaran kedua.
                          1! 2!
                                                                                                 Persamaan garis singgung dari persamaan (i) adalah:
      Maka kemungkinan terambilnya 2 kelereng merah dan 1
      kelereng putih adalah 10 3 30 cara.                                                                                        3
                                                                                                              y        4           (x         3)
                                                                                                                                 4
                                                          30       1
      Jadi, P (2 merah, 1 putih)
                                                         120       4                                                             3
                                                                                                 (y       5)           1           (x         10        13)
12.    Kunci Jawaban: D                                                                                                          4
       A Bukan prima 1 , 4 , 6 ,8 , 9 ,                                        10
                                                                                                                                 3                          39
                                                                                                 (y       5)           1           (x         10)              1
              n(A)        6                       6        3                                                                     4                           4
                                   P ( A)
                                                 10        5
                                                                                                                                3                           35
       B     Bukan komposit                      2 ,3 ,5 , 7                                              (y           5)         (x          10)
                                                                                                                                4                            4
                                                  4        2                               Sehingga,
              n(B)        4        P (B )
                                                 10        5
                                                                                                                   2
                                                      3        2    6                                      3                35                 42           32       35
       P( A        B)     P ( A)        P (B )                                             R 1                                          R               2
                                                      5        5   25                                      4                 4                      4                 4
13. Kunci Jawaban: C                                                                                    25                  35
                                                                                              R
    Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dalam 3 digit.                                               16                   4
                                                                                                         5                  35                     35
        2      5      4                                                                               R                                   R                  7
                                                                                                         4                   4                      5
      Banyaknya cara                2        5       4     40.

14. Kunci Jawaban: D                                                                  2.   Kunci Jawaban: E
                                                                                                         2     2
      Kotak I 4 bola merah                               3 bola putih       7 bola         Persamaan: 9x    25y   18x 100y                                                 116    0
                                                                                           dapat disederhanakan menjadi:
                              3                                                                                    2                          2
           P(putih)                                                                                       9(x               2x)       25(y          4y)          116       0
                              7
                                                                                                          2                                   2
           Kotak II       7 bola merah                    2 bola hitam       9 bola        9(x        1)            9       25(y 2)                 100 116                0
                                                                                                                              2                       2
                                                                                                                  9(x       1)   25(y               2)  225                0
                     2
           P(hitam)                                                                                                              9( x 1)2           25( y            2)2
                     9                                                                                                                                                     1
      Jadi, peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam                                                                            225

                                          3      2        6                                                                           ( x 1)2               (y       2)2
      dari kotak II adalah                                                                                                                                                 1
                                          7      9        63                                                                             25                      9

15. Kunci Jawaban: B                                                                       Persamaan elips di atas memiliki pusat di (1, 2) dan sumbu
      2 orang matematikawan dari 3 orang                                                   panjang sejajar dengan sumbu-x, jadi fokusnya:
                                                                                           F1(    c , ) dan F2(                                c , ) dengan titik ( , ) adalah pusat
                      3!
            3 C2                  3 cara                                                   elips.
                    1! 2!

              Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  38
http://mathzone.web.id
                                                                                              6.   Kunci Jawaban: A
     c         a2          b2            25 9        4
                                                                                                   Diketahui persamaan hiperbola:
     sehingga     c 1 4 5 dan          c 1 4                                            3                2      2
                                                                                                       9x     4y    54x 8y 41       0
     Jadi, fokusnya adalah (5, 2) dan ( 3, 2).                                                               2           2
                                                                                                          9(x    6x) 4(y     2y) 41   0
                                                                                                           2               2
3.   Kunci Jawaban: D                                                                              9(x 3)      81 4(y 1)       4 41   0
                                                                                                                        2         2
     Diketahui hiperbola dengan persamaan:                                                                        9(x 3)    4(y 1)    36

     (x     2)2            (y       1)2                                                            (x    3)2          (y       1)2
                                           1                                                                                             1
          16                    9                                                                       4                  9

     Pusatnya (2, 1), a  16 dan b                                          9   3                   (x       3)2       (y       1)2
                                                                                                            2                  2
                                                                                                                                         1
     Persamaan asimptotnya adalah                                                                       2                  3
                b                                                      3                      Persamaan asimtot hiperbola yang persamaan umumnya
     (y        )  (x    )                        (y       1)             (x    2)
                a                                                      4                                                                                                     b
                                                                                                   (x       p )2      (y        q )2
Jadi garis singgungnya:                                                                                     2                  2
                                                                                                                                            1 adalah y           q
                                                                                                                                                                             a
                                                                                                                                                                               (x     p)
                                                                                                        a                  b
                                3
           y        1             (x      2)         4y        3x         10 0                     Jadi persamaan asimtot untuk hiperbola di atas adalah:
                                4
                                                     3x       4y          10   0                                                   3
                                                                                                                 y     1             (x       3)
                                                                                                                                   2
                                3
           y       1              (x       2)            4y       3x       2   0                             2y 2               3 (x 3)
                                4
                                                                                                   2y       3x 11              0 atau 2y            3x       7       0
                                                         3x       4y       2   0
                                                                                                   3x       2y 11              0 atau 3x            2y       7       0
4.   Kunci Jawaban: A
                                                                                              7.   Kunci Jawaban: B
                                                                 3
     Diketahui kurva y                     x 2x               2x 2                                 l : x 2y 13 0
                                                                                                            2y x 13
     Ditanyakan persamaan garis singgung pada x 2
     Persamaan garis singung pada kurva y f(x) di titik x a adalah:                                                                1         13
                                                                                                                       y             x
     y f '(a)(x a) f(a)                                                                                                            2          2
                                    3
                                                                                                                                   1
           f (x)            2 x 2 , jadi                                                           gradien l : Me
                                     3
                                                                                                                                   2
           f (2)            2 2      2         2 2        2       4                                g    garis singgung

                                    3                         1
                                                                                                                             1         1
                                                         3 2 2                                     g    l         mg                           2
           f (x)            2x 2          f ' (x)           x                                                               ml          1
                                                          2                                                                             2

                            3 2 2 1             3 2                                                    mg        y'    6   2
                                                                                                                           4x
           f ' (2)              2                             2       3
                             2                   2                                                                   4x    8     x 2
     Jadi persamaan garis singgungnya adalah:                                                      x 2           2 (2) 6 (2) 7
     y f' (2) (x 2) f(2) 3(x 2) 4 3x 2                                                                           8 12 7 11
                                                                                                   Jadi titik singgung: P(2, 11)
5.   Kunci Jawaban: D                                                                              g melalui P(2, 11) dengan gradien 2
                             2   2
     Diketahui lingkaran x      y    4                                                                    y y1 m (x x1)
     Ditanyakan persamaan garis singgung dari titik (0, 4).                                              y 11        2 (x 2)
     Persamaan garis singung pada lingkaran yang ditarik dari titik                                            y     2x 4 11
     (x , y) di luar lingkaran adalah:                                                                         y     2x 15
          y m(x x1) y1                                                                             2x y 15 0
     dengan m (gradien) dicari dari:
          y1 mx1 R 1 m 2                                                                      8.   Kunci Jawaban: C
                                                                                                   Lingkaran: x 4x y                          4     0
     R Jari-jari lingkaran
                                                                                                              x y 4x                          4     0
     Pada lingkaran di atas R                            2, dan (x1, y1)            (0, 4).
     Jadi:                                                                                                            1            1           1             1
                                                                                                   Pusat:               A            B           ( 4)          (0)           (2, 0)
                                                                                                                      2            2           2             2
                                           2
     4         m 0          2 1 m                                                                  Jarak antara pusat dengan sumbu-y adalah 2.
                            2
     2         1 m                      1 m2         4
                                                                                              9.   Kunci Jawaban: D
     m2        4 1 3                                                                                      7x
                                                                                                            2
                                                                                                                16y
                                                                                                                    2
                                                                                                                       28x 96y 60                                        0
                                                                                                               2             2
     m                 3                                                                                    (7x    28x) (16y     96y)                                     60
                                                                                                                  2            2
                                                                                                               7(x    4x) 16(y    6y)                                     60
     Jadi persamaan garis singgungnya:                                                                2                2
                                                                                                   7(x   4x 4) 16(y       6y 6y 9)                                        60        28     144
                                                                                                                        2          2
     y              3( x         0) 4                    3 x       4                                            7(x 2)     16(y 3)                                       112

                                                                                                                                       (x     2)2   (y       3)2
                                                                                                                                                                         1
                                                                                                                                            16           7




                                                                                                                Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                 39
http://mathzone.web.id
Pusat:      (2, 3)                  (p, q)                                                                      14. Kunci Jawaban: D
                      2                  2                                                                                                                                                              2                 2
                      a            16; b           7                                                                Diketahui persamaan lingkaran (x                                               4)        (y          3)       40
                      2             2         2                                                                     Tegak lurus garis x 3y 5 0
             c     a   b   16 7                                       9
             c     3                                                                                                Pusat lingkaran (4, 3), r                                        40
    Fokus: F1(p c, q)       F1(2                                    3, 3)           F1(5, 3)                        Gradien garis singgungnya
             F2(p c, q)     F2(2                                    3, 3)           F2( 1, 3)                       x 3y 5 0
    Jadi, salah fokusnya adalah F(                                  1, 3)                                                   3y    x 5

                                                                                                                                      y            1x           5        m1                   1
10. Kunci Jawaban: E                                                                                                                               3            3                             3
                                                                  3            2
    Garis menyinggung kurva y                                   x          3x          2x   5                       Karena lingkaran tegak lurus garis maka hasil kali gradien                                                         1
    di titik T(1, 3)
                          2                                                                                         m1 · m2                1                1       m2                1
       y 3x     6x 2                                                                                                                                        3
    Gradiennya pada x 1                                                                                                                                             m2           3
                              2                                                                                     Maka persamaan garis singgung lingkaran
       m 3·1      6·1 2                                   7
    Persamaan garisnya:                                                                                                           2                    2
                                                                                                                    (x 4)    (y 3)      40
        y ( 3) 7 (x 1)                                                                                              yang tegak lurus garis x                                 3y           5       0 dapat digunakan rumus
            y   7x 10

11. Kunci Jawaban: B                                                                                                 y     b          m ( x a)                  r m2             1
    Lingkaran melalui titik O(0, 0),       y                                                                                                                                 2
                                                                                                                     y     3          3( x         4)           40 3                  1
    A(0, 8) dan B(6, 0)
                                     A(0, 8)                                                                              y           3x       12           3           40 10
    Penyelesaian paling sederhana
    dengan sketsa.                                                                                                                    3x       15             400
     AOB 90 , berarti                                                                                                                 3x       15           20
    BA diameter.
                                                                                                            x             y1          3x       15           20          3x       5
    Garis singgung yang melalui titik A                                            O             B(6, 0)
                                                                                                                          y2          3x       15           20          3x       35
    harus tegak lurus pada garis BA.
    Persamaan garis BA adalah: 8x                                         6y                    8·6             15. Kunci Jawaban: D
                                                                                                                    Persamaan parabola horisontal dengan titik puncak (1, 3) dan
                                                           8x           6y      48
                                                                                                                    melalui titik (3, 7) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
                                                   3x     4y        32          0                                   (y b)        4p (x a)
12. Kunci Jawaban: A                                                                                                (7 3)        4p (3 1)
                   2    2                                                                                              16        4p(2)
                3x    4y  12 32y 10                                                    0
                 2          2                                                                                          16        8p
              3(x    4x) 4(y   8y) 10                                                  0
            2              2                                                                                             p       2
    3{(x 2)    4} 4 {(y 4)    16} 10                                                   0
                                              2                     2                                               maka persamaan parabola adalah (y 3) 8(x 1)
                3(x 2)     4(y 4)     62                                               0
    Koordinat pusatnya adalah ( 2, 4)                                                                           16. Kunci Jawaban: C
                                                                                                                    Diketahui panjang sumbu minor suatu elips horisontal yang
13. Kunci Jawaban: C
                                                                                                                    pusatnya M(3, 1) sama dengan 6 dan melalui titik P(8, 3).
                               dy                                                                                   Sumbu minor                        6            2b           6
       y    x2        4                    2x
                               dx                                                                                                          b     3
    Garis singgungnya pada garis y x                                                1       m    1                  Persamaan elips dengan pusat M(3, 1), panjang sumbu minor
    Gradien garis singgung 1. Jadi:                                                                                 adalah 6 dan melalui titik P(8, 3) adalah:

       dy                                           1                                                                (x        h )2        (y          k )2                      (8       3)2           (3       1)2
                  1 2x                   x                                                                                                                          1                                                         1
                                                                                                                              2                        2                                  2                      2
       dx                                          2                                                                      a                        b                                  a                      3

                               1                                                                                                            25 4                                 225              4a2
    Untuk x                      didapat:                                                                                                                           1                                       1
                               2                                                                                                            a2 9                                      9a      2

                      2
                                                                                                                                          225 4a                    9a
                  1                     15                                                                                                    225                   5a
       y                       4
                  2                      4                                                                                                      a                   45
    Persamaan garisnya:                                                                                                                                                               (x        3)2          (y          1)2
                                                                                                                    Jadi, persamaan elips adalah                                                                                  1
                 15                                1                                                                                                                                          45                     9
       y                           1 x                                                                          17. Kunci Jawaban: E
                  4                               2
                                         1        15                            17                                  Pusat (3, 1), a                         16          4 b               25            5
                      y            x                          y           x
                                         2         4                             4
                                                                                                                                                                b (x         h)
    Jika memotong sumbu-y maka x                                           0                                        Asimtot: y                 k
                                                                                                                                                                a
                              17         17       . . . . (0,       17 )
            y     0            4          4                          4                                                                    5
                                                                                                                    y     1                 (x         3)
                                                                                                       17                                 4
    Jadi garis singgungnya memotong sumbu-y pada 0,                                                     4
                                                                                                                    Asimtot memotong sumbu-y, jika x                                                0.


                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  40
http://mathzone.web.id
                  5                                                                                                    21. Kunci Jawaban: A
     y    1         (0 3)
                  4                                                                                                             x       y       1           0               x       y        1           . . . (i)
                  5                                                                                                             x       y       3           0               x     y          3           . . . (ii)
     y    1         ( 3)
                  4                                                                                                                                                             2x           4
                      15                                                                                                                                                         x           2
          y     1
                       4                                                                                                   Substitusi x                 2 ke (i)
                             15            11               2                                              2               2 y 1                        y 1
         y1     1                                       2                                 . . . . 0,
                              4            4                4                                              4               Diperoleh x                  2, y 1
                      15          19               4                                                       3
         y2     1                             4                                           . . . . . 0, 4
                       4           4               3                                                       4                        3 x1        4 y1 35                     3(2) 4 1 35
                                                                                                                            r
                                                                                                                                                2           2                   9 16
                                                                                                                                            3           4
                                                                                                                                    6       4 35                    25
18. Kunci Jawaban: A                                                                                                                                                            5
                                                                                                                                            5                       5
    Suatu kurva melalui titik P(1, 3)
    Gradien garis singgung kurva tersebut di titik T(x, y) sama                                                            Persamaan lingkaran:                             (x 2)     (y
                                                                                                                                                                                         2
                                                                                                                                                                                                        1)
                                                                                                                                                                                                             2       2
                                                                                                                                                                                                                     5
                                                                                                                                    2                                           2
                 dy                                                                                                                x     4x 4                                 y    2y 1                 25           0
    dengan                   y       2x       5         y                (2 x          5)dx                                                 2                                 2
                 dx                                                                                                                        x                                y     4x 2y                 20           0
                                                        y            x2          5x        c                           22. Kunci Jawaban: C
                                                                      2
    Kurva melalui titik P(1, 3)
                             3 1    5·1 c                                                                                  Titik puncak (a, b) ( 1, 3)
                             c 7                                                                                           Titik fokus (a p, b) (3, 3)
                                   2
    Maka persamaan kurva adalah y x   5x 7.                                                                                     a       1, b            3, a            p       3
19. Kunci Jawaban: D                                                                                                                      1 p 3        p 4
                2    2
    Persamaan 4x   9y                             36                                                                       Persamaan parabola:
                                                                                                                                2
                                                                                                                           (y 3)   4 · 4(x 1)
                                                                                                                                2
           1                                                                                                               (y 3)   16(x 1)
           2
                 4 ( x 1)2               9( y         2)2        36                                                        Persamaan garis singgung dengan m                                                     2
         R(P, 90 )                                                                    R[( 1, 2), 90 ]
                         4( x 1)2             9( y      2)2              36                                                                                         p
        x' 1         cos 90               sin 90                y 1                                                        y    b       m(x             a)
                                                                                                                                                                    m
        y' 2          sin 90             cos 90                 y 2
                                                                                                                                                                    4
          x'         0       1       x 1                    1                                                              y    3       2(x         1)
                                                                                                                                                                    2
          y'         1       0       y 2                    2
                                                                                                                           y    3       2x          2           2
                                                                                                                                y       2x          7
           x'            y       2            1                 x'           y        1
                                                                                                                       23. Kunci Jawaban: A
           y'            x 1                  2                 y'       x        3
                                                                                                                           Hiperbola: Puncak (0, 6) dan (0, 0)
                                                                             2                     2
    Maka persamaan bayangan 4(x 1)                                                     9(y      2)         36 adalah                  Fokus (0, 8)
               2            2
    4( y 1 1)     9(x 3 2)     36                                                                                             h 0, k a 0
                 2          2
          4( y 2)    9(x 1)    36                                                                                                      k a 6
             9(x 1) 4(y 2)     36
                                                                                                                                                        2k          6
20. Kunci Jawaban: B                                                                                                                                        k       3            a        3
       3     2
    y x    5x  7     . . . (i)                                                                                                  k c 8
    y     2x     3       m1          2                                                                                          3 c 8                           c       5
                                                                                                                                  2   2                     2
    Karena           maka m1 · m2                       1                                                                       c   a                   b
                                                                                                                                  2   2                  2              2
                           2 · m2                       1                                                                       5   3                   b           b           16            b    4
                                                                                                                                                                                     2
                                                            1                                                                                                                    x            (y       3)2
                                          m2                                                                               Persamaan hiperbola:                                                                  1
                                                            2                                                                                                                    16                9
    Absis x 1                                                                                                                                                                                    4
    Substitusi x 1 ke (i)                                                                                                  Persamaan asimtot: y                                  3                 (x    0)
             3         2                                                                                                                                                                         3
        y 1       5·1      7 3
    Diperoleh titik (1, 3)                                                                                                                                                                    4
                                                                                                                                                                                y               x       0
        y y1 m2 (x x1)                                                                                                                                                                        3
                                 1                                                                                                              4                                   4
           y    3                  (x         1)                                                                           Jadi, y                x             3 atau                x       3
                                 2                                                                                                              3                                   3
                             1            1                                      1         7                           24. Kunci Jawaban: D
                 y             x                   3             y                 x                                            3    2
                             2            2                                      2         2                               y ax    2x di titik (1, a                                    2) maka
                                                                                                                                                    3                   2
                                                                                                                           a 2 a·1                           2·1    a 2 a 2
                2y           x       7            x    2y            7        0
                                                                                                                           Karena a 2                       a 2, maka nilai y 0




                                                                                                                                     Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                    41
http://mathzone.web.id
    Jadi (1, 0)          dengan garis x                  2y       4
                                                                                                                        3            5
                                                         2y        x       4                               y              x
                                                                                                                        4            2
                                                                      1                      1             4y           3x           10               3x           4y          10       0
                                                             y          x          2   m1
                                                                      2                      2
                                                                                                                            3                                      3           3
                                   1                                                                           y              ( x 2) 1                               x           1
    m1 · m2             1            m2              1                                                                      4                                      4           2
                                   2
                                                                                                                            3    1
           m2       2                                                                                          y              x
                                                                                                                            4    2
    y      m(x      1)       2(x   1)          2x        2
                                                                                                           4y            3x          2                3x       4y          2        0
25. Kunci Jawaban: D
                                                                                                 28. Kunci Jawaban: A
    x 4y 4 0         x                     4y            4        . . . (i)
                                                                                                     y1 x3 6x2 18x 3                                           y1'         3x2          12x       18
         2x y 10                                                  . . . (ii)
    2 (i) (ii) 2x 8y                        8                                                                                                                 1
                                                                                                    9y2        x        2        0         y2                   x          2
                2x y                       10                                                                                                                 9
                                9y             18                                                   Karena              maka m1 · m2                               1
                                 y         2                                                             1
    Substitusi y            2 ke (i)                                                                       · m2              1            m2           9
                                                                                                         9
    x 4(2)       4                                                                                                                                                                  2
                                                                                                    y1'        m2        3x2          12x              183x        9                      12x 9        0
       x 8       4
                                                                                                                                                       3(x                              3) (x 1)       0
           x     4 8 4
                                                                                                                                                            x                             3 atau x 1
    Diperoleh x 4, y 2
                                                                                                    x 3    y1 33                          62 · 3 18 · 3 3                                30 . . . . (3, 30)
           3 x1     4 y1        3 4        4 2               20                                     Persamaan garis                       singgung: y 30                                 9(x 3)
    r                                                                 4
                9 16                   5                     5                                                                                            y                              9x 3
                                                     2                 2       2                                                                 y 9x 3                                  0
   Persamaan lingkaran: (x 4)    (y 2)                                         4
           2                2                                                                       x 1    y1 13                          6 · 12 18 · 1 3                                16 . . . . (1, 16)
          x     8x 16 y       4y 4 16                                          0
                     2     2                                                                        Persamaan garis                       singgung: y 16                                  9 (x 1)
                    x     y   8x 4y 4                                          0
                                                                                                                                                           y                              9x 7
26. Kunci Jawaban: B                                                                                                                                 y 9x                                7 0
    Parabola: Puncak (1, 3)                                                                      29. Kunci Jawaban:                       A
              Fokus   (1, 2)                                                                         I : 2x 6y 6                           0
    a 1, b     3, b p   2                                                                            II :  2x y 4                          0
                   p 1                                                                                              5 y 10                0                    y       2
   (x 1)
         2
            4(y 3)
                   2                                                                                                                                                                ( 3, 2)
                                                                                                    II :           2x       2 4               0                x           3
   Garis 2x y 3 0
                y 2x 3         m1 2                                                                        3 x1 4 y1 8                            3( 3) 4 2 8
   m1 m2 2 (karena sejajar)                                                                          r
                                                                                         2                          9 16                                5
   Persamaan garis singgung: (y b)                                   m2(x a)           m2
                                                                                                               9     8           8
                             (y 3)                                   2(x 1) 4                                                             5
                                                                                                                    5
                                 y                                   2x 2 4 3
                                 y                                   2x 9                           Sehingga diperoleh persamaan lingkaran:
                                                                                                                      2      2
                                                                                                                (x 3)   (y 2)   25
27. Kunci Jawaban: D                                                                                 2   2
                                                                                                    x   y     6x 4y 9 4 25 0
    Hiperbola:Puncak ( 2, 1), (6, 1)                                                                        2     2
                                                                                                           x     y  6x 4y 12 0
              Fokus (7, 1)
     h a     2                      r a                                      2, k       1        30. Kunci Jawaban: E
     h a 6                            a                                     4                        p   3
       2h 4                         h c                                     7                                                 2
                                                                                                     Persamaan parabola (y 3)     12(x                                                      2)
        h 2                         2 c                                     7                        Persamaan garis singgung dengan m                                                      3
                                      c                                     5                                          p
       2       2    2              2           2         2                                           y 3 m(x 2)
   c       a       5
                   b                       4         b                                                                 m                                                                          ( 1, 3)       (2, 3)
                      2
                   b                       25        16                                                                                        3
                      2                                                                             y      3       3(x        2)
                   b                       9         b 3                                                                                      3
   Persamaan asimtot:
                                                                                                          y        3x        6       1        3            y       3x          4                            O
                    3
    y      1          (x      2)                                                                 31. Kunci Jawaban: D
                    4
                                                                                                                    3        3 4                  5       4            5
                    3                                                                               Pusat:                    ,
           y          (x      2) 1                                                                                       2                            2
                    4
                                                                                                                   (3, 4)
                   3                           3         3
           y         (x       2) 1               x         1                                        Pusat (3, 4), Puncak (3, 6) F2(3, 4                                                     5 )
                   4                           4         2



               Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  42
http://mathzone.web.id
         a       2 , c                                                                                             36.   Kunci Jawaban: E
                                        5                                                                F2
     2       2       2                                    2                                                              dy
    c     a      b           5              4           b                                                                          3x 2   4x    3
                                                                                                         (3, 6)
                            b2              1                                                                            dx
                                                                                                          (3, 4)
                                                     (x        3)2         (y     4)2                                    y         3x2    4x       3dx      x3     2x 2          3x       c
    Persamaan hiperbola:                                                                        1
                                                              1                  4                       F1


                                                                2                                                        Kurva melalui titik (3, 10)
    Persamaan asimtot: y                         4                ( x 3)                                                 10 33 2 · 32 3 · 3 c
                                                                1
    I: y         2x 6 4                          y            2x 2                                                       10 27 18 9 c
    II : y        2x 6 4                         y             2x 10                                                     c   10 36         26
                                                                                                                         Persamaan kurva: y x3 2x2                          3x        26
32. Kunci Jawaban: B
             3                                                                                                     37.   Kunci Jawaban: A
    y   x     2x 1 , x 1
           2                                                                                                             L x2 y2 4x 6x                      6y     12       0 di titik (5, 1)
    y ' 3x     2
                 2
    m y ' 3(1)      2 3 2 1                                                                                                               1               1
                         3                                                                                               xx1       yy1      · 4 (x x1)      · 6 (y y1) 12 0
    Substitusi x 1 ke y x  2x                                         1                                                                   2               2
                                                    3
                              2·1 1 0y          1                                                                                             x · 5 y · 1 2(x 5) 3(y 1) 12                                          0
    Persamaan garis singgung: y 0 1 (x 1)                                                                                                            5x y 2x 10 3y 3 12                                             0
                                y x 1                                                                                                                                3x 4y 19                                       0

33. Kunci Jawaban: E                                                                                               38.   Kunci Jawaban: A
    Ujung diameter A(2, 4), B( 4, 2)                                                                                     Parabola: F(2, 1), direktris x 6
                                                                                                                            a p 2                    a 2 2                                    b    1
                 2 4 4 2
    Pusat           ,                           ( 1, 3)                                                                     a p 6                      a 4
                  2   2
                                                                                                                               2p    4
    r 2 ( 1)2 32 1 9 10
                                                                                                                                p    2
    Persamaan lingkaran: (x 1)2                                       (y        3)  2
                                                                                            10
                                                                                                                             Persamaan parabola: (y b)2 4p (x a)
34. Kunci Jawaban: A                                                                                                                              (y 1)2 8 (x 4)
                                                                                                                                               2
    y2 8x     4p 8    p 2                                                                                                                     y     2y 1 8x 32
    Garis 2x y 1 0                                                                                                                      y2 2y 8x 31 0
                  y 2x 1   m1                                           2                                          39.   Kunci Jawaban: A
    Karena sejajar m1 m2 2                                                                                               Elips: 9x2 25y2 36x 50y 164                                                       0
                   p                                                                                                         9(x2 4x 4) 25(y2 2y 1) 164                                           36           25
    y     m2 x
                  m                                                                                                                  9(x 2)2 25 (y 1)2 225
                            2
         y       2x                                                                                                                             (x    2)2         (y       1)2
                            2                                                                                                                                                         1
                                                                                                                                                     25                9
                                          y             2x        1
                                                                                                                         Sehingga diperoleh,
                                y        2x             1
                                                                                                                         c2 a2 b2 25 9 16
35. Kunci Jawaban: B                                                                                                     c   4
    Hiperbola: 9x2 16y2 36x 32y 124                                                         0                            h   2 dan k 1
            9(x2 4x 4) 16(y2 2y 1)                                                          124     36   16              Fokus: (h c, k) dan (h c, k)
                    9(x 2)2 16(y 1)2                                                        144                                 (2 4, 1) dan (2 4, 1)
                                                                                                                                ( 2, 1) dan (6, 1)
                                                (x     2)2            (y        1)2
                                                                                            1
                                                     16                     9                                      40.   Kunci Jawaban: D
    Sehingga diperoleh,                                                                                                                                          b
    a2 16      a 4                                                                                                       Asimtot hiperbola: y                      x
                                                                                                                                                                 a
    b2 9       b 3
    h   2 dan k 1                                                                                                                              b
                                                                                                                         di mana m
                                                                                                                                               a
                 3                                               3
    y 1            (x       2)                   y                 (x       2) 1
                 4                                               4                                                                                      b                                          b
                                                                                                                              6x     3y    0                                      m1
                                                                                                                                                        a                                          a
                  3                              3               3
          y         (x          2)          1      x                    1
                  4                              4               2                                                                                                                                     b
                                                                                                                                     3y    6x       5                                 2
                                                                                                                                                                                                       2
                  3         1
          y         x                       4y          3x 1 0
                  4         2                                                                                                                        5
                                                                                                                                      y    2x                                             4        b
                                                                                                                                                     3
                     3                                        3         3                                                                                                                 2
         y             (x       2)          1                   x                1                                                                                                    b           16
                     4                                        4         2
                                                                                                                             m1      m2    2
                     3              5
                       x                                    4y        3x        5       0
                     4              2


                                                                                                                               Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                     43
    http://mathzone.web.id
41.       Kunci Jawaban: B                                                                                               Ditanyakan sisa pembagian h(x) oleh (x 2x 3)
                                                                                                                            x 2x 3 (x 3) (x 1)
          Hiperbola: Fokus ( 9 , 1) dan (18, 1)                                                k    1                    Misalkan sisa pembagian itu adalah ax b, maka:
             h c      8             5 c      8                                                                              Untuk x       1
             h c 18                    c 13                                                                                 a( 1) b         f( 1) · g( 1)
               2h    10               2a 24                                                                                       a b      8· 9        72   . . . . (i)
                       h            5                                          a     12    a2      144                      Untuk x 3
               b   2
                           c   2
                                        a2
                                                     13      2
                                                                     12    2
                                                                                25                                          a(3) b f(3) · g(3)
                                                                                                                              3a b 4 · 15 60                . . . . (ii)
          (x       h )2             (y       k )2                                                                        Dari (i) dan (ii) didapat sistem persamaan:
                   2                         2
                                                                 1                                                           a b         72                     b        72 a
               a                         b
                                                                                                                            3a b 60                                      72 33
            (x         5)           (y       1)2
                       2                     2
                                                                 1                                                               4a   132     a 33                                                     39
                12                       5
                                                     2                                                                   Jadi sisa pembagian itu adalah 33x                                      39.
           ( x 5)2                   y     1
                                                                 1
              144                        25                                                                         4.   Kunci Jawaban: D
                                                                                                                                                     1                           1
.     Kunci Jawaban: D                                                                                                   (3x      1),         3 x    3
                                                                                                                                                         , berarti f             3       0
              3   2
      P(x) 3x   4x   6x                                              k habis dibagi (x          2) sehingga:                  1
                                                         3                 2                                                  3   6             13            q              12
      P(2)             0    4(2)  6(2) k     3(2)                                              0
                          24 16 12 k                                                           0                                                                              q 5
                                       k                                                       4                                                2             5
                                                                                                                                                                               3
      Suku banyak tersebut adalah                                                                                                 6            15        q        15           0
                 3     2
         P(x) 3x     4x   6x 4
      Sisanya adalah:
                                                                                                                                  q       5
                         3x 10                                                                                           12                    0         q        5         3 · ( 12)              36
                                                                                                                                      3
               2                                         3             2
            x              2x       2            3x               4x            6x   4                                                                            q          36          5        41
                                                                   2
                                                 3x              6x            6x
                                                                                                                                                                                                  1
                                                                       2                                                 Suku banyak itu apabila dibagi oleh x                                    3    hasil baginya adalah
                                                                 10x           12x    4
                                                                    2                                                      2
                                                                 10x           20x    20                                 6x    15x 36.
                                                                                                                         Jadi dapat ditulis:
                                                                               8x    24 (sisa)
                                                                                                                           3              2                              2                                   1
2.    Kunci Jawaban: B                                                                                                   6x       13x          41x       12           (6x            15x         36)(x         )
                                                                                                                                                                                                             3
      Jika x1, x2, dan x3 akar-akar persamaan berderajat tiga:
           3               2                                                                                                                                                 2                               1
      ax           bx               cx           4       0, maka berlaku:                                                                                             3(2x            5x         12)(x         )
                                                                                                                                                                                                             3
                                              b                                                                                                                          2
      x1        x2             x3                                                                                                                 (2x    5x 12)(3x 1)
                                             a                                                                                                    (2x 3)(x 4)(3x 1)
      x1 . x2              x1 . x3               x2 . x3                   c                                             Jadi faktor yang lainnya adalah (2x 3) dan (x 4).
                                                                           a
                                                                                                                    5.   Kunci Jawaban: E
                                                                                                                                                      3      2
                                         d                                                                               Diketahui fungsi y f(x) 4x        6x  2
      x1 . x2 . x3
                                         a                                                                                   Fungsi akan naik apabila f ' (x) 0 dan
      Pada persamaan di atas:                                                                                                turun apabila f'(x) 0.
      a 1, b    4, c 1 dan d                                                4                                                Titik stasionernya f'(x) 0
        2    2     2                                                          2                                                       3     2
      x1   x2   x3   (x1 x2                                                x3)       2(x1 x2       x1 x3   x2 x3)            f(x) 4x      6x    2
                                                                                                                                          2
                                                                 2                                                           f'(x)    12x     12x
                                                         b                 2    c                                                                             2
                                                         a                      a                                             f'(x)   0     12x    12x                                0    12x (x            1)    0
                                                                       2                                                 Titik stasionernya x 0 dan x                                1
                                                       ( 4)
                                                                             2 1                                              f'(x)   0      f'(x) 0                                  f'(x) 0
                                                        1                      1
                                                     16 2                  14
                                                                                                                                             0      1
                                                                                                                         Jadi fungsi f(x) di atas naik pada selang x                                        0 atau x   1.
3.    Kunci Jawaban: E                                                                                              6.   Kunci Jawaban: B
      f(x) dibagi oleh (x 1) sisanya 8, berarti f( 1) 8                                                                          2
                                                                                                                         F(x)  (x  6x 5) · H(x) (ax b)
      f(x) dibagi oleh (x 3) sisanya 4, berarti f(3) 4                                                                         (x 5) (x 1) · H(x) (ax b)
      g(x) dibagi oleh (x 1) sisanya 9, berarti g( 1)    9
                                                                                                                         F(x) dibagi (x             5)            sisa           5a          b     13
      g(x) dibagi oleh (x 3) sisanya 15, berarti g(3) 15
      Diketahui pula:                                                                                                    F(x) dibagi (x             1)            sisa               a       b     5
          h(x) f(x) · g(x)                                                                                                                                                                 4a      8
                                                                                                                                                                                            a      2




                 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     44
http://mathzone.web.id
     Sehingga, 2 b 5       b 3                                                            Sehingga,
     Jadi sisanya adalah ax b 2x                        3                                       a b                  5
                                                                                               3a b                  9
7.   Kunci Jawaban: D
               2                                                                                            2a           4
     F(x)    (x    x 2) · H (x) (ax b)
             (x 2) (x 1) H(x) (ax b)                                                                 a     2    b 3
     F(x) dibagi (x 2)      sisa 2a b                        11                               Maka suku banyak tersebut adalah:
                                                                                               5     4      2
     F(x) dibagi (x 1)      sisa   a b                        4                               x    2x     4x   2x 3   0
                                                        3a   15                                     (x 1) (x 3) x3    0
                                                                                                        2
                                                         a   5                                        (x    4x 3) x3  0
     Sehingga,         b   4  5                                                               Hitung nilai x3.
                       b 1
                                                                                                                          x3          2x 2            5 x 10
     Jadi sisanya adalah 5x 1.                                                                     2                          5               4
                                                                                              x             4x       3 x              2x              4x2     2x       3
8.   Kunci Jawaban: C                                                                                                         5               4
                        4      3      2                                                                                   x           4x              3x3
     Suku banyak (x          7x    9x   13x 7) dibagi (x 1) (x 3)
                                                                                                            4            3                2
     Menghasilkan sisa dengan menggunakan rumus.                                                       2x            3x           4x   2x 3
                                                                                                                                     4    3   2
     Jika f(x) dibagi (x a)(x b) maka sisa pembagian adalah:                                                                       2x   8x  6x
      f (a ) f ( b )   af (b ) bf (a)                                                                                                                   3          2
                     x                                                                                                                                5x      10x          2x 3
          a b               a b                                                                                                                       5x
                                                                                                                                                        3
                                                                                                                                                              20x
                                                                                                                                                                  2
                                                                                                                                                                           15x
                     4         3        2                                                                                                                          2
     f(x)           x     7x       9x       13x     7                                                                                                        10x           13x      3
                          4             3           2                                                                                                           2
     f( 1)          ( 1)    7(         1)   9(    1)    13 ( 1)   7                                                                                          10x           40x      30
                    1 7 9              13 7        3                                                                                                                       27x      27
                     4        3            2
         f(3)       3    7(3)           9.3       13 . 3 7                                    Maka:
                    81 189             81 39       7 5                                         5    4    2
                                                                                              x  2x   4x                          2x 3
                        3 5             1 5 3( 3)                                                                                      3    2
     Sisa                   x                                                                     (x 1) (x                        3) (x  2x     5x 10)                              27x       27
                        1 3                1 3                                                                                                2
                                                                                                  (x 1) (x                        3) (x 2) (x    5)
                        8          5 9
                          x                 2x     1
                        4           4                                                             x1 1 x2 3 x3                                              2 x4
                                                                                              Jadi, x1 x2 2x3 1                                         3     2 ( 2)        0
9.   Kunci Jawaban: C
     P(x) x
              3
                  (a 1)x
                          2
                              bx 2a                                                       11. Kunci Jawaban: A
                                                                                                      4     3      2
         Habis dibagi (x 2), berarti:                                                         P(x) x     5x     ax   x b
           P( 2) ( 2)
                        2
                             (a 1)( 2)
                                       2
                                           b( 2) 2a                                               Dibagi x sisa 2
                0     8 4(a 1) 2b 2a                                                              P(0) b 2
                0     8 2a 4 2b          4 2a 2b                                                  Dibagi (x 1) sisa 1
        2a 2b         4              . . . (i)                                                    P(1) 1 5 a 1 2         1
         Dibagi (x 2) sisa 4                                                                                           a 1 3                                                    2
         P(2) 8 (a 1)4 2b 2a                   4                                              Nilai: a 3b 2 3 (2) 2 6 8.
                            2a 2b 12           4                                          12. Kunci Jawaban: E
                                2a 2b          16   . . . (ii)                                 1   1        a                                                      1                      b
         (i) dan (ii)                                                                                         1                                                a       1             a        2
             2a 2b      4
                                                                                                            1                     a           1                a       2             a        b        2 sisa
            2a 2b        16
                                                                                              2             1                         a                            1                      b
                 4a 12
                                                                                                                                      2                       2a       4             4a           10
                  a 3
         (i) 6 2b      4                                                                                    1                     a           2               2a       5             4a           b     10 sisa
                 2b    10, b   5                                                              Sisa           0            a           b           2     0
     Jadi nilai a 3 dan b    5
                                                                                                                         4a           b           9     0
10. Kunci Jawaban: A                                                                          Sehingga,
    1 1       2      4                              a             b                            a b 2
              1      1                              5             a    5                      4a b      10
            1             1             5           a   5         a    b       5   sisa          3a 12
                                                                                                  a    4    b 6
     3      1             2             4           a             b
                                                                                              Maka suku banyak tersebut adalah
                          3             3           3             3a       9                   2    2
                                                                                              x   4x   x 6 0
            1             1             1           a   3         3a   b       9 sisa
                                                                                              (x        1)(x         2)                   0
                                                                                                        2
                                                                                                       (x        x       2)               0
     Sisa       0          a       b    5    0 . . . (1)
                          3a       b    9    0 . . . (2)




                                                                                                            Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                                    45
http://mathzone.web.id
Hitung nilai                                                                                                        15. Kunci Jawaban: C
                                                                                                                                        3             2
                                                                                                                       P(x) x     Ax    Bx 6
                           x         3                                                                                                2
                                                                                                                       Habis dibagi (x   3x 2)                                         (x       2) (x            1)
       x2       x      2 x3          4x2 x 6                                                                           P(2)             8       4A         2B 6                   0
                         x3          x2 2x                                                                                                                4A 2B                       2 . . . (i)
                                                                                                                       P(1)             1        A        B           6
                                    3x2 3x 6
                                                                                                                                                 A        B           5                     . . . (ii)
                                    3x2 3x 6
                                                                                                                               (i) dan (ii)                                                     (ii)
                                                    0                                                                          4A 2B        2                                                     6      B            5
     Maka:                                                                                                                     2A 2B 10                                                                  B                11
      3    2
     x  4x              x       6     (x        1)(x            2) (x        3)                                                         2A                12                          Maka: A                B        6        11      5
                                                                                                                                         A                6
                                                1                2           3                                      16. Kunci Jawaban: A
                 2      2       2               2           2        2
     Jadi                                ( 1) 2                  3                                                     P(x)  x  2x
                                                                                                                                        3
                                                                                                                                      5x 6
                                                                                                                                                      2
                                                                                                                                                                                  0
                                          1 4 9                  14                                                        (x 3)(x
                                                                                                                                  2
                                                                                                                                      x 2)                                        0
13. Kunci Jawaban: E                                                                                                     (x 3)(x 2) (x 1)                                         0
                  4     3    2
    Suku banyak x     ax   2x    bx 5                                                                                  x1 3, x2   2, x3 1
    dibagi (x 2), S(x) 7, dibagi (x 3), S(x)                                               182
                                                                                                                       Sehingga diperoleh,
     x      2          16       8a       8      2b          5        7                                                  x1 x2 x3 3 2 1                                                2
                                             8a 2b    22                              4a     b          11               x1 · x2 · x3 3( 2) · 1                                            6
     x      3          81       27a          18 3b 5 182
                                               27a 3b   78                                                          17. Kunci Jawaban: D
                                                                                                                                   2
                                                 9a b    26                                                               F(x)  (3x   5x                         2) H(x) ax b
     9a         b       26                                                                                                                      (3x        1) (x 2) H(x) ax b
     4a         b       11                                                                                                     F(2)                       2a b       8
            5a          15                                                                                                             1                 1
                                                                                                                               F       3                 3   a        b           1
            a      b 1  3
            2         2                 2                                                                                                                         1
     Nilai a       4b  4ab9 4( 3)1 4 · 1                                                                                                                         23 a             7
                          9 12 4 25                                                                                                                                          a                           3             2(3) b                   8
14. Kunci Jawaban: B                                                                                                                                                                                         b        8 6 2
                    3     2                                                                                                    Jadi, sisanya adalah 3x                                     2.
    Suku banyak: px     5x   22x q 0 , x1                                                       1, x2        5

                                     5                                            5                                 18. Kunci Jawaban: C
     x1     x2         x3                           1       5        x3
                                     p                                            p                                                                   4              3
                                                                                                                                   P(x)          3x              8x          7x        2        0
                                                                     x3           5     4 . . .(i)                                                   3            2
                                                                                                                               (x       2) (3x               2x              4x       1)        0
                                                                                  p
                                                                                                                                                 1               2
                                                                                                                       (x          2) x          3        (3x             3x          3)        0
       x1 x2         x1 x3          x2 x3               22
                                                        p                                                                                                1     2
                                                                                                                        3(x            2) (x               ) (x              x    1)            0
                                                         22                                                                                              3
                5      x3 ( x2           x2 )
                                                          p                                                                                                                       1
                                                         22                                22                          x1          p        2 dan x2                     q
                            5       x3 (4)                                4 x3                       5 . . . (ii)                                                                 3
                                                          p                                 p
                                                                                                                                                     1               5
                                                                                                                       p       q            2
                                                                                                                                                     3               3
                            20           16             22           5                                              19. Kunci Jawaban: B
     4(i)       (ii)
                             p                           p                                                                             1
                                                                                                                           2           2                     0               4                   6                3                    8
                            20           22         5           16
                             p            p                                                                                                                  1               2                   4                4                    14
                                         42         21               42           21p                                                  1
                                          p                                                                                            2                     1               2                   2                7                    6
                                                                         p        2
                                                                                                                                                                                                                               f( 2)        6
     Nilai x1          x2       4x3           1         5         22              5
                                                                   2
                                              1         5       11 5              2




                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  46
http://mathzone.web.id
12. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers                                                                                                        x
                                                                                                        f(g(x))         2g(x)        1
                                                                                                                                             x 1
1.   Kunci Jawaban: B                                                                                                    x                   1
                                     2                                                                   2g(x)              1
     f(x) 2x 1 dan (f g)(x 1)     2x      4x                                                   1                        x 1                x 1
     (f g)(x 1) f{g(x 1)}
                                                                                                                            1
     Misalkan g(x 1) t, maka dapat ditulis:                                                                  g(x)
         f(t) 2t 1   2x
                       2
                          4x 1                                                                                          2( x 1)
                       2                                                                                Misalkan g(x)            y, maka:
                 2t  2x   4x 2
                        2
                  t  ( x   2x 1)                                                                                    1
                                                                  2                                     y                         2xy           2y        1
                                           t       (x        1)                                                 2( x 1)
                                                         2
     Jadi g(x            1)                    (x 1)
                                                2                                                                                                         1 2y
                       g(x)                    x                                                                                                 x
                                                                                                                                                           2y
                      g( 2)                    ( 2) 1
                                                                                                                     1 2x      2x 1
2.   Kunci Jawaban: A                                                                                   Jadi, g 1( x )
                                                                                                                       2x        2x
                      2 3x                               1                                         6.   Kunci Jawaban: A
     f (x)                 ;x                                                                                 3
                      4x 1                               4                                              f(x) x   4 dan g(x) 2 sin x
                                                                                                                           3        3
     Misalkan f(x)                             t, maka:                                                 (f g) (x) (2 sin x)  4 8 sin x                                  4
                                                                                                                        1                    3        1                         3
                     2 3x                                                                               (f      g)      2            8 sin            2            4    8( 1)       4   4
                                               1
                     4x 1
                     2 3x                      4 xt t                                              7.   Kunci Jawaban: D
                                                                                                             g(x) 3x 7
                  3 x 4 xt                     t 2
                                                                                                          g(f(x)) 3f(x) 7                  . . . . (i)
                  x (3 4)                      t 2                                                        (g f)(x) 15x
                                                                                                                            2
                                                                                                                                6x 19
                                                                                                                            2
                                                                                                             g(f(x))   15x      6x 19 . . . . (ii)
                                                t 2                            2 t                                                                         2
                                       x                              x                                   Dari (i) dan (ii) diperoleh: 3f(x) 7         15x    6x 19
                                               3 4t                           3 4t                                                          3f(x)      15x
                                                                                                                                                           2
                                                                                                                                                              6x 12
                                                                                                                                                         2
                               1                2 x                       3                                                                  f(x)      5x    2x 4
          Jadi f (x)                                ;x
                                               3 4x                       4                        8.   Kunci Jawaban: A
                                                                                                        f(x) 2x 3, g(x) 3x 1
                      1                          2 ( x 2)
              f           (x        2)                                                                  (f g) (x 4) f(x) 2g(x)
                                                3 4( x 2)
                                                                                                             f(g(x 4)) 2x 3 2(3x 1)
                                                 4 x      5
                                                      ; x                                               f(3(x 4) 1)    2x 3 6x 2
                                                4x 5      4
                                                                                                             f(3x 13)  8x 1
3.   Kunci Jawaban: D                                                                                   2(3x 13) 3     8x 1
     (f g)(a)  f(g(a))                                                                                      6x 26 3 8x 1
               f(5a 4)                                                                                              2x  24
               6(5a 4)                                       3                                                       x  12
               30a 24                                        3            30a       21
                                                                                                   9.   Kunci Jawaban: C
                                                                      60
     Jadi, 30a                      21          81           a                  2                                2x 3
                                                                      30                                f(x)          ; x                 4 dan g ( x )            2x
                                                                                                                 x 4
4.   Kunci Jawaban: C
                                                                                                                                                     2x 3
          f (x)                    x 1                                                                  (g      f)(x)       g (f ( x ))      g
                                                                                                                                                      x 4
                  y                x 1
                                                                                                                                2x 3                 4x 6
                  2                                                                                                         2
              y                x 1                                                                                              x 4                   x 4
                  x            y2          1                                                            Sehingga,
          1                        2
     f (x)                     x           1                                                                     4x 6
                                                                                                         y                           xy     4y        4x      6
     (f       g )( x )                 2 x 1                                                                      x 4
     g( x )                f 1( x ) 2 x 1                                                                                       xy 4x                 6       4y
                                                                                                                                x(y 4)                6       4y
                          (x2          1) 2 x 1                                                                                                           4y 6
                                                                                                                                            x
                          (2 x 1)              2
                                                     1                                                                                                    y 4

                          4 ( x 1) 1 4 x                          5                                                                  1                    4x 6
                                                                                                                        (g      f)        (x)                  ; x          4
5.   Kunci Jawaban: E                                                                                                                                     x 4
                                                                                                   10. Kunci Jawaban: E
                                                                          x
     f(x)         2x               1 ; (f          g)(x)                        f ( g( x ) )                         2x 3
                                                                      x 1                               f (x)             ; x         4
                                                                                                                      x 4


                                                                                                                  Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                          47
http://mathzone.web.id
                                             2
    (g f)(x)                                x           7x              8
                                             2                                                                                                                5y 3
    g(f(x))                                 x           7x              8                                                                 x
                                                                                                                                                              2y 1
               2x              3             2
    g                                       x           7           8                                                                                         5x 3                     1
               x               4                                                                                                      1
                                                                                                                              f           (x)                      ; x
                                                                                                                                                              2x 1                     2
                              2x   3    5
    Misalkan:
                               x   4    8                                                                          16. Kunci Jawaban: E
                           8(2x 3) 5(x 4)                                                                               (f g)(x)     4x 8x 3
                           16x 24 5x 20                                                                                        g(x) 2x 4
                               11x   44    x                                         4
                            2                                                                                           (f g)(x)     f(g(x))
    g(4)                   4    7·4 8
                                                                                                                       4x 8x 3 f(2x 4)
                           16 28 8       4                                                                                                   2
                                                                                                                         f(2x 4)     (2x 4)    4(2x                                            4)   3
                                                                                                                                       2
11. Kunci Jawaban: B                                                                                                           f(x)  x    4x 3
                                                                                                                                       2
                                                        1                                                                         y x     4x 3
                   f(x)            (1        x3 )5                  2                                                  Sehingga,
                                                                                                                             2
                                                 1                                                                          x    4x 3 y 0
                       y           (1        x3 )5                  2
                                                        1                                                                             4               ( 4)2
                                                                                                                                                         4(1)( 3 y )
               y        2          (1        x3 )5                                                                     x1,2
                                                                                                                                                       2 1
                           5                    3
    (y              2)             1        x                                                                                         4            16 12 4 y 4       28                             4y
                       3                                        5
                     x             1        (y          2)                                                                                           2                2
                                                                        1                                                             4           2 7 y
                       x           (1        (y             2)5 )3                                                                                        2     7 y
                                                                                                                                                   2
                                                                        1
                   1
           f           (x)         (1        (y             2)5 )3
                                                                                                                       Jadi, f 1( x )                         2        7       x
12. Kunci Jawaban: C
                                                                                                 2                 17. Kunci Jawaban: C
           f(x) x 1 dan (f                                                        g) (x)     3x      4
                  2
       f(g(x))  3x  4                                                                                                         f(x)                    x        2 , x               0            g(x)     15
                                                                                                                                                                                                              , x     0
                                                                                                                                                                                                          x
                                                2                                        2
               g(x)            1         3x                 4        g(x)           3x  3
                                                                                                                                                                                                         15
                        g(4)             3 · 16                     3 48            3 51                                          y                   x        2                                    y     x

13. Kunci Jawaban: B                                                                                                              x                   y        2                                    x
                                                                                                                                                                                                         15
                                                                                                                                                                                                          y
                                                                                                                                                                                                                    g 1( x )   15
                                                                                                                                                                                                                                x
                                    x            4                                  (x       3)      4     x   1                          1
                                                                    f (x)                                                  f(x)                       x        2
    f(x                3)          2x            5                                  2( x     3)      5    2x   1
                                                                                                                                          1           1
                                                                                                                                  f               g           (x)      1
       1                1                1              1
           2           1                        2 1                                                                                           1           1                1 15
                                                                                                                                      f            g (x)               f      x
                                                                                                                                                                                           1
       f       1
                   (x)                 x 1                      1             x                                                                   15
                                       2x 1                     1            2x                                                                                2       1
                                                                                                                                                   x
14. Kunci Jawaban: E                                                                                                                                          15
                                                                                                                                                                       3
                                                                                                                                                               x
    g(x) x                         4
                                    2                                                                                                                           x      5
     f(g(x))                       x         3x 2
                                    2
    f(x 4)                         x         3x 2
                                                 2                                                                 18. Kunci Jawaban: B
    f(x 4)                         ((x        4)    8x 16) 3x                                2
                                                2
                                   (x        4)    5x 14                                                                                                          3x 4
                                                2                                                                                                 f(x)
                                   (x        4)    5(x 4) 6                                                                                                       2x 1
                                    2
               f(x)                x         5x 6
                                     2                                                                                                                            3x 4
               f(0)                0         5·0 6 6
                                                                                                                                                      y
                                                                                                                                                                  2x 1
15. Kunci Jawaban: -
                                                                                                                              y(2x                 1)             3x 4
                                       x            5                                (x   2)         5                                2xy             y           3x       4
       f (x                2)                                               f (x)
                                       2x            1                               2( x  2)         1                           2xy              3x             y    4
                       f (x)            x           3                         y       x 3
                                                                                                                              x(2y                 3)             y    4
                                       2x            5                               2x   5
    y(2x                   5)           x           3                                                                                                               y 4
                                                                                                                                                      x
       2xy                 5y           x           3                                                                                                               2y 3
           2xy                 x            5y              3                                                                                                       x 4
    x(2y                   1)               5y              3                                                                             f 1( x )                  2x 3




                       Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  48
http://mathzone.web.id
                                                                                                                6.   Kunci Jawaban: B
13. Limit Fungsi
                                                                                                                             1 cos2 ( x                2)                             sin2 ( x       2)
                                                                                                                      lim          2
                                                                                                                                                                    lim
                                                                                                                     x   2   3x          12 x 12                    x       2   3 (x2        4x           4)
1.   Kunci Jawaban: D

                                                                                                                                                                                sin2 ( x 2)
                                                                                                                                                                    lim
                                          x2 1                    1 x2                                                                                              x       2     3( x 2)
             x2
                                                                                                                                                                        1 sin2 ( x 2)
     1       1 x2                 1           1 x2 1                    1 x2                                                                                        lim
                                                                                                                                                                    x 2 3    ( x 2)
                                                                                                                                                                    1     1
                                  x2 1                1 x2                                                                                                             1
                                                                                                                                                                    3     3
                                      1 (1 x 2 )
                                                                                                                7.   Kunci Jawaban: B
                                  x2 1                1 x2                                                            lim        (2 x    5)(2 x         1)              (2 x       5) dapat ditulis sebagai berikut:
                                                                                                                     x
                                                  x2
                                      1           1 x2                                                                lim        4x 2     8x       5                (2 x         5)2
                                                                                                                     x


     Sehingga,                                                                                                              lim        4x 2    8x           5               4x 2        20 x         25
                                                                                                                         x
                         x2                                                                                          Limit berbentuk:
     lim                                      lim (1                   1 x2 )
     x   0    1          1 x2                 x       0
                                                                                                                            lim        ax 2    bx           c               px 2        qx       r
                                                  (1          1 0           (1 1)            2                           x

2.   Kunci Jawaban: E                                                                                                                              b 1
                                                                                                                     Jika:          a     p
                                                                                                                                                   2 p
                         sin 2 x                              sin2 x (3             2x       9)
     lim                                           lim                                                                         a p
     x   0    3             2x 9                  x       0                 2x
                                                           sin 2 x                                                             a p
                                                   lim              lim (3                        x    9)            Limit di atas a               p        4. Maka hasilnya adalah:
                                                  x       0   2x x 0
                                                       1 (3 3)     6                                                               8    ( 20)           12
                                                                                                                                                                            3
                                                                                                                                       2 4               4
3.   Kunci Jawaban: E
     Perhatikan bahwa apabila nilai x mendekati tak terhingga, maka:                                            8.   Kunci Jawaban: D

          x 5     x begitu pula 2 x 1                                                    2x                                                x                                                          1
                                                                                                                      lim                                                          lim               tan( x    )
     sehingga untuk x tak terhingga:                                                                                 x        2( x        ) tan ( x                         )     x          2         x
             x       5            2x 1                    x          2x                                                                                                            1             1
     Jadi:                                                                                                                                                                        2 1            3
             lim ( x              5               2 x 1)                                                        9.   Kunci Jawaban: D
         x


4.   Kunci Jawaban: D                                                                                                        2x 2       9x     5                 (3 x 1) ( x                         5)
                                                                                                                      lim                                   lim
     1 cos 2x (sin2x cos2x)                                                 2
                                                                       (cos x            2
                                                                                    sin x)              2
                                                                                                  2 sin x            x   5          x    5                  x       5 x 5
     Sehingga,                                                                                                                                              lim 2 x 1
                                                                                                                                                            x       5
                                  2                                     2                                                                                   2           5         1         11
                       4x                                          4x
           lim                                        lim               2
         x       0   1 cos 2 x                     x      0    2 sin x
                                                                                                                10. Kunci Jawaban: A
                                                                                2
                                                                         x                    2                       cos 6x cos2 3x sin2 3x                                           1     2 sin2 3x
                                                      lim 2                          2 1          2
                                                   x      0            sin x                                           1 cos 6x   2 sin2 3x

5.   Kunci Jawaban: A                                                                                                            x tan 2 x                                             9x
                                                                                                                      lim                          . . . . dikalikan
                                                                                                                     x   0        2 sin2 3 x                                           9x

                     6    x               1                         (6 x x ) ( x 2)
     lim                                                       lim
     x   2        x2          4       x       2               x    2 ( x 2))( x 2)                                                      1 tan 2 x                           9x2
                                                                        2x 4                                                 lim
                                                              lim                                                            x     0    9   2x                      sin2 3 x
                                                              x 2 ( x 2)( x 2)
                                                                                                                                                                                             2
                                                                  2( x 2)                                                    1     tan 2 x                                        3x
                                                          lim                                                                  lim                              lim
                                                          x 2 ( x 2)( x 2)
                                                                                                                             9 x 0 2x                           x       0       sin 3 x
                                                                                                                             1                     1
                                                           lim
                                                                 2       2                         2        1                          1 12
                                                          x 2 x 2      2 2                        4         2                9                     9

                                                                                                                11. Kunci Jawaban: D

                                                                                                                                              4x                                1 2x             1 2x
                                                                                                                      lim
                                                                                                                     x             1 2x                1 2x                     1 2x             1 2x

                                                                                                                              Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                     49
http://mathzone.web.id
                                                                                                                                  17. Kunci Jawaban: B
                            4x         1 2x                    1 2x
           lim                                                                                                                                   sin 3 x                sin 3 x cos 2 x                                      sin 3 x (1 cos 2 x )
           x                      (1 2 x ) (1 2 x )                                                                                       lim                                                                   lim
                                                                                                                                      x     0                           4x3                                  x          0                 4x3
                              4x           1 2x                1 2x
           lim                                                                                                                                                                                                               tan 3 x 2 tan2 x
           x                                       4x                                                                                                                                                           lim
                                                                                                                                                                                                             x          0             4x3
               1            1         2                                                                                                                                                                                                 2     3
                                                                                                                                                                                                                          tan 3 x
                                                                                                                                                                                                                lim               2 sin x 3 x
                                                                                                                                                                                                                                        2
12. Kunci Jawaban: E                                                                                                                                                                                         x          0   3x        x   4x3
                                                                       1                                                                                                                                                    2 3 3
                                                                         x                                                                                                                                   1          2 1
    Ingat: 1                      cos x            2 sin2                                                                                                                                                                       4 2
                                                                       2
                                                                                                                     1   x
                       2 x tan x                                       2 x tan x                                     4
       lim                                         lim                                           . . . . dikalikan                18. Kunci Jawaban: D
       x               1 cos x                     x               2        sin2 2 x
                                                                                 1                                   1
                                                                                                                     4
                                                                                                                         x

                                                                       1 x2                                                                     x3           27                       (x           3) ( x 2          3x          9)
                                                               tan x   4      1                                                       lim                                lim
                                                   lim                                                                                x     3       x   2
                                                                                                                                                                9        x       3         (x              3) ( x           3)
                                                x                x            1
                                                                     sin2 2 x 4
                                                                          1

                                                                                                                                                                                 3x 9 x2
                                                                                                                                                                          lim
                                                                                                             2                                                           x      x 3
                                                                                                                                                                                 3
                                                                                                    1   x
                                                                       tan x                        2
                                                4 lim                                lim              1
                                                                                                                 4 · 1· 12   4                                           9 9 9
                                                       x                 x           x            sin 2 x
                                                                                                                                                                            6
                                                                                                                                                                         27 9      1
13. Kunci Jawaban: C                                                                                                                                                             4
                                                                                                                                                                          6   2    2
                            x         2                 x 2
       lim                                      lim                                                                               19. Kunci Jawaban: E
       x           2    x2            2x       x       x( x 2)
                                                           2

                                                     2 2     0
                                                                                         0                                                Ingat:
                                                   2( 2 2) 8                                                                                                cos 2x               cos2 x                sin2 x
                                                                                                                                                            cos 2x               (cos x                sin x) (cos x                  sin x)
14. Kunci Jawaban: C
    Ingat:                                                                                                                                                                                2x
                                                                                                                                           cos x                sin x
       2 sin x cos x sin 2x                                                                                                                                                          cos x sin x
       6 cos2 x 3 3 (2 cos2 x                                                    1)          3 · cos 2x
                                                                                                                                     Sehingga,
                          2 sin 2 x                        1                                                                                                                                             cos 2 x
       lim                                                 3
                                                               lim              tan 2 x
       x                6 3 cos 2 x                            x                                                                                cos x sin x                                            cos x sin x
               4                                                        4                                                                 lim                                         lim
                                                                                                                                      x     4
                                                                                                                                                   2x 2                               x        4
                                                                                                                                                                                                           2x        2
                                                           1   tan                1      0         0
                                                           3                2     3

15. Kunci Jawaban: E                                                                                                                                                                                                sin 2 x           2
                                                                                                                                                                                      lim
                       f (x       h) f ( x )                                                                                                                                          x    4           2x           2
                                                                                                                                                                                                                            cos x         sin x
    lim
   h       0                       h                                                                                                                                                                                 1
                                                                                                                                                                                      lim
    f(x) 3x2 cos3 (x2   )                                                                                                                                                             x        4
                                                                                                                                                                                                       cos x             sin x
      u 3x2    u' 6x                                                                                                                                                                                   1
      v cos3 (x2    )   v'     6x cos2 (x2   ) sin (x2     )                                                                                                                          cos                   sin
                                                                                                                                                                                                   4                4
    f'(x)  6x (cos3 (x2    )) 3x2 ( 6x cos2 (x2     ) sin (x2                                                                ))
                                                                                                                                                                                                       1                      1
           6x cos2 (x2    ) {cos (x2    ) 3x2 sin (x2     )}                                                                                                                          1                 1
                                                                                                                                                                                      2
                                                                                                                                                                                               2        2
                                                                                                                                                                                                                2              2
16. Kunci Jawaban: D                                                                                                                                                                      1
                                                                                                                                                                                            2
                                                                                                                                                                                          2
                       4x         6            x 2 3 x 18
       lim
       x       3                           3      x                                                                               20. Kunci Jawaban: C
                                                                                             1
                                      4 0              1 (x2           3 x 18)               2   (2 x   3)
                        lim                            2
                                                                       0 1                                                                          t3          8                     (t         2 )(t 2 2t 4)
                        x     3                                                                                                       lim           2
                                                                                                                                                                             lim
                                                                   1                                                                  t    2    t           t       6        t   2             ( t 2 )(t 3)
                        4         1   (9       9 18)               2   (6       3)
                                  2
                                                                                                                                                                                          t2           2t 4
                                                       1                                                                                                                     lim
                                                                                                                                                                             t   2              t        3
                                                   1
                        4             1 (36) 2             9                     1 1                                                                                         4       4         4        12
                                      2                                 4        2 6
                                                                                             9
                                                                                                                                                                                     5                   5
                                           1                                         1
                                   9                   3
                        4         12
                                           4           4             1            13                                              21. Kunci Jawaban: D
                                                                   3
                                1                  1                 4             4                                                            sin 5 x                9
                                                                                                                                      lim               . . . . dikali
                                                                                                                                      t    0    sin 3 x                25


                   Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  50
http://mathzone.web.id
                           3                                 sin 5 x               5
        lim                                  lim                                                                                                                                               sin ( 2            x ) sin x
        x       0       sin 3 x              x       0          5                  3                                                                                               lim
                                                                                                                                                                                   x       2
                                                                                                                                                                                                            2( 2       x)
        5                           5
                    1 1
        3                           3                                                                                                                                                          sin ( 2            x)                sin x
                                                                                                                                                                                   lim                                  lim
22. Kunci Jawaban: B                                                                                                                                                               x       2
                                                                                                                                                                                                   (2        x)         x       2
                                                                                                                                                                                                                                       2

                 x tan x                                                                                                                                                                   sin 2               1            1
    lim                  (hampir mirip dengan nomor 12)                                                                                                                            1                    1
    x       0   1 cos x                                                                                                                                                                        2               2            2

                                                                                                      1x
                lim
                                        3                    . . . . dikalikan                        4                           14. Turunan Fungsi
                                                                                                      1x
                x        0    12   sin2 2 x
                                        1
                                                                                                      4

                                                                                                                                  1.   Kunci Jawaban: C
                                                                                           2
                                                                           1x
                                  tan x                                    2                           1                                      y        100       x2 ; 6            x       8
                    lim                              lim                     1                             1
                    x     0         x                x       0           sin 2 x                  2        4                                                                                                  2                             2
                                                                                                                                       Nilai maksimumnya diperoleh saat x paling kecil. Nilai x pal-
                                        4                                                                                              ing kecil adalah pada saat x 0, yaitu didapat:
                1             1                      2
                                        2
                                                                                                                                              y        100 02
                                                                                                                                                         100 10
23. Kunci Jawaban: C
                                                                                                                                       Dapat juga menggunakan cara turunan pertama.
                                                                                                                                                                  1            1
                                                 2                                 3x             2        9x2       2x   5                   y        100       x2 (100 x 2 ) 2 2 x
                                                                                                                                                                           y
    lim 3 x                   2          9x               2x             5                                                                                        2
    x                                                                              3x             2        9x2       2x   5                                  0 10 x
                                                     2                                                                                                       x 10
                                  (3 x       2)              (9 x            2x           5)
                    lim                                                                                                                Jadi diperoleh nilai maksimumnya adalah 10.
                    x             3x         2               9x2             2x           5
                                         2                                             2                                          2.   Kunci Jawaban: E
                                  ( 9x               12 x            4           9x            2x      5)                                      3
                    lim                                                                                                                f(x) sin (3 2x)
                    x                                                        2
                                         3x           2              9x               2x          5
                                                                                                                                       Fungsi di atas merupakan fungsi komposisi, kita misalkan:
                                                     10 x            9
                    lim                                                                                                                  u        (3       2x)        u'       2 dx
                    x             3x        2             9x2             2x           5                                                               3                                   2
                                                                                                                                       f(u)       sin u          f (u)         3 sin u cos u
                                                                 9
                                                     10          x
                                                                                                                                       f(x)       f(u)
                        lim
                    x                       2                     2          5
                                   3                     9
                                            x                     x          x2                                                         df        df du
                      10 0                            10                     10                                                         dx        du dx
                    3 0    9                         3 3                     6                                                                    3 sin2 u cos u ( 2)
                     5     2                                                                                                                      3 sin2 (3 2 x ) cos(3 2 x ) ( 2)
                         1
                     3     3
                                                                                                                                                   3 {2 sin (3 2 x ) cos (3 2 x )} sin (3 2 x )
                                                                                                                                                   3 sin (6 4 x ) sin (3 2 x )
24. Kunci Jawaban: B                                                                                                              3.   Kunci Jawaban: A
                                                                         4x
                             4x                                           x
    lim                                          lim                     sin 3 x                                                                                                                                            b
    x       0   x            sin 3 x             x       0       x
                                                                 x          x
                                                                  4                                                                                                                                                         b
                                                 lim                              1
                                                 x       0       1 3
25. Kunci Jawaban: A                                                                                                                                                  a                                 a

                 x 1 1                           x                        ( x 1 ) (1                   x)                              Panjang kawat 10 m akan dibuat bangun seperti gambar.
    lim                                                      lim                                               lim        1   x
    x   1       1  x 1                           x           x       1         1 x                             x   1                   Keliling bangun seluruhnya:
                                                                 1           1                2                                             K 5a 5b
                                                                                                                                       Karena panjang kawat 10 m, berarti:
26. Kunci Jawaban: C                                                                                                                   5a         5b       10          a       b           2
                                                                                                                                                           b 2                                     a
                             cos2 (                  x)                                            cos2 x
    lim                                                                          lim                                                   Luas bangunan seluruhnya:
    x       2       (2 x           ) tan                     x               x        2
                                                                                              (2 x    ) cot x                                                                                          2
                                                     2                                                                                 A 3a b 3a (2 a) 6a                                          3a
                                                                                           cos x sin x
                                                                             lim                                                       dA
                                                                             x     2
                                                                                              2x                                                  6 6a           0
                                                                                                                                       da
                                                                                           cos x sin x
                                                                             lim                                                                6a   0
                                                                             x               2( 2 x )
                                                                                   2                                                             a   1m
                                                                                                                                       Jadi panjang b 2                    a           2       1       1m




                                                                                                                                                  Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                              51
http://mathzone.web.id
      Luas seluruhnya:
                                                                                                                               1                 1                                          1
                                                                     2
            A 3(a b)                           3(1      1)     3m                                               f'(x)            (3 x 2     5) 2 (6 x )          3 x (3 x 2            5)   2
                                                                                                                               2
4.    Kunci Jawaban: B                                                                                                             3x
               3     2
         f(x) x    3x  9x, dengan 3                                  x   2                                                       3x 2       5
                 2
      f ' (x) 3x    6x 9
                                    2                                                                      9.   Kunci Jawaban: D
      f ' (x)        0          3x        6x       9       0
                                    2                                                                               g(x)       2x 3
                                x         2x       3       0                                                                          ; f (1)                 f '(1) 1
                                                                                                                                f (x)
                    (x 3) (x 1)       0
      Titik-titik ekstrimnya x     3 dan x 1                                                                                   2f ( x ) (2 x             3) f '(1)
                                                                                                                g'(x)
      f( 3) ( 3)
                      3
                         3( 3)
                               2
                                 9 · ( 3)                                                                                                 {f ( x )} 2
                  27 27 27 27
                  2        2                                                                                                   2f (1) (2 1 3) f '(1)                       2 1 ( 1) 1
        f(1) 1         3·1     9·1     5                                                                        g'(1)                                                                                 3
                  3        2                                                                                                              {f (1)} 2                            1
        f(2) 2         3·2     9·2 2
      Jadi nilai maksimumnya pada selang tersebut adalah 27.                                               10. Kunci Jawaban: C
                                                                                                                        1            2 3             2
5.    Kunci Jawaban: E                                                                                          y         (p      2) x           x            5px
                  3                                                                                                     3
      F(x) (6x 3) (2x 1)
      Jika F(x) U V maka:                                                                                       Memiliki nilai minimum       27 untuk x                                     3
           F(x) U ' V U · V'                                                                                    Berarti grafiknya melalui titik (3, 27)
      Untuk fungsi di atas:                                                                                                                          1               2         3       2
                                                                                                                                       27            3   (p     2) · 3             3            5p · 3
                                 3                              2                       2
          U       (6x       3)            U'       3(6x        3) · 6    18(6x        3)                                           27             9(p
                                                                                                                                                          2
                                                                                                                                                                4p         4)      9        15p
                                                                                                                          2
          V (2x 1)     V ' 2, jadi                                                                                9p           51p 72             0
                          3              3                                                                      3(3p          8)(p 3)             0
          F(x) 18(6x 3) (2x 1) (6x 3) · 2
                            2                3
          F(1) 18(6 · 1 3) (2 · 1 1) (6 ·1 3) · 2                                                               p         8
                                                                                                                              atau p       3
                     2        3                                                                                           3
               18 · 3 · 1 3 · 2
                                                                                                                Karena pada pilihan jawaban hanya ada p                                           3, maka tidak perlu
               162 54 216
                                                                                                                uji turunan pertama.
6.    Kunci Jawaban: D
                    2                                                                                      11. Kunci Jawaban: B
      f(x) (2x 1) (x 2)                                                                                                                                                    2
                                                                                                               f(x)   (x sin 3x) dan g(x)                                 x
      f(x) u · v     f'(x) u' u'v uv'
                                            2                                                                    u(x)         g(f(x)) u ' ( x) g' (f(x)) · f ' (x)
      Misalkan: u                     (2x 1)                                     u'        2(2x   1) · 2
        4(2x 1)                                                                                                 u'(x)         2(x sin 3x) (1 3 cos 3x)
                 v (x 2) v' 1                                                                                                 2(x 3x cos 3x sin 3x 3 sin 3x cos 3x)
                                          2
            f ' (x) 4(2x 1)(x 2) (2x 1) (1)                                                                                   2x 6x cos 3x 2 sin 3x 3 sin 6x
                    4(2x 1)(4x 8 2x 1)
                                                                                                           12. Kunci Jawaban: C
                    (2x 1) (6x 7)                                                                                                                                                                            x
                                                                                                                 Keliling kebun 2x y
7.    Kunci Jawaban: D
                                                                                                                             48 2x y
      Misalkan: a rusuk alas
                                                                                                                              y 48 2x                                                                              y
                   t tinggi
                      2                                                                                          Luas kebun xy
      Luas kotak a        4at 432
                                                                                                                               x(48 2x)
                          4at 432 a                                                                                                  2
                                                                                                                               48x 2x
                                                                                                                                        2
                                                       432 a 2                                                   L(x) 48x 2x 48x 2x                                                               sungai
                                               t
                                                         4a
      Volume kotak:                                                                                                                                              D              (b2     4ac )
                                                                                                                Luas maksimal kebun
                                                                                                                                                                 4a                    4a
                                           432 a 2                                                                                                              (482   4 ( 2) 0)
                 V       a 2t        a2
                                             4a                                                                                                                      4( 2)
                         432a             a3                   1 3                                                                                             (2304)
                                                   108a          a                                                                                                      288
                          4               4                    4                                                                                                  8

                                                                                                           13. Kunci Jawaban: D
                                        3 2
                 V'      108              a        0
                                        4                                                                                       3x 2                           u'v        uv'
                                                                                                                    f(x)                        f '(x)
                                        3 2                                                                                    2x 1                                  v2
                                          a        108
                                        4
                      a
                                           2
                                                   144                                                                         6 x(2 x 1) 3 x 2 2                    12 x 2        6x           6x2
                                                                                                                f ' (x)                              2                                      2
                       a                           12 cm                                                                               (2 x 1)                                 (2 x 1)
8.    Kunci Jawaban: A
                                                                                                                               6x2        6x         6 x( x 1)
                                                       1
      f(x)        3x2           5       (3 x 2     5) 2                                                                        (2 x 1)2              (2 x 1)2




                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     52
http://mathzone.web.id
14. Kunci Jawaban: B                                                                             18. Kunci Jawaban: D
                                                                                                               2    3
                                                                                                       f(x) sin (2x     5)
            f(x)         sin x cos x                        u           sin x cos x                                  3             3                                    2
                                                                                                     f'(x)  2 sin (2x    5) cos (2x                               5) · 6x
                             sin x                         u'           cos x sin x                            2       3
                                                                                                            6x sin (4x     10)
                                                               v        sin x
                                                           v'           cos x                    19. Kunci       Jawaban: C
                                                                                                        K         2(p l)                                  L   p l
                        (cos x          sin x ) sin x                (sin x      cos x ) cos x          8         2(3 x l)                                    (3 x) (1 x)
          f ' (x)                                                                                                                                                       2
                                                                                                        8         6 2x 2l                                     (3 2x x )
                                                           sin2 x
                                                                                                       2l         2 3x                                    Max pada saat L'             0
                        cos x sin x               sin2 x            sin x cos x      cos2 x              l        1 x                                                   L'             2     2x   0
                                                           sin2 x                                                                                                      2x              2
                            (sin2 x          cos2 x )                    1                                                                                               x             1
                                         2
                                    sin x                           sin2 x
                                                                                                 20. Kunci Jawaban: E
                                                                                                               2
                                                                                                     f(x) cos (1 3x)
                                1                 1
           f '( 2 )                                            1                                     Misalkan: u 1 3x           u 3dx
                            sin2 ( 2 )            12                                                                      2
                                                                                                              f(u) cos u
15. Kunci Jawaban: E                                                                                         f ' (u)   2 cos u · sin u
                 3
    f(x) 2 cos (1 2x)                                                                                         f(x)   f(u)
    Misalkan: u 1 2x          u    2dx                                                                df        df du
                       3
            f(u) 2 cos 4
                                2                                                                     dx        du dx
          f ' (u)  6 sin u · cos u
                                                                                                                 2 cos u · sin u · 3
    f(x) f(u)
                                                                                                                3 · 2 cos( 3x) sin (1                   3x)
           df         df du                                                                                     3 · sin (2 6x)
           dx         du dx
                                              2                                                  21. Kunci Jawaban: B
                       6 sin u · cos u · ( 2)                                                                 2x
                                  2                                                                    y x·e                                                      u'    x          u       1
                      6 sin u cos u · (2)                                                                                                                                 2x                 2x
                                                                                                                                                                  v'    e          v       2e
                      6 {2 sin (1 2x) cos (1 2x)} · cos (1                              2x)           dy               2x                 2x
                                                                                                                1·e             x · 2e
                      6 · sin (2 4x) cos (1 2x)                                                       dx
                                                                                                                  2x             2x       2x
                                                                                                                e          2xe        e           (1    2x)
16. Kunci Jawaban: E
                                                                                                 22. Kunci Jawaban: D
                                                                                                                         2    3
                        1 cos x                                                                      f(x) 5 15x 9x           x
            f(x)                                  u        1        cos x
                          sin x                                                                      f naik jika f'(x) 0
                                                  u'           sin x                                                       2
                                                                                                     f ' (x) 15 18x 3x          0
                                                  v            sin x                                              2
                                                                                                              3(x     6x 5)     0
                                                  v            cos x                                         3(x 5) (x 1)       0   5       1
                                                                                                     x      5 atau x       1
                 sin x( sin x ) (1 cos x ) ( cos x )
f ' (x)                                                                                              Nilai x yang memenuhi adalah x   5 atau x                                     1
                                    ( sin x )2
             sin2 x          cos2 x          cos x             1 cos x                           23. Kunci Jawaban: E
                                                                                                          2
                                2                                       2                            y ax     bx 3 di titik (1, 1)
                             sin x                                 sin x                                    2
                                                                                                     1 a·1      b·1 3

                       1 cos ( 3 )                    1    1                                         a     b      2             a     b        2 . . . (*)
          f(3)                                             2
                                2                  1           2                                           y'    2ax        b
                            sin ( 3 )             (2 3)
                        3                                                                                                                           1         7                1
                                3        4                                                           Garis: 6y         x    7             y           x                m1
                        2                         2                                                                                                 6         6                6
                        3       2        3
                        4                                                                            Garis        maka m1 · m2                      1
17. Kunci Jawaban: E                                                                                  1
      Luas: 2 · xy 24                                     xy        12                                  . m2           1         m2           6
                                                                                                      6
                                                                     12                              y'     m2      2ax b                 6
                                                           y
                                                                      x                                                2ax            b        6
                Keliling: K          3x 4y                                                                                            b 6
                                     3x 48x                                                                                     x
                                                                                                                                       2a

          Jadi, K'          0         3 48 x 2                  0                                                               1
                                                                                                                                          b 6
                                                                                                                                                           2a       b 6
                                           48                                                                                              2a
                                                                    3
                                                  x2                                                 Masukan (*) ke 2a                b         6
                                                      48            3x   2                           2(b 2)     b 6
                                                                                                       2b 4 b 6
                                                   x2          16            x   4
                                                   xy          12            y   3



                                                                                                                Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                  53
http://mathzone.web.id
             b   6 4    2
      a b 2      2 2    4                                                                                                                                                        1
                                                                                                                   5x                    5             1
      Maka a
            2   2
               b ( 4)
                      2
                          ( 2)
                               2
                                                                 16       4    20                                     (1 x )7                            (1 x )8
                                                                                                                   7                     7             8                         0
24.       Kunci Jawaban: E                                                                                                                                     1
                                                                                                                   5x                     5
          y 2(x 2)(x
                        2
                            3x 1)                                                                                     (1 x )7               (1 x )8
                         2                                                                                         7                     56                    0
              (2x 4) (x      3x 1)
                                                                                                                       5. 1                   5                                 5 . 0                         5
          Misalkan: u 2x 4           u' 2                                                                                   (1 1)7              (1 1)8                                (1 0)7                    (1 0)8
                    v x
                          2
                              3x 1   v' 2x 3                                                                           7                     56                                  7                           56
                  2                                                                                                              5      5
          y ' 2(x     3x 1) (2x 4)(2x 3)                                                                          0
                 2              2                                                                                               56     56
               2x    6x 2 4x       2x 12
                 2
               6x    4x 10
                                                                                                     2.   Kunci Jawaban: E
25.       Kunci Jawaban: D                                                                                   3             y
                                                                                                          y x    1
                        3
          y      cos
                        x

                                     3                        3 x 2dx
          Misalkan: u                               u                                                                                        1
                                     x                                                                                                                                            x
                                                                                                                                                           1 2

          y     f(x)     cos 3                                                                                                                         1
                             x
          f(u) cos u
                                                                                                          Terlihat luas daerah antara 1 dan 1 adalah di bawah kurva
          f ' (u) sin u
                                                                                                          dan antara 1 dan 2 di atas kurva. Sehingga untuk mencari
                  dy         df            df           du                                                luasnya tidak boleh sekaligus.
          y                                                           sin u ( 3 x 2 )
                  dx         dx            du           dx                                                I. Antara 1 dan 1
                   y         3 sin          3
                                                                                                                  1
                             x2             x                                                                                                    1 4
                                                                                                                                                                       1
                                                                                                                          (x3    1) dx             x           x
26.       Kunci Jawaban: D                                                                                                                       4                         1
                                                                                                                   1
          Lihat jawaban nomor 7.                                                                                                                 1 4                           1
                        2                                                                                                                          .1          1                 ( 1)4        ( 1)
          Luas kotak a     4at 432                                                                                                               4                             4
                                                           432                                                                                   1                     1
                                                                                                                                                   1                     1            2
                                                t                                                                                                4                     4
                                                           4a
                                            2
          Volume kotak: V a t
                                                                                                              Karena luas selalu positif, berarti L1                                          2.
                                                2 432              a2                      1 a3           II. Antara 1 dan 2
                                            a                                  108a
                                                             4a                            4
                                                                                                                  2                                                2
                                                                                                                                                 1 4
          V maks         V'          0                                                                                 (x2       1) dx             x       x
                                                                                                                                                 4                 1
                                                                                                                  1
                       3 2
          108            a       0                                                                                                            1 4                            1 4
                       4                                                                                                                        .2 1                           .1 1)
                         2                                                                                                                    4                              4
                        a         144
                                                                                                                                                  1                             1   3
                         a        12                                                                                                         2 (    1)                     3      2
                                                                                                                                                  4                             4   4
                                     1 (12)3
          V     108 (12)                                   1296       432       864
                                     4                                                                                                                                                        3          3
                                                                                                               Luas seluruhnya: L                          L1              L2     2       2          4
                                                                                                                                                                                              4          4
15. Integral                                                                                         3.   Kunci Jawaban: C

                                                                                                                              x2
                                                                                                          y           1          diputar mengelilingi sumbu x
1.        Kunci Jawaban: D                                                                                                    4
                                                                                                               y
              uv' dx     u.v         uv'dx
          u     5x           u'          5 dx
                                                                                                           1
          v'     (1 x ) 6            v              1 (1
                                                    7
                                                            x )7
                                                                                                                                                           x
          1                                                                                                   0                          2
                             6                             1                          1
               5 x (1 x ) dx              5x                 (1 x )7            5       (1 x )7 dx
                                                           7                          7                   Kurva diputar mengelilingi sumbu x, berarti
          0
                                           5x                         5                                                                                            2
                                              (1 x )7                         (1 x )7 dx                                  2                  2
                                                                                                                                                        x2
                                           7                          7
                                                                                                          V                   y 2 dx              1                    dx
                                                                                                                                                        4
                                                                                                                          0                  0




                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
     54
http://mathzone.web.id
                                                                                                                                        2u du     2x dx      u du x dx
               2                                                                                          2
                         x3                    x4                                       x3       x2                                     Jadi integral di atas dapat diganti menjadi:
                       1                          dx                        x
                         2                     16                                       6        80
               0                                                                                          0
                           8       22                                    4          2                                                       9        x 2 x dx                     u ( u du )
                   2                                   0       (2                     )
                           6       80                                    3          5
                                                                                                                                                                                  u 2 du
            30             20           6                      16
                                                                         satuan volum                                                                                             1 3
            15             15          15                      15                                                                                                                    u   C
                                                                                                                                                                                  3
4.   Kunci Jawaban: B                                                                                                                                                                                       3
                                                                                                                                                                                  1
                                                                                                                                                                                       9 x2                         C
                                                                                                                                                                                  3
                                       1
     cos x cos 4x                        cos( x 4 x ) cos( x                                      4x )                                                                            1
                                       2                                                                                                                                            (9 x 2 )                    9    x2       C
                                                                                                                                                                                  3
                                       1
                                         cos 5 x cos( 3 x )
                                       2                                                                                           7.   Kunci Jawaban: C
     Karena cosinus merupakan fungsi genap, maka
                                                                                                                                                                              3
     cos ( 3x) cos 3x. Jadi:
                                                                                                                                                                                   (3x 2               2x    2) dx            40
                                               1                                                                                                                              p
         cos x cos 4x                            (cos 5 x                   cos 3 x ), sehingga:
                                               2                                                                                                                                        x3             x2       2x
                                                                                                                                                                                                                     3
                                                                                                                                                                                                                              40
                                                                                                                                                                                                                     p

                                                               1                                                                                                                               3        2       2
          cos x cos 4x dx                                        (cos 5 x                    cos 3 x ) dx                                            (27          9        6) (p    p                               p)        40
                                                               2                                                                                                             3    2
                                                                                                                                                                            p   p    2p                             16        0
                                                            1 1                              1
                                                                  sin 5 x                      sin 3 x                 C                                                 (p        2)( p2                3 p 8)               0
                                                            2 5                              3
                                                                                                                                                                                                        Definit positif
                                                             1            1
                                                               sin 5 x                       sin 3 x C
                                                            10            6                                                                 p       2        0
                                                                                                                                                    p            2
5.   Kunci Jawaban: C
     Diketahui kurva y x 1                                                                                                                  1               1
                                                                                                                                              p               ( 2)                     1
     Diputar mengelilingi sumbu x antara x                                                        1 dan x                   1               2               2
                                           y                                                                                       8.   Kunci Jawaban: D
                                                                                                                                                                                                                                              y       2x
                                                                                                                                        Luas daerah yang diarsir
                                                                                                                                                                                                                                      Y

                                                                                                                                            2
                                                                                                                                        L           (8       x2          2 x ) dx
                                                                                        x                                                   0
            1                          O                                1
                                                                                                                                                   1 3     2
                                                       r                                                                                    8x       x  x2                                                                                                           X
                                                                                                                                                   3       0                                                                              2
                                                                                                                                                    8        1                                                                                    y        8   x2
                                                                                                                                                16     4 0 9
                                       1                                                                                                            3        3

     Volum benda putarnya:                                                                                                              y   2x
                                                                                                                                                                 2x            8       x2
               1                               1                                                                                        y   8       x2
     V              r 2 dx                             y 2 dx                                                                                   2
                                                                                                                                            x    2x 8 0
                1                              1
                                                                                                                                         (x 4) (x 2)     0
     Karena kurvanya simetris, maka:
                                                                                                                                        x1     4 atau x2 2
                                                                                                                                        Jadi, daerah yang diarsir adalah: 0                                               x       2
               1                           1                                                 1
                           2                            2           2                                 4            2
     V                 y           2               (x           1) dx               2            (x           2x           1) dx   9.   Kunci Jawaban: D
               0                           0                                                 0                                                           Y
                                                                   1                                                                                                           y       x2
                       1 5             2 3
           2             x               .1                    1
                       5               3                            0
                       1           2                                    3 10 15
           2                                   1           2
                       5           3                                      15
                            8           16
           2
                           15           15                                                                                                                  2

6.   Kunci Jawaban: A
     Gunakan cara substitusi                                                                                                                                                           X
                                                                                                                                            2           0                2
                           2                                    2                                                                                                    x     y       2       0
         x 9           x dx                        9        x           x dx
                                                                                                                                                                          y            x           2
                                                                                                                                        x   y        2       0                         2
                               2                   2                                2                                                                                     y        x
     Misalkan: u                       9 x                              9       x


                                                                                                                                                Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                                                55
http://mathzone.web.id
        2                                                                                               12.   Kunci Jawaban: B
       x         x     2
                      2                                                                                                                2             2
                     x    x 2                0                                                                f(x)  (x 2)       4                   x     4x
            (x       2) (x 1)                0                                                                g(x)    f(x) ; berarti                f(x) dan g(x) setangkup.
                                                                                                                                2
                            x                 2, x          1                                                 Determinan dari x                      4x 0 adalah:
                                                                                                                     2
                                                                                                              D ( 4)      4·1·0                      16

                       b
                                                                                                              Jadi luas daerah di atas kurva f(x) dan di bawah garis y                        0
            V               ( y 22           y12 ) dx                                                         adalah:
                       a                                                                                             16     16     16 4     64   32
                        1                                                                                         L
                                                                                                                        6 1          6       6    3
                                   ( x        2)2        ( x 2 )2 dx
                                                                                                              Karena f(x) dan g(x) setangkup maka luas seluruhnya adalah:
                           2
                           1                                                                                      L           2      32        64        21 1 satuan luas
                                   (x2         4x        4          x 4 ) dx                                                         3         3            3
                            2                                                                                                                                           y
                                                                                  1
                                                                                                        13.   Kunci Jawaban: C
                            1 x3            2x 2        4x          1 x5
                                                                                                              y sin x ; 0 x
                            3                                       5                 2                       Daerah D diputar menge-
                               1       2       4        1                8        8        8     32           lilingi sumbu-x sejauh
                               3                        5                3                       5                                                                                            x
                                                                                                              360 .
                            2 2             12 4                    14 6                  14 2                Volume benda putar yang terjadi:
                             15               15                      15                     5


10.    Kunci Jawaban: B                                                                                       V                   y 2 dx           (sin x )2 dx
                                                                                                                          0                    0
       2                                            2
                                                         1 (2 sin 3 x cos 5 x ) dx                                            (1 cos 2 x )
            sin 3 x cos 5 x dx                                                                                                             dx
                                                         2                                                                        2
       0                                            0                                                                     0

                 2                                                                                                                                                     1
            1                                                                                                                 (1 cos 2 x ) dx                  x         sin 2 x
                     (sin(3 x          5x)         sin (3 x          5 x )) dx                                        2                                   2            2              0
            2                                                                                                             0
                 0
                                                                                                                                           1
                                                                                                                              (      0)      (sin 2           sin 0)
                 2                                                                                                    2                    2
            1        (sin 8 x              sin 2 x ) dx                                                                   2
            2                                                                                                                 satuan volume
                 0
                                                                                                                      2
            1        1 cos 8 x               1 cos 2 x 2
            2        8                       2         0                                                14.   Kunci Jawaban: A
            1         1 cos 4                  1 cos                     1 cos 0               4 cos0
            2         8                        2                         8                     2              2                                      2
                                                                                                                  cos x sin2 x dx                        sin2 x (cos x dx )
            1    1              1 1 ( 1)                1       1                                             0                                      0
            2    8                 2                    8       2
                                                                                                              Misalkan u               sin x        du     cos x dx
            1    1              1 1 1
            2    8              2 8 2
                                                                                                              2                                      2
            1 ( 1)               1     8                                                                                                                               1 3        2
                                                                                                                  sin2 x (cos x dx )                     u 2 du          u
            2                    2    16                                                                                                                               3         0
                                                                                                              0                                     0
                                                                                                                                                                   3
11.    Kunci Jawaban: D                                                                                                                             1                            1
                                                                                                                                                      sin               0
                                                                                                                                                    3     2                      3
       Misalkan: u                 x        du      dx
                      dv           sin x dx                 v        sin x dx                           15.   Kunci Jawaban: D
                                                                     cos x
                                                                                                              Misalkan: u                  cos 1           du               sin        1 dx
                                                                                                                                               x                                      x2
            x sin x dx                 x ( cos x )                  cos x dx
       0                                                                                                                                                                sin 1
                                                                                                                                                                              x dx
                                       ( x cos x             sin x ) 0                                                                                                      x2
                                                                                                              Jadi dapat ditulis:
                                       (      ( 1)       0)         (0       0)
                                                                                                                  sin 1
                                                                                                                          x dx             du        u     C           cos 1          C
                                                                                                                   x2                                                      x




                Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
  56
http://mathzone.web.id
16.   Kunci Jawaban: A
                2
      u        x               du    2x dx                                                                          1                                        1                1                           1
                                                                                                                        x sin 4 x dx                           x                cos 4 x                     cos 4 x dx
      dv       cos x                v     sin x                                                                     2                                        2                4                           4
                                                                                                                                                             1        1                          1
           u dv          u v             v du                                                                                                                           x cos 4 x                        cos 4 x dx
                                                                                                                                                             2        4                          4
           x 2 cos x dx                 x 2 sin x                       2 x sin x dx                                                                         1        1                              1    1
                                                                                                                                                                        x cos 4 x                           sin 4 x             C
                                                                                                                                                             2        4                              4    4
      Dengan cara yang sama seperti di atas dapat ditulis:
                                                                                                                                                                 1               1
                                                                                                                                                                   x cos 4 x       sin 4 x C
           x 2 cos x dx              x 2 sin x                     2 x ( cos x )             2( cos x ) dx                                                       8              32
                                                                                                                                                                  1
                                                                                                                                                                    (4 x cos 4 x sin 4 x ) C
                                     x 2 sin x                 2 x cos x             2 sin x       C                                                             32

17.   Kunci Jawaban: A                                                                                       20.   Kunci Jawaban: C
      Untuk menentukan luas daerah antara parabola dan parabola
                                                                                                                                    a
      dapat dirumuskan dengan menggunakan diskriminan yaitu:
                                                                                                                                        (3 x 2          4x           4) dx         18
                       D D                                                                                                          1
           L
                       6a 2                                                                                                                x3           2x 2          4x
                                                                                                                                                                              a
                                                                                                                                                                                   18
                                           2                                                   2                                                                              1
      Parabola:                  y        x      9x 15 dan y                                 x     7x   15
           2                                   2                                                                    3           2
          x    9x               15            x   7x 15                                                            (a   2a            4a) (1 2 4 )                                  18
                                                                                                                                       3    2
               2                                                                                                                    (a   2a   4a) 3                                 18
          2x            16x     30        0                a           2, b      16, c        30                                      3    2
                   2                                                                                                                 a   2a   4a 21                                 0
      D        b    4ac
                     2
               ( 16)    4 . 2 . 30                                                                                                      (a 3)(a2                     a 7)          0
               256 240 16                                                                                                                               definitif positif
                                                                                                                                                                                                 y
                       D D          16 16              16 4               8          2                             a    3       0          a        3
      Luas                                                                       2
                        6a 2        6 22                24                3          3                       21.   Kunci Jawaban: E
18.   Kunci Jawaban: A
          2
          3                                        2                                                                                                             y    2x2
                   sin x cos x dx                  3           1   sin 2x dx
                                                               2
      6
                                               6
                                                                                                                                                                                             1

                                                           2                                                                                                                                                  y   4x   22
                                               1           3                                                                                                                                                                    x
                                                                    sin 2 x dx                                                                                                               O
                                               2
                                                       6
                                                                                 2
                                               1               1                 3
                                                                 cos 2 x                                                    2
                                               2               2
                                                                                 6
                                                                                                                   L                2x 2        (4 x         4) dx
                                                                                                                            0
                                                   1     4                                                                  2
                                                     cos                         cos                                                2x 2       4x         4 dx
                                                   4     3                               3                                  0
                                                   1 1                   1           1                                  2 3           2
                                                                                       ( 1)                               x  2x 2 4 x 0
                                                   4 2                   2           4                                  3
                                               1                                                                        16        16
                                                           0,25                                                             8 8      satuan luas
                                               4                                                                         3         3

                                                                                                             22.   Kunci Jawaban: D
19.   Kunci Jawaban: E                                                                                             Misalkan:                                          u       (x    2)(x         3)       x
                                                                                                                                                                                                           2
                                                                                                                                                                                                                  5x        6
                                                                         1                                                    du
              x sin 2x cos 2x dx                                   x       sin 4 x dx                                                      2x            5
                                                                         2                                                    dx
                                                                   1                                                          du            (2x           5) dx
                                                                     x sin 4 x dx
                                                                   2                                                        2 du            (10           4x) dx
                                                           1
                                                                       x sin 4 x dx                                         2 du                             1
                                                           2                                                                                    2 u          3       du
                                                                                                                            u31

      Misalkan:u                x         du           dx                                                                                                    2                           2
                                                                                                                                                         3 3
                                                                                                                                                2          u              C         3u 3         C
                        dv      sin 4x dx                      v              sin 4x dx                                                                  2
                                                                                                                                                 3 3 (x2              5x          6)2    C
                                                                              1
                                                                                cos 4 x
                                                                              4
      Gunakan rumus integral parsial
           u dv          u v             v du



                                                                                                                            Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional                                                        57
http://mathzone.web.id
23. Kunci Jawaban: C
                                                                                                                                                                         1    d ( x 2 1)
                   6
                                 2                           1 3                  3 2
                                                                                              6                                         4x ( x2                  1)      2
       L                ( x              3 x ) dx              x                    x                                                                                              2x
                                                             3                    2           0                                                                     1
                   0
                                                                                                                                2 (x2                       1)      3    d(x2             1)
                        1 3              3 2
                          (6)              (6)              72 54                        18                                                                                      2
                        3                2                                                                                                          1                        y3
                                                                                                                                2           y       3   dy               2                C
                                                                                                                                                                              2
       Karena L positif maka L                                   18 satuan luas.                                                                                              3
                                                                                                                                        2                                             2
24.    Kunci Jawaban: C                                                                                                         3y 3                C           3( x 2            1) 3         C
                                                                                     2
       Misalkan u                     9       x              du                  3x dx                                          3 (x3           2
                                                                                                                                                            1) C
                                                        1
                                                          du             x 2 dx
                                                        3                                                                28.   Kunci Jawaban: D
                                                                                                                                                        y                                                       Titik perpotongan
                                                                                                                                                                                                                                   2
           2                                                         3                                                                                                                                                  2x 3     x     x   1
                        1 1                         1                                                                                                                                                                 2
                             du                              u       2       du                                                                                                   y       2x       3                 x   x 2     0
           0            3