Lingkaran

Document Sample
Lingkaran Powered By Docstoc
					            LINGKARAN

Disampaikan Dalam Pembelajaran
Matematika SMA Kelas XI IPA


 Oleh
 Rustiyan
                 LINGKARAN
a. Standar Kompetensi :
  Menyusun Persamaan Lingkaran dan garis singgungnya
b. Kompetensi Dasar :
  1. Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi
    persayaratan tertentu
   2. Menentukan persamaan garis singgung pada
     lingkaran dalam berbagai situasi
 Definisi :
 Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-
 titik yang berjarak sama


A. Pers. Lingkaran dengan Pusat O (0,0) dan jari-jari r

                  Y                   OA2 =OB2 + AB2
                        A (x,y)       Karena OA = r, OB = x
                  r
                        y             dan AB = y maka berlaku :
                                  X
                      x B
              O                       r2 = x2 + y2




      Pers lingkaran : x2 + y2 = r2
Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan
jari-jari 2.

Jawab : x2 + y2 = 4


Contoh 2 :
Tentukan Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0)
dengan jari-jari 3


Jawab : x2 + y2 = 3
Contoh 3 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0)
dan melalui titik A(-3,5).



 Jawab :
 Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan melalui titik A(-3,5),
 maka jari-jari r adalah :
 r2 = (-3 – 0)2 + (5 – 0)2
 r2 = (-3)2 + (5)2
 r2 = 9 + 25 = 34
 Jadi pers. Lingkarannya : x2 + y2 = 34
Contoh 4 :
Tentukan persamaan lingkaran dengan diameter ruas
garis yang menghubungkan titik A(1, - 3) dan titik B(-1,3).


Jawab :
d2 = (-1 – 1)2 + (3 – (-3))2   = 4 + 36 = 40
d = 2√10 sehingga r = √10
Pusat lingkaran : ( ½ (x1+ x2) , ½ (y1+ y2) )
                  : (½ (1 - 1) , ½ (-3 + 3)) = (0,0)
Sehingga pers. Lingkaran :
                               x2 + y2 = 10
Contoh 5 :
Tentukan Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis
4x – 3y + 10 = 0


 Jawab :                         Jarak titik A(x1, y1) ke garis ax + by + c = 0
         Y    4x – 3y + 10 = 0
                                         ax1  by1  c
                                 r=
                                              a 2  b2
    P

                                        4(0)  30  10
         r
                                 r=                           2
             O        X                      4  (3)
                                              2          2




Jadi pers. Lingkarannya : x2 + y2 = 4
                   SOAL-SOAL LATIHAN


1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan
   jari – jari :
   a. 6                b. √6            c. 2√3          d. ⅓
2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan
   melalui titik :
   a. (- 1, 2)     b. (2, - 3)       c. (a, 2)          d. (3, b)
3. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai panjang
   diameter AB, untuk tiap pasang titik A dan B di bawah ini.
   a. A(- 5, 2) dan B(5, - 2)    b. A(√3, - 2) dan B(- √3, 2)
4. Lingkaran L2 sepusat (kosentris) dengan L1: x2 + y2 = 8. Jika
   panjang jari – jari L2 sama dengan 2 kali panjang jari-jari L1,
   tentukan persamaan L2.
5. Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis-garis
   dengan persamaan : x = - 4 , x = 4, y = - 4 dan y = 4.
   a. Gambarlah persegi itu pada bidang cartesius
   b. Tentukan pers. Lingkaran yang menyinggung sisi-sisi
       persegi
   c. Tentukan pers. Lingkaran yang melalui titik-titik sudut
       persegi

6. Tentukan pers. Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan
   menyinggung garis :
   a. 4x – 3y – 5 = 0     b. y = ½ x + 5

7. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x,y) yang meme-
   nuhi hubungan {P(x,y) | PB = 2 PA}, jika diketahui titik
   A(2,0) dan B(8,0)
    B. Pers. Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan Jari-jari r

    Y
                              Perhatikan Gambar.
                 T(x,y)       Pusat lingkaran : P(a,b) dan Jari – jari : r
y
                              PQ = x – a dan TQ = y – b .
             r
b                Q            Pada ▲PQT berlaku :
         P
                              PQ2 + QT2 = PT2
                              (x – a)2 + (y – b)2 = r2
                          X   Jadi pers. Lingkaran dengan pusat (a,b)
O        a       x
                              dan jari – jari r adalah
                              (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Bentuk Umum Pers. Lingkaran

Dari bentuk (x – a)2 + (y – b)2 = r2 diperoleh :
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 + (-2ax) + (-2by) + (a2 + b2 – r2 ) = 0


Misal : A = - 2a maka a = - ½ A
       B = - 2b maka b = - ½ B
       C = a2 + b2 – r2 maka r2 = a2 + b2 – C
                                 r=     1 2 1 2
                                          A  B C
                                        4    4
Diperoleh persamaan lingkaran :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dengan pusat (-1/2 A, -1/2 B)
                              1 2 1 2
Dan panjang jari – jari r =     A  B C
                              4    4
SOAL LATIHAN

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (- 2, 7) dan
   berjari – jari 8.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di ( - 3, - 1) dan
   melalui titik (1, 4)
3. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan
   penghubung titik R(3,6) dan S(7,4)
4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (6, 4) dan
   menyinggung sumbu X.
5. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (- 4, 3) dan
   menyinggung sumbu Y.
6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 5) dan
   menyinggung garis x = 2
7. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran :
   a. 9x2 + 9y2 = 25
   b. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 12
   c. x2 + y2 – 8x + 24y – 9 = 0
   d. 8x2 + 8y2 + 64x – 48y – 138 = 0
8. Diketahui lingkaran L1 kosentris dengan lingkaran L2 dan
   melalui titik (2,8). Jika persamaan lingkaran L2 adalah
  x2 + y2 – x + 2y – 5 = 0, tentukan persamaan L1.
C. Posisi Titik Terhadap Lingkaran


Untuk lingkaran yang berpusat di O(0,0), berlaku :
• Titik T(p,q) terletak di dalam lingkaran   L    p 2 + q 2 < r2
• Titik T(p,q) terletak di pada lingkaran    L    p 2 + q 2 = r2
• Titik T(p,q) terletak di luar lingkaran    L    p 2 + q 2 > r2


Seperti lingkaran yang berpusat di O(0,0), untuk lingkaran
yang berpusat di titik (a,b), tinggal memasukan nilai p dan q ke
dalam persamaan lingkaran.
SOAL LATIHAN

  1. Selidiki letak titik-titik berikut ini terhadap lingkaran yang
     berpusat di O dan berjari-jari r = 7
     a. M(5, 5)           b. N(4, - 5)
  2. Selidiki posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran dengan
     pusat P(4, 2) dan berjari-jari r = 5
     a. A(3, 5)           b. B(1, -2)
  3. Selidiki posisi titik berikut terhadap lingkaran
     x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0
     a. P(1, 5)           b. Q(2, 4)
D. Posisi garis terhadap lingkaran

  1. Garis g memotong lingkaran di dua titik jika jarak
     antara garis g dengan pusat lingkaran < dari
     panjang jari-jari lingkaran

  2. Garis g menyinggung lingkaran jika jarak antara
     garis g dengan pusat lingkaran = dari panjang jari-
     jari lingkaran

  3. Garis g terletak di luar lingkaran jika jarak antara
     garis g dengan pusat lingkaran < dari panjang jari-
     jari lingkaran
SOAL LATIHAN

1. Selidiki posisi garis berikut ini terhadap lingkaran
  x2 + y2 – 8x – 4y – 12 = 0
  a. y = 4                   b. y = x + 6
2. Tentukan titik potong antara garis x + 4y – 3 = 0 dengan
   lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 1)
   dan memenuhi ketentuan :
  a. Melalui titik (2, 7)
  b. Menyinggung garis 2x + y – 5 = 0
C.PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
   1. Persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran
                 Y

      A(x1,y1)                         Jika m adalah gradien
                                       garis singgung, maka
                                       berlaku: m x mOA = -1
                 O         X           Sehingga m = - x1/ y1


Gradien garis singgung yang menghu -
bungkan titik O(0,0) dan A(x1,y1) :
          y1  0 y1
moA =           
          x1  0 x1
Pers garis dengan gradien m melalui titik (x1, y1) adalah :
y – y1 = m (x – x1). Jika m = - x1/ y1 maka berlaku :
y – y1     = - x1/ y1 (x – x1)
y1(y – y1) = - x1(x – x1)
y1y – y12 = - x1x + x12
y1y + x1x = x12 + y12
x1x + y1y = r2
Jadi persamaan grs singgung melalui titik (x1,y1) pada
lingkaran dengan pusat O adalah x1x + y1y = r2

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:62
posted:11/16/2012
language:
pages:20