Docstoc

Microsoft Word - 2. Gjeometri analitike_123-154_ - LEK

Document Sample
Microsoft Word - 2. Gjeometri analitike_123-154_ - LEK Powered By Docstoc
					VIII. GJEOMETRIA ANALITIKE
          NË HAPËSIRË
1. EKUACIONI I RRAFSHIT NË HAPËSIRË
1.1 EKUACIONI I RRAFSHIT NË FORMËN E PËRGJITHSHME
Nga gjeometria është e njohur që rrafshi në hapësirë mund të përcaktohet, ndër
të tjera, nga një pikë e tij dhe një drejtëz e cila është normale në të. Ose, thuhet
ndryshe, rrafshi është i përcaktuar nga pikë e tij M ( x0 , y0 , z0 ) dhe një vektor
n( A, B, C ) që është normal në atë rrafsh. Vektori n ( A, B, C ) quhet vektor
normal i rrafshit.
Le të jetë M ( x, y , z ) një pikë e çfarëdoshme e rrafshit α , e ndryshme nga pika
M ( x0 , y0 , z0 ) , dhe n ( A, B, C ) një vektor (shih fig.32). Është e qartë se vektorët
n ( A, B, C ) dhe MM 0 janë reciprokisht normalë, prandaj prodhimi skalar i tyre
është zero, d.m.th. M 0 M ⋅ n = 0. Meqenëse M 0 M = r − r0 , atëherë

         (r − r ) ⋅ n = 0
               0                                                         (1)

Relacioni (1) paraqet ekuacionin vektorial të rrafshit në hapësirë. Meqë
         r − r0 = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) dhe n = ( A, B, C )
duke zëvendësuar në relacionin (1) marrim:
         A ⋅ ( x − x0 ) + B ⋅ ( y − y0 ) + C ⋅ ( z − z0 ) = 0.             (2)
Ekuacioni (2) quhet ekuacioni normal i rrafshit.
124                           Kurs i përgjithshëm nga matematika

Më     tutje,    nëse    shënojmë                           Z
D = − Ax0 − By0 − Cz0 ,    atëherë
ekuacioni (2) merr formën
                                                          α               M0           n
 Ax + By + Cz + D = 0      (3)                                       r0
Relacioni (3) paraqet ekuacionin e                                           r    M
rrafshit      në      formën      e                             0
përgjithshme.                                                                          Y
Shembulli      1.    Të    shkruhet
ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër                                 Fig.32
pikën M (1,1,1, ) dhe është normal              X
në vektorin n = ( 2, 2,3) .
Zgjidhja: Në bazë të relacionit (2) kemi
         2 ⋅ ( x − 1) + 2 ⋅ ( y − 1) + 3 ⋅ ( z − 1) = 0 ⇒ 2 x + 2 y + 3 y − 7 = 0. ■
Teorema 1.1.1 Ekuacionet në formën e përgjithshme të rrafsheve
         A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dhe A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,
paraqesin të njëjtin rrafsh, atëherë dhe vetëm atëherë kur
          A1 B1 C1 D1
            =  =  =   = λ ( λ ≠ 0 ).
          A2 B2 C2 D2
Vërtetimi: Supozojmë se ekuacionet               A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dhe
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 paraqesin të njëjtin rrafsh. Në këtë rast vektorët
normal të tyre n1 = ( A1 , B1 , C1 ) dhe n2 = ( A2 , B2 , C2 ) janë kolinearë. Kjo do të
thotë
        A1 B1 C1
          =  =   = λ ( λ ≠ 0 ) ⇒ ( A1 = λ A2 ) ∧ ( B1 = λ B2 ) ∧ ( C1 = λ C2 ) .
        A2 B2 C2
Nga ana tjetër, duke shumëzuar ekuacionin A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 me λ
dhe duke e zbritur nga A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 marrim:
                                             D1
         D1 − λ D2 = 0 ⇒ D1 = λ D2 ⇒            = λ,
                                             D2
                       A1 B1 C1 D1
dhe përfundimisht,       =  =  =   = λ .■
                       A2 B2 C2 D2
                       Gjeometria analitike në hapësirë                             125


1. 2 EKUACIONI I RRAFSHIT NË FORMË SEGMENTE
Le të jetë dhënë rrafshi α me ekuacionin e tij në formën e përgjithshme
        Ax + By + Cz + D = 0 ( A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0 ) .             (1)
Ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet në formën
       Ax + By + Cz = − D
Duke pjesëtuar barazimin e fundit anë për anë me − D marrim:
          x      y     z
             +     +     = 1.                                             (2)
          D      D     D
        −      −     −
           A     B     C
                 D       D      D
Duke shënuar −     = a, − = b, − = c, ekuacioni (2) merr formën
                 A       B      C
                x y z
                  + + = 1.                                    (3)
                a b c
Relacioni (3) shpreh ekuacionin e rrafshit në formë segmente.
Në vazhdim do të shohim kuptimin gjeometrik të ekuacionit të rrafshit në formë
segmente.
Në qoftë se në ekuacionin (3) marrim x = y = 0, atëherë z = c. Kjo do të thotë
se rrafshi me ekuacionin (3), boshtin OZ e depërton në pikën R ( 0,0, c ) .
Ngjashëm, nëse y = z = 0, rrafshi me
ekuacionin (2), boshtin OZ e depërton                Z
në pikën x = a , ose ndryshe në pikën
 P ( a,0,0 ) . Po  të     zëvendësojmë               R
 x = z = 0 marrim y = b, ose rrafshi (3)
                                                      α
e depërton boshtin OY në pikën                                      Y
Q ( 0, y ,0 ) . Drejtëzat PQ, QR dhe RP,                                        Q
sipas të cilave rrafshi α i pret rrafshet
koordinative, quhen gjurmë të rrafshit                 P        Fig. 33
(shih fig.33).                                 X

Shembulli 1. Të shkruhet në formë segmente ekuacioni i rrafshit
      α : 3 x − 2 y + 4 z − 12 = 0.
Zgjidhja: Ekuacioni i dhënë i rrafshit, me transformime të thjeshta mund të
                                         x y z
shkruhet në formën 3 x − 2 y + 4 z = 12 ⇒ +   + = 1. ■
                                         4 −6 3
126                                 Kurs i përgjithshëm nga matematika

Shembulli 2. Ekuacioni i rrafshit 2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 në formë segmente është
                x    y     z
                  +     + = 1. ■
                2 −   4 4
                      3 5
Shembulli 3. Të shkruhet ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër ri pika
P ( x1 , y1 , z1 ) , P2 ( x2 , y2 , z2 ) dhe P3 ( x3 , y3 , z3 ) .
 1

Zgjidhja: Le të jetë P ( x, y , z ) një pikë e
çfarëdoshme e rrafshit të kërkuar, fig. 34.                                       P2
Vektorët P P, P P2 dhe P P3 janë komp-
            1   1           1
                                                                                           P3
lanarë, prandaj prodhimi i tyre i përzier
                     1     (
është zero. D.m.th. P P × P P2 ⋅ P P3 = 0,
                           1      1        )                            P1                P
e ky barazim, sikur kemi mësuar më parë,
mund të shkruhet në formën:                                                  Fig. 34
               x − x1     y − y1       z − z1
            x2 − x1      y2 − y1      z2 − z1 = 0.
            x3 − x1      y3 − y1      z3 − z1

P.sh. nëse pikat P1 , P2 dhe P3 janëdhënë me P (1, −2,3) ,
                                              1                                         P2 ( −1, 2, 4 ) ,
P3 (1, −3,1) , atëherë ekuacioni i rrafshit që përmban këto tri pika është:

        x −1 y + 2 z − 3
         −2         4          1 = 0 ⇒ −8 ( x − 1) + 2 ( z − 3) + ( x − 1) − 4 ( y + 2 ) = 0,
         0          −1         −2
ose
           −7 x − 4 y + 2 z − 7 = 0 ⇒ 7 x + 4 y − 2 z + 7 = 0. ■
Shembulli 4. Të shkruhet ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër dy pika të dhëna
P dhe P2 dhe është paralel me një vektorë të dhënë a.
 1

Zgjidhja: Le të jenë P ( x1 , y1 , z1 ) dhe P2 ( x2 , y2 , z2 ) dy pika të dhëna dhe
                      1

vektori i dhënë a = ( a1 , a2 , a3 ) . Është e qartë se vektorët P P, P P2 dhe a janë
                                                                  1    1

komplanarë, rrjedhimisht prodhimi i përzier i vektorëve P P, P P2 dhe a është
                                                         1    1
zero. Pra,
                                      x − x1                  y − y1   z − z1
           (               )
               P P × P P2 ⋅ a = 0 ose x2 − x1
                1     1                                      y2 − y1   z2 − z1 = 0. ■
                                        a1                     a2        a3
                        Gjeometria analitike në hapësirë                        127


1. 3 EKUACIONI I RRAFSHIT NË FORMË NORMALE
Le të jetë OXYZ një sistem koordinativ kënddrejtë dhe π një rrafsh që nuk kalon
nëpër origjinën O, shih fig. 35.

                          Z

                                                    P
                                      π
                                                             M ( x, y , z )
                                  n

                              γ
                                  β
                          α
                              0                                 Y

                                          Fig. 35

                X
Shënojmë P pikën e depërtimit të normales n të lëshuar në rrafshin π , nga
origjina O, dhe p = d ( 0, P ) . Shënojmë me α , β dhe γ këndet që formon
vektori OP me boshtet koordinative OX , OY dhe OZ . Po të shënojmë me n
ortin e vektorit OP, atëherë n = ( cos α ,cos β ,cos γ ) .

Le të jetë M ( x, y , z ) ∈ π cilado pikë e rrafshit π . Atëherë nga projn OM = p
kemi n ⋅ OM = p, e prej këtej marrim
         x cos α + y cos β + z cos γ = p,
dhe përfundimisht
        x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0.                              (1)
Ekuacioni i fundit paraqet formën normale të ekuacionit të rrafshit.
Le të jetë dhënë rrafshi π me ekuacionin në formën e përgjithshme:
         Ax + By + Cz + D = 0.                                            (2)
Ekuacionin e rrafshit, nga forma e përgjithshme mund ta shkruajmë në formën
normale. Nga relacionet (1) dhe (2) kemi:
         cos α cos β cos γ − p
              =     =     =    = λ (λ ≠ 0).
           A     B    C     D
128                           Kurs i përgjithshëm nga matematika

Nga barazimi i fundit marrim
        ( cos α = λ A) ∧ ( cos β = λ B ) ∧ ( cos γ = λC ) ∧ ( p = −λ D )
              (                   )
        ⇒ λ 2 A2 + B 2 + C 2 = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
                          1
        ⇒λ =                  .
               ± A + B2 + C 2
                      2

Numri λ , i dhënë me barazimin e fundit, quhet faktori normalizues i ekuacionit
(2). Nga barazimi p = −λ D, duke pasur parasysh p > 0, përfundojmë se
parashenja e faktorit normalizues λ është e kundërt me shenjën e D.
Përfundimisht, nga
        x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0
dhe
        ( cos α = λ A) ∧ ( cos β = λ B ) ∧ ( cos γ = λC ) ∧ ( p = −λ D )
            Ax + By + Cz + D
        ⇒                      = 0.
            ± A2 + B 2 + C 2
Nëse D = 0, atëherë λ mund të marrë shenjë të çfarëdoshme. Kështu ekuacioni
normal i rrafshit mund të fitohet nga ekuacioni i përgjithshëm duke e shumëzuar
me faktorin normalizues λ , ku
        Ax + By + Cz + D
                               =0.
        ± A2 + B 2 + C 2
ku
                          A                                 B
        cos α =                           ,cos β =                      ,
                  ± A2 + B 2 + C 2                   ± A2 + B 2 + C 2
                          C                                      D
        cos γ =                             dhe p =                         .
                  ± A + B +C
                      2       2       2
                                                        ± A + B2 + C 2
                                                             2


Shembulli 1. Të shkruhet në formën normale ekuacioni i rrafshit të dhënë në
formën e përgjithshme 2 x − y + 2 z − 12 = 0 .
Zgjidhja: Faktori normalizues është:
                    1                 1         1
        λ=                    =                = .
            ± A + B +C
                 2    2    2    ± 4 + 1 + 4 ±3
                                                1
Për shkak se D = −12 < 0 , marrim λ =             > 0 . Atëherë
                                                3
        2     1   2
          x − y + z − 4 = 0 , prej nga
        3     3   3
                2         1         2
        cos α = ,cos β = − ,cos γ = , p = 4. ■
                3         3         3
                           Gjeometria analitike në hapësirë                            129


1. 4 DISTANCA E PIKËS NGA RRAFSHI
Le të jetë dhënë rrafshi
         π : Ax + By + Cz + D = 0
dhe pika P0 ( x0 , y0 , z0 ) jashtë rrafshit. Ekuacioni i rrafshit π 0 , i cili kalon nëpër
pikën P0 ( x0 , y0 , z0 ) dhe është paralel me rrafshin π është:
         π 0 : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
ose
         Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0.
Rrafshet π dhe π 0 në formën normale janë
          Ax + By + Cz + D
                                = 0,
          ± A2 + B 2 + C 2

          Ax + By + Cz − ( Ax0 + By0 + Cz0 )
                                                   = 0,
                   ± A2 + B 2 + C 2
ku
                   D
         −                     = d1 ,
              A + B2 + C 2
               2


është distanca e rrafshit π nga origjina e sistemit koordinativ, kurse
          Ax0 + By0 + Cz0
                               = d2 ,
         ± A2 + B 2 + C 2
është distanca e rrafshit π 0 nga origjina e sistemit koordinativ.
Distanca ndërmjet rrafsheve π dhe π 0 paraqet distancën e pikës P0 ( x0 , y0 , z0 )
nga rrafshi π . Kështu,
                           Ax0 + By0 + Cz0 + D
         d = d 2 − d1 =                              .
                                 A2 + B 2 + C 2
Pra,
               Ax0 + By0 + Cz0 + D
         d=                              .                               (1)
                    A2 + B 2 + C 2
130                             Kurs i përgjithshëm nga matematika

Distanca d ka parashenjën +, nëse pika P0 ( x0 , y0 , z0 ) dhe origjina e sistemit
koordinativ ndodhen në anë të ndryshme të rrafshit π , kurse ka shenjën negative
nëse rrafshi π dhe pika P0 ( x0 , y0 , z0 ) janë në të njëjtën anë të rrafshit π .
Shembulli 1. Të gjendet distanca e pikës M (1,5, −2 ) nga rrafshi
           π : 2 x + 3 y − 6 z − 1 = 0.
Zgjidhja: Duke zëvendësuar në formulën (1) marrim
                              2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 5 − 6 ⋅ ( −2 ) − 1       28
           d = d ( M ,π ) =                                    =      .■
                                    2 + 3 + ( −6 )                 7
                                     2     2           2



Shembulli 2. Është dhënë tetraedri me kulme në pikat A ( 2, −1,3) ,
 B (1, −3,5 ) , C ( 6, 2,5 ) dhe D ( 3, −2, −5 ) . Të gjendet gjatësia e lartësisë së
tetraedrit ABCD të lëshuar nga kulmi D në faqen ABC.
Zgjidhja: Lartësia e kërkuar është e barabartë me distancën e pikës D nga
rrafshi ABC. Së pari shkruajmë ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikat ABC:
           x−2       y +1     z −3                    x−2      y +1 z − 3
           1 − 2 −3 + 1 5 − 3 = 0 ose                 −1           −2      2     = 0,
           6 − 2 2 +1 5 − 3                           4             3      2
prej nga
           2 x − 2 y − z − 3 = 0.
Distanca e pikës D ( 3, −2, −5 ) nga rrafshi 2 x − 2 y − z − 3 = 0 është

                2 ⋅ 3 − 2 ⋅ ( −2 ) − ( −5 ) − 3       12
           d=                                     =        = 4. ■
                    22 + ( −2 ) + ( −1)               3
                                2          2




1.5 POZITA RECIPROKE E DY RRAFSHEVE
Le të jenë dhënë rrafshet α1 dhe α 2 përkatësisht me ekuacionet:
           α1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0                                (1)
           α 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Sikur shihet, ekuacionet e mësipërme të rrafsheve formojnë një sistem
ekuacionesh lineare me tri të panjohura. Rrafshet α1 dhe α 2 priten sipas një
drejtëze nëse sistemi i ekuacioneve lineare ka zgjidhje. Sistemit (1) i përgjigjen
matricat:
                              Gjeometria analitike në hapësirë                                         131

            A           B1   C1             A1              B1        C1        D1 
          A= 1                   dhe A ' =                                         .
             A2         B2   C2             A2              B2        C2        D2 
Dallojmë këto raste:
                             A        B1           A1        C1              B1     C1    
1. r ( A ) = r ( A ') = 2 ⇒  1
                            A               ≠ 0∨                  ≠ 0∨                 ≠ 0 ⇒
                                                                                           
                             2        B2           A2        C2              B2     C2    

          ⇒
                 A1 B1 A1 C1 B1 C1
                   ≠  ∨  ≠  ∨  ≠
                 A2 B2 A2 C2 B2 C2
                                   ⇒ n1 ¦¦ n2 ⇒ α1 ∩ α 2 = l.  (              )
                                 A          B1           A1        C1               B1    C1    
2. r ( A ) = 1 ∧ r ( A ') = 2 ⇒  1
                                A                =0∧                    =0∧                  = 0 ∧
                                                                                                 
                                 2          B2           A2        C2               B2    C2    
            A       D1           B1        D1           C1        D1    
          ∧ 1
           A             ≠ 0∨                   ≠ 0∨                 ≠ 0 ⇒
                                                                         
            2      D2           B2         D2           C2        D2    
           A   B   C       D        
         ⇒  1 = 1 = 1 = λ  ∧  1 ≠ λ  ( λ ≠ 0) ⇒
            A2 B2 C2        D2      

             (       )
         ⇒ n1 n2 ∧ (α1 ≠ α 2 ) ⇒ α1 α 2 .

                             A        B1           A1        C1              B1     C1    
3. r ( A ) = r ( A ') = 1 ⇒  1
                            A               =0∧                   =0∧                  = 0 ∧
                                                                                           
                             2        B2           A2        C2              B2     C2    
                            A         D1           B1    D1                  C1     D1    
                          ∧ 1
                           A               =0∧                    =0∧                  = 0 ⇒
                                                                                           
                            2      D2              B2    D2              C2         D2    
                               A1 B1 C1 D1
                          ⇒      =  =  =   ⇒ α1 ≡ α 2 .
                               A2 B2 C2 D2



1. 6 KËNDI NDËRMJET DY RRAFSHEVE
Le të jenë dhënë dy rrafshe α1 dhe α 2 me ekuacionet e tyre në formën e
përgjithshme:
          α1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
          α 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Kënd ndërmjet rrafsheve α 1 dhe α 2 quhet këndi ndërmjet vektorëve normalë
të tyre n1 = ( A1 , B1 , C1 ) dhe n1 = ( A1 , B1 , C1 ) . Pra
132                           Kurs i përgjithshëm nga matematika


        cos    (α1 ,α 2 ) = cos    ( n , n ) = nn ⋅⋅ nn
                                     1   2
                                                 1    2
                                                              =
                                                 1       2

                    A1 A2 + B1 B2 + C1C2
        =                                                 .
              A12 + B12 + C12 ⋅ A2 2 + B2 2 + C2 2
Nga barazimi i mësipërm vërejmë se

        α1 ⊥ n2 ⇔       ( n , n ) = π ⇒ cos ( n , n ) = 0 ⇒
                          1    2
                                    2
                                                     1        2


        A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0.

Shembulli 1. Gjeni këndin ndërmjet rrafsheve
        α1 : x + 2 y + 3 z − 5 = 0
        α 2 : 3x − y + 2 z + 1 = 0
Zgjidhja: Kemi:
                                  3−2+6         1                                π
        cos    (α1 ,α 2 ) =                    = ⇒                (α1 ,α 2 ) =       .■
                              1+ 4 + 9 9 + 4 +1 2                                3
                           Gjeometria analitike në hapësirë                         133


2. DREJTËZA NË HAPËSIRË
2.1 EKUACIONI VEKTORIAL PARAMETRIK DHE
    KANONIK I DREJTËZËS NË HAPËSIRË
Drejtëza në hapësirë është plotësisht e përcaktuar nëse dihet një pikë nëpër të
cilën ajo kalon dhe një vektor paralel, i cili quhet vektor drejtues i drejtëzës,
kurse koordinatat e vektorit quhen koeficientë të drejtimit të drejtëzës. Në
hapësirën R 3 konsiderojmë drejtëzën l që kalon nëpër pikën M ( x0 , y0 , z0 ) dhe
është paralel me një vektor a = ( m, n, p ) , a ≠ 0. Le të jetë M (x, y , z ) një pikë e
çfarëdoshme e drejtëzës, shih fig. 36. Nga figura 36 shihet se vektorët M 0 M
dhe a janë kolinearë, që do të thotë se ekziston skalari λ i tillë që
M 0 M = λ a. D.m.th. r − r0 = λ a                               (1)

                                               Z

                        M 0 ( x0 , y0 , z0 )
                                                       M ( x, y , z )

                                    r0         r
                                                             a = ( m, n, p )

                                         0
                                                                        Y
                                                   Fig. 36
                                 X
Ekuacioni i fundit mund të shkruhet në formën
         r = r0 + λ a         (2)
dhe quhet forma vektoriale e ekuacionit të drejtëzës. Nëse vektorët nga
relacioni (2) i shprehim nëpërmes koordinatave, atëherë relacioni (2) merr
formën

                                                       (
         xi + y j + zk = x0 i + y0 j + z0 k + λ mi + n j + pk =             )
          = ( x0 + λ m ) i + ( y0 + λ n ) j + ( z0 + λ p ) k
prej nga marrim:
134                           Kurs i përgjithshëm nga matematika

           x = x 0 + λm
          
           y = y 0 + λn                                        (3)
           z = z + λp
                 0

Relacionet (3) shprehin ekuacionin e drejtëzës në formën parametrike. Kur
parametri λ merr vlera të ndryshme, atëherë koordinatat x, y, z marrin vlera të
ndryshme. Rrjedhimisht pika P ( x, y , z ) lëviz nëpër drejtëz. Duke gjetur
parametrin λ nga barazimet (3) marrim
          x − x0 y − y0 z − z0
                =      =       = t.                                     (4)
            m      n       p
Relacionet (4) paraqesin ekuacionin kanonik të drejtëzës.
Vërejtje: Në qoftë se drejtëza l është e përcaktuar me dy pika M 1 ( x1 , y1 , z1 )
dhe M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , atëherë si vektor drejtues i drejtëzës l mund të merret
vektori        a = M 1M 2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) . Prandaj ekuacioni (4) merr
formën:
               x − x1   y − y1   z − z1
          l:          =        =        .                               (5)
               x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
Shembulli 1. a) Të shkruhet ekuacioni i drejtëzës l që kalon nëpër pikën
M 1 ( 3, −1,4 ) dhe është paralele me vektorin a = ( 5, −2,4 ) ;
b) Të shkruhet ekuacioni i drejtëzës l që kalon nëpër pikën P ( 3, −2, 4 ) dhe
është paralele me vektorin a = ( 7,8, −5 ) ;
Zgjidhja: Sipas relacionit (4) kemi
                   x − 3 y +1 z − 4
          a) l :        =    =      ,
                     5    −2    4
                   x−3 y + 2 z −4
          b) l :      =     =     .■
                    7    8    −5
Shembulli 2. Të shkruhet ekuacioni kanonik i drejtëzës që kalon nëpër pikat
M 1 ( 3, −1, 2 ) dhe M 2 ( 2,0, −1) .
Zgjidhja: Sipas relacionit kemi (5)
               x − 3 y +1 z − 2
          l:        =    =      .■
                −1     1   −3
                             Gjeometria analitike në hapësirë                        135


2. 2 EKUACIONI I PËRGJITHSHËM I DREJTËZËS NË
     HAPËSIRË
Le të jenë dhënë rrafshet α 1 dhe α 2 përkatësisht me ekuacionet:
        α1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
        α 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0                                 (6)
Duke supozuar se sistemi i ekuacioneve lineare (6) është i zgjidhshëm,
bashkësia e zgjidhjeve të tij paraqet bashkësinë e pikave të drejtëzës prerëse të
rrafsheve α1 dhe α 2 .
Sistemi (6) shpreh ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës në hapësirë.
Vektorët normalë të rrafsheve π 1 dhe π 2 janë përkatësisht n1 = ( A1 , B1 , C1 ) dhe
n2 = ( A2 , B2 , C2 ) . Në qoftë se me a shënojmë vektorin drejtues të drejtëzës,
atëherë a ⊥ n1 dhe a ⊥ n2 (shih fig.37). Rrjedhimisht, vektori i drejtimit të
drejtëzës prerëse të rrafsheve e α1 dhe α 2 është:

               i     j       k                         π1                       π2
a = n1 × n2 = A1    B1       C1 .        ( 7)     n1                                 n2
              A2    B2       C2                                  a




                                                                Fig. 37

Një pikë, nëpër të cilën kalon drejtëza e kërkuar, mund të gjendet duke
zëvendësuar p.sh. x = 0 në sistemin (6), dhe duke e zgjidhur sistemin e fituar
përkatës të ekuacioneve lineare.
Shembulli 1. Është dhënë ekuacioni i drejtëzës l në formën e përgjithshme:

             2 x − y + 3z − 1 = 0
         l :                                   (*)
            5 x + 4 y − z − 7 = 0
Të shkruhet ekuacioni i drejtëzës l në formën kanonike.
Zgjidhja: Vektorin a e gjejmë sipas (7):

                         i       j   k
         a = n1 × n2 = 2 −1 3 = −11 i + 17 j + 13 k .
                       5 4 −1
136                         Kurs i përgjithshëm nga matematika

Rrjedhimisht, koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës së kërkuar janë
m = −11, n = 17 dhe p = 13. Më tutje, le të marrim p.sh. x = 0 dhe këtë vlerë e
zëvendësojmë në (*). Kështu marrim sistemin e ekuacioneve
        − y + 3z − 1 = 0
        
         4y − z − 7 = 0
zgjidhja e të cilit është y = 2 dhe z = 1. Prandaj ekuacioni i drejtëzës së dhënë
me (*) në formën kanonike është
        x − 0 y − 2 z −1
             =     =     .■
        −11    17    13
Gjetja e ekuacionit të drejtëzës në formën kanonike, kur ai është dhënë në
formën e përgjithshme, mund të bëhet edhe në një mënyrë tjetër. Le ta
ilustrojmë këtë me një shembull.
Shembulli 2. Të shkruhet ekuacioni kanonik i drejtëzës l që është dhënë si
prerje rrafshesh:
        2 x − 2 y − z + 4 = 0
                                                       (**)
         2x − y + 6z + 1 = 0
Zgjidhja: Mënyra I. Një pikë nëpër të cilën kalon drejtëza e marrim duke i
dhënë njërës nga të panjohurat një vlerë të caktuar, me ç’rast sistemi (**)
kthehet në sistem të dy ekuacioneve lineare me dy të panjohura. P sh. për z = 0
marrim sistemin:
        2 x − 2 y + 4 = 0  x = 1
                         ⇒
         2x − y + 1 = 0   y = 3
që d.m.th. drejtëza e kërkuar kalon nëpër pikën M1 (1,3,0 ) . Vektori drejtues i
drejtëzës l është prodhimi vektorial i vektorëve normalë të rrafsheve. D.m.th.
a = n1 × n2 , ku n1 = ( 2, −2, −1) dhe n2 = ( 2, −1,6 ) .D.m.th.

                      i  j k
        a = n1 × n2 = 2 −2 −1 = −13i − 14 j + 2k .
                      2 −1 6

Përfundimisht,
           x −1 y − 3 z
        l:     =     = .
           −13 −14 2
                        Gjeometria analitike në hapësirë                   137

Mënyra II. Detyra mund të zgjidhet duke caktuar dy pika të drejtëzës, kur
njërës nga të panjohurat i japim vlera të caktuara, dhe nga sistemi i fituar i
zgjidhim dy të tjerat. Zakonisht, praktikohet të gjenden të ashtuquajturat
gjurmë të drejtëzës, d.m.th. pikat në të cilat drejtëza i depërton rrafshet
koordinative. P.sh. për x = 0 sistemi (**) merr formën:
                                             25
                                          y=
        −2 y − z + 4 = 0 2 y + z = 4      13
                         ⇒           ⇒
         − y + 6z + 1 = 0  y − 6z = 1  z = 2 .
                                         13
                                        
Pra, pika në të cilën drejtëza l e depërton rrafshin koordinativ OYZ është
     25 2 
M 2  0, ,  . Për z = 0, sistemi (**) merr formën
     13 13 
        2 x − 2 y + 4 = 0 2 x − 2 y = −4  x = 1
                          ⇒               ⇒
         2 x − 2 y + 1 = 0  2 x − 2 y = −1  y = 3.
Rrjedhimisht, pika në të cilën drejtëza l e depërton rrafshin OXY është
M1 (1,3,0 ) . Për vektorin drejtues të drejtëzës marrim vektorin

                  13 14 2  1
        M1M 2 =  − , − ,  = ( −13, −14, 2 ) .
                  13 13 13  13
Rrjedhimisht, ekuacioni i drejtëzës është
             x −1 y − 3 z
        l:       =     = .■
             −13 −14 2
Vërejtje: Të tri ekuacionet e rrafsheve projektuese fitohen nga ekuacioni
kanonik i drejtëzës
            x − x0 y − y0 z − z0
         d:       =      =       .
              m      n       p
Rrjedhimisht,
         x − x0 y − y0 x − x0 z − z0 y − y0 z − z0
               =      ,      =      ,      =
           m      n      m      p      n      p
janë ekuacionet e rrafsheve projektuese të drejtëzës d në rrafshet koordinative
 OXY , OXZ dhe OYZ .

Shembulli 3. Të gjenden ekuacionet e projeksioneve të drejtëzës
         x + 2 y + 3 z − 26 = 0
        
         3 x + y + 4 z − 14 = 0
në rrafshet koordinative.
138                                 Kurs i përgjithshëm nga matematika

Zgjidhja: Duke përjashtuar së pari variablin x, e pastaj me radhë y dhe z marrin
sistemin e ekuacioneve lineare
         5 y + 5 z − 64 = 0
         
          5x + 5z − 2 = 0
         5 x − 5 y + 62 = 0
         
të cilat paraqesin ekuacionet e rrafsheve projektuese në rrafshet koordinative.
Ndërsa ekuacionet:
          5 y + 5 z − 64 = 0, x = 0 (rrafshi OYZ )
         
         5 x + 5 z − 2 = 0, y = 0 (rrafshi OXZ )
         5 x − 5 y + 62 = 0, z = 0 (rrafshi O )
                                              XY

paraqesin projeksionet e drejtëzës së dhënë në rrafshet koordinative përkatëse. ■


2.3 NDARJA E SEGMENTIT NË RAPORT TË DHËNË
Le të jenë dhënë pikat P ( x1 , y1 , z1 ) , P2 ( x2 , y2 , z2 ) dhe numri real λ . Pika
                        1

P ( x p , y p , z p ) e ndan segmentin [ P , P2 ] në raportin λ nëse P P = λ ⋅ PP2 .
                                          1                           1

Nga barazimi P P = λ ⋅ PP2 marrim
              1


         (x   p   − x1 , y p − y1 , z p − z1 ) = λ ( x2 − x p , y2 − y p , z2 − z p ) .
Duke barazuar koordinatat përkatëse të tresheve të renditura në të dy anët e
barazimit, marrim
         x p − x1 = λ ( x2 − x p )                     (1 + λ ) x p = x1 + λ x2
         y p − y1 = λ ( y2 − y p )            apo      (1 + λ ) y p = y1 + λ y2
         z p − z1 = λ ( z 2 − z p )                    (1 + λ ) z p = z1 + λ z p .
Nga barazimet e fundit, për λ ≠ −1, marrim
                   x1 + λ x2        y + λ y2       z + λ z2
         xp =                , yp = 1        , zp = 1       .                             (*)
                     1+ λ            1+ λ            1+ λ
Nëse λ > 0, atëherë vektorët P P dhe PP2 kanë kahe të njëjtë, dhe pika P
                               1
ndodhet ndërmjet pikave P1 dhe P2.
Nëse λ = 1, atëherë pika P është mesi i segmentit P P2 , dhe në këtë rast
                                                   1
koordinatat e mesit të segmentit P P2 janë:
                                  1

                  x1 + x2     y + y2      z +z
         x=               ,y= 1      ,z = 1 2 .
                     2          2           2
                         Gjeometria analitike në hapësirë                           139

Nëse λ = 0, atëherë x p = x1 , y p = y1 , z p = z1 . Kjo do të thotë se pika P përputhet
me pikën P .
          1
Nëse −1 < λ < 0, atëherë pika P ndodhet ndërmjet pikave P dhe P2 . Në këtë
                               1

rast vektorët P P dhe PP2 kanë kahe të kundërt dhe plotësojnë jobarazimin
               1

 P P < PP2 .
  1

Nëse λ < −1, atëherë pika P2 ndodhet ndërmjet pikave P dhe P. Në këtë rast
                                                      1

vektorët P P dhe PP2 kanë kahe të kundërt dhe plotësojnë jobarazimin
          1

 P P > PP2 .
  1

Rastet kur pikat P, P dhe P2 dhe ndodhen në anë të ndryshme ndaj njëra
                         1
tjetrës janë të ilustruara në figurën 38.
                                     P2           P2                  P

                               P
                                                   P1            P2

                  P1
                                                  P         P1
                          a)                 b)             c)
                                   Fig. 38

Shembulli 1. Janë dhënë pikat A ( 3, −5,2 ) dhe B ( 5, −3,1) . Segmenti [ A, B ] me
pikat C dhe D është ndarë në tri pjesë të barabarta. Të gjenden koordinatat e
pikës C dhe të pikës D.
Zgjidhja: Sipas kushtit të detyrës kemi AC : CB = 1: 2 dhe AD : BD = 2 :1.
         AC 1              AD
D.m.th.       = = λ dhe       = 2 = λ (shih fig.39).
         CB 2              DB

                         A          C              D         B
                                      Fig. 39

Duke zëvendësuar koordinatat e pikave x1 = 3, y1 = −5, z1 = 2 dhe x2 = 5
                           1
y2 = −3, z2 = 1 dhe λ = nga formulat (*) gjejmë koordinatat e pikës C:
                           2
                             1
                         3 + ⋅5
             x1 + λ x2       2 = 11 ,
        xc =           =
               1+ λ       1+
                              1   3
                              2
140                          Kurs i përgjithshëm nga matematika

                                 1
                             −5 +  ⋅ (−3)
                y + λ y2         2           13
           yc = 1        =                =−
                 1+ λ           1+
                                   1          3
                                   2
dhe
                              1
                           2 + ⋅1
               z1 + λ z2      2 = 5.
          zc =           =
                 1+ λ       1+
                               1  3
                               2
                                 11 13 5 
Prandaj pika C ka koordinatat C  , − ,  . Koordinatat e pikës D, për
                                3    3 3
λ = 2, janë:
                  3 + 2 ⋅ 5 13      −5 + 2 ⋅ (−3)    11           2 + 2 ⋅1 4
          xD =             = , yD =               =−    dhe z D =         = .
                   1+ 2      3         1+ 2           3            1+ 2    3

           13 11 4 
D.m.th. D  , − ,  . ■
           3   3 3


2. 4 POZITA RECIPROKE E DY DREJTËZAVE NË HAPËSIRË
Dy drejtëza në hapësirë mund t’i takojnë një rrafshi ose jo. Nëse i takojnë një
rrafshi ato mund të priten, të jenë paralele ose të përputhen.
Drejtëzat në hapësirë të cilat nuk i takojnë një rrafshi quhen aplanare, të
tërthorta apo të kithta.
Përkufizimi 2.4.1. Kënd ndërmjet dy drejtëzave quhet këndi ndërmjet
vektorëve drejtues të tyre.
Le të jenë dhënë drejtëzat l1 dhe l2 me ekuacionet e tyre kanonike:
                 x − x1 y − y1 z − z1
          l1 :         =      =
                   m1     n1     p1
                 x − x2 y − y2 z − z2
          l2 :         =      =
                   m2     n2     p2
Drejtëzat l1 dhe l2 kalojnë përkatësisht nëpër pikat P ( x1 , y1 , z1 ) dhe
                                                      1

P2 ( x2 , y2 , z2 ) , dhe kanë vektorët drejtues, përkatësisht a1 = (m1 , n1 , p1 ), dhe
a2 = ( m2 , n2 , p2 ).
Këndi ndërmjet drejtëzave l1 dhe l2 përcaktohet nga përkufizimi i prodhimit
skalar
                             Gjeometria analitike në hapësirë                                      141

                                 m1m2 + n1n2 + p1 p2
         cos ϕ =                                                           ,           (1)
                       m12 + n12 + p12 ⋅ m2 2 + n2 2 + p2 2

ku ϕ =     ( l1 , l2 ) =   (a , a ),
                             1        2        kurse a1 dhe a2 janë vektorët drejtues të
drejtëzave l1 dhe l2 .
Në qoftë se drejtëzat l1 dhe l2 plotësojnë kushtin l1 ⊥ l2 , atëherë nga barazimi
(1) marrim:
         cos ϕ = 0 ⇒ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0.
Barazimi i fundit paraqet kushtin e ortogonalitetit ndërmjet drejtëzave.
Shqyrtojmë prodhimin e përzier ( M 1M 2 × a1 ) ⋅ a2 , (shih fig. 40):
                                                            M1
                                                                    l1
                                          a1



                                 l2
                                                                                M2
                                                   a2
                                                      Fig.40

Kemi:
                                                x2 − x1   y2 − y1        z2 − z1
         P = ( M 1 M 2 × a1 ) ⋅ a2 =             m1            n1          p1      .   (1)
                                                 m2            n2          p2
Është e qartë se, që drejtëzat                     l1 dhe      l2 të priten, është e nevojshme që
prodhimi i përzier (1) të jetë zero. Në qoftë se drejtëzat l1 l2 , d.m.th. a1 a2 ,
atëherë vektorët a1 = (m1 , n1 , p1 ) dhe a2 = (m2 , n2 , p2 ) janë                          kolinearë.
Rrjedhimisht koordinatat e tyre janë proporcionale. Pra,
         m1 n1 p1
           =  =   .
         m2 n2 p2
Në qoftë se drejtëzat l1 dhe l2 plotësojnë relacionet
         m1 n1 p1                              x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
           =  =                  dhe                  =       =
         m2 n2 p2                                m1      n1       p1
atëherë l1 dhe l2 përputhen.
142                              Kurs i përgjithshëm nga matematika

Shembulli 1. Janë dhënë drejtëzat l1 dhe l2 me ekuacionet:
           x−3        y−4 z−2     x −1 y −1 z − 2
                  =      =    dhe     =    =      .
             λ         2   0        2   λ     1
a) Caktoni parametrin λ në mënyrë që drejtëzat l1 dhe l2 të priten.
b) Për parametrin e gjetur λ gjeni pikën prerëse.
c) Shkruani ekuacionin kanonik të drejtëzës l që është normal në rrafshin e
përcaktuar me drejtëzat l1 dhe l2 dhe kalon nëpër pikën prerëse të tyre.
Zgjidhja: a) Një pikë nëpër të cilën kalon drejtëza l1 është M1 ( 3, 4,2 ) dhe
l1 a1 = ( λ , 2,0 ) , kurse pika M 2 (1,1,2 ) i takon drejtëzës l2 dhe l2 a2 = ( 2, λ ,1) .

Më tutje
                                                            2   3 0
                             (               )                 4
           l1 ∩ l2 ≠ ∅ ⇔ M1 M 2 × a1 ⋅ a2 = 0 ⇔ λ 2 0 = 0 ⇔ λ = .
                                                               3
                                                2 λ 1
b) Nga ekuacioni i drejtëzës l2 gjejmë:
                                   4   5
           x = 2 z − 3 dhe y =       z− .
                                   3   3
Barazimet e fundit i zëvendësojmë në ekuacionin e drejtëzës l1 dhe marrim

                    
            x−3 y −4                        4   5
               =     ∧ ( x = 2 z − 3) ∧  y = z −  ⇒ x = y = 1 ∧ z = 2,
             4    2                         3   3
                    
            3       
që d.m.th. l1 ∩ l2 = P (1,1, 2 ) .

                                                           4 20 
c) Vektori drejtues i drejtëzës l është a = a1 × a2 =  2, − , −  , prandaj
                                                           3   9 
ekuacioni i drejtëzës së kërkuar është:
          x −1 y −1 z − 2
           l: =       =      .■
            2      4      20
                 −      −
                   3       9
Shembulli 2. Njehsoni distancën më të vogël ndërmjet drejtëzave
           x+7 y+4 z+3                                  x − 21 y + 5 z − 2
           l1 : =      =                  dhe    l2 :         =     =      .
             3       4   −2                               6     −4    −1
Zgjidhja: Vërejmë se
                                Gjeometria analitike në hapësirë                                 143

        M 1 ( −7, −4, −3) ∈ l1 , l1 a1 = ( 3, 4, −2 )

dhe
        M 2 ( 21, −5, 2 ) ∈ l2 dhe l2           a2 = ( 6, −4, −1) .

Më tutje, meqë
                                       28 −1     5
        (M M1   2       )
                    × a1 ⋅ a2 = 3            4 −2 = −507 ≠ 0.
                                6            −4 −1
konstatojmë se drejtëzat l1 dhe l2 janë aplanare.
Distanca ndërmjet drejtëzave l1 dhe l2 mund të njehsohet duke ndërtuar rrafshin
α që përmban drejtëzën l1 dhe është paralele me drejtëzën l2 . Pastaj llogarisim
distancën ndërmjet rrafshit α dhe drejtëzës l2 .
Vektori normal i rrafshit α mund të gjendet si prodhim vektorial i vektorëve
a1 = ( 3, 4, −2 ) dhe a2 = ( 6, −4, −1) . Pra,

                            i      j     k
        n = a1 × a2 = 3 4 −2 = −12i − 9 j − 36k = −4 4i + 3 j + 12k .   (                    )
                      6 −4 −1

Tash ekuacioni i rrafshit α me vektor normal dhe që përmban drejtëzën l1
është:
        4 ( x + 7 ) + 3 ( y + 4 ) + 12( z + 3) = 0
ose
        4 x + 3 y + 12 z + 76 = 0
dhe distanca e kërkuar është
                                                       4 ⋅ 21 + 3 ⋅ (−5) + 12 ⋅ 2 + 76
        d ( l1 , l2 ) = d (α , l2 ) = d (α , M 2 ) =                                     =
                                                               42 + 32 + 122
            169 169
        =       =   = 13.
             169 13
Përfudimisht,
        d ( l1 , l2 ) = d (α , l2 ) = 13. ■
Shembulli 3. Të caktohet parametri α në mënyrë që drejtëzat
144                              Kurs i përgjithshëm nga matematika

         x   y   z
           =   =                                                                     (1)
         2 −3 α
dhe
          x +1 y + 5 z
               =       =                                                             (2)
            3      2      1
të priten. Gjeni pastaj pikën prerëse të tyre.
Zgjidhja: Duke pasur parasysh që vektorët drejtues të drejtëzave l1 dhe l2 si
dhe vektori M1M 2 i përcaktuar me pikat M 1 ( 0,0,0 ) ∈ l1 dhe M 2 ( −1, −5,0 ) ∈ l2 ,
prodhimi i përzier i tyre është zero. D.m.th.
         x1 − x0      y1 − y0        z1 − z0       1            5    0
           m1            n1             p1 = 0 ose 3            2    1 =0
            m2           n2           p2                    2 −3 α
prej nga marrim −13α + 13 = 0 ⇒ α = 1 .
Për të gjetur ekuacionin e pikës prerëse nga ekuacioni (1) gjejmë x = 2 z dhe
y = −3 z. Dy barazimet e fundit i zëvendësojmë në ekuacionin (2) dhe marrim
2 z + 1 −3 z + 5
       =         , e prej këtu marrim z = 1. Duke zëvendësuar në x = 2 z dhe
   3        2
y = −3 z marrim x = 2 ⋅1 = 2 dhe y = 3 ⋅ 1 = 3. Përfundimisht, pika prerëse e
drejtëzave është M ( 2, −3,1) . ■
Shembulli 4. Të gjendet këndi ndërmjet drejtëzave
            x−2 y−4 z                   x − 3 y −1 z − 2
         l1 :    =       = dhe l2 :          =       =      .
              1      −1    2             −3      1      1
Zgjidhja: Në bazë të formulës së përkufizimit të prodhimit skalar kemi:
                                                             1(−3) + (−1)1 + 2 ⋅ 1
         cos     ( l1 , l2 ) = cos   (a ,a ) =
                                          1   2
                                                       1 + ( −1) 2 + 22 ⋅ (−3) 2 + 12 + 12
                                                        2
                                                                                             =

                                     −2                2
                          =                       =−      .■
                               11 ⋅ 6AB                33
                          Gjeometria analitike në hapësirë                   145


2.5 POZITA RECIPROKE E DREJTËZËS DHE RRAFSHIT
Le të jetë dhënë drejtëza
              x − x1 y − y1 z − z1
         l:         =      =
                m      n      p
dhe rrafshi
         α : Ax + By + Cz + D = 0.
Ekuacionin e drejtëzës l e shkruajmë në formën parametrike:
        l : ( x = x1 + mt ) ∧ ( y = y1 + nt ) ∧ ( z = z1 + pt )
dhe e zëvendësojmë në ekuacionin e rrafshit π dhe marrim
        ( Am + Bn + Cp ) t + Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.             (*)
Për zgjidhjen e ekuacionit (*) dallojmë rastet:
1. Në qoftë se Am + Bn + Cp ≠ 0, ekuacioni (*) ka zgjidhje
                Ax1 + By1 + Cz1 + D
        t=−                         .
                  Am + Bn + Cp
Në këtë rast drejtëza l ka vetëm një pikë të përbashkët me rrafshin α , d.m.th.
drejtëza e depërton rrafshin α në pikën, koordinatat e të cilës përcaktohen duke
zëvendësuar vlerën e gjetur të parametrit t në ekuacionet parametrike të
drejtëzës:
2. Am + Bn + Cp = 0 dhe Ax1 + By1 + Cz1 + D ≠ 0. Në këtë rast ekuacioni (*)
nuk ka zgjidhje, rrjedhimisht drejtëza l nuk e depërton rrafshin α , pra l α .

3. Am + Bn + Cp = 0 dhe Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0. Në këtë rast, ekuacioni (*)
ka më shumë se një zgjidhje. Rrjedhimisht drejtëza l shtrihet në rrafshin α .
Shembulli 1. Gjeni projeksionin e pikës M ( −1,0, −1) në rrafshin
        α : 2x + y − z + 7 = 0 .
Zgjidhja: Projeksioni i pikës M në rrafshin α është pika depërtuese e normales
n të lëshuar nga pika M në rrafshin α . Është e qartë se vektori drejtues i
normales n është vektori normal n i rrafshit (shih fig.41). Prandaj, ekuacioni
kanonik i normales n është:
           x +1 y z +1
        l:     = =        =t
             2   1    −1
ose në formën parametrike
146                           Kurs i përgjithshëm nga matematika

         l : x = 2t − 1, y = t , z = −t − 1.
Duke zëvendësuar barazimet e fundit në                          l
ekuacionin e rrafshit α , marrim t = −1.                                  n
                                                             M
Vlerë t = −1         e zëvendësojmë në
ekuacionin
parametrik të normales n, dhe marrim
depërtimin e saj në rrafshin α , që në të                    M'
vërtetë është projeksioni i pikës M në                α
rrafshin α . D.m.th.
x0 = 2(−1) − 1 = −3, y = −1, z = −( −1) − 1 = 0.
                                                                Fig. 41

Prandaj, projeksioni M ' i pikës M , në rrafshin α është M ' ( −3, −1, 0 ) . ■
Shembulli 2. Shkruani ekuacionin kanonik të projeksionit normal të drejtëzës
   x −1 y − 3 z
l:      =      =     në rrafshin π : 2 x − 2 y − z + 4 = 0.
     3     −6    −2
Zgjidhja: Projeksioni normal i drejtëzës l , në rrafshin π , është prerja e rrafshit
π ' që është normal në rrafshin π dhe e përmban drejtëzën l. Rrafshi π '
përmban drejtëzën l dhe vektorin normal të rrafshit π . Rrjedhimisht, prodhimi i
përzier i vektorëve MM 1 , a dhe n është zero, ku M ( x, y , z ) është cilado pikë
e rrafshit π ', M1 (1, 3, 0 ) është një pikë nëpër të cilën kalon drejtëza l ,
a = ( 3, −6, −2 ) është vektori drejtues i drejtëzës l , n = ( 2, −2, −1) është vektori
normal i rrafshit π . Rrjedhimisht
                                        x −1 y − 3   z
              (           )
         π ': MM 1 × a ⋅ n = 0 ⇔          3    −6    −2 = 0 ⇔
                                          2    −2    −1

                                  ⇔ 2x − y + 6z + 1 = 0 .
Tani ekuacioni i projeksionit normal të drejtëzës l na paraqitet si prerje e
rrafsheve π dhe π ' . Pra,
            2 x − 2 y − z + 4 = 0
       l ': 
            2 x − y + 6 z + 1 = 0.
Ekuacionin e mësipërm mund ta shkruajmë në formën kanonike,
              x −1 y − 3 z
         l:       =     = .■
              −13 −14 2
                            Gjeometria analitike në hapësirë                        147

2. 6 KËNDI NDËRMJET DREJTËZËS DHE RRAFSHIT
Kënd ndërmjet drejtëzës l dhe rrafshit π quajmë këndin ndërmjet drejtëzës l
dhe projeksionit normal l ' të drejtëzës l në rrafshin ϕ .
Le të jetë dhënë drejtëza l
                                          π             n          a            a
dhe rrafshi ϕ me ekuacionet e                 −α                                    l
tyre:                                     2
      x − x0 y − y0 z − z0                                  π
l:          =      =                                            −α
        m      n      p                                     2        α
dhe                                                     D                  l'
ϕ : Ax + By + Cz + D = 0
Shënojmë me α këndin                                ϕ
ndërmjet drejtëzës l dhe rrafsh                          Fig. 42
ϕ . Nga figura 42 shohim se

           α=      (ϕ , l ) =   (l, l )
                                    '


dhe
            ( n, l ) = ( n, a ) ,
ku a është vektori drejtues i drejtëzës l. Kemi
              π     n⋅a
          cos  − α  =
              2     n⋅a
apo
               π                        Am + Bn + Cp
           cos  − α  =                                               .
               2               A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2

                                    π    
Meqë sin α ≥ 0, për 0 ≤ α ≤ π ⇒ cos  − α  = sin α = sin α ,
                                    2    
atëherë
                        Am + Bn + Cp
        sin α =                              .           (1)
                 A + B + C 2 ⋅ m2 + n2 + p 2
                  2     2



Formula (1) mundëson llogaritjen e këndit ndërmjet drejtëzës l dhe rrafshit α .
                                                            x−5 y +3 z−4
Shembulli 1. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzës                   =    =               dhe
                                                             1    1   −2
rrafshit 4 x − 2 y − 2 z + 7 = 0.
Zgjidhja: Në bazë të formulës (1) kemi
148                             Kurs i përgjithshëm nga matematika

                         4 ⋅1 + (−2) ⋅1 + (−2) ⋅ ( −2)      6   1     π
           sin α =                                     =       = ⇒ α = .■
                            1 + 1 + 4 ⋅ 16 + 4 + 4       6 ⋅ 24 2     6

                                                        x −1 y − 3 z
Shembulli 2. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzës                =     =   dhe rrafshit
                                                          3   −6    2
2 x − 2 y − z − 7 = 0.
Zgjidhja: Në bazë të formulës (1) kemi
                     3 ⋅ 2 + (−2) ⋅ (−6) + 2 ⋅ (−1)    16     16             16
           sin α =                                  =       =    ⇒ α = arcsin . ■
                         4 + 4 + 1 ⋅ 9 + 36 + 4       9 ⋅ 49 21              21

DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR                  ________________
Ekuacioni i rrafshit në hapësirë:
1. Shkruani ekuacionin e rrafshit që përmban pikën M1 (1,1,1) dhe është normal
në boshtin Oz.
2. Sa është madhësia D në ekuacionin e rrafshit Ax + By + Cz + D = 0 që kalon
nëpër origjinën e sistemit të koordinatave?
3. Caktoni koeficientet e rrafshit Ax + By + Cz + D = 0 që është paralel me
rrafshin OYZ .
4. Si janë ekuacionet e rrafsheve koordinative?
5. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikat A(1,0,0), B(0,1,0) dhe
C (0,0,1) .
6. Shkruani ekuacionin e rrafshit që përmban boshtin Oz dhe pikën M ( 2,1,1) .
7. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikën M 1 (0, −1,3) është
normal në vektorin M 1M 2 , ku M 2 (1,3,5 ) .

8. Të shkruhet ekuacioni i rrafshit α që është normal në vektorin n = ( 2, −1, 4 )
dhe e përmban pikën P0 ( 5, 2, −3) . A i përkasin atij rrafshi pikat P (1, 2, −1) ,
                                                                      1

P2 ( 4,5,1) dhe P3 ( −6, 2, −3) ?
9. Të shkruhet ekuacioni i rrafshit α nëse:
    a) rrafshi është normal në boshtin OZ dhe kalon nëpër pikën M (1, −2,3) ;
      b) rrafshi e përmban boshtin OY dhe pikën N ( 4, 2, −5 ) ;
      c) rrafshi është paralel me boshtin OX dhe kalon nëpër pikat R (1,1, 2 ) dhe
       S ( 5,3 − 2 ) .
                                      Gjeometria analitike në hapësirë                       149

10. Shkruani ekuacionin e bashkësisë së pikave M ( x, y , z ) që janë njëlloj të
larguara nga pikat A ( 2, −1,2 ) dhe B ( 0,1,0 ) .
11. Shkruani ekuacionin e rrafshit që është paralel me boshtin Oz kurse boshtet
Ox dhe Oy i pret në segmente me gjatësi përkatësisht 2 dhe 3.
12. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikën M 1 ( 2, −1,3) dhe:
a) boshtet koordinative i pret në segmente të barabarta;
b) përmban boshtin OX ;
c) kalon nëpër origjinën e sistemit koordinativ dhe nëpër pikën (1,1,1).
13. Gjeni segmentet në boshtet koordinative sipas të cilave rrafshet që vijojnë i
presin boshtet nëse:
a) x − 2 y + 3 z − 6 = 0; b) 5 x + y − 3 z − 15 = 0; c) x + 2 y − 3 z = 0;
d) 2 y − 3 x − 6 = 0;     e ) x − 3 = 0.
14. Në çfarë pozite reciproke janë rrafshet x − 2 y + 3z = 2 dhe 2 x − 4 y + 6 z = 2.
15. A kanë pika të përbashkëta rrafshet: x + 2 y + 3 z = 4 , 2 x + y − z = 3 dhe
3x + 3 y + 2 z = 7 ?
16. A kanë pika të përbashkëta rrafshet 2 x − 4 y + 3z = 1 , x − 2 y + 4 z = 3 dhe
3x − y + 5 z = 2 ?
17. Shkruani në formën e përgjithshme ekuacionin e rrafshit të dhënë në formën
   (
r⋅ i − j + k = 2. )
18. Shkruani në formën vektoriale ekuacionin e rrafshit 2 x − y + z + 3 = 0.
19. Çfarë është pozita reciproke e rrafsheve të dhëna me ekuacionet:
           (              )                 (
       r ⋅ i − j + k = 3 dhe r ⋅ i − j + k = −4 ?       )
20. Shkruani ekuacionin e rrafshit në formën r ⋅ n = α që është paralel me
                 (            )
rrafshin r ⋅ 2i − j = 5 dhe kalon nëpër pikën M 1 ( 0,1, 2 ) .
21. Gjeni këndin ndërmjet rrafsheve: a) x + 2 z − 6 = 0 dhe x + 2 y − 4 = 0 ;
       (                  )
b) r ⋅ i − 2 j + 2k = 8 dhe r ⋅ i + k = 6 . (       )
22. Gjeni largësinë e pikës M 0 ( 2,0,1) nga rrafshi: a) x − 2 y + 3 z + 1 = 0;
                      (
               b) r ⋅ −i + j − k = 2.   )
23. Gjeni distancën ndërmjet rrafsheve x − 2 y + z − 1 = 0 dhe 2 x − 4 y + 2 z + 1 = 0 .
24. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër                        pikën M 1 ( 2,5, −3) dhe
                                  (             )
prerjen e rrafsheve r ⋅ 3i − j − k = 5 dhe r ⋅ i + 2k = 0.   (      )
150                        Kurs i përgjithshëm nga matematika

25. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikën M 1 ( 2, −1,1) dhe është
normal në rrafshet 3 x + 2 y − z + 4 = 0 dhe x + y + z − 3 = 0.
26. Shkruani ekuacionin e rrafshit paralel me rrafshin 2 x + 2 y + z − 8 = 0 që
është në distancë d = 4 prej tij.
27. Caktoni parametrin λ ashtu që rrafshet x − y + z = 0, 3 x − y − z + 2 = 0
 4 x − y − 2 z + λ = 0 të priten sipas një drejtëze.

Ekuacioni i drejtëzës në hapësirë:
28. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikën M 1 ( 2, 4, λ ) kurse
rrafshin α : x + 2 y + 13 z + 3 = 0 e depërton nëpër pikën M 2 ( −3, 0, 0 ) . Pastaj
caktoni parametrin λ në mënyrë që drejtëza e ndërtuar të shtrihet në rrafshin
α.
29. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikën M 1 (1, −1,1) dhe është
paralele me vektorin p = (1, 2,3) .
30. Shkruani ekuacionet e drejtëzave që përmbajnë tehet e tetraedrit, kulmet e të
cilit janë A ( 0, 0, 2 ) , B ( 4, 0, 5 ) , C ( 5, 3, 0 ) , D ( −1, 4, 2 ) .
31. Gjeni kosinuset e këndeve që drejtëza formon me boshtet koordinative nëse:
                  x −1 y −1 z
           a) l :     =      = ;      b) x = y − 2 = z + 1.
                    2    1     2
32. Shkruani ekuacionin e drejtëzës në formën parametrike që kalon nëpër
pikën M1 (1,0, 2 ) dhe është paralele me vektorin p = ( −1,3, 2 ) .

                                              x− y+ z−4=0
33. Gjeni kosinuset e drejtimit të drejtëzës                       .
                                             2 x + y − 2 z + 5 = 0
34. Të gjenden kosinuset e drejtimit dhe gjatësia e normales së tërhequr nga
origjina e sistemit koordinativ në rrafshin 2 x − 3 y − 6 z − 14 = 0.
35. Shkruani në formën kanonike ekuacionin e drejtëzës
       2 x − 3 y − 3z − 9 = 0
                              .
        x − 2y + z + 3 = 0
36. Shkruani në formën kanonike ekuacionet e drejtëzave:
           2 x − y − 7 = 0          3 x − 2 y + 8 = 0
      l1 :                 dhe l2 :                   .
            2x − z + 5 = 0               z = 3x

                                       x y z −1    x y −1 z
37. Konstatoni nëse priten drejtëzat    = =     dhe =    = .
                                       1 2   1     2  1   2
                             Gjeometria analitike në hapësirë                           151

                                      x − 4 y − 2 z −1
38. Gjeni depërtimin e drejtëzës           =     =     në rrafshet koordinative.
                                        1     2    −2
39.       Ekuacioni      i   drejtëzës është dhënë në formën vektoriale
      (          )
r × 2i + j − 3k = 5i + 2 j + 4k . Shkruani këtë ekuacion në formën kanonike.

40. Të gjenden ekuacionet e projeksionit të drejtëzës
        2x − y + 2 z − 5 = 0
        
        2 x + y − 4 z − 7 = 0
në rrafshet koordinative OXZ dhe OYZ .
                                                                x − 2 y +1 z − 5
41. Të gjenden ekuacionet e projeksionit të drejtëzës                =    =      në
                                                                  6    −5    4
rrafshin x − 4 y − 2 z − 7 = 0.
42. Të gjendet distanca ndërmjet drejtëzave paralele të dhëna me ekuacionet në
formën parametrike: l1 : x = 5 − 4t , y = 2 + 7t , z = 1 + 4t dhe
l2 : x = 8t , y = 3 − 14t , z = 4 − 8t.
43. Të gjendet distanca më e shkurtër ndërmjet drejtëzave
        l1 : x = 3 + t , y = 1 − t , z = 2 + 2t dhe l2 : x = −t , y = 2 + 3t , z = 3t

Pozita reciproke e drejtëzës dhe rrafshit:
                                                         x −1 y z +1
44. Gjeni pikën depërtuese të drejtëzës                      = =     në rrafshin
                                                           1  2   1
x − 2 y + z + 5 = 0.
45. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikën M 1 ( −1, 2, −3) dhe është
                       x −1 y z + 2
normal në drejtëzën          = =         . Pastaj, gjeni pikën e depërtimit të
                         1     2      1
drejtëzës së dhënë nëpër rrafshin e gjetur.
                                                      x y −1 z +1
46. Gjeni pikën e depërtimit të drejtëzës               =   =              nëpër rrafshin
                                                      2   1   −1
x + y + 3 z − 5 = 0.
                                                          x   y −1 z − 2
47. Shqyrtoni pozitën reciproke të drejtëzës                =     =      dhe rrafshit
                                                         −2    −1    1
  x + y + 3 z − 5 = 0.
48. Gjeni kushtin që drejtëza e dhënë t’i takojë rrafshit të dhënë.
                                           x y + 1 z −1
49. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzës          =    =     dhe rrafshit
                                           1   3      3
                                                    −
                                                      2
152                          Kurs i përgjithshëm nga matematika

      2 x + y − z − 4 = 0.
                                          x −1 y + 2 z
50. Gjeni parametrin l të drejtëzës             =   =    ashtu që drejtëza l të
                                            l     2   −1
jetë paralel me rrafshin x − 2 y + 3 z − 1 = 0.
51. Caktoni parametrat α dhe β ashtu që rrafshi α x + β y + 2 z − 1 = 0 të jetë
                    x −1 y z +1
normal në drejtëzën     = =      .
                      1  2    −1
                                                 (           )
52. Gjeni pikën e depërtimit të drejtëzës r × 4i − 3 j + k = −6i − 8 j në rrafshin

      (           )
r × 3i + 5 j − k = 2.

                                                                   x −1 y z +1
53. Shkruani ekuacionin e rrafshit të përcaktuar me drejtëzën          = =
                                                                     2  1   3
dhe pikën jashtë saj M 1 ( 0, −1,0 ) .
54. Shkruani ekuacionin e rrafshit që është normal në rrafshin 2 x + 3 y − z = 4
                       x −1 y +1 z + 2
dhe përmban drejtëzën       =       =      .
                         1      2       2
55. Shkruani ekuacionin e drejtëzës normale në rrafshin x − 2 y − z − 2 = 0 dhe
që kalon nëpër pikën M 1 ( −2,1,1) .

56. Gjeni projeksionin e pikës M ( −1,0, −1) në rrafshin 2 x + y − z + 7 = 0.
57. Gjeni pikën simetrike të pikës M ( −1,0, −1) ndaj rrafshit 2 x + y − z + 7 = 0.
                                                            x −1 y z
58. Gjeni projeksionin e pikës M (1, 2,8 ) në drejtëzën         =   = .
                                                              2   −1 1
                                                                  x −1 y z
59. Gjeni pikën simetrike të pikës M (1, 2,8 ) ndaj drejtëzës         =   = .
                                                                    2   −1 1
60. Të gjendet pika Q simetrike me pikën P ( 4,3,10 ) në lidhje me drejtëzën
 x −1 y − 2 z − 3
       =        =       .
   2        4        5
61. Në boshtin Ox të gjendet pika e cila është njëlloj e larguar nga pika
A ( 9, −2, 2 ) dhe rrafshi 3 x − 6 y + 2 z − 3 = 0.
                                                          x −1 y z
62. Shkruani ekuacionin e projeksionit të drejtëzës           =   = në rrafshet
                                                            2   −1 1
koordinative.
                        Gjeometria analitike në hapësirë                       153

                                                    4 x − y + 3z − 6 = 0
63. Shkruani ekuacionin e projeksionit të drejtëzës                       në
                                                     x + 5 y − z + 10 = 0
rrafshin 2 x − y + 5 z − 5 = 0.
                                                          3 x − y + 2 z = 0
64. Të shkruhet ekuacioni i rrafshit që përmban drejtëzën 
                                                           x+ z −3= 0
dhe:
     a) përmban pikën N ( 4, −2, −3) ;
     b) është paralel me boshtin OX ;
     c) është paralel me boshtin OY ;
     d) është paralel me boshtin OZ .
65. Është dhënë ekuacioni i drejtëzës si prerje e dy rrafsheve
         3 x + y − 2 z − 6 = 0
      l:
          4 x − y + 3 z = 0.
      a) Të shkruhet ekuacioni i drejtëzës l në formë kanonike.
      b) Të shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon nëpër dy pika A (1,0, −1) ,
B ( −1, 2,1) dhe është paralel me drejtëzën nën rastin.
                                x −3 y −3 z +2        x−6 y−6 z+3
67. Janë dhënë drejtëzat l1 :       =    =     , l2 :    =   =    dhe
                                  2    3   −1          3   2   −2
pika M ( −1, 4,3) .
       a) Të shkruhet ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër pikën M dhe është
       paralel me drejtëzat l1 dhe l2 ;
       b) Të shkruhet ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën M dhe i pret
       drejtëzat l1 dhe l2 .
            x −1 y − 2 z
68. Drejtëza     =        = projektohet në rrafshin Oxy nga pika P ( 5,5, 2 ) .
              2       3     1
Shkruani ekuacionin e projeksionit.
69. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikën M1 ( 2,0, −1) dhe është
normal në rrafshet    2 x − y − 3 = 0 dhe x + y − z + 1 = 0.
70. Shkruani ekuacionin e rrafshit të përcaktuar me drejtëzat paralele
 x −1 y − 3 z − 4       x y z
     =     =       dhe   = = .
   7    4     2         7 4 2
154                        Kurs i përgjithshëm nga matematika

                                                                x − 3 y +1 z
71. Shkruani ekuacionin e rrafshit që përmban drejtëzën              =    = dhe
                                                                 −2     1  1
                            x +1 y − 2 z −1
është paralele me drejtëzën      =       =     .
                              1      3       2
72. Shkruani ekuacionin e normales së përbashkët së                       drejtëzave
 x − 3 y +1 z          x +1 y − 2 z −1
      =      =    dhe        =      =      .
  −2     1      2        1      3       2
73. Të shkruhet ekuacioni i normales së përbashkët të drejtëzave
         x − 7 y − 3 z − 9 x − 3 y −1 z −1
               =      =       ,      =       =    .
           1      2       −1    −7       2     3
74. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikën M 1 ( 3, −2, −4 ) , është
paralele me rrafshin 3 x − 2 y − 3 z − 7 = 0 dhe e pret drejtëzën
 x − 2 y + 4 z −1
      =      =     .
   3     −2     2
                                                           x + 5 y − 3 z +1
75. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që i pret drejtëzat         =     =     dhe
                                                             2    −4     3
x − 3 y +1 z + 2
       =        =        , dhe është paralele me rrafshet 3 x + 12 y − 3 z − 5 = 0 dhe
  −2       3         4
3 x − 4 y + 9 z + 7 = 0.
77. Të shkruhet ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën A ( 4,0, −1) dhe i pret
            x −1 y + 3 z − 5 x y −1 z +1
drejtëzat       =     =     , =    =     .
              2    4     3   5  −1    2
78. Të shkruhet ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën P0 ( 2, −3,5 ) dhe është
                           x −1 y − 3 z + 5 x − 2 y +1 z + 7
normale në dy drejtëzat        =     =     ,     =    =      .
                            −1    2     2     6     3   −2

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:310
posted:11/16/2012
language:
pages:32