Docstoc

6. Sistemet e ekuacioneve lineare_8-91_

Document Sample
6. Sistemet e ekuacioneve lineare_8-91_ Powered By Docstoc
					VI. SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE
1. PËRKUFIZIMI DHE KUPTIME TË PËRGJITHSHME
Forma e përgjithshme e sistemit të ekuacioneve lineare prej m ekuacionesh me
n të panjohura është
                           a11 x1 + a12 x2 + a1n xn = b1
                           a x +a x + +a x =b
                          
                  ( S ) :  21 1        22 2               2n n         2

                            ..........................................
                          
                          am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm
ku         (aij ∈ R) (1 ≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n), bi ∈ R (i ≤ m). Numrat               aij (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n )
    (a
     ij       )
          ∈ R , quhen koeficient të sistemit, kurse bi ∈ R , quhen terma (gjymtyrë)
të lira. Në rast se të gjitha termat e lira të sistemit (S) janë 0, sistemi quhet
homogjen. Në të kundërtën sistemi quhet johomogjen. Në qoftë se m = n
sistemi quhet katror.
Sistemi i numrave realë (α1 , α 2 , ...,α n ) quhet zgjidhje e sistemit (S), në qoftë
se pas zëvendësimit të xi (i = 1, 2,..., n) me α i , secili nga ekuacionet e sistemit
( S ) bëhet identitet. Është e qartë se një sistem ( S ) mund të ketë një ose më
shumë zgjidhje, ose mund të mos ketë zgjidhje fare. Bashkësinë e zgjidhjeve të
sistemit simbolikisht e shënojmë
                    ( S ) = {(α1 ,α 2 ,...,α n ) / α i ∈ R, i = 1, 2,..., n} .
               




Në qoftë se (S ) ka vetëm një element, sistemi quhet i caktuar, në qoftë se
                         




  (S ) ka më shumë se një element, sistemi quhet i pacaktuar, e në qoftë se
 




  ( S ) =Ø, sistemi quhet i pamundshëm, ose ndryshe thuhet sistemi nuk ka
 




zgjidhje.
Përkufizimi 1.1 Dy sisteme të ekuacioneve lineare (S ) dhe (S ' ) , me të njëjtat
të panjohura, quhen ekuivalente në qoftë se ( S ) = ( S ' ) .
                                                                              
                          Sistemet e ekuacioneve lineare                       79

Teorema 1.1 a) Nëse një ekuacion i sistemit është i pamundshëm, atëherë i tërë
sistemi është i pamundshëm.
b) Nëse një ekuacion i sistemit është i trajtës 0 = 0, atëherë sistemi ( S ) është
ekuivalent me sistemin që merret nga ( S ) duke përjashtuar ekuacionin e trajtës
0 = 0.
Vërtetimi i kësaj teoreme rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i zgjedhshmërisë
së sistemit të ekuacioneve lineare.■

2. TRANSFORMIMET ELEMENTARE TË SISTEMEVE TË
   EKUACIONEVE LINEARE
Përkufizimi 2.1 Le të jetë ( S ) një sistem i ekuacioneve lineare prej m
ekuacionesh me n të panjohura. Transformime elementare të sistemit ( S )
quhen veprimet:
       1. Ndërrimi i vendeve të ekuacioneve të një sistemi,
       2. Shumëzimi i një ekuacioni të sistemit me një numër real të
           ndryshëm nga zero,
       3. Shtimi një ekuacioni, një ekuacioni tjetër të shumëzuar me një
           skalar.
Teorema 2.1 Sistemi ( S ') , i cili merret si rezultat i zbatimit të një numri të
fundmë transformimesh elementare të sistemit ( S ), është ekuivalent me sistemin
( S ).
Vërtetimi i kësaj teoreme rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i transformimeve
elementare.■


3. METODA E GAUSIT PËR ZGJIDHJEN E SISTEMEVE
   TË EKUACIONEVE LINEARE
Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare bazohet në
transformimet elementare, të cilat sjellin në eliminimin e njëpasnjëshëm të
panjohurave të sistemit, derisa sistemi të sillet në formë të përshtatshme për
diskutim dhe për zgjidhje.
Ta ilustrojmë këtë metodë me disa shembuj:
Shembulli 1. Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare:
                x1 + x2 + 3 x3 = 4
                2x + x − x = 3
               
        (S ) :  1 2            3

                3 x1 − x2 + 4 x3 = 1
                x1 + 2 x2 − 13 x3 = 0
               
80                            Kurs i përgjithshëm i matematikës

Zgjidhja: Zbatojmë transformimet elementare si vijon: Pasi të kemi shënuar me
E1, E2, E3, dhe E4 ekuacionin e parë, të dytë, të tretë, përkatësisht të katërt,
ekuacionin e parë e përshkruajmë si është, të dytin e marrim duke i zbritur
ekuacionit të dytë dyfishin e të parit, që simbolikisht po e shkruajmë
( E2 − 2 E1 ), të tretin e marrim duke i zbritur ekuacionit të tretë trefishin e të parit
( E3 − 3E1 ), kurse të katërtin e marrim duke i zbritur të katërtit ekuacionin e parë
( E4 − E1 ). Kështu, marrim sistemin:
                     x1 + x2 + 3x3 = 4
                        − x2 − 7 x3 = −5
                  
         ( S1 ) : 
                      − 4 x2 − 5 x3 = −11
                  
                         x2 − 16 x3 = −4
Sistemi ( S1 ) është ekuivalent me sistemin i cili merret duke përshkruar
ekuacionin e parë të sistemit ( S1 ), ekuacionin e dytë dhe të tretë të tij i
shumëzojmë me -1, kurse ekuacionin e katërt e përshkruajmë si është. Kështu
marrim sistemin:
                  x1 + x2 + 3 x3 = 4
                       x2 + 7 x3 = 5
                 
         (S2 ) : 
                      4 x2 + 5 x3 = 11
                 
                      x2 − 16 x3 = −4
Nëse në sistemin ( S 2 ) , ekuacionin e parë dhe të dytë i përshkruajmë, të tretin e
marrim si rezultat të transformimit ( E3 − 4 E2 ), kurse të katërtin si rezultat të
transformimit ( E4 − E2 ), atëherë marrim sistemin:
                   x1 + x2 + 3 x3 = 4
                        x2 + 7 x3 = 5
                  
         ( S3 ) : 
                         − 23 x3 = −9
                  
                         − 23 x3 = −9
Më tutje, tri ekuacionet e sistemit ( S3 ) i përshkruajmë, kurse ekuacionit të
katërt ia zbresim ekuacionin e tretë. Prandaj,
                  x1 + x2 + 3 x3 = 4
                       x2 + 7 x3 = 5
                 
         (S4 ) : 
                        − 23 x3 = −9
                 
                               0=0
                                 Sistemet e ekuacioneve lineare                         81

Duke përjashtuar ekuacionin e fundit të sistemit ( S 4 ), sepse nuk ndikon në
zgjidhje, marrim një sistem prej tri ekuacionesh me tri të panjohura. Nga
ekuacioni i tretë zgjidhim ndryshoren x3 , e zëvendësojmë atë në ekuacionin e
dytë e pastaj, dy vlerat e gjetura për x3 dhe x 2 i zëvendësojmë në ekuacionin e
                                                                           13       52
parë të sistemit ( S 4 ) dhe marrim zgjidhjen e sistemit ( S 4 ) : x1 =       , x2 = ,
                                                                           23       23
             9
dhe x3 =        , që njëkohësisht është edhe zgjidhje e sistemit ( S1 ). Përfundimisht
             23
            13 52 9 
    (S ) =        ,    , . ■
 




            23 23 23 
Shembulli 2. Shqyrtoni zgjedhshmërinë dhe pastaj zgjidhni sistemin e
ekuacioneve lineare
                  x1 + x2 + 3 x3 = 4
                  2x + x − x = 3
                 
          (S ) :  1 2           3

                  3 x1 − x2 + 4 x3 = 1
                  x1 + 2 x2 − 13 x3 = 1
                 
Zgjidhja. Me anë të transformimeve elementare të përshtatshme marrim
sistemin, ekuivalent me sistemin ( S ), si vijon:
                    x1 + x2 + 3 x3 = 4
                         x2 + 7 x3 = 5
                   
          ( S1 ) : 
                            23 x3 = 9
                   
                                 0 =1

Meqë barazimi i fundit i sistemit ( S1 ) është i pamundshëm, atëherë edhe sistemi
( S1 ), gjegjësisht sistemi ( S ) është i pamundshëm.■


4. METODA MATRICORE
Le të jetë dhënë sistemi i ekuacioneve lineare
                   a11 x1 + a12 x2 + ...a1n xn = b1
                   a x + a x + ... + a x = b
                  
          ( S ) :  211 1         22 2               2n n        2
                                                                          (1)
                     ..........................................
                   am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
                  
ku xi (i = 1, 2, ..., n) , janë të panjohurat, ai j (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) janë
koeficientet, kurse bi ( j = 1, 2, ..., m) janë gjymtyrët e lira të sistemit ( S ).
82                              Kurs i përgjithshëm i matematikës

A = ( ai j ) m×n quhet matrica e sistemit, B = (b j )m×1 quhet shtylla e gjymtyrëve
të lira e sistemit, kurse
                a11 a12 ... a1n            b1 
                                                
                 a     a22 ... a2 n         b2 
         A ' =  21                                                 (2)
                ..... ..... ...... .....   .... 
               
               a                                
                                                 
                m1 am 2 ...... amn         bm 
quhet matrica e zgjeruar e sistemit ( S ).

Duke shënuar X = ( x1 , x2 ,..., xn ) , dhe duke pasur parasysh përkufizimin e
                                       T


shumëzimit të matricave, sistemin ( S ) mund ta shkruajmë në formën
         A ⋅ X = B.                                                 (3)
Forma (3) e sistemit të ekuacioneve lineare quhet formë matricore. Në qoftë
se matrica A është regulare, atëherë ekziston matrica A−1 . Duke shumëzuar
barazimin (3) me A−1 anë për anë nga e majta marrim:
         X = A−1 ⋅ B.
Duke bërë shumëzimin e matricave në anën e djathtë të barazimit (4) marrim
zgjidhjen e sistemit (1).
Shembulli 1. Me metodën e matricave zgjidhni sistemin e ekuacioneve lineare
          3 x + y + z = 10
         
          x + 2y + z = 5
          x − 3 y − 2 z = −5
         
Zgjidhja: Sistemin e dhënë të ekuacioneve lineare mund ta shkruajmë në
formën matricore si vijon:
          3 1 1   x   10 
                      
         1 2 1  ⋅ y  =  5                                     (1)
          1 −3 −2   z   −5 
                      
Nga barazimi i fundit gjejmë
                                 −1
          x   3 1 1   10 
                        
          y  = 1 2 1  ⋅  5                                    (2)
          z   1 −3 −2   −5 
                        
Me ndonjërën nga metodat e njohura gjejmë matricën inverse
                          Sistemet e ekuacioneve lineare                           83

                  1 −1 −1 
              1           
         A−1 = ⋅  3 −7 −2  .
              5           
                  −5 10 5 
Duke zëvendësuar matricën e fundit në barazimin (2) marrim zgjidhjen e
ekuacionit matricor (1)
         x  2 
           
         y  =  −1 ,
        z  5 
           
që në të vërtetë paraqet zgjidhjen e sistemit të dhënë të ekuacioneve lineare. ■
Një mënyrë tjetër e zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare, duke
shfrytëzuar matricat, është transformimi i matricës së zgjeruar të sistemit (sipas
rreshtave) derisa pjesa e matricës kryesore të sistemit të sillet në matricë të
trekëndëshe ose trapeze. Pastaj formohet sistemi i ekuacioneve lineare,
korespondues i matricës së fundit, që është ekuivalent me matricën e zgjeruar të
sistemit. Zgjidhja e këtij të fundit paraqet zgjidhjen e sistemit fillestar. Kjo që
shpjeguam më lart mund të formulohet si teoremë në këtë mënyrë:
Teorema 4.1 Dy sisteme të ekuacioneve lineare janë ekuivalente në qoftë se
matricat e zgjeruara të tyre janë ekuivalente. ■
Shembulli 2. Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare
                 x1 + x2 + 3 x3 = 2
                 x −x +x =0
                
         (S ) :  1 2            3

                 x1 + 3 x2 − 4 x3 = −2
                 3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 0
                
Zgjidhja: Matricën e zgjeruar të sistemit e transformojmë sipas rreshtave derisa
ta sjellim në trajtë trapeze (trekëndëshe):
              1 2 3 2  1 2 3 2  1 2 3           2 
                                                   
                1 −1 1 0   0 −3 −2 −2   0 0 −14 −14 
         A' =             ~             ~                ~
               1 3 −1 −2   0 1 −4 −4   0 1 −4 −4 
                                                   
               3 4 3 0   0 −2 −6 −6   0 0 −14 −14 
            1     2 3 2  1          2 3 2
                                            
              0    0 1 1  0          1 −4 −4 
           ~               ~                    .
            0     1 −4 −4   0       0 1 1
                                            
            0     0 0 0  0          0 0 0

Sistemi korespondues i ekuacioneve lineare i matricës së fundit është:
84                                  Kurs i përgjithshëm i matematikës

                 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2
        ( 
         S ') :        x2 − 4 x3 = −4
                               x3 = 1
                
Duke zëvendësuar zgjidhjen x3 = 1, nga ekuacioni i tretë i sistemit ( S '), në
ekuacionet tjera, marrim zgjidhjen e sistemit ( S ') :
         ( x1 , x2 , x3 ) = ( −1, 0, 1) ,
që në të vërtetë është edhe zgjidhja e sistemit ( S ). ■


5. RREGULLAT E KRAMERIT
Në këtë pikë do të shqyrtojmë sistemet katrore të ekuacioneve lineare. Le të jetë
dhënë sistemi i ekuacioneve lineare
                  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
                  a x + a x + ... + a x = b
                 
         ( S ) :  21 1 22 2                     2n n        2
                                                                        (1)
                  ..........................................
                 an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
                 
Forma matricore e sistemit (1) është:
               A X =B                                                   (2)
Matrica kryesore e sistemit është
              a11       a12     ... a1n 
                                         
               a         a22     ... a2 n 
         A =  21                           .
              ...       ...     ... ... 
                                         
              an1       an 2    ... ann 
Në qoftë se përcaktori i matricës është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi (1)
ka zgjidhje të vetme të dhënë me

         ( x1 , x2 ,..., xn ) =                      
                                  d1 d 2   d
                                   , ,..., n         ,
                                 d d       d         
ku d është përcaktori i sistemit, kurse d i (i = 1, 2,..., n) janë përcaktorë që
merren nga përcaktori d kur shtyllën e i -të të tij e zëvendësojmë me shtyllën e
gjymtyrëve të lira.
Me të vërtetë, në qoftë se d = A ≠ 0, atëherë ekziston matrica inverse A−1 e
matricës A, dhe ekuacioni matricor (2) ka zgjidhjen
         X = A−1 B.
                              Sistemet e ekuacioneve lineare                                   85

Më tutje, duke llogaritur prodhimin X = A−1 B gjejmë:

              x1 
              
               x            1
         X =  2  = A−1 B = adjA ⋅ B =
                          d
              
              xn 

            A11       A21    ... An1   b1      A11b1 + A21b2 + ... + An1bn 
                                                                                      
         1 A           A22    ... An 2   b2  1  A12b1 + A22 b2 + ... + An 2bn 
        =  12                          ⋅      =
         d  ...       ...    ... ...   ...  d  ...................................... 
                                                                                      
            An1       An 2   ... Ann   bn      An1b1 + An 2 b2 + ... + Ann bn 
             A11b1 + A21b2 + ... + An1bn          d1 
                              d                   d 
                                                  
             A12b1 + A22b2 + ... + An 2 bn        d2 
           =                  d                 = d .                           (1)
                                                  
                  ...........................     ... 
             A1n b1 + A2 n b2 + ... + Ann bn      dn 
                                                  
                              d                   d 
ku d i = A1i b1 + A2i b2 + ... + Ani bn (i = 1, 2,..., n), dhe është e qartë se këta
përcaktorë paraqesin vlerat e përcaktorëve që fitohen nga përcaktori d kur
shtylla i -të e tij zëvendësohet me shtyllën e gjymtyrëve të lira. Nga relacionet
(1) marrim formulat përfundimtare që shprehin zgjidhjen e sistemeve katrore të
ekuacioneve lineare me anë të përcaktorëve:
                d1       d            d
         x1 =      , x2 = 2 ,..., xn = n .                                          (2)
                d         d            d
Formulat (2) njihen me emrin Formulat e Kramerit ose Rregullat e Kramerit
për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare të tipit katror.
Shembulli 1. Të diskutohet dhe të zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare:
                2 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 4
               
                4 x + 3 x2 − x3 + 2 x4 = 6
        (S ) :  1
               8 x1 + 5 x2 − 3 x3 + 4 x4 = 12
                3 x1 + 3 x2 − 2 x3 + 2 x4 = 6
               
Zgjidhja: Përcaktori kryesor i këtij sistemi si dhe përcaktorët tjerë të tij janë të
rendit katër, prandaj i njehsojmë duke zbatuar teoremën e Laplasit. Kemi:
86                                     Kurs i përgjithshëm i matematikës

             2        2       −1      1
             4        3       −1      2
          d=                            = 2 ≠ 0,
             8        5       −3      4
             3        3       −2      2
rrjedhimisht, sistemi (S ) është i caktuar dhe zgjidhja e tij është:

          ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = 
                                    d1 d 2 d3 d 4 
                                     , , , ,
                                   d d d d 
ku
                4         2    −1      1            2 4 −1         1
                6         3    −1      2            4 6 −1         2
          d1 =                           = 2, d 2 =                  = 2,
               12         5    −3      4            8 12 −3        4
                6         3    −2      2            3 6 −2         2

                2         2 4 1              2 2              −1 4
                4         3 6 2              4 3              −1 6
           d3 =                  = −2, d 4 =                        = −2.
                8         5 12 4             8 5              −3 12
                3         3 6 2              3 3              −2 6

Prandaj zgjidhja e sistemit është ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 1, − 1, − 1) . ■


6. SISTEMET E EKAUCIONEVE LINEARE HOMOGJENE
Në pikën 1 të këtij kapitulli kemi përkufizuar sistemin e ekuacioneve lineare
homogjene forma e përgjithshme e të cilit është
           a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0
           a x + a x + ... + a x = 0
           21 1       22 2           2n n
                                                                                (1)
            . . . . . . . . . . . . . . . . .
           am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0
          
ku aij ∈ R (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) janë koeficientet e sistemit.
Është e qartë se sistemi (1) ka gjithmonë një zgjidhje x1 = x2 = ... = xn = 0. Kjo
quhet zgjidhje zero ose zgjidhje triviale. Prandaj, pyetja që shtrohet me këtë
rast është nëse sistemi homogjen i ekuacioneve lineare ka zgjidhje jotriviale?
Në rastin kur sistemi i ekuacioneve lineare homogjene është i tipit katror,
përgjigjen në pyetjen e shtruar e nxjerrim lehtë nga formulat e Kramerit. Vërtet,
nga formulat e Kramerit marrim barazimet:
                              Sistemet e ekuacioneve lineare                            87

         x1 ⋅ d = d1 , x2 ⋅ d = d 2 ,..., xn ⋅ d = d n .       (2)
Është e qartë se në rastin e sistemit homogjen kemi d i = 0 (∀ i = 1, 2, ..., n).
Prandaj, që të vlejnë barazimet (2), për ndonjë nga xi ≠ 0, është e nevojshme
që d = 0, ku d është përcaktori i sistemit.
Si përfundim, që sistemi homogjen i tipit katror të ketë zgjidhje jotriviale është
e nevojshme dhe mjaftueshme që përcaktori i sistemit të jetë i barabartë me
zero.
Pyetja që shtrohet tash është, si qëndron puna me sistemet e ekuacioneve lineare
homogjene jokatrore?
Për shkak të nivelit të kursit, ne pa vërtetim, po konstatojmë se në rastin e
sistemit të ekuacioneve lineare të tipit jokatror, që sistemi të ketë zgjidhje
jotrivilae është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së sistemit
(që ndryshe quhet edhe rang i sistemit) të jetë më i vogël se numri i të
panjohurave.
Ky përfundim njëlloj vlen edhe për sistemin e tipit katror. Këtë fakt shumë të
rëndësishëm nuk po e vërtetojmë, por procedurat dhe mënyrën e studimit të
sistemeve të këtij lloji do t’i ilustrojmë me shembujt në vazhdim.
Shembull 1. Të diskutohet dhe të zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare
homogjene:
            2 x1 − x2 + 3x3 + 4 x4 = 0
           4 x1 − 2 x2 + 5 x3 + 6 x4 = 0
        
                                                                               (1)
            6 x1 − 3 x2 + 7 x3 + 9 x4 = 0
        
           8 x1 − 4 x2 + 9 x3 + 11x4 = 0
Zgjidhja: Matricën e sistemit e transformojmë sipas rreshtave (duke parë
njëkohësisht edhe rangun e matricës së sistemit):
           2       −1    3 4       0   2 −1 3 4             0   2 −1   3   4     0
                                                                                  
             4      −2    5 6       0  0 0 1 2               0  0 0     1   2     0
         A=                           ~                          ~                      ~
           6       −3    7 9       0   0 0 −2 −3             0 0 0     0   1     0
                                                                                  
           8       −4    9 11      0   0 0 −3 −5             0  0 0    0   1     0
              2 −1       3     4   0
                                    
               0 0        1     2   0
            ~                         .
             0 0         0     1   0
                                    
             0 0         0     0   0
Sistemi përkatës i matricës së fundit është:
88                           Kurs i përgjithshëm i matematikës

        2 x1 − x2 + 3 x3 + 4 x4 = 0
                      x3 + 2 x4 = 0                                           (2)
                                   x4 = 0
Nga dy barazimet e fundit të sistemit (2) marrim x3 = x4 = 0. Duke i
zëvendësuar këto vlera në ekuacionin të parë të sistemit (2) marrim x3 = x4 = 0
dhe x2 = 2 x1 . Duke shënuar x1 = α (α ∈ R ) marrim zgjidhjen e përgjithshme të
sistemit ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = (α , 2α ,0,0), α ∈ R. ■
Shembulli 2. Diskutoni dhe zgjidhni sistemin e ekuacioneve lineare homogjene
         x1 + 3x2 + 3 x3 + 2 x4 + 4 x5 = 0
         x + 4 x + 5 x + 3x + 7 x = 0
         1        2      3      4     5
        
         2 x1 + 5 x2 + 4 x3 + x4 + 5 x5 = 0
         x1 + 5 x2 + 7 x3 + 6 x4 + 10 x5 = 0
        
Zgjidhja: Meqë numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i të panjohurave,
sistemi ka zgjidhje jotriviale. Së pari caktojmë rangun e matricës së sistemit:
           1     3   3    2 4  1         3   3   2   4 1    0   0   0   0
                                                                         
             1    4   5    3 7  0         1   2   1   3  0   1   0   0   0
         A=                     ∼                        ∼                     ,
           2     5   4    1 5  0         0   0   0   0 0    0   1   0   0
                                                                         
           1     5   7    6 10   0       0   0   1   0 0    0   0   0   0

prej nga marrim r ( A) = 3. Prandaj, tri të panjohura të sistemit janë kryesore-
bazike, kurse dy të tjerat janë të panjohura të lira-parametra të çfarëdoshëm
realë. Që të caktojmë variablat bazike, nga matrica e sistemit gjejmë një
përcaktor(minor) të rendit 3 (aq sa është rangu i matricës së sistemit) të
ndryshëm nga zero. P.sh.
              1 3 2
        M = 1 4 3 = −2 ≠ 0,
            2 5 1
dhe sistemi përkatës, koeficientet e të cilit përmbahen në minorin e mësipërm
bazor, me variablat kryesore, koeficientet e të cilëve janë në minorin M, është:
         x1 + 3x2 + 2 x4 = −3 x3 − 4 x5
        
         x1 + 4 x2 + 3 x4 = −5 x3 − 7 x5
         2 x + 5 x + x = −4 x − 5 x
         1         2    4       3      5

Sistemi i fundit i ekuacioneve lineare është katror, sepse x3 dhe x5 tashmë janë
variabla të lira, prandaj ky sistem është i përshtatshëm të zgjidhet me rregullat e
Kramerit. Duke zgjidhur sistemin me këtë metodë marrim:
                           Sistemet e ekuacioneve lineare                                89

         x1 = 3 x3 + 5 x5
        
         x2 = −2 x3 − 3 x5 ,
        x = 0
         4
ku x3 dhe x5 janë variabla të lira. Duke ju dhënë vlera reale variablave x3 dhe
x5 , marrim zgjidhje të veçanta të sistemit.
Kur ka më shumë se një variabël të lirë, atyre u japim vlera sipas shtyllave të një
matrice njësi, të rendit aq sa është numri i variablave të lira. Kështu merren
zgjidhjet përkatëse të veçanta, ose që ndryshe quhen zgjidhje fundamentale.
Kombinimi linear i tyre paraqet zgjidhjen e përgjithshme të sistemit të
ekuacioneve lineare.
                                                                       1 0
Në këtë rast variablat e lira marrin vlera sipas shtyllave të matricës     dhe
                                                                       0 1
kështu marrim zgjidhjet përkatëse fundamenatle L1 = (3, −2,1,0,0)T dhe
L2 = (5, −3,0,0,1)T . Zgjidhja e përgjithshme është X = λ1L1 + λ2 L2 (λ1 , λ2 ∈ R ).
P.sh. për λ1 = −1, λ2 = 1 marrim një zgjidhje të pjesshme X 1 = ( 2, −1, −1,0,1) . ■
                                                                                    T




DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR _______________________
1. Me anë të përcaktorëve të zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare:
            2x − y = 7                               x − 3y = 4
        a)                   ,                   b)                 ,
            −4 x + 2 y = −14                         2 x − 6 y = −2

            3x + 2 y + z = 5                        x + 2y + z = 6
                                                    
        c)  2 x − y + z = 6 ,                    ç)  x + y + 2 z = 9 ,
           x + 5y       = −3                        2 x + y + z = 7
                                                    

            2 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 4                 2 x1 + 3x2 + 11x3 + 5 x4 = 2
            4 x + 3x − x + 2 x = 6                    x + x + 5x + 2 x         =1
               1      2    3      4                  
        d)                                ,       e)  1 2           3      4
                                                                                     .
            8 x1 + 5 x2 − 3x3 + 4 x4 = 12             2 x1 + x2 + 3x3 + 2 x4 = −3
            3 x1 + 3x2 − 2 x3 + 2 x4 = 6
                                                      x1 + x2 + 3 x3 + 4 x4 = −3
                                                      

2. Në varësi të parametrit k diskutoni dhe zgjidhni sistemin e ekuacioneve
lineare:
         3x − 2 k y = 2
        
         x + k y = 4.
90                           Kurs i përgjithshëm i matematikës

3. Në varësi të parametrit a të diskutohet dhe të zgjidhet sistemi i ekuacioneve
lineare
         ax + y − z = 1
        
         x + ay − z = 1
         x − y − az = 1.
        
4. Duke zbatuar formulat e Kramerit diskutoni dhe zgjidhni sistemin e
ekuacioneve lineare
         x − 2y + z =1
        
         2 x + 4 y + z = −a
        
         ax + 2 y + 2 z = −2
         2 x − y + z = 2.
        
5. Me metodën e matricave zgjidhni sistemin e ekuacioneve lineare:
                                                       x + 2 y − 2 z + 3u = 1
            3 x + y + z = 10                    
                                                       x + 3 y − 2 z + 3u = −3
        a)  x + 2 y + z = 5                  b) 
            x − 3 y − 2 z = −5,                        2 x + 4 y − 3 z + 6u = 2
                                                      x + y − z + 4u       = 6.
                                                 
6. Të diskutohet zgjedhshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare:
            3 x + 2 y + 5 = 0                     3x + 5 y = 7
                                                 
         a)  x + y + 3 = 0                    b) 5 x + 2 y = −1
             4 x − y − 8 = 0,                     x − 3 y = 7.
                                                 
7. Me metodën e Gausit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve lineare:
            3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + x4 = 3            4 x1 − 3 x2 + x3 + 5 x4 − 7 = 0
            2 x − 3 x + x + 5 x = −3               x − 2 x − 2 x − 3x − 3 = 0
                                                  
        a)  1         2   3      4
                                                b)  1         2      3      4

              x1 + 2 x2       − x4 = 3             3 x1 − x2 + 2 x3        +1 = 0
            x1 − x2 − 4 x3 + 9 x4 = 22,
                                                   2 x1 + 3 x2 + 2 x3 − 8 x4 + 7 = 0,
                                                   
            x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 15
            x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x = 35
            1
           
                        2       3       4     5
        c)  x1 + 3 x2 + 6 x3 + 10 x4 + 15 x5 = 70
            x + 4 x + 10 x + 20 x + 35 x = 126
            1        2       3       4       5
            x1 + 5 x2 + 15 x3 + 35 x4 + 70 x5 = 210.
           
                         Sistemet e ekuacioneve lineare                       91

8. Diskutoni dhe zgjidhni sistemin e ekuacioneve lineare homogjene:
           x + 2 y + 4 z − 3u = 0               3x + 5 y + 2 z = 0
           3 x + 5 y + 6 z − 4u = 0             4 x + 7 y + 5z = 0
                                               
       a)                                   b) 
           4 x + 5 y − 2 z + 3u = 0             x + y − 4z = 0
          3 x + 8 y + 2 z − 19u = 0,
                                                2 x + 9 y + 6 z = 0,
                                                
                                              x + 2 y + z − 4u + v = 0
           x +2y + z + u = 0                
                                             x + 2 y − z + 2u + v = 0
       c)  2 x + 3 y − 4 z + 5u = 0      ç) 
           x + 4 y + 3z − 5u = 0,            2x + 4 y + z + v = 0
                                             x + 2 y + 3 z − 10u + v = 0.
                                             

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:666
posted:11/16/2012
language:
pages:14