4.Polinomet _41-49_ by libra.falas

VIEWS: 101 PAGES: 9

									IV. POLINOMET
1. PËRKUFIZIMI I POLINOMIT DHE VEPRIMET ME
   POLINOME
Shprehja e formës
         p ( x ) = an x n + an −1 x n −1 +       + a1 x + a0 , ai ∈ R (i = 1, 2,3,..., n)

quhet polinom me koeficiente nga fusha R. Numrat ai ( i = 1, 2,..., n ) quhen
koeficiente të polinomit p ( x ) . Numri më i madh n për të cilin an ≠ 0, quhet
shkallë e polinomit p ( x ) . Simbolikisht shënohet deg p ( x ) = n . Numri an
quhet koeficienti më i vjetër i polinomit, kurse a0 quhet koeficienti i lirë i
polinomit. Shprehjet ai xi (i = 1, 2,3,..., n) i quajmë gjymtyrë të polinomit.
Shënojmë me Pn bashkësinë e të gjitha polinomeve të shkallës ≤ n me
koeficiente nga R. Le të jenë dhënë polinomet
         p ( x ) = an x n + an−1 x n−1 +          + a1x + a0 ( an ≠ 0 ) ,
         q ( x ) = bm x m + bm−1 x m−1 +           + b1 x + b0 ( bn ≠ 0 ) .
Në vazhdim do të përkufizojmë disa lloje polinomesh dhe disa relacione në
bashkësinë e polinomeve.
1.   p ( x ) = 0 ⇔ ( ∀x ) p ( x ) = 0 ⇔ ( ai = 0, i = 1, 2,..., n ) , polinomi që plotëson
kushtin e mësipërm quhet zero-polinom në bashkësinë e polinomeve Pn .
2. Shumë e polinomeve p ( x ) dhe q ( x ) quhet polinomi p ( x ) + q ( x ) i cili
merret duke mbledhur koeficientet e gjymtyrëve të shkallës së njëjtë të
polinomeve p ( x ) dhe q ( x ) .

                                             {
         deg ( p ( x ) + q ( x ) ) ≤ max deg ( p ( x ) ) ,deg ( q ( x ) ) . }
42                                    Kurs i përgjithshëm i matematikës

Shembulli 1.             Gjeni shumën e polinomeve p ( x ) = 5 x 4 + 3 x3 + 2 x + 1 dhe
q ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 + 7.
Zgjidhja: Kemi
             p ( x ) + q ( x ) = 5 x 4 + (3 + 2) x 3 + 3x 2 + 2 x + (1 + 7)
ose
             p ( x ) + q ( x ) = 5 x 4 + 5 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 8. ■
Për polinomin
             p ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ,
polinomi
            − p ( x ) = − an x n − an −1 x n −1 − ... − a1 x − a0
quhet polinom i kundërt i polinomit p ( x ) .
Shuma
             p ( x ) + ( − q ( x )) = p ( x ) − q ( x )

quhet ndryshim i polinomeve p ( x ) dhe q ( x ) .

3. Për dy polinome p ( x ) dhe q ( x ) themi se janë të barabarta, shënojmë
p ( x ) = q ( x ) , nëse janë të të njëjtës shkallë dhe p ( x ) = q ( x ) , ∀x. Pra,
             p ( x ) = q ( x ) ⇔ m = n dhe p ( x ) − q ( x ) = 0, ∀x.

4. Prodhimi i polinomit p ( x ) me skalarin α quhet polinomi

            α p ( x ) = α an x n + α an−1 x n −1 +          + α a1 x + α a0 .
5. Prodhim të dy polinomeve p ( x ) dhe q ( x ) quajmë polinomin të cilin
simbolikisht e shënojmë p ( x ) ⋅ q ( x ) dhe është

      p ( x ) ⋅ q ( x ) = an bm x n + m + ( an bm −1 + an −1bm ) x m+ n −1 +   + ( a1b0 + a0b1 ) x + a0 b0 .
Është e qartë se vlen
            deg ( p ( x ) ⋅ q ( x ) ) = deg( p ( x )) + deg(q ( x )).

6. Pjesëtim të polinomit p ( x ) me polinomin q ( x ) e quajmë gjetjen e dy
polinomeve h ( x ) dhe m ( x ) që plotësojnë kushtin

            p ( x) = q ( x) ⋅ h ( x) + m( x)                                             (1)
                                             Polinomet                              43

barazimi (1) shpreh pjesëtimin me mbetje. Nëse m ( x ) = 0, atëherë barazimi (1)
merr formën
         p ( x) = q ( x) ⋅ h ( x)
dhe në këtë rast themi se polinomi p ( x ) plotëpjesëtohet me polinomin q ( x ) .
Çdo polinomi
         p ( x ) = an x n + an −1 x n −1 +     + a1 x + a0 ,
i përgjigjet ekuacioni
         an x n + an −1 x n −1 +    + a1 x + a0 = 0,
që quhet ekuacion algjebrik. Teorema e mëposhtme, të cilën po e marrim pa
vërtetim, jep përgjigje në pytjen e zgjidhshmërisë së ekuacionit algjebrik.
Teorema 1. 1.(Teorema themelore në algjebër) Çdo polinom i shkallës n ≥ 1
ka të paktën një rrënjë reale apo komplekse.■
Teorema 1. 2. (Teorema Bezu) Le të jetë p ( x ) ∈ Pn dhe a ∈ R . Vlen
         p ( x ) = ( x − a ) ⋅ h ( x ) + p ( a ).
Rrjedhimisht, mbetja gjatë pjesëtimit të polinomit p ( x ) me monomin x − a
është e barabartë me vlerën e polinomit p ( x ) në pikën a.
Në bazë të barazimit (1) kemi
         p ( a ) = ( a − a ) ⋅ h ( a ) + m ( a ) = m(a) .
Si rrjedhim i dy teoremave të fundit është fakti se çdo polinom mund të
zbërthehet në faktor linear. D.m.th.
         p ( x ) = an ( x − x1 )( x − x2 )      ( x − xn ) .■        (2)


2. RRËNJËT E SHUMËFISHTA TË POLINOMIT
Më parë mësuam se çdo polinom mund të shkruhet në formën
         p ( x ) = an ( x − x1 )( x − x2 ) ...( x − xn ) .
Nëse faktori ( x − xi ) paraqitet k -herë si faktor në shprehjen (2), atëherë xi
quhet rrënjë e k - fishtë. Nëse k = 1, xi quhet rrënjë e thjeshtë.
Shembulli 1. Polinomi p ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4 mund të zbërthehet në formën
p ( x ) = ( x − 2 ) ( x − 1) . Shihet qartë se x = 2 është rrënjë e dyfishtë, kurse
                 2


x = 1 është rrënjë e thjeshtë. ■
44                              Kurs i përgjithshëm i matematikës


2.1. RRËNJËT RACIONALE TË POLINOMIT

Le të jetë dhënë polinomi p ( x ) = an x n + an −1 x n −1 +   + a1 x + a0 .
                                          a
Teorema 2.1.1. Nëse numri racional x =
                                          b
                                            ( a, b ∈ Z \ {0}) , ( a, b ) = 1 është rrënjë
e polinomit p ( x ) , atëherë a0 a dhe an b .■
Rrjedhimi 1. Çdo rrënjë e plotë e polinomit p ( x ) është faktor i gjymtyrës së
lirë.■
Shembulli 1. Njehsoni rrënjët racionale të polinomit
          p ( x ) = 2 x 4 + x3 + 7 x 2 + 4 x − 4 .
Zgjidhja: Kemi an = 2 dhe a0 = 4.
Pjesëtuesit e an = 2 janë: 1, -1, 2, -2;
Pjesëtuesit e a0 = 4 janë: 1, -1, 2, -2, 4, -4.
                     a
Herësat e trajtës x = , që mund të jenë rrënjë të polinomit p ( x ) , janë:
                     b
                              1      1
         1,-1,2, -2, 4, -4,     dhe − .
                              2      2
                                      1
Provohet lehtë se p ( −1) = 0 dhe p   = 0. Rrjedhimisht numrat racionalë
                                      2
                  1
x1 = −1 dhe x2 =      janë rrënjë të polinomit p ( x ) = 2 x 4 + x 3 + 7 x 2 + 4 x − 4. ■
                  2
Shembulli 2. Gjeni rrënjët e plota të polinomit p ( x ) = x 3 + 3x 2 + 3 x + 1.
Zgjidhja: Pjesëtuesit e koeficientit të lirë janë 1 dhe -1. Provohet lehtë se
p ( x ) = x3 + 3x 2 + 3 x + 1 = ( x + 1) . Rrjedhimisht p ( −1) = 0, që d.m.th. se
                                        3


x = −1 është rrënjë e plotë e trefishtë e polinomit. ■
Shembulli 3. Gjeni rrënjët e plota të polinomit p ( x ) = x 4 + x3 + x + 1.
Zgjidhja: Pjesëtuesit e koeficientit të lirë janë 1 dhe -1. Provohet lehtë se
p ( −1) = 0, që d.m.th. se x = −1 është rrënjë e plotë e polinomit. Provoni nëse
x = −1 është rrënjë e shumëfishtë.■
                                                   Polinomet                                                      45



3. FUNKSIONET RACIONALE
                                                           p ( x)
Shprehja e pathjeshtueshme e formës                                  , ku p ( x ) dhe q ( x ) janë polinome,
                                                           q ( x)
quhet funksion racional. Nëse deg p ( x ) > deg q ( x ) , funksioni quhet jo i
rregullt.
Teorema 3.1 Çdo funksion jo i rregullt racional mund të paraqitet në formë të
shumës së një polinomi dhe të një funksioni racional.
                                       p ( x)
Vërtetimi: Le të jetë dhënë shprehja          , ku deg p ( x ) > deg q ( x ) . Në bazë
                                      q ( x)
përkufizimit të pjesëtimit të polinomeve, ekzistojnë polinomet h ( x ) dhe m ( x )
të tilla që
         p ( x ) = q ( x ) ⋅ h ( x ) + m ( x ) , ku deg m ( x ) < deg q ( x ) .
Rrjedhimisht
         p ( x)                   m( x)
                  = h( x) +                , ku deg m ( x ) < deg q ( x ) . ■
         q ( x)                   q ( x)

Përkufizimi 3.1 Funksionet racionale të trajtës
           A       A          Ax + B       Ax + B
              ,           , 2         ,
         x − a ( x − a)     x + px + q x 2 + px + q          (                      )
                        k                                                               k



ku A, B, p, q ∈ R, k ∈ N , p 2 − 4q < 0 , quhen funksione elementare racionale.
Teorema 3.2 Çdo funksion racional mund të paraqitet në formë të shumës të një
numri të fundmë funksionesh elementare racionale.■
                                                       3x 4 − x 3 + 6 x 2 − x + 1
Shembulli 1. Shprehjen racionale                                                            shkruajeni si shumë të
                                                          (x         )
                                                                         2
                                                                2
                                                                    +1       ( x + 1)
një numri të fundmë funksionesh elementare racionale.
Zgjidhja: Shkruajmë
         3x 4 − x 3 + 6 x 2 − x + 1              A    Bx + C   Dx + E
                                           =        +         + 2     .                                (1)
            (         )                                     (
                                               x + 1 x2 + 1 2   x +1     )
                          2
                x +1
                  2
                              ( x + 1)
Duke u liruar nga thyesat, nga shprehja e fundit marrim:

                                    (          )                                                       (      )
                                                   2
3 x 4 − x 3 + 6 x 2 − x + 1 ≡ A x 2 + 1 + ( Bx + C )( x + 1) + ( Dx + E )( x + 1) x 2 + 1 ⇒
46                               Kurs i përgjithshëm i matematikës

         3 x 4 − x 3 + 6 x 2 − x + 1 ≡ ( A + D) x 4 + ( D + E ) x 3 + ( 2 A + B + D + E ) x 2 +
                                   + (B + C + D + E) x + ( A + C + E) ⇒

                   A+ D =3       A=3
                   D + E = −1    B =1
         
                                
                                 
          2A + B + D + E = 6  ⇒ C = −1
          B + C + D + E = −1    D=0
                                
         
               A+ C + E =1       E = −1
                                 
Zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve lineare të mësipërm po e bëjmë me metodën
e Gausit1):

              1    0    0   1     0 3  1 0           0 1      0 3
                                                                   
              0    0    0   1     1 −1  0 0          0 1      1 −1 
         A' = 2    1    0   1     1 6  ∼ 0 1         0 −1     1 0 ∼
                                                                   
              0    1    1   1     1 −1  0 1          1 1      1 −1 
              1                       
                                   1 1  0 0           1 −1          
                                                                 1 −2 
                   0    1   0             

            1     0 0 1            0 3  1 0 0 1 0 3 
                                                         
            0     1 1 1            1 −1   0 1 1 1 1 −1 
          ∼ 0     0 −1 −2          0 1  ∼  0 0 −1 −2 0 1  ∼
                                                         
            0     0 0 1            1 −1   0 0 1 −1 1 −2 
            0     0 1 −1                
                                    1 −2   0 0 0 1 1 −1  
                                           

             1    0    0 1        0   3  1       0   0 1       0   3
                                                                      
             0    1    1 1        1   −1   0     1   1 1       1   −1 
           ∼ 0    0    1 −1       1   −2  ∼  0   0   1 −1      1   −2  .
                                                                      
             0    0    0 −3       1   −1   0     0   0 1       1   −1 
             0                           
                                       −1   0                          
                                                                      −4 
                  0    0 1        1               0   0 0       4
Sistemi i ekuacioneve lineare që korrespondon me matricën e fundit është:




1)
   Sipas matematikanit Gaus. Me metodat e zgjidhjeve të sistemeve të ekuacioneve
lineare do të njihemi në kapitullin vijues.
                                               Polinomet                                         47



                  A+ D =3                     A = 3− D = 3−0 = 3
           B + C + D + E = −1  B = −1 − C − D − E = −1 + 1 + 0 + 1 = 1
          
                              
                               
           C − D + E = −2 ⇒       C = −2 + D − E = −2 + 0 − (−1) = −1
                  D + E = −1             D = −1 − E = −1 − (−1) = 0
                              
          
                    4 E = −4  
                                                              E = −1

         A=3
         B =1
        
        
      ⇒ C = −1
        D=0
        
         E = −1
        
Rrjedhimisht,
          3x 4 − x 3 + 6 x 2 − x + 1             3    x −1                1
                                           =        +               −        .■
              (x        )                            (
                                               x + 1 x2 + 1
                                                            )           x +1
                            2                                   2        2
                   2
                       +1       ( x + 1)
                                                     x3 + 2 x 2 − 1
Shembulli 2. Shprehjen racionale                                     shkruajeni si shumë të një
                                                  ( x2 + 1)( x2 − 1)
numri të fundmë funksionesh elementare racionale.
Zgjidhja: Shkruajmë
        x3 + 2 x 2 − 1     x3 + 2 x 2 − 1           A    B     Cx + D
                       = 2                      =      +     +        .                   (*)
     ( x + 1)( x − 1) ( x + 1) ( x − 1)( x + 1)
        2         2
                                                  x − 1 x + 1 x2 + 1

Duke u liruar nga thyesat, nga barazimi i fundit marrim:
x 3 + 2 x 2 − 1 = A ( x + 1) ( x 2 + 1) + B ( x − 1) ( x 2 + 1) + ( Cx + D ) ( x 2 − 1)

x 3 + 2 x 2 − 1 ≡ A ( x 3 + x 2 + x + 1) + B ( x 3 − x 2 + x − 1) + Cx 3 − Cx + Dx 2 − D

x3 + 2 x 2 + 1 ≡ x3 ( A + B + C ) + x 2 ( A − B + D ) + x ( A + B − C ) + ( A − B − D )
            A + B + C =1
            A−B+ D =2
           
          ⇒                                                                              (**)
            A+ B −C = 0
            A − B − D = −1
           
Duke mbledhur ekuacionin e dytë dhe të katërt të sistemit të ekuacioneve
lineare (*) marrim sistemin:
48                           Kurs i përgjithshëm i matematikës

              A + B + C =1
             
              2 A − 2B = 1 .
             A + B − C = 0
             
Kemi:
              1 1 1                              1 1 1
          d = 2 −2 0 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ; d A = 1 −2 0 = 2 + 1 + 1 = 4;
              1 1 −1                             0 1 −1
                1 1 1                                   1 1 1
          d B = 2 1 0 = −1 − 1 + 2 = 0;           d C = 2 −2 1 = 1 + 2 + 2 − 1 = 4.
                1 0 −1                                  1 1 0
Më tutje kemi:
               dA 4 1     d   0                        dC 4 1
          A=     = = ; B = B = = 0;               C=     = = .
               d 8 2       d 8                         d 8 2
Duke zëvendësuar këto vlera në ndonjërin nga ekuacionet, të dytin apo të
katërtin të sistemit (**), marrim:
                                1 3
          D=2+ B− A=2−           = .
                                2 2
                                                                1 1 3
Përfundimisht, zgjidhja e sistemit (**) është ( A, B, C , D ) =  ,0, ,  .
                                                                2 2 2
Duke zëvendësuar këto zgjidhje në (*) marrim:
                                      1    3
                                        x+
             x3 + 2 x 2 − 1  1 1      2    2 = 1  1 + x + 3 . ■
                            = ⋅     +                       
          ( x + 1)( x − 1)
             2         2
                             2 x − 1 x2 + 1 2  x − 1 x2 + 1 



DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR ___________________

1. Zbërtheni në faktorë shprehjet polinomiale:
a) m3 + 3m 2 + 3m;                     b) −3x + 6 xy + 9 xy 2 ;
c) 10 x 3 − 15 x 2 + 20 x;             ç) (3x + 5)2 − (3x + 5);
d) m 2 − 4m − (m − n)(m − 2).
2. Zbërtheni në faktorë shprehjet polinomiale:
a) x 2 + ax + xy + ay;                 b) x 2 + xy + x + y;
                                        Polinomet                                      49

c) x 3 + x 2 + x + 1;                     ç) 4ax 2 + 2 x − 12ax − bx + 3b − 6;
d) 10a 2 x 3 − 2abx 2 z + 3abxz − 15a 2 x 2 + 20ax − 4bz.
3. Shprehjet që vijojnë të rregullohen dhe pastaj të zbërthehen në faktorë:
a) ( x + 1) 2 − (2 x − 3) 2 − 16 + 8 x − x 2 ;
b) 75 − 2 x(6 y − x) + (3 y − x)(3 x + y ) − (3 y + 2 x)2 .
4. Faktorizoni polinomet:
a) 4 y 2 + 4 y + 1;                       b) ( x + 2)( x − 3) + x 2 + 4 x + 4;
c) x 2 + 4 x + 3;                         ç) x 2 + 8 x + 15;
d) 5 x n + 2 − 20 x n ;                   e) 12 x 3n +3 − 27 x n +1 ;
f) a n b3n − 4a n b n .
5. Gjeni rrënjët e plota të polinomit:
a) p ( x) = x 3 + 2 x 2 − 10 x + 7; b) p ( x) = 2 x 5 − 3 x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 1;
c) p( x) = x5 + 3x 4 + 2 x3 + 6 x 2 − x − 3.
6. Gjeni rrënjët racionale të polinomit:
a) p ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 5 x − 21;      b) p ( x) = 4 x 4 − 7 x3 − x 2 − 5 x + 6.
7. Shkruani në trajtën e thyesave të thjeshta racionale shprehjet:
       2 x 2 + 3x + 5                             x3 − 3x + 1
a)                        ;               b)                         ;
     ( x 2 + 1)( x 2 − 1)                      ( x + 1) 2 ( x 2 − 1)
       x 3 + 3x 2 + 2
c)                        .
     ( x + 1) 2 ( x3 − 1)

								
To top