Docstoc

3. Kombinatorika _33-40_

Document Sample
3. Kombinatorika _33-40_ Powered By Docstoc
					III. ELEMENTE NGA KOMBINATORIKA
1. KOMBINACIONET
Përkufizimi 1.1. Kombinacion i klasës p i bashkësisë prej n elementesh
( p ≤ n ) quhet çdo nënbashkësi prej p elementesh.
Dy kombinacione të klasës p janë të ndryshme në qoftë se njëri prej tyre
përmban të paktën një element që nuk e përmban kombinacioni tjetër. P.sh.
kombinacionet e klasës së tretë të bashkësisë M = {1, 2,3, 4,5} janë

        {1, 2,3} , {1,2, 4} , {1,2,5} , {1,3, 4} , {1,3,5} , {1,4,5} ,
        {2,3, 4} , {2,3,5} , {2,4,5} , {3, 4,5}.
Shkurt, këto kombinacione mund të shkruhen
        123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345.
Në qoftë se bashkësia M është e fundme, pra nëse M = {1, 2,3,..., n} dhe p
                                                 M 
është një numër i fundmë i tillë p ≤ n, shënojmë   (lexo: “M mbi p ”)
                                                  p
bashkësinë e të gjitha nënbashkësive të M me nga p elemente. Numrin e të
gjitha këtyre elementeve e shënojmë Cnp . Është e qartë se
        C np = 0 , për p > n                                             (1)
Në shembullin e mësipërm, bashkësia e kombinacioneve është
        M 
          = {{1,2,3} , {1,2, 4} , {1,2,5} , {1,3, 4} , {1,3,5} ,
        3
               {1,4,5} , {2,3, 4} , {2,3,5} , {2,4,5} , {3, 4,5}}.
Kurse numri i tyre i shprehur me formulën (1) është C 5 = 10 .
                                                      3
34                             Kurs i përgjithshëm i matematikës

                      n           n(n − 1)
Është e qartë se Cn =   = n, Cn =
                  1             2
                                             , sepse kombinacionet e klasës së
                      1              2
dytë nga bashkësia me n elemente janë:
          M 
            = {{1, 2} ,{1,3} ,{1, 4} ,...,{1, n} ,
          2
                          {2,3} ,{2, 4} , ,{2, n} ,
                             ................
                                           {n − 1, n}}.
Shihet qartë se numri i këtyre kombinacioneve është:
                               n
          ( n − 1) + ... + 1 = ( n − 1) - si shumë e progresionit aritmetik.
                               2
Po ashtu, është e qartë se Cn = 1, kurse bashkësia e zbrazët është kombinacion i
                            n

klasës zero. Pra
               n
          C0 =   = 1.
           n

               0
Prodhimin 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n − 1) ⋅ n e shënojmë me n! , pra
          p (n) = n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n − 1) ⋅ n,
ose
      n!= n ⋅ (n − 1) ⋅      ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 dhe e lexojmë “ n - faktoriel ”.
Është e qartë se 0! = 1, sepse nga barazimi m ! = m(m − 1)!, për m = 1, marrim
0! = 1.
Teorema 1.1. Numri i kombinacioneve (pa përsëritje) të klasës p, të bashkësisë
prej n elementesh, është
                       n!
          Cnp =                                                                   (2)
                  p !(n − p )!
Vërtetimi: Vërtetimin e kësaj teoreme e bëjmë me induksion.
                                n!
Për p = 0, kemi Cn =
                 0
                                       = 1,
                               0!⋅ n !
                                  n!
Për p = 1, kemi Cn =
                 1
                                          = n,
                             1 ⋅ (n − 1)!
                                   n!        n ⋅ ( n − 1) ⋅ (n − 2)! n(n − 1)
Për p = 2, kemi Cn =
                 2
                                           =                        =         .
                              2!⋅ (n − 2)!         2!⋅ (n − 2)!         2
                                  Elemente nga kombinatorika                                   35

Supozojmë se formula (2) vlen për numrin e kombinacioneve të klasës
 p − 1 ( p ≥ 1), të bashkësisë M = {1, 2,3,..., n}. Pra supozojmë se vlen
                                n!
          Cnp −1 =                           .
                     ( p − 1)!⋅ (n − p + 1)!
Vërtetojmë se pohimi vlen edhe për kombinacionet e klasës p. Jashtë një
kombinacioni të klasës p − 1 mbesin n − ( p − 1) = n − p + 1 elemente, kurse
p.sh. kombinacioni {1, 2,3,..., p − 1, p} formohet në p mënyra, si vijon:

          {2,3, 4,..., p − 1, p} ∪ {1}
           {1,3,..., p − 1, p} ∪ {2}
            ................................
            {1, 2,3,..., p − 1} ∪ { p}
Pra, secili nga kombinacionet e klasës p − 1, e të tilla janë Cnp −1 , jep nga
n − p + 1 kombinacione të klasës p. Pra, gjithsej janë (m − p + 1) ⋅ Cnp −1
kombinacione të klasës p. Por, meqë secili prej tyre përsëritet nga p herë,
atëherë kemi:
                    n − p + 1 p −1
          Cnp =              ⋅ Cn ,
                        p
e meqë
                                n!
          Cnp −1 =                           ,
                     ( p − 1)!⋅ (n − p + 1)!
atëherë
      n − p +1              n!             n − p +1                     n!
Cnp =          ⋅                         =            ⋅                                    =
          p      ( p − 1)!⋅ (n − p + 1)!         p      ( p − 1)!⋅ (n − p + 1) ⋅ (n − p )!
                                                   n!
                                         =                 .■
                                            p !⋅ (n − p )!


2. DISA BARAZIME TË RËNDËSISHME
1. C np = C n − p
            n


                                    n!                  n!
Vërtetimi: Cn − p =
            n
                                                 =               = Cnp . ■
                         (n − p )!⋅ (n − n + p )! p !⋅ (n − p )!
2. Cnp = Cnp−1 + Cnp−−11 .
Vërtetimi:
36                            Kurs i përgjithshëm i matematikës

                        (n − 1)!          (n − 1)!
Cnp−1 + Cnp−−1 =
            1                       +                     =
                   p !⋅ (n − p − 1)! ( p − 1)!⋅ ( n − p)!
                        (n − 1)!          1    1           (n − 1)!          n− p+ p
             =                           ⋅ +       =                       ⋅          =
                 ( p − 1)!⋅ ( n − p − 1)!  p n − p  ( p − 1)!⋅ (n − p − 1)! p(n − p )
                             n ⋅ (n − 1)!                 n!
            =                                      =               .■
                 p ⋅ ( p − 1)!⋅ (n − p)(n − p − 1)! p !⋅ (n − p )!
                      p!              ( n − p )!


Shembulli 1. Caktoni numrin e diagonaleve të n − këndëshit.
                    n(n − 1)      n(n − 1) − 2n n ⋅ (n − 1 − 2) n(n − 3)
Zgjidhja: Cn − n =
           2
                             −n=               =               =            .
                       2                2              2               2
                                                               6 ⋅ (6 − 3)
P.sh. numri i diagonaleve të gjashtëkëndëshit është C6 − 6 =
                                                       2
                                                                           = 9. ■
                                                                    2




                                                   Fig.10

Shembulli 2. Caktoni të gjitha komisionet me nga tre anëtarë nga bashkësia prej
7 vetash dhe gjeni numrin e komisioneve.
Zgjidhja: Le të jenë shënuar personat e bashkësisë prej 7 vetash me numrat 1 2
3 4 5 6 7. Numri i komisioneve është
              7 7 ⋅6⋅5
         C7 =   =
           3
                           = 35.
               3    3⋅ 2
Të gjitha ato komisione në përbërje me nga tre anëtarë janë:
        123 134          145 156          167
        124 135          146 157
        125 136          147
        126 137
        127
          234         245       256 267
          235         246       257
          236         247
          237
                          Elemente nga kombinatorika                             37

        345      356      367
        346      357
        347
        456      467
        457
        567
Pra, shihet se numri i përgjithshëm i kombinacioneve të bashkësisë prej shtatë
elementesh është 35.■
Shembulli 3. Sa trekëndësha mund të ndërtohen në mënyrë që kulmet e tyre të
jenë ndër 7 pikat e bashkësisë S, çdo tri prej të cilave nuk i takojnë një drejtëze.
                   7 7⋅6⋅5
Zgjidhja: C7 =   =
              3
                               = 35. ■
                    3  3⋅ 2
Shembulli 4. Prej sa elementesh mund të formohen:
                a) 435 kombinacione të klasës së dytë,
                b) 4845 kombinacione të klasës së katërt.
                               n(n − 1)
Zgjidhja: a) Nga Cn = 435 ⇒
                      2
                                         = 435 ⇒ n( n − 1) = 870 ⇒ n = 30.
                                   2
            n             n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
  b) Cn ==   = 4845 ⇒
       4
                                                   = 4845 ⇒ n = 20. ■
             4                    4 ⋅3⋅ 2


3. PERMUTACIONET
Përkufizimi 3.1. Pasqyrimi bijektiv f : G → G quhet permutacion i bashkësisë
G.
Ne do të kufizohemi në rastin kur bashkësia G është e fundme.
Shembulli 1. Të gjenden permutacionet e bashkësisë S = {1,2,3}.
Zgjidhja. Meqë permutacioni përkufizohet si pasqyrim bijektiv i bashkësisë S
në vetvete, atëherë permutacioni në të vërtetë paraqet një rirenditje të
elementeve të bashkësisë S. Në këtë kuptim, permutacionet e bashkësisë S janë:
        123       213 312
        132       213 321
D.m.th. gjithsej janë 6 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 permutacione të bashkësisë prej tre elementesh,
ose,
        p (3) = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1. ■
Ngjashëm, mund të shkruajmë permutacionet e bashkësisë prej katër
elementesh.
38                          Kurs i përgjithshëm i matematikës

Le të jetë dhënë bashkësia S = {1, 2,3, 4}. Duke bërë rirenditjen e elementeve të
bashkësisë S, shohim se elementi 1 mund të jetë gjashtë herë në pozitën e parë,
sepse elementet tjera 2, 3 dhe 4 mund të renditen në gjashtë mënyra. Për të
njëjtën arsye, elementet tjera 2, 3 dhe 4 mund të jenë nga gjashtë herë në
pozitën e parë. Prandaj, permutacionet e bashkësisë S = {1,2,3, 4} janë:
         1234          2 134       3124 4123
         1243          2 143       3142 4132
         1324          2 314       3214 4213
         1342          2 341       3241 4231
         1423          2 413       3412 4312
         1432          2 431       3421 4321
Numri i përgjithshëm i tyre është p (4) = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 4!.
Kështu, në mënyrë induktive mund të nxjerrim formulën për numrin e
përgjithshëm të permutacioneve të bashkësisë prej n elementesh:
      p (n) = n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1.
Shembulli 2. Sa numra të ndryshëm mund të shkruhen nga shifrat 0,1,2,3,...,9 ?,
nëse
        a) Çdo shifër figuron vetëm njëherë në një numër;
        b) Shifra 0 nuk ndodhet në vendin e parë.
Zgjidhja: a) p (10) = 10!, b) 10!− 9! = 9!(10 − 1) = 9 ⋅ 9! = 3 265 920. ■


4. VARIACIONET
Përkufizimi 4.1 Çdo varg i gjatësisë k i elementeve të një bashkësie prej n
elementesh quhet variacion i klasës k prej n elementesh. Simbolikisht shënohet:
Vnk .
Në bazë të përkufizimit 4.1 gjejmë mënyrën e ndërtimit të variacioneve të
klasës k prej n elementeve dhe formulën për llogaritjen e numrit Vnk . Pra, së
pari gjejmë kombinacionet e klasës k të bashkësisë prej n elementeve e pastaj
permutojmë secilin prej tyre. Rrjedhimisht
                                      n!
        Vnk = Cnk ⋅ P ( k ) =                  ⋅ k ! = n(n − 1)(n − 2)....( n − k + 1).
                                k !⋅ (n − k )!
Pra,
                  Vnk = n(n − 1)(n − 2)....(n − k + 1) .
                            Elemente nga kombinatorika                                39


DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR ___________________
1. Duke ditur se P ( n ) = n ! = n(n − 1)!, n ! = n(n − 1)(n − 2)! etj. tregoni se:
   10!                 11!             15!
a)     = 8!⋅ 10; b)          = 9! ; c)     = 210 .
    9                11 ⋅ 10           13!
2. Gjashtë vetë ulen afër një tavoline. Sikur për çdo ditë t’i ndërronin vendet,
për sa ditë do të arrinin në pozicionin fillestar si kanë qenë ulur. A ndryshon ky
numër nëse njerëzit ulen në një bankë (vijë të drejtë)?
                                1 2 3 4      1 2 3 4 
3. Janë dhënë permutacionet f =         , g =         . Gjeni
                                 2 3 1 4      4 3 2 1
 f h, h f , ( f h ) h etj.1)
4. Sa numra dyshifrorë, treshifrorë, me shifra të ndryshme, mund të shkruhen
nga shifrat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
5. Sa numra dyshifrorë mund të shkruhen nga shifrat 0,1,2,3,4?
Udhëzim: V52 = 20 − 4 = 16. (sepse në rastin kur shifra 0 është në vend të parë
numri nuk është dyshifror).
6. Sa numra mund të merren duke i marrë shifrat 0,1,2,3,4 vetëm nga një herë?
7. Një klasë ka shtatë lëndë të ndryshme. Në sa mënyra mund të përpilohet
orari i mësimit nëse nxënësit kanë nga 4 orë mësimi në ditë?
8. Gjeni numrin n që plotëson barazimin V23n = 20 ⋅ Vn2 .

9. Gjeni numrin n nga barazimi Vn2− 4 + Vn2−3 + Vn2− 2 = 20.

10. Sa prodhime të ndryshme numrash mund të formohen nga shifrat 2,3,5,6,8,
9?
11. Gjeni numrin n nga barazimi 5 ⋅ Cn = Cn + 2 .
                                     3    4


                             (n + 1)! (n + 1)!
12. Thjeshtoni shprehjet:            ,          , (5!) 2 − 52.
                                n!     (n − 1)!




1)
   Sipas përkufizimit, permutacionet janë pasqyrime bijektive. Prandaj, për zgjidhjen e
kësaj detyre lexuesi duhet të dijë shumëzimin e pasqyrimeve kur ato janë dhënë në
formën matricore, sikur në detyrë.

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:116
posted:11/16/2012
language:Unknown
pages:7