2. Numrat kompleks _22-32_

Document Sample
2. Numrat kompleks _22-32_ Powered By Docstoc
					ALGJEBRA LINEARE DHE
GJEOMETRIA ANALITIKE
II. NUMRAT KOMPLEKS
1. BASHKËSIA E NUMRAVE KOMPLEKS
1.1 PËRKUFIZIMI DHE VEPRIMET
    ME NUMRA KOMPLEKS
Më parë kemi mësuar për ndërtimin e bashkësive numerike në mënyrë
aksiomatike, por edhe duke plotësuar kërkesa të reja të cilat nuk i përmbushte
bashkësia e mëparshme numerike. Duke u udhëhequr nga ky parim është
ndërtuar bashkësia e numrave të plotë duke e zgjeruar bashkësinë e numrave
natyrorë; bashkësia e numrave racionalë duke zgjeruar bashkësinë e numrave të
plotë; bashkësia e numrave realë si bashkim i bashkësisë së numrave racionalë
dhe të atyre irracionalë. Por edhe në bashkësinë e numrave realë ka përplot
probleme të cilat nuk mund të zgjidhen në këtë bashkësi. Për shembull,
ekuacioni kuadratik x 2 + 1 = 0 nuk ka zgjidhje në bashkësinë e numrave realë.
Prandaj, është e nevojshme që edhe kjo bashkësi numerike të zgjerohet në një
bashkësi tjetër numerike, e cila përmbush këtë kërkesë dhe kërkesa të tjera të
ngjashme.
Shënojmë C = { z = ( x, y ) x, y ∈ R} , dhe në të përkufizojmë relacionin e barazisë
        (x, y ) = (u, v ) ⇔ x = u     dhe y = v                     (1)
si dhe veprimet e mbledhjes dhe të shumëzimit si vijon:
        ( x, y ) + ( u , v ) = ( x + u , y + v ) ,                  (2)

        ( x, y ) ⋅ ( u , v ) = ( xu − yv, xv + yu ) .               (3)
                                         Numrat kompleksë                                       23

Bashkësia C quhet bashkësi e numrave kompleksë, kurse elementet e saj
quhen numra kompleksë.
Në bashkësitë numerike N, Z, Q dhe R numri 1 ka vetinë:
- secili numër që shumëzohet me 1 nuk e ndërron vlerën. Në bashkësinë e
numrave kompleksë këtë veti e ka numri (1,0 ) . Vërtet
         ( x, y ) ⋅ (1,0 ) = ( x ⋅1 − 0 ⋅ 0, x ⋅ 0 + y ⋅ 1) = ( x, y ) .
Në   bashkësinë e numrave R ∗ = R \ {0} , R është bashkësia
                                                          e numrave realë,
                                 1                        1
secili numër x ka inversin e vet   që plotëson kushtin x ⋅ = 1 . Ngjashëm,
                                 x                        x
numri (x, y ) ka inversin
               x         −y 
       z −1 =  2     , 2   2 
                                .
              x +y x +y 
                    2


Duke zbatuar barazimin (3) provohet lehtë se
                               −y 
          (x, y ) ⋅    x
                             ,          = (1,0 ) .
                    x2 + y 2 x2 + y 2 
Nëse      shënojmë          R ' = {( x,0 ) / x ∈ R} ,      atëherë        është     e   qartë   se
R ' = {( x,0 ) x ∈ R} ⊂ C. Meqë bashkësia R' ka dyshet e renditura me
komponentë të parë çfarëdo numri real, kurse komponentë të dytë zero, në
mënyrë të natyrshme mund të bëjmë identifikimin e bashkësisë R' me
bashkësinë R . D.m.th. dyshen e renditur (x,0 ) e identifikojmë me x . Në bazë
të këtij identifikimi mund të shkruajmë ( x,0 ) = x . Shënojmë (0,1) = i dhe këtë
numër kompleks e quajmë njësi imagjinare. Duke pasur parasysh këtë
identifikim dhe relacionin (3) llogarisim
          i 2 = ( 0,1) ⋅ ( 0,1) = ( 0 ⋅ 0 − 1 ⋅1, 1 ⋅ 0 + 0 ⋅1) = ( −1,0 ) = −1.
Në bazë të barazimit të mësipërm numrin kompleks të formës z = ( x, y ) mund
ta shkruajmë
          z = ( x, y ) = ( x,0 ) + (0, y ) = ( x,0 ) + (1,0) ⋅ ( y,0 ) = x + iy .
Kjo formë e numrit kompleks z = x + iy quhet forma normale e numrit
kompleks. Numri x quhet pjesa reale e z kurse y quhet pjesa imagjinare.

Përkufizimi 1.1.1. Numri kompleks z = ( x,− y ) = x − iy                            quhet numër
kompleks i konjuguar i numrit z = x + iy .
Nëse shënojmë z1 = ( x1 , y1 ) dhe z2 = ( x2 , y2 ) , atëherë është e qartë se
          z1 − z2 = z1 + ( − z2 ) = ( x1 − x2 , y1 − y2 ) ,
24                                Kurs i përgjithshëm i matematikës

dhe

         z1                                  x        y                   
            = z1 ⋅ z2 −1 = ( x1 , y1 ) ⋅  2 2 2 , − 2 2 2                 .
         z2                               x2 + y2  x2 + y2                
Më tutje vlejnë barazimet:

             1.     z = z;
             2.     z1 + z2 = z1 + z2 ;
             3.     z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 ;

                     z1  z1
             4.      = ;
                     z2  z2
             5.     z + z = 2 Re( z );
             6.     z − z = 2i Im( z );
             7.     z z = x 2 + y 2 ≥ 0.
Barazimet e mësipërme vërtetohen lehtë. Të vërtetojmë p.sh. barazimin 3.
Le të jenë dhënë numrat kompleksë z1 = ( x1 , y1 ) dhe z2 = ( x2 , y2 ) . Atëherë,

         z1 ⋅ z 2 = ( x1 x 2 − y1 y 2 , x1 y 2 + x 2 y1 ) = ( x1 x 2 − y1 y 2 ,− x1 y 2 − x 2 y1 )
                  = (x1 x 2 − (− y1 )(− y 2 ), x1 (− y 2 ) + x 2 (− y1 ))

                  = ( x1 , − y1 ) ⋅ ( x2 , − y2 ) = ( x1 , y1 ) ⋅ ( x2 , y2 ) = z1 ⋅ z 2 .


1.2. INTERPRETIMI GJEOMETRIK I NUMRIT
     KOMPLEKS
Le të jetë C bashkësia e numrave kompleksë dhe π një rrafsh në të cilin është
përcaktuar sistemi koordinativ O xy . Pasqyrimi
                                                   y
 f : C → π , numrit kompleks z = (x, y ) i
shoqëron pikën ( x, y ) e rrafshit π . Ky pasqyrim                                              z = ( x, y )
është bijeksion. Kështu, çdo numër kompleks
mund të paraqitet si pikë në rrafshin OXY dhe                                   y
anasjelltas, secilës pikë të rrafshit i përgjigjet një
numër kompleks. Për këtë arsye rrafshi OXY                                      0       x                  x
ndryshe quhet rrafsh kompleks. Të shohim
gjeometrikisht si duket kjo paraqitje (fig. 6).                                        Fig. 6
                                     Numrat kompleksë                                          25


Shihet qartë se pjesës reale i përgjigjet një pikë në boshtin OX kurse pjesës
imagjinare i përgjigjet një pikë në boshtin OY . Po ashtu, numri kompleks mund
të paraqitet si vektor me fillim në origjinën e sistemit koordinativ dhe mbarim
në pikën P ( x, y ) . Në këtë lloj paraqitje, pjesa reale e numrit kompleks
                                                             →
z = (x, y ) paraqitet si projeksion normal i vektorit OZ në boshtin OX kurse
                                                                              →
pjesa imagjinare paraqitet si projeksion normal i vektorit OZ në boshtin
OY (fig.6). Duke konsideruar këtë lloj paraqitjeje të numrit kompleks në rrafshin
kompleks mund të paraqesim gjeometrikisht shumën dhe ndryshimin e numrave
kompleksë si në figurën 7.
                                     y


                                                                         z1 + z 2
                                              z1
          z1 + (− z 2 ) = z1 − z 2


                                                            z2
                                     O                                          x
               − z2                  Fig. 7




2. FORMA TRIGONOMETRIKE E NUMRIT KOMPLEKS
Pozita e pikës në rrafshin kompleks përcaktohet në mënyrë të vetme kur dihen:
        1. Distanca e pikës nga origjina e sistemit koordinativ,
        2. Këndi ϕ i përcaktuar nga pjesa pozitive e boshtit O x dhe
vektori OP, shih figurën 8.                             y
Është e qartë se për çdo numër
kompleks, moduli është i përcaktuar në
mënyrë të vetme, kurse argumenti është                                        P ( x, y )
i përcaktuar me saktësi deri në
                                                        y        r
shumëfish të këndit të plotë. Nëse me
ϕ 0 = arg z shënojmë argumentin e                                ϕ
numrit kompleks z që plotëson kushtin                   0            x                     x
 −π < arg z < π , atëherë në rastin e                                Fig. 8
përgjithshëm argumenti i numrit
kompleks            shprehet       me
26                                  Kurs i përgjithshëm i matematikës

Arg z = arg z + 2kπ ( k ∈ Z ) .
Nga figura 2.3 shihet se
           r = x 2 + y 2 dhe ( x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ).
Prandaj,
           z = (x, y ) = (r cos ϕ , r sin ϕ ) = r (cos ϕ + i sin ϕ )    (1)
Barazimi (1) shpreh formën trigonometrike të numrit kompleks.
Nga formulat (1) mund të shkruajmë
                            y
           arg z = arc tg     + επ ( x ≠ 0)
                            x
ku
                0,        x>0
               
           ε =  1, x < 0 ∧ y ≥ 0
               −1, x < 0 ∧ y < 0
               
Sikur shihet, gjatë kalimit nga forma e zakonshme e numrit kompleks në formën
e tij trigonometrike është e nevojshme të shihet qartë se në cilin kuadrant
ndodhet numri kompleks në mënyrë që eventualisht të mos gabohet në caktimin
e argumentit.
Shembulli 1. Shkruani në formën trigonometrike numrin kompleks z = 1 + i 3.
Zgjidhja: Moduli i numrit kompleks z = 1 + i 3 është

                            ( 3)
                                    2
           r = z = 12 +                 = 1 + 3 = 2.

Meqë x = 1 > 0, atëherë argumenti i z = 1 + i 3 është
                           3               π
           ϕ = arg z = arctg = arctg 3 = .
                          1                3
Prandaj, forma trigonometrike e z = 1 + i 3 është
                       π       π
        1 + i 3 = 2 cos + i sin . ■
                       3       3
Shembulli 2. Shkruani në formën trigonometrike numrin kompleks z = −1 − i .
Zgjidhja: Moduli i numrit kompleks z = −1 − i është

                      ( −1)       + ( −1) = 2
                              2          2
           r= z =
kurse argumenti i tij, meqë x < 0, y < 0, është
                          −1          3π
        ϕ = arg z = arctg − π = − .
                          −1           4
                                         Numrat kompleksë                                           27

Prandaj, forma trigonometrike e numrit z = −1 − i është
                  3π                       3π               3π         3π       
    − 1 − i = 2  cos −
                                   + i sin  −       = 2  cos
                                                                     − i sin          . ■
                  4                        4                 4          4       


2.1 SHUMËZIMI I NUMRAVE KOMPLEKSË NË FORMËN
    TRIGONOMETRIKE
Le të jenë dhënë dy numra kompleksë në formën trigonometrike
         z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )          dhe   z2 = r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) .
Duke zbatuar formulën për shumëzimin e numrave kompleksë në formën
trigonometrike kemi
   z1 z 2 = (r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 ), r1 r2 (cos ϕ1 sin ϕ 2 + sin ϕ1 cos ϕ 2 ))
             = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ ), sin (ϕ1 + ϕ 2 )) = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ 2 )) (1)
Nga barazimi i fundit mund të përfundojmë se moduli i prodhimit të numrave
kompleksë është i barabartë me prodhimin e moduleve kurse argumenti është i
barabartë me prodhimin argumenteve. Me fjalë të tjera
             z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2    dhe arg ( z1 ⋅ z2 ) = arg z1 + arg z2 .
Barazimi i fundit mund të përgjithësohet për shumëzimin e një numri të fundmë
numrash kompleksë në formën trigonometrike. D.m.th.
    z1 z 2      z n = r1 r2   rn (cos(ϕ1 + ϕ 2 +      + ϕ n ) + i sin (ϕ1 + ϕ 2 +      + ϕ n ))    (2)
Nëse në barazimin (2) konsiderojmë z1 = z 2 = = z n , që d.m.th.
r1 = r2 = = rn dhe ϕ1 = ϕ 2 = = ϕn , atëherë marrim formulën për fuqizimin
e numrit kompleks në formën trigonometrike:
         z n = [ r (cos ϕ + i sin ϕ ) ] = r n ( cos nϕ + i sin nϕ )
                                           n
                                                                                                  (3)
Barazimi (3) shpreh formulën e Muavrit për fuqizimin e numrit kompleks.
Shembulli 1. Janë dhënë numrat kompleksë z1 = 2 + 2i dhe z 2 = 1 + i 3 .
Njehsoni prodhimin z1 ⋅ z 2 duke i shkruar më parë numrat z1 dhe z 2 në formën
trigonometrike.
Zgjidhja: Nëse shënojmë me r1 dhe ϕ1 modulin dhe argumentin e numrit
kompleks z1 , kurse me r2 dhe ϕ 2 modulin dhe argumentin e numrit kompleks
z 2 , kemi:
                                                               2           π
         r1 = 2 2 + 22 = 2 2, ϕ1 = arg z1 = arctg                = arctg1 = ,
                                                               2           4
28                                Kurs i përgjithshëm i matematikës

                                                                 3            π
           r2 = 12 + ( 3) 2 = 2, ϕ2 = arg z2 = arctg               = arctg 3 = .
                                                                1             3
Në bazë të formulës (1) kemi:
           z1 ⋅ z 2 = r1 ⋅ r2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ 2 )) =
                          π π          π π            7π         7π 
           = 2 2 ⋅ 2  cos  +  + i sin  +   = 4 2  cos    + i sin    . ■
                          4 3          4 3            12         12 


2.2. PJESËTIMI I NUMRAVE KOMPLEKSË
      NË FORMËN TRIGONOMETRIKE
Le të jenë dhënë numrat kompleksë
           z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) dhe        z2 = r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) .
                         z1
Formojmë herësin            dhe llogarisim
                         z2

z1  r1r2 ( cos ϕ1 cos ϕ 2 + sin ϕ1 sin ϕ1 ) r1r2 ( cos ϕ1 sin ϕ2 − cos ϕ2 sin ϕ1 ) 
  =                                        ,                                       =
z2 
                      r2 2                                    r2 2                 
                                                                                    
       r                    r                  r
     =  1 cos (ϕ1 − ϕ 2 ) , 1 sin (ϕ1 − ϕ 2 )  = 1 ( cos (ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ2 ) ) .
        r2                 r2                  r2
Përfundimisht
            z1   r
               = 1 (cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ 2 ))                              (4)
            z 2 r2

D.m.th. herësi i dy numrave kompleksë është po ashtu numër kompleks, moduli
i të cilit është sa herësi i moduleve kurse argumenti është sa ndryshimi i
argumenteve.


2.3 RRËNJËZIMI I NUMRAVE KOMPLEKSË
     NË FORMËN TRIGONOMETRIKE
Le të jetë dhënë numri kompleks z ≠ 0. Rrënjë e n − të e numrit kompleks
 z (n ∈ N , n ≥ 2 ) quhet numri kompleks w që plotëson kushtin wn = z. Le t’i
shënojmë numrat kompleksë z dhe w në formën trigonometrike
           z = r (cos ϕ , sin ϕ ) dhe w = ρ ( cosθ ,sin θ ) .
Në bazë të formulave të Muavrit kemi
                                           Numrat kompleksë                                  29

          ρ n ( cos nθ ,sin nθ ) = r ( cos ϕ ,sin ϕ ) .
Prandaj
          ρ n = r dhe nθ = ϕ + 2kπ                        (k ∈ Z ) ⇒
                                     ϕ + 2 kπ
          ⇒ ρ = n r dhe θ =                           ( 0 ≤ k ≤ n − 1) .
                                         n
Rrjedhimisht
                        ϕ + 2 kπ n             ϕ + 2k π           
          wk =  n r cos         ,           r  sin                  ( 0 ≤ k ≤ n − 1) ,
                           n                       n              
ose
                        ϕ + 2k π         ϕ + 2 kπ 
          wk = n r  cos          + i sin           ( 0 ≤ k ≤ n − 1) . (5)
                           n                n     
Nga formula e fundit përfundojmë se ekzistojnë n - vlera të ndryshme të n r të
cilat merren për k = 0,1, 2,..., n − 1 . Me të vërtetë, le të jetë m ∈ N dhe m > n,
atëherë m = nq + t ( 0 ≤ t < n ) . Rrjedhimisht
          ϕ + 2mπ           ϕ + 2nqπ + 2tπ                ϕ + 2tπ
                        =                             =             + 2 qπ
                n                    n                       n
dhe
                ϕ + 2 mπ            ϕ + 2tπ              ϕ + 2tπ
          sin                = sin          + 2qπ  = sin         ,
                    n                  n                    n
                ϕ + 2mπ              ϕ + 2tπ
          cos                = cos                ,
                    n                    n
që d.m.th. se wm = wt (0 ≤ t < n ) , por wt përfshihet në formulën (5). Në
mënyrë të ngjashme tregohet se kur m është numër i plotë negativ, wm
gjithashtu përfshihet në formulën (5). Kjo do të thotë se të vetmet rrënjë të
ndryshme të z janë wk ( 0 ≤ k ≤ n − 1) .
Përfundimisht, nga formula e fundit konstatojmë se rrënjëzimi i numrit
kompleks është gjithnjë i mundur, dhe rrënja e n -të e numrit kompleks ka
gjithnjë n –vlera të cilat jepen me formulën (5) dhe ato ndryshojnë ndërmjet
         2π
veti për    . Vërtet,
          n
                        ϕ + 2 ( s + 1) π    2π   ϕ + 2 sπ 2π
          arg ws +1 =                        = = arg ws +    .+
                        n            n       n             n
Prandaj n -rrënjët e numrit kompleks formojnë progresion aritmetik
30                                 Kurs i përgjithshëm i matematikës

        ϕ ϕ + 2π                 ϕ + 2(n − 1)π
           ,            ,    ,       .
         n     n              n
kurse modulet e tyre janë të barabarta me n r . Me fjalë tjera wk (0 ≤ k ≤ n − 1)
paraqesin kulmet e një n -këndëshi të rregullt të brendashkruar në rrethin me
qendër në origjinën e sistemit koordinativ e me rreze n r (shih fig. 9).

                                         Y

                                        w2                          2π
                                                      w1             n

                                                               w0
                                                     ϕ
                                          0                                 X
                                                                wn −1




                                          Fig. 9



2.4 FORMA EKSPONENCIALE E NUMRIT KOMPLEKS
Një formë tjetër e numrit kompleks, që quhet forma eksponenciale,                     është
shumë e zbatueshme dhe praktike.
Le të jetë dhënë numri kompleks në formën trigonometrike
         z = r (cos ϕ , sin ϕ )                                                 (1)
Shqyrtojmë funksionin
                         e iϕ
         f (ϕ ) =                                                               (2)
                    cos ϕ + i sin ϕ
ku i është njësi imagjinare, kurse e është baza e logaritmit natyror. Shohim
derivatin e parë të këtij funksioni
                      ieiϕ (cos ϕ + i sin ϕ ) − eiϕ (− sin ϕ + i cos ϕ )
         f ' (ϕ ) =                                                      = 0.
                                    (cos ϕ + i sin ϕ ) 2
që d.m.th. se funksioni f (ϕ ) është konstant. D.m.th.
                                    Numrat kompleksë                                31

             eiϕ
                        = C.
        cos ϕ + i sin ϕ
Për C = 1 marrim
        e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ                                          (3)
Barazimi i fundit shpreh formulën e Euler-it. Nga barazimet (1) dhe (3) marrim
formulën
         z = reiϕ ,
e cila paraqet formën eksponenciale të numrit kompleks, që ndryshe njihet si
formula e Euler-it (Ojler-it).


DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR ___________________

1. Njehsoni pjesën reale dhe imagjinare të numrave kompleksë:
                  1− i                                4 + 3i
        a) z =         .                     b) z =          .
                   2                                  1 + 3i
2. Njehsoni numrat realë a dhe b nëse:
        1)     a + ib = −3 − 2i.             2)      a + ib = 1 + 2i.
3. Janë dhënë numrat kompleksë z1 = 6 − 5ai dhe z2 = −5a − 3i. Gjeni
parametrin a ashtu që Im( z1 + z2 ) = 15.
4. Gjeni numrin kompleks z = x + iy që e plotëson barazimin
        (1 + i ) x + (2 + i ) y = 5 + 3i.
                                         n
                          1+ i 
5. Caktoni n ∈ N ashtu që       = 1.
                          1− i 
6. Caktoni numrat realë b dhe c ashtu që trinomi p ( x) = x 2 + bx + c të
plotësojë kushtin p (−i + 1) = 2 + i.

                               1 + x 2 + ix
7. Të zgjidhet ekuacioni                      = i.
                            x + i 1 + x2
8. Gjeni të gjithë numrat kompleksë z që plotësojnë kushtin z = z 2 .
                                                  z − 12 5              z−4
9. Caktoni numrin kompleksë z nëse                      = dhe                = 1.
                                                  z − 8i 3              z −8
                 z −1
10. Tregoni se        ∈ R ⇔ z ∈ R \ {−1}.
                 z +1
32                               Kurs i përgjithshëm i matematikës

11. Tregoni se për çdo dy numra kompleksë z1 dhe z2 vlen jobarazimi:
          z1 + z2 ≤ z1 + z2 .
12. Le të jetë z = x + iy numër kompleks. Çka paraqet në rrafshin kompleks
barazimi z ⋅ z = 1 ?
13. Janë dhënë numrat kompleksë z1 = 1 + 2ai dhe z2 = 3a − 4i. Caktoni
parametrin real a ashtu që Im( z1 + z2 ) = 0.
14. Gjeni numrin kompleks z = x + iy që e plotëson barazimin
          2 x + (1 + i )( x + y ) = 7 + i.
15. Numrin kompleks z = 1 + i 3 shkruani në formë trigonometrike.
                                                                              1
16. Është dhënë numri kompleks z = r (cos ϕ + i sin ϕ ). Të gjenden numrat
                                                                              z
dhe z .
17. Janë dhënë numrat kompleksë z1 = 2 + 2i dhe z2 = 1 + 3i. Njehsoni z1 ⋅ z2 .
18. Njehsoni (1 + i )10 .
19. Të gjenden të gjitha vlerat e        3
                                             − 8.
20. Njehsoni     4
                     1 + i.

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:473
posted:11/16/2012
language:
pages:11