Docstoc

1.Trigonometria _9-21_

Document Sample
1.Trigonometria _9-21_ Powered By Docstoc
					PJESA E PARË
I. ELEMENTE NGA TRIGONOMETRIA
1. PËRKUFIZIMI I FUNKSIONEVE
   TRIGONOMETRIKE NË TREKËNDËSH
Le të jetë ABC një trekëndësh kënddrejtë, fig.1. Në ∆ABC përkufizohen
funksionet trigonometrike si vijon:
                 a          b       a           b
       sin α =     , cos α = , tgα = dhe ctgα =        (1)
                 c          c       b           a

                                 B

                                 β
                                           c
                             a

                                               α
                             C         b           A
                                     Fig. 1
Edhe këndi tjetër β është i ngushtë dhe, njësoj, mund të përkufizohen
funksionet trigonometrike të tij. Kështu:
              b        a        b           a
       sin β = ,cos β = , tg β = dhe ctgβ =            (2)
              c        c        a           b
10                        Kurs i përgjithshëm i matematikës

Mirëpo, meqenëse shuma e këndeve të brendshme në trekëndësh është 180 ,
                                                                                π
shprehur në radian π dhe ABC është trekëndësh kënddrejtë, atëherë α + β =           .
                                                                                2
                                     π
Nga barazimi i fundit marrim β =     − α . Duke zëvendësuar barazimin e fundit
                                   2
në barazimet (2) dhe duke i krahasuar me (1) marrim:
                    π     b                            π    
        sin β = sin  − α  = = cos α , rrjedhimisht sin  − α  = cos α ;
                    2     c                            2    
                    π     a                            π    
        cos β = cos  − α  = = sin α , rrjedhimisht cos  − α  = sin α ;
                     2     c                            2   
                  π     b                          π    
        tg β = tg  − α  = = ctgα , rrjedhimisht tg  − α  = ctgα ;
                  2     a                          2    
                    π                              π    
        ctg β = ctg  − α  = tgα , rrjedhimisht ctg  − α  = tgα .
                    2                              2    
Pra,
            π                   π    
        sin  − α  = cos α , cos  − α  = sin α ,
            2                   2    
           π                  π    
        tg  − α  = ctgα , ctg  − α  = tgα .
            2                  2   
                                                 π
Barazimet e fundit tregojnë se në ndryshimin          − α funksionet trigonometrike
                                                  2
                                                                 π
kalojnë në kofunksione. Kjo do të thotë se në ndryshimin        − α , sinusi kalon
                                                              2
në kosinus dhe anasjelltas, si dhe tangjenti në kotangjent dhe anasjelltas.
Shembulli 1. Të gjenden funksionet trigonometrike të këndeve të ngushtë të
trekëndëshit kënddrejtë ABC nëse janë dhënë kateta B = 24 dhe hipotenuza
c = 25.
Zgjidhja: Nga fakti se në trekëndëshin kënddrejtë vlen a 2 + b 2 = c 2 , atëherë
 a 2 = c 2 − b 2 = 49 ⇒ a = 7. Prandaj, në bazë të përkufizimit të funksioneve
trigonometrike kemi:
                  7           24       7                      24
        sin α =      , cos α = , tgα =         dhe ctgα =        .
                  25          25       24                     7
                  24           7          24                   7
        sin β =      , cos β =    , tgβ =      dhe ctg β =        .
                  25           25         7                    24
                             Elemente nga trigonometria                   11

Nga ana tjetër, duke ditur se për këndet e ngushtë të trekëndëshit kënddrejtë
vlen relacioni α + β = 900 , d.m.th. β = 90 0 − α , vlerat e funksioneve
trigonometrike të këndit β mund t’i gjejmë edhe nga relacionet:
                                           24
           sin β = sin(900 − α ) = cos α =    ,
                                           25
                                            7
           cos β = cos(900 − α ) = sin α = ,
                                           25
                                         24
           tg β = tg (900 − α ) = ctgα = ,
                                         7
dhe
                                    7
           ctg β = ctg (900 − α ) = tgα =
                                      .■
                                   24
Të theksojmë se formulat trigonometrike
           sin(900 − α ) = cos α , cos(900 − α ) = sin α ,
           tg (900 − α ) = ctgα , ctg (900 − α ) = tgα
vlejnë në çdo rast dhe për çfarëdo këndi.
Shembulli 2. Të gjenden vlerat e funksioneve trigonometrike të këndit të
                               3
ngushtë α në qoftë se sin α = .
                               5
Zgjidhja: Po të konstruktojmë një trekëndësh kënddrejtë ABC , kur dihen a =3
dhe c = 5, nga figura 2 gjejmë
           b = c 2 − a 2 = 52 − 32 = 16 = 4.
Prandaj,
                  3         4       3          4
           sin α = , cos α = , tgα = dhe ctgα = . ■
                  5         5       4          3

                                 B
                                     β
                                                 c=5
                             a=3

                                                       α
                                C                            A
                                                b
                                            Fig. 2
12                         Kurs i përgjithshëm i matematikës


2. FUNKSIONET TRIGONOMETRIKE TË KËNDIT TË
   ÇFARËDOSHËM
Për një kënd themi se është në pozitën standarde nëse kulmi i tij është në
origjinën e sistemit koordinativ, kurse krahu i tij fillestar shtrihet në boshtin Ox.
Për një kënd themi se ndodhet në kuadrantin e parë, nëse në pozitën standarde,
krahu i tij i fundit ndodhet në kuadrantin e parë. Ngjashëm themi se një kënd
ndodhet në kuadrantin e dytë, të tretë dhe të katërt.
Për këndin ϕ të dhënë në figurën 3, funksionet trigonometrike përkufizohen si
vijon:
                  y          x       y        x
        sin ϕ =     , cos ϕ = , tgϕ = , ctgϕ = .
                  r          r       x        y
                                                      Y

                                     M ( x, y )
                                                      y

                                         r                ϕ

                                     x                            X
                                                  0
                                             Fig. 3



3. PËRKUFIZIMI I FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
   NË RRETHIN TRIGONOMETRIK
Rrethi i orientuar në drejtim të kundërt të lëvizjes së akrepave të orës, me rreze
njësi, e me qendër në origjinën e sistemit koordinativ, quhet rreth
trigonometrik.
Funksionet trigonometrike mund të përkufizohen edhe në rreth trigonometrik.
Le të jetë dhënë rrethi trigonometrik sikur në figurën 4:
                                              t
                                Y

                                C             K               c
                                              T

                      A2    α                 B
                                0                         X
                  A             A1


                           Fig. 4
                               Elemente nga trigonometria                           13

Po përkujtojmë, pa hyrë fare në detaje (meqë studentët të cilëve ky tekst iu
dedikohet këto gjëra i kanë të njohura nga shkolla e mesme), përkufizimin e
funksioneve trigonometrike në rrethin trigonometrik:
      sin α = OA1 , cos α = OA2 , tgα = BT dhe ctgα = CK                  (1)

D.m.th. sinusi i këndit α është vlera algjebrike e projeksionit të vektorit OA në
boshtin OY , kosinusi i këndit α është vlera algjebrike e projeksionit të vektorit
OA në boshtin OX , tangjenti i këndit α është vlera algjebrike e vektorit BT ,
kurse kotangjenti i këndit α është vlera algjebrike e vektorit CK . Nga
përkufizimi i funksioneve trigonometrike në rreth vërejmë që −1 ≤ sin α ≤ 1 dhe
−1 ≤ cos α ≤ 1.
Në vazhdim do të nxjerrim disa identitete të rëndësishme.

Meqë figura OA1 AA2 është katërkëndësh kënddrejtë, atëherë OA1 = A2 A .
Kurse nga trekëndëshi kënddrejtë OA1 A , në bazë të teoremës së Pitagorës,
                                        2        2        2
meqë OA2 = A1 A , marrim OA = OA1 + OA2 . Duke zëvendësuar në (1)
marrim:
       sin 2 α + cos 2 α = 1                                              (2)
Barazimi (2) njihet si identiteti themelor në trigonometri.
Çdo kënd i orientuar α mund të paraqitet në formën α + 2kπ . Prandaj
funksionet trigonometrike sin x, cos x janë funksione periodike me periodë
themelore 2π . Nga rrethi trigonometrik, në bazë të përkufizimit të tgx dhe ctgx,
vërejmë se tgx dhe ctgx kanë periodën themelore π . Rrjedhimisht
          sin (ϕ + 2kπ ) = sin ϕ , cos (ϕ + 2kπ ) = cos ϕ ,
          tg (ϕ + kπ ) = tgϕ ,       ctg (ϕ + kπ ) = ctgϕ .
Po ashtu, në bazë të përkufizimit të funksioneve trigonometrike vërejmë se
          sin (ϕ ± π ) = − sin ϕ , cos (ϕ ± π ) = − cos ϕ , tg ( x + π ) = tgx,
          ctg ( x + π ) = ctgx
dhe
          sin ( −ϕ ) = − sin ϕ , cos ( −ϕ ) = cos ϕ ,
          tg ( −ϕ ) = −tgϕ ,     ctg ( −ϕ ) = −ctgϕ .
D.m.th. funksionet sinus, tangjent dhe kotangjent janë funksione teke, kurse
funksioni kosinus është funksion çift. 1)

1)
  Studenti të cilit i dedikohet ky libër është e nevojshme që të ketë njohuri për
funksionet elementare nga shkolla e mesme.
14                             Kurs i përgjithshëm i matematikës


4. FORMULAT ADICIONALE
Do të tregojmë se si llogariten sinusi i shumës dhe ndryshimit të këndeve α dhe
β.
Nga rrethi trigonometrik vërejmë dy kënde
qendrore              ( OA, OM ) = β            dhe

     ( OM , ON ) = α , e nga figura 5 shohim se                      N2       M

     ( OA, ON ) = α + β .                                   N
                                                                              Q
Sipas përkufizimit të sinusit të këndit, për                             β α
këndin α + β kemi:                                                        O         A
                                                                N1
          sin (α + β ) = ON 2 .

Në bazë të përkufizimit të shumës së
vektorëve kemi ON = OQ + QN .
Meqë vlera algjebrike e projeksionit të                    Fig. 5
shumës së vektorëve mbi një bosht është e
barabartë me shumën algjebrike të projeksioneve mbi boshtin e njëjtë, kemi

           ON 2 = OQ cos         ( OQ, ON ) + QN cos ( QN , ON ).
                                          2                          2        (1)

Përveç kësaj, është edhe
           OQ = ON cos α = cos α , QN = ON sin α = sin α

dhe

           cos   ( OQ, ON ) = cos  π − β  = sin β ,
                           2      
                                  2
                                          
                                          
                                                         cos    ( QN , ON ) = cos β .
                                                                          2


Duke zëvendësuar në (1) kemi
           ON 2 = sin β cos α + sin α cos β

ose
          sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .
Ngjashëm vërtetojmë
           cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β .
Nga dy formulat e fundit nxjerrim:
                              Elemente nga trigonometria                          15

                          sin (α + β )   sin α cos β + cos α sin β
          tg (α + β ) =                =                           =
                          cos(α + β ) cos α cos β − sin α + sin β
                        sin α cos β cos α sin β
                                    +
                        cos α cos β cos α cos β    tgα + tgβ
                      =                         =
                                 sin α sin β      1 − tgα tgβ
                             1−
                                 cos α cos β
Ngjashëm:
                           cos (α + β )       cos α cos β − sin α sin β
          ctg (α + β ) =                  =                             =
                           sin (α + β )       sin α cos β + cos α sin β
            cos α cos β sin α sin β
                        −
            sin α sin β sin α sin β ctgα ctg β − 1
          =                         =               .
            sin α cos β cos α sin β   ctgα + c tg β
                       +
            sin α sin β sin α sin β
D.m.th.
          sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β                          (2)
          cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β                          (3)
                           tgα + tgβ
          tg (α + β ) =                                                     (4)
                          1 − tgα tgβ
                           ctgα ctgβ −1
          ctg (α + β ) =                                                    (5)
                            ctgα + ctgβ
Katër formulat e fundit (2), (3), (4) dhe (5) njihen si formulat adicionale të
funksioneve trigonometrike.
Në mënyrë plotësisht të ngjashme mund të nxjerrim formulat
          sin (α − β ) = sin α cos α − cos α sin α
          cos(α − β ) = cos α cos β + cos α sin α
                           tgα − tgβ
          tg (α − β ) =
                          1 + tgα tgβ
                           ctgα ctg β − 1
          ctg (α − β ) =                  .
                            ctgα − ctg β
Shembulli 1. Gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndit prej 75 .
Zgjidhja: Duke shkruar 45 = 45 + 30 kemi
16                          Kurs i përgjithshëm i matematikës

        sin 75 = sin ( 45 + 30 ) = sin 45 cos30 + cos 45 sin 30

                                       =
                                            2 3 1 3
                                               +
                                           2 2 2 2
                                                    =
                                                      4
                                                       2
                                                                       (       3 +1 . )
Ngjashëm,

        cos 75 = cos ( 45 + 30 ) =
                                              2 3
                                             2 2
                                                  −
                                                     21
                                                    2 2
                                                        =
                                                          2
                                                           2
                                                                           (       3 −1 , )
                                     3
                                        1+
        tg 75 = tg ( 45 + 30 ) =    3 = 2 + 3,
                                     3
                                 1−
                                    3
                                           ctg 45 ctg 30 − 1   3 −1
        ctg 75 = ctg ( 45 + 30 ) =                           =      = 2 − 3. ■
                                           ctg 45 + ctg 30     3 +1


5. FORMULAT TRIGONOMETRIKE TË KËNDEVE
   TË DYFISHTA
Në qoftë se marrim α = β , nga formulat (2), (3), (4) dhe (5) (shih pikën 4.
Formulat adicionale) nga marrim
       sin 2α = 2 ⋅ sin α cos α                              (6)
        cos 2α = cos 2 α − sin 2 α                                                            (7)
                   2 ⋅ tgα
        tg 2α =                                                                               (8)
                  1 − tg 2α
                   ctg 2α − 1
        ctg 2α =                                                                              (9)
                    2 ⋅ ctgα
Formulat e fundit njihen si funksione trigonometrike të këndeve të dyfishta.


6. FUNKSIONET TRIGONOMETRIKE TË
   GJYSMËKËNDEVE
Formulat adicionale, sikur edhe formulat për kënde të dyfishta, vlejnë për
                                                         α
çfarëdo këndi. Prandaj vlejnë edhe për këndin                . Rrjedhimisht,
                                                         2
                       α         α                       α             α
        sin α = 2sin       cos       dhe cos α = cos 2       − sin 2           .
                       2         2                       2                 2
                                      Elemente nga trigonometria                        17


Ngjashëm merren edhe
                                α                                 α
                       2 ⋅ tg                             ctg 2        −1
         tgα =                    2       dhe   ctgα =            2         .
                                  α                                   α
                   1 − tg     2
                                                           2 ⋅ ctg
                                  2                                    2
Katër formulat e fundit njihen si formulat e funksioneve trigonometrike të
gjysmëkëndeve.
Duke i mbledhur anë për anë barazimet
                       α              α                        α                α
         1 = sin 2         + cos 2        dhe cos α = cos 2           − sin 2       ,
                       2              2                           2             2
marrim
                                      α
         1 + cos α = 2cos 2  ,
                           2
ndërsa duke i zbritur anë për anë marrim:
                                      α
         1 − cos α = 2sin 2
                          .
                        2
Nga dy barazimet e fundit marrim
               α            1 − cos α                 α            1 + cos α
         sin       =±                       dhe cos       =±                 .
               2                2                     2                2
Shembulli 1. Duke zbatuar formulat për gjysmëkëndet gjeni funksionet
                                      π
trigonometrike të këndit    (ose 45 ).
                        4
Zgjidhja: Duke zbatuar dy formulat e fundit, të marra me shenjë pozitive, sepse
funksionet trigonometrike sinus dhe kosinus në kuadrantin e parë kanë shenjë
pozitive, kemi
                                      π
                           1 − cos
               π                    2 = 1− 0 = 1 = 2 ,
         sin       =
               4                  2      2      2  2
                                      π
                           1 + cos
               π                      2 = 1+ 0 = 1 = 2 .
         cos       =
               4                  2        2      2  2
Nga barazimet e fundit dhe nga përkufizimi i funksioneve trigonometrike tg dhe
ctg kemi
18                                Kurs i përgjithshëm i matematikës

                      2  π
                   sin
          π
        tg =     4 = 2 = 1 dhe ctg π = 1 = 1. ■
          4      π    2            4 tg π
             cos
                 4   2                  4
Shembulli 2. Duke zbatuar formulat për gjysmëkëndet gjeni funksionet
                                   π
trigonometrike të këndit   (ose 15 ).
                       12
Zgjidhja: Ngjashëm sikur në shembullin 1 marrim:
                                   π           3
                       1 − cos            1−
              π                    6 =        2 = 2− 3 .
        sin        =
              12              2             2      2
Ngjashëm gjejmë:

                                   3
                         1+
              π                   2 =    2+ 3      π        2− 3
        cos        =                          , tg    =
              12              2           2        12       2+ 3
dhe

              π          2+ 3
        ctg        =                .■
              12         2− 3


7. SHPREHJA E SHUMËS DHE NDRYSHIMIT TË
   FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE ME ANË TË
   PRODHIMIT
Duke zëvendësuar α + β = x dhe α − β = y dhe duke zgjidhur këtë sistem të
ekuacioneve sipas α dhe β , nga formulat adicionale sin(α + β ) dhe
sin(α − β ) marrim:
                                       x± y     x y
        sin x ± sin y = 2 sin               cos
                                        2        2
dhe
                          x+ y      x− y
        cos x + cos y = 2cos    cos      .
                            2        2
Në mënyrë induktive mund të vërtetohet ky barazim i rëndësishëm
                                 Elemente nga trigonometria               19

                                              n +1          n 
                                         sin       δ  ⋅ sin  δ 
         sin δ + sin 2δ + ... + sin nδ =      2              2 .
                                                       δ
                                                  sin  
                                                      2



8. PARAQITJA E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
                                               x
    PËRMES FUNKSIONIT tg
                                               2
Funksionet trigonometrike sin x , cos x , tgx , dhe ctgx mund të paraqiten me
                    x                                    x
anë të funksionit tg . Më lart, duke zëvendësuar x me      në (8), gjetëm
                    2                                    2
                         x                                 x
                   2tg                            1 − tg 2
                         2                   1             2.
         tgx =                   dhe ctgx =     =
                             x              tgx          x
                 1 − tg 2                           2tg
                             2                           2
Nga ana tjetër, nga
                        x           x     x          x
                   sin 2      2 sin cos         2tg
         sin x =        2 =         2     2 =        2 ,
                     1          2 x       2 x        2 x
                            sin     + cos     1 + tg
                                  2         2          2
                        x                                          x
                   2tg                                  1 − tg 2
d.m.th. sin x =         2 . Ngjashëm gjejmë cos x =                2.
                          x                                        x
                 1 + tg 2                               1 + tg 2
                          2                                        2
20                          Kurs i përgjithshëm i matematikës




9. TABELA E VLERAVE TË FUNKSIONEVE
   TRIGONOMETRIKE TË DISA KËNDEVE
   KARAKTERISTIKE


Funk/këndi    0        30           45        60        90               180          270

                      (π /6)      (π / 4)    (π / 3)   (π / 2)            (π )       (3π / 2)

Sin            0        1/2          2/2       3/2          1             0            -1

Cos            1        3/2          2/2      1/2           0             -1            0

Tg            0         3 /3        1            3          +∞             0           −∞

Ctg          +∞           3          1         3 /3         0              −∞         0




DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR                  _____________________

1. Diagonalja e katrorit është d = 2 . Të njehsohen vlerat e funksioneve
trigonometrike të këndit të cilin e formon diagonalja me brinjën e
katrorit.
2. Kateta e trekëndëshit kënddrejtë është b = 16 cm, kurse kosinusi i
                                   1
këndit përballë saj është cos α = . Të njehsohen brinjët e këtij
                                   2
trekëndëshi.
Të njehsohet vlera e shprehjes:
3. a) 4 sin 30 + 2 cos 60 ; b) 3 sin 45 + 5 cos 60 ;            c) 3tg60 + 2ctg30 .
         π       π                     π       π                     π           π
      2tg  + ctg                  sin    − cos                  tg       + ctg
4. a)    3       4 −1 ;        b)      6       3 ;     c)         4      6 .
         π      π                       π       π                 π      π
      3tg + tg                    4 sin + 3tg               2  cos − sin 
         3       4                      4       4                  6     6
                  π                               2 cos β
5. Nëse α + β =     , njehsoni vlerën e shprehjes         ;
                  2                                sin α
                              Elemente nga trigonometria            21

6. Duke zbatuar vetitë e funksioneve të këndeve komplementare njehsoni
shprehjet:
   2 cos 42 + 3 sin 48                 2 tg36 + 4ctg54
a)                     ;            b)                 ;
         3cos 4 2                       2ctg54 + tg36
Të vërtetohen identitetet:
7. 3(sin 4 α + cos 4 α) − 2(sin 6 α + cos 6 α) = 1 .
8. sin 3 α(1 + ctgα ) + cos 3 α(1 + tgα ) = sin α + cos α .
     sin 3 α − cos 3 α    cos α
9.                     −             − 2tgα ⋅ ctgα + 1 = 0 .
      sin α − cos α      1 + ctg 2 α
Duke zbatuar formulat për transformimin e prodhimit të funksioneve
trigonometrike në shumë të vërtetohet identiteti
                                          3
10. sin 25 ⋅ cos 35 + cos 25 ⋅ sin 35 =      .
                                         2
11. Të transformohet prodhimi sin x ⋅ sin 2 x ⋅ sin 4 x në shumë.

Të vërtetohen identitetet:
                1 + cos 2α                  1
12. 2 sin 2 α +             + cos 2α =           .
                1 − cos 2α              sin 2 α
13. Nëse α + β + γ = π, të vërtetohet se
                                     α       β        γ
       sin α + sin β + sin γ = 4 cos ⋅ cos ⋅ cos .
                                     2        2       2
14. Të transformohet në shumë prodhimi:
       x       x      x
a) cos ⋅ cos ⋅ cos ;            b) sin x ⋅ cos 3x ⋅ sin 4 x .
       2       4      8

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:358
posted:11/16/2012
language:
pages:13