Get documents about "1.Trigonometria _9-21_
Document Sample
PJESA E PARË
I. ELEMENTE NGA TRIGONOMETRIA
1. PËRKUFIZIMI I FUNKSIONEVE
TRIGONOMETRIKE NË TREKËNDËSH
Le të jetë ABC një trekëndësh kënddrejtë, fig.1. Në ∆ABC përkufizohen
funksionet trigonometrike si vijon:
a b a b
sin α = , cos α = , tgα = dhe ctgα = (1)
c c b a
B
β
c
a
α
C b A
Fig. 1
Edhe këndi tjetër β është i ngushtë dhe, njësoj, mund të përkufizohen
funksionet trigonometrike të tij. Kështu:
b a b a
sin β = ,cos β = , tg β = dhe ctgβ = (2)
c c a b
10 Kurs i përgjithshëm i matematikës
Mirëpo, meqenëse shuma e këndeve të brendshme në trekëndësh është 180 ,
π
shprehur në radian π dhe ABC është trekëndësh kënddrejtë, atëherë α + β = .
2
π
Nga barazimi i fundit marrim β = − α . Duke zëvendësuar barazimin e fundit
2
në barazimet (2) dhe duke i krahasuar me (1) marrim:
π b π
sin β = sin − α = = cos α , rrjedhimisht sin − α = cos α ;
2 c 2
π a π
cos β = cos − α = = sin α , rrjedhimisht cos − α = sin α ;
2 c 2
π b π
tg β = tg − α = = ctgα , rrjedhimisht tg − α = ctgα ;
2 a 2
π π
ctg β = ctg − α = tgα , rrjedhimisht ctg − α = tgα .
2 2
Pra,
π π
sin − α = cos α , cos − α = sin α ,
2 2
π π
tg − α = ctgα , ctg − α = tgα .
2 2
π
Barazimet e fundit tregojnë se në ndryshimin − α funksionet trigonometrike
2
π
kalojnë në kofunksione. Kjo do të thotë se në ndryshimin − α , sinusi kalon
2
në kosinus dhe anasjelltas, si dhe tangjenti në kotangjent dhe anasjelltas.
Shembulli 1. Të gjenden funksionet trigonometrike të këndeve të ngushtë të
trekëndëshit kënddrejtë ABC nëse janë dhënë kateta B = 24 dhe hipotenuza
c = 25.
Zgjidhja: Nga fakti se në trekëndëshin kënddrejtë vlen a 2 + b 2 = c 2 , atëherë
a 2 = c 2 − b 2 = 49 ⇒ a = 7. Prandaj, në bazë të përkufizimit të funksioneve
trigonometrike kemi:
7 24 7 24
sin α = , cos α = , tgα = dhe ctgα = .
25 25 24 7
24 7 24 7
sin β = , cos β = , tgβ = dhe ctg β = .
25 25 7 24
Elemente nga trigonometria 11
Nga ana tjetër, duke ditur se për këndet e ngushtë të trekëndëshit kënddrejtë
vlen relacioni α + β = 900 , d.m.th. β = 90 0 − α , vlerat e funksioneve
trigonometrike të këndit β mund t’i gjejmë edhe nga relacionet:
24
sin β = sin(900 − α ) = cos α = ,
25
7
cos β = cos(900 − α ) = sin α = ,
25
24
tg β = tg (900 − α ) = ctgα = ,
7
dhe
7
ctg β = ctg (900 − α ) = tgα =
.■
24
Të theksojmë se formulat trigonometrike
sin(900 − α ) = cos α , cos(900 − α ) = sin α ,
tg (900 − α ) = ctgα , ctg (900 − α ) = tgα
vlejnë në çdo rast dhe për çfarëdo këndi.
Shembulli 2. Të gjenden vlerat e funksioneve trigonometrike të këndit të
3
ngushtë α në qoftë se sin α = .
5
Zgjidhja: Po të konstruktojmë një trekëndësh kënddrejtë ABC , kur dihen a =3
dhe c = 5, nga figura 2 gjejmë
b = c 2 − a 2 = 52 − 32 = 16 = 4.
Prandaj,
3 4 3 4
sin α = , cos α = , tgα = dhe ctgα = . ■
5 5 4 3
B
β
c=5
a=3
α
C A
b
Fig. 2
12 Kurs i përgjithshëm i matematikës
2. FUNKSIONET TRIGONOMETRIKE TË KËNDIT TË
ÇFARËDOSHËM
Për një kënd themi se është në pozitën standarde nëse kulmi i tij është në
origjinën e sistemit koordinativ, kurse krahu i tij fillestar shtrihet në boshtin Ox.
Për një kënd themi se ndodhet në kuadrantin e parë, nëse në pozitën standarde,
krahu i tij i fundit ndodhet në kuadrantin e parë. Ngjashëm themi se një kënd
ndodhet në kuadrantin e dytë, të tretë dhe të katërt.
Për këndin ϕ të dhënë në figurën 3, funksionet trigonometrike përkufizohen si
vijon:
y x y x
sin ϕ = , cos ϕ = , tgϕ = , ctgϕ = .
r r x y
Y
M ( x, y )
y
r ϕ
x X
0
Fig. 3
3. PËRKUFIZIMI I FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
NË RRETHIN TRIGONOMETRIK
Rrethi i orientuar në drejtim të kundërt të lëvizjes së akrepave të orës, me rreze
njësi, e me qendër në origjinën e sistemit koordinativ, quhet rreth
trigonometrik.
Funksionet trigonometrike mund të përkufizohen edhe në rreth trigonometrik.
Le të jetë dhënë rrethi trigonometrik sikur në figurën 4:
t
Y
C K c
T
A2 α B
0 X
A A1
Fig. 4
Elemente nga trigonometria 13
Po përkujtojmë, pa hyrë fare në detaje (meqë studentët të cilëve ky tekst iu
dedikohet këto gjëra i kanë të njohura nga shkolla e mesme), përkufizimin e
funksioneve trigonometrike në rrethin trigonometrik:
sin α = OA1 , cos α = OA2 , tgα = BT dhe ctgα = CK (1)
D.m.th. sinusi i këndit α është vlera algjebrike e projeksionit të vektorit OA në
boshtin OY , kosinusi i këndit α është vlera algjebrike e projeksionit të vektorit
OA në boshtin OX , tangjenti i këndit α është vlera algjebrike e vektorit BT ,
kurse kotangjenti i këndit α është vlera algjebrike e vektorit CK . Nga
përkufizimi i funksioneve trigonometrike në rreth vërejmë që −1 ≤ sin α ≤ 1 dhe
−1 ≤ cos α ≤ 1.
Në vazhdim do të nxjerrim disa identitete të rëndësishme.
Meqë figura OA1 AA2 është katërkëndësh kënddrejtë, atëherë OA1 = A2 A .
Kurse nga trekëndëshi kënddrejtë OA1 A , në bazë të teoremës së Pitagorës,
2 2 2
meqë OA2 = A1 A , marrim OA = OA1 + OA2 . Duke zëvendësuar në (1)
marrim:
sin 2 α + cos 2 α = 1 (2)
Barazimi (2) njihet si identiteti themelor në trigonometri.
Çdo kënd i orientuar α mund të paraqitet në formën α + 2kπ . Prandaj
funksionet trigonometrike sin x, cos x janë funksione periodike me periodë
themelore 2π . Nga rrethi trigonometrik, në bazë të përkufizimit të tgx dhe ctgx,
vërejmë se tgx dhe ctgx kanë periodën themelore π . Rrjedhimisht
sin (ϕ + 2kπ ) = sin ϕ , cos (ϕ + 2kπ ) = cos ϕ ,
tg (ϕ + kπ ) = tgϕ , ctg (ϕ + kπ ) = ctgϕ .
Po ashtu, në bazë të përkufizimit të funksioneve trigonometrike vërejmë se
sin (ϕ ± π ) = − sin ϕ , cos (ϕ ± π ) = − cos ϕ , tg ( x + π ) = tgx,
ctg ( x + π ) = ctgx
dhe
sin ( −ϕ ) = − sin ϕ , cos ( −ϕ ) = cos ϕ ,
tg ( −ϕ ) = −tgϕ , ctg ( −ϕ ) = −ctgϕ .
D.m.th. funksionet sinus, tangjent dhe kotangjent janë funksione teke, kurse
funksioni kosinus është funksion çift. 1)
1)
Studenti të cilit i dedikohet ky libër është e nevojshme që të ketë njohuri për
funksionet elementare nga shkolla e mesme.
14 Kurs i përgjithshëm i matematikës
4. FORMULAT ADICIONALE
Do të tregojmë se si llogariten sinusi i shumës dhe ndryshimit të këndeve α dhe
β.
Nga rrethi trigonometrik vërejmë dy kënde
qendrore ( OA, OM ) = β dhe
( OM , ON ) = α , e nga figura 5 shohim se N2 M
( OA, ON ) = α + β . N
Q
Sipas përkufizimit të sinusit të këndit, për β α
këndin α + β kemi: O A
N1
sin (α + β ) = ON 2 .
Në bazë të përkufizimit të shumës së
vektorëve kemi ON = OQ + QN .
Meqë vlera algjebrike e projeksionit të Fig. 5
shumës së vektorëve mbi një bosht është e
barabartë me shumën algjebrike të projeksioneve mbi boshtin e njëjtë, kemi
ON 2 = OQ cos ( OQ, ON ) + QN cos ( QN , ON ).
2 2 (1)
Përveç kësaj, është edhe
OQ = ON cos α = cos α , QN = ON sin α = sin α
dhe
cos ( OQ, ON ) = cos π − β = sin β ,
2
2
cos ( QN , ON ) = cos β .
2
Duke zëvendësuar në (1) kemi
ON 2 = sin β cos α + sin α cos β
ose
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .
Ngjashëm vërtetojmë
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β .
Nga dy formulat e fundit nxjerrim:
Elemente nga trigonometria 15
sin (α + β ) sin α cos β + cos α sin β
tg (α + β ) = = =
cos(α + β ) cos α cos β − sin α + sin β
sin α cos β cos α sin β
+
cos α cos β cos α cos β tgα + tgβ
= =
sin α sin β 1 − tgα tgβ
1−
cos α cos β
Ngjashëm:
cos (α + β ) cos α cos β − sin α sin β
ctg (α + β ) = = =
sin (α + β ) sin α cos β + cos α sin β
cos α cos β sin α sin β
−
sin α sin β sin α sin β ctgα ctg β − 1
= = .
sin α cos β cos α sin β ctgα + c tg β
+
sin α sin β sin α sin β
D.m.th.
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β (2)
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β (3)
tgα + tgβ
tg (α + β ) = (4)
1 − tgα tgβ
ctgα ctgβ −1
ctg (α + β ) = (5)
ctgα + ctgβ
Katër formulat e fundit (2), (3), (4) dhe (5) njihen si formulat adicionale të
funksioneve trigonometrike.
Në mënyrë plotësisht të ngjashme mund të nxjerrim formulat
sin (α − β ) = sin α cos α − cos α sin α
cos(α − β ) = cos α cos β + cos α sin α
tgα − tgβ
tg (α − β ) =
1 + tgα tgβ
ctgα ctg β − 1
ctg (α − β ) = .
ctgα − ctg β
Shembulli 1. Gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike të këndit prej 75 .
Zgjidhja: Duke shkruar 45 = 45 + 30 kemi
16 Kurs i përgjithshëm i matematikës
sin 75 = sin ( 45 + 30 ) = sin 45 cos30 + cos 45 sin 30
=
2 3 1 3
+
2 2 2 2
=
4
2
( 3 +1 . )
Ngjashëm,
cos 75 = cos ( 45 + 30 ) =
2 3
2 2
−
21
2 2
=
2
2
( 3 −1 , )
3
1+
tg 75 = tg ( 45 + 30 ) = 3 = 2 + 3,
3
1−
3
ctg 45 ctg 30 − 1 3 −1
ctg 75 = ctg ( 45 + 30 ) = = = 2 − 3. ■
ctg 45 + ctg 30 3 +1
5. FORMULAT TRIGONOMETRIKE TË KËNDEVE
TË DYFISHTA
Në qoftë se marrim α = β , nga formulat (2), (3), (4) dhe (5) (shih pikën 4.
Formulat adicionale) nga marrim
sin 2α = 2 ⋅ sin α cos α (6)
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α (7)
2 ⋅ tgα
tg 2α = (8)
1 − tg 2α
ctg 2α − 1
ctg 2α = (9)
2 ⋅ ctgα
Formulat e fundit njihen si funksione trigonometrike të këndeve të dyfishta.
6. FUNKSIONET TRIGONOMETRIKE TË
GJYSMËKËNDEVE
Formulat adicionale, sikur edhe formulat për kënde të dyfishta, vlejnë për
α
çfarëdo këndi. Prandaj vlejnë edhe për këndin . Rrjedhimisht,
2
α α α α
sin α = 2sin cos dhe cos α = cos 2 − sin 2 .
2 2 2 2
Elemente nga trigonometria 17
Ngjashëm merren edhe
α α
2 ⋅ tg ctg 2 −1
tgα = 2 dhe ctgα = 2 .
α α
1 − tg 2
2 ⋅ ctg
2 2
Katër formulat e fundit njihen si formulat e funksioneve trigonometrike të
gjysmëkëndeve.
Duke i mbledhur anë për anë barazimet
α α α α
1 = sin 2 + cos 2 dhe cos α = cos 2 − sin 2 ,
2 2 2 2
marrim
α
1 + cos α = 2cos 2 ,
2
ndërsa duke i zbritur anë për anë marrim:
α
1 − cos α = 2sin 2
.
2
Nga dy barazimet e fundit marrim
α 1 − cos α α 1 + cos α
sin =± dhe cos =± .
2 2 2 2
Shembulli 1. Duke zbatuar formulat për gjysmëkëndet gjeni funksionet
π
trigonometrike të këndit (ose 45 ).
4
Zgjidhja: Duke zbatuar dy formulat e fundit, të marra me shenjë pozitive, sepse
funksionet trigonometrike sinus dhe kosinus në kuadrantin e parë kanë shenjë
pozitive, kemi
π
1 − cos
π 2 = 1− 0 = 1 = 2 ,
sin =
4 2 2 2 2
π
1 + cos
π 2 = 1+ 0 = 1 = 2 .
cos =
4 2 2 2 2
Nga barazimet e fundit dhe nga përkufizimi i funksioneve trigonometrike tg dhe
ctg kemi
18 Kurs i përgjithshëm i matematikës
2 π
sin
π
tg = 4 = 2 = 1 dhe ctg π = 1 = 1. ■
4 π 2 4 tg π
cos
4 2 4
Shembulli 2. Duke zbatuar formulat për gjysmëkëndet gjeni funksionet
π
trigonometrike të këndit (ose 15 ).
12
Zgjidhja: Ngjashëm sikur në shembullin 1 marrim:
π 3
1 − cos 1−
π 6 = 2 = 2− 3 .
sin =
12 2 2 2
Ngjashëm gjejmë:
3
1+
π 2 = 2+ 3 π 2− 3
cos = , tg =
12 2 2 12 2+ 3
dhe
π 2+ 3
ctg = .■
12 2− 3
7. SHPREHJA E SHUMËS DHE NDRYSHIMIT TË
FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE ME ANË TË
PRODHIMIT
Duke zëvendësuar α + β = x dhe α − β = y dhe duke zgjidhur këtë sistem të
ekuacioneve sipas α dhe β , nga formulat adicionale sin(α + β ) dhe
sin(α − β ) marrim:
x± y x y
sin x ± sin y = 2 sin cos
2 2
dhe
x+ y x− y
cos x + cos y = 2cos cos .
2 2
Në mënyrë induktive mund të vërtetohet ky barazim i rëndësishëm
Elemente nga trigonometria 19
n +1 n
sin δ ⋅ sin δ
sin δ + sin 2δ + ... + sin nδ = 2 2 .
δ
sin
2
8. PARAQITJA E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
x
PËRMES FUNKSIONIT tg
2
Funksionet trigonometrike sin x , cos x , tgx , dhe ctgx mund të paraqiten me
x x
anë të funksionit tg . Më lart, duke zëvendësuar x me në (8), gjetëm
2 2
x x
2tg 1 − tg 2
2 1 2.
tgx = dhe ctgx = =
x tgx x
1 − tg 2 2tg
2 2
Nga ana tjetër, nga
x x x x
sin 2 2 sin cos 2tg
sin x = 2 = 2 2 = 2 ,
1 2 x 2 x 2 x
sin + cos 1 + tg
2 2 2
x x
2tg 1 − tg 2
d.m.th. sin x = 2 . Ngjashëm gjejmë cos x = 2.
x x
1 + tg 2 1 + tg 2
2 2
20 Kurs i përgjithshëm i matematikës
9. TABELA E VLERAVE TË FUNKSIONEVE
TRIGONOMETRIKE TË DISA KËNDEVE
KARAKTERISTIKE
Funk/këndi 0 30 45 60 90 180 270
(π /6) (π / 4) (π / 3) (π / 2) (π ) (3π / 2)
Sin 0 1/2 2/2 3/2 1 0 -1
Cos 1 3/2 2/2 1/2 0 -1 0
Tg 0 3 /3 1 3 +∞ 0 −∞
Ctg +∞ 3 1 3 /3 0 −∞ 0
DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR _____________________
1. Diagonalja e katrorit është d = 2 . Të njehsohen vlerat e funksioneve
trigonometrike të këndit të cilin e formon diagonalja me brinjën e
katrorit.
2. Kateta e trekëndëshit kënddrejtë është b = 16 cm, kurse kosinusi i
1
këndit përballë saj është cos α = . Të njehsohen brinjët e këtij
2
trekëndëshi.
Të njehsohet vlera e shprehjes:
3. a) 4 sin 30 + 2 cos 60 ; b) 3 sin 45 + 5 cos 60 ; c) 3tg60 + 2ctg30 .
π π π π π π
2tg + ctg sin − cos tg + ctg
4. a) 3 4 −1 ; b) 6 3 ; c) 4 6 .
π π π π π π
3tg + tg 4 sin + 3tg 2 cos − sin
3 4 4 4 6 6
π 2 cos β
5. Nëse α + β = , njehsoni vlerën e shprehjes ;
2 sin α
Elemente nga trigonometria 21
6. Duke zbatuar vetitë e funksioneve të këndeve komplementare njehsoni
shprehjet:
2 cos 42 + 3 sin 48 2 tg36 + 4ctg54
a) ; b) ;
3cos 4 2 2ctg54 + tg36
Të vërtetohen identitetet:
7. 3(sin 4 α + cos 4 α) − 2(sin 6 α + cos 6 α) = 1 .
8. sin 3 α(1 + ctgα ) + cos 3 α(1 + tgα ) = sin α + cos α .
sin 3 α − cos 3 α cos α
9. − − 2tgα ⋅ ctgα + 1 = 0 .
sin α − cos α 1 + ctg 2 α
Duke zbatuar formulat për transformimin e prodhimit të funksioneve
trigonometrike në shumë të vërtetohet identiteti
3
10. sin 25 ⋅ cos 35 + cos 25 ⋅ sin 35 = .
2
11. Të transformohet prodhimi sin x ⋅ sin 2 x ⋅ sin 4 x në shumë.
Të vërtetohen identitetet:
1 + cos 2α 1
12. 2 sin 2 α + + cos 2α = .
1 − cos 2α sin 2 α
13. Nëse α + β + γ = π, të vërtetohet se
α β γ
sin α + sin β + sin γ = 4 cos ⋅ cos ⋅ cos .
2 2 2
14. Të transformohet në shumë prodhimi:
x x x
a) cos ⋅ cos ⋅ cos ; b) sin x ⋅ cos 3x ⋅ sin 4 x .
2 4 8
