Solusi Final KMP VIII 2011 by TuturWidodo

VIEWS: 1,845 PAGES: 18

More Info
									Tutur Widodo                                                               Pembahasan Final KMP VIII 2012


      Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad
                                  ( KMP ) VIII Tahun 2012
                                              Tingkat SMP
                                          Oleh Tutur Widodo
I. Soal Pilihan Ganda
(Cara Penilaian : Benar = 1 poin, Kosong = 0, Salah = −0.25 poin)
                                                         √
  1. Terdapat berapa banyak solusikah untuk persamaan x 2 · 2x = 4?

     a. 3                                           c. 1

     b. 2                                           d. 0

     Jawaban : c
                                      √                        1
                                          2 · 2x = 4 ⇔       2 x · 2x = 4
                                      x


                                                                   1
                                                     ⇔       2x+ x = 22
                                                                  1
                                                     ⇔       x+ =2
                                                                  x
                                                              2
                                                     ⇔       x − 2x + 1 = 0
                                                     ⇔       (x − 1)2 = 0

     Oleh karena itu, hanya ada satu nilai x yang memenuhi yaitu x = 1.

  2. Jika k adalah sebuah bilangan bulat ganjil, maka bentuk sederhana dari 2k ·7k ·(−2)−k
     adalah ...

     a. 14k                                         c. 7k

     b. 7−k                                         d. (−7)k

     Jawaban : d

                                                                   2k · 7k
                                     2k · 7k · (−2)−k      ⇔
                                                                   (−2)k
                                                                   2k · 7k
                                                           ⇔
                                                                    −2k
                                                           ⇔       − 7k = (−7)k

                  x
              2           √
  3. Jika             =    3, 5 maka nilai dari x adalah ...
              7

     a. − 1
          2
                                                         3
                                                    c. − 2
          1
     b.   2
                                                    d. 1

     Jawaban : a
                                                                                   1
                                          x                            x
                                     2                             2           7   2
                                              =   3, 5 ⇔                   =
                                     7                             7           2
                                                                       x           −1
                                                                   2           2    2
                                                        ⇔                  =
                                                                   7           7
                                                                           1
                                                        ⇔ x=−
                                                                           2

                                                                                                       1
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                        Pembahasan Final KMP VIII 2012


  4. Jika x dan y adalah bilangan bulat maka nilai dari xy
     adalah ...
                                                                                         x                        √
     a. 90                                                                                                            17

     b. 56                                                                                   y

     c. 72

     d. 42
     Jawaban : c
     Dari dalil Phytagoras diperoleh,

                                x2 − y 2 = 17 ⇔           (x − y)(x + y) = 17

     Jadi, (x − y) dan (x + y) adalah faktor positif dari 17. Oleh karena itu, x + y = 17 dan
     x − y = 1. Sehingga didapat x = 9 dan y = 8, yang berarti xy = 72.
                           √ √    √              √
  5. Jika diketahui a = 5 + 2, b = 6 + 1, c = 2 + 3. Maka urutan yang benar dari
     a, b, dan c adalah ...

     a. a < b < c                                c. b < a < c

     b. c < b < a                                d. a < c < b

     Jawaban : c
     Perhatikan,
                                √                √                 √         √
                      a2 = 7 + 2 10,   b2 = 7 + 2 6, dan c2 = 7 + 4 3 = 7 + 2 12

     karena a, b, c > 0 dan b2 < a2 < c2 maka b < a < c
                                          √
  6. Bentuk sederhana dari         (2 −    5)2 adalah ...
              √                                       √
     a. 2 −       5                              c.       5−2
              √                                             √
     b. 2 +       5                              d. 4 −         5

     Jawaban : c
                                          √                                                      √
     Untuk setiap bilangan riil x berlaku, x2 = |x|. Oleh karena itu,                   (2 −         5)2 =
         √      √                  √
     |2 − 5| = 5 − 2, karena 2 < 5.

  7. Berapa banyak segitiga dalam gambar di                                         A
     samping!
                                                                                             D
     a. 35
                                                                                                      E
     b. 154
                                                                                                              F
     c. 73                                                                                                                 C
                                                                    B    G      H   I        J       K        L
     d. 220

     Jawaban : -




                                                                                                          2
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                     Pembahasan Final KMP VIII 2012


        • Banyak segitiga yang memuat titik A yaitu,

                                            7
                                           C2 · 4 = 21 · 4 = 84

        • Banyak segitiga yang tidak memuat titik A yaitu,

                                             4
                                            C2 · 6 = 6 · 6 = 36

     Jadi, banyaknya segitiga dari gambar adalah 84 + 36 = 120.
     Note : Apabila pada soal di atas terdapat garis AL, maka banyaknya segitiga adalah :

        • Banyak segitiga yang memuat titik A yaitu,

                                           8
                                          C2 · 4 = 28 · 4 = 112

        • Banyak segitiga yang tidak memuat titik A yaitu,

                                             4
                                            C2 · 7 = 6 · 7 = 42

          Jadi, banyaknya segitiga dari gambar adalah 112 + 42 = 154.

  8. Berapa jumlah digit dari 12510 · 328 · 1505 ?

     a. 31                                      c. 48

     b. 44                                      d. 58

     Jawaban : b
     Misal N = 12510 · 328 · 1505 , diperoleh

                            N = 12510 · 328 · 1505 = 530 · 240 · (6 · 52 )5
                                                        = 530 · 240 · 65 · 510
                                                        = 540 · 240 · 65
                                                        = 1040 · 7776

     Jadi, banyak digit dari N adalah 44.

  9. Seekor semut berjalan menyusuri rangka sebuah
                                                                                                  B
     bangun seperti dalam gambar, dari titik A menuju B.
     Ada berapa banyak jalan berbeda yang dapat dilalui
     oleh semut tersebut? (Jalur yang dipilih merupakan lin-
     tasan terpendek)

     a. 48

     b. 90                                                                       A

     c. 60

     d. 180
     Jawaban : b
     Perhatikan, agar semut berjalan pada lintasan terpendek maka dia harus berjalan 2
     ke kanan, 2 ke atas dan 2 ke belakang tidak peduli bagaimanapun lintasan yang dia

                                                                                             3
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                     Pembahasan Final KMP VIII 2012


     pilih. Sedangkan panjang lintasannya adalah 6. Oleh karena itu, banyak lintasan
     yang bisa dipilih si semut ada sebanyak,

                                                  6!
                                                          = 90
                                             2! · 2! · 2!
                                √
 10. Jika diketahui |x − 4| +       y + 2 + (z + 1)2 = 0, maka nilai x + y + z adalah ...

     a. −2                                      c. 1

     b. −1                                      d. 2

     Jawaban : c
                                                             √
     Untuk setiap bilangan riil, x, y, z berlaku |x − 4| ≥ 0, y + 2 ≥ 0 dan (z + 1)2 ≥ 0.
     Kesamaan terjadi jika dan hanya jika x − 4 = 0, y + 2 = 0 dan z + 1 = 0, sehingga
     x = 4, y = −2 dan z = −1. Oleh karena itu, x + y + z = 4 + (−2) + (−1) = 1.

 11. m dan n adalah dua bilangan bulat positif sedemikian sehingga m + n + mn = 24.
     Berapakah nilai m + n?

     a. 7                                       c. 9

     b. 8                                       d. 10

     Jawaban : b
     Perhatikan,
                         m + n + mn = 24 ⇔ (m + 1)(n + 1) = 25

     sehingga (m + 1) dan (n + 1) adalah faktor positif dari 25. Sedangkan faktor positif
     dari 25 ialah 1, 5 dan 25. Akan tetapi m dan n bilangan bulat positif sehingga
     (m + 1) > 1, (n + 1) > 1. Oleh karena itu, m + 1 = n + 1 = 5 atau equivalen
     m = n = 4. Jadi, m + n = 8.

 12. Sebuah angka 6 digit cdbcda dapat dibagi dengan 11. Jika a + b = 10, maka nilai ab
     adalah ...

     a. 30                                      c. 15

     b. 25                                      d. 10

     Jawaban : b
     Karena cdbcda dapat dibagi 11 maka c + b + d − (d + c + a) = b − a habis dibagi 11.
     Mengingat 0 ≤ a, b ≤ 9 dan b − a habis dibagi 11, maka b − a = 0 ⇔ b = a. Jadi,
     a = b = 5, yang berarti ab = 25.
                                                                 3n + 21
 13. Ada berapa kemungkinan bilangan asli n, sehingga                    adalah bilangan asli.
                                                                  n+3

     a. 4                                       c. 2

     b. 3                                       d. 5

     Jawaban : b
     Perhatikan,
                                          3n + 21      12
                                                  =3+
                                           n+3        n+3

                                                                                                 4
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                    Pembahasan Final KMP VIII 2012


            12
     Agar n+3 merupakan bilangan asli maka haruslah n + 3 membagi 12. Dengan kata
     lain, n + 3 adalah faktor dari 12. Karena n bilangan asli berakibat n + 3 ≥ 4. Oleh
     karena itu kemungkinan nilai n + 3 adalah 4, 6 dan 12 yang bersesuaian dengan nilai
     n sama dengan 1, 3, 9.
     Jadi, terdapat tiga nilai n yang memenuhi.

 14. Misalkan a dan b adalah digit - digit pada bilangan ab dan ba, sehingga ab − ba=72.
     Maka berapakah nilai dari a2 + b2

     a. 52                                   c. 82

     b. 72                                   d. 62

     Jawaban : c
     Perhatikan bahwa, 8 ≤ a ≤ 9 dan 1 ≤ b ≤ 2. Dari soal diperoleh,

                          10a + b − (10b + a) = 72         ⇔    9a − 9a = 72
                                                           ⇔    a−b=8

     sehingga didapat a = 9 dan b = 1. Jadi, a2 + b2 = 92 + 12 = 82.
                                                                2                 2
                                                            1                 1
 15. Diberikan 0, 53 dan y = 0, 254 . Maka nilai     x+             − x−              = ...
                                                            y                 y

     a. 128                                  c. 108

     b. 120                                  d. 64

     Jawaban : a
                                     2                2
                                 1            1                      2
                              x+         − x−             = (2x)
                                 y            y                      y
                                                                x
                                                          =4
                                                                y
                                                                0, 53
                                                          =4
                                                                0, 254
                                                                23 · 0, 253
                                                          =4
                                                                  0, 254
                                                                  8
                                                          =4
                                                                0, 25
                                                          = 4 · 8 · 4 = 128

                                                                         4
 16. Diketahui x2 − 2x − 2 = 0, maka berapakah nilai dari x2 +              ?
                                                                         x2

     a. 6                                    c. 10

     b. 8                                    d. 14

     Jawaban : b
     Dari persamaan x2 − 2x − 2 = 0, jelas x = 0. Oleh karena itu, dengan membagi
     persamaan tersebut dengan x diperoleh,

                                          2        2
                                 x−2−       =0 ⇔ x− =2
                                          x        x

                                                                                              5
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                   Pembahasan Final KMP VIII 2012


     kuadratkan kedua ruas sehingga didapat,

                                        4                          4
                                 x2 +      −4=4       ⇔     x2 +      =8
                                        x2                         x2

 17. Berapakah sisa pembagian 50 + 51 + 52 + 53 + · · · + 52012 dibagi 125.

     a. 29                                    c. 61

     b. 30                                    d. 31

     Jawaban : d
     Untuk k ≥ 3 maka 5k ≡ 0       ( mod 125). Oleh karena itu,

                    50 + 51 + 52 + 53 + · · · + 52012 ≡ 50 + 51 + 52       ( mod 125)
                                                      ≡ 1 + 5 + 25      ( mod 125)
                                                      ≡ 31    ( mod 125)


 18. Apakah digit terakhir dari bilangan (1! + 2! + 3! + · · · + 2012!)2012 .

     a. 1                                     c. 7

     b. 3                                     d. 9

     Jawaban : a
     Misal, N = 1! + 2! + 3! + · · · + 2012! Perhatikan untuk k ≥ 5, maka k! ≡ 0         ( mod 10),
     sehingga

                   N = 1! + 2! + 3! + · · · + 2012! ≡ 1! + 2! + 3! + 4!      ( mod 10)
                                                     ≡ 1 + 2 + 6 + 24      ( mod 10)
                                                     ≡ 33    ( mod 10)
                                                     ≡3     ( mod 10)

     Oleh karena itu, digit terakhir dari N adalah 3. Perlu diketahui juga,

                                          34k ≡ 1     ( mod 10)
                                        34k+1 ≡ 3     ( mod 10)
                                        34k+2 ≡ 9     ( mod 10)
                                        34k+3 ≡ 7     ( mod 10)

     untuk setiap bilangan bulat nonnegatif k.
     Sehingga N 2012 = N 4·503 ≡ 1 ( mod 10).

 19. Misalkan a, b, c dan d adalah anggota bilangan bulat positif. Jika a dibagi b meng-
     hasilkan 15 sisa 7, b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3, dan a dibagi 18 menghasilkan d
     sisa x. Berapakah nilai x?

     a. 13                                    c. 15

     b. 14                                    d. 16




                                                                                                 6
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                 Pembahasan Final KMP VIII 2012


     Jawaban : d
     a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7 dapat ditulis,

                                             a = 15b + 7                                (1)

     b dibagi 6 menghasilkan c sisa 3 dapat ditulis,

                                             b = 6c + 3                                 (2)

     dan a dibagi 18 menghasilkan d sisa x dapat ditulis,

                                             a = 18d + x                                (3)

     Dari pers.(1), (2) dan (3) diperoleh,

                       15b + 7 = 18d + x ⇔           15(6c + 3) + 7 = 18d + x
                                              ⇔      90c + 52 = 18d + x
                                              ⇔      18d = 90c + 52 − x

     Karena 18 habis membagi 90, maka haruslah 52 − x juga habis dibagi 18. Dengan
     kata lain, 52 − x = 18k ⇔ x = 52 − 18k untuk suatu bilangan bulat k. Salah satu
     nilai x yang memenuhi adalah x = 16 untuk k = 2.

 20. Sederhanakan |1 − 3x − |x − 1|| untuk x < 0.

     a. −2x                                   c. x

     b. 2x                                    d. −x

     Jawaban : a

                     |1 − 3x − |x − 1|| = |1 − 3x − (1 − x)|      karena x < 0
                                       = |−2x| = −2x


 21. Ada berapa bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 ?

     a. 270                                   c. 280

     b. 269                                   d. 240

     Jawaban : b
                                                                         578
     Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 yaitu         = 192.
                                                                          3
                                                                         578
     Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 5 yaitu         = 115.
                                                                          5
                                                                          578
     Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 15 yaitu         = 38.
                                                                           15
     Jadi, banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 3 atau 5 adalah
     192 + 115 − 38 = 269.
                                               8
 22. Berapakah nilai maksimum dari                       ?
                                       |x − 2| + |x + 6|

     a. 4                                     c. 2

     b. 3                                     d. 1

                                                                                         7
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                              Pembahasan Final KMP VIII 2012


     Jawaban : d
                                                 8
     Misalkan, f (x) = |x − 2| + |x + 6|. Agar nilai maksimum maka nilai f (x) harus
                                               f (x)
     minimum. Perhatikan bahwa fungsi f dapat ditulis,
                                         
                                          −2x − 4, x < −6
                                         
                                 f (x) =   8,       6≤x<2
                                         
                                           2x + 4,  x≥2
                                         


     sehingga nilai minimum dari fungsi f adalah 8. Oleh karena itu, nilai maksimum dari
       8
           adalah 1.
     f (x)
 23. Sederhanakan −a + |a| + | − a|, jika a < 0.

     a. 2a                                   c. −3a

     b. −2a                                  d. 3a

     Jawaban : c

                            −a + |a| + | − a| = −a + (−a) + (−a) = −3a


 24. Misalkan A = 9999 . . . 9 dan A = 1050 − 1, carilah nilai m.
                        m


     a. 50                                   c. 51

     b. 49                                   d. 40

     Jawaban : b
     Cukup jelas.

 25. Misalkan a2 − 12a − b + 41 = 0, dengan a, b ∈ Z. Berapakah nilai a untuk b yang paling
     minimum ?

     a. 5                                    c. 7

     b. 6                                    d. 4

     Jawaban : b
     Perhatikan,
                            a2 − 12a − b + 41 = 0 ⇔ (a − 6)2 + 5 = b

     karena (a − 6)2 ≥ 0 untuk ∀a ∈ R, maka b akan bernilai minimum saat
     a − 6 = 0 ⇔ a = 6.

 26. Berapakah nilai x + y, jika diketahui x2 + y 2 − 4x + 10y + 29 = 0 ?

     a. −2                                   c. −3

     b. −1                                   d. 1

     Jawaban : c

                    x2 + y 2 − 4x + 10y + 29 = 0 ⇔     (x − 2)2 + (y + 5)2 = 0

     Jadi, x = 2 dan y = −5 sehingga x + y = −3.

                                                                                         8
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                         Pembahasan Final KMP VIII 2012


 27. Berapakah sisa pembagian bilangan 1 · 2 · 3 · 4 · · · 2012 − 1 dibagi dengan 100101 ?

     a. 99                                        c. 10001

     b. 101                                       d. 10099

     Jawaban : 100100
     Perlu diketahui bahwa 100101 = 3 · 61 · 547. Jadi, 2012! habis dibagi oleh 100101.
     Oleh karena itu, 2012! − 1 jika dibagi 100101 akan bersisa 100100.

 28. Diketahui a dan b adalah digit - digit pada bilangan dua digit ab dan ba, sehingga
     (ab)2 − (ba)2 = 1089. Berapakah nilai a2 + b2 ?

     a. 11                                        c. 61

     b. 35                                        d. 83

     Jawaban : c
     Dari soal kita peroleh,

             (10a + b)2 − (10b + a)2 = 1089 ⇔            (11a + 11b)(9a − 9b) = 1089 = 32 · 112

     sehingga (11a + 11b) dan (9a − 9b) adalah faktor positif dari 1089. Karena (11a + 11b)
     dan (9a − 9b) berturut - turut merupakan kelipatan 11 dan 9, maka diperoleh (11a +
     11b) = 121 dan (9a−9b) = 9. Sehingga a+b = 11 dan a−b = 1. Dengan menyelesaikan
     kedua persamaan tersebut, diperoleh a = 6 dan b = 5. Jadi, a2 + b2 = 62 + 52 = 61.

 29. Hitunglah (1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 307) − (2 + 4 + 6 + · · · + 306)?

     a. −154                                      c. 153

     b. −153                                      d. 154

     Jawaban : d

                       (1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 307) − (2 + 4 + 6 + · · · + 306)
                        = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · · · · + 305 − 306 + 307
                        = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) + · · · · · · + (−1) +307
                                              sebanyak 153

                        = −153 + 307 = 154


 30. Berapakah sisa pembagian 47474747 · · · 47 dibagi 9?
                                      108   digit


     a. 0                                         c. 2

     b. 1                                         d. 3

     Jawaban : a
     Karena jumlah digit - digit dari 47474747 · · · 47 yaitu 54 · (4 + 7) habis dibagi 9, maka
                                            108     digit
     47474747 · · · 47 juga habis dibagi 9. Sehingga 47474747 · · · 47 bersisa 0 jika dibagi 9.
         108   digit                                           108     digit




                                                                                                  9
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                               Pembahasan Final KMP VIII 2012


 31. Diketahui a, b dan c adalah bilangan bulat yang memenuhi −5 < a ≤ 3, −8 < b < 1
     dan b2 − 2a + 3c = 6. Berapakah nilai terkecil c yang mungkin ?

     a. −7                                            c. −17

     b. −12                                           d. −19

     Jawaban : c
     Karena 3c = 6 + 2a − b2 , maka agar c minimum haruslah dipilih a terkecil dan b2
     terbesar yang mungkin dengan juga memperhatikan bahwa 2a − b2 adalah bilangan
     kelipatan 3. Oleh karena itu, pilih a = −4 dan b = −6 sehingga diperoleh
     3c = 6 + 2 · (−4) − (−7)2 = 6 − 8 − 49 = −51 yang equivalen dengan c = −17.
                                      1          1              1                    1               1
 32. Berapakah nilai             1−         1−        1−              ··· 1 −                  1−       ?
                                      22         32             42                  192             202
          1                                                21
     a.   20
                                                      c.   2

          21                                               21
     b.   40
                                                      d.   20


     Jawaban : b

               1                 1            1             1               1
          1−                1−           1 − 2 ··· 1 −                1−
               22                32          4             192             202
                    1              1           1       1                   1               1           1          1
      =        1+            1−           1+        1−     ··· 1 +                  1−          1+          1−
                    2              2           3       3                  19              19          20         20
          3             1      4       2         20   18        21        19
      =                                    ···
          2             2      3       3         19   19        20        20
          3             4           20      21     1   2             18        19
      =                      ···                           ···
          2             3           19      20     2   3             19        20
          21            1
      =
           2            20
        21
      =
        40

                                                                      1     1     1
 33. Urutkan bilangan bulat positif a, b, dan c jika                     >     >     .
                                                                     a+b   b+c   a+c

     a. a > b > c                                     c. c > a > b

     b. a > c > b                                     d. b > a > c

     Jawaban : c
               1      1                                    1     1
     Karena        >     maka a + b < b + c ⇔ a < c, dan      >     maka
             a+b     b+c                                  b+c   a+c
     b + c < a + c ⇔ b < a. Sehingga diperoleh b < a < c.

 34. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan bulat positif yang memenuhi 3x + 2y + 5z = 37.
     Berapakah nilai y terbesar yang mungkin?

     a. 29                                            c. 14

     b. 14,5                                          d. 13

     Jawaban : d
     Karena 2y genap, maka 3x + 5z harus ganjil. Selain itu, agar y terbesar maka x dan
     z harus nilai terkecil yang mungkin. Oleh karena itu, pilih x = 2 dan z = 1 sehingga
     didapat 3 · 2 + 2y + 5 · 1 = 37 ⇔ y = 13.

                                                                                                                  10
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                Pembahasan Final KMP VIII 2012


 35. Berapakah nilai dari a2 + b2 + c2 , jika a + b = c + 6 dan ab − ac = bc − 1?

     a. 40                                   c. 36

     b. 38                                   d. 34

     Jawaban : b
     Perhatikan bahwa, ab − ac = bc − 1 ⇔ ac + bc − ab = 1, dan

                    (a + b − c)2 = 62   ⇔   a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ac = 36
                                        ⇔   a2 + b2 + c2 − 2(ac + bc − ab) = 36
                                        ⇔   a2 + b2 + c2 − 2 · 1 = 36
                                        ⇔   a2 + b2 + c2 = 38


 36. Misalkan x = 0, 02468101214 · · · 100102104, angka - angka di belakang koma pada
     bilangan desimal x tersusun dari bilangan bulat genap dari 0 hingga 104. Maka,
     berapakah angka ke-101 di belakang koma?

     a. 0                                    c. 2

     b. 1                                    d. 4

     Jawaban : c
     Dari 0, 2, 4, 6, 8 ada 5 digit.
     Dari 10, 12, 14, · · · , 98 ada 5 x 2 x 9 = 90 digit.
     Dari 100, 102, 104 ada 9 digit.
     Jadi, total ada (5 + 90 + 9 = 104) digit angka di belakang koma. Mudah dilihat bahwa
     angka ke-101 adalah 2.

 37. Manakah yang merupakan faktor dari x2 − y 2 − 6x − 8y − 7?

     a. x + y + 1                            c. x − y − 1

     b. x − y − 5                            d. x + y + 7

     Jawaban : a

                     x2 − y 2 − 6x − 8y − 7 = x2 − 6x + 9 − (y 2 + 8y + 16)
                                            = (x − 3)2 − (y + 4)2
                                            = (x − 3 + y + 4)(x − 3 − (y + 4))
                                            = (x + y + 1)(x − y − 7)


 38. Berapakah angka terakhir pada bilangan 20122012 ?

     a. 8                                    c. 4

     b. 6                                    d. 2




                                                                                       11
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                     Pembahasan Final KMP VIII 2012


     Jawaban : b
     Perhatikan pola berikut,

                                           24k ≡ 6      ( mod 10)
                                       24k+1 ≡ 2        ( mod 10)
                                       24k+2 ≡ 4        ( mod 10)
                                        4k+3
                                       2       ≡8       ( mod 10)

     untuk setiap bilangan bulat positif k.
     Selanjutnya diperoleh,

                                  20122012 ≡ 22012        ( mod 10)
                                               ≡ 24·503    ( mod 10)
                                               ≡6     ( mod 10)



 39. Diketahui m dan n adalah bilangan bulat positif, dan m + n + mn = 34. Berapakah
     nilai dari m + n?

     a. 6                                       c. 10

     b. 8                                       d. 34

     Jawaban : c

                         m + n + mn = 34 ⇔ (m + 1)(n + 1) = 35

     Jadi, m + 1 dan n + 1 adalah faktor positif dari 35. Karena m dan n bilangan bulat
     positif maka m + 1 > 1 dan n + 1 > 1. Oleh karena itu, m + 1 = 5 ⇔ m = 4 dan
     n + 1 = 7 ⇔ n = 6. Sehingga m + n = 10.

 40. Umur ayah sekarang adalah 60 tahun. Ketika umur ayah seumuran umurku, umurku
     setengah dari umurku sekarang. Berapakah umurku sekarang?

     a. 45                                      c. 35

     b. 40                                      d. 30

     Jawaban : b
     Misalkan, umurku sekarang x, dan misalkan pula k tahun yang lalu umur ayahku
     seumuran umurku, kita peroleh

                                                             x             x
                          60 − k = x       dan       x−k =          ⇔ k=
                                                             2             2

     Oleh karena itu,

                                            x
                                    60 −      =x        ⇔ x = 40
                                            2

 41. Misalkan a, b dan c adalah angka - angka pada sebuah bilangan kuadrat tiga angka
     abc. Jika satuan dan puluhan pada bilangan tersebut dinaikkan berturut - turut 1 dan
     3, juga akan menghasilkan bilangan kuadrat. Maka berapakah nilai a + b + c?

                                                                                            12
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                        Pembahasan Final KMP VIII 2012


     a. 9                                    c. 11

     b. 10                                   d. 12

     Jawaban : a
     Diketahui,
                                      100a + 10b + c = m2

     dan
                                100a + 10(b + 3) + (c + 1) = n2

     untuk suatu bilangan bulat m, n.
     Dari kedua persamaan di atas diperoleh,

                                n2 − m2 = (n + m)(n − m) = 31

     Oleh karena itu, n+m = 31 dan n−m = 1. Dengan menyelesaikan sistem persamaan
     tersebut, diperoleh m = 15, sehingga m2 = 225, yang berarti a + b + c = 2 + 2 + 5 = 9.
                                               3
 42. Diberikan (2a − 3)2 + (b + 2)2 + 1, 5 =   √ .
                                                4
                                                      Carilah nilai 4a − b.

     a. 6                                    c. 12

     b. 8                                    d. 16

     Jawaban : b

                                               3
                 (2a − 3)2 + (b + 2)2 + 1, 5 = √         ⇔ (2a − 3)2 + (b + 2)2 = 0
                                                4

     Sehingga 2a − 3 = 0     ⇔ 2a = 3 dan b + 2 = 0                   ⇔ b = −2. Oleh karena itu,
     4a − b = 6 + 2 = 8.
                                                                √
 43. Diketahui persamaan 2x2 + (x + 1)2 = 1. Carilah                x − 5?
                                                  √
     a. − 32 + (−4)2                         c.       32 + 42

     b. −5 (−4)2 − 3)2                       d. 1

     Jawaban : a

                         2x2 + (x + 1)2 = 1 ⇔ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 1
                                               ⇔ 3x2 + 2x = 0
                                               ⇔ x(3x + 2) = 0

                                           2
     sehingga diperoleh x = 0 atau x = − 3 . Ambil x = 0, sebab bilangan negatif bukan
                                         √
     domain dari fungsi akar. Jadi, nilai x − 5 = −5.

 44. Sebuah mobil angkutan antar kota biasa menempuh perjalanan dari kota A ke kota
     B dengan kecepatan 70 km/jam. Namun pada suatu ketika mobil itu mengalami
     kerusakan sehingga harus menurunkan kecepatan 50 km/jam tepat di tengah per-
     jalanan, sehingga sampai ke kota B terlambat 3 jam dari waktu biasanya. Berapakah
     jarak dari kota A ke kota B?

     a. 525 km                               c. 850 km

     b. 775 km                               d. 1050 km

                                                                                               13
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                                               Pembahasan Final KMP VIII 2012


     Jawaban : d
     Misalkan jarak kota A ke kota B adalah s, maka diperoleh

                                                            s
                                                              = 70t
                                                            2

     dan
                                       s
                                         = 50(t + 3)
                                       2
     dengan t waktu yang dibutuhkan untuk menempuh setengah perjalanan dengan ke-
     cepatan 70 km/jam.
     Dari kedua persamaan di atas diperoleh,

                                       70t = 50(t + 3)                 ⇔ 20t = 150
                                                                       ⇔ t = 7, 5

          s
     Jadi,  = 70 · 7, 5 ⇔ s = 1050 km.
          2
                    6
                         √    6
                                    √
 45. Misalkan A = 11 + 57 · 11 − 57, maka carilah nilai A2 + 5?

     a. 1                                                  c. 9

     b. 4                                                  d. 16

     Jawaban : c

                            6          √          6            √               6
                                                                                                   √                √
                      A=        11 +       57 ·       11 −      57 =               (11 +               57)(11 −         57)
                                                                               √
                                                                               6
                                                                       =           121 − 57
                                                                               √
                                                                               6
                                                                       =           64
                     √             √
     Jadi, A2 + 5 = ( 6 64)2 + 5 = 3 64 + 5 = 4 + 5 = 9.
                                 √                                  √
                          (1 + a) 3 1 + a             3                 3
 46. Sederhanakan                         ·                                                    ?
                                3a                        9+    18a−1       + 9a−2
          √                                                     √
                                                                6 a
     a.   6
            a                                              c.    4
          √
          6                                                      √
                                                                 6a
            a
     b.    3
                                                           d.    √
                                                                 3
                                                                   9


     Jawaban : b
                   √                         √                                                          1
                                                                                                            1
                                                                                                            2                 1
                                                                                                                                     1
                                                                                                                                     3
            (1 + a) 3 1 + a     3                 3                     (1 + a)(1 + a) 3                                3 2 · a2
                            ·                                   =
                  3a                9 + 18a−1 + 9a−2                          3a                                    9(a2 + 2a + 1)
                                                                                                   1                      1
                                                                                           4       2        1             3
                                                                        (1 + a) 3                         3 2 · a2
                                                                =
                                                                           3a                           32 (a + 1)2
                                                                                       2                2
                                                                      (1 + a) 3                        a3
                                                                =          1       1       ·       1            2
                                                                       32 · a2                 3 2 (a + 1) 3
                                                                       1
                                                                  a6
                                                                =
                                                                  3
                                                                  √
                                                                  6
                                                                    a
                                                                =
                                                                   3




                                                                                                                                     14
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                Pembahasan Final KMP VIII 2012


 47. Diberikan sistem persamaan berikut :

                                       x+y =6
                                                        √
                                      x2 + y 2 = 40 + 12 2

     Carilah nilai x − y ?
                √                                √
     a. 2 11 + 6 2                           c. 2 2
                √
     b. 2 11 − 6 2                           d. 2

     Jawaban : a

                               x+y =6 ⇔        (x + y)2 = 36
                                        ⇔      x2 + y 2 + 2xy = 36
                                                        √
                                        ⇔      40 + 12 2 + 2xy = 36
                                                              √
                                        ⇔      2xy = −4 − 12 2


                                (x − y)2 = x2 + y 2 − 2xy
                                                    √        √
                                         = 40 + 12 2 + 4 + 12 2
                                                    √
                                         = 44 + 24 2

                                     √                √
     sehingga, x − y = ±      44 + 24 2 = ±2    11 + 6 2.

 48. Perhatikan gambar di samping!                                            A
     Diketahui BE = CE = DE, ∠ADB = 10◦ , dan
     ∠BAC = 50◦ . Maka berapakah besar sudut ACE?                     B

     a. 10
                                                                                  E
     b. 15

     c. 30                                                                                   D

     d. 45                                             C
     Jawaban : c
     Karena BEC dan CED sama kaki maka ∠CBD = ∠BCE dan ∠DCE = ∠CDE.
     Pada BCD berlaku,

                             ∠CBD + ∠BCE + ∠DCE + ∠CDE = 180◦
                                             2∠BCE + 2∠DCE = 180◦
                                               ∠BCE + ∠DCE = 90◦
                                                         ∠BCD = 90◦

     karena ∠BCD dan ∠BAD siku - siku maka segiempat ABCD adalah segiempat tali
     busur.




                                                                                       15
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                  Pembahasan Final KMP VIII 2012


                  A

       B


                        E



                                  D
            C

     Oleh karena itu diperoleh,

                               ∠ACE = ∠BCD − ∠BCA − ∠DCE
                                      = 90◦ − ∠ADB − ∠CDE
                                      = 90◦ − 10◦ − ∠BAC
                                      = 90◦ − 10◦ − 50◦ = 30◦

                                                       √
 49. Misalkan |x − |4 − x|| − 2x = 4, berapakah nilai ( x − 1)3 ?

     a. 9                                    c. 1

     b. 4                                    d. −1

     Jawaban : d

        • Untuk x < −4, persamaan pada soal menjadi :

                            |x − |4 − x|| − 2x = 4 ⇔       |x − (4 − x)| − 2x = 4
                                                       ⇔   |2x − 4| − 2x = 4
                                                       ⇔   4 − 2x − 2x = 4
                                                       ⇔   4x = 0
                                                       ⇔   x=0

        • Untuk x ≥ −4, persamaan pada soal menjadi :

                            |x − |4 − x|| − 2x = 4 ⇔       |x + 4 − x| − 2x = 4
                                                       ⇔ 4 − 2x = 4
                                                       ⇔ x=0

                                                                                √
     Oleh karena itu, satu - satunya nilai x yang memenuhi adalah x = 0. Jadi, ( x−1)3 =
     −1.
                      1        1       14
 50. Diketahui            + 2         = . Berapakah nilai x2 + 3?
                 x2   + 4x x + 4x + 4  45
                                                  13
     a. 3                                    c.   4

                                                  76
     b. 4                                    d.   25




                                                                                         16
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                              Pembahasan Final KMP VIII 2012


     Jawaban : b
     Misal, x2 + 4x = t maka persamaan pada soal menjadi,

                         1   1   14            t+4+t       14
                           +   =             ⇔          =
                         t t+4   45             t2 + 4t    45
                                             ⇔ 45(2t + 4) = 14(t2 + 4t)
                                             ⇔ 90t + 180 = 14t2 + 56t
                                             ⇔ 14t2 − 34t − 180 = 0
                                             ⇔ 7t2 − 17t − 90 = 0
                                             ⇔ (7t + 18)(t − 5) = 0
                                                     18
                                             ⇔ t=−         atau t = 5
                                                      7

        • Jika t = − 18 maka diperoleh persamaan : x2 +4x = − 18 ⇔ 7x2 +28x+18 = 0
                      7                                          7
          yang kedua akarnya irasional. Padahal dari pilihan jawaban yang ada, tidak ada
          yang irasional. Oleh karena itu, untuk kasus ini tidak perlu kita cek.
        • Jika t = 5 maka diperoleh persamaan :
          x2 + 4x = 5 ⇔ x2 + 4x − 5 = 0 ⇔ (x + 5)(x − 1) = 0.
          (a) Jika x = −5 maka x2 + 3 = (−5)2 + 3 = 28
          (b) Jika x = 1 maka x2 + 3 = 12 + 3 = 4




                                                                                     17
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com
Tutur Widodo                                                              Pembahasan Final KMP VIII 2012


II. Soal Uraian                         √              √            √        √
                                                                        x+2−2 x+1
Carilah penyelesaian dari       3−          5+   3+        5 = 10


            5        3
Jawaban :     atau −
            4        4

              √              √
Misal,   3−    5+     3+      5 = t maka diperoleh,

                                          √                 √       2
                         2
                         t =            3− 5+          3+       5
                                        √        √                      √      √
                             =3− 5+3+             5+2            (3 −    5)(3 + 5)
                                 √
                             =6+2 9−5
                             =6+4
                             = 10
                                    1
                         t = 10 2

                               √                 √           1
sehingga diperoleh,      3−        5+       3+       5 = 10 2 . Oleh karena itu persamaan pada soal
menjadi,

                         1
                               √     √                      1           √
                      10 2 = 10 x+2−2 x+1             ⇔       = x+2−2 x+1
                                                            2
                                                            1    √
                                                      ⇔       = ( x + 1 − 1)2
                                                            2
                                                            1  √
                                                      ⇔       = x+1−1
                                                            2

sehingga didapat,

                         √            1                          √         1
                             x+1−1=                  atau         x+1−1=−
                                      2                                    2
                               √      3                          √       1
                                 x+1=                atau         x+1=
                                      2                                  2
                                      9                                1
                                 x+1=                atau        x+1=
                                      4                                4
                                      5                              3
                                   x=                atau        x=−
                                      4                              4

Keterangan :
Soal uraian nilainya akan diperhitungkan hanya untuk peserta 5 besar nasional. Jika tidak
ada perolehan nilai yang sama pada 5 besar nasional maka skor peserta hanya dilihat berdasarkan
soal pilihan ganda.




                                                                   Disusun oleh : Tutur Widodo
                                                      Apabila ada saran, kritik maupun masukan
                                                                       silakan kirim via email ke
                                                                           tutur.w87@gmail.com
                                                                                    Terima kasih.
                                                 My blog : http://mathematic-room.blogspot.com




                                                                                                     18
Visit us at : mathematic-room.blogspot.com

								
To top