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					Was ist der Goldene Schnitt?
...                  Eine Strecke wird s=AB wird im goldenen Schnitt durch den Punkt T geteilt, wenn die gesamte Strecke
...                  sich zum größeren Abschnitt so verhält wie diese zum kleineren.
In Formelsprache heißt das AB:AT=AT:TB.
Man sagt auch:
"Die Strecke AB wird durch T stetig geteilt" oder
"Die Strecke AT ist die mittlere Proportionale zu AB und TB".
Aus der Proportion AB:AT=AT:TB folgt die Produktgleichung AT²=AB*TB oder auch AT=sqrt(AB*TB).
Dann ist auch die Deutung möglich: "Die Strecke AT ist das geometrische Mittel von AB und TB".

Der Goldene Schnitt heißt auch stetige Teilung. Der Name ergibt sich aus der folgenden Eigenschaft.
Trägt man den kleineren Abschnitt s-x auf der größeren Teilstrecke x ab, so wird diese Strecke x durch den neuen Teilpunkt
ebenfalls stetig geteilt.

Das goldene Dreieck und Rechteck        top

...

                                         Das goldene Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem das Seitenverhältnis
                                         von Schenkel zu Grundseite Phi ist.
                                         Nachweis: Zeichnet man eine Winkelhalbierende ein, entsteht ein zum Dreieck
                                         ähnliches Teildreieck. Es gilt a:x=x:(a-x). Das ist das Verhältnis des Goldenen
                            .            Schnitts.
                            ...
...

Die Zeichnung ist nur möglich, wenn man ein Dreieck mit den Innenwinkeln 72°, 72° und 36° vorgibt.




                                                                       ....




...                  ...

Das goldene Rechteck ist ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis Phi.
Zeichnet man ein Quadrat ein, so entsteht wieder ein goldenes Rechteck. Es gilt nämlich a:x=x:(a-x). Das ist die Proportion
des Goldenen Schnitts.

Konstruktion des Goldenen Schnitts       top
Das ist die Standard-Konstruktion.




(1) Gegeben sei die Strecke AB, die geteilt werden soll.
(2) Zeichne zu AB die Senkrechte durch B der Länge BC=(1/2)AB.
(3) Zeichne die Strecke AC.
(4) Zeichne einen Kreis um Punkt C mit dem Radius BC. Nenne den Schnittpunkt mit der Strecke Punkt S.
(5) Zeichne einen Kreis um Punkt A mit dem Radius AS. Nenne den Schnittpunkt mit der Strecke AB Punkt T.
Ergebnis: T teilt AB (innen) im Goldenen Schnitt.
Beweis:
Es sei AB=a. Es ist nach dem Satz des Pythagoras AC²=AB²+BC²=a²+[(1/2)a]²=(5/4)a². Dann ist AC=(1/2)sqrt(5)a.
Für das gesuchte Verhältnis gilt
AT:AB=AS:AB=(AC-CS):AB=[(sqrt(5)a-a]:2a=(1/2)[sqrt(5)-1] wzbw..

				
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