Giai he PT bang phuong phap the

Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net Trong các ph n trư c chúng ta ñã ñi xét m t s d ng h mà có ñư ng l i gi i t ng quát. Trong ph n này chúng ta ñi xét m t s h mà không có ñư ng l i gi i t ng quát. ð tìm l i gi i c a nh ng h này 1. Phương pháp th : N i dung c a phương pháp này t m t phương trình ho c k t h p hai phương trình c a h ta bi u di n n này qua n kia ho c m t bi u th c này qua bi u th c khác và th vào phương trình còn l i chuy n v phương trình m t n (có th là n ph ). M c ñích c a vi c làm này là gi m s n. Tùy thu c vào ñ c ñi m c a bài toán mà ta có nh ng cách bi n ñ i phù h p. Trong phương pháp này ta c n lưu ý m t s d u hi u sau. • N u trong h phương trình có m t phương trình b c nh t ñ i v i m t n thì ta rút n ñó qua n kia th vào phương trình còn l i và chuy n v gi i phương trình m t n. • V i hai s th c b t kì x ≠ 0; y ta luôn có y = tx (t là s th c c n tìm). V i cách làm này ta s ñư c h v phương trình m t n t. • Phương trình f (x; y) = f (y;x) luôn có m t c p nghi m x = y (các b n th gi i thích vì sao?), do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho v d ng: (x − y)g(x; y) = 0 . • Trong h phương trình n u bi u th c u(x) xu t hi n hai phương trình thì ta có th ñ t t = u(x) ñ làm ñơn gi n hình th c bài toán.  x 3 y = 16  Ví d 1: Gi i h phương trình:  3x + y = 8  (1) (2) . Gi i : Ta th y (2) là m t phương trình b c nh t hai n nên ta rút n này qua n kia. T phương trình (2) ⇒ y = 8 − 3x thay vào phương trình (1) ta ñư c: x 3 (8 − 3x) = 16 ⇔ 3x 4 − 8x 3 + 16 = 0 ⇔ (x − 2)2 (3x 2 + 4x + 4) = 0 ⇔ x = 2 V y h có nghi m là x = y = 2 . Chú ý : cách gi i trên ta th y h có nghi m duy nh t x = y = 2 , ñ ng th i t hai phương trình ta có nh n xét x, y > 0 và phương trình (2) VT là 3x + y , phương trình (1) có tích x 3 y . ði u này g i cho chúng ta liên tư ng ñ n BðT Cauchy. Ta có cách gi i khác như sau: Ta th y n u h có nghi m (x;y) thì x, y > 0 . Áp d ng bñt Cauchy ta có: 3x + y = x + x + x + y ≥ 4 4 x 3 y = 8 . ð ng th c x y ra ⇔ x = y = 2 . Th l i ta th y th a mãn. Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 1 Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507  y(1 + x 2 ) = x 1 + y 2  Ví d 2:Gi i h phương trình:   x 2 + 3y 2 = 1  http://www.toanthpt.net ( ) (1) (2) . Gi i: D th y phương trình (1) có c p nghi m x = y , do ñó ta bi n ñ i phương trình (1) c a h ra th a s (x − y) . x = y . Ta có: (1) ⇔ x − y + xy(y − x) = 0 ⇔ (x − y)(1 − xy) = 0 ⇔  xy = 1  1 * x = y ⇒ 4x 2 = 1 ⇔ x = ± . 2 1 * x = ⇒ 3y 4 − y 2 + 1 = 0 phương trình vô nghi m. y 1 V y nghi m c a h là: x = y = ± . 2 1 1  (1) x − x = y − y . Ví d 3: Gi i h phương trình:  2y = x 3 + 1 (2)  Gi i: xy ≠ 0 x = y x−y 1 Ta có (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y)(1 + ) = 0 ⇔  . y = − 1 xy xy  x * x = y thay vào (2), ta ñư c: −1 ± 5 . 2 1 1 1 3 * y = − thay vào (2), ta ñư c: x 4 + x + 2 = 0 ⇔ (x 2 − ) + (x + ) 2 + = 0 vô x 2 2 2 nghi m. −1 ± 5 V y h ñã cho có ba c p nghi m: x = y = 1;x = y = . 2 x 3 − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 + x − 1) = 0 ⇔ x = 1;x = Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 2 Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  x+y=3x+y  Ví d 4: Gi i các h phương trình sau:  . 3 x − y − 12  x−y=  x + y ≥ 0 Gi i: ðK:  . x−y≥0  Ta th y m i phương trình c a h là phương trình m t n x + y và x − y . Do ñó ñi u mà chúng ta nghĩ t i là ñi gi i t ng phương trình tìm x + y và x − y , khi ñó ta có ñư c h phương trình m i ñơn gi n hơn nhi u. ð ñơn gi n v m t hình th c ta ñ t a = x + y, b = x − y ⇒ a, b ≥ 0 ta có h : 2  3  a =3a a = 0 V a = 1  a = a ⇔ ⇔ .  3 2 3 b=4   b = b − 12 b = (b − 12)   a = 0 x + y = 0 x = 2 *V i  ⇔ ⇔ b = 4  x − y = 4  y = −2 5  x=  a = 1 x + y = 1  2 ⇔ ⇔ *V i  b = 4  x − y = 4  y = − 3   2 5 3 V y nghi m c a h là: (x; y) = (2; −2), ( ; − ) . 2 2  x+y − x−y=2  Ví d 4: Gi i h phương trình:   x 2 + y2 + x 2 − y2 = 4  (1) (2) . Gi i: ðK : x ≥| y | Vì (1) trong căn ch ch a lũy th a b c 1 ñ i v i x,y còn (2) thì trong căn ch a lũy th a b c 2 ñ i v i x,y nên suy nghĩ ñ u tiên là ta s bình phương hai v phương trình (1) ñ ñưa v hai phương trình ñ ng b c. T (1) ⇒ x + y > x − y ⇒ y > 0 . 2≤x≤6 x − x 2 − y2 = 2  x 2 − y2 = x − 2   2   H ⇔ ⇔ ⇔  x − y 2 = (2 − x)2  x 2 + y2 = 4 − x 2 − y2  x 2 + y2 = 6 − x  2 2 2    x + y = (6 − x) Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 3 Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net 2 ≤ x ≤ 6 2 ≤ x ≤ 6 5   2  2 x = 2 2 2 2 . ⇔ 2x = (2 − x) + (6 − x) ⇔ 2x = 40 − 16x + 2x ⇔   2  2 y = 6 2 2   x + y = (6 − x)  y = 36 − 12x 5 V y nghi m c a h ñã cho là: ( ; 6) . 2  x 2 + 1 + y(y + x) = 4y  Ví d 6: Gi i h phương trình:  2 (x + 1)(y + x − 2) = y  Gi i: ð t a = x + y t (1) ⇒ x 2 + 1 = y(4 − a) th vào (2), ta có: y(4 − a)(a − 2) = y ⇔ y(a 2 − 6a + 9) = 0 ⇔ y = 0; a = 3 * V i y = 0 thay vào (1) ta th y h vô nghi m. * V i a = 3 ⇔ x + y = 3 thay vào h ta có: x = 1 ⇒ y = 2 x2 + 1 = y = 3 − x ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔  . x = −2 ⇒ y = 5  V y h ñã cho có hai c p nghi m: (x; y) = (1;2), (−2;5) . (1) (2) .  x 3 − 8x = y3 + 2y  Ví d 7: Gi i h phương trình:  2 2  x − 3 = 3(y + 1)  (1) (2) . Gi i: Cách 1: T (2) ⇒ x 2 = 3(y 2 + 2) (3) thay vào (1) ta ñư c : x = 0 x2 3 2 2 2 . ⇔ x(3x − xy − 24) = 0 ⇔  x − 8x = y(y + 2) = y  y = 3x − 24 3   x 2 * V i x = 0 thay vào (3) ta có: y + 2 = 0 vô nghi m.  3x 2 − 24  3x 2 − 24 2 *V i y= thay vào (3) ta ñư c: x = 3   +6   x x    x = ±3 ⇒ y = ±1 x2 = 9 ⇔ 13x 4 − 213x 2 + 864 = 0 ⇔  2 96 ⇔  .  x = ± 96 ⇒ y = ∓ 78 x =   13 13 13   2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 4 Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 V y h có b n c p nghi m: (x; y) = (±3; ±1), (± http://www.toanthpt.net 96 78 ;∓ ). 14 13 Cách 2: Ta th y x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành  x 3 − 8x = t 3 x 3 + 2tx  x 2 (1 − t 3 ) = 2t + 8 1 − t3 t + 4   ⇔ ⇒ =  2 3 1 − 3t 2 x − 3 = 3(t 2 x 2 + 1) x 2 (1 − 3t 2 ) = 6      1 t = 3 3 2 2 ⇔ 3(1 − t ) = (t + 4)(1 − 3t ) ⇔ 12t − t − 1 = 0 ⇔  . 1 t = −   4 2 2  x (1 − 3t ) = 6  x = ±3 1  * t= ⇒ ⇔ . x y = ±1 3 y =  3   4 78 x = ± 1  13 . * t=− ⇒ 4  78  y = ∓ 13  | x 2 − 2x | + y = 1  Ví d 8: Gi i h phương trình:  2  x + | y |= 1  (1) (2) . Gi i: T (2) ⇒ −1 ≤ x, y ≤ 1 . Ta xét các trư ng h p sau * y ≥ 0 ⇒ (1) ⇔ x 2 + y = 1 ⇔ y = 1 − x 2 thay vào (2) ta ñư c: | x 2 − 2x | +1 − x 2 = 1 ⇔| x 2 − 2x |= x 2 ⇔ x 2 (x − 2)2 = x 4 ⇔ x 2 (−4x + 4) = 0 x = 0 ⇒ y = 1 ⇔ x = 1 ⇒ y = 0 * y < 0 ⇒ (1) ⇔ y = x 2 − 1 thay vào (2) ta có: | x 2 − 2x | + x 2 − 1 = 1 ⇔| x 2 − 2x |= 2 − x 2 ⇔ x 3 − 2x 2 + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 − x − 1) = 0 x = 1 ⇔ . x = 1 − 5 ⇒ y = 1 − 5   2 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 5 Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 V y h có ba c p nghi m (x; y) = (0;1), (1;0), ( http://www.toanthpt.net 1− 5 1− 5 ; ). 2 2 (1) 2xy  2 2 x + y + x + y = 1 Ví d 9: Gi i h phương trình:   x + y = x2 − y  . (2) Gi i: ðK : x + y > 0 Ta có: (1) ⇔ x 2 + y 2 + (x + y)2 − (x 2 + y 2 ) −1= 0 . x+y (x 2 + y 2 )(x + y) − (x 2 + y 2 ) x 2 + y2 ⇔ + x + y − 1 = 0 ⇔ (x + y − 1)( + 1) = 0 . x+y x+y x 2 + y2 ⇔ x + y − 1 = 0 ⇔ y = 1 − x ( Do > 0 ) Thay vào (2), ta ñư c: x+y x = 1 ⇒ y = 0 x 2 − (1 − x) = 1 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔  . x = −2 ⇒ y = 3  V y h có hai c p nghi m: (x; y) = (1;0), (−2;3) .  7x + y + 2x + y = 5  Ví d 10: Gi i h phương trình:  (HSG Qu c Gia – 2001).  2x + y + x − y = 2  Gi i: 8x + t = (3 − t) 2  7x + y = 3 − t    Cách 1: ð t t = y − x ⇔ y = x + t ta có h :  ⇔ 3x + t = (2 + t) 2  2x + y = 2 + t −2 ≤ t ≤ 3    2 2 2 3t − 8t = 3(3 − t) − 8(2 + t)  t + 9t + 1 = 0 −9 + 77   . ⇒ ⇔ ⇔t= 2 −2 ≤ t ≤ 3 −2 ≤ t ≤ 3    (t + 2) 2 − t x= = 10 − 77   3 là nghi m c a h ñã cho. ⇒ 11 − 77 y = t + x =   2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 6 Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net u + v = 5 Cách 2: ð t u = 7x + y, v = 2x + y . H tr thành:  . v=2+ y−x  5−x (Do u + v = 5 ). M t khác u 2 − v 2 = 5x ⇒ (u − v)(u + v) = 5x ⇒ u − v = x ⇒ v = 2 5−x 1+ x 1+ x 5 − x T ñó ⇒ =2+ y−x⇒y= thay vào h ta có ñư c: 2x + = 2 2 2 2 x ≤ 5 x ≤ 5 11 − 77   ⇔ ⇔ 2 ⇔ x = 10 − 77 ⇒ y = . 2 2 10x + 2 = (5 − x)  x − 20x + 23 = 0    x = 10 − 77  Thay vào h ta th y th a mãn. V y h ñã cho có nghi m  11 − 77 . y=   2 1  3x (1 + )=2  x+y  Ví d 11: Gi i h phương trình:  (HSG Qu c Gia – 1996 ). 1  7y(1 − )=4 2  x+y  Gi i: ðK : x, y ≥ 0 . Vì x=0 hay y=0 không là nghi m c a h nên ta có: 1  1+  x+y=  H ⇔ 1 − 1 =   x+y  1 2 2 + 1 = 3x 7y  ⇔ 4 2  1 = 1 −2 2 x + y 7y 3x 7y  2 3x (1) . Nhân (1) v i (2) ta ñư c: (2) 1 1 2 2 1 2 2 1 8 )( )= =( − − − ⇔ 21xy = (x + y)(7y − 24x) x+y 3x 7y 3x 7y 3x 7y ⇔ 24x 2 + 38xy − 7y 2 = 0 ⇔ (6x − y)(4x + 7y) = 0 ⇔ y = 6x (Do x, y > 0 ) Thay vào (1) ta có: 1 = 1 2 11 + 4 7 22 + 8 7 + ⇔x= ⇒ y = 6x = 21 7 3x 7x Th l i h ta th y th a mãn.  11 + 4 7 x =  21 . V y h có c p nghi m duy nh t  22 + 8 7 y =  7  7 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  x 3 + 3xy 2 = −49  Ví d 12: Gi i h phương trình:  2 2  x − 8xy + y = 8y − 17x  (1) (2) (HSG QG – 2004 ) . Gi i: Cách 1: Ta th y x = 0 không ph i là nghi m c a h nên x 3 + 49 2 T (1) ⇒ y = − (*) th vào phương trình (2) ta ñư c: 3x x 3 + 49 2 x − 8xy − = 8y − 17 ⇔ 24y(x 2 + x) = 2x 3 + 51x 2 − 49 3x  x = −1 2 2 ⇔ 24xy(x + 1) = (x + 1)(2x + 49x − 49) ⇔   y = 2x + 49x − 49   24x * x = −1 th vào (*) ⇒ y = ±4 . 2x 2 + 49x − 49 * y= th vào (*), ta có: 24x x 3 + 49  2x 2 + 49x − 49  3 2 2 − =  ⇔ −192x(x + 49) = (2x + 49x − 49)   3x 24x   Bi n ñ i rút g n ta ñư c: 4x 4 + 4x 3 + 45x 2 + 94x + 49 = 0 ⇔ (x + 1)2 (4x 2 − 4x + 49) = 0 ⇔ x = −1 . V y h có hai c p nghi m: (x; y) = (−1; ±4) . 2 Cách 2: Nhân phương trình (2) v i 3 r i c ng v i (1) theo t ng v ta ñư c: x 3 + 3x 2 + 3xy 2 − 24xy + 3y 2 = 24y − 51x − 49 ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 + 3y 2 (x + 1) − 24y(x + 1) + 48(x + 1) = 0 ⇔ (x + 1) (x + 1) 2 + 3y 2 − 24y + 48 = 0 ⇔ x = −1. Th x = −1 vào phương trình (1) ta có: y 2 = 16 ⇔ y = ±4 . V y h có hai c p nghi m (x; y) = (−1; ±2) . Cách 3: Vì x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành: ( ) Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 8 Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 3 2 http://www.toanthpt.net −49 −49 −49  3  x = 1 + 3t 2 = 49 + 3(t 2 − 16) = 49 + 3a  x (1 + 3t ) = −49   ⇔  2 2 8t − 17 b  x (1 − 8t + t ) = x(8t − 17)  x = 8t − 17 =  =  t 2 − 8t + 1 (t 2 − 16) − (8t − 17) a − b  (Trong ñó ta ñã ñ t: a = t 2 − 16; b = 8t − 17 ). ⇒ b3 −49 = ⇔ 49 b3 + (a − b)3 + 3a = 0 3 49 + 3a (a − b) ( ) ⇔ a  49 b 2 − b(a − b) + (a − b) 2 + 3 = 0 ⇔ a = 0 ⇔ t 2 = 16 .   2 Th t = 16 vào h ⇒ x = −1 ⇒ y = ±4 . ( ) Bài t p: Gi i các h phương trình sau: 3 x − y = x − y 3 x − y = x − y  2x + y + 1 − x + y = 1    2)  1)  3)  3x + 2y = 4 x + y = x + y + 2  x + 4 − 1 − y = 1 − 2x    1 1 x 3   x 2  x 3 y = 16  x − x = y − y ( y ) + ( y ) = 12 7)  5)  6)  3x + y = 8  2y = x 3 + 1 (xy)2 + xy = 6    2 1 x  2x 2y  x+ y + x− y =2  x + y2 + y = 3 + =3    8)  y 9)  10)  x  y + x − y − x =1  x − y + xy = 3 x + x + 1 = 3    y y  3 85  2 2 2 2 4xy + 4(x + y ) + (x + y) 2 = 3  x − xy + y = 3(x − y)   12)  11)  2 2 2  x + xy + y = 7(x − y) 2x + 1 = 13   x+y 3  x 2 + y2 = 1  x 2 + y 2 + xy = 1  x 3 + y3 − xy 2 = 1    14)  15)  13)  3 1 3 3 3 4 4 4x + y = 4x + y  x + y = x + 3y 3x − y = x + y     x 2 + y2 + x + y − 4 = 0  16)  2 2 2x + xy − y − 5x + y + 2 = 0  Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 9