Análisis Teórico de la Seguridad Social by hcj

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									Análisis Teórico de la Seguridad
            Social.
  Modelo de Samuelson – Diamond de
     Generaciones Superpuestas.
      Individuo Representativo
• El modelo se basa en la historia de vida de un
  individuo que se supone representativo de toda la
  economía.
• El individuo nace en “t” y recibe un salario wt que
  iguala el producto marginal del trabajo.
• El individuo asigna su salario entre consumo
  presente ct y consumo futuro xt para maximizar su
  función de utilidad entre t y t+1 donde la tasa de
  interés es rt+1 .
• Lo que el individuo no consume en t es lo que
  ahorra, st , e invierte en el mercado de capitales.
     Generaciones Superpuestas

Entonces:
ct  wt  st
xt  st (1  rt 1 )
Las empresas emplean capital para producir y, en equilibrio,
la tasa de interés es igual al producto marginal del capital,
r  f (k )
donde f(k) es la función de producción neoclásica.
El capital en t+1 es la suma de los ahorros de la población L t
                      K t 1
st Lt  K t 1  st         (1  n)
                      Lt 1
donde "n" es la tasa de crecimiento poblacional
              Estado Estacionario
En estado estacionario, ignorando subíndices,
 la restricción presupuestaria del individuo es
( w - c)(1  f (k ))  x
La función de utilidad a maximizar es U(c, x),
y el problema a resolver es :
W  U (c, x)  [( w - c)(1  f (k )) - x]
Las condiciones de primer orden son:
U c -  (1  f (k ))  0
Ux -   0
Estas condiciones también se pueden expresar como:
U c  (1  f (k ))U x
Esta condición significa que el individuo esta indiferente
entre consumir un peso en t que le da la utilidad U t
 o invertirlo en el mercado de capitales
para consumir (1+f      (k)) en el período t+1 con utilidad U x .
                    Posibilidad de Ineficiencia

Comparando este resultado con el modelo neoclásico de crecimiento se
observa que no esta asegurada una solución eficiente tipo "golden rule".
El equilibrio se obtiene por la asignación intertemporal del consumo
del individuo representativo tomando del mercado la tasa de interés
que iguala la productividad marginal del capital. O sea,
                                  Uc
                 (1  f ( k ))     ,
                                  Ux
que no necesariamente tiene que coincidir con "n". Sin especificar la
función de producción y la función de utilidad no se puede conocer
como se estaciona la economía con respecto a la golden rule.
Transferencias Intergeneracionales y los Sistemas de
                 Seguridad Social.
• El modelo anterior no permite transferencias entre
  generaciones al estilo de las que se observan en familias o
  en los sistemas de seguridad social.
• La observación de Samuelson (y posteriormente Diamond)
  con modelo de generaciones superpuestas es que la
  “golden rule” (u óptimo biológico según Samuelson) se
  puede obtener con transferencias intergeneracionales
  mediante un contrato social del tipo Hobbes-Rousseau.
• El contrato social establecería que las generaciones jovenes
  se aseguran su subsistencia en la vejez a cambio de
  aceptar hoy mantener a la generación mas adulta.
• Implícitamente a nivel de familia es posible este tipo de
  transferencia donde los hijos asumen responsabilidad por
  sus padres en la vejez bajo la expectativa que sus hijos
  haran lo mismo por ellos.
                   Transferencias Intergeneracionales.

Representando con "a" la fracción del salario que se elige transferir
para el sosten de la generación adulta, la restricción presupuestaria
intertemporal se escribe tomando en cuenta que el salario disponible
en el primer período es w(1-a) y la transferencia que recibe el individuo
en el segundo período es wa(1+n), entonces el problema a resolver es:

W  U (c, x)  [( w(1  a )  c)(1  r )  wa (1  n)  x ]

Las condiciones de primer orden se obtienen para c,x, y a respectivamente:
U c   (1  r )  0
Ux    0
 ( w(1  f (k ))  w(1  n)  0  (1  r )  (1  n)
                                Explicación.
La última condición establece la golden rule u óptimo biológico. O sea,
al introducir la posibilidad de establecer un sistema de transferencias
intergeneracionales que rinde "n", el equilibrio se tiene que establecer
con un rendimiento para el capital mayor o igual a "n", pero nunca menor.
No obstante que este resultado es directo, es necesario explicar como
es posible llegar a esta solución, porque tanto r como n no son variables
que controle el agente representativo. De la interacción del individuo con
el equilibrio de mercado se obtiene el equilibrio como ilustramos con el
ejemplo siguiente.
Se toma un ejemplo con todas las variables en estado estacionario,
y donde la función de utilidad es
U  ln c  (1   ) 1 ln x,
y la funcion de producción es
f (k )  k 
                                 Ejemplo.
El problema de optimización es:
Max W  ln c  (1   ) 1 ln x  [ w(1  a)  c)(1  r )  wa(1  n)  x]
Las condiciones de primer orden del agente representativo tienen en
cuenta que el agente elige c, x y a:
c(1  r )(1   ) 1  x
(1  r )  (1  n), o alternativamente, f (k )  n.
Esta última condición requiere evaluar el equilibrio del mercado de
bienes y factores para que sean consistentes. El mercado de bienes
en equilibrio significa ahorro iguala inversión, o sea,
                                      s
w(1  a)  c  s  k (1  n), o, k 
                                     1 n
Substituyendo,
       s
 f (     )n
     1 n
                        Ejemplo, Continuación.
La última condición nos da el nivel de ahorro que requiere el óptimo,
y también el stock de capital. Este también determina el salario en el
óptimo por el equilibrio en el mercado de factores
w  f ( k )  f ( k ) k
Entonces, con s y w determinados, más la restricción presupuestaria y
las condiciones de primer orden se formula el siguiente sistema para
determinar c, x y a.
w(1  a )  c  s
s (1  n)  wa (1  n)  x
c (1  n)(1   ) 1  x
Las soluciones son:
      w(1   )             w(1  n)          s 1
c                     x               1 - a= 
       2                    2             w 2 
           s
El ratio      se puede expresar en función de parámetros usando f (k )  k  :
           w
w  k    k  1 k  k  (1   ), usando s  k (1  n) :
 s     k (1  n)         (1  n)       1 n 
                                   
w k (1   )  k  1 (1   )           n 1
         1 n    1
1 a           
          n 1 2 
        Fondos Privados de Pensiones vs Sistema de Reparto
Con una función de producción con propiedades neoclásicas
la economia puede tener un stock de capital cuya productividad marginal
es menor o igual a la golden rule. Si el stock de capital es menor que el
de golden rule el sistema de capitalización rinde un retorno mayor
que el de reparto. Si el stock de capital es mayor que el stock de
golden rule el sistema de reparto rinde un retorno mayor al de
capitalización. Exactamente en la golden rule ambos sistemas rinden
el mismo retorno.
El modelo también indica que la golden rule es el óptimo social en el
sentido que maximiza la función de utilidad del individuo representativo.
El debate de sistema de capitalización vs reparto no se justifica sobre la
base que un sistema es teóricamente superior a otro. Si las transferencias
intergeneracionales se pueden instrumentar en contratos implícitos (familia)
o explícitos la solución tiende a ser la golden rule.
                              AFJP y stock de Capital.

Impacto de la contra-reforma previsional en el stock de capital.
Se supone prederminado "a=0", y se interpreta que la contra-reforma significa da>0.
El problema de optimización es:
Max W  ln c  (1   )1 ln x   [ w (1  a )  c )(1  r )  wa(1  n)  x ]
Las condiciones de primer orden del agente representativo tienen en
cuenta que el agente elige c y x porque a está predeterminado:
Las condiciones de primer orden significan que
c(1  r )(1   )1  x
El mercado de bienes en equilibrio significa ahorro iguala inversión, o sea,
w (1  a )  c  s  k (1  n),
Utilizando f ( k )  k  , f ( k )   k  1 el salario es w  k    k  1k  k  (1   )
Entonces ahorro=inversión se puede expresar como
k  (1   )(1  a )  c  s  k (1  n)
y el consumo,
c  k  (1   )(1  a )  k (1  n)
                       La eliminacion deAFJP reduce el stock de Capital.

Substituyendo las expresiones anteriores en la restricción de presupuesto:
k (1  n)(1   k  1 )  k  (1   )a (1  n)  [k  (1   )(1  a )  k (1  n)](1   k  1 )(1   )1
Para simplificar redefino   (1   )1 y divido todo por k (1  n),
                                                                                            
(1   k  1 )  k  1 (1   )a  [ k  1 (1   )(1  a )  (1  n)](1   k  1 )
                                                                                           1 n
Ahora divido todo por k  1 ,
                                                                                   
( k 1   )  (1   )a  [(1   )(1  a )  (1  n)k 1 ](1   k  1 )
                                                                                 1 n
Diferenciando,
                                                                                                      
(1   )dk .k   (1   )da  [  (1   )da )  (1  n)(1   )k  dk ](1   k  1 )                    
                                                                                                  1 n
                                                                
[(1   )(1  a )  (1  n)k 1 ]( (  1)k   2 dk )
                                                             1 n
Luego,
                                                                                                 
[(1   )  (1   )          ]da  [  (1   )k   (1  n)(1   )k  )(1   k  1 )               
                       1 n                                                                     1 n
                                                            
[(1   )(1  a )  (1  n)k 1 ]( (  1)k   2 )
                                                     ]dk
                                               1 n
En el último término, [(1   )(1  a )  (1  n)k 1 ]  0, porque es una transformación
monotónica del consumo que se supone positivo, y como (  1)  0, el último término es
                                                                                                                  dk
negativo al igual que los otros términos del segundo miembro. Esto significa que                                     0
                                                                                                                  da
                       Referencias.
• Samuelson, P. A., “An Exact Consumption-Loan Model of Interest
  with or without the Social Contrivance of Money”, Journal of Political
  Economy, 66, 1958, pp 467-482.
• Diamond, P., “National Debt in a Necoclassical Growth Model”,
  American Economic Review, 55, 1965, pp. 1126-1150.
• Fernández, Roque, “Previsión Social y Crecimiento Económico”,
  Documento de Trabajo # 6, CEMA, 1979,
  www.cema.edu.ar/publicaciones/

								
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