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					       Mathématiques B30
               Les matrices
           Module de l’élève




2002
 Mathématiques B30




        Les matrices

         Module de l’élève




Bureau de la minorité de langue officielle
                  2002
Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectifs généraux

L’élève sera capable de:
       • Illustrer des situations pertinentes tirées de la vie courante à l’aide de matrices

       • Démontrer une connaissance des termes associés aux matrices

       • Acquérir des habiletés concernant les opérations sur les matrices et la
         résolution de problèmes tirés de la vie courante qui leur sont associés

Objectifs spécifiques

L’élève sera capable de:
       C.1 Définir les termes essentiels associés aux matrices

       C.2 Créer une matrice pour illustrer une situation donnée

       C.3 Additionner et soustraire des matrices

       C.4 Additionner et soustraire des matrices à l'aide de la multiplication scalaire

       C.5 Multiplier deux matrices qui ne sont pas plus grandes que 3 × 3

       C.6 Déterminer les propriétés des matrices en ce qui a trait à l'addition, la
           multiplication scalaire et la multiplication

       C.7 Utiliser des opérations sur les rangées avec les matrices

       C.8 Déterminer l'inverse d'une matrice (2 × 2)

       C.9 Résoudre des matrices sous forme d'équations à l'aide de la multiplication
           par l'inverse de la matrice (résoudre les matrices d'ordre supérieur à 2 à
           l'aide de la technologie)


Remerciements
  Ce module contient en partie des exercices et des exemples adaptés, avec
  permission, du document de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public
  School Division, 1999).




P.ii - Mathématiques B30 - Matrices
1. Introduction
   En 1858, Arthur Cayley (1821-1895), un mathématicien anglais,
   utilise pour la première fois la notation matricielle. Cayley
   suggérait que cette notation simplifiait les systèmes d'équations
   linéaires. Cette pratique a par la suite été popularisée par le
   physicien Werner Heisenberg au milieu des années 1920.
   Aujourd'hui, les matrices sont souvent utilisées dans des
   domaines tels que l'administration, la psychologie, la génétique,
   les statistiques et l'économie. Avant d'étudier les opérations
   associées aux matrices, débutons par l'identification et la définition des termes
   associés aux matrices.

2. Nomenclature
   2.1 Définition d’une matrice
        Nous utilisons souvent les tableaux dans la vie quotidienne. Par exemple, on
        peut résumer l'information concernant les meilleurs marqueurs de l’histoire du
        Canadien de Montréal dans un tableau.
               Joueur           Parties jouées       Buts        Aides        Points
         Guy Lafleur                  961             518          728         1246
         Jean Béliveau                1125            507          712         1219
         Henri Richard                1256            358          688         1046
         Maurice Richard              978             544          421          965
         Larry Robinson               1202            197          686          883

     Les matrices sont en quelque sorte des tableaux avec des colonnes, des rangées
     (lignes) et des éléments. On définit donc une matrice comme étant un tableau
     rectangulaire de nombres. La notation matricielle utilise des crochets ou des
     parenthèses (les crochets sont les plus utilisés). Par exemple, on peut définir une
     matrice pour représenter les statistiques des meilleurs marqueurs du Canadien de la
     façon suivante :
                           é 961    518      728 1246 ù
                           ê1125    507      712 1219 ú
                           ê                          ú
                           ê1256    358      688 1046 ú
                           ê                          ú
                           ê 978    544      421 965 ú
                           ê1202
                           ë        197      686 883 úû


                                                        P.1 - Mathématiques B30 - Matrices
      2.2 Éléments d'une matrice
            On peut représenter une matrice en utilisant une lettre majuscule et des
            lettres minuscules affectées d'indices pour les éléments de la matrice.
            Les éléments de la matrice sont les nombres figurant dans la matrice. Par
            exemple,
                                  é a11 a12    a13   a14 ù
                                  êa    a22    a23   a24 ú
                               A= ê                      ú
                                     21

                                  ê a31 a32    a33   a34 ú
                                  ê                      ú
                                  ë a41 a42    a43   a44 û

      2.3 Lignes et colonnes d'une matrice
            Une ligne ou une rangée représente les éléments situés sur une même
            horizontale. On appelle aussi une colonne l'ensemble des éléments situés
            sur une même verticale. L'élément a34 représente le nombre situé sur la 3e
            ligne et sur la 4e colonne.

     Exemple 1 :Soit la matrice suivante.

                                        é1   2 3 4ù
                                        ê3   6 7 2ú
                                        ê         ú
                                        ê5   5 9 1ú
                                        ê         ú
                                        ë4   8 3 9û

                     a) Écris les éléments de la deuxième ligne.
                     b) Écris les éléments de la quatrième colonne.
                     c) Quel est l'élément a24 .

       Solution :    a) Les éléments de la deuxième ligne sont 3, 6, 7 et 2
                     b) Les éléments de la quatrième colonne sont 4, 2, 1 et 9.
                     c) L'élément a24 = 2 .




P.2 - Mathématiques B30 - Matrices
         2.4 Matrice réelle et matrice nulle
             Une matrice réelle possède des éléments qui sont tous des nombres réels.
             Une matrice nulle (ou matrice zéro) possède des éléments qui sont tous
                                                                              é 0 0ù
              nuls. On la note par 0. Par exemple, la matrice nulle 02 ´ 2 = ê     ú.
                                                                              ë 0 0û
        Exemple 2 : Parmi les matrices suivantes, identifie celles qui sont réelles.

                                        é4   2        0      4ù
                                        ê                     ú
                                        ê3 6          -7     1ú
                                    C = ê5 5          0      1ú
                                        ê    1                ú
                                        ê4 -          3      9ú
                                        ë    8                û




Solut                        ion:
              C n'est pas une matrice réelle car l'élément - 7 n'est pas un nombre réel.
              A est une matrice réelle
              Z n'est pas une matrice parce qu’elle n’est pas rectangulaire.

         2.5 Dimensions d'une matrice
              Les dimensions d'une matrice correspondent au nombre de lignes et au
              nombre de colonnes qu'elle possède. Par exemple, on dit que la matrice A
              est une matrice de dimension m par n qu'on indique par (m x n) où m dénote
              le nombre de rangées et n le nombre de colonnes. Ainsi, A = [aij](m x n), où i
              et j représentent la rangée et la colonne d’un élément
              a particulier à la matrice. On utilise parfois le terme
              «ordre» comme synonyme de dimensions.




                                                           P.3 - Mathématiques B30 - Matrices
     Exemple 3 : Quelles sont les dimensions des matrices ci-dessous?




       Solution : A est une matrice 3 par 4; A(3 x 4)
                  B est une matrice 4 par 4; B(4 x 4). Lorsque m = n, on dit que la matrice
                  est carrée.
                  C est une matrice 3 par 1; C(3 x 1). On la nomme aussi une matrice
                  colonne.
                  D est une matrice 1 par 4; D(1 x 4). On la nomme aussi matrice ligne.


       2.6   Diagonale principale
             Lorsqu'une matrice est carrée, on peut définir sa diagonale principale.
             Par exemple, soit A = [aij](m x n).

          é a11 a12      a13    a14 ù
          êa    a22      a23    a24 ú
       A= ê                         ú
             21

          ê a31 a32      a33    a34 ú
          ê                         ú
          ë a41 a42      a43    a44 û

              a11 , a22 , a33 et a44 sont les éléments qui composent la diagonale
             principale de A.




P.4 - Mathématiques B30 - Matrices
Exemple 4 : Donne les éléments de la diagonale principale de la matrice carrée
            suivante.


                     é1     2 3 4ù
                     ê3     6 7 2ú
                  B= ê           ú
                     ê5     5 9 1ú
                     ê           ú
                     ë4     8 3 9û


 Solution : La diagonale principale est composée des éléments 1, 6, 9 et 9.


 2.7 Égalité entre deux matrices
     Deux matrices, A et B sont égales si :
      < elles possèdent le même ordre;
      < tous les éléments placés de façon analogue sont identiques, c'est-à-
         dire que aij = bij pour tout i et tout j.


Exemple 5 : Trouve les éléments a, b, c qui rendraient les deux matrices égales.

                     é1     2 3 4ù              é 1    2    3 4ù
                     ê3     6 7 2ú              ê 3    2c   7 2ú
                  A= ê           ú           B= ê              ú
                     ê5     5 9 1ú              êa - 2 5    9 1ú
                     ê           ú              ê              ú
                     ë4     8 3 9û              ë 4 6+ b    3 9û


 Solution :   Pour que les deux matrices soient égales, a doit être 7, b=2 et c=3.




                                                  P.5 - Mathématiques B30 - Matrices
       2.8 Relation d'ordre
           Une matrice A = [aij] est dite plus grande que B = [bij] si et seulement si :
               < elles sont de même ordre;
               < aij > bij pour tout i et j.

            On peut alors indiquer l'inégalité de la façon suivante : A > B. D'autres
            inégalités sont aussi possibles : <, # et $.

     Exemple 6 : Détermine la valeur de a pour que A > B.


                                    é 1 2 ù é a - 1 1ù
                                 A= ê     ú>ê
                                    ë 4 8û ë 2      4ú
                                                     û



       Solution :Toute valeur de a # 1 permet de respecter l'inégalité entre les deux
       matrices.

       À toi de jouer! (1)

                  Soit les matrices ci-dessous.


           é 6ù     é -6          2  4ù
           ê ú      ê                2ú
       A = ê 9ú  B= ê 0          -1    ú      C = [2 1 0 - 1]
                    ê                3ú
           ê 3ú
           ë û      ë 2
                    ê            7 9û  ú
           é 1 2 3ù                     é 1 2 3ù
           ê      ú                     ê      ú
       D = ê x 5 6ú                E = ê 4 y 6ú
           ê 7 8 9ú
           ë      û                     ê 9 8 7ú
                                        ë      û

       a)   Quelles sont les dimensions de la matrice B?
       b)   Dans la matrice B, identifie les éléments b23 et b12.
       c)   Si bij=9 dans la matrice B, quelles sont les valeurs de i et de j?
       d)   Quelle matrice est une matrice colonne? Laquelle est une matrice ligne?
       e)   Explique pourquoi il n’existe aucune valeur de x ou de y qui pourrait faire
            égaler les matrices D et E.


P.6 - Mathématiques B30 - Matrices
 2.9 Matrice identité
     Une matrice identité est une matrice carrée dont les
     valeurs des éléments de la diagonale principale sont
     tous 1 alors que toutes les autres entrées de la
     matrice sont égales à zéro. La matrice identité In (où
     n représente le nombre de lignes ou colonnes de la
     matrice) a donc l'allure ci-contre :



Exemple 7 : Écris la matrice I3.

Solution : L'ordre de la matrice est indiqué par l'indice de I. Dans cet
    exemple, il s'agit d'une matrice identité 3x3. Ainsi, nous
    obtenons




 2.10. Matrice transposée
       La matrice transposée de A, qu'on note At , est obtenue en transformant
       les lignes de A en colonnes de A et les colonnes en lignes. On peut donc
       dire que si A(mxn) alors At(nxm).

                                    é 4 - 3ù           é 4 3ù
Exemple 8 : Soit les matrices A = ê          et B =                   t    t
                                                       ê 5 4ú Trouve A et B .
                                    ë -5 4 ú
                                           û           ë    û

       Solution : On obtient les matrices transposées en transformant les lignes
       de chacune en colonnes et les colonnes en lignes. Ainsi,

                            é 4 - 5ù        é 4 5ù
                       At = ê            t
                                   ú et B = ê 3 4ú
                            ë-3 4 û         ë    û




                                                   P.7 - Mathématiques B30 - Matrices
       À toi de jouer! (2)
              Détermine la matrice identité I6.


       À toi de jouer! (3)
              Soit les matrices ci-dessous.

          é - 1 - 2 - 5ù                 é 1ù
          ê            ú                 ê ú
       A= ê 0    3   6ú              B = ê 2ú
          ê - 4 - 5 - 9ú
          ë            û                 ê 3ú
                                         ë û

       Trouve les transposées de ces deux matrices.




P.8 - Mathématiques B30 - Matrices
          Exercice 1


1. Quelles sont les dimensions des matrices suivantes.




2.   a) Pour chacune des matrices du numéro 1, indique les éléments de la première
        rangée.
     b) Pour les matrices du numéro 1, indique les éléments suivants :
         a12 , b24 , c31 , d22 et e11.
     c) Indique quelle(s) matrice(s) du numéro 1 représente(nt) une matrice ligne.
     d) Indique les éléments qui composent la diagonale principale de la matrice A.
     e) La matrice B est-elle une matrice carrée? Pourquoi?


3.   Donne un exemple de matrice colonne A41.

4.   Détermine les variables a, b, c et d pour que chacune des paires de matrices
     suivantes soient égales.


             é 6 1 -1      4ù        é 6 1 -1            4ù
             ê 9 - 2 10              ê 9 -2 a            2ú
                           2ú
     a)   A= ê              ú     B= ê                    ú
             ê-3 b 9       1ú        ê-3 7 9             1ú
             ê              ú        ê                    ú
             ë4   c 4      8û
                                     ë 4 -2 4            dû


                                                       P.9 - Mathématiques B30 - Matrices
            é -1     15ù        é a       dù
            ê 8       0ú        ê 8       0ú
     b) C = ê          ú     D= ê           ú
            ê - 13   bú         ê - 13   11 ú
            ê          ú        ê           ú
            ë 1       cû        ë 1      - 2û


            é -3       9ù       é - 3 d - 2ù
            êa + 1    - 3ú      ê 5    -3 ú
     c) E = ê            ú   F= ê          ú
            êb - 3    13 ú      ê - 12 13 ú
            ê            ú      ê          ú
            ë -1      2c û      ë - 1 - 10 û


5.   Détermine les variables a, b, c et d pour que :

     a)




              é 1     aù         é 4 2ù
     b) C = ê          ú < D=    ê 1 9ú
              ë b + 1 6û         ë    û

     c)




6.   Écris les matrices suivantes.
     a) I2
     b) I5
     c) I4




P.10 - Mathématiques B30 - Matrices
7.   Trouve la matrice transposée de chacune des matrices suivantes.
        é 2 3ù
     a) ê    ú
        ë 1 4û
        é0 -1      - 7ù
        ê             ú
     b) ê 4 6      - 3ú
        ê3 5
        ë          - 1ú
                      û
        é1 3        4 - 1ù
        ê5 6       3 - 2ú
     c) ê                ú
        ê-4 0      -3 7 ú
        ê                ú
        ë6 5       8 9û
        é 0 0ù
     d) ê    ú
        ë 1 1û

8.   Construis une matrice 03´1 .


                                          é 4 -3 ù é 4 - 3 ù
                                          ê        ú ê
9. Quelles sont les valeurs de x et y si -2 x = -2 8
                                                             ú
                                          ê        ú ê       ú
                                          ê -6 11 ú ê y 11 ú
                                          ë        û ë       û
                                          é 4 - 3ù                  t

10. Quelles sont les valeurs de x et y si
                                          ê -2 9 ú = é 4 - 2 6 ù
                                          ê        ú ê -3 y 11ú
                                          ê x 11 ú ë
                                          ë        û
                                                                  û

                                          é 6      2 y ù é 6 20 ù
11. Quelles sont les valeurs de x et y si ê            ú=ê      ú
                                          ë3 x - 1 -6 û ë17 -6 û
12. Quelles sont les valeurs de x et y si [ x - y   2 x + y ] = [16   -13]

Discussion
13. Si les dimensions de la matrice A sont m ´ n , combien d’éléments possède-t-elle?

14. Quelles sont les dimensions d’une matrice carrée qui possède 169 éléments?



                                                         P.11 - Mathématiques B30 - Matrices
3. La création de matrices
    Nous savons maintenant
    que les matrices peuvent
    se définir comme étant            La contribution de James Sylvester
    des tableaux                      Au début de cette unité, nous avons présenté Arthur Cayley
                                      comme étant le mathématicien à l'origine des matrices.
    rectangulaires de                 Cayley a développé ses idées sur les matrices en travaillant
    nombres. Il est possible          avec son ami James Sylvester (1814-1897). Sylvester était
    de créer des matrices             actuaire et travaillait dans le domaine des assurances. Il
    pour résoudre des                 donnait aussi des cours du soir en mathématiques. Une note
    problèmes qui                     assez intéressante sur Sylvester est qu'il fut un des premiers
                                      à changer une vieille tradition de son
    demandent l'organisation          époque qui limitait aux femmes
    de certaines                      l'accès aux études supérieures
    informations. L'exemple           particulièrement dans le domaine des
    suivant illustre cette            sciences et des mathématiques. En
    situation.                        effet, Sylvester accepta dans son
                                      cours Florence Nightingale qui
                                      deviendra célèbre pour les soins
                                      qu'elle apportera plus tard dans sa vie
                                      aux victimes de la guerre de Crimée.



       Exemple 9 : Fernand
                   o travaille dans un garage et une de ses nombreuses tâches
                   consiste à tenir l'inventaire de l'entreprise. Afin de contrôler
                   certaines sections de son inventaire, Fernando décide d'organiser
                   l
                   e
                   s
                   d
                   o
                   n
                   n
                   é
                   es de la façon suivante :




                 a) Combien de pistons le garage a-t-il en inventaire?
                 b) Combien de cylindres le garage a-t-il en inventaire?

P.12 - Mathématiques B30 - Matrices
                c) Combien de pièces Ford le garage a-t-il en inventaire?

             Solution : a) On obtient ce nombre en calculant la somme des éléments
                           de la première rangée : 22
                        b) On obtient ce nombre en calculant la somme des éléments
                           de la deuxième rangée : 20
                c) On obtient ce nombre en calculant la somme des éléments de la
                    deuxième colonne : 8

         On utilise parfois les matrices pour représenter des réseaux de
communication ou des réseaux routiers.

Exemple 10 : Le diagramme suivant
                représente le réseau de
                communication existant dans
                le système informatique d'une
                compagnie spécialisée dans
                la fabrication d'engrais
                chimique. Le schéma montre
                que la compagnie possède 4
centres de distribution dans le monde (Canada, Mexique, États-Unis et France). Les
ligne entre les pays indiquent quels centres communiquent directement entre eux.




                    Crée une matrice pour illustrer la communication directe qui existe
                    entre les centres des différents pays.

      Solution : Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser une matrice dont les
                 éléments sont 0 lorsqu'il y a absence de communication et 1 lorsqu'il y
                 a communication. La matrice suivante représente cette situation.




                                                      P.13 - Mathématiques B30 - Matrices
           Dans l'exemple précédent, il n'est pas important de connaître la localisation
           des lignes et les points d'arrivée ou de départ. Ce qui importe, c'est
           d'indiquer si la communication a lieu ou non.
Exercice 2


1. La maison Aliments en gros fournit en légumes quatre chaînes alimentaires de la
   région. Elle vend 60 kg de petits pois, 257 kg de pommes de terre et 72 kg de
   carottes à Aliments Cébon. Elle vend 45 kg de petits pois, 187 kg de pommes de
   terre et 59 kg de carottes à Alimentation Régal. Elle vend 73 kg de petits pois, 225
   kg de pommes de terre et 82 kg de carottes à Alimentation Fraîcheur. Elle vend 65
   kg de petits pois, 168 kg de pommes de terre et 62 kg de carottes à Alimentation
   sur le pouce. Crée une matrice pour illustrer ces ventes.

2. Le fabricant de patins Vavite offre des modèles dans 5 pointures différentes : 8, 9,
   10, 11, 12. Le distributeur de patins Vavite à Saskatoon possède en inventaire 9
   paires de patin de pointure 8, 6 paires de pointure 9, 10 paires de pointure 10, 9
   paires de pointure 11 et 7 paires de pointure 12. Le distributeur de Regina a en
   inventaire 3 paires de patin de pointure 8, 16 paires de pointure 9, 5 paires de
   pointure 10, 4 paires de pointure 11 et 11 paires de pointure 12.
   a) Crée une matrice pour représenter les inventaires de Saskatoon et de Regina.
   b) Combien de paires de patins de pointure 9 les magasins de Saskatoon et de
       Regina ont-ils ensemble?
   c) Lequel des deux magasins a le plus de paires de patins Vavite en inventaire?
       Quelle est la différence?
   d) Combien de paires de patins Vavite sont disponibles en Saskatchewan si on
       considère que les seuls distributeurs sont ceux de Regina et de Saskatoon?


P.14 - Mathématiques B30 - Matrices
3. Quelle matrice peut représenter le réseau de communication suivant.




                                                    P.15 - Mathématiques B30 - Matrices
4. Francine utilise le tapis roulant afin de se garder en bonne forme physique. Elle
   décide de marcher les lundis, mercredis et vendredis de chaque semaine pour une
   période de quatre semaines. La première semaine, les séances de marche ne
   durent que 14, 13 et 15 minutes (lundi, mercredi et vendredi). La seconde semaine,
   elle réussit à marcher 15 minutes lundi, 14 minutes le mercredi et 16 minutes le
   vendredi. Lors de la troisième semaine, elle marche 18, 17 et 19 minutes pour les
   trois jours dans l’ordre. Durant la dernière semaine, elle marche 20 minutes le lundi
   et le mercredi et 21 minutes le vendredi.
   a) Organise les données de Francine dans une matrice dont les rangées
        représentent le numéro de la semaine et les colonnes le jour de la semaine.
   b) Organise les données de manière à ce que les rangées indiquent le jour de la
        semaine et les colonnes le numéro de la semaine.


5. Place les données suivantes dans une matrice carrée d’ordre 3 de manière à ce
   que dans chaque rangée et dans chaque colonne les trois nombres auront un
   chiffre des dizaines différent et un chiffre des unités différent.
                 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33




P.16 - Mathématiques B30 - Matrices
4. Addition, soustraction et multiplication des matrices
  4.1 Addition et soustraction
     On peut additionner ou soustraire deux matrices si et seulement si elles sont de
     mêmes dimensions. La somme de deux matrices de mêmes dimensions est
     une matrice dont les éléments résultent de la somme des éléments
     correspondants des deux matrices initiales. La différence entre deux matrices
     s'obtient de la même façon.

     Exemple 11 :      Soit les deux matrices A et B. Trouve C = A + B



                     é2 - 1 - 3 1 ù                       é 6 1 -1            4ù
                     ê0 2 6 0 ú                           ê 9 -2 0            2ú
                  A= ê            ú                    B= ê                    ú
                     ê 3 5 2 - 3ú                         ê-3 7 9             1ú
                     ê            ú                       ê                    ú
                     ë4 4 - 1 7 û                         ë 4 -2 4            0û




     Solution :      La matrice formée aura la même dimension que celles des
                     matrices A et B : C(4 x 4)
                     Pour obtenir C, on effectue les opérations suivantes :


                       é 2 + 6 - 1+ 1 - 3 - 1 1+ 4 ù         é8 0 -4 5 ù
                       ê0 + 9 2 - 2 6 + 0 0 + 2 ú            ê9 0 6     2ú
                    C= ê                           ú    ® B= ê            ú
                       ê 3 - 3 5 + 7 2 + 9 - 3 + 1ú          ê 0 12 11 - 2ú
                       ê                           ú         ê            ú
                       ë4 + 4 4 - 2 - 1+ 4 7 + 0 û           ë8 2 3 7 û




     Exemple 12 : Effectue l’opération suivante :
                      é 2 6 -9 0 ù                é -1 0 -11 2 ù
                      ê 5 -1 2 7 ú              - ê            ú
                      ë          û                ë 3 0 1 5û




                                                             P.17 - Mathématiques B30 - Matrices
        Solution :
                     é 2 6 -9 0 ù é -1 0 -11 2 ù
                     ê 5 -1 2 7 ú - ê 3 0 1 5 ú
                     ë          û ë            û
                      é 2 - ( -1) 6 - 0 -9 - ( -11) 0 - 2 ù é 3 6 2 -2 ù
                     =ê                                   ú=ê          ú
                      ë   5-3     -1 - 0   2 -1     7 - 5 û ë 2 -1 1 2 û

   4.2 Multiplication d'une matrice par un scalaire
       La multiplication d'une matrice A par un scalaire k donne une nouvelle matrice
       ayant les mêmes dimensions que A, mais dont chaque élément est multiplié par
       k.

      Exemple 13 : Soit la matrice A. Trouve 3A.




        Solution :      La nouvelle matrice aura les mêmes dimensions que la matrice
                        A : (3x2). Pour obtenir la valeur de chaque élément dans la
                        nouvelle matrice, on effectue les opérations suivantes:
                               é 4 2 ù é3 ´ 4      3 ´ 2 ù é12 6 ù
                               ê 1 -5ú = ê 3 ´ 1 3 ´ -5 ú = ê 3 -15 ú
                        3A = 3 ê     ú ê             ( )ú ê         ú
                               ê5 6 ú ê3 ´ 5
                               ë     û ë           3 ´ 6 ú ê15 18 ú
                                                         û ë        û


       Exemple 14 : Soit deux matrices A et B. Trouve 2A - B.




        Solution :




P.18 - Mathématiques B30 - Matrices
   À toi de jouer! (4)
                                         é 5 -2 ù      é 1 -1ù
       Soit les matrices suivantes : A =
                                         ê1 7 ú et B = ê 0 6 ú .
                                         ê      ú      ê      ú
                                         ê 3 -4 ú
                                         ë      û      ê 2 -3 ú
                                                       ë      û

    a) Calcule A + B .
    b) Calcule 2 A .
    c) Calcule - 2 A - 3 B .


4.3 Multiplication de matrices
    Supposons qu'un distributeur de légumes désire représenter sous forme de
    matrices ses profits. Il pourrait créer une matrice A qui représente le type et le
    nombre de légumes qu'il vend.




    où p = pommes de terre
      b = betteraves
      c = carottes
      r = radis

    Suppose maintenant qu'il indique le prix de vente en $ de chaque légume dans
    une autre matrice B.




    Cette matrice indique le prix de vente : < des pommes de terre = 0,50$
                                             < des betteraves = 0,75$
                                             < des carottes = 0,35$
                                             < des radis = 0,45$

    Pour obtenir le profit qu'il réalise, le distributeur doit multiplier le nombre de

                                                      P.19 - Mathématiques B30 - Matrices
        chaque légume par son prix de vente et additionner les montants. La matrice C
        représente ce produit :




        Supposons maintenant que p = 80, b = 69, c = 100 et r = 75. La matrice C
        devient :




      Cet exemple illustre sommairement le processus permettant d’effectuer le
      produit matriciel.


                 Dimensions d’une matrice suite à la multiplication
            Deux matrices peuvent être multipliées ensemble si et seulement si le
            nombre de colonnes de la première matrice est identique au nombre de
            lignes de la deuxième matrice. Autrement dit, la multiplication de A par
            B est possible uniquement si les dimensions de A sont ( m ´ n ) et celles
            de B ( n ´ p ) . Les dimensions de la nouvelle matrice seront ( m ´ p ) .


        La multiplication entre deux matrices peut s’effectuer en quelques étapes.
                                                        é2 1 ù
                                                        ê    ú       é6 5 7 ù
        Prenons l’exemple de la multiplication entre A = 3 -1 et B = ê        ú
                                                        ê    ú       ë 8 -2 0 û
                                                        ê0 4 ú
                                                        ë    û
        qui donnera la matrice C comme produit.

      < Vérifions d’abord si les deux matrices peuvent être multipliées. Puisque les
                                 (
          dimensions de A sont 3 ´ 2    ) et celles de B ( 2 ´ 3) , les deux matrices
          peuvent être multipliées et la matrice C aura des dimensions de ( 3 ´ 3 ) .
      < Plaçons les matrices dans le bon ordre.




P.20 - Mathématiques B30 - Matrices
           é2 1 ù              é c11           c12   c13 ù
           ê 3 -1ú é 6 5 7ù ê                            ú
           ê     ú ê8 -2 0 ú = ê c21           c22   c23 ú
           ê0 4 ú ë
           ë     û
                           û ê                           ú
                               ê c31
                               ë               c32   c33 ú
                                                         û

< Pour calculer l’élément c11 , nous devons utiliser les données de la première
   rangée de A et celles de la première colonne de B. Ainsi, nous effectuons
   l’opération c11 = a11 ´ b11 + a12 ´ b21 qui se traduit par 20 = (2)(6) + (1)(8)
           é2 1 ù               é 20                 ù
           ê 3 -1ú é6 5 7 ù ê                        ú
           ê     ú ê 8 -2 0 ú = ê                    ú
           ê0 4 ú ë
           ë     û
                            û ê
                                ë                    ú
                                                     û
< L’opération se répète pour trouver l’élément c12 . L’élément c12 sera le
   résultat de la multiplication de la première rangée de A et de la seconde
   colonne de B : c12 = a11 ´ b12 + a12 ´ b22 . Le résultat est 8 = (2)(5) + (1)(-2).
      é2 1 ù                   é 20 8 ù
      ê 3 -1ú   é6 5 7 ù ê                ú
      ê       ú ê 8 -2 0 ú = ê            ú
      ê0 4 ú    ë           û ê           ú
      ë       û                ë          û
< Comment trouve-t-on l’élément c23 ? En multipliant la deuxième rangée de A
   avec la troisième colonne de B. Ainsi
    c23 = a21 ´ b13 + a22 ´ b23 = ( 3 )( 7 ) + ( -1)( 0 ) = 21

           é2 1 ù              é 20 8   ù
           ê 3 -1ú é6 5 7 ù ê
           ê     ú ê8 -2 0 ú = ê      21ú
                                        ú
           ê0 4 ú ë
           ë     û
                           û ê
                               ë        ú
                                        û
< Le résultat final de l’opération est donné ci-dessous.
           é2 1 ù           é20 8 14ù
           ê3 -1ú é6 5 7ù = ê10 17 21ú
           ê    ú ê8 -2 0ú ê         ú
           ê0 4 ú ë
           ë    û
                         û ê32 -8 0 ú
                            ë        û




                                                      P.21 - Mathématiques B30 - Matrices
       Exemple 15 :     Soit deux matrices F et G telles que définies ci-dessous.
                        Calcule H = F × G

                         é -2 8 ù                    é 1 - 1ù
                       F=ê      ú                  G=ê      ú
                         ë 5 3û                      ë 4 -2 û

        Solution :     La première étape consiste à vérifier si on peut multiplier ces
                       deux matrices ensemble. Puisque le nombre de colonnes de la
                       matrice F est égal au nombre de rangées de la matrice G, il est
                       possible de multiplier ces deux matrices ensemble. Le produit
                       sera une matrice H ( 2´2 ) .


                       Pour obtenir l’élément h11 , il faut multiplier la première rangée de
                       F avec la première colonne de G :
                       h11 = f11 ´ g11 + f12 ´ g 21 = ( -2 )(1) + ( 8 )( 4 ) = 30

                                            é -2 8ù é 1 -1ù é30              ù
                                            ê 5 3ú ê 4 -2 ú = ê              ú
                                            ë     ûë      û ë                û

                       Pour trouver l’élément h12 , nous devons utiliser les éléments de
                       la première rangée de F et les éléments de la seconde colonne
                       de G : h12 = f11 ´ g12 + f12 ´ g22 = ( -2)( -1) + ( 8)( -2) = -14


                                            é -2 8 ù é1 -1ù é30 -14 ù
                                            ê 5 3 ú ê 4 -2 ú = ê    ú
                                            ë      ûë      û ë      û
                       Pour obtenir h21 et h22 , les opérations suivantes doivent être
                       exécutées : h21 = f 21 ´ g11 + f 22 ´ g 21 = ( 5 )(1) + ( 3 )( 4 ) = 17 et

                       h22 = f 21 ´ g12 + f 22 ´ g22 = ( 5)( -1) + ( 3)( -2 ) = -11 . Le résultat
                       final est donc :
                                            é -2 8 ù é1 -1ù é30 -14 ù
                                            ê 5 3ú ê 4 -2 ú = ê17 -11ú
                                            ë      ûë     û ë        û




P.22 - Mathématiques B30 - Matrices
Exemple 16 :     Calcule C=AB à partir des deux matrices ci-dessous.




Solution :




À toi de jouer! (5)

       Soit les deux matrices ci-dessous. Est-il possible de multiplier ces deux
       matrices ensemble. Pourquoi?

    é -1 3 ù          é 3 2ù
    ê4 2ú             ê -8 8 ú
    ê      ú          ê      ú
    ê 6 10 ú
    ë      û          ê 1 12 ú
                      ë      û



À toi de jouer! (6)

                             é 2 -1 0 ù
                       2     ê
             Calcule A si A = 9   5 -2 ú .
                             ê         ú
                             ê -1 4 1 ú
                             ë         û




                                               P.23 - Mathématiques B30 - Matrices
       Exemple 17 :       Le propriétaire d’une compagnie spécialisée dans la vente de
                          vélos possède des magasins à Saskatoon, Prince Albert, North
                          Battleford et Regina. Trois modèles sont disponibles dans ses
                          magasins : Basevélo à un prix de 200 $, Médivélo qui se vend à
                          300 $ et Supervélo disponible à 500 $. Le coût payé par le
                          propriétaire pour obtenir ces vélos dans son magasin est de
                          100 $ pour le modèle Basevélo, 200 $ pour le modèle Médivélo
                          et 350 $ pour le modèle Supervélo. Au cours de la dernière
                          semaine, le magasin de Saskatoon a vendu 5 Basevélos, 6
                          Médivélos et 4 Supervélos. À Prince Albert, les ventes au
                          cours de la même période ont été de 3 Basevélos, 5 Médivélos
                          et 3 Supervélos alors qu’à North Battleford les ventes ont été
                          de 4 Basevélos, 7 Médivélos et 2 Supervélos. À Regina, 6
                          Basevélos, 11 Médivélos et 2 Supervélos ont été vendus durant
                          la même semaine.

                        a) Voici deux matrices se rapportant au problème. Détermine
                           comment ces matrices ont été formées.

                            é5 6      4ù
                            ê3 5         é 200 100 ù
                            ê         3ú ê
                                       ú 300 200 ú
                            ê4 7      2ú ê         ú
                            ê          úëê 500 350 ú
                                                   û
                            ë 6 11    2û
                        b) Calcule le produit matriciel et interprète les éléments de la
                           matrice résultante.


        Solution :      a) La matrice de gauche indique les ventes dans chaque ville
                           selon le modèle de vélo. La matrice de droite indique le prix
                           de vente et le coût d’achat pour le propriétaire.

                                      S    M    B               Prix Prix
                       Saskatoon é 5 6          4ù              vente achat
                      Prince Albert ê 3 5
                                      ê         3 ú et Super é 200
                                                  ú
                                                                         100 ù
                     North Battleford ê 4 7     2ú     Médi ê 300
                                                             ê           200 ú
                                                                             ú
                                      ê           ú
                         Regina       ë 6 11    2û     Base ê 500
                                                             ë           350 ú
                                                                             û



P.24 - Mathématiques B30 - Matrices
   é5 6     4ù             é 4800       3100 ù
   ê3 5        é 200 100 ù ê
            3ú ê
             ú 300 200 ú = ê 3600       2350 ú
b) ê                                         ú
   ê4 7     2ú ê         ú ê 3900       2500 ú
   ê         úëê 500 350 ú ê
                         û                   ú
   ë 6 11   2û             ë 5500       3500 û

  La matrice du produit montre le revenu du propriétaire et le
  coût d’achat des vélos par ville pour la semaine de vente
  indiquée.




                              P.25 - Mathématiques B30 - Matrices
        Exercice 3


1. Soit les matrices suivantes.




    Effectue les opérations ci-dessous.
        b) A+B
        b) A + B + C
        c) C - A
        d) 2D + E
        e) 3E - ½ D
        f) -4B
        g) 3A - B
        h) Peut-on effectuer l'opération 2A + D? Si c’est le cas, donne le résultat.
           Sinon, explique?




P.26 - Mathématiques B30 - Matrices
2. Soit les matrices suivantes :
                                             é2 3ù
      é 2 3 -1ù           é1 0 3ù            ê        ú
    A=ê          ú , B = ê - 3 4 - 2 ú , C = ê 4 -2 ú ,
      ë 4 -3 5 û          ë          û       ê -1 - 3 ú
                                             ë        û
      é1 2 1 ù         é -2 1 -1ù
      ê 2 1 1 ú , E = ê 3 -2 2 ú
    D=ê       ú        ê           ú
      ê1 1 2 ú
      ë       û        ê -3 4 6 ú
                       ë           û

    Effectue les opérations ci-dessous. Si une des opérations ne peut être effectuée,
    indique pourquoi.
    a) D + E            b) At + B t - C    c) 3A       d) DE         e) ED
    f)   A   2               t t
                        g) D E             h) AC       i)   ( CA ) D - E
    j)   ( D - E )( E - D )
3. Soit les matrices suivantes.




   a) Trouve AB.
   b) Trouve BC.
   c) Trouve AE.
   d) Est-il possible de calculer le produit matriciel DE? Sinon, pourquoi?
   e) Trouve BF.
   f) Trouve A2.
   g) Trouve (-B)2.
4. Le tableau ci-dessous montre les salaires des enseignants de la Saskatchewan


                                                     P.27 - Mathématiques B30 - Matrices
    pour l’année 1972. Supposons que l’entente collective qui a suivi leur a permis
    d’augmenter leur salaire de 2 %. Utilise la multiplication d’une matrice par un
    scalaire pour déterminer la nouvelle échelle salariale. Exprime tes réponses au
    dollar près.
     Années d’expérience          Classe IV        Classe V           Classe VI
                0                     7600           8375               9200
                3                     9145           9995              10850
                6                     10690          11615             12500
               10                     12750          13775             14700


5. a) Le fabricant de pièces pyrotechniques Aux éclats vend trois différentes séries
      de pièces pyrotechniques. La série A comprend 6 fusées, 6 toiles d'araignée et
      3 cierges magiques. La série B comprend 18 fusées, 4 toiles d'araignée et 5
      cierges magiques. La série C comprend 9 fusées, 20 toiles d'araignée et 8
      cierges magiques. Crée une matrice pour illustrer ces séries.
   b) Le fabricant demande 0,15 $ pour chaque fusée, 1,30 $ pour chaque toile
      d'araignée et 0,85 $ pour chaque cierge magique. Crée une matrice pour
      illustrer ces prix.
   c) Rédige un énoncé de multiplication de matrices qui permettra au fabricant de
      déterminer combien demander pour chaque série de pièces pyrotechniques
      décrite au paragraphe a). Fais la multiplication et indique le prix de chaque
      série de la matrice.
   d) La compagnie Bing Bang vend les mêmes séries mais elle demande 0,12 $
      pour les fusées, 1,35 $ pour les toiles d'araignée et 0,82 $ pour les cierges
      magiques. Rédige l'énoncé de multiplication de matrices qui permet de
      comparer les prix demandés par les deux fabricants pour leurs séries. Effectue
      la multiplication requise et identifie le fabricant qui offre au consommateur le
      meilleur prix pour chaque série.




P.28 - Mathématiques B30 - Matrices
6. Une petite entreprise compte trois employés dont les salaires sont montrés dans le
   tableau ci-dessous.
           Employé                Salaire par heure             Salaire par heure
                                   Temps régulier             Temps supplémentaire
            Michel                          8$                          12$
           Nathalie                         10$                         15$
            Manon                           12$                         18$

   Le tableau suivant montre les heures de travail effectuées par chaque employé lors
   de la dernière semaine.

         Employé           Nombre d’heures de travail      Nombre d’heures de travail
                               Temps régulier               Temps supplémentaire

          Michel                       40                                4
         Nathalie                      40                                2
          Manon                        30                                0


                                       é 8 12 ù
                                       ê
   a) Calcule le produit matriciel de 10 15 ê
                                                ú é 40 40 30 ù
                                       ê        ú 4 2 0ú
                                       ê12 18ú ë
                                       ë        û
                                                                 û

   b) Interprète les éléments a11 , a22 et a33 de la matrice correspondante au produit
      en a).
   c) Interprète l’élément a23 du produit matriciel calculé en a).

                                                      é 8 12 ù
                                      é 40 40 30 ù ê            ú
   d) Calcule le produit matriciel de ê             ú ê10 15 ú .
                                      ë 4 2 0 û ê12 18 ú
                                                      ë         û
   e) Interprète les éléments a11 et a22 du produit matriciel calculé en d).




                                                      P.29 - Mathématiques B30 - Matrices
7. Ton enseignant ou ton enseignante de mathématiques te demande de vérifier le
   calcul suivant.
                 2
        é 2 -3ù   é4 9ù
        ê 4 -5 ú =ê      ú
        ë      û  ë16 25 û

    Quelle erreur constates-tu?

                               éa b c ù
                               ê      ú
8. Détermine une matrice 3 ´ 3 d e f de sorte
                               ê      ú
                               êg h i ú
                               ë      û
        é1 2 3ù é a b c ù é1 2 3ù
        ê        úê
   que : 4 5 6 d e f = 4 5 6
                              ú ê       ú
        ê        úê           ú ê       ú
        ê7 8 9 ú ê g h i ú ê7 8 9 ú
        ë        ûë           û ë       û




P.30 - Mathématiques B30 - Matrices
    4.4 Propriétés des opérations sur les matrices 1

         1. Commutativité de l'addition : A + B = B + A

         2. Associativité de l'addition :         A + (B + C) = (A + B) + C

         3. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur l'addition :

                               m(A + B) = mA + mB

         4. Distributivité de la somme de scalaires sur la multiplication par un scalaire :

                               (m + n)A = mA + nA

         5. Associativité du produit matriciel :        A (BC) = (AB)C

         6. Distributivité du produit matriciel sur l'addition :

            à gauche       A (B + C) = AB + AC
            à droite       (A + B)C = AC + BC

         7. Associativités mixtes : m(AB) = (mA)B
                                     m(nA) = (mn)A

         8. Non-commutativité du produit matriciel : en général AB … BA

         9. Existence de diviseurs de zéro :

                           AB = 0     ne signifie pas que A=0 ou B=0

         10. Absenc e de simplification avec le produit matriciel :

                           AB=AC n'implique pas que B=C




Ouellet, G. (1983), Vecteurs et matrices, Editions Griffon d'argile, Ste-Foy, pages 191-192

                                                                 P.31 - Mathématiques B30 - Matrices
         Exercice 4


1. Les questions suivantes se rapportent aux propriétés énumérées dans la section
   4.4. Utilise les matrices suivantes pour t’aider à répondre à ces questions.
        é4      - 9 -7 ù        é9       4 -7 ù
    A = ê -4
        ê       -4 9 ú  ú , B = ê -9
                                ê       8  8ú ú
        ê7
        ë        1 -9 ú û       ê -5
                                ë       -4 4 úû
        é -1    4 3ù           é -7    8 -9 ù
    C=ê5ê       0 - 2 ú , D = ê -2
                      ú        ê       -5 9 ú
                                            ú
        ê5
        ë       7 1ú  û        ê6
                               ë       -6 9 ú
                                            û

    a) Est-ce que C + D = D + C ? Essaie de nouveau avec deux matrices
       3 ´ 3 créées au hasard.
    b) Est-ce que A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ? Essaie de nouveau avec les matrices
         B, C et D.
    c) Est-ce que 5 ( A + B ) = 5 A + 5 B ?
    d) Est-ce que -2 ( C + D ) = -2C - 2 D ?
    e) Est-ce que A ( BC ) = ( AB ) C ?
    f)   Est-ce que B ( C + D ) = BC + BD ?
    g) Est-ce que ( B + C ) D = BD + CD
    h) Est-ce que AB = BA ?
    i) Est-ce que CD = DC ?




P.32 - Mathématiques B30 - Matrices
2. Pour chacun des énoncés ci-dessous :
      < vérifie les égalités proposées (autrement dit, l’énoncé est-il vrai?);
      < identifie la propriété des opérations matricielles correspondantes.
       é1 3ù é 0          5ù é 0 5ù é1 3ù
    a) ê       +             =            +
       ë 2 6 ú ê -1
              û ë         3 ú ê -1 3 ú ê 2 6 ú
                            û ë          û ë      û
         æ é0 1 ù é 4       2ù ö     é0 1 ù     é4 2ù
    b) 3 ç ê     +           ú ÷ = 3 ê6 2ú + 3 ê1 3ú
         èë  6 2ú ê1
                û ë         3û ø     ë      û   ë      û
       é2     6 ù æ é 0 1 ù é1 2 ù ö é 2 6 ù é 0 1 ù é 2 6 ù é 1      2ù
    c) ê1         ç        +          ÷=                  +
       ë      5 ú è ê 4 2 ú ê3 7 ú ø ê 1 5 ú ê 4 2 ú ê 1 5 ú ê3
                û ë       û ë       û     ë     ûë       û ë     ûë   7ú
                                                                       û
       é2     6 ù æ é 0 1 ù é1 2 ù ö æ é 2 6 ù é 0 1 ù ö é1           2ù
    d) ê          +ç         +           ÷=ç         +        ÷+
       ë1     5 ú è ê 4 2 ú ê3 7 ú ø è ê 1 5 ú ê 4 2 ú ø ê3
                û ë         û ë        û      ë     û ë      û ë      7ú
                                                                       û
           æ é2 6ù ö      é2 6ù
    e) 3 ç 4 ê   ú ÷ = 12 ê 1 5 ú
           è ë1 5û ø      ë     û

3. Est-ce que ( 2 A ) = 8 A3 ?
                      3




4. Est-ce que ( - A ) = A ?
                      4          4




                 ( A + B)
                            t
5. Est-ce que                   = At + B t ?




                                                      P.33 - Mathématiques B30 - Matrices
5. Matrice inverse

    5.1 Définition de la matrice inverse
         Dans la section 2.9, nous avons présenté la matrice identité. La matrice
         identité est une matrice carrée composée uniquement des 1 comme diagonale
         principale et des 0 comme autres éléments. La matrice identité possède un
         rôle particulier comme nous le constaterons dans le déroulement
         mathématique suivant.

         Soit la matrice A(2x2)
                                           é1 2 ù
                                        A= ê    ú
                                           ë3 4û


         Effectuons le produit matriciel AI2 et étudions le résultat.

                         é1 2 ù é 1 0 ù é1 2 ù
                  AI 2 = ê    úê      ú=ê    ú= A
                         ë3 4 û ë0 1û ë3 4û


         On remarque que la matrice identité joue un rôle analogue à celui du nombre 1
         dans l'ensemble des nombres réels.


         Supposons maintenant qu'on vous demande de trouver le produit matriciel AB
                       é 2 3ù        é 2 -3ù
         lorsque A = ê      ú et B = ê -1 2 ú
                       ë1 2û         ë      û


                                      é 2 3ù é 2 -3ù é1 0 ù
         On trouve alors que : AB = ê                 =
                                      ë 1 2 ú ê -1 2 ú ê 0 1 ú
                                            ûë       û ë     û

         Ce produit matriciel donne la matrice identité comme résultat. On dit alors que
         la matrice B représente la matrice inverse de A.




P.34 - Mathématiques B30 - Matrices
                              Matrice inverse
      Soit A et B, deux matrices carrées de même ordre. Si AB=BA=I,
      alors la matrice B représente la matrice inverse de A et B=A-1. A-1 est
      appelée matrice inverse (multiplicatif) de A. On dit aussi que A
      représente la matrice inverse de B: A=B-1.



                                      é 4 -3ù         é 4 3ù
Exemple 18 : Soit les matrices A = ê         ú et B = ê    ú
                                      ë -5 4 û        ë5 4û

               Détermine si B est la matrice inverse de A.

 Solution :    Si en effectuant le produit matriciel on obtient I 2 comme
               résultat, B sera l'inverse de A.
                       é 4 -3ù é 4 3ù é1 0ù
                       ê -5 4 ú ê 5 4 ú = ê 0 1 ú
                       ë      ûë      û ë       û


               B représente l'inverse de A.

 À toi de jouer! (7)

                             é2       1ù
             é 1 -2 ù
                      et B = ê 1      1 ú . Montre que B = A .
                                                            -1
    Soit A = ê
             ë -1 4 ú
                    û        ê          ú
                             ë2       2û




                                                P.35 - Mathématiques B30 - Matrices
    5.2 Matrice inverse à partir d’une résolution d’équations
        Jusqu'à maintenant, nous avons appris comment déterminer si deux matrices
        sont l'inverse l'une de l'autre. Toutefois, nous n'avons pas encore indiqué
        comment nous pouvons trouver l'inverse d'une matrice. Une méthode
        consiste à remplacer les éléments de la matrice inverse par des variables et
        de résoudre le système d'équations afin d'obtenir les valeurs de ces variables.

                              é 2 -3 ù
         Soit la matrice C = ê          . Pour trouver la matrice inverse de C, nous
                              ë 1 4ú  û
                                                    -1    éa b ù
         allons introduire la matrice de variables C = ê         ú . Nous savons que le
                                                          ëc d û
         produit matriciel suivant permet de trouver la matrice C × C -1 = I 2 , ce qui se
         traduit par l’expression suivante.

                            é 2 - 3ù é a b ù é 1 0ù
                            ê 1 4 ú ê c d ú = ê 0 1ú
                            ë      ûë      û ë     û

         Le produit matriciel nous donne:
                            é 2a - 3c 2b - 3d ù é 1 0ù
                            ê a + 4c b + 4d ú = ê 0 1ú
                            ë                 û ë    û

         On peut alors résoudre le système d'équation afin d'identifier les valeurs de a,
         b, c et d

                        â 2a - 3c = 1                       ä 2b - 3d = 0
                        ã a + 4c = 0                        å b + 4d = 1

                 De ã on obtient que a = -4c.

                 On peut remplacer a dans â, on trouve que:

                            2(-4c) - 3c = 1

                            -8c - 3c = 1
                            -11c = 1
                                   -1
                              c=
                                   11

P.36 - Mathématiques B30 - Matrices
                               -1                             4
    En substituant c par          dans ã, on obtient que a =    .
                               11                            11


                                                       3
    Après avoir isolé b dans ä, on obtient que b =       d . On trouve ensuite que
                                                       2
           3         2
     b=      et d =    .
          11        11

                                                              é4            3ù
                                                           -1
                                                              ê 11         11ú .
    La résolution du système d'équations permet d'obtenir C = ê              ú
                                                              ê -1          2ú
                                                              ê 11
                                                              ë            11ú
                                                                             û
                        -1
    Vérifions que C est bien la matrice inverse de C en effectuant le produit
    matriciel.

                                                 é 4   3ù
                                        é 2 - 3ù ê 11 11ú é 1 0ù
                             C × C -1 = ê      úê       ú=ê    ú
                                        ë 1 4 û ê - 1 2 ú ë 0 1û
                                                 ë 11 11û
À toi de jouer! (8)

               -1                 é7 5 ù
    Trouve D        lorsque D = ê        .
                                  ë 3 2ú
                                       û




                                                  P.37 - Mathématiques B30 - Matrices
             5.3 Matrice inverse à partir du déterminant et de la matrice adjointe
                 La méthode permettant de trouver la matrice inverse que nous venons
                 de décrire fonctionne bien dans des cas simples, mais elle peut devenir
longue dans d’autres situations. Heureusement, il existe une autre méthode pour
trouver l’inverse d’une matrice 2 ´ 2 un peu moins laborieuse qui repose sur l’utilisation
du déterminant et de la matrice adjointe. Mais que sont le déterminant et la matrice
adjointe? Les encadrés et les exemples suivants montrent comment on les obtient.


                            Le déterminant d'une matrice A(2x2)
           Le déterminant d’une matrice carrée A( 2´2 ) , détA , est obtenu en
           effectuant le produit des éléments trouvés dans la diagonale principale
           moins le produit des éléments de l'autre diagonale:
           détA = a11 × a22 - a12 × a21 .

                                                  éa   bù
           D’une manière plus pratique, si A = ê          alors détA = ad - bc .
                                                  ëc   dú
                                                        û

           Matrice singulière
              Une matrice carrée dont le déterminant égale 0 est dite singulière.
              Par conséquent, une matrice dont le déterminant est différent de 0 est
              considérée comme étant non singulière.



                                                                             é 2 -3 ù
       Exemple 19 :        Trouve le déterminant de la matrice A lorsque A = ê      ú .
                                                                             ë1 4 û

               Solution:          Le déterminant de A est obtenu en appliquant
détA = a11 × a22   - a12 × a21 . Donc, détA = ( 2)( 4) - ( - 3)(1) = 11 .

       À toi de jouer! (9)

                                          é 1 -2 ù
            Calcule détF lorsque F = ê           ú.
                                          ë -1 4 û

Exemple 20 : Détermine si la matrice suivante est singulière.



P.38 - Mathématiques B30 - Matrices
                                é 2 - 5ù
                             G= ê      ú
                                ë-2 5 û



Solution:     détG = ( 2)( 5) - ( - 2)( - 5) = 0 .Puisque le déterminant de G est égal
              à 0, on dit que la matrice G est singulière.




              La matrice adjointe d'une matrice A(2x2)
  L’adjointe d’une matrice carrée A( 2´2 ) , adjA , est obtenue de la manière

                   éa    bù              é d -b ù
  suivante: si A = ê        alors adjA = ê      ú . Autrement dit, les
                   ëc    dú
                          û              ë -c a û
  éléments de la diagonale principale de A changent de position entre eux
  alors que ceux de l’autre diagonale changent de signes.




                                                                é - 3 -2 ù
Exemple 21:   Trouve la matrice adjointe de A lorsque A = ê                .
                                                                ë6    5ú û

                               é d -b ù               é5    2ù
       Solution:        adjA = ê        , donc adjA = ê          .
                               ë -c a ú
                                      û               ë - 6 -3 ú
                                                               û




                                                 P.39 - Mathématiques B30 - Matrices
         L’encadré suivant montre comment calculer l’inverse d’une matrice à partir du
         déterminant et de la matrice adjointe.

           Matrice inverse d’une matrice 2×2 à partir du déterminant et de
           la matrice adjointe
                     éa     bù    -1  1             1 é d -b ù
           Soit A = ê          . A =      adjA =
                     ëc     dú
                             û       détA        ad - bc ê -c a ú
                                                         ë      û
           Il est à noter qu’une matrice singulière ne possède pas d’inverse
                                            1
           multiplicatif puisque   A -1 =     adjA = Æ
                                            0



                                                                  é 8 11ù
       Exemple 22 :        Quelle est la matrice inverse de H = ê       ú.
                                                                  ë4 6 û

                                                                                 1
        Solution:       Selon l’information de l’encadré précédent, H -1 =            adjH .
                                                                               détH
                                                                             é 6 -11ù
                          Puisque détH = ( 8)( 6) - (11)( 4) = 4 , et adjH = ê          ú
                                                                             ë -4 8 û
                                                        é 3 -11 ù
                                     1 é 6 -11ù ê
                                                                 4 ú . La vérification
                                  -1
                          alors H = ê               ú=ê2
                                     4 ë -4 6 û                     ú
                                                        ë -1 2 û
                                           -1
                          montre que H × H = I 2 , ce qui confirme que l’inverse trouvée
                          est la bonne.




P.40 - Mathématiques B30 - Matrices
       Exercice 5

1. a) La matrice B représente-t-elle l'inverse de la matrice A?

                                                é                ù
                          é1 0 2 ù              ê-1 1          1 ú
                          ê        ú
                      A = ê 1 1 0ú           B= ê 1  0        -1ú
                                                ê     1         1ú
                          ê1 - 1 2 ú
                          ë        û            ê1 -          - ú
                                                ë     2         2û

    b) La matrice D représente-t-elle l'inverse de la matrice C?

                                             é 1 2 ù
                                é 1 2ù       ê- 3 3 ú
                                ê 2 1ú       ê 2   1ú
                                ë    û       ê    - ú
                                             ë 3   3û

    c) La matrice F représente-t-elle l'inverse de la matrice E ?

                               é 4 - 1ù             é 1 1ù
                            E= ê      ú          F= ê    ú
                               ë-3 1 û              ë 3 4û


    d) La matrice H représente-t-elle l'inverse de la matrice G?
                               é 2 3ù           é - 1 3ù
                            G= ê    ú         H=ê      ú
                               ë 1 1û           ë - 1 2û

    e) La matrice Y représente-t-elle l'inverse de la matrice X?

                                                   é1 1 ù
                              é2 1 ù               ê3     ú
                            X=ê      ú         Y = ê 1 32 ú
                              ë 1 - 1û             ê   - ú
                                                   ë3   3û




                                                       P.41 - Mathématiques B30 - Matrices
2. Trouve le déterminant de chacune des matrices ci-dessous.

       é 4 3ù          é 3 7ù            é 1 - 1ù        é-5 3 ù
    a) ê    ú       b) ê    ú         c) ê      ú     d) ê      ú
       ë 2 3û          ë 5 4û            ë 3 - 4û        ë 3 - 3û

       é0 2 ù           é12 - 4ù             é 7 7ù         é 16 0 ù
    e) ê      ú       f)ê      ú          g) ê    ú      h) ê       ú
       ë 3 - 4û         ë 11 8 û             ë 7 7û         ë - 7 14û

3. Laquelle ou lesquelles des matrices ci-dessous est ou sont singulières?
      é 0 -7 ù           é10 4 ù      é -3 9 ù
    A=ê      ú         B=ê     ú    C=ê      ú
      ë -2 0 û           ë 5 2û       ë 5 15 û
      é 1 -1ù            é 1   -10 ù
    D=ê      ú         E=ê         ú
      ë -1 -1û           ë -10 1 û


4. Trouve l’adjointe de chacune des matrices ci-dessous.
           é 10 -65ù
    a) A=ê            ú
           ë -12 20 û
           é13 -4 ù
    b) B = ê        ú
           ë 25 -15û
           é -2 8 ù
    c) C = ê      ú
           ë15 -5û
           é -1 11ù
    d) D = ê       ú
           ë 6 0û
           é 9 -2 ù
    e) E = ê      ú
           ë8 7 û




P.42 - Mathématiques B30 - Matrices
5. Il est impossible de trouver une matrice inverse pour la matrice suivante. Pourquoi?

                          é 5 - 4ù
                       A= ê      ú
                          ë10 - 8û



6. Trouve l'inverse des matrices suivantes.
       é 4 3ù
    a) ê    ú
       ë 2 1û
       é3 7 ù
    b) ê    ú
       ë5 4 û
       é1    1ù
    c) ê3
       ë     4ú
              û
       é5    3ù
    d) ê
       ë3    2ú
              û
         é1 2 ù
    e) ê        ú
         ë 3 -4 û
         é 4 5ù
    f)   ê 2 3ú
         ë    û
       é 6 10 ù
    g) ê        ú
       ë - 5 -9 û
       é 4 -6 ù
    h) ê      ú
       ë 5 -8 û
         é 8 -4 ù
    i)   ê 4 -2 ú
         ë      û




                                                     P.43 - Mathématiques B30 - Matrices
7. Soit les matrices A et B.

                                  é 1 2ù      é - 3 - 1ù
                               A= ê    ú   B= ê        ú
                                  ë 3 4û      ë-2 6 û


    Effectue les opérations suivantes.

    a)   ( détB) × A
    b)   ( détB) × A-1
    c)   ( détA) × A-1
    d)   ( détA) × B
    e)   ( détA)( détB)

    f)   ( détA)(détB t )




P.44 - Mathématiques B30 - Matrices
6 Résolution de systèmes d’équations à l’aide des matrices
  Pourquoi avons-nous pris la peine d'inclure les matrices dans le programme de
  mathématiques B30? C'est sûrement une des questions qui t’intéressent depuis le
  début de l'unité. Nous allons enfin donner une raison d'être aux matrices dans la
  présente section.

  6.1 Résolution de systèmes d’équation à partir de la matrice inverse.
      Suppose le système d'équations suivant où on te demande de trouver les
      valeurs pour les variables x et y:

              â     3x + y = 7

              ã     2x - 5y = -1

     Dans tes cours de mathématiques précédents, tu as appris à résoudre ce genre
     de système d'équations soit par élimination, soit par substitution ou soit par
     comparaison. Ainsi, nous pouvons:

     Multiplier l'équation â par 1/3 et obtenir:

                          y 7
              â      x+    =
                          3 3

              ã     2x - 5y = -1


     En soustrayant 2 fois la nouvelle équation â de l'équation ã, nous obtenons:

                          y 7
              â      x+    =
                          3 3

                     0 x 17 y -17
              ã         -    =
                      3   3    3




                                                   P.45 - Mathématiques B30 - Matrices
        Multiplions la nouvelle équation ã par -3/17 afin d'obtenir:

                               y 7
                 â        x+    =
                               3 3

                 ã        y=1

        Ajoutons -1/3 fois l'équation ã à l'équation â afin de générer:

                 â        x + 0y = 6/3 = 2

                 ã        y=1

        Nous trouvons donc que x = 2 et y =1

        Nous pouvons obtenir le même résultat en utilisant une méthode reposant sur
        les matrices. Reprenons le même système d'équations:

           3x + y = 7
           2x - 5y = -1

        On peut représenter ce système de la façon suivante: AX = B où
          é3 1 ù         é xù         é7ù
        A=ê      ú , X = ê y ú et B = ê -1ú . Le produit matriciel de A et de X forme
          ë 2 -5 û       ë û          ë û
        la partie de droite de l’équation matricielle alors que B est représenté par la
        partie de droite, tel qu’indiqué ci-dessous.

                                         A     × X=      B
                                      é 3 1 ù é xù é 7 ù
                                      ê 2 - 5ú ê y ú = ê - 1ú
                                      ë      ûë û ë û

        En trouvant la matrice inverse de A, c'est-à-dire A -1 , on peut résoudre pour
        trouver la matrice X. En effet, l'étude des matrices nous a permis d'établir la
                          -1
        relation X = A B . On se souvient que:

                                                 1
                                      A -1 =
                                               det A
                                                     (adjA)


P.46 - Mathématiques B30 - Matrices
                                                                é -5 -1ù
Le déterminant de A est -17 alors que l'adjointe de A est ê              . L’inverse
                                                                ë -2 3 ú
                                                                       û
                                    -1        1 é -5 -1ù                 -1
de la matrice A est donnée par A         =       ê -2 3 ú . Puisque X = A B ,
                                             -17 ë      û
on peut résoudre le problème:

                             1 é - 5 - 1ù é 7 ù é 2ù
                     X=-                       =
                            17 ê - 2 3 ú ê - 1ú ê 1ú
                               ë        ûë û ë û



Donc, x = 2 et y = 1. On note qu’il s’agit de la même réponse trouvée
précédemment. Puisque la résolution d’un système d’équations linéaires
revient à trouver un point d’intersection pour les droites représentées par les
équations, on peut donner la réponse sous forme d’un point. L’ensemble-
solution du problème précédent peut donc s’écrire comme étant e.s.=        {( 2,1)} .
Exemple 23 :     Résous le système d’équations suivant à l’aide de la méthode
                 impliquant la matrice inverse.
                           4 x + 2 y = 26
                           5 x + 3 y = 32

Solution:      Commençons par représenter le système d’équations sous la
               forme AX = B .

                   é 4 2 ù é x ù é 26 ù
                   ê 5 3 ú ê y ú = ê 32 ú
                   ë     ûë û ë û

               Trouvons ensuite le déterminant et la matrice adjointe de A.

                                                           é 3 -2 ù
                   détA = ( 4)( 3) - ( 2)( 5) = 2 et adjA = ê     ú
                                                           ë -5 4 û




                                                   P.47 - Mathématiques B30 - Matrices
                                              -1       1 é 3 -2 ù
                       L’inverse de A est A        =              .
                                                       2 ê -5 4 ú
                                                         ë      û
                                                                          -1
                       L’étape suivante consiste à résoudre X = A B .

                                 1 é 3 -2 ù é 26 ù é 7 ù
                           X =                    =
                                 2 ê -5 4 ú ê 32 ú ê -1ú
                                   ë      ûë û ë û

                       Donc, x=7 et y=-1. La solution peut aussi être représentée
                       comme un ensemble solution: e.s.=        {( 7, -1)} .
       À toi de jouer! (10)
           Résous le système d’équations suivant à l’aide de la méthode impliquant la
           matrice inverse.
                       6x - y = 6
                       -4 x + 7 y = -23




P.48 - Mathématiques B30 - Matrices
        Exercice 6

1. Soit le système d'équations ci-dessous:

        â 2x + 3y = 3

        ã 3x + 2y = 7

   a) Exprime le système sous forme matricielle.

   b) Résous le système d'équations à l'aide de la méthode de l'inverse des matrices.


2. Résous les systèmes d'équations à l'aide de la méthode de l'inverse des matrices.

   a) x - 3y = 8
      x + 7y = -12

   b) 2x + y = 7
      3x + 2y = 12

   c) y = 3x - 4
      x = 2y + 3

   d) 3b = 2a - 5
       b = 2a -1

   e) 3x + 5y = 35
      2x - 3y = -2

   f)   3x - 4y = -10
        2x + 5y = 1

   g) 8y - x = 7
      2y + 3x = -8




                                                    P.49 - Mathématiques B30 - Matrices
           6.2      Résolution de systèmes d’équations à l’aide de la matrice
                    augmentée
                     Nous avons montré que les matrices peuvent être utilisées pour
résoudre des systèmes d'équations. Il existe une autre méthode s’appuyant sur
l’utilisation des matrices qui permet d’accomplir la même tâche. Mais avant d’explorer
celle-ci, il convient de connaître quelles opérations on peut effectuer avec les rangées
d’une matrice.

       Opérations sur les rangées (à l'aide des opérations élémentaires)
         Il existe trois types d'opérations élémentaires qu'on peut effectuer sur les
         rangées d'une matrice.
         1. On peut changer deux rangées de position dans une matrice.
         2. On peut multiplier chaque élément d'une rangée par un nombre réel
              non nul, puis remplacer la rangée initiale par la nouvelle rangée obtenue
              par cette multiplication scalaire. Cette nouvelle rangée est appelée le
              multiple scalaire de la rangée initiale.
         3. On peut remplacer n'importe quelle rangée d'une matrice par la somme
              de cette rangée et d'un multiple scalaire d'une autre rangée.


       Exemple 24 : Changer deux rangées de position dans une matrice.

                           Soit la matrice ci-dessous qui représente les ventes de
deux magasins se spécialisant dans la vente d’articles de musique usagés:

                              Micro. Cas.    DC

           Magasin A

           Magasin B


                        Changer l'ordre des magasins ferait-il une différence? Écris
                        cette matrice en montrant ce changement.

       Solution:
                             Micro. Cas.     DC

           Magasin B

           Magasin A


Exemple 25 : Soit la matrice ci-dessous:

P.50 - Mathématiques B30 - Matrices
            Multiplie la                rangée donnée par un nombre réel qui
            donnera le résultat prévu dans chacun des cas suivants.
            Commence avec la matrice originale dans chaque cas.
            a) Première rangée, le second élément sera 1.
            b) Première rangée, le troisième élément sera -5.


Solution:   a) Pour obtenir 1 à partir de 4, nous devons multiplier la première
               rangée par 1/4.




            b) Pour obtenir -5                  à partir de 1, nous devons
               multiplier la                    première rangée par -5.




                                              P.51 - Mathématiques B30 - Matrices
       Exemple 26 : Soit la matrice suivante:




             Multiplie la 1re rangée par 2, ajoute le résultat de cette multiplication à la 3e
             rangée.

       Solution:    Le résultat est le suivant:




           Maintenant que nous avons montré les trois types d'opérations, nous
           pouvons parler de la deuxième méthode de résolution des systèmes
           d'équations à l'aide des matrices. Cette méthode repose sur l'utilisation de
           ces trois transformations élémentaires et de ce que nous appelons la
           matrice augmentée. La matrice augmentée est une matrice obtenue à
           partir d’un système d’équations complet.

           Par exemple, pour représenter le système d’équations
           3 x - 2 y = -25
           x + 5 y = 54
                                                                     é3 -2 -25 ù
           à l’aide de la matrice augmentée, nous devons écrire: ê               .
                                                                     ë1 5  54 úû

           On note la présence d’une ligne verticale pointillée qui joue le rôle du signe
           d’égalité. Seuls les coefficients des variables et les nombres apparaissent
           dans la matrice augmentée. Nous allons résoudre ce système d’équations
           de deux façons, de manière à tracer un parallèle entre le processus
           traditionnel d’élimination et les opérations élémentaires qu’on peut appliquer
           à une matrice augmentée afin de trouver l’ensemble-solution.


P.52 - Mathématiques B30 - Matrices
    Solution par élimination                  Solution par matrice augmentée
1   Système d’équations                       Système d’équations représenté
       3 x - 2 y = -25                        par une matrice augmentée
       x + 5 y = 54                                   é3 -2 -25 ù
                                                      ê1 5  54 ú
                                                      ë         û
2   Changer la position des deux              Changer les deux rangées de
    équations                                 position dans la matrice augmentée
       x + 5 y = 54                                   é1 5  54 ù
       3 x - 2 y = -25                                ê3 -2 -25 ú
                                                      ë         û
3   Multiplier la première équation par       Multiplier la première rangée par -3
    -3 et ajouter le résultat                 et ajouter le résultat (-3 -15 -187)
    ( -3 x - 15 y = -162 ) à la seconde       à la seconde rangée
    équation
       x + 5y = 54
       0x -17 y = -187
4   Diviser la seconde équation par -17       Diviser la seconde rangée par -17
        x + 5 y = 54                                   é 1 5 54 ù
        y = 11                                         ê 0 1 11 ú
                                                       ë        û
5   La seconde équation nous indique          Multiplier la seconde rangée par -5
    que y = 11 . En substituant cette         et ajouter le résultat (0 -5 -55) à
    valeur dans la première équation,         la première rangée
    on trouve:                                         é 1 0 -1ù
        x + 5 (11) = 54                                ê 0 1 11 ú
                                                       ë        û
        x + 55 = 54
        x =1
6   L’ensemble-solution est    {( -1,11)} .   La matrice finale nous montre que
                                              x = - 1 et y = 11 . L’ensemble-
                                              solution est donc   {( -1,11)} .



                                                 P.53 - Mathématiques B30 - Matrices
       Les stratégies suivantes aident dans la résolution des systèmes d’équations à
       partir de la méthode utilisant la matrice augmentée.

      Stratégies pour résoudre des systèmes d’équations à partir de la
      matrice augmentée
      1. Obtenir un 1 dans la première colonne, première rangée soit en
         changeant les rangées de positions ou en multipliant ou divisant la
         rangée par un nombre.
      2. Obtenir des zéros pour le restant de la colonne 1 en utilisant les
         transformations élémentaires avec la nouvelle rangée 1.
      3. Obtenir un 1 dans la seconde colonne, seconde rangée en multipliant
         ou divisant la seconde rangée par une constante.
      4. Obtenir un zéro dans la colonne 2, rangée 3 en utilisant les
         transformations élémentaires avec la nouvelle rangée 2.
      5. Obtenir un 1 dans la rangée 3, colonne 3 en multipliant ou divisant la
         seconde rangée par une constante. À ce point-ci, la matrice
         augmentée devrait prendre l’allure suivante:
              é1   p q    rù
              ê0   1    s tú
              ê            ú
              ê0
              ë    0    1 uú
                           û
         On remarque que la diagonale principale à la gauche de la ligne
         pointillée comprend uniquement des 1 alors que les autres entrées à la
         gauche et en bas de celle-ci sont des 0.
      6. Utiliser la troisième rangée et les transformations élémentaires pour
         obtenir des 0 pour remplacer s et q par des 0. La matrice devient:
              é1    p 0   rù
              ê0   1    0 tú
              ê            ú
              ê0
              ë    0    1 uú
                           û
      7. Utiliser la seconde rangée et les transformations élémentaires pour obtenir un 0
         à la place de p. L’opération une fois complétée devrait ressembler à ceci:
              é1 0 0 r ù
              ê0 1 0 t ú
              ê        ú
              ê0 0 1 u ú
              ë        û




P.54 - Mathématiques B30 - Matrices
Mettons en application ces stratégies à l’aide de quelques exemples.

Exemple 27 :    Résous le système d’équations suivant à l’aide de la méthode
                de la matrice augmentée.
                        x + 2 y + z = 12
                        2 x - y - z = -3
                        3 x + 2 z = 14
Solution:      La matrice augmentée qui représente ce système devrait avoir
               l’allure suivante.

                é 1 2 1 12 ù
                ê 2 -1 - 1 - 3 ú
                ê              ú
                ê 3 0 2 14 ú
                ë              û

               On note que la troisième équation ne possède pas de variable y
               et c’est pourquoi l’élément de la troisième rangée, deuxième
               colonne est un 0.

               L’élément de la première rangée, première colonne est déjà un
               1, ce qui nous simplifie le travail. Nous allons utiliser cette
               rangée pour obtenir des 0 pour les autres entrées de la
               première colonne.
                                           Multiplier la première rangée par -2 et ajouter le
                 é1 2 1 12 ù               résultat (-2 -4 -2 -24) à la seconde rangée.
                 ê0 -5 -3 -27ú
                 ê           ú
                 ê3 0 2 14 ú
                 ë           û
                 é1 2 1 12 ù               Multiplier la première rangée par -3 et ajouter le
                 ê0 -5 -3 -27ú             résultat (-3 -6 -3 -36) à la troisième rangée.
                 ê           ú
                 ê0 -6 -1 -22ú
                 ë           û

               Notre deuxième étape consiste à obtenir un 1 dans la seconde
               rangée et deuxième colonne.




                                                 P.55 - Mathématiques B30 - Matrices
                                                        Diviser la seconde rangée par -5
                              é1 2 1 12 ù
                              ê            ú
                              ê0 1 3 27 ú
                              ê     5   5 ú
                              ê0 -6 -1 -22 ú
                              ë            û

                        Nous allons utiliser la nouvelle rangée 2 pour obtenir un 0 dans
                        la troisième rangée, deuxième colonne.

                                                         Multiplier la seconde rangée par 6 et ajouter le
                                é                   ù
                                ê1 2 1           12 ú                    18 162
                                                         résultat (0 6          ) à la troisième
                                ê                   ú                     5  5
                                ê0 1 3           27 ú
                                                         rangée.
                                ê     5           5ú
                                ê    13          52 ú
                                ê0 0                ú
                                ê
                                ë     5           5úû
                                                                                               5
                                                         Multiplier la troisième rangée par
                           é1       2       1    12 ù                                         13
                           ê                3    27 ú
                           ê0       1               ú
                           ê                5     5 ú
                           ê0       0       1     4 ú
                           ë                        û

                        En utilisant la nouvelle troisième rangée et les opérations
                        élémentaires, nous allons pouvoir obtenir des 0 dans la
                        troisième colonne pour les deux premières rangées.

                                                                                              -3
                         é1 2 1 12 ù                     Multiplier la troisième rangée par      et ajouter
                                                                                              5
                         ê0 1 0 3 ú
                                                                            -3 -12
                         ê         ú                     le résultat (0 0          ) à la deuxième
                                                                            5   5
                         ê0 0 1 4 ú
                         ë         û                     rangée.


                         é1     2       0       8ù       Multiplier la troisième rangée par -1 ajouter le
                         ê0     1       0       3ú       résultat (0 0 -1 -4) à la première rangée.
                         ê                       ú
                         ê0
                         ë      0       1       4ú
                                                 û


                    Il ne nous reste qu’à obtenir un 0 comme élément de la première


P.56 - Mathématiques B30 - Matrices
         rangée, deuxième colonne. Pour ce faire, nous allons utiliser la
         seconde rangée.

                                        Multiplier la deuxième rangée par -2 et ajouter
              é1   0   0    2ù          le résultat (0 -2 0 -6) à la première rangée.
              ê0   1   0    3ú
              ê              ú
              ê0
              ë    0   1    4ú
                             û

         La résolution avec la matrice augmentée nous donne
          x = 2; y = 3; z = 4 . L’ensemble-solution est donc       {( 2, 3, 4 )} .
Pour simplifier les explications fournies lorsque des transformations
élémentaires sont appliquées aux rangées d’une matrice, nous allons utiliser
une codification particulière. Par exemple, pour ajouter 2 fois la rangée 3 à
la rangée 1 d’une matrice, nous écrirons 2R3 + R1 comme le montre la
séquence ci-dessous.



    é1    0   0    2ù                  é1 0 2 10 ù
    ê0    1   0    3 ú º 2R3 + R1 =    ê0 1 0 3 ú
    ê                ú                 ê         ú
    ê0
    ë     0   1    4úû                 ê0 0 1 4 ú
                                       ë         û
L’exemple suivant fait usage de cette codification.




                                            P.57 - Mathématiques B30 - Matrices
       Exemple 28 : Résous le système d’équations suivants à l’aide d’une matrice
                    augmentée.

                        2 x - y - z = 11
                        x + y + 2z = 5
                        3 x - 2 y + z = 20

       Solution:

                          é 2 -1 -1 11 ù
                          ê1 1 2 5 ú
                          ê            ú
                          ê 3 -2 1 20 ú
                          ë            û

                          é1 1 2 5 ù                   R1 « R2      (Changer les rangées
                          ê 2 -1 -1 11 ú               1 pour la rangée 2)
                          ê            ú
                          ê 3 -2 1 20 ú
                          ë            û

                          é1 1 2 5 ù                   -2R1 + R2
                          ê 0 -3 - 5 1 ú
                          ê            ú
                          ê 3 -2 1 20 ú
                          ë            û

                          é1    1      2 5ù            - 3R1 + R3
                          ê0   -3     -5 1 ú
                          ê                ú
                          ê0
                          ë    -5     -5 5 ú
                                           û
                          é1    1     2    5 ù         -1
                          ê           5    -1ú
                                                          R2
                          ê0    1            ú         3
                          ê           3    3 ú
                          ê0   -5     -5   5 ú
                          ë                  û

                                é               ù      5 R2 + R3
                                ê1 1 2        5ú
                                ê               ú
                                ê0 1 5       -1 ú
                                ê     3       3ú
                                ê    10      10 ú
                                ê0 0            ú
                                ê
                                ë     3       3úû


P.58 - Mathématiques B30 - Matrices
                       é1 1 2    5ù                   3
                       ê                                R3
                       ê0 1 5    -1 ú
                                    ú
                                                     10
                       ê    3    3ú
                       ê0 0 1    1ú
                       ë            û

                   é1 1 2 5 ù                        -5
                                                        R3 + R2
                   ê 0 1 0 -2 ú                      3
                   ê          ú
                   ê0 0 1 1 ú
                   ë          û

                   é1 1 0 3 ù                        -2R3 + R1
                   ê 0 1 0 -2 ú
                   ê          ú
                   ê0 0 1 1 ú
                   ë          û

                   é1 0 0 5 ù                        - R2 + R1
                   ê 0 1 0 -2 ú
                   ê          ú
                   ê0 0 1 1 ú
                   ë          û
                 Ensemble-solution:   {( 5, -2,1)}

À toi de jouer! (11)

Résous le système d’équations suivant à l’aide de la matrice augmentée.
   x+ y+ z =0
   y-z =2
   x + y = -4




                                               P.59 - Mathématiques B30 - Matrices
        Exercice 7


                            é1 2 3 4ù
                            ê
1. Soit la matrice augmentée 2 1 2 5 .
                                       ú
                            ê          ú
                            ê 9 12 6 3 ú
                            ë          û
   Pour chacun des énoncés ci-dessous, indique quelle transformation élémentaire a
   été appliquée.
        é2 1 2        5ù
   a)
        ê1 2 3        4ú
        ê              ú
        ê 9 12 6
        ë             3ú
                       û
        é1 2 3        4ù
   b)
        ê2 1 2        5ú
        ê              ú
        ê3 4 2
        ë             1ú
                       û

        é 1   2   3   4 ù
        ê -10 -5 -10 -25ú
   c)   ê               ú
        ê 9 12
        ë         6   3 ú
                        û


        é1 2    3   4 ù
        ê2 1    2   5 ú
   d)   ê             ú
        ê 0 -6 -21 -33ú
        ë             û


        é -3 0 -1 -6 ù
        ê2 1 2 5ú
   e)
        ê            ú
        ê 9 12 6 3 ú
        ë            û

        é1 2 3 4 ù
   f)
        ê2 1 2 5 ú
        ê        ú
        ê7 8 0 -5ú
        ë        û

P.60 - Mathématiques B30 - Matrices
2. Écris en phrases quelle transformation élémentaire est indiquée par chacun des
   énoncés ci-dessous.
   a) 3R3
   b)   R1 « R3
   c)   4 R1 + R2
   d)   -2 R1 + R3
   e)   R2 ¸ ( -2 )


3. Applique les transformations élémentaires indiquées dans les énoncés ci-dessous
                                            é 1 -2 3 - 2 ù
                                            ê
   en considérant, à chaque fois, la matrice 4   3 -2 1 ú comme matrice de
                                            ê            ú
                                            ê -3 5
                                            ë      1 -4 úû
   départ.
   a) 2R2
        1
   b) - R3
        3
   c) 4 R1 + R2
   d) 3R1 + R3
   e)   R2 « R3

4. Écris les matrices augmentées pour chaque système d’équations sans les résoudre.
        2x - 3 y = 7
   a)
        9 x + 5 y = 19

        x - 2y - z = 8
   b)   3 x + 4 y + 7 z = 10
        x + 5 y - 9 z = -10




                                                    P.61 - Mathématiques B30 - Matrices
        x - 15 = 2 y - 3 z
   c)   7 y - x = 10 + 4 z
        6x = z - 3y + 8


      2x - z = 5
   d) 3 x + 5 y = 1
        4 y - 3z = 0


5. Quels systèmes d’équations sont représentés par les matrices augmentées ci-
   dessous?
        é 3 -3 4 10 ù
   a)
        ê 2 5 -7 9 ú
        ê           ú
        ê1 0 1 1 ú
        ë           û



        é 7 -6 5 ù
   b)   ê 4 -3 2 ú
        ë        û


6. Utilise la méthode de la matrice augmentée pour résoudre les systèmes d’équations
   suivants.
        x + 2 y = -1
   a)
        3 x - y = 11

        5 x + 6 y = 70
   b)
        3 x - 12 y = -270

        x + 3y + z = 3
   c)   x + 5 y + 5z = 1
        2 x + 6 y + 3z = 8



P.62 - Mathématiques B30 - Matrices
      3x + 6 y + 6 z = 3
   d) x + 3 y + 10 z = -10
        x + 2 y + 5 z = -11


      2 x - 10 y + 3 z = -20
   e) x - 3 y + 7 z = 0
        x - 5 y + z = -10


        x + z = 12
   f)   x - y = 16
        y + 2z = 0



7. Dans une école, on retrouve 675 élèves de la dixième à la douzième année. Il y a
   50 élèves de plus en dixième qu’en onzième et 25 élèves de plus en douzième
   qu’en onzième. Combien d’élèves retrouve-t-on dans chaque niveau? Réponds à
   cette question en créant une matrice pour un système de trois équations à trois
   inconnus et en appliquant la méthode de la méthode de la matrice augmentée.

8. Voici une matrice pour laquelle un élève tente d’obtenir une solution:
   é 1 -1 -1 4 ù
   ê 5 -3 4 0 ú .
   ê           ú
   ê -3 2 -2 -1ú
   ë           û
   Une partie de la démarche de l’élève pour obtenir la matrice finale est montrée plus
   bas. Bien qu’il ait réussi à obtenir la bonne matrice à la dernière étape montrée,
   l’élève a commis deux erreurs dans sa résolution. Ces deux erreurs semblent s’être
   annulées. Peux-tu identifier les erreurs commises par l’élève.

   é 1 -1 - 1 4 ù
   ê            ú                    -5 R1 + R2
   ê 0 2 9 -20 ú                     3R1 + R3
   ê 0 -1 -5 11 ú
   ë            û



                                                       P.63 - Mathématiques B30 - Matrices
      é1 -1 -1 4 ù
      ê      9      ú
      ê0 1      -10 ú                 R2 ¸ 2
      ê      2      ú
      ê 0 -1 -5 11 ú
      ë             û


      é                  ù
      ê 1 -1 -1       4 ú
      ê                  ú
      ê0 1   9
                     -10 ú            R2 + R3
      ê      2           ú
      ê       1          ú
      ê0 0 -          -1 ú
      ê
      ë       2          ú
                         û


      é 1 -1 - 1 4 ù
      ê            ú
      ê0 1 9 -10 ú                    -2R3
      ê      2     ú
      ê 0 0 1 -2 ú
      ë            û




P.64 - Mathématiques B30 - Matrices
Réponses aux exercices

Exercice 1
1.    A(4x4)    B(2x4)         C(3x2)      D(4x3)  E(1x1)
2.    a) Pour la matrice A: 7, 2, -9, 4
             Pour la matrice B: 1, 2, 3, 0
             Pour la matrice C: 4, 2
             Pour la matrice D: 1, 2, 3
             Pour la matrice E: 1
      b) a12 = 2 b24 = -2 c31 = 5          d22 = 6 e11 = 1
      c) E
      d) 7, 6, 9, 0
      e) non, le nombre de lignes ne correspond pas au nombre de colonnes

3. Les réponses varieront: par exemple




4. a) a = 10, b = 7, c = -2, d = 8
   b) a = -1, b = 11, c = -2, d = 15
   c) a = 4, b = -9, c = -5, d = 11

5. a) a<0, b<4, c<7, d<0
   b) a<2, b<0         c) a=4, b=-9, c=-5, d=11
                        é1     0 0 0 0ù
                        ê0                               é1   0 0 0ù
                               1 0 0 0ú                  ê0
        é 1 0ù          ê             ú                       1 0 0ú
6. a) ê              b) ê 0    0 1 0 0ú             c)   ê         ú
             ú                                           ê0   0 1 0ú
        ë 0 1û          ê             ú
                        ê0     0 0 1 0ú                  ê         ú
                        ê0     0 0 0 1ú                  ë0   0 0 1û
                        ë             û
                                                     é 1 5 - 4 6ù
                        é 0 4 3ù                     ê3 6
        é 2 1ù          ê            ú                         0 5ú
7. a) ê      ú       b) ê - 1 6    5ú             c) ê             ú
        ë 3 4û                                       ê4     3 - 3 8ú
                        ê - 7 - 3 - 1ú
                        ë            û               ê             ú
                                                     ë - 1 - 2 7 9û

                                                    P.65 - Mathématiques B30 - Matrices
            é 0 1ù
         d) ê    ú
            ë 0 1û
      é 0ù
      ê ú
8.    ê 0ú
      ê 0ú
      ë û
9.    x = 8; y = -6
10.   x = 6; y = 9
11.   x = 6; y = 10
12.   x = 1; y = -15
13. À discuter
14. À discuter

Exercice 2
   é60       72 ù
            257
   ê 45      59 ú
            187
1. ê            ú
   ê 73      82 ú
            225
   ê            ú
   ë 65      62 û
            168
      é9 6 10 9 7 ù
2. a) ê            ú                              b) 6+16=22
      ë 3 16 5 4 11û
      c) Saskatoon=41; Regina=39;différence=2     d) 80
   é0      1    1    0ù
   ê1      0    1    1ú
3. ê                  ú
   ê1      1    0    1ú
   ê                  ú
   ë0      1    1    0û



      é14        13    15 ù
      ê15                        é14 15 18 20 ù
                 14    16 ú      ê13 14 17 20 ú
4. a) ê                   ú b)
      ê18        17    19 ú      ê            ú
      ê                   ú      ê15 16 19 21ú
                                 ë            û
      ë 20       20    21û


P.66 - Mathématiques B30 - Matrices
                         é 11 23 32 ù
                         ê
5. Voici une possibilité: 22 31 13
                                    ú
                         ê          ú
                         ê 33 12 21ú
                         ë          û

Exercice 3
1.
        é8    4 -6 4 ù                          é 20   4 -30 12 ù
   a)
        ê -2 -6 14 0 ú                       g)
                                                ê -18 30 14 8 ú
        ê                 ú                     ê               ú
        ê 6 -12 13 1 ú
        ë                 û                     ê 14 -12 23 3 ú
                                                ë               û
                                        h)
        é12 6 -6 3ù                          non, les matrices ne sont pas de mêmes dimensions


   b)
        ê -1 -11 11 3ú
        ê                ú
        ê11 -6 14 1ú
        ë                û
        é -3 0     9 -5 ù
   c)
        ê 6 -11 -10 1 ú
        ê                   ú
        ê 0 12
        ë         -8 -1ú    û
        é3 3 6ù
   d)
        ê12 7 18ú
        ê         ú
        ê 2 13 18ú
        ë         û
        é 5         -3 ù
        ê 2    -4
                     2ú
        ê              ú
        ê  33       17 ú
   e)         -18
        ê 2          2ú
        ê -53 13 -9 ú
        ê              ú
        ê 2
        ë       2    2úû
      é -4 -8 -12 0 ù
   f)
      ê -12 48 -28 8 ú
      ê              ú
      ê -4 24 -16 0 ú
      ë              û

                                        2



                                                P.67 - Mathématiques B30 - Matrices
        é -1 3            0ù                              é -1    1 11ù
     a)
        ê 5 -1            3ú                              ê
                                                       g) -4      6 4ú
        ê                  ú                              ê           ú
        ê -2 5
        ë                 8ú
                           û                              ê -3
                                                          ë       5 13ú
                                                                      û
        é 1 -2 ù                                          é17     3ù
                                                       h) ê
        ê
     b) -1 3
               ú
                                                          ë -9    3ú
                                                                   û
        ê      ú
        ê3 6ú
        ë      û                                            é 25   41 40 ù
                                                            ê 19   6 -12 ú
        é6 9             - 3ù                          i)
                                                            ê             ú
     c) ê
        ë12 -9           15 ú
                            û                               ê -13 -40 -42 ú
                                                            ë             û
        é1         1     9ù                                 é -16 0   3 ù
        ê
     d) -4         4     6ú                            j)
                                                            ê 10 -11 1 ú
        ê                 ú                                 ê            ú
        ê -5
        ë          7    13ú
                          û                                 ê 1
                                                            ë     -7 -27 ú
                                                                         û
        é -1       -4    -3 ù
     e)
        ê1         6      5ú
        ê                   ú
        ê11
        ë           4    13 ú
                            û
     f)   Les dimensions de la matrice ne permettent
          pas la multiplication par elle-même.

3.
                                                          é13ù
        é 12 -22 -24 ù                                 e)
                                                          ê7ú
     a)
        ê 36   38 -29 ú                                   ê ú
        ê             ú                                   ê16 ú
                                                          ë û
        ê -12 8
        ë          41 ú
                      û
                                                          é -15 34        -84 ù
        é 9 -36 21 -6 ù                                f)
                                                          ê -37 20        87 ú
     b)
        ê9    0 25 -2 ú                                   ê                   ú
        ê               ú                                 ê 20 -26
                                                          ë                49 ú
                                                                              û
        ê18 -72 42 -12 ú
        ë               û
                                                          é -24 6         32 ù
     c)   Impossible: les dimensions sont
                                                          ê 12 -22
          incompatibles pour le produit matriciel.     g)
                                                          ê               36 ú
                                                                             ú
     d)   non, les dimensions sont incompatibles
          pour le produit matriciel.                      ê 12
                                                          ë     12        14 ú
                                                                             û




P.68 - Mathématiques B30 - Matrices
          é 7600    8375  9200 ù é 7752 8543 9384 ù
          ê 9145    9995 10850 ú ê 9328 10195 11067 ú
4   1, 02 ê                     ú=ê                 ú
          ê10690   11615 12500 ú ê10904 11847 12750 ú
          ê                     ú ê                 ú
          ë12750   13775 14700 û ë13005 14051 14994 û
        é6 6       3ù      é 0,15 ù
5
        ê
    a) 18 4        5ú b) ê1,30 ú
        ê            ú     ê      ú
        ê 9 20
        ë          8ûú     ê 0,85 ú
                           ë      û
       é 6 6 3ù é 0,15 ù é11, 25 ù
       ê            úê
    c) 18 4 5 1,30 = 12,15
                            ú ê        ú
       ê            úê      ú ê        ú
       ê 9 20 8 ú ê 0,85 ú ê34,15ú
       ë            ûë      û ë        û
       é 6 6 3ù é 0,12 ù é11, 28 ù
       ê            úê
    d) 18 4 5 1,35 = 11, 66
                            ú ê        ú
       ê            úê      ú ê        ú
       ê 9 20 8 ú ê 0,82 ú ê34, 64 ú
       ë            ûë      û ë        û
       é 368 344 240 ù
6
       ê
    a) 460 430 300
                          ú
       ê                  ú
       ê 552 516 360 ú
       ë                  û
    b) a11 ou 368 représente le salaire de Michel pour la semaine; a22 ou 430 est le
       salaire de Nathalie pour la semaine; a33 ou 360 représente le salaire de Manon
       pour la semaine.
    c) a23 ou 300 représente le montant que Manon aurait obtenu si elle était
       rémunérée au même taux horaire que Nathalie ou ce que Nathalie aurait obtenu
       si elle était rémunérée au même taux horaire que Manon.
       é1080 1620 ù
    d) ê
       ë 52       78 úû
    e) a11 ou 1080 représente le montant total versé à Michel, Nathalie et Manon en
       salaire pour les heures régulières; a22 ou 78 représente le montant total versé à
       Michel, Nathalie et Manon pour les heures supplémentaires.
                        é 2 - 3 ù é 2 -3 ù é - 8 9 ù
7   Au lieu de calculer ê       úê       ú=ê       ú , chaque élément de la matrice
                        ë 4 -5û ë 4 -5û ë -12 13û
    initiale a simplement été mis au carré.

                                                      P.69 - Mathématiques B30 - Matrices
    éa     b    c ù é1 0 0 ù
8
    êd     e    f ú = ê0 1 0 ú
    ê             ú ê        ú
    êg
    ë      h    i ú ê0 0 1 ú
                  û ë        û

Exercice 4
1. a) oui
   b) oui
   c) oui
   d) oui
   e) oui
   f) oui
   g) oui
   h) oui
   i) non


       é1 8 ù é1 8 ù
2. a) ê      =       commutativité de l’addition
       ë1 9 ú ê1 9 ú
            û ë    û
       é12 9 ù é12 9 ù
    b) ê       =         distributivité de la multiplication par un scalaire sur
       ë 21 15ú ê 21 15ú
              û ë      û
         l’addition
       é 44 60 ù é 44 60 ù
    c) ê         =         distributivité du produit matriciel sur l’addition
       ë 36 48ú ê 36 48ú
               û ë       û
       é3 9 ù é 3 9 ù
    d) ê       =        associativité de l’addition
       ë 8 14 ú ê8 14 ú
              û ë     û
         é 24 72 ù é 24 72 ù
    e) ê         ú=ê       ú
         ë12 60 û ë12 60 û
3. Oui
4. Oui
5. Oui


Exercice 5
1. a) oui      b) oui   c) oui   d) non   e) oui
2. a) 6        b) -23   c) -1    d) 6     e) -6    f) 140   g) 0   h) 224
3.     B


P.70 - Mathématiques B30 - Matrices
              é 20 65 ù
4. a) adjA = ê        ú
              ë12 10 û
              é -15 4 ù
    b) adjB = ê         ú
              ë -25 13û
              é -5 -8 ù
    c) adjC = ê        ú
              ë -15 -2 û
              é 0 -11ù
    d) adjD = ê       ú
              ë -6 -1 û
                 é 7 2ù
    e) adjE = ê         ú
                 ë -8 9 û
5   Le déterminant = 0, la matrice est singulière.
                           é -4   7ù
       é -1 3 ù            ê 23   23 ú       é 4 -1ù            é 2 - 3ù
6   a) ê 2  2ú          b) ê         ú    c) ê      ú        d) ê      ú
       ê      ú            ê5     -3 ú       ë -3 1 û           ë -3 5 û
       ë 1 -2 û            ê 23
                           ë      23 ú
                                     û
       é2       1ù                           é9      5ù
       ê5                  é 3 -5 ù                             é4    -3 ù
                5ú                           ê4      2ú
    e) ê          ú     f) ê 2  2ú        g) ê          ú    h) ê 5      ú
       ê3      -1 ú        ê      ú          ê -5    -3 ú       ê     -2 ú
       ê10                 ë -1 2 û                             ë2       û
       ë       10 ú
                  û                          ê4
                                             ë       2ú û
    i)   Pas de matrice inverse puisque la matrice de départ est singulière.
         é -20 -40 ù    é - 80 40 ù    é-8 4 ù                  é6   2 ù
7   a) ê           ú b) ê         ú c) ê 6 - 2ú              d) ê       ú
         ë -60 -80 û    ë 60 - 20û     ë      û                 ë 4 -12 û
    e) 40               f) 40




                                                       P.71 - Mathématiques B30 - Matrices
Exercice 6
         é2 3ù é x ù 3
1   a) ê             =
         ë 3 2ú ê y ú 7
              ûë û

    b) x = 3; y = -1 ou   {( 3, -1)}
2   a) x = 2; y = -2     b) x = 2; y = 3    c) x = 1; y = -1    d) a = - ½ ; b = -2

    e) x = 5 ; y = 4     f) x = -2 ; y =1   g) x = -3 ; y = ½


Exercice 7

1   a) R1 « R2
    b) R3 ¸ 3
    c) 5R2
    d) -9R1 + R3
    e) -2 R2 + R1
    f)   -2 R1 + R3


2   a)   Multiplier la rangée 3 par 3
    b)   Changer les rangées 1 et 3 de position
    c)   Multiplier la rangée 1 par 4 et ajouter le résultat à la rangée 2
    d)   Multiplier la rangée 1 par -2 et ajouter le résultat à la rangée 3
    e)   Diviser la rangée 2 par -2

       é 1 -2          3 -2 ù
3   a)
       ê8 6            -4 2 ú
       ê                      ú
       ê -3 5
       ë               1 -4 ú û
       é 1 -2            3      -2 ù
       ê
    b) 4    3            -2     1 ú
       ê                           ú
       ê 1 -5 / 3
       ë                -1/ 3 4 / 3ú
                                   û



P.72 - Mathématiques B30 - Matrices
       é1       -2   3 -2 ù
    c)
       ê0        11 -14 9 ú
       ê                   ú
       ê -3
       ë          5  1 -4 úû
       é1      -2 3 - 2 ù
       ê
    d) 4        3 -2 1 ú
       ê                 ú
       ê0
       ë       -1 10 -10 ú
                         û
       é1       -2      3 -2 ù
       ê
    e) -3        5     1 -4 ú
       ê                     ú
       ê4
       ë         3     -2 1 úû


         é 2 -3 7 ù
4   a) ê          ú
         ë 9 5 19 û
       é1 -2 -1 8 ù
       ê
    b) 3 4   7 10 ú
       ê           ú
       ê1 5 -9 -10 ú
       ë           û
       é1       -2 3 15 ù
       ê
    c) -1       7 -4 10 ú
       ê                ú
       ê6
       ë        3 -1 8 úû
       é2      0 -1 5 ù
       ê
    d) 3       5 0 1ú
       ê              ú
       ê0
       ë       4 -3 0 ú
                      û

       3 x - 3 y + 4 z = 10
                                      7x - 6 y = 5
5   a) 2 x + 5 y - 7 z = 9       b)
                                      4x - 3y = 2
       x + z =1


6   a)   {( 3, -2 )}

                                               P.73 - Mathématiques B30 - Matrices
    b)   {( -10, 20 )}
    c)   {(16, -5, 2 )}
    d)   {( -33, 21, -4 )}
    e)   {(15, 5, 0 )}
    f)   {( 8, -8, 4 )}

7   250 élèves en dixième, 200 élèves en onzième et 225 élèves en douzième

8   Première erreur: lors de l’opération R2 + R3 , une erreur a été commise dans la

                                    é 1 - 1 -1          4 ù
                                    ê
    rangée 3, colonne 4. La matrice 0 1       9 / 2 -10 ú devrait être
                                    ê                       ú
                                    ê 0 0 -1/ 2 -1 ú
                                    ë                       û
     é 1 - 1 -1        4 ù
     ê                    ú . La seconde erreur: lors de l’opération - R , une erreur
     ê 0 1 9 / 2 -10 ú                                                  3

     ê 0 0 -1/ 2 1 ú
     ë                    û
    de signe a été commise dans la rangée 3, colonne 4. La réponse devrait être 2 au
    lieu de -2.




P.74 - Mathématiques B30 - Matrices

				
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