CTF_3MS_Intégrales

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					                Ld       20/10/2012         3M05

                                                    Corrigé : Intégrales

 Exercice 1
 Chercher toutes les primitives des fonctions données par :
   a) f (x) = 6x3 + 2x2 − 5x + 1                                         b) f (x) = cos( 3x )
                                                                                          5

                3x − 1                                                                  sin(x)
   c) f (x) = √                                                          d) f (x) =
               3x2 − 2x                                                                cos3 (x)


Solution
                        3 4 2 3 5 2                                                   5
  a) F(x) =               x + x − x +x+c                                b) F(x) =       sin( 3x ) + c
                                                                                              5
                        2    3   2                                                    3
                        √                                                                 1
  c) F(x) =                 3x2 − 2x + c                                d) F(x) =                +c
                                                                                      2 cos2 (x)


 Exercice 2
 Déterminer la fonction f si l’on sait que :
   a) f (x) = 15x2 − 4 f (2) = 26
                 √
   b) f (x) = 56 3 x + 1, f (7) = 0,
               9                                              f (−1) = −192

Solution

  a) f (x) = 5x3 −4x+c f (2) = 5.23 −4.2+c = 32+c = 26 ⇒ c = −6 ⇒ f (x) = 5x3 − 4x − 6
                         56 3                        14
  b) f (x) =             9 .4
                                3
                                    (x + 1)4 + c =    3
                                                          3
                                                              (x + 1)4 + c
                        14 3
       f (x) =           3 .7
                                3
                                    (x + 1)7 + cx + d = 2 3 (x + 1)7 + cx + d
       f (7) = 2 3 (7 + 1)7 + c7 + d = 2.27 + 7c + d = 0 ⇒ 7c + d = −256
       f (−1) = 2 3 (−1 + 1)7 + c(−1) + d = −c + d = −192 ⇒ c = d + 192
       En remplaçant dans la 1ère équ. : 7(d + 192) + d = −256 ⇒ 8d = −256 − 7.192 = −1600
       ⇒ d = −200 ⇒ c = −8 ⇒ f (x) = 2 3 (x + 1)7 − 8x − 200



 Exercice 3
 Calculer les intégrales suivantes :
                √
                    3                                                             2
                                                                                       1  1
   a)           √       3x2 dx                                           b)           √ − 2       dx
            − 3                                                               1         x x


Solution
            √
                3
                                  3
                                        √      √    3    √ 3     √      √
  a)     √          3x2 dx = x3 |−√3 =             3 − (− 3 ) = 2 33 = 6 3
        − 3


                                                               |
            2                                   √                  2
                     1  1                           1
  b)                √ − 2             dx =     2 x+
        1             x x                           x
                                                          1
         √  1   √   1                                √  1     √   5
       =2 2+ − 2 1+                                =2 2+ −3 =2 2−
            2       1                                   2         2

				
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Description: Test formatif sur les int�grales