Docstoc

log1

Document Sample
log1 Powered By Docstoc
					                                          Logika
Aristoteles: „ ... Ak sa pripustí jeden nezmysel, ostatné vyplýva z neho.“

Osnova:
1. Logika ako veda. Predmet skúmania logiky. Vývoj logiky.
2. Zdôvodnenie (argumentácia), téza, argument, úsudok, logické vyplývanie.
3. Výroková logika – jej princípy. Konjunkcia. Negácia. Disjunkcia. Implikácia.
   Pravdivostná tabuľka.
4. Logické zákony (identity, sporu, o vylúčení tretieho). Kontrola správnosti úsudku.
5. Vlastnosti (predikáty), kvantifikátory. Sylogizmy. Logický štvorec.
6. Pojem. Definícia. Dôvody pre definovanie. Typy definícií. Chyby v definovaní.
7. Dedukcia. Indukcia. Analógia.

Literatúra
1. Gahér, I.: Logika pre každého. Bratislava, IRIS, 1988,
2. Peregrin, J.: Logika a logiky. Praha, Academia, 2004,
3. Sousedík, P.: Logika pro studenty humanitních oborů. Praha, Vyšehrad, 2001.

Je znalosť logiky zbytočná?
1. Intuitívna znalosť zlyháva v zložitejších prípadoch.
   Príklady      a) Paradoxy (para doxan = proti očakávaniu) v teórii množín (prelom
                    19. a 20. storočia)
                 b) Rada podobných paradoxov bola formulovaná už v Starom Grécku:
                    - Čo si nestratil, máš. Nestratil si rohy, teda máš rohy.
                    - Kréťan Epimenides povedal: „Všetci Kréťania sú klamári.“ Čo vlastne
                      povedal – pravdu alebo nepravdu?
   Sofistika – vedomé používanie chybnej argumentácie a nepresných výrazových
   prostriedkov. Niektoré sofizmy:
   -   Myš je slabika. Myš zožrala syr. Teda slabika zožrala syr.
   -   Dobro je to, čo musí byť. Aj zlo musí byť. Teda dobro je zlo.
   Sofizmy a paradoxy upriamili pozornosť na javy myslenia a vyjadrovania. Prvé
   uvedomenie si týchto javov na vedeckej úrovni vykonal Aristoteles zo Stageiry
   (384 - 322 pred n.l.). Zakladateľ logiky chápe novú disciplínu ako metódu správneho
   vedenia rozumu. Kto túto metódu neovláda je apaideutos = nevzdelaný, nekritický.
2. Automatizácia procesu deduktívneho myslenia (dokazovania, odvodzovania) vyžaduje
   jeho formalizáciu.
   O čom je logika? Čím sa táto vedecká disciplína zaoberá? Kde všade nám môže
   logika pomôcť?
   Logika nám môže pomôcť všade, kde do hry vstupuje jazyková komunikácia. Logika je
   (predovšetkým) veda o správnom usudzovaní, o umení správnej argumentácie.
Čo je to úsudok? A čo je to správny logický úsudok?
Tvrdenie vyplýva z iných tvrdení, je ich dôsledkom. Tejto schéme hovoríme úsudok.
Úsudok môžeme charakterizovať schémou: Na základe pravdivosti výrokov (súdov,
tvrdení) V1 , ,Vn súdim, že je rovnako pravdivý výrok V .

Zapisujeme V1 ,,Vn / V alebo:
   V1
   V2
               predpoklady (premisy) !
   Vn 1
   Vn
   V            záver !
Ak záver vyplýva z premís, potom hovoríme, že úsudok (argument) je správny. Takže
vyplývanie je taký vzťah medzi premisami a záverom, že nie je možné, aby všetky
premisy boli pravdivé a záver nepravdivý.
Pamätajte si to, že z našich tvrdení plynú určité dôsledky. Logika je vedou o onom
vyplývaní.

Príklady správnych úsudkov:
 1) Všetky kovy sa teplom roztavujú.
    Meď je kov.
       Meď sa teplom roztavuje.
 2) B. Bolzano zaviedol ako prvý pojem množiny do matematiky.
    B. Bolzano sa narodil v Prahe.
       Ako prvý zaviedol pojem množiny do matematiky rodák z Prahy.
 3) Ak tento kurz je dobrý, tak je užitočný.
    Prednášajúci je zhovievavý alebo tento kurz je neužitočný.
    Prednášajúci nie je zhovievavý.
       Tento kurz je zlý.
 4) Všetky muchotrávky zelené sú prudko jedovaté.
    Táto taška je muchotrávka zelená.
       Táto taška je prudko jedovatá.
V praxi vznikajú zložitejšie úsudky: „Čo vyplýva z daných predpokladov?“
                                     1. Výroková logika

    1.1 Princípy výrokovej logiky
Výroková logika študuje také formy usudzovania, pre ktoré platnosť záverov nezávisí od
obsahu a ani od vnútornej štruktúry výrokov, ale výlučne len na pravdivosti či nepravdivosti
týchto výrokov.
     Atóm je fyzikálna štruktúra.                      Atóm je sociálna štruktúra.
     Vo vesmíre existuje život aj mimo Zeme.           Láska je rádioaktívna.
     Rast nášho hospodárstva má neustálu tendenciu.

-   Výrok sa definuje ako jednoduchá oznamovacia veta, pre ktorú má zmysel pýtať sa, či je
    alebo nie je pravdivá.
-   Pravdivosť alebo nepravdivosť nejakého výroku budeme označovať pravdivostnou
    hodnotou daného výroku.
-   Výroky majú pravdivostnú hodnotu 0 (nepravdivý) alebo 1 (pravdivý): princíp
    dvojhodnotovosti – tertium non datur.
-   Prirodzený jazyk obsahuje spojky (napr. a, alebo, ak..., potom..., je ekvivalentné, nie je
    pravda, že...), pomocou ktorých z jednoduchých výrokov vytvárame zložitejšie výroky.
    Pričom ich pravdivosť alebo nepravdivosť je určená len pravdivostnými hodnotami ich
    zložiek.

Princíp skladobnosti
Napr.: „Praha je hlavné mesto ČR a Bratislava je hlavné mesto SR.“
-   výroková logika sa zaoberá takými formami usudzovania, ktoré závisia len na pravdivosti
    alebo nepravdivosti použitých výrokov a nie na tom, či majú alebo nemajú zmysel.
-   Jednotlivé elementárne výroky (nazývané výrokové premenné, ktoré budeme označovať
     p, q, r,) spájame logickými spojkami do zložitejších výrokov, ktoré môžu byť ďalej
    spájané do ďalších výrokov, atď.
Znovuobjavenie súdovej logiky sa podarilo koncom 19. storočia nemeckému logikovi
Gottlobovi Fregemu (Axiomatický systém výrokovej logiky).

Konjunkcia
Bratislava je mesto SR a 2 2  4 .
Spájané súdy vstupujú do spojenia iba svojou pravdivostnou hodnotou. Preto necháme výroky
zastupovať výrokovými premennými.
Budeme skúmať schému (výroková forma)
                  pq                 (1)
Spojku a zachytávame pomocou symbolu  (&, ·). Nazývame ju konjunktor. Konštrukciu
(1) nazývame konjunkcia. Definícia konjunktora – výrokovej spojky a:
             p q         pq
             1   1        1            obe zložky sú pravdivé !
             1   0        0
                                      (Čítame: „ p i q “, „aj p aj q “, „ p a zároveň q “)
             0   1        0
             0   0        0
Výrok „Mars je planéta a Trnava je sídlom prezidenta SR“ je nepravdivý.

Negácia
Ide o spojku nie je pravda, že... Označujeme znakom  (~, ´) a nazývame negátor. Úloha:
ak pôvodný výrok p je pravdivý, tak zložený výrok p bude nepravdivý.
Spojka negátor je jednoargumentová (singulárna) a jej tabuľková definícia:
        p p
       1    0        Označujeme p a čítame „nie je pravda, že p “ alebo
       0    1        „non p “.


Disjunkcia
Spojka alebo (dvojznačné slovo).
Disjunkciou výrokov p , q rozumieme výrok tvaru „ p alebo q “, ktorý je pravdivý len
vtedy, keď je pravdivý aspoň jeden z výrokov p , q .
Označujeme p  q . Túto spojku „  “ budeme nazývať disjunktor.
Tabuľková definícia disjunktora:       p q         pq
                                       1       1    1          (nevylučujúci disjunktor)
                                       1       0    1
                                       0       1    1
                                       0       0    0

- Osobné autá majú predný alebo zadný náhon.

Ostrá disjunkcia (alternatíva)
Ostrou disjunkciou výrokov p , q rozumieme výrok tvaru „buď p , alebo q “, ktorý je
pravdivý len vtedy, keď je pravdivý práve jeden z výrokov p , q .
Označujeme p  q ( p  q ). Spojka  (   ) sa nazýva vylučujúci disjunktor.
Tabuľková definícia:
                              p q      pq
                              1   1        0
                              1   0        1
                              0   1        1
                              0   0        0
-   Tento muž je ženatý alebo slobodný. ... alternatíva
-   Na dovolenku pôjdeme do Grécka alebo do Poľska. (zamlčaný predpoklad)
Takéto spojenie výrokov používame napríklad vtedy, ak klasifikujeme predmety do
oddelených (navzájom sa neprenikajúcich) tried, skupín, oblastí.

Implikácia
Výrokovú formu, vytvorenú pomocou dvojice ak..., tak..., nazývame v logike implikácia.
Prvú zložku nazývame antecedent a druhú konzekvent. !
Spojku nazývame implikátor alebo materiálna implikácia. Názov materiálna neznačí, že
medzi antecedentom a konzekventom je hlbšia „materiálna“ alebo fyzická, či obsahová
súvislosť (stredovek – „suppositio materialis“).
Označujeme symbolom  (  ,  ).
Tabuľková definícia :          p q             pq
                               1       1            1
                               1       0            0                 Materiálna implikácia priamo
                               0       1            1                 nikdy nevyjadruje príčinnú väzbu!
                               0       0            1

Poučenie: na pravdivosť materiálnej implikácie nemá vplyv to, či náhodou v antecedente je
vyjadrená príčina, resp. časový predchodca toho, čo je vyjadrené v konzekvente. Majú vplyv
iba pravdivostné hodnoty jej zložiek.
Preto výroky „Ak 5 je menej ako 3, tak Martin je hlavné mesto SR.“, „Ak číslo štyri je
prvočíslo, tak som pápež.“ majú zmysel a sú pravdivé.
Implikáciu p  q môžeme čítať „ak p , potom q “ alebo „ p implikuje q “.


Ekvivalencia
Spojka „...vtedy a len vtedy, keď...“ („ p práve vtedy, keď q “) vyjadruje obojstrannú
podmienku – obojstrannú implikáciu.
Túto spojku nazývame ekvivalentor, označujeme symbolom  (  ,  ). Výrokovú formu
nazývame ekvivalencia – p  q .
Tabuľková definícia:       p q                 pq
                           1       1            1               Výroková forma p  q je pravdivá len
                           1       0            0               vtedy, keď majú obidva výroky p , q
                           0       1            0               rovnakú pravdivostnú hodnotu.
                           0       0            1

                                           p q          p q   pq      pq    pq     pq
Tabuľková definícia
                                           1   1        0   0    1         1      1       1
      logických spojok:
                                           1   0        0   1     0        1      0       0
                                           0   1        1   0     0        1      1       0
                                           0   0        1   1     0        0      1       1
1.2 Zložené výroky
V Prahe prší        a      v Bratislave je pekne.

    el. výrok     spojka          el. výrok

Nie je pravda, že          v Bratislave prší.

         spojka                el. výrok

Jazyk výrokovej logiky musí obsahovať:
    Symboly zastupujúce jednotlivé elementárne výroky (tzv. výrokové symboly - premenné)
        pravda
        nepravda
    Symboly pre logické spojky
    Pomocné symboly
Jazyk výrokovej logiky má slovník a veľmi jednoduchú základnú gramatiku (určuje spôsob,
ako vytvárať gramaticky správne vety jazyka).
Uvedieme, ktoré výrazy vlastne tvoria slovník jazyka výrokovej logiky a definujeme formulu
jazyka výrokovej logiky. Prečo je výhodné pracovať s výrokovými premennými či
výrokovými formami:
     Skúmaním jednej výrokovej formy môžeme zistiť niečo zaujímavé o celej množine
     výrokov s rovnakou logickou štruktúrou.
Na zachytenie výrokových foriem (a pravidiel) výrokovej logiky používame zvláštny jazyk
výrokovej logiky, ktorý má ľahko zapamätateľný slovník a veľmi jednoduchú základnú
gramatiku.
Slovník jazyka výrokovej logiky:
     1) výrokové premenné – p , q , r  ;
     2) výrokové spojky –  ,  ,  ,  ,  ;
     3) zátvorky – ( ).                                  (abeceda)
Zreťazením znakov zo slovníka jazyka výrokovej logiky môžeme utvárať rozličné postupnosti
znakov. Nás budú zaujímať iba tie, ktoré budú gramaticky správne utvorené. Budeme ich
nazývať formuly jazyka výrokovej logiky.
Príklad 1:
    1) zákony výrokovej logiky
    2)    p  (q  r )                            Správne utvorené postupnosti znakov
          p  (( q  p)  ( p  q)) 
Príklad 2: Nesprávne utvorenými postupnosťami znakov zo slovníka jazyka výrokovej
 logiky sú:
     p ; p ;   pq  ;  p   q     .
Presná definícia formuly jazyka výrokovej logiky nám pomôže jednoznačne určiť
o ľubovoľnej postupnosti znakov zo slovníka jazyka výrokovej logiky, či je správne
utvorenou (je formulou jazyka výrokovej logiky) alebo nie.

Definícia formuly jazyka výrokovej logiky
 1) Každá výroková premenná je formula.
 2) Ak A a B sú formuly, potom aj A , B ,  A  B  ,  A  B  ,  A  B  ,  A  B  sú
    formuly.
 3) Žiadne iné výrazy nie sú výrokové formuly.
Táto sústava gramatických pravidiel tvorí základnú gramatiku jazyka výrokovej logiky.
V prirodzenom jazyku hovoríme prostredníctvom viet – vo výrokovej logike prostredníctvom
formúl.
Poznámka: Zátvorky sa používajú ako pomocné symboly, pomocou ktorých môžeme
odstrániť prípadnú nejednoznačnosť výrokových formúl (určujú poradie funktorov).

Príklad: Uvažujeme formulu p  q  r . Môžeme ju interpretovať dvoma rôznymi spôsobmi:
     p  q  r   alebo p  q  r 

Syntaxom výrokovej logiky nazývame abecedu a základnú gramatiku.

Príklad:            p – formula, q – formula
                   r – formula, s – formula        (1)
 (2)     p  q  – formula . . . . . . . . . A
        r  s  – formula . . . . . . . . . . B
            A            B

        ( p  q)  (r  s) – formula       ...... AB
        (( p  q)  (r  s))  p 
Vo výrokovej logike nie každé zreťazenie prípustných symbolov nám definuje formulu.


Pre každú formulu výrokovej logiky môžeme zostrojiť tzv. pravdivostnú tabuľku, v ktorej
sú postupne určované pravdivostné hodnoty jej „podformúl“. Tabuľkovou metódou môžeme
zistiť pravdivostné hodnoty každej formuly výrokovej logiky.
Jej pôvodcom je nemecký logik Ernst Schröder (1841 - 1902).
Metóda sa opiera o nám už známe tabuľkové definície výrokových spojok. Postupujeme od
elementárnych výrokov („podformúl“) k zložitejším, až k celkovému výroku alebo
k výslednej formule.
Pre n premenných je to 2 n (sú to variácie n -tej triedy z dvoch prvkov - pravdivostných
hodnôt - s opakovaním) kombinácií.
Príklad: Uvedieme pravdivostnú tabuľku formuly
       p .... 5
     1       2   1       2
     p  q      q
         
         3           4

         1       2                3       4          5
         p       q               1 2    1 2       34
         1       1                1       1          1
         1       0                0       0          1
         0       1                1       0          0
         0       0                1       0          0
Z tejto tabuľky vyplýva, že existujú také pravdivostné hodnoty premenných p a q ( p  0 ,
q  0 a p  0 , q  1 ), pre ktoré je pravdivostná hodnota danej výrokovej formuly nepravda
(0).
Def.: Vo výrokovej logike majú mimoriadne postavenie také formuly, ktorých pravdivostná
hodnota je pravda pre všetky možné kombinácie pravdivostných hodnôt premenných vo
všetkých riadkoch. Nazývame ich tautológie.
Tautológie majú postavenie „zákonov“ výrokovej logiky. Ich používanie pri odvodzovaní
nových formúl zabezpečuje, že tieto sú taktiež tautológie.
Def.: Opakom tautológie je kontradikcia, t.j. formula, ktorá je pre všetky možné
pravdivostné hodnoty jej výrokov nepravdivá.
Príklad: p   p
Def.: Formula, ktorá nie je ani tautológiou a ani kontradikciou, sa nazýva splniteľná
formula. Splniteľná formula je pravdivá pre niektoré pravdivostné hodnoty jej výrokov, ale aj
nepravdivá pre iné pravdivostné hodnoty jej výrokov.
Každá výroková formula je reprezentovaná pomocou grafického útvaru nazývaného
syntaktický strom.
Príklad: Syntaktický strom formuly  p  q    p  q  .

                                               1


                         1                              1

                             p       q          p         q   - koncové vrcholy
                         1           1          1         1
Koncové vrcholy stromu reprezentujú výrokové premenné p a q , vrcholy z nasledujúcich
vrstiev sú priradené spojkám implikácie a konjunkcie. Vyhodnocovanie tohto stromu prebieha
postupne zdola nahor.
Syntax formúl výrokovej logiky je jednoznačne určená spôsobom ich konštrukcie. Vieme
rozhodnúť, či daná formula má korektnú syntax.
Sémantika formúl je špecifikovaná tabuľkou pravdivostných hodnôt formuly pre rôzne
hodnoty jej výrokov.
Príklad: Formula  p  q    p  q  má korektnú syntax. Jej sémantika je plne určená
tabuľkou jej pravdivostných hodnôt pre všetky štyri kombinácie výrokov p a q .
Niektoré tautológie sa často používajú nielen v samotnej výrokovej logike, ale aj v bežnom
usudzovaní a sú obvykle označované aj vlastným menom. Väčšinou sa jedná o tautológie
tvaru ekvivalencie.


1.3 Najznámejšie zákony výrokovej logiky
                                 (1) Zákon dvojitej negácie
                                         p  p
Príklad: Paľo je šedivý vtedy a len vtedy, keď nie je pravda, že Paľo nie je šedivý.
Poučenie z tohto zákona je zrejmé: párny počet negátorov pred ľubovoľnou formulou
môžeme škrtnúť a zostávajúca formula je s pôvodnou logicky ekvivalentná.

                     (2) Zákon vylúčenia tretieho – tertium non datur
                                          p  p
Je úzko spätý s princípom dvojhodnotovosti. Zákon tvrdí, že z dvoch protikladných
výpovedí jedna musí byť pravdivá. Tretia možnosť je vylúčená. (Výrok a jeho negácia
vyčerpávajú všetky možnosti.) Teda jeden je nutne pravdivý.
Príklad: Buď je pravda, že Bratislava je mesto, alebo nie je pravda, že Bratislava je mesto.
– žiadnu inú pravdivostnú hodnotu výrok Bratislava je mesto nemôže mať.
S týmto zákonom úzko súvisí zákon dvojitej negácie.

                    (3) Zákon negovania sporu (zákon logického sporu)
hovorí, že protikladné výpovede nemôžu byť zároveň pravdivé. Považuje sa za základný
pilier klasickej logiky a opierala sa o neho už Aristotelova logika: Nie je pravda, že nejaký
výrok je pravdivý a zároveň nepravdivý
                                           p   p
Je to fundamentálna pravda celej logiky, najdôležitejšia vlastnosť každého logického systému.
Axiomatický systém, z ktorého možno dokázať súčasne dva protikladné výroky, sa volá
sporný a je z logického hľadiska nezaujímavý. Z neho sa dá totiž dokázať čokoľvek. Je to
teda rozprávanie o ničom.
Ani jeden z uvedených zákonov nie je samozrejmý v javoch bežného života, lebo tam iba
zriedka jestvujú presné hranice.
Príklad: (P. Vopěnka) o opičiakovi Charliem.
   Nech M je množina živočíchov, do ktorej patrí Charles Darwin ( Ch  1 ), jeho otec
   ( Ch  2 ), otec posledného ( Ch  3 ),... opičiak Charlie ( Ch  n ), ktorého priamym
   potomkom po meči bol Ch  1 .
   Množina M je konečná. M  Ch  1, , Ch  i, , Ch  n. V x   „živočích x je
   človek“. Dosadzujeme postupne za x prvky Ch  i množiny M .
   Budeme vedieť vždy jednoznačne rozhodnúť, či daný výrok je pravdivý? Sotva. Určite sa
   nájde prvok Ch  ch (Charlie – chúlostivý), pre ktorý výrok V Ch  ch  bude veľmi
   sporný.
   Aj renomovaní vedci v antropológii sa tu môžu rozdeliť na 3 tábory: jedni budú súhlasiť,
   druhí nesúhlasiť a tretí sa zdržia hlasovania.
   Ak sa teda ani zákon sporu, ani zákon vylúčeného tretieho neutvárajú v bezprostrednom
   odraze reality, odkiaľ sa do nášho vedomia dostávajú?
   Sú dôsledkom citového ohodnotenia odrazu reality v našom vedomí. Tvoria sa
   z polarizácie dobra a zla, ktorú nachádzame vo všetkých mytológiách a rozprávkach. (Kto
   je dobrý a kto zlý.) Etická implikácia, že dobro plodí dobro.

             (4) De Morganov zákon pre konjunkciu (negovania konjunkcie)
                                       p  q   p   q
August De Morgan, anglický logik (1806 - 1871).
Príklad: Nie je pravda, že Kaspické more je more a Austrália je kontinent vtedy a len vtedy,
keď Kaspické more nie je more alebo Austrália nie je kontinent.

          (5) De Morganov zákon pre disjunkciu (zákon negovania disjunkcie)
                                       p  q   p   q
Príklad: Nie je pravda, že mostom s najväčším rozpätím stredného oblúka je Golden Gate
alebo most cez Bospor vtedy a len vtedy, keď Golden Gate nie je mostom s najväčším
rozpätím stredného oblúka a most cez Bospor nie je mostom s najväčším rozpätím stredného
oblúka.

                                    (6) Zákon ekvivalencie
                                 p  q   ( p  q)  (q  p)
                                    (7) Zákon kontrapozície
                                     p  q    q   p
Pravdivosť nejakej implikácie logicky zabezpečuje pravdivosť obrátenej implikácie
negovaných členov.
Príklad: (1) Ak prší, na oblohe sú mraky.
                 p              q
                      p  q
Z pravdivosti výroku vyplýva pravdivosť obrátenej implikácie negovaných členov:
Ak na oblohe nie sú mraky, tak neprší.
           q                    p
                 p   q 
                   p     q
                (8) Zákon nahradenia implikácie pomocou disjunkcie a negácie
                                              p  q    p  q 
Príklad: Ak prší, tak sú ulice mokré vtedy a len vtedy, keď neprší alebo ulice sú mokré
                 p                 q                                  p                q
                                                      
                      p  q                                               p  q 
                                       (9) Zákon negovania implikácie
                                              p  q   p   q
Implikácia je nepravdivá vtedy a len vtedy, keď p je pravdivý a q je nepravdivý 1  0  ,
preto negovaná implikácia je rovnocenná konjunkcii p   q .
Príklad: Nie je pravda, že ak prší v Bratislave, tak v Prahe svieti slnko vtedy a len vtedy, keď
                                              p                       q
prší v Bratislave a v Prahe nesvieti slnko.

Algebraické zákony:
 p  q   q  p                          - komut. zákon pre 
 p  q   q  p                          - komut. zákon pre 
 p  q   q  p                          - komut. zákon pre 
 p  q   r    p  q  r            - asoc. zákon pre 
 p  q   r    p  q  r            - asoc.y zákon pre 
 p  q   r    p  q  r            - asoc. zákon pre 
 p  q   r    p  r   q  r     - distr. zákon pre ,
 p  q   r    p  r   q  r     - distr. zákon pre ,

Zákony pre implikáciu:
    1)    p   p  q – zákon Dunsa Scota [z logického sporu vyplýva čokoľvek, t.j.
         ľubovoľný výrok]
    2)    p  q    p   q    p          – Reductio ad absurdum (dovedenie do absurdného)
Princíp dôkazov sporom
Ak nejaký výrok implikuje iný výrok aj jeho negáciu, tak z toho vyplýva platnosť negácie
prvého výroku.

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:0
posted:10/18/2012
language:Slovak
pages:11