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					                                                            Plan
                                                             Définition
    Algèbre de BOOLE                                         Introduction
                                                             Fonctions logiques (ET, OU, NON)
                            Introduction
                                                             Règles de l’Algèbre de Boole
                                                             Théorème de De Morgan
                                                             Simplification des fonctions logiques



                                                                                                                           2




Définition                                                  Introduction
                                                            L ’algèbre de Boole permet de manipuler des valeurs logiques
 Définit en 1847 par Georges Boole (1815-                      Une valeur logique n’a que deux états possibles :
 1864), physicien Anglais                                                         Vraie(1) ou Fausse(0).
   Algèbre applicable au raisonnement logique qui
                                                               Plusieurs valeurs logiques peuvent être combinées pour
   traite des fonctions à variables binaires (deux             donner un résultat qui est lui aussi une valeur logique
   valeurs).
                                                            Exemple :
   Ne s'applique pas aux systèmes à plus de deux              arrêt marche
   états d'équilibre.                                         ouvert fermé
                                                              enclenché déclenché
   Permet d'étudier les circuits logiques (un système         avant arrière
   logique sert à modifier des signaux).                      vrai faux
                                                              conduction blocage

                                                        3                                                                  4
 Introduction                                                        Fonction logique
  La manipulation des valeurs logiques repose sur 3                   Résultat de la combinaison (logique combinatoire)
  fonctions (ou opérateurs) logiques de base:                         d'une ou plusieurs variables logiques reliées entre
     ET, OU, NON :                                                    elles par des opérations logique de base :
      A et B ; A ou B ; non A
                                                                        la valeur résultante (O ou 1 ) de cette fonction dépend de
                                                                        la valeur des variables logiques.
  La variable logique est une grandeur qui peut prendre
  2 valeurs qui sont repérées habituellement 0 ou 1.
       Se note par une lettre comme en algèbre.                         Une fonction logique possède une ou des variables
                                                                        logiques d'entrée et une variable logique de sortie.
                                                                        Cette fonction logique se note par une lettre comme en
  Toutes les fonctions logiques sont formées des 3                      algèbre.
  fonctions de base                                                        Exemple F = (A et B) ou C et (non D)

                                                                 5                                                                   6




Fonctions Logiques                                                   Table de vérité (exemples)
 Les fonctions logiques peuvent être représentées par des
                                                                         3 entrées et 1 sortie
 Tables de vérités
                                                                         4 colonnes et 8 lignes
 La table de vérité permet la connaissance de la sortie (d ’un
 circuit logique) en fonction des diverses combinaisons des
 valeurs des entrées                                                          A        B        C     Résultat

   Le nombre de colonnes est le nombre total d'entrées et de                  0        0        0       ABC
   sorties                                                                    0        0        1       ABC
   Le nombre de lignes est 2N sachant que "N" est le nombre                   0        1        0       ABC
   d’entrées,                                                                 0        1        1       ABC
 Exemple:                                                                     1        0        0       ABC
     Une fonction de 3 entrées et 1 sortie se représente                      1        0        1       ABC
   par une table de 4 colonnes et 8 lignes                                    1        1        0       ABC

                                                                              1        1        1       ABC
                                                                 7                                                                   8
Fonction logique ET (AND)                                                     Fonction logique OU (OR)

  Représentation:                                                              Représentation:
    F = A * B ou A • B ou AB                                                     F=A+B

            Table de vérité                                                          Table de vérité

            Entrée        Sortie                                                     Entrée        Sortie

        B            A        F                                                  B            A        F

        0            0        0                                                  0            0        0
                                       A                                                                    A
        0            1        0                                F                 0            1        1                            F

        1            0        0        B                                         1            0        1    B

        1            1        1            Symbole graphique           9
                                                                                 1            1        1        Symbole graphique       10




                                                                            Règles (ou propriétés) de l’algèbre de
 Fonction logique NON (NOT)                                                 Boole

  Représentation:
    F=A

   Table de vérité

  Entrée        Sortie

    A                F             A                               F
    0                1

    1                0                 Symbole graphique
                                                                       11                                                               12
Théorème de De Morgan                                                                 Simplification des fonctions logiques

A+B = A.B                                       A.B = A+B                              Pourquoi ?

Vérification :                                  Vérification :
                                                                                           Utiliser le moins de composants possibles
A   B      A+B      A.B                         A     B          A.B    A+B                Simplifier au maximum le schéma de câblage
0   0       1        1                          0     0           1      1
0   1       0        0                          0     1           1      1                        Il faut donc trouver la forme minimale
1   0       0        0                          1     0           1      1                          de l ’expression logique considérée
1   1       0        0                          1     1           0      0

                                                                                       Deux méthodes
            Equivalent                                            Equivalent
                                                                                           Algébrique (en utilisant des propriétés et des théorèmes)
                                                                                           Graphique (tableaux de Karnaught; ...)
                                                                               13                                                                  14




Exemple                                                                              Exercice 1


             S = A⋅B⋅C + A⋅B⋅ A⋅C    ( )                                            Simplifier les expressions suivantes :
           Transformation

             S = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ (A + C )
                 = A ⋅B⋅C + A ⋅ B⋅A + A ⋅B⋅C
                                                                                           AB + AB
                 = A ⋅B⋅C + A ⋅B + A ⋅B⋅C
           Variables communes                                                              ( A + B )(A + B )
                                     (
                  S = A⋅B + A⋅C⋅ B + B      )
                  S = A⋅B+ A⋅C
                          (
                  S = A⋅ B+C    )                                                          AB + A + B
                                                                               15                                                                  16
 Exercice 2                                        Exercice
Prouver les théorèmes d ’absorption :
                                                   1.   Montrer comment l’opérateur ET peut être obtenu à partir


   A.( A + B ) = A
                                                        des opérateurs OU et NON.
                                                        De même pour l’opérateur OU avec les opérateurs ET et
                                                        NON.
                                                   2.   On note respectivement les opérateurs OU, ET, XOR et
   A + A.B = A + B                                      NON par +, ·, ⊕ et . Montrer à l’aide de tables de vérité
                                                        que A⊕B = A·B+A·B et que A⊕B = (A+B)·(A+B)


     (        )
                                                   3.   Montrer que A+(A·B) = A+B et que A·(A+B) = A·B
   A. A + B = A.B                                  4.   Déterminer le complément de l’expression A+B·C
                                                   5.   Ecrire l’expression A⊕B uniquement avec les opérateurs

   A.B + A.C + B.C = A.B + A.C
                                                        OU, ET et NON

                                              17                                                                    18




  Table de Karnaugh                                     Table de Karnaugh

  Représentation de la table de vérité sous             Avec n = 2:
  forme graphique.                                        Entrées B et A
                                                          4 cases
                                                                                  A
  Nombre de cases = nombre de lignes de la                                   B
  table de vérité.                                                                         0          1
    Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...)
                                                                                    0
      n = Nombre d ’entrées
                                                                                               0.         1.

                                                                                    1
                                              19                                                                    20

                                                                                               2.         3.
    Table de Karnaugh                                                                             Table de Karnaugh

    Avec n = 3:                                                                                   Avec n = 4:
      Entrées C, B et A                                                                             Entrées D, C, B et A
      8 cases                                                                                       16 cases             BA
                                                                                                                    DC
                                                                                                                              00       01       11       10

                      BA                                                                                              00
              C                                                                                                                    0        1        3        2
                               00           01            11        10
                                                                                                                      01
                  0                                                                                                                4        5        7        6
                                    0            1             3            2
                                                                                                                      11
                                                                                                                               12       13       15       14
                  1
                                    4            5             7            6            21                           10                                          22

                                                                                                                                   8        9    11       10




    Exemple (Karnaugh)                                                                            Table de Karnaugh

    Entrées           Sortie
                                                                                                  À partir de la table, on simplifie en groupant
C     B       A         S
0     0       0         0                            BA                                           les 1 adjacents.
                                        C
0     0       1         0                                 00       01           11       10       Les 1 adjacents sont mis en évidence par
0     1       0         1                                                                         l'ordre utilisé pour former la table
0     1       1         1
                                             0            0        0            1        1
                                                               0        1            3        2
1     0       0         0
1     0       1         1
                                             1            0        1            0        1        La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1,
                                                               4        5            7        6
1     1       0         1                                                                         2, 4, 8, ...).
1     1       1         0                             TABLE DE KARNAUGH
TABLE DE VÉRITÉ                                                                                   Le groupe est soit rectangulaire ou carré.
                                                                                         23                                                                       24
Table de Karnaugh
                                                            Exemple (Karnaugh)
Former les plus gros groupes possibles.                      Les 1 des bords extrêmes sont adjacents.
  Termes plus simples.                                         La table se referme sur elle même.
                                                                                 BA
                                                                           DC
                                                                                          00       01       11       10

Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.
                                                                    /C./A           00    1        0        1        1
                                                                                               0        1        3        2


                                                                   /D.C./B.A        01    0        1        0        0
                                                                                               4        5        7        6

                                                                                    11    0        0        0        0        /C.B
                                                                                           12       13       15       14


                                                  25
                                                                                    10    1        0        1        1           26
                                                                                               8        9    11       10




Table de Karnaugh                                           Exercices
                                                       1.   Simplifier la fonction :
À partir de la table, on simplifie en groupant                                 f = c db + cab + cdab + c d ab + cab
les 1 adjacents.
Les 1 adjacents sont mis en évidence par                    Calculer       f
l'ordre utilisé pour former la table
                                                       2.   Soit    f = da + c.(d b + ab) + d (cb + ab) + c d a
La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1,
2, 4, 8, ...).
                                                            Calculer   f

Le groupe est soit rectangulaire ou carré.        27                                                                             28

				
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