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Chapitre 3 –Empilements Atomiques

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Chapitre 3 –Empilements Atomiques Powered By Docstoc
					EMPILEMENTS COMPACTS
    Notion de Densités linéaire, planaire et compacité
Densité linéaire (ou linéique) :
La densité linéaire est donnée par le rapport entre la longueur des atomes par la
longueur totale selon une direction considérée :
                               Latomes N atomes  L1atome
                  DL[ hkl]            
                               L[ hkl]      Ldirection
Densité planaire (ou surfacique)
La densité planaire est donnée par le rapport entre la surface atomique par
la surface totale selon le plan considérée
                                       Satomes N atomes  S1atome
                          DS( hkl)            
                                       S( hkl)       S plan
 Compacité
 La compacité est définie comme la proportion d'espace occupé par les
 atomes de la maille. Elle est donnée par :

                   Volume occupé par les atomes N atomes V1atome
                C                             
                     Volume total de la maille       VMaille
Coordonnées réduites
 La coordonnée cartésienne d’un atome en fraction de paramètre est dite
 coordonnée réduite. Comme le choix de l’origine est arbitraire, la coordonnée 1
 est identique à 0.
                       Atome        Coordonnée cartésienne    Coordonnée réduite
                         1                  (0, 0, 0)               (0, 0, 0)
                         2                  (1, 0, 0)               (0, 0, 0)
   Exemple :
                         3                  (1, 1, 0)               (0, 0, 0)
                         4                  (0, 1, 0)               (0, 0, 0)
                         5                  (0, 0, 1)               (0, 0, 0)
                         6                  (1, 0, 1)               (0, 0, 0)
                         7                  (1, 1,1)                (0, 0, 0)
                         8                  (0, 1, 1)               (0, 0, 0)
                         9                (1/2, 1/2, 0)           (1/2, 1/2, 0)
                         10               (1/2, 1/2, 1)           (1/2, 1/2, 0)
                         11               (0, 1/2, 1/2)           (0, 1/2, 1/2)
                         12               (1, 1/2, 1/2)           (0, 1/2, 1/2)
                         13               (1/2, 0, 1/2)           (1/2, 0, 1/2)
                         14               (1/2, 1, 1/2)           (1/2, 0, 1/2)
                         15              (1/2, 1/2, 1/2)         (1/2, 1/2, 1/2)
Donc pour décrire la maille ci-dessus, nous n’avons besoin que de cinq
coordonnées réduites :

         Sommets       Centre de la maille       Faces
         (0, 0, 0)     (1/2, 1/2, 1/2)           (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2)


Indice de coordination ou coordinence :

 C’est le nombre d’atomes (ou ions de signes opposés) les plus proches entourant
 l’atome (ou l’ion) considéré.

    Mode                             P           I                  C                F
    Nombre     de    motifs    par
                                     1           2                  2                4
    maille
                                                                                  (0, 0, 0),
                                                 (0, 0, 0)          (0, 0, 0)     (1/2, 1/2, 0),
    Coordonnées réduites             (0, 0, 0)
                                                 (1/2, 1/2, 1/2)    (1/2, 1/2, 0) (1/2, 0, 1/2),
                                                                                  (0, 1/2, 1/2)
    Nombre de motifs                 1           2                  2                4


  Conclusion : il y a autant de coordonnées réduites que de motifs par maille.
Projection cotée

C’est une façon commode de représenter les structures (simples) en
projection sur un plan particulier de la maille. On n’indique que la cordonnée
réduite de l’atome suivant la direction de projection, les deux autres sont lues
directement sur le plan de projection.

Exemple : dans une projection, suivant c sur le plan (a,b), un atome se
trouvant en (0.25 ; 0.50; 0.33) sera représenté par un cercle (par exemple)
dont le centre sera situé au quart de a et au milieu de b avec pour seule
indication : 0.33.
  Nombre de motifs par maille

  Les mailles élémentaires étant empilées, un noeud peut être partagé par
  plusieurs mailles. Cela s'illustre facilement lorsque l'on considère un cristal
  monoatomique dans l'hypothèse des sphères dures.




On compte les atomes dans une maille de la façon suivante : Un élément situé sur

  un sommet : étant commun à 8 mailles, cet élément compte pour 1 / 8
  une arête : étant commun à 4 mailles, cet élément compte pour 1 / 4
  une face : étant commun à 2 mailles, cet élément compte pour 1 / 2
  à l’ intérieur : n’étant pas partagé, cet élément compte pour 1
            EMPILEMENTS COMPACTS
Dans le but d'étudier les différents types d'empilements d'atomes
métalliques, ces derniers sont assimilés à des sphères rigides.

Ainsi, lorsqu’on juxtapose une série de sphères semblables pour en faire une
couche uniforme, on peut partir sur deux bases : Fig. 1a et Fig.1b.




Quelle est la structure la plus compacte?
  Réponse :                 a) DS  0.907
                            b) DS  0.785
  L’empilement a) est plus compact que celui de b).
  Comment empiler des plans de type a) ?
• Comment empiler des sphères ?


Dans le plan :      À 2-D, le réseau le plus dense
                    est un réseau hexagonal
        EMPILEMENTS COMPACTS
• Comment empiler des sphères ?

             –– plan A            –––– plan C
              – plan B               – plan B
             –– plan A              –– plan A




                          Vue
                           de
                         dessus
Projection verticale des empilements compacts
           Structure hexagonale compacte
 On trouve un plan identique au 1er plan A dès le 3ème plan.




                                L’empilement compact correspondant
plan A –                        à l’empilement de couches … ABABA …
plan B ––                       peut être décrit par une maille hexagonale
plan A –
                                 empilement hexagonal compact
                                h.c.p. (hexagonal close-packed)
           Maille décrivant la structure HCP




plan A –
plan B ––
plan A –
 Calcul préliminaire :
Soient 3 points A,B et C formant un triangle équilatéral, tel que la droite AB
coïncide avec l’axe ox.
•Calculez la position du point C.
•Calculez la position du centre du triangle.

Soit un 4eme point D formant un tétraèdre avec les point ABC, tel que les
point ABC sont dans le plan oxy.
•Quelle est la position de D dans l’espace.
•En déduire le centre du tétraèdre.
Calcul de la distance entre deux plans A et B




 Ensuite la vue de côté (selon la droite HEF) donne le schéma suivant :
                                                                         8
    Maille hexagonale                              Rapport c/a =         3


Positions des atomes et coordonnées réduites
La maille élémentaire hexagonale compacte contient des atomes aux huit
sommets et un atome à l’intérieur. Les coordonnées géométriques (XYZ) de ces
atomes sont: - (000) (a00) (0a0) (00c) (aa0) (a0c) (0ac) (aac) et le point au
milieu est décrit par (2a/3 a/3 c/2) ou (a/3 2a/3 c/2).


Les huit positions atomiques correspondant aux huit sommets de la maille
élémentaire sont équivalentes par translations périodiques du réseau. Seules les
coordonnées du sommet pris comme origine (000) sont utilisées pour
représenter ces huit positions. Les coordonnées réduites (xyz) des atomes dans
une structure hexagonale compacte sont donc: (000) (2/3 1/3 1/2) [ou (1/3 2/3
1/2)]
Multiplicité des deux mailles

             * Maille triple: M = 2x1/2 + 3x1 + 12x1/6 = 6
             * Maille élémentaire: M = 4x1/12 + 4x1/6 +1 = 2

 Compacité :




Exemples de métaux cristallisant dans ces structures

- Be, Hg, Ca, Zn, Cd, La… cristallisent avec une structure hexagonal compact.
            Parcticularité de la maille HCP

  La maille hexagonal présente quelques particularités. La première est les
  différents choix possibles dans le plan de base (a,b). Avec la base (a,b) la
  famille de plans a pour indices (110), par contre avec la base (i,a) cette
  même famille aurait pour indices (-210) ou (1-20) avec la base (b,i).

              i                        Ces trois bases sont totalement
                                       équivalentes. C’est pour cette
                                       raison que dans le système
 (110)
                         b             hexagonal on utilise 4 indices pour
                                       indexer les plans. h sur a, k sur b,
                                       i = -(h+k) sur i et l sur c.Avec cette
             a                 convention dans la base (a,b) le plan (110)
                               se notera (11-20). On écrit parfois (11.0) en
                               mettant un point à la place du quatrième
                               indice. La permutation circulaire des trois
premiers indices permet de trouver les plans équivalents à un plan donné.
Par exemple au plan (11-20) correspondront les plans (-2110) et (1-210).
 Structure cubique à faces centrées (CFC)

La 3ème couche C est telle que les sphères qui la constituent se placent dans
les creux de la couche B et se projettent verticalement sur les creux de la
couche A. Les couches se succèdent selon la séquence ABCABC…




Coordinence
Dans ce type d’empilement chaque sphère est en contact avec 12 sphères
voisines, 6 dans le même plan, 3 dans le plan inférieur et 3 dans le plan
supérieur. Cette coordinence est la plus élevée possible pour des sphères de
même rayon, elle est caractéristique des empilements compacts.
Maille cubique à faces centrées
La maille qui permet de décrire la structure résultant de ce type d’empilement est
un cube à faces centrées défini par son arête a. Les couches A, B, C,…se
succèdent perpendiculairement à la grande diagonale du cube, celle-ci
représente la direction d’empilement.
plan A ––––
plan C ––––
                          maille rhomboédrique
plan B ––                 = 60°
plan A –                   maille primitive
                            d’un réseau c.f.c.



L’empilement compact correspondant à l’empilement de couches
… ABCABCA … peut être décrit par la maille cubique F
  Positions des atomes et coordonnées réduites

Une maille cubique à faces centrées contient des atomes aux huit sommets du
cube et aux centres des six faces.
Les coordonnées géométriques (XYZ) correspondant à ces positions sont:

                - (000) (a00) (0a0) (00a) (aa0) (a0a) (0aa) (aaa)
                - (a/2 a/2 0) (a/2 0 a/2) (0 a/2 a/2)
                - (a/2 a/2 a) (a/2 a a/2) (a a/2 a/2)

Les huit sommets du cube           (000)
Les centres de deux faces parallèles du cube sont également équivalents par les
translations du réseau.
Par conséquent les coordonnées qui permettent d’identifier leurs positions se
réduisent à              (1/2 1/2 0) (1/2 0 1/2) (0 1/2 1/2).


  Les coordonnées réduites (xyz) nécessaires 
                     (000) (1/2 1/2 0) (1/2 0 1/2) (0 1/2 1/2)
Multiplicité de la maille:
                  M = 8x1/8 + 6x1/2 = 1 + 3 = 4
 Compacité :




 Exemples de métaux cristallisant dans ces structures
- Al, Cu, Ag, Au, Pb, Pt, Feγ… présentent une structure cubique à faces centres.
- Co, Ni…présentent deux variétés allotropiques l’une hexagonal compact et
l’autre cubique à faces centres.

Exercice :
Dans le cas de la structure CFC,
Calculez les densités linéaires selon [100], [110] et [111]
Calculez les densités planaires selon (100), (110) et (111)
             Empilement semi compact:
         la structure cubique centrée (CC)
Dans cette structure, les sphères d’un même plan sont disposées de sorte que
leurs centres constituent les sommets d’un carré de côté a. Un second plan est
obtenu en plaçant une sphère dans chaque espace libre laissé entre les sphères
de la première couche. Le troisième plan est identique au premier, ce qui donne la
succession semi compacte des plans AB, AB,…
Maille cubique centrée

La maille représentant cette empilement est cubique centrée. Les sphères sont
tangentes le long d’une diagonale du cube. On peut voir cette structure comme
un cube dont les 8 sommets et le centre sont occupés par des atomes




 Coordonnées réduites

Les coordonnées réduites (xyz) nécessaires à identifier l’ensemble des positions
atomiques d’un réseau CC sont: (000) (1/2 1/2 1/2)
Multiplicité de la maille:
                         M = 8x1/8 + 1 = 2

Coordinence

Dans cet empilement chaque particule est en contact avec 8 autres voisines.
La coordinence est donc égale à 8.

Compacité:




La compacité de cette structure est inférieure à celle des systèmes précédents.

Exemples de métaux cristallisant dans ce type structural :

                Li, Na, Rb, Cs, Ba, Feα, Mo, Zn, W…

 Exercice :
 Dans le cas de la structure CC,
 Calculez les densités linéaires selon [100], [110] et [111]
 Calculez les densités planaires selon (100), (110) et (111)
              Insertion dans les réseaux
   L’existence d’interstices vides  envisager l’insertion d’atomes plus petits

On obtient ainsi des composés d’insertion comme les alliages métalliques.
Un exemple très important est l’alliage fer-carbone (fontes et aciers): l’insertion
du carbone permet de modifier les propriétés mécaniques du fer.

Cette insertion est possible dans tous les types de réseaux, nous allons étudier
les conditions d’insertion dans les deux types de réseaux compacts: hexagonal
compact et cubique à faces centrées.
 Sites tétraédriques                Sites Octaédriques




Dans une structure compacte, il y   Dans une structure compacte, il y a
a deux fois plus d’interstices      autant d’interstices octaédriques
tétraédriques que d’atomes          qu’il y a d’atomes.
      Sites Octaédriques

                           HCP

cfc




                 r


            ri
      Sites tétraédriques


cfc                hcp
   Conditions d’insertion dans une structure CFC
On cherchera les coordonnées réduites des sites tétraédriques et octaédriques.




Une maille CFC comporte huit sites tétraédriques correspondant aux centres
des huit petits cubes d’arêtes a/2. Les coordonnées réduites de ces sites sont:

       (1/4 1/4 1/4)      (3/4 1/4 1/4)     (1/4 3/4 1/4)     (3/4 3/4 1/4)
       (1/4 1/4 3/4)      (3/4 1/4 3/4)     (1/4 3/4 3/4)     (3/4 3/4 3/4)
                            Conditions d’insertion
Site tétraédrique (T) :

Soit rT le rayon maximal de l’atome tétraédrique (T) que l’on peut insérer dans
un site tétraédrique d’une structure CFC c.à.d au centre de gravité du tétraèdre
délimité par les 4 atomes:




Soient h la hauteur du tétraèdre et h’ la hauteur du triangle équilatéral représentant
chacune une des 4 faces du tétraèdre
  On a:
h correspond donc à un tiers de la diagonale du cube d’arête a.

                                   rT    3
                                      (    1)  0.225
                                    r    2
Site octaédrique (O)
Soit rO le rayon maximal de l’atome octaédrique (O) que l’on peut insérer dans
un site octaédrique d’une structure CFC c.à.d au centre du carré, de côté a√2/2,
formé par 4 des 6 atomes formant l’octaèdre:



                                   rO  r  a / 2     avec     a 2  4r
                                            rO / r  ( 2  1)  0.414



 D’où les conditions géométriques d’insertion dans un empilement compact
 CFC sans déformation du réseau:
                                        rT
  En site tétraédrique:                     0.225
                                         r
                                        rO
   En site octaédrique:                     0.414
                                         r
        Conditions d’insertion dans une structure HCP

On cherchera les coordonnées réduites des sites tétraédriques et octaédriques
Dans la maille élémentaire HCP il y a quatre sites tétraédriques dont les
coordonnées réduites:
        (2/3 1/3 1/8)    (2/3 1/3 7/8)      (0 0 3/8)        (0 0 5/8)




              Sites octaédriques                 Sites tétraédriques
                          Conditions d’insertion
Site tétraédrique (T) :

Soit un atome T susceptible d’être inséré dans un site tétraédrique. Cet atome
occuperait le centre de gravité du site et serait tangent aux 4 atomes de rayon
r situés aux sommets du tétraèdre de la hauteur h= c/2. Le rayon maximal rT
de cet atome serait donc tel que:




Site octaédrique (O)
De même si un atome O peut s’insérer dans un site octaédrique sans déformer
la structure, il occuperait le centre de gravité du site c.à.d le centre du carré de
côté a délimité par 4 des 6 atomes formant l’octaèdre. Le rayon maximal rO de
l’atome à insérer doit être au maximum tel que:
 D’où les conditions d’insertion dans une structure HC sans déformation
 du réseau:
                                    rT
  En site tétraédrique:                 0.225
                                     r
                                    rO
  En site octaédrique:                  0.414
                                     r

Remarque:
les conditions d’insertion sont les mêmes pour les deux types d’empilement
compact : CFC et HC.
                         Défauts cristallins
Les défauts ponctuels : OD
Lacune : c'est un site régulier vacant du réseau. La figure ci-dessous (a) montre
une lacune dans une structure CFC.
Substitutionnel : c'est un atome étranger qui occupe un site régulier du réseau
en se substituant à un atome de la matrice
L'interstitiel : atome occupant un site non régulier du réseau : sites tétraédriques
ou octaédriques. Il peut être occupés atomes d'impureté ou de la matrice, dans ce
dernier cas on les appelle auto-interstitiel



  * 1 Lacune
  * 2 Atome autointerstitiel
  * 3 Atome étranger en substitution
  * 4 Atome étranger en insertion
Les défauts linéaires (les dislocations) :1D

Ces défauts correspondent à un ajout ou à une suppression d’un demi plan du
réseau cristallin suivant une ligne appelée ligne de dislocation. Leur capacité à
se déplacer fait de ces défauts le moyen privilégié pour transporter la
déformation plastique. Sur la figure on voit un exemple d'une dislocation coin.
      Cristal réel : 2-Les défauts
           www.techfak.uni-kiel.de/matwis/amat/def_en/makeindex.html              • Dimension 0
• Défauts topologiques                                                     • Lacunes, intersticiels

 • Induisent des déformations qui concernent
   l’environnement atomique local,
   comme le nombre de voisins




                                                                     Lacune          Intersticiel          (Impureté)
                                                      • Toujours présentes           • Plasticité   • Dopage des semi-cond.
                                                        (2.10-4 Cu à 300 K)                           • Couleur des joyaux
                                                • Diffusion, centres colorés                               • Plasticité



                        • Dimension 1
                • Dislocations (plasticité des métaux)
               • Désinclinaisons (2D, cristaux liquides)


                                                                          Dislocation         Désinclinaison


                • Dimension 2
           • Surfaces, fautes d’empilements
        • Joints de grains, sous-joints, macles


                                                                Surface        Faute d’empilement      Joint de grain
                                                               Glissement d’une dislocation
• Zone GP (Guinier-Preston)
   • Amas d’atomes dans une matrice
   • Durcissement des alliages d’Al (Concorde)
   • Plaquettes dans alliage Al-1.7at.%Cu




         D’après M. Karlík et B. Jouffrey, J. Phys. III France, 6 (1996) 825


• Cisaillement d’une zone GP par une dislocation coin
   • Microscopie électronique haute résolution
Les défauts plans : 2D
 Ils comprennent les défauts
 d'empilement, les interfaces et les joints
 de grains.



•Monocristal : Solide cristallin sans discontinuité–un cristal parfait.
•Polycristal: Solide cristallin composé d’un grand nombre de cristaux.


                                     Joints de grain
                            CARBONE




Diamant : Métastable à l’ambiante

                                                 Graphite : plus stable



                                    Fullerène : molécule sphérique C60
                                    Découverte en 1985
                                    Structure très prometteuse
                                    20 hexagones et 12 pentagones
           DESCRIPTION D’UN CRISTAL
• Exemple : le diamant
      système : cubique
      réseau de Bravais : F
      paramètres de la maille a = 0.3567 nm
      motif : 2 atomes C en 0, 0, 0 et 1/4, 1/4, 1/4




                  +
           DESCRIPTION D’UN CRISTAL
• Exemple : le graphite
      système : hexagonal
      réseau de Bravais : P
      paramètres de la maille a = 0.2456 nm, c = 0.6696 nm
      motif : 4 atomes C en 0, 0, 0           0, 0, 1/2
                          et 1/3, 2/3, 0      2/3, 1/3, 1/2




               +

				
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posted:10/14/2012
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