integrale

							‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬                                   ‫اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬

                                                                       ‫‪Ë‬ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﻄﻌﺔ:‬
             ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ]_ ‪ [ !a, b‬و ‪ F‬داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]_ ‪[ !a, b‬‬                  ‫ﻟﺘﻜﻦ‬
                                                               ‫ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻦ ‪ a‬إﻟﻰ ‪ b‬ھﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ:‬
                                   ‫‪b‬‬                           ‫‪b‬‬
                                 ‫) ‪òa f ( x )dx = éF ( x )ùa = F ( b ) - F ( a‬‬
                                                ‫‪ë‬‬       ‫‪û‬‬

                                                                                                   ‫‪Ë‬ﺧﺎﺻﯿﺎت:‬
                                                                                         ‫اﻟﺨﻄﺎﻧﯿﺔ:‬
                ‫‪a‬‬                ‫‪b‬‬                                                   ‫‪a‬‬
              ‫‪òb‬‬  ‫‪f ( x )dx = - ò f ( x )dx‬‬                                        ‫0 = ‪òa f ( x )dx‬‬
                                 ‫‪a‬‬
  ‫‪b‬‬                           ‫‪b‬‬             ‫‪b‬‬                                        ‫‪b‬‬                 ‫‪b‬‬
    ‫‪éf ( x ) + g ( x ) ùdx = ò f ( x )dx + ò g ( x )dx‬‬
 ‫‪òa ë‬‬                  ‫‪û‬‬                                               ‫)¡ ‪(k Î‬‬     ‫‪òa‬‬  ‫‪kf ( x )dx = k ò f ( x )dx‬‬
                              ‫‪a‬‬             ‫‪a‬‬                                                          ‫‪a‬‬
                                                                                    ‫ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل:‬
                                 ‫‪b‬‬              ‫‪c‬‬             ‫‪b‬‬
                                ‫‪òa‬‬ ‫‪f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx‬‬
                                                ‫‪a‬‬             ‫‪c‬‬
                                                                                        ‫‪Ë‬اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ و اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ:‬
        ‫] ‪"x Î [ a, b‬‬        ‫إذا ﻛﺎن: ) ‪f ( x ) £ g ( x‬‬                     ‫] ‪"x Î [ a, b‬‬      ‫إذا ﻛﺎن: 0 ³ ) ‪f ( x‬‬
                   ‫‪b‬‬                  ‫‪b‬‬                                                      ‫‪b‬‬
                ‫‪òa‬‬    ‫ﻓﺈن: ‪f ( x )dx £ ò g ( x )dx‬‬                                          ‫ﻓﺈن: 0 ³ ‪òa f ( x )dx‬‬
                                     ‫‪a‬‬
                                                                                        ‫‪Ë‬اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ:‬
                                                                          ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ]‪[a,b‬‬        ‫ﻟﺘﻜﻦ‬
                 ‫1‬   ‫‪b‬‬
                ‫‪b-a‬‬ ‫اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪ [a,b‬ھﻲ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ: ‪òa f ( x )dx‬‬
                                                                                        ‫‪Ë‬اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء:‬
              ‫‪ [ #a, b‬ﺑﺤﯿﺚ ﺗﻜﻮن '‪ f‬و'‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ‬            ‫]‬   ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﯿﻦ ﻗﺎﺑﻠﺘﯿﻦ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل‬
                                                                                            ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪[ #a, b‬‬
                ‫‪b‬‬                                                     ‫‪b‬‬
                  ‫‪éf ' ( x ) ´ g ( x ) ù dx = éf ( x ) ´ g ( x ) ù - ò éf ( x ) ´ g ' ( x ) ùdx‬‬
                                                                  ‫‪b‬‬
               ‫‪òa‬‬ ‫‪ë‬‬                    ‫‪û‬‬      ‫‪ë‬‬                  ‫‪ûa‬‬   ‫‪aë‬‬                    ‫‪û‬‬
                                                                                  ‫‪Ë‬ﺣﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺣﯿﺰ:‬
                                                            ‫‪rr‬‬
                                                      ‫(‬            ‫)‬
                                                          ‫ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮﺑﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ‪o,i, j‬‬
                                              ‫وﺣﺪة اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ : ‪ u . A‬ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ اﻟﻤﺤﺪد‬
                                                                                 ‫‪r r‬‬
                                                                                 ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ o‬و اﻟﻤﺘﺠﮫﺘﯿﻦ ‪ i‬و ‪j‬‬
                                                                                    ‫‪r‬‬       ‫‪r‬‬
                                                                        ‫‪1.u . A = i × j‬‬

                                                      ‫22‬
      ‫‪ g‬داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ]‪[a;b‬‬                    ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و‬                    ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ]‪[a;b‬‬     ‫ﻟﺘﻜﻦ‬
         ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﯿﻦ ‪ Cf‬و‬                          ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ Cf‬وﻣﺤـﻮر‬
            ‫‪ Cg‬وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻠﺬﻳﻦ‬                              ‫اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻠﺬﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎھﻤﺎ:‬
                                                                                                   ‫‪ x = a‬و ‪ y = b‬ھﻲ:‬
                          ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎھﻤﺎ: ‪ x = a‬و ‪ y = b‬ھﻲ:‬
                                                                                        ‫‪æ b‬‬             ‫‪ö‬‬
                 ‫‪æ b‬‬
                 ‫‪ç òa‬‬
                                           ‫‪ö‬‬
                      ‫‪f ( x ) - g ( x ) dx ÷ .u.A‬‬                                       ‫‪ç òa f ( x ) dx ÷ .u.A‬‬
                 ‫‪è‬‬                         ‫‪ø‬‬                                            ‫‪è‬‬               ‫‪ø‬‬

                                                                                                            ‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ:‬

       ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﺮﻣﺎدي ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ‬                                      ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬                            ‫اﻟﺮﺳﻢ‬


                   ‫‪æ b‬‬            ‫‪ö‬‬                                     ‫‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ‬
                   ‫‪ç òa f ( x )dx ÷ .u.A‬‬                            ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
                   ‫‪è‬‬              ‫‪ø‬‬


                 ‫‪æ b‬‬             ‫‪ö‬‬                                      ‫‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ‬
                 ‫‪ç òa -f ( x )dx ÷ .u.A‬‬                             ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
                 ‫‪è‬‬               ‫‪ø‬‬

                                                                              ‫· ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ‬
       ‫‪æ c‬‬               ‫‪b‬‬            ‫‪ö‬‬                               ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,c‬‬
       ‫‪ç òa f ( x )dx + òc -f ( x )dx ÷ .u.A‬‬                                   ‫· ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ‬
       ‫‪è‬‬                              ‫‪ø‬‬
                                                                      ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[c, b‬‬

           ‫‪æ b‬‬                          ‫‪ö‬‬                          ‫) ‪ ( Cf‬ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻮق ) ‪( Cg‬‬
           ‫‪ç òa ( f ( x ) - g ( x ) )dx ÷ .u.A‬‬
           ‫‪è‬‬                            ‫‪ø‬‬                             ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
                                                                    ‫) ‪ ( Cf‬ﻓﻮق ) ‪( Cg‬‬      ‫·‬
‫‪æ c‬‬                             ‫‪b‬‬                         ‫‪ö‬‬
‫‪ç òa ( f ( x ) - g ( x ) )dx + òc ( g ( x ) - f ( x ) )dx ÷ .u.A‬‬      ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,c‬‬
‫‪è‬‬                                                         ‫‪ø‬‬
                                                                    ‫· ) ‪ ( Cg‬ﻓﻮق ) ‪( Cf‬‬
                                                                     ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[c, b‬‬
                                                                                                     ‫‪Ë‬ﺣﺴﺎب ﺣﺠﻢ :‬
                                                                     ‫‪ ( Cf‬ﺣﻮل‬   ‫)‬    ‫ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺠﺴﻢ اﻟﻤﻮﻟﺪ ﺑﺪوران اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬
                                                                             ‫ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ ﻓﻲ ﻣﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
                                                                                        ‫‪é b‬‬              ‫‪² ù‬‬
                                                                                    ‫‪V = ê ò p ( f ( x ) ) dx ú u.v‬‬    ‫ھﻮ:‬
                                                                                        ‫‪ë a‬‬                  ‫‪û‬‬



                                                                    ‫32‬