Docstoc

derivabilit�

Document Sample
derivabilit� Powered By Docstoc
					‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬                                        ‫اﻻﺷﺘﻘﺎق‬
                                                                                     ‫‪Ë‬ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ﻋﺪد:‬

                              ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
           ‫ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ‬     ‫‪lim‬‬                             ‫ﻧﻘﻮل إن داﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻌﺪد 0 ‪ x‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ:‬
                    ‫0‪x ® x‬‬          ‫0‪x - x‬‬
                                  ‫ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ 0 ‪ x‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ: ) 0 ‪f ' ( x‬‬

                 ‫‪Ë‬ﻣﻌﺎدل اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ- اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺂﻟﻔﯿﺔ اﻟﻤﻤﺎﺳﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ:‬

                                                                                          ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0 ‪x‬‬
       ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ أﻓﺼﻮﻟﮫﺎ 0 ‪ x‬ھﻲ: ) 0 ‪y = f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + f ( x‬‬
                                        ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ u‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ: ) 0 ‪u ( x ) = f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + f ( x‬‬
    ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺂﻟﻔﯿﺔ اﻟﻤﻤﺎﺳﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ أﻓﺼﻮﻟﮫﺎ 0 ‪ x‬و ھﻲ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺑﺠﻮار 0 ‪x‬‬
                           ‫‪Ë‬ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ- ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ :‬

                           ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
          ‫‪ lim‬ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ‬                             ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ‬   ‫ﻧﻘﻮل إن داﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ 0 ‪x‬‬
                ‫0‪x ® x‬‬         ‫0‪x - x‬‬
                             ‫ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ 0 ‪ x‬و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ: ) 0 ‪f 'd ( x‬‬
                                  ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
                ‫ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ‬     ‫‪lim‬‬                          ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ:‬   ‫ﻧﻘﻮل إن داﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر 0 ‪x‬‬
                         ‫0‪x ® x‬‬       ‫0‪x - x‬‬
                             ‫ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر 0 ‪ x‬و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ: ) 0 ‪f 'g ( x‬‬

     ‫ﺗﻜﻮن داﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0 ‪ x‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ و ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ 0 ‪ x‬و‬
                                                                                                   ‫) 0 ‪f 'g ( x 0 ) = f 'd ( x‬‬

                                                                                              ‫‪Ë‬اﻻﺷﺘﻘﺎق و اﻻﺗﺼﺎل:‬

                ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ﻋﺪد 0 ‪ x‬ﻓﺈن ‪ f‬ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 ‪x‬‬
                                                                  ‫‪Ë‬ﺟﺪول ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻻﻋﺘﯿﺎدﻳﺔ:‬

                                                ‫)‪f (x‬‬                              ‫) ‪f '( x‬‬

             ‫)¡ ‪(k Î‬‬                             ‫‪k‬‬                                    ‫0‬
                                                 ‫‪x‬‬                                    ‫1‬
                                                 ‫1‬                                   ‫1-‬
                                                 ‫‪x‬‬                                   ‫²‪x‬‬
      ‫)}1{- * ¤ ‪( r Î‬‬                            ‫‪xr‬‬                                 ‫1- ‪rx r‬‬
                                                  ‫‪x‬‬                                   ‫1‬
                                                                                    ‫‪2 x‬‬


                                                             ‫01‬
                                                                                    ‫‪Ë‬اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ:‬
         ‫' ) ‪( k Î R ) ( ku ) ' = k ( u‬‬                        ‫' ‪( u - v ) ' = u '- v‬‬                    ‫' ‪( u + v ) ' = u '+ v‬‬
                                                                                             ‫' ‪( uv ) ' = u ' v + uv‬‬
                         ‫) (‬
                          ‫‪un‬‬
                                    ‫¢‬
                                        ‫1- ‪= nu ¢.u n‬‬

                         ‫' ‪æ u ö¢ u ' v - uv‬‬                                                     ‫' ‪æ 1 ö¢ - v‬‬
                         ‫= ÷ ‪ç‬‬                                                                   ‫= ÷ ‪ç‬‬
                         ‫‪èvø‬‬         ‫²‪v‬‬                                                          ‫‪èvø‬‬    ‫²‪v‬‬
                                                                    ‫‪Ë‬ﻣﺸﺘﻘﺔ ﻣﺮﻛﺐ داﻟﺘﯿﻦ- ﻣﺸﺘﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺠﺬر:‬
                          ‫‪( u )¢ = 2u 'u‬‬                                                  ‫' ‪( u 0 v ) ' = [ u ' 0 v] ´ v‬‬
                                                                                              ‫‪Ë‬اﻻﺷﺘﻘﺎق و ﺗﻐﯿﺮات داﻟﺔ:‬
                                                                                 ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
                                                                    ‫‪ f Û "x Î I‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬   ‫0 ³ ) ‪f '( x‬‬
                                                                  ‫‪ f Û "x Î I‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬                          ‫0 £ ) ‪f '( x‬‬
                                                                      ‫‪ f Û "x Î I‬ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬                        ‫0 = ) ‪f '( x‬‬
                                                                                        ‫‪Ë‬اﻻﺷﺘﻘﺎق و اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﮫﻨﺪﺳﻲ:‬
  ‫اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﮫﻨﺪﺳﻲ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cf‬ﻳﻘﺒﻞ:‬                                      ‫اﺳﺘﻨﺘﺎج‬                              ‫اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ‬
             ‫(‬
 ‫0 ‪ A x 0 ; f x‬ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ‬‫)) (‬
                       ‫ﻣﻤﺎﺳﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬
                                                                        ‫‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ‬               ‫‪lim‬‬
                                                                                                      ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
                                                                                                                             ‫=‬       ‫‪a‬‬
               ‫اﻟﻤﻮﺟﻪ ھﻮ ‪a‬‬                                             ‫ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق‬              ‫0‪x ® x‬‬          ‫0‪x - x‬‬                ‫)0 ¹ ‪(a‬‬
     ‫(‬               ‫)‬
   ‫ﻣﻤﺎﺳﺎ أﻓﻘﯿﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) 0 ‪A x 0 ; f ( x‬‬
                                                                        ‫ﻓﻲ 0 ‪x‬‬
                                                                                                  ‫‪lim‬‬
                                                                                                           ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
                                                                                                                                  ‫0=‬
                                                                                                ‫0‪x ® x‬‬          ‫0‪x - x‬‬
     ‫ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬                                                                     ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
‫0 ‪ A x 0 ; f x‬؛ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﺤﺎﻣﻠﻪ ھﻮ ‪a‬‬      ‫(‬         ‫)) (‬          ‫‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ‬
                                                                   ‫ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬
                                                                                             ‫‪lim‬‬
                                                                                           ‫+0‪x ® x‬‬           ‫0‪x - x‬‬
                                                                                                                              ‫=‬
                                                                                                                              ‫)0 ¹ ‪(a‬‬
                                                                                                                                     ‫‪a‬‬

                                                                     ‫ﻳﻤﯿﻦ 0 ‪x‬‬
     ‫ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس أﻓﻘﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ‬                                                                            ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
                 ‫(‬
             ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ) 0 ‪A x 0 ; f ( x‬‬   ‫)‬                                                        ‫‪lim‬‬
                                                                                               ‫+ 0‪x ® x‬‬          ‫0‪x - x‬‬
                                                                                                                                   ‫0=‬

   ‫ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ‬                                                                           ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
                            ‫(‬
  ‫0 ‪ A x 0 ; f x‬ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﺳﻔﻞ‬              ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ )) (‬               ‫‪ f‬ﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ‬
                                                                       ‫ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق‬
                                                                                                ‫‪lim‬‬
                                                                                              ‫+ 0‪x ® x‬‬          ‫0‪x - x‬‬
                                                                                                                                  ‫¥- =‬

    ‫ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ‬                                     ‫ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ 0 ‪x‬‬                         ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
                            ‫(‬
  ‫0 ‪ A x 0 ; f x‬ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﻋﻠﻰ‬              ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ )) (‬                                        ‫‪lim‬‬
                                                                                             ‫+0‪x ® x‬‬           ‫0‪x - x‬‬
                                                                                                                                  ‫¥+ =‬

     ‫ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬                                                                     ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
‫0 ‪ A x 0 ; f x‬؛ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﺤﺎﻣﻠﻪ ھﻮ ‪a‬‬      ‫(‬         ‫)) (‬            ‫‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ‬
                                                                      ‫ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق‬
                                                                                             ‫‪lim‬‬
                                                                                           ‫-0‪x ® x‬‬           ‫0‪x - x‬‬
                                                                                                                              ‫=‬
                                                                                                                              ‫)0 ¹ ‪(a‬‬
                                                                                                                                     ‫‪a‬‬

                                                                    ‫ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر 0 ‪x‬‬
         ‫ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس أﻓﻘﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر‬                                                                           ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
             ‫(‬                  ‫)‬
          ‫ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) 0 ‪A x 0 ; f ( x‬‬                                                            ‫‪lim‬‬
                                                                                               ‫-0‪x ® x‬‬           ‫0‪x - x‬‬
                                                                                                                                   ‫0=‬

    ‫ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ‬                                                                          ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
                           ‫(‬
  ‫0 ‪ A x 0 ; f x‬ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﻋﻠﻰ‬              ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ )) (‬               ‫‪ f‬ﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ‬
                                                                      ‫ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق‬
                                                                                                ‫‪lim‬‬
                                                                                              ‫- 0‪x ® x‬‬          ‫0‪x - x‬‬
                                                                                                                                  ‫¥- =‬

   ‫ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ‬                                     ‫ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر 0 ‪x‬‬                          ‫) 0‪f ( x ) - f ( x‬‬
  ‫0 ‪ A x 0 ; f x‬ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﺳﻔﻞ‬ ‫(‬            ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ )) (‬                                         ‫‪lim‬‬
                                                                                              ‫- 0‪x ® x‬‬          ‫0‪x - x‬‬
                                                                                                                                  ‫¥+ =‬


                                                                    ‫11‬

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:107
posted:10/14/2012
language:
pages:2