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					‫)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(‬                    ‫اﻻﺗﺼﺎل‬

                                                                    ‫‪Ë‬اﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ:‬
                                                                    ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                   ‫‪ f Û‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 ‪x‬‬      ‫) 0 ‪lim f ( x ) = f ( x‬‬
                                       ‫0‪x ® x‬‬

                            ‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ – اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر:‬
                  ‫) 0 ‪ f Û lim f ( x ) = f ( x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ 0 ‪x‬‬
                                        ‫0‪x ® x‬‬
                                          ‫>‬
                  ‫) 0 ‪ f Û lim f ( x ) = f ( x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر 0 ‪x‬‬
                                        ‫0‪x ® x‬‬
                                          ‫<‬
              ‫‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ و ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر 0 ‪ f Û x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 0 ‪x‬‬
                                                                   ‫‪Ë‬اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل:‬
      ‫‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح [‪ ]a, b‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل [‪]a, b‬‬    ‫ﺗﻜﻮن‬

           ‫‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻐﻠﻖ ]‪ [a,b‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻔﺘﻮح [‪]a, b‬‬   ‫ﺗﻜﻮن‬
                                              ‫و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ ‪ a‬و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر ‪b‬‬
                                                   ‫‪Ë‬اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ:‬
                                 ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ k‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
                                     ‫· اﻟﺪوال ‪ kf , f ´ g , f + g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬
                                         ‫1 ‪f‬‬
                  ‫ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬     ‫· إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ g‬ﻻ ﺗﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ و‬
                                         ‫‪g g‬‬
                                                                             ‫ﻧﺘﺎﺋﺞ:‬
                                                    ‫· ﻛﻞ داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ¡‬
                                      ‫ﻛﻞ داﻟﺔ ﺟﺬرﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ‬        ‫·‬
                                                 ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ + ¡‬         ‫·‬
                                  ‫اﻟﺪاﻟﺘﺎن ‪ x a sin x‬و ‪ x a cos x‬ﻣﺘﺼﻠﺘﺎن ﻋﻠﻰ ¡‬      ‫·‬
                  ‫‪ìp‬‬             ‫‪ü‬‬
              ‫· اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x a tan x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ ‪¡ - í + kp / k Î Z ý‬‬
                  ‫2‪î‬‬             ‫‪þ‬‬
                                                           ‫‪Ë‬اﺗﺼﺎل ﻣﺮﻛﺐ داﻟﺘﯿﻦ:‬
                    ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﺑﺤﯿﺚ: ‪f ( I ) Ì J‬‬
                                                         ‫ﻓﺈن: ‪ g 0f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬
                                                            ‫‪Ë‬ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ:‬
                         ‫ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ھﻲ ﻗﻄﻌﺔ‬        ‫·‬
                         ‫ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ھﻲ ﻣﺠﺎل‬        ‫·‬

                          ‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ:ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬
                              ‫اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻮﺿﺢ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺠﺎل ) ‪f ( I‬‬

                                         ‫8‬
                               ‫اﻟﻤﺠﺎل ) ‪f ( I‬‬
                                                                                   ‫اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬
    ‫‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬                     ‫‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬
          ‫‪éf ( b ) ;f ( a ) ù‬‬
          ‫‪ë‬‬                 ‫‪û‬‬                      ‫‪éf ( a ) ;f ( b ) ù‬‬
                                                   ‫‪ë‬‬                 ‫‪û‬‬               ‫] ‪[a,b‬‬
     ‫‪ù‬‬                        ‫‪ù‬‬               ‫‪é‬‬                        ‫‪é‬‬
     ‫‪ú lim- f ( x ) ;f ( a ) ú‬‬                ‫‪êf ( a ) ; lim - f ( x ) ê‬‬             ‫[‪[a,b‬‬
     ‫‪û x ®b‬‬                   ‫‪û‬‬               ‫‪ë‬‬          ‫‪x ®b‬‬          ‫‪ë‬‬
      ‫‪é‬‬                       ‫‪é‬‬               ‫‪ù‬‬                        ‫‪ù‬‬
      ‫‪êf ( b ) ; lim+ f ( x ) ê‬‬               ‫‪ú lim+ f ( x ) ;f ( b ) ú‬‬              ‫] ‪]a,b‬‬
      ‫‪ë‬‬         ‫‪x ®a‬‬          ‫‪ë‬‬               ‫‪û x ®a‬‬                   ‫‪û‬‬
‫‪ù‬‬                                  ‫‪é‬‬     ‫‪ù‬‬                               ‫‪é‬‬
‫‪ú‬‬   ‫‪lim f ( x ) ; lim f ( x ) ê‬‬          ‫‪ú‬‬   ‫‪lim f ( x ) ; lim f ( x ) ê‬‬             ‫[‪]a,b‬‬
‫-‪û x ® b‬‬            ‫+ ‪x ®a‬‬         ‫‪ë‬‬     ‫+ ‪û x ®a‬‬            ‫-‪x ® b‬‬      ‫‪ë‬‬
     ‫‪ù‬‬                        ‫‪ù‬‬               ‫‪é‬‬                        ‫‪é‬‬
     ‫‪ú x ®+¥ f ( x ) ;f ( a ) ú‬‬
         ‫‪lim‬‬                                  ‫‪êf ( a ) ; x ®+¥ f ( x ) ê‬‬
                                                           ‫‪lim‬‬                     ‫[¥+,‪[a‬‬
     ‫‪û‬‬                        ‫‪û‬‬               ‫‪ë‬‬                        ‫‪ë‬‬
‫‪ù‬‬                                   ‫‪é ù‬‬                                  ‫‪é‬‬
‫‪ú lim f ( x ) ; lim+ f ( x ) ê ú lim+ f ( x ) ; lim f ( x ) ê‬‬                      ‫[¥+ ,‪]a‬‬
‫¥+® ‪û x‬‬             ‫‪x ®a‬‬            ‫‪ë û x ®a‬‬                 ‫¥+® ‪x‬‬       ‫‪ë‬‬
     ‫‪é‬‬                        ‫‪é‬‬               ‫‪ù‬‬                        ‫‪ù‬‬
     ‫‪ê‬‬ ‫‪f ( a ) ; lim f ( x ) ê‬‬                    ‫‪lim f ( x ) ;f ( a ) ú‬‬
                                              ‫¥-® ‪ú x‬‬                               ‫]‪]-¥,a‬‬
     ‫‪ë‬‬          ‫¥-® ‪x‬‬         ‫‪ë‬‬               ‫‪û‬‬                        ‫‪û‬‬
‫‪ù‬‬                                   ‫‪é ù‬‬                                  ‫‪é‬‬
‫‪ú lim- f ( x ) ; lim f ( x ) ê ú lim f ( x ) ; lim- f ( x ) ê‬‬                       ‫[‪]-¥,a‬‬
‫‪û x ®a‬‬              ‫¥-® ‪x‬‬           ‫¥-® ‪ë û x‬‬                ‫‪x ®a‬‬        ‫‪ë‬‬
‫‪ù‬‬                                   ‫‪é ù‬‬                                  ‫‪é‬‬
‫‪ú x ®+¥ f ( x ) ; x ®-¥ f ( x ) ê ú x ®-¥ f ( x ) ; x ®+¥ f ( x ) ê‬‬
‫‪û‬‬
    ‫‪lim‬‬               ‫‪lim‬‬
                                    ‫‪ë û‬‬
                                            ‫‪lim‬‬                ‫‪lim‬‬
                                                                         ‫‪ë‬‬
                                                                                      ‫¡‬
                                                                    ‫‪Ë‬ﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻮﺳﯿﻄﯿﺔ:‬
  ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪ b‬ﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ ) ‪ f ( a‬و ) ‪f ( b‬‬
                                 ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﺪ ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪ a‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬ﺑﺤﯿﺚ: ‪f ( a ) = b‬‬
                                                                                              ‫ﻧﺘﯿﺠﺔ:‬
                                                ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬و 0 < ) ‪f ( a ) ´ f ( b‬‬
                              ‫ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺣﻼ ‪ a‬ﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
                           ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬و 0 < ) ‪f ( a ) ´ f ( b‬‬
                                    ‫ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﯿﺪا ‪ a‬ﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
                                                                           ‫‪Ë‬ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﺜﻨﺎﺋﻲ:‬
                       ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] ‪ [ a,b‬ﺑﺤﯿﺚ: 0 < ) ‪f ( a ) ´ f ( b‬‬
                                            ‫وﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬اﻟﺤﻞ اﻟﻮﺣﯿﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ) ‪ f ( x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[a,b‬‬
                ‫‪æa + bö‬‬                                             ‫‪æa + bö‬‬
       ‫‪f (b ) ´ f ç‬‬     ‫0 <÷‬
                             ‫إذا ﻛﺎن:‬                    ‫‪f (a ) ´ f ç‬‬      ‫0 <÷‬
                                                                                 ‫إذا ﻛﺎن:‬
                ‫‪è 2 ø‬‬                                               ‫‪è 2 ø‬‬
    ‫‪b-a‬‬                     ‫‪a+b‬‬                       ‫‪b-a‬‬                              ‫‪a+b‬‬
         ‫و ھﺬا اﻟﺘﺄﻃﯿﺮ ﺳﻌﺘﻪ‬      ‫ﻓﺈن: ‪< a < b‬‬               ‫< ‪ a < a‬و ھﺬا اﻟﺘﺄﻃﯿﺮ ﺳﻌﺘﻪ‬      ‫ﻓﺈن:‬
      ‫2‬                      ‫2‬                         ‫2‬                                  ‫2‬
‫ﻳﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪é a + b ù‬‬       ‫ﻳﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪é a + b ù‬‬
‫‪ê 2 ; bú‬‬
‫‪ë‬‬        ‫‪û‬‬                                        ‫‪ê a; 2 ú‬‬
                                                  ‫‪ë‬‬         ‫‪û‬‬
              ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄﻃﯿﺮ أدق ﻟﻠﻌﺪد ‪a‬‬                       ‫ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄﻃﯿﺮ أدق ﻟﻠﻌﺪد ‪a‬‬
  ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ: وھﻜﺬا دواﻟﯿﻚ ﻳﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ إﻟﻰ أن ﻳﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄﻃﯿﺮ ﻟﻠﻌﺪد ‪ a‬ﺳﻌﺘﻪ ﻣﺮﻏﻮب ﻓﯿﮫﺎ‬

                                                       ‫9‬

				
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posted:10/14/2012
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