6017_журнал by xiaopangnv

VIEWS: 31 PAGES: 26

									     Про пошуки нових ознак паралелограма.

      Намагаючись знайти нові ознаки паралелограма, ті, яких немає в підручнику,
     учні зображували різні паралелограми, за допомогою транспортира проводили у
     ньому бісектриси, аналізували малюнки і намагалися зробити висновки. Крім
     того, використовували паперові моделі паралелограма. У результаті проведеної
     роботи учнями сформульовано і доведено ряд нових ознак, яких немає у
     підручнику та інших джерелах.
Традиційні ознаки паралелограма.

Означення. Чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, є
     паралелограмом.

Далі у підручниках доведено такі ознаки паралелограма.

Т.1. Чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні і рівні, є
     паралелограмом.
                                              Дано: ABCD – чотирикутник;

                                              BC=AD; BC||AD




                                              Довести: ABCD – паралелограм.


                                         Доведення
      AC – діагональ чотирикутника ABCD.
1) AD||BC
      AC – січна     => (     =      )

2) BC=AD
      AC – спільна     => (                 => (
            =

3)

                                                                                    1
      AC – січна         => (AB||CD)

4) (AB||CD; BC||AD) => (ABCD – паралелограм .




Т.2. Чотирикутник, діагоналі якого точкою перетину діляться навпіл, є
     паралелограмом.


                                                 Дано: ABCD – чотирикутник;

                                                 AC BD=O; AO=OC; BO=OD



                                                 Довести: ABCD – паралелограм.
                                         Доведення
1)         =       – як вертикальні
     OC=OA; OD=OB                        => (         =       => (     =

2)         =
     AC – січна        => (AB||CD)

3)         =
     BO=OD; AO=OC => (               =       ) => (       =      )

4)         =
     AC – січна        => (BC||AD)

5) (BC||AD; AB||CD) => (ABCD – паралелограм .




                                      Т.3. Чотирикутник, протилежні сторони
                                         якого попарно рівні, є паралелограмом.


                                                  Дано: ABCD – чотирикутник;

                                                                                  2
                AB=CD; BC=AD



                Довести: ABCD – паралелограм.


                                      Доведення
     AC – діагональ чотирикутника ABCD.
1) AB=CD
     BC=AD            => (       =        => (         =     ,      =
     AC – спільна
2)          =
     AC – січна        => (AB||CD)

3)          =
     AC – січна        => (BC||AD)

4) (AB||CD, BC||AD) => (ABCD – паралелограм .




Ознаки, пов’язані із властивостями кутів і сторін паралелограма.

Т.4. Чотирикутник, протилежні кути якого попарно рівні, є паралелограмом.


                                             Дано: ABCD – чотирикутник;

                                                   =   ;    =



                                                 Довести: ABCD – паралелограм.

                                      Доведення
1)                     =

2)                =    (     = A, B= D)
                                                                                 3
      (       =        => (BC||AD)

3)                =
     (        =        => (AB||CD)

4) (BC||AD; AB||CD) => (ABCD – паралелограм).




Т.5. Чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні і два
     протилежних кута рівні, є паралелограмом.

                                                  Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                     A= C; AB||CD



                                                     Довести: ABCD – паралелограм.


                                            Доведення
1) AB||DC
      AD – січна      => ( A+ D=        )

2)        A= C
          A+ D=        => ( C      D=       )

3)        C+ D=
      DC – січна       => (BC||AD)

4) AB||CD
     BC||AD       => (ABCD – паралелограм .




Т.6. Чотирикутник, у якому сума кутів, прилеглих до кожної із суміжних
                           о
     сторін, дорівнює          , є паралелограмом.


                                                                                     4
                                            Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                          о             о
                                                А   В=        , В   =       ,



                                                Довести: ABCD – паралелограм.

                                    Доведення
 1)     A+ B=
       AB – січна     => (BC||AD)
 2)     B+ C=
       BC – січна    => (AB||CD)
 3) (AB||CD, BC||AD) => (ABCD – паралелограм .




Т.7. Якщо діагональ чотирикутника утворює рівні кути з протилежними
      сторонами, то чотирикутник – паралелограм.

                                         Дано: ABCD – чотирикутник;
                                         AC BD=O; BAC= DCA;
                                           DAC= BCA


                                         Довести: ABCD – паралелограм.


                                    Доведення
 1)     BAC= DCA
      AC – січна     => (AB||CD)
 2)     DAC= BCA
      AC – січна     => (BC||AD)

 3) (AB||CD; BC||AD) => (ABCD – паралелограм .
 Т.8. Якщо у чотирикутнику ABCD AB+BC=AD+DC і BC+CD=AB+AD, то цей
      чотирикутник є паралелограмом.
                                                                                5
                                            Дано: ABCD – чотирикутник;
                                            AB+BC=AD+DC; BC+CD=AB+AD


                                            Довести: ABCD – паралелограм.




                                      Доведення

1)                        <=>                          <=>                  <=>

<=>             <=> (ABCD – паралелограм).




Застосування властивостей бісектрис паралелограма.
Т.9. Якщо бісектриси сусідніх кутів чотирикутника перпендикулярні, то
      чотирикутник – паралелограм.
                                                  Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                  AO – бісектриса A,
                                                  BO – бісектриса B,
                                                  DN – бісектриса D,
                                                   AOB=      ,   AND=   .


                                                  Довести: ABCD – паралелограм.
                                      Доведення

1) (AO – бісектриса A) => ( OAB= OAD=             A)

2) (BO – бісектриса B) => ( OBA= OBC=             B)

3) (DN – бісектриса D) => ( NDA= NDC=             D)

4) У AOB: O=        , тоді:
      OAB+ OBA=      , тобто (   A+    B=    ) => ( A+ B=         ) => (AD||BC)

                                                                                  6
5) У AND: N=                    , тоді:

       NAD+ NDA=                 , тобто (      A+     D=     ) => ( A+ D=     ) => (AB||CD)

6) (AB||CD, AD||BC) => (ABCD – паралелограм .




Т.10. Чотирикутник є паралелограмом, якщо бісектриси його протилежних
     кутів попарно паралельні.

                                                        Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                        AQ, BF, CL, DR – бісектриси
                                                            BAD, ABC, BCD, CDA відповідно;
                                                        AQ BF=M; AQ DR=N; CL DR=P;
                                                        CL BF=K; AQ||CL; BF||DR;
                                                         Довести: ABCD – паралелограм.

                                                     Доведення
      Нехай     BAD=2α; ABC=2β; BCD=2γ; CDA=2φ.

1)      AMF: M=α+β (зовнішній кут ABM) , F=φ (BF||DR), A=α
      α+α+β+φ=            ; 2α+β+φ=              (1)
       LCD: L=α (LC||AQ), D=2α, C=γ
      α+γ+2φ=         (2)
      Додамо рівності (           і( :
      2α+(β+φ+α+γ)+2φ =                   (3)
                 α    β     γ     φ
      α+β+γ+φ=

      Підставимо у рівність ( :
      2α+2φ+                      ;
      2α+2φ=         , тобто ( BAD+ ADC=                     ) => (AB||DC)

2)     ABQ: A=α, B=2β, Q=γ;
     α+2β+γ=          (4)

                                                                                               7
    AMF: A=α, M=α+β, F=φ;
   α+α+β+φ=        (5)
   Додамо рівності (4 і (5 :
   α+2β+γ+2α+β+φ=        ;
   2α+2β+(α+β+γ+φ)=          ;
   2α+2β+      =     ;
   2α+2β=      , тобто ( BAD+ ABC=          ) => (BC||AD)

3) (AB||DC; BC||AD) => (ABCD – паралелограм .




Т.11. Якщо у чотирикутника бісектриси сусідніх зовнішніх кутів
  перпендикулярні, то цей чотирикутник є паралелограмом.

                                              Дано: ABCD – чотирикутник;
                                              BN, CN і DM, CM – бісектриси
                                              зовнішніх кутів чотирикутника;
                                              ABCD, BN┴NC; CM┴DM


                                              Довести: ABCD – паралелограм.


                                       Доведення

   Нехай NBC=α, NCB=β, тоді:
   Із BNC: (α β=         => ( α   β=      ) => ( ABC+ BCD=        ) => (AB||CD)
   Із DMC: (α β=         => ( α   β=      ) => ( ADC+ BCD=        ) => (BC||AD)

2) (AB||CD, BC||AD) => (ABCD – паралелограм .


Т.12. Якщо бісектриса кута чотирикутника відтинає від кожної пари
  суміжних сторін рівнобедрений трикутник, то цей чотирикутник є
  паралелограмом.

                                                                               8
                                          Дано: ABCD – чотирикутник;
                                          AN – бісектриса BAD,
                                          AN BC=M, AN DC=N,
                                              ABM і AND – рівнобедрені


                                          Довести: ABCD – паралелограм.


                                  Доведення

1) ( ABM: A= M=α. ABM= MAD=α) => ( BMA= MAD=α) => (BC||AD)

2) ( ADN: A= N=α. BAN= NAD=α) => ( BAN= AND=α) => (AB||DC)

3) (AB||DC; BC||AD) => (ABCD – паралелограм).




Т.13. Якщо бісектриси кутів чотирикутника при перетині утворюють
  прямокутник, то цей чотирикутник – паралелограм.

                                         Дано: ABCD – чотирикутник;
                                         AQ, BR, CS, DP – бісектриси
                                           A, B, C, D відповідно;
                                         AQ BR=M; AQ DP=N; CS DP=P;
                                         CS BR=K; MNPK – прямокутник.


                                         Довести: ABCD – паралелограм.

                                   Доведення
1) Нехай BAQ=α, ABR=β, тоді:
  Із ABM( M=       ): (α+β=   ) => (2α+2β=       ) => (AD||BC)

2) Із BCK( K=     , B=β): ( C=                     ) => ( SCB=α) =>
  =>( BCD=2α)
  ( BCD=2α, BCD+ ABC=            ) => (AB||CD)

                                                                          9
3) (AB||CD, AD||BC) => (ABCD – паралелограм).




Т.14. Якщо бісектриси зовнішніх кутів чотирикутника утворюють
     прямокутник, то цей чотирикутник – паралелограм.

                                            Дано: ABCD – чотирикутник;
                                            BM, CM, CK, DK, DP, AP, AN, BN –
                                            бісектриси зовнішніх кутів
                                            паралелограма ABCD; NMPK –
                                            прямокутник.


                                            Довести: ABCD – паралелограм.


                                     Доведення

1) Нехай ABC= 2α, BCD= 2β, тоді MBC=               =        ; MCB=            .

     Із BMC ( M=     ): ( MBC+ MCB=                                 ) =>
     => (α+β=    ) => (2α+2β=      ) => ( ABC+ BCD=        ) => (AB||CD)
2)    KCD= MCB=
     α+β=                       => ( KDC=                       =          ) =>
     => ( CDA=         2 KDC = 2α)
3) 2α+2β=
       CDA=2α; BCD=2β      => ( CDA+ BCD=          ) => (AD||BC)
4) (AB||CD; BC||AD) => (ABCD – паралелограм).




Теорема Варіньйона.




                                                                                  10
Т.15. Чотирикутник, вершинами якого є середини сторін довільного опуклого
  чотирикутника, є паралелограмом (теорема Варіньйона).

                                         Дано: PMNK – чотирикутник;
                                         A, B, C, D – середини сторін PM, MN,
                                         NK, KP відповідно; PN MK=O




                                         Довести: ABCD – паралелограм.

                                 Доведення
1) A – середина PM
   B – середина MN   => (AB – середня лінія PMN) => (AB||PN)

2) C – середина NK
   D – середина PK    => (DC – середня лінія PNK) => (DC||PN)

3) DC||PN
   AB||PN    => (AB||CD)

4) Аналогічно:
   AD||MK
   BC||MK    => (AD||BC)

5) AD||BC
   AB||CD    => (ABCD – паралелограм .




Ознаки, які ґрунтуються на властивостях геометричних перетворень.

Т.16. Якщо точка перетину діагоналей чотирикутника є його центром
  симетрії, то цей чотирикутник – паралелограм.

                                           Дано: ABCD – чотирикутник;



                                                                            11
               AC BD=O;                  =



               Довести: ABCD – паралелограм.

                                             Доведення

1) (           =         ) => (        = ,        = ) => (O – середина А , О –
     середина BD) => (AC BD=O, O – середина AC, BD) => (ABCD – паралелограм .




Т.17. Якщо чотирикутник при повороті на                  переходить сам у себе, то він
     є паралелограмом.

                                                     Дано: ABCD – чотирикутник;




                                                     Довести: ABCD – паралелограм.



                                             Доведення

1)                                =>

                          OA=OC, O AC
                          OB=OD, O BD
=>                  => OA=OC, O AC => (AC BD=O, O – середина AC і BD) =>
                          OB=OD, O BD

=> (ABCD – паралелограм).




                                                                                     12
Т.18. Чотирикутник, вершини якого симетричні довільній точці простора
     відносно середин сторін даного чотирикутника, який не містить цю точку,
     є паралелограмом.

                                                      Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                      M не лежить у площині (ABC);
                                                                 ;            ;
                                                                 ;


                                                      Довести:         - паралелограм.
                                            Доведення
      За векторною формулою середини відрізка можна записати такі рівності:
2)                           ;                    ;                     ;

                             .

      З них дістанемо:
                         ,
                         ,
                         ,
                         .
      Віднявши почленно перші дві рівності і останні дві, матимемо:
                 ,               , звідки                .

2) Оскільки середини сторін чотирикутника ABCD не лежать на одній прямій, то
       і точки, симетричні точці М відносно цих точок також не лежатимуть на одній
       прямій.
      Отже, чотирикутник                - паралелограм.




Т.19. Якщо чотирикутник розрізано діагоналями на чотири трикутника, то
     точки перетину медіан цих трикутників є вершинами паралелограма.
                                                                                     13
                                              Дано: ABCD – чотирикутник;
                                              AC BD=O; E, F, Q, L – точки
                                              перетину медіан AOB, BOC,
                                                 DOC, AOD відповідно.


                                              Довести: EFQL – паралелограм.


                                     Доведення

1) E OM, F ON, Q OP, L OK, отже M, N, P, K – середини сторін AB, BC, DC і
  AD.
2) (M, N, P, K – середини сторін чотирикутника ABCD) => (MNPK –
  паралелограм – за теоремою Варіньйона.
3) За властивістю точки перетину медіан маємо:             ,         ,

        ,         . Тоді гомотетія з центром О і коефіцієнтом    перетворює

  паралелограм MNPK у паралелограм EFQL (гомотетія перетворює прямі у
  паралельні їм прямі .




Т.20. Якщо чотирикутник має центр симетрії, то він є паралелограмом.

                                     Доведення
  Центральна симетрія переводить прямі у паралельні їм прямі, отже протилежні
  сторони даного чотирикутника будуть паралельні. А це означає, що він
  паралелограм.




Вектори у ознаках паралелограма.

Т.21. Якщо М – довільна точка простору і                                    , то

  ABCD – паралелограм.
                                                                                14
                                        Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                      , M – довільна точка
                                        простору,




                                        Довести: ABCD – паралелограм.

                                 Доведення

1)

     4




                           , тоді (                  => (AO=OC)

                => (                  => (BO=OD)
     (           – середина AC і BD) => (ABCD – паралелограм).




Т.22. Чотирикутник ABCD – паралелограм, якщо               .

                                              Дано: ABCD – чотирикутник;




                                              Довести: ABCD – паралелограм.


                                  Доведення

1) (      =   – за правилом паралелограма => (ABCD – паралелограм .




                                                                              15
Т.23. Чотирикутник ABCD є паралелограмом, якщо                   .

                                              Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                  =   , точки A, B, C, D не лежать
                                              на одній прямій.



                                              Довести: ABCD – паралелограм.

                                     Доведення

1) (   =    => (AB=DC; AB||DC) => (ABCD – паралелограм .




Т.24. A(       ), B(        ), C(             ), D(        ). Чотирикутник
ABCD – паралелограм, якщо                         ;                  ;
                  .
                                    Доведення


                                     тоді (           ) => (ABCD – паралелограм).




Т. 25. Якщо у чотирикутнику сума бімедіан (відрізків, що з’єднують середини
   протилежних сторін) дорівнює його півпериметру, то цей чотирикутник –
   паралелограм.

                                               Дано: ABCD – чотирикутник;
                                               M, P, N, K – середини сторін AB, BC,
                                               CD і AD відповідно; AC BD=O;
                                               MN+PK= (AB+BC+CD+AD)


                                               Довести: ABCD – паралелограм.

                                    Доведення
                                                                                     16
1)

                           => (

2)

                           => (

3)

     Якщо кут між     і     дорівнює нулю, то

     (                     ) => (                        )



     Якщо кут між      і    дорівнює нулю, то

      (                    ) => (

4) Отже, рівність                                             виконується лише за

     умови, якщо кут між векторами     і     та      і       дорівнює нулю, тобто ці
     вектори попарно колінеарні, а значить           і          . Тому ABCD –
     паралелограм.




Т.26. Якщо у чотирикутнику відрізки, що проведені з однієї вершини до середин
     двох протилежних сторін ділять його діагональ на три рівні відрізка, то цей
     чотирикутник – паралелограм.
                                                Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                  N, M – середини сторін AD i DC
                                                  відповідно;               ;
                                                                 ;


                                                  Довести: ABCD – паралелограм.

                                      Доведення
                                                                                       17
1) Нехай                         , тоді:               .


2) (NM – середня лінія               ) => (                                       )
3)
         =               => (              )

4) (У         i          :       - спільний;       ;              ;        ) =>

=> (                     з коефіцієнтом подібності ) => (                      => (

5)            => (

6) (                 ;                             ) => (                         ) =>

=> (              => (               => (                  => (ABCD – паралелограм).



Т.27. Якщо у тетраедрі ABCD точки M і N – середини ребер AB і DC відповідно,
     а точки S, P, Q, R – середини відрізків CM, NB, AN, DM відповідно, то
     чотирикутник SQRP – паралелограм.
                                                 Дано: DABC – тетраедр, точки M і N –
                                                 середини AB і CD; S, Q, R, P – середини
                                                 відрізків NB, DM, AN, CM відповідно




                                                  Довести: SQRP– паралелограм.



                                               Доведення

1) За векторною формулою середньої лінії чотирикутників NDMA (із середньою
     лінією QR) і NCMB (із середньою лінією SP) можна записати:
                             ,                     .
                                                                                           18
   Оскільки            ,         , то             . Залишилось переконатись в тому,
   що Q, R, S і P не лежать на одній прямій.
    правді з властивості середньої лінії трикутника випливає, що PQ||CD, RS||AB.
   Але відрізки CD і AB лежать на мимобіжних прямих, тому паралельні їм
   відрізки PQ і PS лежать на прямих, що перетинаються. Отже, SQRP –
   паралелограм.




 Застосування умови паралельності прямих, заданих своїми рівняннями.

 Т.28. Чотирикутник, утворений при перетині прямих, заданих рівняннями:
                   ,                    ,                 ,                 є
   паралелограмом.

                                                  Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                                   ,
                                                                   ,        ,
                                                                   ,
                                                                   ,

                                                  Довести: ABCD – паралелограм.

                                            Доведення
    (Кутові коефіцієнти прямих AD і BC рівні => (AD||BC)

    (Кутові коефіцієнти прямих AB і CD рівні => (AB||CD)

 3) (AD||BC, AB||CD) => (ABCD – паралелограм .




Використання співвідношення між сторонами і діагоналями.


Т.29. Чотирикутник, у якого сума квадратів довжин всіх сторін дорівнює сумі
   квадратів довжин діагоналей, є паралелограмом.
                                                                                      19
                                          Дано: ABCD – чотирикутник;




                                              Довести: ABCD – паралелограм.


                                    Доведення
1) Нехай               ,      , тоді
            ,          ,             .




  (        ) => (             ) => (ABCD – паралелограм .




Т. 30. Якщо у чотирикутнику ABCD AO BO=CO DO і BO CO=DO AO, де O –
  точка перетину діагоналей, то ABCD – паралелограм.

                                              Дано: ABCD – чотирикутник;
                                              AC BD=O;
                                              AO BO=CO DO; BO CO=DO AO.


                                               Довести: ABCD – паралелограм.


                                    Доведення

1) (AO BO=CO DO) <=>            ;

  (BO CO=DO AO) <=>             .        =>             => (BO=DO).

                                                                               20
2) (AO BO=CO DO) <=>                 ;

     (BO CO=DO AO) <=>               .   =>            => (AO=CO).

3) (BO=DO; AO=CO) => (ABCD – паралелограм).




Використання площ, ознак рівності трикутників.

Т.31. Якщо діагоналі чотирикутника ділять його на чотири рівновеликих
     трикутника, то цей чотирикутник – паралелограм.

                                              Дано: ABCD – чотирикутник;
                                              AC BD=O;




                                              Довести: ABCD – паралелограм.


                                     Доведення

1)

                                          .

     З цих рівностей випливає, що:
     (                  (оскільки                              )) => (AO=OC)
     Аналогічно: BO=DO
     (AO=CO; BO=DO) => (ABCD – паралелограм).




Т.32. Якщо на кожній стороні чотирикутника зовні побудувати квадрат і
  центри цих квадратів є вершинами квадрата, то даний чотирикутник –
  паралелограм.



                                                                               21
                                            Дано: ABCD – чотирикутник;
                                                                                –
                                            квадрати;                – центри
                                            квадратів
                                                               відповідно;
                                                        – квадрат.


                                            Довести: ABCD – паралелограм.

                                      Доведення

1) Відомо, що діагоналі квадрата рівні і перетинаються під прямим кутом. Тоді


                                     => (                  )

2)
                              => (                      => (

3)
                                  => (AB=CD)



4) Аналогічно можна довести, що BC=AD.

5) (AB=CD; BC=AD) => (ABCD – паралелограм).




Використання властивостей кіл, що дотикаються.


Т.33. Якщо кола                              попарно дотикаються, а також
  кола                               попарно дотикаються, то чотирикутник
  ABCD – паралелограм.




                                                                                22
AB=R+r

BC=r+R    BC=AD

CD=R+r => AB=CD => (ABCD – паралелограм)

AD=r+R




                                      23
                         3. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

   . Два однакових опуклих чотирикутника розрізали: перший – по одній
діагоналі, а інший – по другій. Доведіть, що із одержаних частин можна скласти
паралелограм.
   . Опуклий чотирикутник розрізали по бімедіанам (відрізкам, що сполучають
середини протилежних сторін . Довести, що із одержаних частин можна скласти
паралелограм.
   . Точки А і В – середини бічних сторін рівнобедреного трикутника, АМ і
ВК – перпендикуляри, проведені із точок А і В до основи трикутника. Трикутник
розрізали по відрізкам АМ і ВК. Покажіть, що із одержаних частин можна скласти
ромб.
  4. Чи можливо із сірників скласти паралелограм з його діагоналями?

  Арістотель говорив: “Розум – не мільки у знаннях, але й в умінні застосовувати
  їх на ділі”.

  Застосуйте знання про паралелограм для розв’язання практичної задачі:

  Магістраль перетинає канал під кутом, всередині якого розміщений населений
пункт. У якому напрямку слід провести через цей пункт прямий шлях, щоб
відстань по ній до магістралі і до каналу були однаковими?




  А – точка перетину магістралі і каналу, В – населений пункт.

  Проведемо через точку А і точку В пряму, відкладемо В =АВ. Добудуємо
  ADCE – паралелограм, В – точка перетину його діагоналей. DE – шуканий шлях.


                                                                                   24
  5. У трикутнику ABC проведено бісектриси AL тa BT, які перетинаються між
собою у точцi I, а їх продовження перетинають описане навколо трикутникa ABC
коло у точкаx E тa D відповідно. Відрізок DE перетинає сторонни AC i BC у
точкаx F i K відповідно. Довести, що:

  а чотирикутник IKCF – паралелограм;

  б сторона цього ромба          .




                                                                               25
               5. СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 . А. В. Погорєлов. Геометрія 7- . Планіметрія. Київ. “Освіта” 1995.

 . М. І. Бурда, Л. М. авченко. Геометрія - . Навчальний посібник для -9
класів шкіл з поглибленим вивченням математики. Київ. “Освіта” 1996.

 . Г. П. Бевз, В. Т. Бевз, Н. Г. Владімірова. Геометрія кл. Київ “Вежа” 2008.

4. Л. . Атанасян, В. Ф. Бутузов, . Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, І. І. Юдіна.
Геометрия 7- , М. “Просвещение” 1991.

5. В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Часть . М. “Наука”, 1991.

 . М. Л. Крайзман. Розв’язування геометричних задач методом векторів. К.
“Радянська школа” 1980.




                                                                                26

								
To top