Bahan Ajar Matematika SMA Kelas X - logika-mat

Document Sample
Bahan Ajar Matematika SMA Kelas X - logika-mat Powered By Docstoc
					              By:
Drs. BAMBANG SETIAWAN, M.M
      SMA N 1 MAJENANG



                             1
         Setelah menyaksikan
        tayangan ini anda dapat

       Menarik kesimpulan
 dengan silogisme, modus ponens,
        dan modus tollens


UN’O6                              2
           Logika Matematika

        Logika merupakan alat untuk
         menarik kesimpulan yang
                sahih (sah)



UN’O6                                 3
        Pernyataan/Proposisi

    Kalimat yang mempunyai salah satu
         dari nilai benar atau salah
     disebut proposisi atau pernyataan.
         Pernyataan ditulis dengan
      huruf kecil p, q, r dan seterusnya

UN’O6                                      4
          Ingkaran Pernyataan

         Negasi atau ingkaran dari
          pernyataan p, ditulis ~p
        adalah pernyataan lain yang
        menyangkal pernyataan yang
                 diberikan
UN’O6                                 5
        Tabel Kebenaran Ingkaran
                   p   ~p
                   B   S
                   S   B

 Contoh:
  p : hari ini hujan
 ~p : hari ini tidak hujan
      atau
      tidak benar hari ini hujan
UN’O6                              6
        Pernyataan Majemuk
    adalah pernyataan baru yang
 dibentuk dari beberapa pernyataan
    tunggal (komponen) dengan
  menggunakan kata hubung logika
 Seperti: ‘dan’, ‘atau’, ‘jika…maka…’,
    atau ‘…jika dan hanya jika…’
UN’O6                                    7
          Nilai Kebenaran
        Pernyataan Majemuk

            tergantung:
  ▪ nilai kebenaran dari pernyataan
     tunggalnya (komponennya)
▪ kata hubung logika yang digunakan

UN’O6                                 8
               Konjungsi
    Pernyataan majemuk yang dibentuk
    dari pernyataan-pernyataan p dan q
           dengan menggunakan
          kata hubung logika ‘dan’.
             Konjungsi “p dan q”
            dilambangkan “p Λ q”

UN’O6                                    9
        Tabel Kebenaran Konjungsi
            p   q      pΛq
                       B
            B   B      S
            B   S      S
            S   B      S
            S   S
   ‘p Λ q’ bernilai benar hanya apabila
    p dan q sama-sama bernilai benar
UN’O6                                     10
               Disjungsi
    Pernyataan majemuk yang dibentuk
    dari pernyataan-pernyataan p dan q
           dengan menggunakan
          kata hubung logika ‘atau’.
             Disjungsi “p atau q”
            dilambangkan “p V q”

UN’O6                                    11
        Tabel Kebenaran Disjungsi
             p   q      pVq
                       B
             B   B     B
             B   S     B
             S   B     S
             S   S
   ‘p V q’ bernilai salah hanya apabila
    p dan q sama-sama bernilai salah
UN’O6                                     12
                Implikasi
   Pernyataan majemuk yang disusun
  dari pernyataan-pernyataan p dan q
        dalam bentuk ‘jika p maka q’
         Implikasi “Jika p maka q”
           dilambangkan “p → q”

UN’O6                                  13
        Tabel Kebenaran Implikasi
             p   q    p→q
                       B
             B   B     S
             B   S     B
             S   B     B
             S   S
     ‘p → q’ bernilai salah apabila
  p bernilai benar dan q bernilai salah
UN’O6                                     14
              Biimplikasi
   Pernyataan majemuk yang disusun
  dari pernyataan-pernyataan p dan q
          dengan kata hubung
           ‘jika dan hanya jika’
   Biimplikasi “p jika dan hanya jika q”
         dilambangkan “p ↔ q”
UN’O6                                      15
  Tabel Kebenaran Biimplikasi
             p     q     p↔q
             B     B       B
             B     S       S
             S     B       S
             S     S       B
        ‘p ↔ q’ bernilai benar apabila
          p dan q keduanya bernilai
              benar atau salah
UN’O6                                    16
               Contoh 1
  Kalimat (p → q) → r bernilai benar
  Jika
  (1) p benar, q salah, r salah
  (2) p salah, q benar, r salah
  (3) p salah, q salah, r benar
  (4) p salah, q salah, r salah


UN’O6                                  17
                    Jawab
  Pernyataan   p   q (p q )   r   (p  q)  r
      ke
       1       B   S   S       S       B
       2       S   B   B       S       S
       3       S   S   B       B       B
       4       S   S   B       S       S

 Jadi, pernyataan yang benar
      adalah pernyataan (1) dan (3)
UN’O6                                            18
                Contoh 2
  Diberikan empat pernyataan p, q, r,
  dan s. Jika pernyataan berikut benar
            p ↔ q, q → r, r → s
  dan s pernyataan yang salah,
  maka di antara pernyataan berikut
  yang salah adalah….
  a. ~p        b. ~r      c. ~q
  d. p Λ r     e. p V ~r
UN’O6                                    19
                  Jawab
   s pernyataan yang salah
   r → s benar; berarti r salah
   q → r benar; berarti q salah
   p ↔ q benar; berarti p salah
   Jadi, ~p benar; ~r benar; ~q benar
         p Λ r salah;  jawaban d
         p V ~r benar
UN’O6                                   20
             Ekivalensi
        Pernyataan Majemuk
        Dua pernyataan majemuk
             yang ekivalen
   adalah dua pernyataan majemuk
   yang mempunyai nilai kebenaran
              yang sama
UN’O6                               21
         Pernyataan Ekivalen

  1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q
  2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q
  3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)
  4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)

UN’O6                                  22
         Pernyataan Ekivalen

   5. p → q ≡ ~p V q
   6. ~(p → q) ≡ p Λ ~q
   7. p↔q ≡ (p → q) Λ (q → p)
          ≡ (~p V q) Λ (~q V p)
   8. ~(p ↔ q) ≡ (p Λ ~q) V (q Λ ~p)
UN’O6                                  23
               Contoh 1:
  Ingkaran yang benar dari pernyataan
  “Saya lulus Ujian Nasional dan saya
   senang”
   adalah….



UN’O6                                   24
  (1). Saya tidak lulus Ujian Nasional
       dan saya tidak senang
  (2). Tidak benar bahwa saya lulus Ujian
       Nasional dan saya senang
  (3). Saya lulus Ujian Nasional dan
       saya tidak senang
  (4) Saya tidak lulus Ujian Nasional
       atau saya tidak senang

UN’O6                                       25
                  Jawab:
   Ingkaran p Λ q adalah
           ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q
   Jadi pernyataan yang benar
   adalah
   (2) Tidak benar saya lulus Ujian
       nasional dan saya senang
   (4) Saya tidak lulus Ujian Nasional
       atau saya tidak senang
UN’O6                                    26
                 Contoh 2:
  Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah….
  a. ~p V ~q V r    b. (~p Λ ~q) V r
  c. p Λ q Λ ~r    d. ~p Λ ~q Λ r
  e. (~p V q) Λ r

  Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q
           ~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r
                          ≡ p Λ q Λ ~r
  Jadi, jawabannya adalah c
UN’O6                                      27
               Contoh 3:
  Ingkaran pernyataan:
  “Jika guru tidak hadir maka semua
   murid senang” adalah….
  a. Guru hadir dan semua murid tidak
     senang
  b. Guru hadir dan ada beberapa murid
     senang
  c. Guru hadir dan semua murid senang
UN’O6                                    28
  d. Guru tidak hadir dan ada beberapa
     murid tidak senang
  e. Guru tidak hadir dan semua murid
     tidak senang
  Jawab:
  Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~q
  Jadi ingkaran dari “Jika guru tidak hadir
  maka semua murid senang” adalah
  “guru tidak hadir dan ada beberapa
  murid tidak senang”  jawaban d
UN’O6                                         29
        Konvers, Invers, dan
            Kontraposisi
    Jika diketahui implikasi p → q maka:
    Konversnya adalah          q→p
    Inversnya adalah          ~p → ~q
    Kontraposisinya adalah ~q → ~p
    Catatan: p → q ≡ ~q → ~p

UN’O6                                      30
                Contoh 1:
   ~p → q mempunyai nilai kebenaran
   sama dengan….
   (1). p V q   (2). p Λ q
   (3). ~q → p  (4). ~q Λ ~p
   Jawab:
   ingat bahwa: p → q ≡ ~p V ~q
                      ≡ ~q → ~p
              ~p → q ≡ ~q → p… (3)
                      ≡ p V q … (1)
UN’O6                                 31
                Contoh 2:
   Pernyataan berikut yang ekivalen
   dengan:
   “Jika p benar maka q salah” adalah….
   a. p benar atau q salah
   b. Jika q salah maka p benar
   c. Jika p salah maka q benar
   d. Jika q benar maka p salah
   e. Jika q benar maka p benar
UN’O6                                     32
                 Jawab:
    Implikasi p → q ekivalen dengan
    Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V q
    Jadi “Jika p benar maka q salah”
    ekivalen dengan
     “Jika q benar maka p salah”
      atau
     “p salah atau q salah”
UN’O6                                  33
          Penarikan Kesimpulan

        menentukan pernyataan nilai
         (konklusi) dari pernyataan-
        pernyataan (premis) melalui
              aturan tertentu

UN’O6                                  34
         Suatu kesimpulan (konklusi)
           dianggap sah jika:
  ▪ implikasi dari konjungsi premisnya
  dengan konklusinya adalah tautologi
   (selalu benar untuk semua kondisi)
      ▪ Konjungsi semua premisnya
        benar maka konklusinya benar
UN’O6                                   35
        Penarikan Kesimpulan
              yang sah

   Di dalam logika matematika ada
   beberapa penarikan kesimpulan
   yang sah, di antaranya adalah


UN’O6                               36
  1. Modus Ponens:
           p → q (premis 1 = benar)
           p     (premis 2 = benar)
         q      (konklusi benar)

  Contoh:
  Jika hujan lebat maka terjadi banjir
   Hari ini hujan lebat
   Terjadi banjir
UN’O6                                    37
  2. Modus Tollens:
            p → q (premis 1 = benar)
          ~q      (premis 2 = benar)
         ~p        (konklusi benar)

  Contoh:
  Jika BBM naik maka ongkos bis naik
  Ongkos bis tidak naik
  BBM tidak naik
UN’O6                                  38
  3. Silogisme:
             p → q (premis 1 = benar)
             q  r (premis 2 = benar)
             p  r (konklusi benar)
            
  Contoh:
  Jika Budi rajin belajar maka lulus UN
  Jika lulus UN maka orangtua senang
     Jika Budi rajin belajar maka
   orangtua senang
UN’O6                                     39
                  Soal 1:
   Diketahui pernyataan p dan q
   Argumenatsi: ~p  q
                 ~r  ~q
                 rp
   disebut….
   a. Implikasi          b. Kontraposisi
   c. Modus ponens       d. Modus tollens
   e. silogisme

UN’O6                                       40
                Bahasan

  Argumentasi:
       ~p  q       ~p  q
       ~r  ~q ≡ q  r (kontraposisi)
     ~r  p ~p  r
                 ≡ ~r  p (kontraposisi)
  Jadi, disebut silogisme
        jawaban e
UN’O6                                      41
                  Soal 1:
   Diketahui pernyataan p dan q
   Argumenatsi: ~p  q
                 ~r  ~q
                 rp
   disebut….
   a. Implikasi          b. Kontraposisi
   c. Modus ponens       d. Modus tollens
   e. silogisme

UN’O6                                       42
                      Soal 2
        Penarikan kesimpulan dari premis-
        premis: p V q
                 ~q
                ….
          a. p
          b. ~p
          c. q
          d. ~(p V q)
          e. ~ q
UN’O6                                       43
                Bahasan
          p V q ≡ ~p  q (ekivalensi)
        ~p  q ≡ ~q  p (kontraposisi)
   dengan demikian
         pVq
        ~q
   berarti: ~q  p
            ~q        Modus ponens
          p
   Jawabannya a
UN’O6                                    44
                      Soal 2
        Penarikan kesimpulan dari premis-
        premis: p V q
                 ~q
                ….
          a. p
          b. ~p
          c. q
          d. ~(p V q)
          e. ~ q
UN’O6                                       45
                 Soal 3
    Penarikan kesimpulan dari
    1. p V q    2. p  q 3. p  ~q
        ~p         q  ~r      qVr
     q         ~r  ~p p  r
    yang sah adalah….
    a. hanya 1     b. hanya 1 dan 2
    c. hanya 3     d. hanya 1 dan 3
    e. hanya 2 dan 3
UN’O6                                 46
               Bahasan

 1. p V q     ~p  q (ekivalen)
   ~p           ~p
   q          q
   argumenatsi nomor 1 di atas sah
   karena merupakan modus ponens


UN’O6                                47
                 Bahasan

 2. p  q               pq
    q  ~r              q ~r
  ~r  ~p            p ~r
        p ~r  r ~p (kontraposisi)
   argumenatsi nomor 2 di atas
   tidak sah karena bukan silogisme
UN’O6                                  48
              Bahasan

 3. p  ~q      p  ~q
    qVr       ~q  r (ekivalensi)
  p  r       pr

 argumentasi nomor 3 di atas
 sah karena merupakan silogisme
 Jadi, jawabannya hanya 1 dan 3  d
UN’O6                                 49
                 Soal 3
    Penarikan kesimpulan dari
    1. p V q    2. p  q 3. p  ~q
        ~p         q  ~r      qVr
     q         ~r  ~p p  r
    yang sah adalah….
    a. hanya 1     b. hanya 1 dan 2
    c. hanya 3     d. hanya 1 dan 3
    e. hanya 2 dan 3
UN’O6                                 50
SELAMAT BELAJAR



                  51

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags: logika
Stats:
views:442
posted:10/11/2012
language:Malay
pages:51