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					            Mémoire d’actuariat




Modélisation du risque de longévité dans
 le cadre d’une opération de titrisation

Par Fatoumata Ndoye

PartnerRe
             PROBLEMATIQUE
Le risque de Longévité

   Allongement de l’espérance de vie
   Multiplication des souscriptions de rentes viagères
   Insuffisance des primes calculées à priori


Étude de solutions

   Offre de réassurance sur ce risque
   La titrisation
                                 PLAN
La titrisation

    Définitions
    La titrisation des risques d’Assurance

    La titrisation des risques d’Assurance Vie


La modélisation du risque de longévité

    Modèle statistique de longévité des rentiers en France

    Tarification d’un Mortality swap et prix du Longevity Bond



Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureur


                                                                  3
La Titrisation
La Titrisation : Définitions
 Accès à une nouvelle source de financement

     Rendre des actifs liquides
     Accès à tout investisseur à travers le monde
     Évaluation transparente des risques
     Investissement sur la base des actifs cédés

 Transfert de risques

     Risque de perte du portefeuille supporté par les investisseurs
     Limitation du risque supporté par le cédant
     Augmentation de la capacité de couverture par rapport à la
      réassurance


                                                                       5
La Titrisation : Définitions
 Gestion de bilan

     Accroissement de l’activité du cédant
     Nouveaux actifs générés
     Maintien du bilan du cédant
     Souscription de nouvelles affaires

 Extraction de valeur

     Tout actif est titrisable
     Notion de CDO (Collateralised Debt Obligations)




                                                        6
La Titrisation : La titrisation des
risques d’Assurance
  Le mécanisme de la titrisation

      Dissocier le risque d’assurance des autres risques
      Les Insurance Linked Securities (ILS)

      Modélisation du risque

      Probabilité de défaut

  La particularité des CATS BONDS

      Eléments déclencheurs
      Modélisation détaillée : Construction de statistiques d’événements catastrophes.

      Evaluation des pertes financières.
                                                                                          7
 La Titrisation : La titrisation des
 risques d’Assurance

                             Contrepartie du SWAP
                             Taux          TME
                         placements

              Transfert de                          Émission de
               risques en                        titres, Paiement
              portefeuille          SPV            des coupons
Cédante
                                  Compte
 (Assureur                                                          Investisseurs
    Ou                               De
Réassureur)    Paiements        Nantissement         Cash
              conditionnels




                                                                                    8
La Titrisation : La titrisation des
risques d’Assurance Vie
 Les risques de Mortalité/Longévité

 Les Mortality Bonds
     Vita Capital

     Vita Capital II

     Vita Capital III

     Tartan Capital

     Osiris Capital


 Les Longevity Bonds


                                      9
La modélisation du risque de longévité
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France

  Le modèle de LEE CARTER

     Le modèle
        Ln (  xt )   x   x t   xt

        μxt= taux instantané de mortalité.
        αx= paramètre spécifique à l’âge x, décrivant le comportement moyen des
      lnμxt au cours du temps.
        кt est un indice décrivant l’évolution générale de la mortalité.
        βx indique la sensibilité de la mortalité instantanée à l’âge x par rapport à
      l’évolution générale de la mortalité

       Pour rendre le modèle identifiable, deux contraintes sont ajoutées :
          x  1 (A)
         x
        t  0   (B)
           t

                                                                                        11
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France

  Le modèle de LEE CARTER

                Justification du Modèle
                                   Absence d’effets Cohorte pour la population française


  16,00%-17,00%                                                                                                                  24,00%-25,00%
                                    Cohort effect, Female, France                                                                                                        Cohort effect, Male, France
  15,00%-16,00%                                                                                                                  23,00%-24,00%
  14,00%-15,00%                                                                                                                  22,00%-23,00%
                                                                                                                         95-99                                                                                                                           95-99
  13,00%-14,00%                                                                                                          90-94   21,00%-22,00%                                                                                                           90-94
  12,00%-13,00%                                                                                                          85-89   20,00%-21,00%                                                                                                           85-89
  11,00%-12,00%                                                                                                          80-84   19,00%-20,00%                                                                                                           80-84
                                                                                                                         75-79                                                                                                                           75-79
  10,00%-11,00%                                                                                                                  18,00%-19,00%
                                                                                                                         70-74                                                                                                                           70-74
  9,00%-10,00%                                                                                                           65-69   17,00%-18,00%
                                                                                                                                                                                                                                                         65-69
  8,00%-9,00%                                                                                                            60-64   16,00%-17,00%                                                                                                           60-64
  7,00%-8,00%                                                                                                            55-59   15,00%-16,00%                                                                                                           55-59
  6,00%-7,00%                                                                                                            50-54   14,00%-15,00%                                                                                                           50-54
                                                                                                                         45-49                                                                                                                           45-49
  5,00%-6,00%                                                                                                                    13,00%-14,00%
                                                                                                                         40-44                                                                                                                           40-44
  4,00%-5,00%                                                                                                            35-39   12,00%-13,00%                                                                                                           35-39
  3,00%-4,00%                                                                                                            30-34   11,00%-12,00%                                                                                                           30-34
  2,00%-3,00%                                                                                                            25-29   10,00%-11,00%                                                                                                           25-29
                                                                                                                         20-24                                                                                                                           20-24
  1,00%-2,00%                                                                                                                    9,00%-10,00%
                  1915-1919

                              1925-1929

                                          1935-1939

                                                      1945-1949

                                                                  1955-1959

                                                                              1965-1969

                                                                                          1975-1979

                                                                                                      1985-1989

                                                                                                                  1995-1999




                                                                                                                                                 1915-1919

                                                                                                                                                             1925-1929

                                                                                                                                                                          1935-1939

                                                                                                                                                                                      1945-1949

                                                                                                                                                                                                  1955-1959

                                                                                                                                                                                                              1965-1969

                                                                                                                                                                                                                          1975-1979

                                                                                                                                                                                                                                      1985-1989

                                                                                                                                                                                                                                                  1995-1999
  0,00%-1,00%                                                                                                                    8,00%-9,00%
  -1,00%-0,00%                                                                                                                   7,00%-8,00%
  -2,00%--1,00%                                                                                                                  6,00%-7,00%
  -3,00%--2,00%                                                                                                                  5,00%-6,00%



                                                                                                                                                                                                                                                                 12
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France
  Le modèle de LEE CARTER

     Estimation des paramètres
         d
      xt 
      ˆ            xt
                             où             sont les observations de la période retenue
                                   d xt et erxt
            erxt
  
       ˆ
           1
       x   Ln  xt
                 ˆ
                                  : Estimation par la méthode MCO
           nt t

     Estimation des βx et кt avec le critère d’optimalité au sens des moindres carrés
       z xt  ln  xt   x
                 ˆ      ˆ
                                                  1
       Z   i i t ui       et        i              Zui
               i                                  i
       ˆ
               
       
                            et   max
                    m ax

                             ˆ                  max
                                                         * umax   avec           max
                    m ax                                                  max




     Extrapolation de la tendance temporelle
      кt sera modélisé par une série chronologique = processus ARIMA

     Limites
                                                                                              13
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France

  Le modèle de POISSON LOG-BILINEAIRE

     Le modèle
     Amélioration du modèle de LEE CARTER
     Modélisation de la survenance d’événements rares pendant un laps de temps
      défini
     Modélisation le nombre de décès constatés à l’âge x –noté- Dxt- par une loi de
      poisson en spécifiant :
       Dst  Poisson( E xt  x (t ))
        avec  x (t )  exp(  x   x t )
     Approximation du modèle naturel                           Dxt  Binomiale( Nxt; qxt )



     Estimation des paramètres
     Technique du maximum de vraisemblance pour les {αx}, {βx}, {κt}
       l ( ,  ,  )  [ Dxt ( x   x t )  E xt exp( x   x t )]  cons tan te
                      x ,t

                                                                                              14
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France

  Études sur la population française

     Passage de mortalité générale à mortalité population assurée
     Modèle de COX : Ln μx=f (ln μrefx) avec f(ε) = ln θ +ε
     Construction des tables prospectives TGHF05
             lg x (t )  a x lg ref (t )  bx   xt
                                x




     Cadre d’analyse
     Population française : Hommes et Femmes
     Période d’observation relativement longue
     Ne pas tenir compte d’événements exogènes (Deux guerres mondiales,
      Canicule)
     Etude de plusieurs périodes : [1950;2004], [1962;2000]
     Choix des âges


                                                                           15
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France

  Études sur la population française

     Etude sur la période [1962 – 2000]

     Programmation à partir du logiciel R
     Calcul des paramètres du modèle de LEE Carter
     Calcul des paramètres du modèle de Poisson
     Modélisation du κt par un processus ARIMA

          Etude sur la stationnarité de la série
          Sélection de modèles ARIMA
          Rétropédalage
          Choix du modèle ARIMA(0,1,1)
              κt= κt-1+c+ εt+b* εt-1 avec  t  (0,  )
                                                      2




                                                           16
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France

  Études sur la population française
     Étude sur la période [1962 – 2000]

     Simulation des taux de mortalité
     Construction de la table moyenne des taux de mortalité
     Application des coefficients de passage du Modèle de Cox
        ln(  x :H )   x ln(  xHMD )
              TGF                       avec q TGF / H  (q HMD )           x
                                                            x           x



     Modélisation des aléas

         Aléa statistique
        Simulation du κt par un processus ARIMA (0,1,1)

        t 1   t   t 1  coef _ ma s * t           tF  (0,  F )                  H F
                                                                                  tH         t  1   2  t
                                                                       2
                                                  avec                       et
                                                                                            F




                                                                                                                    17
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France

  Études sur la population française

     Etude sur la période [1962 – 2000]

     Modélisation des aléas
        Aléa sur les paramètres

             Simulation de nouveaux nombre de décès
             D xt  Poisson(erxt  xt )
               s
                                        avec  xt  exp(  x   x t )
             Obtention de nouveaux couples de paramètres (  xs , xs )

           Aléa de Modèle
              Prise en compte de l’erreur de modèle
            Ln( xt)( x   x * t )*Ct
            Ct suit une loi lognormale :
            Ct= Ct-1*exp(Xt) avec Xt qui suit une loi normale N(m,σ²)


                                                                          18
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France

  Études sur la population française

     Fermeture des Tables de mortalité

     Modèle de Denuit Goderniaux
      ln q x  a  bx  cx 2   x avec  x  N (0,  2 )iid
     Contrainte de fermeture
      q130=1 et q’130=0


     Comparaison des tables moyennes avec les tables prospectives

     Comparaison avec les taux TGHF05
     Comparaison avec les taux HMD



                                                                     19
La modélisation du risque de longévité :
Modèle statistique de longévité des rentiers
en France

  Études sur la population française

       Comparaison des tables moyennes avec les tables prospectives
       Comparaison avec les taux TGHF05

      Taux technique                          2%
      année                                  2000

      âge                   50        55        60        65       70        75       80           85      90      95
      LC                28,513    26,374    23,803    20,906   17,766    14,484    11,26         8,37   6,031   4,325
      TGF               28,406    25,956    23,302    20,397   17,289    14,087    10,96        8,155   5,893   4,294



                                      Comparaison des capitaux constitutifs

                        30
                        25
                        20
                   ax                                                                                   LC
                        15
                                                                                                        TGF
                        10
                          5
                          0
                                 50    55    60      65    70   75      80    85   90      95
                                                             Age

                                                                                                                        20
La modélisation du risque de longévité :
Tarification d’un Mortality Swap et prix du
Longevity Bond

  Le Longevity Bond de BNP Paribas

     Motivations
     Protection des Fonds de pension anglaises
     Mauvaise performance des marchés financiers


     Structure

     Caractéristiques générales
     Cadre d’étude: Hommes anglais et néo-zélandais âgés de 65 ans en 2003
     Bond lié à un indice de survie
     Taux de survie donnés par l’Office National de Statistique




                                                                              21
La modélisation du risque de longévité :
Tarification d’un Mortality Swap et prix du
Longevity Bond

  Caractéristiques générales du Longevity Bond

     Indice
     Lié à une cohorte d’hommes français âgés de 65 ans en 2008
     Calculé à partir des taux de mortalité donnés par l’INSEE
     I(0) = 1 et I(t)= I(t-1)* (1- q xt tp 2008 )


     Paiement des Coupons
     Nx rentiers; Montant annuel de rente= M euros
     Lié à un montant initial de rentes S(0)
      S(0)= Nx*M
     Coupon payé à la date t par le SPV
                         t p
      S(t+1)= S(t)*(1- q x t  2008 )



                                                                   22
La modélisation du risque de longévité :
Tarification d’un Mortality Swap et prix du
Longevity Bond

  Mécanisme du Longevity Bond

     Intervenants
                               INSEE                                    INSEE
                         t   p 65                                 t   p 65

        Assureur                                  SPV                             Réassureur
                       Prix du bond                                       REASS
                                                                  t   p   65



     Calcul de la prime
                                                            t
                                                                  TGHF
                                                                 p65 S
          P = Prix du LB =                              t

                                                     (1  TME   ) t

           S = S(0) = Nx*M
       
               TGHF
           t p 65   est le taux de survie donné par les TGHF05
           δ représente le coût de la variabilité de l’obligation
            t
                 t
                      TGHF
                     p65 S             t
                                            t
                                                 reass
                                                p65 S

           (1  TME   )     t   =    (1  TME) t



                                                                                               23
La modélisation du risque de longévité :
Tarification d’un Mortality Swap et prix du
Longevity Bond

  Tarification du Longevity Bond

     Calcul des engagements et profits
     Chargement des taux de mortalité
     Calcul de la prime de réassurance
       t   p 65  (1  [Q65 * (1  x%) * (1  z %)^ t ]) * (1  y %)
             reass




        Prime de réassurance = t p 65 *Nombre d’assurés durant année t-1*M
                                   reass



     Equilibre Actif-Passif du Réassureur
     Introduction de la notion de scénario RAC
     Remboursement au pair




                                                                             24
Simulation du Longevity Bond dans le
     portefeuille d’un assureur
Simulation du Longevity Bond dans le
     portefeuille d’un assureur

Calcul des coupons prévus

   Calcul des coupons prévus
   Calcul du coupon initial: V0 = S(0) = Nx*M
       Assureur
     t p65
                 = Max(t p65 ,t p65 05 )
                          GCap   TGHF




                                                Coupon _ prévu t
   Prime versé par l’assureur :   Pr ime  
                                           t        (1  i ) t


   Calcul du Capital Restant Du
   CRDt=CRDt-1(1+TFLB)-Coupon prévut
   Intérêtt= Coupon prévut- Capital remboursét




                                                                   26
La modélisation du risque de longévité :
Tarification d’un Mortality Swap et prix du
Longevity Bond

  Les Obligations Indexées sur l’Inflation (OATi)

     Définitions
      Protection contre l’inflation


     Caractéristiques générales
     Principal indexé
     Coupon à taux réel fixe
     Garantie de remboursement au pair
     Référence d’inflation de base = Taux d’inflation le jour à l’émission


     Traitement comptable des obligations indexées sur l’inflation

     Comparaison avec une obligation classique

                                                                              27
Simulation du Longevity Bond dans le
     portefeuille d’un assureur

Gestion du Bilan

   Valorisation des Actifs
      Méthode de comptabilisation des OATi
                                             reel
                                            px                             t
     Val _ actif t  CRDTt  (          t
                                                TGH
                                                      * CRDt  CRDt ) *
                                       t    p   x                         30


   Rentabilité des Actifs
                        Val _ actift  Val _ actift 1  Coupon _ reelt
     Rdt _ actift  (                                                   )
                                        Val _ actift _ 1



   Calcul de la Provision Mathématique
                                       reel
                                    px               p TGH
    PM (avant  revalo)        t

                                    p TGH
                                                 (1  ix) k t * rente _ revaloriséet 1
                                                k t
                                                      k

                                t     x


    PM (après _ revalo)  PM (avant _ revalo) * (1  a%)


                                                                                            28
Simulation du Longevity Bond dans le
     portefeuille d’un assureur

Gestion du Bilan

   Calculs du Résultat de l’assureur
    Rt (avant _ PB )  Pr ime t  Sinistrest  [ PM t (avant _ revalo)  PM (début)]  Intérêt _ techniquet

    Rt (après _ PB )  Pr ime t  Sinistret  PM t  Intérêt _ techniquet  PBt


   Calculs de la Participation aux Bénéfices (PB)
    PR (avant _ report )  Rt (avant _ PB ) * 90 %  Pr oduits _ financiers * 85 %

    PB = PR – Intérêts techniques
                                        PB
    Taux de revalorisation = a  PM (avant _ revalo)


   Calcul du Taux Technique Moyen (TTM)
             Intérêt _ techniquet
    TTM 
            PM (début)  Pr ime t


                                                                                                              29
Simulation du Longevity Bond dans le
     portefeuille d’un assureur

Gestion du Bilan

   Calcul de la Provision pour Aléas Financiers (PAF)
    Déclenchement de la PAF : si TTM < 80%*Taux de Rendement du Bond


   Calcul du Résultat de l’assureur en cas de PAF
    Rt  Rt  PAFt
    PAFt  PAFt  PAFt 1


Comparaison résultat avec/sans Longevity Bond

   Scénario moyen
   Scénario catastrophe : scénario RAC


                                                                       30
                     Simulation du Longevity Bond dans le
                          portefeuille d’un assureur
                                Scénario Moyen



                                  Courbe de survie                                                                       Résultats technique et financier Assureur

100,0%                                                                                        6 000 000 €

90,0%
                                                                                              5 000 000 €
80,0%

70,0%                                                                                         4 000 000 €

60,0%
                                                                                    Pricing   3 000 000 €
50,0%                                                                                                                                                                Avec longevity Bond
                                                                                    Real
40,0%                                                                                                                                                                Sans Longevity Bond
                                                                                              2 000 000 €
30,0%
                                                                                              1 000 000 €
20,0%

10,0%                                                                                                 0€
 0,0%




                                                                                                         1

                                                                                                             3

                                                                                                                 5

                                                                                                                     7

                                                                                                                         9
                                                                                                                             11

                                                                                                                                  13

                                                                                                                                       15

                                                                                                                                            17

                                                                                                                                                 19

                                                                                                                                                      21

                                                                                                                                                           23
         1   3   5   7   9   11   13   15   17   19   21   23   25   27   29   31             -1 000 000 €
                     Simulation du Longevity Bond dans le
                          portefeuille d’un assureur
                                 Scénario RAC



                                  Courbe de survie                                                                       Résultats technique et financier Assureur

100,0%                                                                                        6 000 000 €

90,0%
                                                                                              4 000 000 €
80,0%

70,0%                                                                                         2 000 000 €

60,0%
                                                                                    Pricing           0€
50,0%                                                                                                                                                                Avec longevity Bond
                                                                                    Real




                                                                                                         1

                                                                                                             3

                                                                                                                 5

                                                                                                                     7

                                                                                                                         9
                                                                                                                             11

                                                                                                                                  13

                                                                                                                                       15

                                                                                                                                            17

                                                                                                                                                 19

                                                                                                                                                      21

                                                                                                                                                           23
40,0%                                                                                                                                                                Sans Longevity Bond
                                                                                              -2 000 000 €
30,0%
                                                                                              -4 000 000 €
20,0%

10,0%                                                                                         -6 000 000 €
 0,0%
         1   3   5   7   9   11   13   15   17   19   21   23   25   27   29   31             -8 000 000 €
Conclusion
La modélisation du risque de longévité :
Conclusion



  Restriction des Modèles à des projections à Moyen terme

  Présence du risque de base

  Évaluation des conséquences monétaires




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