notions de maths appliqu�es

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                Math´matiques appliqu´es ` l’informatique
                                                                      ∗
                                         Jean-Etienne Poirrier
                                                e
                                            15 d´cembre 2005



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Table des mati`res
1 Matrices                                                                                                                             3
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  1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    3
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  1.2 Les diff´rents types de matrices . . . . . . . . . . . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    3
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      1.2.1 Les diff´rences de contenu . . . . . . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    3
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      1.2.2 Les diff´rences de forme . . . . . . . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    3
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      1.2.3 Les diff´rences d’orientation . . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
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  1.3 Matrices particuli`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
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      1.3.1 Transpos´e d’une matrice . . . . . . . . . . . . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    4
      1.3.2 Matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
      1.3.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
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      1.3.4 Matrice identit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
      1.3.5 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
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  1.4 Op´rations ´l´mentaires sur les matrices . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
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      1.4.1 Egalit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
      1.4.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
      1.4.3 Soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
      1.4.4 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
      1.4.5 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
                    ee
      1.4.6 Propri´t´s de la multiplication . . . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    8
      1.4.7 Division de deux matrices . . . . . . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
                                           e
      1.4.8 Exercice impliquant des op´rations sur les matrices               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
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  1.5 Forme ´chelonn´e normale d’une matrice . . . . . . . . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
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      1.5.1 M´thode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . .               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
                                        e
      1.5.2 Exemple appliquant la m´thode de Gauss-Jordan .                   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
      1.5.3 Le rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
        e
  1.6 D´terminants d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
                        e
      1.6.1 Notion pr´liminaire : le mineur . . . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
               e             e
      1.6.2 D´finition du d´terminant d’une matrice . . . . . .                .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   13
                    ee                     e
      1.6.3 Propri´t´s et usages d’un d´terminant . . . . . . .               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   13
                e                         e
      1.6.4 M´thodes de calcul d’un d´terminant . . . . . . . .               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   13
  1.7 L’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   14
      1.7.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   14
  ∗ Derni`re version sur http ://www.poirrier.be/ jean-etienne/notes/maths.pdf. Ce texte est soumis ` la licence
         e                                                                                          a
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              `
TABLE DES MATIERES                                                                                                                 2


    e                 e        e
2 R´solution de syst`mes d’´quations lin´aires e                                                                                  15
                         e                           e
  2.1 Existence et unicit´ de la solution d’un syst`me “carr´”  e     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   15
         e e               e
  2.2 Th´or`me de Rouch´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
        e
  2.3 M´thodes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
               e            e                           e
      2.3.1 M´thode de r´solution rapide pour syst`me 2x2 .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
               e
      2.3.2 M´thode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17
        e         e
  2.4 M´thodes it´ratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17
               e
      2.4.1 M´thode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17
               e
      2.4.2 M´thode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17

    e
3 Th´orie des ensembles                                                                                                           17

      e
4 Mod´lisation et analyse en programmation lin´aire    e                                                                          18
                          e
  4.1 La programmation lin´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                   18
1   MATRICES                                                                                          3


1       Matrices
1.1      e
        D´finition
    Une matrice A de dimension m × n est un tableau rectangulaire ` m lignes et n colonnes
                                                                        a
                                                                                      e
compos´ de nombres. Si aij d´signe l’´l´ment de la matrice A ` l’intersection de la ii`me ligne et
         e                     e       ee                         a
         e
        i`me
de la j                               e          e
             colonne, la matrice compl`te peut s’´crire sous la forme :
                                                                   
                                            a11 a12 . . . a1n
                                          a       a22 . . . a2n 
                                Am×n =  21
                                          ...
                                                                    
                                                   ... ... ... 
                                            am1 am2 . . . amn

                                                     ee                    a
    Dans aij , l’indice i indique donc la ligne de l’´l´ment (i varie de 1 ` m) et l’indice j indique sa
                        a                                                     ee
colonne (j varie de 1 ` n). Ces indices donnent l’adresse de la colonne. L’´l´ment a12 est prononc´    e
“a un deux” et pas “a douze” (on ne sait jamais).
        ee                                                                               ee
    Les ´l´ments de la diagonale principale sont : a11 , a12 , a13 , . . ., amn . Les ´l´ments de la
diagonale secondaire sont : a1n , a2(n−1) , a3(n−2) , am1 .
                         e       e        e
    Une matrice peut ˆtre not´e de diff´rentes mani`res :e
    – A
    – A (m × n)
           A
    – (m × n)
    – [aij ] i=1,...m
            j=1,...n


1.2            e
        Les diff´rents types de matrices
1.2.1            e
          Les diff´rences de contenu
                     e                ee                         e                   e
   Une matrice est r´elle si tous les ´l´ments sont des nombres r´els. On peut ainsi ´tendre cela
                 e
aux matrices enti`res (que des nombres entiers), par exemple.

1.2.2            e
          Les diff´rences de forme
                        e
    Une matrice est carr´e si m = n. Exemple                     e
                                                  de matrice carr´e :
                                                       
                                          2        4 3
                                         3        5 2 
                                          4        7 5

    De plus, si aij = aji ∀i, j, la matrice est dite sym´trique. La trace d’une matrice carr´e est
                                                        e                                   e
               ee
la somme des ´l´ments diagonaux de la matrice trA = a11 + . . . + amm .
                                                                     e
    Une matrice est rectangulaire si m = n (voir aussi les diff´rences d’orientation ci-dessous).
Exemple de matrice rectangulaire :
                                                           
                                                2 4 3 5
                                             3 5 2 6 
                                                4 7 5 8
1   MATRICES                                                                                       4


1.2.3          e
        Les diff´rences d’orientation
    Une matrice rectangulaire est horizontale si m < n. Exemple de matrice horizontale :

                                            2     4    3   4
                                            3     5    2   7

                                                                                                e
    Cas particulier de la matrice horizontale : lorsque m = 1 (une seule ligne), la matrice se r´duit
a
` un vecteur ligne de dimension n que l’on note (la signification de l’“exposant T” est r´v´l´e e ee
ci-dessous) :

                                    AT =     a1       a2   ...   an

    Une matrice rectangulaire est verticale si m > n· Exemple de matrice verticale :
                                                  
                                               2 4
                                            3 5 
                                                  
                                            4 5 
                                                  
                                            2 3 
                                               4 0

                                                                                                e
   Cas particuliers de la matrice verticale : lorsque n = 1 (une seule colonne), la matrice se r´duit
` un vecteur colonne et le second indice n’est plus n´cessaire. Le vecteur (dit alors “de dimension
a                                                       e
      e
m”) s’´crit ainsi plus simplement
                                                         
                                                     a1
                                                  a 
                                           A = 2 
                                                  ... 
                                                    am

   On peut donc dire qu’une matrice A de dimension m × n est compos´e de n vecteurs colonnes
                                                                   e
de dimension m ou de n vecteurs lignes de dimension m.
                                                          T 
                                                          A1
                                                          . 
                             Am×n = (A1 , . . . , An ) =  . 
                                                           .
                                                                  AT
                                                                   r

                                     e     a
   Lorsque m = n = 1, la matrice se r´duit ` un scalaire a11 . Donc, un scalaire est une matrice
de dimension 1 × 1.

1.3                       e
        Matrices particuli`res
1.3.1           e
        Transpos´e d’une matrice
                e                                   u             e        e
    La transpos´e d’une matrice est une matrice o` on a transpos´ (permut´) les lignes et les
colonnes. On dira que “transposer une matrice Am×n ” donnera une nouvelle matrice AT .
                                                                                   n×m
    Exemple :
                                                     
                                                2 4
                                               3 5 
                                                     
                                      A5×2 =  4 5 
                                                     
                                               2 3 
                                                4 0
1   MATRICES                                                                                          5




                                                2    3        4    2    4
                                   AT
                                    2×5 =       4    5        5    3    0

    Si A est carr´e et sym´trique, alors A = AT .
                 e         e
                   e
    Comme, par d´finition, un vecteur est toujours un vecteur-colonne, on dit que le vecteur ligne
est transpos´, d’o` la notation particuli`re (avec un “exposant T”). On peut aussi ´crire : A = AT .
             e     u                     e                                         e

1.3.2   Matrice diagonale
                                                        e
   Une matrice est diagonale quand elle est carr´e et que tous les aij = 0, sauf les aii . En
                           ee           e
d’autres termes, tous les ´l´ments situ´s sur la diagonale principale sont = 0 (aij = 0, pour tout
i = j) et tous les autres sont = 0 (aij = 0 si i = j). Exemples :
                                                               
                                            d11 0 . . . 0
                                          0 d22 . . . 0 
                                   D = .
                                                               
                                                   .     .   . 
                                          . .     .
                                                   .     .
                                                         .   . 
                                                             .
                                            0        0        . . . drr
                                                                 
                                            2        0        0
                                         = 0        5        0 
                                            0        0        5
                     e                                           e
    Pour simplifier l’´criture d’une matrice diagonale, on pourra ´crire :

                                  diag   d1     d2       d3       ...   dr

1.3.3   Matrices triangulaires
                                          e
    On parlera de matrice triangulaire sup´rieure                 si aij = 0 et si i > j. Exemple :
                                                                    
                                            2 4                    6
                                   Sm =  0 5                      3 
                                            0 0                    5

                                                 e
    A contrario, une matrice est triangulaire inf´rieure si aij = 0 et si i < j. Exemple :
                                                       
                                               2 0 0
                                      Jm =  3 5 0 
                                               1 4 5

1.3.4                  e
        Matrice identit´
                         e
   Une matrice identit´ (Im ) est une matrice                                ee
                                                     diagonale dont tous les ´l´ments de la diagonale
                  e
principale sont sp´cifiquement des 1. Exemple :
                                                            
                                            1        0 ... 0
                                          0         1 ... 0 
                                   Im =  .
                                                            
                                                     .  .  . 
                                          ..        .
                                                     .  .
                                                        .  . 
                                                           .
                                                0    0 ... 1
1   MATRICES                                                                                        6


                   ee
    Notez la propri´t´ du scalaire 1 : si on le multiplie par un nombre, on retrouve ce nombre. C’est
    e e                 ee
la g´n´ralisation du 1, ´l´ment pivot de la multiplication. Exemple (la multiplication vient plus
tard) :

                                  Am×c × Im = Im × Am×n = Am×m

1.3.5   Matrice nulle
    Une matrice nulle est la matrice dont tous les      ee
                                                        ´l´ments sont nuls. Exemple :
                                                             
                                                0        0 0
                                    O3×3 =  0           0 0 
                                                0        0 0

              e
    Comme le z´ro est neutre pour l’addition (voir l’addition ci-dessous), on aura :

                             Am×m + Om×n = Om×r + Am×m = Am×n

1.4       e        ee
        Op´rations ´l´mentaires sur les matrices
1.4.1         e
        Egalit´
                                  e
      Les matrices A et B sont ´gales si et                                e
                                               seulement si elles ont les mˆmes dimensions et si aij =
bij , ∀i, j (tous les ´l´ments sont ´gaux un
                      ee            e          ` un). Les deux matrices suivantes sont ´gales :
                                               a                                       e
                                                                   
                                           2    4               2 4
                                    A= 4       5 =B= 4 5 
                                           6    6               6 6

1.4.2   Addition
                                       a                                     ee
    L’addition des matrices correspond ` une nouvelle matrice dont chaque ´l´ment est additionn´ e
a     ee                                                                        e
` son ´l´ment correspondant (aij + bij = cij ). Les matrices doivent avoir les mˆmes dimensions.

                                       Am×n + Bm×n = Cm×n

    Exemple :
                                                                  
                                2    3     1         4      3        7
                               4    2 + 2         5 = 6         7 
                                6    4     4         6     10       10

    Remarque : cas de la matrice nulle ...

                                       Am×n + Om×n = Am×n

1.4.3   Soustraction
                                           a                                   ee
    La soustraction de matrices correspond ` une nouvelle matrice dont chaque ´l´ment est soustrait
` son ´l´ment correspondant (aij − bij = cij ). Les matrices doivent avoir les mˆmes dimensions.
a     ee                                                                        e

                                       Am×n − Bm×n = Cm×n
1   MATRICES                                                                                     7


    Exemple :
                                                                 
                                2       3     1          4       1 −1
                               4       2 − 2          5  =  2 −3 
                                6       4     4          6       2 −2

    Remarque : cas de la matrice nulle ...

                                        Am×n − Om×n = Am×n


                                        Om×n − Am×n = −Am×n

1.4.4   Multiplication par un scalaire
                                                          a                                ee
    Le produit d’un scalaire par une matrice correspond ` une nouvelle matrice dont chaque ´l´ment
est multipli´ par le scalaire. On le note k · Am×n .
            e
                                                                        
                                           k · a11 k · a12 . . . k · a1c
                            k · Am×n = 
                                              .
                                               .       .
                                                       .     .
                                                             .       .
                                                                     .   
                                               .       .     .       .   
                                               k · ar1   k · ar2   ...    k · arc

    Exemple :
                                                                             
                                              2          3      4             6
                              2 · Am×n   =2· 4          2 = 8              4 
                                              6          4     12             8

   Notez que si k = 0 → 0, alors k · Am×n = 0m×n (la matrice nulle).
   On voit ainsi que la soustraction est un cas particuliers de l’addition (soustraction = addition
et multiplication par −1) : A − B = A + (−1) · B.

1.4.5   Produit de deux matrices
                                                                    a
   Le produit de deux matrices (A et B, par exemple) correspond ` une nouvelle matrice dont
       ee             e                     e            ee
chaque ´l´ment de rang´e i de A est multipli´ par chaque ´l´ment de colonne j de B. Cela donne :
                                                                              n
                       cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . . + aic · bcj =            aik · bkj
                                                                              k=1

          e     e                                              a
    Cette ´galit´ n’est valable que si et seulement si n = n (c`d. le nombre de colonnes de A
    e                       e
est ´gal au nombre de rang´es de B).

                                         Am×n × Bn ×p = Cm×p

    Exemple :

                                             A2×3 × B3×2 = C2×2

                                                           
                                                  1       4
                                2   2    3                               15   36
                                               × 2       5 =
                                4   3    2                               16   43
                                                  3       6
1   MATRICES                                                                                        8


1.4.6         e e
        Propri´t´s de la multiplication
                  a
    Contrairement ` l’addition, la multiplication n’est pas            commutative. Premier exemple :
                                                                        
                                                         1             4
                                      2 2 3
                               A=                ;B =  2              5 
                                      4 3 2
                                                         3             6

                                                      15    36
                                     A×B =
                                                      16    43
    Et B × A n’existe pas (impossible).   Second exemple :
                                                                       
                                    2     3 4              1       4    7
                             A= 5        6 2 ;B =  2            5    2 
                                    4     2 3              3       6    3
                                                                   
                                             20            47    32
                                   A × B =  23            62    53 
                                             17            44    41
                                                                   
                                             50            41    33
                                   B × A =  37            40    24 
                                             48            51    33
   On voit que dans le cas de matrices carr´es et de mˆmes dimensions m × n, on pourra effectuer
                                           e           e
A × B et B × A. Cependant, A × B = B × A.
   D’autre part, A × B = 0 n’entraˆ pas n´cessairement que A = 0 ou B = 0. Exemple :
                                    ıne         e
                                                        
                                               1     2
                             2 2 1                            0 0
                                         ×  −2 1  =
                             4 4 2                            0 0
                                               2 −6
    De mˆme, A × B
        e            = A × C n’entraˆ pas n´cessairement que
                                    ıne    e                                  B = C. Exemple :
                                                                                     
                1    −3 2              1 4 1 0            2                    1 −1 −2
          A= 2       1 −3  ; B =  2 1 1 1  ; C =  3                      −2 −1 −1 
                4    −3 −1             1 −2 1 2           2                   −5 −1 0
                                                                    
                                       −3 −3                    0 1
                                A×B = 1  15                    0 −5 
                                       −3 15                    0 −5
                                                                    
                                       −3 −3                    0 1
                                A×C = 1  15                    0 −5 
                                       −3 15                    0 −5
    La multiplication par la matrice nulle          est commutative (A × O = O × A = O). Exemple :
                                                                                   
       1 −3 2            0 0 0           0           0 0          1 −3 2            0 0 0
     2 1 −3  ×  0 0 0  =  0                     0 0  ×  2 1 −3  =  0 0 0 
       4 −3 −1           0 0 0           0           0 0          4 −3 −1           0 0 0
                                         e e                  e
    La multiplication par la matrice unit´ n´cessite de consid´rer deux cas :
1   MATRICES                                                                                      9


    1. Si la matrice est carr´e : Am×m · Im = Im · Am×m = Am×m .
                             e
    2. Si la matrice est rectangulaire (non carr´e) : Am×n · Im = Bm×n = Im × Am×n . Exemple :
                                                e
                                                                 
                            2   1                             2   1
                                             1   0
                           0   1    ·                    = 0   1 
                                             0   1
                            1   4 3×2                2×2      1   4 3×2

1.4.7    Division de deux matrices
   Pour rappel, la division est en fait un produit : 8/4 = 8 = 8· 1 = 8·4−1 (sauf si le d´nominateur
                                                           4      4                      e
                    e e          e
= 0). Ainsi, si on g´n´ralise sch´matiquement, on devrait avoir :

                                     A     1
                                       =A×   = A × B −1
                                     B     B
                                                                          ıtre      e
   Il nous faut donc inverser une matrice. Pour cela, nous devons connaˆ son d´terminant. Ces
                          e           e
deux notions seront peut-ˆtre expliqu´es au cours, plus tard (voir section 1.6.2 et 1.7).
                                                                                  e
   Notez que, si on ne sait pas inverser une matrice, on dira qu’elle est “singuli`re”.

1.4.8                              e
         Exercice impliquant des op´rations sur les matrices
         e                                  e     e
   Andr´, Bernard et Charlotte ont achet´ diff´rents vins lors de leur voyage en Hongrie. S’ils les
 e         a                                e
d´clarent ` la douane, en passant la fronti`re, ils devront payer, pour chaque bouteille, des droits
                                                                     e
d’accises (sorte de taxes). Le prix de revient de ces vins est indiqu´ dans le tableau suivant.
        Nom du vin         Prix du vin Droit de douane
         Tokay Aszu           10.075           0.4875
      Sang de taureau           3.4            0.4375
     Balaton mousseux           5.5             1.475
     Cidre du Danube           3.35              0.3
   Leurs achats sont les suivants :
            e
   – Andr´ : 6 bouteilles de Tokay Aszu, 24 bouteilles de Sang de taureau, 24 bouteilles de Balaton
      mousseux et 6 bouteilles de Cidre du Danube ;
   – Bernard : 10 bouteilles de Tokay Aszu, 12 bouteilles de Sang de taureau et 24 bouteilles de
      Balaton mousseux ;
   – Charlotte : 12 bouteilles de Tokay Aszu, 6 bouteilles de Sang de taureau, 8 bouteilles de
      Balaton mousseux et 15 bouteilles de Cidre du Danube ;
   Inscrivez la matrice des commandes :
                                                          
                                          6 24 24 6
                                      10 12 24 0 
                                         12 6 24 14 3×4

                                                     e
   Dans la matrice des commandes, chaque ligne repr´sente les choix de chacune des personnes
      e                                             e
(Andr´, Bernard ou Charlotte) et chaque colonne repr´sente la commande pour chacun des vins.
   Inscrivez la matrice des prix :
                                                     
                                      10.075 0.4875
                                    3.4      0.4375 
                                                     
                                    5.5       1.475 
                                       3.35     0.3    4×2
1   MATRICES                                                                                       10


                                                  e           u       e a
    Dans la matrice des prix, chaque ligne repr´sente les coˆts associ´s ` un vin et chaque colonne
     e                  a
repr´sente soit le prix ` la bouteille et les droits de douane.
                                                                                     e
    Calculons les prix totaux, pour chacune des personnes et chacun des vins, en s´parant le prix
 e                                                                              e e
r´el du vin et les taxes. Pour cela, on profite du fait que les deux matrices pr´c´dentes sont bien
       e         e
dispos´es pour r´aliser une multiplication :

                                  P rixDetail = Commandes · P rix

                                                                     
                                                294.15         50.625
                                P rixDetail =  273.55         45.525 
                                                320.2          48.075 3×2

                                                                        a
    Et, pour obtenir le prix total que chacune des personnes doit payer ` la douane, il suffit d’ad-
ditionner, pour chaque ligne (chaque personne), la colonne 1 et la colonne 2 :

                           P rixT otal = P rixDetail<1> + P rixDetail<2>

                                                           
                                                    344.775
                                    P rixDetail =  319.075 
                                                    368.275 3×1

1.5           e       e
        Forme ´chelonn´e normale d’une matrice
    Dans la suite du cours, nous aurons besoin de la notion de rang d’une matrice. Le rang d’une
                                                     e             e               e
matrice est le nombre de lignes ou de colonnes lin´airement ind´pendantes apr`s avoir enlev´ les e
                                                                           e
colonnes ou lignes nulles (ne contenant que des 0). Le rang des lignes est ´gal au rang des colonnes.
                               e
Le rang de la matrice est not´ ρ(A).
               e                                        e     a      e                     e
    On peut d´terminer le rang d’une matrice en proc´dant ` une ´limination via la m´thode de
                                         e        e e
Gauss-Jordan et en examinant la forme ´chelonn´e r´duite obtenue de cette mani`re.   e

1.5.1     e
         M´thode de Gauss-Jordan
          e                                 a e
    La m´thode de Gauss-Jordan sert donc ` d´terminer le rang d’une matrice. Elle sert aussi `   a
r´soudre un syst`me d’´quations lin´aires de type A · x = b (avec A, x et b = matrices ; voir plus
 e               e      e          e
                                                          e      e
loin). Mais on va d’abord s’occuper de trouver la forme ´chelonn´e normale d’une matrice et son
rang.
    Soit la matrice A suivante :
                                                             
                                         a11 a12 . . . a1n
                                      a21 a22 . . . a2n 
                                 A= .
                                                             
                                                .    ..     . 
                                      .  .     .
                                                .       .   . 
                                                            .
                                            an1    an2   ...    ann

                                a         e              e        e        ee
     On va maintenant appliquer ` la premi`re ligne une s´rie d’op´rations ´l´mentaires, en prenant
  ee                                                       ca                  ca
l’´l´ment a11 comme “pivot” (ne pas demander pourquoi ¸` s’appelle comme ¸` : c’est ainsi). Les
   e
op´rations sont :
                       e
    1. diviser la premi`re ligne par a11 (pivot) ; ainsi, le “nouveau a11 ” devient 1 ;
                            ee                                    ee                               e
    2. soustraire de chaque ´l´ment de la seconde ligne (a2i ), l’´l´ment correspondant de la premi`re
                     e                        e
       ligne multipli´ par a21 . De cette mani`re, le “nouveau a21 ” devient 0 ;
1   MATRICES                                                                                         11


                            ee                  e                   ee                               e
    3. soustraire de chaque ´l´ment de la troisi`me ligne (a3i ), l’´l´ment correspondant de la premi`re
                     e                         e
       ligne multipli´ par a31 . De cette mani`re, le “nouveau a31 ” devient 0 ;
    4. . . .
    5. soustraire de chaque ´l´ment de la neme ligne (ani ), l’´l´ment correspondant de la premi`re
                             ee                                ee                               e
                     e                        e
       ligne multipli´ par an1 . De cette mani`re, le “nouveau an1 ” devient 0 ;
       e        e                                a
    Apr`s ces op´rations, la matrice A ressemble `     ceci :
                                        a12                           a1n        
                               1         a11           ...             a11
                              0 a22 − a12 · a21       ...      a2n − a1n ∗ a21   
                       A= .
                                                                                 
                                          .            ..              .
                              .          .                            .
                                                                                  
                               .          .               .            .          
                                   0 an2 − a12 · an1   ...      ann − a1n ∗ an1

                              e      e        a                               e e
    Ensuite, on applique les mˆmes op´rations ` la ligne 2. Pour plus de clart´, d´taillons ces
  e
op´rations :
    1. diviser la seconde ligne par a22 (pivot) ; ainsi, le “nouveau a22 ” devient 1 ;
                            ee                  e                  ee
    2. soustraire de chaque ´l´ment de la premi`re ligne (a1i ), l’´l´ment correspondant de la seconde
                     e                        e
       ligne multipli´ par a12 . De cette mani`re, le “nouveau a12 ” devient 0 ;
                            ee                  e                   ee
    3. soustraire de chaque ´l´ment de la troisi`me ligne (a3i ), l’´l´ment correspondant de la seconde
                     e                        e
       ligne multipli´ par a32 . De cette mani`re, le “nouveau a32 ” devient 0 ;
    4. . . .
    5. soustraire de chaque ´l´ment de la neme ligne (ani ), l’´l´ment correspondant de la seconde
                             ee                                ee
                     e                        e
       ligne multipli´ par an2 . De cette mani`re, le “nouveau an2 ” devient 0 ;
       e        e
    Apr`s ces op´rations, la matrice A              a
                                          ressemble ` ceci :
                                                      a1n
                                                      a11 − a2n ∗ a12
                                                                                 
                                1 0       ...
                              0 1                      a2n −a1n ∗a21
                                          ...                a22
                                                                                  
                        A= . .
                                                                                 
                              . .        ..                  .
                                                              .
                                                                                  
                                . .           .               .                   
                                0 0       . . . ann − a1n ∗ an1 − a2n ∗ an2

                            a         a         e             e             e     e
   Et ainsi de suite, jusqu’` arriver ` la derni`re ligne. Apr`s cette derni`re op´ration, la matrice
                     a                                        e        e
A devrait ressemble ` quelque chose comme ceci : la forme ´chelonn´e normale de la matrice.
                                                             
                                              1 0 ... 0
                                             0 1 ... 0 
                                      A= . . .
                                                             
                                             . .
                                               . .     .. . 
                                                            . 
                                                            .
                                                0   0 ... 1

1.5.2                             e
           Exemple appliquant la m´thode de Gauss-Jordan
    Soit la matrice A suivante :
                                                                  
                                           1        1 1          3
                                       A= 2        3 7          0 
                                           1        3 −2        17

                     e        ee                              e
    Appliquons les op´rations ´l´mentaires sur la ligne 1. Apr`s cela, la matrice A devient :
1     MATRICES                                                                                      12



                                                     
                                            1 1 1  3
                                      A =  0 1 5 −6 
                                            0 2 −3 14

                       e        ee                              e
      Appliquons les op´rations ´l´mentaires sur la ligne 2. Apr`s cela, la matrice A devient :
                                                              
                                             1 0 −4          9
                                     A= 0 1           5    −6 
                                             0 0 −13 26

                                e        ee
   Finalement, appliquons les op´rations ´l´mentaires                 e             e
                                                          sur la derni`re ligne. Apr`s cela, la matrice
A devient :
                                                            
                                            1 0 0          1
                                   A= 0 1 5              −6 
                                            0 0 1         −2

1.5.3     Le rang d’une matrice
                                                                                 e
    Donc, le rang d’une matrice est le nombre de lignes ou de colonnes lin´airement ind´-        e
                  e               e
pendantes apr`s avoir enlev´ les colonnes ou lignes nulles (ne contenant que des 0). Le
                     e                                                         e
rang des lignes est ´gal au rang des colonnes. Le rang de la matrice A est not´ ρ(A).
               e                                        e     a     e                    e
    On peut d´terminer le rang d’une matrice en proc´dant ` une ´limination via la m´thode de
                                          e       e e
Gauss-Jordan et en examinant la forme ´chelonn´e r´duite obtenue de cette mani`re. e
                                           e e
    Ainsi, dans l’exemple de la section pr´c´dente, le rang de la matrice A est 3. En effet, 3 est le
                                     e            e
nombre de lignes ou de colonnes lin´airement ind´pendantes (et il n’y a pas de colonnes ou lignes
       a                         e        e e                                      e
nulles ` enlever) dans la forme ´chelonn´e r´duite. Cette nouvelle matrice a le mˆme rang que la
matrice originale
                           e            e                                           e
    Maintenant, on peut ´galement d´terminer le rang d’une matrice de mani`re “intruitive”
   e                                    a
(mˆme si c’est beaucoup plus difficile ` mettre en algorithme). On jouera alors sur le caract`re  e
    e              e
“lin´airement ind´pendant” des lignes et colonnes. Par exemple, examinons cette matrice :
                                                            
                                               2   4 1 3
                                           −1 −2 1 0 
                                     A=   0
                                                             
                                                   0 2 2 
                                               3   6 2 5

    On voit que la 2eme colonne est le double de la premi`re colonne. On note ´galement que la
                                                           e                     e
    eme
4                  e    a                     e                 e
      colonne est ´gale ` la somme de la premi`re avec la troisi`me. Les colonnes 1 et 3 sont ainsi
   e             e                                              e    a    e
lin´airement ind´pendantes. Le rang de cette matrice est donc ´gal ` 2 (v´rifiez-le en calculant la
       e       e e
forme ´chelonn´e r´duite de A).

1.6        e
          D´terminants d’une matrice
1.6.1              e
          Notion pr´liminaire : le mineur
                       ee
    Un mineur Aij de l’´l´ment aij de la matrice A est la sous-matrice obtenue en supprimant
la ligne et la colonne de A qui se croisent en aij , multipli´ par (−1)i+j .
                                                                 e
                                                                   e e
    Et, pour comprendre, voici un exemple. Reprenons la matrice pr´c´dente et essayons de trouver
                   ee
le mineur A11 de l’´l´ment a11 .
1   MATRICES                                                                                              13



                                                                 
                                               2 4            1 3
                                             −1 −2           1 0 
                                          A=
                                             0
                                                                  
                                                 0            2 2 
                                               3 6            2 5
                                                                           
                                  −2      1 0                 −2          1 0
                        A11    = 0       2 2  · (−1)1+1 =  0           2 2  (·1)
                                   6      2 5                 6           2 5

1.6.2     e            e
         D´finition du d´terminant d’une matrice
         e                               e     a                               ee
   Le d´terminant de la matrice A est ´gal ` la somme des produits des ´l´ments d’une
     e                              e              e              e
rang´e par leur mineur. Cette d´finition est r´cursive : le d´terminant d’une matrice de taille
n utilise les d´terminants de matrices de taille n − 1, etc., jusqu’` 1.
               e                                                    a
         e               e                                                  c
   Num´riquement, le d´terminant est donc un scalaire et se calcule de la fa¸on suivante :
                                                     a b
                                           det             = ad − bc
                                                     c d

1.6.3          e e                  e
         Propri´t´s et usages d’un d´terminant
    1.      e                                                                         e        e
       Le d´terminant d’une matrice change de signe si l’on permute deux de ses rang´es parall`les
    2.      e                                        e                           e
       Le d´terminant d’un produit des matrices est ´gale au produit de leurs d´terminants
    3.       e                                  e             e         e
       Un d´terminant est nul si la matrice poss`de deux rang´es parall`les identiques
    4.      e                                                   a              e
       Un d´terminant ne change pas de valeur lorsqu’on ajoute ` l’une des rang´es une combinaison
          e                    e         e
       lin´aire des autres rang´es parall`les
                                   ee                 e
    5. La somme des produits des ´l´ments d’une rang´e par les mineurs correspondants d’une autre
            e        e
       rang´e parall`le est nulle

1.6.4     e                       e
         M´thodes de calcul d’un d´terminant
    Finalement, tout est encore mieux avec quelques exemples ...
                                 2 3
                      D=                   ; det(D) = 2 · (−2) − 3 · 3 = −4 − 9 = −13
                                 3 −2
                                
                          2 3 −2
                    E =  3 −2 1  ; det(E) = 2 · E11 + 3 · E12 + (−2) · E13
                          3 2  3

                 −2    1                          3   1                           3 −2
         =2·                   · (−1)1+1 + 3 ·             · (−1)1+2 + (−2) ·               · (−1)1+3
                 2     3                          3   3                           3 2

         = 2 · (−2 · 3 − 1 · 2) · (−1)2 + 3 · (3 · 3 − 1 · 3) · (−1)3 + (−2) · (3 · 2 − −2 · 3) · (−1)4

                           = 2 · (−6 − 2) · 1 + 3 · (9 − 3) · (−1) + (−2) · (6 + 6) · 1

                      = 2 · (−8) + 3 · 6 · (−1) + (−2) · 12 = −16 − 18 − 24 = −58
1   MATRICES                                                                                         14


1.7     L’inverse d’une matrice
   Une matrice carr´e An×n admet une matrice inverse A−1 si leur produit est ´gal ` la matrice
                   e                                                         e    a
       e
identit´.
                                                 A · A−1 = I
                                   e
    Les conditions suivantes sont ´quivalentes :
    – A est invertible
                               e            e
    – Les lignes de A sont lin´airement ind´pendantes
                                 e             e
    – Les colonnes de A sont lin´airement ind´pendantes
           e                                  e                 e
    – Le d´terminant de A = 0 (c’est le “crit`re d’invertibilit´”)
    – Le rang de A = n.
                                                                        e
    Si on ne sait pas inverser une matrice, on dira qu’elle est “singuli`re”.
    Soit A une matrice carr´e n × n de d´terminant non nul :
                             e            e
                                                             
                                              a11 . . . a1n
                                     A= .         ..     . 
                                           .             . 
                                               .      .   .
                                                  an1    ...   ann
    Alors,
                                                                         T
                                                 A11           ...    A1n
                                           1     .            ..      . 
                                A−1   =        · .
                                                  .               .    . 
                                                                       .
                                        det(A)
                                                 An1           ...    Ann
     u
    o` les coefficients Aij sont les mineurs des positions correspondantes.

1.7.1   Exemples
                                                  2 3
    Calcul de l’inverse de la matrice F2×2 =                                         e
                                                          . D’abord, on calcule le d´terminant de la
                                                  4 5
matrice F (pour voir s’il n’est pas nul) ; ensuite (puisqu’il n’est pas nul), on calcule l’inverse ...
                                                 2   3
                                 det(F ) =               = 10 − 12 = −2
                                                 4   5

                                             T
                          1      5 −4                −1   5 −3              5 −3
                F −1 =      ·                    =      ·             =
                         −2      −3 2                2   −4 2              −4 2
                                                              
                                                  −1 2 5
    Calcul de l’inverse de la matrice G3×3 =  1 2 3 . D’abord, on calcule le d´terminant  e
                                                  −2 8 10
de la matrice G (pour voir s’il n’est pas nul) ; ensuite (puisqu’il n’est pas nul), on calcule l’inverse
...
                                                det(G) = 32
                                                                                  T
                                  2        3             1  3               1 2
                                                     −
                              
                                 8       10            −2 10              −2 8    
                                                                                   
                           1      2        5          −1 5                 −1 2
                   G−1
                                                                                   
                         =   · −                                       −          
                           32 
                                  8       10          −2 10                −2 8   
                                                                                   
                                  2       5            −1 5              −1 2     
                                                     −
                                   2       3              1 3              1 −2
2    ´                `      ´            ´
    RESOLUTION DE SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES                                                      15



                                           T                                 
                                  −4 −16 12           −4                  20 −4
                           1                   1 
                   G−1   =    ·   20  0  4  =    ·   −16                 0   8 
                           32                  32
                                  −4  8  −4           12                   4 −4

                                                 1      5    1
                                                                 
                                                −8      8   −8
                                      G−1        1
                                            =  −2      0    1
                                                             4
                                                                  
                                                   3    1     1
                                                   8    8   −8

2      e                e      e            e
      R´solution de syst`mes d’´quations lin´aires
    Un syst`me lin´aire est tout syst`me m × n de m ´quations lin´aires ` n inconnues (x1 , x2 , . . .,
             e      e                   e                   e            e  a
              e
xn ). Il se pr´sente sous la forme :
                             
                              a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn = b1
                             
                                a21 · x1 + a22 · x2 + . . . + a2n · xn = b2
                             
                              ...
                             
                                am1 · x1 + am2 · x2 + . . . + amn · xn = bm
                             

     u
    o` :
                                e
    – x1 , x2 , . . . , xn repr´sentent les inconnues ;
                                  e                             e
    – a11 , a12 , . . . , a1n repr´sentent les coefficients (aij r´els) ;
                               e                                         e              e e
    – b1 , b2 , . . . , bm repr´sentent les seconds membres ou termes ind´pendants (bi r´els ´galement) ;
    – 1 ≤ i ≤ m;
    – 1≤j≤n.
                     e            e
    Un tel syst`me peut s’´crire sous forme matricielle :

                                            A(m,n) · x(n) = bn

     u
    o` :
                                        e
    – A = (ai,j ) est la matrice du syst`me,
    – x est la matrice colonne des xi ,
    – b la matrice colonne des bi .
             e     e             e
    Un syst`me d’´quations lin´aires peut avoir :
                e                                                  e
    – autant d’´quations qu’il y a d’inconnues, on le dit ici “carr´” (ou le dira “rectangulaire” dans
      le cas contraire,
                 e                                             e        e               e e
    – ou plus d’´quations que d’inconnues, il est alors “surd´termin´” et il n’a, en g´n´ral, pas de
                                                                       e          e
      solution exacte (mais on peut lui trouver une solution approch´e par la m´thode des moindres
           e
      carr´s),
                                    e                              e       e               e e
    – ou plus d’inconnues que d’´quations, il est alors “sous-d´termin´” et il a, en g´n´ral, une
              e                       e
      infinit´ de solutions qui se pr´sentent sous la forme de relations entre les inconnues. Dans ce
                          e
      cas, on ne peut pr´cise les valeurs des inconnues qu’en choisissant arbitrairement les valeurs
      de certaines d’entre elles.

2.1                       e                         e        e
       Existence et unicit´ de la solution d’un syst`me “carr´”
             e                 e          e         e
    – Si le d´terminant du syst`me est diff´rent de z´ro, il y a une solution unique ;
             e                 e       e    a e
    – Si le d´terminant du syst`me est ´gal ` z´ro,
2    ´                `      ´            ´
    RESOLUTION DE SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES                                                 16




                                    e       e            e e            e
                        Fig. 1 – Sch´ma de d´cision du th´or`me de Rouch´

        – ou bien le second membre est dans le sous-espace sous-tendu par les colonnes de la matrice
                 e                        e
          du syst`me et il y a une infinit´ de solutions ;
        – ou bien le second membre n’est pas dans le sous-espace sous-tendu par les colonnes de la
                           e                                           e
          matrice du syst`me et il n’y a pas de solution exacte du syst`me. On pourra lui chercher
                                 e                             e                         e
          des solutions approch´es en se ramenant (avec la m´thode des moindres carr´s) au cas
            e e                         e e               e
          pr´c´dent ; il y en aura, en g´n´ral, une infinit´.

2.2        e e            e
         Th´or`me de Rouch´
            e       e                             e
     Le syst`me lin´aire est compatible s’il poss`de au-moins une solution de x et incompatible
s’il n’y a pas de solutions.
                        e
     On dit que le syst`me est compatible si, et seulement si, ρ(A) = ρ(A, b) = r. De plus,
     – si r = n et n ≤ m, le nombre d’´quations doit ˆtre au-moins ´gale au nombre d’inconnues.
                                        e               e             e
       La solution est unique.
     – si r < n, la solution d´pend de n − r solutions arbitraires.
                              e
        e
     Sch´matiquement, cela donne la figure 1 ...

2.3       e
         M´thodes simples
2.3.1      e          e                         e
          M´thode de r´solution rapide pour syst`me 2x2
                    a11 · x + a12 · y = d1
           e
    Le syst`me                               est mis sous forme matricielle :
                    a21 · x + a22 · y = d2

                                      a11    a12       x         d1
                                                   ·        =
                                      a21    a22       y         d2
              e
    La forme r´solue de ces matrices est :
3     ´
    THEORIE DES ENSEMBLES                                                                                  17




                           x                   1                a11        −a12          d1
                                 =                         ·                      ·
                           y         a11 · a22 − a12 · a21      −a21       a22           d2

    Cette solution n’est possible que si le d´terminant de syst`me a11 · a22 − a12 · a21 = 0.
                                             e                 e

2.3.2     e
        M´thode de Cramer
                        
                         a11 · x + a12 · y + a13 · z = d1
    Prenons le syst`me
                   e       a21 · x + a22 · y + a23 · z = d2
                           a31 · x + a32 · y + a33 · z = d3
                        
                    e                         c                e          a
    On calcule les d´terminants en commen¸ant par celui du syst`me, c’est-`-dire :

                                                        a11    a12   a13
                                            D = det     a21    a22   a23
                                                        a31    a32   a33

                          e            u                  a
  On calcule ensuite les d´terminants o` on remplace tour ` tour une colonne par le second
              a
membre, c’est-`-dire :

                      d1   a12       a13                 a11    d1   a13                  a11   a12   d1
         Dx = det     d2   a22       a23   , Dy = det    a21    d2   a23    , Dz = det    a21   a22   d2
                      d3   a32       a33                 a31    d3   a33                  a31   a32   d3

           e                                                        e
    Si le d´terminant D est non nul, il y a une solution unique donn´e par :
                                                 Dx      Dy      Dz
                                            x=      ,y =    ,z =
                                                 D       D       D

2.4      e         e
        M´thodes it´ratives
                 e e        e         e                         a               e     e
   Le principe g´n´ral des m´thodes it´ratives est le suivant : ` partir du syst`me d’´quations
  e e
pr´c´dent (section 2),
    1. on d´finit une solution approch´e x∗ , x∗ , . . . , x∗
           e                         e 1 2                 n
    2. on remplace dans le syst`me et on obtient une solution x1 , x1 , . . . , x∗
                               e                               1    2            1
                                          e e                 e
    3. on remplace la solution du point pr´c´dent dans le syst`me et on obtient une solution
       x2 , x2 , . . . , x2
        1    2            n
    4. et ainsi de suite, jusqu’` ce que xj tende vers la solution du syst`me donn´.
                                a         i                               e       e
                           e         e               e
    Nous verrons ici deux m´thodes it´ratives : les m´thodes de Jacobi et Gauss-Siedel.
    *** Fin provisoire ***

2.4.1     e
         M´thode de Jacobi
2.4.2     e
         M´thode de Gauss-Seidel

3         e
        Th´orie des ensembles
   Excuse pour ne pas encore avoir fait ce chapitre : L TEX ne fait pas facilement les diagrammes
                                                      A

d’Euler-Venn. Conclusion : ce chapitre existera quand j’aurai le temps de m’y mettre.
4      ´                                        ´
    MODELISATION ET ANALYSE EN PROGRAMMATION LINEAIRE                                              18




                                e       e                         e
                    Fig. 2 – Sch´ma des ´tapes du processus de mod´lisation


4        e                                        e
      Mod´lisation et analyse en programmation lin´aire
4.1                        e
       La programmation lin´aire
                            e                    e
    La programmation lin´aire est l’outil math´matique qui permet d’analyser divers types de
                                                              e
situations dans lesquelles nous retrouvons une fonction lin´aire d’un certain nombre de variables
            e
que l’on d´sire maximiser ou minimiser.
                         e                  e                         a
    Ces variables, appel´es variables de d´cision, sont soumises ` des restrictions par les res-
              e                                                                        e
sources limit´es de la situation que nous voulons analyser. Ces restrictions impos´es prennent la
          e                e            e
forme d’´quations ou d’in´quations lin´aires.
         ee                 e                        e
    Les ´l´ments d’un mod`le de programmation lin´aire sont donc :
                           e
    – Les variables de d´cision. Il faut se poser la question suivante : est-ce que l’identification
                         e                                a     e                  e
      des variables de d´cision va nous permettre, suite ` la r´solution du probl`me, une prise de
        e         e                   a
      d´cision ad´quate, compatible ` l’aspect pratique de la situation ?
                            e             e
    – Les contraintes lin´aires. Il faut ˆtre en mesure d’identifier tout genre de restrictions qui
                                                                        e                    e
      peuvent limiter les valeurs que peuvent prendre les variables de d´cision. Existe-t-il ´galement
                                                                     e
      des restrictions ou exigences minimales sur les variables de d´cision ?
                     e                                                               e
    – La fonction ´conomique ou fonction objectif. A chaque variable de d´cision qui a ´t´         ee
              e               e                               e
      identifi´e dans le mod`le correspond un coefficient ´conomique indiquant la contribution
                                            a
      unitaire de la variable correspondant ` l’objectif poursuivi.
                                                            e
    Dans le domaine de la gestion, la programmation lin´aire est un outil informatique qui per-
                      e
met d’obtenir une r´partition optimale des ressources de l’entreprise pour atteindre l’objectif de
                     e e
maximisation des b´n´fices ou de la minimisation des coˆts.u
         e      a                                 e                 e      e
    Les ´tapes ` suivre dans le processus de mod´lisation sont sch´matis´es aux figures 2 et 3.
4      ´                                        ´
    MODELISATION ET ANALYSE EN PROGRAMMATION LINEAIRE              19




                             e       e                 e
                 Fig. 3 – Sch´ma de m´thodologie de mod´lisation

				
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