Docstoc

Il Fair Value Di Contratti Di Assicurazione Sulla Vita Analisi

Document Sample
Il Fair Value Di Contratti Di Assicurazione Sulla Vita Analisi Powered By Docstoc
					              Istituto Italiano Attuari
                     Seminario
                  2 Dicembre 2008

  Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un
confronto tra approccio standard e modello stocastico

    Luca Bianchi                    Paolo De Angelis
 Gruppo Aviva Italia             Università Sapienza Roma
Indice dell’intervento


 1. Solvency II: Riferimenti normativi
 2. Modello Standard:
        Aspetti metodologici
        Applicazioni
 3. Modello stocastico:
        Opzioni implicite
        Fonti di rischio e modelli stocastici dinamici
        Parametri market consistent
        Applicazioni
 4. Considerazioni finali



                                                          2
                     L. BIANCHI


 1. Solvency II: Riferimenti normativi

 2. Modello Standard:
       Aspetti metodologici
       Applicazioni




                                          3
            Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
            approccio standard e modello stocastico. La normativa sulle
            riserve in 15 punti (1)

   Bozza di direttiva comunitaria 10.7.07
   1. art 74: la valutazione delle riserve tecniche (brevemente TP) deve essere basata sul “current exit
    value”… in “a prudent, reliable and objective manner”.
   2. art. 73: le “liabilities” devono corrispondere al valore presumibile di scambio fra controparti disposte ad
    effettuare la transazione alla pari.
         Ci sono diverse interpretazioni fra le quali quella del CRO Forum (documento emesso nel luglio 2008) secondo il
          quale l’Impresa che riceve le riserve e gli attivi non ha un portafoglio storico (è vuota) e quindi non ha un bagaglio
          di conoscenze storiche tali da poter proporre un’alternativa valida alle ipotesi specifiche dell’impresa che le
          trasferisce il portafoglio.
   3. art 75:[TP] è la somma della “best estimate” e del “risk margin”….
   4. art 75: Best estimate e risk margin sono da valutare “separatamente” a meno che i futuri flussi di cassa
    possano essere replicati utilizzando strumenti finanziari il cui valore di mercato è direttamente osservabile
    [“hedgeable risks”].
   5. La best estimate deve essere pari alla media ponderata dei futuri flussi di cassa, considerando il valore
    temporale del denaro tramite l’utilizzo della curva di tassi privi di rischio. Art.73: Nessun aggiustamento è
    consentito per tener conto del proprio merito di credito [è vietato in particolare l’aggiunta di uno spread
    alla curva dei tassi].




                                                                                                                                   4
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La normativa in 15 punti
(2)

   6 art 75: La best estimate deve basarsi su ipotesi (6a) aggiornate (6b) credibili e (6c) realistiche su
    (6d) tutti i flussi di cassa sia “inflows” che “outflows” derivanti (6e) sia da operazioni di lavoro
    diretto che indiretto e (6f) per tutta la vita attesa del portafoglio.
         (6d): Gli outflows e gli inflows sono le componenti rispettivamente positive e negative delle riserve. Ad
          esempio i caricamentti sono inflows mentre le spese future sono outflows. I proventi degli investimenti
          sono esclusi dagli inflows e, in loro vece, c’è la considerazione dei rendimenti proporzionali alle stesse
          riserve tecniche che risultano implicite nell’attualizzare a tassi privi di rischio, cioè a tassi di rendimento
          equiparabili ai tassi di rendimenti dell’attivo (proventi degli investimenti).
   7 art 76: I flussi di cassa devono includere tutte le spese che saranno sostenute per far fronte agli
    impegni assicurativi e su quelle si deve tener conto dell’inflazione; tutti gli impegni verso i
    “policyholders” e [più in generale] verso i beneficiari, inclusi i “future discretionary bonuses” sia
    che siano garantiti dal contratto sia che non lo siano [obbligazioni di fatto]
   8 art 75: La best estimate deve essere costituita al lordo del lavoro ceduto.
   9 art 79: le riserve [best estimate] a carico della riassicurazione passiva devono essere aggiustate
    per tener conto delle perdite attese per il default del riassicuratore. Questo aggiustamento deve
    essere basato su una stima della probabilità di default della controparte e della perdita media che
    ne deriva.
         Questo articolo stabilisce (1) che chi trasferisce l’aliquota “alfa” del proprio rischio, trasferisce una quota
          minore di alfa della propria best estimate; (2) che non c’è risk margin esplicito sul lavoro ceduto. Da
          notare, inoltre, che il rischio di controparte del riassicuratore è un componente dell’SCR nonostante tale
          rischio sia già incluso nel calcolo della best estimate ceduta.

                                                                                                                            5
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La normativa in 15 punti
(3)

   10. art 77. [TP] devono tener conto del valore delle garanzie finanziarie e di qualunque opzione
    inclusa nel contratto. Ogni ipotesi sulla possibilità di esercitare tali opzioni, incluse quelle sulle
    decadenze anticipate e sui riscatti, devono essere realistiche e basate su informazioni aggiornate e
    credibili. Occorre tener conto dell’impatto che mutamenti delle condizioni finanziarie e non
    finanziarie possono avere nelle ipotesi sulle [frequenze delle] opzioni.
         Questo articolo poggia le basi per le valutazioni stocastiche da adottare quando il contraente ha la
          possibilità di esercitare opzioni contrattuali a lui favorevoli ed in particolare quelle che risulteranno
          favorevoli in relazione al realizzarsi di certe condizioni finanziare nel mercato. Lo puntualizza il manuale
          tecnico del QIS4 alla voce TS.II.D.42. Lo stesso manuale stabilisce alla voce TS.II.D.42 che l’uso della
          simulazione stocastica è da preferire per i contratti “with-profit”.

   11. art 75. Il risk margin [calcolato solo per rischi non hedgeable] è il costo del margine di
    solvibilità. Il “Cost of Capital Rate” è lo stesso per il lavoro diretto ed indiretto.
         La direttiva non descrive in dettaglio la formulazione del risk margin. Per questo occorre guardare i lavori
          del CEA che hanno ispirato i QIS terzo e quarto ed il lavoro del CRO Forum del luglio 2008 che si occupa
          in particolare dei principi sottostanti la determinazione del “cost of capital rate”

   12. art 78. Le imprese devono segmentare il portafoglio in rischi omogenei creando gruppi che
    abbiano come minimo dettaglio la linea di business.
         La direttiva si preoccupa della segmentazione nonostante questa non incida affatto sulla valutazione delle
          best estimate deterministica: questa è sempre la stessa a prescindere dall’unita di valutazione (unit of
          account). Tuttavia la segmentazione incide sulla valutazione del risk margin perché questa componente di
          riserva - legata principalmente al rischi di underwriting - deve essere valutata per ciascun gruppo senza
          compensazione fra gruppi. La segmentazione significa dunque l’accumulo di tante riserve risk margin
          senza poter usare le matrici di correlazione per la diversificazione dei rischi fra gruppi distinti.


                                                                                                                         6
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La normativa in 15 punti
(4)

   13. Il manuale tecnico del QIS4 stabilisce che nella proiezione dei flussi futuri di cassa occorre
    tener conto del comportamento degli assicurati (voci da TS.II.D.11 a TS.II.D.15) ed in particolare
    la loro reazione a cambiamenti nei mercati finanziari e la reazione alla riduzione della solvibilità
    dell’assicuratore. Lo stesso manuale specifica che è doveroso includere le “management actions”
    alla voce TS.II.D.16.
         Le management actions sui contratti rivalutabili italiani sono azioni prevedibili sugli attivi a copertura delle
          gestioni separate, sulla base di politiche di Impresa già note alla data di valutazione, che incidono sul
          rendimento degli stessi e quindi anche sulle rivalutazioni future da mettere a riserva. La voce TS.II.D.34
          limita la previsione dei rendimenti degli attivi ai tassi “forward” impliciti nella curva risk free, e subito
          dopo puntualizza che ciò vale laddove non ci sono “financial options and guarantees”, dunque escludendo
          da tale ambito i contratti profit sharing. Il documento emesso dal CRO Forum nel luglio 2008 sostiene che i
          rendimenti dell’attivo a fronte di contratti profit sharing si basano sulla curva risk free ma dipendono anche
          dalla composizione dell’attivo alla data di valutazione.
   14. Art .80 La direttiva chiede agli Stati Membri di richiedere alle Compagnie di dotarsi di
    processi interni e di procedure che assicurino l’appropriatezza, la completezza e l’accuratezza dei
    dati utilizzati nelle valutazioni delle riserve tecniche.
   15. Art 81 le Compagnie hanno processi e procedure che consentano loro di verificare l’aderenza
    delle ipotesi adottate nelle valutazioni rispetto all’esperienza. Laddove il confronto identifica
    scarti sistematici, le Imprese aggiusteranno le ipotesi di valutazione.



                                                                                                                             7
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. SCR, BSCR, ADJ

SCR  BSCR  Adj  SCR op

Dove l’ultimo termine è la componente di rischio operativo.
L’aggiustamento per il potere di assorbimento del rischio del portafoglio di polizze rivalutabili (DPF) e
della (riduzione delle) imposte differite è

Adj  Adj dpf  Adj DT

Con
Adjdpf  min([SCR'  SCR]0,5  [nSCR'  nSCR]0,5 ; DPF)

Dove SCR e nSCR sono i vettori ove sono riportati le quote di margine spiegate da ciascun fattore,
rispettivamente al lordo ed al netto degli effetti di “management actions” sulle polizze rivalutabili .
Σ è la matrice di correlazione fra i vari rischi.
DPF è la componente di riserva inclusa nelle Best Estimate e riferita alle rivalutazioni future eccedenti le
garanzie di minimo.

Adj DT  Deferredta xes | SCRshock

E’ l’aggiustamento dell’SCR in virtù della riduzione delle imposte differite come effetto della riduzione
del patrimonio netto della quantità

BSCR  Adj dpf  SCR op

Dove L’SCR di base è

BSCR  radqSCR'  SCR                                                                                          8
         Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
         approccio standard e modello stocastico. SCR(op) e SCR(mkt)



Il rischio operativo si misura nel modo seguente:
 SCR op  min( 30 % BSCR; OPnonlinked )  25 % EXPlinked

Dove l’ultimo termine rappresenta le spese generali relative al portafoglio unit ed index linked (overhead
expenses, no commissioni) mentre la componente di rischio operativo del portafoglio diverso da unit ed
index linked è:

OP nonlinked  MAX (3% premi _ lordi _ non _ linked;0.3%riserve _ lorde _ non _ linked)

L’SCR per rischi di mercato è il seguente:
SCRmkt  [ MKT ' (mkt ) MKT ]0,5

Dove la matrice di correlazione di primo livello fra le componenti di rischi di mercato è la stessa da usare
per calcolare la seguente espressione per l’SCR di mercato al netto dei benefici del portafoglio di polizze
rivalutabili
 SCRmkt  [ MKT ' (mkt ) MKT ]0,5




                                                                                                               9
         Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
         approccio standard e modello stocastico. Il rischio di tasso di
         interesse.



Il vettore dei rischi di mercato “MKT” include il rischio di tasso, il rischio azionario, il rischio immobili,
lo spread, il rischio di concentrazione ed il rischio di divisa.

Il rischio di tasso di interesse “INT” è misurato due volte, rispetto ad uno shift up e rispetto ad uno shift
down della curva dei tassi (euroswap) privi di rischio. L’effetto è misurato rispetto alla variazione di
NAV - differenza fra attivo a valore di mercato e riserve (senza risk margin). Fra i due shock si prende
quello che corrisponde al peggiore degli shock effettuati al netto dei benefici delle polizze rivalutabili:

nINTup  NAV | upwardshock
nINTdown  NAV | downwardshock

Se nINTup  nINTdown
      Allora:
                           nINT  0
      nINT  nINTup.........                          e INT  NAV | upwardshock
      Altrimenti
                             nINT  0
      nINT  nINTdown.........                        e INT  NAV | dowwardshock




                                                                                                                 10
       Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
       approccio standard e modello stocastico. Il rischio azionario.


Il rischio azionario si misura aggregando gli effetti di shock azionari sul NAV di due sotto gruppi di azioni correlate con coefficiente “c” (-
1<=c<=1); 0.75 nel QIS4) : (A) le “Global” e (B) gli altri indici dove entrano azioni quotate di mercati emergenti, azioni non quotate, hedge
funds ed investimenti alternativi.

EQ(a)  NAV | fall32%                             EQ(b)  NAV | fall45%
Con EQ(a)>=0            e        EQ(b)>=0

EQ  [ EQ (a) 2  EQ (b) 2  2 * 0,75 * EQ (a) * EQ (b)]1 / 2

L’alternativa Dampener pone in gioco una relazione inversa fra la “duration” delle riserve ed il rischio azionario di tipo A.
Se la quota di riserve riferite al portafoglio di duration di almeno K>3 anni è 0<=α<=1, allora l’equity risk del gruppo A - il cui valore di
mercato alla data “t” di valutazione è MKT(A) - secondo l’approccio dampener è:

EQdamp  MKT ( A) * [(1   ) * 32 %  ( F (k ) C t *G (k )) *  ]

Dove F(k) e G(k) sono fattori decrescenti in funzione della duration “k” (nel QIS4 F parte da 0,29 ed arriva a 0,22 mentre G parte da 0,20
ed arriva a 0,07).

C(t) è la componente ciclica definita in funzione della media logaritmica dell’indice azionario

             
                 N 1
                        Ln(Yt i )
  Yt   N
              i 0

                        N
come
C (t )  Yt 10  Yt 365

Cioè come differenza fra l’indice calcolato rispetto ai 10 giorni lavorativi che precedono la data di valutazione dell’SCR e l’indice calcolato
rispetto ai circa 250 giorni lavorativi dell’ultimo anno.
CT = -0,013 al 31/12/2007 .

                                                                                                                                                  11
      Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
      approccio standard e modello stocastico. Il rischio divisa ed il
      rischio immobili.

Il rischio di divisa è misurato due volte, rispetto ad un apprezzamento dell’euro del 20% e rispetto ad un
deprezzamento del 20% rispetto alla divisa di riferimento dell’attivo. L’effetto è misurato rispetto alla variazione
di NAV - differenza fra attivo a valore di mercato e riserve (senza risk margin). Fra i due shock si prende quello
che corrisponde al peggiore degli shock effettuati al netto dei benefici delle polizze rivalutabili:

nFXup  NAV | fxupwardshock
nFXdown  NAV | fxdownwardshock

Se nFXup  nFXdown
     Allora:
        nFX  nFXup.                     e FX  NAV | fxupwardshock
        Altrimenti
        nFX  nFXdown                    e FX  NAV | fxdowwardshock

Il rischio di svalutazione del 20% del valore di mercato degli immobili (MKT(prop) ) è valutato nel modo
seguente:

PROP  NAV | 20%MKT ( prop)




                                                                                                                       12
      Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
      approccio standard e modello stocastico. Il rischio spread.


Il rischio spread “SP” ha origine negli strumenti finanziari ed è espresso dalla volatilità dei “credit spreads” sopra
la curva dei tassi di interesse privi di rischio. Si escludono i rischi governativi o da governi dell’area comunitaria.
Ha tre componenti: il rischio spread dei bonds (SPbond), il rischio spread dei prodotti di credito strutturato
(SPstruct) ed il rischio spread dei derivati (SPderiv). Le tre componenti si sommano (assenza di correlazioni).

I primi due si ottengono entrambi come sommatoria rispetto a tutte le singoli esposizioni il cui valore di mercato è
“MV”, la cui duration è “dur” e con rating “rating”. Il rischio spread dei bond sul portafoglio unit ed index linked
và misurato a parte come incremento della riserva (“Liab”) a fronte di garanzie/opzioni “embedded”.

SPbonds   liabul   MVi * m(duri ) * F (rating i )
                           i


SPstruct   MVi * n(duri ) * G ( rating i )
              i


F e G sono funzioni crescenti al diminuire del rating; nel QIS4 vanno rispettivamente da un massimo di 11,20% ad
un minimo dello 0,25% e da un massimo del 29,71% ad un minimo del 2,13% .

L’incremento della riserva a fronti di opzioni implicite nei contratti unit linked va misurato rispetto ad una
diminuzione di valore di mercato del sottostante (controvalore delle quote) pari alla duration per il fattore F che
corrisponde al rating del sottostante.

N(dur) e m(dur) sono duration ma quando il rating è inferiore a tripla B, sono limitate da un massimo che a sua
volta diminuisce al diminuire del rating.


                                                                                                                          13
         Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
         approccio standard e modello stocastico. Il rischio di
         concentrazione.
Il rischio di concentrazione ha origine dalla volatilità aggiuntiva che esiste su attivi esposti a poche controparti e
dal relativo rischio di default . Sono escluse altre forme di concentrazione come quella geografica o quella su
settori di industria. Il rischio sui portafogli unit ed index linked si misurano a parte; i titoli governativi o da
governi dell’area comunitaria devono essere esclusi.

Se Assets(nl) rappresenta il totale dei valori di mercato non linked (inclusi i titoli governativi e governativi EEA) e
CT(rating) una soglia che vale (QIS4) 5% o 3% a seconda del rating della controparte, ed infine E(i) l’esposizione
netta nei confronti della controparte (i), allora il rischio di concentrazione sulla controparte “i” è data
dall’espressione seguente.

Conci  liabul  Assets i * g i * XS i

                    Ei
XS i  max[ 0;                 CT ]
                 Assets (nl )

Dove g(i) è decrescente al crescere del rating e va (QIS4) da 0,15 a 0,73 .

L’incremento della riserva a fronti di opzioni implicite nei contratti unit linked va misurato svalutando il
controvalore delle quote (sottostante) del fattore XS *g prendendo questi fattori in funzione dal rating del
sottostante.

Il rischio di concentrazione sull’intero portafoglio è calcolato sull’ipotesi di indipendenza fra controparti:

Conc  ( Conci ) 0,5
                    2

           i
                                                                                                                          14
       Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
       approccio standard e modello stocastico. I rischi assicurativi di
       mortalità, di invalidità e di sopravvivenza.

L’SCR per rischi assicurativi (underwriting) è il seguente:

SCRmkt  [UW ' (uw)UW ]0,5

Dove la matrice di correlazione di primo livello fra le componenti di rischi assicurativi è la stessa da
usare per calcolare la seguente espressione per l’SCR assicurativo al netto dei benefici del portafoglio di
polizze rivalutabili

nSCRmkt  [nUW ' (uw)nUW ]0,5

Il vettore dei rischi assicurativi “UW” include il rischio di mortalità, il rischio di sopravvivenza, il rischio
di invalidità, la decadenza anticipata, le spese , il catastrofale ed il “revision”, l’ultimo dei quali
riguarda le garanzie di rendita a seguito di sinistri non vita la cui riserva è calcolata con tecniche tipiche
del vita e la cui rendita è rivedibile; il rischio è rappresentato dall’effetto sul NAV a seguito
dell’incremento del 3% della rendita vitalizia.

Il rischio di mortalità ed il rischio di sopravvivenza sono misurati come effetti sul NAV, rispettivamente,
di un incremento della mortalità del 10% e di una diminuzione della mortalità del 25% .
Il primo ed il secondo sono misurati su portafogli i cui capitali sotto rischio sono rispettivamente positivo
e negativo. Le sommatorie si riferiscono a portafogli omogenei. Per il rischio di invalidità si assume un
incremento delle frequenze del 25% dal secondo anno rispetto alla valutazione e del 35% nell’anno
immediatamente successivo.

Mort   NAV | mortshock              Dis   NAV | disshock         Long   NAV | longshock
         i                                     i                                i
                                                                                                                   15
   Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
   approccio standard e modello stocastico. I rischi assicurativi
   catastrofale, decadenza anticipata e spese.

Il rischio catastrofale è misurato rispetto ad un incremento della mortalità e della morbilità, entrambi di un punto e
mezzo per mille in valore assoluto; l’incremento della mortalità agisce solo per i dodici mesi successivi alla data di
valutazione.
Ad esempio una frequenza di mortalità del 2 per mille diventa (per l’anno successivo) il 3,5 per mille. La
maggiore morbilità è crescente nell’arco dei successivi due anni: un terzo nel primo semestre, un altro terzo nel
successivo semestre e l’ultimo terzo nei successivi dodici mesi.

CAT  NAV | catshock

Il rischio di decadenza è l’effetto peggiore sul NAV fra un incremento del 50% ed una diminuzione del 50% delle
frequenza di decadenza anticipata. La valutazione va effettuata polizza per polizza. C’è una soglia minima sul
totale pari al 30% della somma delle differenze di segno positivo fra Valore di Riscatto e Riserva Best Estimate
(Lapse Mass”). Per i contratti che non hanno ancora valore di riscatto alla data di valutazione, si prende il valore
attuale (a tassi privi di rischio) del riscatto più vicino nel tempo.

Lapse  max[ 30 % Lapse mass ;  max( NAV | lapsedown; NAV | lapseup)]
                                 i


IL rischio spese è l’effetto sul NAV di un incremento del 10% nelle spese future e dell’1% del tasso di inflazione
(rilevante perché le spese sono indicizzate all’inflazione). Nei contratti che danno la possibilità all’assicuratore di
rivedere i caricamenti, il 75% degli incrementi previsti dal test possono essere recuperati dal terzo anno successivo
alla data di valutazione.

EXP  NAV | exp shock

                                                                                                                          16
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il rischio di controparte.

 Il rischio di controparte (default) è misurato come somma di due componenti: (1) gli strumenti di mitigazione del rischio come derivati e
 riassicurazione e (2) crediti verso intermediari e tutte le altre esposizioni che non sono considerate nel rischio spread.
 Il default sul portafoglio è la somma algebrica dei rischi rispetto a tutte le controparti.
 Il rischio sulla controparte “i” è calcolato con l’espressione che segue:

                               1                                    R 0,5
  DEFi  LGD i * N [                   * G ( PDi )  G (0,995 ) * (     ) ]
                           (1  R) 0,5
                                                                   1 R
 Dove N(x) e G(p) sono rispettivamente il valore della funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzata in “x” e l’inversa
 della distribuzione normale standard in “p” (0<= p<=1) .

 Il “Loss Given Default” di una controparte è dato da:
      -    l’esposizione di credito verso altre controparti come ad esempio le reti di vendita
      -    Per ciascun riassicuratore dalla formula:

    LGD  0,5 * max( 0; re cov erables  SCRuW  SCRUW  collateral)
                                            gross   net

 Dove la componente assicurativa di SCR va calcolata sia NON considerando (gross) che considerando i benefici della riassicurazione.
     -    Per ciascuna controparte sui derivati dalla formula:

    LGD  0,5 * max( 0; MKTvalue  SCRMKT  SCRMKT  collateral)
                                      gross    net

 Dove la componente di mercato dell’SCR va calcolata sia non considerando (gross) che considerando i benefici di mitigazione dovuti
 all’uso dei derivati.

 Il Fattore R (correlazione implicita per il default di una controparte) è calcolato - separatamente per le esposizioni in riassicurazione, le
 esposizioni in derivati ed altre esposizioni - come


                   LDG         2


  R  0,5 * (1        i
                                        )
                 ( LGD)            2

                       i

  PD i   è la probabilità di default della controparte “i” che dipende soltanto dal rating. Nel QIS4 va da un minimo dello 0,002% ad un
 massimo del 30,41% ; fa eccezione la riassicurazione interna allo stresso gruppo per la quale si usa un coefficiente legato al suo “Solvency
 II ratio”.


                                                                                                                                                 17
    Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
    approccio standard e modello stocastico. Best Estimate (1)


La Best Estimate deterministica è la somma per tutte le polizze in portafoglio dei flussi di cassa futuri relativi a
sinistri (S), riscatti (VR) - incluse le rivalutazioni future minime e discrezionali eccedenti le minime - le spese
generali e di gestione degli investimenti (spese), le provvigioni e compensi similari (comm).
Nel modello si è assunto per semplicità che i flussi futuri siano concentrati a fine anno.


                    n 1
BELt   * [ [( S  VR )  ( Spese  Comm t )  ( Puri  Caricamenti )] * v(t ,  1)]
              i      t


Sinistri e riscatti sono proporzionali alle somme assicurate, non solo alle rivalutazioni della riserva prospettiva
pura di primo ordine fino all’epoca “t “ ma anche alle rivalutazioni future sia minime che discrezionali (eccedenti
le minime)

Il fattore di sconto è legato al tasso spot calcolato in t sulla durata n:

v(t , n)  1 / spot (t , n) .

Se il fine è la costruzione di un modello di proiezione della riserva, occorre sostituire la somma rispetto alle
polizze in portafoglio con il coefficiente n(t) che rappresenta il numero delle polizze sopravvissute in (t) (n(0)=1):

       t 1
nt   (1  f ( s  1)) * (1 s / q x )
       s 0


Che la formula sovrastante esprime in maniera ricorrente in relazione alle decadenze anticipate realistiche f(s)
(f(0)=0) ed alle probabilità di morte desunte dalla tavola realistica.

                                                                                                                         18
    Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
    approccio standard e modello stocastico. Best Estimate (2)



In virtù dell’ipotesi di concentrazione dei flussi a fine anno, la best estimate si può esprimere in modo ricorrente.

BELt  BELt 1 (1  fw (t ))  net _ cash _ flows

Dove fw(t) è il tasso forward privo di rischio valutato in t-1 per l’anno t e “net_cash_flows” sono i flussi di cassa
netti (quelli in uscita con segno + e quelli in entrata con segno -)

La quantità BELt 1 * fw (t )
È l’unwinding discount della riserva; la differenza fra proventi degli investimenti (plus e minus di mercato
+redditi realizzati sugli attivi + flusso cedolare) e unwinding discount (costo) rappresenta il reddito netto degli
investimenti da rappresentare nel conto economico nel regime di solvibilità 2.

In una valutazione per polizza su un portafoglio in vigore alla data di valutazione (non su un modello) la best
estimate non potrà essere calcolata in modo ricorrente; l’exit value è una valutazione prospettiva e la differenza
rispetto ad una valutazione fatta ad inizio anno con il metodo ricorrente rappresenta l’utile o la perdita
proporzionale all’errore di previsione sulle ipotesi non economiche. Questa analisi è il primo passo per una
revisione delle ipotesi non economiche nel calcolo della Best Estimate.




                                                                                                                        19
      Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
      approccio standard e modello stocastico. Risk Margin



Il risk margin secondo il metodo “Cost of Capital” è il seguente:

RM t  CoCt *  t 1 SCRUWOD (t , ) * v(t , )

Ossia il costo unitario del capitale stabilito all’epoca di valutazione per la somma dei valori attuali dell’SCR
proiettati per un periodo che va dall’anno successivo e fino ad estinzione del portafoglio; a tal fine, non si deve
fare alcuna ipotesi di nuova produzione. L’SCR deve includere le sole componenti di rischi assicurativo, di
default della riassicurazione ed operativo.
QIS4 ha ipotizzato CoC al 6%. Se non si è in grado di proiettare l’SCR, è sufficiente prendere l’SCR(t), cioè il
valore all’epoca di valutazione, scorporarlo dei rischi esclusi (mercato, default diverse dalla riassicurazione) e
proiettarlo con un driver.
Il driver è un parametro che posto a uno al tempo “t” ne rappresenta l’evoluzione sul portafoglio in vigore al
tempo “t” e fino a sua estinzione: è appropriato utilizzare la Best Estimate in relazione al portafoglio delle polizze
rivalutabili ed al portafoglio unit ed index linked, il valore attuale dei sinistri futuri in relazione alle temporanee
caso morte.
La formula si semplifica dunque nella seguente:

RM t  CoCt * SCRUWOD (t , t ) *  t 1 driver(t , ) * v(t , )




                                                                                                                          20
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.

                                      accumulation of profits (present value)

   year    Solvency II      profit            Solvency II                       Solvency II      profit

              profit       and loss              profit                           without       and loss

      0                      local                                              risk margin       local

      1     893,80         28,22               853,71                            908,72         26,96

      2      96,22         34,37               941,77                            985,71         58,41

      3      88,82        100,36             1.019,58                           1.058,33       146,33

      4      87,24        114,02             1.092,65                           1.128,50       241,82

      5      83,67        127,46             1.159,62                           1.192,79       343,84

      6      68,23        131,02             1.211,77                           1.242,49       443,98

      7      68,03        144,04             1.261,38                           1.289,82       549,02

      8      85,26        153,04             1.320,64                           1.346,94       655,39

      9      66,73        151,54             1.364,79                           1.389,12       755,64

     10      75,97        152,06             1.412,59                           1.435,05       851,32

     11      39,95        141,36             1.436,48                           1.457,16       935,87

     12      26,26        131,44             1.451,41                           1.470,30      1.010,58

     13      20,43        120,40             1.462,44                           1.479,50      1.075,62
     14      14,33        106,30             1.469,80                           1.484,94      1.130,20

     15      10,71         90,03             1.475,03                           1.488,14      1.174,12

   Total   1.725,64      1.725,64



                                                                                                           21
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Andamento dei profitti
nel tempo nel bilancio di solvibilità 2

    I profitti cumulati fino ad estinzione del portafoglio non dipendono dal metodo di
    valutazione delle riserve (sono sempre pari a 1725,64); invece la distribuzione del
    profitto nel tempo ne dipende sensibilmente.
   Le riserve Solvency II (brevemente TPS) fanno si che i profitti siano concentrati nel
    primo anno ed in modo particolare il giorno della decorrenza del contratto (“profit at
    inception”).
   Il metodo locale di valutazione della riserva equidistribuisce i profitti; nel caso
    esaminato si nota una leggera concentrazione nel periodo centrale.
   Ne consegue che il valore [attuale] del portafoglio è maggiore sotto Solvency II
    (1475,03 contro 1174,12). La presneza del risk margin incide marginalmente su tale
    misurazione: senza il risk margin, il valore attuari dei profitti futuri sarebbe 1488,14 .




                                                                                                 22
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.


                              RISK
                                  MA
                                  RGI
    year         BEST              N          Tot.solvency        local           asset             net           investment

               ESTIMATE     CoC reserve        technical        liability         eoy            cash flows        income

                "BEL"         "RM"             provisions         eoy

      0    -       868,44         66,97   -         801,47                  -

      1             75,73         57,60             133,33              998,90    1.027,12            984,95            42,17
      2          1.063,15         45,50            1.108,65         2.036,08      2.098,67            984,13            87,42

      3          1.967,91         39,57            2.007,48         2.923,37      3.086,32            857,17           130,48

      4          2.810,37         36,12            2.846,49         3.735,61      4.012,57            751,88           174,37

      5          3.594,93         32,77            3.627,70         4.473,02      4.877,44            654,36           210,51

      6          4.325,92         29,56            4.355,48         5.138,01      5.673,45            561,54           234,46

      7          5.007,35         26,43            5.033,78         5.740,31      6.419,78            473,01           273,31

      8          5.641,08         23,36            5.664,44         6.303,19      7.135,70            386,99           328,94
      9          6.231,38         20,38            6.251,77         6.805,71      7.789,76            305,12           348,94

     10          6.777,70         17,40            6.795,10         7.272,95      8.409,06            225,99           393,31

     11          7.282,32         14,43            7.296,75         7.673,19      8.950,67            151,48           390,13

     12          7.742,31         11,28            7.753,59         8.024,85      9.433,77                80,55        402,56

     13          8.159,44          7,88            8.167,33         8.338,61      9.867,93                12,62        421,54

     14          8.533,37          4,14            8.537,51         8.616,83     10.252,44   -            52,39        436,91

     15                 -            -                      -               -     1.725,64   -      8.979,22           452,42   23
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Andamento delle riserve
nel tempo.

   La Best Estimate alla decorrenza è negativa (-868,44) in quanto il prodotto è
    profittevole e la Best Estimate al tempo zero è l’attualizzazione dei flussi di cassa
    attesi fino ad estinzione; pertanto sconta i futuri profitti attesi,
         con l’eccezione dei proventi degli investimenti che vanno sostituiti con i
          rendimenti lordi delle stesse riserve tecniche.
   Nei premi unici, la Best Estimate torna ad essere positiva già dopo un giorno la
    decorrenza, subito dopo la contabilizzazione del premio iniziale e della provvigione
    iniziale.
   Nei premi annui o ricorrenti può rimanere negativa anche dopo la decorrenza. Nella
    mista a premio annuo torna ad essere positiva soltanto dopo un anno (+75,73).
   Il Risk Margin ha sempre segno positivo. Il suo peso relativo decresce nel tempo.
   Trascorsi 6/7 anni su 15 il suo peso è intorno allo 0.7 / 0.5% il valore della Best
    Estimate. Questo valore è in linea con quello registrato sulle polizze rivalutabili
    durante gli studi di impatto quantitativo (QIS) quale media nel mercato italiano
    basato sul campione delle Imprese partecipanti.



                                                                                            24
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.


                                 Present value at time zero of future                     Present value (accumulation) at time zero
    year              BEST                                                     Gross

                    ESTIMATE     minimum                 DPF to the          Investment    Investment            net margin from

                     "BEL"       guaranteed             policyholders          income        income               the investments

            0   -       868,44   2.301,26                    65,40                           2.769,53                  402,87

            1           75,73    2.369,32                    68,41               42,17      2.857,41                   419,68

            2         1.063,15   2.285,31                    66,31               87,42      2.764,66                   413,04

            3         1.967,91   2.176,84                    66,32              130,48      2.648,41                   405,25

            4         2.810,37   2.044,16                    62,46              174,37      2.498,85                   392,23

            5         3.594,93   1.890,09                    59,12              210,51      2.323,25                   374,04

            6         4.325,92   1.721,85                    59,17              234,46      2.137,38                   356,36

            7         5.007,35   1.542,71                    58,08              273,31      1.930,59                   329,80

            8         5.641,08   1.355,59                    40,64              328,94      1.692,73                   296,49

            9         6.231,38   1.162,97                    29,11              348,94      1.452,28                   260,20

           10         6.777,70     966,79                     7,91              393,31      1.193,25                   218,56

           11         7.282,32     769,18                     2,36              390,13        948,57                   177,03

           12         7.742,31     572,05                     1,47              402,56        707,81                   134,30

           13         8.159,44     377,56                     0,58              421,54        468,29                    90,15

           14         8.533,37     186,58                     0,41              436,91        232,27                    45,28

           15                -        -                         -               452,42            -                        -

                                                                     Total     4.327,47


                                                                                                                                      25
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Scomposizione della Best
Estimate Deterministica

   La Best Estimate deterministica si può scomporre in tre componenti:
         [valore attuale medio] prestazioni future senza includere gli interessi;
         [valore attuale medio] interessi futuri maturandi sulle riserve tecniche stesse e da
          riconoscere agli Assicurati od a Terzi;
         [Valore attuale medio] spese future al netto dei caricamenti (qui non considerati);
   La seconda componente si può scomporre in tre componenti
        [valore attuale medio] garanzie di tasso di interesse;
        [valore attuale medio] rivalutazioni discrezionali “Policyholder Dividends”;
        [valore attuale medio] commissioni ricorrenti legate ai rendimenti della gestione separata o
         ad altri fattori legati ai tassi di rendimento (qui non considerati).
    Per poter isolare ciascuna di queste 3 sotto-componenti della 2nda componente dalla prima
         componente occorre definire convenzionalmente una riserva di riferimento che nel caso
         esaminato di polizza mista è la riserva locale.
   Nel caso esaminato la componente “Policyholder Dividends” è di gran lunga inferiore
    alla componente di minimo garantito soltanto perché la gestione separata ha
    rendimenti di poco superiori alla garanzia di minimo (4%), ma con garanzie di
    minimo al 2% i pesi sono delle due componenti si equivalgono.

                                                                                                        26
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La proiezione delle
prestazioni future

   Le prestazioni future si rivalutano in funzione dei rendimenti prevedibili della
    gestione separata.
   I rendimenti prevedibili dipendono dalla curva dei tassi risk free alla data di
    valutazione.
   I Successivi elementi dipendono da fattori soggettivi:
        Scelta della curva risk free governativa piuttosto che euroswap (QIS4 ha scelto la seconda).
        Scelta del metodo di interpolazione per ricavare le curve forward/spot (es. cubic spline,
         bootstrap).
        Scelta della politica di ALM (“management actions”).
   Le management actions sono azioni sull’attivo che incidono sui rendimenti
    prevedibili e di conseguenza sulle riserve per “policyholder dividends”.
        Come e quando reinvestire la liquidità disponibile dalle quietanze future e dagli
         investimenti in scadenza non necessari per far fronte alle liquidazioni.
        Come reinvestire le cedole dei titoli obbligazionari.
        Se e quando realizzare le plusvalenze o le minuvalenze latenti.
             Se farlo a fronte di liquidazioni.
             Se farlo a prescindere dalle liquidazioni per il reimpiego in altri investimenti.


                                                                                                        27
           Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
           approccio standard e modello stocastico. La riserva per
           “policyholder dividends” ed il fattore RPS (1).
      Qualora non si disponga ancora di un metodo esatto di scorporo della componente DPF inclusa nella Best
       Estimate, c’è un metodo di stima della riserva “Policyholder Dividends” come descritto nel questionario
       qualitativo del QIS4 applicato a gruppi di portafogli rivalutabili (non polizza per polizza). Ecco come
       viene descritto nel questionario qualitativo QIS4:
       The information come from the system used twice a year for the ALM (compulsory for the local balance sheet) and for the
        calculation of the (eventual) additional reserves to cover the minimum guarantees.
       We had already the 2 streams of local liabilities as outcomes: the projections over 15 years over the portfolio in force as at
        31.12.2007 and split by fund and by minimum guaranteed. The 1st stream is the TP and the 2nd stream represents the TP
        without the DPF component (TPM briefly).
       At time T, TP(t) – TPM(t) represents the accumulation of DPF in the liabilities matured from time zero (the evaluation
        date) and time T, relevant to the portfolio in force at time T.
       We define f(t) the probability that the contracts do not survive between time t-1 and time t, for death or for lapse (with
        f(1)=0).
       At time T, [TP(t) – TPM(t)] – [TP(t-1) – TPM(t-1)] * (1-f(t))= DPF(t)
Is the estimate of the increase of liability due to the recognition of the dividends in the range (t-1,t] to the policyholders survived in
        “t”.
       Therefore the whole DPF liability is:
      DPF=

                         DPF (t ) /(1  sp (t )) .......... ..with... DPF (t )  0..  t
                        t 1
                                                       t


Where sp(t) is the risk free spot rate as to t




                                                                                                                                             28
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. La riserva per
“policyholder dividends” (DPF) ed il fattore RPS (2).

   Il Fattore RPS è la diminuzione della riserva DPF dopo un shock di mercato od
    assicurativo.
   Questa diminuzione dipende soltanto dalla ri - determinazione dei rendimenti
    prevedibili della gestione separata.
   Questa ri – determinazione non è automatica (interpretazione valida solo dal QIS4)
    ma dipende da politiche di ALM specifiche di Impresa.
   L’ALM agisce sugli attivi (non sulle politiche di customer care od altre politiche sul
    portafoglio polizze) e di conseguenza sui rendimenti prevedibili.
   L’RPS è limitato al più al valore della riserva DPF prima dello shock
   Nonostante l’RPS sia una misura di [variazione di] riserva, si conviene di
    considerarla come sconto sul margine di solvibilità da costituire SCR.




                                                                                             29
   Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
   approccio standard e modello stocastico.

year            Tot.solvency     asset       Solvency II         Net assets

                 technical        eoy        profit (PR)             A         SCR      Free capital

                 provisions                                A(t)=A(t-1)+PR(t)    B          A-B

        0   -         801,47     1.000,00

        1            133,33      1.027,12       893,80               893,80    368,84       524,95

        2           1.108,65     2.098,67        96,22               990,01    513,94       476,07

        3           2.007,48     3.086,32        88,82             1.078,83    621,15       457,69

        4           2.846,49     4.012,57        87,24             1.166,08    728,16       437,91
        5           3.627,70     4.877,44        83,67             1.249,75    800,00       449,75

        6           4.355,48     5.673,45        68,23             1.317,97    848,50       469,47

        7           5.033,78     6.419,78        68,03             1.386,00    865,47       520,53

        8           5.664,44     7.135,70        85,26             1.471,26    855,21       616,05

        9           6.251,77     7.789,76        66,73             1.537,99    818,97       719,02

       10           6.795,10     8.409,06        75,97             1.613,96    761,62       852,34

       11           7.296,75     8.950,67        39,95             1.653,92    687,87       966,04

       12           7.753,59     9.433,77        26,26             1.680,18    600,81     1.079,37

       13           8.167,33     9.867,93        20,43             1.700,60    507,61     1.192,99
       14           8.537,51     10.252,44       14,33             1.714,93    424,10     1.290,83

       15                    -   1.725,64        10,71             1.725,64         -     1.725,64

                                              1.725,64



                                                                                                       30
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Attivo e patrimonio
libero; ring fencing

   L’attivo ad estinzione del portafoglio – se non si distribuiscono dividendi - è pari a
    1725,64 ossia al cumulo dei profitti, a prescindere dal metodo di valutazione della
    riserva.
   Il capitale libero, ossia il patrimonio netto non impegnato a coprire il margine di
    solvibilità SCR, tende a diminuire nel primo biennio per poi incrementare a ritmo
    crescente fino ad equivalere all’attivo (1725,64) ad estinzione del portafoglio.
   Il ring fencing di un fondo assicurativo è la considerazione del fondo assicurativo alla
    stregua di un’Impresa di Assicurazione separata dalle altre ring-fenced / Imprese di
    Assicurazione e dagli altri attivi.
   Un fondo “ring fenced” non può mettere a disposizione il patrimonio libero per
    coprire la solvibilità di altri fondi ring fenced né la solvibilità della Compagnia.
   Il QIS4 ha sperimentato gli effetti di ring fencing Paese per Paese. Per l’Italia lo si è
    sperimentato solo sul margine di gruppo ma non sul margine di solvibilità
    individuale.




                                                                                                31
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.


  year            worst case

              INT rate risk         Equity risk   Property risk       Spread risk         Conc.risk    Currency risk



          0

          1   -        233,29   -         19,10               -   -            3,59   -        8,22                -

          2   -        442,63   -         39,04               -   -            7,35   -        16,79               -

          3   -        600,86   -         57,41               -   -           10,80   -        24,69               -

          4   -        716,09   -         74,63               -   -           14,04   -        32,10               -

          5   -        791,30   -         90,72               -   -           17,07   -        39,02               -

          6   -        828,40   -        105,53               -   -           19,86   -        45,39               -

          7   -        833,22   -        119,41               -   -           22,47   -        51,36               -

          8   -        810,37   -        132,72               -   -           24,97   -        57,09               -

          9   -        758,27   -        144,89               -   -           27,26   -        62,32               -

         10   -        682,13   -        156,41               -   -           29,43   -        67,27               -

         11   -        580,85   -        166,48               -   -           31,33   -        71,61               -

         12   -        459,15   -        175,47               -   -           33,02   -        75,47               -

         13   -        320,19   -        183,54               -   -           34,54   -        78,94               -

         14   -        166,33   -        190,70               -   -           35,88   -        82,02               -




                                                                                                                       32
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico: rischi di mercato


   I rischi di mercato possono essere individuati per il complesso della Compagnia (es.
    rischio di concentrazione) od al più per una gestione separata.
   Pertanto l’individuazione del contributo di un gruppo di contratti può essere soltanto
    stimato partendo dal valore registrato sull’intero portafoglio.
   Ciascun rischio di mercato ha un contributo pari all’effetto sul profitto al lordo delle
    imposte. Il profitto è quello del bilancio Solvency II, i cui attivi sono contabilizzati a
    valore di mercato (no regole locali, no regole bilanci ias/ifrs phase I).
   Il rischio di tasso di interesse è il peggiore fra uno shift down ed uno shift up della
    curva risk free euroswap. Nel caso di shift up le riserve (generalmente) diminuiscono
    e gli attivi perdono valore; viceversa nel caso di shift down. Gli effetti su riserve ed
    attivo (generalmente) si bilanciano
   L’equity risk è il cumulo degli effetti su attivo e riserve di un equity fall: gli effetti si
    sommano (cioè non si bilanciano ma hanno lo stesso segno)
   Il rischio di concentrazione è materiale nelle piccole Compagnie.




                                                                                                    33
 Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
 approccio standard e modello stocastico: il rischio di tasso di
 interesse

      L’effetto di uno shift up sulle riserve realistiche deve essere desunto sperimentalmente; può essere
       tuttavia anche desunto facendo alcuni ragionamenti a priori (stessi ragionamenti anche sullo shift
       down):
      1) la Best Estimate è la differenza fra [valore attuale medio] cash flows positivi (impegni e spese)
       e [valore attuale medio] cash flows negativi (caricamenti e penali di decadenza)
                                          BEL = PVO – PVI
2) Sia PVO che PVI tendono a zero al crescere del “discount rate” (cioè con lo shift up della curva tassi)
       a parità di cash flows a numeratore.
3) Sia PVO che PVI includono a numeratore cash flows che non reagiscono ai tassi di interesse (PVOn e
       PVIn) come spese e caricamenti sui premi futuri
                            BEL = (PVOr – PVIr) + (PVOn – PVIn)
4) PVOn-PVIn = 2nda componente, se positiva diminuisce, se negativa aumenta.
5) PVOr è generalmente di gran lunga superiore a val.ass.(PVIr) e dipende – in modo diretto – dai
       rendimenti prevedibili se e solo se le prestazioni future ne sono legate.
6) Il legame è presente se (a) impatta sulle rivalutazioni future o/e (b) impatta sul time value delle
       garanzie di minimo.
7) Occorre verificare se i rendimenti prevedibili aumentano o dimunuiscono con uno shift up (il più delle
       volte aumentano) ed il loro impatto (vedi punto 6) .




                                                                                                              34
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.


  year        Tot Market risk   Tot Market risk      average

                 without             with            effect of           Default               Default      Default

              diversification   diversification   diversification       excl.reins.           solo reins.    Tot

          0

          1          264,21            235,21        11,0%          -              0,72   -          0,21          0,92

          2          505,80            446,71        11,7%          -              1,47   -          0,42          1,89

          3          693,76            607,13        12,5%          -              2,16   -          0,62          2,78
          4          836,87            724,66        13,4%          -              2,81   -          0,80          3,61

          5          938,11            802,33        14,5%          -              3,41   -          0,98          4,39

          6          999,17            842,09        15,7%          -              3,97   -          1,13          5,11

          7        1.026,46            849,92        17,2%          -              4,49   -          1,28          5,78

          8        1.025,16            830,65        19,0%          -              4,99   -          1,43          6,42

          9          992,75            782,89        21,1%          -              5,45   -          1,56          7,01

         10          935,24            712,39        23,8%          -              5,89   -          1,68          7,57

         11          850,27            618,81        27,2%          -              6,27   -          1,79          8,06

         12          743,11            508,80        31,5%          -              6,60   -          1,89          8,49

         13          617,21            390,30        36,8%          -              6,91   -          1,97          8,88

         14          474,93            280,09        41,0%          -              7,18   -          2,05          9,23




                                                                                                                          35
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico: diversificazione (1)


   Ci sono due livelli di effetti di diversificazione: il primo agisce fra le sotto-categorie
    di rischi di mercato e fra le sotto-categorie di rischi assicurativi; la seconda agisce fra
    rischi di mercato, assicurativi e default/controparte.
   La diversificazione viene colta tramite le correlazioni (uso di matrici di correlazione):
   Se A, B e C sono le misure di tre rischi (calcolati ciascuno nell’ipotesi di assenza di
    stress sugli altri due) le cui correlazioni sono alfa, beta, delta (compresi fra -1 e +1), il
    rischio cumulato è
          Rischio = [A^2 + B^2 + C^2 + 2*(alfa*A*B + beta*B*C + delta*A*C)]^(1/2)
   C’è diversificazione in quanto:
    1) La probabilità che due fattori sfavorevoli si verifichino nello stesso anno è
          inferiore alla somma delle probabilità (probabilità misurata come VAR al 99,5%
          ad un anno)
    2) Un fattore che agisce sfavorevolmente su un rischio può avare un effetto
          positivo su un altro (es. mortalità e longevità)




                                                                                                    36
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico: diversificazione (2)



    C’è un ulteriore diversificazione per l’appartenenza ad un Gruppo
     Assicurativo per:
    1)   La probabilità che uno stesso fattore agisca sfavorevolmente su un rischio nello
         stesso anno per due Imprese del Gruppo è inferiore alla somma delle
         probabilità, soprattutto se dislocate su due aree geografiche
    2)   Maggior numero di polizze esposte ai rischi assicurativi
    3)   Maggior uniformità di distribuzione degli elementi esposti al rischio (es.
         rischio di concentrazione)
    4)   Compensazioni. Ad esempio se lo shift up di tasso ha l’effetto sfavorevole per
         l’Impresa uno e lo shift down di tasso ha l’effetto sfavorevole per l’Impresa
         due, i due effetti si bilanciano per il margine di solvibilità SCR di Gruppo.




                                                                                            37
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.


  year        underwriting     underwriting     underwriting          underwriting       underwriting    underwriting

                  mortality     longevity        disability              lapse             expense         revision

          0

          1   -        10,40                -                 -   -          179,53                  -                -

          2   -        10,86                -                 -   -              93,31               -                -

          3   -        11,34                -                 -   -              53,48               -                -

          4   -        11,86                -                 -   -              55,37               -                -

          5   -        12,40                -                 -   -              57,01               -                -

          6   -        12,94                -                 -   -              59,07               -                -

          7   -        13,52                -                 -   -              61,34               -                -

          8   -        14,16                -                 -   -              62,88               -                -

          9   -        14,80                -                 -   -              66,18               -                -

         10   -        15,50                -                 -   -              69,37               -                -

         11   -        16,16                -                 -   -              77,09               -                -

         12   -        16,80                -                 -   -              87,75               -                -

         13   -        17,45                -                 -   -          100,89                  -                -

         14   -        18,10                -                 -   -          116,85                  -                -




                                                                                                                          38
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.


    year                          underwriting      underwriting         average

                    CAT              without             with            effect of

                    risk          diversification   diversification   diversification

            0

            1   -      29,84             219,77             182,29       17,1%

            2   -      28,34             104,16              98,12        5,8%

            3   -      25,17              64,82              60,18        7,2%
            4   -      22,20              67,23              60,83        9,5%

            5   -      19,43              69,41              61,49       11,4%

            6   -      16,82              72,01              62,77       12,8%

            7   -      14,38              74,86              64,44       13,9%

            8   -      12,14              77,04              65,59       14,9%

            9   -      10,02              80,99              68,56       15,4%

           10   -          8,07           84,87              71,53       15,7%

           11   -          6,21           93,24              79,01       15,3%

           12   -          4,47          104,55              89,45       14,4%

           13   -          2,86          118,33             102,42       13,4%

           14   -          1,37          134,95             118,25       12,4%




                                                                                        39
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico: i rischi assicurativi


   Il rischio lapse (decadenza anticipata) è sensibilmente decrescente nei primi anni. Nei
    primi anni risente del test sul “surrender floor”: il valore imputabile come rischio
    lapse non può essere inferiore al 30% della differenza fra [valore attuale del] valore di
    riscatto esigibile e Best Estimate della riserva . Successivamente questo vincolo non
    ha effetto.
   Il rischio di mortalità è poco materiale sul portafoglio di polizze miste.
   Il rischio di sopravvivenza pur essendo presente nell’elemento di capitale differito,
    non va misurato: per ciascun contratto occorre decidere se misurare il rischio di
    mortalità o quello di sopravvivenza (escluso rischio di sopravvivenza legato ad
    opzione in rendita)
   Il rischio catastrofale si riferisce alla mortalità e non più (come nel QIS3) anche al
    rischio lapse cioè alle conseguenze del catastrofico abbandono dei contratti non
    appena il valore di riscatto diviene esigibile..




                                                                                                40
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.


   year        market      default      life           health       non life




           0

           1     235,21         0,92       182,29               -              -

           2     446,71         1,89           98,12            -              -

           3     607,13         2,78           60,18            -              -
           4     724,66         3,61           60,83            -              -

           5     802,33         4,39           61,49            -              -

           6     842,09         5,11           62,77            -              -

           7     849,92         5,78           64,44            -              -

           8     830,65         6,42           65,59            -              -

           9     782,89         7,01           68,56            -              -

          10     712,39         7,57           71,53            -              -

          11     618,81         8,06           79,01            -              -

          12     508,80         8,49           89,45            -              -
          13     390,30         8,88       102,42               -              -

          14     280,09         9,23       118,25               -              -




                                                                                   41
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.


                    TOT               TOT              average

    year         without 2nd        with 2nd           effect of      BSCR

                   level of          level of       diversification

                diversification   diversification

            1          418,43            331,95        20,7%             327,11

            2          546,71            481,26        12,0%             518,37

            3          670,09            625,65         6,6%             644,92
            4          789,10            743,17         5,8%             766,89

            5          868,21            821,04         5,4%             848,79

            6          909,96            861,29         5,3%             893,14

            7          920,13            869,81         5,5%             905,75

            8          902,66            851,14         5,7%             890,52

            9          858,45            804,66         6,3%             848,43

           10          791,49            735,61         7,1%             783,42

           11          705,87            645,36         8,6%             699,66

           12          606,74            540,60        10,9%             602,27

           13          501,60            430,21        14,2%             498,74

           14          407,57            333,04        18,3%             406,20




                                                                                  42
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico.


   year        BSCR       Thereof    and deferred     Operational     SCR

                          RPS adj.    taxes adj



           1    327,11      4,83                  -           30,00    357,11

           2    518,37      5,16                  -           29,98    548,35

           3    644,92      5,42                  -           29,95    674,88

           4    766,89      5,09                  -           28,14    795,03

           5    848,79      4,78                  -           26,43    875,21

           6    893,14      4,72                  -           24,82    917,96

           7    905,75      4,55                  -           23,31    929,06

           8    890,52      3,11                  -           21,89    912,41

           9    848,43      2,15                  -           20,55    868,99

          10    783,42      0,56                  -           20,33    803,75

          11    699,66      0,16                  -           21,85    721,51

          12    602,27      0,09                  -           23,23    625,49

          13    498,74      0,03                  -           24,48    523,22

          14    406,20      0,02                  -           25,60    431,80




                                                                                43
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico


   L’RPS adjustment è piccolo perché nel portafoglio esaminato è piccola la riserva DPF
    per rivalutazioni discrezionali. Ciò si deve alla garanzia di minimo al 4% che è
    prossima ai rendimenti futuri prevedibili della gestione separata.
   Il Deferred Taxes Adjustment è nullo per prudenza. Tuttora sono presenti diverse
    interpretazioni da parte delle Compagnie partecipanti. È la riduzione delle riserve per
    imposte differite a seguito di uno shock (es. shock sui tassi di interesse). Non deve
    essere inteso come effetto favorevole per l’eventuale cambio di regime fiscale con il
    passaggio al bilancio di solvibilità 2 .
   Il rischio operativo non risente dei benefici di diversificazione con gli altri rischi.




                                                                                              44
              Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
              approccio standard e modello stocastico. Il quadro delle ipotesi (1)

Profit sharing                                                                                thereof               thereof               thereof overhead

annual premium                                                                       1000     initial comm.         renewal comm.         and service for claims

front end load                                                                     0,00%                 0,00%                 0,00%                  0,00%

term, age at entry, age shift, calc.age and sex (0=m, 1=f)                               15                   40                      0                    40          0

initial commission                                                                        0                   0%

                                                                                              on premium               on inv.yield       initial expenses         0,00%

renewal commission                                                                                            0%               0,00%      claims cost                0,0

renewal expenses (% deposit)                                                                             0,00%                            inflation rate           2,50%

renewal expenses (per contract)                                                           0                         SCR unit cost                          6%

minimum guaranteed                                                                       4%

max invest.yield for the entity                                                    2,00%      share for the Entity (gross)                5%

min invest.yield for the entity                                                    0,10%

hipothesis on the concentrations of the cash flows

  a) end of year: benefits paid to pol.holder, interests, fee for the sales agencies, renewal expenses

  b) beginning of year: premiums, commissions
Mortality table used for pricing and for unit TP                       SIM1981

initial local dac                                                                    -

period of amortization                                                                   10

Kind of application                                                                       0   (pure premium)




                                                                                                                                                                           45
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il quadro delle ipotesi (2)


                     realistic               implied

              mortality table     lapses   surrender   free risk   free risk   segregated

      year   (IPS55 imp.diff.)               penalty       spot    forward      fund inv.

                                                           rate        rate         yield

        1           0,000753      0,0%       100,0%      4,70%       4,70%        4,22%

        2           0,000757      0,0%       100,0%      4,53%       4,36%        4,31%
        3           0,000771      6,0%        32,5%      4,51%       4,48%        4,21%
        4           0,000801      6,0%        28,3%      4,53%       4,60%        4,33%

        5           0,000861      6,0%        26,0%      4,55%       4,63%        4,30%

        6           0,000917      6,0%        23,6%      4,58%       4,71%        4,11%

        7           0,000964      6,0%        21,1%      4,61%       4,82%        4,24%

        8           0,001034      6,0%        18,6%      4,65%       4,93%        4,60%

        9           0,001108      6,0%        16,0%      4,70%       5,06%        4,46%
       10           0,001186      6,0%        13,4%      4,74%       5,14%        4,66%

       11           0,001279      6,0%        10,8%      4,78%       5,21%        4,33%
       12           0,001389      6,0%         8,1%      4,82%       5,21%        4,23%

       13           0,001521      6,0%         5,4%      4,85%       5,22%        4,23%

       14           0,001681      6,0%         2,7%      4,88%       5,22%        4,21%

       15           0,001862     100,0%        0,0%      4,90%       5,22%        4,22%


                                                                                            46
Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra
approccio standard e modello stocastico. Il quadro delle ipotesi (3)


 segregated        minimum      for the entity             DPF

  fund inv.      guaranteed                      to policyholder       year

      yield   to policyholder

    4,22%             4,00%            0,21%             0,01%           1

    4,31%             4,00%            0,22%             0,10%           2

    4,21%             4,00%            0,21%             0,00%           3

    4,33%             4,00%            0,22%             0,12%           4

    4,30%             4,00%            0,22%             0,09%           5

    4,11%             4,00%            0,11%             0,00%           6

    4,24%             4,00%            0,21%             0,03%           7

    4,60%             4,00%            0,23%             0,37%           8

    4,46%             4,00%            0,22%             0,24%           9

    4,66%             4,00%            0,23%             0,43%          10

    4,33%             4,00%            0,22%             0,11%          11

    4,23%             4,00%            0,21%             0,02%          12

    4,23%             4,00%            0,21%             0,02%          13

    4,21%             4,00%            0,21%             0,00%          14

    4,22%             4,00%            0,21%             0,01%          15




                                                                              47
                    P. DE ANGELIS


 3. Modello stocastico:
       Opzioni implicite
       Fonti di rischio e modelli stocastici dinamici
       Parametri market consistent
       Applicazioni


 4. Considerazioni finali




                                                         48
Fasi Operative per la Costruzione di un
modello interno


 Modello attuariale per il Fair Value del contratto
  assicurativo:
      Best Estimate Liability
      Risk Margin Value:
          Quantile Approach vs. Cost of Capital

 Definizione processi aleatori delle fonti di rischio e
  scelta dei modelli stocastici dinamici
 Calibratura dei parametri dei processi aleatori
 Scelta delle misure di rischio



                                                           49
Fair Value e Misure di Rischio


 “The required capital is defined as the excess of the
  insurer’s required assets over its liabilities to avoid
  insolvency over the specified time horizon at some
  given level of risk tolerance.”
   K  X   W  X   V  X 
   K  X   Required capital
   W  X   Risk measure
   V  X   Fair Value of liabilitie s
   V  X   Best Estimate Liability  Risk Margin Value

                                                            50
    Schema della Struttura Patrimoniale
    Solvency II compliant




                                          Fonte: CFO Forum

s
                                                             51
   Modello Attuariale FV forme rivalutabili:fonti
   di incertezza

 Assumiamo per il teorico mercato di riferimento le usuali
  proprietà di efficienza, ovvero l’informazione è
  disponibile a tutti gli operatori simultaneamente, ciascun
  operatore agisce razionalmente e non sono possibili
  profitti da arbitraggio non rischioso.

 Siano rt ; t  1,2,.... xt ; t  1,2,.... S t ; t  1,2,....rispettivamente,
                                                                   ,
  il processo aleatorio del tasso di interesse spot di mercato,
  il processo aleatorio dell’intensità istantanea di mortalità
  ed il processo aleatorio del valore del portafoglio
  finanziario di riferimento, misurabili rispetto alle
  filtrazioni F r , F  , F S


                                                                                         52
Fair Value di un contratto di assicurazione
rivalutabile


 Componente Base          Mista        a     Capitale
  Costante- Componente di deposito

 Opzione di partecipazione          Opzione cliquet -
  PE pari al Minimo

 Opzione in rendita          Opzione di tipo europeo
  – PE pari al reciproco del coeff. Conversione

 Opzione di riscatto         American-style option


                                                         53
                 Fair Value di un contratto di assicurazione
                 rivalutabile: opzioni implicite

               Polizza mista rivalutabile a premio annuo costante
        n t                                                  m t                                  
    ˆ C   t,t  τ  1 q τ  1, τ   t,n t  p n t   P  t,t  τ  1 p τ  1 F r,μ,S 
[7] E t 
        τ 1
                            x t                       x t         
                                                                τ 1
                                                                                      x t      t
                                                                                                       
                                                                                                     
                                   
                               rt  u du
  t ,t     e                 0                                     il fattore di sconto stocastico tra t e t+τ;
                         xt u : u du          xt u : u du 
                             1                      

                                                                       la probabilità stocastica di decesso dell’assicurato
q x t   1,   e   0
                                          1  e
                                                   1
                                                                     
                                                                       di età x+t nel t+τ - esimo anno di contratto;
                                                                   
                                 xt u : u du                        la probabilità stocastica dell’assicurato di
        p x  t    e 0                                               età x+t di essere in vita tra τ anni;

                τ                 rt  u du 
                                                  τ

                                                                         il prezzo stocastico in t di un zero coupon bond
 ψt,t  τ    1  ρ t  k e 0            
                k 1                                                   indicizzato con valore nominale unitario e
               
                                              
                                                                        scadenza in t+τ.
                                                                                                                                54
      Fair Value di un contratto di assicurazione
      rivalutabile: opzioni implicite


     Contratto Base
                                                                                                                               r , 
                  ˆ  C  vt , t                                            
                             s t                                                         s t
                                                                                                                                      
                   E  0                  1/ 1q x  t  v t , s s t p x  t   P  v t , t    1 1 p x  t
    FV t V   B
             x                                                                                                                 Ft 
                                                                                                                               
                         1
                                                                                         1                                       
                                                                                                                                      
     Contratto Base + Opzione di partecipazione
                      s t                                                                                                     r , 
                 ˆ   C vt , t                                                     s t
                                                                                                                                      
                  E                     1/ 1q x  t  C s v t , s s t p x  t   P  v t , t    1 1 p x  t
         P
    FV t V
         x                    t  1
                                                                                                                                Ft 
                                                                                                                               
                        1
                                                                                            1                                    
                                                                                                                                      
     Contratto rivalutabile + opzione in rendita [Ballotta and Haberman (2003)]


                                       ˆ       
                 FV t VxOTA  FV t VxP  E OTAs vt , s s t px t Ft r ,                                  
      dove il valore a scadenza dell’opzione di conversione in rendita è:

       max G Cs ax s , Cs   Cs  G Cs max 0, ax s  K   Cs  OTAs
                                                                                                                                          55
         Fair Value di un contratto di assicurazione
         rivalutabile: opzione di riscatto_backward recursive
         procedure

       Il valore di continuazione al tempo s-1 per la traiettoria j è pari a [Andreatta e
        Corradin (2003)]:

                                                                                        
         Wsj1  v  j  s  1, s  Csj1 qx s 1  max G Cs j axs , Cs j  px s 1  P
                                                                      j

       Al tempo t < s – 1

                     [7 ]                                                
                                Wt  Ct q x t vt , t  1  p x t E vt , t  1Ft 1  P
                                                                     ˆ                         
       Fair Value dell’intero contratto
                                   [8]                           
                                             FV tVxT  Ft  max Wt , Rt       
       Con opzione di conversione in rendita [Baione, De Angelis, Fortunati (2006)]


                                                       
Wnj1    j  n  1, n Cn1 qxn1  max Cn j  ; GCn j  RVAxn pxn1  P
                               j                               j
                                                                                                   
                                                                                                        56
Scelta modelli stocastici dinamici



 Rischio demografico       modello stocastico di tipo
  Mean-Reverting Brownian Gompertz (MRBG).



 Rischio finanziario       modello di Cox, Ingersoll e
  Ross .


   




                                                          57
                Rischio demografico - modello MRBG


       La dinamica del processo  xt ; t  1,2,.... è descritta da un
        modello stocastico di tipo Mean-Reverting Brownian
        Gompertz (MRBG); in particolare se

                 Tx       = V.A. durata di vita residua di un assicurato di età x,
                  x t:t = intensità istantanea di mortalità stocastica di un
                     individuo di età x+t, osservata sull’anno di calendario t
                                                  allora:


                [2]                         
                       s p x  Prob Tx  s F 0             s  x t:t dt  
                                                      E e 0
                                                         
                                                                            F0 
                                                                               
                                                                              

P. De Angelis
                                                                                      58
                Rischio demografico - modello MRBG

                                         g x t   Yt
                 [26]  x t   x:0e                    , con g x ,  ,  x:0  0

                g x riassume    la correzione di tipo deterministico prodotta
                      contestualmente dalla variazione dell’età e dall’effetto del
                      longevity risk, su cui si innestano perturbazioni aleatorie
                                             
                      prodotte dal processo Y
                                                                              
                                               t
                x   rappresenta la deviazione standard del processo  xt ;

          Yt     è un processo mean reverting, la cui dinamica è descritta da:
                   [27] dYt  bYt dt  dWt  ,               Y0  0 , b  0
           con b il coefficiente di mean reverting e
           standard.
                                                               W  moto Browniano
                                                                 t
                                                                     


P. De Angelis
                                                                                      59
                Rischio finanziario - modello CIR

            Per il processo   rt               
                                      si assume una dinamica del
            tipo Mean Reverting Square Root,

                      [28]              drt  k   rt dt   r rt dWt   r


                     k           il coefficiente di mean reverting,

                                il tasso normale di lungo periodo,

                      r la volatilità dello spot rate,
                     W un moto Browniano standard.
                          t
                              r




P. De Angelis
                                                                               60
                Rischio finanziario – Processo aleatorio
                rendimento gestione separata
       La dinamica del portafoglio di investimento a cui sono agganciate le
        prestazioni assicurative:
           benchmark : prevalente componente obbligazionaria ed una
              minore componente azionaria

                             [29] dSt  rt St dt   S St dZ tS
       rt il valore dello spot rate al tempo t;

           St           il valore dell’indice di riferimento al tempo t;

           S           la volatilità dell’indice;

         W  un moto Browniano standard.
                 t
                     S


P. De Angelis
                                                                               61
        Una applicazione del modello di Fair Value
        Metodo di calcolo: simulazione numerica di tipo Monte Carlo (n.
        replicazioni:100.000).

Caratteristiche Contratto A: Premio annuo costante 1.000€
Sesso                                                               M
Età all’emissione                                                   40
Antidurata                                                           0

Durata residua                                                      15
Tasso tecnico di attualizzazione                               4,00%
Tavola demografica                                             SIM 81
Capitale assicurato iniziale                                19.984,23 €
Capitale rivalutato                                         19.984,23 €
Aliquota di retrocessione                                       95,0%
Coefficiente di conversione in rendita                         7,06%
Penalità del valore di riscatto                                5,50%      5,25%
Aliquote di composizione del portafoglio di
riferimento:
Indice Azionario                                                4,5%
Indice Obbligazionario                                         95,5%

                                                                                  62
        Una applicazione del modello di Fair Value
        Metodo di calcolo: simulazione numerica di tipo Monte Carlo (n.
        replicazioni:100.000).

Caratteristiche Contratto A1: Premio annuo costante 1.000€
Sesso                                                                M
Età all’emissione                                                    40
Antidurata                                                            0

Durata residua                                                       15
Tasso tecnico di attualizzazione                                2,00%
Tavola demografica                                              SIM 81
Capitale assicurato iniziale                                 17.074,05 €
Capitale rivalutato                                          17.074,05 €
Aliquota di retrocessione                                        95,0%
Coefficiente di conversione in rendita                          7,06%
Penalità del valore di riscatto                                 5,50%      5,25%
Aliquote di composizione del portafoglio di riferimento:
Indice Azionario                                                 4,5%
Indice Obbligazionario                                          95,5%



                                                                                   63
        Una applicazione del modello di Fair Value
        Metodo di calcolo: simulazione numerica di tipo Monte Carlo (n.
        replicazioni:100.000).

Caratteristiche Contratto A2: Premio annuo costante 1.000€
Sesso                                                                M
Età all’emissione                                                    40
Antidurata                                                            0

Durata residua                                                       15
Tasso tecnico di attualizzazione                                0,00%
Tavola demografica                                              SIM 81
Capitale assicurato iniziale                                 14.623,99 €
Capitale rivalutato                                          14.623,99 €
Aliquota di retrocessione                                        95,0%
Coefficiente di conversione in rendita                          7,06%
Penalità del valore di riscatto                                 5,50%      5,25%
Aliquote di composizione del portafoglio di riferimento:
Indice Azionario                                                 4,5%
Indice Obbligazionario                                          95,5%



                                                                                   64
        Una applicazione del modello di Fair Value
        Metodo di calcolo: simulazione numerica di tipo Monte Carlo (n.
        replicazioni:100.000).

Caratteristiche Contratto B: Premio annuo costante 1.000€
Sesso                                                               M
Età all’emissione                                                   40
Antidurata                                                           5

Durata residua                                                      10
Tasso tecnico di attualizzazione                               4,00%
Tavola demografica                                             SIM 81
Capitale assicurato iniziale                                19.984,23 €
Capitale rivalutato                                         20.084,23 €
Aliquota di retrocessione                                       95,0%
Coefficiente di conversione in rendita                         7,06%
Penalità del valore di riscatto                                5,50%      5,25%
Aliquote di composizione del portafoglio di
riferimento:
Indice Azionario                                                4,5%
Indice Obbligazionario                                         95,5%

                                                                                  65
Stima dei parametri


   Modello CIR: calibrazione sulle quotazioni degli
    interest rate swaps, caps e floors al 31 dicembre
    2007.

   Modello MRBG : stimatori di massima
    verosimiglianza sulle variazioni delle intensità
    istantanee di mortalità osservate sulle tavole di
    mortalità ISTAT - anni di rilevazione: 1931, 1951,
    1961, 1971, 1981, 1991; il parametro g x, s è stato
    ricalibrato in riferimento alla tavola di mortalità
    IPS55D.

                                                          66
Stima dei parametri

        Stima dei parametri processo rendimento del portafoglio: serie
         storica delle quotazioni giornaliere del ”JP Morgan GBI EMU” e
         del “S&P /MIB Index”, osservate sul periodo 01/01/2007-
         31/12/2007.

        Strategia finanziaria della gestione separata ispirata ad una
         gestione passiva sul benchmark di riferimento.
            rt                       xt                       St
    r0           0,0446         b            0,5       S0            100

    k            0,0036                   0,12       S            0,03

                0,1900         g           0,11        r ,S        -0,1
r               0,0010



                                                                            67
Una applicazione del modello di Fair Value

Figura [1] Percorso Aleatorio del processo del tasso spot

r(t)
   0,12
   0,1
  0,08
  0,06
  0,04
  0,02
     0
          0   1   2   3   4   5    6    7   8    9   10 11 12 13 14 15
                                  Anno di Bilancio


                                                                         68
Una applicazione del modello di Fair Value

Figura [2] - Percorso Aleatorio del processo dell’intensità istantanea di
     mortalità (per 1000)
x+t
  2,80

   2,30

   1,80

   1,30

   0,80
          0   1   2   3   4   5   6   7   8      9   10 11 12 13 14 15

                              Anno di Bilancio


                                                                            69
       Fair Value del contratto ed opzioni

 Riserva Matematica e Fair Value del Contratto A

                                       Opzione
Anno di    Contratto   Componente       Minimo      Opzione     Opzione di   Fair Value    Riserva
bilancio     Base      Rivalutazione   Garantito   di rendita    Riscatto    Contratto    Matematica
                                         4%


   0       -1.003,63      471,39        848,90     1.046,81        0,00       1.363,47       0,00

   5       4.345,72       651,24       1.048,65    1.286,24        0,00       7.331,85     5.527,79

  10       11.089,02     1.019,00      1.274,20    1.538,37        0,00      14.920,59     12.912,47

  15       19.984,23     1.685,01      1.545,93    1.802,29        0,00      25.017,47     23.215,17




                                                                                                       70
       Fair Value del contratto ed opzioni

 Riserva Matematica e Fair Value del Contratto A1

                                       Opzione
Anno di    Contratto   Componente       Minimo      Opzione     Opzione di   Fair Value    Riserva
bilancio     Base      Rivalutazione   Garantito   di rendita    Riscatto    Contratto    Matematica
                                         2%


   0       -2.465,49     1.910,80       341,76      971,01         0,00       758,08         0,00

   5       2.524,67      2.462,69       418,83     1.194,28        0,00       6.600,46     5.496,30

  10       8.807,76      3.326,71       501,87     1.431,98        0,00      14.068,32     12.627,30

  15       17.074,05     4.679,27       592,25     1.681,76        0,00      24.027,32     22.345,57




                                                                                                       71
       Fair Value del contratto ed opzioni

 Riserva Matematica e Fair Value del Contratto A2

                                       Opzione
Anno di    Contratto   Componente       Minimo      Opzione     Opzione di   Fair Value    Riserva
bilancio     Base      Rivalutazione   Garantito   di rendita    Riscatto    Contratto    Matematica
                                         0%


   0       -3.675,63     3.272,00        89,64      957,51         0,00       643,51         0,00

   5       1.015,08      4.175,40       110,87     1.177,04        0,00       6.478,39     5.569,60

  10       6.905,61      5.508,24       130,34     1.409,78        0,00      13.953,98     12.713,01

  15       14.623,99     7.502,68       152,06     1.654,21        0,00      23.932,94     22.278,73




                                                                                                       72
       Fair Value del contratto ed opzioni

 Riserva Matematica e Fair Value del Contratto B

                                       Opzione
Anno di    Contratto   Componente       Minimo      Opzione     Opzione di   Fair Value    Riserva
bilancio     Base      Rivalutazione   Garantito   di rendita    Riscatto    Contratto    Matematica
                                         4%


   5       4.422,85       451,88        699,91     1.645,53        0,00       7.220,17     5.464,86

  10       11.202,64      622,41        864,54     2.024,53        0,00      14.714,12     12.344,80

  13       16.169,53      798,58        972,49     2.261,35        0,10      20.202,05     17.703,74

  15       19.984,23      951,91       1.051,92    2.422,86        0,00      24.410,93     21.988,07




                                                                                                       73
Analisi di sensitività dell’opzione di riscatto :
Contratto A – senza OTA


                                Coefficiente Penalità Riscatto
 Minimo Garantito
                    0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%
      0,00%         309,12 180,05    72,88   8,44    0,00    0,00   0,00
      1,00%         200,86   87,87   20,58   0,84    0,00    0,00   0,00
      1,50%         149,68   43,52   12,50   0,00    0,00    0,00   0,00
      2,00%         116,00   32,78   5,11    0,00    0,00    0,00   0,00
      2,50%         97,73    20,97   0,00    0,00    0,00    0,00   0,00
      3,00%         72,51    12,00   0,00    0,00    0,00    0,00   0,00
      3,50%         55,54    0,00    0,00    0,00    0,00    0,00   0,00
      4,00%         32,67    0,00    0,00    0,00    0,00    0,00   0,00


                                                                           74
Analisi di sensitività dell’opzione di riscatto :
Contratto A

                                      Coefficiente Penalità Riscatto
Coefficiente Conversione
         Rendita
                           0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%


        4,61%              830,96 371,46 104,33    6,54    0,00        0,00   0,00
        5,19%              782,61 355,45 106,98    0,95    0,00        0,00   0,00
        5,49%              737,96 340,44   98,94   0,00    0,00        0,00   0,00
        5,79%              674,50 311,29   89,97   0,00    0,00        0,00   0,00
        6,10%              609,55 266,49   77,30   0,00    0,00        0,00   0,00
        6,42%              524,18 232,73   60,89   0,00    0,00        0,00   0,00
        6,74%              451,33 195,76   38,24   0,00    0,00        0,00   0,00
        7,06%              365,67 148,13   17,48   0,00    0,00        0,00   0,00



                                                                                     75
Analisi di sensitività dell’opzione di
conversione in rendita : Contratto A


                             Coefficiente       Opzione
       Minimo Garantito
                          Conversione Rendita   Rendita

            0,00%               4,61%              9,81
            1,00%               5,19%             80,33
            1,50%               5,49%            153,47
            2,00%               5,79%            242,06
            2,50%               6,10%            412,26
            3,00%               6,42%            571,18
            3,50%               6,74%            749,95
            4,00%               7,06%           1.005,00




                                                           76
Alcune considerazioni finali


    Implementazione di un modello di
       Rating per le compagnie vita




                  77                   77
Passi operativi per l’implementazione di un
modello di Rating per le compagnie vita
             Rating   K  X , X ,  
   Specificazione modello matematico per il Fair Value
    della riserva matematica
          Coerenza con il principio IAS 39

   Specificazione processi aleatori implicati dalle fonti di
    rischio tipiche della gestione assicurativa vita.

   Definizione approccio operativo
          Quantile Approach vs Cost of Capital.

   Calibratura coefficiente di sicurezza su dati di
    mercato.
                              78                                78
Collegamento tra Security factor –probabilità
di default e rating di impresa.
 È possibile fissare una relazione tra il livello di Security Factor (SF)
  e la probabilità di default, direttamente osservabile sul mercato,
  ovvero:


     SF  1 Pr ob_Default 0, T 
                                                                T

essendo
 Prob_Default: la probabilità annua di default riferita ad una
    esposizione al rischio su T anni, per una data classe di rating,
    osservata sul mercato;
 T : una misura del tempo di esposizione al rischio della compagnia
    rispetto al tempo di run-off del portafoglio.



                                                                             79
Ordinamento statistico del FV della riserva
matematica


                     4000


                     3500


                     3000
Numero Simulazioni




                     2500


                     2000


                     1500


                     1000


                     500


                        0
                            0   0.5   1          1.5   2      2.5
                                          Euro                    4
                                                           x 10




                                                                      80
      Calibratura Market Consistent del coefficiente di
      sicurezza
      Rating                  Y1       Y5       Y10        Y15

      AAA                    0,000    0,096    0,443      0,583

       AA                    0,010    0,293    0,815      1,276

        A                    0,041    0,586    1,831      2,847

      BBB                    0,274    2,831    5,824      8,320

       BB                    1,117    10,653   18,294     21,576

        B                    5,383    24,161   32,377     37,181

      CCC/C                 27,021    47,560   53,047     55,896

Coefficienti di sicurezza
      Rating                  Y1       Y5       Y10        Y15

      AAA                   100,000   99,904   99,557     99,417

       AA                   99,990    99,707   99,185     98,724

        A                   99,959    99,414   98,169     97,153

      BBB                   99,726    97,169   94,176     91,680

       BB                   98,883    89,347   81,706     78,424

        B                   94,617    75,839   67,623     62,819

      CCC/C                 72,979    52,440   46,953     44,104

Fonte: Standard & Poor's CreditPro®
                                                                   81
 Capitale Economico e Rating del portafoglio-
 Contratto A

         FV Riserva         1.363,47

           MdS                  96,95



                                                    Requisito di               Requisito di
Rating        Security Factor             VaR                        CTE
                                                     Capitale                   Capitale


AAA               99,42%                10.992,37    9.157,52      12.102,39    10.267,53
 AA               98,72%                9.794,69     7.959,84      11.165,07    9.330,21
  A               97,15%                8.167,32     6.332,46      9.930,74     8.095,88
BBB               91,68%                5.618,26     3.783,40      7.790,13     5.955,27

 BB               78,42%                2.663,62      828,77       5.430,63     3.595,77
  B               62,82%                1.258,88       0,00        3.889,40     2.054,54
CCC/C             44,10%                1.258,78       0,00        3.009,46     1.174,60

                                                                                              82
 Capitale Economico e Rating del portafoglio-
 Contratto A1

         FV Riserva             758,08

           MdS                  88,22



                                                    Requisito di              Requisito di
Rating        Security Factor             VaR                       CTE
                                                     Capitale                  Capitale


AAA               99,42%                 8.635,96    5.967,08      9.604,10    6.935,22
 AA               98,72%                 7.655,59    4.986,71      8.787,75    6.118,88
  A               97,15%                 6.356,55    3.687,67      7.811,83    5.142,95
BBB               91,68%                 4.164,99    1.496,12      6.024,28    3.355,41

 BB               78,42%                 1.730,36      0,00        4.049,94    1.381,06
  B               62,82%                 646,79        0,00        2.777,58     108,70
CCC/C             44,10%                 646,71        0,00        2.064,80      0,00

                                                                                             83
 Capitale Economico e Rating del portafoglio-
 Contratto A2

         FV Riserva             643,51

           MdS                  80,87



                                                    Requisito di              Requisito di
Rating        Security Factor             VaR                       CTE
                                                     Capitale                  Capitale


AAA               99,42%                 7.867,37    3.951,85      8.817,97    4.902,45
 AA               98,72%                 6.908,18    2.992,67      8.020,33    4.104,81
  A               97,15%                 5.829,27    1.913,75      7.100,85    3.185,33
BBB               91,68%                 3.837,64      0,00        5.511,82    1.596,30

 BB               78,42%                 1.599,96      0,00        3.719,61      0,00
  B               62,82%                 568,27        0,00        2.558,53      0,00
CCC/C             44,10%                 568,19        0,00        1.892,76      0,00

                                                                                             84
 Capitale Economico e Rating del portafoglio-
 Contratto B

         FV Riserva         7.220,17

           MdS                  262,45



                                                     Requisito di               Requisito di
Rating        Security Factor              VaR                        CTE
                                                      Capitale                   Capitale


AAA               99,56%                 18.983,50    11.311,46     20.090,71    12.418,67
 AA               99,19%                 17.861,99    10.189,95     19.217,35    11.545,31
  A               98,17%                 16.194,16    8.522,12      17.957,35    10.285,30
BBB               94,18%                 13.438,57    5.766,53      15.637,68    7.965,63

 BB               81,71%                 9.766,34     2.094,30      12.704,41    5.032,37
  B               67,62%                 7.499,80       0,00        10.896,25    3.224,21
CCC/C             46,95%                 7.129,48       0,00        9.442,51     1.770,46

                                                                                               85
Possibili sviluppi scientifici


 Management option
 Simulazione numerica, ottimizzazione
  stocastica e procedure di mitigazione del
  rischio
 Procedure di ottimizzazione e regole di
  allocazione del capitale di rischio
 Longevity Bond e applicazioni di finanza
  matematica al processo aleatorio



                                              86
      Referencees

   Bacinello A.R. (2003), Fair Valuation of a Surrender option Embedded in a
    Guaranteed Life Insurance Partecipating Policy, Journal of Risk and
    Insurance, 70 (3).
   Ballotta L., Haberman S. (2003), Guaranteed Annuity Conversion Options and
    their Valuation, www.casact.org.
   Baione F., De Angelis P., Fortunati A. (2006), On a Fair Value Model For
    Partecipating Life Insurance Policies, Investment Management and Financial
    Innovations, 2, Business Perspectives Editor.
   Grosen A., Jorgensen P.L. (2001), Life Insurance Liabilities at Market Value,
    Working Paper Series n. 96, Center for Analytical Finance.
   Longstaff F. A., Schwartz E. S. (2001), Valuing American Options by
    Simulation: a Simple Least-Squares Approach, Review of Financial Studies
    14, 1.
   Milevsky M. A., Promislow S. D. (2001), Mortality Derivatives and the
    Option to Annuitise, Mathematics & Economics , 29.


                                                                                    87

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:28
posted:10/6/2012
language:Italian
pages:87