Transforma��es de vari�veis - Instituto Superior de Agronomia by 08eMGGL

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									        Transformações de variáveis

As transformações das bandas podem ser usadas
para obter informação quantitativa sobre a imagem
e reduzir a dimensionalidade dos dados
       Principais tipos de transformações

• Transformações não lineares:
   – Exemplo: Índices de vegetação
• Transformações lineares:
   – Exemplos: componentes principais, transformação de
     Kauth-Thomas
               Índices de vegetação

• Exemplos:

   – Quociente simples: NDivp(i)/NDv(i)

   – Normalized Difference Vegetation Index

          NDVI=( NDivp - NDv)/ ( NDivp + NDv).
                      Índice NDVI

• Este índice toma valores entre –1 e 1.

• Chuvieco (2000) sugere que um coberto vegetal
  corresponde a NDVI>0.1 e que vegetação densa
  corresponde a NDVI>0.5
Exemplo: imagem Landsat-TM, Castanheira de Pera
• Índices como o NDVI permitem atenuar o efeito do
  relevo na imagem obtida. Essa característica é
  importante, por exemplo, em análise multitemporal
  de imagens (para atenuação sos efeitos da variação da
  geometria de iluminação).

NDivp (i)  NDv' (i)
   '
                           bivp (i)rivp (i)  bv (i)rv (i)       b(i)rivp (i)  b(i)rv (i)       rivp (i)  rv (i)
                                                                                           
ND (i)  ND (i)
    '
   ivp
                '
                v          bivp (i)rivp (i)  bv (i)rv (i)       b(i)rivp (i)  b(i)rv (i)       rivp (i)  rv (i)


         ND’ – número digital (com correcção radiométrica)
         r - reflectância
  Efeito do relevo nas bandas de satélite: exemplo




Modelo digital do terreno             Composição colorida
Exemplo: imagem Landsat-TM


                             Ocupação agrícola e
NDVI > 0.5                   florestal
              Componentes principais

• Redução da dimensionalidade
• Possivelmente relacionadas com características
  quantitativas do coberto
   – Exemplo:
      • Brilho da imagem na região do visível
      • Quantidade de vegetação verde
      •…
A matriz de variância-covariância

                                    1
                           x 
                                  ms  1
                                          jS ( x j  x )( x j  x ) T

é uma matriz com n linhas e n colunas. Cada entrada v ut da matriz  x é a covariância
entre a u-ésima banda e a t-ésima banda. As entradas da diagonal principal vuu são as
variâncias das bandas. Se se dividir cada entrada v ut por         vuu vtt obtem-se uma matriz R
chamada matriz de correlação para a qual cada entrada rut é o coeficiente de correlação
entre a u-ésima banda e a t-ésima banda.
     Decomposição da matriz de variância-covariância ou
     da matriz de correlação


As matrizes  x e R são matrizes simétricas (B é simétrica se B=BT, em que BT é a
transposta de B). Podemos então escrever para  x (para R a decomposição é análoga) :

                                       PT  x P  D ,

sendo P uma matriz de vectores próprios P=[v1...vn] de  x , ortonormais (i.e. PPT=I, a
matriz identidade), e D uma matriz diagonal cujas entradas não nulas são os valores
próprios l1,...,ln associados aos vectores próprios v1...vn . (Vamos supôr, no que se segue,
que os valores próprios estão ordenados por ordem decrescente, i.e., l1>...>ln).
                   Transformação linear das variáveis

Podemos realizar uma transformação linear dos dados num novo conjunto de eixos
(eixos principais) tal que as correlações nesse novo referencial sejam nulas. Seja G uma
matriz n por n tal e y=Gx a transformação de um vector x no referencial original (valores
nas bandas do sensor por exemplo). Pretendemos escolher G tal que a matriz  y de
variância-covariância dos y’s seja diagonal (covariâncias nulas). Como

            y  E((Gx  Gx )(Gx  Gx )T )  GE((x  x )(x  x )T )GT  G x GT

(em que E representa o operador valor médio), então escolhendo G=PT asseguramos que
 y seja diagonal.
Prova-se igualmente que v1 (o vector próprio de  x associado ao maior valor próprio) é o
vector, entre todos os vectores v de norma 1, que maximiza a variância de Av (A é a
matriz de dados original) isto é, define a direcção segundo a qual a projecção dos dados
originais tem maior variância. A variância de Av1 é justamente o maior valor próprio de
 x . Da mesma forma, v2 é a direcção (entre as direcções ortogonais a v1) que maximiza
a variância, e assim sucessivamente para os restantes vectores próprios de  x .


Numa matriz simétrica, a soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma dos
valores próprios da matriz. No contexto da análise de dados em detecção remota, isto
significa que a soma das variâncias das bandas (elementos da diagonal principal de  x )
é a soma dos valores próprios de  x . Dado que cada valor próprio de  x é a variância
dos dados segundo a direcção do vector próprio associado, então considera-se que a
proporção da variabilidade total dos dados explicada pelos k primeiros eixos principais é
soma dos k primeiros valores próprios sobre a soma das variâncias.
Exemplo: matriz de variância-covariância e matriz de correlação
para 3 bandas SPOT-XS


    VAR/COVAR         xs1         xs2        xs3

           xs1     568.45     604.43      139.18
           xs2     604.43     689.10      161.27
           xs3     139.18     161.27      465.79


    COR MATRX         xs1         xs2        xs3

           xs1   1.000000   0.965725    0.270483
           xs2   0.965725   1.000000    0.284650
           xs3   0.270483   0.284650    1.000000
Exemplo: 3 bandas SPOT-XS. Percentagem da
variância explicada por cada componente e vectores
próprios da matriz de variância-covariância


COMPONENT         C 1         C 2          C 3

   % var.      74.92        23.84        1.24
eigenval.    1291.16       410.90       21.29

eigvec.1    0.649060 -0.175795 0.740147
eigvec.2    0.718539 -0.177869 -0.672357
eigvec.3    0.249846 0.968225 0.010868
Projecção dos dados sobre a
segunda componente:           Terceira
associado à vegetação         componente
Projecções sobre as últimas componentes:
associado a “ruído” nas imagens
     Transformação de Kauth-Thomas
        Coeficientes para Landsat-TM


              TM1      TM2      TM3      TM4     TM5      TM7
Brilho        .0243    .4158    .5524    .5741   .3124    .2303
Teor de verde -.1603   -.2819   -.4939   .794    -.0002   -.1446
Teor de água .0315     .2021    .3102    .1594   -.6806   -.6109

								
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