google - DOC

Document Sample
google - DOC Powered By Docstoc
					                                                                                        ‫ٳعداد: ذ. بنخد جواهير‬


                                                                                                                ‫:‬   ‫مدخل‬
‫عرفت السنوات األخيرة عدة محاوالت لتغيير صورة الرياضيات عند العموم عموما والتالميذ على الخصوص.فالكل يتذكر ما خلفته‬
‫الرياضيات الحديثة مع المدرسة البور باكية من أضرار فادحة في أوساط التالميذ نظرا العتمادها على التجريد وابتعادها عن‬
‫الواقع. هذه المحاوالت تجلت بالخصوص في تغيير المقررات والبحث عن المقاربات البيداغوجية و الديداكتيكية. إال أن هذه‬
‫الصورة ال تزال تأخذ طابعها السلبي في أذهان كثير من التالميذ و اآلباء، فكثير منهم الزالوا ال يحبون الرياضيات وذلك راجع إلى‬
                                                                                                         ‫أسباب عدة منها:‬
‫صعوبة استيعابها نظرا لغياب أهميتها وتطبيقها في الحياة اليومية والعملية. فهي مازالت منعزلة داخل جدران الفصول‬             ‫‪‬‬
                                                             ‫بتمارينها وفروضها المحروسة وهواجس االمتحانات.‬
‫عدم تقديم الرياضيات كعلم ساهم في تقديم كثير من الحضارات اإلنسانية مع دراسة مراحل تطوره وعوائقه االبستمولوجية.‬           ‫‪‬‬
                       ‫وقد طالب وألح كثير من الباحثين في ديداكتيك الرياضيات على إدراج تاريخ الرياضيات في تدريسها‬
                          ‫غياب التحفيز على البحث والتنقيب على مجاالت تطبيق المفاهيم الرياضياتية المدرسة في الفصل.‬       ‫‪‬‬
‫وتعت بر مرحلة الطفولة والمراهقة المرحلة المحددة للصورة التي تتولد عند التلميذ عن الرياضيات . فالمقررات والطرق‬
‫البيداغوجية ومتطلبات المادة والمنظومة التعليمية و الكفايات المطورة كلها عوامل تساهم في تحديد هذه الصورة والتي تبقى‬
‫راسخة في متخيله حتى نهاية حياته . ورغم الجهود التي يبذلها األساتذة و مدرسو الرياضيات لتحبيبها لتالميذهم فهي تبقى دائما‬
‫مصدرا للخوف والقلق.. ويأتي هذا العمل المتواضع من أجل إعطاء صورة مغايرة وتحفيز التالميذ على اكتشاف عجائب الطبيعة‬
‫ومنجزات العقل البشري - في اتجاهه االيجابي - عبر صيرورته التاريخية و محاولة في خلق روح الفضول المعرفي واكتشاف‬
‫مدى كلية وجود الرياضيا ت في اليومي والطبيعي وإبراز الوجه الحقيقي لهذا العلم الذي قال عنه جاليليو "الرياضيات هي المفتاح‬
                                                                                              ‫الذي يحل كل ألغاز الطبيعة ".‬
‫لم تقتصر الرياضيات مند نشأتها على كونها مجرد حقل للنظريات المجردة مرتبطة باألرقام والرموز أو بتطبيقها في الفيزياء بل‬
‫علم يربط هذه النظريات والمعارف بقوانين الطبيعة واإلنسان والجمال أي بالحياة. و من بين أهم طموحات الرياضيات فهم الواقع‬
‫ووصفه من أجل الفعل عليه لصالح اإلنسان. ومن أجل مساعدة التالميذ على اكتساب آليات فهم الواقع وتحليله البد من االستعانة‬
‫بنظرية هاورد جاردنر التي تؤكد على أن الذكاء ال يقتصر فقط على المجال الرياضي المنطقي بل يشمل جميع مجاالت الحياة‬
‫كالذكاء اللغوي ، الحسي-الحركي ، االجتماعي ، الموسيقي والفني ...الخ . فتفاعل الرياضيات مع هذه المجاالت يساهم في تنمية‬
‫الذكاء ألرياضياتي ويجعل المتعلم يدرك أنها ليست مادة مدرسة تركز على التجريد وتطبيق الخاصيات ، بل هي مجال حيوي يدفع‬
                                                                                                  ‫إلى البحث و الفضول.‬
‫إن تخصيص هذا العدد األول للعدد الذهبي يأخذ مشروعيته من المكانة الهامة التي تتبوأها األعداد سواء داخل الرياضيات أو‬
                                                                          ‫خارجها . و لك شهادات بعض الرياضياتيين :‬
                             ‫(فيتاغورس 569قم-559قم)‬                 ‫" الكون كله متوقف على مجموعة األعداد الطبيعية "‬
                                 ‫(افالطون 427قم-477قم)‬        ‫"األعداد هي أعلى درجة المعرفة. األعداد هي المعرفة نفسها"‬
                          ‫"الرياضيات هي ملكة العلوم ونظرية األعداد هي ملكة العلوم الرياضياتية " (كوص 5669-9969)‬
‫إن أشهر األعداد التي نالت إعجاب وفضول الكثيرين هو العدد الذهبي. فارتباطه بالجمال والتناغم والتناسق جعل منه مجال‬
‫اهتمام رجاالت العلم والفن و اإلبداع فأطلقوا عليه أسماء و نعوتا كثيرة كالنسبة اٳلالهية أو العدد الذهبي كما ذهب كثير أبعد من‬
‫ذلك ليربطوه باألسطورة ولعل فيلم "شفرة دافينتشي" أحسن وأحدث مثال، ليكون بذلك نجم األعداد٫ له كثير من المعجبين‬
‫واألنصار. إال أن هذا لن يمنع البعض من اتخاذ موقف مغاير وتجريده من جميع الخصائص المرتبطة به إذ ال يرون فيه سوى‬
                                                                                   ‫مجرد عدد عادي كسائر األعداد الحقيقية.‬
‫"للهندسة كنزان هما مبرهنة فيتاغورس والعدد الذهبي. األول يمكن مقارنته بقياس ذهبي والثاني يمكن وصفه بجوهرة ثمينة"‬
                                                                                    ‫جوهان كيبلر (9499-5769).‬

                                                                                          ‫:‬   ‫تاريخ العدد الذهبي‬
                                          ‫يرجع اكتشاف عالقة اإلنسان بالعدد الذهبي إلى عصور ما قبل التاريخ أي حوالي‬
                                          ‫55559سنة، إذ بدأت المالمح األولى لهذا العدد عند اكتشاف معبد اندروس في بحر‬
                                          ‫الباهاماس. وقد استعمله كثير من الفنانين أمثال بييرو ذي فرانشيسكا وليوناردو‬
                                       ‫دافانتشي وبانع الكمانات الشهير انطونيو ستراديفاري في نهاية القرن السابع عشر‬
                                       ‫وسلفادور دالي كما اعتمد عليه المهندسون المعماريون في بناء األهرامات‬
                                       ‫والكاتدرائيات. فهرم خيوبس المبني سنة 5562 ق م يظهر أن مهندسه استعمل هذا‬
                                       ‫العدد فخارج ارتفاع الهرم على نصف قاعدته يساوي العدد الذهبي وحسب هيرودوت‬
                                       ‫فان بعض الكهنة المصريين طلبوا إنشاء الهرم بحيث مساحة المربع الذي ضلعه‬
                                       ‫ارتفاع الهرم تساوي مساحة كل وجه من أوجهه. أما اليونانيون فقد اكتشفوه في‬
                                       ‫القرن السادس قبل الميالد. إن ولوعهم الشديد بالهندسة جعلهم يتعاملون مع أشكال‬
                                       ‫تمثل التوازن وجمال الكون بتناسق األعداد ومن بين األشكال التي اهتموا بها كثيرا‬
                                       ‫خماسي األضلع الذي يحتوي على النجمة الخماسية (العدد 9 هو عدد أصابع اليد )‬
                                       ‫والتي كانت رمزا للمدرسة الفيتاغورية. وفي القرن الخامس قبل الميالدـ277 ق م‬
                                       ‫477 ق م ـ كان النحات اإلغريقي فيدياس يستعمل العدد الذهبي في تزيين البارتينون‬
                                       ‫وبالخصوص في تمثال اتينا بارتينوس. كما وظف العدد 5 كخارج لبعض األبعاد. و‬
                                       ‫في القرن الرابع قبل الميالد ثم إنشاء مسرح االيدورو الذي يتميز بكونه من أحسن‬
                                       ‫المسارح ذات المؤثرات الصوتية في العالم ، إذ يكفي أن تصدر صوتا وسط الحلبة‬
                                       ‫فيسمعك كل المتفرجين، ومدرجاته كانت تنقسم إلى مجموعتين من 99 مدرجا موزعا‬
                                       ‫ب 77 في الجزء السفلي و92 في الجزء العلوي (92-77-99 هي أعداد متتالية‬
                                     ‫فيبوناتشي). و في القرن الثالث قبل الميالد تعامل إقليدس مع العدد من خالل هندسته‬
                                     ‫فهو أول من استعمل تقسيم قطعة حسب النسبة المتوسطة والقصوى أي تكون قطعة‬
                                     ‫مقسمة حسب هذه النسبة إذا كانت نسبة الكل على الجزء األكبر تساوي نسبة الجزء‬
                                     ‫األكبر على الجزء األصغر. وفي القرن الخامس عشر أبرز ليوناردو دافنتشي- من خالل‬
                                     ‫مؤلفه "التناسب اإلالهي ‪ " proportion de divina‬مجموعة من الخاصيات‬
                                     ‫الرياضياتية والجمالية – وحتى األسطورية –للعدد وقد قام بتأليف هذا الكتاب الكاهن‬
                                     ‫وأستاذ الرياضيات االيطالي فرالوكا باشيولي سنة 6579 م أما في القرن التاسع عشر‬
                                     ‫الميالدي فنجد أدولف اتسايزينغ – وقد كان أستاذا للفلسفة في كل من جامعة ليبتزيغ‬
                                     ‫وميونيخ األلمانيتين- الذي تعامل مع العدد ليس رياضياتيا أو هندسيا بل من الجانب‬
                                       ‫الجمالي والمعماري إذ وجده في كثير من اآلثار القديمة. كما نجد كذلك الفيزيائي‬
                                       ‫األلماني غوستاف تيودور فيشنر الذي اعتمد في دراسته للجانب الجمالي للعدد على‬
                                       ‫المجوهرات واألصلبة معتمدا على المقاربات اإلحصائية، مثال سنة 6469 كان فيشنر‬
                                       ‫يقوم بإنشاء مستطيالت ويطلب من الناس اختيار المستطيل األكثر جمالية وتناسق‬
                                       ‫فوجد أن% 64 يختارون مستطيالت خارج طولها على عرضها يقارب ‪ φ‬وفي‬
                                       ‫بداية القرن العشرين – سنة 1932- أطلق عليه األمير والدبلوماسي الروماني ماتيال‬
                                       ‫شيكا اسم العدد الذهبي. اهتم ماتيال بالنجمة الخماسية ، أقطارها تتقاطع وفق النسبة‬
                                       ‫الذهبية ، كما رآه في لوالب الصدفات ، في توزيع أوراق النباتات، في عدد البتالت،‬
                                       ‫في المعمار وفي اللوحات الفنية. وقد اعتمد على أبحاث كل من تسايزينغ و فيشنر –‬
                                       ‫في زمن كان العلم يحاول أن يشرح كل شيء- كما تأثر كذلك باالتجاه الفلسفي‬
‫األلماني الذي كان سائدا أواخر القرن 59 والذي اعتمد على كل من افالطون وإقليدس حول وجود جمالية علمية فالنسبة ألفالطون‬
‫- الجمال يترجم باألشكال الهندسية- أما إقليدس فيرى أن – الكل مصنوع باألعداد – وقد خصص ماتيال للعدد ‪ φ‬عدة‬
‫كتب أهمها "جمالية النسب في الطبيعة والفن " و "العدد الذهبي ". وفي سنة 9759 خلده المهندس المعماري الفرنسي‬
                                                                                            ‫الجنسية والسويسري األصل‬
                                                         ‫‪ Charkes- Edouard Jeanneret – Gris‬المشهور‬
                                                                                               ‫باسم‬
                                                         ‫» ‪ « le Corbusier‬بواسطة نظامه الحسابي في البناء‬
                                                         ‫» ‪ « le modulor‬وهو منظومة من القياسات بإبعاد المنزل‬
                                                                  ‫السكني مستنتجة من أوضاع وحركات اإلنسان في داخله.‬

                                                        ‫34‬        ‫07‬       ‫311‬      ‫041‬      ‫381‬       ‫622‬
                                                           ‫‪ 1.6   1.62   1.61   1.62   1.62 ‬‬     ‫6.1 ‪‬‬
                                                        ‫72‬        ‫34‬        ‫07‬       ‫68‬      ‫311‬       ‫041‬
                                                                             ‫الذهبي :‬    ‫الخاصيات الرياضية للعدد‬
                                                                                               ‫الخاصيات الجبرية :‬
                                      ‫5 ‪1‬‬
                                  ‫‪‬‬              ‫العدد ‪ ‬هو الحل الوحيد الموجب للمعادلة 0 ‪ x  IR : x 2  x  1 ‬أي‬
                                         ‫2‬
    ‫بما أن 0 ‪  2    1 ‬فان 1 ‪  2   ‬ادن ‪  n  2   n 1   n‬و هذه الصيغة تقربنا من المتتاليات (‪ )υn‬المعرفة‬
        ‫بالعالقة الترجعية ‪ . n  IN : v n  2  v n 1  v n‬أشهر هذه المتتاليات هي متتالية فيبوناتشي المحددة بالعالقة 1 = 0 ‪f‬‬
   ‫و 1 = 1 ‪ f‬و ‪ . f n+2 = f n+1 +fn‬و متتالية لوكاس المحددة بالعالقة 1 = 0‪ l‬و 3= 1‪ l‬و ‪. ln+2 = ln+1 + ln‬‬
  ‫الحدود االولى لمتتالية فيبوناتشي هي االعداد 1 -1- 2 - 3- 5 - 8 - 31- 12 - 33 - 55 - 88 - 331 - 332 - 333 - 610 -‬
               ‫388 .و الحدود االولى لمتتالية لوكاس هي االعداد 1- 3- 3 - 3- 11 - 81 - 82 - 33 - 03 - 312 - 882.‬
                                                                             ‫نحصل على‬                   ‫فادا قمنا ادن بحساب‬
        ‫- 6716.1=‬         ‫- 0916.1 =‬            ‫- 3516.1 =‬        ‫- 526.1=‬    ‫- 6.1 =‬     ‫- 6666.1 =‬       ‫- 50.1 =‬       ‫2=‬
                                                                        ‫اتمم حساب هذه الكسور ستالحظ انها تقترب من العدد . ‪‬‬
         ‫1‪f n ‬‬                       ‫2‪f n‬‬         ‫1‬
‫هي حل‬             ‫أي نهاية المتتالية‬         ‫‪ 1‬‬        ‫للبرهان على هذه النتيجة ننطلق من أن ‪ f n  2  f n 1  f n‬إذن‬
          ‫‪fn‬‬                          ‫1‪f n ‬‬      ‫1‪f n ‬‬
                                                   ‫‪fn‬‬
                                                                ‫‪f‬‬                                            ‫1‬
 ‫‪ x  1 ‬و سنقتصر على الحل الموجب الن 1‪ 0  n ‬أي ‪ x  ‬و هدا بالطبع غير مرتبك بالحدين األولين.‬                 ‫للمعادلة‬
                                                                  ‫‪fn‬‬                                         ‫‪x‬‬

                                                                     ‫بعض الخاصيات المتعلقة بأعداد فيبوناتشي و لوكاس‬
                                                                                             ‫1+‪ƒn2 + ƒ2n+1 = ƒ2n‬‬
                                                              ‫حيث 1 = ‪ α‬أو 1- = ‪α‬‬            ‫‪ƒn2 = ƒn-1 × ƒn-2 + α‬‬
                                                                                                 ‫1+‪ln = ƒn-1 + ƒn‬‬
                                                                                                    ‫‪ln × ƒn = ƒ2n‬‬
                                   ‫توجد ال نهاية من أعداد فيبوناشي التي تقبل القسمة على ‪ n‬كيفما كان ‪ n‬من ‪IN‬‬
                                             ‫يوجد عدد من بين ‪ 2 n‬أعداد فيبوناشي األولى يقبل القسمة على ‪n‬‬
                  ‫لكل ‪ 3 <n‬اذا كان ‪ ƒn‬عددا أوليا فان ‪ n‬عدد أولي و العكس ليس صحيحا مثال 11 عدد أولي أما‬
                                                                   ‫311 ×73 =1814= 91‪ ƒ‬ليس عددا أوليا‬
                               ‫221 = 441= 21‪ ƒ‬هو المربع الوحيد في متتالية فيبوناشي باستثناء 1= 1‪ƒ0 = ƒ‬‬
                                                                         ‫1-‪ƒm+n = ƒm+1 × ƒn + ƒm × ƒn‬‬
                                                  ‫ادا كان ‪ n‬يقبل القسمة على ‪ m‬فان ‪ ƒn‬يقبل القسمة على ‪ƒm‬‬
                                                             ‫1= ) 1+‪ pgcd ( ƒn . ƒn‬كيفما كان ‪ n‬من ‪IN‬‬
                                                                         ‫)‪pgdc( ƒn . ƒm ) = ƒpgdc(n ; m‬‬


                                                                                                          ‫الكسور المتتالية:‬

                                        ‫1‬                     ‫1‬
                           ‫‪  1‬‬               ‫‪   1 ‬إذن‬         ‫بما أن 0 = 1 - ‪ φ2 - φ‬فان 1 + ‪ φ2 = φ‬و منه‬
                                       ‫‪1‬‬
                                            ‫1‬                 ‫‪‬‬
                                            ‫‪‬‬
                                                                                                                             ‫1‬
                                                       ‫‪   1 ‬وهكذا دواليك. فعند حساب األعداد التالية :‬                                 ‫إذن‬
                                                                                                                                 ‫1‬
                                                                                                                        ‫‪1‬‬
                                                                                                                                     ‫1‬
                                                                                                                             ‫‪1‬‬
                                                                                                                                     ‫‪‬‬

                                   ‫1‬                   ‫8‬                     ‫1‬           ‫5‬              ‫1‬           ‫3‬     ‫1‬
                        ‫‪1‬‬                         ‫‪‬‬           ‫و‬   ‫‪1‬‬                ‫‪‬‬       ‫و‬    ‫‪1‬‬            ‫‪‬‬     ‫2 ‪ 1 ‬و‬
                                       ‫1‬               ‫5‬                         ‫1‬       ‫3‬                  ‫1‬       ‫2‬     ‫1‬
                             ‫‪1‬‬                                         ‫‪1‬‬                             ‫‪1‬‬
                                           ‫1‬                                    ‫1‬                           ‫1‬
                                  ‫‪1‬‬                                         ‫‪1‬‬
                                               ‫1‬                                ‫1‬
                                       ‫‪1‬‬
                                               ‫1‬
 ‫إلى آخره ,نالحظ أن هذه الكسور تساوي خارج عددين متتابعين في متتالية فيبوناشي فادا اعتبرنا المتتالية المعرفة‬
                                                                                                                 ‫1‬
                   ‫. ‪lim U n  ‬‬           ‫التي حدودها هي الكسور السابقة فان‬                     ‫‪U n 1  1 ‬‬          ‫ب 1 ‪ : U 0‬و‬
                                                                                                                ‫‪Un‬‬
                                                                                                                     ‫الجذور المتتالية :‬
‫بما أن 1 + ‪ φ 2 = φ‬فان 1 ‪    ‬الن ‪ 0  ‬إذن ‪   1  1  ‬إذن ‪   1  1  1  ‬إذن‬

                                                                                             ‫‪...   1  1  1  1  ‬الخ‬
               ‫فاذا اعتبرنا المتتالية ‪ (Vn ) 0 n‬المعرفة ب : 1 ‪ V0 ‬و ‪ Vn1  1  Vn‬نجد أن حدودها األولي هي :‬

            ‫2414.1 ‪ V1  1  1 ‬و 0237.1 ‪ V2  1  1  1 ‬و 8256.1 ‪V3  1  1  1  1 ‬‬

          ‫7826.1 ‪ V4  1  1  1  1  1 ‬و 3126.1 ‪... V5  1  1  1  1  1  1 ‬الخ‬
        ‫فإننا نالحظ أن هذه الجذور تقترب من العدد ‪. φ‬ألن نهاية المتتالية ‪ (Vn ) 0 n‬هي الحل الموجب للمعادلة‬
                                                                         ‫‪ . x  1  x‬وهذا الحل هو العدد ‪. ‬‬
                                                                                               ‫قوى العدد ‪: φ‬‬
 ‫1+‪ φ =13φ+8 -- φ = 8φ + 5 -- φ =5φ +3 -- φ = 3φ +2 -- φ =2φ+1 -- φ2=φ‬الحظ ان‬
           ‫7‬                 ‫6‬                    ‫5‬                 ‫4‬                 ‫3‬

                                                ‫2-‪. φn = ƒn-1 × φ +ƒn‬‬            ‫قوى العدد ‪ φ‬تكتب على شكل‬

                                                                                                       ‫‪e‬ـ‪φ- π‬‬                ‫العالقة بين‬


                        ‫‪   4  1   12k 1  2  32k 1  4  1  2k 1   6 k 3 ‬و‬
        ‫1‪ ‬‬
                                                           ‫‪‬‬                                 ‫‪‬‬
                               ‫‪‬‬       ‫‪k‬‬                              ‫‪‬‬       ‫‪k‬‬
   ‫‪e‬‬
        ‫‪ ‬‬                   ‫1 ‪k 0 2k ‬‬                             ‫1 ‪k 0 2k ‬‬




                                                                        ‫العدد الذهبي و الهندسة :‬
                                                                                  ‫النسبة الذهبية :‬
‫لتكن القطعة [‪ ]A,B‬و ‪ M‬نقطة منها حيت ‪ . AM  BM‬نقول أن النقطة ‪ M‬تقسم القطعة [‪ ]A,B‬وفقا للنسبة‬
                                                                                                 ‫‪AB BM‬‬
   ‫. بمعنى خارج الجزء األكبر علي األصغر يساوي خارج الكل على الجزء‬                                  ‫‪‬‬                   ‫الذهبية إذا كان‬
                                                                                                 ‫‪BM AM‬‬
        ‫‪x‬‬   ‫‪y‬‬
 ‫إذن‬      ‫‪‬‬    ‫األكبر.‪B‬ــــــــــــــــــــــــ ‪ M‬ــــــــــــــــــــــــ‪ .A‬بوضع ‪ AB  x‬و ‪ BM  y‬نحصل على‬
        ‫‪y x y‬‬
                                                               ‫2‬
        ‫‪x‬‬                                   ‫‪x‬‬              ‫‪x x‬‬                     ‫‪x‬‬      ‫1‬
    ‫أي العدد حل للمعادلة 0 ‪ t 2  t  1 ‬إذن ‪  ‬ألن‬       ‫و منه فان 0 ‪      1 ‬‬
                                                           ‫‪ y  y‬‬                     ‫‪‬‬
        ‫‪y‬‬                                   ‫‪y‬‬              ‫‪   ‬‬                     ‫‪y x‬‬
                                                                                              ‫1‪‬‬
                                                                                            ‫‪y‬‬
                                                                                                ‫‪x‬‬
                                                                                           ‫‪0‬‬
                                                                                                ‫‪y‬‬
                                                               ‫طريقة تقسيم قطعة حسب النسبة الذهبية :‬


                                                           ‫نعتبر القطعة ‪ A; B ‬و النقطة ‪ O‬من المستقيم‬
                                            ‫‪OB ‬‬
                                                 ‫‪AB‬‬
                                                              ‫العمودي على المستقيم ‪  A; B ‬في ‪ B‬بحيث‬
                                                  ‫2‬
                                                      ‫‪OB‬‬
                                                              ‫نعتبر الدائرة ‪ ‬التي مركزها ‪ O‬و شعاعها‬

                                             ‫المستقيم ‪ OA ‬يقطع الدائرة ‪ ‬في نقطتين ' ‪ M‬و ' ‪N‬‬
                                             ‫الدائرة التي مركزها ‪ A‬و شعاعها ' ‪ A M‬تقطع القطعة‬
                                                                               ‫]‪ [A ,B‬في ‪.M‬‬
                                                 ‫5‬
                                 ‫‪ OA ‬و منه :‬      ‫2‪ OA2= OB2 + AB‬إذن ‪AB‬‬         ‫في المثلث ‪ OAB‬لدينا‬
                                                ‫2‬
                              ‫‪AB‬‬                                                    ‫1‪5 ‬‬     ‫1‬
                                 ‫‪‬‬     ‫= ' ‪ AM = A M ' = AO - O M‬إذن‬                    ‫‪AB  AB‬‬
                              ‫‪AM‬‬                                                     ‫2‬       ‫‪‬‬

                          ‫نرسم الدائرة التي مركزها ‪ A‬و شعاعها ‪ AN‬تقطع المستقيم ) ‪ ( AB‬في ‪. N‬لدينا‬
                                         ‫‪AN‬‬                                    ‫1‪5 ‬‬
                   ‫و بالتالي نحصل على‬        ‫‪ AN  AN '  AO  ON ' ‬إذن ‪ ‬‬        ‫‪AB  AB‬‬
                                         ‫‪AB‬‬                                     ‫2‬
                                                                            ‫‪AN‬‬     ‫‪AB AM‬‬
   ‫إذن النقطة ‪ M‬تقسم القطعة ]‪ [A ,B‬حسب النسبة الذهبية و كذلك النقطة ‪ B‬تقسم‬       ‫‪‬‬     ‫‪‬‬     ‫‪‬‬
                                                                             ‫‪AB AM BM‬‬
                                                                ‫القطعة ]‪ [A ,N‬حسب النسبة الذهبية .‬
                                                                                   ‫المستطيل الذهبي :‬
                                                               ‫هو كل مستطيل خارج ضلعيه يساو ي‪φ‬‬
                                          ‫‪L‬‬
                                            ‫إذا كان ‪ L‬هو طول المستطيل و ‪ l‬هو عرضه فان ‪ ‬‬
                                          ‫‪l‬‬
                                                                        ‫إنشاء مستطيل ذهبي :‬
                                            ‫نرسم مربعا ‪ ABCD‬و ‪ E‬منتصف القطعة ‪ A; B ‬نرسم‬
                                         ‫الدائرة التي مركزها ‪ E‬و المارة من ‪ .C‬نصف المستقيم ‪A; B ‬‬
                                         ‫يقطع الدائرة في ‪ . F‬العمودي علي المستقيم ‪ CD ‬والمار من ‪F‬‬
                                                     ‫يقطع ‪ CD‬في ‪. G‬المستطيل‪ AFGD‬مستطيل ذهبي.‬
                                           ‫ليكن ‪ ABCD‬مستطيال ذهبيا بعداه ‪ L‬و ‪ l‬ٲي ‪L  l‬‬
                                                                   ‫نعتبر المربع ‪ ABEF‬ضلعه ‪. l‬‬
          ‫‪DC‬‬         ‫‪l‬‬         ‫‪l‬‬        ‫1‬
               ‫‪‬‬          ‫‪‬‬         ‫‪‬‬        ‫المستطيل ‪ FECD‬هو كذلك مستطيل ذهبي ٲلن: ‪ ‬‬
          ‫‪CE‬‬      ‫‪Ll‬‬       ‫1 ‪l  l  ‬‬
‫و منه نحصل على خاصية مهمة في المستطيل الذهبي و هي ٳذا كان ‪ ABCD‬مستطيال ذهبيا طوله ‪ L‬و عرضه ‪l‬‬
                         ‫ٳذا حدفنا منه المربع الدي طول ضلعه ‪ l‬فان المستطيل المتبقي هو مستطيل ذهبي.‬
                                           ‫المستطيل الذهبي و فن التصوير:‬
            ‫عندما تنظر إلى صورة فوتوغرافية مستطيلة الشكل فٳن نظرك يتوجه‬
            ‫أوتوماتيكيا نحو حيز يشكل منطقة قوة الصورة[الحيز األحمر]. نرسم‬
        ‫مستطيالن ذهبيان طول كل واحد منهما هو عرض الصورةٳذا نقطة تقاطع‬
                 ‫قطري الصورة مع المستقيمين األحمرين تحدد الحيز المطلوب.‬


                                                          ‫المثلث الذهبي :‬
     ‫هو كل مثلث قائم الزاوية أضالعه متناسبة مع األعداد 5,4,3 أو كل مثلث‬
 ‫متساوي الساقين بحيث خارج ضلعيه يساوي ‪. φ‬نحصل بذلك على صنفين من‬
   ‫المثلثات الذهبية .الصنف األول خارج ضلعه و قاعدته هو‪ Φ‬و تسمى أحيان‬
                  ‫المثلثات الفضية و الصنف الثاني خارج قاعدته و ضلعه هو ‪φ‬‬
      ‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا ذهبيا رأسه هو النقطة ‪ C‬نضع ‪ AC =L‬و ‪ AB = l‬إذن:‬
‫‪ .L = φl‬و لتكن ‪ D‬النقطة من القطعة [‪ ]A .C‬حيت ‪ . BD =l‬إذن المثلث‬
                                               ‫‪ ABD‬مثلث ذهبي.‬
                  ‫‪x‬‬     ‫‪l‬‬
    ‫و في المثلث‬     ‫‪‬‬    ‫في المثلث ‪ ABD‬لدينا ‪‬‬  ‫إذا وضعنا ‪AD = x‬‬
                ‫‪sin B sin A‬‬
                          ‫‪‬‬
                           ‫‪‬‬     ‫‪‬‬‫‪‬‬
            ‫و بما أن ‪ ABD  A‬فان ‪l  x‬‬    ‫‪L‬‬     ‫‪l‬‬     ‫‪ ABC‬لدينا‬
                                              ‫‪‬‬   ‫‪‬‬
                                         ‫‪sin A sin C‬‬
‫و هذه خاصية مهمة في المثلث الذهبي تمكن من إنشاء ال نهاية من المثلثات الذهبية.‬
                                    ‫قياس زاوية الرأس هو 22 درجة أو 35 درجة .‬
                                                                 ‫البيضة الذهبية :‬
     ‫ليكن1‪ O1 A1 C‬مثلثا متساوي الساقين رأسه ‪ O‬و قياس زاوية الرأس هو 722‬
            ‫نرسم المثلثين الذهبيين 1‪ O1 A1 B‬و 1‪ O1 C1 D‬المثلثان متماثالن‬
  ‫بالنسبة للمستقيم ً (‪ )O 1P‬حيت ‪ P‬هي تقاطع المستقيمين (1‪)A 1B‬و(1‪)C 1D‬‬
         ‫نرسم جزء الدائرة التي مركزها ‪ P‬و تربط 1‪ C‬ب 1‪ A‬ثم نرسم القوس الذي‬
    ‫مركزه 1‪ B‬و ينطلق من 1‪ A‬حتى يصل إلى نصف المستقيم 1‪. C1O‬نرسم مماثله‬
                   ‫بالنسبة للمستقيم 1‪. OP‬و نتمم البيضة بالقوس الذي مركزه 1‪O‬‬
                                                               ‫الحلزون الذهبي :‬
            ‫ليكن ‪ ABCD‬مستطيال ذهبيا نعتبر المربعات المحصل عليها بعد حذف‬
         ‫المستطيالت الذهبية المنشاة انطالقا من.‪ ABCD‬نرسم أرباع الدوائر داخل‬
                                                  ‫كل مربع فنحصل على حلزون.‬
           ‫نعتبر المثلثات الذهبية المنشأة انطالقا من المثلث الذهبي ‪ ABC‬و أقواس‬
                               ‫الدوائر المحيطة بالمثلثات نحصل على خط حلزوني.‬
                                                                            ‫العدد الذهبي و خماسي األوجه :‬
                  ‫5‬
 ‫نعتبر في المجموعة ‪ C‬الجذور من الدرجة الخامسة للوحدة أي األعداد العقدية حل للمعادلة 1= ‪: Z‬حلول المعادلة‬
                                  ‫‪4‬‬         ‫‪4‬‬              ‫‪2‬‬        ‫‪2‬‬
                      ‫‪Z 2  cos‬‬      ‫‪ i sin‬‬    ‫‪ Z1  cos  i sin‬و و‬          ‫هي األعداد العقدية التالية : 1 ‪Z 0 ‬‬
                                   ‫5‬          ‫5‬               ‫5‬          ‫5‬
                                                                   ‫‪8‬‬         ‫‪8‬‬                 ‫‪6‬‬          ‫‪6‬‬
                                                         ‫‪Z 4  cos‬‬    ‫‪ i sin‬‬      ‫‪ Z 3  cos  i sin‬و‬           ‫و‬
                                                                    ‫5‬          ‫5‬                  ‫5‬           ‫5‬
  ‫ٳذا كانت 0‪ M‬و 1‪ M‬و 2‪ M‬و 3‪ M‬و 4‪ M‬النقط من الدائرة المثلثية التي ألحاقها على التوالي هي : 0‪ Z‬و 1‪ Z‬و‬
                                                      ‫2‪Z‬و 3‪ Z‬و 4‪ Z‬فهي رؤوس خماسي أوجه منتظم ادن :‬
                                                               ‫0‪M0M2=M1M3=M2M4=M3M0=M4M‬‬
                                                                     ‫و 0‪M0M1=M1M2=M2M3=M4M‬‬
                                                                                                            ‫‪2‬‬
                                       ‫قياس للزاوية (1‪ )M0ôM‬و(2‪ )M1ôM‬و (3‪ )M2ôM‬و(4‪)M3ôM‬‬                         ‫و العدد‬
                                                                                                             ‫5‬
                                                                                                           ‫و(0‪. )M4ôM‬‬
                                                      ‫‪‬‬       ‫‪M2N‬‬
                                          ‫‪ sin‬ٳذن‬         ‫‪‬‬        ‫‪ M2N‬‬      ‫نضع 2‪ l= M1M‬و 4‪ L = M1M‬لدينا‬
                                                      ‫5‬       ‫2 ‪OM‬‬
                                                                                                ‫‪‬‬
       ‫‪ L  2  ‬ٳذن‬        ‫‪ l  M 2 M 3  3  ‬بنفس الطريقة نجد‬             ‫‪ 2 sin‬و منه‬            ‫3 ‪ 2M 2 N  M 2 M‬‬
                                                                                                ‫5‬

‫ألن 1+‪ φ2 = φ‬أي ‪. L  l‬و هذه النتيجة تعطي مجموعة من‬
                                                                    ‫‪L‬‬
                                                                      ‫‪‬‬
                                                                           ‫‪2 ‬‬
                                                                                  ‫‪‬‬
                                                                                       ‫‪2 ‬‬
                                                                                            ‫‪‬‬
                                                                                                        ‫‪2   2  ‬‬
                                                                    ‫‪l‬‬      ‫‪3‬‬         ‫‪3‬‬           ‫‪3   2   ‬‬
                                                              ‫المثلثات الذهبية داخل الخماسي األضلع.‬
                                                                                  ‫الزاوية الذهبية :‬
 ‫لتكن ‪ C‬دائرة مركزها النقطة ‪ O O‬و مساحتها ‪ β‬و ‪ A‬و ‪ B‬نقطتين من الدائرة. الزاوية الحادة (‪ )AôB‬تحصر‬
                                              ‫‪ ‬‬‫‪‬‬
‫و في هذه الحالة يكون قياس الزاوية(‪)AôB‬‬             ‫قطاعا زاويا مساحته ‪ .α‬الزاوية الذهبية تكون بحيث‬
                                                          ‫‪‬‬
                                        ‫‪ ‬‬    ‫‪‬‬
                                        ‫‪2‬‬                                               ‫‪2‬‬
                       ‫أي 14,222 درجة.‬       ‫أي 13,251 درجة و قياس الزاوية األخرى هو‬          ‫هو‬
                                       ‫1‪ ‬‬                                               ‫‪‬‬

                                                                                      ‫العدد الذهبي و الحساب المثلثي :‬
                                                                                            ‫‪‬‬                 ‫‪‬‬
                                                                                      ‫‪sin‬‬             ‫‪ cos‬و‬       ‫حساب‬
                                                                                            ‫5‬                 ‫5‬
         ‫‪2‬‬              ‫‪2‬‬                                             ‫‪‬‬             ‫‪‬‬
‫‪ sin‬و لدينا‬  ‫‪ cos‬و. ‪ xy‬‬    ‫‪ y  sin‬ٳذن 1 ‪ . x²  y ² ‬لدينا 1 ‪ 2 x² ‬‬     ‫‪ x  cos‬و‬         ‫نضع‬
           ‫5‬              ‫5‬                                             ‫5‬             ‫5‬
     ‫‪2‬‬  ‫‪‬‬      ‫‪2 ‬‬        ‫‪3‬‬             ‫‪2 ‬‬     ‫‪2‬‬             ‫‪2 ‬‬       ‫‪3‬‬       ‫‪3 2 ‬‬
                                     ‫‪‬‬
  ‫‪sin cos  cos sin  sin  sin      sin‬‬            ‫‪ sin     sin‬ٳذن‬
                                                                 ‫‪‬‬        ‫‪‬‬       ‫ٳذن‬     ‫‪‬‬   ‫‪‬‬
      ‫5‬  ‫5‬       ‫5‬    ‫5‬      ‫5‬       ‫‪‬‬      ‫‪5 ‬‬      ‫5‬           ‫5 ‪‬‬    ‫‪5‬‬     ‫5‬        ‫5‬   ‫5‬   ‫5‬
     ‫5 ‪1‬‬
              ‫ٳذن نحصل على ‪ 2 x 2 y  2 x 2  1y  2 x‬وبما أن 0 ‪ y ‬فٳن 0 ‪ . 4x²  2x  1 ‬حال المعادلة هما‬
       ‫4‬
                                     ‫‪‬‬     ‫‪3‬‬                ‫‪‬‬           ‫‪ 1 5 ‬‬                      ‫5 ‪1‬‬
       ‫‪ sin ‬نستخلص النتائج التالية :‬             ‫‪ cos ‬ٲلن ‪ 0  cos‬و.‬                   ‫‪‬‬          ‫ٳذن‬       ‫و‬
                                      ‫5‬      ‫2‬                 ‫5‬          ‫5‬        ‫4‬        ‫2‬             ‫4‬
                                                                                                 ‫1‬
                                                                                        ‫‪cos ‬‬      ‫‪2  2 ‬‬
                                                                                                 ‫2‬
                             ‫1‬                  ‫‪‬‬            ‫‪4  ‬‬             ‫‪3 1  ‬‬            ‫1 ‪2  ‬‬
                  ‫‪cos 2 ‬‬       ‫‪  ‬ٳذن ‪2  ‬‬      ‫‪ cos ‬نضع‬             ‫‪ cos ‬و‬             ‫‪ cos ‬و‬
                             ‫2‬                  ‫02‬            ‫5‬     ‫2‬            ‫5‬        ‫2‬          ‫5‬      ‫2‬
‫‪cos8 ‬‬
        ‫1‬
          ‫و ‪ cos3  1 2  3  ‬و ‪ cos4  ‬و 2 ‪ cos 5 ‬و ‪ cos7  1 2  3  ‬و ‪  1‬‬
        ‫2‬                   ‫2‬                      ‫2‬           ‫2‬           ‫2‬
          ‫1 ‪‬‬                              ‫1 ‪‬‬                             ‫1‬
      ‫‪cos ‬‬        ‫‪ cos ‬و ‪2  2  2  2  ‬‬      ‫‪ cos9 ‬و ‪2  2  2  ‬‬    ‫و ‪2  2 ‬‬
          ‫2 4‬                              ‫2 2‬                             ‫2‬
                                                                 ‫‪‬‬           ‫1‬
                                                         ‫‪cos‬‬       ‫2‪n‬‬
                                                                         ‫‪‬‬                  ‫و ‪ .... 2  2  ‬جذر‪n‬‬
                                                                               ‫...... ‪2  2 ‬‬
                                                               ‫2‬             ‫2‬

                                                   ‫متتالية فيبوناتشي و مثلث باسكال: إذا قمت بمجموع األعداد حسب‬
                                                                                                           ‫األقطار‬
                                                   ‫ستحصل على أعداد متتالية فيبوناتشي : األعداد المكتوبة باألحمر‬

                                                                                         ‫العدد الذهبي في الطبيعة :‬
                                                                          ‫العدد الذهبي و عالم النباتات :‬
                               ‫ٳذا قمت بقطع تفاحة أو إجاصة حسب قطرها اإلستوائي تجد أن حباتها تشكل نجمة‬
                         ‫خماسية .ٳذا تمعنت في الصورة سترى خماسي أضلع يحوي البذور و عند جفاف التفاحة‬
                           ‫ستجد خماسيا آخر يشكل مع حامي البذور مضلعا من عشرة وجوه . ٳذا قمت بمالحظة‬
                        ‫أنواعا من األزهار تجد أن عدد بتالتها هو 1,2,5,3,,,51,12,45 أو 33 أو 1, .. و هذه‬
                                                                        ‫أعداد نجدها في متتالية فيبوناتشي.‬




      ‫زهرة االنقولية : 5 بتالت‬       ‫زهرة االطرليون : 3 بتالت‬             ‫الزئبقية البيضاء : بثلة واحدة زهرة الفربيون : بتلتان‬




     ‫زهرة األقحوان : 33 بثلة‬           ‫زهرة االستر : 12 بثلة‬         ‫السوسنة السوداء: 31 بتلة‬          ‫ياسمين البر : 8 بتالت‬

                                   ‫ٳذا دققت جدا في حراشف تفاح الصنبور أو األناناس أو في زهرة نوار الشمس أو‬
                                                                                         ‫زهرة اللؤلؤ ستجد أعدادا‬
                                 ‫و أشكاال هندسية لها عالقة مع متتالية فيبوناتشي .و من بين العلوم التي اهتمت بذلك‬
                                        ‫الفيلوتاكسيا وهي العلم الذي يدرس طريقة توضع األوراق على امتداد ساق‬
                                  ‫النباتات من أجل تحديد خصائصها و تصنيفها. و من بين أهم العوامل التي تهتم بها‬
                                             ‫مفهوم التباعد او االنفراج الزاوي بين ورقتين متتاليتين على ساق النبتة.‬
                                                                         ‫2‪f n‬‬       ‫‪f‬‬           ‫‪f‬‬
                                                                 ‫‪lim‬‬           ‫2 ‪ lim n  2  lim n 1  ‬‬
                                                ‫1‪f n ‬‬                     ‫‪fn‬‬        ‫1‪f n ‬‬        ‫‪fn‬‬
                                       ‫‪ lim‬أن‬          ‫اذن ‪ ‬‬                                                      ‫ن ع لم و‬
                                                 ‫‪fn‬‬
                                                                                                           ‫2‪f n‬‬
                ‫‪  n ‬ب ال تال ي ال م ت تال ية لها عال قة مع ال عدد ال ذه بي و حدودها األول ي هي‬
                                                                                                             ‫‪fn‬‬

                                                                                            ‫5 8 31 12 43‬
                                                                                       ‫‪.....    ‬‬
                                                                                            ‫2 3 5 8 31‬
                    ‫عند دراسة توزيع األوراق حول ساق بعض النباتات في حالة األوراق المعزولة أو المتناوبة) أي‬
                   ‫كل ورقة مربوطة إلى الساق بعقدة كشجرة التفاح أو االجاص الخ...( مثال في شجرة التفاح نعتبر‬
                   ‫أن الساق على شكل اسطوانة و الخط المار من العقدات يكون حلزونيا . نسمي المولدة كل مستقيم‬
                       ‫مار من عقدتين في نفس الوضع على الساق. فا نطالقا من أي عقدة يجب رسم لولبين من الخط‬
               ‫2‬
  ‫الحلزوني لكي نجد العقدة الموالية الموجودة على نفس المولدة و العدد 3 هو عدد المولدات الخارج يسمى الدورة‬
               ‫5‬
              ‫2‬                  ‫1‬                              ‫1‬
    ‫لشجرة‬        ‫لشجرة الزيزفون و الدردار لشجرة جار الماء‬          ‫الوريقية لشجرة التفاح و لكل نوع دورته مثال‬
              ‫5‬                  ‫3‬                              ‫2‬
                                                      ‫5‬                             ‫3‬
                                  ‫لشجر الصفصاف‬          ‫البلوط و الكرز و التفاح لشجرة الحور و شجرة الورد‬
                                                     ‫31‬                             ‫8‬
                                                                  ‫1 1 2 3 5‬
    ‫هي مقلوب حدود المتتالية ‪.  n‬عدد العقدات التي سنمر بها ٳذا‬       ‫‪   ‬‬           ‫و شجر اللوز. فاألعداد‬
                                                                 ‫2 3 5 8 31‬
        ‫انطلقنا من عقدة معينة للوصول إلى العقدة الموالية الموجودة على نفس المولدة ينتمي إلى أعداد فيبوناتشي..‬
                                                 ‫كل ورقة أو بتلة تبدأ ببر عوم صغير فتظهر البراعم واحد تلوى‬
                                             ‫اآلخر على الساق و كل برعم يبتعد عن ما قبله للحصول على مكان‬
                                              ‫أوسع وعلى أكبر قدر من األشعة الشمسية .إن أحسن طريقة هي أن‬
                                               ‫0 063‬
                                                       ‫0 5. 222 ‪‬‬   ‫يبعد البرعم عن سابقه بانحراف زاويته تساوي‬
                                                 ‫‪‬‬
                                                    ‫أو 05.731 ‪ 3600  222.50 ‬أو 058 ‪ 222.50  137.50 ‬أو‬
                                                    ‫05.25 ‪ 137.50  850 ‬و بالتالي البرعم السادس لن يبقى له إال‬
                                                   ‫05.23 ‪ 850  52.50 ‬بالنسبة لما قبله و بالتالي فهو ال يعترض‬
                                              ‫ألشعة كافية تسمح له بالنمو عموما و هذا ما يفسر كون أكثر النباتات‬
                                               ‫ال تفوق 3 براعم. تنبت الساق الرئيسة أغصانا برعمية عند بداية كل‬
                                              ‫مرحلة و عدد األغصان و األوراق عند كل مرحلة هو عدد من أعداد‬
                                                                                                       ‫فيبوناشي.‬

      ‫التوزيع الحلزوني : تمثل الخطوط الحلزونية تغيرا في البنية كالنمو أو التضاعف. فعندما نختار شكال و نكرره‬
        ‫مرات وفق صورته األصلية نحصل على حلزون مثال المستطيل الذهبي أو المثلث الذهبي , ينطبق ذلك على‬
          ‫القواقع و على األوراق النباتية الملتفة و عندما تبني متعضيات من تراكب دائري لألوجه الشكلية و غيرها.‬
      ‫فكثيرا ما نصادف األشكال الحلزونية منطلقة من مركز كثير من النباتات كزهرة نوار الشمس و حراشف تفاح‬
  ‫الصنبور و األناناس و زهرة اللؤلؤ .و المدهش في هذه األشكال أنها ال تتكون إال من األعداد الموجودة في متتالية‬
                                                                                                        ‫فيبوناشي .‬
        ‫فمثال زهرة نوار الشمس مكونة من صنفين من الخطوط الحلزونية : صنف يدور في منحى الدائرة المثلثية و‬
                                                           ‫الصنف اآلخر يدور في المنحى المعاكس بالطريقة التالية:‬
                                               ‫‪ ‬عدد الخطوط الحلزونية الموجهة نحو اليسار و عدد الخطوط‬
     ‫قطر الزهرة‬           ‫عدد الحلزونات‬
                   ‫نحو اليسار‬       ‫نحو اليمين‬ ‫الحلزونية الموجهة نحو اليمين هما عددان متتاليان في متتالية‬
         ‫12 ‪14cm‬‬                            ‫45‬                                                 ‫فيبوناتشي.‬
  ‫43 ‪15cm-18cm‬‬                              ‫33‬               ‫‪ ‬كل نقطة هي تقاطع خطين حلزونيين متعاكسين‬
  ‫33 ‪19cm-22cm‬‬                              ‫1,‬
                                                      ‫‪ ‬عدد النقط الموجودة على كل خط حلزوني هو عدد من‬
‫1, من أك بر ‪23cm‬‬                          ‫441‬                                          ‫متتاليات فيبوناتشي.‬
                                                        ‫‪ ‬الخط المار من جميع النقط هو خط حلزوني‬
                                                       ‫‪ ‬الزاوية بين نقطتين متتاليتين هي زاوية دهبية‬

                                                       ‫‪ ‬عدد الخطوط الحلزونية مرتبط بقطر الزهرة‬

                                    ‫نجد في األناناس و القرنبيط 3 حلزونات معاكسة و , مباشرة , في زهرة‬
                                     ‫اللؤلؤ و البابونج و أنواع أخرى من نفس الفصيلة نجد 12 مباشرة و 45‬
                                                                                             ‫معاكسة.‬




                                                                       ‫العدد الذهبي في اإلنسان و الحيوان:‬

                                                     ‫ٳن وجود هذه النسب و األشكال الحلزونية دفع الباحثين‬
                                                         ‫بالتنقيب عنها لدى اإلنسان و الحيوان, فظهورها في‬
                                                          ‫النباتات راجع إلى عملية النمو و البحت عن المكان‬
                                                       ‫المناسب للتعرض ألشعة الشمس داخل النبتة, أما عند‬
                                                        ‫اإلنسان و الحيوان حيت الحركة كبيرة فال تظهر هذه‬
                                                  ‫النسب مباشرة. فعندما تكون حرية الحركة محدودة أو بنية‬
                                                      ‫ثابتة كنجمة البحر و الرخويات المثقلة بالقواقع نجد أن‬
                                                        ‫النمو يتم عبر الحلزون ا للوغاريتمي أو الذهبي , أما‬
                                     ‫عندما تكون الحركة أكبر فيصعب إيجاد هذه النسب‬
                                  ‫و يتطلب العثور عليها بحثا و تنقيبا عميقين. فمثال وجه‬
                              ‫اإلنسان يرتسم داخل مستطيل ذهبي و هذا المستطيل يحمل‬
                           ‫تقسيمات ذهبية ألعلى الجبهة و ألسفل األنف, و لمستوى الفم‬
                                ‫و ألسفل الذقن.و صرة اإلنسان تقسم جسمه حسب النسبة‬
               ‫الذهبية كما أن خارج المسافات بين سالمات اليد تساوي نسبا تقارب العدد‬
                                                                               ‫الذهبي .‬
                                                                                      ‫.‬
                                                           ‫أمثلة عديدة في جسم اإلنسان:‬
                      ‫•يد اإلنسان كل خط فيها يساوي طول الخط الذي قبله ب.%8.16‬

‫•وجه اإلنسان تحكمه النسبة الذهبية بحيث أن الرأس يشكل المستطيل الذهبي والعيون في منصفه. والفم واألنفَ‬
                                                 ‫موضوعان في األقسام الذهبية بالنسبة للعيون وقاع الذقن.‬

                    ‫•أسنان اإلنسان: حيث إن األسنان األمامية تُشكل المستطيل الذهبي، وذلك من طول السن‬
                     ‫األمامي مع عرض السنين األماميين معا، نسبة عرض السن األول إلى السن الثاني من‬
                                                                             ‫المركز أيضا هي ,13.1.‬
  ‫لقد كان اإلنسان مقتنعا منذ العصور األولى بوجود هذه النسب المقاربة للعدد ‪ φ‬فظهرت مخططات و رسوم لجسم‬
     ‫اإلنسان معتمدة على أعداد فيبوناتشي, أشهرها هو مخطط العالم و الفيلسوف أغريبا دي نتشايم .فأعلى الرأس‬
   ‫و األطراف األربعة مرتبة على شكل نجمة خماسية محاطة بدائرة , حيت الصرة تقسم القطر العمودي أي طول‬
                                                                                       ‫5‬
‫.و كان رمزه يشير إلى القوة و الحب. أما ليوناردو دا فنتشي الذي أحاط جسم اإلنسان‬           ‫الجسم وفق نسبة تساوي‬
                                                                                       ‫3‬
                                                                              ‫بمربع فقد وجد أن هذه النسبة تساوي‬

                     ‫8‬      ‫5‬                                                                                   ‫8‬
                       ‫‪ ‬‬            ‫.الحظ أن األعداد 5,3,, هي أعداد متتالية في متتاليات فيبوناتشي و أن‬
                     ‫5‬      ‫3‬                                                                                   ‫5‬
                       ‫و تظهر هذه النسب و الحلزونات كذلك عند العديد من الحيوانات كانحناء أنياب الفيل و في‬
                       ‫قرون الكبش البري و في مخالب طيور الكناري و في عيون ريش الطاووس بل نجد بعضا‬
                                                                            ‫منها على شكل خماسية كنجمة البحر .‬
                                      ‫يقول رودولف البان مدير إحدى أشهر مدارس الرقص اإليقاعي في ألمانيا :‬
                                 ‫" إن كل حركات الجسم اإلنساني في األبعاد الثالثة تؤدي في شكل أمثل بانتقاالت‬
                            ‫زاوية تقدر ب 22 درجة, و إن مختلف االتجاهات في الفضاء الموافقة لهذه االنتقاالت‬
                            ‫تمثل بأقطار مجسم منتظم من عشرين وجها,حيت تشكل الزاوية 22 الزاوية المركزية‬
                                                                                       ‫في أحد وجوهه الخمسة ."‬
                                  ‫و يقول معلم الرقص :" إن الحركات المتناغمة هي التي تقود خطوات و حركات‬
                                                                                ‫الذراعين في اتجاه رأس المجسم."‬
                                                                                  ‫أعداد فيبوناتشي عند الحشرات :‬
                              ‫ينتمي النحل إلى عائلة غشائيات األجنحة . تتميز هذه العائلة بظاهرة كيميائية غريبة‬
                                ‫فالبيضات الملقحة تعطي اٳلنات و البيضات الغير ملقحة تعطي الذكور. عند النحل‬
                              ‫مثال الملكة هي التي تحدد ما إذا كانت البيضة ستلقح أم ال بالمني المخزن بعد التلقيح‬
                               ‫ومنه فإن النحلة األنثى لها أب و أم أما الذكر فله أم فقط . إذا قمنا بإنشاء الزيجي .‬
                                                                          ‫الشجرة الجينيالوجية لنحلة نحصل على :‬
                                                              ‫ـ عدد األجداد عند كل مرحلة هو عدد من متتالية‬
                                                                                                        ‫فيبوناتشي.‬
                                                           ‫ـ عدد الجدات و عدد األجداد عند كل مرحلة هما عددان‬
                                                                                    ‫متتاليان في متتالية فيبوناتشي .‬




                                                                               ‫العدد الذهبي و فن الرسم :‬
     ‫يقول الراهب لوكا باشيولي "ال فن من دون رياضيات "و يقول طوما االكويني "إن الحواس لتسر من األشياء المتناسبة".‬
  ‫هاتان العبارتان تؤكدان اإلحساس الدائم و االقتناع الراسخ عند اإلنسان بالعالقة القائمة بين الرياضيات و الجمال.‬
   ‫لقد شكل فن الرسم مجاال خصبا لتطبيق العدد ‪ φ‬لما لهدا األخير من ارتباط وطيد بالجمال و التناغم و التناسق .‬
    ‫فإذا كان أكتر الرسامين قد طبقوه بطريقة عفوية دون علم بخصائصه الرياضياتية فإن البعض اعتمد عليه كثيرا‬
  ‫بطريقة علمية ٳلنجاز روائعهم أمثال ليوناردو دا فنتشي ـ جيريكوـ سالفادور دالي ـ جورج سورا. فعلى سبيل المثال كانت‬
       ‫طريقة دافنتشي أن يقسم اللوحة أوال إلى تناسبات ذهبية و يبين من بعد الظالل و األنوار و يوجه الحركات و‬
    ‫النظرات مع تناسبانها . ٲنظر لوحة )مريم و العذراء و الطفل(. إن التركيب الناجح للوحة يعتمد على إبراز‬
    ‫تواجد الموضوع وعلى التناسق و سيالن البصر مع التوظيف المتوازن لأللوان و الضوء فاعتماد العدد الذهبي‬
     ‫يسمح باالستغالل الجيد لألشكال و التموضعات. و سنأخذ لوحة الرسام الكبير رافائيل ـ العذراء في المرج-‬
                                                                                                       ‫كنموذج.‬
                                                                                                   ‫تمرين :‬
        ‫ليكن ‪ G‬و ‪ G‬مركزي ثقل المثلثين ‪ ABC‬و ‪ A B C‬على التوالي بين أن ' ‪AA'  BB '  CC '  3GG‬‬
                                                           ‫'‬   ‫'‬   ‫'‬                               ‫'‬


  ‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ k‬عددا حقيقيا موجبا قطعا و ‪ I‬مرجح ‪ B;1, C; k ‬و ‪ J‬مرجح ‪ C;1;  A; k ‬و ‪ K‬مرجح‬
            ‫.‪  A;1; B; k ‬بين أن المثلثين ‪ ABC‬و‪ IJK‬لهما نفس مركز الثقل و أن مساحة المثلث ‪ IJK‬هي‬
                                                                                                         ‫‪k  BC‬‬
                                                                                              ‫‪f (k ) ‬‬
                                                                                                         ‫2‪1  k ‬‬
‫‪ g k  ‬أكتب ) ‪ f (k‬بداللة ‪ k‬بين أن ) ‪ f (k‬يكون دنويا عندما يكون ‪ g k ‬قصويا. ما هي في هذه‬
                                                                                                   ‫‪k‬‬
                                                                                                              ‫نضع‬
                                                                                               ‫2‪1  k ‬‬
                                                                               ‫الحالة النقط ‪K ;J ;I‬‬
    ‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا متساوي األضالع مركز ثقله ‪ O‬و ‪ ‬الدوران الذي مركزه ‪ O‬و زاويته . 021 بين أن ‪IJK‬‬
                   ‫0‬


                                                                             ‫مثلث متساوي األضالع .‬
         ‫ما هي صور المستقيمات )‪ (AI‬و )‪ (BJ‬و )‪ (CK‬بالدوران ‪ . ‬لتكن‪ U‬نقطة تقاطع)‪ (AI‬و)‪ (BJ‬و ‪ V‬نقطة‬
 ‫تقاطع)‪ (BJ‬و )‪ (CK‬و‪ W‬نقطة تقاطع)‪(AI‬و )‪ (CK‬ما هي صور النقط ‪ W,V,U‬بالدوران ‪ . ‬ماذا تستنتج بالنسبة‬
                                                                          ‫للمثلث ‪ UVW‬و مركز ثقله.‬
                                                  ‫حدد األعداد ‪ c,b,a‬حيت ‪ U‬مرجح )‪ (A,a‬و)‪ (B,b‬و)‪(C,c‬‬
‫في المثلث ‪ UVW‬المتوسط المار من ‪ W‬يقطع ‪ BC ‬في ‪ .X‬المتوسط المار من ‪ U‬يقطع ‪ AC ‬في ‪.Y‬المتوسط‬
        ‫المار من ‪ V‬يقطع]‪ [A,B‬في ‪ .Z‬ما هي صور ‪ Z ,Y ,X‬كيف هي أضالع المثلثين ‪ XYZ‬و ‪ . UVW‬نفرض‬
  ‫أن ‪ U  X ; Z ‬و ‪ V  X ; Y ‬و ‪ W  Y ; Z ‬بين أن ‪ W,V,U‬هي على التوالي منصفات القطع ]‪ [X,Z‬و]‪,[X,Y‬‬
                                                                                                             ‫]‪[Y,Z‬‬
         ‫في لوحة رفائيل نجد ‪  2OU  xOA  1  xOC‬و هذا يعني أن مجموع إحداثيات ‪  2OU‬في‬
                                                                                          ‫‪‬‬
‫األساس ‪ OA; OC‬هو 1 ماذا تستنتج بالنسبة للعدد ‪ . k‬ستحصل على معادلة من الدرجة الثانية لها حل موجب هو‬       ‫‪‬‬
         ‫حدد في هذه الحالة ‪ t‬حيت ‪ OY  tOA  1  t OC‬ثم احسب‬
  ‫‪AC‬‬                                                                       ‫‪AC‬‬
                                                                              ‫‪ α‬نضع ‪ k = α‬بين أن ‪ ‬‬
  ‫‪AY‬‬                                                                       ‫‪AJ‬‬
      ‫لوحة مريم و العذراء و الطفل لليوناردو دافنتشي‬
      ‫.اللوحة مكونة من عدة مستطيالت ذهبية . أقطار‬
       ‫هذه المستطيالت تشكل خطوط قوة جمالية للوحة‬
      ‫.فوجوه األشخاص مثال توجد على نفس المستقيم.‬
      ‫انحناء األجسام و األطراف يكون وفق مستقيمات‬
                                            ‫متوازية.‬

   ‫لوحة السرك للرسام سورا. الخطوط األفقية متناسبة‬
          ‫مع العدد ‪ φ‬و المقصورة الحمراء على شكل‬
        ‫مستطيل ذهبي. بالمقابل نجد الخطوط المنحنية‬
         ‫للشخصيات وسط اللوحة . فالعدد ‪ φ‬يبرز قوة‬
                            ‫الخطوط الهندسية للمقاعد‬



                          ‫النقط الذهبية عند سورا في لوحة االستعراض: المستطيل‬
                        ‫‪ ABCD‬ٲقرب إلى مستطيل ذهبي. كما أن النسب‪ AF‬على‬
                                 ‫‪ GF‬و‪ AE‬على‪ FE‬و‪ GH‬على‪ IH‬تقارب ,13.1‬

                       ‫أما جون فوكي 1,41ـ1241 الذي كان متأثرا كثيرا بالهندسة‬
                       ‫فقد وظف العدد الذهبي من خالل الخماسي األوجه و الدوائر‬
                         ‫إلعطاء التوازن للصور و المواضيع مركزا على العنصر‬
          ‫األهم و الرمزي الذي يريد أن يبرزه. ففي لوحته العذراء و الطفل نرى أن‬
          ‫المالمح العامة للعذراء توجد داخل المثلث األساسي (‪ )abc‬و وجهها داخل‬
          ‫المثلث (‪ )def‬المكون انطالقا من أقطار خماسي األوجه و ' ‪ O‬مركز الدائرة‬
                       ‫‪OA‬‬   ‫6.7‬
                          ‫‪‬‬      ‫‪ 1.618  ‬‬           ‫ينتمي إلى القطعة [‪ ]O,A‬حيت‬
                       ‫796.4 '‪OO‬‬

            ‫لوحة ميالد فينوس ٳالهة الحب و الجمال عند الرومان. اللوحة على شكل‬
        ‫مستطيل ذهبي . الشخوص يمين و يسار فينوس توجد داخل مستطيالت ذهبية‬
              ‫و الدائرتان اللتان قطراهما عرض المستطيل تتقاطعان وفق الحيز الذي‬
                ‫يحوي فينوس لوحدها .العدد الذهبي‬
                ‫في هده اللوحة هو المفتاح األهم في‬
                       ‫تكوين و تركيب هذه اللوحة.‬




                     ‫لوحة لسالفادور دالي ابحث عن‬
‫المستطيالت الذهبية و النسب المقاربة للعدد الذهبي .‬
                                                                    ‫العدد الذهبي في المعمار :‬
                 ‫لقد الحظت في الجرد التاريخي للعدد ‪ φ‬أن كثيرا من المهندسين المعماريين استعملوه في بناء‬
                      ‫األهرامات أو الكاتدرائيات و الكنائس أو المسارح. ٳذ مكنهم من تشييد أصرحة تجمع بين‬
                  ‫الجمالية و المتانة و لعل هرم خيوبس أحسن مثال . و للحصول على النسبة الذهبية استعملوا‬
                                                          ‫ـ بركار التناسب ـ فبواسطة الشوكة يتم تحريك‬
                                                 ‫الطرفين حتى نحصل على خارج المسافة بين الطرفين‬
                                                    ‫السفليين و المسافة بين الطرفين العلويين تساوي ‪φ‬‬
                                                    ‫.أما في العصر الوسيط فقد كان البناءون يستعملون‬
                                                         ‫مقياسا مكونا من خمس مسافات مرتبطة بجسم‬
                                                           ‫اإلنسان : كالكف و الخوصة و الشبر و القدم‬
                                                       ‫و الذراع .و كل هده القياسات كانت تحسب بعدد‬
                                                    ‫الخطوط مثال: الكف = 45 خط--- الخوصة = 33‬
                                                      ‫خط --- الشبر = 1, خط ---القدم= 441خط ---‬
                                                                                       ‫الذراع=552خط‬
                                                    ‫( الحظ أن األعداد 45 ــــ 33 ــــ 1, ــــ 441 ــــ‬
                                                                     ‫552 هي اعداد متتالية فيبوناتشي)‬
                                                                                         ‫هرم خيوبس :‬
   ‫هرم منتظم قاعدته على شكل مربع ضلعه 31,.252 متر و ارتفاعه ,12.,41 متر.لدينا 802.841 = ‪ OS‬و‬
‫508.232 ‪ AA' ‬في المثلث ‪ AS2 = OS2 +OA2 OSA‬ادن 52072351.51553= 2‪ AS‬ادن 6454.881 = ‪AS‬‬
                                                                              ‫‪AS‬‬
                                                                                 ‫ومنه ‪ 1.617601  ‬‬
                                                                              ‫‪OA‬‬

                                                                                            ‫هرم المكسيك :‬
                               ‫ال تقل أهرامات المكسيك عن األهرامات المصرية جمالية و سرية . فقد بنيت‬
                                   ‫بطريقة تفرض على العقل اإلنساني أن يتواضع أمام هذه الحضارة العجيبة‬
                                 ‫.فهرم المكسيك مشكل من 5 طبقات في كل طبقة يوجد عدد من الدرجات و‬
                               ‫هو مرتب كالتالي : الطبقة األولى بها 31 درجة الطبقة الثانية بها 24 درجة و‬
                                    ‫الطبقة األخيرة ,3 درجة. ما هي عالقة هذه األعداد بالعدد الذهبي؟ لدينا:‬
                                                            ‫62 ≈ 888,52 = 816,1 × 61 ; 24=62+ 61‬
                                                          ‫24 ≈ 860,24 = 816,1× 62 ; 86 = 24 + 62‬
                                                                             ‫86 ≈ 659,76= 816,1× 24‬
                              ‫يعني كل طبقة تعتمد على قوة الطبقة التي تحتها و تعتمد على العدد ,13 .1‬
                                ‫لدينا‪ 3,=16 ×φ3 , 42 = 16 ×φ2 , 26 = 16 ×φ‬مع 24 = 61+32‬
                            ‫أي 2 ‪ 1    ‬فهل كانت حضارة األزتيك على دراية بخاصيات العدد الذهبي‬
                                                            ‫على أي يبقى هدا اإلعجاز هندسي ال يزال ليومنا.‬
                              ‫لقد حاول الكثير من المهندسين المعماريين إيجاد الوسائل إلنشاء معمار يجمع‬
                                ‫بين الجمالية و المتانة و كانت المقاربات الهندسية و األشكال المنتظمة أنجع‬
                            ‫الطرق لتحقيق دلك فالواجهة األمامية للبارتيون على شكل مستطيل ذهبي و باب‬
                                     ‫الرجال لفندق مدينة الروشيل بفرنسا المبنى سنة 3131 م يمكن إحاطته‬
                            ‫بمستطيل ذهبي مع تقاطع مثلثات ذهبية و دوائر .أما وسط الملعب البلدي لمدينة‬
                            ‫سيدني ,عند حفل اختتام األلعاب االولمبية لسنة 1112 ,فقد كان على شكل مضلع‬
                                        ‫منتظم ذي اثني عشر وجه حيت خارج قطره على ضلعه يساوي العدد‬
                                                                                           ‫الذهبي‬




                                            ‫قنطرة ميلو بفرنسا تعتبر أعلى قنطرة في العالم وقد استعمل فيها العدد‬
                                                                                                        ‫الذهبي‬

                                                                        ‫العدد الذهبي في الموسيقى:‬
              ‫يقول ليبنيتز : "الموسيقى ممارسة للحسا بيات الخفية و كل من يتعاطاها يجهل أنه يستعمل األعداد" .‬
                   ‫و يقول ادوارد هيريوت : " الموسيقى هي رياضيات رنانة و الرياضيات هي موسيقى صامتة ".‬
  ‫إن العالقة بين الموسيقى و الرياضيات خاصة نظرية األعداد هي عالقة قديمة جدا إذ يعتبر ارسطوكسين ـ القرن‬
  ‫الرابع قبل الميالدـ و الفيتاغوريون ـ القرن الخامس قبل الميالد ـ أول من أسس هذه العالقة , فالعالمات الموسيقية‬
    ‫المتداولة حاليا هي من ابتكارهم . و جاء من بعدهم كثير من العلماء ,مؤلفون موسيقيون أم غير مؤلفين , أعطوا‬
  ‫كثيرا من التنظير و التطبيق أمثال بويسيوس , كيبلير ,جون دو جار الند ,فرانكو دو كولون .و يبقى القرن الثامن‬
     ‫عشر القرن الذي عرف ٲكبر حركة موسيقية سمحت ببروز مبدعين كبار أمثال باخ 3,31 ـ 1321 و هايندل‬
  ‫3,31 ـ 1321 و روامو 5,31 ـ 4321 و هايدن 2521 ـ 11,1 و موزارت 3321 ـ 1121 . إن هذا االزدهار‬
‫الموسيقي البد أن يدفع بكثير من الرياضيين إلى االهتمام بهذا المجال و تطبيق أو ابتكار النظريات الرياضية . و من‬
     ‫بين رياضيي تلك الحقبة نجد اولر 2121 ـ5,21 الذي عرف الموسيقى بكونها علم تناسق األصوات. و اليبنيز‬
     ‫3431 ـ 3121 الذي قال عنها "الموسيقي رياضيات تجهل نفسها" و داالنبير 2121 ـ 5,21 الذي يعتبر بحق‬
      ‫منظر الموسيقى بكتابه "عناصر الموسيقى" .و قد شكل مجال الموسيقى مجاال خصبا لتطبيق نظريات األعداد‬
  ‫ففيتاغورس كان على اقتناع كبير بٲن األعداد الطبيعية يمكنها شرح تناغم األصوات. و يعتبر فيتاغورس أول من‬
                    ‫1‬   ‫3‬    ‫1‬
  ‫...فأذن اإلنسان‬                ‫أتبت أن األذن تكون حساسة أكثر للنسب البسيطة بين ترددات األصوات كالنسب‬
                    ‫3‬   ‫2‬    ‫2‬
  ‫العادي ال يمكنها أن تسمع إال األصوات المرتبطة باألعداد 1,2,3. أما المتمرس فقد يصل إلى العدد 2 و األكيد أنه‬
     ‫ال يمكن أن يصل إلى 11 أو 51 . إال أن الكل اصطدم بمشكل كبير، ما يسمى بمشكل التناغم. فبعض األصوات‬
    ‫عندما نسمعها معا تعطي إحساسا بالتناسق و التناغم و أخرى تولد خشونة صوتية و تنافرا. و لتجاوز هذا المشكل‬
‫التجأ بعض المؤلفين إلى توظيف متتالية فيبوناتشي و العدد الذهبي. و لمعرفة و فهم عالقة متتالية فيبوناتشي و العدد‬
                                                         ‫الذهبي بالموسيقى البد من تقديم بعض المفاهيم الموسيقية.‬
‫يتكون السلم الموسيقي من سبع عالمات موسيقية هي دو ـ ري ـ مي ـ فا ـ صول ـ ال ـ سي. و يمكن تأليف أي قطعة‬
                           ‫موسيقية و ذلك بابتكار أصوات العالمات صعودا فتزداد حدتها أو هبوطا فتزداد غلظا ...‬
     ‫البعد الطنى: تختلف المسافة بين صوتين متعاقبين في التسلسل الطبيعي . تكون هذه المسافة كبيرة و تسمى بعدا‬
‫طنيا أو صغيرة و تسمى نصف البعد الطني . البعد الطني يكون بين دو و ري ـ ري و مي ـ فا و صول ـ صول و ال‬
                                                  ‫ـ ال و سي أما نصف البعد الطني فيكون بين مي و فا ـ سي و دو.‬
 ‫البعد الموسيقى: البعد الموسيقي هو المسافة الصوتية التي تفصل بين صوتين متفاوتين في االيقاع و يمكن أن يكون‬
  ‫صاعدا أو نازال .عندما يتعاقب صوتان واقعان على نفس المستوى من االرتفاع فإنهما ال يكونان بعدا و إنما صوتا‬
 ‫مكررا أو أحاديا. يقاس البعد بعدد األصوات التي يتألف منها حسب التسلسل الطبيعي مع احتساب صوتي البداية و‬
   ‫النهاية . ٳذا كان البعد يتكون من صوتين يسمى ثانية ، من ثالثة أصوات يسمى ثالثة ، من أربعة أصوات يسمى‬
   ‫رابعة ، من خمسة أصوات يسمى خامسة، من ستة أصوات يسمى سادسة، من سبعة أصوات يسمى سابعة و من‬
                                                                               ‫ثمانية أصوات يسمى ثامنة.‬
 ‫نقيس البعد الموسيقي بين عالمتين موسيقيتين بحساب خارج ترددات العالمة الحادة و العالمة الغليظة. فكما أتبت‬
 ‫فيتاغورس و من بعده قانون ويبر النفسي ــ الفسيولوجي الذي أكد أن األذن تكون أكتر حساسية لخارج الترددات و‬
‫ليس لفرقها. فالمسافات بين العالمات الموسيقية تقاس إذن بنسب تردداتها. أنظر الجدول كمثال الحظ في الجدول أن‬
        ‫نسبة صول 5 و ال5 هما خارج أعداد فيبوناتشي . خارج دو 4 هو 2 .يمكن تعميم ذلك على جميع العالمات‬
   ‫سي‬      ‫ال‬   ‫صول‬    ‫ف ا‬    ‫مي‬   ‫ري‬     ‫دو‬    ‫سي‬     ‫ال‬   ‫صو‬       ‫ف ا‬    ‫مي‬      ‫ري‬    ‫دو‬   ‫سي‬     ‫ال‬   ‫صو‬      ‫فا‬      ‫مي‬   ‫ري‬       ‫دو‬




                                                                                                                                         ‫الموسيق‬
    ‫4‬             ‫4‬            ‫4‬    ‫4‬      ‫4‬     ‫5‬     ‫5‬     ‫ل5‬                      ‫5‬     ‫5‬    ‫2‬     ‫2‬     ‫ل2‬     ‫2‬




                                                                                                                                          ‫العالمة‬
           ‫4‬             ‫4‬                                             ‫3‬     ‫3‬                                              ‫2‬    ‫2‬        ‫2‬




                                                                                                                                            ‫ية‬
  ‫099‬    ‫088‬    ‫212‬   ‫412‬    ‫066‬   ‫413‬   ‫,23‬   ‫314‬    ‫144‬   ‫315‬     ‫235‬    ‫155‬     ‫212‬   ‫432‬   ‫,41‬   ‫122‬   ‫,11‬   ‫321‬      ‫331‬   ‫141‬   ‫251‬




                                                                                                                                              ‫التردد‬
                                           ‫2‬   ‫51/8‬   ‫3/5‬   ‫5/2‬     ‫4/5‬    ‫3/4‬     ‫1/,‬     ‫1‬




                                                                                                                            ‫العالم‬
                                                                                                                            ‫بالنس‬



                                                                                                                            ‫ترددا‬
                                                                                                                            ‫نسبة‬
                                                                                                                             ‫بة ل‬
                                                                                                                             ‫دو3‬


                                                                                                                               ‫ات‬

                                                                                                                               ‫ت‬
    ‫الموسيقية. البعد بين أي عالمة و ثامنتها هو 2 . البعد بينها و بين ثامنتها الثانية هو 4 و عموما البعد بينها و بين‬
‫ثامنتها الرقم ‪ n‬هو ‪ . 2n‬السؤال األساسي إذن هو ماذا يمكن أن نقول عن عالمتين خارج تردديهما هو 5 أو 3 . مثال‬
  ‫لتكن ادن ‪ x‬عالمة موسيقية ترددها ‪ t‬و ‪ y‬عالمة ترددها ‪ . 5t‬إذا ربطنا ‪ x‬ب 1 و ثامنتها ب 2 فالعدد المرتبط ب‬
                                               ‫5‬                                                      ‫3‬
        ‫.. و في سلم زرلين نجد عدة أنواع من‬        ‫.ا إذا كان ‪ 3t‬تردد العالمة ‪ z‬فالعدد المرتبط بها هو‬      ‫‪ y‬سيكون‬
                                               ‫4‬                                                      ‫2‬
         ‫4‬                       ‫5‬                           ‫6‬                         ‫2‬
             ‫ــ الرابعة نسبتها‬      ‫ــ الثالثة الصغرى نسبتها ــ الثالثة الكبرى نسبتها‬     ‫األبعاد مثال الثانية نسبتها‬
         ‫3‬                       ‫4‬                           ‫5‬                         ‫1‬
           ‫2‬                      ‫8‬                              ‫5‬                             ‫3‬
 ‫. فمثال‬       ‫ــ الثامنة نسبتها‬      ‫ــ السادسة الكبرى نسبتها‬     ‫ــ السادسة الصغرى نسبتها‬       ‫ــ الخامسة نسبتها‬
           ‫1‬                      ‫5‬                              ‫3‬                             ‫2‬
                    ‫5‬
                         ‫5‬                                                          ‫5 044‬
  ‫إذن البعد يمثل سادسة صغرى . البعد بين مي و دو هو ‪ 4 ‬إذن لدينا بعد‬                     ‫البعد بين دو و ال هو . ‪‬‬
                    ‫8 2‬                                                             ‫3 462‬
                                                               ‫3 792‬
                                 ‫إذن البعد يمثل الخامسة .‬          ‫‪‬‬      ‫السادسة الكبرى. البعد بين صول و ري هو‬
                                                              ‫2 891‬

‫متتالية فيبوناتشي ال يمكنها إعطاء كل األبعاد في سلم زرلين إذ نالحظ غياب الثانية الكبرى والسابعة الصغرى فكان‬
     ‫الحلهو الرفع من مقدار الصوت بنصف بعد من أجل الحصول دائما على 21 نصف طنة بين عالمة و ثامنتها .‬
  ‫إذن نحصل على سلم يتكون من 21 صوتا و هذا يشكل صعوبة كبيرة خاصة مشكل تغيير السلم .أي عزف قطعة‬
‫موسيقية مغيرة السلم. و لتجاوز هذا العائق تمت محاوالت عدة البتكار ساللم أخرى كالسلم ذي 11 أصوات .و الذي‬
        ‫يلعب فيه العدد الذهبي دورا مهما جدا . لقد قام الباحثون بقياس وزن بعد النصف طنة في سلم زرلين فوجدوه‬
  ‫يساوي 2 21 (لدينا 21 صوتا في سلم زرلين) . إذا كان سلم يتكون من 11 أصوات سيكون قياس وزن النصف‬
 ‫طنة هو 2 01 . لدينا 8170.1 ‪ 10 2 ‬و 51170.1 ‪ 7 2 ‬العددان متقاربان جدا ، ٳذا يمكن التفكير في ابتكار سلم من‬
         ‫2 أصوات و المسافة بين عالمة و ثامنتها (بمفهوم سلم زرلين)هو ‪ . φ‬فكل قطعة موسيقية تتألف من جزأين‬
           ‫متجاورين و مختلفين زمانيا. و قد نصادف أحيانا أن يكون خارج زمنيهما هو ‪ .φ‬كما هو الشأن في أعمال‬
              ‫بال بارتوك. و بما أن ما يهم في المسافات الموسيقية هو خارج الترددات يمكن أن نعرف على مجموعة‬
‫‪  f1; f 2  f 3 f 4  ‬وهي عالقة تكافئ وكل صنف يكون‬
                                                              ‫2‪f‬‬   ‫‪f‬‬
                                                                 ‫4 ‪‬‬         ‫األعداد الحقيقية الموجبة قطعا العالقة ‪ ‬ب‬
                                                              ‫1‪f‬‬   ‫3‪f‬‬
                                                                    ‫2‪f‬‬
    ‫ٳذن األزواج التي تكون في عالقة مع ‪ 1; k ‬تكتب على‬                 ‫‪k‬‬        ‫له ممثل على شكل ‪ 1; k ‬ٲي ‪ f1 ; f 2 1; k ‬‬
                                                                    ‫1‪f‬‬
                                                                  ‫حيث .‪f  IR  I k   f ; kf  / f  IR  ‬‬
                                                                         ‫*‬                            ‫*‬
                                                                                                                        ‫شكل ‪ f ; kf ‬‬
        ‫‪‬‬                    ‫‪‬‬          ‫‪‬‬                      ‫‪‬‬
  ‫‪ I 1   f ; f  / f  IR  ‬و‪ I 2   f ;2 f  / f  IR  ‬و ‪ I 3  2 f ;3 f  / f  IR‬و ‪I 4  3 f ;4 f  / f  IR‬‬
                            ‫*‬                             ‫*‬                              ‫*‬                              ‫*‬

    ‫3‬                              ‫2‬

                                                                   ‫‪‬‬                ‫*‬
                                                                                      ‫‪‬‬          ‫‪‬‬
                                                          ‫و ‪ I 5  4 f ;5 f  / f  IR‬و . ‪I 9  8 f ;9 f  / f  IR‬‬
                                                                                                                    ‫*‬
                                                                                                                       ‫‪‬‬
                                                           ‫8‬                                ‫4‬

                                 ‫نضع ‪ I  I k ; k  IR  ‬في سلم فيتاغورس‪ I  2 n  3 m ; n; m   Z  ‬وفي سلم‬
                                                                      ‫2‬                                    ‫*‬


                                   ‫21 ‪‬‬       ‫‪‬‬
     ‫زرلينو‪ I  2 n  3m  5 p ; n; m; p   Z  ‬و في سلم فكمايستر ‪ I  2 ; n  Z ‬أو السلم المعتدل . في سلم‬
                                      ‫‪n‬‬
                                                                                                       ‫3‬

                                   ‫‪‬‬          ‫‪‬‬
                                                                                     ‫‪ 3n‬‬            ‫‪‬‬
    ‫كورديي ‪ . I  7 ; n  Z ‬إن هذه المسافات بقيت ثابتة ، فقط الترددات التي تميزها هي التي تغيرت عبر‬
                                                                                     ‫‪‬‬               ‫‪‬‬
                                                                                     ‫2 ‪‬‬
                                                                                     ‫‪‬‬               ‫‪‬‬
                                                                                                     ‫‪‬‬
       ‫التاريخ تبعا لتطور نظرية التناغم كما تغيرت طرق استعمال العدد الذهبي . فالبعض وظفه كنسبة بين األزمنة‬
      ‫الموسيقية و البعض وظفه كما في المثال جانبه فهو عبارة عن تسلسل . فموضوع المقطع األول تتم إعادته في‬
‫المقطع الموالي مع اختالف بسيط في المرور من مقطع إلى آخر. عند االنتقال إلى المقطع الموالي يتم خلق موضوع‬
        ‫مشابه و أسهل من سابقه . الخط األخير يعيد نفس الموضوع في األخير بينما الخط األول ينقرض تدريجيا. و‬
   ‫مختلف الجمل الموسيقية هي أعداد من متتالية فيبوناتشي . هذا النوع من التأليف المعتمد على نسج جمل موسيقية‬
 ‫حسب أعداد فيبوناتشي يستعمل بطريقة أكثر تركيبة في الموسيقى األندونيسية . و من المبدعين الذين استعملوه نجد‬
    ‫دوفاي (القرن 31) روالند دو السوس و موزارت و هايند و بتهوفن . اما في القرن 12 نجد دو بيسي بارتوك ,‬
                                                                                        ‫رافيل , ويبرن . كما‬


                         ‫يجب التأكيد كذلك على أن كثيرا من المبدعين يستعملون آالت موسيقية مصنوعة وفق العدد‬
                          ‫الذهبي . و يعتبر االيطالي ستراديفاري(4431ـ2521) أول من طبقه في صنع الكمانات إذ‬
                                                                              ‫نجد كمانات الزالت تحمل اسمه.‬
                                                    ‫انظر إلى هذه اآللة و حاول أن تجد نسبا تقارب العدد الذهبي‬




                                                               ‫العدد الذهبي و الكسريات ‪:fractales‬‬
‫لقد كان العلماء يقتصرون على هندسات معينة لوصف و دراسة كل ما هو موجود في الطبيعة, كالهندسة اٳلقليدية أو‬
       ‫الهندسة الوصفية أو الهندسة التفاضلية. إال أن هذه الهندسات لم تستطيع أن تصل إلى الدقة في الوصف و بقية‬
           ‫نتائجها تقريبية . فمثال عودتنا الهندسة اٳلقليدية على التعامل مع األشياء المنتظمة كالمستقيم و المستوى و‬
    ‫المستطيل و المربع، ٳذ يمكن اعتبار جدع شجرة أسطواني الشكل و التفاحة على شكل فلكة الخ...و لكن ماذا عن‬
  ‫الغيوم و الصخور و أوراق األشجار و بلورات الثلج و رئة الكائنات. لم يكن أحد يدرك أنه توجد بنيات موحدة بين‬
    ‫كثير من األشياء رغم المظاهر العامة التي توحي بالعكس حتى حدود سنة 1211 ، سنة ظهور نظرية الكسريات‬
‫على يد الرياضي الفرنسي ماندلبروت، هذه النظرية التي فتحت الباب واسعا أمام العلماء للغوص في أعماق الطبيعة‬
       ‫و اكتشاف أسرار األشياء الدقيقة. فما هي إذن األشياء الكسرية. إنها بكل بساطة كل شيء ٳذا أخذت جزءا منه‬
  ‫تحصل على شيء آخر يشبهه . أو هو كل شيء يوجد داخل حجم منته و مساحته تؤول إلى ما النهاية. لهذا نجد أن‬
      ‫أكثر النباتات تتكون تبعا للكسريات ، ألنها تحاول دائما توسيع مساحتها للتفاعل مع العالم الخارجي . فالهندسة‬
‫الكسرية أثبتت حدود الهندسات األخرى و سمحت بدراسة و وصف كثير من األشياء رغم كونها معقدة ،في مجاالت‬
  ‫عدة كالبيولوجيا و اإلعالميات و الجيولوجيا.... و يمكن ـ من أجل تقديم أولي ـ أن تتعلم اإلنشاءات الكسرية بتنفيذ‬
                                      ‫التكرارات الهندسية لألشكال الهندسية طبقا لقاعدة معينة . أنظر األمثلة التالية‬




‫الحظ القاعدة و أتمم إنشاء المربعات الشكل الذي ستحصل عليه يسمى بساط سييربنسكي ‪tapis de sierpinski‬‬




                                            ‫أتمم إنشاء األشكال ستحصل على منحنى بيانو ‪courbe de peano‬‬




                                      ‫أتمم إنشاء األشكال ستحصل على بلورة فان كوخ ‪flocon de von koch‬‬

                                                                                        ‫مجموعة ماندلبروت :‬
                                ‫اكتشف ماندلبروت مجموعته سنة 1,11 و هده المجموعة تعتبر بال منازع الكائن‬
                                                          ‫الرياضي األكثر جمالية و تعقيدا رغم سهولة تعريفها .‬
                                   ‫تعريف : ليكن ‪ Ω‬جزءا من مجموعة األعداد العقدية ‪ . С‬نقول أن ‪ Ω‬مجموعة‬
                                                                                             ‫محدودة إذا كان :‬
                                                                          ‫‪M  IR : z  C : z  M‬‬
                               ‫لتكن المتتالية ‪  z n ‬المعرفة علي ‪ C‬ب 0=0‪ z‬و ‪ zn+1= zn + c‬حيت ‪ c‬بارا‬
                                                        ‫2‬

                                                                                           ‫مترا من ‪.C‬‬
                      ‫2‬       ‫2‬      ‫2‬                    ‫2‬     ‫2‬                  ‫2‬
     ‫‪ ... z4= ((c + c) + c) + c‬الخ.‬              ‫‪z3 = (c + c) + c‬‬            ‫‪z2 = c + c‬‬     ‫مثال ‪z1= c‬‬
   ‫المجموعة ‪ Oc‬المكونة من األعداد 1‪ ... z5 ; z4 ; z3 ; z2 ; z‬الخ. تسمى المدار الحرج للعدد ‪. c‬مجموعة‬
      ‫ماندلبروت هي المجموعة ‪ ‬المكونة من األعداد التي مدارها الحرج يكون محدودا مثال إذا كان ‪ c = i‬فان‬
                                                     ‫}‪ Oi ={0,i,-1+i,-i‬و هي مدار محدود ٳذن ‪. i  ‬‬
                                                                  ‫مجموعة جوليا ‪1978-1893 JULIA‬‬
      ‫حيت ‪ c‬عدد تابت من ‪ C‬إذن‬       ‫2‪zn+1 =zn‬‬ ‫ٳهتم جوليا بدراسة المتتاليات العقدية التي حدها األول 0‪ z‬و ‪+ c‬‬
  ‫2)‪... z3 = ((z02 + c)2+c‬الخ. المجموعة 0‪ Oz‬المكونة من األعداد‬        ‫‪z2 =( z02 + c )2 z1= z02 + c‬‬
     ‫1‪ ... z5 ; z4 ; z3 ; z2 ; z‬الخ تسمى مدار العدد 0‪ . z‬و مجموعة جوليا المرتبطة بالعدد ‪ c‬هي المجموعة ‪Jc‬‬
                          ‫المكونة من العناصر0‪ z‬حيت 0‪ Oz‬مجموعة محدودة، مثال إذا كان 0=‪ c‬فٳن = 0‪Oz‬‬
        ‫‪2n inθ‬‬           ‫‪iθ‬‬
  ‫‪2n‬‬
‫}……… ,60‪{z0,z22,z04,z‬ٳذن عناصر 0‪ Oz‬تكتب على شكل ‪ z02n‬إذا وضعنا ‪ z0= re‬فٳن ‪z0 = r e‬‬
                                                                                        ‫و منه ‪|z02n|=r2n‬‬

                                                                         ‫إذا كان 1 < ‪ r‬فان 0‪ Oz‬محدودة.‬
                                                      ‫إذا كان 1 = ‪ r‬فان 0‪ Oz‬ضمن القرص الذي شعاعه 1.‬
      ‫إذا كان 1 > ‪ r‬فان ∞+ = ‪ lim r2n‬ٳذن 0‪ Oz‬غير محدودة . نستنتج أن صور أعداد 0‪ J‬هو القرص الذي‬
                   ‫شعاعه 1. ماندلبروت إعتبر 0‪ z‬تابتا و ‪ c‬بارامترا أما جوليا فقد ٳعتبر 0‪ z‬متغيرا و ‪ c‬تابتا .‬




                                                                    ‫مجموعة ماندلبروت و متتالية فيبوناتشي :‬
                                           ‫نسمي رأسا الشكل الذي يشبه القرص. اذا قمت بتكبير الرأس األصلي‬
                                     ‫سترى أنه يتكون من رؤوس . و عند تكبير هذه الرؤوس سترى أنها مكونة‬
                                      ‫من رؤوس الخ... الرأس رقم 1 هو أكبر الرؤوس . الرأس رقم 2 هو ثاني‬
                                    ‫أكبر رأس . الرأس رقم 5 هي أكبر رأس بين الرأس 1 و الرأس 2 . عموما‬
                                     ‫الرأس رقم ‪ n‬هي أكبر رأس بين الرأس رقم 1-‪ n‬و الرأس 2-‪ . n‬كل رأس‬
                                                ‫تتوفر على سارية رئيسة تتفرع عنها فروع. عدد هذه الفروع مع‬
                                          ‫احتساب السارية الرئيسة يسمى رتبة الرأس.‬
                                            ‫إذا قمنا بترقيم عدد فروع الرأس في منحى‬
                                           ‫عقارب الساعة بحيث تكون السارية الرئيسة‬
                                              ‫هي األخيرة فرقم أصغر فرع يسمى مقام‬
                                           ‫الرأس. فمثال الرأس 2 رقم مقامه هو 2 ألن‬
                                          ‫الفرع 2 هو أصغر فرع و رتبته هي 5. مقام‬
                                            ‫الرأس 5 هو 5 ورتبته 3. الجدول أسفله‬
                                        ‫يلخص هذه النتائج . الحظ أن مقام أي رأس و‬
                                                ‫رتبته هما عددان متتاليان في متتالية‬
                                                                        ‫فيبوناتشي .‬
                                                                 ‫العدد الذهبي و عالم البورصات :‬
‫ليس غريبا أن نجد متتالية فيبوناتشي في عالم البورصات و المال، إذ اشتهر بتطبيقه نظريات األعداد على المبادالت‬
           ‫التجارية و تغيير العمالت . و يأتي من بعده وليام األوكامي بمبدئه لوصف االقتصاد المعتمد على العالقة‬
                                                                                                      ‫‪a‬‬   ‫‪b‬‬
‫ليؤكد بذلك دور النسبة الذهبية في االقتصاد و المال.إال أن االهتمام بمتتالية فيبوناتشي العددية كطريقة‬     ‫‪‬‬
                                                                                                      ‫‪b ab‬‬
                                 ‫للتنبؤ بحركة األسواق لم يتطور إال في الثالثينيات على يد راف جونسون اليوت.‬

                                                                               ‫نظرية موجات اليوت 8381 ـ 1381:‬
  ‫بنى اليوت نظريته اعتمادا على مالحظات على حركة أسواق االسهم فقد الحظ ان هده الحركة تسير حسب نمادج‬
 ‫فدون هده المالحظات ووضع لها قواعد و قوانين حسب مالحظاته و توصل الى ان الميكانيزمات و التغيرات التي‬
‫تطرأ على البورصة تشبه حركات االمواج.فحسب اليوت االسواق ال تتطور عشوائيا بل تخضع لقوانين و دورات و‬
  ‫يقول في هدا ان حركات السوق تتابع على شكل موجات متشابهة و هده األمواج تتكرر دائما ألنها خاضعة لقانون‬
  ‫الطبيعة هدا القانون المعروف مند القدم و الدي يتحكم ليس فقط في السوق بل في الكون كله.فبمعرفة هده القوانين‬
                                                             ‫المتحكمة في اسعار السوق يمكن التنبأ بالمستقبل.‬
       ‫فحركة األسهم حسب اليوت تسير وفق 11 نمودج يسمى موجة و كل موجه لها اسم و طول و زمن فالموجه‬
   ‫الصغيرة تكون داخل موجه كبيرة و الموجه الكبيرة داخل موجه اكبر منها... و هكدا. كما انه كل موجة من هده‬
                                                          ‫الموجات االحدى عشر عند اكتمالها تسمى دورة....‬

                                                                                                 ‫أنواع الموجات :‬
                                      ‫زمنها قصير جدا يمتد من دقائق الى ساعات‬         ‫الموجة المجهرية الفرعية :‬
                                                     ‫زمنها من ساعات الى ايام‬                ‫الموجة المجهرية :‬
                                                      ‫زمنها من ايام الى اسابيع‬        ‫الموجة الدرية الفرعية :‬
                                                        ‫زمنها من ايام الى شهر‬                   ‫الموجة الدرية :‬
                                                    ‫زمنها من اسابيع الى اشهر‬                    ‫الموجة الدقيقة :‬
                                     ‫زمنها من اسابيع الى ربع سنة و نصف سنة‬                     ‫الموجة الثانوية :‬
                                              ‫زمنها من اشهر الى ارباع السنة‬                ‫الموجة المتوسطة :‬
                                                   ‫زمنها من اشهر الى سنوات‬                   ‫الموجة االساسية :‬
                                                  ‫زمنها من ارباع الى سنوات‬                    ‫الموجة الدورية :‬
                                      ‫زمنها من عدة سنوات تصل الى 1 سنوات‬               ‫الموجة الدورية العليا :‬
                                             ‫زمنها عدة عقود و يمكن متابعتها‬         ‫الموجة الدورية العظمى :‬

                                                                                          ‫طبيعة حركة الموجة :‬
                                           ‫حدد إليوت للموجة حركة معينة تسير فيها ،فالموجة الواحدة من النمادج‬
                                         ‫اإلحدى عشر تسير وفق , موجات خمس موجات 1,2,5,4,3 دافعه وثالث‬
                                                                                           ‫تصحيحية ‪C,B,A‬‬
            ‫و من خالل الخمس الدافعة توجد موجتان هابطة و هي الموجتان 2 و 4 كما أن من خالل الثالث موجات‬
                                                               ‫التصحيحية توجد موجة صاعدة و هي الموجة ‪. B‬‬
 ‫مبدأ الكسريات بالنسبة ٳلليوت : كل دورة السوق تبنى دائما بنفس الطريقة و تشكل دورة ابتدائية من , أمواج : 3‬
‫أمواج دافعة و 5 أمواج تصحيحية وكل موجة تتجزأ إلى موجات جزئية على الشكل التالي : 3 موجات جزئية دافعة‬
 ‫بالنسبة للموجات الدافعة و5 تصحيحية جزئية بالنسبة للموجات التصحيحية . وهذه الموجات الجزئية تتجزأ بدورها‬
     ‫حسب المبدأ السابق و هكذا دواليك. فهدا المبدأ يمكن من حساب الموجات على السلم الزمني : الدقيقة ـ الساعة ـ‬
   ‫األسبوع ـ الشهر ـ السنة. فانطالقا من الدورة االبتدائية المكونة من , موجات نحصل على 45 موجة جزئية و إذا‬
         ‫جزئناها بدورها نحصل على 441 موجة جزئية ...الخ.نجد أن مراحل الدفع و التصحيح تتعاقب وفق متتالية‬
                                                                                                   ‫فيبوناتشي.‬




                                                                                                             ‫ان‬




   ‫متتالية فيبوناتشي و النسبة الذهبية ال يمكن االستغناء عنهما في مجال البورصة رغم المواقف المعارضة لبعض‬
    ‫الخبراء في عالم المال و األسواق.ألن أي حركة كبرى تتبعها حركة مضادة يمكن قياسها كنسبة من الحركات‬
     ‫الرئيسية بموجب حسابات فيبوناتشي و بحساب النسب المئوية فإن نسبة ,,13 % هي من النسب الرئيسية التي‬
   ‫تتحرك إليها األسعار و يركز عليها المتعاملون في أسواق المال و العمالت و التجارة و تعرف تلك النسب باسم ـ‬
    ‫المتوسط الذهبي ـ لذيوع تطبيقها في العالم. وهناك نسبة أخرى تتحرك إليها األسعار و هي 2,83 % .الحظ أن‬
                                                                                                  ‫2.83 8.16‬
                                                                             ‫001=2.83+8.16‬            ‫‪‬‬     ‫و‬
                                                                                                  ‫8.16 001‬


                                                                                      ‫موقف المتشككين :‬
‫إذا كان العدد الذهبي قد ابهر مند العصور األولى كثيرا من الفالسفة و الفنانين و العلماء فان بعض المتشككين اخذوا‬
   ‫منه موقفا مغايرا فمنهم من يرى أن قياساته تقريبية جدا و نتائجه غير واضحة و معقدة، إذ يجب البحث و التنقيب‬
 ‫في جميع االتجاهات من اجل العثور عليه في لوحة أو زهرة أو معمار. بل يذهب البعض بعيدا للتأكيد على أن هذه‬
‫النتائج ال عالقة لها مع التقسيم العادي للوحة أو المعمار . و تبقى أعمال ـ الدكتوراة في تاريخ الفن ـ األكثر نقدا فهي‬
  ‫غير مقتنعة بوجود قوانين رياضياتية في الجمال و الجمالية و تتهم جل الباحثين عن العدد الذهبي بأنهم يحسبون و‬
     ‫يقيسون بطريقة مغشوشة، فمثال للحصول على مستطيل ذهبي في البارتينون لم يقتصر الباحثون على الواجهة‬
‫لوحدها بل أضافوا لها بعض األدراج . أما في لوحة ليوناردو دا فنتشي فان يد الرجل توجد خارج المستطيل األحمر‬
   ‫مما يعني أن ليوناردو لم يوظف العدد الذهبي في هذه اللوحة . لقد قامت بعدة قياسات على قوقعة ذات الحجيرات‬
   ‫الموجودة بأكاديمية العلوم بكاليفورنيا فوجدت أن خارج التقسيمات عند كل دورة هو 5.1 في حين زعم كثير أنها‬
    ‫على شكل حلزون لوغاريتمي و الخارج هو ,13.1 .على كل حال يبقى العدد الذهبي نجم األعداد و البحث عنه‬
               ‫الزال قائما من أجل إيجاده في البيضة أو الحمض النووي الريبوزي ناقص األكسجين ‪... ADN‬الخ.‬

‫ليوناردو فيبوناتشي 1211م ـ 1321م : عالم رياضيات ولد بمدينة بيزا االيطالية. و عاش‬
‫القسط األكبر من حياته بافريقية الشمالية خاصة في بجاية بالجزائر . لقد اكتشف فيبوناتشي‬
  ‫الرياضيات مبكرا بفضل أبيه الذي كان ممثال للتجار االيطاليين لدى الجمارك بالمغرب و‬
   ‫الجزائر و تونس . و كدالك المناخ الثقافي في تلك الحقبة .إذ كانت بجاية مركزا للثقافة و‬
       ‫العلوم. مما سمح له باستعمال األرقام العربية و إدخالها إلى أوربا كمنظومة للعد أكثر‬
          ‫وضوحا وأسهل استعماال من األرقام الرومانية. اصدر فيبوناتشي اول كتاب له في‬
  ‫الرياضيات سنة 2121 بعنوان كتاب الحسابات . و مما يبين تأثير الثقافة العربية عليه أنه‬
  ‫كتب جزءا من كتابه من اليمين نحو اليسار، و قد عرف كذلك بتطبيقه للحسا بيات على الحساب التجاري : حساب‬
‫أرباح المعامالت التجارية ، تحويل العمالت...لكن أعماله المتعلقة بنظرية األعداد أهملت في حياته ليتم الكشف بعد‬
     ‫ذلك عن طرائق خفية كان يستعملها يمكن إيجادها حتى في بعض جوانب البورصة ـ التحليل التقني ـ . إال أن ما‬
 ‫اشتهر به هو المتتاليات التي تحمل اسمه . و يعتبر الرياضياتي الفرنسي ادوار لوكاس ٲول من أطلق اسم متتاليات‬
                                          ‫فيبوناتشي على هذا النوع من المتتاليات .لقد طرح على نفسه السؤال التالي:‬
 ‫كيف يمكن أن تتكاثر األرانب بسرعة في الظروف المثالية؟ افرض مثال أن زوج جديد من األرانب ، (ذكر واحد و‬
  ‫أنثى واحدة) قد وضعوا في المزرعة ، حيت أن األرنب تستطيع التزاوج بعد مرور شهرين من والدتها ،بمعنى أن‬
  ‫األنثى في نهاية شهرها الثاني تستطيع إنتاح زوج جديد من األرانب(ذكر و أنثى أيضا) . و على فرض أن األرنب‬
       ‫ال تموت و أن األنثى دائما ما تنتج زوجا من األرانب (ذكر و أنثى) كل شهر ابتداء من شهرها الثاني. فطريقة‬
                             ‫متتالية فيبوناتشي تمثلت فيما يلي : كم عدد األزواج التي ستكون هناك في السنة الواحدة؟‬

‫.‪D. 3377 décimales du nombre d’or‬‬

        ‫226844531 268267508 971903027 711836563 438685402 848498947 889330816.1‬
‫635322268 336621257 198683570 880457484 731193981 402702707 944209818 264062507‬
‫802576088 762092829 913166223 836509285 939595680 983334453 627667060 081397139‬
‫788508043 022107857 941834416 313692626 845962612 340122230 702696117 105298667‬
‫212244933 478905887 648565940 749443177 023440142 944468463 596581642 947454459‬
‫407960985 704942652 661438879 715750712 567004217 889947064 885190874 660778445‬
‫478076006 531671378 979664199 566640711 014171351 350877711 177126724 012182000‬
‫679011982 287854874 387792879 965878220 038765035 348491257 249863259 713101708‬
‫742933561 136257629 242730338 621383820 168467734 283346405 200716516 962030052‬
‫532343995 171311860 945649257 668219756 122250048 302613315 836818851 121117613‬
‫425309742 580255509 261890992 654611695 070162710 189222312 674904090 589494379‬
‫217493908 422215582 651812131 505728023 491652687 729577724 357174799 727102060‬
‫983096770 720991299 887108787 462954032 592838868 006168727 750853732 207154143‬
‫639316353 025777271 325065757 622692476 880629601 147994130 873415168 918691235‬
‫255328421 324903592 205980955 500400915 595766498 561295060 606554673 983767012‬
‫839933057 309032693 037887548 564994949 327936679 743756504 307460044 451421221‬
‫043123279 361402235 462137143 087174754 422189659 977541408 683152096 324201265‬
‫590232787 689855972 690445939 007144308 873786030 125739867 671451320 378494444‬
‫843700629 574943981 550925046 020812918 891555710 448659590 540790375 539862421‬
‫116258030 870032996 207734410 320022698 649291319 881322244 544649188 010128225‬
‫322133339 431983205 163856648 877706781 529531726 394248690 120507788 291545708‬
‫556527795 727424689 792090265 536256228 299330507 601982736 291342631 232933501‬
‫308610590 999880353 499442237 770261098 320600072 154141817 462847534 578451680‬
‫854962805 711227705 167470879 351879311 917589741 336857678 346918402 349121182‬
‫318538538 634909344 450187330 164785048 827386960 141876555 896989025 654023936‬
‫392714622 457036168 457749105 007045921 905143544 194148457 967555839 986113118‬
‫161954658 742167021 297794405 955441027 069303199 582381933 816850891 376308649‬
‫411066751 731056334 191907271 433907163 446700468 890498107 960068789 495073806‬
‫908858039 072512418 360509700 811016543 109550015 184371123 415083262 603418308‬
‫923122297 279829080 213729335 471141897 289216336 099188545 418087050 543075782‬
‫809747482 344879267 711519579 013732380 757877604 550547104 784724287 864924608‬
‫852388968 527033611 173053207 673438634 192112168 305236711 614862787 790815671‬
‫687439005 432738348 337251043 133215719 414867199 891011210 908901832 223633017‬
‫678081169 455817450 201941634 073142127 825529032 895401852 102285199 549297940‬
‫404460712 025841167 844526103 682137935 485897487 134406574 188545060 115675624‬
‫368354838 672930196 511120939 874601728 032878011 593075238 757795059 667066111‬
‫139597635 933485737 628880460 442140273 634754522 323063430 137795692 856512333‬
‫234141797 152136247 913018821 938999592 700637465 659964988 947599023 734312232‬
‫000195895 825923656055481008 552184659 199771198 514196271 877498155 972113210‬
‫190120412 456159623 957476643 255392220 391824649 946199952 987365779 208126809‬
‫847259656 178974373 118274552 651899946 843707163 782780221 098707227 491810363‬
‫645762779 807075452 537007518 074194369 224447196 642873187 384723504 834418009‬
‫575980379 057606381 209191101 201537290 641083297 533590213 351686459 162283439‬
‫397630846 055059906 410164857 196192708 303693355 139458349 334592241 864775982‬
‫420619901 818484077 184638534 840231610 521371320 906705537 006893027 563274140‬
‫095621719 320173211 095331030 395393710 782578780 687369543 398109127 617232524‬
‫505813 546534328 443371396 047132308 260172315 683634767 866703820 494362074‬


                                               ‫للمزيد من االطالع و البحت نقترح المراجع التالية:‬
                 ‫‪LE NOMBRE D’OR‬‬          ‫‪Maris Cleyet – Michaud‬‬
                  LE NOMBRE D’OR .
                  Radiographie d’un mythe,suivi Marguerite Neveux et H.E
                  de la divine proportion       Huntley




                       GEOMETRIE DU NOMBRE D’OR                   Robert Vincent




DIVINE PROPORTION                                       Luca Pacioli

LE NOMBRE D’OR                                          Matila C.Ghyka

QUADRATURE DU CERCLE                                    Roger Begey

LA GEOMETRIE SECRETE DES PEINTRES                       Charles Bouleau

GEOMETRIE                                               Albercht Durer

LE NOMBRE D’or -1.618.
Mode d’emploi en design et                              J.P.Grosjean
Esthétique industrielle


                                                                                   ‫المصادر‬
http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm#historique
http://www.lenombredor.free.fr/index.htm
     http://www.nombredor.be/
     http://www.rtsq.qc.ca/aiguillart/projet/rech/artmath/no_or/intropas.htm
http://www.futura-sciences.com/fr/doc/t/mathematiques/d/le-nombre-dor_239/c3/221/p1
http://angelsplace.perso.sfr.fr/Nombred'Or.htm
http://www.google.fr/search?hl=fr&q=nombre+d%27or+architecture&revid=143054750&ei=WAnwS
9sji4w4iLyMqwg&sa=X&oi=revisions_inline&resnum=0&ct=broad-
revision&cd=1&ved=0CFcQ1QIoAA
http://expo.ifrance.com/lenombre/hom_gri.htm
http://expo.ifrance.com/lenombre/le%20corbusier.htm
http://magicl33.jeeran.com/archive/2007/3/172433.html

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:59
posted:10/3/2012
language:Unknown
pages:24