Fractals chaos PROMESIP

Document Sample
Fractals chaos PROMESIP Powered By Docstoc
					Προσομοίωση μη γραμμικών βιολογικών
           συστημάτων
        Fractals και Χάος


              ΠΡΟΜΕΣΙΠ
            Ιωάννα Χουβαρδά
                  Τι είναι τα fractals?
                      Ένα fractal είναι ένα σύνολο που δε μοιάζει με ένα
                       ευκλείδειο αντικείμενο (σημείο, γραμμή, επίπεδο, κλπ.)
                       όσο κοντά κι αν το εξετάζουμε.

                      Αντίθετα, εξετάζοντας μια ομαλή καμπύλη (για
                       παράδειγμα ένα κομμάτι κλωστή στο χώρο)
                               κοιτάζοντας ένα τμήμα της από αρκετά κοντινή απόσταση,
                                τελικά φαίνεται σαν ευθεία γραμμή (αγνοώντας το γεγονός ότι
                                τελικά φτάνουμε στις ίνες, στα άτομα κλπ).




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τι είναι τα fractals?
                 Ένα fractal, όπως η νιφάδα του Κoch (Κoch Snowflake),
                 που είναι τοπολογικά μονοδιάστατο, ποτέ δεν φαίνεται
                 σαν μια ευθεία γραμμή , όσο κοντά κι αν την κοιτάμε.
                 Αντίθετα, είναι οδοντωτό, σαν μια ακτή. Όσο κι αν
                 πλησιάζουμε, υπάρχουν εσοχές και οι εσοχές έχουν
                 επιμέρους κοιλώματα κλπ.


                 Η έννοια του "Fractal" έχει υποστεί βελτίωση από πολλούς
                 αλλά εισήχθηκε για πρώτη φορά από τον B. Mandelbrot
                 και ορίστηκε σαν ένα σύνολο με κλασματική (μη ακέραια)
                 διάσταση.

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Mandelbrot
                 Σύμφωνα με τον Mandelbrot, που επινόησε τον όρο:
                   "I coined _fractal_ from the Latin adjective
                    _fractus_. The corresponding Latin verb _frangere_
                    means "to break:"



                 Είναι επομένως λογικό ότι το fractal εκτός
                 από κατατετμημένο «fragmented» σημαίνει
                 και ανώμαλο.

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Ιδιότητες του Fractal
                   Ένα γεωμετρικό αντικείμενο θεωρείται fractal εάν έχει τα ακόλουθα
                   χαρακτηριστικά:
                         τα τμήματά του έχουν το ίδιο σχήμα ή δομή με το σύνολο, εκτός
                          από το ότι είναι σε διαφορετική κλίμακα
                         το σχήμα του είναι πολύ ανώμαλο ή διακεκομμένο ή κατατμημένο
                          σε όλες τις κλίμακες
                         περιέχει διακριτά αντικείμενα σε διάφορες κλίμακες




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  FRACTALS AND SCALE
                 Η συνεχής επανάληψη των ίδιων ή παρόμοιων
                 χαρακτηριστικών σε διαφορετική κλίμακα
                 δημιουργεί ένα fractal.
                 Τα Fractals είναι αφηρημένα μαθηματικά
                 αντικείμενα, ωστόσο μπορούμε να βρούμε
                 προσεγγίσεις τους στη φύση.


                 Κι αυτό τα κάνει ενδιαφέροντα!


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Η διαφορά ανάμεσα σε Fractal και Μη-
                  Fractal

                 Μη-Fractal
                 Κατά τη μεγέθυνση, δεν φαίνονται νέα
                 χαρακτηριστικά.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Η διαφορά ανάμεσα σε Fractal και Μη-
                  Fractal

                 Fractal
                 Κατά τη μεγέθυνση, φαίνονται νέα
                 χαρακτηριστικά.
                 Το σχήμα των μικρότερων
                 χαρακτηριστικών μοιάζει με αυτό των
                 μεγαλύτερων.



ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Το μέγεθος των χαρακτηριστικών σε
                  Μη-Fractal και Fractal

     Μη-Fractal
     Το μέγεθος του πιο μικρού χαρακτηριστικού καθορίζει τη
     χαρακτηριστική κλίμακα -characteristic scale.
     Όταν μετράμε το μήκος, επιφάνεια ή όγκο με ανάλυση μεγαλύτερη
     από τη χαρακτηριστική κλίμακα, περιλαμβάνονται όλα τα
     χαρακτηριστικά του αντικειμένου.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Το μέγεθος των χαρακτηριστικών σε
                  Μη-Fractal και Fractal

                 Fractal
                 Ένα fractal αντικείμενο έχει χαρακτηριστικά σε μια ευρεία περιοχή μεγεθών.
                 Δεν υπάρχει χαρακτηριστική κλίμακα. Αλλάζοντας την κλίμακα, μετράμε με
                 όλο και μεγαλύτερη ακρίβεια, συμπεριλαμβάνοντας όλο και περισσότερα
                 χαρακτηριστικά. Επομένως, το μήκος, η επιφάνεια ή ο όγκος, εξαρτώνται από
                 την ανάλυση που θα χρησιμοποιήσουμε στη μέτρηση.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Self-Similarity
                 Στα fractals παρουσιάζεται self-similarity, σε όλες τις
                 κλίμακες.
                 Σαν self-similarity δεν εννοούμε επακριβώς την ίδια δομή
                 σε όλες τις κλίμακες, αλλά τον ίδιο τύπο δομής.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα
                 Μια ακτή φαίνεται «δαντελωτή»
                 Θα φανταζόταν κανείς ότι μεγεθύνοντας ένα
                 τμήμα της, θα φαινόταν ομαλή
                 Αλλά δεν ισχύει αυτό!
                 Όσο κι αν μεγεθύνει κανείς, η ακτή παραμένει
                 ανώμαλη.
                 Η ακτή παρουσιάζει όμοια χαρακτηριστικά σε
                 διάφορες κλίμακες.
                 Αυτό ονομάζεται self-similarity.

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Self-Similarity
                 Ένα κλασσικό παράδειγμα αποτελεί η μέτρηση του
                 μήκους μιας ακτογραμμής, που διαφέρει ανάλογα με το
                 μήκος του «χάρακα» που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση .
                 (Όσο πιο μικρός ο χάρακας, τόσο πιο μεγάλο το μήκος της
                 ακτής, το γνωστό coastline paradox).
                 Όσο η κλίμακα της μέτρησης μειώνεται, τόσο το
                 εκτιμώμενο μήκος αυξάνεται.
                 Εάν η κλίμακα γίνει απείρως μικρή, το μήκος που
                 μετράται θα γίνει απείρως μεγάλο!

                 http://mathworld.wolfram.com/CoastlineParadox.html

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  FRACTALS AND SCALE
                 Πόσο μεγάλη είναι η ακτογραμμή της Μεγάλης Βρετανίας?
                 Με μια πρώτη ματιά, η ερώτηση που έθεσε ο μαθηματικός Benoit Mandelbrot,
                 μπορεί να φαίνεται τετριμμένη.
                 Με τη βοήθεια ενός χάρτη και ενός χάρακα μπορεί κανείς να μετρήσει το
                 μήκος.
                 Ωστόσο, επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία με χάρτη μεγαλύτερης κλίμακας,
                 θα έχουμε μια μεγαλύτερη τιμή για το μήκος.
                 Αν τελικά πάμε στην παραλία και τη μετρήσουμε απευθείας, η τιμή του
                 μήκους που θα προκύψει θα είναι ακόμα μεγαλύτερη
                 Όσο μεγαλύτερη μεγέθυνση χρησιμοποιούμε στην εξέταση, τόση περισσότερη
                 λεπτομέρεια βλέπουμε και τόσο μεγαλύτερη γίνεται η μέτρηση.
                 APPLET
                 http://polymer.bu.edu/java/java/coastline/coastlineapplet.html


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Κλίμακα - Scaling
                 Λόγω του self-similarity, χαρακτηριστικά ορατά σε μια
                 κλίμακα συνδέονται με χαρακτηριστικά σε άλλες
                 κλίμακες.
                 Τα μικρότερα χαρακτηριστικά είναι αντίγραφα των
                 μεγαλύτερων.
                 Το μήκος μετρούμενο σε καλύτερη ανάλυση μεγαλώνει
                 καθώς περιλαμβάνει περισσότερα χαρακτηριστικά.
                 Το πώς τα μεγέθη εξαρτώνται από την ανάλυση
                 αποτελεί την ιδιότητα κλίμακας των fractals



ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Διάσταση
                 Η διάσταση του Fractal δίνει ένα ποσοτικό
                 μέγεθος του self-similarity και scaling. Μας λέει
                 πόσα νέα κομμάτια θα αποκαλυφθούν εάν
                 αυξήσουμε τη μεγέθυνση.

                 Μια απεικόνιση της μέτρησης (πχ μήκους) ως
                 προς την κλίμακα σε λογαριθμική κλίμακα θα
                 έδινε μια ευθεία γραμμή, της οποίας η κλίση
                 ονομάζεται fractal dimension.

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Fractal dimension
                 Θεωρούμε την καμπύλη μιας χιονοστιβάδας (Koch) που δημιουργείται
                 με την επαναληπτική αντικατάσταση του ___ με _/\_, όπου καθένα
                 από τα νέα 4 τμήματα έχει μήκος το 1/3 του αρχικού. Μεγενθύνοντας
                 τη χιονοστιβάδα κατά 3, η καμπύλη είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερη.
                 (one of the old snowflake curves can be placed on each of the 4
                 segments _/\_).
                 Log 4 / log 3 = 1.261...
                 Η διάσταση δεν είναι ακέραια!.




                 Notes: http://life.csu.edu.au/fractop/doc/notes/first.htm
                 Examples
                 http://visearth.ucsd.edu/VisE_teach/SpaceMath/fractcloud.html
                 http://visearth.ucsd.edu/VisE_teach/SpaceMath/fractalclouds.html
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Εικόνες Fractal




            http://hypertextbook.com/chaos/22.shtml
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Γεωμετρικά Fractals
                 Υπάρχουν πολλές μαθηματικές δομές που είναι fractals
                      Sierpinski triangle,
                      Koch snowflake,
                      Peano curve,
                      Mandelbrot set,
                      and Lorenz attractor.


                      Διάφορα παραδείγματα
                       http://www.csua.berkeley.edu/~raytrace/java/index.html

                      http://www.softlab.ece.ntua.gr/miscellaneous/mandel/mandel.html
                      http://www.wam.umd.edu/~petersd/lorenzfast.html
                      http://home.wtal.de/schwebin/myhome/sierp.htm
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                      Fractals
                   Koch Snowflake




          APPLET http://www.best.com/~ejad/java/fractals/koch.shtml
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Sierpinski triangle




                          example

            APPLET http://math.rice.edu/~lanius/fractals/sierjava.html
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Peano curve



      1.     Take a unit square. Call it a cell.
      2.     Divide each cell into four identical miniature copies of the original cell
      3.     Draw a line starting in one cell so that it passes through every other cell until it returns to the starting
             position. (Also make sure the line does not stray too far from the previous iteration of the curve.)
      4.     Return to step 2 and repeat.



      •      Η καμπύλη αυτή συστρέφεται τόσο ώστε έχει άπειρο μήκος. Πιο ενδιαφέρον ακόμα είναι
             το ότι τελικά περνάει από κάθε σημείο του τετραγώνου. Έτσι, υπάρχει μια μονοσήμαντη
             αντιστοιχία από τα σημεία ενός διαστήματος (μονοδιάστατο) στα σημεία ενός επιπέδου
             (δισδιάστατο).
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Γεωμετρικά Fractals




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Fractals applets
                 http://www.csua.berkeley.edu/~raytrace/java/index.html
                 http://www.softwarefederation.com/FractalPage.htm
                 http://w3.one.net/~menyhert/java/mandel/Mandelbrot.html
                 http://www.spu.edu/~ddowning/astr/fractal.htm
                 http://www.scs.ryerson.ca/~kafshar/assi2.html
                 http://thinks.com/java/fractree/fractree.htm
                 http://webhome.idirect.com/~sserpent/MAIN/GALLERY/
                 CODE/FASTFRA2/UNCOMP/fastfram.htm




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Φυσικά Fractals
                 Τα Fractals περιγράφουν επίσης και πολλά αντικείμενα στον πραγματικό κόσμο,
                 σύννεφα,
                 βουνά,
                 τυρβώδη ροή,
                 ακτές,
                 που δεν αντιστοιχούν σε απλά μαθηματικά σχήματα.

           http://polymer.bu.edu/~trunfio/images.html

           http://visearth.ucsd.edu/VisE_teach/SpaceMath/fractalclouds.html
           http://home1.swipnet.se/~w-10649/Landscape.html
                                                                              Cloud with fractal dimension
                                                                              = 2.50 and 3.00


   "Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not
   smooth, nor does lightning travel in a straight line."(Mandelbrot, 1983).
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Φυσικά Fractals
                 Παρόλο που συνήθως χρησιμοποιούμε
                 απλοποιημένα μοντέλα, πολλές δομές στη φύση
                 παρουσιάζουν περίπλοκη μορφή και self-
                 similarity.
                 Πχ οι δομές με διακλαδώσεις
                 Στη φύση, οι διαδοχικές διακλαδώσεις δεν
                 μπορούν να συνεχίζονται επ΄άπειρο, όπως σε
                 ένα μαθηματικό μοντέλο, αλλά για πχ 5 ή 10
                 επίπεδα, ανάλογα με τη βιολογική δομή.

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα
                 The intestine
                 exhibits the
                 property of self-
                 similarity.
                 Τhe inside
                 surface of the
                 intestine exhibits
                 a finger-like
                 structure, and
                 each successive
                 level of
                 magnification
                 reveals the
                 presence of a
                 similar kind of
                 structure.


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα
         This is a photomicrograph of a single neuron - one nerve cell. You can see the body of
         the cell in the center, and the branching structures that emanate from it which serve to
         receive inputs and conduct outputs to other cells. This branching structure shows self-
         similarity and can be characterized by a fractal dimension.

       How did these self-similar
     branching structures come
     about? A likely possibility
     is that they were formed by
     a nonlinear series of
     nonlinear chemical
     reactions.

       Linear modeling cannot
     explain self-similarity.

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Γιατί στη φύση απαντώνται τόσο
                  συχνά Fractal γεωμετρίες?
                 Οι δομές αυτές είναι πολύ αποτελεσματικές. Για παράδειγμα το
                 έντερο.
                      Αν έπρεπε κανείς να σχεδιάσει τη γεωμετρία μιας επιφάνειας που πρέπει
                       να χωράει σε πεπερασμένο όγκο αλλά να έχει μέγιστη επιφάνεια, ώστε να
                       να μεγιστοποιείται η ροή θρεπτικών συστατικών προς το αίμα, τότε θα
                       προέκυπτε ότι μια self-similar fractal δομή είναι η βέλτιστη.
                 Ανάλογα, εάν ο στόχος είναι η μεγιστοποιήση της μεταφοράς
                 οξυγόνου μέσω μιας επιφάνειας που περιέχεται σε πεπερασμένο όγκο
                 ή η μεγιστοποίηση των εισόδων που μπορεί να λάβει ένας νευρώνας
                 από άλλα κύτταρα, self-similar δομές πληρούν αυτές τις συνθήκες.

                 Επομένως, οι self-similar βιολογικές δομές μας δείχνουν τη
                 χρησιμότητα της λειτουργία μη γραμμικών κανόνων και
                 αποτελούν βέλτιστη σχεδίαση από πλευράς εξελικτικής
                 διεργασίας.

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Mandelbrot Set




                                example




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τι είναι το Mandelbrot set?
                 Το Mandelbrot set είναι το σύνολο όλων των
                 μιγαδικών σημείων c που μέσω της αναδρομικής
                 σχέσης
                 f (z) = zn+1 -> zn2+c
                 δεν οδηγούνται στο άπειρο (ξεκινώντας με z=0).


                 http://www.softlab.ntua.gr/miscellaneous/mandel/



ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα
                 Έστω c = 0. Η πρώτη επανάληψη της f θα δώσει f(0) = 02
                 + 0 = 0; Η επόμενη επανάληψη f(f(0)) = f(0) = 0; Η
                 επόμενη είναι f(f(f(0))) = 0, και ούτω καθεξής : για c =0,
                 όλες οι επαναλήψεις της f δίνουν μηδέν.
                 Έστω c = 1. Οι διαδοχικές επαναλήψεις δίνουν:
                      f(0) = 02 + 1 = 1,
                      f(1) = 12 + 1 = 2,
                      f(2) = 22 + 1 = 5,
                      f(5) = 52 + 1 = 26,
                      f(26) = 262 + 1 = 677,
           Ώσπου οι τιμές καταλήγουν στο άπειρο

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα
                 Επιλέγουμε c = -1, και έχουμε
                    f(0) = 02 - 1 = -1,
                    f(-1) = (-1)2 - 1 = 0,

                    f(0) = 02 - 1 = -1,



              Επομένως οι τιμές εναλλάσσονται μεταξύ -1
               και 0, και οι διαδοχικές επαναλήψεις δεν
               οδηγούν στο άπειρο.

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα
                 Για κάποιο c, οι πρώτες επαναλήψεις της f δίνουν
                 {0, c, c + c2, c + (c + c2)2, c + (c + (c + c2)2)2, ...},
                 Και φαίνεται ότι το όριο (boundary) του συνόλου των
                 μιγαδικών τιμών του c που δεν οδηγούν στο άπειρο είναι
                 πολύπλοκο.
                 Αποδεικνύεται ότι εάν η απόλυτη τιμή του z σε κάποια
                 επανάληψη της f ξεπεράσει το 2, τότε τελικά θα οδηγηθεί
                 στο άπειρο.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Mandelbrot sets
                                              Ο απλούστερος τρόπος να
                                              απεικονιστεί το πλήρες Mandelbrot
                                              set είναι να υπολογιστούν οι
                                              επαναλήψεις της f, με πυκνές τιμές
                                              του c, και να χρωματιστούν τα
                                              σημεία ανάλογα με τον αριθμό των
                                              επαναλήψεων που χρειάζεται για να
                                              ξεφύγει η f στο άπειρο (ουσιαστικά
                                              να ξεπεράσει το 2).




     http://www.math.utah.edu/~alfeld/math/mandelbrot/mandelbrot.html
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τι το ιδιαίτερο έχει το Mandelbrot set?

                 Το όριο εμφανίζει πολύπλοκη δομή σε όλες τις κλίμακες -
                 μεγεθύνσεις.

           applet

                 Μια τόσο απλή εξίσωση δημιουργεί ένα τόσο
                 πολύπλοκο αντικείμενο!!!




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  references
                 Other images and resources are:
                 Frank Rousell s two hyperindex of clickable/retrievable Mandelbrot
                 images: ftp://ftp.cnam.fr/pub/Fractals/mandel/Index.gif Mandelbrot
                 Images (Frank Rousell)
                 ftp://ftp.cnam.fr/pub/Fractals/mandel/Index2.gif Mandebrot Images #2
                 (Frank Rousell)
                  http://www.wpl.erl.gov/misc/mandel.html Interactive Mandelbrot
                 (Neal Kettler)
                 http://www.ntua.gr/mandel/mandel.html Mandelbrot Explorer
                 (interactive) (Panagiotis J. Christias)
                 http://www.ncsa.uiuc.edu/Edu/Fractal/Fractal_Home.html
                 Fractal Microscope http://hermes.cybernetics.net/distfract.html
                 Distributed Fractal Generator for SunOS Sparcstations (James
                 Robinson)

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Πώς υπολογίζεται το Mandelbrot set?
                 Ο βασικός αλγόριθμος:
                 Για κάθε pixel c, ξεκινάμε με z=0.
                 Επαναλαμβάνουμε το z=z^2+c για N φορές, διακόπτοντας εάν το
                 μέγεθος του z μεγαλώνει πολύ.
                 Εάν γίνουν οι Ν επαναλήψεις, το σημείο ανήκει πιθανότατα στο
                 Mandelbrot set.
                 Εάν διακοπεί, το σημείο δεν ανήκει στο set και μπορεί να χρωματιστεί
                 ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων που ολοκληρώθηκαν.
                 Διακοπή υπάρχει εάν |z|>2, γιατί τότε θα οδηγηθεί οπωσδήποτε στο
                 άπειρο.
                 Ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων, N, μπορεί να επιλεγεί κατά
                 βούληση, πχ 100. Μεγαλύτεροι αριθμοί δίνουν καλύτερη λεπτομέρεια
                 αλλά και καθυστέρηση υπολογισμού.


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Πότε αποκλίνει?
                 Το Mandelbrot set βρίσκεται μέσα στα όρια |c|<=2.
                 Εάν |z| > 2, η ακολουθία z αποκλίνει.

                 Απόδειξη:
                 Εάν |z|>2, τότε |z^2+c|>= |z^2|-|c|> 2|z|-|c|.
                 Εάν |z|>=|c|, τότε |z|-|c|>=0 και 2|z|-|c|> |z|.
                 Άρα, εάν |z|>2 και |z|>=c, τότε
                   |z^2+c|>|z|,
                 Δηλαδή η ακολουθία είναι αύξουσα.
                 Επίσης, καθώς |z1=c, εάν |c|>2, η ακολουθία αποκλίνει.


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Julia sets
                 Τετραγωνικά Julia sets δημιουργούνται με την
                 απεικόνιση
                 zn+1 -> zn2+c    για δεδομένο c.
                 Σχεδόν για όλες τις τιμές του c (εκτός πχ των c = -
                 2 και c = 0), αυτός ο μετασχηματισμός δημιουργεί
                 ένα fractal.
                 Examples are shown for various values of c.
                 Dendrite Fractal, Douady's Rabbit Fractal, Julia Set, Mandelbrot Set, San
                 Marco Fractal
                 http://mathworld.wolfram.com/DendriteFractal.html
                 http://mathworld.wolfram.com/DouadysRabbitFractal.html
                 http://mathworld.wolfram.com/SanMarcoFractal.html
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Διαφορές ανάμεσα στο Mandelbrot
                  set και Julia set?

                 Το Mandelbrot set επαναλαμβάνει το z^2+c με
                 αρχικό z = 0 και μεταβαλλόμενο c.
                 Το Julia set επαναλαμβάνει το z^2+c για σταθερό
                 c και μεταβλητές αρχικές τιμές του z.
                 Έτσι το Mandelbrot set αφορά το χώρο των
                 παραμέτρων (c-plane) ενώ το Julia set αφορά το
                 δυναμικό χώρο των μεταβλητών (z-plane).



ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Julia sets




                                                 f(z) = z2 - 0.75


       Οι γραμμικές συναρτήσεις δεν δημιουργούν
       ενδιαφέροντες διαχωρισμούς του μιγαδικού επιπέδου, σε
       αντίθεση με τις τετραγωνικές και ανώτερου βαθμού
       συναρτήσεις
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Πώς υπολογίζεται το Julia set?
                 Το Julia set μπορεί να υπολογιστεί με επαναληπτική μέθοδο παρόμοια με αυτή του
                 Mandelbrot set.
                 Η μόνη διαφορά είναι ότι η τιμή του c είναι σταθερή και η αρχική τιμή του z
                 μεταβάλλεται.
                 Εναλλακτικά, τα σημεία στο όριο του Julia set μπορούν να υπολογιστούν γρήγορα με
                 αντίστροφη επαναληπτική μέθοδο.
                      Η εξίσωση z1 = z0^2+c αντιστρέφεται ως z0: z0 = +- sqrt(z1-c).
                      Εφαρμόζοντας επαναληπτικά την εξίσωση αυτή, τα σημεία που προκύπτουν συγκλίνουν στο
                       όριο του Julia set.
                      Σε κάθε βήμα, επιλέγεται τυχαία η θετική ή αρνητική ρίζα.
                      Σε ψευδοκώδικα:
                      z = 1 (or any value)
                      loop
                          if (random number < .5) then
                          zi = sqrt(zi+1-c)
                          else
                          zi = -sqrt(zi+1-c)
                          endif
                          plot z

                      end loop
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Fractal dimension.
                  Πως υπολογίζεται?
                 Αντικατοπτρίζει τη γεωμετρία του αντικειμένου.
                 Τα «κανονικά" γεωμετρικά σχήματα έχουν ακέραια διάσταση:
                      1 η γραμμή,
                      2 το τετράγωνο,
                      3 ο κύβος.
                 Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισμού του fractal dimension.

                 Γενικά, η fractal dimension μπορεί να υπολογιστεί παίρνοντας το
                 όριο του πηλίκου του λογάριθμου της μεταβολής του μεγέθους του
                 αντικειμένου προς το λογάριθμο της κλίμακας μέτρησης καθώς η
                 κλίμακα πλησιάζει στο μηδέν.

                 Διαφορές προκύπτουν ως προς τι εννοούμε «μέγεθος του αντικειμένου»
                 και «κλίμακα μέτρησης» και πώς να συμπεριληφθούν διαφορετικά
                 τμήματα του γεωμετρικού αντικειμένου
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Fractal dimension.
                 Για παράδειγμα, θεωρούμε μια ευθεία γραμμή με μήκος 1.
                 Μεγεθύνουμε τη γραμμή, διπλασιάζοντας της.
                 Η γραμμή έχει διπλάσιο μήκος.
                 Διάσταση= Log (μήκος) / Log(κλίμακα)= Log 2 / Log 2 = 1,
                 Θεωρούμε ένα τετράγωνο .
                 Διπλασιάζουμε την κλίμακα (μεγέθυνση κατά 2).
                 Το τετράγωνο τετραπλασιάζεται ( χωράνε 4 αρχικά τετράγωνα στη θέση του)
                 Διάσταση= Log 4 / log 2 = 2,.



                 http://life.csu.edu.au/complex/tutorials/tutorial3.html
                 http://www.gypsymoth.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/lec3/fracdim.html



ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Fractal dimension

                                        τετράγωνο




                                κύβος




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                 Θεωρούμε την καμπύλη μιας χιονοστιβάδας (Koch) που δημιουργείται
                 με την επαναληπτική αντικατάσταση του ___ με _/\_, όπου καθένα
                 από τα νέα 4 τμήματα έχει μήκος το 1/3 του αρχικού. Μεγενθύνοντας
                 τη χιονοστιβάδα κατά 3, η καμπύλη είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερη.
                 (one of the old snowflake curves can be placed on each of the 4
                 segments _/\_).
                 Log 4 / log 3 = 1.261...
                 Η διάσταση δεν είναι ακέραια!.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Fractal dimension
                The fractal dimension D is defined by
                D = log ( L2 / L1 ) / log ( S1 / S2 )
      where L1, L2 are the measured
      lengths of the curves (in units),
      and S1, S2 are the sizes of the
      units (i.e. the scales) used in the
      measurements.
      Measurements for S=1 and
      S=1/2 give lengths of L=7 and
      L=20, respectively. So
      D = log (20/7) / log (2) = 1.51
      In similar fashion, the transition
      from S=1 to S=2 yields the
      slightly smaller estimate of D =
      1.22 and from S=2 to S=3, D ~
      1.13.
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παραδείγματα
                 Υπολογίστε το fractal dimension της ακτής
                 http://polymer.bu.edu/java/java/coastline/coastlineapplet.html




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  What is the area of the
                  Mandelbrot set?
                 Ewing and Schober computed an area estimate using
                 240,000 terms of the Laurent series. The result is 1.7274...
                 However, the Laurent series converges very slowly, so this
                 is a poor estimate.
                 A project to measure the area via counting pixels on a very
                 dense grid shows an area around 1.5066.
                 Hill and Fisher used distance estimation techniques to
                 rigorously bound the area and found the area is between
                 1.503 and 1.5701.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στα
                  fractals και το χάος?

                 Συχνά, τα χαοτικά δυναμικά συστήματα
                 παρουσιάζουν fractal δομή στο χώρο των φάσεων.
                 Ωστόσο, δεν υπάρχει ευθεία σχέση.
                 Υπάρχουν χαοτικά συστήματα που έχουν μη-
                 fractal limit sets (π.χ. Arnold's cat map) και fractal
                 δομές που προέρχονται από μη-χαοτική δυναμική
                 .

                 http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/maw/catmap3.htm


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Arnold’s cat map
                                Πρόκειται για μια εικόνα της γης 124 x
                                124 όπου εφαρμόζεται επαναληπτικά ο
                                μετασχηματισμός «Arnold's Cat map»
                                . Η διαδοχή εικόνων παρουσιάζει την
                                επαναληπτική διαδικασία.
                                Η εικόνα γρήγορα διαλύεται σε μια
                                χαοτική μορφή, στην Πέμπτη
                                επανάληψη, και ενώ η εικόνα είναι
                                ακατάληπτη, στην δέκατη Πέμπτη
                                επανάληψη εμφανίζεται η αρχική
                                εικόνα.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τι είναι το χάος
                 Χάος: απρόβλεπτη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ένα
                 ντετερμινιστικό σύστημα λόγω ευαισθησίας στις αρχικές
                 συνθήκες. Ένα δυναμικό σύστημα περιέρχεται σε κατάσταση
                 χάους όταν τροχιές που ξεκινούν από γειτονικά σημεία
                 αποκλίνουν εκθετικά, ώστε τελικά η πρόβλεψη είναι αδύνατη.
                 Παρόλο που η συμπεριφορά ενός χαοτικού συστήματος φαίνεται
                 πλήρως αποδιοργανωμένη και τυχαία, πρόκειται για «αταξία»
                 που προέρχεται από ένα ντετερμινιστικό σύστημα και η οποία
                 είναι προβλέψιμη για μικρά χρονικά διαστήματα.
                 Η βασική συνέπεια της χαοτικής κίνησης είναι ότι με ελλιπή
                 γνώση, η προβλεψιμότητα του συστήματος αφορά πολύ
                 σύντομο χρονικό διάστημα. Έτσι, η σχέση ανάμεσα σε
                 παρούσες και μελλοντικές καταστάσεις του ντετερμινιστικού
                 συστήματος χάνεται.
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα
                 Ο καιρός θεωρείται χαοτικό σύστημα καθώς πολύ μικρές μεταβολές
                 στις αρχικές συνθήκες μπορεί να οδηγήσουν σε πολύ διαφορετικό
                 καρό στη συνέχεια.
                 Έτσι περιορίζεται σημαντικά η δυνατότητα μακρόχρονης πρόβλεψης.
                  (The canonical example is the possibility of a butterfly's sneeze
                 affecting the weather enough to cause a hurricane weeks later.)

                 Η ανθρώπινη ιστορία είναι ένα ακόμα παράδειγμα μη περιοδικής
                 συμπεριφοράς. Πολιτισμοί εμφανίζονται και καταρρέουν, αλλά τα
                 πράγματα δεν είναι ποτέ ακριβώς τα ίδια. Μικρά γεγονότα, ή
                 προσωπικότητες αλλάζουν το περιβάλλον.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα - logistic equation
                                                                        0,7

                                                                        0,6

                                                                        0,5

               xn+1 =κ* xn (1- xn )                                     0,4

                                                                        0,3



               logistic function                                        0,2

                                                                        0,1


               Πχ για τη μοντελοποίηση πληθυσμών                         0
                                                                               1     7   13   19   25   31    37   43   49   55    61   67   73   79   85   91   97



               Όπου x είναι ο πληθυσμός (μεταξύ 0 και 1)                 1



               και c η σταθερά αύξησης
                                                                        0,9

                                                                        0,8
                                                                        0,7
                                                                        0,6

                                                                        0,5
                                                                        0,4


     •Για κ=2.5 (1<κ<3) το σύστημα, μετά από μερικές επαναλήψεις        0,3
                                                                        0,2


     καταλήγει σε μια σταθερή έξοδο.                                    0,1
                                                                         0


     •Για κ= 3, το σύστημα μπαίνει σε μια μεταβατική κατάσταση και
                                                                               1     7   13   19   25   31    37   43   49   55    61   67   73   79   85   91   97




     ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο τιμές.(the period doubling). Τη μια
     χρονιά ο πληθυσμός είναι πολύ υψηλός και την επόμενη πολύ          1.2

     χαμηλός                                                              1

     •Για κ=3.45, η περίοδος διπλασιάζεται πάλι σε 4,. Η περίοδος       0.8
     συνεχίζει να διπλασιάζεται όλο και πιο γρήγορα, στα 3.54, 3.564,   0.6
     3.569, κλπ.                                                        0.4

      Στο κ= 3.57, υπάρχει κατάσταση χάους και ο πληθυσμός δεν          0.2

     καταλήγει σε σταθερή περίοδο. Για τις περισσότερες τιμές μεταξύ      0

     3.57 και 4, ο πληθυσμός μεταβάλλεται χαοτικά.                      -0.2
                                                                               2.3                      2.8                       3.3                   3.8




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράδειγμα - logistic equation
                 http://serendip.brynmawr.edu/~bbutoi/biff_diag.html

                 or this applet




            Τα μη γραμμικά συστήματα μπορούν να περάσουν από μεταβατικά
            στάδια πριν γίνουν χαοτικά. Η αναγνώριση αυτών των σταδίων μπορεί
            να βρει πρακτική χρησιμότητα




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Υποθετικό Παράδειγμα στην καρδιά
                   Στο παράδειγμα χρησιμοποιείται η logistic function.
                   Coronary artery bypass-> sinus arrest (k=0) due to
                   hypothermia
                   As temperature returns to normal, so does sinus rhythm
                   (k=2.5)
                   On the second day, atrial bigeminy occus (k=3.2),
                   followed by atrial fibrillation (k=3.8)
                   Αν η κατάσταση atrial bigeminy αναγνωριστεί σαν
                   πρόδρομος του χάους, και δοθεί ένα κατάλληλο φάρμακο
                   που μειώνει το k, η αρρυθμία μπορεί να αποφευχθεί.


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τα χαρακτηριστικά του χάους

                   Ντετερμινιστικό και απεριοδικό
                   Ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες
                   Η χαοτική συμπεριφορά παρόλο που
                   φαίνεται τυχαία, είναι περιορισμένη σε
                   κάποια περιοχή
                   Η χαοτική συμπεριφορά ακολουθεί
                   συγκεκριμένες μορφές (πχ σαν μια στήλη
                   καπνού)

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                       Ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές
                       συνθήκες
                       Για δύο διαφορετικές αλλά κοντινές αρχικές
                       συνθήκες, η συμπεριφορά είναι ίδια στην αρχή
                       αλλά μετά από κάποιο χρόνο αποκλίνει
                       σημαντικά.
              1
             0,9

             0,8                                                                                     Σε αντίθεση με τα γραμμικά
             0,7
             0,6
                                                                                            0,5
                                                                                                     συστήματα, εδώ η πρόβλεψη
             0,5
             0,4
                                                                                            0,5001
                                                                                                     μπορεί να γίνει για σύντομο
             0,3
             0,2
                                                                                                     χρονικό διάστημα.
             0,1
              0
                   1   8   15   22   29   36   43   50   57   64   71   78   85   92   99




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τι είναι ο χώρος των φάσεων;
                 Ο χώρος των φάσεων είναι το σύνολο των δυνατών καταστάσεων του
                 δυναμικού συστήματος.
                 Μια συγκεκριμένη κατάσταση του συστήματος, περιγράφει πλήρως το
                 σύστημα.
                   Π.χ. για το εκκρεμές, ο χώρος των φάσεων είναι δυσδιάστατος, με
                    συνιστώσες τη θέση και την ταχύτητα.
                 Εάν το σύστημα εξαρτάται από το χρόνο άμεσα, τότε πρέπει να
                 προστεθεί και ο χρόνος (t) στις συνιστώσες του χώρου φάσεων.
                 Καθώς εξελίσσεται ένα σύστημα, διαγράφει μια τροχιά από διαδοχικές
                 καταστάσεις στο χώρο των φάσεων.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τι είναι ο ελκυστής (attractor)
                   Απλά: μια κατάσταση στην οποία καταλήγει ένα σύστημα
                   Κάθε αρχική συνθήκη προκαλεί μια διαφορετική τροχιά. Εάν μετά το
                   πέρασμα του χρόνου όλες οι τροχιές καταλήγουν σε μια περιοχή του
                   χώρου των φάσεων, τότε η δυναμική του συστήματος περιγράφεται
                   από έναν ελκυστή.
                   Το αν ένα σύστημα είναι χαοτικό καθορίζεται από το πώς δύο αρχικά
                   κοντινές τροχιές διασχίζουν τον ελκυστή.
                         Κανονικός Ελκυστής
                         Οριακός κύκλος
                         Χαοτικός Ελκυστής
                         Παράξενος Ελκυστής (fractal)




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Είδη ελκυστών
                 Σημειακός ελκυστής, (Point attractor), όπως σε ένα εκκρεμές που ταλαντώνεται και
                 τελικά σταματά σε ένα σημείο, όπου υπάρχει ευσταθής ισορροπία και πλέον δεν υπάρχει
                 αλλαγή.
                 Περιοδικός ελκυστής, (Periodic attractor), όπως αν προσθέσουμε ένα ελατήριο
                 (mainspring) στο εκκρεμές σαν αντίδραση για τη τριβή ώστε το εκκρεμές να έχει έναν
                 οριακό κύκλο. Πρόκειται για επαναλαμβανόμενες διαδικασίες .
                 Τόρος, (Torus attractor), όπως η κίνηση πάνω και μέσα σε ένα ντόνατ (doughnut) ή
                 σαμπρέλα, κυκλικά, αλλά χωρίς να επαναλαμβάνεται η ίδια τροχιά, χωρίς να πρόκειται
                 για χαοτική κίνηση..
                 Strange attractor, ο ελκυστής που σχετίζεται με το πρόβλημα των τριών σωμάτων.
                 Αντιστοιχεί σε διαδικασίες που είναι ευσταθείς, περιορισμένες αλλά απεριοδικές.


                 Strange Attractor in Chaos Theory : http://www.wfu.edu/~petrejh4/Attractor.htm




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Ελκυστές



                                α



                                    γ                                δ
                                        α) Κανονικός Ελκυστής
                                        β) Οριακός κύκλος
                                        γ) Παράξενος Ελκυστής
                           β
                                        δ) Ο ίδιος Παράξενος Ελκυστής σε
                                        μεγένθυση

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράξενος ελκυστής (strange
                  attractor)
                 Ο παράξενος ελκυστής είναι το όριο μιας χαοτικής τροχιάς.
                 Διαφέρει από τις περιοδικές τροχιές ή τον οριακό κύκλο.
                 Πρόκειται για δομή fractal.
                 Παράδειγμα αποτελεί ο ελκυστής Henon.

                  http://www.ton.scphys.kyoto-u.ac.jp/~nakao/java/Henon.html




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Lorenz
                 dX/dt = -c(X-Y)
                 dY/dt = aX-Y-XZ
                 dZ/dt = b(XY-Z)
                 http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/chaos_ne
                 w/Lorenz.html




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Παράξενος ελκυστής
                 Θεωρούμε έναν όγκο στο χώρο των φάσεων που ορίζεται από όλες τις
                 αρχικές συνθήκες του συστήματος.

                 Εάν το σύστημα είναι ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες, οι τροχιές
                 που ξεκινούν από κάθε αρχικό σημείο θα απομακρυνθούν σε κάποιες
                 διευθύνσεις και θα πυκνώσουν σε άλλες.
                 Ο παράξενος ελκυστής υπάρχει όταν το σύστημα είναι ευαίσθητο
                 στις αρχικές συνθήκες (και μη-συντηρητικό).
                 Ο χαοτικοί ελκυστές είναι παράξενοι ελκυστές, αλλά δεν ισχύει και το
                 αντίστροφο.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Chaos Java Applets


        http://www.expm.t.u-tokyo.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/index.html


        Neurons! http://www.expm.t.u-tokyo.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/FN/Fn.html




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  references
                 The following resources may be helpful to
                 understand chaos:
                 http://hypertextbook.com/chaos/
                 http://millbrook.lib.rmit.edu.au/exploring.html
                 Exploring Chaos and Fractals
                 http://www.cc.duth.gr/~mboudour/nonlin.html
                 Chaos and Complexity Homepage (M. Bourdour)
                 http://ucmp1.berkeley.edu/henon.html
                 Experimental interactive henon attractor


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τεχνικές ανίχνευσης
                  ντετερμινισμού
                 Εάν έχουμε στη διάθεσή μας μια χρονοσειρά, για να καταλάβουμε αν
                 πρόκειται για ντετερμινιστικό ή στοχαστικό σήμα, βασιζόμαστε στο
                 ότι το ντετερμινιστικό σύστημα εξελίσσεται με τον ίδιο τρόπο πάντα
                 ξεκινώντας από μια αρχική τιμή Συγκεκριμένα
                      διαλέγουμε μια αρχική κατάσταση Sn1
                      ψάχνουμε στη χρονοσειρά για παρόμοιες καταστάσεις Sn2, Sn3
                      συγκρίνουμε την εξέλιξη τους στο χρόνο
                      σαν «σφάλμα» θεωρούμε τη διαφορά στην εξέλιξη των Sn1, Sn2, Sn3
                 Ένα ντετερμινιστικό σήμα θα έχει είτε ένα πολύ μικρό σφάλμα, εάν
                 έχει ευσταθή λύση, είτε σφάλμα που αυξάνει εκθετικά, εάν είναι
                 χαοτικό. Ένα στοχαστικό σήμα θα έχει σφάλμα με τυχαία κατανομή




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τεχνικές ανίχνευσης μη
                  γραμμικότητας
                 Για Συνεχή σήματα: κατασκευή του χώρου
                 των φάσεων
                    Τα περιοδικά σήματα εμφανίζουν τροχιές που
                     επικαλύπτονται, π.χ. κύκλο
                    Τα τυχαία σήματα δεν εμφανίζουν
                     συγκεκριμένη μορφή τροχιάς
                    Στα χαοτικά σήματα, δεν υπάρχει
                     περιοδικότητα, αλλά εμφανίζονται σαφή
                     σχήματα                             dx/dt

                                                              x

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Τεχνικές ανίχνευσης μη
                  γραμμικότητας
         Για διακριτά σήματα: κατασκευή του return map
               xn+1=f(xn)
               Η συνάρτηση στο χώρο των φάσεων που δίνει την
                επόμενη κατάσταση με βάση την τωρινή κατάσταση
                λέγεται απεικόνιση.
               Ξεκινώντας από το x0 και επαναλαμβάνοντας την
                απεικόνιση x1=f(x0), x2=f(x1)… , παίρνουμε μια σειρά
                που είναι η τροχιά του συστήματος με αρχική τιμή x0
                πχxn+1 =κ* xn (1- xn )

                                                                xn+1
                                                                       xn

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Time Delay Coordinates:ECG




           Simple methods for
           determining tau include:
                –First zero of the
                autocorrelation function
                –First minimum of the
                mutual information




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Lyapunov exponents
                 Μετρούν το ρυθμό με τον οποίο κοντινές τροχιές συγκλίνουν ή
                 αποκλίνουν.
                 Είναι όση και η διάσταση του χώρου φάσεων.
                 λ: Lyapunov exponent. λ αρνητικό, το σύστημα συγκλίνει και δεν
                 υπάρχει ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες λ θετικό, η απόσταση
                 ανάμεσα σε γειτονικές τροχιές αυξάνει εκθετικά K-entropy:άθροισμα
                 των θετικών συντελεστών, μέτρο της πληροφορίας που χάνεται




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
        • To obtain the Lyapunov spectra, imagine an infinitesimal small ball
          with radius dr sitting on the initial state of a trajectory. The flow will
          deform this ball into an ellipsoid. That is, after a finite time t all orbits
          which have started in that ball will be in the ellipsoid. The ith
          Lyapunov exponent is defined by




        • where dli(t) is the radius of the ellipsoid along its ith principal axis.


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                   Lyapunov exponents

            Η σχέση των Lyapunov exponents
            με τους διάφορους τύπους
            ελκυστών.
            Το σύστημα μπορεί να είναι
            ευσταθές αν δεχθεί διαταραχές ως
            προς μια κατεύθυνση και ασταθές
            ως προς άλλες.
            Εάν έστω και ένας από τους
            συντελεστές αν είναι θετικός, το
            σύστημα χαοτικό.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                   Εργασία

       http://www.physionet.org/physiobank/database/fantasia/
       Ή
       http://lomiweb.med.auth.gr/download/pmgbs/hearbeatdata/
       Download  files
       HR νέων και ηλικιωμένων
       Open EXCEL
       Construct Return Maps [x(n+1), x(n)] and [dx/dt, x]
       What do you observe?




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
            The extent to which chaos relates to physiological dynamics is a subject of active
            investigation and some controversy. At first it was widely assumed that chaotic
            fluctuations were produced by pathological systems such as cardiac electrical
            activity during atrial or ventricular fibrillation (19). However, this initial
            presumption has been challenged (20) and the weight of current evidence does not
            support the view that the irregular ventricular response in atrial fibrillation or that
            ventricular fibrillation itself represents deterministic cardiac chaos (21). Further,
            there is no convincing evidence that other arrhythmias sometimes labeled
            "chaotic," such as multifocal atrial tachycardia, meet the technical criteria for
            nonlinear chaos. An alternative hypothesis (22) is that the subtle but complex heart
            rate fluctuations observed during normal sinus rhythm in healthy subjects, even at
            rest, are due in part to deterministic chaos, and that a variety of pathologies, such
            as congestive heart failure syndromes, may involve a paradoxical decrease in this
            type of nonlinear variability (Fig. 1). Because the mathematical algorithms
            designed for detecting chaos are not reliably applied to nonstationary, relatively
            short and often noisy data sets obtained from most clinical and physiological
            studies, the intriguing question of the role, if any, of chaos in physiology or
            pathology remains unresolved (22-28).
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
          Left, schematic of a
         tree-like fractal has self-
         similar branchings such
         that the small scale
         (magnified) structure
         resembles the large scale
         form. Right, a fractal
         process such as heart rate
         regulation generates
         fluctuations on different
         time scales (temporal
         "magnifications") that
         are statistically self-
         similar.
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Scaling in Health and its
                  Breakdown with Disease
                 An important extension of the fractal concept was the recognition
                 that it applies not just to irregular geometric or anatomic forms that
                 lack a characteristic (single) scale of length, but also to complex
                 processes that lack a single scale of time. Fractal processes generate
                 irregular fluctuations on multiple time scales, analogous to fractal
                 objects that have wrinkly structure on different length scales.
                 Furthermore, such temporal variability is statistically self-similar. A
                 crude, qualitative appreciation for the self-similar nature of fractal
                 processes can be obtained by plotting the time series in question at
                 different "magnifications," i.e., different temporal resolutions. For
                 example, Fig. 3 plots the time series of heart rate from a healthy
                 subject on three different scales. All three graphs have an irregular
                 ("wrinkly") appearance, reminiscent of a coastline or mountain
                 range. The irregularity seen on different scales is not visually
                 distinguishable, an observation confirmed by statistical analysis. The
                 roughness of these time series, therefore, possesses a self-similar
                 (scale-invariant) property.
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
           Scaling in Health and its
           Breakdown with Disease
    Since scale-invariance appears to be is a general mechanism underlying many
    physiological structures and functions, one can adapt new quantitative tools derived
    from fractal mathematics for measuring healthy variability. Complex fluctuations
    with the statistical properties of fractals have not only been described for heart rate
    variability, but also for fluctuations in respiration, systemic blood pressure, human
    gait and white blood cell counts, as well as certain ion channel kinetics (3).
    Furthermore, if scale-invariance is a central organizing principle of physiological
    structure and function, we can make a general, but potentially useful prediction about
    what might happen when these systems are severely perturbed. If a functional system
    is self-organized in such a way that it does not have a characteristic scale of length or
    time, a reasonable anticipation would be a breakdown of scale-free structure or
    dynamics with pathology. How does a system behave after such a pathologic
    transformation? The antithesis of a scale-free (fractal) system (i.e., one with multiple
    scales) is one that is dominated by a single frequency or scale. A system that has only
    one dominant scale becomes especially easy to recognize and characterize because
    such a system is by definition periodic -- it repeats its behavior in a highly predictable
    (regular) pattern. The theory underlying this prediction may account for a clinical
    paradox: namely, that a wide range of illnesses are associated with markedly periodic
    (regular) behavior even though the disease states themselves are commonly termed
    "dis-orders".
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
            Breakdown of a
            fractal physiological
            control mechanism
            can lead either to a
            highly periodic output
            dominated by a single
            scale or to
            uncorrelated
            randomness. The top
            tracing is from a
            healthy subject;
            bottom left is from a
            subject with heart
            failure and bottom
            right from a subject
            with atrial fibrillation.

ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Irregular Dynamics and the Breakdown
                  of Fractal Mechanisms
                 While fractals are irregular, not all irregular structures or erratic
                 time series are fractal. A key feature of the class of fractals seen in
                 biology is a distinctive type of long-range order. This property
                 generates correlations that extend over many scales of space or
                 time. For complex processes, fractal long-range correlations are
                 the mechanism underlying a "memory" effect; the value of some
                 variable, e.g., heart rate at a particular time, is related not just to
                 immediately preceding values, but to fluctuations in the remote
                 past. Certain pathologies are marked by a breakdown of this long-
                 range organization property producing an uncorrelated
                 randomness similar to "white noise." An example is the erratic
                 ventricular response in atrial fibrillation. Peng et al. have recently
                 described a simple algorithm for quantifying the breakdown of
                 long-range (fractal) correlations in physiological time series.



ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Periodic Disease and the Loss of
                  Fractal Complexity
                 The appearance of highly periodic dynamics in many disease states is
                 one of the most compelling examples of the notion of complexity loss
                 in disease . Complexity here refers specifically to a multiscale, fractal-
                 type of variability in structure or function. Many disease states are
                 marked by less complex dynamics than those observed under healthy
                 conditions. This de-complexification of systems with disease appears
                 to be a common feature of many pathologies, as well as of aging (40).
                 When physiologic systems become less complex, their information
                 content is degraded. As a result, they are less adaptable and less able to
                 cope with the exigencies of a constantly changing environment. To
                 generate information, a system must be capable of behaving in an
                 unpredictable fashion. In contrast, a highly predictable, regular output
                 (i.e., a sine wave) is information-poor since it monotonously repeats its
                 activity. (The most extreme example of complexity loss would be the
                 total absence of variability--a straightline output.)


ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Predicting Heart Attacks

         This is data from a study
         published recently. The
         subjects in this study wore a
         device that monitored their
         heart rates continuously over a
         24-hour period. Some of the
         monitored patients
         spontaneously developed heart
         attacks, and the heart rate of a
         typical heart attack patient is
         depicted in the top panel. A
         corresponding panel illustrates
         the heart rate in a healthy
         control subject.
         It was found that the patterns were apparently identical when examined using a linear model.
       However, when the data was examined using a nonlinear model, spontaneous decreases in fractal
       dimension were observed in all of the patients that progressed to a heart attack. This behavior
       occurred hours prior to the heart attach and was not seen in any of the healthy controls. It appears,
       therefore, that it may be possible to actually predict individual subjects that are likely to experience a
       heart attack, and perhaps even to estimate when the heart attack may occur.
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Loss of 'complexity' and aging.
                 Potential applications of fractals and chaos theory to senescence
                 Lipsitz LA, Goldberger AL
                 In: JAMA (1992 Apr 1) 267(13):1806-9
                 The concept of "complexity," derived from the field of nonlinear dynamics, can be
                 adapted to measure the output of physiologic processes that generate highly variable
                 fluctuations resembling "chaos." We review data suggesting that physiologic aging is
                 associated with a generalized loss of such complexity in the dynamics of healthy organ
                 system function and hypothesize that such loss of complexity leads to an impaired
                 ability to adapt to physiologic stress. This hypothesis is supported by observations
                 showing an age- related loss of complex variability in multiple physiologic processes
                 including cardiovascular control, pulsatile hormone release, and
                 electroencephalographic potentials. If further research supports this hypothesis,
                 measures of complexity based on chaos theory and the related geometric concept of
                 fractals may provide new ways to monitor senescence and test the efficacy of specific
                 interventions to modify the age-related decline in adaptive capacity. Comment in:
                 JAMA 1992 Aug 26;268(8):984



ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Χάος στην καρδιά
                The cardiovascular system is highly interactive and possesses many interdependent processes.
            Many of the mechanisms we attempt to study in isolation are coupled in parallel and many of the
            actions/reactions take place simultaneously. The heart and circulation operate on multiple time
            scales or frequencies and vastly distributed space. It is this complexity that allows the system to
            remain organized. When the dimensions of activity are altered as in disease - there lies the
            danger".
            "For example, under normal circumstances there is a great deal of chaotic behavior in the heart
            rate. The heart does not beat 70 beats per minute exactly all the time. The rhythm varies on a
            beat-to-beat basis, displaying many fluctuations over a given time span - a kind of complicated
            musical score. "That variability is very important," Dr. Kresh added. "When that variability
            converts itself into a regular monotonic rhythm, you can pretty much be certain that is the
            beginning of disaster. These type of rhythms are often precursors to sudden death events (heart
            fibrillation) and fetal distress conditions during delivery.
            Although chaos control may be very advantageous in many systems, it has been suggested that
            the pathological destruction of chaotic behavior may be implicated in heart failure and some types
            of brain seizures. For instance, some studies of heart rate variability suggest that losing
            complexity in the heart rate will increase the mortality rate of cardiac patients. Thus, some
            systems require chaos and/or complexity in order to function properly. Maintenance of chaos
            could also be useful in machine tool chattering applications for avoiding occurrences of low order
            periodic vibrational modes in the cutting bits during milling or cutting of parts. Other situations in
            which maintenance of chaos might be useful include the mixing of fluids and to apply
            maintenance of chaos to combustion systems in order to avoid flame-out.
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Χάος στην καρδιά: defibrillators
                 Existing defibrillators use large electrical shocks to overwhelm harmful
                 cardiac rhythms and return the heart to a normal pattern. The new technique
                 will apply small electrical signals through an electrode threaded into the heart
                 at carefully chosen points in the heartbeat cycle. The researchers believe the
                 small signals will encourage the heart itself to correct the irregularities.
                 "The analogy would be judo," said William L. Ditto, a physicist in the Applied
                 Chaos Laboratory at Georgia Institute of Technology who described the
                 research during a Wednesday morning session. "If a very large person attacks
                 you, you could try to overpower him if you had enough energy--which is
                 typical of the way we now do defibrillation--or you could try to make their
                 violence work in your favor. We are hoping this technique will use the energy
                 of the harmful behavior to move the heart back into good behavior. Rather
                 than fight the chaotic pattern, we want to have the chaos do most of the work
                 for us."




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Brain Chaos
                 Chaos theory techniques are also being explored in the
                 treatment of chaotic patterns of brain activity, such as
                 certain types of epileptic seizures. Because brain activity,
                 like the heart, is naturally chaotic, the objective again is to
                 take a system that is pathologically regular and kick it back
                 into a more healthy chaotic state, rather than trying to
                 regularize an irregular chaotic system. "The idea is that a
                 certain amount of chaos may be good for you, while a
                 large amount may be very bad," said Ditto.




ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά
                  Tumor Growth Can Be Fractal
       A curve is fractal if when you look at segments of the curve it appears the same
       at many different scales of magnification. To be fractal means to be multiply
       indented, so much so that the curve is said to possess more than a one-
       dimensional nature. Some fractal curves are so "rough" that they are more like
       surfaces than lines. The rougher the curve the higher its fractal dimensionality.
       Scientists have previously found evidence for fractal behavior in curves
       describing heart fibrillation, forest fires, crystal growth, and many other
       systems. This applies now also to tumor growth. Antonio Bru of CIEMAT
       (Madrid) and his colleagues from several labs in Spain (011-34-1-346-6183,
       bruno@ibm1.ciemat.es) have studied the dynamical behavior of a series of rat
       brain tumors growing in petri dishes. The morphology results: the tumor
       profiles are super-rough, with a fractal dimension of 1.21. The dynamical
       results: the tendency for interface cells to duplicate turns out to be a function of
       local curvature. The researchers' aim in pinning down the tumor's mathematical
       parameters is the search for mechanisms that can control and possibly even stop
       tumor growth. (Bru et al., Physical Review Letters, 2 November 1998.)
ΠΡΟΜΕΣΙΠ -ΠΜΓΒΣ – Ι. Χουβαρδά

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:14
posted:10/3/2012
language:Greek
pages:90