حساب الاحتمالات - درس

Document Sample
حساب الاحتمالات - درس Powered By Docstoc
					     ‫اﻟﺤﻴﺎن‬        ‫اﻷﺳﺘﺎذ :‬                           ‫ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت‬                                 ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬
                                                    ‫‪Calcul des Probabilités‬‬
                                                                                                 ‫‪ .I‬ﺗﻘﺪﻳﻢ وﻣﺼﻄﻠﺤﺎت :‬
 ‫: ‪Expérience aléatoire‬‬                                                                    ‫1. اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ :‬
                                                                                                                ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬
                            ‫ﻧﺴﻤﻲ آﻞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﻨﺘﺎﺋﺠﻬﺎ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ .‬


                                     ‫ﻣﺜﺎل 1 : ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﻴﺔ ﻧﻘﺪﻳﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﺔ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء .‬
                       ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻧﺘﻴﺠﺘﺎن ﻣﻤﻜﻨﺘﺎن : اﻟﻮﺟﻪ ) ‪ ( face : F‬و اﻟﻈﻬﺮ ) ‪. ( pile : P‬‬
 ‫) ‪(éventualité‬‬                               ‫ﻧﻘﻮل إن ‪ P‬إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ . ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ F‬إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ .‬
‫) ‪(Univers des éventualités‬‬          ‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ } ‪ Ω = {F , P‬ﺗﺴﻤﻰ آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت.‬
‫آﻞ ﺟﺰء ﻣﻦ ‪ Ω‬ﻣﻜﻮن ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮ واﺣﺪ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﺪﺛﺎ اﺑﺘﺪاﺋﻴﺎ ) ‪(évènement élémentaire‬‬
                                                           ‫} ‪ A = {P‬ﺣﺪث اﺑﺘﺪاﺋﻲ .‬
‫) ‪(évènement impossible‬‬                                  ‫∅ هﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻞ .‬
 ‫) ‪(évènement certain‬‬                                         ‫‪ Ω‬هﻮ اﻟﺤﺪث اﻷآﻴﺪ .‬
                                       ‫ﻣﺜﺎل 2 : ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﺘﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء .‬
                ‫آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت هﻮ : } ‪ . Ω = {PP , PF , FP , FF‬ﻟﺪﻳﻨﺎ : 4 = ) ‪. Card ( Ω‬‬
                               ‫و } ‪ {PF‬و } ‪ {FP‬و } ‪. {FF‬‬          ‫} ‪{PP‬‬     ‫اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ هﻲ :‬
              ‫ﻣﺜﺎل 3 : ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء وﺟﻮهﻪ ﻣﺮﻗﻤﺔ ﻣﻦ 1 إﻟﻰ6‬
                                         ‫آﻮن اﻻﻣﻜﺎﻧﻴﺎت هﻮ : }6 ,5,4 ,3,2 ,1{ = ‪. Ω‬‬
‫اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ هﻲ : }1{ و }2{ و }3{ و }4{ و }5{ و }6{ . وﻟﺪﻳﻨﺎ : 6 = ) ‪. Card ( Ω‬‬
   ‫ﻣﺜﺎل 4 : ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدﻳﻦ ﻣﻜﻌﺒﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء وﺟﻮﻩ آﻞ واﺣﺪ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺮﻗﻤﺔ‬
   ‫ﻧﺮد ﻣﻜﻌﺐ = ‪Dés Cubique‬‬                                      ‫ﻣﻦ 1 إﻟﻰ 6 .‬
                        ‫ﻧﻀﻊ : }6 ,5,4 ,3,2 ,1{ = 1‪ . Ω‬إذن آﻮن اﻻﻣﻜﺎﻧﻴﺎت هﻮ :‬
           ‫1‪ . Ω = Ω1 = {( x , y ) / x ∈ Ω‬وﻟﺪﻳﻨﺎ : 63 = ) ‪. Card ( Ω‬‬
                                             ‫2‬
                                                                                       ‫و‬    ‫}1‪y ∈ Ω‬‬




                          ‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻤﻴﻦ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ هﻮ 7‬                            ‫ﺣﺪد اﻟﺤﺪث اﻟﺘﺎﻟﻲ : ‪A‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ : })1,6 ( ; ) 2 ,5 ( ; )3,4 ( ; ) 4 ,3 ( ; ) 5,2 ( ; ) 6 ,1({ = ‪. A‬وﻟﺪﻳﻨﺎ: 6 = ) ‪. Card ( A‬و 6 = 63 = ) ‪Card ( Ω‬‬
                       ‫2‬


  ‫؛ وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ‬  ‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻤﻴﻦ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ﻳﺨﺎﻟﻒ 7‬        ‫اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺘﻤﻢ ﻟﻠﺤﺪث ‪ A‬هﻮ :‬
‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ A‬أو ‪ C Ω‬أو ‪ . Ω − A‬ﻟﺪﻳﻨﺎ : } ‪( évènement complémentaire ). A = {ω ∈ Ω / ω ∉ A‬‬
                                                                        ‫‪A‬‬


                                                                                                                ‫2. ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬
      ‫‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﻀﺎدان إذا آﻠﻦ اﻟﻮاﺣﺪ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺘﻤﻢ ﻟﻶﺧﺮ ؛ ) ‪( B = A‬‬                            ‫ﻧﻘﻮل إن ‪ A‬و‬              ‫أ.‬
                                      ‫‪(évènements‬‬        ‫) ‪contraires‬‬



                                                                    ‫-1-‬
                                      ‫ﻣﺜﺎل : ﻟﻜﻞ ﺣﺪث ‪ A‬؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ : ‪ A‬و ‪ A‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﻀﺎدان .‬
                                                                               ‫ب.‬
          ‫∅= ‪. A ∩B‬‬        ‫ﻧﻘﻮل إن ﺣﺪﺛﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن إذا آﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
       ‫) ‪( A et B sont incompatibles‬‬        ‫ﻧﻘﻮل أﻳﻀﺎ : ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﻨﻔﺼﻼن.‬


                 ‫ﻣﺜﺎل : ﻟﻜﻞ ﺣﺪث ‪ A‬؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ : ‪ A‬و ‪ A‬ﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن . ∅ = ‪. A ∩ A‬‬
                                                                             ‫ت.‬
      ‫آﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻧﺘﻴﺠﺔ أو أآﺜﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ‬
                                                 ‫ﺗﺴﻤﻰ ﺣﺪﺛﺎ ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ .‬


‫: ‪Espaces Probabilisés Finis‬‬                                             ‫‪ .II‬اﻟﻔﻀﺎءات اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﻬﻴﺔ :‬
                                                                                         ‫1. ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬
       ‫ﻧﺴﻤﻲ اﺣﺘﻤﺎﻻ ﻋﻠﻰ ‪ Ω‬آﻞ‬                  ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ Ω‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﻓﺎرﻏﺔ .‬
                     ‫؛ ﺑﺤﻴﺚ :‬              ‫[‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ ‪ p‬ﻣﻦ ) ‪ P ( Ω‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ]1,0‬
                             ‫1 = )‪. p (Ω‬‬                                 ‫‪.i‬‬
                     ‫) ‪p (A ∪ B ) = p (A ) + p (B‬‬                        ‫‪.ii‬‬
       ‫ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﻦ ) ‪. P ( Ω‬‬
                    ‫اﻟﻤﺜﻠﻮث ) ‪ ( Ω, p ( Ω ) , p‬ﻳﺴﻤﻰ ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ .‬


                                          ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ : ‪ .i‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻷآﻴﺪ هﻮ 1 .‬
               ‫‪ .ii‬اﺣﺘﻤﺎل اﺗﺤﺎد ﺣﺪﺛﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ هﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﻬﻤﺎ .‬
                                                                                        ‫2. ﺧﺎﺻﻴﺎت :‬
                                    ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p ( Ω ) , p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ .‬

    ‫. ﻟﻜﻞ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﻦ ) ‪ p ( Ω‬؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ:‬
                                                  ‫‪p‬‬    ‫→ )‪: P (Ω‬‬               ‫]1,0 [‬
                                                           ‫‪A‬‬                   ‫) ‪p (A‬‬
                            ‫0 = ) ∅( ‪. p‬‬                           ‫‪.i‬‬
                    ‫‪A ⊂B‬‬       ‫⇒‬     ‫) ‪p (A ) ≤ p (B‬‬              ‫‪.ii‬‬

                              ‫) (‬
                       ‫) ‪. p A = 1− p (A‬‬                          ‫‪.iii‬‬
             ‫) ‪p (A ∪ B ) = p (A ) + p (B ) − p (A ∩ B‬‬            ‫‪.iv‬‬

  ‫‪ .i‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ∅ = ∅ ∩ ∅ ؛ إذن : ) ∅ ( ‪. p ( ∅ ) = p ( ∅ ∪ ∅ ) = p ( ∅ ) + p‬إذن : 0 = ) ∅ ( ‪. p‬‬    ‫ﺑﺮهﺎن :‬
                        ‫‪ .ii‬ﺑﻤﺎ أن ‪ A ⊂ B‬؛ ﻓﺈن : ) ‪ B = A ∪ ( B − A‬و ∅ = ) ‪A ∩ ( B − A‬‬




   ‫إذن : ) ‪ p ( B ) = p ( A ) + p ( B − A‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن : 0 ≥ ) ‪ p ( B ) − p ( A ) = p ( B − A‬؛‬
                                                          ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن : ) ‪. p ( A ) ≤ p ( B‬‬

                ‫(‬       ‫)‬
‫‪ 1 = p (Ω) = p A ∪ A = p ( A ) + p A‬؛‬    ‫‪ .iii‬ﻟﺪﻳﻨﺎ : ∅ = ‪ A ∩ A‬و ‪ . A ∪ A = Ω‬إذن : ) (‬
                                                       ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن : ) ‪. p ( A ) = 1 − p ( A‬‬



                                                          ‫-2-‬
                                     ‫∅ = ) ‪. A ∩ (B − A‬‬         ‫و‬     ‫‪ .iv‬ﻟﺪﻳﻨﺎ : ) ‪A ∪ B = A ∪ ( B − A‬‬
                                                     ‫إذن : ) ‪. p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B − A‬‬
                                     ‫و ∅= )‪( A ∩B) ∩( B −A‬‬      ‫) ‪B = (A ∩ B ) ∪(B − A‬‬        ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ :‬


              ‫إذن : ) ‪p ( B ) = p ( A ∩ B ) + p ( B − A ) ⇒ p ( B − A ) = p ( B ) − p ( A ∩ B‬‬
                              ‫) ‪. p (A ∪ B ) = p (A ) + p (B ) − p (A ∩ B‬‬               ‫وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن :‬
‫: ‪Hypothèse d’Equiprobabilités‬‬                                                            ‫‪ .III‬ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل :‬
‫∈ ‪. (n‬‬   ‫*‬
             ‫‪Card ( Ω ) = n‬؛ )‬   ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, P ( Ω ) , p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ . ﻧﻀﻊ : } ‪ Ω = {ω1 , ω2 ,..., ωn‬ﺣﻴﺚ :‬
                                                                                                    ‫1. ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬
                      ‫ﻧﻘﻮل إن آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت ‪ Ω‬ﻣﺰود ﺑﺎﺣﺘﻤﺎل ﻣﻨﺘﻈﻢ ؛ إذا آﺎﻧﺖ‬
                                       ‫آﻞ اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل.‬

              ‫ﺣﺴﺐ ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬                     ‫) }1‪. k = p ({ω‬‬     ‫2. ﻣﻼﺣﻈﺔ : ﻧﻀﻊ :‬
                ‫‪p ({ω1} ) = p ({ω2 } ) = p ({ω3 } ) = p ({ω4 } ) = p ({ω5 } ) = p ({ω6 } ) = k‬‬
                             ‫} 6‪. Ω = {ω1} + {ω2 } + {ω3 } + {ω4 } + {ω5 } + {ω‬‬          ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
‫إذن : ) } 6‪1 = p ( Ω ) = p ({ω1} ) + p ({ω2 } ) + p ({ω3} ) + p ({ω4 } ) + p ({ω5 } ) + p ({ω‬‬

                      ‫= ) }1‪1 = n × p ({ω1} ) ⇒ p ({ω‬‬
                                                          ‫1‬     ‫1‬
                                                            ‫=‬                         ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن :‬
                                                          ‫) ‪n Card ( Ω‬‬

      ‫= ) } ‪∀k ∈ {1, 2,..., n } : p ({ωk‬‬
                                              ‫1‬     ‫1‬
                                                ‫=‬                                  ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن :‬
                                              ‫) ‪n Card ( Ω‬‬
                                                                                                 ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ :‬
                              ‫ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ هﻮ 1 .‬
                                ‫اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث هﻮ ﻋﺪد ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ 0 و 1 .‬
              ‫إذا آﺎن ﺗﻄﺒﻴﻖ ]1,0 [ → ) ‪ p : P ( Ω‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ :‬
                 ‫0 = )∅( ‪. p‬‬        ‫اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻞ هﻮ 0 .‬               ‫•‬
          ‫• ﻣﺠﻤﻮع ﺻﻮر اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ‪ p‬هﻮ 1 .‬
                                        ‫ﻓﺈن ‪ p‬اﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪. Ω‬‬
   ‫اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ A‬هﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻮﺟﺪ‬
                                                    ‫ﺿﻤﻦ ‪. A‬‬


    ‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻓﻲ ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﻨﺘﻪ ) ‪ ( Ω, P ( Ω ) , p‬؛‬                        ‫3. ﻣﺒﺮهﻨﺔ هﺎﻣﺔ:‬
                                        ‫) ‪Card ( A‬‬            ‫اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ A‬هﻮ :‬
                              ‫= )‪P (A‬‬
                                        ‫) ‪Card ( Ω‬‬




                            ‫ﺑﺮهﺎن : ﻟﻴﻜﻦ ‪ A‬ﺣﺪﺛﺎ ‪ . A ⊂ Ω‬ﻧﻀﻊ : } ‪ A = {a1 , a2 ,..., ak‬؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                                                                                     ‫) ‪Card ( A‬‬
‫× ‪. p ( A ) = p ({a1} ) + p ({a2 } ) + ... + p ({ak } ) = k‬‬
                                                                 ‫1‬          ‫‪k‬‬
                                                                        ‫=‬          ‫=‬
                                                              ‫) ‪Card ( Ω ) Card ( Ω ) Card ( Ω‬‬

                                                                    ‫-3-‬
‫4. ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ : ﻓﻲ ﺻﻨﺪوق ؛ ﺗﻮﺟﺪ آﺮﺗﺎن ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺣﻤﺮ ؛ وﺛﻼث آﺮات ﻟﻮﻧﻬﺎ أﺧﻀﺮ ؛ وأرﺑﻊ‬
                              ‫آﺮات ﻟﻮﻧﻬﺎ أﺑﻴﺾ ؛ وآﺮﺗﺎن ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺻﻔﺮ .‬
 ‫ﻧﻘﻮم ﺑﺴﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻓﻲ ﺁن واﺣﺪ وﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ هﺬا اﻟﺼﻨﺪوق.‬
                                        ‫1. أ- ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺣﻤﺮ.‬
                                       ‫ب- ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺑﻴﺾ.‬
                                       ‫ﺟـ- ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺻﻔﺮ.‬
                                       ‫د- ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺧﻀﺮ.‬
                                       ‫2. ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن .‬
                                       ‫3. ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻲ اﻟﻠﻮن .‬
                          ‫4. ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ ﻟﻴﺲ أﺑﻴﺾ وﻻ أﺻﻔﺮ .‬
                                ‫5. ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن إﺣﺪاهﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺧﻀﺮاء .‬
‫اﻟﺠﻮاب : ﺗﺜﺒﻴﺖ اﻟﺼﻨﻒ : اﻟﺴﺤﺐ اﻵﻧﻲ ﻟﻜﺮﺗﻴﻦ ﻳﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺄﻟﻴﻔﺎت ﻟﻜﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ 11 .‬
        ‫1. أ- ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : A‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺣﻤﺮ . اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ A‬هﻮ :‬
                                    ‫22 ‪Card ( A ) C‬‬    ‫1‬
                          ‫= ) ‪p (A‬‬            ‫= 2 =‬
                                    ‫55 11 ‪Card ( Ω ) C‬‬
      ‫. اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ B‬هﻮ :‬        ‫ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺑﻴﺾ‬      ‫ب- ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪: B‬‬
                                   ‫24 ‪Card ( B ) C‬‬   ‫6‬
                          ‫= ) ‪p (B‬‬           ‫= 2 =‬
                                   ‫55 11 ‪Card ( Ω ) C‬‬
       ‫. اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ C‬هﻮ :‬        ‫ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺻﻔﺮ‬     ‫ﺟـ- ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪:C‬‬
                                   ‫22 ‪Card (C ) C‬‬    ‫1‬
                          ‫= ) ‪p (C‬‬           ‫= 2 =‬
                                   ‫55 11 ‪Card ( Ω ) C‬‬
       ‫. اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ D‬هﻮ :‬       ‫ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺧﻀﺮ‬       ‫د - ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪: D‬‬
                                   ‫23 ‪Card ( D ) C‬‬   ‫3‬
                          ‫= ) ‪p (D‬‬           ‫= 2 =‬
                                   ‫55 11 ‪Card ( Ω ) C‬‬
          ‫. اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ M‬هﻮ :‬              ‫2. ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : M‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن‬
                                 ‫1 3 + 1 + 6 + 1 23 ‪C + C 4 + C 22 + C‬‬
                                    ‫2‬     ‫2‬
                   ‫2 = ) ‪. p (M‬‬               ‫2‬
                                                        ‫=‬             ‫=‬
                                           ‫11 ‪C‬‬                 ‫55‬       ‫5‬
  ‫ﻻ ﺣﻆ أن : ‪ M = A ∪ B ∪ C ∪ D‬و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪ D‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ . إذن :‬
                                                             ‫1‬    ‫1 6‬      ‫1 3‬
          ‫+ + + = ) ‪p ( M ) = p ( A ) + p ( B ) + p (C ) + p ( D‬‬             ‫=‬
                                                            ‫5 55 55 55 55‬
‫. ﺑﻤﻼﺣﻈﺔ أن اﻟﺤﺪث ‪ N‬هﻮ اﻟﺤﺪث‬                 ‫3. ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : N‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻲ اﻟﻠﻮن‬

           ‫) (‬
 ‫= −1 = ) ‪p (N ) = p M = 1− p (M‬‬
                                        ‫4 1‬
                                        ‫5 5‬
                                                ‫اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﺤﺪث ‪ M‬ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ N‬هﻮ :‬

 ‫4. ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : F‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ ﻟﻴﺲ أﺑﻴﺾ وﻻ أﺻﻔﺮ .اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ F‬هﻮ :‬
                                                ‫2 01 2 ‪C‬‬
                                   ‫= 25 = ) ‪. p ( F‬‬         ‫=‬
                                                ‫5 55 11 ‪C‬‬
 ‫5. ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ :G‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ إﺣﺪاهﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺧﻀﺮاء .اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ G‬هﻮ :‬
                                                 ‫72 3 + 8 × 3 23 ‪C 1 × C 8 + C‬‬
            ‫(‬              ‫)‬
                                                         ‫1‬
               ‫‪ V V‬أو ‪V V‬‬            ‫3 = ) ‪. p (G‬‬         ‫2‬
                                                                 ‫=‬         ‫=‬
                                                       ‫11 ‪C‬‬          ‫55‬      ‫55‬
‫: ‪La Probabilté Conditionnelle‬‬                                          ‫‪ .IV‬اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ :‬
  ‫1. ﻣﺜﺎل 1 : ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺣﻤﺮاء وآﺮﺗﻴﻦ ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ . ﻧﺴﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ اﻟﻮاﺣﺪة ﺗﻠﻮ‬
                               ‫اﻷﺧﺮى دون إرﺟﺎع اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ إﻟﻰ اﻟﺼﻨﺪوق .‬
                           ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ : ‪ : A‬اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء‬
                            ‫‪ : B‬اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﻀﺎء‬
                                             ‫) ‪p (A ∩ B‬‬
                                          ‫.‬                 ‫1. أﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                                               ‫) ‪p (A‬‬
                                                  ‫-4-‬
  ‫2. ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ B‬؛ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ . ) ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪( p A ( B‬‬
                                                                             ‫3. ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬
                                                                                                     ‫اﻟﺤﻞ :‬
                                      ‫1. اﻟﺴﺤﺐ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻊ ﺑﺪون إﺣﻼل ﻳﺪل ﻋﻠﻰ‬
             ‫‪Card ( A ) A × A‬‬‫1‬
                                ‫3 4 ×3‬
                                    ‫1‬
  ‫= ) ‪. p (A‬‬            ‫=‬    ‫3‬
                              ‫=‬     ‫=‬
                                    ‫4‬
                                                        ‫اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﺎت . إذن :‬
             ‫) ‪Card ( Ω‬‬    ‫2‬
                          ‫5‪A‬‬    ‫5 4 ×5‬
‫أي : اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء ؛ واﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ.‬
   ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ : ‪ : A ∩ B‬اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء واﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﻀﺎء‬
                   ‫2 × 3 2 ‪Card ( A ∩ B ) A 3 × A‬‬
                                    ‫1‬     ‫1‬
                                                     ‫3‬
    ‫= ) ‪. p (A ∩ B‬‬               ‫=‬          ‫=‬      ‫=‬                    ‫إذن :‬
                     ‫) ‪Card ( Ω‬‬      ‫5‪A‬‬‫2‬
                                              ‫01 4 × 5‬
                                                               ‫3‬
                                                  ‫1 01 ) ‪p ( A ∩ B‬‬
                                                ‫.‬            ‫=‬   ‫=‬               ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن :‬
                                                     ‫) ‪p (A‬‬    ‫3‬   ‫2‬
                                                               ‫5‬
                ‫1‬
               ‫1 2 2‪A‬‬
   ‫= = 1 = ) ‪. pA ( B‬‬      ‫2. اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ B‬؛ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ ؛ هﻮ :‬
               ‫2 4 4‪A‬‬
     ‫اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ ﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﺼﻨﺪوق ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺣﻤﺮاوﻳﻦ وﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ‬
                                     ‫ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ . اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب هﻮ اﺣﺘﻤﺎل‬
                                   ‫اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق ‪. U‬‬
                                                       ‫) ‪p (A ∩ B‬‬
                                        ‫= ) ‪. pA ( B‬‬                 ‫3. ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ؛ أن :‬
                                                         ‫) ‪p (A‬‬


 ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ ؛ وﻟﻴﻜﻦ ‪ A‬ﺣﺪﺛﺎ ﻣﻦ ) ‪ P ( Ω‬ﺣﻴﺚ 0 ≠ ) ‪. p ( A‬‬                  ‫2. ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬
                     ‫) ‪p (A ∩ B‬‬
  ‫وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬                   ‫اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ B‬؛ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ هﻮ :‬
                       ‫) ‪p (A‬‬
                                   ‫) ‪p (A ∩ B‬‬
                      ‫= ) ‪pA ( B‬‬                          ‫) ‪ p A ( B‬أو ) ‪ p ( B / A‬؛ وﻧﻜﺘﺐ :‬
                                     ‫) ‪p (A‬‬


                                                                                               ‫3. ﻣﻼﺣﻈﺎت :‬
                          ‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ؛ ﻳﻜﻮن ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
               ‫) ‪Card ( A ∩ B‬‬
  ‫= ) ‪pA ( B‬‬                  ‫اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ B‬؛ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ هﻮ:‬
                ‫) ‪Card ( A‬‬
                    ‫اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺤﺪث ‪ A‬؛ هﻮ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ :‬
                         ‫]1,0 [ → ) ‪p A : P ( Ω‬‬
                                    ‫‪B‬‬       ‫) ‪pA ( B‬‬
                                                                                                ‫4. ﻣﺜﺎل 2 :‬
      ‫ﺗﻀﻢ إﺣﺪى اﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺎت 052 ﺗﻠﻤﻴﺬا ؛ ﻣﻮزﻋﻴﻦ إﻟﻰ داﺧﻠﻴﻴﻦ و ﺧﺎرﺟﻴﻴﻦ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬




 ‫اﺧﺘﺮﻧﺎ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﺗﻠﻤﻴﺬا ﻣﻦ ﺑﻴﻦ 052 ﺗﻠﻤﻴﺬ . ﻟﺠﻤﻴﻊ اﻟﺘﻼﻣﻴﺬ ﻧﻔﺲ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺘﻢ‬
                                                                  ‫اﺧﺘﻴﺎرهﻢ .‬
                                                            ‫-5-‬
                                                   ‫1. أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :‬
                            ‫.‬ ‫‪ : G‬اﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ ذآﺮ‬
                        ‫.‬   ‫‪ : F‬اﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬة أﻧﺜﻰ‬
                      ‫.‬    ‫‪ : E‬اﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ ﺧﺎرﺟﻲ‬
                       ‫.‬    ‫‪ : I‬اﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ داﺧﻠﻲ‬
                     ‫2. إذا آﺎن اﻟﺘﻠﻤﻴﺬ اﻟﻤﺨﺘﺎر ذآﺮا ؛ ﻓﻤﺎ هﻮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﺧﺎرﺟﻴﺎ ؟‬
                                                                                                       ‫اﻟﺠﻮاب :‬
                                 ‫) ‪Card (G‬‬         ‫4 002‬
                    ‫= ) ‪. p (G‬‬                 ‫=‬      ‫=‬                                   ‫1. ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                                 ‫) ‪Card ( Ω‬‬        ‫5 052‬
                                  ‫05 ) ‪Card ( F‬‬   ‫1‬
                    ‫= ) ‪. p (F‬‬              ‫=‬   ‫=‬
                                  ‫5 052 ) ‪Card ( Ω‬‬
                                  ‫) ‪Card ( E‬‬       ‫11 011‬
                    ‫= ) ‪. p (E‬‬                 ‫=‬      ‫=‬
                                  ‫) ‪Card ( Ω‬‬       ‫52 052‬
                                  ‫) ‪Card ( I‬‬       ‫41 041‬
                     ‫= ) ‪. p (I‬‬                ‫=‬      ‫=‬
                                  ‫) ‪Card ( Ω‬‬       ‫52 052‬
               ‫08‬   ‫2‬
‫= ) ‪. pG ( E‬‬      ‫=‬   ‫2. إذا آﺎن اﻟﺘﻠﻤﻴﺬ اﻟﻤﺨﺘﺎر ذآﺮا ؛ ﻓﺈن اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﺧﺎرﺟﻴﺎ هﻮ:‬
               ‫5 002‬
  ‫: ‪Formule des Probabilités Composées‬‬                                    ‫5. ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻤﺮآﺒﺔ :‬
                                                                                                ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬
                                ‫إذا آﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن اﺣﺘﻤﺎﻻهﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ ؛ ﻓﺈن :‬
                                ‫) ‪p ( A ∩ B ) = p ( A ) × pA ( B ) = p ( B ) × pB ( A‬‬


                         ‫) ‪p (A ∩ B‬‬
         ‫= ) ‪. pA ( B‬‬               ‫) ‪⇒ p ( A ∩ B ) = p ( A ) × pA ( B‬‬                ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬    ‫ﺑﺮهﺎن :‬
                           ‫) ‪p (A‬‬
                         ‫) ‪p (A ∩ B‬‬
          ‫= ) ‪. pB ( A‬‬              ‫) ‪⇒ p ( A ∩ B ) = p ( B ) × pB ( A‬‬               ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                           ‫) ‪p (B‬‬
                            ‫إذا آﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن اﺣﺘﻤﺎﻻهﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ ؛ ﻓﺈن :‬                    ‫اﺳﺘﻨﺘﺎج :‬
                                            ‫) ‪p ( A ) pB ( A‬‬
                                                   ‫=‬
                                            ‫) ‪p ( B ) pA ( B‬‬


‫: ‪Les Probabilités Totales‬‬                                                               ‫‪ .V‬اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ :‬
 ‫: ‪Partition d’un ensemble‬‬                                                                 ‫1. ﺗﺠﺰﻳﺊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ :‬
‫ﻣﺜﺎل : ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻀﺎء }6 ,5,4 ,3,2 ,1{ = ‪ . Ω‬وﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: }6 ,4 ,2{ = 1‪ A‬و }1{ = 2 ‪ A‬و }6 ,5{ = 3 ‪. A‬‬
      ‫∅ = 2 ‪ A1 ∩ A‬و ∅ = 3 ‪ A1 ∩ A‬و ∅ = 3 ‪ A 2 ∩ A‬و 3 ‪. Ω = A1 ∪ A 2 ∪ A‬‬             ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                             ‫اﻷﺣﺪاث 1‪ A‬و 2 ‪ A‬و 3 ‪ A‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ واﺗﺤﺎدهﺎ ‪. Ω‬‬
                                       ‫ﻧﻘﻮل إن اﻷﺣﺪاث 1‪ A‬و 2 ‪ A‬و 3 ‪ A‬ﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪. Ω‬‬

                                              ‫∈‪. n‬‬   ‫*‬
                                                         ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ وﻟﻴﻜﻦ‬         ‫2. ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬
         ‫ﻧﻘﻮل إن اﻷﺣﺪاث 1‪ A‬و 2 ‪ A‬و . . . و ‪ A n‬ﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪ Ω‬؛ إذا آﺎﻧﺖ ﻏﻴﺮ‬
                                         ‫ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ واﺗﺤﺎدهﺎ ‪ . Ω‬أي :‬
                 ‫∅ = ‪ A i ∩ A j‬ﻟﻜﻞ ‪ 1 ≤ i ≤ n‬و ‪ 1 ≤ j ≤ n‬ﺣﻴﺚ ‪. i ≠ j‬‬            ‫أ-‬
                                               ‫‪Ω = A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n‬‬                         ‫ب-‬


                                                                ‫-6-‬
                                                                                            ‫3. ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ :‬
                                                    ‫∈‪. n‬‬         ‫*‬
                                                                         ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ وﻟﻴﻜﻦ‬
      ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ 1‪ A‬و 2 ‪ A‬و ... و ‪ A n‬ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪ Ω‬؛ و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎ ﻣﻦ ‪. Ω‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ B‬هﻮ :‬
                  ‫) ‪p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A 2 ) × p A2 ( B ) + ... + p ( A n ) × p A n ( B‬‬


                                 ‫ﺑﺮهﺎن : ﻟﺪﻳﻨﺎ : 1‪ A‬و 2 ‪ A‬و ... و ‪ A n‬ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪ . Ω‬ﺑﻤﺎ أن ‪ B ⊂ Ω‬؛ ﻓﺈن :‬
    ‫‪B = B ∩Ω‬‬
    ‫) ‪B = B ∩ ( A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n‬‬
     ‫) ‪B = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A 2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ A n‬‬
       ‫ﺑﻤﺎ أن اﻷﺣﺪاث 1‪ A‬و 2 ‪ A‬و ... و ‪ A n‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ ﻓﺈن اﻷﺣﺪاث 1‪ B ∩ A‬و 2 ‪ B ∩ A‬و ... و‬
 ‫) ‪p ( B ) = p ( B ∩ A1 ) + p ( B ∩ A 2 ) + ... + p ( B ∩ A n‬‬                           ‫‪ B ∩ A n‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ .إذن :‬
 ‫) ‪p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A 2 ) × p A2 ( B ) + ... + p ( A n ) × p An ( B‬‬


   ‫4. ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ : ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺗﺤﻤﻞ وﺟﻮهﻪ اﻟﺴﺘﺔ اﻷرﻗﺎم اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :‬
           ‫2‬     ‫-‬     ‫2‬     ‫-‬     ‫1‬     ‫-‬     ‫1‬    ‫-‬        ‫1‬       ‫-‬       ‫1‬
                                                                     ‫وﻧﻌﺘﺒﺮ ﺻﻨﺪوﻗﻴﻦ :‬
                                  ‫1‪ : U‬ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺣﻤﺮاء وآﺮﺗﻴﻦ ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ .‬
                                  ‫2‪ : U‬ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ آﺮات ﺣﻤﺮاء وﺛﻼث آﺮات ﺑﻴﻀﺎء .‬
                                                                 ‫ﻧﺮﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء :‬
                                                                      ‫إذا ﻇﻬﺮ اﻟﺮﻗﻢ 1 ؛ ﻧﺴﺤﺐ آﺮة ﻣﻦ 1‪. U‬‬
                                                                          ‫إذا ﻇﻬﺮ اﻟﺮﻗﻢ 2 ؛ ﻧﺴﺤﺐ آﺮة ﻣﻦ 2‪. U‬‬
                                               ‫1. ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء.‬
                                             ‫2. ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺣﻤﺮاء .‬
                ‫3. ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﺑﻴﻀﺎء ؛ ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق 1‪. U‬‬
                                                                                     ‫اﻟﺠﻮاب :‬
  ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ : 1‪ : A‬ﻇﻬﻮر اﻟﺮﻗﻢ 1 ﻋﻨﺪ رﻣﻲ اﻟﻨﺮد . أي: اﺧﺘﻴﺎر اﻟﺼﻨﺪوق 1‪. U‬‬
  ‫2 ‪ : A‬ﻇﻬﻮر اﻟﺮﻗﻢ 2 ﻋﻨﺪ رﻣﻲ اﻟﻨﺮد . أي: اﺧﺘﻴﺎر اﻟﺼﻨﺪوق 2‪. U‬‬
      ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ 1‪ A‬و 2 ‪ A‬ﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن واﺗﺤﺎدهﻤﺎ ‪ Ω‬؛ إذن ﻓﻬﻲ ﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪. Ω‬‬
‫. ﺣﺴﺐ ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ ؛ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث‬                        ‫1. ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : ‪ : B‬ﺳﺤﺐ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء‬
                                                             ‫3 2 2 2‬       ‫34‬
‫= × + × = ) ‪. p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A 2 ) × p A2 ( B‬‬          ‫14 ,0 ≈‬  ‫‪ B‬هﻮ :‬
                                                             ‫501 7 6 5 3‬
‫. ﺣﺴﺐ ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ ؛ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث‬                        ‫2. ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : ‪ : R‬ﺳﺤﺐ آﺮة ﺣﻤﺮاء‬
                                                             ‫4 2 3 2‬      ‫26‬
‫= × + × = ) ‪. p ( R ) = p ( A1 ) × p A1 ( R ) + p ( A 2 ) × p A 2 ( R‬‬         ‫95,0 ≈‬   ‫‪ R‬هﻮ :‬
                                                             ‫501 7 6 5 3‬
               ‫3. ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﺑﻴﻀﺎء ؛ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق 1‪ U‬هﻮ ) 1‪. p B ( A‬‬
        ‫ﺣﺴﺐ ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻤﺮآﺒﺔ ؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ : ) ‪ p ( B ) × p B ( A1 ) = p ( A1 ) × p A1 ( B‬؛ إذن :‬
                                                             ‫2 2‬
                                     ‫) ‪p ( A1 ) × p A1 ( B‬‬     ‫×‬
                                                                     ‫82 501 4‬
                      ‫= ) 1‪p B ( A‬‬                        ‫× =5 3=‬           ‫=‬    ‫56 ,0 ≈‬
                                             ‫) ‪p (B‬‬            ‫34‬   ‫34 51‬     ‫34‬
                                                              ‫501‬
                                                    ‫ﻧﻠﺨﺺ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﺷﺠﺮة اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :‬



                                                                             ‫-7-‬
‫: ‪L’indépendance‬‬                                                                                      ‫‪ .VI‬اﻻﺳﺘﻘﻼﻟﻴﺔ :‬
                                                                                                          ‫1. ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬
     ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ . ﻧﻘﻮل إن ﺣﺪﺛﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺴﺘﻘﻼن ؛ إذا آﺎن :‬
                                  ‫) ‪p (A ∩ B ) = p (A )× p (B‬‬


         ‫إذا آﺎن 0 ≠ ) ‪ p ( A‬؛ ﻓﺈن : ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺴﺘﻘﻼن ⇔ ) ‪. p A ( B ) = p ( B‬‬                          ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ :‬
         ‫2. ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ : ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺗﺤﻤﻞ وﺟﻮهﻪ اﻟﺴﺘﺔ اﻷرﻗﺎم‬
               ‫ﻣﻦ 1 إﻟﻰ 6 ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ . ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :‬
                   ‫‪ : A‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد 2 ﻓﻲ اﻟﺮﻣﻴﺔ اﻷوﻟﻰ .‬
                         ‫.‬   ‫‪ : B‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ 7‬
                              ‫‪ :C‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﻳﻦ زوﺟﻴﻴﻦ .‬
    ‫1. أﺣﺴﺐ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: ) ‪ p ( A‬و ) ‪ ( B‬و ) ‪ p ( A ∩ B‬؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ أن :‬
                                                             ‫‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺴﺘﻘﻼن .‬
                                                          ‫2. هﻞ اﻟﺤﺪﺛﺎن ‪ A‬و ‪ C‬ﻣﺴﺘﻘﻼن ؟‬
                                                                                                   ‫اﻟﺠﻮاب :‬
                ‫) ‪Card ( A‬‬       ‫6× 1‬
                                 ‫1‬   ‫1‬
                                          ‫6‬   ‫1‬
   ‫= ) ‪. p (A‬‬                ‫=‬         ‫=‬    ‫=‬                      ‫1. اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ C‬هﻮ :‬
                ‫) ‪Card ( Ω‬‬         ‫6‬ ‫2‬
                                         ‫6 63‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ : })1,6 ( ; ) 2 ,5 ( ; )3,4 ( ; ) 4 ,3 ( ; ) 5,2 ( ; ) 6 ,1({ = ‪ B‬؛إذن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ C‬هﻮ :‬
                ‫) ‪Card ( B‬‬       ‫6‬     ‫1‬
   ‫= ) ‪. p (B‬‬                ‫=‬       ‫=‬
                ‫) ‪Card ( Ω‬‬       ‫6‬ ‫2‬
                                       ‫6‬
                   ‫) ‪Card ( A ∩ B‬‬            ‫11 × 11‬
                                                          ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ : }) 5,2 ({ = ‪ A ∩ B‬؛ إذن :‬
                                                        ‫1‬
  ‫= ) ‪. p (A ∩ B‬‬                         ‫=‬           ‫=‬
                      ‫) ‪Card ( Ω‬‬               ‫6‬ ‫2‬
                                                       ‫63‬
             ‫2. ﺑﻤﺎ أن: ) ‪ p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p ( B‬؛ ﻓﺈن ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺴﺘﻘﻼن.‬

                                      ‫) ‪Card (C‬‬‫23‬    ‫9‬   ‫1‬
                         ‫= ) ‪. p (C‬‬           ‫= 2 =‬    ‫=‬   ‫3. اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ C‬هﻮ :‬
                                    ‫6 ) ‪Card ( Ω‬‬    ‫4 63‬
                         ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ : }) 2 ,2 ({ = ‪ A ∩ C‬؛ إذن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ A ∩ C‬هﻮ :‬
                        ‫11 × 11 ) ‪Card ( A ∩ C‬‬  ‫1‬
       ‫= ) ‪. p (A ∩C‬‬                  ‫= 2 =‬
                         ‫) ‪Card ( Ω‬‬      ‫6‬     ‫63‬
                                       ‫1 1‬  ‫1‬                     ‫1‬
                   ‫= × = ) ‪ p ( A ) × p (C‬؛‬    ‫= ) ‪ p ( A ∩C‬و‬        ‫ﺑﻤﺎ أن :‬
                                       ‫42 4 6‬                    ‫63‬
         ‫ﻓﺈن : ) ‪ . p ( A ∩ C ) ≠ p ( A ) × p (C‬إذن ‪ A‬و ‪ C‬ﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻼن .‬

                                                                ‫-8-‬
‫: ‪L’indépendance des épreuves aléatoires‬‬                       ‫3. اﺳﺘﻘﻼﻟﻴﺔ اﻻﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ:‬
                                                                                ‫ﺗﻤﻬﻴﺪ :‬ ‫أ.‬
        ‫‪ (i‬رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ‪ n‬ﻣﺮة ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ . ) ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر آﻞ رﻣﻴﺔ اﺧﺘﺒﺎرا ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ (‬
                    ‫‪ (ii‬ﺳﺤﺐ ‪ n‬آﺮة ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ‪ m‬آﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺪون إﺣﻼل ) ‪. ( n ≤ m‬‬
          ‫) آﻞ ﺳﺤﺒﺔ ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎرهﺎ اﺧﺘﺒﺎرا ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ (‬
                                      ‫‪ (iii‬ﺳﺤﺐ ‪ n‬آﺮة ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ‪ m‬آﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل .‬
                                                     ‫‪ (iv‬رﻣﻲ ﻧﺮد ﻣﻜﻌﺐ ‪ n‬ﻣﺮة ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ .‬
     ‫• ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺠﺎرب اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ اﺧﺘﺒﺎر واﺣﺪ أو ﻋﺪة اﺧﺘﺒﺎرات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ .‬
  ‫وﻧﻼﺣﻆ أن ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺠﺎرب ؛ ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ﻟﻪ .‬
                                          ‫ﻣﺜﺎل : ﺗﺠﺎرب ) ‪ (i‬و ) ‪ (iii‬و ) ‪. (iv‬‬
            ‫• ﻓﻲ ﺣﻴﻦ ؛ ﺗﺆﺛﺮ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ﻓﻲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ) ‪. (ii‬‬
                ‫)ﻻ ﻧﻌﻴﺪ اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ؛ ﻓﻴﺘﻐﻴﺮ ﻋﺪد اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت ... (‬
 ‫• إذا آﺎﻧﺖ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻣﺎ ؛ ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ؛ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ‬
                                       ‫ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ اﺧﺘﺒﺎرات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ .‬
‫: ‪Les épreuves répétées‬‬                                                 ‫اﻻﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻤﺘﻜﺮرة :‬   ‫ب.‬
                                                                                   ‫أﻣﺜﻠﺔ :‬
                    ‫• ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ.‬
                   ‫• ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﺪﻳﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﺔ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ.‬
                 ‫• ﻧﺴﺤﺐ أرﺑﻊ آﺮات ﻣﻦ آﻴﺲ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ‪ n‬آﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل .‬
‫ﻣﺜﺎل : ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ . أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل‬
                     ‫اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3 أرﺑﻊ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ .‬
‫اﻟﺠﻮاب : ﺗﺘﻜﻮن هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻜﺮار اﻻﺧﺘﺒﺎر : رﻣﻲ ﻧﺮد ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺧﻤﺲ ﻣﺮات.‬
          ‫.‬     ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ 1: ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث: ‪ : S‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3‬
                                            ‫1 2‬
                                 ‫= = ) ‪. p (S‬‬         ‫و‬     ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ : }6 ,3{ = ‪ S‬؛‬
                                            ‫3 6‬
                        ‫ﻓﻲ آﻞ رﻣﻴﺔ ؛ إﻣﺎ أن ﻳﺘﺤﻘﻖ اﻟﺤﺪث ‪ S‬وإﻣﺎ أن ﻻ ﻳﺘﺤﻘﻖ.‬




           ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ : 45 ‪ C‬إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﻻﺧﺘﻴﺎر اﻷﻣﻜﻨﺔ اﻟﺘﻲ ﺳﻴﺘﺤﻘﻖ ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺤﺪث ‪. S‬‬
                                                 ‫1‬
      ‫= ) ‪ p ( S‬؛ واﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ E = S‬هﻮ :‬         ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ : اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ S‬هﻮ‬
                                                 ‫3‬

                                            ‫) (‬                    ‫2 1‬
                                 ‫= − 1 = ) ‪. p ( E ) = p S = 1 − p (S‬‬
                                                                   ‫3 3‬
                                      ‫4‬      ‫1‬

                           ‫) (‬    ‫⎞2 ⎛ ⎞1⎛‬
 ‫اﺣﺘﻤﺎل اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ‪ SESSS‬هﻮ : ⎟ ⎜ × ⎟ ⎜ = ‪ . ( p ( S ) ) × p S‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن :‬
                      ‫4‬

                                  ‫⎠3 ⎝ ⎠3⎝‬
      ‫اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ رﻗﻢ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3 أرﺑﻊ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ هﻮ :‬
                                     ‫4‬    ‫1‬
                               ‫⎞1⎛ 4‬   ‫⎞2⎛‬    ‫01‬
                             ‫= ⎟ ⎜× ⎟ ⎜× 5‪C‬‬      ‫14 ,0 ≈‬
                                 ‫⎠3 ⎝ ⎠3⎝‬    ‫342‬
     ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ 2 : هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺗﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺤﺐ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻊ ﺑﺈﺣﻼل ﻟﺨﻤﺴﺔ أرﻗﺎم ﻣﻦ ﺑﻴﻦ‬
         ‫اﻷرﻗﺎم اﻟﺴﺘﺔ اﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻟﻠﻨﺮد ؛ وهﺬا ﻳﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﺎت ﻟﺨﻤﺴﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ.‬
  ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : A‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ رﻗﻢ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3 أرﺑﻊ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ‬
                                                       ‫اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ A‬هﻮ :‬

                                                      ‫-9-‬
           ‫14 × 42 × 45 ‪Card ( A ) C‬‬
                                                    ‫4‬      ‫1‬         ‫4‬       ‫1‬
                                              ‫⎞4⎛ ⎞2⎛‬            ‫⎞2 ⎛ ⎞1⎛‬
  ‫= ) ‪p (A‬‬            ‫=‬              ‫⎟ ⎜ × ⎟ ⎜ × 45 ‪= C 54 × ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟ = C‬‬
           ‫) ‪Card ( Ω‬‬       ‫6‬ ‫6‬
                                              ‫⎠6⎝ ⎠6⎝‬            ‫⎠3 ⎝ ⎠3⎝‬
                                                                                              ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ :‬
     ‫∈ ‪ n‬؛ وﻟﻴﻜﻦ ‪ S‬ﺣﺪﺛﺎ اﺣﺘﻤﺎﻟﻪ ‪ p‬ﻓﻲ‬         ‫*‬
                                                 ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ ؛ وﻟﻴﻜﻦ‬
                                                               ‫اﺧﺘﺒﺎر ﻋﺸﻮاﺋﻲ .‬
    ‫إذا أﻋﻴﺪ هﺬا اﻻﺧﺘﺒﺎر ‪ n‬ﻣﺮة ؛ ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ‪ S‬؛ ‪ k‬ﻣﺮة ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ) ﺣﻴﺚ :‬
                            ‫) ‪C nk × p k × (1 − p‬‬
                                                    ‫‪n −k‬‬
                                                                         ‫‪ ( 0 ≤ k ≤ n‬؛ هﻮ :‬


                                                               ‫ﺟـ. ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ :‬
                                          ‫2‬
    ‫. ﻗﺎم هﺬا اﻟﺮاﻣﻲ ﺑﻌﺸﺮ ﻣﺤﺎوﻻت . ﻣﺎ هﻮ‬    ‫1. اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺼﻴﺐ رام اﻟﻬﺪف هﻮ‬
                                          ‫3‬
                                ‫اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺼﻴﺐ اﻟﻬﺪف ﺳﺖ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ .‬
  ‫2. ﻳﺤﺘﻮي آﻴﺲ ﻋﻠﻰ ﺳﺖ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ 0 وﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ 1 و‬
    ‫ﺑﻴﺪﻗﺔ واﺣﺪة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ 2 . ﻧﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل ﺳﺖ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﻣﻦ اﻟﻜﻴﺲ .‬
                ‫ﻣﺎهﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ﻋﻠﻰ ﺧﻤﺲ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ 1 .‬
                                                                                      ‫‪ .VII‬ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻴﺔ :‬
                                                                      ‫1. ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ 1 :‬
‫ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق 1‪ B‬ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺑﻴﻀﺎء وآﺮﺗﻴﻦ ﺳﻮداوﻳﻦ وﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق 2‪ B‬ﻋﻠﻰ ﺧﻤﺲ آﺮات‬
     ‫.‬    ‫ﺳﺤﺐ آﺮة واﺣﺪة ﻣﻦ 1‪ B‬وآﺮة ﻣﻦ 2‪B‬‬            ‫ﺑﻴﻀﺎء وآﺮة ﺳﻮداء . ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :‬
                                                  ‫1. أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل آﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ :‬
             ‫اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﺑﻴﻀﺎوان‬       ‫‪:E‬‬
            ‫اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﺳﻮداوان‬        ‫‪:F‬‬
                                 ‫اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن‬          ‫2 . ﻟﻴﻜﻦ ‪ S‬اﻟﺤﺪث :‬
                                                                  ‫71‬
                                                       ‫= ) ‪. p (S‬‬         ‫أ- ﺗﺤﻘﻖ أن :‬
                                                                  ‫03‬
     ‫ب- ﻧﻌﻴﺪ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻊ إﻋﺎدة آﻞ آﺮة إﻟﻰ اﻟﺼﻨﺪوق اﻟﺬي‬
                                        ‫ﺳﺤﺒﺖ ﻣﻨﻪ ﻗﺒﻞ اﻟﻘﻴﺎم ﺑﺎﻟﺴﺤﺒﺔ اﻟﻤﻮاﻟﻴﺔ .‬
                         ‫ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪث ‪ S‬ﺛﻼث ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ؟‬
                                                                      ‫2. ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ 2 :‬
     ‫ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ آﺮات ﺣﻤﺮاء وﺛﻼث آﺮات ﺧﻀﺮاء ) ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺑﻴﻦ ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻜﺮات‬
                                                        ‫ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ ( . ﻧﺴﺤﺐ آﺮة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق :‬
                             ‫† إذا آﺎﻧﺖ ﺣﻤﺮاء ؛ ﻧﺴﺤﺐ ﺗﺂﻧﻴﺎ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ .‬
              ‫† إذا آﺎﻧﺖ ﺧﻀﺮاء ؛ ﻧﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺪون إﺣﻼل آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ .‬
                                                                ‫1. أ- ﺣﺪد ﻋﺪد اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت .‬
                               ‫ب- أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن .‬
     ‫2. إذا ﻋﻠﻤﺖ أﻧﻪ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺧﻀﺮاوﻳﻦ ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ؛ أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن اﻟﻜﺮة اﻷوﻟﻰ‬
                                                                       ‫اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﺧﻀﺮاء .‬
                                                                   ‫3. ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ 3 :‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻣﺠﺘﻤﻌﺎ ﻣﻜﻮﻧﺎ ﻣﻦ %06 ﻣﻦ اﻟﺮﺟﺎل و %04 ﻣﻦ اﻟﻨﺴﺎء .ﻧﻌﻠﻢ أن %02 ﻣﻦ اﻟﺮﺟﺎل و %01 ﻣﻦ‬
                    ‫اﻟﻨﺴﺎء ﻳﺘﻜﻠﻤﻮن اﻟﻠﻐﺔ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ. اﺧﺘﺮﻧﺎ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﺷﺨﺼﺎ ﻣﻦ هﺬا اﻟﻤﺠﺘﻤﻊ .‬
                                                 ‫1. ﻣﺎ هﻮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن هﺬا اﻟﺸﺨﺺ :‬
                     ‫أ . رﺟﻼ وﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟‬
                  ‫ب. رﺟﻼ وﻻ ﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟‬
                    ‫ﺟـ . اﻣﺮأة وﺗﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟‬
                 ‫د . اﻣﺮأة وﻻ ﺗﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟‬
                    ‫2. ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺸﺨﺺ اﻟﻤﺨﺘﺎر ﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؛ ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﻳﻜﻮن رﺟﻼ .‬
                  ‫3. ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺸﺨﺺ اﻟﻤﺨﺘﺎر ﻻ ﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ؛ ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﻳﻜﻮن اﻣﺮأة .‬



                                                           ‫- 01 -‬

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:114
posted:10/3/2012
language:Unknown
pages:10
Description: حساب الاحتمالات - درس