Docstoc

الهندسة الفضائية - درس

Document Sample
الهندسة الفضائية  - درس Powered By Docstoc
					                              ‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ‬

                                                                          ‫‪-I‬اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬
                                                                                  ‫1- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
         ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء، و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪. v = AC‬‬
                                       ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﺿﻤﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪. C‬‬
‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء هﻮ اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‪ AB ⋅ AC‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ‪u ⋅ v‬‬

                                                                                             ‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ‬
                                             ‫ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﻤﺪد إﻟﻰ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                             ‫2- ﻧﺘﺎﺋﺞ‬
                                         ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء، و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                          ‫ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪. v = AC‬‬
                                                 ‫* إذا آﺎن 0 ≠ ‪ v‬و0 ≠ ‪ u‬ﻓﺎن ‪u ⋅ v = AB × AC × cos BAC‬‬
                                                            ‫0 = ‪u ⋅v‬‬        ‫ﻓﺎن‬     ‫* إذا آﺎن 0 = ‪ u‬أو 0 = ‪v‬‬
                                                           ‫* إذا آﺎن 0 ≠ ‪ u‬ﻓﺎن ' ‪u ⋅ v = AB ⋅ AC = AB ⋅ AC‬‬
                                                                   ‫ﺣﻴﺚ'‪ C‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ C‬ﻋﻠﻰ )‪(AB‬‬
                                                                                      ‫1‬
                                                                               ‫= ‪u ⋅v‬‬
                                                                                      ‫2‬
                                                                                                ‫(‬
                                                                                         ‫* 2 ‪AB 2 + AC 2 − BC‬‬     ‫)‬
                                                                                         ‫3- ﻣﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
                                              ‫‪u = AB‬‬       ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ و‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ‬
                                   ‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ u ⋅ u‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟـ ‪ u‬و ﻳﻜﺘﺐ 2 ‪u 2 = AB‬‬
                                ‫ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻨﻈﻢ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻧﻜﺘﺐ 2 ‪u = u‬‬                   ‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻮﺟﺐ 2 ‪u‬‬
                                                                                                    ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ و آﺘﺎﺑﺔ‬
                                                                                                          ‫2‬
                                                                                                       ‫* 2‪u = u‬‬

                                                                 ‫) (‬
                                                 ‫‪u ⋅ v = u v cos u ; v‬‬       ‫ﻓﺎن‬     ‫0 ≠ ‪ v‬و0 ≠ ‪u‬‬       ‫إذا آﺎن‬   ‫*‬
                                                                                                          ‫4- ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
       ‫‪(u + v ) = u + v + 2u ⋅v‬‬
               ‫2‬    ‫2‬     ‫2‬
                                       ‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎت هﺎﻣﺔ‬                     ‫‪∀ (u ,v ,w ) ∈V‬‬   ‫3‬
                                                                                            ‫3‬
                                                                                                      ‫∈ ‪∀α‬‬
                                                                                             ‫‪u ⋅v = v ⋅ u‬‬    ‫*‬
        ‫‪(u − v ) = u 2 + v 2 − 2u ⋅v‬‬
                ‫2‬

                                                                                ‫* ‪u ⋅ (v + w ) = u ⋅v + u ⋅w‬‬
        ‫2 ‪(u + v )(u − v ) = u 2 − v‬‬                                            ‫* ‪(v + w ) ⋅ u = v ⋅ u + w ⋅ u‬‬
                                                                           ‫* ) ‪u ⋅ αv = αu ⋅v = α × (u ⋅v‬‬
                                                                                          ‫5- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ :‬
                                                                                                          ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                                                                   ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3‪.V‬‬
                                 ‫‪u ⊥v‬‬     ‫ﻧﻜﺘﺐ‬       ‫0 = ‪u ⋅v‬‬   ‫ﺗﻜﻮن ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬
                                                 ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 0 ﻋﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ أﻳﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3‪V‬‬
                                                                                             ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                           ‫اﻟﻤﻜﻌﺐ ‪ ABCDEFGH‬اﻟﺬي ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ ‪a‬‬
                                                            ‫أﺣﺴﺐ ‪ AE.BG‬و ‪ AE.AG‬و ‪AG.EB‬‬




                                                       ‫1‬
                                                                           ‫‪ -II‬ﺻﻴــــــﻎ ﺗﺤﻠﻴﻠﻴـــــــــﺔ‬
                                                        ‫1- اﻷﺳﺎس و اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪان اﻟﻤﻤﻨﻈﻤﺎن‬
                                                                                                ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                  ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ i‬و ‪ j‬و ‪ k‬ﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋـــــﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3‪ V‬و ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء.‬
                                                                                         ‫) ‪ (i ; j ;k‬أﺳﺎ س ﻟﻠﻔﻀﺎء 3‪V‬‬
‫ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) ‪ (i ; j ;k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ‪ i‬و ‪ j‬و ‪k‬‬
                                                                                ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ.‬
      ‫ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) ‪ (i ; j ;k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ و ﻣﻤﻨﻈﻢ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﺗﻌﺎﻣﺪ وﻣﻤﻨﻈﻢ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ‬
                                              ‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ‪ i‬و ‪ j‬و ‪ k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ و 1 = ‪i = j = k‬‬
                                                                               ‫2- اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬
                                                                                                        ‫أ- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                                                                   ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ.م.م ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
                                        ‫' ‪u ⋅ v = xx '+ yy '+ zz‬‬                               ‫(‬
                                                                       ‫‪u x; y; z‬و ) '‪ v ( x'; y'; z‬ﻓﺎن‬      ‫)‬   ‫إذا آﺎﻧﺖ‬
                                             ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ.م.م ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻓﺎن‬
                                                              ‫‪u ⋅i = x‬‬ ‫‪; u⋅j =y‬‬       ‫‪; u ⋅k = z‬‬
                                            ‫ب- اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻤﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ و ﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
                         ‫*- إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ.م.م ) ‪ (o;i ; j ;k‬ﻓﺎن 2 ‪u = x 2 + y 2 + z‬‬
                           ‫*- اذا آﺎﻧﺖ ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬و ) ‪ B ( xB ; yB ; z B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ.م.م ) ‪(o;i ; j ;k‬‬

                                                      ‫= ‪AB‬‬    ‫2 ) ‪( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A‬‬     ‫ﻓﺎن‬
                                                                                                                              ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                  ‫(‬
                                               ‫و 2 − ;1− ;1− ‪C‬‬     ‫)‬       ‫‪B‬‬   ‫(‬              ‫)‬      ‫(‬
                                                                                   ‫2 ;1;1 ‪ A‬و 0;2 − ;2‬           ‫)‬         ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
                                                  ‫ﺑﻴﻦ أن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ وﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ‬
                                      ‫3- ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺗﺤﻠﻴﻠﻲ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ ‪u.MA = k‬‬
                                        ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a;b;c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                                                ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪M ( x; y; z‬‬
                                                      ‫0 = ‪u.MA = k ⇔ ........ ⇔ ax + by + cz + d‬‬
                                                                                                      ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                                                      ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a;b;c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
    ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ ‪ u.MA = k‬هﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0 = ‪ ax + by + cz + d‬ﺣﻴﺚ ‪ d‬ﻋﺪد‬
                                                                                                  ‫ﺣﻘﻴﻘﻲ‬
                                           ‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1− ;2 ( ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ و ) 2 ;1− ;1( ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                   ‫ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ 1− = ‪u.MA‬‬
                                                          ‫‪ -III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                  ‫1- ﺗﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                      ‫أ- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬
            ‫ﻟﻴﻜﻦ )1‪ (D‬و )2‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤــﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻮﺟﻬﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ 1 ‪ u‬و 2 ‪ u‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
                                                            ‫0 = 2 ‪( D1 ) ⊥ ( D 2 ) ⇔ u 1 ⋅ u‬‬
                                                                       ‫ب- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى‬
                                                                                           ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                      ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ 1 ‪ u‬و 2 ‪ u‬و )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 3 ‪u‬‬
                                     ‫3 ‪( D ) ⊥ ( P ) ⇔ u1 ⊥ u‬‬      ‫3‪ u2 ⊥ u‬و‬


                                                          ‫2‬
                                                                       ‫ج- ﻣﻼﺣﻈﺎت واﺻﻄﻼﺣﺎت‬
  ‫* اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪.( P‬‬
       ‫* اذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ ‪ u‬ﺗﻜﻮن ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
 ‫* اذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬و ‪ v‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴــﺘﻮى )'‪ (P‬وآﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن )‪ (P‬و)'‪( P‬‬
                                                                                          ‫ﻣﺘﻮازﻳﺎن‬
                                      ‫* إذا آﺎن ) ‪ ( A ; B ) ∈ ( P‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن ‪u ⊥ AB‬‬
                                                                                        ‫2‬



                                              ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ .م. ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
‫ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)0 2 ;1-(‪ A‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
                                                                                  ‫)1;1−;1(‪ u‬و )1;1;2(‪v‬‬
                                                                                                 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                        ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ .م. ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
   ‫‪ x= 2t‬‬
   ‫‪‬‬
   ‫‪ y =1+ 3 t‬‬       ‫‪t ∈ IR‬‬           ‫)‪ (P‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0=2-‪ ax-2y+z‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻪ ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬
   ‫‪ z = − 2 + bt‬‬
   ‫‪‬‬
                                                            ‫1- ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻮﺟﻬﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
                                                                   ‫2- ﺣﺪد‪ a‬و‪ b‬ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ) ‪(D )⊥(P‬‬
                                                                                   ‫د- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬
       ‫ﺗﺬآﻴﺮ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ اذا و ﻓﻘﻂ اذا اﺷﺘﻤﻞ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ.‬
                                                                                         ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
               ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬و )'‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘــﻴﻦ ﻣﻨﻈﻤﻴﺘﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
                                                        ‫) ‪ (P')⊥(P‬اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ‪u ⊥v‬‬




                                              ‫2- ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
                                                  ‫‪ .a‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
                                                                                           ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                                    ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
     ‫* اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‪ A‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻪ هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ 0 = ‪AM ⋅ u‬‬
         ‫* ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ 0 = ‪ AM ⋅ u‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‪ A‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻪ‬
                                            ‫‪ .b‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
                                                                                            ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
 ‫* آﻞ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع 0 = ‪ax + by + cz + d‬‬
‫* آﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع 0 = ‪ ax + by + cz + d‬ﺣﻴﺚ ) 0;0;0 ( ≠ ) ‪ ( a; b ; c‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ‬
                                                                ‫ﺑﺤﻴﺚ ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬        ‫اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                                     ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                            ‫0=1+‪ x+y-2z‬‬
                                       ‫‪(D): ‬‬                         ‫0=1+‪(P) : 2x-y+3z‬‬           ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
                                            ‫0=2-‪ x-y+z‬‬
                                                  ‫ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (P‬وﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﻪ.‬      ‫1-‬
                    ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( ‪ A‬و )1,2,1(‪ n‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ.‬    ‫2-‬
                         ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( '‪ A‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(D‬‬     ‫3-‬
                            ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( ‪ A‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪(P‬‬   ‫4-‬




                                                   ‫3‬
                                                                              ‫3- ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى‬
                                                                                            ‫1- ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                                                                ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ.م.م ) ‪(o;i ; j ;k‬‬
                                                       ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬هﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪AH‬‬
                                                           ‫ﺣﻴﺚ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ)‪ (P‬ﻧﻜﺘﺐ‬
                                                                                                    ‫‪AB ⋅ u‬‬
                                                                              ‫= ‪d ( A; ( P ) ) = AH‬‬
                                                                                                     ‫‪u‬‬
                                                                          ‫ﺣﻴﺚ )‪ B ∈ (P‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ)‪(P‬‬

                                                                                        ‫2- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
    ‫و ) 0 ‪ A ( x 0 ; y 0 ; z‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬        ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0 = ‪ax + by + cz + d‬‬
                                                  ‫‪ax 0 + by 0 + cz 0 + d‬‬
                               ‫= )) ‪d ( A ; ( P‬‬
                                                         ‫2 ‪a2 + b 2 + c‬‬
                                                                                              ‫ﻣﺜﺎل‬
         ‫ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻟﺘﻜﻦ )0;2;1( ‪A‬‬                ‫(‬           ‫)‬
                                                  ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎر ﻣﻦ )3;1;2 ( ‪ B‬و 2 ;1− ;1 ‪u‬‬
                                                                                  ‫)) ‪d ( A ; ( P‬‬   ‫ﺣﺪد‬
                                                                                 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ1‬
                                             ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ .‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1-;1(‪ A‬و )1-;1;3(‪ B‬و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪ 2x-3y+2z‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻤﺜﻞ‬
                                                     ‫‪ x = 3t‬‬
                                                     ‫‪‬‬
                                                     ‫∈ ‪ x = − 2 − 3t t‬‬     ‫ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﺑـ‬
                                                     ‫‪ z = 2 + 4t‬‬
                                                     ‫‪‬‬
            ‫1- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
       ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
                                                         ‫2- أﺣﺴﺐ ))‪ d(A;(P‬و ))‪d(A;(D‬‬
                ‫3- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ B‬و اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
                                                                                     ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ2‬
                                              ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ.‬
                   ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى)‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5-‪ 3x+2y-z‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻌﺮف ﺑـ‬
                                                                      ‫0 = 3 − ‪x − 2 y + z‬‬
                                                                      ‫‪‬‬
                                                                      ‫0=2+‪ x− y−z‬‬
                                                  ‫1- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
                   ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (P‬اﻟﺬي ﻳﺘﻀﻤﻦ )‪ (D‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(P‬‬

                                                                                          ‫‪ -IV‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ‬
                                                  ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
                                                           ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺮآﺰهﺎ وﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬             ‫1-‬
                                                              ‫+*‬
                                ‫∈ ‪ r‬و)‪ S(Ω;r‬اﻟﻔﻠﻜﺔ‬     ‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ Ω(a;b;c‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء )‪ (E‬و‬
                                                                       ‫اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬
                                                               ‫ﻟﻴﻜﻦ)‪ M(x;y;z‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء )‪(E‬‬
                                 ‫)‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2 ⇔ ΩM=r ⇔ M ∈ S(Ω;r‬‬




                                                   ‫4‬
                                                                                             ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                                   ‫(‬          ‫)‬
                                              ‫اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪. o;i ; j ;k‬‬
                                ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬
                                                                ‫2‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r‬‬      ‫هﻲ‬
                                                                               ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت و اﺻﻄﻼﺣﺎت‬
              ‫* إذا آﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬ﺣﻴﺚ ‪ Ω‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [A;B‬ﻓﺎن ]‪ [A;B‬ﻗﻄﺮا ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ‬
                ‫* ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻠﻜﺔ وﺣﻴﺪة أﺣﺪ أﻗﻄﺎرهﺎ ]‪ [A;B‬ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [A;B‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r =½ AB‬‬
        ‫* ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ 0=‪ x²+y²+z² +αx+βy+γz+δ‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬و‪δ‬‬
                                                                                    ‫أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ.‬
                                       ‫* اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(O; r‬ﺣﻴﺚ ‪ O‬أﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ ²‪x²+y²+z²=r‬‬
                                    ‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ S(Ω;r‬ﻓﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬         ‫* اﻟﻜﺮة‬
               ‫اﻟﻜﺮة )‪ B(Ω;r‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪M(x;y;z‬‬
                                                                 ‫ﺣﻴﺚ 2‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2≤r‬‬
                                                              ‫2- ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺄﺣﺪ أﻗﻄﺎرهﺎ‬
                                                                        ‫‪ S‬ﻓﻠﻜﺔ أﺣﺪ اﻗﻄﺎرهﺎ ]‪[A;B‬‬
                               ‫‪ [AMB] ⇔ M ∈ S‬زاوﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ أو ‪ M=A‬أو ‪AM ⋅ BM = 0 ⇔ M=B‬‬
                                                                                           ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                                               ‫‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
      ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ 0 = ‪ AM ⋅ BM‬هﻲ ﻓﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ أﺣﺪ اﻗﻄﺎرهﺎ ]‪[A;B‬‬
                                                                                             ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
    ‫اذا آﺎﻧﺖ )‪ A(xA;yA;zA‬و )‪ B(xB;yB;zB‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻓﺎن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ أﺣﺪ اﻗﻄﺎرهﺎ ]‪[A;B‬‬
                                            ‫0=)‪(x -xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)+(z-zA)(z-zB‬‬          ‫هﻲ‬
                                                                                               ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                          ‫(‬
‫‪ ، O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ )1-;2;1(‪ Ω‬و )2;1;2(‪ A‬و )2;1;4(‪B‬‬   ‫اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬   ‫ﻓﻲ‬
                             ‫1- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪A‬‬
                                   ‫2- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ´‪ S‬اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ]‪[A;B‬‬
                                  ‫3- دراﺳﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪(1): x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d‬‬
                                  ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )1(‬
                                           ‫‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=a²+b²+c²-d‬‬              ‫‪⇔ M ∈E‬‬
                                                                          ‫ﻟﺘﻜﻦ )‪Ω(a;b;c‬‬
                                                   ‫*- إذا آﺎن 0< ‪ a²+b²+c²-d‬ﻓﺎن‪E =Ø‬‬
               ‫*- اذا آﺎن 0= ‪ a²+b²+c²-d‬ﻓﺎن }‪ . E={Ω‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ﻣﻨﻌﺪم‬
                ‫²‪a²+b²+c²-d = r‬‬      ‫*- اذا آﺎن 0> ‪ a²+b²+c²-d‬ﻓﺎن )‪ E=S(Ω;r‬ﺣﻴﺚ‬
                                                                                            ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                                                  ‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬
       ‫ﺗﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪ x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d‬ﻓﻠﻜﺔ‬
                                                          ‫إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن 0≥ ‪a²+b²+c²-d‬‬
          ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5+‪x²+y²+z²+4x-2y -6z‬‬
                                                    ‫ﺑﻴﻦ إن ‪ E‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
      ‫ﺣﻴﺚ )1-;0;2(‪ A‬و )1-;1;1-(‪B‬‬      ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ 61=²‪2MA²+3MB‬‬
                                                                      ‫‪ – II‬ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮى و ﻓﻠﻜﺔ‬
                                                   ‫ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬               ‫1-‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‪ E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
                                                                          ‫ﻧﻀﻊ ‪d ( Ω; ( P ) ) = HΩ = d‬‬
              ‫‪d≺r‬‬                                       ‫‪d=r‬‬                            ‫‪d‬‬   ‫‪r‬‬




                                                        ‫5‬
                                                                                       ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬و ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى)‪(P‬‬
                                                                       ‫ﻳﻜﻮن ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و ‪: S‬‬
                                              ‫* داﺋﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ H‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ) ) ‪ r 2 − d 2 ( Ω; ( P‬اذا آﺎن ‪d(Ω;(P))< r‬‬
                  ‫* ﻧﻘﻄﺔ اذا آﺎن ‪ d(Ω;(P))= r‬ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻧﻘﻮل )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪H‬‬
                                                          ‫* اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ اذا آﺎن ‪d(Ω;(P))>r‬‬
                                                    ‫2- ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻤﺎس ﻟﻔﻠﻜﺔ ﻓﻲ أﺣﺪ ﻧﻘﻄﻬﺎ‬
                                                                                       ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                                                             ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪S(Ω;r‬‬
         ‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬اذا آﺎن )‪ (P‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪ (ΩA‬ﻓﻲ ‪A‬‬
                                                                                       ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                                                                 ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪S(Ω;r‬‬
                ‫) ‪∀M∈(P‬‬         ‫0 = ‪ΩA ⋅ AM‬‬           ‫⇔‬        ‫)‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻋﻠﻰ )‪ S(Ω;r‬ﻓﻲ ‪A‬‬
                                          ‫(‬
          ‫‪ ، O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ1‪ S‬اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ‬   ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬               ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
           ‫0=3-‪ x²+y²+z²-4x+2y-2z‬و 2‪ S‬اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ 2‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ 2 , و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي‬
                           ‫و )´‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0=1-‪. 2x-y-2z‬‬       ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0=1+‪x-2y+z‬‬
                                     ‫1- ﺗﺄآﺪ أن )‪ (P‬و 1‪ S‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة.‬
                                                                       ‫2- أدرس ﺗﻘﺎﻃﻊ )´‪ (P‬و 2‪. S‬‬
                                 ‫3- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ 1‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ )3 ;1;1(‪A‬‬
                                                                     ‫3-- ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻓﻠﻜﺔ‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‪ E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻠﻜﺔ)‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ (‬
                                                                                         ‫ﻧﻀﻊ ‪d ( Ω; ( ∆ ) ) = HΩ = d‬‬

           ‫‪d≺r‬‬                                           ‫‪d‬‬   ‫‪r‬‬                                    ‫‪d‬‬     ‫‪r‬‬




‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﻳﺨﺘﺮق اﻟﻔﻠﻜﺔ‪S‬‬                   ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻔﻠﻜﺔ‪S‬‬              ‫ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻔﻠﻜﺔ‪S‬‬
     ‫ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‬                          ‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‪H‬‬                 ‫هﻮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ‬
                                                                                                    ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                     ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ 0=4+‪S : x²+y²+z²-2y +4z‬‬
                ‫‪‬‬     ‫1−‬
                ‫‪ x = 2 + 2t‬‬
                ‫‪‬‬                                  ‫‪ x = 3t‬‬                              ‫‪ x = 1 + 2t‬‬
      ‫‪( D 3 ) :  y = + 3t‬‬                         ‫‪‬‬
                                                                                ‫‪( D1 ) :  y = 1 + t‬‬
                       ‫1‬
                ‫‪‬‬                 ‫∈‪t‬‬      ‫2 = ‪( D2 ) :  y‬‬            ‫∈‪t‬‬                 ‫‪‬‬                  ‫∈‪t‬‬
                ‫‪‬‬      ‫3‬                           ‫‪ z = −2 + t‬‬                          ‫‪ z = −3 + t‬‬
                ‫2− = ‪ z‬‬                           ‫‪‬‬                                     ‫‪‬‬
                ‫‪‬‬
                ‫‪‬‬
                                                                 ‫ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ S‬ﻣﻊ آﻞ ﻣﻦ )1‪ (D‬و )2‪ (D‬و )3‪(D‬‬




                                                         ‫6‬
                                         ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬
                                                                                                 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ1‬
                                            ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
             ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;0;1(‪ A‬و )1;0;0(‪ B‬و )1;1-;0(‪ C‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ C‬واﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ )1;2;1−(‪u‬‬
                   ‫1- ﺑﻴﻦ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ ‪ MA=MB=MC‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻪ‬
                                     ‫2- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪ (D‬ﻓﻲ ‪C‬‬
                        ‫3- اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬اﻟﻤﺎرة ﻣﻦ ‪A‬و ‪ B‬و اﻟﻤﻤﺎﺳﺔ ﻟـ )‪ (D‬ﻓﻲ ‪C‬‬
                                                                                           ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ2‬
                                           ‫(‬
‫‪ O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ )5-;3;0(‪ A‬و )3-;7;0(‪ B‬و )3-;5;1(‪C‬‬   ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬
                                                      ‫1- أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(ABC‬‬
                    ‫2- أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬ﺣﻴﺚ )1;2;1−(‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
                                           ‫3- ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺤﺪد ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪x+y+z‬‬
                                           ‫أ- ﺗﺄآﺪ أن )‪(P‬و )‪ (ABC‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﻨﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
                                                              ‫ب- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟـ )‪(D‬‬
                                 ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬اﻟﺘﻲ اﻟﻤﺤﺪدة ﺑـ 0=9+ ‪ x 2 + z 2 +10z‬‬        ‫4-‬
                                 ‫‪‬‬           ‫0= ‪y‬‬
                                 ‫‪‬‬
                     ‫أ- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻔﻜﺔ ‪ S‬اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻀﻤﻦ اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬و ﻳﻨﺘﻤﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ إﻟﻰ )‪(ABC‬‬
                                                                      ‫ب ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ S‬و )‪(AC‬‬
                                                                                       ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ3‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1-;1(‪ A‬و )1-;1;3(‪ B‬و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ذا‬
           ‫‪ x = 3t‬‬
           ‫‪‬‬
           ‫∈ ‪ x = −2 − 3t t‬‬               ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪ (D) 2x-3y+2z‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﺑـ‬
           ‫‪ z = 2 + 4t‬‬
           ‫‪‬‬
             ‫1- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
            ‫2- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
                                                            ‫3- أﺣﺴﺐ ))‪ d(A;(P‬و ))‪d(A;(D‬‬
                    ‫4- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ B‬و اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
                                                                                    ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ4‬
       ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5-‪3x+2y-z‬‬
                                                    ‫0 = 3 − ‪x − 2 y + z‬‬
                                                    ‫‪‬‬                       ‫و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻌﺮف ﺑـ‬
                                                    ‫0=2+‪ x− y−z‬‬
                                                    ‫1- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
               ‫2- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (P‬اﻟﺬي ﻳﺘﻀﻤﻦ )‪ (D‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪.(P‬‬
                                                                                      ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ5‬
      ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=1+‪x+y+z‬‬
                                                  ‫و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5-‪2x-2y‬‬
                      ‫و )‪ (S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ0=11+‪x²+y²+z²-2x+4y+6z‬‬
                                              ‫1- ﺑﻴﻦ أن )‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻣﺮآﺰهﺎ و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬
                                             ‫2- ﺗﺄآﺪ أن )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ و ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ‬
              ‫3- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ )2;1;0(‪ A‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(P‬‬
                 ‫4- ﺗﺤﻘﻖ أن ) ‪ ( P ) ⊥ ( Q‬و أﻋﻂ ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )´‪(D‬ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و)‪(Q‬‬
                                                                                   ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ6‬
                          ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )4;3;2-(‪A‬‬
                ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=51+‪ (S) x+2y-2z‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻴﺘﺤﻘﻖ‬
     ‫0 = 8 − ‪ x2 + y 2 − 2 x‬‬
     ‫‪‬‬                                 ‫0=62-‪ x²+y²+z²-2x+6y+10z‬و )‪ (C‬اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ‬
     ‫0= ‪z‬‬
                                                         ‫ﺑﻴﻦ أن )‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬       ‫1-‬
                                        ‫ﺑﻴﻦ أن )‪ (P‬و )‪ (S‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة آﺒﺮى )'‪ (C‬و ﺣﺪدهﺎ‬        ‫2-‬
                                ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻦ اﻟﻤﻤﺎﺳﻴﻦ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ (S‬و اﻟﻤﻮازﻳﻴﻦ ﻟـ )‪(P‬‬          ‫3-‬
                                       ‫أآﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻔﻠﻜﺔ )'‪ (S‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬اﻟﻤﺘﻀﻤﻦ ﻟﻠﺪاﺋﺮة )‪(C‬‬        ‫4-‬


                                               ‫7‬
                                                 ‫اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬
                                                                                                           ‫‪І‬־ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                                 ‫1- ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                           ‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬   ‫ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬
                                                  ‫‪OK = k‬‬        ‫‪OJ = j‬‬         ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و‪ Ј‬و‪ K‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪OI = i‬‬
   ‫‪ O ; i ; j ; k‬هﻮ رﺟﻞ ﺧﻴﺎﻟﻲ رأﺳﻪ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ K‬ﻗﺪﻣﺎﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬و ﻳﻨﻈﺮ‬          ‫(‬                ‫رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ )‬               ‫»‬
                                                                                                                                      ‫إﻟﻰ ‪I‬‬
                                             ‫,اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ J‬إﻣﺎ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ» رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « أو ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎرﻩ .‬




             ‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬   ‫ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬                     ‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬       ‫ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬
                                                                                                                       ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬
      ‫‪OK = k‬‬        ‫‪OJ = j‬‬        ‫. ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و‪ Ј‬و‪ K‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪OI = i‬‬‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬                        ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬

                           ‫ﻧﻘﻮل إن : * ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ إذا وﺟﺪت ‪ J‬ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر » رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ «‬

                       ‫* ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ إذا وﺟﺪت ‪ J‬ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ » رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ «‬

                                                             ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬    ‫*‬                                   ‫أﻣﺜﻠﺔ‬
                                     ‫‪ (O ; i ; j ; − k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬   ‫)‬        ‫‪ (O ; j ; i ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬                 ‫)‬
                                                                                      ‫‪ (O ; j ; k ; i‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬           ‫)‬
                                                                       ‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ 1‬       ‫**‬
                                              ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﺒﺎﺷﺮان‬           ‫(‬‫‪A; AB; AD ; AE‬‬         ‫)‬
                                                                                       ‫‪; B; BC ; BA; BF‬‬     ‫(‬                 ‫)‬
                                      ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮﻳﻦ‬          ‫) ‪( A ; AD ; AB ; AE‬‬                 ‫,‬   ‫) ‪( E ; EA ; EF ; EH‬‬
                                                                                          ‫2- اﻷﺳﺮة اﻟﻤﺒﺎﺷﺮة‬
                                                        ‫ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء 3‪ , V‬اذا وﺟﻬﻨﺎ ﺟﻤﻴﻊ أﺳﺎﺳﺎﺗﻪ‬
                                                                                                      ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬م.م.م .ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪O‬‬      ‫ﻧﻘﻮل إن اﻷﺳﺎس اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ‪ ( i ; j ; k‬ﻣﺒﺎﺷﺮ ادا آﺎن‬
                                                                                      ‫ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                    ‫3- ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ k‬ﻣﺘﺠﻬﺔ واﺣﺪﻳﺔ و ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ )‪ , (P‬و ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
                                                          ‫‪ O ; i ; j‬م.م.م ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬                                 ‫(‬           ‫)‬
                                                       ‫‪ O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪E‬‬    ‫(‬              ‫)‬           ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬


                                                            ‫8‬
                                                            ‫(‬
 ‫‪ O ; i ; j‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮا اذا آﺎن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ‬    ‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ )‬
                                                                      ‫اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﺒﺎﺷﺮا‬
                                            ‫* ﻳﺘﻢ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻣﺴﺘﻮ ى )‪ (P‬ﺑﺘﻮﺟﻴﻪ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ.‬
                                       ‫آﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﻤﻮازﻳﺔ ﻟـ)‪ (P‬ﻟﻪ ﻧﻔﺲ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬   ‫*‬
                                                                               ‫‪ – II‬اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬
                                                                                          ‫1- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
      ‫‪u = OA‬‬     ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3‪ V‬و‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬ﺑﺤﻴﺚ ‪v = OB‬‬
‫اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻓﻲ هﺪا اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ,هﻮ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪ u ∧ v‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬
                                                                                                 ‫:‬
                                    ‫ﻓﺎن ‪. u ∧ v = o‬‬      ‫* إذا آﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬
            ‫‪ u ∧ v‬هﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ :‬       ‫* إذا آﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن‬
                                   ‫‪ u ∧ v‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ ‪ u‬و ‪v‬‬          ‫-‬
                                         ‫- ) ‪ ( u ; v ; u ∧ v‬أﺳﺎس ﻣﺒﺎﺷﺮ .‬
               ‫‪ AOB ‬‬     ‫ﺣﻴﺚ ‪ θ‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ‬       ‫‪u ∧v = u‬‬      ‫- ‪v sin θ‬‬
               ‫‪‬‬     ‫‪‬‬
                                                  ‫‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬   ‫)‬   ‫أﻣﺜﻠﺔ * ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
                                                 ‫0= ‪i ∧i = j ∧ j = k ∧k‬‬
                                                 ‫‪i ∧ j =k‬‬        ‫‪j ∧k =i‬‬      ‫‪k ∧i = j‬‬
                                                  ‫‪j ∧ i = −k‬‬     ‫‪k ∧ j = −i‬‬     ‫‪i ∧k =−j‬‬
                  ‫* إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ واﺣﺪﻳﺘﻴﻦ و ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﻴﻦ ﻓﺎن ) ‪ ( u ; v ; u ∧ v‬أﺳﺎس ﻣﺒﺎﺷﺮ .‬
      ‫5= ‪u‬‬       ‫2= ‪v‬‬       ‫5− = ‪u ⋅ v‬‬     ‫‪(u; v ) = θ‬‬     ‫ﻧﺤﺴﺐ ‪ u ∧ v‬ﻋﻠﻤﺎ أن [ ‪θ ∈ ]0;π‬‬               ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                                ‫2- ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
                                                                                ‫أ- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﺎن اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ AB ∧ AC‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪.(ABC‬‬

   ‫‪ H , CAB ‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪C‬‬        ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ θ‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ‬
                           ‫‪‬‬    ‫‪‬‬
                                                                                                   ‫ﻋﻠﻰ )‪(AB‬‬




                                                            ‫‪AB ∧ AC = AB. AC.sin θ‬‬         ‫‪HC = AC sin θ‬‬

                                                            ‫‪AB ∧ AC = AB × HC‬‬
                                                                                                   ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                                                            ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬هﻮ ﻧﺼﻒ ‪AB ∧ AC‬‬
                                                                                          ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬
                                                         ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ‪ ABDC‬هﻲ ‪AB ∧ AC‬‬
                                                                                         ‫د- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                                                               ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                              ‫ﻳﻜﻮن ‪ u ∧ v‬ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ أداو ﻓﻘﻂ آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬
                                                                ‫اﻟﺒﺮهﺎن * ⇒ )ﺑﺪﻳﻬﻲ – اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ-(‬
                                                                                  ‫*⇐‬




                                                     ‫9‬
                  ‫‪u ∧v =0⇔ u ∧v‬‬
                               ‫0 = ‪⇒ u v sin θ‬‬
                               ‫0= ‪⇔ u‬‬               ‫∨‬          ‫0= ‪v‬‬        ‫∨‬        ‫0 = ‪sin θ‬‬
                               ‫0 = ‪⇔u‬‬           ‫∨‬         ‫0= ‪v‬‬        ‫∨‬        ‫‪uetv‬‬          ‫‪sont liés‬‬
                                                               ‫‪ A‬و‪ B‬و ‪ C‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ⇔ 0 = ‪AB ∧ AC‬‬     ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                                                                          ‫ج- اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ واﻟﻌﻤﻠﻴﺎت)ﻧﻘﺒﻞ(‬
              ‫33‪∀ ( u ; v ; w ) ∈ V‬‬           ‫∈ ‪∀α‬‬                    ‫‪(u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w‬‬
                                                                       ‫) ‪(α u ) ∧ v = α ( u ∧ v‬‬
                                                                        ‫) ‪u ∧ v = − (v ∧ u‬‬
                                                                        ‫0 = 0∧ ‪u ∧u = 0∧u = u‬‬
                                                                                                                       ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                          ‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ .‬

       ‫) ‪( 2i − j ) ∧ ( 3i + 4 j‬‬          ‫‪( i + j − 2k ) ∧ k‬‬                 ‫‪( i + 2k ) ∧ j‬‬              ‫‪i ∧3j‬‬        ‫أﺣﺴﺐ‬
                                                                                                                      ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                               ‫‪a∧c =b ∧d‬‬              ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪; a ∧ b = c ∧ d‬‬
                                                         ‫ﺑﻴﻦ إن ‪ a − d‬و ‪ b − c‬ﻣﺴﻨﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬
                                                  ‫3- اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻓﻲ م.م.م ﻣﺒﺎﺷﺮ.‬
                                                                  ‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬
                                              ‫) ‪u ( x; y; z‬‬             ‫)' ‪v ( x '; y '; z‬‬

                                                           ‫(‬                   ‫( )‬
                                              ‫‪u ∧ v = xi + yj + zk ∧ x ' i + y ' j + z ' k‬‬                ‫)‬
                                                        ‫‪= ( yz '− zy ') i + ( zx '− xz ') j + ( xy '− yx ') k‬‬
                                                                                                    ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬و ) ‪ u ( x; y; z‬و )' ‪ v ( x(; y '; z‬ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن‬
                                                                                                                             ‫ﻣﻦ3‪V‬‬
                      ‫إﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ‪ u ∧ v‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺳﺎس ) ‪ ( i ; j ; k‬هﻮ )‪ (X;Y;Z‬ﺣﻴﺚ‬

                                   ‫' ‪X = yz '− zy‬‬                       ‫' ‪Y = zx '− xz‬‬                     ‫' ‪Z = xy '− yx‬‬

                                                                        ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻳﻤﻜﻦ اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬




                    ‫)1;2 ;1( ‪C‬‬        ‫) 2 ;3− ;0 ( ‪B‬‬       ‫)1;2 ;1( ‪A‬‬        ‫) 0;2 ;1( ‪u‬‬        ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1− ;2− ( ‪v‬‬    ‫ﻣﺜﺎل‬
                                         ‫أﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ )‪(ABC‬‬                                    ‫ﺣﺪد ‪u ∧ v‬‬
                                                                                               ‫‪ – III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬


                                                               ‫01‬
                                         ‫1- ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺮف ﺑﺜﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬
                                                                                 ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
            ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬
                                         ‫‪M ∈ ( ABC ) ⇔ AB ∧ AC ⋅ AM‬‬       ‫(‬             ‫)‬
                      ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(ABC‬‬                 ‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ )3;2;1(‪ A‬و )1;1-;1(‪ B‬و )2;1;2(‪C‬‬
                                                                                           ‫2- ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬
                                                ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬
                                                                               ‫0=‪(P) : ax+by+cz+d‬‬
                                                                             ‫0=´‪(P´) : a´x+b´y+c´z+d‬‬
                                     ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ n ( a; b; c‬ﻣﻨﻈﻤﻤﻴﺔ ﻟـ )‪ (P‬و )' ‪ n ' ( a '; b '; c‬ﻣﻨﻈﻤﻤﻴﺔ ﻟـ )´‪(P‬‬
                   ‫* اذا آﺎن )‪ (P‬و)´‪ (P‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻓﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و)´‪ (P‬ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ' ‪n ∧ n‬‬
                           ‫* اذا آﺎن 0 ≠ ' ‪ n ∧ n‬ﻓﺎن )‪ (P‬و)´‪ (P‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ' ‪n ∧ n‬‬
                                                                                             ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                       ‫ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ 0=3+‪ (P): x+2y-2z‬و 0=5-‪(P´): 4x-4y+2z‬‬

                                                              ‫3- ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ ‪A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ M , u‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و‪ H‬ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ)‪(D‬‬
                                                          ‫(‬
                                ‫‪AM ∧ u = AH + HM ∧ u = HM ∧ u‬‬         ‫)‬ ‫‪AHetu‬‬    ‫‪liés‬‬
                                                                                        ‫‪π‬‬
                                          ‫‪AM ∧ u = HM ∧ u = HM . u sin‬‬                      ‫‪= HM . u‬‬
                                                                                        ‫2‬
                                                    ‫‪AM ∧ u‬‬
                                         ‫= ‪HM‬‬
                                                          ‫‪u‬‬
                                                                                           ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                                     ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ ‪A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ M , u‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء.‬
                            ‫‪AM ∧ u‬‬
         ‫= )) ‪d ( M ; ( D‬‬             ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬هﻲ‬
                              ‫‪u‬‬
                                                                                                           ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                           ‫‪ x = 2−t‬‬
                                                                           ‫‪‬‬
                                     ‫? = ) ) ‪d ( A; ( D‬‬            ‫‪( D ) :  y = 2t‬‬         ‫∈‪t‬‬         ‫)1-;2;3(‪A‬‬
                                                                           ‫‪ z = 1+ t‬‬
                                                                           ‫‪‬‬

                                                                                      ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
  ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;2;1(‪A‬و )3;1;2-(‪ B‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي‬
                                                              ‫0 = 3 − ‪ x − 2y + z‬‬
                                                              ‫‪‬‬                       ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬
                                                              ‫0 = 1 − ‪2 x + 3 y − z‬‬
                                         ‫1- ﺣﺪد ‪ OA ∧ OB‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(OAB‬‬
                                                                               ‫2- ﺣﺪد ))‪d(A;(D‬‬
                            ‫3- أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪(S‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ A‬و ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬




                                                              ‫11‬

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:195
posted:10/3/2012
language:Unknown
pages:11
Description: الهندسة الفضائية - درس