# الهندسة الفضائية - درس by taalim.nfo

VIEWS: 195 PAGES: 11

• pg 1
```									                              ‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ‬

‫‪-I‬اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬
‫1- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء، و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪. v = AC‬‬
‫ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﺿﻤﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪. C‬‬
‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء هﻮ اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‪ AB ⋅ AC‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ‪u ⋅ v‬‬

‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ‬
‫ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﻤﺪد إﻟﻰ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫2- ﻧﺘﺎﺋﺞ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء، و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪. v = AC‬‬
‫* إذا آﺎن 0 ≠ ‪ v‬و0 ≠ ‪ u‬ﻓﺎن ‪u ⋅ v = AB × AC × cos BAC‬‬
‫0 = ‪u ⋅v‬‬        ‫ﻓﺎن‬     ‫* إذا آﺎن 0 = ‪ u‬أو 0 = ‪v‬‬
‫* إذا آﺎن 0 ≠ ‪ u‬ﻓﺎن ' ‪u ⋅ v = AB ⋅ AC = AB ⋅ AC‬‬
‫ﺣﻴﺚ'‪ C‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ C‬ﻋﻠﻰ )‪(AB‬‬
‫1‬
‫= ‪u ⋅v‬‬
‫2‬
‫(‬
‫* 2 ‪AB 2 + AC 2 − BC‬‬     ‫)‬
‫3- ﻣﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫‪u = AB‬‬       ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ و‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ‬
‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ u ⋅ u‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟـ ‪ u‬و ﻳﻜﺘﺐ 2 ‪u 2 = AB‬‬
‫ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻨﻈﻢ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻧﻜﺘﺐ 2 ‪u = u‬‬                   ‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻮﺟﺐ 2 ‪u‬‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ و آﺘﺎﺑﺔ‬
‫2‬
‫* 2‪u = u‬‬

‫) (‬
‫‪u ⋅ v = u v cos u ; v‬‬       ‫ﻓﺎن‬     ‫0 ≠ ‪ v‬و0 ≠ ‪u‬‬       ‫إذا آﺎن‬   ‫*‬
‫4- ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
‫‪(u + v ) = u + v + 2u ⋅v‬‬
‫2‬    ‫2‬     ‫2‬
‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎت هﺎﻣﺔ‬                     ‫‪∀ (u ,v ,w ) ∈V‬‬   ‫3‬
‫3‬
‫∈ ‪∀α‬‬
‫‪u ⋅v = v ⋅ u‬‬    ‫*‬
‫‪(u − v ) = u 2 + v 2 − 2u ⋅v‬‬
‫2‬

‫* ‪u ⋅ (v + w ) = u ⋅v + u ⋅w‬‬
‫2 ‪(u + v )(u − v ) = u 2 − v‬‬                                            ‫* ‪(v + w ) ⋅ u = v ⋅ u + w ⋅ u‬‬
‫* ) ‪u ⋅ αv = αu ⋅v = α × (u ⋅v‬‬
‫5- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ :‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3‪.V‬‬
‫‪u ⊥v‬‬     ‫ﻧﻜﺘﺐ‬       ‫0 = ‪u ⋅v‬‬   ‫ﺗﻜﻮن ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 0 ﻋﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ أﻳﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3‪V‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫اﻟﻤﻜﻌﺐ ‪ ABCDEFGH‬اﻟﺬي ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ ‪a‬‬
‫أﺣﺴﺐ ‪ AE.BG‬و ‪ AE.AG‬و ‪AG.EB‬‬

‫1‬
‫‪ -II‬ﺻﻴــــــﻎ ﺗﺤﻠﻴﻠﻴـــــــــﺔ‬
‫1- اﻷﺳﺎس و اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪان اﻟﻤﻤﻨﻈﻤﺎن‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ i‬و ‪ j‬و ‪ k‬ﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋـــــﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3‪ V‬و ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء.‬
‫) ‪ (i ; j ;k‬أﺳﺎ س ﻟﻠﻔﻀﺎء 3‪V‬‬
‫ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) ‪ (i ; j ;k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ‪ i‬و ‪ j‬و ‪k‬‬
‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ.‬
‫ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) ‪ (i ; j ;k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ و ﻣﻤﻨﻈﻢ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﺗﻌﺎﻣﺪ وﻣﻤﻨﻈﻢ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ‬
‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ‪ i‬و ‪ j‬و ‪ k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ و 1 = ‪i = j = k‬‬
‫2- اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬
‫أ- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ.م.م ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
‫' ‪u ⋅ v = xx '+ yy '+ zz‬‬                               ‫(‬
‫‪u x; y; z‬و ) '‪ v ( x'; y'; z‬ﻓﺎن‬      ‫)‬   ‫إذا آﺎﻧﺖ‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ.م.م ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻓﺎن‬
‫‪u ⋅i = x‬‬ ‫‪; u⋅j =y‬‬       ‫‪; u ⋅k = z‬‬
‫ب- اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻤﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ و ﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬
‫*- إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ.م.م ) ‪ (o;i ; j ;k‬ﻓﺎن 2 ‪u = x 2 + y 2 + z‬‬
‫*- اذا آﺎﻧﺖ ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬و ) ‪ B ( xB ; yB ; z B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ.م.م ) ‪(o;i ; j ;k‬‬

‫= ‪AB‬‬    ‫2 ) ‪( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A‬‬     ‫ﻓﺎن‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫(‬
‫و 2 − ;1− ;1− ‪C‬‬     ‫)‬       ‫‪B‬‬   ‫(‬              ‫)‬      ‫(‬
‫2 ;1;1 ‪ A‬و 0;2 − ;2‬           ‫)‬         ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫ﺑﻴﻦ أن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ وﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ‬
‫3- ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺗﺤﻠﻴﻠﻲ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ ‪u.MA = k‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a;b;c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪M ( x; y; z‬‬
‫0 = ‪u.MA = k ⇔ ........ ⇔ ax + by + cz + d‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a;b;c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ ‪ u.MA = k‬هﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0 = ‪ ax + by + cz + d‬ﺣﻴﺚ ‪ d‬ﻋﺪد‬
‫ﺣﻘﻴﻘﻲ‬
‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1− ;2 ( ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ و ) 2 ;1− ;1( ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ 1− = ‪u.MA‬‬
‫‪ -III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫1- ﺗﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫أ- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )1‪ (D‬و )2‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤــﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻮﺟﻬﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ 1 ‪ u‬و 2 ‪ u‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
‫0 = 2 ‪( D1 ) ⊥ ( D 2 ) ⇔ u 1 ⋅ u‬‬
‫ب- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ 1 ‪ u‬و 2 ‪ u‬و )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 3 ‪u‬‬
‫3 ‪( D ) ⊥ ( P ) ⇔ u1 ⊥ u‬‬      ‫3‪ u2 ⊥ u‬و‬

‫2‬
‫ج- ﻣﻼﺣﻈﺎت واﺻﻄﻼﺣﺎت‬
‫* اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪.( P‬‬
‫* اذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ ‪ u‬ﺗﻜﻮن ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫* اذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬و ‪ v‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴــﺘﻮى )'‪ (P‬وآﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن )‪ (P‬و)'‪( P‬‬
‫ﻣﺘﻮازﻳﺎن‬
‫* إذا آﺎن ) ‪ ( A ; B ) ∈ ( P‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن ‪u ⊥ AB‬‬
‫2‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ .م. ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
‫ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)0 2 ;1-(‪ A‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫)1;1−;1(‪ u‬و )1;1;2(‪v‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ .م. ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪ x= 2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y =1+ 3 t‬‬       ‫‪t ∈ IR‬‬           ‫)‪ (P‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0=2-‪ ax-2y+z‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻪ ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬
‫‪ z = − 2 + bt‬‬
‫‪‬‬
‫1- ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻮﺟﻬﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫2- ﺣﺪد‪ a‬و‪ b‬ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ) ‪(D )⊥(P‬‬
‫د- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬
‫ﺗﺬآﻴﺮ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ اذا و ﻓﻘﻂ اذا اﺷﺘﻤﻞ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ.‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬و )'‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘــﻴﻦ ﻣﻨﻈﻤﻴﺘﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
‫) ‪ (P')⊥(P‬اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ‪u ⊥v‬‬

‫2- ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
‫‪ .a‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫* اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‪ A‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻪ هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ 0 = ‪AM ⋅ u‬‬
‫* ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ 0 = ‪ AM ⋅ u‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‪ A‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻪ‬
‫‪ .b‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫* آﻞ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع 0 = ‪ax + by + cz + d‬‬
‫* آﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع 0 = ‪ ax + by + cz + d‬ﺣﻴﺚ ) 0;0;0 ( ≠ ) ‪ ( a; b ; c‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ‬
‫ﺑﺤﻴﺚ ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬        ‫اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫0=1+‪ x+y-2z‬‬
‫‪(D): ‬‬                         ‫0=1+‪(P) : 2x-y+3z‬‬           ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫0=2-‪ x-y+z‬‬
‫ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (P‬وﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﻪ.‬      ‫1-‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( ‪ A‬و )1,2,1(‪ n‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ.‬    ‫2-‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( '‪ A‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(D‬‬     ‫3-‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( ‪ A‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪(P‬‬   ‫4-‬

‫3‬
‫3- ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى‬
‫1- ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ.م.م ) ‪(o;i ; j ;k‬‬
‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬هﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪AH‬‬
‫ﺣﻴﺚ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ)‪ (P‬ﻧﻜﺘﺐ‬
‫‪AB ⋅ u‬‬
‫= ‪d ( A; ( P ) ) = AH‬‬
‫‪u‬‬
‫ﺣﻴﺚ )‪ B ∈ (P‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ)‪(P‬‬

‫2- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫و ) 0 ‪ A ( x 0 ; y 0 ; z‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬        ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0 = ‪ax + by + cz + d‬‬
‫‪ax 0 + by 0 + cz 0 + d‬‬
‫= )) ‪d ( A ; ( P‬‬
‫2 ‪a2 + b 2 + c‬‬
‫ﻣﺜﺎل‬
‫ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻟﺘﻜﻦ )0;2;1( ‪A‬‬                ‫(‬           ‫)‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎر ﻣﻦ )3;1;2 ( ‪ B‬و 2 ;1− ;1 ‪u‬‬
‫)) ‪d ( A ; ( P‬‬   ‫ﺣﺪد‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ1‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ .‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1-;1(‪ A‬و )1-;1;3(‪ B‬و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪ 2x-3y+2z‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻤﺜﻞ‬
‫‪ x = 3t‬‬
‫‪‬‬
‫∈ ‪ x = − 2 − 3t t‬‬     ‫ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﺑـ‬
‫‪ z = 2 + 4t‬‬
‫‪‬‬
‫1- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫2- أﺣﺴﺐ ))‪ d(A;(P‬و ))‪d(A;(D‬‬
‫3- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ B‬و اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ2‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ.‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى)‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5-‪ 3x+2y-z‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻌﺮف ﺑـ‬
‫0 = 3 − ‪x − 2 y + z‬‬
‫‪‬‬
‫0=2+‪ x− y−z‬‬
‫1- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (P‬اﻟﺬي ﻳﺘﻀﻤﻦ )‪ (D‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(P‬‬

‫‪ -IV‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺮآﺰهﺎ وﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬             ‫1-‬
‫+*‬
‫∈ ‪ r‬و)‪ S(Ω;r‬اﻟﻔﻠﻜﺔ‬     ‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ Ω(a;b;c‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء )‪ (E‬و‬
‫اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ)‪ M(x;y;z‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء )‪(E‬‬
‫)‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2 ⇔ ΩM=r ⇔ M ∈ S(Ω;r‬‬

‫4‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫(‬          ‫)‬
‫اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪. o;i ; j ;k‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬
‫2‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r‬‬      ‫هﻲ‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺎت و اﺻﻄﻼﺣﺎت‬
‫* إذا آﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬ﺣﻴﺚ ‪ Ω‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [A;B‬ﻓﺎن ]‪ [A;B‬ﻗﻄﺮا ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ‬
‫* ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻠﻜﺔ وﺣﻴﺪة أﺣﺪ أﻗﻄﺎرهﺎ ]‪ [A;B‬ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [A;B‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r =½ AB‬‬
‫* ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ 0=‪ x²+y²+z² +αx+βy+γz+δ‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬و‪δ‬‬
‫أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ.‬
‫* اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(O; r‬ﺣﻴﺚ ‪ O‬أﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ ²‪x²+y²+z²=r‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ S(Ω;r‬ﻓﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬         ‫* اﻟﻜﺮة‬
‫اﻟﻜﺮة )‪ B(Ω;r‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪M(x;y;z‬‬
‫ﺣﻴﺚ 2‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2≤r‬‬
‫2- ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺄﺣﺪ أﻗﻄﺎرهﺎ‬
‫‪ S‬ﻓﻠﻜﺔ أﺣﺪ اﻗﻄﺎرهﺎ ]‪[A;B‬‬
‫‪ [AMB] ⇔ M ∈ S‬زاوﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ أو ‪ M=A‬أو ‪AM ⋅ BM = 0 ⇔ M=B‬‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ 0 = ‪ AM ⋅ BM‬هﻲ ﻓﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ أﺣﺪ اﻗﻄﺎرهﺎ ]‪[A;B‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫اذا آﺎﻧﺖ )‪ A(xA;yA;zA‬و )‪ B(xB;yB;zB‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻓﺎن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ أﺣﺪ اﻗﻄﺎرهﺎ ]‪[A;B‬‬
‫0=)‪(x -xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)+(z-zA)(z-zB‬‬          ‫هﻲ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫(‬
‫‪ ، O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ )1-;2;1(‪ Ω‬و )2;1;2(‪ A‬و )2;1;4(‪B‬‬   ‫اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬   ‫ﻓﻲ‬
‫1- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪A‬‬
‫2- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ´‪ S‬اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ]‪[A;B‬‬
‫3- دراﺳﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪(1): x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )1(‬
‫‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=a²+b²+c²-d‬‬              ‫‪⇔ M ∈E‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ )‪Ω(a;b;c‬‬
‫*- إذا آﺎن 0< ‪ a²+b²+c²-d‬ﻓﺎن‪E =Ø‬‬
‫*- اذا آﺎن 0= ‪ a²+b²+c²-d‬ﻓﺎن }‪ . E={Ω‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ﻣﻨﻌﺪم‬
‫²‪a²+b²+c²-d = r‬‬      ‫*- اذا آﺎن 0> ‪ a²+b²+c²-d‬ﻓﺎن )‪ E=S(Ω;r‬ﺣﻴﺚ‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬
‫ﺗﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪ x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d‬ﻓﻠﻜﺔ‬
‫إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن 0≥ ‪a²+b²+c²-d‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5+‪x²+y²+z²+4x-2y -6z‬‬
‫ﺑﻴﻦ إن ‪ E‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
‫ﺣﻴﺚ )1-;0;2(‪ A‬و )1-;1;1-(‪B‬‬      ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ 61=²‪2MA²+3MB‬‬
‫‪ – II‬ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮى و ﻓﻠﻜﺔ‬
‫ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬               ‫1-‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‪ E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫ﻧﻀﻊ ‪d ( Ω; ( P ) ) = HΩ = d‬‬
‫‪d≺r‬‬                                       ‫‪d=r‬‬                            ‫‪d‬‬   ‫‪r‬‬

‫5‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬و ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى)‪(P‬‬
‫ﻳﻜﻮن ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و ‪: S‬‬
‫* داﺋﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ H‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ) ) ‪ r 2 − d 2 ( Ω; ( P‬اذا آﺎن ‪d(Ω;(P))< r‬‬
‫* ﻧﻘﻄﺔ اذا آﺎن ‪ d(Ω;(P))= r‬ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻧﻘﻮل )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪H‬‬
‫* اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ اذا آﺎن ‪d(Ω;(P))>r‬‬
‫2- ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻤﺎس ﻟﻔﻠﻜﺔ ﻓﻲ أﺣﺪ ﻧﻘﻄﻬﺎ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪S(Ω;r‬‬
‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬اذا آﺎن )‪ (P‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪ (ΩA‬ﻓﻲ ‪A‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪S(Ω;r‬‬
‫) ‪∀M∈(P‬‬         ‫0 = ‪ΩA ⋅ AM‬‬           ‫⇔‬        ‫)‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻋﻠﻰ )‪ S(Ω;r‬ﻓﻲ ‪A‬‬
‫(‬
‫‪ ، O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ1‪ S‬اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ‬   ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬               ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫0=3-‪ x²+y²+z²-4x+2y-2z‬و 2‪ S‬اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ 2‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ 2 , و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي‬
‫و )´‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0=1-‪. 2x-y-2z‬‬       ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0=1+‪x-2y+z‬‬
‫1- ﺗﺄآﺪ أن )‪ (P‬و 1‪ S‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة.‬
‫2- أدرس ﺗﻘﺎﻃﻊ )´‪ (P‬و 2‪. S‬‬
‫3- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ 1‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ )3 ;1;1(‪A‬‬
‫3-- ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻓﻠﻜﺔ‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‪ E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻠﻜﺔ)‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ (‬
‫ﻧﻀﻊ ‪d ( Ω; ( ∆ ) ) = HΩ = d‬‬

‫‪d≺r‬‬                                           ‫‪d‬‬   ‫‪r‬‬                                    ‫‪d‬‬     ‫‪r‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﻳﺨﺘﺮق اﻟﻔﻠﻜﺔ‪S‬‬                   ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻔﻠﻜﺔ‪S‬‬              ‫ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻔﻠﻜﺔ‪S‬‬
‫ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‬                          ‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‪H‬‬                 ‫هﻮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ 0=4+‪S : x²+y²+z²-2y +4z‬‬
‫‪‬‬     ‫1−‬
‫‪ x = 2 + 2t‬‬
‫‪‬‬                                  ‫‪ x = 3t‬‬                              ‫‪ x = 1 + 2t‬‬
‫‪( D 3 ) :  y = + 3t‬‬                         ‫‪‬‬
‫‪( D1 ) :  y = 1 + t‬‬
‫1‬
‫‪‬‬                 ‫∈‪t‬‬      ‫2 = ‪( D2 ) :  y‬‬            ‫∈‪t‬‬                 ‫‪‬‬                  ‫∈‪t‬‬
‫‪‬‬      ‫3‬                           ‫‪ z = −2 + t‬‬                          ‫‪ z = −3 + t‬‬
‫2− = ‪ z‬‬                           ‫‪‬‬                                     ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ S‬ﻣﻊ آﻞ ﻣﻦ )1‪ (D‬و )2‪ (D‬و )3‪(D‬‬

‫6‬
‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ1‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;0;1(‪ A‬و )1;0;0(‪ B‬و )1;1-;0(‪ C‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ C‬واﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ )1;2;1−(‪u‬‬
‫1- ﺑﻴﻦ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ ‪ MA=MB=MC‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻪ‬
‫2- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪ (D‬ﻓﻲ ‪C‬‬
‫3- اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬اﻟﻤﺎرة ﻣﻦ ‪A‬و ‪ B‬و اﻟﻤﻤﺎﺳﺔ ﻟـ )‪ (D‬ﻓﻲ ‪C‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ2‬
‫(‬
‫‪ O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ )5-;3;0(‪ A‬و )3-;7;0(‪ B‬و )3-;5;1(‪C‬‬   ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬
‫1- أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(ABC‬‬
‫2- أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬ﺣﻴﺚ )1;2;1−(‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
‫3- ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺤﺪد ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪x+y+z‬‬
‫أ- ﺗﺄآﺪ أن )‪(P‬و )‪ (ABC‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﻨﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
‫ب- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟـ )‪(D‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬اﻟﺘﻲ اﻟﻤﺤﺪدة ﺑـ 0=9+ ‪ x 2 + z 2 +10z‬‬        ‫4-‬
‫‪‬‬           ‫0= ‪y‬‬
‫‪‬‬
‫أ- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻔﻜﺔ ‪ S‬اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻀﻤﻦ اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬و ﻳﻨﺘﻤﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ إﻟﻰ )‪(ABC‬‬
‫ب ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ S‬و )‪(AC‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ3‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1-;1(‪ A‬و )1-;1;3(‪ B‬و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ذا‬
‫‪ x = 3t‬‬
‫‪‬‬
‫∈ ‪ x = −2 − 3t t‬‬               ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪ (D) 2x-3y+2z‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﺑـ‬
‫‪ z = 2 + 4t‬‬
‫‪‬‬
‫1- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
‫2- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫3- أﺣﺴﺐ ))‪ d(A;(P‬و ))‪d(A;(D‬‬
‫4- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ B‬و اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ4‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5-‪3x+2y-z‬‬
‫0 = 3 − ‪x − 2 y + z‬‬
‫‪‬‬                       ‫و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻌﺮف ﺑـ‬
‫0=2+‪ x− y−z‬‬
‫1- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
‫2- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (P‬اﻟﺬي ﻳﺘﻀﻤﻦ )‪ (D‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪.(P‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ5‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=1+‪x+y+z‬‬
‫و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5-‪2x-2y‬‬
‫و )‪ (S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ0=11+‪x²+y²+z²-2x+4y+6z‬‬
‫1- ﺑﻴﻦ أن )‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻣﺮآﺰهﺎ و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬
‫2- ﺗﺄآﺪ أن )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ و ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ‬
‫3- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ )2;1;0(‪ A‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(P‬‬
‫4- ﺗﺤﻘﻖ أن ) ‪ ( P ) ⊥ ( Q‬و أﻋﻂ ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )´‪(D‬ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و)‪(Q‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ6‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )4;3;2-(‪A‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=51+‪ (S) x+2y-2z‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻴﺘﺤﻘﻖ‬
‫0 = 8 − ‪ x2 + y 2 − 2 x‬‬
‫‪‬‬                                 ‫0=62-‪ x²+y²+z²-2x+6y+10z‬و )‪ (C‬اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ‬
‫0= ‪z‬‬
‫ﺑﻴﻦ أن )‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬       ‫1-‬
‫ﺑﻴﻦ أن )‪ (P‬و )‪ (S‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة آﺒﺮى )'‪ (C‬و ﺣﺪدهﺎ‬        ‫2-‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻦ اﻟﻤﻤﺎﺳﻴﻦ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ (S‬و اﻟﻤﻮازﻳﻴﻦ ﻟـ )‪(P‬‬          ‫3-‬
‫أآﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻔﻠﻜﺔ )'‪ (S‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬اﻟﻤﺘﻀﻤﻦ ﻟﻠﺪاﺋﺮة )‪(C‬‬        ‫4-‬

‫7‬
‫اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬
‫‪І‬־ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫1- ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬   ‫ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬
‫‪OK = k‬‬        ‫‪OJ = j‬‬         ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و‪ Ј‬و‪ K‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪OI = i‬‬
‫‪ O ; i ; j ; k‬هﻮ رﺟﻞ ﺧﻴﺎﻟﻲ رأﺳﻪ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ K‬ﻗﺪﻣﺎﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬و ﻳﻨﻈﺮ‬          ‫(‬                ‫رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ )‬               ‫»‬
‫إﻟﻰ ‪I‬‬
‫,اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ J‬إﻣﺎ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ» رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « أو ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎرﻩ .‬

‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬   ‫ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬                     ‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬       ‫ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ :‬
‫‪OK = k‬‬        ‫‪OJ = j‬‬        ‫. ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و‪ Ј‬و‪ K‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪OI = i‬‬‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬                        ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬

‫ﻧﻘﻮل إن : * ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ إذا وﺟﺪت ‪ J‬ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر » رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ «‬

‫* ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ إذا وﺟﺪت ‪ J‬ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ » رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ «‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬    ‫*‬                                   ‫أﻣﺜﻠﺔ‬
‫‪ (O ; i ; j ; − k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬   ‫)‬        ‫‪ (O ; j ; i ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬                 ‫)‬
‫‪ (O ; j ; k ; i‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬           ‫)‬
‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ 1‬       ‫**‬
‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﺒﺎﺷﺮان‬           ‫(‬‫‪A; AB; AD ; AE‬‬         ‫)‬
‫‪; B; BC ; BA; BF‬‬     ‫(‬                 ‫)‬
‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮﻳﻦ‬          ‫) ‪( A ; AD ; AB ; AE‬‬                 ‫,‬   ‫) ‪( E ; EA ; EF ; EH‬‬
‫2- اﻷﺳﺮة اﻟﻤﺒﺎﺷﺮة‬
‫ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء 3‪ , V‬اذا وﺟﻬﻨﺎ ﺟﻤﻴﻊ أﺳﺎﺳﺎﺗﻪ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬م.م.م .ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪O‬‬      ‫ﻧﻘﻮل إن اﻷﺳﺎس اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ‪ ( i ; j ; k‬ﻣﺒﺎﺷﺮ ادا آﺎن‬
‫ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫3- ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ k‬ﻣﺘﺠﻬﺔ واﺣﺪﻳﺔ و ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ )‪ , (P‬و ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫‪ O ; i ; j‬م.م.م ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬                                 ‫(‬           ‫)‬
‫‪ O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪E‬‬    ‫(‬              ‫)‬           ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

‫8‬
‫(‬
‫‪ O ; i ; j‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮا اذا آﺎن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ‬    ‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ )‬
‫اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﺒﺎﺷﺮا‬
‫* ﻳﺘﻢ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻣﺴﺘﻮ ى )‪ (P‬ﺑﺘﻮﺟﻴﻪ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ.‬
‫آﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﻤﻮازﻳﺔ ﻟـ)‪ (P‬ﻟﻪ ﻧﻔﺲ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬   ‫*‬
‫‪ – II‬اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬
‫1- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫‪u = OA‬‬     ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3‪ V‬و‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬ﺑﺤﻴﺚ ‪v = OB‬‬
‫اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻓﻲ هﺪا اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ,هﻮ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪ u ∧ v‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬
‫:‬
‫ﻓﺎن ‪. u ∧ v = o‬‬      ‫* إذا آﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬
‫‪ u ∧ v‬هﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ :‬       ‫* إذا آﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن‬
‫‪ u ∧ v‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ ‪ u‬و ‪v‬‬          ‫-‬
‫- ) ‪ ( u ; v ; u ∧ v‬أﺳﺎس ﻣﺒﺎﺷﺮ .‬
‫‪ AOB ‬‬     ‫ﺣﻴﺚ ‪ θ‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ‬       ‫‪u ∧v = u‬‬      ‫- ‪v sin θ‬‬
‫‪‬‬     ‫‪‬‬
‫‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬   ‫)‬   ‫أﻣﺜﻠﺔ * ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫0= ‪i ∧i = j ∧ j = k ∧k‬‬
‫‪i ∧ j =k‬‬        ‫‪j ∧k =i‬‬      ‫‪k ∧i = j‬‬
‫‪j ∧ i = −k‬‬     ‫‪k ∧ j = −i‬‬     ‫‪i ∧k =−j‬‬
‫* إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ واﺣﺪﻳﺘﻴﻦ و ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﻴﻦ ﻓﺎن ) ‪ ( u ; v ; u ∧ v‬أﺳﺎس ﻣﺒﺎﺷﺮ .‬
‫5= ‪u‬‬       ‫2= ‪v‬‬       ‫5− = ‪u ⋅ v‬‬     ‫‪(u; v ) = θ‬‬     ‫ﻧﺤﺴﺐ ‪ u ∧ v‬ﻋﻠﻤﺎ أن [ ‪θ ∈ ]0;π‬‬               ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫2- ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
‫أ- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﺎن اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ AB ∧ AC‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪.(ABC‬‬

‫‪ H , CAB ‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪C‬‬        ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ θ‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ‬
‫‪‬‬    ‫‪‬‬
‫ﻋﻠﻰ )‪(AB‬‬

‫‪AB ∧ AC = AB. AC.sin θ‬‬         ‫‪HC = AC sin θ‬‬

‫‪AB ∧ AC = AB × HC‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬هﻮ ﻧﺼﻒ ‪AB ∧ AC‬‬
‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬
‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ‪ ABDC‬هﻲ ‪AB ∧ AC‬‬
‫د- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻳﻜﻮن ‪ u ∧ v‬ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ أداو ﻓﻘﻂ آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬
‫اﻟﺒﺮهﺎن * ⇒ )ﺑﺪﻳﻬﻲ – اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ-(‬
‫*⇐‬

‫9‬
‫‪u ∧v =0⇔ u ∧v‬‬
‫0 = ‪⇒ u v sin θ‬‬
‫0= ‪⇔ u‬‬               ‫∨‬          ‫0= ‪v‬‬        ‫∨‬        ‫0 = ‪sin θ‬‬
‫0 = ‪⇔u‬‬           ‫∨‬         ‫0= ‪v‬‬        ‫∨‬        ‫‪uetv‬‬          ‫‪sont liés‬‬
‫‪ A‬و‪ B‬و ‪ C‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ⇔ 0 = ‪AB ∧ AC‬‬     ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫ج- اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ واﻟﻌﻤﻠﻴﺎت)ﻧﻘﺒﻞ(‬
‫33‪∀ ( u ; v ; w ) ∈ V‬‬           ‫∈ ‪∀α‬‬                    ‫‪(u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w‬‬
‫) ‪(α u ) ∧ v = α ( u ∧ v‬‬
‫) ‪u ∧ v = − (v ∧ u‬‬
‫0 = 0∧ ‪u ∧u = 0∧u = u‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ .‬

‫) ‪( 2i − j ) ∧ ( 3i + 4 j‬‬          ‫‪( i + j − 2k ) ∧ k‬‬                 ‫‪( i + 2k ) ∧ j‬‬              ‫‪i ∧3j‬‬        ‫أﺣﺴﺐ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪a∧c =b ∧d‬‬              ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪; a ∧ b = c ∧ d‬‬
‫ﺑﻴﻦ إن ‪ a − d‬و ‪ b − c‬ﻣﺴﻨﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬
‫3- اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻓﻲ م.م.م ﻣﺒﺎﺷﺮ.‬
‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬
‫) ‪u ( x; y; z‬‬             ‫)' ‪v ( x '; y '; z‬‬

‫(‬                   ‫( )‬
‫‪u ∧ v = xi + yj + zk ∧ x ' i + y ' j + z ' k‬‬                ‫)‬
‫‪= ( yz '− zy ') i + ( zx '− xz ') j + ( xy '− yx ') k‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬و ) ‪ u ( x; y; z‬و )' ‪ v ( x(; y '; z‬ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن‬
‫ﻣﻦ3‪V‬‬
‫إﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ‪ u ∧ v‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺳﺎس ) ‪ ( i ; j ; k‬هﻮ )‪ (X;Y;Z‬ﺣﻴﺚ‬

‫' ‪X = yz '− zy‬‬                       ‫' ‪Y = zx '− xz‬‬                     ‫' ‪Z = xy '− yx‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻳﻤﻜﻦ اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫)1;2 ;1( ‪C‬‬        ‫) 2 ;3− ;0 ( ‪B‬‬       ‫)1;2 ;1( ‪A‬‬        ‫) 0;2 ;1( ‪u‬‬        ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1− ;2− ( ‪v‬‬    ‫ﻣﺜﺎل‬
‫أﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ )‪(ABC‬‬                                    ‫ﺣﺪد ‪u ∧ v‬‬
‫‪ – III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬

‫01‬
‫1- ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺮف ﺑﺜﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬
‫‪M ∈ ( ABC ) ⇔ AB ∧ AC ⋅ AM‬‬       ‫(‬             ‫)‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(ABC‬‬                 ‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ )3;2;1(‪ A‬و )1;1-;1(‪ B‬و )2;1;2(‪C‬‬
‫2- ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬
‫0=‪(P) : ax+by+cz+d‬‬
‫0=´‪(P´) : a´x+b´y+c´z+d‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ n ( a; b; c‬ﻣﻨﻈﻤﻤﻴﺔ ﻟـ )‪ (P‬و )' ‪ n ' ( a '; b '; c‬ﻣﻨﻈﻤﻤﻴﺔ ﻟـ )´‪(P‬‬
‫* اذا آﺎن )‪ (P‬و)´‪ (P‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻓﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و)´‪ (P‬ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ' ‪n ∧ n‬‬
‫* اذا آﺎن 0 ≠ ' ‪ n ∧ n‬ﻓﺎن )‪ (P‬و)´‪ (P‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ' ‪n ∧ n‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ 0=3+‪ (P): x+2y-2z‬و 0=5-‪(P´): 4x-4y+2z‬‬

‫3- ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ ‪A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ M , u‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و‪ H‬ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ)‪(D‬‬
‫(‬
‫‪AM ∧ u = AH + HM ∧ u = HM ∧ u‬‬         ‫)‬ ‫‪AHetu‬‬    ‫‪liés‬‬
‫‪π‬‬
‫‪AM ∧ u = HM ∧ u = HM . u sin‬‬                      ‫‪= HM . u‬‬
‫2‬
‫‪AM ∧ u‬‬
‫= ‪HM‬‬
‫‪u‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ ‪A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ M , u‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء.‬
‫‪AM ∧ u‬‬
‫= )) ‪d ( M ; ( D‬‬             ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬هﻲ‬
‫‪u‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪ x = 2−t‬‬
‫‪‬‬
‫? = ) ) ‪d ( A; ( D‬‬            ‫‪( D ) :  y = 2t‬‬         ‫∈‪t‬‬         ‫)1-;2;3(‪A‬‬
‫‪ z = 1+ t‬‬
‫‪‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;2;1(‪A‬و )3;1;2-(‪ B‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي‬
‫0 = 3 − ‪ x − 2y + z‬‬
‫‪‬‬                       ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬
‫0 = 1 − ‪2 x + 3 y − z‬‬
‫1- ﺣﺪد ‪ OA ∧ OB‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(OAB‬‬
‫2- ﺣﺪد ))‪d(A;(D‬‬
‫3- أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪(S‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ A‬و ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬

‫11‬

```
To top