المعادلات التفاضلية - درس

Document Sample
المعادلات التفاضلية - درس Powered By Docstoc
					                                                         ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬
                                                                                                                                     ‫‪ -I‬ﺗﻘﺪﻳﻢ‬
                  ‫1- ﺗﺆدي دراﺳﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﻈﻮاهﺮ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ و اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ و اﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ و ﻏﻴﺮهﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ‬
                                                       ‫اﻟﻤﺠﻬﻮل داﻟﺔ وﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ أو ﻣﺸﺘﻘﺎت هﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ.‬
                                                                 ‫هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ.‬
                     ‫ﻳﺮﻣﺰ ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ) y‬وﻗﺪ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺄي ﺣﺮف ﺁﺧﺮ ﻣﺜﻞ ‪(............. u , z , f‬‬
              ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻳﻌﻨﻲ إﻳﺠﺎد ﺟﻤﻴﻊ اﻟﺪوال ‪ y‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ هﺪﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ , و ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ هﺪﻩ اﻟﺪوال‬
              ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ، آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ هﺪﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ , آﻞ ﺣﻞ‬
                                                                                               ‫ﻳﺴﻤﻰ آﺬﻟﻚ ﺗﻜﺎﻣﻼ.‬
                                                                                                               ‫2- أﻣﺜﻠﺔ‬
                                                                             ‫0 = ' ‪ y‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬      ‫أ(‬
                                                        ‫ﺑـ 1 = ) ‪ y ( x‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬             ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ y‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                  ‫هﻲ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ' ‪. y‬‬           ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬
                   ‫1 − 2 ‪ y ' = x‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ذات اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ ) y‬ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﻜﺘﺐ 1 − ‪( y ' ( x ) = x‬‬
                                      ‫2‬
                                                                                                                                 ‫ب(‬
                                              ‫.‬     ‫ﺣﻠﻮل هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ 1 − 2 ‪ x → x‬ﻋﻠﻰ‬
                   ‫2 1‬
          ‫→‪x‬‬         ‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪x − x + k‬‬               ‫أي اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                   ‫3‬
                                                                                 ‫ﺣﻴﺚ ‪ k‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ .‬
                                                                                   ‫‪ – II‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´=ay+b‬‬
                                                                                           ‫1/ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´=ay‬‬
                                              ‫* اذا آﺎن 0 = ‪ a‬ﻓﺎن 0 = ' ‪ y‬أي أن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                                                       ‫* اذا آﺎن 0 ≠ ‪a‬‬
                                      ‫‪ x → e‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪y '− ay‬‬
                                                                                 ‫‪ax‬‬
                                                                                      ‫∈ ‪ ∀x‬ادن‬             ‫‪( e ) ' = ae‬‬
                                                                                                              ‫‪ax‬‬          ‫‪ax‬‬
                                                                                                                               ‫ﻧﻌﻠﻢ أن‬

                                                     ‫ﻧﻀﻊ ‪y ( x ) = z ( x ) eax‬‬    ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y‬ﺣﻼ اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪y '− ay‬‬
                                                                                           ‫وﻣﻨﻪ ‪y ' ( x ) = z ' ( x ) eax + az ( x ) eax‬‬
                                     ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 0 = ‪y ' ( x ) − ay ( x ) = z ' ( x ) e ax‬‬     ‫) ‪y ' ( x ) = z ' ( x ) e ax + ay ( x‬‬    ‫أي‬
                                      ‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬                         ‫و ﻣﻨﻪ 0 = ) ‪ z ' ( x‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪z ( x ) = λ‬‬
                                                             ‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬              ‫اذن ‪y ( x ) = λ eax‬‬
                                                                            ‫ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺤﺎﻟﺔ 0 = ‪ a‬هﻲ ﺿﻤﻦ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ .‬
                                                                                                                                           ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
            ‫‪x → λe‬‬         ‫‪ax‬‬
                                ‫ﺑـ‬        ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y ' = ay‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                                       ‫ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ.‬
                                                                                                                      ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬
                            ‫) 0 ( ‪x → y0 e‬‬
                                    ‫‪a x− x‬‬
                                                  ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y ' = ay‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط 0‪ y ( x0 ) = y‬و هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬
                                                                                      ‫اﻟﺸﺮط 0‪ y ( x0 ) = y‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ‬
                                                                                                                                            ‫أﻣﺜﻠﺔ‬
                                                                                   ‫1- ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y ' = 2 y‬‬
‫ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ‬      ‫ﺑـ ﺣﻴﺚ ‪ x → λ e2 x‬ﺣﻴﺚ ‪λ‬‬                   ‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y ' = 2 y‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                                                        ‫اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ.‬
                                                                                           ‫1‬
                                                                 ‫; 2 = )1( ‪y‬‬       ‫= '‪y‬‬      ‫2- ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y‬‬
                                                                                           ‫3‬
               ‫1‬
                 ‫)1− ‪( x‬‬                                                                          ‫1‬
     ‫→‪x‬‬     ‫3 ‪2e‬‬           ‫ﺑـ ﺣﻴﺚ‬          ‫; 2 = )1( ‪ y‬هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬               ‫= '‪y‬‬     ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y‬‬
                                                                                                  ‫3‬
                                                                                   ‫2/ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´=ay+b‬‬
                                ‫اذا آﺎن 0 = ‪ a‬ﻓﺎن ‪ y ' = b‬وﻣﻨﻪ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ هﻲ اﻟﺪوال ‪ f‬ﺣﻴﺚ ‪f ( x ) = bx + c‬‬


                                                                     ‫1‬
                                                                                                              ‫‪‬‬      ‫‪b‬‬
                                                                                       ‫اذا آﺎن 0 ≠ ‪ a‬ﻓﺎن ‪y ' = ay + b ⇔ y ' = a  y + ‬‬
                                                                                                              ‫‪‬‬      ‫‪a‬‬
                                                                                                                                   ‫‪b‬‬
                                                                                                            ‫ﻧﻀﻊ + ‪ z = y‬و ﻣﻨﻪ ' ‪z ' = y‬‬
                                                                                                                                   ‫‪a‬‬
                                                                          ‫‪b‬‬                                             ‫‪b‬‬
‫‪y ' = ay + b ⇔ z ' = az ⇔ z ( x ) = λ e ax‬‬       ‫∈‪/λ‬‬     ‫+ )‪⇔ y ( x‬‬         ‫‪= λ e ax‬‬      ‫∈‪/λ‬‬    ‫− ‪⇔ y ( x ) = λ e ax‬‬          ‫∈‪/λ‬‬    ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬
                                                                          ‫‪a‬‬                                             ‫‪a‬‬
                                                                                                                            ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                                                                                              ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻦ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪a‬‬
                             ‫‪b‬‬
             ‫− ‪x → λ e ax‬‬      ‫ﺑـ‬          ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y ' = ay + b‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                             ‫‪a‬‬
                                                                                                        ‫ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ.‬           ‫ﺣﻴﺚ ‪λ‬‬
                                                                                                                                          ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬
             ‫‪‬‬     ‫‪b  a x− x‬‬  ‫‪b‬‬
         ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y ' = ay + b‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط 0‪ y ( x0 ) = y‬و هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ − ) 0 ( ‪x →  y0 +  e‬‬
             ‫‪‬‬     ‫‪a‬‬          ‫‪a‬‬
                                                                ‫اﻟﺸﺮط 0‪ y ( x0 ) = y‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ‬
                                                                                                                                           ‫ﻣﺜﺎل‬
                                                                                                ‫ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 2 + ‪y ' = −3 y‬‬
                                               ‫2‬
‫ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ‬        ‫+ ‪ x → λ e−3 x‬ﺣﻴﺚ ‪λ‬‬             ‫ﺑـ ﺣﻴﺚ‬         ‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 2 + ‪ y ' = −3 y‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                               ‫3‬
                                                                                                                                      ‫اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ.‬

                                                                                        ‫‪ -III‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 0=‪y"+ay'+by‬‬
                ‫∈ )‪ (a,b‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ‬                         ‫2‬
                                                                                       ‫1- اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 0=‪ y"+ay'+by‬ﺣﻴﺚ‬
                                                                                                         ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ذات اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬
                                                                                                           ‫2- ﺑﻌﺾ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺨﺎﺻﺔ‬
                                                                                            ‫*- اذا آﺎن 0 = ‪ a = b‬ﻓﺎن 0 = '' ‪y‬‬
                                     ‫∈ ‪y " = 0 ⇔ ∃k‬‬                ‫∈ )' ‪y ' ( x ) = k ⇔ ∃ ( k ; k‬‬   ‫2‬
                                                                                                          ‫' ‪y ( x ) = kx + k‬‬
                            ‫∈ )' ‪( k ; k‬‬   ‫2‬
                                               ‫اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = '' ‪ y‬هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال ' ‪ x → kx + k‬ﺑﺤﻴﺚ‬
                                                                                            ‫*- اذا آﺎن 0 = ‪ b‬ﻓﺎن 0 = ' ‪y ''+ ay‬‬
                                      ‫وﻣﻨﻪ ' ‪ y‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪z '+ az‬‬                  ‫0 = ' ‪y "+ ay ' = 0 ⇔ ( y ') '+ ay‬‬
                                                   ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ y ' ( x ) = λ e − ax‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

                                               ‫‪x → λe −ax‬‬     ‫اذن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ' ‪ y ''+ ay‬هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ‬
                                                                                  ‫‪− λ − ax‬‬
                                                 ‫∈ ) ‪(λ ; µ‬‬        ‫2‬
                                                                              ‫→‪x‬‬        ‫‪e‬‬     ‫‪+µ‬‬                 ‫أي اﻟﺪوال‬
                                                                                    ‫‪a‬‬
                                                     ‫) 0;0 ( ≠ ) ‪( a; b‬‬       ‫3 – ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 0 = ‪; E : y "+ ay '+ by‬‬
                                                                   ‫∈‪r‬‬          ‫;‬       ‫‪y : x → e rx‬‬        ‫ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻠﻮل ﻣﻦ ﻧﻮع‬
                                                       ‫‪ y‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪r 2 + ar + b = 0 ⇔ r 2 e x + are x + be x = 0 ⇔ E‬‬
                                                              ‫‪rx‬‬
                              ‫اذن اذا آﺎن ‪ r‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪ r 2 + ar + b‬ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → e‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬
        ‫∈ ) ‪( a; b‬‬   ‫2‬
                           ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪ r 2 + ar + b‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 0 = ‪; E : y "+ ay '+ by‬‬
                                                                                                          ‫ﻣﻤﻴﺰ هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻮ ‪a 2 − 4b‬‬
                                                                                                                                     ‫ﻧﺸﺎط‬
                              ‫: ) 1‪ ( E‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﻠﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) 1‪( E‬‬    ‫0 = ‪y "+ 3 y '− 4 y‬‬                     ‫1- أ/ ﺣﻞ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

   ‫∈ ) ‪(α ; β‬‬   ‫2‬
                     ‫ﺣﻴﺚ‬   ‫ب/ ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑـ ‪ x → α e x + β e−4 x‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) 1‪( E‬‬
                                                            ‫: ) 2‪( E‬‬   ‫2- أ/ ﺣﻞ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪y "− 6 y '+ 9 y‬‬
   ‫∈ ) ‪(α ; β‬‬   ‫2‬
                     ‫ﺣﻴﺚ‬   ‫ب/ ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑـ ‪ x → (α + β x ) e3x‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) 1‪( E‬‬

                                                                          ‫2‬
                                                                         ‫: ) 3‪( E‬‬              ‫0 = ‪y "+ 4 y '+ 13 y‬‬          ‫3- أ/ ﺣﻞ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

   ‫ﺑـ ‪ f : x → e −2 x cos 3 x‬و ‪ g : x → e −2 x sin 3 x‬ﺣﻠﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬                                        ‫ب/ ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ‬
                                                                                                                                  ‫اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) 3‪( E‬‬
  ‫∈ ) ‪(α ; β‬‬    ‫2‬
                    ‫ﺑـ ‪ x → α f + β g‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) 1‪ ( E‬ﺣﻴﺚ‬                                          ‫ج/ ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                                                                                                            ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
                       ‫2‬
‫و ﻟﺘﻜﻦ 0 = ‪ r + ar + b‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬                    ‫∈ ) ‪( a; b‬‬    ‫2‬
                                                                                ‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪; E : y "+ ay '+ by = 0 :E‬‬
                                        ‫2‪r‬‬     ‫1‪; r‬‬       ‫ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻬﺎ ﺟﺪرﻳﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ‬                             ‫‪a 2 − 4b‬‬     ‫*- اذا آﺎن 0‬
     ‫ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬                          ‫و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال ‪x → α e r1 x + β e r 2 x‬‬
                                                            ‫ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻣﺰدوج ‪. r‬‬                              ‫*- اذا آﺎن 0 = ‪a 2 − 4b‬‬
               ‫و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال ‪ x → (α + β x ) e rx‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬
          ‫‪r2 = p − iq‬‬            ‫1‪ r‬و‬   ‫‪= p + iq‬‬         ‫ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﺗﻘﺒﻞ ﺟﺬرﻳﻦ ﻣﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ‬                              ‫*- اذا آﺎن 0 ≺ ‪a 2 − 4b‬‬
                    ‫) ‪ x → e px (α cos qx + β sixqx‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان‬                                        ‫و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال‬
                                                                                                                                             ‫اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن.‬
                                                                                               ‫0' ‪y ' ( x0 ) = y‬‬    ‫;‬       ‫اﻟﺤﻞ اﻟﺬي ﻳﺤﻘﻖ 0‪y ( x0 ) = y‬‬
                               ‫0' ‪y ' ( x0 ) = y‬‬    ‫;‬    ‫0‪y ( x0 ) = y‬‬          ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ‬
                                                   ‫0' ‪ y ' ( x0 ) = y‬ﻳﺴﻤﻴﺎن اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ اﻟﺒﺪﺋﻴﻴﻦ .‬                          ‫;‬     ‫0‪y ( x0 ) = y‬‬      ‫اﻟﺸﺮﻃﺎن‬
                                                                                                             ‫ﻳﻤﻜﻦ إﻋﻄﺎء ﺷﺮﻃﻴﻦ ﺑﺪﺋﻴﻴﻦ ﺁﺧﺮﻳﻦ.‬
                                                                                                                                         ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                                    ‫‪α‬‬         ‫‪β‬‬       ‫‪‬‬
  ‫‪α cos qx + β sin qx = k ‬‬            ‫) ‪cos qx + sin qx  = k ( cos ϕ cos qx + sin ϕ sin qx ) = k cos ( qx − ϕ‬‬                                         ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                    ‫‪k‬‬         ‫‪k‬‬       ‫‪‬‬
                                                                                       ‫‪α‬‬                       ‫‪β‬‬
                                                                        ‫= ‪cos ϕ‬‬                ‫= ‪; sin ϕ‬‬             ‫ﺑﻮﺿﻊ 2 ‪; k = α 2 + β‬‬
                                                                ‫‪k‬‬               ‫‪k‬‬
                                     ‫ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ اذا آﺎن 0 ≺ ‪ a 2 − 4b‬ﻓﺎن ) ‪ x → ke cos ( qx − ϕ‬ﺣﻴﺚ ‪ k‬و ‪ ϕ‬اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬
                                                                                  ‫‪px‬‬

                                                                                      ‫5‬
          ‫; 1− = ) 0 ( ' 1‪y‬‬           ‫و ﺣﺪد اﻟﺤﻞ اﻟﺨﺎص 1‪ y‬ﺣﻴﺚ 1 = ) 0 ( 1‪y‬‬              ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ 1- ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪y‬‬
                                                                                                      ‫−' ‪y "+ 2 y‬‬
                                                                                      ‫4‬
                                                                            ‫2- ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪y "+ 4 y '+ 4 y‬‬
                                                                            ‫3- ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪y "+ 2 y '+ 5 y‬‬
                                                                                                       ‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‬
                    ‫ﺑﻤﺎ‬          ‫*- اذا آﺎن 0 ‪ a‬ﻓﺎن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 0 = ‪ y "+ ay‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                       ‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬        ‫2‬
                                                                                                ‫ﻳﻠﻲ ‪ x → α cos ax + β sin ax‬ﺣﻴﺚ‬
                    ‫ﺑﻤﺎ‬          ‫*- اذا آﺎن 0 ≺ ‪ a‬ﻓﺎن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 0 = ‪ y "+ ay‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
                                                                                 ‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬         ‫2‬
                                                                                                           ‫‪ x → α e‬ﺣﻴﺚ‬         ‫‪− ax‬‬
                                                                                                                                      ‫−‪+ β e‬‬   ‫‪− ax‬‬
                                                                                                                                                      ‫ﻳﻠﻲ‬
                                                                                       ‫; 0 = ‪y "− 4 y‬‬              ‫ﻣﺜﺎل ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ 0 = ‪y "+ 2 y‬‬
           ‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬         ‫2‬
                                    ‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪ y "+ 2 y‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ ‪ x → α cos 2 x + β sin 2 x‬ﺣﻴﺚ‬
        ‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬       ‫2‬
                               ‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪ y "+ 2 y = 0 y "− 4 y‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ ‪ x → α e 2 x + β e −2 x‬ﺣﻴﺚ‬




                                                                            ‫3‬

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:69
posted:10/3/2012
language:Unknown
pages:3
Description: المعادلات التفاضلية - درس