Docstoc

cc

Document Sample
cc Powered By Docstoc
					                                      ‫ﺏﺎﺘﻜﻟﺍ ﻦﻳﺭﺎﲤ ﻝﻮﻠﺣ‬
           ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﻭ ﺍﻹﺳﺘﻤﺮﺍﺭﻳﺔ‬

                                                            ‫ ∞  ∞‬                                    ‫ 1‬
                                                         ‫ ­  ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﺃﻭ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻋﻨﺪ  + ﺃﻭ  ­ :‬
                                                                                              ‫ ﺝ‬            ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                           ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 1 ﺹ 62  1 :‬
                                                              ‫ 2 -  ‪3x‬‬
                                                       ‫= )  ‪.  f ( x‬‬                 ‫ [‬
                                                                       ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¥+ ;1-]  ﺑــ :‬
                                                               ‫ 1 + ‪x‬‬
                                  ‫ [‬
                       ‫ (  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  A‬ﺣﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ x > A‬ﻓﺈﻥ ) ‪ f ( x‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1,3;9,2]  :‬  ‫ 1‬
                                                  ‫2 - ‪x + 1 3x‬‬             ‫ 1 +  ‪x‬‬
 ‫´ 9,2 ٬ ﺃﻱ  1 + ‪2,9 ( x + 1) < 3x - 2 < 3,1( x‬‬
                                   ‫ )‬                   ‫<‬         ‫ 1,3 <‬‫´‬          ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ 1,3 < ) ‪  2,9 < f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                  ‫1+ ‪x +1 x‬‬                ‫ 1 + ‪x‬‬
                           ‫ﻭﻣﻨﻪ 2 + )1 + ‪  2,9 ( x + 1) + 2 < 3x < 3,1( x‬ﺃﻱ 1,5 + ‪2, 9 x + 4, 9 < 3x < 3,1x‬‬
                       ‫ﻭ ,4‬                                                 ‫ﻭ‬                           ‫ ﻭﻟﺪ‬
              ‫ ﻳﻨﺎ  0 < 1,5 - ‪ ٬  2, 9 x + 4, 9 - 3x < 0  َ   3x - 3,1x‬ﻭﻣﻨﻪ 1,5 < ‪-0,1x < -  9  َ   -0,1x‬‬
                                                                                 ‫ 9,4‬            ‫ 1,5‬
                                                                           ‫ > ‪x‬‬        ‫ ﺇﺫﻥ :  - > ‪َ   x‬‬
                                                                                       ‫ﻭ‬
                                                                                 ‫ 1,0‬            ‫ 1,0‬
                                        ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ  94 = ‪ ٬  A‬ﻷﻥ  -  ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪.  f‬‬
                                                                                ‫15‬
                        ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪  D‬ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ 3 = ‪  y‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪  C f‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪:  f‬‬  ‫ 2‬
                          ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  3 = ) ‪  x lim f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3 = ‪  y‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪.  f‬‬
                                                                                         ‫¥+®‬

                                                                                                                ‫ 3‬
                                                           ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪:  D‬‬
                                  ‫ 5-‬                            ‫2 - ‪3x‬‬       ‫3 -  ‪3x - 2 - 3x‬‬    ‫ 5-‬
                                        ‫= 3 - )  ‪ ٬  f ( x‬ﺃﻱ 0 <‬        ‫= 3 -‬                  ‫=‬       ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                                ‫ 1 + ‪x‬‬                            ‫1+ ‪x‬‬             ‫1+ ‪x‬‬          ‫ 1 + ‪x‬‬
                               ‫ﻭﻣﻨﻪ 0 < 3 - ) ‪  ٬  f ( x‬ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻳﻘﻊ ﺗﺤﺖ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 3 = ‪.  ( D ) : y‬‬

                                                                                              ‫ ﺝ‬            ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                           ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 2 ﺹ 62  1 :‬
                                                                           ‫ 1 +  ‪x‬‬
                                                           ‫= )  ‪:  f ( x‬‬           ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  [  ¥-]  ﺑــ :‬
                                                                                             ‫1;‬
                                                                           ‫ 1 - ‪x‬‬

                                   ‫ [‬
                        ‫ (  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  A‬ﺣﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ x < A‬ﻓﺈﻥ ) ‪ f ( x‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1,1;9,0]  :‬
                                                                                                          ‫ 1‬
                                                     ‫1+ ‪x -1 x‬‬              ‫ 1 -  ‪x‬‬
                                      ‫ )‬
     ‫´ 9,0 ٬ ﺃﻱ  1 - ‪0,9 ( x - 1) < x + 1 < 1,1( x‬‬         ‫<‬       ‫ 1,1 <‬‫´‬          ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ 1,1 < ) ‪  0,9 < f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                     ‫1- ‪x - 1 x‬‬             ‫ 1 - ‪x‬‬
                                   ‫ﻭﻣﻨﻪ  - )1 - ‪  0,9 ( x - 1) - 1 < x < 1,1( x‬ﺃﻱ 1,0 + ‪0, 9 x - 1, 9 < x < 1,1x‬‬
                                                                                                           ‫ 1‬
                                     ‫ﻭ‬                                             ‫ﻭ‬
                     ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  0 < 1,0 - ‪ ٬  0, 9 x - 1, 9 - x < 0  َ   x - 1,1x‬ﻭﻣﻨﻪ 1,0 < ‪-1, 9 x < 1, 9  َ   0,1x‬‬
                                                                                          ‫ﻭ  1‬
                                                                                    ‫ ﺇﺫﻥ :  1 < ‪x > -  َ   x‬‬
                                              ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ  1 = ‪ ٬  A‬ﻷﻥ 1 -  ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪.  f‬‬
                         ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪  ( D‬ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ 1 = ‪  y‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪  C f‬ﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪:  f‬‬
                                          ‫ ﺍﻟ‬                                                                ‫ 2‬
                           ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 = ) ‪  x lim f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1 = ‪  y‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪.  f‬‬
                                                                                          ‫¥+®‬

                                                                                                                ‫ 3‬
                                                           ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪:  D‬‬
                                             ‫ 2‬                           ‫1+ ‪x‬‬       ‫1 +  ‪x + 1 - x‬‬     ‫ 2‬
                                                 ‫= 1 - )  ‪ ٬  f ( x‬ﺃﻱ 0 >‬      ‫= 1 -‬                ‫=‬       ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                                          ‫ 1 - ‪x‬‬                          ‫1- ‪x‬‬          ‫1- ‪x‬‬          ‫ 1 - ‪x‬‬
                                   ‫ﻭﻣﻨﻪ 0 > 1 - ) ‪  ٬  f ( x‬ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 1 = ‪.  ( D ) : y‬‬


‫ 1‬
                                                                                                  ‫ ‐‬
                                                                                         ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                         ‫ ﺝ‬            ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 3 ﺹ 62  1 :‬
                                                             ‫ 1‬
                                                           ‫‪:  lim‬‬‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺃﻥ :  0 =‬
                                                           ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                             ‫¥+®  ‪x‬‬

                                       ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ : ﻧﻬﺎﻳﺔ  ‪ l‬ﻋﻠﻰ  ¥+ ﺃﻭ  ¥-  ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺮ‬
                                                                                       ‫ﻤ‬
                  ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻫﻨﺎ ﻟ ّﺎ  ‪ x‬ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ ¥+ :  1 ﻋﻠﻰ  ¥+  ﻧﺎﻗﺺ 1  ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ :  0  ﺃﻱ :‬
                                                                                           ‫ 1‬
                                                                               ‫‪.  x lim‬‬
                                                                                     ‫ - ‪®+¥ x‬‬
                                                                                                ‫ 0 =‬
                                                                                              ‫ 1‬

                                                                                         ‫ ﺝ‬            ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 4 ﺹ 62  1 :‬
                                                           ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﺑــ :  3 - ‪: f ( x ) = 2x‬‬

                                                        ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺃﻥ :  ¥+ = ) ‪:  lim  f ( x‬‬
                                                          ‫¥+® ‪x‬‬

                                        ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ : ﻧﻬﺎﻳﺔ 0 > ‪ l‬ﻓﻲ  ¥+ ﺗﺴﺎﻭﻱ ¥+  .‬
                                                                               ‫ﻤ‬
          ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻫﻨﺎ ﻟ ّﺎ  ‪ x‬ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ ¥+ : 0 > 2 ﻓﻲ  ¥+  ﻧﺎﻗﺺ 3  ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ :  ¥+ ٬ ﺃﻱ‬
                                                                      ‫ ¥+ = ) ‪.  lim  f ( x‬‬
                                                                                            ‫¥+® ‪x‬‬



                                                                                         ‫ ﺝ‬            ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 5 ﺹ 62  1 :‬
                                                      ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  [  ¥-]  ﺑــ : ‪: f ( x ) = 1 - x‬‬
                                                                                  ‫1;‬

                                                        ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺃﻥ :  ¥+ = ) ‪:  lim  f ( x‬‬
                                                          ‫¥-® ‪x‬‬

                      ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺑﻐﺾ ﺍﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺠﺬﺭ : ﻧﻬﺎﻳﺔ 0 < ‪ l‬ﻓﻲ  ¥- ﺗﺴﺎﻭﻱ ¥+  .‬
                                                                                   ‫ﻤ‬
        ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻫﻨﺎ ﻟ ّﺎ  ‪ x‬ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ ¥- :  1  ﻧﺎﻗﺺ 0 < 1- ﻓﻲ  ¥-  ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ :  ¥+  ٬ ﺃﻱ :‬
                                                          ‫¥+ = ‪.  lim f ( x ) = lim é 1 - x ù‬‬
                                                                               ‫‪ë‬‬        ‫ ‪û‬‬
                                                                          ‫¥-® ‪x‬‬         ‫¥-®  ‪x‬‬



                                                                                         ‫ ﺝ‬            ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 6 ﺹ 62  1 :‬
                                                                         ‫ 1‬
             ‫+  ‪ ٬  f ( x ) = x‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬                       ‫ [‬
                                                                              ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¥+ ;1]  ﺑــ :‬
                                                                       ‫ 1 - ‪x‬‬

                                                                          ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪  D‬ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎ‬
                                  ‫ ﺩﻟﺘﻪ ‪  y = x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻋﻨﺪ ¥+  :‬                              ‫ 1‬
                                                                       ‫1‬                 ‫‪é 1  ù‬‬
     ‫+ ‪ ٬  xlim é f ( x ) - x ù = xlim é x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬
                                    ‫‪®+¥ ë‬‬            ‫‪û ®+¥ ê‬‬
                                                                              ‫‪ù‬‬
                                                                          ‫‪- x ú = lim ê‬‬        ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :  0 = ‪ú‬‬
                                                               ‫‪ë‬‬     ‫1- ‪x‬‬     ‫‪û‬‬    ‫ 1 - ‪x  ®+¥ x‬‬
                                                                                         ‫‪ë‬‬     ‫ ‪û‬‬
                                                                 ‫‪  y = x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ ¥+  .‬
                                                                                                            ‫ 2‬
                                                       ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪:  D‬‬
                                                  ‫ 1‬                                    ‫1‬            ‫ 1‬
                                                      ‫+ ‪ ٬  f ( x ) - ( x ) = x‬ﺃﻱ 0 >‬      ‫=  ‪- x‬‬        ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                ‫ 1 - ‪x‬‬                                ‫1- ‪x‬‬         ‫ 1 - ‪x‬‬
                           ‫ﻭﻣﻨﻪ 0 > ) ‪  ٬  f ( x ) - ( x‬ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪  C f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪.  ( D ) : y = x‬‬

                                                                                         ‫ ﺝ‬            ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 7 ﺹ 62  1 :‬
                                                                             ‫ 2‬
            ‫- 1 -  ‪ ٬  f ( x ) = 2x‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬     ‫ 2‬
                                                                                  ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﺑــ :‬
                                                                           ‫ 1 + ‪x‬‬

                ‫ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+ :‬    ‫ ‪ C f‬ﻋﻨﺪ ¥-‬                                                                  ‫ 1‬
                                            ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ‪  D‬ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ 1 - ‪  y = 2 x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫ 2‬
                                                                                             ‫ ‐‬
                                                                                    ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                        ‫2‬                                        ‫ 2‬
             ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :  0 = ‪ ٬ lim é f ( x ) - 2x - 1ù = lim é 2x - 1 - 2 - 2x  - 1ù = lim é - 2  ù‬ﻭ‬
                 ‫‪x ®-¥ ë‬‬               ‫‪û x ®-¥ ê‬‬         ‫1+ ‪x‬‬                       ‫‪ú‬‬
                                                                     ‫ 1 + ‪ú x ®-¥ ê x‬‬
                                               ‫‪ë‬‬                     ‫‪û‬‬       ‫‪ë‬‬      ‫ ‪û‬‬
                                                                                    ‫2‬                                   ‫ 2‬
 ‫ 0 = ‪ ٬  lim é f ( x ) - 2x - 1ù = lim é 2x - 1 - 2 - 2x  - 1ù = lim é - 2  ù‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ‬
                    ‫‪x ®+¥ ë‬‬                ‫‪û x ®+¥ ê‬‬         ‫1+ ‪x‬‬                       ‫‪ú‬‬
                                                                         ‫ 1 + ‪ú x ®+¥ ê x‬‬
                                                   ‫‪ë‬‬                     ‫‪û‬‬       ‫‪ë‬‬      ‫ ‪û‬‬
                                               ‫ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+  .‬      ‫ ‪ f‬ﻋﻨﺪ ¥-‬   ‫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1 - ‪  y = 2 x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                 ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪:  D‬‬‫ 2‬
                               ‫ 2‬                                             ‫2‬                      ‫ 2‬
                       ‫-‬   ‫ 2‬
                                   ‫2 - 1 - ‪ ٬  f ( x ) - ( 2 x - 1) = 2x‬ﺃﻱ 0 <‬               ‫ )‬
                                                                                 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 - =  1 -  ‪- ( 2 x‬‬
                             ‫ 1 + ‪x‬‬                                         ‫1+ ‪x‬‬                  ‫ 1 + ‪x‬‬
                  ‫ﻭﻣﻨﻪ 0 < )1 - ‪  ٬  f ( x ) - ( 2x‬ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 1 - ‪.  ( D ) : y = 2x‬‬

                                                                                                           ‫ ﺝ‬            ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                        ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 8 ﺹ 62  1 :‬
                                                                                               ‫ 1‬
‫ + 1 = )  ‪ f ( x‬ﺣﻴﺚ  0{ - ¡ =  ‪ ٬ Df‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬
                                                    ‫ }‬                                                                                 ‫ ﺃ‬
                                                                                                         ‫ (  ﻟﺪﻳﻨﺎ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﺑــ :‬
                                                                                                  ‫‪x‬‬
                                ‫ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+  :‬        ‫ 1 = ‪ ( D ) : y‬ﻛﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥-‬
                                                                                     ‫ ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬                   ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬
                                                                            ‫‪é‬‬    ‫‪ù‬‬       ‫1‬‫‪é 1  ù‬‬
                                         ‫+ 1‪ ٬ lim éf ( x  ) - 1ù = lim ê‬ﻭ‬   ‫‪- 1ú = lim ê‬‬       ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :  0 = ‪ú‬‬
                                             ‫‪x ®-¥ ë‬‬          ‫¥-® ‪û x‬‬
                                                                   ‫‪ë‬‬  ‫‪ê‬‬   ‫‪x‬‬      ‫‪ú x ®-¥ ê x ú‬‬
                                                                                 ‫‪û‬‬        ‫‪ë‬‬     ‫ ‪û‬‬
                                                                          ‫‪é‬‬     ‫1‬      ‫‪ù‬‬        ‫‪é 1  ù‬‬
     ‫+ 1‪ ٬  lim éf ( x  ) - 1ù = lim ê‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1 = ‪  y‬ﻣﻘﺎﺭﺏ‬        ‫‪- 1ú = lim ê‬‬       ‫ 0 = ‪ú‬‬
                                              ‫‪x ®+¥ ë‬‬           ‫¥+® ‪û x‬‬
                                                                          ‫‪ê‬‬
                                                                          ‫‪ë‬‬      ‫‪x‬‬     ‫‪ú x ®+¥ ê x ú‬‬
                                                                                       ‫‪û‬‬        ‫‪ë‬‬      ‫ ‪û‬‬
                                                                      ‫ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ ¥- ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+ .‬
                                                                     ‫ ·  ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ  ‪:  D‬‬
                                                      ‫ 1‬                                 ‫1‬          ‫ 1‬
                                                         ‫+ 1 = )1( - ) ‪ ٬  f ( x‬ﺃﻱ 0 >‬       ‫ = 1 -‬      ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                      ‫‪x‬‬                                   ‫‪x‬‬          ‫‪x‬‬
                                    ‫ﻭﻣﻨﻪ 0 > )1( - ) ‪  ٬  f ( x‬ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 1 = ‪.  ( D ) : y‬‬
                                                                     ‫ 1 1‬
                        ‫ - - = )  ‪ ٬  f ( x‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬     ‫ ( ﻟﺪﻳﻨﺎ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓ‬
                                                                             ‫ ﺔ  ﺑــ :‬                    ‫ ﺏ‬
                                                                     ‫ 2 ‪3  x‬‬
                                                                         ‫ 1‬
                           ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ  ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  - = ‪ ( D ) : y‬ﻛﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥- ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+ :‬
                                                                         ‫ 3‬

                                                                                                                                  ‫: ﺓﺪﻋﺎﻗ‬

                                                                                                                ‫ ‪c‬‬
 ‫ﻲﻔﻜﻳ ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﲎﺤﻨﳌ ﺏﺭﺎﻘﻣ‬    ‫‪y = ax + b‬‬         ‫ﺔﻟﺩﺎﻌﳌﺍ ﻭﺫ ﻢﻴﻘﺘﺴﳌﺍ ﻥﺃ ﺕﺎﺒﺛﻹ‬       ‫،‬       ‫+  ‪f ( x ) = ax + b‬‬            ‫ﻞﻜﺸﻟﺎﺑ ﺔﻓﺮﻌﻣ ﺔﻟﺍﺩ‬    ‫‪f‬‬
                                                                                                              ‫‪x +d‬‬
                                                                                                                   ‫ ‪c‬‬
                                                                                             ‫¥+‬   ‫ﺪﻨﻋ ﻭﺃ‬   ‫¥-‬  ‫ﺪﻨﻋ‬           ‫ﺀﺰﳉﺍ ﺔﻳﺎ‪ ‬ﺏﺎﺴﺣ‬
                                                                                                                 ‫‪x +d‬‬
                                ‫.‬   ‫¥+‬   ‫ﺪﻨ ﻋ ﻭﺃ‬   ‫¥-‬   ‫ﺪﻨﻋ ﺔﻟﺍﺪﻟﺍ ﲎﺤﻨﳌ ﺏﺭﺎﻘﻣ‬       ‫‪y = ax + b‬‬        ‫ﻢﻴﻘﺘﺴﳌﺎﻓ ﺮﻔﺼﻟﺍ ﻱﻭﺎﺴﺗ ﺔﻳﺎﻬﻨﻟﺍ ﺖﻧﺎﻛ ﺍﺫﺈﻓ‬


                                                        ‫ 1‬                       ‫ 1‬
                                    ‫ :  0 = ‪ x lim é - 2  ù‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  - = ‪  ( D ) : y‬ﻣﺴﺘﻘ‬
      ‫ ﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥- ٬ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻋﻨﺪ ¥+‬
                                                                          ‫‪®-¥ ê x ú‬‬
                                                                                            ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                        ‫ 3‬                    ‫‪ë‬‬     ‫ ‪û‬‬

                                                                                ‫ · ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ  ‪:  D‬‬
               ‫ 1‬                             ‫ 1‬                      ‫‪æ 1ö‬‬     ‫1 1 1‬      ‫ 1‬
‫‪( D ) : y‬‬   ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 - = + 2 - - = ÷ - ‪ ٬  f ( x  ) - ç‬ﺃﻱ 0 <  2 -  ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻳﻘﻊ ﺗﺤﺖ - =‬
               ‫ 3‬                            ‫‪x‬‬                        ‫ ‪è 3 ø‬‬   ‫‪3 x‬‬   ‫ 3‬  ‫‪x‬‬


‫ 3‬
                                                                                                               ‫ ‐‬
                                                                                                      ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                            ‫ ﺝ‬            ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 9 ﺹ 62  1 :‬
                                                                        ‫ 5‬
       ‫+ 1 +  ‪ f ( x ) = 2x‬ﺣﻴﺚ  3{ - ¡ =  ‪٬ Df‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ :‬
                                                  ‫ }‬                                                         ‫ ﺃ‬
                                                                               ‫ (  ﻟﺪﻳﻨﺎ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﺑــ :‬
                                                                      ‫ 3 - ‪x‬‬
                       ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ  ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  1 + ‪ ( D ) : y = 2x‬ﻛﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥- ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+  :‬
                                                                                   ‫ 5‬
         ‫‪ lim é‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  1 + ‪ ( D ) : y = 2x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥-  ٬‬         ‫‪ù‬‬
                                                                                        ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                ‫ :  0 = ‪ú‬‬
                                                                  ‫ 3 - ‪x  ®-¥ ê x‬‬
                                                                         ‫‪ë‬‬      ‫ ‪û‬‬
                                                                                   ‫ 5‬
                                                                      ‫‪. lim é‬‬          ‫‪ù‬‬
                                                                               ‫ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻋﻨﺪ ¥+  ﻷﻥ 0 = ‪ê x - 3 ú‬‬
                                                                        ‫¥+®  ‪x‬‬
                                                                               ‫‪ë‬‬       ‫ ‪û‬‬
                                                                       ‫ · ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ  ‪:  D‬‬
                                   ‫ 5‬                                                ‫5‬                  ‫ 5‬
 ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪  C f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ‬           ‫+ 1 + ‪ ٬  f ( x ) - ( 2 x + 1) = 2 x‬ﺃﻱ 0 >‬       ‫= 1 -  ‪- 2 x‬‬       ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                 ‫ 3 - ‪x‬‬                                            ‫3- ‪x‬‬               ‫ 3 - ‪x‬‬
                                                                                     ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 1 + ‪( D ) : y = 2x‬‬
                                                                     ‫ 1‬   ‫ ‪x‬‬
                 ‫+  ‪ ٬  f ( x ) = - x‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬    ‫ 2‬
                                                                                                             ‫ ﺏ  ﻟﺪ‬
                                                                                 ‫ (  ﻳﻨﺎ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ  ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﺑــ :‬
                                                                     ‫2‬  ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                           ‫ 1‬
                        ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ  ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ( D ) : y = -  x‬ﻛﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥- ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+  :‬
                                                                           ‫ 2‬
                                        ‫1‬              ‫1‬        ‫‪x‬‬       ‫ 1‬                  ‫ ‪x‬‬
                    ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :  0 = ‪ ٬ xlim é f ( x ) + x ù = xlim é - x + 2 + x ù = x lim é 2  ù‬ﻭ‬
                          ‫‪®-¥ ê‬‬             ‫2 ‪ú ®-¥ ê‬‬                        ‫ 1 - ‪ú ®-¥ ê x‬‬      ‫‪ú‬‬
                              ‫‪ë‬‬         ‫‪2 û‬‬         ‫‪ë‬‬         ‫‪x -1 2 û‬‬                  ‫‪ë‬‬        ‫ ‪û‬‬
                                              ‫1‬               ‫1‬         ‫‪x‬‬      ‫ 1‬                   ‫ ‪x‬‬
               ‫ 0 = ‪ ٬ lim é f ( x ) + x ù = lim é - x + 2 + x ù = lim é 2  ù‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                                      ‫‪ê‬‬           ‫2 ‪ú x ®+¥ ê‬‬                       ‫ 1 - ‪ú x ®+¥ ê x‬‬    ‫‪ú‬‬
                                ‫¥+® ‪x‬‬
                                      ‫‪ë‬‬       ‫‪2 û‬‬          ‫‪ë‬‬         ‫‪x -1 2 û‬‬                  ‫‪ë‬‬        ‫ ‪û‬‬
                                                                                                          ‫ 1‬
                                          ‫‪  ( D ) : y = -  x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ ¥- ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+ .‬
                                                                                                          ‫ 2‬
                                                                  ‫ ·  ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ  ‪:  D‬‬
                                    ‫ ‪x‬‬                       ‫1‬          ‫1‬        ‫‪x‬‬         ‫ 1‬        ‫ ‪x‬‬
     ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 =  ‪ ٬  f ( x ) - æ - x ö = - x + 2 + x‬ﺃﻱ 0 >  2  ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪  C f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ‬
                                                         ‫‪ç‬‬       ‫÷‬
                                  ‫ 1 - ‪x‬‬                 ‫ ‪è 2 ø‬‬         ‫2‬     ‫2 1- ‪x‬‬               ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                                 ‫ 1‬
                                                                               ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪.  ( D ) : y = -  x‬‬
                                                                                                 ‫ 2‬

                                                                                           ‫ ﺝ‬             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                        ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 01 ﺹ 62  1 :‬
                                                                                      ‫ 2‬
                        ‫ - 3 +  ‪ ٬  f ( x ) = x‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ:‬                                    ‫ ﺃ‬
                                                                                         ‫ (  ﻟﺪﻳﻨﺎ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﺑــ :‬
                                                                                      ‫‪x‬‬
                        ‫ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+  :‬   ‫ ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  3 + ‪ ( D ) : y = x‬ﻛﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥-‬          ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬
                                                                               ‫‪é‬‬      ‫‪2  ù‬‬
 ‫- ‪ x lim ê‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  3 + ‪ ( D ) : y = x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥-  ٬ ﻭﻛﺬﻟﻚ‬                         ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                         ‫ :  0 = ‪ú‬‬
                                                                  ‫¥-®‬
                                                                               ‫‪ë‬‬      ‫ ‪x û‬‬
                                                                                         ‫‪é‬‬   ‫‪2  ù‬‬
                                                                              ‫- ‪. x lim ê‬‬       ‫ﻋﻨﺪ ¥+  ﻷﻥ 0 = ‪ú‬‬
                                                                                   ‫¥+®‬
                                                                                         ‫‪ë‬‬   ‫ ‪x û‬‬
                                                                      ‫ · ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ  ‪:  D‬‬
                                            ‫ 2‬                                         ‫2‬              ‫ 2‬
           ‫-  ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪  C f‬ﻳﻘﻊ ﺗﺤﺖ‬      ‫- 3 + ‪ ٬  f ( x ) - ( x + 3 ) = x‬ﺃﻱ 0 <‬   ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  - = 3 -  ‪- x‬‬
                                            ‫‪x‬‬                                          ‫‪x‬‬              ‫‪x‬‬
                                                                                        ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 3 + ‪. ( D ) : y = x‬‬



‫ 4‬
                                                                                                 ‫ ‐‬
                                                                                        ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                 ‫ ‪sin x‬‬
                      ‫= ) ‪ ٬  f ( x‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ:‬                                        ‫ ﺏ‬
                                                                        ‫ ( ﻟﺪﻳﻨﺎ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﺑــ :  1 +  ‪- x‬‬
                                                                   ‫‪x‬‬
                       ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ  ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  1 + ‪ ( D ) : y = -x‬ﻛﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥- ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+  :‬
                                                               ‫‪sin x‬‬                                 ‫ ‪sin x‬‬
 ‫‪ ٬  lim éf ( x ) - ( - x + 1) ù = lim é‬ﻭ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺸﻲء‬                   ‫‪ù‬‬          ‫‪é‬‬     ‫‪ù‬‬
                                          ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :  0 ¹ ‪û x ®-¥ ê x - x + 1 + x  - 1ú = x lim ê x ú‬‬
                ‫‪x ®-¥ ë‬‬                                                      ‫¥-®‬
                                                  ‫‪ë‬‬                   ‫‪û‬‬          ‫‪ë‬‬     ‫ ‪û‬‬
    ‫ﻭ‬
    ‫ﻋﻨﺪ ¥+  ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1 + ‪  y = -x‬ﻟﻴﺲ ﺑﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥-   َ‬
                                                                                          ‫ﻻ ﻋﻨﺪ ¥+‬
                                                           ‫ · ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ  ‪:  D‬‬
     ‫ ‪sin x‬‬                                                                ‫‪sin x‬‬                     ‫ ‪sin x‬‬
            ‫= ) ‪ ٬  f ( x ) - ( - x + 1) = f ( x‬ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺇﺷﺎﺭﺓ‬        ‫ = 1 -  ‪- x + 1 + x‬‬        ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
       ‫ ‪x‬‬                                                                    ‫‪x‬‬                         ‫‪x‬‬
                                                    ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻳﻘﻊ ﺗﺤﺖ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 3 + ‪.  ( D ) : y = x‬‬

                                                                                               ‫ ﺝ‬             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 11 ﺹ 62  1 :‬
                                                                              ‫ 1 -  ‪x 2  + x‬‬
     ‫= )  ‪ ٬  f ( x‬ﺣﻴﺚ  ¡ =  ‪ ٬  D f‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬                       ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﺑـ‬
                                                                                             ‫ ـ :‬                               ‫ ﺃ‬
                                                                                                                               ‫ (‬
                                                                                ‫ 2 - 1‬‫‪x‬‬
                                                                              ‫1‬       ‫ 3‬
                   ‫ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+  :‬     ‫ﻛﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥-‬          ‫ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ  ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  - ‪( D ) : y = - x‬‬               ‫ ·‬
                                                                              ‫2‬       ‫ 4‬
                                                                                                      ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                                     ‫ :‬
                                                                    ‫2 ‪é‬‬           ‫1‬     ‫3‬     ‫ 2‬ ‫‪6 x  ù‬‬       ‫‪é 1  ù‬‬
      ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬           ‫1 ‪é x 2  + x  - 1 æ‬‬       ‫‪3 ö ù‬‬       ‫‪ê x + x - 1 + 2 x + 4 - x  - 4 ú‬‬          ‫‪ê - ú‬‬
                       ‫‪lim ê‬‬                  ‫‪- ç - x  - ÷ ú = lim ê‬‬                                    ‫ 0 = ‪= lim ê 4  ú‬‬
                                                                                                      ‫¥-® ‪ú x‬‬
                      ‫¥-® ‪x‬‬
                              ‫‪ë 1 - 2x‬‬          ‫2 ‪è‬‬     ‫‪4 ø û x ®-¥ ê‬‬            ‫‪1 - 2x‬‬               ‫‪ú‬‬              ‫‪x‬‬
                                                                                                              ‫‪ê 1 - 2  ú‬‬
                                                                    ‫‪ë‬‬                                 ‫‪û‬‬       ‫‪ë‬‬        ‫ ‪û‬‬
                                 ‫‪é‬‬     ‫‪1  ù‬‬                                                                        ‫1‬      ‫ 3‬
                      ‫ - ‪ ( D ) : y = - x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥- ٬ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻋﻨﺪ ¥+  ﻷﻥ 0 = ‪. lim ê - 4  ú‬‬
                                 ‫‪ê‬‬
                         ‫ 2 - 1 ¥+ ®  ‪x‬‬ ‫‪xú‬‬
                                           ‫‪ú‬‬                                                                       ‫2‬      ‫ 4‬
                                 ‫‪ê‬‬
                                 ‫‪ë‬‬         ‫ ‪û‬‬
                                                                          ‫ ·  ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ  ‪:  D‬‬
                                  ‫ 1‬                                                                     ‫ 1‬
                                                                       ‫1 1 -  ‪x 2  + x‬‬          ‫ 3‬
     ‫= ) 3 + ‪ ٬  f ( x ) - ( x‬ﺃﻱ 0 <  4 -  ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪  C f‬ﻳﻘﻊ‬                    ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  4 - = +  ‪+ x‬‬
                               ‫‪1 - 2x‬‬                                    ‫‪1 - 2x‬‬         ‫2‬       ‫4‬     ‫ 2 - 1‬‫‪x‬‬
                                                                                           ‫1‬       ‫ 3‬
                                                                         ‫ﺗﺤﺖ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  - ‪.  ( D ) : y = - x‬‬
                                                                                           ‫2‬       ‫ 4‬
                                                                                   ‫ 3‬
                           ‫ ( ﻟﺪﻳﻨﺎ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﺑــ :  1 +  2 ‪ ٬  f ( x  ) = x‬ﻭﻟﻴﻜﻦ  ‪  C f‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬
                                                                                                                      ‫ ﺏ‬
                                                                                ‫ 1 - ‪x‬‬
                           ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ  ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ( D ) : y = x‬ﻛﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥- ﻭ ﻋﻨﺪ ¥+  :‬
      ‫1+ 3 ‪é x‬‬      ‫‪ù‬‬        ‫‪é x 3 +1- x 3 + x 2 ù‬‬       ‫ 1 + 2 ‪é x‬‬
                                                                  ‫‪ù‬‬     ‫‪é x 2  ù‬‬
  ‫2 ‪lim ê‬‬      ‫‪- x  ú = lim ê‬‬                                                      ‫ ﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                   ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍ  :  1 = ‪= lim ê 2 ú = lim ê 2  ú‬‬
                                                 ‫¥-® ‪ú x‬‬
 ‫1 - ‪x ®-¥ x‬‬
      ‫‪ë‬‬             ‫‪û x ®-¥ ë‬‬       ‫1- 2 ‪x‬‬       ‫‪û‬‬       ‫ ‪ë x - 1  x ®-¥ ë x û‬‬
                                                                  ‫‪û‬‬
                          ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪  ( D ) : y = x‬ﻟﻴﺲ ﺑﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥-  ٬ ﻭ ﻻ ﻋﻨﺪ ¥+  ﻷﻥ :‬
                                                                                         ‫ 1 + 2 ‪é x‬‬
                                                                                                  ‫‪ù‬‬       ‫‪é x 2  ù‬‬
                                                                                  ‫ 1 = ‪. xlim ê 2 ú = x lim ê 2  ú‬‬
                                                                                      ‫ 1 - ‪®+¥ x‬‬
                                                                                         ‫‪ë‬‬        ‫ ‪û ®+¥ ë x û‬‬
                                                                             ‫ · ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ  ‪:  D‬‬
                                                                     ‫ 2‬                                  ‫3‬                ‫ 2‬
      ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ 1 +  2  ‪ ٬  f ( x ) - x = x 2 + 1 - x  = x‬ﺃﻱ 0 > 1 +  2  ‪  x‬ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪. ( D ) : y = x‬‬
                                                                   ‫ 1 - ‪x‬‬                              ‫1- ‪x‬‬             ‫ 1 - ‪x‬‬



‫ 5‬
                                                                                                     ‫ ‐‬
                                                                                            ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                        ‫ 2‬
                                                           ‫ ­  ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﺃﻭ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻋﻨﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ :‬
                                                                                     ‫ ﺝ‬                  ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 21 ﺹ 62 ٬ 72  1 :‬
         ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡  ﺑــ :  3 + ‪  ٬ f ( x ) = 2x‬ﻧﺮﻳﺪ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺳﻠﻮﻙ ) ‪  f ( x‬ﻟ ّﺎ  ‪  x‬ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ 2  :‬
                            ‫ﻤ‬
                                                          ‫ ( ﻭﺿﻊ ﺗﺨﻤﻴﻦ ﻟﺴﻠﻮﻙ  ) ‪  f ( x‬ﻟ ّﺎ  ‪  x‬ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ 2  :‬
                                                                             ‫ﻤ‬                              ‫ 1‬
‫ ﻋﻨﺪ ﺣﺴﺎﺏ :  7 = 3 + ) 2 ( 2 = ) 2 ( ‪  lim f ( x ) = lim [ 2x + 3] = f‬ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻦ ﺑﺄﻥ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻫﻲ 7‬
                                          ‫2® ‪x‬‬       ‫ 2 ® ‪x‬‬

                            ‫ ﻟ ّﺎ  ‪  x‬ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ 2 . ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻳﺸﻤﻞ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ) 7;2 (  .‬
                                                                                                       ‫ﻤ‬
                                               ‫ [‬
                                ‫ (  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﺎﻝ ﺑﺤﻴﺚ ﻟﻤﺎ ﻳﻨﺘﻤﻲ  ‪ x‬ﺇﻟﻴﻪ ٬ ) ‪ f ( x‬ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ  10 ,7;99 ,6]  :‬ ‫ 2‬
          ‫ﻣﻌﻨﺎﻩ  10 ,7 < ) ‪ ٬  6,99 < f ( x‬ﻳﻜﺎﻓﺊ  10 ,7 < 3 + ‪ ٬  6, 99 < 2 x‬ﻭﻣﻨﻪ  10 ,4 < ‪3, 99 < 2x‬‬
                                                                              ‫ ﻳﻜﺎﻓﺊ  500 ,2  < ‪1, 995 < x‬‬
                                                                                                  ‫ [‬
                                                                             ‫ ﺇﺫﻥ:  500 ,2 ;599,1] ‪.  x Î‬‬
                                                                       ‫ 3(  ‪  a‬ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺣﻴﺚ 1 < ‪: 0 < a‬‬
                 ‫ ·  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻪ  ‪ x‬ﻟ ّﺎ ) ‪  f ( x‬ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ [ ‪:  ]7 - a ;7 + a‬‬
                                                        ‫ﻤ‬
‫ ﻣﻌﻨﺎﻩ ‪  ٬  7 - a < 2x + 3 < 7 + a‬ﻳﻜﺎﻓﺊ  3 - ‪  ٬  7 - a - 3 < 2x + 3 - 3 < 7 + a‬ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                 ‫‪4 -a‬‬        ‫‪4 + a‬‬
                                            ‫ ٬‬        ‫ < ‪< x‬‬       ‫‪ ٬  4 - a < 2x < 4 + a‬ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻜﺎﻓﺊ‬
                                                   ‫2‬           ‫ 2‬
                                                                                      ‫‪4 -a 4 +a é‬‬
                                                                             ‫‪. x Îù‬‬ ‫ : ‪ú 2 ;  2  ê‬‬   ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                    ‫‪û‬‬             ‫ ‪ë‬‬
    ‫ﻤ‬
‫ ‪  f‬ﻫﻲ 7  ﻟ ّﺎ  ‪x‬‬                                                                 ‫ ﺻﻐ‬
                    ‫ · ﻋﻨﺪ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ  ‪  a‬ﻴﺮ ﺑﺎﻟﻘﺪﺭ ﺍﻟﺬﻱ ﻧﺮﻳﺪ ٬  ﻧﺠﺪ  2 = ‪  x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                         ‫ ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ 2 . ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻦ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﺻﺤﻴﺢ .‬

                                                                                            ‫ ﺝ‬             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 31 ﺹ 72  1 :‬
                                                         ‫ 2 +  ‪x‬‬
                                              ‫= )  ‪:  f ( x‬‬                              ‫ ﻟﻠﺪ‬
                                                                   ‫ ­  ﺗﺨﻤﻴﻦ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ 4  ﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ :‬
                                                         ‫ 2 - ‪x‬‬
                                                            ‫‪é x  + 2 ù‬‬               ‫ 6 2 + 4‬
‫‪  lim f ( x ) = lim ê‬ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻦ ﺑﺄﻥ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻫﻲ 3‬              ‫= ) 4 (  ‪= f‬‬        ‫ ﻋﻨﺪ ﺣﺴﺎﺏ : 3 = =‬
                                       ‫4® ‪x‬‬          ‫‪x  ® 4  x - 2 ú‬‬                 ‫ 2 2 - 4‬
                                                            ‫‪ë‬‬        ‫ ‪û‬‬
                                                                                                       ‫ﻤ‬
                                                                                     ‫ ﻟ ّﺎ  ‪  x‬ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ 4 .‬
                                                      ‫ [‬
                              ‫ ­  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﺎﻝ  ‪  I‬ﻣﺮﻛﺰﻩ 4 ﺑﺤﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ٬ x ΠI‬ﻓﺈﻥ  50 ,3;59,2] ‪:  f ( x ) Î‬‬
                                                       ‫ 2 +  ‪x‬‬
      ‫٬ ﺑﻀﺮﺏ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﺟﺤﺔ ﻓﻲ ) 2 - ‪( x‬‬          ‫< 59,2‬       ‫ﻣﻌﻨﺎﻩ 50 ,3 < ) ‪ ٬  2,95 < f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  50 ,3 <‬
                                                       ‫ 2 - ‪x‬‬
               ‫ﻧﺠﺪ ) 2 - ‪ ٬  2,95 ( x - 2) < x + 2 < 3, 05 ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  1,6 - ‪٬  2, 95x - 5, 9 < x + 2 < 3, 05x‬‬
                                 ‫ 50,4 <  ‪ìx‬‬       ‫ 9,7 <  ‪ì1, 95x‬‬                   ‫ 9 ,5 -  ‪ìx + 2 > 2,95x‬‬
     ‫‪ ٬  í‬ﻳﻜﺎﻓﺊ  50 ,4 < ‪3, 95 < x‬‬           ‫‪ ٬  í‬ﺃﻱ‬                         ‫‪ ٬  í‬ﻭﻣﻨﻪ‬                       ‫ ﻳﻜﺎﻓﺊ‬
                                   ‫‪x‬‬
                                 ‫ 59,3 >  ‪î‬‬        ‫ 1,8 > ‪î  05x‬‬
                                                     ‫,2‬                               ‫‪x‬‬
                                                                                     ‫ 1,6 - ‪î  + 2 < 3, 05x‬‬
                                                                                                            ‫ [‬
                                                                                      ‫ ﺇﺫﻥ:  50 ,4;59,3] = ‪.  x Î I‬‬

                                                                                            ‫ ﺝ‬             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 41 ﺹ 72  1 :‬
                                          ‫= )  ‪:  f ( x‬‬   ‫4 +  ‪3 x‬‬        ‫ ­  ﺗﺨﻤﻴﻦ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ 2 ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ :‬
                                                                     ‫ 2‬
                                                          ‫‪(x‬‬   ‫ ) 2  -‬
                                                                            ‫ 4 + 6 ‪é 3x  + 4 ù‬‬
‫‪  lim f ( x  ) = lim ê‬ﻳﻤﻜﻦ  ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻦ  ﺑﺄﻥ  ﻧﻬﺎﻳﺔ  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻫﻲ ) ¥+ (‬                   ‫‪2  ú‬‬
                                                                                            ‫: ¥+ = + =‬   ‫ ﻋﻨﺪ  ﺣﺴﺎﺏ‬
                                                  ‫2® ‪x‬‬              ‫ 2 ®  ‪x‬‬
                                                                            ‫‪ê ( x - 2 )  ú‬‬
                                                                            ‫‪ë‬‬             ‫ 0  ‪û‬‬
                                                                                                                  ‫ﻤ‬
                                                                                                ‫ ﻟ ّﺎ  ‪  x‬ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ 2 .‬
‫ 6‬
                                                                                                  ‫ ‐‬
                                                                                         ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                ‫ ­  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ a‬ﺑﺤﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  [‪ x Î ]2 - a; 2 + a‬ﻓﺈﻥ  01 > ) ‪: f ( x‬‬
                                              ‫ 3‬


                                                             ‫ 2‬         ‫ 4 +  ‪3x‬‬                                   ‫ 3‬
                                  ‫٬ ﻭﻣﻨﻪ  ) 2 - ‪٬  3x + 4 > 103  ( x‬‬               ‫ 2‬
                                                                                        ‫ 01 > ) ‪  f ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ :  01 >‬
                                                                                            ‫ 3‬

                                                                       ‫ ) 2 - ‪( x‬‬
                                                                                                 ‫(‬
                          ‫ 2 + ‪ ٬  3x + 4 > 103 x 2  - 4 x‬ﻭﻣﻨﻪ  0002 + ‪3x + 4 > 1000 x 2  - 4000 x‬‬              ‫ﺃﻱ  )‬
                                                                                ‫ 2‬
                                                                                                    ‫ ﻳﻜﺎﻓ‬
                                                                     ‫ ﺊ  0 < 6993 + ‪٬  1000 x - 4003x‬‬
                                                                                          ‫ ﻧﺤﻞ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﺟﺤﺔ‬
                                                                                         ‫ :‬
                                  ‫ 9004 - 3004‬            ‫ 9004 + 3004‬
                               ‫ =  1 ‪x‬‬         ‫ =  1 ‪٬  x‬‬               ‫ : 9004 = ‪  D‬ﻭﻣﻨﻪ :‬ ‫ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ‬
                                      ‫ 0002‬                   ‫ 0002‬
                                                        ‫9004 - 3004‬           ‫ 9004 + 3004‬
                 ‫ ﻭﻣﻨﻪ  942115101,2 < ‪1, 901488751 < x‬‬                 ‫ < ‪< x‬‬                  ‫ ﺃﻱ‬
                                                             ‫0002‬                  ‫ 0002‬
                                                                  ‫ [‬
                                                     ‫ ﺇﺫﻥ:  1,2 + 2 ;9,1 - 2] ‪ x Î‬ﺃﻱ  1,4 ;1,0] ‪x Î‬‬
                                                                                            ‫ [‬
                                                                                               ‫ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﺧﺬ  1,0 = ‪.  a‬‬

                                                                                            ‫ ﺝ‬             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 51 ﺹ 72  1 :‬
          ‫‪y‬‬                                                             ‫ 1‬
          ‫ 1‬                                        ‫- = ) ‪:  f ( x‬‬                         ‫ [‬
                                                                              ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¥+ ;2]  ﺑــ :‬
                                                                       ‫ 2 - ‪x‬‬
          ‫ 0‬
        ‫ ‪­1  1  2  3  4  5  6  x‬‬
         ‫ 1­‬
                   ‫ ‪C f‬‬‫ ) (‬                                        ‫ ( ﻟﺪﻳﻨﺎ  )  ‪  (C f‬ﻫﻮ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪: f‬‬
                                                                                                                   ‫ 1‬
         ‫ 2­‬
         ‫ 3­‬                             ‫ ·  ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻧﺨﻤﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺴﻠﻮﻙ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆﻭﻝ  ‪  x‬ﺇﻟﻰ  2‬
                                                                           ‫ﺑﺄﻥ  )  ‪ (C f‬ﻳﺆﻭﻝ ﺇﻟﻰ ) ¥- (  .‬
                                                                                   ‫ﻣ‬
                                                                                 ‫ (  ‪  A‬ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﺗﻤﺎ ًﺎ:‬     ‫ 2‬
                                          ‫ ·  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻪ  ‪ x‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ  - £ ) ‪:  f ( x‬‬
                                                        ‫‪A‬‬

                                                                                            ‫ ﺝ‬      ‫ 6‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  1 ﺹ 72  1 :‬
                                   ‫ 5 +  ‪2 x‬‬
                        ‫= )  ‪: f ( x‬‬                                                  ‫ﻭ‬
                                             ‫ ( ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ ¥- َ  ¥+  ﻭﻋﻨﺪ 1 ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ :‬     ‫ 1‬
                                    ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                   ‫‪2x + 5 ù‬‬              ‫ ‪x‬‬
                                                                                                     ‫‪é 2  ù‬‬
                                                         ‫‪. xlim f ( x  ) = xlim é‬‬           ‫ 2 = ‪= lim ê ú‬‬
                                                                             ‫‪®-¥ ê x - 1  ú‬‬
                                                             ‫¥-®‬
                                                                                 ‫‪ë‬‬         ‫ ‪û x ®-¥ ë x û‬‬
                                                                                   ‫‪2x + 5 ù‬‬              ‫ ‪x‬‬
                                                                                                     ‫‪é 2  ù‬‬
                                                         ‫‪. xlim f ( x  ) = xlim é‬‬‫ 2 = ‪ê x - 1  ú = x lim ê x ú‬‬
                                                             ‫¥+®‬             ‫¥+®‬
                                                                                 ‫‪ë‬‬         ‫ ‪û ®+¥ ë û‬‬
                                                                                ‫‪2 x  + 5 ù‬‬         ‫‪é 7  ù‬‬
                                                   ‫‪. lim f ( x  ) = lim é‬‬
                                                         ‫<‬                ‫<‬   ‫¥- = ‪ê x - 1 ú = x lim 1 ê 0  ú‬‬
                                                                                              ‫<‬        ‫-‬
                                                     ‫1 ¾¾ ‪x‬‬‫®‬           ‫‪x ¾¾ 1 ë‬‬
                                                                            ‫®‬            ‫‪û‬‬   ‫‪¾¾ ë‬‬‫®‬       ‫ ‪û‬‬
                                                                                ‫‪2 x  + 5 ù‬‬         ‫‪é 7  ù‬‬
                                                   ‫‪.  lim f ( x  ) = lim é‬‬
                                                         ‫>‬                ‫>‬   ‫¥+ = ‪ê x - 1 ú = x lim 1 ê 0  ú‬‬
                                                                                               ‫>‬       ‫+‬
                                                     ‫1 ¾¾ ‪x‬‬‫®‬           ‫‪x ¾¾ 1 ë‬‬
                                                                            ‫®‬            ‫‪û‬‬   ‫‪¾¾ ë‬‬‫®‬       ‫ ‪û‬‬
                                                    ‫ (  ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺑﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪:  f‬‬   ‫ 2‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 = ) ‪  ٬  lim f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ﺫﻭ  ﺎﺩﻟﺔ  2 = ‪  y‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ  ﻣﻘﺎﺭﺏ  ﺃﻓﻘﻲ  ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻓﻲ‬
                                                             ‫ ﺍﻟﻤﻌ‬
                                                                                              ‫¥±® ‪x‬‬

                                                                                                      ‫ﻭ‬
                                                                                               ‫َ  ¥+  .‬   ‫ ¥-‬   ‫ﺟﻮﺍﺭ‬
                                                               ‫5 + ‪2x‬‬        ‫2 +  ‪2 x + 5 - 2x‬‬      ‫ 7‬
                                                ‫= 2 - )  ‪f ( x‬‬        ‫= 2 -‬                    ‫=‬        ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                                ‫1- ‪x‬‬               ‫1- ‪x‬‬           ‫ 1 - ‪x‬‬
                     ‫ﻤ‬                        ‫ﻤ‬
          ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  2 = ‪  y‬ﻟ ّﺎ  1 > ‪ ٬  x‬ﻭﻳﻘﻊ ﺗﺤﺘﻪ ﻟ ّﺎ  1 < ‪.  x‬‬
‫ﻭ  ﻟﺪﻳﻨﺎ  ﻛﺬﻟﻚ  ¥- = ) ‪  ٬  lim  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ﺫﻭ  ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1 = ‪  x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ  ﻣﻘﺎﺭﺏ  ﻋﻤﻮﺩﻱ  ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬
                                                                               ‫<‬
                                                                            ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                ‫®‬

                                                                                            ‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎﺭ 1 .‬
‫ 7‬
                                                                                                  ‫ ‐‬
                                                                                         ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
‫ ‪f‬‬   ‫ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ  ¥+ = ) ‪ ٬  lim  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1 = ‪  x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬        ‫>‬
                                                                                                       ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                                           ‫®‬

                                                                                                                           ‫ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ 1 .‬

                                                                                                          ‫ ﺝ‬      ‫ 7‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  1 ﺹ 72  1 :‬
                                                                                                             ‫ 3-‬‫ ‪x‬‬
                                                                                       ‫= )  ‪f ( x‬‬                   ‫ ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺪﺩﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ :‬
                                                                                                             ‫ 2 + ‪x‬‬

                       ‫ (  ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺛﻢ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﻋﻨﺪ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ :‬      ‫ 1‬
     ‫ )  ‪  f ( x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻌﻨﺎﻩ  0 ¹ 2 + ‪ ٬  x‬ﻭﻣﻨﻪ 2 - ¹ ‪ ٬ x‬ﺃﻱ ﺃﻥ  [¥+ ;2-] ‪.  D f  = ¡ - {-2} = ]-¥; -2[ U‬‬
                                                                                            ‫ ­  ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ :‬
                                                                              ‫‪é‬‬            ‫‪ù‬‬        ‫‪é‬‬     ‫‪ù‬‬
                                                             ‫‪é‬‬ ‫‪-3x  ù‬‬         ‫‪ê x  ( -3  ú‬‬
                                                                                       ‫‪)  ú‬‬         ‫‪ê -3  ú‬‬
                                    ‫.‬    ‫‪lim f ( x  ) = lim ê‬‬
                                        ‫¥-® ‪x‬‬           ‫ 2 +  ‪x ®-¥ x‬‬
                                                             ‫‪ë‬‬       ‫‪ú = xlim ê æ‬‬             ‫‪= lim ê‬‬
                                                                     ‫‪û ®-¥ ê x  1 + 2 ö ú x ®-¥ ê1 + 2  ú‬‬
                                                                                                          ‫ 3- = ‪ú‬‬
                              ‫ ‪y‬‬                                              ‫‪ê ç x ÷ú‬‬
                                                                              ‫‪ë è‬‬        ‫ ‪ø û‬‬       ‫‪ë x  û‬‬
                              ‫ 2‬
                                                                                                                 ‫ ‪-3x‬‬         ‫ 6‬
                              ‫ 1‬                             ‫‪. lim f ( x  ) = lim  é‬‬           ‫‪ù é ù‬‬
                                                                                                 ‫¥- = ‪= ê - ú‬‬
                                                                             ‫‪x  ¾¾ -2  ê x + 2 ú‬‬
                                                                                               ‫ ‪û ë 0  û‬‬
                                                                   ‫<‬                              ‫<‬
                                                              ‫2- ¾¾ ‪x‬‬
                                                                 ‫®‬               ‫®‬     ‫‪ë‬‬
               ‫ 0  2­  4­‬
             ‫ ‪­5  ­3  ­1  1  2  3  4  5  x‬‬
                                                                                                               ‫‪-3x  ù é 6  ù‬‬
                                                                               ‫‪( x  ) = x  ¾¾ -2  é‬‬
                         ‫ 1­‬
                ‫ 2­  2 - = ‪x‬‬          ‫ )  ‪(C f‬‬       ‫‪. lim f‬‬                               ‫‪lim  ê‬‬                    ‫¥+ = ‪ú = ê + ú‬‬
                                                                                                             ‫ ‪ë x + 2 û ë 0  û‬‬
                                                         ‫>‬                                        ‫>‬
                                                      ‫2- ¾¾ ‪x‬‬
                                                           ‫®‬                                 ‫®‬
                         ‫ 3­‬ ‫ 3 - = ‪y‬‬                                                                ‫‪é‬‬     ‫‪ù‬‬
                         ‫ 4­‬                                                                         ‫‪ê -3  ú‬‬
                                                                                    ‫‪é -3x  ù‬‬
                         ‫ 5­‬                   ‫ ‪.  xlim f x‬‬
                                                    ‫¥+®‬
                                                                       ‫(‬   ‫‪) = xlim ê‬‬           ‫‪lim‬‬
                                                                                           ‫ 3- = ‪ú = x ®+¥ ê 2  ú‬‬
                                                                                 ‫ 2 +  ‪®+¥ x‬‬
                         ‫ 6­‬                                                        ‫‪ë‬‬      ‫‪û‬‬         ‫‪ê1 + ú‬‬
                                                                                                     ‫ ‪ë x û‬‬
    ‫ (  ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺑﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻭﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﺿﻌﻴﺘﻪ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻷﻓ‬
‫ ﻘﻲ :‬                                                                                                    ‫ 2‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  - = ) ‪  lim f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ﺫﻭ  ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3 - = ‪  y‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ  ﻣﻘﺎﺭﺏ  ﺃﻓﻘﻲ  ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻓﻲ‬
                                                                                                 ‫ 3‬
                                                                                                             ‫¥±®  ‪x‬‬

                                                                                                   ‫ﻭ‬
                                                                                            ‫ﺟﻮﺍﺭ  ¥- َ  ¥+  .‬
                                                                                       ‫ ‪-3x‬‬           ‫ 6‬
                                                                        ‫= 3 - )  ‪f ( x‬‬       ‫= 3 +‬         ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                                                       ‫2+ ‪x‬‬         ‫ 2 + ‪x‬‬
                   ‫ﻤ‬                          ‫ﻤ‬
      ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  3 - = ‪  y‬ﻟ ّﺎ  2 - > ‪ ٬  x‬ﻭﻳﻘﻊ ﺗﺤﺘﻪ ﻟ ّﺎ  2 - < ‪.  x‬‬
‫ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ  ¥- = ) ‪ ٬  lim  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  2 - = ‪  x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬
                                                                                          ‫<‬
                                                                                       ‫ 2 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                           ‫-®‬

                                                                         ‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎﺭ 2 -  .‬
‫ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ  ¥+ = ) ‪ ٬  lim  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  2 - = ‪  x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬       ‫>‬
                                                                                                      ‫ 2- ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                                          ‫®‬

                                                                                                                   ‫ ‪  f‬ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ 2 -  .‬

                                                                                                                                        ‫ 3‬
                                                                                                                 ‫ ­  ﺗﺘﻤﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ :‬
                                                                                                          ‫ ﺝ‬      ‫ 8‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  1 ﺹ 72  1 :‬
                                                    ‫ ﺃ(  1 + ‪ ٬ f ( x ) = 2x 3  - x‬ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+ :‬
                                                          ‫ﻭ‬
                                                      ‫¥- = ‪. lim f ( x ) = lim é 2x 3 - x + 1ù = lim é 2  3 ù‬‬
                                                                          ‫‪ë‬‬             ‫‪û‬‬       ‫ ‪ë x û‬‬
                                                           ‫¥-® ‪x‬‬               ‫¥-® ‪x‬‬                                  ‫¥-® ‪x‬‬

                                                      ‫¥+ = ‪.  lim f ( x ) = lim é 2x - x + 1ù = lim é 2  3 ù‬‬
                                                                                              ‫3‬
                                                                                        ‫ ‪û x ®+¥ ë x û‬‬
                                                        ‫¥+® ‪x‬‬          ‫‪x ®+¥ ë‬‬

                                                ‫ ﺏ(  4 + ‪ ٬ f ( x ) = -3x 4  + 2x‬ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+ :‬
                                                       ‫ﻭ‬
                                                 ‫¥- = ‪.  lim f ( x ) = lim é -3x 4 + 2x + 4ù = lim é -3  4 ù‬‬
                                                                       ‫‪ë‬‬              ‫‪û‬‬       ‫ ‪ë x û‬‬
                                                   ‫¥-® ‪x‬‬               ‫¥-® ‪x‬‬                                       ‫¥-® ‪x‬‬




‫ 8‬
                                                                                                                ‫ ‐‬
                                                                                                       ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                          .  lim f ( x ) = lim é -3x 4 + 2x + 4ù = lim é -3  4 ù = -¥
                                                                                               û x ®+¥ ë x û 
                                                            x ®+¥          x ®+¥ ë

                                                       : +¥  َ -¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) = - x 3 + x 2  + x + 1  (‫ ﺝ‬
                                                               ‫ﻭ‬
                                                         . lim f ( x ) = lim é -x 3 + x 2 + x + 1ù = lim  é -x 3 ù = +¥
                                                                                ë                û        ë      û 
                                                             x ®-¥                 x ®-¥                              x ®-¥

                                                         .  lim f ( x ) = lim é -x 3 + x 2 + x + 1ù = lim  é -x 3 ù = -¥
                                                           x ®+¥          x ®+¥ ë                 û x ®+¥ ë       û 

                                                                                                               ‫ ﺝ‬      9      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                            : 1  27 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  1 ﺹ‬
                                                                                                                                          x  - 1 
                                                                         ‫ﻭ‬
                                                       : - 1 ‫َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬              -¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f             ( x  ) =            (‫ ﺃ‬
                                                                                                                                          x + 1 
                .                       é x - 1 
                                               ù          é x  ù    ٬                                      é x - 1 
                                                                                                                  ù          é x  ù
                    lim f ( x  ) = lim ê       ú = x lim ê x ú = 1                     lim f ( x  ) = lim ê       ú = x lim ê x ú = 1 
                    x ®+¥          x ®+¥ x + 1        ®+¥                              x ®-¥          x ®-¥ x + 1        ®-¥
                                        ë      û          ë û                                              ë      û          ë û 
                                          x  - 1       -2                                                        x  - 1         -2 
     .  lim f ( x  ) = lim  é
            >                   >
                                       ù é ù
                               ê x + 1 ú = ê 0  ú = -¥ ٬ x ¾¾ -1 f ( x  ) = x  ¾¾ -1 ê x + 1 ú = ê 0  ú = +¥
                                              +
                                                           lim                 lim <
                                                                                     é       ù é ù
                                                                                                    -   <
       x ¾¾ -1
           ®          x  ¾¾ -1 ë
                           ®           û ë û                 ®                   ® ë         û ë û 
                                                                                                                                     2 x  2  + 5
                                                     : 2  ‫َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬
                                                                      ‫ﻭ‬            -¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f              ( x  ) =               (‫ ﺏ‬
                                                                                                                                      x - 2 
                       é 2x 2 + 5 ù        é 2  2  ù
                                              x                                                 é 2x 2 + 5 ù        é 2  2  ù
                                                                                                                       x 
 lim f ( x  ) = lim ê             ú x  ® +¥ x ú = +¥
                                    = lim  ê                         ٬     lim f ( x  ) = lim ê              = lim  ê
                                                                                                           ú x ®-¥ x ú = -¥
x ® +¥          x ® +¥
                       ë x - 2  û          ë       û                      x ®-¥           x ®-¥
                                                                                                ë x - 2  û          ë       û 
                                    é 2 x 2  + 5 ù
                                       é ù            13                                    é ù             é 2 x 2  + 5 ù       13 
 .  lim f ( x  ) = lim  ê          ú = ê + ú = +¥ ٬ x lim 2 f ( x  ) = x  lim 2 ê       ú = ê - ú = -¥
                           ë x - 2 û  ë 0  û                                    ë x - 2 û  ë 0  û
        <                   <                                                  <                    <
   x ¾¾ 2
       ®          x  ¾¾ 2 
                       ®                              ¾¾®                 ¾¾®

                                                                                                                                     -4 x  + 1 
                                                     : 3  ‫َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬
                                                                      ‫ﻭ‬            -¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f              ( x  ) =              (‫ ﺝ‬
                                                                                                                                      3 - x
                           é -4 x + 1 ù              x 
                                                é -4  ù      ٬                                    é -4 x + 1 ù              x 
                                                                                                                       é -4  ù
      lim f ( x  ) = lim ê            ú = x ®+¥ ê - x ú = 4 
                                           lim                               lim f ( x  ) = lim ê                 lim
                                                                                                             ú = x ®-¥ ê - x ú = 4 
     x ®+¥           x ®+¥
                           ë 3 - x û            ë       û                   x ®-¥           x ®-¥
                                                                                                  ë 3 - x û            ë       û 
                        é -4 x  + 1 ù é -11  ù                                    é -4 x  + 1 ù é -11 
                                                                                                     ù
  lim f ( x  ) = lim  ê             ú = ê 0  ú = +¥ ٬ x lim 3 f ( x  ) = x  lim 3 ê 3 - x ú = ê 0  ú = -¥
                                           -                                                       +
                x  ¾¾ 3 ë 3 - x û
    >               >                                     <                   <
x ¾¾ 3®               ®                 ë    û          ¾¾  ®               ¾¾ ë®             û ë    û 

                                                                                                               ‫ ﺝ‬             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                            : 1  27 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 02 ﺹ‬
                                                                                                                                         x 
                                                                         : +¥  َ
                                                                               ‫ﻭ‬       -¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f             ( x  ) =     2 
                                                                                                                                               (‫ ﺃ‬
                                                                                                                                        x + 1 
                     é x ù        é x  ù                                                       x            é x  ù          é 1 ù
 lim f ( x  ) = lim ê 2 ú = lim ê 2  ú = 0  ٬ lim f                       ( x  ) = xlim é
                                                                                     ®-¥ ê     2
                                                                                                  ù
                                                                                                                       lim
                                                                                                  ú = xlim ê x 2  ú = x ®-¥ ê x ú = 0 
x ®+¥           x ®+¥ x + 1 
                     ë     û x ®+¥ x
                                  ë û         x ®-¥
                                                                                           ë x + 1 
                                                                                                  û     ®-¥
                                                                                                            ë û             ë û 
                                                                                                                                        x  + 1 
                                                     : 2  ‫َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬
                                                                      ‫ﻭ‬            -¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f              ( x  ) =             2 
                                                                                                                                                    (‫ ﺏ‬
                                                                                                                                     ( x - 2 ) 
                                                  é x +1 ù                é x +1 ù                  é x  ù           é 1 ù
                             lim f ( x  ) = lim ê           2 
                                                               ú = lim ê 2               ú = xlim ê x 2  ú = x lim ê x  ú = 0 
                            x ®-¥           x ®-¥
                                                  ê ( x - 2  ú
                                                  ë        )  û    x ®-¥ x - 4 x + 4 
                                                                          ë              û      ®-¥
                                                                                                    ë û          ®-¥
                                                                                                                     ë û
                                                                                            é x + 1  ù              é x  ù
                                                                       lim f ( x  ) = lim ê            2 
                                                                                                          ú = lim ê 2  ú = 0 
                                                                      x ®+¥           x ®+¥
                                                                                            ê ( x - 2 )  ú
                                                                                            ë             û
                                                                                                              x ® +¥ x 
                                                                                                                    ë û
                                                                                                            é x  + 1 ù é 3  ù
                                                                             . lim f ( x ) = lim ê                    2  ú
                                                                                                                           =     = +¥
                                                                               x ®2          x ® 2 
                                                                                                                     )  û  ê + ú
                                                                                                            ê ( x - 2  ú ë 0  û
                                                                                                            ë




9 
                                                                                                                     ‐ 
                                                                                                            www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                                                                  x 3  + 1 
                                                 : 0  ‫َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬
                                                                  ‫ﻭ‬                -¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f          ( x  ) =              (‫ ﺝ‬
                                                                                                                                    x 2 
                               é x 3 + 1 
                                        ù  é x 3  ù                                                   é x 3 + 1 
                                                                                                               ù     é x 3  ù
          lim f ( x  ) = lim ê 2 ú = lim  ê 2  ú = +¥                   ٬    lim f ( x  ) = lim ê 2 ú = lim  ê 2  ú = -¥
         x ®+¥           x ®+¥
                               ë x û x ®+¥ ë x û                            x ®-¥             x ®-¥
                                                                                                      ë x û x ®-¥ ë x û 
                                                                                                          3 
                                                                             .  lim f ( x  ) = lim é x  + 1 ù = lim  é 1  ù = +¥
                                                                                                       ê x 2  ú x ®+¥ ê 0  ú
                                                                                                                         +
                                                                                x ®0            x ® 0 
                                                                                                       ë        û     ë û

                                                                                                        ‫ ﺝ‬             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                     : 1  27 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 12 ﺹ‬
                                                                                                                                      3 
                                            : 0  ‫َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬
                                                             ‫ﻭ‬              -¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f         ( x ) = 2x  - 1 +          (‫ ﺃ‬
                                                                                                                                      x
                                  é         3 ù                                         é         3 ù
          .   lim f ( x ) = lim ê 2 x  - 1 + ú = +¥             ٬   lim f ( x ) = lim ê 2 x  - 1 + ú = ( -¥ ) - 1 + 0 = -¥
              x ®+¥         x ®+¥
                                  ë         x û                     x ®-¥         x ®-¥
                                                                                        ë         x û 
                                                                                  3ù é             3  ù
                                                   . lim f ( x ) = lim é 2x  - 1 +
                                                                           ê        ú = ê 0 - 1 + 0  ú = -¥
                                                                                                    -
                                                     x ¾¾ 0
                                                        ®
                                                            <
                                                                  x  ¾¾ 0  ë
                                                                       ®           x  <
                                                                                    û ë               û 
                                                                                  3                3 
                                                  .  lim f ( x ) = lim é 2x  - 1 + ù = é 0 - 1 + + ù = +¥
                                                                           ê        ú ê
                                                       >
                                                    x ¾¾ 0
                                                         ®
                                                                      >
                                                                  x  ¾¾ 0  ë
                                                                        ®         xû ë            0  úû 
                                                                                                         1 
                                                           ‫ﻭ‬
                                         : - 1 ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬f ( x  ) = 3 -          2 
                                                                                                                (‫ ﺏ‬
                                                                                                    ( x + 1 ) 
                                   é         3 ù                                         é         3 ù
          .    lim f ( x ) = lim ê 2 x  - 1 + ú = +¥            ٬    lim f ( x ) = lim ê 2 x  - 1 + ú = ( -¥ ) - 1 + 0 = -¥
              x ®+¥          x ®+¥
                                   ë         x û                    x ®-¥          x ®-¥
                                                                                         ë         x û 
                                                                                  3ù é             3  ù
                                                   . lim f ( x ) = lim é 2x  - 1 +    = ê 0 - 1 + - ú = -¥
                                                                  x  ¾¾ 0  ê       xú              0  û 
                                                            <                         <
                                                     x ¾¾ 0
                                                        ®              ® ë          û ë
                                                                                  3                3 
                                                 .  lim f ( x ) = lim é 2x  - 1 + ù = é 0 - 1 + + ù = +¥
                                                                          ê         ú ê
                                                       >
                                                    x ¾¾ 0
                                                         ®
                                                                     >
                                                                 x  ¾¾ 0  ë
                                                                       ®          xû ë             0  ú
                                                                                                      û 
                                                                                                           1 
                                       : 3  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬f ( x ) = x 2  + x  -
                                                          ‫ﻭ‬                                                     (‫ ﺝ‬
                                                                                                         x - 3 
                          é              1  ù                                       é           1  ù
.     lim f ( x ) = lim  ê x 2  + x  -          = +¥    ٬       lim f ( x ) = lim ê x 2 + x -            lim  ë 2 û
                                                                                                    ú = x ®-¥ é x  ù = +¥
    x ®+¥           x ®+¥
                          ë            x - 3 ú
                                             û                  x ®-¥         x ®-¥
                                                                                    ë         x - 3 û 
                                                                                                    1                     1 
                                              . lim f ( x ) = lim é x 2  + x  -
                                                                     ê
                                                                                      ù é             ù
                                                                                      ú = ê9 + 3 - 0  ú = +¥
                                                                                                    -
                                                    <
                                                x ¾¾ 3
                                                    ®        x  ¾¾ 3 ë
                                                                 ®
                                                                              <
                                                                                x - 3 û  ë            û
                                                                                                    1                      1 
                                              .  lim f ( x ) = lim é x 2  + x  -
                                                                      ê
                                                                                       ù é             ù
                                                                                       ú = ê9 + 3 - 0  ú = -¥
                                                                                                     +
                                                    >
                                                x ¾¾ 3
                                                    ®         x  ¾¾ 3 ë
                                                                  ®
                                                                              >
                                                                                 x - 3 û  ë            û

                                                                                                        ‫ ﺝ‬              ‫ ﺣﻞ ﺍ‬
                                                                                                     : 1  27 ‫ ﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 22 ﺹ‬
                                                                                                                            1 
                            : 4 ‫َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ  1 ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬
                                                      ‫ﻭ‬              -¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f           ( x  ) =
                                                                                                                    ( x - 1)( 4 - x )  (‫ ﺃ‬
                                                      é        1                    ù        é      1      ù          é 1  ù
                                  lim f ( x  ) = lim ê                              ú = xlim ê        2    ú = x lim ê - x 2  ú = 0 
                                 x ®-¥           x ®-¥ ( x - 1)( 4 - x            ) û ®-¥ ë 5x - x - 4 û ®-¥ ë
                                                      ë                                                                       û
                                                      é        1                    ù        é      1      ù          é 1  ù
                             .    lim f ( x  ) = lim ê                              ú = xlim ê             ú = x lim ê - x 2  ú = 0 
                                 x ®+¥           x ®+¥ ( x - 1)( 4 - x            ) û     ®+¥ 5 x - x 2 - 4       ®+¥
                                                      ë                                      ë             û          ë       û
                                                                             é        1         ù é 1  ù
                                                       lim f ( x  ) = lim  ê
                                                   . x ¾¾ 1                                     ú = ê - ú = -¥
                                                         <
                                                           ®         x  ¾¾ 1  ( x - 1)( 4 - x )
                                                                         <
                                                                           ®
                                                                             ë                  û ê 0 3 ú
                                                                                                    ë   û            ( ) 

10 
                                                                                                              ‐ 
                                                                                                     www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                            é        1         ù é 1  ù
                                      lim f ( x  ) = lim  ê
                                  . x ¾¾ 1                                     ú = ê + ú = +¥
                                        >
                                          ®         x  ¾¾ 1  ( x - 1)( 4 - x )
                                                        >
                                                          ®
                                                            ë                  û ê 0 3 ú
                                                                                   ë   û            ( ) 
                                                        é        1         ù é 1  ù
                                  lim f ( x  ) = lim  ê
                              . x ¾¾ 4                                     ú=ê         ú = +¥
                                    <
                                      ®         x  ¾¾ 4  ( x - 1)( 4 - x )
                                                    <
                                                      ®
                                                        ë                  û ê 3 0  ú
                                                                               ë
                                                                                     +
                                                                                       û             ( ) 
                                                        é        1         ù é 1  ù
                                  lim f ( x  ) = lim  ê
                              . x ¾¾ 4                                     ú=ê         ú = -¥
                                    >
                                      ®         x  ¾¾ 4  ( x - 1)( 4 - x )
                                                    >
                                                      ®
                                                        ë                  û ê 3 0  ú
                                                                               ë
                                                                                     -
                                                                                       û             ( ) 
                                                                                   1       2 
                                   ‫ﻭ‬
      : 3 ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ  -  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬f ( x ) = 2  +
                   1                                                        x          -      (‫ ﺏ‬
                                                                                 x + 1 3 - x
                                                       é        1     2               ù
                              .    lim f ( x ) = lim ê 2 x  +      -                                  ] 
                                                                                      ú = [ -¥ + 0 - 0  = -¥
                                  x ®-¥          x ®-¥
                                                       ë      x + 1 3 - x             û 
                                                       é        1     2               ù
                             .     lim f ( x ) = lim ê 2 x  +      -                                  ] 
                                                                                      ú = [ +¥ + 0 - 0  = +¥
                                  x ®+¥          x ®+¥
                                                       ë      x + 1 3 - x             û 
                                                                1            2                           1 
                . lim f ( x ) = lim é 2x  +
                                        ê       -
                                                       ù é                   ù
                                                       ú = ê -2 + ( -¥ ) - 2 ú = -¥
                     <
                 x ¾¾ -1
                     ®         x  ¾¾ -1 ë
                                    ®
                                          <
                                            x +1 3 - x û ë                   û 
                                                                 1           2                           1 
                . lim f ( x ) = lim é 2x  +     -
                                                       ù é                   ù
                                                       ú = ê -2 + ( +¥ ) - 2 ú = +¥
                               x  ¾¾ -1 ê   x +1 3 - x û ë
                     >                    >
                 x ¾¾ -1
                     ®             ® ë                                       û 
                                                         2 ù é       1 1 
                    . lim f ( x ) = lim é 2x  +
                                            ê       -
                                                                                  ù
                                                             ú = ê 6 + 4 - ( +¥ )  = -¥
                                                                                  ú
                         <
                     x ¾¾ 3
                         ®         x  ¾¾ 3  ë
                                        ®       x +1 3 - x
                                                  <
                                                             û  ë                 û
                                                   1     2 ù é         1 
                    .  lim f ( x ) = lim é 2x  +
                                            ê         -
                                                                                   ù
                                                             ú = ê 6 + 4 - ( -¥ )  = +¥
                                                                                   ú
                          >
                      x ¾¾ 3®
                                        >
                                    x  ¾¾ 3 ë
                                          ®      x + 1 3 - x û  ë                  û
                                                                                     1 
                    : -  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+  ٬ ﻭﻋﻨﺪ‬f ( x ) = x 2  +
                         2             ‫ﻭ‬                                                 2 
                                                                                            (‫ ﺝ‬
                                                                                ( x + 2 ) 
                                                                       é             1    ù
                                          .        lim f ( x ) = lim ê x 2  +                         ] 
                                                                                          ú = [ +¥ + 0  = +¥
                                                                                               2 
                                                  x ®-¥          x ®-¥
                                                                       ê
                                                                       ë      (x      ) û 
                                                                                   + 2  ú
                                                                       é           1  ù
                                          .        lim f ( x ) = lim ê x 2  +          2  ú           ] 
                                                                                            = [ +¥ + 0  = +¥
                                                  x ®+¥          x ®+¥
                                                                       ê
                                                                       ë      (x      ) û 
                                                                                   + 2  ú
                                                                       ù é
                                                                         é       11  ù
                             . lim f ( x ) = lim ê x 2  +              ú = ê 4 + + ú = +¥ 2 
                                  <
                               x ¾¾ 2
                                    ®-           <
                                             x  ¾¾ 2 
                                                   ®-
                                                      ê
                                                      ë    ( x + 2 )  ú ë 0  û
                                                                       û 
                                                      é        1       ù é        1  ù
                             .  lim f ( x ) = lim ê x 2  +          2  ú
                                                                          = ê 4 + + ú = +¥
                                  >
                               x ¾¾ -2
                                    ®            >
                                             x  ¾¾ 2 
                                                   ®-
                                                      ê
                                                      ë    ( x + 2 )  ú ë 0  û
                                                                       û 

                                                                                    ‫ 8  ﺝ‬   3 
                                                                                 : 1  2  ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  2 ﺹ‬
                                                   : +¥  ‫  ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) = 2x 2  + x + 1  (‫ ﺃ‬
                                     .  lim f ( x ) = lim é 2x 2 + x + 1ù = lim é 2  2 ù = +¥
                                                                        û  x ®+¥ ë x û
                                        x ®+¥         x ®+¥ ë

                                                                                                      1 
                                  : 1  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+  ﻭ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) =                           + 2  x  (‫ ﺏ‬
                                                                                                    x - 1 
                                          .                               é 1           ù
                                                      lim f ( x ) = lim ê        + 2 x  ú = 0 + ( +¥ ) = +¥
                                                   x ®+¥            x  ®+¥ x - 1 
                                                                          ë             û 
                                                                             1                      1 
                                     . lim f ( x ) = lim é
                                              <
                                                                           ù é         ù
                                                            ê x - 1 + 2 x  ú = ê 0  + 2  = -¥
                                                                     <            -    ú
                                      x ¾¾ 1
                                         ®          x  ¾¾ 1 ë
                                                        ®                  û ë         û 

11 
                                                                                          ‐ 
                                                                                 www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                                1                      1 
                                                .  lim f ( x ) = lim é
                                                         >
                                                                                       ù é         ù
                                                                        ê x - 1 + 2 x  ú = ê 0  + 2  = +¥
                                                                                        >     +    ú
                                                  x ¾¾ 1
                                                     ®          x  ¾¾ 1 ë
                                                                    ®                  û ë         û 

                                                                                                             ‫ 8  ﺝ‬   4 
                                                                                                          : 1  2  ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  2 ﺹ‬
                                                                                                                                   x  + 1 
                                                                            : 4  ‫  ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x  ) = x - 2  (‫ ﺃ‬
                                                                              é x  + 1 ù é 5  ù
                                                        lim f ( x ) = lim  ê
                                                             .          <              ú = ê 0  ú = -¥
                                                                                              -     <
                                                      x ¾¾ 4
                                                          ®          x  ¾¾ 4  ë x - 2 
                                                                          ®            û  ë û
                                                                              é x  + 1 ù é 5  ù
                                                   .  lim f ( x ) = lim  ê
                                                                        >              ú = ê 0  ú = +¥
                                                                                              +     >
                                                      x ¾¾ 4
                                                          ®          x  ¾¾ 4  ë x - 2 
                                                                          ®            û  ë û
                                     : 0  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥-  ﻭ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) = (1 - x ) 2 - - x (‫ ﺏ‬                     (            ) 
                                          .                                                     (
                                               lim f ( x ) = lim é(1 - x ) 2 - - x ù = ( +¥ )( -¥ ) = -¥      )
                                               x ®-¥         x ® -¥ ë              û 
                                                             . lim f ( x ) = lim é(1 - x ) ( 2 - - x ) ù = 1´ 0 = 0 
                                                               x ®0          x  ® 0  ë                 û 

                                                                                                             ‫ 8  ﺝ‬   5 
                                                                                                          : 1  2  ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  2 ﺹ‬
                                                                                                                          2 
                                                : +¥  ‫  ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  0 ﻭ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) =                                - cos x           (‫ ﺃ‬
                                                                                                                          x
                                                                                                    2             ù é 2  ù
                                                     . lim f ( x ) = lim é                               - cos x  ú = ê - + 1  = -¥
                                                                    x  ¾¾ 0  ê x                                  û ë 0 
                                                                                                                             ú
                                                             <                              <
                                                      x ¾¾ 0
                                                         ®               ® ë                                                 û 
                                                                                                    2                   2  ù
                                                     .  lim f ( x ) = lim é                                       ù é
                                                                                                         - cos x  ú = ê + + 1  = +¥
                                                                     x  ¾¾ 0  ê x                                 û ë 0 
                                                                                                                             ú
                                                             >                              >
                                                       x ¾¾ 0
                                                          ®               ® ë                                                û 
                                              . lim f ( x ) = lim é 2  - cos x ù = 0 - lim cos x  (‫ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ‬
                                                                                                            ) 
                                                              x ®+¥ ê          ú
                                               x ®+¥
                                                                                   ëx  x ®+¥
                                                                                                    û 
                                                                   p 
                                          : +¥  ‫ﻭ ﻋﻨﺪ‬                       ‫  ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) = sin ( 2 x ) + x (‫ ﺏ‬
                                                                    4
                                               . lim f ( x ) = lim ésin ( 2x ) + x ù = ésin æ p ö + p ù = 1 + p
                                                                                   û ê ç ÷            ú
                                                    p             p ë
                                                x®
                                                     4
                                                                        x ®
                                                                              4 
                                                                                                             ë    è2ø       4 û         4 

                                                                 .  lim f ( x ) = lim é 2  - cos x ù = 0 - lim cos x 
                                                                                  x ®+¥ ê          ú
                                                                   x ®+¥
                                                                                                    ëx     x ®+¥
                                                                                                                  û 

                                                                                                             ‫ 8  ﺝ‬   6 
                                                                                                          : 1  2  ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  2 ﺹ‬
                                                       : +¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) = x 3 + x 2  - x - 1  (‫ ﺃ‬
                                              . xlim f ( x ) = xlim é x 3 + x 2 - x - 1ù = x lim  é x 3 ù = +¥
                                                  ®+¥            ®+¥ ë                 û ®+¥ ë û 
                                                                                                                                   x  + 2 
                                                                    : +¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x  ) =                                      (‫ ﺏ‬
                                                                                                                                3 -  x
                                             é   æ       2  ö ù        é      2  ù
                           é x  + 2  ù       ê x ç x  +      ÷ú        ê x  + x  ú
      . lim f ( x ) = lim ê                      è        x  ø ú
                                       = lim ê                   = lim ê         ú = lim  é - x  ù = -¥
       x ®+¥          x ®+¥ 3 
                           ë  - x  ú x ®+¥ ê
                                     û             æ 3     ö ú x ®+¥ ê 3  - 1  ú x ®+¥ ë         û
                                             ê  x  ç    - 1  ú
                                                           ÷
                                             ë     è x     ø û         ê
                                                                       ë   x     ú
                                                                                 û




12 
                                                                                                                   ‐ 
                                                                                                          www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                    ‫ 8  ﺝ‬   7 
                                                                                 : 1  2  ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  2 ﺹ‬
                                                : +¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) = x - 1 - 2 x                 (‫ ﺃ‬
                                                           é æ 1  1  ö ù
          .  lim f ( x ) = lim é x - 1 - 2x ù = lim ê x ç        - - 2 ÷ ú = lim [ -2  ] = -¥
                                                                                     x 
                           x ®+¥ ë          û x ®+¥
            x ®+¥
                                                           ë è x x     ø û  x ®+¥
                                                                                         x 2  + x + 1 - x 
                                            : +¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x  ) =                               (‫ ﺏ‬
                                                                                               x 2  + 2 
                                                                        2
                                                                  é         + x + 1 - x ù        é x  2  ù
                                            .  lim f ( x  ) = lim ê x                      = lim ê 2  ú = 1 
                                                                                        ú x ®+¥
                                             x ®+¥            x ®+¥
                                                                  ë          x 2 + 2    û        ëx û

                                                                                    ‫ 8  ﺝ‬   8 
                                                                                 : 1  2  ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  2 ﺹ‬
                                            : +¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) = x + 1 - x - 1  (‫ ﺃ‬
                                                           é                              x + 1 + x  - 1 ù
      . lim f ( x ) = lim é x + 1 - x - 1 ù = lim ê( x + 1 - x  - 1 ) ´               ú
       x ®+¥          x ®+¥ ë             û x  ®+¥                      x + 1 + x - 1 û 
                                                   ë
                                        2           2 
                           é                 x  - 1  ù
                   = lim ê
                               (       ) (
                                   x +1 -             )                           ) 
                                                       ú = lim  é x + 1 - ( x  - 1  ù
                     x ®+¥ ê
                                                                ê                    ú
                                    x + 1 + x - 1 ú x  ®+¥ ë x + 1 + x - 1 û
                           ê
                           ë                           ú
                                                       û 
                            é       2       ù
                   = lim ê                  ú = 0 
                     x  ®+¥
                            ë x + 1 + x - 1 û 
                                            : +¥  ‫ ٬ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ‬f ( x ) = x 2  - x + 1 - x (‫ ﺏ‬
                                                     é                           x 2  - x + 1 + x  ù
      .  lim f ( x ) = lim é x 2 - x + 1 - x ù = lim ê
        x ®+¥          x ®+¥ ë               û x ®+¥ ê
                                                     ë
                                                            (     2 
                                                                x - x + 1 - x  ´    ) 
                                                                                 x 2  - x + 1 + x ú
                                                                                                   ú
                                                                                                   û 
                                                           é                           ù
                                                           ê                           ú
                           é = x 2 - x + 1 - x 2  ù        ê        - x  + 1           ú
                   = lim ê                        ú = lim 
                           ë x - x + 1 + x  û x ®+¥ ê x 2  æ1 - 1 + 1  ö + x  ú
                     x ®+¥        2 
                                                           ê    ç              2  ÷    ú
                                                           ê
                                                           ë    è x x ø                ú
                                                                                       û 
                           é           æ   1ö       ù        é      æ     1  ö      ù
                           ê      - x  ç1 - ÷       ú        ê    - ç 1 - ÷         ú
                   = lim ê             è x ø        ú = lim  ê      è x  ø          ú = - 1 
                     x ®+¥ ê                        ú x ®+¥ ê æ
                                æ      1 1 ö                        1 1  ö ú              2 
                           ê x  ç 1 - + 2 ÷ + 1 ú            ê ç1 - + 2  ÷ + 1      ú
                           ê è x x ø ú
                           ë                        û        ê è x x ø ú
                                                             ë                      û 



                                                                                    ‫ 8  ﺝ‬   9 
                                                                                 : 1  2  ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  2 ﺹ‬
                                                                                                          1 
                                                                                                       : (  ) ‫ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬
             f  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ : ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﺗﻴﺐ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                          x = 0  ‫  ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻨﺪ‬f  ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                        f  ‫  ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬x = 2 ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬
                                                                   ‫  ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋ‬f  ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                       .  x = 2  ‫ ﻨﺪ‬
          . D f  = ¡ - {0; 2} = ]-¥;0[ U ]0; 2[ U ]2; +¥[  : ‫  ﻫﻲ‬f  ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬



13 
                                                                                         ‐ 
                                                                                www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                                                             ‫ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ:‬
‫٬‬       ‫ ¥- = ) ‪lim  f ( x‬‬
          ‫<‬
                               ‫٬‬      ‫ ¥- = ) ‪lim  f ( x‬‬
                                        ‫>‬
                                                                     ‫٬‬      ‫ ¥+ = ) ‪lim  f ( x‬‬
                                                                              ‫<‬
                                                                                                          ‫٬‬           ‫ 0 = ) ‪lim f ( x‬‬
      ‫ 2 ¾¾  ‪x‬‬
          ‫®‬                          ‫ 0 ¾¾  ‪x‬‬
                                         ‫®‬                                 ‫ 0 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                               ‫®‬                                     ‫¥-® ‪x‬‬

                                                                                ‫ ¥+ = ) ‪.  lim f ( x ) = 0  ٬ lim  f ( x‬‬
                                                                                                                 ‫>‬
                                                                                  ‫¥+® ‪x‬‬                       ‫ 2 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                                                  ‫®‬


                                                                                                                                     ‫ 2‬
                                                                                                                                  ‫ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )  ( :‬
                      ‫ ‪f‬‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ : ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﺗﻴﺐ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                   ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻨﺪ  0 = ‪x‬‬
                               ‫ ﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻫﻲ :  [¥+ ;0] ‪.  D f  = ¡ - {0} = ]-¥;0[ U‬‬
                                                                                         ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗ‬
                                                                                               ‫ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ:‬
                 ‫ ¥+ = ) ‪.  lim  f ( x ) = +¥  ٬ lim  f ( x ) = +¥  ٬ lim  f ( x ) = -¥  ٬ lim  f ( x‬‬
                                                   ‫>‬                                ‫<‬
                   ‫¥+® ‪x‬‬                        ‫ 0 ¾¾  ‪x‬‬
                                                    ‫®‬                           ‫ 0 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                    ‫®‬                          ‫¥-® ‪x‬‬


                                                                                                                                     ‫ 3‬
                                                                                                                                  ‫ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )  ( :‬
                                       ‫ﻭ  1‬
‫ ﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ  1 = ‪  x = -  َ   x‬ﻣﻘﺎﺭﺑﺎﻥ ﻋﻤﻮﺩﻳﺎﻥ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ : ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺫﻭ ﺍﻟﻤ‬
                                                       ‫ﻭ  1‬
                                                 ‫ ‪ ٬  f‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻨﺪ 1 = ‪x = -  َ   x‬‬
               ‫ ﻟﺔ  ‪  f‬ﻫﻲ :  [¥+ ;1] ‪.  D f  = ¡ - {-1;1} = ]-¥; -1[ U ]-1;1[ U‬‬
                                                                              ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍ‬
                                                                                               ‫ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ:‬
‫ ¥- = ) ‪٬ lim  f ( x ) = -¥  ٬ lim  f ( x ) = +¥  ٬ lim  f ( x ) = -¥  ٬ lim  f ( x‬‬
         ‫<‬                            ‫>‬                                     ‫<‬
      ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
          ‫®‬                        ‫ 1- ¾¾  ‪x‬‬
                                       ‫®‬                                 ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                             ‫-®‬                                ‫¥-® ‪x‬‬

                                                                            ‫ ¥+ = ) ‪.  lim  f ( x ) = +¥  ٬ lim  f ( x‬‬
                                                                                                                  ‫>‬
                                                                              ‫¥+® ‪x‬‬                           ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                                                  ‫®‬


                                                                                                                                     ‫ 4‬
                                                                                                                                  ‫ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ )  ( :‬
                      ‫ ‪f‬‬   ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ : ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﺗﻴﺐ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                     ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻨﺪ  0 = ‪x‬‬
                                 ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻫﻲ :  [¥+ ;0] ‪.  D f  = ¡ - {0} = ]-¥;0[ U‬‬
                                                                                                 ‫ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ:‬
                              ‫ 0 = ) ‪.  x lim  f ( x ) = +¥  ٬ lim  f ( x ) = -¥  ٬ lim  f ( x ) = +¥  ٬ x lim f ( x‬‬
                                                                ‫>‬                                 ‫<‬
                                    ‫¥+®‬                    ‫ 0 ¾¾  ‪x‬‬
                                                               ‫®‬                                     ‫¥-®‬
                                                                                               ‫ 0 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                                   ‫®‬


                                                                                                                      ‫ 4‬
                                                                            ‫ ­  ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺮﻛﺒﺔ – ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺑﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ :‬
                                                                                                          ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 03  82  1 :‬
                                                                                                                      ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :‬
                                                                                               ‫‪é 3x  + 4 ù‬‬             ‫ 31‬
                                                                                 ‫‪.  lim  ê‬‬          ‫=‪ú‬‬  ‫+‬
                                                                                                                ‫ 1‬
                                                                                                          ‫ ( ¥+ =‬
                                                                                        ‫>‬
                                                                                   ‫ 3 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                        ‫®‬
                                                                                            ‫‪ë‬‬ ‫ ‪x - 3 û‬‬ ‫ 0‬
                                                                                               ‫‪é 3 - 6 x  ù‬‬            ‫ 3-‬
                                                                                  ‫‪.  lim  ê‬‬         ‫=‪ú‬‬  ‫-‬
                                                                                                                ‫ 2‬
                                                                                                          ‫ ( ¥+ =‬
                                                                                    ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                        ‫®‬
                                                                                           ‫>‬
                                                                                            ‫‪ë‬‬ ‫ ‪1 - x û‬‬ ‫ 0‬

                                                                    ‫ ( ¥+ = ‪.  xlim é x 2 + x + 1 ù = x lim  é x 2  ù‬‬
                                                                                                                    ‫ 3‬
                                                                   ‫‪ë‬‬     ‫¥+®‬  ‫‪û‬‬        ‫‪ë‬‬   ‫ ‪û‬‬    ‫¥+®‬


                                          ‫.‬                                      ‫‪3  ù‬‬
                                                ‫¥+ = ) ¥- ( 2- = ‪lim é -2 x + x - 3 ù = lim é -2 x‬‬
                                                            ‫3‬
                                                                                                                                   ‫ 4(‬
                                               ‫‪x ®-¥ ë‬‬             ‫‪û x ®-¥ ë‬‬        ‫ ‪û‬‬



‫ 41‬
                                                                                                               ‫ ‐‬
                                                                                                      ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                   ‫ 1  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                : 1  28  3  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                                     -3 
                                                                f ( x  ) =                  : ‫ ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [2  -]  ﺑـ‬f 
                                                                                                    2;
                                                                                 4 - x 2 
                                                                                                   ‫ﻭ‬
                                                                                             :  2  َ   - 2 ‫  ﻋﻨﺪ‬f  ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                                         4 - x 2  ³ 0  ‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬f 

                                                                                                           é    -3   ù é -3 ù
                                                                    . lim f ( x ) = lim  ê                           ú = ê + ú = -¥
                                                                                                           ë 4 - x û  ë 0  û
                                                                             >                   >                2 
                                                                     x ¾¾ -2
                                                                        ®          x  ¾¾ 2 
                                                                                        ®-



                                                                                                           é    -3   ù é -3 ù
                                                                      .  lim f ( x ) = lim  ê                        ú = ê + ú = -¥
                                                                                                           ë 4 - x û  ë 0  û
                                                                                 <                   <            2 
                                                                        x ¾¾
                                                                           ®-         x  ¾¾ 2 
                                                                                          ®



                                                                                                   ‫ 2  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                : 1  28  3  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                                                               : ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
                 é      x +4 ù        é    x  ù          é      1  ù
         .  lim ê cos æ 2 ö ú = lim ê cos æ 2  ö ú = lim ê cos æ ö ú = lim é cos ( 0 ) ù = 1  (1 
                      ç       ÷ x ®+¥     ç ÷ x ®+¥            ç ÷ x ®+¥ ë             û
           x ®+¥
                 ë    è x - 3 ø           èx ø
                                            û       ë          èx ø
                                                                 û       ë         û 
                                            é      p x - 1 ö ù        é æ p x  ö ù         é æ p öù
                                    .  lim ê cos æ
                                                 ç         ÷ ú = xlim êcos ç                                2 
                                                                               ÷ ú = x lim êcos ç ÷ ú = 0  ( 
                                      x ®+¥
                                            ë è 2x ø û ®+¥ ë è 2x ø û ®+¥ ë è 2 ø û 
                                        é            p          1     ù é æ p ö 1  ù
                                 .  lim êsin æ - x  ö +
                                             ç      ÷              2  ú
                                                                        = sin ç ÷ + + ú = 1 + ( +¥ ) = +¥ (3 
                                   x ®-1 
                                        ê
                                        ë         è 2             ) û  ê
                                                         ø ( x + 1  ú ë è 2 ø 0  û
                                sin x  ù                    é æ sin x  ö ù
                .  lim é
                       ê               ú = 1  ‫  ٬ ﻷﻥ‬lim êcos ç p x ÷ ú = é cos (p ´ 1) ù = [ cos p ] = -1  (4 
                                                                            ë          û
                     x  ® 0 
                               ë x û                x  ® 0 
                                                            ë è        ø û 

                                                                                                   ‫ 3  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                : 1  28  3  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                 -1    cos x    1 
                                        :            £        £      :  x > - 1 ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ‬
                                                x + 1 x + 1 x + 1 
                                                                  1 
                                                                      > 0  ‫  ٬ ﺃﻱ‬x + 1 > 0  ‫  ﻭ ﻣﻨﻪ‬x > -  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                                                                        1 
                                                                x + 1 
                          1 
      : ‫ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬             ‫ £ 1-  ٬ ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ‬cos x £ 1  ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ‬
                       x + 1 
                                                                         1                  1             1 
                                                                 -1 ´       £ cos x  ´            £ 1 ´
                                                                      x +1                x +1          x + 1 
                                                                              -1       cos x        1 
                                                                         .           £        £            ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                                          : 
                                                                           x + 1 x + 1 x + 1 
                                                                                 cos x 
                                                         :  +¥  ‫ ﻋﻨﺪ‬f : x  a             ‫ ·  ﺣﺴﺎﺏ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                  x + 1 
             é cos x  ù                                        é -1  ù                     1  ù
       lim               = 0  ‫  ٬ ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ‬lim ê                  ‫ ¥+® ﻭ‬é
                                                                      ú = 0  َ   x lim ê x + 1  = 0  ‫ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ‬
      x  ®+¥ ê x + 1 ú                                   x  ®+¥ x + 1                           ú
             ë        û                                        ë      û                ë        û 
                                                                                         cos x 
                                   . 0  ‫ ﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+  ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ‬ ‫  ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎ‬f : x  a             ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                          x + 1 




15 
                                                                                                       ‐ 
                                                                                              www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                          ‫ 4  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  3  82  1 :‬
                           ‫‪3x + cos x‬‬                ‫ 7 +  ‪3x‬‬
                      ‫:‬                 ‫£ )  ‪£ f ( x‬‬           ‫ ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺑﺤﻴﺚ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  1 > ‪٬ x‬‬
                                ‫‪x‬‬                     ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                         ‫ ·  ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬
                                                                            ‫‪é 3x + 7 ù‬‬             ‫ ‪x‬‬
                                                                                                ‫‪é 3  ù‬‬
                                                                       ‫‪lim‬‬             ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  3 = ‪= lim ê ú‬‬
                                                                      ‫‪x ®+¥ ê x - 1  ú‬‬
                                                                            ‫‪ë‬‬        ‫‪û‬‬   ‫¥+®  ‪x‬‬
                                                                                                ‫ ‪ë x û‬‬
            ‫‪cos x  ù‬‬                ‫‪é 3x + cos x ù‬‬           ‫‪é 3x cos x ù‬‬           ‫‪é cos x  ù‬‬
‫‪.  x lim é‬‬‫‪ ٬ xlim ê‬ﻷﻥ  0 = ‪ê x ú‬‬                   ‫ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ  3 = ‪ú = xlim ê x + x ú = x ®+¥ ê3 + x ú‬‬
                                                                                ‫‪lim‬‬
      ‫¥+®‬
          ‫‪ë‬‬        ‫ ‪û‬‬           ‫¥+®‬
                                    ‫‪ë‬‬     ‫‪x‬‬        ‫‪û ®+¥ ë‬‬                 ‫‪û‬‬        ‫‪ë‬‬             ‫ ‪û‬‬
                                                                      ‫‪3x + cos x‬‬                ‫ 7 +  ‪3x‬‬
                 ‫٬  ﻭﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ  3 = ) ‪.  lim f ( x‬‬                       ‫£ )  ‪£ f ( x‬‬          ‫ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                     ‫¥+® ‪x‬‬                                                  ‫‪x‬‬                     ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                       ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+  ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ  3  .‬

                                                                                          ‫ 5  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  3  82  1 :‬
                                                ‫ 1‬
                                  ‫£  3 - )  ‪: f ( x‬‬    ‫ ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺑﺤﻴﺚ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  0 ³ ‪٬ x‬‬
                                                          ‫ 2‬
                                            ‫ 1 + ‪x‬‬
                                                                   ‫ ·  ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬
       ‫1-‬                     ‫ 1‬                           ‫ 1‬
       ‫2‬
           ‫ 2 £ 3 - )  ‪£ f ( x‬‬     ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  0 ³ ‪ ٬ f ( x  ) - 3  £ 2  ٬ x‬ﺃﻱ‬
      ‫1+ ‪x‬‬                  ‫ 1 + ‪x‬‬                      ‫ 1 + ‪x‬‬
                                                  ‫1‬                      ‫ 1‬               ‫ 1‬
                                         ‫2 -3‬         ‫ 2 ٬  ﻭ ﻣﻨﻪ  2 + 3 £ )  ‪£ f ( x‬‬          ‫ ﻷﻥ  0 >‬
                                             ‫1+ ‪x‬‬                      ‫ 1 + ‪x‬‬           ‫ 1 + ‪x‬‬
                            ‫‪é 1  ù‬‬                    ‫‪é‬‬       ‫‪1 ù‬‬           ‫‪é‬‬       ‫‪1  ù‬‬
                       ‫ ﻭ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ  3 = ‪ ٬  lim ê3 - 2 ú = lim ê3 + 2  ú‬ﻷﻥ  0 = ‪lim ê 2  ú‬‬
                      ‫ 1 + ‪x  ®+¥ x‬‬
                            ‫‪ë‬‬      ‫ ‪û‬‬           ‫¥+® ‪x‬‬
                                                      ‫ 1 + ‪ë x + 1 û x ®+¥ ë x‬‬           ‫ ‪û‬‬
                                                         ‫ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ  3 = ) ‪.  lim f ( x‬‬
                                                                     ‫¥+® ‪x‬‬

                                                          ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+  ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ  3  .‬

                                                                                          ‫ 6  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  3  82  1 :‬
                                        ‫ ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺑﺤﻴﺚ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  0 < ‪: f ( x ) £ -  x 3  ٬ x‬‬
                                                     ‫ 2‬
                                                                      ‫ ·  ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬
                          ‫ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ¥- = ‪  f ( x ) £ -  x 3  َ x lim é -2 x 3 ù‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  0 < ‪٬  x‬‬
                                                                       ‫ﻭ  2‬
                                                                                ‫‪®+¥ ë‬‬       ‫ ‪û‬‬
                                                                   ‫ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ  ¥- = ) ‪lim  f ( x‬‬
                                                                  ‫¥+® ‪x‬‬

                                                        ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+ ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ  ¥-  .‬

                                                                                          ‫ 7  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  3  82  1 :‬
                                                   ‫ 1‬
                                    ‫ ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺑﺤﻴﺚ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  0 > ‪: f ( x ) ³ x 4  + x ٬ x‬‬
                                                   ‫ 2‬
                                                                             ‫ ·  ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬
                                              ‫ 1‬                       ‫1‬                     ‫ 1‬
‫ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ¥+ = ‪  f ( x ) ³ x 4  + x َ xlim é x 4 + x ù = x lim  é x 4 ù‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  0 > ‪٬  x‬‬
                                                  ‫‪ ®+¥ ê‬ﻭ‬              ‫‪ú ®+¥ ê 2  ú‬‬
                                        ‫ 2‬                 ‫2‪ë‬‬          ‫‪û‬‬      ‫‪ë‬‬     ‫ ‪û‬‬
                                                        ‫ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ  ¥+ = ) ‪lim  f ( x‬‬
                                                       ‫¥+® ‪x‬‬

                                                        ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+ ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ  ¥+ .‬


‫ 61‬
                                                                                               ‫ ‐‬
                                                                                      ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                      ‫ 9  ﺝ‬   ‫ 8‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                   ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  3 ﺹ  2  1 :‬
                                  ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  x‬ﻳﻜﻮﻥ :  5 £ ‪: 1 £ 3 + 2 cos x‬‬ ‫ 1‬
‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 £ ‪ ٬  -1 £ cos x‬ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ  2‬
    ‫ ﻧﺠﺪ :  2 £ ‪  -2 £ 2 cos x‬ﻭ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ 3 ﺇﻟﻰ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ 2 + 3 £ ‪3 - 2 £ 3 + 2 cos x‬‬
                                                                                                 ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                         ‫ :  5 £ ‪. 1 £ 3 + 2 cos x‬‬
                                                                       ‫ 1 -  ‪x‬‬
                                             ‫ ‪ f : x  a‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬                                        ‫ 2‬
                                                                                 ‫ (  ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                    ‫‪3 + 2 cos x‬‬
                                                             ‫1‬       ‫ 1‬
              ‫ )‬
‫³ 1 ٬ ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ  1 - ‪  ( x‬ﻧﺠﺪ :‬                     ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  5 £ ‪  1 £ 3 + 2cos x‬ﻭﻣﻨﻪ ³‬
                                                        ‫ 5 ‪3 + 2cos x‬‬
                                                 ‫‪é‬‬ ‫ 1 -  ‪x‬‬
                                                         ‫‪ù‬‬                            ‫1- ‪x‬‬       ‫ 1 -  ‪x‬‬
                           ‫‪lim [ x - 1] = lim  ê‬‬         ‫‪ú‬‬ ‫³ 1 -  ‪ ٬ x‬ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ¥+ =‬              ‫³‬
                          ‫¥+® ‪x‬‬           ‫¥+®  ‪x‬‬
                                                 ‫ ‪ë 5  û‬‬                           ‫‪3 + 2 cos x‬‬     ‫ 5‬
                                               ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ  ¥+ = ) ‪lim  f ( x‬‬
                                               ‫¥+® ‪x‬‬

                                                 ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+ ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ  ¥+  .‬

                                                                                      ‫ 9  ﺝ‬   ‫ 9‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                   ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  3 ﺹ  2  1 :‬
                             ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  x‬ﻳﻜﻮﻥ :  3 -  2 ‪:  x 2 - 3sin x ³ x‬‬
                                                                                                    ‫ 1‬
 ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 £ ‪ ٬  -1 £ sin x‬ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌ 3‬
‫ ﺪﺩ  -‬
  ‫ ﻧﺠﺪ :  - ³ ‪  3 ³ -3sin x‬ﻭ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ  2 ‪ x‬ﺇﻟﻰ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ 3 -  2 ‪3 + x 2 ³ x 2 - 3sin x ³ x‬‬
                                                                                           ‫ 3‬
                                                                           ‫2‬            ‫ 2‬
                                                                                               ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                       ‫ :  3 - ‪.  x - 3sin x ³ x‬‬
                                           ‫ (  ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f : x a  x - 3 sin x‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬
                                                                    ‫ 2‬
                                                                                                    ‫ 2‬
                                                    ‫ ) ﻛﺘﺒﺖ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺧﻄﺄ  3 ‪(  f : x a  x - sin‬‬
                                                                 ‫ 2‬
                                                                           ‫‪x‬‬
                                    ‫2‬                  ‫ 2‬
                           ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  3 -  2 ‪ ٬  x 2 - 3sin x ³ x‬ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ¥+ = ‪lim é x - 3ù = lim  é x ù‬‬
                                 ‫‪ë‬‬       ‫‪û‬‬         ‫ ‪ë û‬‬
                           ‫¥+® ‪x‬‬             ‫¥+®  ‪x‬‬

                                               ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ  ¥+ = ) ‪lim  f ( x‬‬
                                               ‫¥+® ‪x‬‬

                                                 ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+ ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ  ¥+  .‬


                                                                                      ‫ 9  ﺝ‬          ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                   ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 04 ﺹ  2  1 :‬
                                ‫ ·  ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f : x a  x 2  + 2 x sin x‬ﻋﻨﺪ  ¥+   َ ﻋﻨﺪ  ¥- :‬
                                            ‫ﻭ‬
                ‫¥+ =  ) ‪ ٬  lim é x 2  + 2x sin x ù = lim é x ( x + 2sin x‬ﻷﻥ  ¥+ = ] ‪lim [ x + 2 sin x‬‬
                                                                      ‫‪û  x ®+¥ ë‬‬                ‫‪ù‬‬
                                                                                                ‫‪û‬‬
               ‫¥+®  ‪x‬‬                          ‫‪x ®+¥ ë‬‬

                                                 ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+ ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ  ¥+ .‬
                                        ‫ 2‬
                              ‫¥+ = ) ¥- ( ´ ) ¥- ( = ‪٬ xlim é x + 2x sin x ù = x lim é x ( x + 2sin x ) ù‬‬
                                                    ‫‪û  ®-¥ ë‬‬                     ‫‪û‬‬
                                  ‫‪®-¥ ë‬‬

                                                 ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥- ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ  ¥+  .‬

                                                                                      ‫ 9  ﺝ‬          ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                   ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 14 ﺹ  2  1 :‬
                                                                      ‫ ‪x + sin x‬‬          ‫ 1‬
                                                       ‫= ) ‪:  f ( x‬‬              ‫ ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪  ù - ; +¥ é‬ﺑـ :‬
                                                                                       ‫2 ‪ú‬‬      ‫‪ê‬‬
                                                                       ‫ 1 + ‪2x‬‬         ‫‪û‬‬        ‫ ‪ë‬‬

                                ‫1- ‪x‬‬                ‫ 1 +  ‪x‬‬
                              ‫ :‬      ‫£ ) ‪£ f ( x‬‬           ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  1 - > ‪٬ x‬‬    ‫ 1‬
                               ‫1 + ‪2x‬‬              ‫ 1 + ‪2x‬‬          ‫ 2‬
                                                                   ‫ ﻷ‬
‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 £ ‪  ٬  -1 £ sin x‬ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ  ‪  x‬ﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ  :  1 + ‪  x - 1 £ x + sin x £ x‬ﻭ  ﺑﻘﺴﻤﺔ  ﺃﻃﺮﺍﻑ‬
                                                ‫‪x - 1 x + sin x‬‬         ‫ 1 +  ‪x‬‬
                                                       ‫£‬            ‫£‬           ‫ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻋﻠﻰ  1 + ‪  2x‬ﻧﺠﺪ‬
                                               ‫1 + ‪2x‬‬       ‫1 + ‪2x‬‬     ‫ 1 + ‪2x‬‬
‫ 71‬
                                                                                           ‫ ‐‬
                                                                                  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                               ‫1- ‪x‬‬               ‫ 1 +  ‪x‬‬
                                                                                   ‫ .‬‫£ ) ‪£ f ( x‬‬           ‫ ﺇﺫﻥ:‬
                                                                              ‫1 + ‪2x‬‬             ‫ 1 + ‪2x‬‬
                                                                        ‫ (  ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬  ‫ 2‬
                    ‫‪é x -1 ù‬‬           ‫‪é x -1 ù‬‬           ‫ 1 ‪é x  ù‬‬             ‫1- ‪x‬‬               ‫ 1 +  ‪x‬‬
               ‫‪lim‬‬              ‫‪= lim ê‬‬           ‫ ٬ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ = ‪= lim  ê ú‬‬              ‫£ ) ‪£ f ( x‬‬          ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
              ‫‪x ®+¥ ê 2 x + 1 ú‬‬   ‫‪x ®+¥ 2 x + 1 ú‬‬   ‫‪x  ®+¥ 2x‬‬                  ‫1 + ‪2x‬‬             ‫ 1 + ‪2x‬‬
                    ‫‪ë‬‬         ‫‪û‬‬        ‫‪ë‬‬        ‫‪û‬‬         ‫ 2  ‪ë û‬‬
                                                                                ‫ 1‬
                                                                 ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ  = ) ‪lim  f ( x‬‬
                                                                ‫¥+® ‪x‬‬           ‫ 2‬
                                                          ‫ 1‬
                                                        ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  ¥+  ٬ ﻭﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻫﻲ  .‬
                                                          ‫ 2‬

                                                                                                                    ‫ 5‬
                                                                                                     ‫ ­  ﺍﻻﺳﺘﻤﺮﺍﺭﻳﺔ :‬
                                                                                               ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 24  92  1 :‬
                                                              ‫[‬
                     ‫ 1;2- [ ‪ìf ( x ) = x 2  + x ; - - - - x  Î‬‬
                     ‫‪ï‬‬
                     ‫‪í‬‬                                          ‫ ·  ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [4  - [  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                                                                               ‫;2‬
                     ‫ 4 ;1[ ‪ïf ( x ) = x - 1; - - - - x Î‬‬
                     ‫ ‪î‬‬                                    ‫ [‬
                                                                              ‫ (  ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬
                                                                                                                     ‫ 1‬
                                                                                               ‫‪y‬‬
                                                                                               ‫ 3‬
                                                                                               ‫ 2‬
                                                                                               ‫ 1‬

                                                                                          ‫ 1­‬
                                                                                        ‫ ‪­2  0  1  2  3  4  x‬‬
                                                                                           ‫ 1­‬
                                                                                           ‫ 2­‬

                                                                        ‫ ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪ  1  :‬
               ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟ ّﺎ  [  - [ ‪ ٬ f ( x ) = x 2  + x ٬ x Î‬ﻭﻣﻨﻪ  2 = 1 + 1 = ‪lim f ( x ) = lim é x + x ù‬‬
                ‫<‬              ‫<‬    ‫‪ë‬‬
                                        ‫2‬
                                         ‫ ‪û‬‬
                                                   ‫ 2‬
                                                                                                ‫ﻤ  1;2‬
             ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
                 ‫®‬          ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                ‫®‬

                                                                                                  ‫ﻤ  [‬
                    ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟ ّﺎ  4 ;1[ ‪ ٬ f ( x ) = x -  ٬ x Î‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = 1 - 1 = ]1 - ‪lim f ( x ) = lim [ x‬‬
                      ‫>‬                 ‫>‬
                                                                                  ‫ 1‬
                    ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
                       ‫®‬             ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                         ‫®‬

                      ‫ ﺇﺫﻥ ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃﻥ :  ) ‪ ٬  lim f ( x ) ¹  lim  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  1 .‬
                                                                      ‫<‬                    ‫>‬
                                                                   ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
                                                                      ‫®‬                 ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                            ‫®‬

           ‫ (  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [4  - [  ٬ ﻷﻧﻬﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ 1 ) ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ 1 ( ٬ ﻭ‬
                                                                   ‫;2‬                                       ‫ 2‬
                                                          ‫ 1 ﻫﻮ ﻋﻨﺼﺮ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [4  - [  .‬
                                                                ‫;2‬                                   ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬
          ‫ ( ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  3;2 [  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ  1 - ‪  f ( x ) = x‬ﻭﺣﺴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻬﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ‬
                                                                                             ‫ ]‬             ‫ 3‬
      ‫ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ٬ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ  ﺇﺫﻥ ﻓﻬﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡ ﻭ ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻬﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  3;2 [  .‬
              ‫ ]‬
                                                                                               ‫ 3  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  4  92  1 :‬
                                      ‫ 2 £  ‪ìf ( x ) = x 2  - 2 x + 1; - - - - x‬‬
                                   ‫‪:  ï‬‬
                                      ‫‪í‬‬                                          ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                                      ‫ 2 > ‪ïf ( x ) = x + x - 5; - - - - x‬‬
                                                   ‫ 2‬
                                      ‫ ‪î‬‬

                                                                                                       ‫ 1‬
                                                                 ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﺳﺘﻤﺮﺍﺭﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪ 2  :‬
                                                 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  ]  ¥-] ‪f ( x ) = x - 2x + 1  ٬ x Î‬‬
                                                                          ‫ 2‬
                                                                                     ‫ 2;‬
 ‫ﻭﻣﻨﻪ  1 = 1 + 4 - 4 = ‪ :  ٬  lim f ( x ) = lim é x 2  - 2x + 1ù‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ 2  ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ .‬
                                        ‫ ﺇﺫﻥ‬            ‫<‬       ‫‪ë‬‬          ‫<‬   ‫ ‪û‬‬
                                                   ‫2 ¾¾ ‪x‬‬
                                                      ‫®‬              ‫ 2 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                          ‫®‬

                                                                                                ‫ [‬
                                                            ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  ¥+ ;2] ‪f ( x ) = x 2  + x - 5  ٬ x Î‬‬
  ‫ﻭﻣﻨﻪ  1 = 5 - 2 + 4 = ‪ :  ٬  lim f ( x ) = lim é x 2  + x - 5ù‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ 2  ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ .‬
                                         ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                           ‫‪x  ¾¾ 2  ë‬‬         ‫ ‪û‬‬
                                                        ‫>‬                      ‫>‬
                                              ‫2 ¾¾ ‪x‬‬
                                                  ‫®‬            ‫®‬



‫ 81‬
                                                                                                   ‫ ‐‬
                                                                                          ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
            ‫ ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ 2  ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  2  .‬
     ‫ [‬
‫ 2 (  ﻧﻌﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  ٬ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ 2 ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ [2  ¥-] ﻭَ  ¥+;2]‬
              ‫;‬
                              ‫ ﻷﻧﻬﺎ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻦ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺣﺪﺍ .‬

                                                                                           ‫ 4  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                        ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  4  92  1 :‬
                 ‫ 1 £  ‪ìf ( x ) = -x 2  + x + 2; - - - - x‬‬
              ‫‪:  ï‬‬
                 ‫‪í‬‬          ‫ 1‬                             ‫ ·  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﺳﺘﻤﺮﺍﺭﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﺑـ :‬
                 ‫ 1 > ‪ïf ( x ) = x + 1; - - - - x‬‬
                 ‫ ‪î‬‬         ‫ 2‬
                                                      ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  ]  ¥-] ‪f ( x ) = -x 2  + x + 2  ٬ x Î‬‬
                                                                                           ‫ 1;‬
                                                   ‫ﻭﻣﻨﻪ  2 = 2 + 1 + 1- = ‪lim f ( x ) = lim é -x 2  + x + 2 ù‬‬
                                                     ‫<‬                 ‫<‬   ‫‪ë‬‬               ‫ ‪û‬‬
                                                  ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
                                                     ‫®‬             ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                         ‫®‬

                                                                            ‫ 1‬
                                                                                                 ‫ [‬
                                                               ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  ¥+ ;1] ‪f ( x ) = x + 1  ٬ x Î‬‬
                                                                            ‫ 2‬
                                                                                       ‫1‪é‬‬     ‫1 ‪ù‬‬     ‫ 3‬
                                                             ‫ﻭﻣﻨﻪ = 1 + = ‪lim f ( x ) = lim ê x + 1ú‬‬
                                                                               ‫2 ‪x  ¾¾ 1 ë‬‬    ‫2  ‪û‬‬    ‫ 2‬
                                                               ‫>‬                   ‫>‬
                                                           ‫1 ¾¾ ‪x‬‬‫®‬                   ‫®‬

                        ‫ ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃﻥ :  ) ‪ ٬  lim f ( x ) ¹  lim  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  1  .‬
                                                                        ‫<‬                     ‫>‬
                                                                     ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
                                                                        ‫®‬                ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                             ‫®‬

      ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  1  ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻟﻴﺴﺖ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  . ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ‬
                                                                              ‫1; ﻭ [‬
                                                                     ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ [  ¥-] َ  ¥+ ;1]  .‬

                                                                                           ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                        ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 54  92  1 :‬
                                                                                 ‫ 3 -  3 ‪x‬‬
                                    ‫= )  ‪  f ( x‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  1 ¹ ‪:  f (1) = 3  َ x‬‬
                                                  ‫ﻭ‬                                        ‫ ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺪﺩﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                                                                                  ‫ 1 - ‪x‬‬

                                                                                                                   ‫ 1‬
                                                                            ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﺳﺘﻤﺮﺍﺭﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪ  1  :‬

                                                               ‫ 3 -  3 ‪x‬‬
        ‫= )  ‪ ٬  f ( x‬ﺑﺈﺟﺮﺍء ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :‬                  ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  [¥+ ;1] ‪٬ x Î ]-¥;1[ U‬‬
                                                                ‫ 1 - ‪x‬‬



                                                                                 ‫ 1 -  3 ‪x‬‬           ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                 ‫ 2 ‪x 3 - x‬‬         ‫ 1 + ‪x 2  + x‬‬
                                                                                         ‫ 2‬
                                                                                      ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                      ‫‪x 2  - x‬‬
                                                                                        ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                        ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                           ‫0‬


                                                                            ‫ﺇﺫﻥ  1 + ‪٬  f ( x ) = x 2  + x‬‬
                     ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻟ ّﺎ  [  ¥-] ‪ ٬ x Î‬ﻧﺠﺪ  3 = 1 + 1 + 1 = ‪.  lim f ( x ) = lim é x 2  + x + 1ù‬‬
                          ‫<‬               ‫‪ë‬‬   ‫<‬         ‫ ‪û‬‬                                   ‫ﻤ  1;‬
                       ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
                           ‫®‬               ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                ‫®‬

                                                                                                   ‫ﻤ  [‬
                          ‫ﻭﻟ ّﺎ  ¥+ ;1] ‪ ٬ x Î‬ﻧﺠﺪ  3 = 1 + 1 + 1 = ‪.  lim f ( x ) = lim é x 2  + x + 1ù‬‬
                                ‫>‬                  ‫‪ë‬‬  ‫>‬        ‫ ‪û‬‬
                            ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
                                ‫®‬          ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                ‫®‬

                                ‫ﺇﺫﻥ  3 = ) ‪ lim f ( x‬ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ  3 = )1( ‪ ٬  f‬ﻭﻣﻨﻪ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  1‬
                                                                                      ‫ 1® ‪x‬‬

                                                                                   ‫ ﺇﺫﻥ : ﻓﻬﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  .‬

‫ 91‬
                                                                                               ‫ ‐‬
                                                                                      ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                               ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 64  92  1 :‬
                             ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﺎﻥ  ‪  g  َ   f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ  ¡ َ  }1{ - ¡  ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                                                             ‫ﻭ‬                      ‫ﻭ‬
                                                                 ‫ 3 +  ‪x 2  - 2x‬‬
                                                    ‫= )  ‪g ( x‬‬                         ‫َ‬
                                                                                       ‫ﻭ‬       ‫ 1 + ‪f ( x ) = 2x 3  - x‬‬
                                                                      ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                               ‫ ·  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﺳﺘﻤﺮﺍﺭﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﺎﻥ  ‪:  g  َ   f‬‬
                                                                     ‫ﻭ‬
                              ‫ 3‬
 ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡ ٬ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  1 + ‪  f ( x ) = 2x - x‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ‬
                                                                ‫ ﺣﺪﻭﺩ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  .‬
                ‫ 3 +  ‪x 2  - 2x‬‬
‫= )  ‪  g ( x‬ﺩﺍﻟﺔ‬               ‫ﻭ ﻧﻌﻠﻢ ﻛﺬﻟﻚ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻨﺎﻃﻘﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ  ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ٬ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                     ‫ 1 - ‪x‬‬
             ‫ ﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  1 .‬    ‫ﻧﺎﻃﻘﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ  [¥+ ;1] ‪ ٬  D g  = ¡ - {1} = ]-¥;1[ U‬ﻭﻣﻨﻪ ﻓﻬ‬
                                                      ‫ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [¥+ ;1] ‪.  ]-¥;1[ U‬‬
                                                                                                        ‫ ﺇﺫﻥ‬

                                                                                               ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 74  92  1 :‬
                                                      ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﺑـ : ‪: f ( x ) = ( x 2  - x ) sin x‬‬

                                                                   ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  :‬
                                   ‫ ﻟﻨﻌﺮﻑ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﻴﻦ  ‪  v  َ   u‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :  ‪v : x a x - x َ  ٬  u : x a sin x‬‬
                                               ‫ 2‬
                                                    ‫ﻭ‬                               ‫ﻭ‬
 ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  x a sin x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  ﺃﻱ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  u : x a sin x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ¡‬
‫ ﻭ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻳ ًﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻛﺜﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﺎﻟﺪﺍﻟﺔ ‪  v : x a x 2  - x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ‬
                                                                                               ‫ﻀ‬
                                                                                     ‫ ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ¡  .‬
   ‫ ﺇﺫﻥ ﺟﺪﺍء ﺩﺍﻟﺘﻴﻦ ﻣﺴﺘﻤﺮﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ ¡  ﻫﻮ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﺎﻟﺪﺍﻟﺔ ‪f ( x ) = ( x 2  - x ) sin x‬‬
                                                                                       ‫ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  .‬

                                                                                               ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 84  92  1 :‬
                                                                                 ‫ ‪cos x‬‬
                                                                  ‫= )  ‪: f ( x‬‬            ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﺑـ :‬
                                                                                 ‫ 2 ‪1 + x‬‬

                                                                                                         ‫ ·  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﺳﺘﻤ‬
                                                                                       ‫ ﺮﺍﺭﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪:  f‬‬
               ‫ 1‬
      ‫ ‪x  a‬‬          ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻫﻲ ﺟﺪﺍء ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺮﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ ¡  ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ  :  ‪َ  ٬  x a cos x‬‬
                     ‫ﻭ‬
            ‫ 2 ‪1 + x‬‬
                                                                      ‫ ‪cos x‬‬
         ‫= )  ‪ ٬  f ( x‬ﻭﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺟﺪﺍء ﺩﺍﻟﺘﻴﻦ ﻣﺴﺘﻤﺮﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ  ¡  ﻫﻮ ﺩﺍﻟﺔ‬            ‫ﺇﺫﻥ ﺟﺪﺍء ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﻴﻦ  ﻫﻮ‬
                                                                     ‫ 2 ‪1 + x‬‬
                                                 ‫ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﺎﻟﺪﺍﻟﺔ  ) ‪  f ( x‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  .‬

                                                                                               ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 94  92  1 :‬
       ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  [  - [  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :  ) ) ‪ f ( x ) = x ( x + E ( x‬ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  )  ‪  x a E ( x‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                                                    ‫1;2‬
                                                                                                 ‫ ﺍﻟﺠﺰء ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ  :‬
                       ‫ ( ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻋﺒﺎﺭﺓ  )  ‪  f ( x‬ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :  [  - ;2- [ ٬  [  - [ ٬  [  - [  :‬
                             ‫1;2‬       ‫0;2‬           ‫1‬                                                        ‫ 1‬
                                             ‫ 1- ;2- [ ‪ì-2 : x  Î‬‬‫[‬
                                             ‫‪ï‬‬
                                   ‫:  0;2- [ ‪E ( x ) = í-1: x Î‬‬‫[‬      ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﺰء ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬
                                             ‫‪ï‬‬
                                                            ‫ [‬
                                             ‫ 1;2- [ ‪î0 : x Î‬‬

‫ 02‬
                                                                                                    ‫ ‐‬
                                                                                           ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
           ‫ 1- ;2- [ ‪ìx 2  - 2 x : x  Î‬‬
                                      ‫[‬                ‫ 1- ;2- [ ‪ìx ( x - 2 ) : x  Î‬‬ ‫[‬
           ‫ 2 ‪ï‬‬
           ‫‪ï‬‬                                           ‫‪ï‬‬
 ‫ﺃﻱ  0 ;2- [ ‪f ( x ) = íx - x : x  Î‬‬‫[‬     ‫ 0;2- [ ‪٬  f ( x ) = íx ( x - 1) : x  Î‬‬‫[‬       ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﺎﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ:‬
           ‫ 2 ‪ï‬‬                                        ‫‪ï‬‬
           ‫ 1;2- [ ‪ïx : x Î‬‬
           ‫ ‪î‬‬                 ‫ [‬                       ‫ 1;2- [ ‪î  ( x + 0 ) : x Î‬‬
                                                         ‫‪x‬‬                        ‫ [‬
                                                                                                       ‫ ‪r‬‬
                                                                                                     ‫‪r u‬‬
                                                             ‫ ( ﺭﺳﻢ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ  ) ‪  (O ; i , j‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪:  f‬‬
                                                                                                                     ‫ 2‬
                                                                                                        ‫‪J‬‬
                                                                                                        ‫ 2‬
                                                                                                        ‫ 1‬

                                                                                                ‫ 0  2­‬
                                                                                              ‫ ‪­3  ­1  1  2  3  I‬‬
                                                                                                   ‫ 1­‬
                                                                                                   ‫ 2­‬

                              ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ  [  - ;2- [ ٬  [  - [ ٬  [  - [ :‬
                                   ‫1;2‬       ‫0;2‬            ‫1‬                                               ‫ 3‬
                   ‫ ·  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [  - ;2- [ ﺑـ  2 -  2 ‪  f ( x ) = x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ‬
                                                              ‫‪x‬‬              ‫1‬
                                                                    ‫ ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  [  - ;2- [ .‬
                                                                               ‫1‬
                      ‫ ·  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [  - [ ﺑـ ‪  f ( x ) = x 2  - x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ‬
                                                                          ‫0;2‬
                                                                      ‫ ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  [  - [  .‬
                                                                            ‫0;2‬

‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﻋﻠﻰ  ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [  - [ ﺑـ  2 ‪  f ( x ) = x‬ﻭﻣﻨﻪ  ﻓﻬﻲ  ﺩﺍﻟﺔ  ﻛﺜﻴﺮ  ﺣﺪﻭﺩ  ٬  ﻥ  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ  ﻋﻠﻰ‬
                        ‫ ﺇﺫ‬                                                    ‫0;2‬
                                                                                                      ‫ [  - [  .‬
                                                                                                            ‫0;2‬

                                                                                                                       ‫ 6‬
                                                                                             ‫ ­  ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ :‬
                                                                                                 ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                              ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 05  92  1 :‬
‫ ·  ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ  ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ  ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ  ﺍﻟﻘﻴﻢ  ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ  ﺃﻥ  ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  - = ‪  x 3  - 4x‬ﺗﻘﺒﻞ  ﻋﻠﻰ  ﺍﻷﻗﻞ  ﺣﻼ  ﻓﻲ‬
                                        ‫ 2‬
                                                                                      ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]  - ;3- [  :‬
                                                                                                ‫2‬
                                 ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]  - ;3- [  ﺑـ :  4 -  3 ‪f ( x ) = x‬‬
                                                   ‫‪x‬‬              ‫2‬
                                          ‫ 3‬                                                    ‫ 3‬
                        ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  - = ) 3- ( 4 - ) 3- ( = ) 3- ( ‪f ( -2 ) = ( -2 ) - 4 ( -2 ) = -8 + 8 = 0  َ f‬‬
                                                                   ‫ﻭ‬                                 ‫ 51‬
  ‫ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]  - ;3- [  ﻷﻧﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ٬ ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ‬
                                                              ‫2‬
       ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x ) = k‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]  - ;3- [  ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪ k‬ﺣﻴﺚ‬
                                            ‫2‬              ‫ﻼ‬
                                                     ‫ - [ ‪k Î‬‬      ‫ ]‬
                                                             ‫ ) 2- ( ‪ ٬ k Î é f ( -3) ; f‬ﺃﻱ ﺃﻥ  0;51‬
                                                                                 ‫‪ë‬‬                 ‫‪ù‬‬
                                                                                                   ‫ ‪û‬‬
      ‫ ﺑﻤﺎ ﺃﻥ  2 - = ‪ k‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]  - [ ٬ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  - = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻋﻠﻰ‬
          ‫ﻼ‬                               ‫ 2‬                ‫0;51‬
                                                                               ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]  - ;3- [  ٬‬
                                                                                         ‫2‬
                           ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  - = ‪  x - 4x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]  - ;3- [  .‬
                                     ‫2‬              ‫ﻼ‬                   ‫ 3‬
                                                                                  ‫ 2‬

                                                                                                 ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                              ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 15  03  1 :‬


                               ‫ 1 £  ‪ìf ( x ) = 2 x + 1; - - - - 0 < x‬‬
                             ‫‪:  ï‬‬
                                ‫‪í‬‬                                                                ‫ ]‬
                                                                                 ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  2;0 [  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                               ‫ 2 < ‪ïf ( x ) = -2 x + 3; - - - - 1 £ x‬‬
                               ‫ ‪î‬‬




‫ 12‬
                                                                                                     ‫ ‐‬
                                                                                            ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                        ‫ ]‬
                ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺃﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ) ‪ f ( x‬ﺣﻠﻮ َ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [  :‬
                                    ‫ﻻ‬                                                                  ‫ 1‬
                                                                    ‫ ]‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  ) ‪ f ( x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0]  ﺑـ  1 + ‪  f ( x ) = 2x‬ﻭ ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ‬
                                                            ‫:‬
                                                                                          ‫ ]‬
                                                                                   ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0]  .‬
                                                                   ‫ [‬
‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;1[  ﺑـ : 1 - ‪  f ( x ) = x‬ﻭ ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ‬
                                                                                          ‫ [‬
                                                                                   ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;1[  .‬
                                                                       ‫ﻟﻜﻦ ﻫﻞ ) ‪  f ( x‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  1 ؟‬
 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  3 = 1 + )1( 2 = ]1 + ‪ lim f ( x ) = lim [ 2x‬ﻭ َ 1 = 3 + )1( 2- = ]3 + ‪lim f ( x ) = lim [ -2x‬‬
      ‫>‬               ‫>‬
                                                ‫ ‬              ‫<‬                    ‫<‬
 ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
    ‫®‬              ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                       ‫®‬                                   ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
                                                              ‫®‬                 ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                    ‫®‬

                              ‫ ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃﻥ :  ) ‪ ٬  lim f ( x ) ¹  lim  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪ  1  .‬
                                                                            ‫<‬                    ‫>‬
                                                                          ‫1 ¾¾ ‪x‬‬
                                                                             ‫®‬               ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                                 ‫®‬

                            ‫ ]‬
      ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  1  ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻟﻴﺴﺖ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [  ﻷﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ 1 ﻋﻨﺼﺮ‬
                                                                                           ‫ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬
                         ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻻ ﺗﺤﻘﻖ ﺷﺮﻁ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ] 2;0[‬
                                                                   ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺒﺮﻫﻨﺔ .‬
                                         ‫ ]‬
                                 ‫ ( ﺍﻟﺘﺤﻘﻖ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺍﺣ ًﺍ ﻋﻠﻰ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [  :‬
                                                          ‫ﻼ ﺪ‬                                             ‫ 2‬
                                                                              ‫ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪:  f ( x‬‬
                                                                                                      ‫[‬
                                                                         ‫ 1;0 [ ‪ì 2 x + 1; - - - - x  Î‬‬
                                                                         ‫‪ï‬‬
                                                          ‫    ‪f ( x  ) = 0 Û í‬‬                           ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                                                                         ‫ 2 ;1 ‪ï -2 x + 3; - - - - x Î‬‬
                                                                         ‫ ‪î‬‬                         ‫ ] [‬
                                                                             ‫ 1‬        ‫ 3‬            ‫ 1‬
                                    ‫ [‬
                               ‫ﻣﺮﻓﻮﺽ ﻷﻧﻪ ﻻ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0 [‬     ‫ ﻭﻣﻨﻪ  - = ‪  x‬ﺃﻭ  = ‪x = -  ٬  x‬‬
                                                                             ‫ 2‬        ‫ 2‬            ‫ 2‬
                                                                         ‫ 3‬
                                            ‫ ]‬
                                     ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ) ‪  f ( x‬ﻫﻮ  = ‪  x‬ﻷﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺤﻞ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ  2;1[  .‬
                                                                         ‫ 2‬
                                                                ‫ 3‬
                                                   ‫ ]‬
                                           ‫ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻫﻮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [  .‬
                                                                      ‫ﻼ ﺪ‬                                 ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                ‫ 2‬

                                                                                               ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 25  03  1 :‬
                                                                                   ‫ 1‬
                                                    ‫ ‪  f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :  - ‪:  f ( x ) = 3x 3  - 2 x‬‬
                                                                                   ‫ 4‬

                                                                                  ‫ 1‬
                                                               ‫ ( ﺣﺴﺎﺏ  1(  ‪: f ( -  )  ٬ f æ - ö ٬  f  ( 0  ٬ f‬‬
                                                                      ‫ 1‬       ‫‪ç‬‬    ‫÷‬         ‫ )‬       ‫ )‬      ‫ 1‬
                                                                                    ‫ ‪è 2 ø‬‬
                               ‫ 3‬         ‫1‬           ‫1‬      ‫ 1‬                             ‫ 3‬          ‫1‬      ‫ 3 1‬
            ‫ - = - 0 - 0 = - ) 0 ( 2 - ) 0 ( 3 = ) 0 ( ‪.  f‬‬           ‫٬‬    ‫- )1( 2 - )1( 3 = )1( ‪f‬‬        ‫ = - 1 =‬
                                          ‫4‬           ‫4‬      ‫ 4‬                                         ‫4‬      ‫ 4 4‬
                                                              ‫ 3‬
                                                ‫1‬           ‫1‬            ‫1‬      ‫3- 1‬       ‫ 3 2 - 8 + 3- 1‬
                                         ‫= - 1 + = - ‪. f æ - ö = 3 æ - ö - 2 æ - ö‬‬
                                             ‫‪ç‬‬    ‫÷‬    ‫‪ç‬‬      ‫÷‬      ‫‪ç‬‬     ‫÷‬                           ‫=‬
                                             ‫‪è 2ø‬‬      ‫‪è 2ø‬‬          ‫8 4  ‪è 2 ø‬‬            ‫4‬       ‫8‬      ‫ 8‬
                                                                             ‫ 3‬          ‫1‬           ‫1‬   ‫ 5‬
                                                         ‫ - = - 2 + 3- = - )1- ( 2 - )1- ( 3 = )1- ( ‪.  f‬‬
                                                                                         ‫4‬           ‫4‬   ‫ 4‬
                              ‫ ( ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]  - [  :‬
                                    ‫1;1‬                                                                      ‫ 2‬
            ‫ ﺪﻭﺩ ٬ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  ٬ ﻭ ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻬﻲ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ‬
                                                                                 ‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻛﺜﻴﺮ ﺣ‬
                                                                                              ‫ 1‬              ‫ 1‬
                                                                   ‫‪  [ 0;1  ٬ é - ;0 ù ٬  é -1; - ù‬ﻛ ٌ ﻋﻠﻰ ﺣﺪﺍ .‬
                                                                             ‫ﻞ‬         ‫‪]  ê‬‬
                                                                                           ‫‪ë 2 ú ê‬‬‫‪û  ë‬‬        ‫‪2ú‬‬
                                                                                                               ‫ ‪û‬‬


‫ 22‬
                                                                                                    ‫ ‐‬
                                                                                           ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                          ‫‪æ 1 ö‬‬                                 ‫‪æ 1 ö‬‬
               ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ  0 < ÷ - ‪f ( 0) ´ f (1) < 0  َ  ٬ f ç - ÷ ´ f ( 0 ) < 0  َ  ٬ f ( -1) ´ f ç‬‬
                                   ‫ﻭ‬                           ‫ﻭ‬
                                          ‫ ‪è 2 ø‬‬                                ‫ ‪è 2 ø‬‬
 ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﺠﺎﻝ‬
                                                                               ‫ 1‬                   ‫ 1‬
                                                                          ‫‪]  é‬‬       ‫‪ù é‬‬           ‫‪ù‬‬
                                                                  ‫ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ‪.  [ 0;1  ٬ ê - ;0 ú ٬  ê -1; - ú‬‬
                                                                              ‫‪ë 2 û  ë‬‬           ‫ ‪2 û‬‬
                    ‫ : ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]  - [  .‬
                          ‫1;1‬                                                                    ‫ ﺇﺫﻥ‬

                                                                                            ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 35  03  1 :‬
                                               ‫ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ]  - [  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :  21 -  3 ‪:  f ( x ) = x‬‬
                                                                     ‫‪x‬‬               ‫6;3‬

                                                                                                       ‫ 1‬
                                                                            ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪: f‬‬
                                ‫ ) ‪ f ( x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ]  - [ ٬ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ 21- ‪f ' ( x ) = 3x‬‬
                                              ‫ 2‬
                                                               ‫6;3‬
          ‫ 0 = ) ‪  f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  0 = 21 -  2 ‪ 3x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = )4 -  2 ‪ ٬ 3 ( x‬ﻫﺬﺍ ﻳﻜﺎﻓﺊ  0 = ) )2 + ‪3 ( ( x - 2)( x‬‬
                                                                                    ‫ﻭ  2‬
                                                                               ‫0  ¹ 3  ٬ ﻭﻣﻨﻪ  2 = ‪x = -  َ   x‬‬
                ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  0 < ) ‪ f ' ( x‬ﻓﺈﻥ  2  -] ‪  x Î‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2  -] ‪x Î‬‬
                      ‫ [ ;2‬                                         ‫ [ ;2‬
             ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  0 > ) ‪ f ' ( x‬ﻓﺈﻥ  6;2] ‪  x Î [ -3; -2[ U‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ  ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ .‬
                                                                            ‫ ]‬
                                                                             ‫ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪:  f‬‬
                                                              ‫‪x‬‬           ‫ -‬
                                                                           ‫3‬            ‫2‬
                                                                                       ‫ -‬                ‫ 2‬          ‫ 6‬
                                                           ‫ ) ‪f ' ( x‬‬          ‫+‬               ‫-‬               ‫+‬
                                                                                       ‫ 61‬                         ‫ 441‬
                                                           ‫ ) ‪f ( x‬‬
                                                                                                               ‫03‬
                                                                         ‫9‬                             ‫61‬
                                                                                                      ‫ -‬

                                                            ‫ ( ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻋﺪﺩ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  03 = ) ‪:  f ( x‬‬
                                                                                                      ‫ 2‬
‫ ﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]  - [  ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ﺗﺄﺧﺬ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ 03 ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻭﺣﻴﺪ‬
                                                     ‫6;3‬                     ‫ ﺣﺴﺐ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪ‬
      ‫ - [‪ ٬  f ( x ) Î‬ﻭ ﺍﻟﻌﺪﺩ 03 ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ‬     ‫ ]‬         ‫ ] [‬
                                        ‫ ‪ ٬  k‬ﺣﻴﺚ  6 < ‪ 2 < k‬ﻷﻥ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  6;2  ‪ x Î‬ﻓﺈﻥ  441;61‬
                                                                                      ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]441;61‬
                                                                                ‫ - [  .‬
                                                   ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  03 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻘـﻂ .‬
                                                           ‫ﻼ ﺪ‬

                                                                                            ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 45  03  1 :‬
                                   ‫ً‬
                                   ‫ﻴ‬      ‫ﺭ‬
                                ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ﺩﺭﺟﺘﻪ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺟﺬ ًﺍ ﺣﻘﻴﻘ ﺎ :‬
                      ‫ ﻟﺘﻜﻦ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ : 0‪٬  f ( x ) = an x + an -1x n -1  + ....... + a1x + a‬‬
                                        ‫‪n‬‬


                   ‫ ﺣﻴﺚ  ‪  a0 ; a1;..........; an - 1 ; an‬ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻭ  ‪  n‬ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻓﺮﺩﻱ ﺣﻴﺚ  0 ¹  ‪. an‬‬

               ‫ ·  ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ¡ ﻷﻧﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ٬  َ  ‪َ   ٬ xlim f ( x ) = x lim an x n‬‬
               ‫ﻭ‬                                  ‫ﻭ‬
                       ‫¥-®‬             ‫¥-®‬

                                                                                   ‫ ‪.  xlim f ( x ) = x lim an x n‬‬
                                           ‫ ) ‪lim  f ( x‬‬      ‫ ) ‪lim  f ( x‬‬             ‫¥+®‬             ‫¥+®‬
                                          ‫¥-® ‪x‬‬               ‫¥+® ‪x‬‬

                             ‫ 0 >  ‪an‬‬         ‫ ¥-‬                  ‫¥+‬                    ‫ ﺇﺫﻥ ﻧﻤﻴﺰ ﺣﺎﻟﻴﻦ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                             ‫ 0 <  ‪an‬‬         ‫ ¥+‬                  ‫¥-‬

‫ 32‬
                                                                                                 ‫ ‐‬
                                                                                        ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                      ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  0 <  ‪ an‬ﻓﺈﻥ  0 < ‪é lim f ( x ) ù ´ é lim f ( x ) ù‬‬
                                                      ‫¥-® ‪ë x‬‬       ‫¥+® ‪û ëx‬‬          ‫ ‪û‬‬

                                                          ‫ ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  0 >  ‪ an‬ﻓﺈﻥ  0 < ‪é lim f ( x ) ù ´ é lim f ( x ) ù‬‬
                                                          ‫¥-® ‪ë x‬‬       ‫¥+® ‪û ëx‬‬          ‫ ‪û‬‬

         ‫ ﺇﺫﻥ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺪﻭﻡ  ‪ a‬ﻓﺈﻥ  0 < ‪ ٬  é lim f ( x ) ù ´ é lim f ( x ) ù‬ﻭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪f‬‬
                                                                    ‫ ‪n‬‬
                        ‫¥-® ‪ë x‬‬       ‫¥+® ‪û ëx‬‬          ‫ ‪û‬‬
        ‫ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ¡ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣﻼ‬
                                                                                                                 ‫ﻴ‬
                                                                                                              ‫ ﺣﻘﻴﻘ ًﺎ .‬
                                ‫ﻴ‬       ‫ﺭ‬
                             ‫ ﺇﺫﻥ : ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ﺩﺭﺟﺘﻪ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺟﺬ ًﺍ ﺣﻘﻴﻘ ًﺎ .‬

                                                                                               ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 55  03  1 :‬
                                                      ‫ﻼ‬      ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍ‬
         ‫ ﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ‪  I‬ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :‬
                                                                        ‫ (  0 = 1 +  3 ‪:  I = [ -  ]  ٬ 2 x‬‬
                                                                                  ‫ 0;1‬                    ‫ 1‬
                                       ‫ﻧﻀﻊ  1 +  3 ‪ ٬  f ( x ) = 2x‬ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]  - [ = ‪I‬‬
                                              ‫ 0;1‬
                                                 ‫ 3‬                                         ‫ 3‬
                               ‫ﻭﻣﻨﻪ  - = 1 + 2- = 1 +  )1- ( 2 = )1- ( ‪f ( 0 ) = 2 ( 0)  + 1 = 0 + 1 = 1  َ  ٬ f‬‬
                                                                  ‫ﻭ‬                                       ‫ 1‬
 ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ  )  - ( ‪ ٬  f  ( 0  َ f‬ﻭ  ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]  - [ = ‪I‬‬
        ‫ 0;1‬                                                       ‫ﻭ  )‬     ‫ 1‬
       ‫ -   َ  0‬
          ‫1 ﻭ‬      ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻣﺤﺼﻮ ًﺍ ﺑﻴﻦ‬
                        ‫ﺭ‬      ‫ﻼ‬
                                  ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 1 +  3 ‪ 2 x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]  - [ = ‪.  I‬‬
                                            ‫ 0;1‬          ‫ﻼ‬
                                                                                        ‫ ]‬
                                                                            ‫ (  0 = 1 -  2 ‪:  I = [1; 2  ٬ x 5 + 3x 4 - 6 x‬‬
                                                                                                                          ‫ 2‬
                                   ‫ ]‬
                          ‫ﻧﻀﻊ  1 -  2 ‪ ٬  f ( x ) = x 5 + 3x 4 - 6x‬ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2 ;1[ = ‪I‬‬
                                                                        ‫5‬    ‫4‬        ‫ 2‬
           ‫ﻭﻣﻨﻪ  - = 1 - 6 - 3 + 1 = 1 -  )1( 6 - )1( 3 + )1( = )1( ‪f ( 2) = 32 + 48 - 24 - 1 = 55  َ  ٬ f‬‬
                                           ‫ﻭ‬                                                        ‫ 3‬
               ‫ ]‬
      ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ  1(  ‪ ٬  f  ( 2  َ f‬ﻭ  ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2 ;1[ = ‪I‬‬
                                                                        ‫ﻭ  )‬     ‫ )‬
        ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻣﺤﺼﻮ ًﺍ ﺑﻴﻦ  1   َ  2‬
           ‫ﻭ‬           ‫ﺭ‬      ‫ﻼ‬
                                     ‫ ]‬
                         ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 1 -  2 ‪ x 5 + 3x 4 - 6 x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2 ;1[ = ‪.  I‬‬
                                                 ‫ﻼ‬
                                                                                  ‫‪é ù‬‬      ‫ 1‬
                                                                           ‫ (  0 = 3 - ‪:  I = ê ;1  ٬  x 4  + 4 x‬‬
                                                                                                                ‫ 3‬
                                                                                  ‫‪ë 2  ú‬‬‫ ‪û‬‬
                                        ‫‪é 1  ù‬‬                                              ‫ 4‬
                                  ‫‪I‬‬   ‫ﻧﻀﻊ  3 - ‪ ٬  f ( x ) = x + 4x‬ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1; ‪= ê‬‬
                                             ‫‪ú‬‬
                                       ‫ ‪ë 2  û‬‬
                                                                   ‫ 4‬
                                                ‫‪æ1ö æ1ö‬‬       ‫‪æ1ö‬‬         ‫1‬            ‫ 51-‬
                  ‫= 3 - 2 + = 3 - ÷ ‪f (1) = 1 + 4 - 3 = 2  َ  ٬ f ç ÷ = ç ÷ + 4 ç‬‬
                                         ‫ﻭ‬                                                  ‫ ﻭﻣﻨﻪ  9 ,0- =‬
                                                ‫‪è2ø è2ø‬‬       ‫ ‪è 2 ø‬‬     ‫61‬            ‫ 61‬
                                                                                ‫ 1‬
          ‫‪é 1  ù‬‬                                                       ‫‪ æ ö‬ﻭ  )‬
      ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ ÷ ‪ ٬  f  (1  َ f ç‬ﻭ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1; ‪I = ê‬‬
               ‫‪ú‬‬
          ‫ ‪ë 2  û‬‬                                                             ‫ ‪è 2 ø‬‬
              ‫ 1‬
        ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻣﺤﺼﻮ ًﺍ ﺑﻴﻦ   َ  1‬
           ‫ﻭ‬           ‫ﺭ‬         ‫ﻼ‬
              ‫ 2‬
                                      ‫‪é 1  ù‬‬
                               ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 3 - ‪  x 4  + 4 x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1; ‪. I = ê‬‬
                                                       ‫ﻼ‬
                                      ‫‪ë 2  ú‬‬ ‫ ‪û‬‬




‫ 42‬
                                                                                                    ‫ ‐‬
                                                                                           ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                   ‫‪é 3 ù‬‬
                                                                          ‫ (  3 =  2 ‪:  I = ê1;  ú ٬  -x 3 + 3x‬‬
                                                                                                              ‫ 4‬
           ‫ ‪y‬‬
           ‫ 2‬
                                                                                 ‫ ‪ë 2 û‬‬
           ‫ 1‬                 ‫‪é 3 ù‬‬
                          ‫ﻧﻀﻊ  3 -  2 ‪ ٬  f ( x ) = -x 3 + 3x‬ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪I = ê1;  ú‬‬
                              ‫ ‪ë 2 û‬‬
          ‫ 0‬
        ‫ ‪­1  1  2  x‬‬                                                ‫3‬         ‫ 2‬
         ‫ 1­‬ ‫ ) ‪f ( x‬‬                               ‫ﻭﻣﻨﻪ  - = 3 - 3 + 1- = 3 -  )1( 3 + )1( - = )1( ‪٬  f‬‬
                                                                                                  ‫ 1‬
         ‫ 2­‬
                                                ‫3‬          ‫ 2‬
         ‫ 3­‬                         ‫‪æ 3ö‬‬     ‫‪æ3ö‬‬       ‫‪æ 3ö‬‬          ‫72 72‬              ‫72‬       ‫ 3‬
                                  ‫+ - = 3 - ÷ ‪f ç ÷ = - ç ÷ + 3ç‬‬                 ‫= 3-‬                      ‫ﻭ‬
                                                                                            ‫  َ  4 ,0 = = 3 -‬
                                     ‫‪è 2ø‬‬     ‫‪è2ø‬‬       ‫ ‪è 2 ø‬‬         ‫8‬       ‫4‬         ‫8‬        ‫ 8‬
      ‫‪é 3 ù‬‬                                                              ‫ 3‬
  ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ  1(  ‪ ٬  f æ ö َ   f‬ﻭ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪I = ê1;  ú‬‬
                                                                       ‫ﻭ ÷ ‪ç‬‬          ‫ )‬
      ‫ ‪ë 2 û‬‬                                                           ‫ ‪è 2 ø‬‬
     ‫ 3‬
        ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻣﺤﺼﻮ ًﺍ ﺑﻴﻦ  1   َ‬
        ‫ﻭ‬              ‫ﺭ‬     ‫ﻼ‬
     ‫ 2‬
                                                                    ‫ ﻛﻤﺎ ﻳﻈﻬﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪.  f‬‬
                                      ‫‪é 3 ù‬‬
                              ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  3 =  2 ‪  -x 3 + 3x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪.  I = ê1;  ú‬‬
                                                        ‫ﻼ‬
                                      ‫ ‪ë 2 û‬‬
                                                                                             ‫ 1‬
                                                                           ‫ ( ‪:  I = [0; p ]  ٬ sin x + 2 = x‬‬ ‫ 5‬
                                                                                             ‫ 2‬
                                                                                       ‫ 1‬
                           ‫ﻧﻀﻊ  2 + ‪ ٬  f ( x ) = sin x - x‬ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] ‪I = [ 0; p‬‬
                                                                                       ‫ 2‬
                                                                 ‫ 1‬
            ‫ ‪y‬‬
                                                     ‫ﻭﻣﻨﻪ  2 = 2 + 0 - 0 = 2 + ) 0 ( - ) 0 ( ‪٬  f ( 0 ) = sin‬‬
            ‫ 2‬
                                                                 ‫ 2‬
                                                     ‫ 1‬
            ‫ ) ‪1  f ( x‬‬
                         ‫‪p‬‬
                                            ‫ - = 2 + 41,3- = 2 + ‪f (p ) = sin p - ( p ) + 2 = -p‬‬           ‫ﻭ‬
                                                                                                     ‫َ  41,1‬
                                                     ‫ 2‬
             ‫ 0‬
        ‫ ‪­1  1  2  3  x‬‬
          ‫ 1­‬                                                                         ‫ )‬
                                ‫ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ  0 (  ‪ ٬  f ( p )  َ f‬ﻭ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ  ٬ ﻷﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                               ‫ﻭ‬
          ‫ 2­‬
                                  ‫ ‪  x a sin x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡ ٬ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] ‪I = [ 0; p‬‬
      ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻣﺤﺼﻮ ًﺍ ﺑﻴﻦ  0 َ  ‪p‬‬
         ‫ﻭ‬         ‫ﺭ‬      ‫ﻼ‬
                                                                         ‫ ﻛﻤﺎ ﻳﺒﻴﻨﻪ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪.  f‬‬
                                                                           ‫ 1‬
                           ‫ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺣ ً ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] ‪.  I = [0; p‬‬
                                                    ‫ﻼ‬                        ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪sin x + 2 = x‬‬
                                                                           ‫ 2‬

                                                                                       ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                    ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 65  03  1 :‬
                                                                          ‫ [‬
                                         ‫ ﻟﺘﻜﻦ  ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+ ;3-]  ٬ ﻭﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺗﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ :‬

                                                         ‫ ‪x‬‬          ‫3‬
                                                                    ‫ -‬             ‫ 0‬         ‫ 2‬          ‫ ¥+‬
                                                                   ‫ ¥+‬                       ‫4‬
                                                       ‫ ) ‪f ( x‬‬
                                                                                   ‫2-‬                       ‫ 2‬
                       ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻳﻘﻄﻊ ﺣﺎﻣﻞ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﻔﻮﺍﺻﻞ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ :‬
        ‫ﻀ  ]‬
 ‫ ﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¥+ ;3-] ٬ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]  -] ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﺃﻳ ًﺎ ﻋﻠﻰ  2;0 [ .‬
                                  ‫0;3‬                                               ‫ [‬                    ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍ‬
                                                                           ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ ﺣﺴﺐ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ :‬
                                                               ‫ﻟ ّﺎ  ]  -] ‪ ٬ x Î‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ¥+ ;2- [‪.  f ( x ) Î‬‬
                                                                                       ‫ [‬               ‫ﻤ  0;3‬
                                                                    ‫ﻟ ّﺎ  2;0 [ ‪ ٬ x Î‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  [  - [ ‪.  f ( x ) Î‬‬
                                                                                    ‫ 4;2‬                   ‫ﻤ  ]‬
                         ‫ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻳﻘﻄﻊ ﺣﺎﻣﻞ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﻔﻮﺍﺻﻞ ﻣﻌﻨﺎﻩ  0 = ) ‪ )  f ( x‬ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻣﻌﺪﻭﻡ ( ٬‬

‫ 52‬
                                                                                            ‫ ‐‬
                                                                                   ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                               ‫ﺇﺫﻥ  ¥+ ;2- [ ‪0 Î [ -  [  َ  ٬ 0 Î‬‬
                                                                                      ‫ﻭ 4;2‬                 ‫ [‬
                  ‫ ]‬
      ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ]  -] ‪ x 0  Î‬ﻳﺤﻘﻖ  0 = ) 0 ‪ ٬ f ( x‬ﻭﻳﻮﺟﺪ  2 ;0 [ ‪x 1 Î‬‬
                                                         ‫ 0;3‬
                                                                                           ‫ﻳﺤﻘﻖ  0 = ) 1 ‪٬  f ( x‬‬
                                                                                 ‫ )‬
          ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺫﺍﺕ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ  0; 0 ‪ B ( x 1 ;0  َ  ٬ A ( x‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )  ‪  (C f‬ﻭﺗﺮﺗﻴﺒﻬﺎ ﻣﻌﺪﻭﻡ .‬
                                                                ‫ﻭ  )‬
                                                                 ‫ : ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﻘﻂ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﻔﻮﺍﺻﻞ .‬        ‫ ﺇﺫﻥ‬
            ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺣﺎﻣﻞ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﻔﻮﺍﺻﻞ ﻳﻘﻄﻊ  )  ‪  (C f‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﺗﻴﻦ  ‪  B  َ   A‬ﻓﻮﺍﺻﻠﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‬
                                       ‫ﻭ‬
                                                                                              ‫ﻭ‬
                                                                             ‫ 0 £  0 ‪.  0 £ x 1  £ 2  َ  ٬  -3 < x‬‬

                                                                                        ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                     ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 75  03  1 :‬
                                     ‫1‬       ‫ 1‬
                         ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡  ﺑـ :  1 + ‪: f ( x ) = x 3 - x 2  - 2x‬‬
                                     ‫3‬       ‫ 2‬
                                                           ‫‪x‬‬          ‫ ¥-‬            ‫1-‬               ‫ 2‬        ‫ ¥+‬
                                                                                    ‫ 31‬                         ‫ ¥+‬
                                                                                     ‫ 6‬
                                                         ‫ ) ‪f ( x‬‬              ‫ -‬
                                                                                ‫2‬             ‫2‬
                                                                                             ‫ -‬
                                                                                                           ‫2-‬
                                                                      ‫¥-‬                              ‫ 7‬
                                                                                                  ‫-‬
                                                                                                      ‫3‬
                                     ‫ · ﺍﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 2 + ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﻓﻘﻂ ﻓﻲ  ¡ :‬
                                                                       ‫ 0 = 2 + ) ‪ f ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  2- = ) ‪f ( x‬‬
                                                    ‫ ﺣﺴﺐ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡  ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                                                                                 ‫ 31‬
                                                               ‫ﻟ ّﺎ  ]  - ;¥-] ‪ ٬ x Î‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪.  f ( x ) Î ù -¥;  ù‬‬
                                                                            ‫‪ú‬‬      ‫‪ú‬‬                    ‫ﻤ  1‬
                                                                           ‫ ‪6  û‬‬
                                                                           ‫‪û‬‬
                                                                         ‫ 31 7‬
                                                        ‫ﻟ ّﺎ  ]  - [ ‪ ٬ x Î‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪.  f ( x ) Î é - ; ù‬‬
                                                                     ‫‪ê 3 6  ú‬‬                   ‫ﻤ  2;1‬
                                                                     ‫‪ë‬‬           ‫ ‪û‬‬
                                                                       ‫ 7‬
                                                      ‫ﻟ ّﺎ  ¥+ ;2 [ ‪ ٬ x Î‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪.  f ( x ) Î é - ; +¥ é‬‬
                                                                   ‫ 3 ‪ê‬‬         ‫‪ê‬‬                  ‫ﻤ  [‬
                                                                   ‫‪ë‬‬            ‫ ‪ë‬‬
        ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡  ٬ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ¡  ٬ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ 2 -  ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ‬
                                                                ‫ 7‬                  ‫ 31 7‬          ‫ 31‬
                 ‫‪  é - ; +¥ é َ  ٬  é - ; ù َ  ٬  ù -¥;  ù‬ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﺃﻋﻼﻩ ٬‬
                                                            ‫3 ‪ê‬‬         ‫‪ ú‬ﻭ ‪ ê 3 6ú‬ﻭ ‪ê‬‬
                                                            ‫‪ë‬‬           ‫ ‪ë‬‬       ‫‪ë‬‬      ‫ ‪û‬‬   ‫‪û‬‬      ‫‪6ú‬‬‫ ‪û‬‬
      ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  - = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﺠﺎﻝ ﻣﻦ‬
                             ‫ﻼ‬                    ‫ 2‬
               ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ  ]  - ;¥-] ٬  َ  ]2  - [ ٬  َ  ¥+;2 [  ٬ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﻓﻲ  ¡  .‬
                                                                  ‫ﻭ ;1 ﻭ  [‬                  ‫1‬
      ‫ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 2 + ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﻓﻘﻂ ﻓﻲ  ¡  ٬ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ٬ ﻭﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ‬
                                                                                                       ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                        ‫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻟﻬﺎ ﺛﻼﺙ ﺣﻠﻮﻝ ﻓﻘﻂ .‬

                                                                            ‫ﻣ‬                           ‫ 7  ﺍﻟ‬
                                                                         ‫ ­  ﺪﻭﻝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﺍﻟﺮﺗﻴﺒﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ :‬
                                                                                        ‫ ﺹ  ﺝ‬
                                                                                     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 85  03  1 :‬


                                                  ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ]2  - [  ﺑـ : 1 -  2 ‪:  f ( x ) = 2x 3 - 3x‬‬
                                                                                         ‫;1‬




‫ 62‬
                                                                                             ‫ ‐‬
                                                                                    ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                     ‫ ( ﺣﺴﺎﺏ ) ‪ ٬  f ' ( x‬ﺛﻢ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪:  f‬‬    ‫ 1‬
                                                                    ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 - ‪f ' ( x ) = 6x 2  - 6x = 6x ( x‬‬
                                                                                                        ‫ )‬
               ‫ 0 = ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ 0 = )1 - ‪ ٬  6x ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = ‪  6x‬ﺃﻱ  0 = ‪  x - 1 = 0  َ  ٬  x‬ﺃﻱ  1 = ‪. x‬‬
                                       ‫ﻭ‬
                                                                                          ‫ [‬
                                ‫ 0 < ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  1;0] ‪  x Î‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0 [ .‬
                                       ‫ ]‬
         ‫ 0 > ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ [¥+ ;1] ‪  x Î ]-¥;0[ U‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [¥+ ;1] ‪.  ]-¥;0[ U‬‬
                                                                                             ‫ ­  ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ :‬
                                                             ‫‪x‬‬         ‫ -‬
                                                                        ‫1‬           ‫ 0‬            ‫ 1‬           ‫ 2‬
                                                          ‫ ) ‪f ' ( x‬‬        ‫+‬              ‫-‬              ‫+‬
                                                                                    ‫1‬
                                                                                   ‫ -‬                          ‫ 3‬
                                                          ‫ ) ‪f ( x‬‬
                                                                       ‫6-‬                         ‫2‬
                                                                                                 ‫ -‬
                                                                                ‫ (  ﺍﻟﺮﺳﻢ  ﻋﻠﻰ ﺷﺎﺷﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ‬     ‫ 2‬
                                                                                          ‫ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪f‬‬
                                                                                         ‫ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻧﺎﻓﺬﺓ ﻣﻨﺎﺳﺒﺔ :‬




                                                   ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻲ ]2  - [  :‬
                                                         ‫;1‬       ‫ﻼ ﺪ‬                                             ‫ 3‬
                               ‫ ﻣﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧﻪ ﻟ ّﺎ  2 ;1[ ‪ x Î‬ﻓﺈﻥ  ]  - [ ‪.  f ( x ) Î‬‬
                                               ‫ 3;2‬                 ‫ﻤ  ]‬
      ‫ ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]3;2 - [  ٬ ﻭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎﻣًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] 2;1[‬
                                               ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ  ‪  a‬ﺣﻴﺚ 2 < ‪. 1 < a‬‬
                                                                        ‫ﺪ‬   ‫ﻼ‬

                                                                                        ‫ 9  ﺹ  ﺝ‬
                                                                                     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  5  03  1 :‬
                                                 ‫ ﻰ ¡  ﺑـ : 5 + ‪:  f ( x ) = -2x 3 + 3x 2  - x‬‬
                                                                                             ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠ‬

                                                      ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ ٬  f‬ﺛﻢ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺗﻬﺎ :‬    ‫ 1‬
                                                                                             ‫ 2‬
                                                                              ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ 1 - ‪f ' ( x ) = -6x + 6x‬‬
                       ‫ 0 = ) ‪  f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ 0 = 1 - ‪ ٬  -6x 2  + 6x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ  21 = 42 - 63 = ‪D = b 2  - 4ac‬‬
                                   ‫ 21 + 6- ‪-b  + D‬‬                           ‫ 21 - 6- ‪-b  - D‬‬
                                 ‫=  2 ‪x‬‬       ‫=‬             ‫=  1 ‪= 0, 2  ٬  x‬‬        ‫=‬            ‫ 8,0 =‬
                                      ‫‪2a‬‬             ‫ 21-‬                        ‫‪2a‬‬       ‫ 21‬
                                                                                         ‫ -‬
                ‫ 0 < ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ [¥+ ;8,0] ‪  x Î ]-¥;0, 2[ U‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ  ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ .‬
                                      ‫ [‬
                          ‫ 0 > ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  8,0;2 ,0] ‪  x Î‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  8,0;2 ,0]  .‬
                                                                                        ‫ [‬
                                                                                          ‫ ­  ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ :‬
                                                             ‫‪x‬‬         ‫ ¥-‬         ‫2 ,0‬          ‫ 8,0‬         ‫ ¥+‬
                                                          ‫ ) ‪f ' ( x‬‬        ‫-‬              ‫+‬              ‫-‬
                                                                       ‫¥+‬                          ‫1,5‬
                                                          ‫ ) ‪f ( x‬‬
                                                                                   ‫9 ,4‬                       ‫ ¥-‬



‫ 72‬
                                                                                             ‫ ‐‬
                                                                                    ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                           ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ  ‪  a‬ﻋﻠﻰ  ¡  :‬
                                                           ‫ﻼ ﺪ‬                                               ‫ 2‬
                   ‫ ﻣﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧﻪ ﻟ ّﺎ  ¥+ ;8,0 [ ‪ x Î‬ﻓﺈﻥ  ]  ¥-] ‪.  f ( x ) Î‬‬
                                   ‫ 1,5;‬                    ‫ﻤ  [‬
      ‫ ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]  ¥-]  ٬ ﻭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬
                  ‫ﻣ‬                                           ‫1,5;‬
                                              ‫ ¥+;8,0 [ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ  ‪. a‬‬
                                                    ‫ﻼ ﺪ‬                                                  ‫ [‬
                                                                            ‫ (  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺔ‬  ‫ 3‬
                                                                                      ‫ -‬‫ 2‬
                                                                        ‫ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻘﺮﺑﺔ ﺇﻟﻰ 01 ﻟﻠﺤﻞ ‪: a‬‬
                                                                     ‫ 0 = ) ‪  f ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ‬
                                                                      ‫ ﺣﺎﻣﻞ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﻔﻮﺍﺻﻞ ﺃﻱ  0 = ‪y‬‬
                                                                          ‫ ﻛﻤﺎ ﺗﻈﻬﺮ ﻋﻠﻰ ﺷﺎﺷﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬
                                                                                      ‫ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﺔ  39.1 = ‪.  x‬‬

                                                                                              ‫ 1  ﺝ‬
                                                                                           ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 06 ﺹ  3  1 :‬
                                                                                              ‫ ]‬
                                                        ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  2;1[  ﺑـ : 1 +  2 ‪:  f ( x ) = x 4 - x‬‬

                                                                                                             ‫ 1‬
                                                        ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ ٬  f‬ﺛﻢ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺗﻬﺎ :‬
                                                                                                      ‫ )‬
                                                                   ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 - ‪f ' ( x ) = 4x - 2x = 2x ( 2x‬‬
                                                                                 ‫3‬               ‫ 2‬


                ‫ 1‬
      ‫ =  2 ‪x‬‬
                ‫ 2‬
                      ‫(‬         ‫ )‬                                                  ‫(‬        ‫ )‬
                   ‫ 0 = ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ 0 = 1 -  2 ‪ ٬  2x 2x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = ‪  2x‬ﺃﻱ  0 = ‪  2x 2  - 1 = 0  َ  ٬ x‬ﺃﻱ‬
                                      ‫ﻭ‬

                                                                             ‫‪٬  x‬‬        ‫ 1‬           ‫‪َ  ٬  x‬‬
                                                                                                      ‫ﻭ‬             ‫ 1‬
                                                                                    ‫-=‬         ‫,0‬
                                                                                            ‫ 7  - =‬             ‫=‬      ‫ 7 ,0 =‬
                                                                                         ‫ 2‬                         ‫ 2‬
                                                                                              ‫ ﻧﺪﺭﺱ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ :‬
                                     ‫‪x‬‬       ‫ ¥-‬        ‫7 ,0-‬                       ‫ 0‬                 ‫ 7 ,0‬            ‫ ¥+‬
                                 ‫‪2x‬‬                ‫ -‬                  ‫-‬                    ‫+‬                       ‫+‬
                                     ‫ 2‬
                              ‫ 1 - ‪2x‬‬              ‫ +‬                  ‫-‬                    ‫-‬                       ‫+‬
                             ‫ ﺍﻟﺠﺪﺍء‬              ‫ -‬             ‫+‬            ‫-‬                ‫+‬
      ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  ] 2 ;1[ =  ‪ ٬  Df‬ﻭﻣﻨﻪ  ﻭ ﺣﺴﺐ ﺟﺪﻭﻝ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ٬ ﺍﻟﺪّﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎﻣًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] 2;1[‬
                                                                                    ‫ ­  ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ :‬
                                                                   ‫‪x‬‬                                                       ‫ 2‬
                                                                                                                           ‫ 1‬
                                                                ‫ ) ‪f ' ( x‬‬                            ‫+‬
                                                                                                                         ‫ 31‬
                                                                ‫ ) ‪f ( x‬‬
                                                                                    ‫1‬

                                               ‫ [‬
                                       ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  3 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ  ‪ a‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2 ;1]  :‬
                                                                ‫ﻼ ﺪ‬                                 ‫ﻥ‬          ‫ 2‬
                                                ‫ ]‬
                            ‫ ﺣﺴﺐ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧﻪ ﻟ ّﺎ  2;1] ‪ x Î‬ﻓﺈﻥ  31;1[ ‪.  f ( x ) Î‬‬
                                                              ‫ﻤ  [‬
                                                                        ‫ ]‬
‫ ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ 3 ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  31;1[  ٬ ﻭ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2 ;1]  ﻓﺈﻧﻪ‬
           ‫ [‬            ‫ﻣ‬
                                 ‫ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ٬ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ  ‪.  a‬‬
                                        ‫ﺪ‬       ‫ﻼ‬

                                                                ‫ (  ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺮﺑﺔ ﺇﻟﻰ  2 -01 ﻟﻠﺤﻞ  ‪  a‬ﻫﻲ :  14 ,1 .‬
                                                                                                                   ‫ 3‬


‫ 82‬
                                                                                                  ‫ ‐‬
                                                                                         ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
          ‫ ‪y‬‬                                                                               ‫ 1  ﺝ‬   ‫ 1‬
                                                                                        ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  6 ﺹ  3  1 :‬
          ‫ 2‬
          ‫ 1‬                        ‫‪é‬‬‫ 5‬  ‫‪ù‬‬
                                 ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 3 -  2 ‪  2x 3 - 5x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ  ﻴ ًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪:  ê ;3 ú‬‬
                                                      ‫ً ﻭﺣ ﺪ‬
        ‫ ‪­1  1  2  3  x‬‬
          ‫ 0‬                       ‫ ‪ë 2 û‬‬
         ‫ 1­‬
                               ‫ﻧﻀﻊ  3 -  2 ‪ ٬ f ( x ) = 2x 3 - 5x‬ﻭﻣﻨﻪ  5 - ‪f ' ( x ) = 6x 2  - 10x = 2x ( 3x‬‬
                                                                    ‫ )‬
         ‫ 2­‬
         ‫ 3­‬                              ‫ 0 = ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ 0 = )5 - ‪ ٬  2x ( 3x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = ‪  2x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  0 = ‪٬  x‬‬
         ‫ 4­‬                                                                                     ‫ 5‬
         ‫ 5­‬                                                                             ‫ = ‪x‬‬                         ‫ﻭ‬
                                                                                                    ‫  َ  0 = 5 - ‪ ٬  3x‬ﺃﻱ‬
                                                                                                 ‫ 3‬
         ‫ 6­‬
         ‫ 7­‬                   ‫ ﺇﺫﻥ ﻟ ّﺎ  0 < ) ‪ ٬  x Î ù 0; 5 é ٬  f ' ( x‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ .‬
                                                 ‫ﻣ‬                               ‫‪ú‬‬      ‫‪ê‬‬
                                                                                                             ‫ﻤ‬
                                                                                        ‫ ‪û 3 ë‬‬
                                                                                ‫‪ù‬‬      ‫‪é‬‬ ‫ 5‬
                   ‫ﻭ ﻟ ّﺎ  0 > ) ‪  ٬  x Î ]-¥; 0[ U ú ; +¥ ê ٬ f ' ( x‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ .‬
                                     ‫ﻣ‬                                                                     ‫ﻤ‬
                                                                                       ‫ 3 ‪û‬‬       ‫‪ë‬‬
                                                                         ‫ 5‬                           ‫‪é 5  ù‬‬
      ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪  ê ;3 ú‬ﻣﺤﺘﻮﻯ ﻓﻲ ‪ ٬  ù ; +¥ é‬ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬
                               ‫ﻣ‬                                  ‫3‪ú‬‬     ‫‪ê‬‬
                                                                  ‫‪û‬‬      ‫ ‪ë‬‬          ‫ ‪ë 2 û‬‬
               ‫‪é 5  ù‬‬
               ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  3; 2 ‪ê‬‬
               ‫‪ë‬‬     ‫‪ú‬‬
                     ‫ ‪û‬‬
                                  ‫ﻼ ﺪ‬
                                       ‫‪é 5  ù‬‬
                                    ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 3 -  2 ‪  2x 3 - 5x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪.  ê ;3 ú‬‬
                                                          ‫ﻼ ﺪ‬
                                       ‫ ‪ë 2 û‬‬

                                                                                           ‫ 1  ﺝ‬   ‫ 2‬
                                                                                        ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  6 ﺹ  3  1 :‬
                                   ‫‪é‬‬  ‫‪p‬‬    ‫‪ù‬‬                                      ‫ 1‬
                                                        ‫ﻼ ﺪ‬
                                ‫ ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪:  ê - ; 0 ú‬‬        ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  ‪= 2cos x‬‬
                                   ‫ ‪ë 2 û‬‬                               ‫ 2 + ‪x‬‬
                                                      ‫ 1-‬                                           ‫ 1‬
                                      ‫= ) ‪f '( x‬‬            ‫ 2‬
                                                                 ‫= ) ‪ ٬ f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  ‪+ 2sin x‬‬             ‫ﻧﻀﻊ  ‪- 2 cos x‬‬
                                                   ‫ ) 2 + ‪( x‬‬                                     ‫ 2 + ‪x‬‬
       ‫‪é p ù‬‬                                                      ‫‪é p ù‬‬
       ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪  x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  0 ; 2 - ‪  f ' ( x ) < 0  ٬ ê‬ﻷﻥ  ‪  sin x‬ﺳﺎﻟﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  0 ; 2 - ‪ê‬‬
       ‫‪ë‬‬        ‫‪ú‬‬
                ‫ ‪û‬‬                                                ‫‪ë‬‬       ‫‪ú‬‬
                                                                          ‫ ‪û‬‬
                                                 ‫‪é‬‬  ‫‪p ù‬‬
                               ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ) ‪  f ( x‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪  ê - ; 0 ú‬ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻴﻪ .‬
                                                                          ‫ﻣ‬
                                                 ‫ ‪ë 2 û‬‬
            ‫‪é p ù‬‬
            ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  0 ; 2 - ‪ê‬‬
            ‫‪ë‬‬        ‫‪ú‬‬
                     ‫ ‪û‬‬
                                  ‫ﻼ ﺪ‬
                                        ‫‪p‬‬                                      ‫ 1‬
                                  ‫ ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪.  é - ; 0 ù‬‬
                                     ‫‪ê 2 ú‬‬                  ‫ﻼ ﺪ‬                     ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  ‪= 2cos x‬‬
                                     ‫‪ë‬‬       ‫ ‪û‬‬                              ‫ 2 + ‪x‬‬

                                                                                           ‫ 1  ﺝ‬   ‫ 3‬
                                                                                        ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  6 ﺹ  3  1 :‬
                                             ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪  [ 0;p‬ﺑـ : 2 + ‪: f ( x ) = cos3  x - 3cos x‬‬

                                           ‫ · ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻭﺣﻴﺪ ‪ a‬ﻣﻦ  ] ‪ [ 0;p‬ﺣﻴﺚ  2  = ) ‪:  f (a‬‬
                                                 ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ  ] ‪  [ 0;p‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻫﻲ :‬
                                                                 ‫ ) ‪f ' ( x ) = 3 ( - sin x ) ( cos 2  x ) - 3 ( - sin  x‬‬
                                                                               ‫ ) 1 - ‪= - 3 sin x ( cos 2  x‬‬
                                                                               ‫‪= - 3 sin x ( - sin 2  x‬‬             ‫ )‬
                                                                               ‫‪= ( 3 sin x‬‬    ‫ ‪) ( s in‬‬
                                                                                                      ‫ 2‬
                                                                                                           ‫‪x‬‬   ‫ )‬

‫ 92‬
                                                                                                ‫ ‐‬
                                                                                       ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                   ‫ﻣﻮﺟﺐ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [ ‪]0;p‬‬     ‫ﺇﺫﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ  ) ‪  f ' ( x‬ﻫﻲ ﺇﺷﺎﺭﺓ  ‪ ٬ sin x‬ﺃﻱ  0 > ) ‪ ٬  f ' ( x‬ﻷﻥ  ‪sin x‬‬

                                                                                                            ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ :‬
                                                                          ‫‪x‬‬                   ‫ 0‬                                ‫ ‪p‬‬
                                                                       ‫ ) ‪f ' ( x‬‬                                 ‫+‬
                                                                                                                                ‫ 4‬
                                                                       ‫ ) ‪f ( x‬‬                              ‫ 2‬
                                                                                              ‫0‬

          ‫ ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ] ‪ ٬ [ 0;p‬ﻭﻣﻨﻪ ﻟ ّﺎ  ]  ;0  ‪ x Î‬ﻓﺈﻥ  4 ;0  ‪f ( x ) Î‬‬
                   ‫ ] [‬           ‫ﻤ ‪[ p‬‬                                     ‫ﻣ‬
                                                                                              ‫ ]‬
                                                                                      ‫ ﻭ ﺍﻟﻌﺪﺩ 2 ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  4;0 [  .‬
 ‫ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2  = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ  ‪ a‬ﺣﻴﺚ  [ ‪ ٬ a Π]0;p‬ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ [ ‪ a Π]0;p‬ﺣﻴﺚ 2  = ) ‪.  f (a‬‬
                                                                 ‫ﻼ ﺪ‬                                   ‫ ﺇﺫﻥ‬

                                                                                                ‫ 1  ﺝ‬   ‫ 4‬
                                                                                             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  6 ﺹ  3  1 :‬
                                                        ‫ ‪  f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡  ﺑـ : 1 -  2 ‪:  f ( x ) = -x 3 + 3x‬‬
                                                                           ‫ﻭ‬
                                                                    ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻧﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+ :‬    ‫ 1‬
                                              ‫¥+ = ‪. xlim f ( x ) = xlim é -x 3 + 3x 2 - 1ù = x lim  é -x 3 ù‬‬
                                                  ‫¥-®‬            ‫‪®-¥ ë‬‬               ‫‪û ®-¥ ë‬‬           ‫ ‪û‬‬
                                              ‫¥- = ‪.  lim f ( x ) = lim é -x 3 + 3x 2 - 1ù = lim  é -x 3 ù‬‬
                                                ‫¥+® ‪x‬‬          ‫‪x ®+¥ ë‬‬              ‫‪û x ®+¥ ë‬‬       ‫ ‪û‬‬
                                                                                 ‫ﺪ‬                       ‫ 2  ﺃ‬
                                                       ‫ (  ( ﺣﺴﺎﺏ  '  ‪  f‬ﻣﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟ ّﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺛﻢ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺇﺷﺎﺭﺗﻬﺎ :‬
                                       ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪  x‬ﻣﻦ  ¡ ﻟﺪﻳﻨﺎ  ) ‪f ' ( x ) = -3x + 6x = 3x ( 2 - x‬‬
                                                          ‫ 2‬


              ‫ 0 = ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  0 = ) ‪ ٬  3x ( 2 - x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = ‪  3x‬ﺃﻱ 0 = ‪  2 - x = 0  َ  ٬  x‬ﺃﻱ  2 = ‪x‬‬
                                    ‫ﻭ‬
 ‫ 0 < ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  [¥+ ;2] ‪  x Î ]-¥;0[ U‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎﻣًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [¥+ ;2] ‪]-¥;0[ U‬‬
                               ‫ [‬
                        ‫ 0 > ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  2;0] ‪  x Î‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0]  .‬
                                                ‫ﻣ‬                                     ‫ [‬

                                                                                                                    ‫ ﺏ‬
                                                                                                   ‫ ( ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ :‬
                                                               ‫‪x‬‬        ‫ ¥-‬              ‫0‬                  ‫ 2‬            ‫ ¥+‬
                                                         ‫ ) ‪f ' ( x‬‬           ‫-‬                         ‫+‬             ‫-‬
                                                                      ‫¥+‬                                    ‫3‬
                                                         ‫ ) ‪f ( x‬‬
                                                                                        ‫1-‬                                ‫ ¥-‬
      ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺍﺣ ًﺍ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﺠﺎﻝ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ]  - [ ٬  1;0 [ ٬  3;2 [  :‬
              ‫ ]‬       ‫0;1  ]‬                             ‫ﺪ‬                                     ‫ﻥ‬         ‫ 3‬
                                                                              ‫ﻭ  )‬
                                                          ‫ﺃﻭ ً ﻧﺤﺴﺐ  )  - ( ‪: f  ( 3  َ  ٬ f  (1  َ  ٬ f‬‬
                                                                  ‫ﻭ  )‬                    ‫ 1‬        ‫ﻻ‬
                                                                                  ‫3‬                ‫ 2‬
                                                           ‫ 3 = 1 - 3 + 1 = 1 -  )1- ( 3 + )1- ( - = )1- ( ‪f‬‬
                                                                         ‫3‬              ‫ 2‬
                                                           ‫ 1 = 1 - 3 + 1- = 1 -  )1( 3 + )1( - = )1( ‪f‬‬
                                                                          ‫3‬              ‫ 2‬
                                                           ‫ - = 1 - 72 + 72- = 1 -  )3 ( 3 + )3 ( - = )3 ( ‪f‬‬
                                                                                                           ‫ 1‬
                    ‫ ­  ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]  - [ َ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻴﻪ  َ  0 < ) 0 ( ‪f ( -1) ´ f‬‬
                                           ‫ﻭ‬        ‫ﻣ‬             ‫0;1 ﻭ‬
         ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺍﺣ ًﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]  - [  .‬
               ‫0;1‬                ‫ﺪ‬
                                                                         ‫ ]‬
                      ‫ ­  ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0 [ َ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻴﻪ  َ  0 < )1( ‪f ( 0 ) ´ f‬‬
                                           ‫ﻭ‬        ‫ﻣ‬             ‫ﻭ‬

‫ 03‬
                                                                                                  ‫ ‐‬
                                                                                         ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                  ‫ ]‬
         ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺍﺣ ًﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0 [  .‬
                                   ‫ﺪ‬
                                                                   ‫ ]‬
               ‫ ­  ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  3;2 [ َ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻴﻪ  َ  0 < )3 ( ‪f ( 2 ) ´ f‬‬
                                     ‫ﻭ‬        ‫ﻣ‬             ‫ﻭ‬
                  ‫ ]‬
         ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺍﺣ ًﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  3;2 [  .‬
                                   ‫ﺪ‬

                                                                                            ‫ 1  ﺝ‬   ‫ 5‬
                                                                                         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  6 ﺹ  3  1 :‬
                                                                                   ‫ 1‬
                                                                 ‫ ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪  [ 0;p‬ﺑـ : ‪: f ( x ) = 2 +  sin x‬‬
                                                                                   ‫ 2‬

                               ‫ · ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻭﺣﻴﺪ ‪ a‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] ‪ [ 0;p‬ﺑﺤﻴﺚ ‪:  f (a ) = a‬‬
                                           ‫ 1‬
                              ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﺗﻜﻮﻥ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ] ‪  [ 0;p‬ﺑـ : ‪g ( x ) = 2 + sin x - x‬‬
                                           ‫ 2‬
                                                         ‫ﻟﻨﺪﺭﺱ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ] ‪: [ 0;p‬‬
                                                                                                ‫ 1‬
                                                      ‫ 2 = 0 - ) 0 ( ‪ ٬ g ( 0 ) = 2 + sin‬ﻷﻥ 0 = )0 ( ‪. sin‬‬
                                                                                                ‫ 2‬
                                                                                           ‫ 1‬
                                                  ‫‪ g (p ) = 2 + sin (p ) - 0 = 2 - p‬ﻷﻥ 0 = ) ‪.  sin (p‬‬
                                                                                           ‫ 2‬
                                                                 ‫ 1‬
                                                   ‫= ) ‪g ' ( x‬‬     ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ  ] ‪cos x - 1  ٬ [ 0;p‬‬
                                                                 ‫ 2‬
                                                                                               ‫ ­ ﺇﺷﺎﺭﺓ  ) ‪:  g ' ( x‬‬
                                 ‫1‬   ‫1‬           ‫ 1‬
      ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 £ ‪ ٬  -1 £ cos x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ 2 ﻧﺠﺪ  £ ‪ ٬  - £ cos x‬ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ  -  ﺇﻟﻰ‬
            ‫1‬
                                 ‫2‬   ‫2‬           ‫ 2‬
                                                                                             ‫ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ‬
            ‫‪x‬‬         ‫ 0‬                              ‫ ‪p‬‬                           ‫1‬     ‫1‬             ‫ 1‬
                                                                               ‫ 1 - £ 1 - ‪.  - - 1 £ cos x‬‬
         ‫ ) ‪f ' ( x‬‬                  ‫-‬                                             ‫2‬     ‫2‬             ‫ 2‬
                      ‫ 2‬                                                               ‫3‬              ‫ 1‬
                                                             ‫ﺇﺫﻥ  - £ ) ‪ ٬ - £ g ' ( x‬ﺃﻱ ﺃﻥ 0 < ) ‪g ' ( x‬‬
         ‫ ) ‪f ( x‬‬                                                                      ‫2‬              ‫ 2‬
                                                 ‫‪2 -p‬‬             ‫ ­ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ) ‪ g ( x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] ‪:  [ 0;p‬‬
 ‫ﻣﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ  ) ‪ g ( x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] ‪  [ 0;p‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] ‪  [ 0;p‬ﻭﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬
                                               ‫ﻥ‬
 ‫ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻴﻪ  َ  0 < ) ‪ ٬ f ( 0) ´ f ( p‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻭﺣﻴﺪ ‪a‬‬
                                                                                           ‫ﻭ‬      ‫ﻣ‬
                                                                      ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ] ‪ ٬ [ 0;p‬ﺣﻴﺚ  0 = ) ‪.  g (a‬‬
                          ‫ 1‬
                       ‫ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻭﺣﻴﺪ  ‪ a‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ] ‪ [ 0;p‬ﺣﻴﺚ  0 = ‪2 + sin (a ) - a‬‬
                          ‫2‬
                                                                                ‫ 1‬
                                                                          ‫ﻭﻣﻨﻪ ‪.  2 + sin (a ) = a‬‬
                                                                                ‫2‬
                                ‫ ﺇﺫﻥ : ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻭﺣﻴﺪ  ‪ a‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ] ‪ [ 0;p‬ﺣﻴﺚ ‪.  f (a ) = a‬‬

                                                                                           ‫ 1  ﺝ‬   ‫ 6‬
                                                                                        ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  6 ﺹ  3  1 :‬
                                                                              ‫ 2‬
                                                  ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¥+;0 [  ﺑـ :  ) 2  - ‪:  f ( x ) = ( x‬‬
                                                                                       ‫ [‬

                                                           ‫ ]‬
                                                ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [ = ‪: D‬‬
                                                                         ‫ﻣ‬                       ‫ﻥ‬           ‫ 1‬
                                                                        ‫ 1‬
                                     ‫ ´ ) 2 -  ‪. f ' ( x ) = 2 ( x‬‬               ‫ [‬
                                                                           ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ  2;0] ٬‬
                                                                      ‫‪2  x‬‬

‫ 13‬
                                                                                                 ‫ ‐‬
                                                                                        ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                               ‫ ﻭﻣﻨﻪ  0 ³ ‪ ٬ 2 x‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ) ‪  f ' ( x‬ﻣﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ  2  - ‪.  x‬‬
                          ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 < ‪ ٬  0 < x‬ﻭﻣﻨﻪ  2  < ‪ ٬  0 < x‬ﻳﻜﺎﻓﺊ  2  - 2 < 2 - ‪0 - 2 < x‬‬
                                                ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ  0 < 2 - ‪ - 2 < x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 < ) ‪.  f ' ( x‬‬
                                                                    ‫ [‬
                                                             ‫ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0]  .‬
                                                                                  ‫ﻣ‬                        ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                   ‫ ]‬
                                            ‫ (  ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  2;0 [ = ‪  D‬ﺑـ : ‪: g ( x ) = f ( x ) - x‬‬
                                                                                                                  ‫ 2‬
                                                               ‫ ]‬
                                                   ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [ = ‪: D‬‬
                                                                                ‫ﻣ‬
                                                          ‫ [‬
 ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0]  ٬ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪  x a -x‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪D‬‬
               ‫ﻣ‬                                                        ‫ﻣ‬
              ‫ﻣ‬                                               ‫ ]‬
                                            ‫ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [ = ‪ ٬  D‬ﻷﻧﻬ‬
           ‫ ﺎ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺘﻴﻦ ﺗﻤﺎ ًﺎ .‬                               ‫ﻣ‬                          ‫ ﺇﺫﻥ‬
            ‫ · ﺣﺴﺎﺏ  ) 0 ( ‪ ٬ g ( 2 )  َ g‬ﺛﻢ ﺍﻹﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  f ( x ) = x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪: D‬‬
                            ‫ﻼ ﺪ‬                                                           ‫ﻭ‬
                                                                     ‫ 2‬                                      ‫ 2‬
                                            ‫= )2 ( ‪g‬‬   ‫(‬   ‫2 -2‬     ‫ )‬    ‫= ) 0 ( ‪- 2 = -  ٬ g‬‬
                                                                                 ‫ 2‬              ‫(‬   ‫0 -0‬   ‫ 2 = 0 -  )‬
                                                    ‫ ]‬
                    ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [ = ‪ ٬  D‬ﻷﻧﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ‬
                                                                  ‫ﻣ‬
                                                                               ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  0 < ) 2 ( ‪g ( 0) ´ g‬‬
                ‫ ]‬
       ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ٬ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  g ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [ = ‪D‬‬
                             ‫ﻼ ﺪ‬
                                 ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ g ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻭﺣﻴﺪ  ٬ ﻣﻌﻨﺎﻩ 0 = ‪  f ( x ) - x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻭﺣﻴﺪ‬
                                                 ‫ ]‬
                                     ‫ : ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ f ( x ) = x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  2;0 [ = ‪.  D‬‬
                                                                ‫ﻼ ﺪ‬                                   ‫ ﺇﺫﻥ‬

                                                                                             ‫ 1  ﺝ‬   ‫ 7‬
                                                                                          ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  6 ﺹ  3  1 :‬
                                                                     ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟ ّﺍﻟﺘﻴﻦ  1 + ‪: g : x a -x 3  َ  ٬  f : x a  x‬‬
                                                                                     ‫ﻭ‬                          ‫ﺪ‬

      ‫ · ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ  )  ‪  (C g  )  َ (C f‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﻴﻦ ﻟﻠﺪﺍﻟﺘﻴﻦ  ‪  g  َ   f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎﻥ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺣﻴﺪﺓ‬
                                             ‫ﻭ‬                                  ‫ﻭ‬
                                                                                   ‫7‬         ‫ 3‬
                                                                             ‫ ﻓﺎﺻﻠﺘﻬﺎ  0 ‪ ٬  x‬ﺣﻴﺚ  - <  0 ‪:  - < x‬‬
                                                                                   ‫8‬         ‫ 4‬
                                                      ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺩﺍﻟﺔ  ‪ h‬ﺣﻴﺚ  3 ‪g : x a f ( x ) - g ( x ) = x +1 + x‬‬
                                                               ‫ 1‬
                                              ‫= ) ‪h ' ( x‬‬                             ‫ [‬
                                                                    ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ  ¥+ ;1- [ ٬  2  3 +‬
                                                                        ‫ ‪x‬‬
                                                          ‫ 1 + ‪2 x‬‬
                                                     ‫ 1‬                              ‫ 1‬
                        ‫٬ ﻭﻣﻨﻪ  0 > ) ‪h ' ( x‬‬              ‫ ٬ ﺃﻱ ﺃﻥ  0 >  2 ‪+ 3x‬‬          ‫ ﻭﻣﻨﻪ  0 ³  2 ‪> 0  َ   3x‬‬
                                                                                               ‫ﻭ‬
                                               ‫ 1 + ‪2 x‬‬                          ‫ 1 + ‪2 x‬‬
                                                                     ‫ [‬
                                                           ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ h‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+ ;1-]  .‬
                                                                                     ‫ﻣ‬
                         ‫‪y‬‬                                       ‫ [‬
                                                       ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪ h‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+ ;1-]  :‬
                         ‫ 3‬
                ‫ ) ‪g ( x‬‬
                         ‫ 2‬                                    ‫‪x‬‬              ‫ -‬
                                                                               ‫1‬                             ‫ ¥+‬
                               ‫ ) ‪f ( x‬‬
                         ‫ 1‬
                                                            ‫ ) ‪h ' ( x‬‬                      ‫+‬
                  ‫ 1­‬
                ‫ ‪­2  0  1  2  3  4  x‬‬
                   ‫ 1­‬                                                                                       ‫ ¥+‬
                   ‫ 2­‬                                      ‫ ) ‪h ( x‬‬
                   ‫ 3­‬                                                        ‫1-‬

                                                       ‫ [‬
                                     ‫ﻣﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧﻪ ﻟ ّﺎ  ¥+ ;1- [ ‪ x Î‬ﻓﺈﻥ  ¥+ ;1- [ ‪h ( x ) Î‬‬
                                                                         ‫ﻤ  [‬
                                                                   ‫ [‬
‫ ﺑﻤﺎ ﺃﻥّ ﺍﻟﻌﺪﺩ 0 ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+ ;1- [  ٬ ﻭﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ h‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎﻣًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [¥+ ;1- [‬

‫ 23‬
                                                                                                  ‫ ‐‬
                                                                                         ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
              ‫ [‬
      ‫ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ٬ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  h ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼً ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+ ;1- [‬
                                                                                      ‫ﻣ‬
                                                                 ‫ ﻭﻷﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  h‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻓﺈﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺤﻞ ﻭﺣﻴﺪ .‬
                                                                                      ‫3‬            ‫ 3‬
                                                      ‫‪æ 7ö‬‬     ‫7‬     ‫‪æ 7ö‬‬    ‫‪1 æ 7 ö‬‬
                                                    ‫= ÷ - ‪h ç - ÷ = - +1 + ç‬‬  ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ  0 < ÷ ‪- ç‬‬                 ‫ ­‬
                                                      ‫‪è 8ø‬‬     ‫8‬     ‫‪è 8ø‬‬    ‫ ‪8 è 8 ø‬‬
                                                                                 ‫ 3‬
                                                  ‫‪æ 3ö‬‬     ‫3‬     ‫ 5 72 - 23 72 1 ‪æ 3 ö‬‬
                                                ‫= - = ÷ - ‪h ç - ÷ = - +1 + ç‬‬              ‫ﻭ‬
                                                                                   ‫  َ  0 > =‬
                                                  ‫‪è 4ø‬‬     ‫4‬     ‫46 2  ‪è 4 ø‬‬  ‫46‬    ‫ 46‬
               ‫ ­  ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃﻥ  0 < ‪ ٬  h æ - 7 ö ´ h æ - 3 ö‬ﻭﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  h‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ‪  é- 7 ; - 3 ù‬ﺩﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﺣﺪﻭﺩ‬
              ‫ (‬             ‫‪)  ê‬‬         ‫‪ú‬‬                                     ‫÷ ‪ç ÷ ç‬‬
                                 ‫8 ‪ë‬‬    ‫ ‪4 û‬‬                                              ‫‪è 8ø‬‬   ‫ ‪è 4 ø‬‬
           ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ‪  h x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪é 7 3 ù‬‬
            ‫ ٬‬
           ‫‪ê- 8 ; - 4 ú‬‬          ‫ﻼ‬           ‫ ) (‬
           ‫‪ë‬‬          ‫ ‪û‬‬
 ‫ ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ‪ a Î é- 7 ; - 3 ù‬ﺣﻴﺚ  0 = ) ‪ ٬ h (a‬ﺇﺫﻥ  ) ‪ f (a ) = g (a‬ﻷﻥ  ) ‪h (a ) = f (a ) - g (a‬‬
                                                                         ‫‪ê 8 4ú‬‬
                                                                         ‫‪ë‬‬          ‫ ‪û‬‬
                        ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ  ‪ a‬ﻣﺸﺘﺮﻛﺔ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ  )  ‪ ٬  (C g  )  َ (C f‬ﻭﻫﻲ ﻭﺣﻴﺪﺓ  .‬
                                                 ‫ﻭ‬
                                                                            ‫ ) ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﺃﻋﻼﻩ ﻳﺒﻴﻦ ﺫﻟﻚ ( .‬
‫ .‬                                                                                                        ‫ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﺘﻌﻤﻖ :‬

                                                            ‫ ∞  ∞‬                                    ‫ 2‬
                                                         ‫ ­  ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﺃﻭ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻋﻨﺪ  + ﺃﻭ  ­ :‬
                                                                                               ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 86  13  1 :‬
                                                                             ‫ 1 +  ‪x‬‬
                                                             ‫= )  ‪:  f ( x‬‬                      ‫ [‬
                                                                                     ‫ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¥+;3]  ﺑـ :‬
                                                                             ‫ 3 - ‪x‬‬

                                    ‫ [‬
                     ‫ (  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  A‬ﺣﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ x > A‬ﻓﺈﻥ  ) ‪ f ( x‬ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  10 ,1;99 ,0]  :‬
                                                                                                            ‫ 1‬
      ‫3- ‪x‬‬           ‫1+ ‪x‬‬           ‫ 3 -  ‪x‬‬                ‫ 1 +  ‪x‬‬
     ‫ ٬‬    ‫< 99,0 ´‬        ‫ 10 ,1 <‬
                                  ‫´‬         ‫< 99,0  ﻳﻜﺎﻓﺊ‬          ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ 10 ,1 < ) ‪  0,99 < f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ 10 ,1 <‬
      ‫3- ‪x‬‬          ‫3- ‪x‬‬            ‫ 3 - ‪x‬‬                 ‫ 3 - ‪x‬‬
                                                                                                        ‫ )‬
            ‫ﺃﻱ  3 - ‪ ٬  ( x - 3) ´ 0,99 < x + 1 < 1, 01´ ( x‬ﻭﻣﻨﻪ 30 ,3 - ‪٬  0,99x - 2, 97 < x + 1 < 1, 01x‬‬
                               ‫ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ  -  ﺇﻟﻰ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ  30 ,4 - ‪0,99x - 3,97 < x < 1,01x‬‬
                                                                                                   ‫1‬
                   ‫ﻭ‬                                                       ‫ﻭ‬
                   ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 < 30 ,4 + ‪ ٬  -x + 0,99x - 3, 97 < 0  َ   x - 1, 01x‬ﻭﻣﻨﻪ 30  - < ‪َ   0, 01x‬‬
                                    ‫,4‬
                                                                                                 ‫ 79,3 < ‪-0, 01x‬‬
                                                                                    ‫ 79,3‬             ‫ 30 ,4‬
                                                                               ‫ > ‪x‬‬        ‫ - < ‪َ   x‬‬
                                                                                           ‫ﻭ‬                 ‫ ﺇﺫﻥ :‬
                                                                                    ‫ 10,0‬             ‫ 10 ,0‬
                                          ‫ ﺃﻱ ﺃﻥ  793 = ‪ ٬  A‬ﻷﻥ  -  ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻣﺠﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪.  f‬‬
                                                                                  ‫304‬
                                                                                                          ‫ﻥ‬
                            ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ‪  D‬ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  1 = ‪ y‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )  ‪  (C f‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪:  f‬‬‫ 2‬
                                                                                        ‫‪x + 1 ù‬‬         ‫‪é x  ù‬‬
          ‫‪ ٬ xlim f ( x ) = xlim é‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  1 = ‪  ( D ) : y‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﺃﻓﻘﻲ‬
                                                                             ‫‪®±¥ ê‬‬            ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 = ‪ú = lim ê x ú‬‬
                                                              ‫¥±®‬
                                                                                      ‫‪ë x - 3 û‬‬   ‫ 1® ‪x‬‬
                                                                                                        ‫ ‪ë û‬‬
                                                                                  ‫ﻭ‬
                                                                         ‫ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻓﻲ ﺟﻮﺍﺭ  ¥- َ  ¥+ .‬
                                                                         ‫ · ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﺿﻌﻴﺔ  )  ‪ (C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ) ‪:  ( D‬‬
                                                           ‫1+ ‪x‬‬        ‫3 +  ‪x + 1 - x‬‬      ‫ 4‬
                                                ‫= 1 - )  ‪f ( x‬‬   ‫= 1 -‬                ‫=‬         ‫ﻧﺤﺴﺐ ﺍﻟﻔﺮﻕ‬
                                                           ‫3- ‪x‬‬           ‫3- ‪x‬‬           ‫ 3 - ‪x‬‬
                                                                                                ‫ 4‬
                                                                                      ‫ [‬
      ‫ﻷﻥ  ¥+ ;3] =  ‪ ٬ Df‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  )  ‪ (C f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 1 = ‪  ( D ) : y‬ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻝ‬              ‫ ﻭﻣﻨﻪ  0 >‬
                                                                                              ‫ 3 - ‪x‬‬
                                                                                           ‫ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪. f‬‬


‫ 33‬
                                                                                                    ‫ ‐‬
                                                                                           ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                            ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 96  13  1 :‬
                                                      ‫ ‪  f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﺑـ :  1 +  3 ‪: f ( x ) = x 4 + 2x‬‬
                                                 ‫ 6‬
                                  ‫ ·  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  0 > ‪ ٬  A‬ﺣﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ x > A‬ﻓﺈﻥ  01 > ) ‪:  f ( x‬‬
                                                             ‫ 6‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  ¥+ = ) ‪  ٬ x lim  f ( x‬ﻭ  ﻟﺪﻳﻨﺎ  01 > ) ‪  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  ﻣﻦ  ﺃﺟﻞ  ‪ x‬ﻛﺒﻴﺮ  ﺑﺎﻟﻘﺪﺭ  ﺍﻟﻜﺎﻓﻲ    ٬  ﻓﺈﻥ‬
                                                                              ‫¥+®‬
                                                                                                                     ‫ 6‬
                                                                                                         ‫ 01 > ) ‪f ( x‬‬
                                ‫ 6‬
‫ ﻥ ‪ x > A‬ﻓﺈﻥ  01 > ) ‪  .  f ( x‬ﻭﺳﻴﻜﻮﻥ ‪  A‬ﺣﺘ ًﺎ‬
 ‫ﻤ‬                                           ‫ ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﺧﺬ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪  A‬ﺃﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ ٬ ﺣﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎ‬
                                                                                ‫ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻔﺮ .‬

                                                                                            ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 07  13  1 :‬
                                                                          ‫ ‪x‬‬
                                                     ‫= )  ‪:  f ( x‬‬             ‫ 2‬
                                                                                    ‫ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  }1{ - ¡  ﺑـ :‬
                                                                     ‫‪(x‬‬      ‫ )‬
                                                                          ‫ 1 -‬

                                                                                                                      ‫ 1‬
                                                                                     ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪ 1 :‬
                                                                                         ‫ 1 ‪é x  ù‬‬
                                                                     ‫‪lim f ( x ) = lim ê‬‬           ‫‪2  ú‬‬
                                                                                                        ‫¥+ = + =‬
                                                                     ‫1® ‪x‬‬          ‫ 1® ‪x‬‬
                                                                                         ‫ 0 ‪ê ( x - 1  ú‬‬
                                                                                         ‫‪ë‬‬        ‫ ‪)  û‬‬
                                                ‫ 6‬
                                 ‫ (  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﺎﻝ  ‪  I‬ﻣﺮﻛﺰﻩ 1 ﺣﻴﺚ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪  x‬ﻣﻦ  ‪:  f ( x ) > 10  ٬ I‬‬
                                                                                                     ‫ 2‬
                                                                   ‫ 6‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  ¥+ = ) ‪ ٬ lim f ( x‬ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ  01 > ) ‪  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻗﻴﻤﺔ  ‪  x‬ﺃﻗﺮﺏ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ  1  ٬‬
                                                                                             ‫ 1® ‪x‬‬
                                                                                                                 ‫ 6‬
                                                                                                     ‫ﻓﺈﻥ  01 > ) ‪f ( x‬‬
                 ‫ 6‬
  ‫ ﻠﻴﻪ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ‪  I‬ﺑﺎﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻘﺮﻳﺒﺔ ﺟ ًﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ 1  ٬ ﺣﻴﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ x ΠI‬ﻓﺈﻥ  01 > ) ‪.  f ( x‬‬
                                                        ‫ﺪ‬                                           ‫ ﻭﻋ‬
                                                                                                 ‫ 3‬
                                                    ‫ ­  ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﺃﻭ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻋﻨﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ :‬
                                                                                            ‫ 2  ﺝ‬   ‫ 1‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  7 ﺹ  3  1 :‬
                                                                                                   ‫ ‪c‬‬
                    ‫ ‪y‬‬                  ‫+  ‪ ٬ f ( x ) = ax + b‬ﻭ  ) ‪  (C‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ :‬               ‫ ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺣﻴﺚ‬
                    ‫ 5‬                                                                           ‫‪x + d‬‬
                    ‫ ‪4  A  C‬‬
                          ‫ ) (‬
                    ‫ 3‬                                               ‫ﻭ‬
                                                               ‫ ·  ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ  ‪:  d  َ  ٬  c  ٬  b  ٬  a‬‬
                    ‫ 2‬            ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  ) ‪  (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴ  ﺎ ﻣﻘﺎﺭ ًﺎ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  1 = ‪ ٬  x‬ﻭﻣﺴﺘﻘﻴ ًﺎ ﻣﻘﺎﺭ ًﺎ ﻣﺎﺋ ً‬
                                  ‫ﺑ ﻼ‬            ‫ﻤ‬                             ‫ﺑ‬        ‫ً‬
                                                                                        ‫ﻤ‬
                    ‫ 1‬
                                         ‫ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  3 + ‪ y = 2 x‬ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+ ﻭﻳﺸﻤﻞ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ) 4 ;0 ( ‪. A‬‬
                                                                             ‫ﻭ‬
                  ‫ 0  2­‬
              ‫ ‪­3  ­1  1  2  x‬‬
                        ‫ 1­‬                        ‫ · ﺃﻭ ً ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ) 4 ;0 ( ‪ A‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ  ) ‪ (C‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  4 = ) 0 ( ‪f‬‬
                                                                                                         ‫ﻻ‬
                        ‫ 2­‬                                   ‫ ‪c‬‬
                        ‫ 3­‬                ‫+ ‪٬  a ( 0 ) + b‬‬         ‫ﻭﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ  )  ‪ f ( x‬ﻧﺠﺪ  4 =‬
               ‫ 3 + ‪y = 2x‬‬
                        ‫ 4­‬
                                                          ‫‪( 0 ) + d‬‬
                                                                         ‫ ‪c‬‬
                                                                                                       ‫ )‬
                                                 ‫ﻭﻣﻨﻪ  1( ...........................4 = +  ‪ ٬  b‬ﺣﻴﺚ  0 ¹ ‪. d‬‬
                                                                        ‫‪d‬‬
      ‫ ·  ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1 = ‪ x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  ¥± = ) ‪lim f ( x‬‬
      ‫ 1® ‪x‬‬

                                 ‫ ﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ ٬  lim f ( x ) = x + d = 0  ٬ f‬ﺃﻱ ﺃﻥ  1 - = ‪. d‬‬
                                                                                        ‫ ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍ‬
                                                     ‫ 1® ‪x‬‬

              ‫ﻭ‬
‫ ·  ﻳﻜﻮﻥ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ﺫﻭ  ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  3 + ‪ y = 2 x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ  ﻣﺎﺋﻞ  ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+  ﺇﺫﺍ  ﻛﺎﻥ‬
                       ‫ 3 + ‪  ax + b = 2 x‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪  x‬ﻣﻦ  ¡  ٬ ﺑﺎﻟﻤﻄﺎﺑﻘﺔ ﻧﺠﺪ  2 = ‪b = 3  َ  ٬  a‬‬
                              ‫ﻭ‬


‫ 43‬
                                                                                                 ‫ ‐‬
                                                                                        ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                   ‫‪c‬‬
                                     ‫+ 3  ٬ ﻭﻣﻨﻪ  4 = ‪  3 - c‬ﺃﻱ ﺃﻥ  - = ‪.  c‬‬
                                             ‫ 1‬                                                                  ‫ )‬
                                                                                                       ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺗﺼﺒﺢ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1(  :  4 =‬
                                                                                                  ‫ -‬‫ 1‬
                                                                                                 ‫ﻭ‬
                                                                                     ‫ ﺇﺫﻥ :  2 = ‪.  d = - 1  َ  ٬  c = -  ٬  b = 3  ٬  a‬‬
                                                                                                             ‫ 1‬

                                                                                                                   ‫ 2  ﺝ‬   ‫ 2‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                                ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  7 ﺹ  3  1 :‬
                                                                            ‫ 3 +  ‪x 3 + 3x 2  + 6 x‬‬
                                                         ‫= )  ‪:  f ( x‬‬                        ‫ 2‬
                                                                                                        ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  }1{ - ¡  ﺑـ :‬
                                                                                    ‫‪(x‬‬      ‫ )‬
                                                                                         ‫ 1 +‬

                                ‫ ‪cx + d‬‬
       ‫+  ‪:  f ( x ) = ax + b‬‬                ‫ 2‬
                                                                                         ‫ﻭ‬                            ‫ 1‬
                                                  ‫ (  ﺗﻌﻴﻴﻦ  ‪ ٬  d  َ  ٬  c  ٬  b  ٬  a‬ﺑﺤﻴﺚ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪ x‬ﻳﻜﻮﻥ‬
                                ‫‪(x‬‬      ‫ )‬
                                     ‫ 1 +‬
                          ‫ ‪cx + d‬‬                          ‫)‬
                                                                    ‫ 2‬
                                             ‫ ‪ax + b ( x + 1  + cx + d‬‬                                             ‫)‬
                                                                                             ‫ ‪ax + b ( x 2  + 2x + 1  + cx + d‬‬
   ‫+  ‪f ( x ) = ax + b‬‬               ‫2‬
                                         ‫=‬                              ‫2‬
                                                                                         ‫=‬                        ‫ 2‬
                                                                                                                                       ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                         ‫)1 + ‪( x‬‬                           ‫‪(x‬‬   ‫)1 +‬                            ‫ 1 + ‪( x‬‬ ‫ )‬
                                                                                     ‫3‬              ‫ 2‬
                ‫‪ax 3 + 2ax 2 + ax + bx 2  + 2  + b + cx‬‬
                                             ‫‪bx‬‬                               ‫) ‪+ d  ax ( 2a + b ) x + ( a + 2  + c ) x + (b + d‬‬
                                                                                                                ‫‪b‬‬
            ‫=‬                                       ‫2‬
                                                                                  ‫=‬                             ‫ 2‬
                                     ‫‪(x‬‬      ‫)1 +‬                                                             ‫ )‬
                                                                                                       ‫ 1 + ‪( x‬‬
                      ‫ 3 =  ‪ì 2a + b‬‬
                      ‫‪ï‬‬                                              ‫ 3 +  ‪x 3 + 3x 2  + 6 x‬‬
                                        ‫ﻭ‬
‫= )  ‪  f ( x‬ﻧﺠﺪ  1 = ‪ ٬ ía + 2b + c  = 6  َ  ٬  a‬ﻭﻣﻨﻪ  1 = 2 - 3 = ‪b‬‬                ‫ 2‬
                                                                                             ‫ﺑﺎﻟﻤﻄﺎﺑﻘﺔ ﻣﻊ ﻋﺒﺎﺭﺓ‬
                      ‫ 3 = ‪ïb + d‬‬                                                 ‫ )‬
                                                                           ‫ 1 + ‪( x‬‬
                      ‫ ‪î‬‬
                                                                                                                                     ‫ﻭ‬
                                                                                                                      ‫  َ  6 = ‪1 + 2 + c‬‬
                                                                                                             ‫ﻭ‬
                                                                                     ‫ ٬ ﺃﻱ  3 = 3 - 6 = ‪  1 + d = 3  َ  ٬  c‬ﻭﻣﻨﻪ  2 = ‪d‬‬
                                                                 ‫ 2 +  ‪3x‬‬
                             ‫+ 1 +  ‪.  f ( x ) = x‬‬                           ‫ 2‬
                                                                                                 ‫ﻭ‬
                                                                                  ‫ ﺇﺫﻥ :  1 = ‪ ٬ d = 2  َ  ٬  c = 3  ٬  b = 1  ٬  a‬ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                                               ‫‪(x‬‬      ‫ )‬
                                                                    ‫ 1 +‬
                        ‫ﻭ‬                     ‫ﺑ‬       ‫ﻤ‬                                                       ‫ 2‬
                 ‫ ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪  (C‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴ ًﺎ ﻣﻘﺎﺭ ًﺎ ﻣﺎﺋﻼ ) ‪ ( D‬ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+  :‬
                                                        ‫‪é‬‬        ‫2 + ‪3x‬‬                ‫‪ù‬‬        ‫‪é 3x  + 2  ù‬‬
                         ‫+ 1 + ‪lim f ( x ) - ( x + 1) = lim ê x‬‬          ‫2‬
                                                                           ‫‪- ( x  + 1) ú = lim  ê‬‬        ‫‪2  ú‬‬
                                                                                                              ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                        ‫¥±® ‪x‬‬                     ‫¥±® ‪x‬‬
                                                        ‫‪ê‬‬
                                                        ‫‪ë‬‬       ‫)1 + ‪( x‬‬               ‫‪ú x ®±¥ ê ( x + 1  ú‬‬
                                                                                       ‫‪û‬‬        ‫‪ë‬‬       ‫ ‪)  û‬‬
                            ‫ ‪y‬‬                                     ‫‪é 3x  ù‬‬      ‫‪é 3 ù‬‬
                            ‫ 5‬                              ‫ 0 = ‪= lim ê 2  ú = lim ê ú‬‬
                                                              ‫‪x ®±¥ x‬‬
                            ‫ ) ‪4  (C‬‬                               ‫ ‪ë û x ®±¥ ë x û‬‬
                            ‫ 3‬                          ‫ﻭﻣﻨﻪ  ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ  ﺃﻥ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪  ( D‬ﺫﻭ  ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1 + ‪  y = x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                            ‫ 2‬
                                                                                              ‫ﻭ‬
                                                                                          ‫ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+‬
                            ‫) ‪1  ( D‬‬
                                                                                                                                    ‫ 3‬
                                                                                    ‫ ( ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ) ‪:  ( D‬‬
             ‫ 0  2­  4­‬
           ‫ ‪­5  ­3  ­1  1  2  x‬‬
                     ‫ 1­‬
                     ‫ 2­‬                                ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 +  ‪٬  f ( x ) - ( x + 1) = x + 1 + 3x + 22 - ( x  + 1  = 3x‬‬
                                                                                                          ‫)‬          ‫ 2‬

                     ‫ 3­‬
                                                                                                   ‫‪(x‬‬   ‫)1 +‬              ‫‪(x‬‬      ‫ )‬
                                                                                                                               ‫ 1 +‬
                                                                  ‫ 2‬                        ‫ 2‬
               ‫ ) ‪(C‬‬
                     ‫ 4­‬                                   ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ  0 >  )1 + ‪ َ  ٬  ( x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺴﻂ  - = ‪x‬‬
                                                        ‫٬ ﺃﻱ ﺃﻥ  ) ‪(C‬‬         ‫ﻭ‬
                     ‫ 5­‬                                          ‫ 3‬
                     ‫ 6­‬                                        ‫ 2‬
                                            ‫ﻤ‬                                  ‫ ﺫﺍ‬
                                           ‫ﻳﻘﻄﻊ ) ‪  ( D‬ﻋﻨﺪ  ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ﺕ  ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ  - = ‪  ٬  x‬ﻷﻧﻪ  ﻟ ّﺎ‬
                                                                ‫ 3‬
                                                                                                            ‫ 2‬
                                                                          ‫ - = ‪f ( x ) - ( x + 1) = 0  ٬ x‬‬
                                                                                                            ‫ 3‬
                                                                                             ‫ 2‬
                                         ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻟ ّﺎ ‪ ٬ x Î ù - ; +¥ é‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪.  ( D‬‬
                                                                                        ‫ 3 ‪ú‬‬       ‫ﻤ ‪ê‬‬
                                                                                        ‫‪û‬‬          ‫ ‪ë‬‬
                                                                                                     ‫ 2‬
      ‫ ﻭ ﻟ ّﺎ ‪ ٬ x Î ù -¥; - é‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ) .  ( D‬ﻛﻤﺎ ﻳﺒﻴﻨﻪ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﺃﻋﻼﻩ ( .‬
                                                                                             ‫‪ú‬‬            ‫ﻤ‬
                                                                                             ‫‪û‬‬       ‫‪3 ê‬‬
                                                                                                       ‫ ‪ë‬‬


‫ 53‬
                                                                                                                        ‫ ‐‬
                                                                                                               ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                 ‫ 2  ﺝ‬   3      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                              : 1  3  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  7 ﺹ‬
                                                               :  f ( x ) = x 2  + 4x + 5  : ‫  ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﺑـ‬f  ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬

                                                                   :  lim é f ( x ) - ( x + 2 ) ù ّ ‫ ٬ ﺛ‬lim  f ( x )  ‫ ( ﺣﺴﺎﺏ‬
                                                                                                û  ‫ ﻢ‬x ®+¥                  1 
                                                                     x  ®+¥ ë

                                                                                        ٬ x  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ‬
                                                 .  lim f ( x ) = lim = é x 2 + 4 x + 5 ù = lim  é x 2  ù = +¥
                                                   x ® +¥         x ®+¥ ë               û x  ® +¥ ë     û 



 lim é f
     ë     (x ) - (x     + 2 ) ù = lim é x 2  + 4 x + 5 - ( x + 2 ) 
                               û x  ® +¥ ë
                                                                           ù                                       ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
x ® +¥                                                                     û
                                          é                                     x 2  + 4x + 5 + ( x  + 2  ù
                                                                                                         )ú
                                   x ®+¥
                                          ê
                                             (
                                 = lim ê x + 4x + 5 - ( x  + 2 ) ´
                                                  2 
                                                                             )  x + 4x + 5 + ( x + 2  ú
                                                                                  2 
                                                                                                         ) û
                                          ë
                                          é x 2  + 4x + 5 - ( x  + 2 )2  ù         é x 2 + 4x + 5 - x 2  - 4 x  - 4 ù
                                 = lim ê                                 ú = lim  ê                                 ú
                                   x ®+¥
                                          ê x 2 + 4x + 5 + ( x + 2 ) ú x ®+¥ ê x 2  + 4 x + 5 + ( x + 2 )  ú
                                          ë                              û         ë                                û
                                          é             1                 ù
                                 = lim ê                                  ú = 0 
                                    x ®+¥
                                          ê x 2  + 4x + 5 + ( x + 2 ) ú
                                          ë                               û 
                                                     ‫ﺑ‬       ‫ﻤ‬
                         :  +¥  ‫ ( ﻋﻨﺪ‬D ) ‫ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴ ًﺎ ﻣﻘﺎﺭ ًﺎ ﻣﺎﺋﻼ‬f  ‫(  ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬C ) ‫ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬                2 
                                                                                                                             ( 
(C ) ‫ (  ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬D ) : y            = x + 2  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬lim é f
                                                                              x  ®+¥ ë
                                                                                             (x ) - (x   + 2 )  = 0  ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                                                                              ù
                                                                                                              û 
                                                                                                              .  +¥  ‫ﻋﻨﺪ‬
                                                                                                : lim  f ( x )  ‫ (  ( ﺣﺴﺎﺏ‬
                                                                                                                        ‫ 3  ﺃ‬
                                                                                                  x  ®-¥ 

                                                    lim f
                                                   x ® -¥
                                                              ( x ) = xlim = é
                                                                        ®-¥  ë
                                                                                  x 2 + 4 x + 5 ù = lim  é x 2  ù = +¥
                                                                                                û x  ® -¥ ë     û 
                                                 f ( x  ) 
                               ‫ﻭ‬
 :  lim  é f ( x ) - a x ù = b َ  ٬ lim                      = a             ‫ﻭ‬
                                                                   ‫ ٬ ﺑﺤﻴﺚ‬b  َ a  ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ‬
                                                                                                                ‫ ﺏ‬
   x  ®-¥ ë              û          x  ®-¥          x
                                                                             æ     4 5  ö
                                                                       x  2  ç1 + + 2  ÷
                   f ( x  )             é x 2  + 4x  + 5 ù                   è     x x  ø
            lim                = lim ê                   ú = lim                             ٬ x ¹ 0  ‫ ﻟﺪﻳﻦ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
           x ®-¥     x           x ® -¥
                                        ê
                                        ë       x        ú x  ®-¥
                                                         û                       x

                                               æ      4  5  ö                 4  5                  4  5 
                                         x  2  ç 1 + + 2  ÷             x 1+ + 2          - x  1 + + 2 
                                               è      x x  ø                 x x =  lim             x x 
                               = lim                           = lim
                                 x ®-¥              x             x ®-¥     x       x ®-¥         x
                                                    4   5 
                                       - x  1 + + 2 
                               = lim                x x  = lim é - 1 + 4 + 5  ù = -1 
                                                                     ê           ú
                                 x ®-¥            x           x  ®-¥
                                                                     ë    x x 2  û 
                                                                                                     f ( x  ) 
                                                                           . a = - 1 ‫  ٬ ﺃﻱ ﺃﻥ‬x lim            = -  ‫ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                                                                                  1 
                                                                                                 ®-¥     x




36 
                                                                                                      ‐ 
                                                                                             www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                   : lim  é f ( x ) + x ù = b ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim  é f ( x ) - a x ù = b ‫ · ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                    x  ®-¥ ë            û            x  ®-¥ ë             û 
                                                                                                        x 2  + 4 x + 5 - x 
 lim é f ( x ) + x ù = lim é x 2 + 4 x + 5 + x ù = lim
x ® -¥ ë           û x ® -¥ ë                  û x  ® -¥                 (   x 2  + 4 x + 5 + x  ´ )    x 2  + 4 x + 5 - x
                                                       2 
                                 é                             ù
                         = lim ê
                                 ê   (                   ) 
                                         x 2 + 4 x + 5  - x 2  ú         é x 2 + 4 x + 5 - x 2  ù
                                                                  = lim  ê
                                                               ú                                ú
                           x ®-¥
                                 ê        x 2 + 4 x + 5 - x ú x ®-¥ ë x 2  + 4 x + 5 - x û
                                 ë                             û 

                                              æ   5ö                      æ   5ö                       æ    5 ö
                                            x ç4+ ÷                     x ç4+ ÷                     x  ç 4 + ÷
                                              è   xø                      è   x ø                      è    x  ø
                          = lim                              = lim                    = lim 
                            x ®-¥
                                          æ     4 5      ö     x ®-¥
                                                                            4 5         x ®-¥     æ       4 5    ö
                                     x 2  ç1 + + 2       ÷-x         -x 1 + + 2  - x          -x  ç 1 + + 2  + 1 ÷
                                          è x x          ø                  x x                   è       x x    ø 
                                      5 
                                         -4 +
                                      x         -4 
                         = lim                =     = -2 
                           x ®-¥
                                    4 5          2 
                                 1 + + 2  + 1 
                                    x x

                                                                               b = - 2 ‫  ٬ ﺃﻱ ﺃﻥ‬lim é f ( x ) + x ù = -2  ‫ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                                                               x  ®-¥ ë           û 

 lim f ( x ) - ( - x - 2 ) = 0  ‫ ﻳﻜﺎﻓﺊ‬lim f ( x ) + x + 2 = 0  ‫ ﻭﻣﻨﻪ‬lim f ( x ) + x = -  ‫ ( ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃﻥ‬
                                                                                       2           ‫ ﺝ‬
x  ® -¥                                         x  ®-¥                                x  ®-¥

                 .  -¥  ‫( ﻋﻨﺪ‬C ) ‫ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬y = - x - 2  ‫ (  ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬D ')  ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

                                                                                                       ‫ 2  ﺝ‬   4      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                    : 1  3  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  7 ﺹ‬
          :  g ( x ) = x 2  + 4 x َ f ( x ) = x 2  + x + 1  : ‫  ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻣﻌﺮﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ  ¡ َ  ¡  ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺑـ‬g  َ   f 
                                  ‫ﻭ‬                                            +
                                                                                 ‫ﻭ‬                           ‫ﻭ‬

                                                                                   : lim  g ( x )  َ lim  f ( x )  ‫ ( ﺣﺴﺎﺏ‬
                                                                                                   ‫ﻭ‬                     1 
                                                                                     x ®+¥           x  ®+¥ 

                                                               . lim f ( x ) = lim é x 2 + x + 1 ù = lim  x 2  = +¥
                                                                 x ® +¥         x ® +¥ ë          û  x  ® +¥
                                                                 .  lim g ( x ) = lim é x 2 + 4 x ù = lim  x 2  = +¥
                                                                    x ® +¥         x ® +¥ ë       û  x ® +¥

                                                  : lim  é g ( x ) - æ x + 1 ö ù َ lim  é f ( x ) - æ x + 1 ö ù ‫ ( ﺣﺴﺎﺏ‬
                                                                     ç       ÷ ‫ﻭ‬                    ç       ÷         2 
                                                    x  ®+¥ ê               2 ø ú x  ®+¥ ê                 2 ø ú
                                                               ë     è           û             ë    è               û 

                                                                                                                         1 
                                                                                                     x 2  + x + 1 + x  +
      é             æ    1 öù          é   2                1ù           æ     2              1 ö                        2 
 lim f
x ®+¥ ê
            ( x ) - ç x + ÷ ú = xlim ê x + x + 1 - x + ú = x lim ç x + x + 1 - x  + ÷ ´                                  1 
      ë             è    2 øû     ® +¥
                                       ë                    2û      ®+¥
                                                                         è                    2 ø      2 
                                                                                                     x + x + 1 + x +
                                                                                                                         2 
                                                      2             2 
                                                         æ      1 ö
                                         (                    ) 
                                         x 2  + x + 1  - ç x  + ÷
                                                         è      2 ø
                                                                               é 2            2       1 ù
                                                                               ê x + x + 1 - x - x  - 4 ú
                              = lim                                    = lim  ê
                                x ®+¥                          1         x ®+¥                      1  ú
                                            x 2 + x +1 + x +                   ê x 2  + x + 1 + x +      ú
                                                               2               ë                    2  û 

                                       é          3          ù
                                       ê          4          ú
                              = lim ê                          = 0 
                                x  ®+¥                     1 ú
                                       ê x 2  + x + 1 + x + ú
                                       ë                   2 û



37 
                                                                                                            ‐ 
                                                                                                   www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                                       ‫ 1‬
                                                                                      ‫+  ‪x 2  + 4  + x‬‬
                                                                                              ‫‪x‬‬
        ‫‪é‬‬        ‫‪æ‬‬    ‫‪1 öù‬‬        ‫‪é‬‬            ‫‪æ‬‬    ‫‪1 öù‬‬        ‫‪æ‬‬                ‫‪1 ö‬‬                   ‫ 2‬
   ‫´ ÷ +  ‪lim g ( x ) - ç x + ÷ ú = lim ê x 2 + 4 x - ç x + ÷ ú = lim ç x 2  + 4  - x‬‬
                                                                         ‫‪x‬‬
  ‫‪x ®+¥ ê‬‬             ‫‪2 ø û x ®+¥ ë‬‬                 ‫‪2 ø û x ®+¥ è‬‬                ‫‪2 ø‬‬                   ‫ 1‬
        ‫‪ë‬‬        ‫‪è‬‬                             ‫‪è‬‬                                        ‫ 2‬
                                                                                              ‫‪x‬‬
                                                                                      ‫+ ‪x + 4  + x‬‬
                                                                                                       ‫ 2‬

                                                        ‫ 2‬               ‫ 2‬
                                                   ‫‪æ‬‬      ‫‪1 ö‬‬
                                   ‫(‬   ‫ 4 +  2 ‪x‬‬
                                               ‫‪x‬‬    ‫ )‬
                                                 ‫÷ +  ‪- ç x‬‬
                                                   ‫‪è‬‬      ‫‪2 ø‬‬
                                                                      ‫2 ‪é‬‬
                                                                             ‫‪x‬‬    ‫ 2‬      ‫‪1 ù‬‬
                                                                      ‫‪ê x + 4  - x - x  - 4 ú‬‬
                        ‫‪= lim‬‬                                 ‫‪= lim  ê‬‬
                          ‫¥+® ‪x‬‬            ‫2‬             ‫1‬      ‫¥+® ‪x‬‬                   ‫‪1  ú‬‬
                                          ‫+ ‪x + 4x + x‬‬                ‫+ ‪ê x 2  + 4  + x‬‬
                                                                                ‫‪x‬‬           ‫‪ú‬‬
                                                         ‫2‬            ‫‪ë‬‬                 ‫ ‪2  û‬‬

                                                    ‫ 1‬                ‫‪æ‬‬     ‫‪1 ö‬‬                   ‫‪æ‬‬      ‫‪1  ö‬‬
                                              ‫ ‪x‬‬
                                             ‫-  3‬                   ‫- 3‪x ç‬‬    ‫÷‬                ‫- 3 ‪x  ç‬‬     ‫÷‬
                                                    ‫ 4‬                ‫‪è‬‬    ‫‪4x ø‬‬                   ‫‪è‬‬      ‫ ‪x‬‬
                                                                                                        ‫‪4  ø‬‬
                        ‫‪= lim‬‬                               ‫‪= lim‬‬                  ‫ ‪= lim‬‬
                           ‫¥+® ‪x‬‬
                                            ‫‪æ‬‬    ‫‪4ö‬‬       ‫¥+® ‪1 x‬‬       ‫4‬       ‫‪1  x ®+¥ æ‬‬           ‫4‬         ‫‪1  ö‬‬
                                       ‫+ ‪x 2  ç 1 + ÷ + x‬‬         ‫+  ‪x 1 + + x‬‬            ‫+ 1 + + 1 ‪x  ç‬‬          ‫÷‬
                                            ‫‪è‬‬    ‫‪x ø‬‬      ‫2‬             ‫ ‪x‬‬      ‫ 2‬           ‫‪è‬‬      ‫‪x‬‬          ‫‪x‬‬
                                                                                                              ‫ ‪2  ø‬‬

                                                   ‫ 1‬
                                            ‫- 3‬
                                                   ‫ ‪x‬‬
                                                  ‫ 4‬                ‫ 3‬
                         ‫ ‪= lim‬‬                                 ‫=‬
                           ‫¥+® ‪x‬‬
                                            ‫4‬        ‫ 1‬             ‫ 2‬
                                       ‫+1‬     ‫+ 1 +‬
                                            ‫‪x‬‬        ‫‪x‬‬
                                                    ‫ 2‬

                                                             ‫ ·  ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻦ ﺣﻮﻝ ﺍﻟﺴﻠﻮﻙ ﺍﻟﺘﻘﺎﺭﺑﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺘﻴﻦ  ‪ g  َ   f‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬
                                                                           ‫ﻭ‬
                                                                                   ‫‪é‬‬               ‫‪1  ù‬‬
‫ﺃﻭ ً ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ‪ ٬  lim ê f ( x ) - æ x + ö ú‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻋﻨﺪ ¥+  ﻣﺴﺘﻘﻴ ًﺎ ﻣﻘﺎﺭ ًﺎ‬
 ‫ﺑ‬       ‫ﻤ‬                                                                     ‫‪ç‬‬      ‫÷‬             ‫ﻻ‬
                                                               ‫¥+®  ‪x‬‬
                                                                      ‫‪ë‬‬        ‫‪è‬‬    ‫ ‪2 ø û‬‬
                                                                                                      ‫ 1‬
‫ + ‪  ٬ y = x‬ﺃﻱ  ﺃﻧﻪ  ﻓﻲ  ﺟﻮﺍﺭ ¥+  ٬  ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ  ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻳﻘﺘﺮﺏ    ﻣﻦ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ﺫﻭ‬                        ‫ﻼ‬
                                                                                                         ‫ ﻣﺎﺋ ً  ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‬
                                                                                                      ‫ 2‬
                                                                                                             ‫ 1‬
                                                                                   ‫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  + ‪ y = x‬ﻓﻲ ﺟﻮﺍﺭ  ¥+  .‬
                                                                                                             ‫ 2‬
                  ‫‪é‬‬           ‫‪æ‬‬    ‫‪1 ö 3 ù‬‬                                           ‫‪é‬‬        ‫‪æ‬‬    ‫ 3 ‪1 ö ù‬‬
‫٬  ﻳﻜﺎﻓﺊ‬      ‫ 0 = ‪lim ê g ( x ) - ç x + ÷ - ú‬‬                      ‫٬  ﻭﻣﻨﻪ‬    ‫= ‪lim  g ( x ) - ç x + ÷ ú‬‬       ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
             ‫¥+®  ‪x‬‬                ‫ ‪2 ø 2 û‬‬                                   ‫‪x  ®+¥ ê‬‬             ‫ 2  ‪2 ø û‬‬
                  ‫‪ë‬‬           ‫‪è‬‬                                                      ‫‪ë‬‬        ‫‪è‬‬
                                                                                         ‫‪é‬‬                ‫1‬    ‫‪3  ù‬‬
‫ 0 = ‪ ٬ lim ê g ( x ) - æ x + + ö ú‬ﺃﻱ ﺃﻥ  0 = ‪ ٬  lim é g ( x ) - ( x + 2 ) ù‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                       ‫‪ç‬‬           ‫÷‬
                             ‫‪x  ®+¥ ë‬‬                   ‫ ‪û‬‬             ‫¥+®  ‪x‬‬               ‫ ‪2 2 ø û‬‬
                                                                              ‫‪ë‬‬        ‫‪è‬‬
                                                                   ‫ﺑ ﻼ‬           ‫ﻤ‬
‫ ‪ g‬ﻳﻘﺒﻞ  ﻋﻨﺪ ¥+  ﻣﺴﺘﻘﻴ ًﺎ  ﻣﻘﺎﺭ ًﺎ  ﻣﺎﺋ ً  ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  2 + ‪  ٬ y = x‬ﺃﻱ  ﺃﻧﻪ  ﻓﻲ  ﺟﻮﺍﺭ ¥+  ٬  ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ‬
‫ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪  g‬ﻳﻘﺘﺮﺏ    ﻣﻦ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ﺫﻭ  ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2 + ‪ y = x‬ﻓﻲ  ﺟﻮﺍﺭ  ¥+  ٬  ﻭﻻ  ﻳﻘﺘﺮﺏ  ﻣﻦ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ﺫﻭ‬
                                                                                                              ‫ 1‬
                                            ‫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  + ‪ y = x‬ﻷﻥ  0 ¹ ‪.  lim é g ( x ) - æ x + 1 ö ù‬‬
                                                                ‫‪ç‬‬      ‫÷‬
                                              ‫‪x  ®+¥ ê‬‬               ‫‪2 ø ú‬‬                    ‫ 2‬
                                                     ‫‪ë‬‬          ‫‪è‬‬        ‫ ‪û‬‬
                                                                                            ‫ﻘ‬              ‫ 3‬
‫ (  ﻭﺟﺪﺍﻧﺎ ﺳﺎﺑ ًﺎ  0 = ‪ ٬  lim é g ( x ) - ( x + 2 ) ù‬ﻭﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  2 + ‪  y = x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                                                            ‫‪x  ®+¥ ë‬‬                ‫ ‪û‬‬
                                                                                         ‫ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻓﻲ ﺟﻮﺍﺭ  ¥+  .‬

                                                                                                 ‫ 5  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                              ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  7  23  1 :‬
                                                                                     ‫ [‬
        ‫ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¥+;0 [  ﺑـ : ‪ ٬ f ( x ) = x + 1 + x 2  + 4 x‬ﻭ ) ‪  (C‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬

                       ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ‪  D‬ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  3 + ‪ y = 2x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬
                                                                                                      ‫ 1‬

                                                                                                                   ‫ﻣﻌﻨﺎﻩ‬



‫ 83‬
                                                                                                      ‫ ‐‬
                                                                                             ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
          ë
      x ® +¥
                                         (
                                  û x ® +¥ ê
                                           ë                    )
      lim é f ( x ) - ( 2 x + 3 ) ù = lim é x + 1 + x 2 + 4 x - ( 2 x + 3 ) ù = lim é
                                                                            ú x ® +¥ ê
                                                                            û        ë   (             )
                                                                                             x 2  + 4 x - ( x + 2 ) ù
                                                                                                                    ú
                                                                                                                    û

                                           é                             æ x 2  + 4 x + ( x  + 2 ) ö ù
                                = lim
                                   x  ® +¥
                                          (                         )
                                           ê x 2  + 4 x - ( x  + 2 ) ´ ç
                                           ê
                                                                                                   ÷ú
                                                                         ç x 2  + 4 x + ( x + 2 ) ÷ ú
                                           ë                             è                         øû
                                              2                  2 
                                           é x + 4 x - ( x  + 2 ) ù          é x + 4 x - ( x + 4 x  + 4 ) ù
                                                                                2              2 

                                = lim ê                             ú = lim  ê                            ú
                                  x ®+¥
                                           ê x 2 + 4x + x + 2 ú x  ®+¥ ê
                                           ë                        û        ë      x 2  + 4 x + x + 2  ú û 
                                         é      -4         ù
                                = lim ê                    ú = 0 
                                  x  ®+¥    2 
                                         ë x + 4 x + x + 2 û 
               .  +¥  ‫( ﻋﻨﺪ‬C )  ‫ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬y = 2x + 3  ‫  ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‬D  ‫ ﺇﺫﻥ : ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                                                                                    ‫ﻥ‬
                                                                 :  ( D ) َ (C )  ‫ ( ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻮﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟـ‬
                                                                          ‫ﻭ‬                                 2 
                                                            [ 
                                                    : [ 0;+¥  ‫ ﻋﻠﻰ‬f ( x ) - ( 2x + 3 )  ‫ﻟﻨﺪﺭﺱ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺮﻕ‬
                           f ( x ) - ( 2 x + 3 ) = x + 1 + x 2 + 4 x - ( 2x + 3 ) = x 2  + 4 x - ( x + 2 
                                                                                                        ) 
                                               2 
                      ‫  ﺃﻱ‬x 2  + 4x - ( x + 2 )  ³ 0 ‫ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ‬x 2  + 4x - ( x + 2) ³ 0  ‫ﺣﺘﻰ ﻳﻜﻮﻥ‬
                                        . ‫ : 0 ³ 4-  ٬ ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺴﺘﺤﻴﻞ‬     ‫  ٬ ﻳﻜﺎﻓﺊ‬x 2 + 4x - x 2  - 4x - 4 ³ 0 
                                                                                         [ 
                                             ٬  f ( x ) - ( 2x + 3 ) < 0  ‫ ﻓﺈﻥ‬x Î [ 0; +¥  ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                          [ 
                                .  [ 0;+¥  ‫ ﻣﻦ‬x  ‫  ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬D  ‫( ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬C )  ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬

                                                                                      ‫ 6  ﺹ  ﺝ‬      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                   : 1  32  7  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                          1 
      ‫(  ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ‬C ) ‫ ٬ ﻭ‬f ( x ) = - x + x 2  - 1  : ‫  ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬f 
                                                          2 
                                                                                                  : ‫ ﺍﻟﻤﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬
                                                                 :  f  ‫  ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬D  ‫ (  ﺗﻌﻴﻴﻦ‬1 
                             .  D f  = ¡ = ]-¥; +¥[  ‫ ٬ ﺃﻱ ﺃﻥ‬x - 1 ³ 0  ٬  ¡  ‫  ﻣﻦ‬x  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                                                        2 


                                                                   ‫ﻭ‬
                                                            :  +¥  َ -¥  ‫ ﻋﻨﺪ‬f  ‫ (  ﺣﺴﺎﺏ ﻧﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬  2 
                                                                                       2 
                                                                  1  ‫ﻭ‬
                                                            x = -  َ   x = 1  ‫  ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬x - 1 ³ 0  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                              ì 1 
                              ï - 2 x + x - 1 : x  Î ]-¥; -1[ U ]1; +¥[
                                            2 
                              ï
                   f ( x  ) = í                                         : ¡  ‫  ﻣﻦ‬x  ‫ ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                  1 
                              ï - x + - x + 1 : x Î ]-1;1 
                              ï 2 
                                               2 
                                                           [ 
                              î
                                          é 1           ù          é 1           æ    1  ö ù
                    lim f ( x ) = lim ê - x + x 2 - 1 ú = lim ê - x + x 2  ç 1 - 2  ÷ ú        ‫ﻭﻣﻨﻪ‬
                   x ®-¥            x ®-¥
                                          ë 2           û x  ®-¥ ê 2 
                                                                   ë             è x øú    û 
                                       é 1         1 ù       é æ 1          1  ö ù
                               = lim ê - x - x 1 - 2 ú = lim ê x  ç - - 1 - 2  ÷ ú = +¥
                                                                  ç
                                 x ®-¥
                                       ë 2        x û x  ®-¥ ê è 2 
                                                             ë             x ÷úø û 
                                       é 1           ù        é 1         æ     1  ö ù
                   lim f ( x ) = lim ê - x + x 2 - 1 ú = lim ê - x + x 2  ç 1 - 2  ÷ ú                         ‫ﻭ‬
                                                                                                               َ
                  x ®+¥          x ®+¥
                                       ë 2           û x  ®+¥ ê 2 
                                                              ë           è x øú     û 
                                      é 1         1 ù       é æ 1          1  ö ù
                              = lim ê - x + x 1 - 2 ú = lim ê x  ç - + 1 - 2  ÷ ú = +¥
                                x ®+¥
                                      ë 2        x û x  ®+¥ ê ç 2 
                                                            ë è           x øú÷
                                                                                û


39 
                                                                                           ‐ 
                                                                                  www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                ‫ 1‬
                                                            ‫ ( ﺣﺴﺎﺏ ‪: lim  é f ( x ) - x ù َ lim  é f ( x ) + 3 x ù‬‬
                                                                                    ‫ﻭ‬                             ‫ 3‬
                                                              ‫‪x  ®+¥ ê‬‬        ‫‪2  ú x  ® -¥ ê‬‬          ‫‪2  ú‬‬
                                                                     ‫‪ë‬‬           ‫ ‪û‬‬        ‫‪ë‬‬              ‫ ‪û‬‬
                           ‫‪é‬‬         ‫‪3 ù‬‬           ‫1 ‪é‬‬                ‫‪3  ù‬‬
                     ‫‪lim ê f ( x ) + x ú = lim ê - x + x 2 - 1 + x ú = lim é x + x 2  - 1 ù‬‬
                    ‫¥- ® ‪x‬‬
                           ‫‪ë‬‬         ‫2 ‪2 û x ® -¥ ë‬‬                   ‫‪2  û x  ® -¥ ë‬‬              ‫‪û‬‬
                                                  ‫‪é‬‬               ‫‪x - x 2 -1 ù‬‬           ‫‪é x 2 - x 2  - 1 ù‬‬
                                            ‫¥-® ‪x‬‬
                                                  ‫‪ê‬‬
                                                  ‫‪ë‬‬
                                                        ‫(‬
                                         ‫´ 1 -  2 ‪= lim ê x + x‬‬            ‫ )‬  ‫‪ú‬‬
                                                                  ‫‪x - x 2 - 1 ú x ®-¥ ë x - x 2  - 1 û‬‬
                                                                               ‫ ‪û‬‬
                                                                                  ‫‪= lim  ê‬‬                ‫‪ú‬‬

                                                  ‫‪é‬‬     ‫ 1-‬   ‫‪ù‬‬
                                         ‫‪= lim ê‬‬              ‫ 0 = ‪ú‬‬
                                           ‫¥-® ‪x‬‬          ‫ 2‬
                                                  ‫‪ë x - x - 1 û‬‬
                          ‫‪é‬‬         ‫‪1 ù‬‬           ‫1 ‪é‬‬                ‫‪1  ù‬‬
                    ‫‪lim f ( x ) - x ú = lim ê - x + x 2 - 1 - x ú = lim é x 2  - 1 - x ù‬‬
                   ‫‪x ® +¥ ê‬‬         ‫‪2 û‬‬                              ‫‪2  û x  ® +¥ ë‬‬              ‫‪û‬‬
                          ‫‪ë‬‬               ‫¥+ ® ‪x‬‬
                                                  ‫2 ‪ë‬‬
                                                    ‫‪é‬‬                 ‫‪x 2 -1 + x‬‬          ‫‪ù‬‬        ‫‪é x 2 - 1 - x 2  ù‬‬
                                              ‫¥+® ‪x‬‬
                                                     ‫(‬
                                            ‫´  ‪= lim ê x 2  - 1 - x‬‬
                                                    ‫‪ê‬‬
                                                    ‫‪ë‬‬
                                                                          ‫ )‬
                                                                      ‫‪x 2 -1 + x‬‬
                                                                                          ‫ 2 ‪ú = lim  ê‬‬
                                                                                          ‫‪ú x ®+¥ ë x - 1 + x û‬‬
                                                                                          ‫ ‪û‬‬
                                                                                                                    ‫‪ú‬‬

                                                    ‫‪é‬‬    ‫ 1-‬    ‫‪ù‬‬
                                            ‫‪= lim ê‬‬             ‫ 0 = ‪ú‬‬
                                              ‫¥+® ‪x‬‬    ‫ 2‬
                                                    ‫ ‪ë x - 1 + x û‬‬
                                                                                                                             ‫ 4‬
                                                                                                                ‫ (  ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ :‬
                                          ‫‪é‬‬         ‫‪æ 3  ö ù‬‬                      ‫‪é‬‬       ‫‪3  ù‬‬
                                    ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ 0 = ‪ lim ê f ( x ) + x ú‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = ‪lim ê f ( x ) - ç - x ÷ ú‬‬                        ‫ ­‬
                                   ‫¥-®  ‪x‬‬
                                          ‫‪ë‬‬         ‫ ‪è 2  ø û‬‬             ‫¥- ®  ‪x‬‬
                                                                                  ‫‪ë‬‬       ‫ ‪2  û‬‬

       ‫ﺇﺫﻥ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ‪  D‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = - 3 x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥-  .‬
                                                          ‫ 2‬
                    ‫ 1‬                                                                 ‫ 1‬
‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ‪  lim é f ( x ) - x ù‬ﻭﻣﻨﻪ  ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ  ﺃﻥ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ' ‪  D‬ﺫﻭ  ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  y =  x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ  ﻣﻘﺎﺭﺏ‬
                                                                              ‫‪ê‬‬                                              ‫ ­‬
                    ‫ 2‬                                                ‫¥+ ®  ‪x‬‬
                                                                              ‫‪ë‬‬        ‫‪2  ú‬‬‫ ‪û‬‬
                                                                           ‫ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥+  .‬
                                                 ‫ ( ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ  ) ‪ (C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ  ‪: D ' َ   D‬‬
                                                       ‫ﻭ‬                                                      ‫ 5‬
                                                                   ‫ 3‬
                                                 ‫ ·  ﺃﻭﻻ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ) ‪ ( D‬ﻧﺪﺭﺱ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺮﻕ ‪: f ( x ) - æ - x ö‬‬
                                                             ‫÷  2 ‪ç‬‬
                                                              ‫‪è‬‬     ‫ ‪ø‬‬
                                                          ‫‪æ 3 ö‬‬       ‫1‬                         ‫ 3‬
                                                ‫+ ‪f ( x ) - ç - x ÷ = - x‬‬            ‫+ 1- 2 ‪x‬‬      ‫= ‪x‬‬      ‫‪x 2  - 1  + x‬‬
                                                          ‫ ‪è 2 ø‬‬      ‫2‬                         ‫ 2‬
                                                                                                           ‫ 3‬
      ‫٬ ﺃﻱ ﺃﻥ  1( ................  - ³ 1 -  2 ‪٬  x‬‬
                     ‫‪x‬‬                    ‫ )‬       ‫ﻭﻣﻨﻪ  0 ³ ‪  f ( x ) - æ - x ö‬ﺗﻜﺎﻓﺊ  0 ³ ‪x 2  - 1 + x‬‬
                                                                                      ‫÷  2 ‪ç‬‬
                                                                                      ‫‪è‬‬     ‫ ‪ø‬‬
           ‫ ­  ﺇﺫﻥ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  0 > ‪ x‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﺟﺤﺔ  1( ﻣﺤﻘﻘﺔ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪.  ( D‬‬
                                                                   ‫ )‬
                                                             ‫ 2‬
                  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ  2 ‪x 2 - 1  ³ x‬‬   ‫(‬            ‫)‬           ‫ 2‬
                                                                             ‫ )‬
                                                ‫ ­  ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  0 £ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﺟﺤﺔ  1( ﺗﻜﺎﻓﺊ  ) ‪x 2  - 1  ³ ( - x‬‬

                                                     ‫ ﺇﺫﻥ  2 ‪  x 2 - 1 ³ x‬ﻟ ّﺎ  1 - £ ‪ ٬  x‬ﺃﻱ 0 ³ 1-  ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺴﺘﺤﻴﻞ‬
                                                                                         ‫ﻤ‬
              ‫1‬             ‫ 1‬                     ‫ 1‬
          ‫-‬        ‫ £ ‪£ x‬‬         ‫  َ  2 ‪  - x 2 + 1 ³ x‬ﻟ ّﺎ  0 £ ‪ ٬  -1 £ x‬ﺃﻱ  1 £  2 ‪ ٬  2x‬ﻭﻣﻨﻪ  £  2 ‪ ٬  x‬ﺃﻱ ﺃ ّ‬
                                  ‫ﻥ‬                                                       ‫ﻤ‬                     ‫ﻭ‬
              ‫2‬              ‫ 2‬                    ‫ 2‬
                                                                                              ‫ 1‬
                                                                                          ‫-‬          ‫ ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻜﺎﻓﺊ  0 £ ‪£ x‬‬
                                                                                                ‫ 2‬
                                                                                   ‫ 1‬
           ‫- ٬ 0 > ‪ f ( x ) - æ - 3 x ö‬ﻭﻣﻨﻪ  ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. ( D‬‬
                                                                 ‫‪ç‬‬       ‫÷‬                      ‫ﻤ‬
                                                                                      ‫ ­  ﺇﺫﻥ ﻟ ّﺎ  0 £ ‪£ x‬‬
                                                                                ‫ ‪è 2  ø‬‬               ‫ 2‬




‫ 04‬
                                                                                                   ‫ ‐‬
                                                                                          ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                          ‫ 3‬                 ‫ 1‬
‫ - = ‪  ٬ f ( x ) - æ - x ö = 0  ٬ x‬ﻭﻣﻨﻪ  ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻄﻊ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪  ( D‬ﻋﻨﺪ  ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ  ﺫﺍﺕ‬
                                                                       ‫‪ç‬‬     ‫÷‬                   ‫ﻤ‬
                                                                                                ‫ ﻭﻟ ّﺎ‬
                                                                                     ‫ ‪è 2  ø‬‬                            ‫ 2‬
                                                                                                                   ‫ 1‬
                                                                                                       ‫ - = ‪.  x‬‬        ‫ ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ‬
                                                                                                                   ‫ 2‬
                                                                                            ‫ 3‬                          ‫ 1‬
               ‫ - < ‪ ٬ f ( x ) - æ - x ö < 0  ٬ x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. ( D‬‬
                                                                       ‫÷  2 ‪ç‬‬                    ‫ﻤ‬
                                                                                                ‫ ﻭﻟ ّﺎ‬
                                                                       ‫‪è‬‬     ‫ ‪ø‬‬              ‫ 2‬
                                                                                           ‫ 1‬
                                                                          ‫ · ﺛﺎﻧ ًﺎ ﻧﺪﺭﺱ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺮﻕ ‪: f ( x ) - æ x ö‬‬
                                                                                      ‫÷  2 ‪ç‬‬                  ‫ﻴ‬
                                                                                       ‫‪è‬‬         ‫ ‪ø‬‬
                                                           ‫1‪æ‬‬        ‫‪ö‬‬  ‫1‬                             ‫ 1‬
                                                 ‫‪f ( x ) - ç x‬‬       ‫+ ‪÷=-2x‬‬           ‫- 1- 2 ‪x‬‬          ‫= ‪x‬‬   ‫‪x 2  - 1  - x‬‬
                                                           ‫2‪è‬‬        ‫ ‪ø‬‬                               ‫ 2‬
                                                                                                      ‫ 1‬
         ‫٬ ﺃﻱ ﺃﻥ  2 ( ................ ‪٬  x 2  - 1 ³ x‬‬
                                             ‫ )‬                  ‫ﻭﻣﻨﻪ  0 ³ ‪  f ( x ) - æ x ö‬ﺗﻜﺎﻓﺊ  0 ³ ‪x 2  - 1 - x‬‬
                                                                                                    ‫‪ç‬‬    ‫÷‬
                                                                                                       ‫ ‪è 2  ø‬‬
          ‫ﻣﺤﻘﻘﺔ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )' ‪.  ( D‬‬                 ‫ ﺇﺫﻥ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  0 < ‪  x‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﺟﺤﺔ  ) 2 (‬          ‫ ­‬
                                                            ‫ 2‬
                   ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ  2 ‪x 2 - 1  ³ x‬‬   ‫(‬             ‫ )‬              ‫ )‬
                                                  ‫ ­  ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  0 ³ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﺟﺤﺔ  2 ( ﺗﻜﺎﻓﺊ  2 ‪x 2 - 1  ³ x‬‬
                                                    ‫ ﺇﺫﻥ  2 ‪  x 2 - 1 ³ x‬ﻟ ّﺎ  1 ³ ‪ ٬  x‬ﺃﻱ 0 ³ 1-  ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺴﺘﺤﻴﻞ .‬
                                                                                        ‫ﻤ‬
                      ‫ 1‬                     ‫1‬              ‫ 1‬                               ‫ 1‬
           ‫ £ ‪0 £ x‬‬        ‫-  ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻜﺎﻓﺊ‬          ‫ £ ‪£ x‬‬             ‫ £  2 ‪ ٬  x‬ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻟ ّﺎ  1 £ ‪٬  0 £ x‬‬
                                                                                    ‫ﻤ‬           ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ‬
                         ‫ 2‬                    ‫2‬         ‫ 2‬                                  ‫ 2‬
                                                                            ‫ 1‬                  ‫ 1‬
              ‫ £ ‪ f ( x ) - æ x ö > 0 ٬ 0 £ x‬ﻭﻣﻨﻪ  ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )' ‪.  ( D‬‬
                                                                          ‫÷  2 ‪ç‬‬                      ‫ﻤ‬
                                                                                                     ‫ ­  ﺇﺫﻥ ﻟ ّﺎ‬
                                                                          ‫‪è‬‬      ‫ ‪ø‬‬              ‫ 2‬
                                                                                    ‫ 1‬              ‫ 1‬
                         ‫ = ‪ ٬  f ( x ) - æ x ö = 0  ٬ x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )' ‪.  ( D‬‬
                                                                                 ‫‪ç‬‬     ‫÷‬                  ‫ﻤ‬
                                                                                                         ‫ ﻭﻟ ّﺎ‬
                                                                                 ‫ ‪è 2  ø‬‬             ‫ 2‬
                                                                                                    ‫ 1‬
                    ‫ > ‪ ٬ f ( x ) - æ 1 x ö < 0  ٬ x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  )' ‪.  ( D‬‬
                                                                                 ‫÷  2 ‪ç‬‬                   ‫ﻤ‬
                                                                                                         ‫ ﻭﻟ ّﺎ‬
                                                                                 ‫‪è‬‬     ‫ ‪ø‬‬            ‫ 2‬

                                                                                                               ‫ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻘﺎﺭﺑﺔ :‬

                                                                                          ‫ 7  ﺹ  ﻭ  ﺝ‬       ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  7  23  33  1 :‬
                                                        ‫ 1 +  2 ‪x 3 + 2 x‬‬
‫= )  ‪ ٬  f ( x‬ﻭ ) ‪  (C‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ‬                                            ‫ [‬
                                                                          ‫ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¥+ ;2-]  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                                                            ‫ 2 + ‪x‬‬
                                                                                                                   ‫ ﺍﻟﻤﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ :‬
                                                                                                                        ‫ 1‬
                                                                                       ‫ (  ﺣﺴﺎﺏ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥+ :‬
                                                                     ‫3‬      ‫2‬
                                                       ‫ 1 + ‪é x + 2 x‬‬
                                                                    ‫‪ù‬‬       ‫‪é x 3  ù‬‬
                                   ‫‪lim f ( x ) = lim ê‬‬              ‫‪ú‬‬ ‫¥+ = ‪= lim ê ú = lim  é x  2 ù‬‬
                                  ‫¥+® ‪x‬‬          ‫¥+® ‪x‬‬
                                                       ‫‪ë‬‬   ‫‪x + 2  û x ®+¥ ë x û  x ® +¥ ë û‬‬
                                                                       ‫ (  ( ﺣﺴﺎﺏ ‪: lim  é f ( x ) - x 2 ù‬‬
                                                                              ‫‪ë‬‬               ‫ ‪û‬‬      ‫ 2  ﺃ‬
                                                                                        ‫¥+®  ‪x‬‬
                                                    ‫3‬           ‫ 2‬
                                              ‫‪é x + 2 x  + 1  2 ù‬‬          ‫‪é x 3 + 2 x 2 + 1 - x 2  ( x  + 2 ) ù‬‬
                ‫‪lim é f ( x ) - x 2 ù = lim ê‬‬                ‫‪- x  ú = lim  ê‬‬                                   ‫‪ú‬‬
               ‫‪x ®+¥ ë‬‬              ‫¥+® ‪û x‬‬        ‫2+ ‪x‬‬                                  ‫ 2 + ‪x‬‬
                                              ‫‪ë‬‬                   ‫‪û x ®+¥ ë‬‬                                    ‫ ‪û‬‬
                                              ‫‪é 1  ù‬‬
                                      ‫‪= lim ê‬‬        ‫ 0 = ‪ú‬‬
                                        ‫ 2 + ‪x  ®+¥ x‬‬
                                              ‫‪ë‬‬      ‫ ‪û‬‬
‫ ( ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ‪ ٬  lim é f ( x ) - x 2  ù‬ﻫﺬﺍ ﻣﻌﻨﺎﻩ ﻫﻨﺪﺳ ًﺎ ﺃﻧﻪ  :  ﻛﻠﻤــﺎ ﺍﻗﺘﺮﺑﺖ ﺍﻟﻔﺎﺻﻠﺔ  ‪ x‬ﻣﻦ ¥+  ٬ ﺍﻗﺘﺮﺏ‬
                                                   ‫ﻴ‬                                                    ‫ ﺏ‬
                                                                        ‫‪x  ®+¥ ë‬‬          ‫ ‪û‬‬
    ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ  )  ‪  f ( x‬ﻣﻦ  2 ‪ ٬ x‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻣﺘﻘﺎﺭﺑﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪  ( P‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  2 ‪.  x‬‬
                                     ‫ﻭﻧﻘﻮﻝ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ  ) ‪  ( P )  َ (C‬ﻣﺘﻘﺎﺭﺑﺎﻥ ﻋﻨﺪ  ¥+ .‬
                                                                ‫ﻭ‬

‫ 14‬
                                                                                                          ‫ ‐‬
                                                                                                 ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                  ‫ ( ﺭﺳـــــﻢ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ  ) ‪:  ( P )  َ (C‬‬
                                                                                            ‫ﻭ‬                           ‫ ﺝ‬
                                                               ‫‪y‬‬

                                                               ‫ 5‬

                                                   ‫ ) ‪(C‬‬
                                                               ‫ 4‬

                                                               ‫ 3‬

                                                               ‫ 2‬

                                                 ‫ ) ‪( P‬‬
                                                               ‫ 1‬


                                            ‫ 2­‬         ‫ 1­‬    ‫ 0‬        ‫ 1‬      ‫ 2‬     ‫ ‪x‬‬
                                                              ‫ 1­‬




                                                                                                     ‫ ﺝ‬      ‫ 8‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  7 ﺹ 33  1 :‬
                                                                          ‫ 2‬
‫-  2  3 = ) ‪ ٬  f ( x‬ﻭ ) ‪  (C‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ  ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ  ﻓﻲ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ‬
                                                    ‫ ‪x‬‬                                          ‫ [‬
                                                                               ‫ ‪ f‬ﻫﻲ  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ  ﻋﻠﻰ  ¥+;1]  ﻛﻤﺎ  ﻳﻠﻲ :‬
                                                                        ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                                                ‫ ﺍﻟﻤﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ :‬
                                                           ‫ ( ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻣﻨﺤﻦ ٍ  ) ‪ ( P‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬
                                                                                                 ‫ ‬                 ‫ 1‬
                                                                                    ‫ﻧﺤﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺔ  )  ‪ f ( x‬ﻋﻨﺪ  ¥+ :‬
                                                                                                                 ‫‪2  ù‬‬
                                                                                      ‫-  2  3‪( x ) = x lim é‬‬
             ‫‪y (C‬‬                                    ‫‪2  ù‬‬
             ‫ )  7‬        ‫‪lim f‬‬    ‫- ‪( x  ) = x lim é‬‬
                                               ‫‪® +¥ ê‬‬
                                                            ‫‪ ٬ xlim f‬ﻷﻥ  0 =‬                     ‫‪®+¥ ê‬‬
                                                                                                       ‫ ‪x‬‬           ‫¥+ = ‪ú‬‬
             ‫ 6‬
                         ‫¥+ ® ‪x‬‬
                                                 ‫‪ë x - 1 ú‬‬
                                                         ‫ ‪û‬‬             ‫¥+®‬
                                                                                                     ‫‪ë‬‬         ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                                                    ‫ ‪û‬‬
             ‫ 5‬          ‫ ﻧﻼﺣﻆ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻨﺤﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ ﺟﻮﺍﺭ ¥+ ٬ ﻟﻠﺘﺄﻛﺪ ﻧﺤﺴﺐ :‬
             ‫ 4‬
             ‫ 3‬
                                                             ‫‪é‬‬         ‫2‬             ‫‪ù‬‬       ‫‪é‬‬   ‫‪2  ù‬‬
             ‫ 2‬             ‫- 2 ‪lim é f ( x ) - ( 3x 2 ) ù = lim ê3x‬‬
                                ‫‪ë‬‬                    ‫‪û x ®+¥ ë‬‬            ‫- ‪- ( 3x 2  )  = lim ê‬‬
                                                                                     ‫ 0 =  1 - ‪ú x ®+¥ x‬‬
                                                                                                    ‫‪ú‬‬
      ‫ 1  ) ‪( P‬‬
                           ‫¥+® ‪x‬‬                                     ‫1- ‪x‬‬            ‫‪û‬‬       ‫‪ë‬‬      ‫ ‪û‬‬
                        ‫ﻣﻦ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺘﻴﻦ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥّ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻳﻘﺘﺮﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( P‬‬
    ‫ 1­‬
  ‫ ‪­2  0  1  2  x‬‬
     ‫ 1­‬                                                                                ‫ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  2  3 = ‪ y‬ﻋﻨﺪ  ¥+ .‬
                                                                                                           ‫‪x‬‬
     ‫ 2­‬
                                                                      ‫ · ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻮﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ  ) ‪:  ( P )  َ (C‬‬
                                                                                ‫ﻭ‬
                                                                   ‫ﻣﻌﻨﺎﻩ ﻧﺪﺭﺱ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺮﻕ  )  2  3 ( - ) ‪  f ( x‬ﻋﻠﻰ  ¡ :‬
                                                                                          ‫‪x‬‬
                                                                                                  ‫2‬                    ‫ 2‬
                                                                    ‫- 2 ‪f ( x ) - ( 3x 2 ) = 3x‬‬      ‫- = )  2  3 ( -‬
                                                                                                          ‫ ‪x‬‬
                                                                                                ‫1- ‪x‬‬                 ‫ 1 - ‪x‬‬
          ‫٬ ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ) ‪ ( P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [  ¥-]‬
             ‫1;‬                                                                   ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻟ ّﺎ  1 < ‪f ( x ) - ( 3x ) > 0  ٬ x‬‬
                                                                                                 ‫ 2‬
                                                                                                                    ‫ﻤ‬
                   ‫ [‬
            ‫٬  0 < ) ‪ ٬ f ( x ) - ( 3x‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ ) ‪ ( P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+;1]‬               ‫ 2‬
                                                                                                                         ‫ﻤ‬
                                                                                                                 ‫ ﻭﻟ ّﺎ  1 > ‪x‬‬
                                                        ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ  ) ‪ ( P )  َ (C‬ﻣﺘﻘﺎﺭﺑﺎﻥ ﻋﻨﺪ ¥-  :‬
                                                                                  ‫ﻭ‬                           ‫ 2‬
                          ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [  ¥-] ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  ¥+ = ) ‪ x lim  f ( x‬ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺃﻳ ًﺎ‬
                           ‫ﻀ‬                                            ‫1;‬
                                           ‫¥-®‬

                                                              ‫‪é‬‬         ‫2‬             ‫‪ù‬‬       ‫‪é‬‬   ‫‪2  ù‬‬
                             ‫- 2 ‪lim é f ( x ) - ( 3x 2 ) ù = lim ê3x‬‬
                                  ‫‪ë‬‬                   ‫‪û x ®-¥ ë‬‬            ‫- ‪- ( 3x 2  )  = lim ê‬‬
                                                                                      ‫ 0 =  1 - ‪ú x ®-¥ x‬‬
                                                                                                     ‫‪ú‬‬
                            ‫¥-® ‪x‬‬                                     ‫1- ‪x‬‬            ‫‪û‬‬       ‫‪ë‬‬      ‫‪û‬‬

‫ 24‬
                                                                                                           ‫ ‐‬
                                                                                                  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                  ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ  ) ‪ ( P )  َ (C‬ﻣﺘﻘﺎﺭﺑﺎﻥ ﻋﻨﺪ ¥-  ٬ ) ﻭﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﺃﻋﻼﻩ ﻳﺒﻴﻦ ﺫﻟﻚ ( .‬
                                                                                 ‫ﻭ‬

                                                                                  ‫ ﺝ‬      ‫ 9‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                               ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  7 ﺹ 33  1 :‬
                                                            ‫ 1‬   ‫ ‪x‬‬
‫= )  ‪ ٬  f ( x‬ﻭ ) ‪  (C‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻮﺏ‬       ‫ 2 +‬  ‫ ‪  f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                                                                                 ‫ *‬

                                                            ‫ 1 + ‪x x‬‬
                                                                                                       ‫ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ :‬
                         ‫ · ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻣﻨﺤﻦ ٍ  ) ‪ ( P‬ﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴﺔ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥+ ﻭﻋﻨﺪ  ¥-  :‬
                                                                                     ‫ ‬
                                                                        ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪  x‬ﻣﻦ  ¡ :‬
                                                                             ‫ *‬


                                      ‫‪é‬‬          ‫‪1ù‬‬          ‫1‪é‬‬       ‫‪x‬‬      ‫‪1 ù‬‬         ‫‪é x  ù‬‬
                                 ‫2 + ‪lim ê f ( x  ) - ú = lim ê‬‬           ‫ 0 = ‪- ú = lim ê 2  ú‬‬
                                ‫¥±® ‪x‬‬
                                      ‫‪ë‬‬          ‫ 1 + ‪x û x ®±¥ ë x x + 1 x û x ®±¥ ë x‬‬         ‫ ‪û‬‬
                                                     ‫ 1‬
                              ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪  ( P‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻣﻘﻠﻮﺏ  ‪  x  a‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴﺔ‬
‫ (  ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥+‬             ‫ )‬
                                                    ‫ ‪x‬‬
                                                                                           ‫ﻭﻋﻨﺪ  ¥- .‬
                                                     ‫ · ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻮﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ ) ‪:  ( P )  َ (C‬‬
                                                               ‫ﻭ‬
                                                   ‫ﻣﻌﻨﺎﻩ ﻧﺪﺭﺱ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺮﻕ  )  2  3 ( - ) ‪  f ( x‬ﻋﻠﻰ  ¡ :‬
                                                                          ‫‪x‬‬
                                                                      ‫1 ‪ö‬‬
                                                                        ‫1‪æ‬‬         ‫‪x‬‬      ‫ 1‬       ‫ ‪x‬‬
                                                             ‫‪f ( x  ) - ç‬‬
                                                                      ‫ 1 +  2 ‪÷ = x + x 2 + 1 - x = x‬‬
                                                                      ‫ ‪ø‬‬‫‪èx‬‬
       ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻟﻤّﺎ  0 < ‪ ٬ f ( x  ) - æ 1  ö < 0  ٬ x‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ ) ‪ ( P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [  ¥-]‬
          ‫0;‬                                                              ‫÷ ‪çx‬‬
                                                                          ‫ ‪è ø‬‬
                                                                                 ‫ 1‬
         ‫ ﻭﻟ ّﺎ  1 > ‪ ٬ f ( x  ) - æ ö > 0  ٬ x‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ) ‪ ( P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+;0]  .‬
                 ‫ [‬                                                            ‫÷ ‪ç‬‬                    ‫ﻤ‬
                                                                               ‫ ‪è x ø‬‬

                                                                                  ‫ ﺝ‬             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                               ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 08 ﺹ 33  1 :‬
                                                            ‫ 1 +  2 ‪x‬‬
‫ = )  ‪ ٬  f ( x‬ﻭ ) ‪  (C‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻮﺏ‬                             ‫ [‬
                                                                      ‫ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¥+;0]  ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                                                            ‫‪x x‬‬
                                                                                                       ‫ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ :‬
                                  ‫ · ﺍﻟﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻣﻨﺤﻦ ٍ  ) ‪ ( P‬ﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴﺔ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥+  :‬
                                                                                     ‫ ‬
                                                                               ‫ [‬
                                                                        ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ  ¥+;0] :‬
                                                    ‫ 1 +  2 ‪é x‬‬
                           ‫‪lim éf ( x ) - x ù = lim ê‬‬
                                                                ‫‪ù‬‬                      ‫(‬
                                                                        ‫‪é x 2  + 1 + x x‬‬
                                                                        ‫‪ê‬‬
                                                                                              ‫‪)( - x  ) ù‬‬
                                                                                                        ‫‪ú‬‬
                          ‫‪x ®+¥ ë‬‬           ‫‪û x ®+¥ x x - x  ú = x lim  ê‬‬
                                                                    ‫¥+®‬
                                                                                     ‫‪x x‬‬               ‫‪ú‬‬
                                                    ‫‪ë‬‬           ‫‪û‬‬       ‫‪ë‬‬                              ‫ ‪û‬‬
           ‫‪y  C‬‬                                    ‫‪é x 2 + 1 - x 2  ù‬‬         ‫‪é 1  ù‬‬
           ‫ ) (  3‬                         ‫‪= lim ê‬‬                       ‫‪lim‬‬
                                                                    ‫‪ú = x ®+¥ ê‬‬    ‫ 0 = ‪ú‬‬
           ‫ 2‬
                                             ‫¥+® ‪x‬‬
                                                   ‫ ‪ë x x û‬‬                   ‫‪ëx x û‬‬
           ‫ 1‬   ‫ ) ‪( P‬‬               ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪  ( P‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺟﺬﺭ  ‪  x a  x‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴﺔ‬
                                    ‫ (‬          ‫ )‬
      ‫ 5  4  3  2  1  0  2­‬
        ‫ 1­‬
         ‫ 1­‬               ‫ ‪x‬‬                                            ‫ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥+ .‬
         ‫ 2­‬                                            ‫ ·  ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺍﻟﻮﺿﻌﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ ) ‪:  ( P )  َ (C‬‬
                                                                  ‫ﻭ‬
                                                              ‫ﻣﻌﻨﺎﻩ ﻧﺪﺭﺱ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺮﻕ  ) ‪: f ( x ) - ( x‬‬
                                                                              ‫1 +  2  ‪x‬‬         ‫ 1‬
                  ‫- ) ‪ ٬  f ( x‬ﻷﻥ  ‪  x a  x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  0 ³ ‪x‬‬      ‫ ) (‬‫= ‪x‬‬
                                                                              ‫‪x x‬‬
                                                                                        ‫=  ‪- x‬‬
                                                                                               ‫‪x x‬‬
                                                                                                   ‫ 0 >‬



‫ 34‬
                                                                                        ‫ ‐‬
                                                                               ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
               ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻟ ّﺎ  0 > ‪ ٬ f ( x ) - ( x ) > 0  ٬ x‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ) ‪ ( P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+;0]  .‬
                       ‫ [‬                                                                              ‫ﻤ‬

‫ .‬                                                                                                       ‫ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﺘﻌﻤﻖ :‬

                                                                                                                ‫ 3‬
                                                                                         ‫ ­  ﺗﺘﻤﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ :‬
                                                                                         ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 18  33  1 :‬
                                                             ‫ 2 +  2 ‪3x‬‬
                                                                      ‫ ‪x‬‬
                                             ‫= ) ‪:  f ( x‬‬     ‫ 2‬
                                                                         ‫ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  4 ;1-{ - ¡ = ‪  D‬ﺑـ :‬
                                                                                             ‫ }‬
                                                            ‫ 4 - ‪x - 3x‬‬
                        ‫‪b‬‬         ‫ ‪c‬‬
     ‫+ ‪f ( x ) = a‬‬           ‫+‬                                        ‫ﻭ‬                                        ‫ 1‬
                                         ‫ (  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ  ‪  c َ  ٬  b  ٬  a‬ﺣﻴﺚ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪  x‬ﻣﻦ  ‪: D‬‬
                     ‫ ) 4 - ‪( x + 1) ( x‬‬
                                          ‫‪b‬‬         ‫ ‪c‬‬                                                      ‫)‬
                                                           ‫ 1 +  ‪a é( x + 1)( x - 4 ) ù + b ( x - 4 ) + c ( x‬‬
                       ‫+ ‪f ( x ) = a‬‬           ‫+‬          ‫‪= ë‬‬                   ‫‪û‬‬                               ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                       ‫) 4 - ‪( x + 1) ( x‬‬                 ‫ ) 4 - ‪( x + 1)( x‬‬
                                                                            ‫ 2‬
                                ‫ ‪ax 2 3ax - 4a + bx - 4  + cx + c  ax + (b + c - 3a ) x - 4a - 4  + c‬‬
                                                       ‫‪b‬‬                                                  ‫‪b‬‬
                              ‫=‬              ‫2‬
                                                                    ‫=‬                      ‫ 2‬
                                           ‫4 - ‪x - 3x‬‬                                     ‫ 4 - ‪x - 3x‬‬
                                                                                       ‫ 2‬
                                                                                   ‫ 2 + ‪3x‬‬    ‫ ‪x‬‬
                       ‫ 2 = ) ‪  f ( x‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ  4 ;1-{ - ¡ =  ‪  Df‬ﻧﺠﺪ‬
                                            ‫ }‬                                                   ‫ﺑﺎﻟﻤﻄﺎﺑﻘﺔ ﻣﻊ ﻋﺒﺎﺭﺓ‬
                                                                                 ‫ 4 - ‪x - 3x‬‬
                                                                                                 ‫ 3 = ‪ìa‬‬
                                          ‫ 1( ..................11 = 9 + 2 =  ‪ìb + c‬‬
                                          ‫‪ï‬‬                                         ‫)‬            ‫‪ï‬‬
                                          ‫‪í‬‬                                             ‫ 2 = ‪ ٬ íb + c - 3a‬ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                                                    ‫ )‬
                                          ‫ 2 ( .........................21 = ‪ï-4b + c‬‬
                                          ‫ ‪î‬‬                                                     ‫ 0 = ‪ï-4a - 4b + c‬‬
                                                                                                 ‫ ‪î‬‬
              ‫ 1‬
                             ‫ﺑﻄﺮﺡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  2 ( ﻣﻦ  1(  ﻧﺠﺪ :  21 - 11 = ) ‪ ٬  b + c - ( -4b + c‬ﻭﻣﻨ  1‬
        ‫ ﻪ  - = ‪  5b‬ﺃﻱ ﺃﻥ  - = ‪b‬‬                                               ‫ )‬      ‫ )‬
              ‫ 5‬
                             ‫ 65‬              ‫ 1‬             ‫ 1‬
                        ‫ = ‪c‬‬                                                     ‫ )‬
                                  ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1(  ﻧﺠﺪ  11 = ‪  - + c‬ﻭﻣﻨﻪ  11 + = ‪  c‬ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                              ‫ 5‬              ‫ 5‬             ‫ 5‬
                                            ‫1‬       ‫ 65‬
                                                                          ‫ 65‬           ‫ 1‬
                          ‫ :  3 = ‪ .  c =  َ  ٬  b = -  ٬  a‬ﺃﻱ ﺃﻥ  5 + 5 - 3 = )  ‪f ( x‬‬
                                                                              ‫ﻭ‬                    ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                        ‫ ) 4 - ‪( x + 1) ( x‬‬                ‫ 5‬           ‫ 5‬
                                                             ‫ (  ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻧﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ :‬  ‫ 2‬
                                                            ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  [¥+ ;4] ‪D f  = ¡ - {-1; 4} = ]-¥; -1[ U ]-1;4[ U‬‬
              ‫‪é 1 ù‬‬               ‫‪é 56  ù‬‬                                          ‫‪é‬‬        ‫1‬      ‫‪56  ù‬‬
              ‫‪ê 5 ú‬‬               ‫‪ê 5  ú‬‬                                           ‫‪ê‬‬        ‫ﻭﻣﻨﻪ  3 = ‪5 + 5  ú‬‬
          ‫‪lim ê‬‬         ‫‪ú = x ®-¥ ê‬‬
                             ‫‪lim‬‬                ‫- 3‪ ٬ xlim f ( x  ) = x ®-¥ ê‬ﻷﻥ  0 = ‪ú‬‬
                                                                               ‫‪lim‬‬
         ‫)1 + ‪x ®-¥ ( x‬‬
              ‫‪ê‬‬         ‫‪ú‬‬         ‫‪ê ( x - 4 ) ú‬‬
                                                                   ‫¥-®‬
                                                                                   ‫‪ê ( x + 1) ( x - 4  ú‬‬‫‪) ú‬‬
              ‫‪ë‬‬         ‫‪û‬‬         ‫‪ë‬‬             ‫‪û‬‬                                  ‫‪ë‬‬                      ‫ ‪û‬‬
                                                                    ‫‪é‬‬      ‫1‬       ‫‪56 ù‬‬        ‫1‬        ‫ 65‬
                                                                    ‫‪ê‬‬                    ‫‪ú‬‬
                                 ‫¥- =  5 + -5 - 3 = ‪. lim f ( x  ) = lim ê3 - 5 + 5 ú‬‬
                                                                    ‫‪ê ( x + 1) ( x - 4 ) ú‬‬    ‫0‬      ‫ ) 4 - 1- (‬
                                        ‫<‬                    ‫<‬
                                    ‫1- ¾¾ ‪x‬‬
                                          ‫®‬             ‫ 1- ¾¾  ‪x‬‬
                                                               ‫®‬

                                                                    ‫‪ë‬‬                    ‫ ‪û‬‬
                                                                    ‫‪é‬‬      ‫1‬       ‫‪56 ù‬‬        ‫1‬        ‫ 65‬
                                                                    ‫‪ê‬‬                    ‫‪ú‬‬
                                 ‫¥+ =  5 + +5 - 3 = ‪. lim f ( x ) = lim ê3 - 5 + 5 ú‬‬
                                                                    ‫‪ê ( x + 1) ( x - 4 ) ú‬‬    ‫ 4 - 1- ( 0‬     ‫ )‬
                                        ‫>‬                    ‫>‬
                                    ‫1- ¾¾ ‪x‬‬
                                          ‫®‬             ‫ 1- ¾¾  ‪x‬‬
                                                               ‫®‬

                                                                    ‫‪ë‬‬                    ‫ ‪û‬‬
                                                                      ‫‪é‬‬     ‫1‬        ‫‪56 ù‬‬          ‫1‬        ‫ 65‬
                                                                      ‫‪ê‬‬                    ‫‪ú‬‬
                                     ‫¥- =  5 + 5 - 3 = ‪. lim f ( x ) = lim ê3 - 5 + 5 ú‬‬
                                            ‫<‬
                                       ‫4 ¾¾ ‪x‬‬ ‫®‬                 ‫<‬
                                                           ‫ 4 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                  ‫®‬
                                                                      ‫‪ê ( x + 1) ( x - 4 ) ú‬‬   ‫- 0  )1 + 4 (‬
                                                                      ‫‪ë‬‬                    ‫ ‪û‬‬

‫ 44‬
                                                                                                 ‫ ‐‬
                                                                                        ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                               é     1           56 ù           1     56 
                                                               ê                       ú
                                  . lim f ( x  ) = lim ê3 - 5 + 5 ú = 3 - 5 + 5  = +¥
                                       >
                                    x ¾¾ 4
                                         ®                >
                                                      x  ¾¾ 4 
                                                            ®
                                                               ê ( x + 1) ( x - 4 ) ú       ( 4 + 1)  0 +
                                                               ë                       û 
                   é    1 ù            é    56  ù                                    é     1         56  ù
                   ê 5 ú               ê 5  ú                                        ê     5 + 5  ú = 3 
            .  lim ê         ú = x ®+¥ ê
                                  lim              ú = 0  ‫ ٬ ﻷﻥ‬xlim f ( x  ) = x ®+¥ ê3 -
                                                                                lim
              x ®+¥ ( x + 1)
                   ê         ú         ê ( x - 4 ) ú
                                                                 ®+¥
                                                                                     ê ( x + 1) ( x - 4  ú) ú
                   ë         û         ë           û                                 ë                      û 

                                                                                         ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      : 1  33  82 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                         ‫ ﺛ‬       ‫ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟ‬
         ‫  ﻢ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﻋﻨﺪ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬f  ‫ ﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                           : ‫ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ‬
                                                                                                         x  + 1 
                                                                                       :  f ( x  ) =    2 
                                                                                                                    (1 
                                                                                                       x + 2 x - 3 
      x + 3 ¹ 0  ‫ (  ﺃﻱ ﺃﻥ‬x + 3)( x - 1) ¹ 0  ‫ ﻭﻣﻨﻪ‬x 2  + 2x - 3 ¹ 0  ‫  ﻣﻦ  ¡  ٬ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬x  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                                                                           ‫ﻭ‬
                                                                .  x ¹ 1  ‫  ﻭﻣﻨﻪ‬x - 1 ¹ 0  َ  ٬  x ¹ -  ‫ ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                                                                       3 
                                                  . D f  = ¡ - {-3;1} = ]-¥; -3[ U ]-3;1[ U ]1; +¥[  :‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                     : ‫ ·  ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
                                                               é x +1 ù                  é x  ù           é 1 ù
                                          lim f ( x ) = lim ê 2                ú = xlim ê x 2  ú = x lim ê x ú = 0 
                                         x ®-¥          x ®-¥ x + 2 x - 3 
                                                               ë               û ®-¥ ë û ®-¥ ë û
                                                                                         x  + 1 ù -2 
                                                      . lim f ( x ) = lim  é 2 
                                                            <                  <     ê x + 2x - 3 ú = 0  = -¥
                                                                                                           +
                                                         x ¾¾ -3
                                                              ®          x  ¾¾ -3 ë
                                                                                 ®                   û 
                                                                                         x  + 1 ù -2 
                                                      . lim f ( x  ) = lim  é 2 
                                                            >                  >     ê x + 2 x - 3 ú = 0  = +¥
                                                                                                           -
                                                         x ¾¾ 3
                                                              ®-         x  ¾¾ 3 ë
                                                                                 ®-                  û 
                                                                                          x  + 1 ù 2 
                                                          . lim f ( x ) = lim  é 2 
                                                                <                <   ê x + 2x - 3 ú = 0  = -¥
                                                                                                            -
                                                            x ¾¾ 1®         x  ¾¾ 1 ë
                                                                                   ®                  û 
                                                                                          x  + 1 ù 2 
                                                          . lim f ( x  ) = lim  é 2 
                                                                >                >   ê x + 2x - 3 ú = 0  = +¥
                                                                                                            +
                                                            x ¾¾ 1®         x  ¾¾ 1 ë
                                                                                   ®                  û 
                                                                    x +1 ù               é x  ù           é 1 ù
                                      .  xlim f ( x ) = xlim é 2                  = lim ê 2  ú = lim ê ú = 0 
                                                          ®+¥ ê x + 2 x - 3    ú x ®+¥ x
                                           ®+¥
                                                               ë               û         ë û x ®+¥ ë x û 
                                                                                                               x 
                                                                                                              3 
                                                                                            :  f ( x  ) =          2 
                                                                                                                      (2 
                                                                                                          ( x + 1 ) 
                                                                  2 
                         D f  = ¡ = ]-¥; +¥[  ‫ ( ﺃﻱ ﺃﻥ‬x + 1)  > 0  ‫  ﻣﻦ  ¡ ٬ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬x  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                                                                        : ‫ ·  ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
                                                                  é    3x     ù        é 3x  ù       é 3 ù
                                          . xlim f ( x ) = xlim ê          2  ú
                                                                                = lim ê 2  ú = lim ê ú = 0 
                                              ®-¥            ®-¥
                                                                          )  û 
                                                                 ê ( x + 1  ú
                                                                 ë
                                                                                  x ®-¥ x
                                                                                       ë û     x  ®-¥ x 
                                                                                                     ë û
                                                                 é 3x ù                é 3x  ù       é 3 ù
                                          . xlim f ( x ) = xlim ê          2  ú
                                                                                = lim ê 2  ú = lim ê ú = 0 
                                              ®+¥            ®+¥
                                                                          )  û 
                                                                 ê ( x + 1  ú x ®+¥ ë x û x ®+¥ ë x  û
                                                                 ë




45 
                                                                                             ‐ 
                                                                                    www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                                           x 2  + x  + 1 
                                                                                              f ( x  ) =                  (3 
                                                                                                           x 2  + x - 2 
‫  ﻭﻣﻨﻪ‬x - 1 ¹ 0  ‫ (  ﺃﻱ ﺃﻥ‬x - 1)( x + 2 ) ¹ 0  ‫ ﻭﻣﻨﻪ‬x 2  + x - 2 ¹ 0  ‫  ﻣﻦ  ¡  ٬ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬x  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                x 2  + x + 1  ¡  ‫  ٬ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺴﻂ‬x ¹ -  ‫  ﻭﻣﻨﻪ‬x + 2 ¹ 0  َ  ٬  x ¹ 1 
                                            Î                                2                   ‫ﻭ‬
                                                . D f  = ¡ - {-2;1} = ]-¥; -2[ U ]-2;1[ U ]1; +¥[  :‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                   : ‫ ·  ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
                                                                                 é x 2 + x + 1 ù       é x 2  ù
                                                      . lim f ( x  ) = lim ê         2         ú = lim ê 2  ú = 1 
                                                        x ®-¥          x ®-¥
                                                                                 ë x + x - 2 û x ®-¥ ë x û 
                                                                                   é 2        ù
                                                        . lim f ( x  ) = lim  ê x 2  + x  + 1 ú = 3  = +¥
                                                                                                   +
                                                                                     ë x + x - 2 û  0 
                                                                <                 <
                                                         x ¾¾ -2
                                                            ®           x  ¾¾ - 2 
                                                                             ®


                                                                                     é x 2  + x  + 1 ù 3 
                                                        .     lim f ( x  ) = lim  ê 2                ú = 0  = -¥
                                                                                                          -
                                                                            x  ¾¾ -2  x + x - 2
                                                                >               >
                                                            x ¾¾ -2
                                                                  ®               ®
                                                                                     ë               û 
                                                                                  é 2             ù
                                                            . lim f ( x  ) = lim  ê x 2  + x  + 1 ú = 3  = -¥
                                                                                                       -
                                                                                        ë x + x - 2 û  0 
                                                                    <                 <
                                                                x ¾¾ 1
                                                                   ®            x  ¾¾ 1 
                                                                                     ®


                                                                                        é x 2  + x  + 1 ù 3 
                                                            .     lim f ( x  ) = lim  ê 2               ú = 0  = +¥
                                                                                                             +
                                                                                x  ¾¾ 1  x + x - 2
                                                                    >               >
                                                                x ¾¾ 1®               ®
                                                                                        ë               û 
                                                                            é x 2 + x + 1 ù            é x 2  ù
                                                      .  lim f ( x  ) = lim ê   2            ú  = lim ê 2  ú = 1 
                                                        x ®+¥
                                                                            ë x + x - 2 û x ®+¥ ë x û 
                                                                        x ®+¥

                                                                                                   2          1 
                                                                                  :  f ( x  ) =        - 2          (5 
                                                                                                 x - 1 x - 4 
       ‫  ﺃﻱ ﺃﻥ‬x 2  ¹ 4  ‫  ﻭﻣﻨﻪ‬x 2  - 4 ¹ 0  َ   x ¹ 1  ‫  ﻭﻣﻨﻪ‬x - 1 ¹ 0  ‫  ﻣﻦ  ¡  ٬ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬x  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                             ‫ﻭ‬
                                                                                                      ‫ﻭ‬
                                                                                               x ¹ 2  َ   x ¹ -  2 
                                      . D f  = ¡ - {-2;1; 2} = ]-¥; -2[ U ]-2;1[ U ]1;2[ U ]2; +¥[  :‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                                  ‫ ﺍﻟﺘ‬
                                                                                            : ‫ ·  ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ  ﺎﻟﻴﺔ‬
                                                                                             2         1  ù
                                                        . lim f ( x  ) = lim é                   - 2  ú = 0 - 0 = 0 
                                                                         x  ®-¥ ê
                                                          x ®-¥
                                                                                         ë x - 1 x - 4 û 
                                                                                       2        1 ù 2 1 
                                             . lim f ( x ) = lim  é
                                                   <                      <       ê x - 1 - x 2  - 4 ú = -3 - 0  = -¥
                                                                                                                  +
                                              x ¾¾ -2®              x  ¾¾ -2  ë
                                                                            ®                        û 
                                                                                       2        1 ù 2 1 
                                             . lim f ( x ) = lim  é
                                                  >                       >       ê x - 1 - x 2  - 4 ú = -3 - 0  = +¥
                                                                                                                 -
                                              x ¾¾ -2
                                                    ®              x  ¾¾ 2 ë®-                       û 
                                                                                       2        1 ù 2 1 
                                               . lim f ( x ) = lim  é                      - 2  ú = - -             = -¥
                                                                       x  ¾¾ 1 ê x - 1        x - 4 û  0 -3 
                                                       <                    <
                                                  x ¾¾ 1 ®                    ® ë

                                                                                       2        1 ù 2 1 
                                              . lim f ( x ) = lim  é
                                                      >                     >     ê x - 1 - x 2  - 4 ú = 0+ - -3 = +¥
                                                 x ¾¾ 1 ®             x  ¾¾ 1 ë
                                                                              ®                      û 
                                                                                        2        1 ù 2 1 
                                               . lim f ( x ) = lim  é
                                                       <                      <     ê x - 1 - x 2  - 4 ú = 1 - 0  = +¥
                                                                                                                 -
                                                  x ¾¾ 2  ®             x  ¾¾ 2  ë
                                                                                ®                      û 
                                                                                        2        1 ù 2 1 
                                               . lim f ( x  ) = lim  é
                                                        >                     >     ê x - 1 - x 2  - 4 ú = 1 - 0  = -¥
                                                                                                                 +
                                                  x ¾¾ 2  ®             x  ¾¾ 2  ë
                                                                                ®                      û 
                                                                                             2         1  ù
                                                           . xlim f ( x  ) = x lim é     ê x - 1 - x 2  - 4 ú = 0 - 0 = 0 
                                                               ®+¥                  ®+¥
                                                                                         ë                  û 




46 
                                                                                                   ‐ 
                                                                                          www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                                                               3 

                                                                                                     :  f ( x ) = 
                                                                                                                   ( x  + 2 )  - 8  (6 
                                                                                                                           x
                            . D f  = ¡ = ]-¥;0[ U ]0; +¥[  ‫ ﻭﻣﻨﻪ‬x ¹ 0  ‫  ﻣﻦ  ¡  ٬ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ‬x  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                         * 


                                                                                  : ‫ ·  ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ‬
                                                                                    3 
                                                                      é ( x  + 2 )  - 8 ù           é x 3  ù
                                            lim f ( x ) = lim ê                          ú = lim ê ú = lim  é x 2 ù = +¥
                                                                                                                      ë û
                                           x ®-¥               x ®-¥
                                                                      ê
                                                                      ë         x        ú x ®-¥ ë x û x ®-¥
                                                                                         û

lim f ( x  ) = lim ê
                    é ( x + 2 )3 - 8 ù
                                     ú = lim ê
                                              é ( x  + 2 )3  - 2  ù
                                                                 3 

                                                                    ú = lim ê
                                                                                                (
                                                                              é ( ( x + 2 ) - 2 ) ( x + 2 ) 2  + 2 ( x  + 2 ) + 4  ù
                                                                                                                                   ú) 
x ®0           x ®0
                    ê
                    ë       x        ú x ®0 ê
                                     û        ë        x            ú x ® 0 ê
                                                                    û         ê
                                                                                                       x                           ú
                                                                                                                                   ú
                                                                              ë                                                    û
                    é x ( x 2 + 4x + 4 + 2x + 4 + 4 ) ù        é x ( x 2  + 6x  + 12 ) ù
             = lim ê                                  ú = lim ê                        ú = lim é x 2  + 6x  + 12 
                                                                                               ë                ù
                                                                                                                û
               x ®0
                    ê                x                ú   x ®0
                                                               ê           x           ú x ®0 
                    ë                                 û        ë                       û 
             = 12
                                                                                     ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ : ‫ﻗﺎﻋﺪﺓ‬
                                                                                       a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2  ) 

                                                                                       a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2  ) 


                                                                                                        ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                     : 1  33  83 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                                          : ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻤﺮﺍﻓﻖ‬

                                                                                               :  lim é x 2 + 1 - x 2  - 1 ù              § 
                                                                                                 x  ®+¥    ë                         û 
                                                   é                    æ x 2 +1 +                     x 2  - 1 ö ù
               lim é x 2 + 1 - x 2 - 1 ù = lim ê x 2 + 1 - x 2  - 1 ´ ç                                         ÷ú
              x ®+¥ ë                  û x ®+¥ ê                        ç x 2 +1 +
                                                   ë                    è                              x 2  - 1 ÷ ú
                                                                                                                øû
                                                             2            2 
                                                 é                           ù
                                        = lim ê
                                                 ê        (          ) (
                                                     x 2 + 1 - x 2  - 1  ú            )é               x 2 + 1 - ( x 2  - 1  ù
                                                                                                                           )  ú
                                                                                  lim 
                                                                             ú = x ®+¥ ê
                                           x ®+¥
                                                 ê     x 2 + 1 + x 2 -1 ú              ê
                                                                                       ë                x 2 + 1 + x 2  - 1 ú  û
                                                 ë                           û 
                                                 é         2         ù 2 
                                        = lim ê                      ú=         = 0 
                                                 ë x + 1 + x - 1 û +¥
                                          x  ®+¥     2          2 


                                                                                                                         é        ù
                                                                                                               : lim ê x  + 1 - 1 ú       § 
                                                                                                                 x  ® 0 
                                                                                                                     ë     x         û 
                                                                                                       2 
                                                                              é x  + 1 - 1  ù
                  lim ê
                       é x + 1 - 1ù         é x +1 -1                 ù
                                                            x  + 1 + 1        ê            (  2 
                                                                                                 ú    ) 
                                  ú = lim ê             ´             ú = lim 
                  x ®0
                       ë   x      û
                                       x ®0
                                            ë    x          x + 1 + 1 û x ®0  ê x x + 1 + 1  ú
                                                                              ê
                                                                              ë                  ú
                                                                                                 û 
                                            é x +1 -1 ù           é      x      ù       é        1     ù
                                    = lim ê               ú = lim ê x x + 1 + 1 ú = lim ê x + 1 + 1  = +¥
                                                                                                       ú
                                      x ®0
                                            ë x x + 1 + 1 û x ®0 ë              û x ®0 ë               û
                                                                                       :  lim é x - x + 2 ù
                                                                                                    2 
                                                                                                                                          § 
                                                                                          x  ®+¥ ë        û 
                                     é                x 2 + x +2ù        é x 4 - x + 2  ù        é x 4  ù
           lim é x 2 - x + 2 ù = lim ê x 2  - x  + 2 ´ 2        ú = lim ê 2             ú = lim  ê 2  ú
          x ®+¥ ë            û x ®+¥                  x + x + 2 û  x ®+¥ ë x + x + 2 û x ®+¥ ë x  û
                                     ë
                                    = lim  x 2  = +¥
                                       x ®+¥


  47 
                                                                                                             ‐ 
                                                                                                    www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                                            :  lim é x 2  + x + 1 + x ù § 
                                                                                                                   ë
                                                                                                              x  ®-¥                        û 
                                     é                        x + x +1 - x ù     2
                                                                                                 é x + x + 1 - x  ù2                  2 
 lim é x 2 + x + 1 + x ù = lim ê x 2  + x + 1 + x  ´                                ú = lim  ê 2                           ú
x ®-¥ ë                  û x ®-¥ ê
                                     ë                        x 2 + x + 1 - x ú x ®-¥ ë x + x + 1 - x û
                                                                                    û 
                                                                                    æ      1  ö
                                                                                 x  ç 1 + ÷
                                     é      x  + 1        ù                         è x  ø
                            = lim ê                       ú = x lim 
                               x ®-¥     2                       ®-¥
                                     ë x + x + 1 - x  û                       æ       x       1  ö
                                                                         x 2  ç 1 + 2 + 2  ÷ - x 
                                                                              è x           x ø 
                                             æ 1  ö                                        1 
                                          x  ç1 + ÷                                   1 +
                                             è     x  ø                                    x                  -1 
                           = lim                                = lim -                                 =          = 0 
                              x ®-¥            x      1           x  ®-¥             x       1               +¥
                                     -x 1 + 2 + 2 - x                          1 + 2 + 2  - x 
                                              x      x                              x       x
                                                                                                  :  lim é x + x 2  + 3 ù § 
                                                                                                    x  ®-¥ ë                   û 
                                                   é                    æ x - x 2 + 3 öù                      é x 2 - x 2  + 3 ù
                  lim é x + x 2 + 3 ù = lim ê x + x  2  + 3 ´ ç                              ÷ ú = lim  ê
                 x ®-¥ ë               û x ®-¥ ê                        ç x - x 2 + 3 ÷ ú x ®-¥ ë x - x 2  + 3 ú               û
                                                   ë                    è                    øû
                                                   é        3         ù              3                3 
                                         = lim ê                      ú=                         =          = 0 
                                            x ®-¥
                                                   ë x - x 2  + 3 û ( -¥ ) - ( +¥ )  -¥
                                                                                                            é x 2 + a 2  - a ù
                                                            : b > 0  َ  ٬  a > 0  ‫  ٬ ﺣﻴﺚ‬lim ê 2 2  ú § 
                                                                         ‫ﻭ‬
                                                                                                    x  ® 0 
                                                                                                            ê x +b -b ú
                                                                                                            ë                  û 
                                                                                 é                                             ù
     é x 2 + a2 - a ù         é x 2 + a2 - a         x 2 + a2 + a ù              ê              x 2 + a 2 - a 2                ú
lim ê               ú = lim ê                    ´                   ú = lim ê                                                 ú
x ®0
     ê x +b -b ú
     ë
         2    2
                    û
                         x ®0
                              ê x +b -b
                              ë
                                     2  2               2    2 
                                                     x + b + a ú     û
                                                                          x  ®0 

                                                                                 ë
                                                                                         2
                                                                                 ê x +b -b
                                                                                                2
                                                                                                        (        2
                                                                                                                       )(
                                                                                                                       2 
                                                                                                               x +b +a ú
                                                                                                                               û           ) 
                                                x2                                                              x 2 
                  = lim                                                         = lim 
                     x ®0
                            (        x 2 +b 2 -b   )(     x 2 + b 2  + a   )      x  ® 0 
                                                                                            x 2 + b 2 + a x 2 + b 2 - b x 2 + b 2  - ba 

                                                        x 2                                                         1 
                 = lim                                                                      = lim 
                    x ®0       æ b 2  ( a - b ) x 2 + b 2  ba  ö                                  2    2 
                                                                                 b 2  ( a - b )  x + b  ba 
                                                                                              x  ® 0 
                                2 
                            x  ç 1 + 2 +                      - 2  ÷         1 + 2 +                      - 2 
                               ç x                x2             x ÷             x             x2          x 
                               è                                     ø
                               x2             x2            x 2 
                  = lim1 + 2  +                           -      = 1 + 0 + 0 - 0 = 1 
                    x  ® 0     b     ( a - b )  x 2 + b 2  ba 
                                                                                                                ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                             : 1  34  84 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                                 : ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ‬
                                                                                                                          é            ù
                                                                                                                   :  lim ê x  + 1 - 1 ú         · 
                                                                                                                        x  ® 0 
                                                                                                                                  ë   x     û 
      ‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ 0 ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ‬f  ‫  ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a  x + 1  ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                                                                  ‫ﻫﻮ‬
                                                            é f ( x ) - f  ( 0 ) ù       é x +1 - 1ù          é x  + 1 - 1 ù
                                          f  ' ( 0 ) = lim ê                     ú = lim ê         ú = lim ê               ú
                                                       x ®0
                                                            ë      x - 0  û x ® 0 ë           x    û
                                                                                                       x ® 0 
                                                                                                              ë    x       û


48 
                                                                                                                     ‐ 
                                                                                                            www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                é        ù                                        1    1                     1 
      . lim ê x  + 1 - 1 ú = f  ' ( 0 ) = 1  ‫ ٬ ﺃﻱ ﺃﻥ‬f ' ( 0 ) =     =  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x ) =          ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
        x  ® 0 
                ë x      û                2                      2 1  2                    2 x + 1 
                                                                                                             é x 2  + 1 - 2 ù
                                                                                                   :  lim ê                 ú · 
                                                                                                      x  ®1 
                                                                                                             ê
                                                                                                             ë    x - 1  ú  û 
                      1 ‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a  x 2  + 1  ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                                                  : ‫ ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻫﻮ‬
                                                                                               )  é x 2  + 1 - 2 ù
                                                                              é f ( x ) - f  (1  ù
                                                             f  ' (1) = lim ê                    ú lim ê                        ú
                                                                        x ®1
                                                                              ë      x -1        û x ®1  ê
                                                                                                         ë          x - 1  ú    û 
                                                       1        1                              x
                                                                                              2                    x 
                                                  )  2  =
                                            f ' (1  =                 ‫ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x  ) =         2
                                                                                                         =                 ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                      1 + 1        2                      2 x +1                 x 2  + 1 
                                                                                é x 2  + 1 - 2 ù                       1 
                                                                      . lim ê                     ú = f  ' (1  = )          ‫ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                                         x  ®1 
                                                                                ê
                                                                                ë     x - 1  ú    û                     2 
                                                                                                                é x 2  + 2  ùx 
                                                                                                     :  lim ê                   ú · 
                                                                                                        x  ® 0 
                                                                                                                ê
                                                                                                                ë       x       ú
                                                                                                                                û 
 ‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ 0 ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a  x 2  + 2  ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                                               x

                                                              f  ' ( 0 ) = lim ê
                                                                                                  )  = lim é x 2  + 2x  - 0 ù
                                                                                é f ( x ) - f  ( 0  ù
                                                                                                    ú x ®0  ê               ú
                                                                           x ®0
                                                                                ë      x -0         û       ê
                                                                                                            ë   x - 0  ú    û 
                            0 +1             1                                 2x + 2                    ) 
                                                                                               2 ( x  + 1            x  + 1 
              f ' ( 0 ) =               =          = 1  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x ) =                 =                  =                  ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                            0 2  + 1          1                              2 x 2 + 2x 2 x 2 + 1                  x 2  + 1 
                                                                                           é x 2  + 2  ù
                                                                                                     x 
                                                                                   lim ê                ú = f  ' ( 0 ) = 1  : ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                   x  ® 0 
                                                                                           ê
                                                                                           ë    x       ú
                                                                                                        û
                                                                                                                 é             ù
                                                                                                      :  lim ê x x  + 1 - 6 ú · 
                                                                                                                 ë x - 3  û 
                                                                                                         x  ® 3 


      ‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ 3 ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a  x x + 1 - 6  ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                 )  = lim é x x + 1 - 6 - 0 ù = lim é x x  + 1 - 6 ù : ‫ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻫﻮ‬
                               é f ( x ) - f  ( 3  ù
            f  ' ( 3 ) = lim ê                     ú x ®3 ê                  ú x ®3 ê                ú
                          x ®3
                               ë      x -3         û      ë     x -3         û         ë     x - 3  û 
                     3 ( 3 ) + 2  11                                     x                    )  =
                                                                                     2 ( x + 1  + x  3x  + 2 
              )
       f ' ( 3  =                 =      ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x ) = x  + 1 +               =                             ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                      2 3 + 1  4                                     2 x +1             2 x +1       2 x + 1 
                                                                                 é               ù
                                                                      .  lim ê x x  + 1 - 6 ú = f  ' ( 3 ) = 11  :‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                 ë x - 3 û                    4 
                                                                         x  ® 3 




                                                                                                    ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                 : 1  34  85 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                        : ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ‬
                                                                                                                             sin x  ù
                                                                                                                  :  lim é          ú § 
                                                                                                                     x  ® 0  ê
                                                                                                                            ë x û 
 : ‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ 0 ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻫﻮ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a sin x  ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                    é f ( x ) - f (0) ù       é sin x  - sin ( 0 ) ù       é sin x - 0 ù        sin x 
                  f  ' ( 0 ) = lim ê                  ú = lim ê                    ú = lim ê           ú = lim  x
                               x ®3
                                    ë      x - 0      û x ®0 ë         x           û x ®0 ë x          û x ® 0 


49 
                                                                                                        ‐ 
                                                                                               www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                       sin x  ù
                      .  lim é
                             ê                ú = f  ' ( 0 ) = 1  :‫  ٬ ﺇﺫﻥ‬f ' ( 0 ) = cos ( 0 ) = 1  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x ) = cos x ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                            x  ® 0 
                                      ë x û 

                                                                                                       1 - cos x  ù
                                                                                                              :  lim é
                                                                                                                  ú § 
                                                                                                                 x  ® 0  ê
                                                                                                      ë x         û 
  ‫  ﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ 0 ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a 1 - cos x ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                      ‫ ﻣ‬
           f  ' ( 0 ) = lim ê
                                               ) = lim é1 - cos x  - (1 - cos ( 0 ) ) ù = lim é - cos x  + 1 ù : ‫ ﻫﻮ‬
                             é f ( x ) - f  ( 0  ù
                                                 ú     ê                              ú x ®0 ê               ú
                        x ®0
                             ë      x - 0  û x ®0 ê    ë             x                ú
                                                                                      û       ë     x        û
                            1 - cos x  ù
                .  lim é
                       ê               ú = f  ' ( 0 ) = 0  :‫  ٬ ﺇﺫﻥ‬f ' ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x ) = sin x ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                   x  ® 0 
                           ë x         û 
                                                                                                                            é        ù
                                                                                                                            ê cos x  ú
                                                                                                                 :  lim ê                 § 
                                                                                                                    x  ®
                                                                                                                         p        pú
                                                                                                                         2  ê x -    ú
                                                                                                                            ë     2  û 
: ‫  ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻫﻮ‬p  ‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a cos x  ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                       2
                                                                 é              æp öù        é              æ p öù         é      ù
                                                                 ê f ( x ) - f ç 2 ÷ ú       ê cos x  - cos ç 2 ÷ ú
                                                     æp ö
                                                f  ' ç ÷ = lim ê                è ø ú = lim ê               è ø ú = lim ê cos x  ú
                                                                             p                           p                 ê      ú
                                                     è 2 ø x ® p ê
                                                               2        x -          ú x ®p ê
                                                                                           2        x -           ú x ® p ê x - p ú
                                                                                                                        2 
                                                                 ê
                                                                 ë            2      ú
                                                                                     û       ê
                                                                                             ë           2        ú
                                                                                                                  û        ë    2 û
                é        ù
                                                                  p           p
      .  lim ê  ê cos x  ú
                           = f 
                                          æp ö
                                        ' ç ÷ = -1     :  ٬  f ' æ ö = - sin æ ö = -1  ‫  ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x ) = - sin x ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                        ‫ ﺇﺫﻥ‬     ç ÷         ç ÷
         x ®
             p        pú                  è 2 ø                   2è    ø     2   è    ø 
             2  ê x -    ú
                ë     2 û 

                                                                                                         ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                      : 1  34  86 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                          tan x  ù                    é sin x  ù
                                              : lim é                   ‫ﻭ‬
                                                                 ú = 1  َ  ٬  lim ê x ú = 1  ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ‬
                                                x  ® 0  ê x                   x  ® 0 
                                                        ë        û                    ë        û 

                                                                                                                                   x 
                                                                                                                              sin 3  ù
                                                                                                                 :  lim é
                                                                                                                    x  ® 0  ê         ú · 
                                                                                                                             ë x û 
                                     x 
                                sin 3  ù                    é sin 3x       é sin x ù  æ         é sin x  ù ö
                 . lim é                ú = 3  ‫  ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim ê x
                                                                 ù
                                                                 ú = lim ê3 x ú = 3 ç lim ê x ú ÷ = 3 ´ 1  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                   x  ® 0  ê
                           ë x          û              x ®0
                                                            ë    û x ®0 ë          û  è x ®0  ë          û ø 
                                                                                                                         x 
                                                                                                                    tan 3  ù
                                                                                                       :  lim é             ú · 
                                                                                                          x  ® 0  ê
                                                                                                                  ë x û 
                                  x 
                             tan 3  ù                   é tan 3x ù         é tan x ù  æ         é tan x  ù ö
                . lim é    ê x ú = 3  ‫  ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim ê x ú = lim ê3 x ú = 3 ç lim ê x ú ÷ = 3 ´1  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                   x  ® 0                          x ®0
                           ë         û                  ë        û x ®0 ë          û  è x ®0 ë           û ø 
                                                                                                                         x
                                                                                                                    sin 3  ù
                                                                                                       :  lim é   ê 2  ú · 
                                                                                                          x  ® 0 
                                                                                                                  ë x û 
                         sin 3x ù 3                  é sin 3x ù         é 3 sin x ù 3 æ         é sin x  ù ö 3 
             . lim é             ú = 2  ‫  ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim ê 2x ú = lim ê 2 ´ x ú = 2 ç lim ê x ú ÷ = 2 ´1  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
               x  ® 0  ê 2x                     x ®0               x ®0                 x  ® 0 
                       ë         û                   ë         û        ë         û   è         ë        û ø 
                                                                                                                                 tan x  ù
                                                                                                                   :  lim é               · 
                                                                                                                      x  ® 0  ê    x ú
                                                                                                                                ë 4  û 
                        tan x  ù 1                 é tan x                      é 1 tan x   ù 1æ            é tan x  ù ö 1 
              . lim é          ú = 4  ‫  ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim ê 4x
                                                                       ù
                                                                       ú = lim ê 4 ´ x      ú = 4 ç lim ê x ú ÷ = 4 ´ 1  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                x  ® 0  ê
                       ë 4x û                 x ®0
                                                   ë                   û   x ®0
                                                                                ë           û     è x  ® 0 
                                                                                                            ë        û ø 
50 
                                                                                                              ‐ 
                                                                                                     www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                                                        sin ax  ù
                                                                                                           :  lim é
                                                                                                                  ê             ú · 
                                                                                                               x  ® 0 
                                                                                                                       ë bx û 
                     sin ax   ù a                é sin ax            é a sin x   ù aæ            é sin x ù ö a 
        . lim é
              ê               ú = b ‫  ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim ê bx
                                                            ù
                                                            ú = lim ê b ´ x      ú = b ç lim ê x         ú ÷ = b ´ 1  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
          x  ® 0 
                    ë bx      û             x ®0
                                                 ë          û   x ®0
                                                                     ë           û     è x  ® 0 
                                                                                                 ë       û ø 
                                                                                                                     tan ax  ù
                                                                                                        :  lim é
                                                                                                           x  ® 0  ê bx      ú · 
                                                                                                                   ë         û 
                 tan ax       ù a                é tan ax           é a tan x    ù aæ         é tan x ù ö a 
       .  lim é
              ê               ú = b ‫  ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim ê bx
                                                            ù
                                                            ú = lim ê b ´ x      ú = b ç lim ê x ú ÷ = b ´1  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
         x  ®0 
                ë bx          û             x ®0
                                                 ë          û x ®0 ë             û     è x ®0 ë       û ø 

                                                                                               ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                            : 1  34  87 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                                                             : ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
                                                                                                         é             ù
                                                                                                 :  lim  ê 1 - 8x  - 3 ú ( 
                                                                                                                          1 
                                                                                                   x  ®-1 
                                                                                                           ë      x + 1     û 
 ‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ 1 -  ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a  1 - 8 x ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                             )
                                          é f ( x ) - f  ( -1  ù         é 1 - 8x - 9 ù           é 1 - 8x  - 3 ù
                     f  ' ( -1) = lim ê                        ú = xlim1 ê              ú = x ®-1 ê
                                                                                            lim                 ú : ‫ ﻫﻮ‬
                                          ë x - ( -1)  û                      x +1                ë x + 1  û
                                   x ®- 1                            ®-
                                                                         ë              û
                                              -4            -4        4                       -8          - 4 
                           f ' ( -1  =
                                   )                     =       = - ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x  ) =             =            ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                           1 - 8 ( -  ) 
                                                    1        9        3                   2 1 - 8x       1 - 8 x
                                                                           é             ù
                                                                    .  lim ê 1 - 8x  - 3 ú = f  ' ( -1  = - 4  :‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                                      ) 
                                                                      x  ®- 1 
                                                                             ë   x +1       û                       3 
                                                                                                              é x 2  - 9 ù
                                                                                                    :  lim  ê               2 
                                                                                                                         ú ( 
                                                                                                              ê x - 3  ú
                                                                                                            +
                                                                                                       x  ®3 
                                                                                                              ë          û 
  ‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ  3  ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a  x 2  - 9  ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                           )  = lim é x 2 - 9 - 9 - 9 ù = lim  é x 2  - 9 ù : ‫ ﻫﻮ‬
                                         é f ( x ) - f  ( 3  ù
                        f  ' ( 3) = lim+ ê                   ú x ®3+ ê                    ú           ê            ú
                                    x ®3
                                         ë      x -3         û       ê
                                                                     ë      x -3          ú x ®3  ê x - 3  ú
                                                                                          û
                                                                                                   +

                                                                                                      ë            û 
                                                           3                               2 x               x 
                                              f ' ( 3  = + = +¥  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x  ) =
                                                     )                                               =               ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                          0                            2 x -92
                                                                                                           x 2  - 9 
                                                                                  é x 2  - 9 ù
                                                                       .  lim+ ê             ú = f  ' ( 3  = +¥ :‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                                          ) 
                                                                          x  ® 3 
                                                                                  ê x - 3  ú
                                                                                  ë          û 
                                                                                                             é x 2  - 9 ù
                                                                                                 :  lim  ê                   3 
                                                                                                                          ú ( 
                                                                                                             ê x + 3  ú
                                                                                                           -
                                                                                                     x  ®-3 
                                                                                                             ë            û 
‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ 3 -  ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a  x 2  - 9  ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                     ) 
                                 é f ( x ) - f  ( -3  ù            é x 2 -9 - 9-9 ù               é x 2  - 9 ù
              f  ' ( -3 ) = lim- ê                       = lim- ê
                                                       ú x ®-3                           ú = lim  ê          ú : ‫ ﻫﻮ‬
                           x ®-3
                                 ë       x +3          û           ê
                                                                   ë       x +3          ú x ®-3  ê x + 3  ú
                                                                                         û
                                                                                                -

                                                                                                  ë          û 
                                                          -3                                x
                                                                                           2           x 
                                                  ) 
                                         f  ' ( -3  =               ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x  ) =           =            ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                         x 2  - 9                       2 x 2 -9     x 2  - 9 



51 
                                                                                                   ‐ 
                                                                                          www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                       é x 2  - 9 ù
                                                                             .  lim- ê                         ) 
                                                                                                  ú = f  ' ( -3  = +¥ :‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                               x  ®-3 
                                                                                       ê x + 3  ú
                                                                                       ë          û 

                                                                                                                    é            ù
                                                                                                             :  lim ê x  + 1 - 2 ú ( 
                                                                                                                                    4 
                                                                                                               x  ® 3 
                                                                                                                         ë   x - 3  û 
‫  ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ  3 ﻭ ﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻫﻮ‬f  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬f : x a  x + 1  ‫  ﺣﻴﺚ‬f  ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                                      ) 
                                                    é f ( x ) - f  ( 3  ù       é x +1 - 3 +1 ù                  é x  + 1 - 2 ù
                                   f  ' ( 3) = lim ê                    ú = lim ê                  ú = lim ê                  ú
                                               x ®3
                                                    ë      x -3         û x ®3 ë            x -3   û
                                                                                                         x  ® 3 
                                                                                                                 ë x - 3  û 
                                                                   1          1        1                           1 
                                                   f ' ( 3  =
                                                          )               =        = ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬f ' ( x  ) =                 ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                              2 3 + 1 2 4  4                                   2 x + 1 
                                                                                          é        ù
                                                                               .  lim ê x  + 1 - 2 ú = f  ' ( 3 ) = 1  :‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                          ë x - 3 û                   4 
                                                                                  x  ® 3 


                                                                                                             é                ù
                                                                                                   :  lim ê 2  x  - 2  ú                   5 
                                                                                                                                          ( 
                                                                                                      x  ® 4  x
                                                                                                             ë - 5x + 4 û 
                  g ( x  )
 :  f ( x  ) =                ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬h ( x ) = x 2  - 5x + 4  ‫ ﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬g ( x ) = x - 2  ‫ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                  h (x   ) 
                                                                                                                x  - 2 
                                                                                               f ( x  ) =     2 
                                                                                                                         :‫ ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                                                                                             x - 5x + 4 
                                                                 :‫  ﻫﻮ‬g ( x ) = x - 2  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ 4 ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬
                                                        é g ( x ) - g ( 4 ) ù        é x - 2 - 4 + 2ù            é x  - 2 ù
                                      g  ' ( 4 ) = lim ê                    ú = lim ê                 ú = lim ê             ú
                                                   x ®4
                                                        ë      x -4         û   x ®4
                                                                                     ë    x -4        û
                                                                                                          x ® 4 
                                                                                                                 ë x - 4  û 
                                                           :‫  ﻫﻮ‬h ( x ) = x 2  - 5x + 4  ‫ ﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ 4 ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬   ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌ‬
                                        é h ( x ) - h ( 4 ) ù        é x 2 - 5x  + 4 - ( 42  - 5 ( 4 ) + 4 ) ù       é x 2  - 5x  + 4 ù
                      h ' ( 4 ) = lim ê                      ú = lim ê                                       ú = lim ê                ú
                                   x ®4
                                        ë      x -4          û x ®4 ê               x -4                     ú x ® 4 ë x - 4  û
                                                                     ë                                       û 

      .  h ' ( 4 ) ¹ 0 ‫ ﺣﻴﺚ‬lim f ( x  ) =  ( ) : ‫  ﻗﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ  4  ﻓﺈﻥ‬h  َ   g  ‫ : ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﺎﻥ‬
                                                  g  ' 4 
                                                                                                        ‫ﻭ‬                          ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                x  ® 4            h ' ( 4 ) 
            é   x  - 2  ù
            ê              ú       é x -2     x -4 ù             é    x  - 2  ù
.  lim ê 2  x  - 4  ú = lim ê             ´ 2          ú = lim ê 2            ú = lim f ( x  )  : ‫ ﻷﻧﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
    x ® 4 x - 5x  + 4 
            ê              ú x ® 4 ë x - 4 x - 5x + 4 û x ® 4 ë x - 5x  + 4 û x  ®4 
            ê x - 4  ú
            ë              û 
                                                                                            1 
                                                                       ‫ﻭ‬
                                                  h ' ( x ) = 2 x - 5  َ  ٬ g ' ( x  ) =       ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ‬
                                                                                          2  x
                              1 
                           ) = = ´ =  ‫  ٬ ﺃﻱ ﺃﻥ‬h ' 4 = 2 4 - 5 = 3  َ‫ ﻭ‬g ' 4  = 1 =  1  ‫ﻭﻣﻨﻪ‬
                   g  ' ( 4  4  1 1 1 
 .  lim f ( x  ) =                                      ( ) ( )                     ( ) 
    x  ® 4         h ' ( 4 )  3 4 3 12                                                      2 4  4 
                                                                                                   é     x  - 2 ù 1 
                                                                                           .  lim ê     2           ú=      ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                                                           : 
                                                                                              x  ® 4  x - 5 x + 4
                                                                                                     ë              û  12 
                                                                                                                 é            ù
                                                                                                       : lim ê x2 + x  ú (       6 
                                                                                                         x  ® 0 
                                                                                                                 ë x + x - x û 



52 
                                                                                                            ‐ 
                                                                                                   www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                 g ( x  )
:  f ( x  ) =                 ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬h ( x ) = x 2  + x - x ‫ ﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬g ( x ) = x +  x ‫ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                 h (x   ) 
                                                                                                              x + x 
                                                                                            f ( x  ) =                      :‫ ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                                                                                             x 2  + x - x
                                                                                                   ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨ‬
                                                                   :‫  ﻫﻮ‬g ( x ) = x +  x ‫ ﺪ 0 ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬
                                                           é g ( x ) - g  ( 0 ) ù       é x + x - 0 - 0 ù           é x + x  ù
                                         g  ' ( 0 ) = lim ê                     ú = lim ê               ú = lim ê            ú
                                                      x ®0
                                                           ë      x - 0  û x ® 0 ë             x        û
                                                                                                            x  ® 0 
                                                                                                                    ë x      û 
                                                           :‫  ﻫﻮ‬h ( x ) = x 2  + x - x ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ 0 ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬

                             h ' ( 0 ) = lim ê
                                                               )  = lim é x 2 + x - x - 02 + 0 - 0 ù = lim é x 2  + x - x  ù
                                              é h ( x ) - h ( 0  ù
                                                                 ú      ê                          ú       ê               ú
                                         x ®0
                                              ë      x - 0  û x ®0 ê    ë            x             ú x ®0  ê
                                                                                                   û       ë      x        ú
                                                                                                                           û 

      .  h ' ( 0 ) ¹ 0 ‫ ﺣﻴﺚ‬lim f ( x  ) =  ( ) : ‫  ﻗﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ  4  ﻓﺈﻥ‬h  َ   g  ‫ : ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﺎﻥ‬
                                          g  ' 0 
                                                                                 ‫ﻭ‬                        ‫ ﺇﺫﻥ‬
                           x  ® 0                 h ' ( 0 ) 
      é x + x              ù
      ê                    ú        éx + x             x       ù          é x + x  ù
           x 
 lim ê                     ú = lim ê         ´                 ú = lim ê 2                 ú = lim f ( x  )  : ‫ ﻷﻧﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
 x ®0 ê  2
        x +x -x            ú x ®0 ë x            x 2 + x - x û x ®0 ë x + x - x  û x ®0 
      ê                    ú
      ë    x               û 
                                                             2x  + 1                                   1 
                                               h ' ( x ) =                     ‫ﻭ‬
                                                                         - 1  َ  ٬ g ' ( x  ) = 1 +        ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ‬
                                                           2  x 2  + x                               2  x
                  g  ' ( 0 ) 1                                 2 ( 0 ) + 1                                1 
.  lim f ( x  ) =            =     = -1  ‫  ٬ ﺃﻱ ﺃﻥ‬h ' ( x ) =                         ‫ﻭ‬
                                                                            - 1 = -1  َ g ' ( 0 ) = 1 +        = 1  ‫ﻭﻣﻨﻪ‬
   x  ® 0         h ' ( 0 )  -   1                                  2 
                                                              2 0 + 0                                    2 0 
                                                                                                é               ù
                                                                                         .  lim ê x + x                  ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                                                ú = -1  : 
                                                                                            x  ® 0     2 
                                                                                                    ë x + x - x û 

                                                                                                       ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                    : 1  34  88 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                        p 
   :  x a 2 cos x - 1 َ   x a sin 3  ‫ ﻳﻒ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ  ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﻴﻦ‬
                      ‫ﻭ‬            x                                     ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺗﻌﺮ‬
                                                                        3
                                                                                                                                       x 
                                                                                                                     :  lim é sin 3  ù     ú
                                                                                                                            p ê 2 cos x - 1 
                                                                                                                        x  ® ë             û 
                                                                                                                            3 


                        g ( x  )
       :  f ( x  ) =                 ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬h ( x ) = 2 cos x - 1  ‫ ﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬g ( x ) = sin 3  ‫ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                                                                                                           x
                        h (x    ) 
                                                                                                                     x 
                                                                                                                sin 3 
                                                                                               f ( x  ) =                  :‫ ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                                                                                              2 cos x - 1 
                                                                                                     p 
                                                                    :‫  ﻫﻮ‬g ( x ) = sin 3  ‫ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                        x                   ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ‬
                                                                                                        3
                       é             æp öù        é                 æ p öù       é                ù        é             ù
           æp ö        ê g ( x ) - g ç 3 ÷ ú      ê sin 3x  - sin 3 ç 3 ÷ ú      ê sin 3x - sin p ú        ê sin 3x  - 0 ú
      g  ' ç ÷ = lim ê               è ø ú = lim ê                  è ø ú = lim
                                   p                            p                ê         p      ú = lim ê        p ú
           è 3 ø x ® p ê
                     3        x-           ú x ®p ê
                                                3         x -             ú x ®p ê
                                                                               3       x -
                                                                                                         p
                                                                                                  ú x ® 3  ê x -         ú
                       ê
                       ë           3       ú
                                           û      ê
                                                  ë             3         ú
                                                                          û      ë         3      û        ë        3  û
                                                                                                    p 
                                                               :‫  ﻫﻮ‬h ( x ) = 2 cos x - 1  ‫ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬        ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ‬
                                                                                                    3



53 
                                                                                                             ‐ 
                                                                                                    www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                       é             æp öù        é                     æp ö ù          é                  æ 1 ö ù           é        ù
                       ê h ( x ) - h ç 3 ÷ ú      ê 2 cos x - 1 - 2 cos ç 3 ÷ - 1 ú     ê 2 cos x  - 1 - 2 ç 2 ÷ - 1 
                                                                                                                    ú
           æp ö
       h ' ç ÷ = lim ê               è ø ú = lim ê                      è ø ú = lim ê                                                 ú
                                                                                                           è ø ú = lim  ê 2 cos x  - 1 
                                   p                               p                                    p                 p ê         ú
                    p
           è 3 ø x ® 3 ê      x -
                                                p
                                           ú x®3 ê             x -
                                                                                      p
                                                                                  ú x®3 ê          x -              ú x ® 3  ê x - p ú
                       ê
                       ë            3      ú
                                           û      ê
                                                  ë                 3             ú
                                                                                  û     ê
                                                                                        ë               3           ú
                                                                                                                    û        ë     3  û
                                              æp ö
                                          g ' ç ÷
             p                                           p 
    .  h ' æ ö ¹ 0 ‫  ﺣﻴﺚ‬lim f ( x  ) = è 3 ø : ‫  ﻗﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ  ﻓﺈﻥ‬h  َ   g  ‫ : ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﺎﻥ‬
           ç ÷                                                                            ‫ﻭ‬                ‫ ﺇﺫﻥ‬
           è 3 ø         x  ®
                              p               æp ö       3
                              3           h ' ç ÷
                                              è 3 ø 
                         x 
                  é sin 3  ù
                  ê      p ú             é                p ù
                  ê x-           ú                   x  -
         .  lim ê        3 ú = lim ê sin 3x ´             3  ú = lim é sin 3  ù = lim f ( x  )  : ‫ ﻧﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                                                   x 
                                                                                                            ‫ ﻷ‬
                                      p ê                        ú                      ú x ®p
                                                                        p ê 2 cos x  - 1 
                p 2 cos x  - 1 
             x® ê
                3
                                 ú x ® 3 ê x  - p 2cos x - 1 ú x ® 3 ë                  û    3 
                  ê      p ú             ë       3               û
                  ê x-
                  ë      3  ú    û 
                                                         h ' ( x ) = - 
                                                                      2sin x َ g ' ( x ) = 3cos 3  ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ‬
                                                                                ‫ﻭ‬                x
             æp ö        æp ö           3                   p           æp ö
         h ' ç ÷ = -2sin ç ÷ = -2 ´                ‫ ﻭ‬æ ö
                                            = - 3  َ   g ' ç ÷ = 3cos 3 ç ÷ = 3cos p = 3 ( -1) = -3  ‫ﻭﻣﻨﻪ‬
             è3ø         è 3 ø         2                   è3ø          è 3 ø 
                                                         æp ö
                                                    g  ' ç ÷
                                                                -3      3       3´ 3         3 3 
                                 .  lim f ( x  ) = è 3 ø =          =      =              =       = 3  ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                    x  ®
                                         p              æp ö - 3         3        3 ´ 3       3 
                                         3          h ' ç ÷
                                                        è 3 ø 
                                                                                              x 
                                                                            .  lim é sin 3  ù = 3  : 
                                                                                   p ê 2 cos x - 1 
                                                                                                  ú      ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                               x  ® ë             û 
                                                                                    3 



                                                                                                           ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                        : 1  34  89 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                         p 
    :  x a  2 cos x - 2 َ   x a  tan x  ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ  ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﻴﻦ‬
                        ‫ﻭ‬
                                                                         4
                                                                                                                     :  lim é tan x  - 1  ù
                                                                                                                            p ê
                                                                                                                        x  ® ë 2 cos x -
                                                                                                                            4 
                                                                                                                                         2 ú
                                                                                                                                           û 

                    g ( x  )
      f ( x  ) =                ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬h ( x ) = 2 cos x -  2  ‫ ﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬g ( x ) = tan x - 1  ‫ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                    h (x   ) 
                                                                                                                  tan x  - 1 
                                                                                                 f ( x ) =                    :‫ ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                                                                                                2 cos x -  2 
                                                                                                         p 
                                                                  :‫  ﻫﻮ‬g ( x ) = tan x - 1  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ  ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                                                            4
                        é             æ p öù       é                 p   ù       é                  ù        é          ù
                        ê g ( x ) - g ç 4 ÷ ú        tan x  - 1 - tan + 1 
            æp ö
       g  ' ç ÷ = lim ê               è ø ú = lim ê                                                                     ú
                                                                     4  ú = lim ê tan x - 1 - 1 + 1 ú = lim ê tan x  - 1 
                                    p              ê              p      ú       ê         p        ú        ê      p ú
            è 4 ø x ® p ê
                      4        x-           ú x ®p ê
                                                 4           x -
                                                                               p
                                                                         ú x®4 ê       x-
                                                                                                           p
                                                                                                    ú x ® 4  ê x -      ú
                        ê
                        ë           4       ú
                                            û      ë              4      û       ë         4        û        ë       4  û
                                                                                                        p 
                                                           :‫  ﻫﻮ‬h ( x ) = 2 cos x -  2  ‫ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬               ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ‬
                                                                                                        4
                é             æp öù        é                      æp ö      ù        é                  æ 2 ö      ù
                                                                                     ê 2 cos x  - 2 - 2 ç    ÷ + 2 ú       é            ù
                ê h ( x ) - h ç 4 ÷ ú      ê 2 cos x  - 2 - 2 cos ç 4 ÷ + 2 ú
    æp ö
h ' ç ÷ = lim ê               è ø ú = lim ê                       è ø       ú = lim  ê                  è 2  ø     ú lim ê 2 cos x  - 2 ú
    è 4 ø x ® p ê           p       ú x ®p ê                 p              ú x ®p ê                  p            ú x ® p ê       p    ú
              4
                ê
                       x-
                                    ú
                                         4
                                           ê
                                                         x-
                                                                            ú
                                                                                   4 ê            x-               ú 4  ê x -           ú
                ë            4      û      ë                  4             û        ê                4            ú       ë        4  û
                                                                                     ë                             û


   54 
                                                                                                                ‐ 
                                                                                                       www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                      æp ö
                                  g ' ç ÷
         p                                     p 
.  h ' æ ö ¹ 0 ‫  ﺣﻴﺚ‬lim f ( x  ) = è 4 ø : ‫  ﻗﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ  ﻓﺈﻥ‬h  َ   g  ‫ : ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﺎﻥ‬
       ç ÷                                                              ‫ﻭ‬                        ‫ ﺇﺫﻥ‬
       è 4 ø        x  ®
                         p            æp ö     4
                         4        h ' ç ÷
                                      è 4 ø 
           é tan x  - 1    ù
           ê        p      ú                              p
           ê               ú        é                         ù
               x -                  ê tan x - 1      x  -
.     lim ê         4      ú = lim              ´         4  ú = lim é tan x  - 1  ù = lim f ( x  )  :     ‫ ﻷﻧﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                  p ê       p                 ú       ê             ú
      x ® ê 2 cos x - 2    ú x® ê
         p
         4                        4    x  -       2 cos x - 2 ú x ®p ë 2 cos x  - 2 û x ®p
                                                                    4                     4 
           ê        p      ú        ë       4                 û
           ê   x -         ú
           ê
           ë        4      ú
                           û 
                                                                    2sin x َ g ' ( x ) = 1 + tan 2  x ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ‬
                                                       h ' ( x ) = -       ‫ﻭ‬
                       æp ö        æp ö             2                  p              æp ö
                   h ' ç ÷ = -2sin ç ÷ = -2 ´                   ‫ ﻭ‬æ ö
                                                       = - 2  َ   g ' ç ÷ = 1 + tan 2 ç ÷ = 1 + 12  = 2  ‫ ﻭﻣﻨﻪ‬
                       è4ø         è 4 ø          2                   è4ø             è 4 ø 
                                                            æp ö
                                                        g ' ç ÷
                                                                      2         2´ 2       2 2 
                                      .  lim f ( x  ) = è 4 ø =          =-              =       = 2  ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                         x  ®
                                              p             æp ö - 2             2 ´ 2       2 
                                              4         h ' ç ÷
                                                            è 4 ø 
                                                                         .  lim é tan x  - 1  ù = 2  : 
                                                                                p ê
                                                                                                          ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                            x  ® ë 2 cos x -
                                                                                4 
                                                                                               2 ú
                                                                                                 û 

                                                                                          ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                       : 1  34  90 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬

                                                                     : lim é sin 2 x 
                                                                          >     ê
                                                                                              ù
                                                                                              ú = 2 2      ‫ﻥ‬
                                                                                                         : ّ ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ‬
                                                                       x  ¾¾ 0 
                                                                            ®
                                                                                ë 1 - cos x   û 
                 é sin 2 x ù            é sin 2 x     1 + cos x  ù             é ( sin 2 x )  1 + cos x  ù
           lim ê
             >              ú = x lim 0 ê
                                    >
                                                    ´            ú = x  lim 0  ê
                                                                          >
                                                                                                         ú
         x ¾¾ 0 ë 1 - cos x û
               ®                  ¾¾  ®
                                        ë 1 - cos x   1 + cos x  û      ¾¾  ®
                                                                               ê
                                                                               ë       12 - cos 2  x     ú
                                                                                                         û
                                          é ( sin 2x ) 1 + cos x ù                é ( sin 2x )  1 + cos x  ù
                                = lim ê                             ú = lim  ê                              ú
                                      >
                                  x ¾¾ 0®
                                          ê
                                          ë          sin 2  x       ú x  ¾¾ 0 ê
                                                                    û
                                                                            >
                                                                              ®
                                                                                  ë         sin x           ú
                                                                                                            û 
                                                           2             2                      2        2 
                                                       sin x = 1 - cos  x ‫  ٬ ﺃﻱ ﺃﻥ‬cos x + sin x = 1  ‫ ﻧﻪ‬         ‫ ﻷ‬
                                          é sin 2     x               ù
                                          ê                1 + cos x  ú             é 1´ 1 + cos x  ù
                                = lim ê2 ´ 2       x 
                                                        sin x
                                                                        = lim ê2 ´
                                                                      ú x  ¾¾ 0                          ú ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻧﺠﺪ‬
                                     >
                                 x ¾¾ 0®
                                          ê                           ú
                                                                              >
                                                                                ®
                                                                                    ë            1       û
                                          ë               x           û
                               = 2 1 + cos ( 0 )  = 2 2
                                                                                                    sin x  ù
                                                     lim ê
                                                                    x 
                                                            é sin 2  ù
                                                                        ú = 2 2    : ‫  ٬ ﺇﺫﻥ‬lim é
                                                                                            x  ® 0  ê      ú = 1  ‫ ﻷﻥ‬
                                                       >
                                                   x  ¾¾ 0 
                                                         ®
                                                            ë 1 - cos x û                          ë x û 
                                                                                                       ‫ﻥ‬
                                                                     :  lim é (p - 2x ) tan x ù = 2  : ّ ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ‬
                                                                             p ë              û 
                                                                        x  ®
                                                                              2 

                                                      p
                                . Y ® 0  ‫  ﻓﺈﻥ‬x ®          ‫  ٬ ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻟ ّﺎ‬x =Y + p ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬Y = x - p ‫ ﻧﻀﻊ‬
                                                            ‫ﻤ‬
                                                     2                        2                            2 
                                                       éæ      æ   p öö æ        p öù
                       lim é (p - 2x ) tan x ù = lim ê ç p - 2 çY + ÷ ÷ tan çY + ÷ ú
                            p  ë             û Y  ® 0                                                     ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻧﺠﺪ‬
                       x  ®                            ëè      è   2 øø     è    2 ø û
                            2 

                                                       é                 pù
                                                = lim ê( -2Y ) tanY + tan ú = lim é( -2Y ) tan  ù
                                                                                              Y û
                                                  Y ®0
                                                       ë                 2 û Y  ®0  ë

55 
                                                                                               ‐ 
                                                                                      www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                           Y 
                                                                                       é 2  ù            é        ù
                                                               é -2Y          ù        ê Y  ú            ê 2  ú
                                                        = lim ê
                                                                     Y 
                                                          Y ® 0 - tan         ú = Y ®0 ê tanY ú = Y  ®0  ê tan  ú = 2  ‫ ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                                                  lim               lim
                                                                                                               Y 
                                                               ë              û        ê         ú       ê        ú
                                                                                       ë Y û             ë Y û 
                                                                                             p                   Y 
                                                                                                              tan  ù
                                                                                                   ‫ ﻤ‬Y  ® 0 é
                                                                           Y ® 0  ‫  ﻓﺈﻥ‬x ®  ‫  ﻭﻟ ّﺎ‬lim ê            ú = 1  ‫ ﻷﻥ‬
                                                                                              2             ë Y û 
                                                                                              lim é (p - 2 x ) tan x ù = 2  : ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                                 p ë                 û
                                                                                             x  ®
                                                                                                    2 


                                                                                           :  lim é sin x  ù = 2  : ّ ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ‬
                                                                                                                    ‫ﻥ‬
                                                                                                                 ú
                                                                                              x  ® 0  ê x + 1 - 1 
                                                                                                      ë          û 
                        g ( x  )
       :  f ( x  ) =                ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬h ( x ) = x + 1 - 1  ‫ ﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺧﺮﻯ‬g ( x ) = sin x ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ‬
                        h (x   ) 
                                                                                                                      sin x 
                                                                                                         f ( x  ) =              :‫ ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                                                                                                      x + 1 - 1 
                                                                       :‫  ﻫﻮ‬g ( x ) = sin x ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ 0 ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬
                                                                    é g ( x ) - g (0) ù       é sin x  - sin ( 0 ) ù       é sin x  ù
                                                 g  ' ( 0 )   = lim    ê               ú= lim      ê                 = lim 
                                                                                                                       ú             ê x   ú
                                                                x ®0
                                                                       ë     x - 0     û    x ®0
                                                                                                   ë          x        û    x ® 0 
                                                                                                                                     ë     û
                                                               :‫  ﻫﻮ‬h ( x ) = x + 1 - 1  ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻋﻨﺪ 0 ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬
                                                               é h ( x ) - h ( 0 ) ù       é x + 1 - 1 - 0 + 1 + 1ù           é x  + 1 - 1 ù
                                              h ' ( 0 ) = lim ê                    ú = lim ê                      ú = lim ê                ú
                                                          x ®0
                                                               ë      x - 0  û x ® 0 ë                x           û
                                                                                                                      x  ® 0 
                                                                                                                              ë    x       û 

      .  h ' ( 0 ) ¹ 0 ‫ ﺣﻴﺚ‬lim f ( x  ) =  ( ) : ‫  ﻗﺎﺑﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ  0  ﻓﺈﻥ‬h  َ   g  ‫ : ﻭﺑﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﺎﻥ‬
                                          g  ' 0 
                                                                                 ‫ﻭ‬                        ‫ ﺇﺫﻥ‬
                           x  ® 0              h ' ( 0 ) 
                  é sin x  ù
                  ê          ú        é sin x     x        ù           é sin x  ù
                      x 
          .  lim ê           ú = lim ê        ´            ú = lim ê x  + 1 - 1  = lim f ( x  )  : ‫ ﻷﻧﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                                                       ú x ®0 
             x ®0
                  ê x + 1 -1 ú   x ®0
                                      ë x       x + 1 - 1û        x ®0
                                                                       ë               û
                  ê
                  ë   x      ú
                             û 
                                                                        1 
                                                    h ' ( x  ) =              ‫ﻭ‬
                                                                              َ g ' ( x ) = cos x ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ‬
                                                                    2 x + 1 
                                                                        1       1 
                                                     h ' ( 0 ) =             = َ g ' ( 0 ) = cos 0 = 1  ‫ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                                                      ‫ﻭ‬
                                                                    2 0 + 1  2 
                                                                                        )
                                                                               g  ' ( 0  1       2 
                                                            .  lim f ( x  ) =             = = 1´ = 2  ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                                               x  ® 0          h ' ( 0 )   1     1 
                                                                                           2 

                                                                                                                  . lim é sin x  ù = 2  : ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                                                                       ú
                                                                                                                    x  ® 0  ê x + 1 - 1 
                                                                                                                            ë          û 




56 
                                                                                                                   ‐ 
                                                                                                          www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
.                                                                                                          : ‫ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﺘﻌﻤﻖ‬

                                                                                                         4 
                                                               : ‫ ­  ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺮﻛﺒﺔ – ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺑﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ‬
                                                                                           ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                        : 1  34  91 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                : ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺮﻛﺐ ﺩﺍﻟﺘﻴﻦ‬
                                                                                                       é  x  - 1  ù
                                                                                              :  lim  ê              1 
                                                                                                                  ú ( 
                                                                                                       ë 2x - 4 û 
                                                                                                x  ®+¥


                                                                        x  - 1                   x  - 1 
                                         f ( x ) =  X ‫ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ‬X  =              َ  ٬  f ( x ) =
                                                                                ‫ﻭ‬                        ‫ﻧﻀﻊ‬
                                                                       2 x - 4                  2x - 4 
                                                      1     1                              x       ù 1 
                                 lim f ( x ) =           =      ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬xlim X  = x lim  é
                                                                                        ê 2x       ú = 2  ‫ ﺇﺫﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                    1 
                                 X  ®                 2      2           ®+¥        ®+¥
                                                                                        ë          û 
                                        2 

                                                                                         é  x  - 1 ù 1 
                                                                                .  x lim  ê          ú=       ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                                             : 
                                                                                      ®+¥
                                                                                         ë 2x - 4 û       2 
                                                                                                       é   x  ù
                                                                                             :  lim  ê 2  ú (      2 
                                                                                                x  ®+¥
                                                                                                       ë x - 1 û 
                                                                  x                           x 
                                             f ( x ) =  X ‫ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ‬X  =  َ  ٬  f ( x ) = 2  ‫ﻧﻀﻊ‬
                                                                        ‫ﻭ‬  2 
                                                                x - 1                       x - 1 
                                                                   é x  ù             é 1 ù
                        lim f ( x ) = 0 = 0  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim X  = lim ê 2  ú = lim ê ú = 0  ‫ ﺇﺫﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                        X  ®0                       x ®+¥    x ®+¥ x          x  ®+¥ x
                                                                   ë û                ë û 
                                                                                    é    x  ù
                                                                       .  lim ê 2  ú = 0  :          ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                    ë x - 1 û 
                                                                          x  ®+¥


                                                                             :  x lim é 9 x 2  - x + 3 ù ( 
                                                                                   ®-¥ ë
                                                                                                          3 
                                                                                                       û 
                           f ( x ) =  X ‫ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ‬X = 9 x 2  - x + 3  َ  ٬  f ( x ) = 9x 2  - x + 3 ‫ﻧﻀﻊ‬
                                                                    ‫ﻭ‬
               lim  f ( x ) = +¥ = +¥  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim X = lim é9x 2 ù = lim  é x 2 ù = +¥ ‫ ﺇﺫﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
               X  ®+¥                         x ®-¥   x ®-¥ ë   û x ®-¥ ë û 
                                                                         .  x lim é 9 x 2  - x + 3 ù = +¥ : 
                                                                                                           ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                               ®-¥ ë                  û 
                                                                                               é1 + x ù
                                                                                                         ú ( 
                                                                                                 : x lim  ê 4 
                                                                                               ë    x û 
                                                                                                      ®+¥


                                                      1 + X                                 1 + x 
                                           f ( x  ) =        ‫ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ‬X =  x َ  ٬  f ( x ) = 
                                                                             ‫ﻭ‬                       ‫ﻧﻀﻊ‬
                                                        X                                        x
                      é1 + X ù          é X  ù                            é   ù
  lim f ( x  ) = lim ê       ú = X  ®+¥ ê X ú = 1  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬xlim X = x lim  ë x û = +¥ = +¥ ‫ ﺇﺫﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                  lim
 X ®+¥          X ®+¥
                      ë X û             ë û                  ®+¥      ®+¥


                                                                                      é1 + x ù
                                                                             . x lim ê                 ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                               ú = 1  : 
                                                                                      ë x û 
                                                                                  ®+¥




57 
                                                                                                ‐ 
                                                                                       www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                             ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                          : 1  34  92 ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                                                  ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍ‬
                                                      : ‫ ﻟﻨﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺮﻛﺐ ﺩﺍﻟﺘﻴﻦ‬
                                                                                            é    1  ù
                                                                                  :  x lim êcos æ ö ú ( 
                                                                                                ç ÷    1 
                                                                                          è x ø û 
                                                                                        ®+¥
                                                                                              ë
                                                              1                       æ 1  ö
                  f ( x ) = cos ( g ( x ) ) ‫ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ‬g ( x ) =  َ  ٬ f ( x  ) = cos ç ÷ ‫ﻧﻀﻊ‬
                                                                 ‫ﻭ‬
                                                              x                       è x ø 
                                                                             é 1 ù
                    lim f ( x ) = cos 0 = 1  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim g ( x  ) = lim ê ú = 0  ‫ﺇﺫﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                   x ®+¥                              x ®+¥            x  ®+¥ x
                                                                             ë û 
                                                                           é       1  ù
                                                                 .  lim êcos æ ö ú = 1  : 
                                                                                ç ÷          ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                   x  ®+¥
                                                                           ë è x ø û 
                                                                                       é sin ( x - p ) ù
                                                                               :  lim ê                ú (2 
                                                                                  x ®p
                                                                                       ë x - p û 
                       sin ( g ( x ) )                                              sin ( x  - p ) 
         f ( x  ) =                       ‫ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ‬g ( x ) = x - p َ  ٬ f ( x  ) =
                                                                  ‫ﻭ‬                                     ‫ﻧﻀﻊ‬
                          g ( x )                                                        x - p
                                 é sin ( x  - p ) ù                      é sin ( g ( x ) ) ù
           lim f ( x  ) = lim ê                   ú = 1  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim ê                               ‫ﻥ‬
                                                                                             ú = 1  ّ ‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃ‬
           x ®p            x  ®p
                                 ë x - p û                        x ®p
                                                                         ê g ( x )  ú
                                                                         ë                   û 
                                                                              é sin ( x  - p ) ù
                                                                    .  lim ê                     ú = 1  :‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                       x ®p
                                                                              ë x - p û 
                                                                                         é      p x  + 3 ö ù
                                                                              :  lim êsin æ   ç               3 
                                                                                                         ÷ ú ( 
                                                                                 x  ®+¥
                                                                                         ë è 1 + x ø û 
                                                     p x  + 3                               p x  + 3 ö
      f ( x ) = sin ( g ( x ) ) ‫ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ‬g ( x  ) =             َ  ٬ f ( x  ) = sin æ
                                                               ‫ﻭ‬                          ç          ÷ ‫ﻧﻀﻊ‬
                                                      1 + x                               è 1 + x ø 
                                                                                    é p x  ù
                lim f ( x ) = sin p = 0  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim g ( x  ) = lim  ê                      ú = p ‫ﺇﺫﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
               x ®+¥                                   x ®+¥               x  ®+¥
                                                                                    ë x û 
                                                                          é          p x  + 3 ö ù
                                                              .  x lim êsin æ     ç           ÷ ú = 0  : ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                    ®+¥
                                                                          ë è 1 + x ø û 
                                                                                     é            p x  + 1 ö ù
                                                                            :  x lim êsin æ
                                                                                          ç        ÷ (  4 
                                                                                  ®+¥
                                                                                     ë         x ú
                                                                                         è 2  ø û 
                                                    p x  + 1                           p x  + 1 ö
      f ( x ) = sin ( g ( x ) ) ‫ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ‬g ( x  ) =            َ  ٬ f ( x  ) = sin æ
                                                              ‫ﻭ‬                      ç          ÷ ‫ﻧﻀﻊ‬
                                                      2 x                                  x
                                                                                     è 2  ø 
                                   p                                          é p x  ù p
               lim f ( x ) = sin = 1  ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ‬lim g ( x  ) = lim  ê                     = ‫ﺇﺫﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                    2                                  x  ®+¥ 2 x ú
              x  ®+¥                                x ®+¥
                                                                              ë      û  2 
                                                                         é       p x  + 1 ö ù
                                                              .  x lim êsin æ ç           ÷ = 1  : ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                    ®+¥
                                                                         ë è 2  ø û  x ú
                                                                                            tan x  ù
                                                                            :  lim p é 2            ú 5 
                                                                                       ê tan x + 1  ( 
                                                                                    ® ë             û 
                                                                                  <
                                                                              x  ¾¾
                                                                                         2 

                             g ( x )                                                tan x 
          f ( x ) =                  2 
                                            ‫ ٬ ﻭ ﻣﻨﻪ‬g ( x ) = tan x َ  ٬ f ( x  ) = 2 
                                                                    ‫ﻭ‬                      ‫ﻧﻀﻊ‬
                        ( g ( x ) )  + 1                                              tan x + 1 




58 
                                                                                  ‐ 
                                                                         www.fanit  mehdi.com  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ‬
                                                                                  ‫ﺇﺫﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ  ¥+ = ) ‪ ٬ lim p g ( x‬ﻭﻣﻨﻪ‬
                                                                                                   ‫<‬
                                                                                              ‫¾¾  ‪x‬‬
                                                                                                  ‫®‬
                                                                                                           ‫ 2‬

                                                                 ‫‪é g ( x ) ù‬‬                      ‫ 1 ‪é 1 ù‬‬
                                           ‫‪lim p f ( x ) = lim p ê‬‬            ‫ 2‬
                                                                                   ‫‪ú = lim ê‬‬             ‫=‪ú‬‬      ‫ 0 =‬
                                         ‫¾¾ ‪x‬‬
                                             ‫<‬
                                               ‫®‬
                                                             ‫<‬
                                                          ‫¾¾ ‪x‬‬ ‫ 1 + ) ) ‪® ê ( g ( x‬‬
                                                                ‫‪2ë‬‬
                                                                                   ‫¥+ ‪ú x  ¾¾ p ë g ( x ) û‬‬
                                                                                           ‫<‬
                                                                                             ‫®‬
                                                 ‫2‬                                 ‫ ‪û‬‬          ‫ 2‬

                                                                                                   ‫‪tan x  ù‬‬
                                                                                  ‫ 2 ‪.  lim p é‬‬                  ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                              ‫ :  0 =  1 + ‪ê tan x‬‬
                                                                                                          ‫‪ú‬‬
                                                                                          ‫‪® ë‬‬             ‫ ‪û‬‬
                                                                                        ‫<‬
                                                                                    ‫¾¾  ‪x‬‬
                                                                                                       ‫ 2‬

                                                                                                       ‫‪é‬‬‫ ‪1 - cos x‬‬           ‫‪öù‬‬
                                                                                          ‫‪:  lim ê cos æ‬‬
                                                                                                       ‫‪ç‬‬        ‫ 2‬
                                                                                                                                  ‫ 6‬
                                                                                                                        ‫ ( ‪´ 2  ÷ ú‬‬
                                                                                                                           ‫‪p‬‬
                                                                                      ‫ 0 ®  ‪x‬‬
                                                                                              ‫‪ë è x‬‬                          ‫ ‪ø û‬‬
                                                    ‫ ‪1 - cos x‬‬                                   ‫ ‪æ 1 - cos x‬‬            ‫‪ö‬‬
        ‫= ) ‪ ٬ g ( x‬ﻭ ﻣﻨﻪ ) ) ‪f ( x ) = cos ( g ( x‬‬       ‫ 2‬
                                                               ‫‪´ 2  َ  ٬ f ( x  ) = cos ç‬‬
                                                                  ‫ﻭ ‪p‬‬                                     ‫ 2‬
                                                                                                                 ‫ﻧﻀﻊ ÷  2 ´‬
                                                                                                                       ‫‪p‬‬
                                                        ‫‪x‬‬                                        ‫‪è x‬‬                     ‫ ‪ø‬‬
                                                                                    ‫ ‪é1 - cos x‬‬              ‫‪ù‬‬
                           ‫‪ ٬ lim g ( x  ) = lim ê‬ﻭﻣﻨﻪ  1 = 0 ‪lim f ( x ) = cos‬‬               ‫ 2‬
                                                                                                      ‫ﺇﺫﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ‪´ 2p ú‬‬
                           ‫ 0®  ‪x‬‬                            ‫0® ‪x‬‬            ‫ 0®  ‪x‬‬
                                                                                    ‫‪ë x‬‬                      ‫ ‪û‬‬
                                                                                 ‫‪é‬‬       ‫ ‪1 - cos x‬‬                ‫‪öù‬‬
                                                                      ‫‪.  lim êcos æ‬‬    ‫‪ç‬‬           ‫ 2‬
                                                                                                         ‫ :  1 = ‪´ 2p ÷ ú‬‬    ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                         ‫ 0 ®  ‪x‬‬
                                                                                 ‫‪ë è x‬‬                             ‫ ‪ø û‬‬

                                                                                                          ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 39  43  1 :‬
                                                            ‫ ‪x‬‬
                                                           ‫ 2‬
                                          ‫= )  ‪:  f ( x‬‬            ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ 1 > ‪  x‬ﺑـ :‬
                                                          ‫ 1 + ‪x‬‬

                                                                          ‫1‬              ‫ 1‬
                                                                   ‫ :‬       ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ  1 > ‪  x‬ﻓﺈﻥ‬
                                                                                  ‫>‬                          ‫ 1‬
                                                                       ‫‪x‬‬
                                                                      ‫ 2‬ ‫1 + ‪x‬‬
              ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 > ‪ ٬  x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ  ‪  x‬ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ  1 + ‪ ٬  2x > x‬ﻭﺑﺠﺬﺭ ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ ﻧﺠﺪ‬
                        ‫1‬       ‫ 1‬              ‫1‬          ‫ 1‬
                             ‫>‬       ‫ ٬ ﺃﻱ ﺃﻥ‬        ‫<‬           ‫ 1 + ‪ ٬  2x > x‬ﻭﺑﻘﻠﺐ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ‬
                       ‫1 + ‪x‬‬    ‫ 2‬‫‪x‬‬             ‫‪2x‬‬        ‫ 1 + ‪x‬‬
                                                                    ‫1‬          ‫ 1‬
                                                               ‫ .‬         ‫>‬                         ‫ ﺇﺫﻥ ﻤ‬
                                                                                     ‫ : ﻟ ّﺎ  1 > ‪  x‬ﻓﺈﻥ‬
                                                                   ‫1 + ‪x‬‬       ‫ 2‬‫‪x‬‬
                                                                                   ‫ ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ  ) ‪:  lim  f ( x‬‬
                                                                                                             ‫ 2‬
                                                                                                                ‫ ¥+® ‪x‬‬

                                                                              ‫1‬               ‫ 1‬
                ‫ ٬ ﻭﺑﻀﺮﺏ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ  ‪  2x‬ﻧﺠﺪ :‬                           ‫>‬                ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  1 > ‪  x‬ﻓﺈﻥ‬
                                                                              ‫1 + ‪x‬‬         ‫ 2‬‫‪x‬‬
                                                                                           ‫ ‪x‬‬
                                                                                          ‫ 2‬                             ‫‪2x‬‬        ‫ ‪x‬‬
                                                                                                                                  ‫ 2‬
                                                           ‫ > )  ‪  f ( x‬ﻟ ّﺎ  1 > ‪.  x‬‬
                                                                      ‫ﻤ‬                            ‫ﻥ‬
                                                                                                   ‫٬ ﺃﻱ ﺃ ّ‬                   ‫>‬
                                                                           ‫ 2‬‫‪x‬‬           ‫1 + ‪x‬‬    ‫ 2‬‫‪x‬‬
                            ‫‪é 2x ù‬‬        ‫‪é 2x‬‬       ‫‪2x ù‬‬         ‫‪é 2x 2  ù‬‬‫ ‪x‬‬
                   ‫‪.  xlim ê‬‬        ‫‪= lim ê‬‬
                                  ‫‪ú x ®+¥ 2x‬‬     ‫´‬       ‫‪ú = xlim ê‬‬           ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ¥+ = ‪ú = lim é 2  ù‬‬
                                                                                         ‫‪x  û‬‬
                        ‫¥+®‬
                            ‫‪ë‬‬  ‫‪2x û‬‬       ‫‪ë‬‬          ‫ 2 ‪2  û ®+¥ ë‬‬
                                                      ‫‪x‬‬                 ‫‪x  û  x ®+¥ ë‬‬
                                            ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ  ¥+ = ) ‪.  lim  f ( x‬‬
                                                                  ‫ﻥ‬
                                                      ‫¥+® ‪x‬‬


                                                                                                          ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                       ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 49  43  1 :‬
                                                                 ‫ 1‬
                                   ‫ £  ‪:  0 £ x + 1 - x‬‬                                                             ‫ 1‬
                                                                        ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  0 > ‪  x‬ﻓﺈﻥ‬
                                                              ‫‪2  x‬‬
                                                                                              ‫ 2‬


      ‫- 1 +  ‪x‬‬
               ‫ 1 -  ‪2 x‬‬
                        ‫- ‪ ٬  x + 1 - x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 ³‬
                                                  ‫1‬
                                                     ‫- 1+ ‪= x‬‬
                                                              ‫ 1 -  ‪2 x‬‬
                                                                       ‫ - 1 +  ‪= x‬‬
                                                                                   ‫ ) (‬
                                                                                   ‫ 1 -  ‪2 x‬‬
                                                                                             ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
               ‫‪2  x‬‬                              ‫‪2 x‬‬            ‫‪2 x‬‬                ‫‪2  x‬‬
                                                                  ‫ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  0 > ‪x‬‬

‫ 95‬
                                                                                                            ‫ ‐‬
                                                                                                   ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                  ‫ 1‬                                ‫ 1‬
                                      ‫ £  ‪.  0 £ x + 1 - x‬‬              ‫-  ‪  x + 1 - x‬ﻭﻣﻨﻪ‬                      ‫ﻥ‬
                                                                                                           ‫ ﺃﻱ ﺃ ّ  0 ³‬
                                                                ‫‪2  x‬‬                               ‫‪2  x‬‬
                                                                                                          ‫ 2‬
                                                                               ‫ ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:  lim x + 1 -  x‬‬
                                                                                 ‫¥+® ‪x‬‬

                                                                                ‫ 1‬
                                                      ‫ £  ‪0 £ x + 1 - x‬‬               ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  0 > ‪٬  x‬‬
                                                                              ‫‪2  x‬‬
                                                                                               ‫‪é 1  ù‬‬
                                                                                      ‫‪.  x lim ê‬‬      ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ‪ú‬‬
                                                                                            ‫¥+®‬
                                                                                               ‫ ‪ë 2  x û‬‬
                                                                ‫ﻥ‬
                                          ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ  0 = ‪.  lim x + 1 - x‬‬
                                            ‫¥+® ‪x‬‬



                                                                                            ‫ ﺹ  ﺝ‬         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 59  43  1 :‬
                                                                                          ‫ ·  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟ‬
                                           ‫ ﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪:  -2 £ cos x + sin x £ 2  :  x‬‬
                                                                                                     ‫)‬
                                                                  ‫ 1( ................1 £  ‪ì-1 £ sin x‬‬
                                                                  ‫‪ï‬‬
                                                  ‫ ) ﻭ  )‬
          ‫‪ ٬ í‬ﻭﺑﺠﻤﻊ  1( َ  2 (  ﻧﺠﺪ  1 + 1 £ ‪-1 - 1 £ cos x + sin x‬‬                                     ‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ‬
                                                                  ‫ ) 2 ( ...............1 £ ‪ï-1 £ cos x‬‬
                                                                  ‫ ‪î‬‬
                                                                               ‫ :  2 £ ‪-2 £ cos x + sin x‬‬  ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                     ‫‪cos x + sin x  ù‬‬
                                                                         ‫‪:  x lim  é‬‬
                                                                                   ‫‪ê‬‬                 ‫ ·  ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ‪ú‬‬
                                                                               ‫¥+®‬
                                                                                   ‫‪ë‬‬      ‫ 2 ‪x‬‬       ‫ ‪û‬‬
         ‫ 2  ‪-2 cos x + sin x‬‬                 ‫ 1‬
             ‫£‬                  ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 £ ‪ ٬  -2 £ cos x + sin x‬ﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ  2  ﻧﺠﺪ  2 £‬
         ‫2‪x‬‬          ‫2‪x‬‬            ‫‪x‬‬         ‫ ‪x‬‬
           ‫‪cos x + sin x  ù‬‬                                               ‫‪é 2 ù‬‬            ‫‪é -2 ù‬‬
‫‪. x lim é‬‬
     ‫‪®+¥ ê‬‬        ‫ 2‬      ‫‪ú‬‬       ‫ﻥ‬                                                                      ‫ﻥ‬
                             ‫ ·  ﺑﻤﺎ ﺃ ّ  0 = ‪  lim ê 2 ú = lim ê 2  ú‬ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ  0 =‬
         ‫‪ë‬‬      ‫‪x‬‬         ‫ ‪û‬‬                                              ‫ ‪ë û x ®+¥ ë x û‬‬
                                                                     ‫‪x ®+¥ x‬‬



                                                                                            ‫ 5  ﺝ‬   ‫ 6‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                         ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  9 ﺹ  3  1 :‬
                                                 ‫ 1‬     ‫‪x‬‬
                                               ‫£  :‬            ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  1 ³ ‪  x‬ﻓﺈﻥ  1 £‬        ‫ 1‬
                                                 ‫ 1 + ‪2 x‬‬
  ‫ 1 -  ‪x‬‬                    ‫‪x‬‬     ‫1 - ‪1 2x - x‬‬           ‫ 1 -  ‪x‬‬                  ‫‪x  - 1 ³ 0 ü‬‬
               ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ  0 ³‬       ‫= -‬               ‫=‬                 ‫٬ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬               ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 ³ ‪  x‬ﻫﺬﺍ ﻣﻌﻨﺎﻩ ‪ý‬‬
‫ 1 + ‪2 ( x‬‬  ‫ )‬              ‫ 1 + ‪x + 1 2 2 ( x + 1) 2 ( x‬‬          ‫ )‬              ‫ 0 > 1 + ‪x‬‬ ‫ ‪þ‬‬
                                                                               ‫‪x‬‬       ‫ 1‬         ‫‪x‬‬      ‫ 1‬
                                                  ‫ .................... )1(  .‬      ‫ﻭﻣﻨﻪ ³‬                       ‫ﻥ‬
                                                                                                      ‫ ﺃﻱ ﺃ ّ  0 ³ -‬
                                                                              ‫ 2 1 + ‪x‬‬           ‫ 2 1 + ‪x‬‬
                 ‫ 1-‬              ‫ 1-‬                                     ‫‪x‬‬           ‫1 -  ‪x - x‬‬     ‫ 1-‬
 ‫........ ) 2 (‬       ‫ﻭﻣﻨﻪ  1 <‬        ‫  َ  0 > 1 + ‪ ٬  x‬ﺃﻱ ﺃﻥ  0 <‬ ‫ﻭ‬          ‫= 1 -‬             ‫=‬          ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ‬
                ‫ 1 + ‪x‬‬           ‫ 1 + ‪x‬‬                                 ‫1+ ‪x‬‬            ‫1+ ‪x‬‬        ‫ 1 + ‪x‬‬
                                                                            ‫ 1‬     ‫‪x‬‬
                                                                         ‫£  .‬                               ‫ ) ﻭ )‬
                                                                                        ‫ﻣﻦ  1( َ  2 (  ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ  1 £‬
                                                                                             ‫ﻥ‬
                                                                            ‫ 1 + ‪2 x‬‬
                                                                                                                      ‫ 2‬
                                                                                      ‫ (  ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ :‬
                                                                                                      ‫‪é x x  ù‬‬
                                                                                             ‫‪:  x lim  ê‬‬         ‫ ﺃ‬
                                                                                                              ‫ ( ‪ú‬‬
                                                                                                      ‫ ‪ë x + 1 û‬‬
                                                                                                   ‫¥+®‬


             ‫ ‪x x x‬‬                                                     ‫ 1‬   ‫‪x‬‬
               ‫£‬        ‫£  ٬ ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ  ‪  x‬ﻧﺠﺪ  ‪£ x‬‬        ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 £‬
             ‫2‬   ‫ 1 + ‪x‬‬                                                 ‫ 1 + ‪2 x‬‬
                                                                       ‫ 1‬
                   ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ¥+ = ‪ ٬  xlim é x ù = x lim  é x ù‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻓﺈﻥ‬
                                                       ‫‪®+¥ ë‬‬  ‫‪û ®+¥ ê 2  ú‬‬
                                                                     ‫‪ë‬‬     ‫ ‪û‬‬
                                                                                              ‫‪é x x  ù‬‬
                                                                                      ‫‪. x lim  ê‬‬      ‫¥+ = ‪ú‬‬
                                                                                              ‫ ‪ë x + 1 û‬‬
                                                                                           ‫¥+®‬




‫ 06‬
                                                                                               ‫ ‐‬
                                                                                      ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                       ‫ ‪x‬‬    ‫‪é‬‬  ‫‪ù‬‬
                                                                                    ‫‪:  x lim  ê‬‬ ‫ ﺏ( ‪ú‬‬
                                                                                              ‫ ‪) û‬‬
                                                                                  ‫‪ê x ( x + 1  ú‬‬
                                                                                  ‫‪ë‬‬
                                                                                          ‫¥+®‬


       ‫1‬       ‫ ‪x‬‬        ‫ 1‬                ‫ 1‬                                  ‫ 1‬   ‫‪x‬‬
          ‫£‬            ‫£‬    ‫ﻧﺠﺪ‬               ‫£  ٬ ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬      ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 £‬
      ‫‪2 x‬‬            ‫‪)  x‬‬
            ‫ 1 + ‪x ( x‬‬                     ‫ ‪x‬‬                                  ‫ 1 + ‪2 x‬‬
                                                                      ‫‪é 1 ù‬‬              ‫‪é 1  ù‬‬
                             ‫‪ ٬ xlim ê ú = x lim ê‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻓﺈﻥ‬     ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ‪ú‬‬
                                                            ‫¥+®‬
                                                                ‫ ‪ë x û ®+¥ ë 2  x û‬‬
                                                                                         ‫‪é‬‬    ‫ ‪x‬‬      ‫‪ù‬‬
                                                                                 ‫‪.  lim ê‬‬             ‫ 0 = ‪ú‬‬
                                                                                   ‫¥+® ‪x‬‬
                                                                                                    ‫ ‪) û‬‬
                                                                                         ‫‪ê x ( x + 1  ú‬‬
                                                                                         ‫‪ë‬‬

                                                                                         ‫ 5  ﺝ‬   ‫ 7‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  9 ﺹ  3  1 :‬
                                                             ‫ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻳﺘﻴﻦ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺣﺼﺮ ﺩﺍﻟﺘﻴﻦ :‬
                                                                                               ‫‪é 2 + 4 ( -1  x  ù‬‬
                                                                                                           ‫ )‬
                                                                                       ‫‪:  lim  ê‬‬                ‫§ ‪ú‬‬
                                                                                         ‫¥+® ‪x‬‬
                                                                                               ‫‪ê‬‬
                                                                                               ‫‪ë‬‬      ‫‪x‬‬         ‫‪ú‬‬
                                                                                                                ‫ ‪û‬‬
                ‫‪x‬‬                                                            ‫‪x‬‬                     ‫‪x‬‬
        ‫ )1- (  ٬ ﻭﺑﻀﺮﺏ  ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ  4 ﻧﺠﺪ  - ³  )1- ( 4‬
                    ‫ 4‬                                                           ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  1  =  )1- ( ٬ ﻭﻣﻨﻪ  - ³‬
                                                                                    ‫ 1‬
                    ‫ 1‬                                         ‫‪x‬‬
          ‫ﻧﺠﺪ‬          ‫ ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ 2 ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ  2 - ³  )1- ( 4 + 2  ٬ ﻭﺑﻀﺮﺑﻬﺎ ﻣﺮﺓ ﺃﺧﺮﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬
                    ‫ ‪x‬‬
                                                                                                        ‫ ‪x‬‬
                                                                                                        ‫ 2-  ³  )‬
                                                                                              ‫ 1- ( 4 + 2‬
                                                                                                   ‫‪x‬‬          ‫‪x‬‬
                                 ‫‪é 2 + 4 ( -1  x  ù‬‬
                                              ‫ )‬                                                   ‫‪é -2 ù‬‬
                         ‫‪.  lim ê‬‬                 ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ‪ ٬ lim ê ú‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻓﺈﻥ  0 = ‪ú‬‬
                          ‫¥+® ‪x‬‬
                                 ‫‪ê‬‬
                                 ‫‪ë‬‬      ‫‪x‬‬         ‫‪ú‬‬
                                                  ‫ ‪û‬‬
                                                                                            ‫¥+®  ‪x‬‬
                                                                                                   ‫ ‪ë x û‬‬
                                                                                                      ‫‪3x + cos x  ù‬‬
                                                                                         ‫‪:  lim  é‬‬                ‫ § ‪ú‬‬
                                                                                             ‫‪x  ®+¥ ê‬‬
                                                                                                    ‫ ‪ë x - 1  û‬‬
         ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ  1 £ ‪ ٬  -1 £ cos x‬ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ  ‪  3x‬ﺇﻟﻰ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ  3 + 1 £ ‪٬  3x - 1 £ 3x + cos x‬‬
                                            ‫‪x‬‬
                              ‫ 3 + 1 ‪3x - 1 3x + cos x‬‬        ‫ ‪x‬‬        ‫ 1‬
                                     ‫£‬                 ‫£‬         ‫ ﻧﺠﺪ‬        ‫ ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬
                               ‫1- ‪x‬‬         ‫1- ‪x‬‬          ‫ 1 - ‪x‬‬      ‫ - ‪x‬‬‫ 1‬
           ‫‪3x + cos x  ù‬‬                                                   ‫‪é 3x - 1 ù‬‬                  ‫ ‪x‬‬
                                                                                                ‫‪é1 + 3  ù‬‬
‫‪. x lim é‬‬              ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  3 = ‪ ٬  xlim ê x - 1 ú = x lim ê x - 1 ú‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻓﺈﻥ  3 = ‪ú‬‬
     ‫‪®+¥ ê‬‬
         ‫ ‪ë x - 1  û‬‬                                                   ‫¥+®‬
                                                                           ‫‪ë‬‬        ‫‪û‬‬    ‫¥+®‬
                                                                                                ‫‪ë‬‬         ‫ ‪û‬‬

                                                                                         ‫ 5  ﺝ‬   ‫ 8‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  9 ﺹ  3  1 :‬
                                                   ‫ ·  ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻦ  5 +  2 ‪  2x  َ   4x‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ 0 > ‪:  x‬‬
                                                                               ‫ﻭ‬
           ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ 0 > ‪ ٬  4x 2  + 5 - 2x > 0  ٬  x‬ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ  ‪  2x‬ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ‬
                                                ‫ 2 > ‪ ٬  4x 2  + 5 - 2x + 2x‬ﻭﻣﻨﻪ  2 > 5 +  2 ‪.  4x‬‬
                                                                ‫‪x‬‬                                     ‫‪x‬‬
                                                                 ‫ ﺇﺫﻥ :  5 +  2 ‪  4x‬ﺃﻛﺒﺮ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻣﻦ  ‪. 2x‬‬
                                                                             ‫ﻣ‬
                                                                     ‫ ·  ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:  x lim é 4 x 2  + 5 - x ù‬‬
                                                                           ‫¥+®‬       ‫‪ë‬‬                 ‫ ‪û‬‬
                     ‫ 2‬                                                                           ‫ 2‬
                ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 > 5 + ‪ ٬  4x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪  - x‬ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ ‪4x + 5 - x > x‬‬
                                                                                           ‫‪x‬‬
         ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  ¥+ = ] ‪ ٬  x lim [ x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ ¥+ = ‪. x lim é 4 x 2  + 5 - x ù‬‬
                                         ‫ﻥ‬
              ‫¥+®‬   ‫‪ë‬‬              ‫ ‪û‬‬                                           ‫¥+®‬




‫ 16‬
                                                                                             ‫ ‐‬
                                                                                    ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                     ‫ 5  ﺝ‬   ‫ 9‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  9 ﺹ  3  1 :‬
                                                   ‫ ·  ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻦ  1 -  2 ‪  2x  َ   2x‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ 1 > ‪:  x‬‬
                                                                              ‫ﻭ‬
                                                             ‫ 2‬
           ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ 1 > ‪ ٬  2x - 1 - 2x < 0  ٬  x‬ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ  ‪  2x‬ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ‬
                                                ‫‪ ٬  2x 2  - 1 - 2x + 2x < 2 x‬ﻭﻣﻨﻪ  2 < 1 -  2 ‪.  2x‬‬
                                                                 ‫‪x‬‬
                                                                ‫ ﺇﺫﻥ :  1 -  2 ‪  2x‬ﺃﺻﻐﺮ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻣﻦ  ‪. 2x‬‬
                                                                          ‫ﻣ‬

                                                                                    ‫ ·  ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:  lim é 2 x 2  - 1 - 3  ù‬‬
                                                                                                           ‫‪x‬‬
                                                                                      ‫¥+®  ‪x‬‬ ‫‪ë‬‬                        ‫ ‪û‬‬
             ‫ 2‬                                                                                                ‫ 2‬
             ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 < 1 - ‪ ٬  2 x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ  -  ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ  - <  3 - 1 - ‪2 x‬‬
                        ‫‪x‬‬      ‫‪x‬‬                        ‫‪3x‬‬                                   ‫‪x‬‬
      ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  ¥- = ] ‪ ٬  x lim [ -x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ ¥- = ‪.  x lim é 2 x 2  - 1 - 3  ù‬‬
            ‫‪®+¥ ë‬‬
                               ‫‪x‬‬        ‫ﻥ‬
                                 ‫ ‪û‬‬                                            ‫¥+®‬



                                                                                                ‫ 5  ﺝ‬           ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                             ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 001 ﺹ  3  1 :‬
                                           ‫ ·  ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻧﺔ ﺑﻴﻦ  1 + ‪  x  2  َ   2x 2  + x‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ 0 > ‪:  x‬‬
                                                                     ‫ﻭ‬
                                                     ‫ 2‬
 ‫ ﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ 0 > ‪ ٬  2x + x + 1 - x 2 > 0  ٬  x‬ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ 2  ‪  x‬ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ‬      ‫ ﻟ‬
                              ‫ 2 ‪ ٬  2x 2  + x + 1 - x 2 + x 2 > x‬ﻭﻣﻨﻪ 2 ‪.  2x 2  + x + 1 > x‬‬
                                                        ‫ ﺇﺫﻥ :  1 + ‪  2x 2  + x‬ﺃﻛﺒﺮ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻣﻦ 2  ‪. x‬‬
                                                                    ‫ﻣ‬

                                                                              ‫ ·  ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:  lim é 2 x 2  + x + 1 - x ù‬‬
                                                                                ‫¥+®  ‪x‬‬  ‫‪ë‬‬                             ‫ ‪û‬‬
                           ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 ‪ ٬  2x 2  + x + 1 > x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪  - x‬ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ‬
                                                                                        ‫‪2 x 2  + x + 1 - x > x 2 - x‬‬
                                               ‫‪é‬‬                     ‫‪ù‬‬        ‫2‪é x‬‬    ‫ 2‬
                                                                                         ‫‪ù‬‬
                    ‫‪lim ë‬‬‫‪é x 2 - x ù = lim ê x 2 - x  ´ x 2 + x ú = lim  ê 2  - x  ú‬‬         ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                   ‫¥+® ‪x‬‬             ‫¥+® ‪û x‬‬                ‫‪x 2 + x û x ®+¥ ë x 2 + x û‬‬
                                               ‫‪ë‬‬
                                                                   ‫‪é x x  ù‬‬
                                               ‫‪é x 2  ù‬‬                 ‫¥+ = ‪( ) ú = lim  é x  ù‬‬
                                       ‫‪= lim ê‬‬            ‫‪ú = xlim ê‬‬                  ‫‪ê‬‬    ‫‪ú‬‬
                                         ‫¥+® ‪x‬‬
                                                                   ‫‪ë‬‬            ‫(‬
                                               ‫ 1 + 2 ‪ë x 2 + x  û ®+¥ ê x 2 + 1  ú x  ®+¥ ë‬‬
                                                                               ‫ ‪û‬‬
                                                                                           ‫‪û‬‬ ‫ )‬
                             ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ ¥+ = ‪.  x lim é 2 x 2  + x + 1 - x ù‬‬
                                                                   ‫ﻥ‬
                                   ‫‪®+¥ ë‬‬                   ‫ ‪û‬‬

                                                                                                ‫ 5  ﺝ‬           ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                             ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ 101 ﺹ  3  1 :‬
                                                                             ‫ ) ‪x (1 + sin x‬‬
                                                              ‫= ) ‪:  f ( x‬‬                         ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬
                                                                             ‫ 1 +  2 ‪x - x‬‬

                                                         ‫ 1‬
                                               ‫ :‬                                                               ‫ 1‬
                                                                    ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪< -2  :  x‬‬
                                                                        ‫ ‪x‬‬
                                                    ‫ 1 +  2 ‪x - x‬‬
 ‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  0 ¹ 1 +  2 ‪ ٬  x - x‬ﻭﻣﻨﻪ ¡ =  ‪  D f‬ﻷﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ 0 < 1+  2 ‪x - x‬‬

                      ‫ 1‬
                               ‫= ‪+ 2x‬‬
                                                     ‫+ ‪(x‬‬     ‫1+ 2 ‪x‬‬   ‫)‬         ‫= ‪+ 2x‬‬
                                                                                        ‫+ ‪(x‬‬            ‫ 1 +  2 ‪x‬‬   ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  ‪) + 2 x‬‬
                  ‫ 1 +  2 ‪x - x‬‬        ‫(‬                  ‫()‬
                                      ‫ 1 +  2 ‪x - x 2 + 1 x + x‬‬            ‫)‬                        ‫2‬     ‫ 2‬
                                                                                                  ‫ 1 -  ‪x - x‬‬

                                           ‫(‬
                                     ‫2‪=- x + x‬‬           ‫- ‪+ 1 ) + 2 x = 2 x - x‬‬            ‫ 1 +  2 ‪x 2 + 1 = x - x‬‬



‫ 26‬
                                                                                                      ‫ ‐‬
                                                                                             ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                           ‫ 1‬
                             ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪ ٬  x - x 2  + 1 < 0  ٬  x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 <  ‪+ 2 x‬‬
                                ‫ 2‬
                   ‫ 1 + ‪x - x‬‬
                                                                               ‫ 1‬
                                                                       ‫ .‬                   ‫ﻥ  ‪x‬‬
                                                                                        ‫ ﺃﻱ ﺃ ّ  2- <‬
                                                                          ‫ 1 +  2 ‪x - x‬‬
                                                    ‫ ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃ ّ  2 ‪  f ( x ) £ -  x‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  0 > ‪:  x‬‬
                                                                                      ‫ﻥ  4‬              ‫ 2‬
                                                                                             ‫ﻥ‬
      ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃ ّ  1 £ ‪ ٬  -1 £ sin x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ 1 ﺇﻟﻰ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ  2 £ ‪  0 £ 1 + sin x‬ﻭﺑﻀﺮﺏ  ‪x‬‬
                                       ‫ﻓﻲ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ  2 £ ) ‪  0 £ x (1 + sin x‬ﺣﻴﺚ 0 > ‪.  x‬‬
                                                                           ‫‪x‬‬
      ‫ ) ‪x (1 + sin x‬‬                                                                          ‫ 1‬
                        ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺘﻴﻦ ﻃﺮﻑ ﻓﻲ ﻃﺮﻑ ﻧﺠﺪ  2  4- £‬
                            ‫ ‪x‬‬                                                                        ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  2- <‬
                                                                                                          ‫ ‪x‬‬
       ‫ 1 +  2 ‪x - x‬‬                                                                    ‫ 1 +  2 ‪x - x‬‬
                                                                                            ‫ ﺇﺫﻥ :  2  4- £ ) ‪f ( x‬‬
                                                                                                          ‫‪x‬‬
                            ‫ ·  ﻟﺪﻳﻨﺎ ¥- = ‪ x lim é -4 x 2 ù‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﺤﺼﺮ ﻓﺈﻥ  ¥- = ) ‪.  x lim  f ( x‬‬
                                  ‫¥+®‬                                            ‫‪®+¥ ë‬‬       ‫ ‪û‬‬

‫ .‬                                                                                                         ‫ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﺘﻌﻤﻖ :‬

                                                                                                                       ‫ 5‬
                                                                                                        ‫ ­  ﺍﻻﺳﺘﻤﺮﺍﺭﻳﺔ :‬
                                                                                           ‫ 2  ﺹ  ﺝ‬       ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                        ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  01  53  1 :‬
                                                     ‫ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺍﺳﺘﻤﺮﺍﺭﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪ  0 ‪  x‬ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ :‬

                                                                                      ‫‪ì‬‬             ‫ 1 - 1 +  2 ‪x‬‬
                                                                                      ‫‪ï‬‬ ‫= ) ‪f (x‬‬                ‫ 0 ¹  ‪; x‬‬
                                                                    ‫‪  í‬ﻋﻨﺪ  0 =  0 ‪:  x‬‬                 ‫ ‪x‬‬                ‫ 1(‬
                                                                                      ‫ 0 = ) 0 ( ‪ïf‬‬
                                                                                      ‫ ‪î‬‬
                         ‫‪é x 2 + 1 -1ù‬‬       ‫1- 1 + 2 ‪é x‬‬                             ‫‪é‬‬                 ‫‪ù‬‬
                                                                 ‫‪x 2 + 1 + 1ù‬‬              ‫ 2‬
                                                                                      ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ê x  + 1 - 1  ú‬‬
      ‫‪lim f ( x ) = lim ê‬‬            ‫‪ú = lim ê‬‬               ‫´‬                ‫ ‪ú = lim‬‬
      ‫0® ‪x‬‬          ‫0® ‪x‬‬
                         ‫‪ê‬‬
                         ‫‪ë‬‬    ‫‪x‬‬      ‫‪ú x ®0 ê‬‬
                                     ‫‪û‬‬       ‫‪ë‬‬       ‫ ‪x‬‬          ‫‪x 2  + 1 + 1  x  ®0  ê x x 2  + 1 + 1  ú‬‬
                                                                              ‫‪ú‬‬
                                                                              ‫‪û‬‬       ‫‪ê‬‬         ‫(‬       ‫‪ú‬‬     ‫ )‬
                                                                                      ‫‪ë‬‬                 ‫‪û‬‬
                         ‫‪é‬‬     ‫ 2‬
                                          ‫‪ù‬‬
                  ‫‪= lim‬‬  ‫‪ê x + 1 - 1 ú = lim é‬‬           ‫ ‪x‬‬      ‫‪ù‬‬          ‫0‬        ‫ 0‬
                         ‫‪ê‬‬                                       ‫=‪ú‬‬
                                          ‫ 1 + 1 +  2 ‪ú x ® 0  ê x‬‬
                                                                                    ‫ 0 = =‬
                    ‫0® ‪x‬‬
                             ‫(‬    ‫ 2‬
                         ‫‪ê x x + 1 + 1  ú‬‬
                         ‫‪ë‬‬                ‫ ‪û‬‬    ‫ )‬ ‫‪ë‬‬             ‫‪û‬‬       ‫ 2  1 + 1 + 0‬

                                     ‫ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃ ّ  0 = ) ‪ ٬ lim f ( x‬ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = )0 ( ‪ ٬ f‬ﻭﻣﻨﻪ  0 ( ‪.  lim f ( x ) = f‬‬
                                                           ‫ )‬                                              ‫ﻥ‬
                                        ‫ 0®  ‪x‬‬                                            ‫ 0®  ‪x‬‬

                                                                                                                  ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                     ‫ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  0  .‬
                                                                                        ‫‪ì‬‬           ‫ ‪x‬‬
                                                                                        ‫ 0 ¹  ‪ïf ( x ) = ´ x ; x‬‬
                                                                      ‫‪  í‬ﻋﻨﺪ  0 =  0 ‪:  x‬‬           ‫ ‪x‬‬           ‫ 2(‬
                                                                                        ‫ 2 = ) 0 ( ‪ïf‬‬
                                                                                        ‫ ‪î‬‬
                                                                                        ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺎﻟﺘﻴﻦ ﻟﻨﻬﺎﻳﺔ  ) ‪: f ( x‬‬
                                                   ‫‪ì‬‬                          ‫ ‪é - x‬‬   ‫‪ù‬‬
                                                   ‫ 0 = ‪ïx lim 0 f ( x ) = x lim 0 ê x  - x ú = x  lim 0 é - - x  ù‬‬
                                                          ‫<‬               ‫<‬
                                                                                              ‫‪¾¾ ë‬‬  ‫<‬        ‫‪û‬‬
                                                   ‫‪ï‬‬  ‫¾¾‬ ‫®‬              ‫‪¾¾ ë‬‬
                                                                          ‫®‬            ‫‪û‬‬        ‫®‬
                        ‫‪ ٬ í‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = ) ‪lim f ( x‬‬
                                                   ‫ 0 = ‪ï lim f ( x ) = lim é x  x ù = lim é x  ù‬‬
                        ‫ 0®  ‪x‬‬

                                                   ‫0 ¾¾ ‪ïx‬‬            ‫‪x ¾¾ 0 ê x‬‬     ‫‪ú x  ¾¾ 0 ë‬‬       ‫‪û‬‬
                                                          ‫>‬               ‫>‬                     ‫>‬
                                                                          ‫‪® ë‬‬        ‫‪û‬‬
                                                   ‫®  ‪î‬‬                                     ‫®‬


                                 ‫ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃ ّ  0 = ) ‪ ٬ lim f ( x‬ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ  2 = )0 ( ‪ ٬ f‬ﻭﻣﻨﻪ  0 ( ‪.  lim f ( x ) ¹ f‬‬
                                                        ‫ )‬                                               ‫ﻥ‬
                                       ‫ 0®  ‪x‬‬                                              ‫ 0®  ‪x‬‬

                                                                                                               ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                               ‫ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  0 .‬


‫ 36‬
                                                                                                  ‫ ‐‬
                                                                                         ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                  ‫ 3  ﺹ  ﺝ‬       ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                               ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  01  53  1 :‬
                        ‫‪ì‬‬          ‫ 1 +  ‪1 - x‬‬
                        ‫= ) ‪ïf ( x‬‬
                        ‫‪ï‬‬
                                              ‫ 0 >  ‪- -; x‬‬
                   ‫ :‬                   ‫ ‪x‬‬                      ‫ ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡  ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡ :‬
                                                                                                                   ‫ﻥ‬
                        ‫‪í‬‬                ‫ 2‬
                        ‫ 0 £  ‪ïf ( x ) = 1 - x  - -; x‬‬
                        ‫‪ï‬‬
                        ‫ ‪î‬‬         ‫ 2 - ‪x‬‬

                                                           ‫ 1 +  ‪1 - x‬‬
                                    ‫ = )  ‪ ٬ f ( x‬ﻟﻨﺤﺴﺐ  ) ‪:  lim f ( x‬‬              ‫ [‬
                                                                         ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  ¥+ ;0] ‪٬ x Î‬‬
                                       ‫ ®  ‪x‬‬
                                           ‫ 0‬                   ‫‪x‬‬
               ‫ ﻧﻀﻊ 1 + ‪  g : x a  - x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  g‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺪ 0 ﻭﻋﺪﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻖ ﻫﻮ :‬
                            ‫‪é g ( x ) - g ( 0 ) ù‬‬       ‫‪é - x +1 + 1 ù‬‬            ‫‪é - x + 1 + 1ù‬‬                  ‫‪é1 - x  + 1 ù‬‬
          ‫‪g  ' ( 0 ) = lim ê‬‬                    ‫‪ú = lim ê‬‬              ‫‪ú = lim ê‬‬                     ‫‪ú = lim ê‬‬                 ‫‪ú‬‬
                       ‫0® ‪x‬‬
                            ‫‪ë‬‬       ‫‪x - 0  û x ®0 ë‬‬           ‫‪x‬‬        ‫‪û‬‬
                                                                             ‫0® ‪x‬‬
                                                                                  ‫‪ë‬‬       ‫‪x‬‬          ‫‪û‬‬
                                                                                                          ‫ 0 ®  ‪x‬‬
                                                                                                                  ‫‪ë‬‬    ‫‪x‬‬       ‫ ‪û‬‬
        ‫‪é x  + 1 - 1 ù‬‬                   ‫ 1‬                        ‫1‬          ‫ 1‬                                    ‫ 1‬
‫‪lim ê‬‬                  ‫- = ) 0 ( ' ‪ ٬ g‬ﺃﻱ ﺃﻥ - = ) 0 ( '  ‪ú = g‬‬         ‫- = )  ‪ ٬ g ' ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  - =‬                        ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
‫ 0 ®  ‪x‬‬
        ‫‪ë‬‬      ‫‪x‬‬       ‫ ‪û‬‬                ‫ 2‬                       ‫ 1 2‬        ‫ 2‬                              ‫ 1 + ‪2 x‬‬
                                                                                                                       ‫ 1‬
                                                                                                  ‫ ﺇﺫﻥ:  - = ) ‪lim f ( x‬‬
                                                                                                  ‫ 0 ®  ‪x‬‬              ‫ 2‬
                                                                                     ‫ 2‬
                                                                              ‫ ‪1 - x‬‬
                                                                ‫= )  ‪: f ( x‬‬            ‫ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ  ]  ¥-] ‪٬ x Î‬‬
                                                                                                        ‫ 0;‬
                                                                               ‫ 2 - ‪x‬‬
                                                                                                ‫0 - 1 ‪é1 - x 2  ù‬‬             ‫ 1‬
                                                                          ‫‪lim f ( x  ) = lim ê‬‬              ‫ 2 - = 2 - 0 = ‪ú‬‬
                                                                          ‫0® ‪x‬‬            ‫2 - ‪x  ®0  x‬‬
                                                                                                ‫‪ë‬‬           ‫ ‪û‬‬
                                                            ‫ 1‬                                          ‫ 1‬
                                                ‫ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃ ّ  - = ) ‪ lim f ( x‬ﻓﻲ ﻛﻠﺘﺎ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ٬ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ  - = ) 0 ( ‪f‬‬
                                                                                                           ‫ﻥ‬
                                                            ‫ 2‬                          ‫ 0 ®  ‪x‬‬         ‫ 2‬
                                                          ‫ : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  0  ٬ ﺃﻱ ﺃﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  .‬
                                                                                                                ‫ ﺇﺫﻥ‬

                                                                                                  ‫ 4  ﺹ  ﺝ‬       ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                               ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  01  53  1 :‬
                                               ‫‪ì‬‬           ‫ 2 ‪x + 2 - 4 + x‬‬
                                               ‫= ) ‪ïf ( x‬‬                   ‫ 0 ¹  ‪-; x‬‬
                                            ‫‪:  í‬‬                  ‫ ‪x‬‬                   ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡  ﺑـ :‬
                                               ‫‪ïf ( 0 ) = a‬‬
                                               ‫ ‪î‬‬

                                                                 ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ  ‪  a‬ﺣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡  :‬
                                                                                             ‫‪é‬‬         ‫ 2‬           ‫‪2  ù‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim ê‬‬
                   ‫‪éx + 2- 4+ x 2 ù‬‬          ‫‪é x + 2 - 4 + x 2 x + 2 + 4 + x 2  ù‬‬            ‫‪ê ( x + 2) - ( 4 + x  ) ú‬‬
                                   ‫‪ú = lim ê‬‬                  ‫´‬                  ‫ ‪ú = lim‬‬                                ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
‫0® ‪x‬‬          ‫0® ‪x‬‬
                   ‫‪ê‬‬
                   ‫‪ë‬‬      ‫‪x‬‬        ‫‪ú‬‬
                                   ‫‪û‬‬
                                        ‫0® ‪x‬‬
                                             ‫‪ê‬‬
                                             ‫‪ë‬‬        ‫ ‪x‬‬        ‫‪x + 2 + 4 + x 2  ú x ®0 ê x x + 2 + 4 + x 2  ú‬‬
                                                                                 ‫‪û‬‬           ‫‪ê‬‬             ‫(‬           ‫‪ú‬‬            ‫ )‬
                                                                                             ‫‪ë‬‬                         ‫‪û‬‬
                    ‫2 ‪é‬‬                     ‫‪2  ù‬‬        ‫‪é‬‬                    ‫‪ù‬‬
            ‫‪= lim‬‬   ‫‪ê x + 4x + 4 - ( 4 + x  ) ú = lim ê‬‬          ‫ ‪4x‬‬         ‫‪ú = lim é‬‬                ‫ 4‬          ‫‪ù‬‬
               ‫‪x ®0 ê‬‬                           ‫‪ú x ®0 ê‬‬                  ‫‪2  ú‬‬
                                                                                           ‫‪ê‬‬                      ‫‪ú‬‬
                    ‫‪ë‬‬      ‫(‬
                    ‫‪ê x x +2+ 4+ x‬‬
                                          ‫2‬
                                                ‫‪ú‬‬
                                                ‫‪û‬‬  ‫)‬    ‫‪ë‬‬          ‫(‬
                                                        ‫‪ê x x + 2 + 4 + x ú‬‬  ‫ ‪û‬‬
                                                                                   ‫ 0 ®  ‪x‬‬
                                                                                          ‫ )‬
                                                                                           ‫‪ë x + 2 + 4 + x  û‬‬
                                                                                                               ‫ 2‬



                       ‫4‬        ‫ 4‬
            ‫=‬                 ‫ 1 = =‬
              ‫ 4 0 + 4 + 2 + 0‬
                                 ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻧﻪ ﺣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ¡ ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ  0 ( ‪lim f ( x ) = f‬‬
                                                       ‫ )‬
                                       ‫ 0®  ‪x‬‬

                                                                   ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  1 = ) ‪ ٬ lim f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  1 = ) 0 ( ‪ ٬  f‬ﺃﻱ ﺃ ّ 1 = ‪. a‬‬
                                                                           ‫ﻥ‬
                                                                                                         ‫ 0®  ‪x‬‬




‫ 46‬
                                                                                                        ‫ ‐‬
                                                                                               ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                         ‫ 5  ﺹ  ﺝ‬       ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  01  53  1 :‬
                                                 ‫ 2 >  ‪ìf ( x ) = x 2  + 2x - a - -; x‬‬
      ‫ ٬ ﺣﻴﺚ  ‪  b  َ   a‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺛﺎﺑﺘﺎﻥ :‬
                                 ‫ﻭ‬               ‫‪ï‬‬                                      ‫:‬   ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡  ﺑـ‬
                                                 ‫‪í‬‬          ‫ ‪2  2  - a + b‬‬
                                                              ‫‪x‬‬
                                                 ‫= ) ‪ïf ( x‬‬                ‫ 2 £  ‪- -; x‬‬
                                                 ‫ ‪î‬‬                ‫‪x‬‬

                                                    ‫ ·  ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ‪  b  َ   a‬ﺣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  2  :‬
                                                                                      ‫ﻭ‬
                                                                                      ‫ 2‬
                                                                                ‫ ‪2 ( 2 )  - a + b  8 - a + b‬‬
                                                                      ‫= ) 2 ( ‪f‬‬                  ‫ =‬          ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                                                         ‫2‬            ‫ 2‬
                                                                               ‫ 2‬
                              ‫‪ì‬‬                                              ‫)‬
                                                      ‫ ‪é 2x 2  - a + b ù 2 ( 2  - a + b  8 - a + b‬‬
                              ‫‪ï lim f ( x ) = lim  ê‬‬
                              ‫2 ¾¾ ‪ïx‬‬                                 ‫=‪ú‬‬               ‫=‬
                              ‫‪í‬‬
                                  ‫<‬
                                    ‫®‬
                                                 ‫<‬
                                             ‫ 2 ¾¾  ‪x‬‬
                                                   ‫®‬
                                                      ‫‪ë‬‬       ‫ ‪x‬‬      ‫‪û‬‬          ‫2‬          ‫ 2‬     ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                              ‫‪ï lim f x = lim é x 2  - 2x - a ù = 2 2 2  + 2 2 - a = 8 - a‬‬
                              ‫‪ïx ¾¾ 2 ( ) x  ¾¾ 2 ë‬‬
                              ‫®>  ‪î‬‬              ‫>‬
                                                   ‫®‬                  ‫‪û‬‬  ‫ ) ( ) (‬
                  ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻧﻪ ﺣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  2 ﻳﺠﺐ ﺃﻥ ﺗﻜﻮﻥ  ) 2 ( ‪lim f ( x ) = lim f ( x ) = f‬‬
                    ‫<‬               ‫>‬
                 ‫2 ¾¾ ‪x‬‬
                    ‫®‬            ‫ 2 ¾¾  ‪x‬‬
                                     ‫®‬

                                                                                        ‫ ‪8 - a + b‬‬
                              ‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ  2 - 61 = ‪ ٬  8 - a + b‬ﻳﻜﺎﻓﺊ  8 - 61 = ‪2a - a + b‬‬
                                                                              ‫‪a‬‬                              ‫ﻥ‬
                                                                                                   ‫ ﺃﻱ ﺃ ّ : ‪= 8 - a‬‬
                                                                                            ‫ 2‬
                                 ‫ ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻮﺑﺔ ﺑﻴﻦ ‪  b  َ   a‬ﺣﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻨﺪ  2  ﻫﻲ :  8 = ‪.  a + b‬‬
                                                                                    ‫ﻭ‬
‫ .‬                                                                                                        ‫ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﺘﻌﻤﻖ :‬

                                       ‫ﻣ‬                                                         ‫ 6‬
                                    ‫ ­  ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ – ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﺍﻟﺮﺗﻴﺒﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ :‬
                                                                                         ‫ 6  ﺹ  ﺝ‬       ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                      ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  01  53  1 :‬
                                            ‫ ‪  f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] ‪ [a; b‬ﺑﺤﻴﺚ ‪:  f (b ) > b 2  َ  ٬ f (a ) < ab‬‬
                                                             ‫ﻭ‬

                                                  ‫ ‪  v‬ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ c‬ﻣﻦ  ] ‪ [a; b‬ﺑﺤﻴﺚ ‪:  f (c ) = bc‬‬
       ‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪ k‬ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ ) ‪  f (b )  َ f (a‬ﻓﺈﻧﻪ‬
                     ‫ﻭ‬
         ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  c‬ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ  ‪ b  َ   a‬ﺣﻴﺚ ‪ ٬ f (c ) = k‬ﺃﻱ ﺃ ّ ‪ ٬  a < c < b‬ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ‬
                                            ‫ﻥ‬                            ‫ﻭ‬
                         ‫ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﺟﺤﺔ ﻓﻲ  ‪  b‬ﻧﺠﺪ  2 ‪ ٬ ab < bc < b‬ﻭﻣﻨﻪ  ) ‪ ٬  f (b ) < bc < f ( a‬ﺃﻱ ﺃ ّ ‪bc = k‬‬
                                   ‫ﻥ‬
                                                                                            ‫ ﺇﺫﻥ: ‪.  f (c ) = bc‬‬
         ‫ ﻫﻨﺪﺳ ًﺎ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﻤﺜﻠﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = bx‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻭ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ  ٬ ﺣﻴﺚ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬   ‫ﻴ‬
      ‫‪ f (c ) = bc َ  ٬ f (b ) = b 2  َ f ( a ) = ab‬ﺣﻴﺚ  ]  ;‪ ٬  c Π[a‬ﻫﺬﺍ ﻣﻌﻨﺎﻩ ﺃ ّ  ) ‪f (b ) < f (c ) < f ( a‬‬
                                  ‫ﻥ‬                      ‫‪b‬‬                     ‫ﻭ‬                 ‫ﻭ‬
                      ‫ ﻭﻣﻨﻪ  2 ‪ ٬  ab < bc < b‬ﻭ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ  ‪  b‬ﻧﺠﺪ ‪ ٬  a < c < b‬ﺃﻱ ﺃ ّ  ‪ c‬ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ  ] ‪.  [a; b‬‬
                                               ‫ﻥ‬

                                                                               ‫ﻭ 6  ﺝ‬         ‫ 7‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                            ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  01 ﺹ 53  َ  3  1 :‬
                                                                                          ‫ ]‬
                                                ‫ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0 [ ﺑﺤﻴﺚ  0 = ) 0 ( ‪:  f (1) = 1  َ  ٬ f‬‬
                                                              ‫ﻭ‬

                                                           ‫ ‪1 - c‬‬
                                             ‫= ) ‪:  f (c‬‬          ‫ ‪  v‬ﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ c‬ﻣﻦ  1;0] ﺑﺤﻴﺚ‬
                                                                           ‫ [‬                          ‫ ﺇﺛﺒ‬
                                                           ‫‪1 + c‬‬
‫ ﻧﻌﻠﻢ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﺃﻧﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪ k‬ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ ) 0 (  ‪  f  (1  َ f‬ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ‬
                ‫ﻭ  )‬
                                             ‫ﻥ‬                          ‫ﻭ‬
 ‫ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  c‬ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ  0   َ  1 ﺣﻴﺚ ‪ ٬ f (c ) = k‬ﺃﻱ ﺃ ّ  1 < ‪ ٬  0 < c‬ﻭﺑﻀﺮﺏ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﺟﺤﺔ‬
                 ‫ ﻓﻲ  -  ﻧﺠﺪ  - > ‪ ٬  0 > -c‬ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ 1  ﺇﻟﻰ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺠﺪ 0 > ‪1 > 1 - c‬‬
                                                                                          ‫ 1‬      ‫1‬


‫ 56‬
                                                                                                ‫ ‐‬
                                                                                       ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                     ‫1‬    ‫ ‪1 - c‬‬             ‫ 1‬
                        ‫ﻥ‬
                        ‫٬ ﺃﻱ ﺃ ّ‬        ‫>‬        ‫ ﻧﺠﺪ  0 >‬                                    ‫ ﻭ ﺑﻀﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺒ‬
                                                                 ‫ ﺎﻳﻨﺔ ﻣﺮﺓ ﺃﺧﺮﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ‬
                                   ‫‪1 + c 1 + c‬‬             ‫‪1 + c‬‬
      ‫ ‪1 - c‬‬        ‫‪ ٬ f (1 ) > f  æ‬ﻭﻣﻨﻪ  ) 0 (  ‪ ٬  f (1) > 1 - c  > f‬ﺃﻱ ﺃ ّ‬
                    ‫ﻥ‬                                                          ‫‪1  ö‬‬             ‫1 ‪æ‬‬           ‫ ‪ö 1 - c‬‬
             ‫ ‪= k‬‬                                                           ‫‪ç‬‬      ‫‪ ٬ f ç 1 + c‬ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ÷‬       ‫>÷‬               ‫ )‬
                                                                                                                       ‫ 0 (  ‪> f‬‬
      ‫‪1 + c‬‬                            ‫‪1 + c‬‬                               ‫ ‪è 1 + c ø‬‬           ‫‪è‬‬             ‫‪ø  1 + c‬‬
                                                                                                           ‫ ﺇﺫﻥ:  ‪.  f (c ) = 1 - c‬‬
                                                                                                                        ‫‪1 + c‬‬

                                                                                                     ‫ 6  ﺝ‬    ‫ 8‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  01 ﺹ  3  1 :‬
                                                                                        ‫ ]‬
                          ‫ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0 [ = ‪  I‬ﺑﺤﻴﺚ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪  x‬ﻣﻦ  ‪:  f ( x ) Î I ٬ I‬‬

                                       ‫ ‪ v‬ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪  a‬ﻣﻦ  ‪ I‬ﺑﺤﻴﺚ ‪:  f (a ) = a‬‬
                       ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ  ‪  g‬ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﻭ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ  ‪ ٬ I‬ﺣﻴﺚ ‪ ٬ g ( x ) = f ( x ) - x‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                                                                                        ‫ )‬
                          ‫ 1( ............... ) 0 ( ‪g (1) = f (1) - 1................ ( 2  َ  ٬ g ( 0 ) = f ( 0 ) - 0 = f‬‬
                                                               ‫ﻭ  )‬
                       ‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃ ّ ‪ ٬ f ( x ) Î I‬ﻭﻣﻨﻪ  1 £ ) ‪ 0 £ f ( x‬ﺃﻱ ﺃ ّ  1 £ ) 0 ( ‪0 £ f (1) £ 1  َ 0 £ f‬‬
                                       ‫ﻭ‬                      ‫ﻥ‬                                                 ‫ﻥ‬
                                                                                ‫ )‬
             ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﻤﺎ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1( ﻧﺠﺪ  0 ( ‪ ٬ 0 £ f‬ﻭﻣﻨﻪ  0 ³ ) 0 ( ‪ ٬ f‬ﺃﻱ ﺃﻥ  0 ³ ) 0 ( ‪g‬‬
                                                                     ‫ )‬
                                                                              ‫ )‬
                                ‫ﻭ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﻤﺎ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  2 ( ﻧﺠﺪ 0 £ 1 - )1( ‪ ٬ f‬ﻭﻣﻨﻪ  0 £ )1( ‪g‬‬
                                                                          ‫ ]‬
  ‫ ﺑﻤﺎ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0 [ ٬  َ  0 £ )1( ‪  g ( 0 ) ´ g‬ﻓﺈﻧﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ٬‬
                                                                  ‫ﻭ‬                                               ‫ﻥ‬
                                                                          ‫ ]‬
                  ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ  ‪ a‬ﻣﻦ  1;0 [ ٬ ﺣﻴﺚ  0 = ) ‪ ٬ f (a‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = ‪f (a ) - a‬‬
                                                                                               ‫ ﺇﺫﻥ : ‪.  f (a ) = a‬‬

                                                                                                     ‫ 6  ﺝ‬    ‫ 9‬     ‫ ﺣﻞ ﺍﻟ‬
                                                                                                  ‫ ﺘﻤﺮﻳﻦ  01 ﺹ  3  1 :‬
                                ‫ 3‬
                ‫ - = ‪٬  cos x‬‬      ‫ (  ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻦ : ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﻌﻄﻰ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻦ ﺑﺄﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻭﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x‬‬‫ 1‬
                               ‫ 2‬
       ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬                                                                    ‫ ] ‪p‬‬
                      ‫ﻷﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  0 ;  - [ = ‪ I‬ﻳﻮﺟﺪ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻭﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪  (C‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ  ‪x a  cos x‬‬

                                                                                       ‫ ) ‪  ( D‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ‪.  x a  - 3  x‬‬
                                                                                                     ‫ 2‬

                                   ‫ (  ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ] 0 ;  - [ = ‪  I‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ: ‪:  f ( x ) = cos x +  3 x‬‬
                                                                              ‫‪p‬‬                                  ‫ 2‬
                                                           ‫ 2‬
                                                                                                 ‫ﻥ‬               ‫ ﺃ‬
                                                               ‫ (  ﺍﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻻﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ  ‪:  I‬‬
             ‫ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻣﻦ ﺩﺍﻟﺘﻴﻦ ﻗﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ  ] 0 ;  - [ = ‪ ٬  I‬ﻭﻫﻤﺎ  ‪َ  ٬  x a  cos x‬‬
             ‫ﻭ‬                                ‫‪p‬‬

        ‫ ‪ ٬  x a  3 x‬ﺃﻱ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻘﺒﻞ ﺍﻻﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ  ‪ I‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻫﻲ  3  + ‪.  f ' ( x ) = - sin x‬‬
                                                                                       ‫ﻥ‬
                                     ‫ 2‬                                                                                         ‫ 2‬
                                                                                                              ‫ ﺏ‬
                                                                                    ‫ ( ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪:  f‬‬
      ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]0 ;  - [ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ  0 ³ ) ‪ ٬  f ' ( x‬ﻷﻥ 0 £ ‪  sin x‬ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬
                                                                       ‫‪p‬‬
                                                                                      ‫ 3‬
          ‫‪ ٬  sin x‬ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]0 ;  - [‬
             ‫‪p‬‬                                                                  ‫ £‬         ‫ ﻭﻣﻨﻪ  0 ³  3 + ‪ ٬  - sin x‬ﺃﻱ ﺃ ّ‬
                                                                                           ‫ﻥ‬
                                                                                     ‫ 2‬                            ‫ 2‬
                                     ‫ ﺃﻱ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]0 ;  - [  ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ :‬
                                                                ‫‪p‬‬                  ‫ﻣ‬                      ‫ﻥ‬
                                                                                ‫‪x‬‬             ‫‪p‬‬
                                                                                             ‫ -‬                                      ‫0‬
                                                                          ‫ ) ‪f ' ( x‬‬                           ‫+‬
                                                                                                                                     ‫ 1‬
                                                                           ‫ ) ‪f ( x‬‬                   ‫ 3‬
                                                                                             ‫‪- 1 - p‬‬
                                                                                                     ‫2‬

‫ 66‬
                                                                                                           ‫ ‐‬
                                                                                                  ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                                  ‫ 3‬
                                                                                                     ‫ (  ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ :‬
                                 ‫ ﻣﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ] 0 ;  - [ ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 < ) 0 ( ‪f ( -p ) ´ f‬‬
                                                                  ‫‪p‬‬
                                      ‫ ﻭﻧﻌﻠﻢ ﻛﺬﻟﻚ ﺃﻥّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎﻣًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ]0 ;  - [‬
                                         ‫‪p‬‬
         ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ٬ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ ‪ a‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ]0 ;  - [ .‬
              ‫‪p‬‬                   ‫ﻼ ﺪ‬
                                                                   ‫ 3‬                      ‫ 3‬
                                                    ‫ - = ‪cos x‬‬        ‫‪x‬‬   ‫+ ‪ ٬  cos x‬ﻭﻣﻨﻪ‬    ‫ 0 = ) ‪  f ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  0 = ‪x‬‬
                                                                  ‫ 2‬                      ‫ 2‬
                                                                                         ‫ 3‬
                      ‫ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ  ‪ a‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ] 0 ;  - [ = ‪.  I‬‬
                                ‫‪p‬‬                      ‫ﻼ ﺪ‬                                             ‫ﻥ‬
                                                                              ‫ : ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪cos x = -  x‬‬  ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                                        ‫ 2‬

                                                                                                ‫ 6  ﺝ‬   ‫ 01‬    ‫ ﺍﻟ‬
                                                                                             ‫ ﺣﻞ  ﺘﻤﺮﻳﻦ  1 ﺹ  3  1 :‬
                                                                                                        ‫ ‪  n‬ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺪﻭﻡ :‬

                                    ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 1 +  ‪  x n +1  - 2 x n‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ُ ﻣﺤﺼﻮ ًﺍ ﺑﻴﻦ  ‪:  2  َ   2 n‬‬
                                          ‫ﻭ‬             ‫ﺭ‬      ‫ﻼ‬                                            ‫ﻥ‬           ‫ 1‬
                                            ‫ 1 + ‪n‬‬
                                                             ‫ ﻧﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺣﻴﺚ  1 +  ‪D f  = ¡  َ   f ( x ) = x n +1  - 2 x n‬‬
                                                                       ‫ﻭ‬
      ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻫﻲ :  1- ‪ ٬ f ' ( x ) = ( n + 1) x n - 2  n‬ﺃﻱ ‪f ' ( x ) = x n -1  é( n + 1) x - 2  ù‬‬
                          ‫‪ë‬‬              ‫ ‪n û‬‬                                 ‫‪nx‬‬
                          ‫ﺇﺫﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ  ) ‪ f ' ( x‬ﻫﻲ ﻣﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ  2 - ‪  ( n + 1) x‬ﻷﻥ  0 >  1- ‪  x n‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  0 > ‪x‬‬
                                                                           ‫‪n‬‬
                                                                                ‫ ‪n‬‬
                                                                               ‫ 2‬
                             ‫‪ .  é‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪  f‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﻫ‬
                  ‫ ﺬﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ .‬      ‫ﻣ‬                                           ‫‪ù‬‬
                                                                                                             ‫ﻥ‬
                                                                    ‫ﺃﻱ ﺃ ّ  0 > ) ‪  f ' ( x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪ê n + 1 ; 2 ú‬‬
                                                                    ‫‪ë‬‬           ‫ ‪û‬‬
                                                                                          ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ :‬
                                                                                     ‫ 1‬                   ‫ ‪n‬‬
                                                                                                         ‫ 2‬             ‫ 2‬
                                                                          ‫‪x‬‬
                                                                                                        ‫ + ‪n‬‬‫ 1‬
                                                                      ‫ ) ‪f ' ( x‬‬            ‫-‬                    ‫+‬
                                                                                     ‫ 0‬                                 ‫ 1‬
                                                                      ‫ ) ‪f ( x‬‬                           ‫ ‪n‬‬
                                                                                                     ‫‪æ 2  ö‬‬
                                                                                                  ‫‪f  ç‬‬       ‫÷‬
                                                                                                     ‫‪è n + 1 ø‬‬


                  ‫‪é 2  ù‬‬‫ ‪n‬‬                          ‫ ‪n‬‬
                                                   ‫‪2  ö‬‬                     ‫ ‪n‬‬
                                                                        ‫‪æ 2  ö‬‬
             ‫ ;1‪x  Î ê‬‬     ‫‪ú‬‬
                                ‫‪  f  æ‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                              ‫‪ç‬‬         ‫ﻣﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 < ) 2 (  ‪ ٬  f ç n + 1 ÷ ´ f‬ﻷﻧﻪ  0 < ÷‬
                  ‫‪ë‬‬   ‫ 1 + ‪n‬‬
                           ‫ ‪û‬‬                   ‫ ‪è n + 1 ø‬‬              ‫‪è‬‬       ‫ ‪ø‬‬
                                        ‫ 2 ‪é‬‬‫‪n  ù‬‬                    ‫ ﻭﻧﻌﻠﻢ ﻛﺬﻟﻚ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎﻣ‬
                                                        ‫  ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬                              ‫ﻥ‬
                                        ‫ 2 ; 1 + ‪ê n‬‬
                                        ‫‪ë‬‬          ‫‪ú‬‬
                                                   ‫ ‪û‬‬

             ‫ 2‬   ‫ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ٬ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻣﺤﺼﻮ ًﺍ ﺑﻴﻦ  ‪َ   2 n‬‬
                  ‫ﻭ‬             ‫ﺭ‬      ‫ﻼ‬
                     ‫ 1 + ‪n‬‬
                                          ‫ 2‬   ‫ : ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 1 +  ‪  x n +1  - 2 x n‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻣﺤﺼﻮ ًﺍ ﺑﻴﻦ  ‪َ   2 n‬‬
                                               ‫ﻭ‬             ‫ﺭ‬      ‫ﻼ‬                                             ‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                  ‫ 1 + ‪n‬‬
                                                ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 1 +  7 ‪  x 8 - 2 x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻓﻲ  ¡  :‬
                                                                                                 ‫ﻥ‬           ‫ 2‬
                                     ‫1+ 7‬ ‫ 7‬                     ‫8‬       ‫ 7‬
         ‫ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 1 + ‪  x - 2 x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ  0 = 1 + ‪ ٬  x - 2x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻓﻬﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺣﺎﻟﺔ‬
                                                                      ‫ 1‬
                                                    ‫ ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺭﻗﻢ  ( ٬ ﺣﻴﺚ ﻫﻨﺎ  7 = ‪n‬‬
                                                                    ‫8‬
                                                                   ‫ : ﻧﻌﻢ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = 1 +  7 ‪x - 2 x‬‬‫ ﺇﺫﻥ‬
                                                                      ‫ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻓﻲ  ¡ ٬ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺤﻞ‬
                                                                        ‫ 2 ‪é‬‬‫ ﻣﺤﺼﻮﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ‪n  ù‬‬
                                                                        ‫‪ê‬‬       ‫ 2 ;‬
                                                                                   ‫‪ú‬‬      ‫ ‪ë n + 1  û‬‬
                                                                                              ‫ ﺃﻱ ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ 41   َ  2  .‬
                                                                                                    ‫ﻭ‬
                                                                                                         ‫ 8‬



‫ 76‬
                                                                                                       ‫ ‐‬
                                                                                              ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
‫ .‬                                                                                                                             ‫ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻟﻠﺘﻌﻤﻖ :‬

                                                                                                                                 ‫ ﻣﺴﺎﺋــﻞ‬
                                                                                                                                ‫ :‬
                                                                                                            ‫ ﺹ  ﺝ‬
                                                                                                         ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ 111  63  1 :‬
                                             ‫ 4 -  ‪x 3 - 4x 2  + 8x‬‬
‫= ) ‪  (C f  )  ٬ f ( x‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ  ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ  ﻓﻲ‬                                       ‫ ﻟﺘﻜﻦ  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ  ﻋﻠﻰ }1{ - ¡  ﻛﻤﺎ  ﻳﻠﻲ :‬
                                                       ‫ 2  1 - ‪( x‬‬
                                                              ‫ )‬
                                                                     ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻭ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ ) ‪:  (O ; I , J‬‬

                                                                                                              ‫ 1  ﺃ‬
                                                        ‫ (  ( ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻧﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ :‬
                                                                       ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  [¥+ ;1] ‪D f  = ¡ - {1} = ]-¥;1[ U‬‬
                                                                                                       ‫ ﻭﻣﻨﻪ :‬
                                                        ‫‪é x 3 - 4x 2 + 8x - 4 ù‬‬                ‫‪é x 3  ù‬‬
                                  ‫‪lim f ( x ) = lim ê‬‬                     ‫ 2‬        ‫‪ú‬‬  ‫¥- =  ‪= lim ê 2  ú = lim  x‬‬
                                 ‫¥-® ‪x‬‬          ‫¥-® ‪x‬‬
                                                        ‫‪ê‬‬
                                                        ‫‪ë‬‬       ‫ 1 - ‪( x‬‬ ‫ )‬         ‫¥-® ‪ú x ®-¥ ë x  û x‬‬
                                                                                    ‫‪û‬‬
                                                           ‫ 1 4 - 8 + 4 - 1 ‪é x 3 - 4x 2  + 8x  - 4 ù‬‬
                                    ‫‪lim f ( x ) = lim  ê‬‬                       ‫ 2‬       ‫=‪ú‬‬                 ‫¥+ = + =‬
                                      ‫<‬
                                  ‫1 ¾¾ ‪x‬‬‫®‬             ‫<‬
                                                  ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                        ‫®‬
                                                           ‫‪ê‬‬
                                                           ‫‪ë‬‬       ‫ 1 - ‪( x‬‬  ‫ )‬         ‫‪ú‬‬
                                                                                        ‫‪û‬‬          ‫+0‬       ‫ 0‬
                                                                                 ‫ 1 ‪é x 3 - 4x 2  + 8x  - 4 ù‬‬
                                                    ‫‪lim f ( x  ) = lim  ê‬‬                         ‫ 2‬     ‫¥+ = + = ‪ú‬‬
                                                      ‫>‬
                                                  ‫1 ¾¾ ‪x‬‬‫®‬                  ‫>‬
                                                                      ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                             ‫®‬
                                                                                 ‫‪ê‬‬
                                                                                 ‫‪ë‬‬       ‫ 1 - ‪( x‬‬
                                                                                                ‫ )‬       ‫ 0 ‪ú‬‬
                                                                                                         ‫‪û‬‬
                                                      ‫‪é x 3 - 4x 2 + 8x - 4 ù‬‬           ‫‪é x 3  ù‬‬
                                  ‫‪lim f ( x ) = lim ê‬‬                  ‫ 2‬    ‫¥+ =  ‪ú = lim ê 2  ú = lim  x‬‬
                                 ‫¥+® ‪x‬‬          ‫¥+® ‪x‬‬
                                                      ‫‪ê‬‬
                                                      ‫‪ë‬‬              ‫ )‬
                                                              ‫ 1 - ‪( x‬‬       ‫¥+® ‪ú x ®+¥ ë x  û x‬‬
                                                                             ‫ ‪û‬‬
                                                  ‫ ( ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ ٬  f‬ﺛﻢ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﻴﺮﺍﺗﻬﺎ :‬   ‫ ﺏ‬
                                                       ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪  x‬ﻣﻦ  ‪  D f‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ  '  ‪  f‬ﻫﻲ :‬
                                                                                        ‫ 2‬
                                                 ‫‪( 3x‬‬        ‫2‬
                                                                            ‫)‬                                 ‫(‬
                                                                 ‫ 4 -  ‪- 8x + 8 ( x -1) - ( 2 ( x -1) ) x 3 - 4x 2  + 8x‬‬            ‫)‬
                                             ‫) (‬
                                       ‫=  ‪f '  x‬‬                                                    ‫ 4‬
                                                                                 ‫ )‬
                                                                           ‫ 1- ‪( x‬‬
                                                   ‫=‬
                                                     ‫) 4 -  ‪( 3x - 8x + 8) ( x - 1) - ( 2) ( x 3 - 4x 2  + 8x‬‬
                                                         ‫2‬

                                                                                   ‫ 3‬
                                                                          ‫ 1 - ‪( x‬‬‫ )‬
                                                       ‫ 8 +  ‪3x 3 - 3x 2 - 8x 2 + 8x + 8x - 8 - 2x 3 + 8x 2  - 16x‬‬
                                                   ‫=‬                                                     ‫ 3‬
                                                                                              ‫‪(x‬‬      ‫ )‬
                                                                                                   ‫ 1 -‬
                                                       ‫ 2  3 - 3 ‪x‬‬
                                                              ‫ ‪x‬‬            ‫ 3 -  ‪x 2  ( x‬‬
                                                                                         ‫)‬
                                                   ‫=‬                ‫3‬
                                                                        ‫=‬                ‫ 3‬
                                                        ‫‪(x‬‬   ‫)1 -‬               ‫‪(x‬‬      ‫ )‬
                                                                                     ‫ 1 -‬
                                                                                                                          ‫ﺇﺷﺎﺭﺓ  ) ‪: f ' ( x‬‬
                                                       ‫ 0 = ) 3 -  ‪ì x 2  ( x‬‬                 ‫ 3 -  ‪x 2  ( x‬‬
                                                                                                           ‫)‬
                         ‫٬ ﻷﻥ  1{ - ¡ =  ‪D f‬‬
                                      ‫ }‬               ‫‪ï‬‬
                                                       ‫‪ï‬‬                      ‫٬ ﻭﻣﻨﻪ‬                          ‫ 3‬
                                                                                                                   ‫ 0 = ) ‪ f ' ( x‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  0 =‬
                                                       ‫ ﻭ ‪í‬‬                                           ‫ )‬
                                                                                               ‫ 1 - ‪( x‬‬
                                                       ‫‪ï‬‬           ‫ 3‬
                                                       ‫ 0 ¹  ) 1 - ‪ï ( x‬‬
                                                       ‫ ‪î‬‬
                      ‫ ﺎﻩ  0 =  2 ‪ ٬  x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = ‪ ٬  ( x - 3) = 0  َ  ٬ x‬ﻭﻣﻨﻪ  3 = ‪x‬‬
                                                   ‫ﻭ‬                               ‫ 0 = )3 - ‪ ٬  x 2  ( x‬ﻣﻌﻨ‬
                                                                                                ‫ }‬
                                                                                      ‫ﺃﻱ ﺃﻧﻪ ﻟ ّﺎ  0 = ) ‪. x = {0٬3  ٬ f ' ( x‬‬
                                                                                                                    ‫ﻤ‬




‫ 86‬
                                                                                                                  ‫ ‐‬
                                                                                                         ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                            ‫ ­ ﺟﺪﻭﻝ ﺇﺷﺎﺭﺓ  ) ‪  f ' ( x‬ﻋﻠﻰ  ‪: D f‬‬
                                   ‫‪x‬‬                 ‫ ¥-‬                  ‫0‬                 ‫ 1‬                  ‫ 3‬                  ‫ ¥+‬
                                   ‫ 2 ‪x‬‬                     ‫ +‬                    ‫+‬                    ‫+‬                   ‫+‬
                                 ‫ 3 - ‪x‬‬                     ‫ -‬                    ‫-‬                    ‫-‬                   ‫+‬
                                  ‫ 1 - ‪x‬‬                    ‫ -‬                    ‫-‬                    ‫+‬                   ‫+‬
                                 ‫ ) ‪f ' ( x‬‬                 ‫+‬                     ‫+‬                    ‫-‬                   ‫+‬

                                                                                                           ‫ ­  ﻭﻣﻨﻪ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ :‬
                                                 ‫‪x‬‬                ‫ ¥-‬         ‫0‬                 ‫ 1‬               ‫ 3‬                 ‫ ¥+‬
                                              ‫ ) ‪f ' ( x‬‬              ‫+‬                ‫+‬                   ‫-‬               ‫+‬
                                                                                           ‫¥+‬        ‫ ¥+‬                            ‫¥+‬

                                              ‫ ) ‪f ( x‬‬
                                                                                                                 ‫ 11‬
                                                                 ‫¥-‬                                               ‫4‬
                                                                                                     ‫ 2‬
                                                                                                    ‫ (‬
                                                   ‫ﻭ‬                                              ‫ ﺃ‬
‫ (  ﺗﻌﻴﻴﻦ  ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ  ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ  ‪  ٬  d  َ   ٬  c ٬  b  ٬  a‬ﺑﺤﻴﺚ  ﻳﻜﻮﻥ  ﻣﻦ  ﺃﺟﻞ  ﻛﻞ  ﻋﺪﺩ  ﺣﻘﻴﻘﻲ 1 ¹ ‪: x‬‬
                                                                                                                          ‫ ‪cx + d‬‬
                                                                                                 ‫+  ‪:  f ( x ) = ax + b‬‬               ‫ 2‬
                                                                                                                          ‫‪(x‬‬       ‫ )‬
                                                                                                                                ‫ 1 -‬
                                                                                               ‫)‬
                                     ‫ ‪(ax + b )( x - 1  + cx + d  (ax + b ) ( x 2  - 2x + 1  + cx + d‬‬
                                                             ‫ 2‬
                       ‫ ‪cx + d‬‬                        ‫)‬
 ‫‪f‬‬    ‫+ ‪( x ) = ax + b‬‬          ‫2‬
                                   ‫=‬                    ‫2‬
                                                                ‫=‬                        ‫ 2‬
                                                                                                      ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                       ‫)1 - ‪( x‬‬                ‫)1 - ‪( x‬‬                        ‫ 1 - ‪( x‬‬ ‫ )‬
                                                                 ‫3‬              ‫ 2‬
             ‫) ‪ax 3 - 2ax 2 + ax + bx 2  - 2  + b + cx + d  ax + (b - 2a ) x + ( a - 2  + c ) x + (b + d‬‬
                                            ‫‪bx‬‬                                                 ‫‪b‬‬
           ‫=‬                              ‫2‬
                                                            ‫=‬                                ‫ 2‬
                                 ‫)1 - ‪( x‬‬                                          ‫ 1 - ‪( x‬‬ ‫ )‬
                       ‫ 1 =  ‪ìa‬‬
                       ‫‪ï‬‬                                            ‫ 4 -  ‪x 3 - 4x 2  + 8x‬‬
      ‫ ﻨﻪ  - = ‪b‬‬
           ‫‪ ٬  í‬ﻭﻣ  2‬                   ‫= ) ‪  f ( x‬ﻧﺠﺪ : 1 = ‪َ  ٬ a‬‬
                                        ‫ﻭ‬                                                  ‫ﺑﺎﻟﻤﻄﺎﺑﻘﺔ ﻣﻊ ﻋﺒﺎﺭﺓ‬
                       ‫ 4- = )1( 2 - ‪ïb‬‬
                       ‫ ‪î‬‬                                                 ‫ 2  1 - ‪( x‬‬
                                                                                 ‫ )‬
                                              ‫ 8 =  ‪ì1 - 2 ( -2 ) + c‬‬
                                              ‫‪ï‬‬                                       ‫ 8 =  ‪ìa - 2b + c‬‬
                ‫ﻭ  2‬
           ‫‪ ٬  í‬ﺃﻱ ﺃﻥ  3 = ‪d = -  َ   c‬‬                               ‫٬ ﻭﻣﻨﻪ‬          ‫‪í‬‬                 ‫ ﻭ ﺑﺎﻟﻤﻄﺎﺑﻘﺔ ﻛﺬﻟﻚ ﻧﺠﺪ‬
                                              ‫ 4- = ‪ï( -2 ) + d‬‬
                                              ‫ ‪î‬‬                                       ‫‪b‬‬
                                                                                      ‫ 4- = ‪î  + d‬‬
                                                    ‫ 2 -  ‪3x‬‬
                        ‫+ 2 -  ‪.  f ( x ) = x‬‬                ‫ 2‬
                                                                               ‫ﻭ  2‬
                                                                  ‫ ﺇﺫﻥ : 1 = ‪ ٬ d = -  َ  ٬  c = 3  ٬  b = -  ٬  a‬ﺃﻱ ﺃﻥ‬
                                                                                                      ‫ 2‬
                                                   ‫‪(x‬‬       ‫ )‬
                                                         ‫ 1 -‬
                                                                                                                     ‫ 2 -  ‪3x‬‬
                                      ‫+ 2 -  ‪ ٬ f ( x ) = x‬ﻭ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 2 - ‪:  ( D ) : y = x‬‬                              ‫ 2‬
                                                                                                                                           ‫ ﺏ‬
                                                                                                                                    ‫ ( ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                                                                                  ‫‪(x‬‬      ‫ )‬
                                                                                                                       ‫ 1 -‬
                            ‫‪éæ‬‬         ‫‪3x - 2 ö‬‬                ‫‪ù‬‬       ‫‪é 3x  - 2 ù‬‬          ‫‪é 3 ù‬‬
     ‫+ 2 - ‪lim f ( x ) - y = lim êç x‬‬         ‫2‬
                                                ‫‪÷ - ( x  - 2 ) ú = lim ê‬‬         ‫‪2  ú‬‬
                                                                                      ‫ﻭﻣﻨﻪ  0 = ‪= lim ê ú‬‬
                       ‫‪x ®±¥ ç‬‬
    ‫¥±® ‪x‬‬
                            ‫‪êè‬‬
                            ‫‪ë‬‬         ‫÷ )1 - ‪( x‬‬‫‪ø‬‬              ‫‪ú x ®±¥ ê ( x - 1  û x ®±¥ ë x  û‬‬
                                                               ‫ ‪û‬‬      ‫‪ë‬‬        ‫‪)  ú‬‬
 ‫ ﺇﺫﻥ : ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ 2 - ‪  ( D ) : y = x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  )  ‪ (C f‬ﻓﻲ ﺟﻮﺍﺭ ¥- َ  ¥+  .‬
          ‫ﻭ‬                                                                                 ‫ﻥ‬
                                 ‫ﻭ‬                                                                             ‫ ﺝ‬
                       ‫ ( ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ  )  ‪ (C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ  ) ‪ ٬  ( D‬ﺣﻴﺚ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ  )  ‪:  ( D )  َ (C f‬‬
                            ‫ 2‬                                                                                       ‫2 -  ‪3x‬‬
                     ‫=  ‪ ٬ f ( x ) - y‬ﻭﻣﻨﻪ  0 >  2 )1 - ‪ ٬  3x - 2 = 0  َ  ٬  ( x‬ﺃﻱ ﺃﻥ  = ‪٬  x‬‬
                                                  ‫ﻭ‬                                                                            ‫ 2‬
                                                                                                                                    ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                            ‫ 3‬                                                                                           ‫ )‬
                                                                                                                  ‫ 1 - ‪( x‬‬
                                            ‫‪æ 2 -4 ö‬‬         ‫‪æ 2 æ 2 öö‬‬
                                          ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﻭ ﻫﻲ ÷÷ ‪ ٬  A ç ;  ç‬ﻭﻣﻨﻪ ÷  ; ‪A ç‬‬
                                                                ‫‪f‬‬
                                            ‫‪è 3 3  ø‬‬         ‫ ‪è 3 è 3 øø‬‬



‫ 96‬
                                                                                                              ‫ ‐‬
                                                                                                     ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                                ‫2‬
                                 ‫ ﺇﺫﻥ : ﻟ  ﺎ ‪ ٬ f ( x ) - y < 0  ٬ x Îù-¥;  é‬ﻭﻣﻨﻪ  )  ‪ (C f‬ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ  ) ‪.  ( D‬‬
                                                                                          ‫‪ú‬‬     ‫ّ ‪ê‬‬‫ﻤ‬
                                                                                          ‫‪û‬‬   ‫ 3‬‫ ‪ë‬‬
                                                                                                        ‫ 2‬
                            ‫ ﻭ ﻟ ّﺎ  [¥+ ;1] ‪ ٬ f ( x ) - y > 0  ٬ x Î ù ;1é U‬ﻭﻣﻨﻪ  )  ‪ (C f‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ  ) ‪.  ( D‬‬
                                                                                     ‫‪ú‬‬   ‫‪ê‬‬             ‫ﻤ‬
                                                                                                      ‫‪û 3  ë‬‬
                                                   ‫ 4- 2‬                                                            ‫ 2‬
                                           ‫ ﻭ ﻟ ّﺎ  = ‪ (C f  )  ٬ x‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ  ) ‪  ( D‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪.  A æ ;  ö‬‬
                                                ‫‪ç‬‬      ‫÷‬                                              ‫ﻤ‬
                                                ‫ ‪è 3 3  ø‬‬                                        ‫ 3‬
                    ‫ ( ﺭﺳــﻢ )  ‪ ) :  ( D )  َ (C f‬ﺣﻴﺚ ﺗﺆﺧﺬ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ  ‪ 1cm‬ﻋﻠﻰ ) ‪ 0,5cm  َ   (Ox‬ﻋﻠﻰ  ) ‪: (  (Oy‬‬
                                           ‫ﻭ‬                                               ‫ﻭ‬               ‫ 3‬
                                             ‫‪y‬‬
                                             ‫ 9‬
                                             ‫ 8‬
                                             ‫ 7‬               ‫ )  ‪(C f‬‬
                                             ‫ 6‬
                                             ‫ 5‬
                                             ‫ 4‬
                                             ‫ 3‬
                                             ‫ 2‬                          ‫ ) ‪( D‬‬    ‫ 2 - ‪y = x‬‬
                                             ‫ 1‬

                                 ‫ 2­‬   ‫ 1­‬    ‫ 0‬       ‫ 1‬       ‫ 2‬         ‫ 3‬          ‫ 4‬       ‫ ‪x‬‬
                                             ‫ 1­‬        ‫‪æ 2 -4 ö‬‬
                                             ‫ 2­‬      ‫÷  ; ‪A ç‬‬
                                                        ‫‪è 3 3  ø‬‬
                                             ‫ 3­‬
                                             ‫ 4­‬        ‫ = ‪x‬‬
                                                           ‫ 1‬
                                             ‫ 5­‬
                                                                   ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻤﻮﺩﻱ‬

                                   ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ  ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [1; ¥-] :‬
                                                             ‫ﻼ ﺪ‬                                  ‫ﻥ‬          ‫ 4‬
                             ‫ ﻣﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺭﺗﻴﺒﺔ  ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎﻣ ( ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [1; ¥-]‬
                                                   ‫ًﺎ‬           ‫ )‬
                                                                                                 ‫ﻥ‬
                                                             ‫ ­ ﻧﺘﺤﻘﻖ ﺃ ّ  ) ‪:  lim f ( x ) < 0 <  lim  f ( x‬‬
                                                                                                           ‫<‬
                                                                         ‫¥-®  ‪x‬‬                      ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                                         ‫®‬

                    ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  ¥+ = ) ‪ ٬  lim  f ( x ) = -¥  َ  ٬ lim  f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  ¥+ < 0 < ¥-  ٬ ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺤﻘﻖ‬
                                                                         ‫ﻭ‬                             ‫<‬
                                                     ‫¥-®  ‪x‬‬                   ‫ 1 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                                  ‫®‬

                                       ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣ ً ﻭﺣﻴ ًﺍ  ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [1; ¥-] .‬
                                                                 ‫ﻼ ﺪ‬
                                                                                  ‫ 2‬
                                                   ‫ ­  ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ ٬  < a < 1  ٬  f‬ﺃﻱ  < ‪.  0,66 < a‬‬
                                                                ‫1‬
                                                                                  ‫3‬
                       ‫ (  ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﺑﻴﺎﻧ ًﺎ ﻋﺪﺩ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ٬  f ( x ) = x + m‬ﺣﻴﺚ  ‪  m‬ﻭﺳﻴﻂ ﺣﻘﻴﻘﻲ :‬
                                                                                           ‫ﻴ‬              ‫ 5‬
                         ‫ﻥ‬                                               ‫ﻴ‬
‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  f ( x ) = x + m‬ﺑﻴﺎﻧ ًﺎ ﺗﻌﻨﻲ ﻧﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ y = x + m‬ﻣﻊ )  ‪ ٬ (C f‬ﻭﺑﻤﺎ ﺃ ّ  ‪  m‬ﻭﺳﻴﻂ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻓﻬﻮ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬
                                                                                                 ‫ ﺫﻥ ﻤ‬
‫ ﺇ  :  ﻟ ّﺎ  0 ³ ‪  m‬ﻧﺠﺪ ‪ y = x + m‬ﻭﻫﺬﻩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻘﻄﻊ  )  ‪  (C f‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﺗﻴﻦ ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻣﻮﺍﺯﻱ‬
          ‫ ( ﺍﻟﺬﻱ ﻳﺴﺎﻭﻱ 1 .‬‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ  2 - ‪ ٬  ( D ) : y = x‬ﻷﻧﻪ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻤﻴﻞ  ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺘﻮﺟﻴﻪ‬
                                            ‫ )‬
          ‫ 4- 2‬
‫ ﻭﻟ ّﺎ  - = ‪  m‬ﻧﺠﺪ  2 - ‪ y = x‬ﻭﻫﺬﻩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ  ) ‪ ( D‬ﺣﻴﺚ ﻳﻘﻄﻊ  )  ‪  (C f‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺣﻴﺪﺓ ﻫﻲ ‪٬  A æ ;  ö‬‬
     ‫‪ç‬‬      ‫÷‬                                                                           ‫ﻤ  2‬
      ‫‪è‬‬‫ 3 3‬   ‫ ‪ø‬‬
                                                                           ‫ 2‬
                                                                                            ‫ ﺃﻱ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻭﺣﻴﺪ ﻫﻮ  .‬
                                                                           ‫ 3‬
                                                                                          ‫ﻤ  2‬
‫ ﻭ ﻟ ّﺎ  - < ‪  m‬ﻧﺠﺪ ‪ y = x - m‬ﻭ ﻫﺬﻩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻘﻄﻊ  )  ‪  (C f‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﺗﻴﻦ ٬ ﻛﻤﺎ‬
                                                   ‫ . )‬                               ‫ﺳ‬
                  ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻤﺎ ًﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  )  ‪  (C f‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺣﻴﺪﺓ  ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﺃﻋﻼﻩ ( .‬
                                        ‫ﻣ‬                   ‫ﻤ‬
            ‫ﻭﻳﻤﻜﻦ ﻛﺬﻟﻚ ﺃﻥ ﻻ ﻳﻘﻄﻊ )  ‪  (C f‬ﻓﻲ ﺃﻱ ﻧﻘﻄﺔ ﻟ ّﺎ ﺗﻜﻮﻥ ‪  m‬ﺃﺻﻐﺮ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻣﻦ ﻓﺎﺻﻠﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻤﺎﺱ .‬
                              ‫ـ‬
                        ‫ ﺇﺫﻥ : ﻋﺪﺩ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  f ( x ) = x + m‬ﻻ ﻳﺰﻳﺪ ﻋﻦ ﺣﻠﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ) ﻫﺬﺍ ﺑﻴﺎﻧﻴًـﺎ ( .‬


‫ 07‬
                                                                                                         ‫ ‐‬
                                                                                                ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                  ‫ ­  ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤ‬
                   ‫ ﻤﺎﺱ )  ‪  :  (C f‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻫﻲ  )  0 ‪y = f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + f ( x‬‬
                          ‫ 3‬         ‫ 3 -  ‪x 2  ( x‬‬
                                                  ‫)‬
  ‫٬ ﻭﻣﻨﻪ  1 - ‪x 2  ( x - 3 ) = ( x‬‬
                          ‫ )‬                    ‫ 3‬
                                                      ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻴﻞ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻳﺴﺎﻭﻱ 1 ٬ ﻭﻣﻨﻪ  1 = ) ‪ f ' ( x‬ﺃﻱ ﺃ ّ  1 =‬
                                                           ‫ﻥ‬
                                      ‫‪(x‬‬      ‫ )‬
                                           ‫ 1 -‬
                                     ‫ 1‬
                               ‫ ﻭ ﻫﺬﺍ ﻳﻜﺎﻓﺊ  1 - ‪  x 3 - 3x 2 = x 3 - 3x 2  + 3x‬ﺃﻱ ﺃ ّ  1 = ‪ ٬  3x‬ﻭﻣﻨﻪ  = ‪.  x‬‬
                                                       ‫ﻥ‬
                                     ‫ 3‬
                                            ‫ 8 4 1‬
                                              ‫ 4 - + -‬
                                   ‫ 3 9 72 ‪æ 1 ö‬‬           ‫ 74- 9 74- 9 801 - 27 + 21 - 1‬
                                ‫=÷ ‪f ç‬‬                   ‫=‬                    ‫= ´‬         ‫= ´‬         ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                   ‫ ‪è 3 ø‬‬        ‫ 4‬                 ‫72‬          ‫ 21 4 72 4‬
                                                 ‫ 9‬
                                                  ‫ 71‬                  ‫1‬      ‫ 74‬
                                       ‫- ‪  y = 1 æ x - ö‬ﺃﻱ ﺃ ّ  - ‪.  y = x‬‬
                                                      ‫ﻥ‬           ‫‪ç‬‬      ‫÷‬        ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻫﻲ‬
                                                   ‫ 4‬             ‫‪è‬‬    ‫ 21  ‪3 ø‬‬
                                                                                                ‫ 71‬
‫ - = ‪ ٬ m‬ﻭﻫﻲ ﻓﺎﺻﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪﺓ ﻟﻠﺘﻤﺎﺱ ﺑﻴﻦ )  ‪  (C f‬ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ٬ ﺃﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f ( x ) = x + m‬‬          ‫ ﺇﺫﻥ :‬
                                                                                                 ‫ 4‬
                                                                                   ‫ 71‬
                                                                                        ‫ﺪ ﻤ‬
                                                                          ‫ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻟ ّﺎ  - = ‪.  m‬‬
                                                                                    ‫ 4‬
                                                                                                 ‫ 71‬
                     ‫ ﻭﻟ ّﺎ  - < ‪  m‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﺃﻱ ﺣﻞ ) ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ y = x + m‬ﺃﺳﻔﻞ )  ‪. (  (C f‬‬  ‫ﻤ‬
                                                                                                  ‫ 4‬
                                                                                        ‫ 71‬
        ‫ ﺒﻞ ﺣﻠّﻴﻦ ٬  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ y = x + m‬ﻳﻘﻄﻊ )  ‪  (C f‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﺗﻴﻦ‬
     ‫ ( .‬                                                     ‫ـ  )‬                                     ‫ﻤ‬
                                                                           ‫ ﻭﻟ ّﺎ 2 - < ‪ - < m‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﻘ‬
                                                                                         ‫ 4‬
                                                                                              ‫ﻥ‬
‫ (  ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﻓﻮﺍﺻﻞ ﻧﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )  ‪  (C f‬ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = x + m‬ﻫﻲ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬      ‫ 6  ﺃ‬
                                                 ‫ ) ‪  ( E‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :  0 = 4 + ‪:  ( m + 2 ) x 2  - ( 2m + 7 ) x + m‬‬
  ‫‪:  f ( x ) = x + m‬‬   ‫ﻓﻮﺍﺻﻞ ﻧﻘﺎﻁ ﺗﻘﺎﻃﻊ  )  ‪  (C f‬ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ y = x + m‬ﻣﻌﻨﺎﻩ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬
                                                       ‫ 4 -  ‪x 3 - 4x 2  + 8x‬‬
‫ ٬ ﻭﻣﻨﻪ  ﻭﺑﻀﺮﺏ  ﺍﻟﻄﺮﻓﻴﻦ  ﻓﻲ  ﺍﻟﻮﺳﻄﻴﻦ  ﻧﺠﺪ‬                                       ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ f ( x ) = x + m‬ﻣﻌﻨﺎﻩ  ‪= x + m‬‬
                                                            ‫ 2  1 - ‪( x‬‬
                                                                   ‫ )‬
                                                                                                                     ‫ 2‬
                                                        ‫ )‬
‫ 1 - ‪  ٬ x 3 - 4x 2  + 8x - 4 = x + m ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  1 + ‪  x 3 - 4x 2 + 8x - 4 = ( x + m ) ( x 2  - 2x‬ﺃﻱ  ﺃ ّ‬
‫ﻥ‬                                                                                                     ‫ )‬
 ‫‪ ٬  x 3 - 4x 2 + 8x - 4 = x 3 - 2x 2 + x + mx 2  - 2  + m‬ﻭﻣﻨﻪ  0 = 4 - ‪-2x 2 - mx 2  + 2mx + 7x - m‬‬
                                                                                               ‫‪mx‬‬
                ‫ 2‬                                               ‫ 2‬
    ‫ﺃﻱ ﺃﻥّ  0 = 4 - ‪ ٬ - ( m + 2 ) x + ( 2m + 7 ) x - m‬ﻭ ﻣﻨﻪ  0 = 4 + ‪( m + 2 ) x - ( 2m + 7 ) x + m‬‬
                                                                                                 ‫ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  ) ‪( E‬‬
                                                                                                   ‫ﻥ‬
                                     ‫ﺃﻱ ﺃ ّ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x ) = x + m‬ﻫﻲ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪.  ( E‬‬
                                                                                                 ‫ﻥ‬
‫ ﻭﺑﻤﺎ  ﺃ ّ ﺣﻠﻮﻝ  ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x ) = x + m‬ﻫﻲ  ﻓﻮﺍﺻﻞ  ﻧﻘﺎﻁ  ﺗﻘﺎﻃﻊ  )  ‪  (C f‬ﻣﻊ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ﺍﻟﺬﻱ  ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‬
 ‫‪ ٬ y = x + m‬ﻓﺈﻥ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ ( E‬ﻫﻲ ﻓﻮﺍﺻﻞ ﻧﻘﺎﻁ ﺗﻘﺎﻃﻊ  )  ‪  (C f‬ﻣﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪y = x + m‬‬
                                                         ‫ (  ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺴﺐ ﻗﻴﻢ  ‪ m‬ﻋﺪﺩ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪:  ( E‬‬
                                                                                                       ‫ ﺏ‬
              ‫ 2‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻤﻴﺰ ) ‪ ( E‬ﻫﻮ  + ‪D = ( 2m + 7) - 4 ( ( m + 2)( m + 4) ) = 4m 2 + 28m + 49 - 4m 2  -16m - 8m - 32 = 4m‬‬
                                                                                      ‫ 71‬
                                             ‫ﻥ‬                                       ‫ﻤ  2‬
‫ ﻭﻣﻨﻪ  ﻟ ّﺎ  - = ‪ m‬ﻧﺠﺪ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ ( E‬ﺃ ﱠ  0 = 2 - 4 + ‪ ٬  - ( -4 + 7 ) x‬ﻭﻣﻨﻪ  - = ‪-3x‬‬
       ‫ 2‬                                                                                                                  ‫ ­‬
                                                                    ‫‪ ٬  x‬ﻭﻫﻲ ﻓﺎﺻﻠﺔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.  A æ 2 ; -4 ö‬‬         ‫ ﺃﻱ  2‬
                                                                         ‫‪ç‬‬        ‫÷‬                          ‫ =‬
                                                                          ‫ ‪è 3 3  ø‬‬                               ‫ 3‬
                                       ‫‪  - 1 7  < m‬ﻧﺠﺪ ﺃﻥ 0 > ‪  D‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻠﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ .‬                 ‫ﻤ‬
                                                                                                            ‫ ﻟ ّﺎ 2 - <‬    ‫ ­‬
                                                                                                    ‫ 4‬
                                                                                                              ‫ 71‬
                                                                                         ‫ﻥ‬                ‫ﻤ‬
                                                      ‫ ­  ﻟ ّﺎ  - < ‪  m‬ﻧﺠﺪ ﺃ ّ 0 < ‪  D‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻠﻮﻝ .‬
                                                                                                               ‫ 4‬
                          ‫‪  m‬ﻧﺠﺪ ﺃ ّ 0 = ‪ D‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  ) ‪  ( E‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻣﻀﺎﻋﻒ ) ﻭﺣﻴﺪ ( .‬
                                                                                ‫ﻥ‬                            ‫ 7 1‬    ‫ﻤ‬
                                                                                                                    ‫ ­  ﻟ ّﺎ‬
                                                                                                         ‫ - =‬
                                                                                                              ‫ 4‬
                                                                                                             ‫ ·  ﺇﺫﻥ‬
                                                          ‫ : ﻋﺪﺩ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪  ( E‬ﻻ ﻳﺰﻳﺪ ﻋﻦ ﺣﻠﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ .‬

‫ 17‬
                                                                                                  ‫ ‐‬
                                                                                         ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                 ‫ ﺝ‬       ‫ 2  ﺹ‬
                                                                                              ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ  11  63 ﻭ 73  1 :‬
                                                      ‫ ‪x‬‬
‫+  ‪  (C )  َ  ٬ f ( x ) = x‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ‬
                          ‫ﻭ‬                                       ‫ ‪ f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [¥+ ;2] ‪  ]-¥; -2[ U‬ﺑـ :‬
                                                     ‫ 4 -  2 ‪x‬‬
                                                                                                             ‫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ :‬
                                                                                                                          ‫ﻥ‬           ‫ 1‬
                                                                                                      ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻓﺮﺩﻳـﺔ :‬
                             ‫‪x‬‬          ‫‪æ‬‬       ‫‪x  ö‬‬
      ‫- ‪f ( -x ) = -x‬‬                ‫+ ‪= -ç x‬‬          ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪  -  َ   x‬ﻣﻦ  ‪÷ = -f ( x )  ٬ D f‬‬
                                                                                 ‫ﻭ ‪x‬‬
                                ‫2‬
                          ‫‪( -x ) - 4  è‬‬       ‫‪x 2  - 4 ø‬‬
                                                                 ‫ﻥ‬                            ‫ﻥ‬
                        ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻓﺮﺩﻳـﺔ ٬ ) ﺃﻱ ﺃ ّ ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻨﺎﻇﺮ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (  (C‬‬
                                                   ‫ ﻒ :‬‫ (  ﺣﺴﺎﺏ ﻧﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳ‬      ‫ 2‬
                                                                   ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  [¥+ ;2] ‪ ٬  D f  = ]-¥; -2[ U‬ﻭﻣﻨﻪ :‬
                                                                                                            ‫‪é‬‬                    ‫‪ù‬‬

               ‫‪lim f‬‬
                                     ‫‪é‬‬
                        ‫+  ‪( x ) = xlim ê x‬‬
                                                 ‫‪x‬‬   ‫‪ù‬‬          ‫‪éx‬‬                  ‫‪x - 4  + x  ù‬‬
                                                                                      ‫ 2‬
                                                                                                ‫‪ú = lim  ê‬‬
                                                                                                            ‫‪êx‬‬  ‫(‬ ‫‪x  2  - 4 + 1  ú‬‬
                                                                                                                                 ‫‪ú‬‬‫ )‬
                                                     ‫‪ú = xlim ê‬‬                                     ‫‪x  ® -¥ ê‬‬
               ‫¥- ® ‪x‬‬             ‫¥- ®‬
                                     ‫‪ë‬‬         ‫‪x 2 -4û‬‬     ‫¥- ®‬
                                                                ‫‪ê‬‬
                                                                ‫‪ë‬‬
                                                                                       ‫ 2‬
                                                                                     ‫‪x  - 4  ú‬‬  ‫‪û‬‬                   ‫‪æ‬‬      ‫‪4  ö ú‬‬
                                                                                                            ‫‪ê x  2  ç 1 - 2  ÷ ú‬‬
                                                                                                            ‫‪ê‬‬
                                                                                                            ‫‪ë‬‬       ‫‪è‬‬     ‫‪x ø ú‬‬  ‫‪û‬‬
                                      ‫‪é‬‬                      ‫‪ù‬‬                ‫‪é‬‬                          ‫‪ù‬‬
                             ‫‪= lim‬‬
                                      ‫‪êx‬‬
                                      ‫‪ê‬‬
                                           ‫(‬‫ 1 + 4 -  2  ‪x‬‬  ‫= ‪) úú‬‬    ‫- ‪lim  ê‬‬
                                                                              ‫‪ê‬‬            ‫¥- ‪x  2  - 4 + 1 ú‬‬
                                                                                                         ‫=‪ú‬‬    ‫¥- =‬
                               ‫¥- ® ‪x‬‬
                                      ‫‪ê‬‬              ‫4‬       ‫‪ú‬‬       ‫¥ - ®  ‪x‬‬
                                                                              ‫‪ê‬‬                     ‫‪4  ú‬‬    ‫ 1‬
                                      ‫2 ‪ê - x  1 - x‬‬
                                      ‫‪ë‬‬                      ‫‪ú‬‬
                                                             ‫‪û‬‬                ‫‪ê‬‬
                                                                              ‫‪ë‬‬
                                                                                             ‫‪1 - 2  ú‬‬
                                                                                                   ‫‪x‬‬     ‫‪û‬‬
                                                                 ‫‪é‬‬     ‫‪x  ù‬‬             ‫ 2-‬
                                     ‫+  ‪lim f ( x ) = lim ê x‬‬                 ‫¥- = ) ¥- ( + 2- = + + 2- = ‪ú‬‬
                                       ‫<‬
                                   ‫2- ¾¾ ‪x‬‬
                                         ‫®‬
                                                          ‫<‬
                                                      ‫ 2 ¾¾  ‪x‬‬
                                                            ‫-®‬
                                                                 ‫‪ë‬‬
                                                                       ‫ 2‬
                                                                      ‫‪x - 4 û‬‬           ‫ 0‬
                                                                    ‫‪é‬‬      ‫‪x  ù‬‬            ‫ 2‬
                                            ‫+  ‪lim f ( x ) = lim ê x‬‬              ‫¥+ = ) ¥+ ( + 2 = + + 2 = ‪ú‬‬
                                              ‫>‬
                                          ‫2 ¾¾ ‪x‬‬‫®‬
                                                                ‫>‬
                                                            ‫ 2 ¾¾  ‪x‬‬
                                                                  ‫®‬
                                                                    ‫‪ë‬‬    ‫‪x 2  - 4 û‬‬      ‫ 0‬
                                                                                                            ‫‪é‬‬                    ‫‪ù‬‬

               ‫‪lim f‬‬
                                     ‫‪é‬‬
                        ‫+  ‪( x ) = xlim ê x‬‬
                                                 ‫‪x‬‬   ‫‪ù‬‬          ‫‪éx‬‬                  ‫‪x - 4  + x  ù‬‬
                                                                                      ‫ 2‬

                                                                                                ‫‪ú = lim  ê‬‬
                                                                                                            ‫‪êx‬‬  ‫(‬ ‫‪x  2  - 4 + 1  ú‬‬
                                                                                                                                 ‫‪ú‬‬‫ )‬
                                                     ‫‪ú = xlim ê‬‬                                     ‫‪x  ® +¥ ê‬‬
               ‫¥+ ® ‪x‬‬             ‫¥- ®‬
                                     ‫‪ë‬‬         ‫‪x 2 -4û‬‬     ‫¥+ ®‬
                                                                ‫‪ê‬‬
                                                                ‫‪ë‬‬
                                                                                       ‫ 2‬
                                                                                     ‫‪x  - 4  ú‬‬  ‫‪û‬‬                   ‫‪æ‬‬      ‫‪4  ö ú‬‬
                                                                                                            ‫‪ê x  2  ç 1 - 2  ÷ ú‬‬
                                                                                                            ‫‪ê‬‬
                                                                                                            ‫‪ë‬‬       ‫‪è‬‬     ‫‪x ø ú‬‬  ‫‪û‬‬
                                      ‫‪é‬‬                       ‫‪ù‬‬                 ‫‪é‬‬                  ‫‪ù‬‬
                             ‫‪= lim ê‬‬
                                      ‫‪êx‬‬   ‫(‬
                                          ‫ 1 + 4 -  2  ‪x‬‬    ‫= ‪) úú‬‬      ‫‪lim  ê‬‬
                                                                                ‫‪ê‬‬    ‫¥+ ‪x  2  - 4 + 1 ú‬‬
                                                                                                   ‫= ‪ú‬‬    ‫¥+ =‬
                               ‫¥+ ® ‪x‬‬
                                      ‫‪ê‬‬           ‫4‬           ‫‪ú‬‬        ‫¥ + ®  ‪x‬‬
                                                                                ‫‪ê‬‬             ‫‪4  ú‬‬     ‫ 1‬
                                      ‫2 ‪ê x  1 - x‬‬
                                      ‫‪ë‬‬                       ‫‪ú‬‬
                                                              ‫‪û‬‬                 ‫‪ê‬‬
                                                                                ‫‪ë‬‬
                                                                                       ‫‪1 - 2  ú‬‬
                                                                                             ‫‪x‬‬     ‫ ‪û‬‬
                                                                                                ‫ﻥ‬           ‫ 3‬
                             ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ﱠ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ‪  D‬ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  1 + ‪ y = x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ ¥+  :‬
                                   ‫‪é‬‬       ‫‪x‬‬            ‫‪ù‬‬       ‫ ‪é x‬‬         ‫‪ù‬‬       ‫‪é 1 ù‬‬
         ‫+ ‪lim é f ( x ) - y ù = lim ê x‬‬
              ‫‪ë‬‬            ‫¥+® ‪û x‬‬              ‫‪- x  - 1ú = lim ê‬‬         ‫ﻣﻌﻨﺎﻩ  0 = ‪- 1ú = lim ê ú‬‬
                                         ‫4- 2 ‪x‬‬         ‫‪û x ®+¥ ë x - 4  û  x ®+¥ ë x  û‬‬
        ‫¥+® ‪x‬‬                                                       ‫ 2‬
                                   ‫‪ë‬‬
                                                                                              ‫ﻥ‬
                                              ‫ﺃﻱ ﺃ ّ ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ ¥+  .‬
                                                                  ‫ ‪x‬‬
                                          ‫=  ‪f ( x ) - y‬‬                     ‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻭﺿﻌﻴﺔ ) ‪ (C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ) ‪ :  ( D‬ﻟﺪﻳﻨﺎ  1 -‬              ‫ ­‬
                                                                 ‫ 4 -  2 ‪x‬‬
                                                                                                         ‫‪x‬‬
         ‫ ﻧﺠﺪ ‪ ٬  x 2  - 4  = x‬ﻭﻣﻨﻪ  2 ‪  x 2 - 4 = x‬ﺃﻱ ﺃ ّ 0 = 4-  ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺴﺘﺤﻴﻞ‬
                             ‫ﻥ‬                                                                                                ‫ﻤ‬
                                                                                                                    ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﻟ ّﺎ  0 = 1 -‬
                                                                                                        ‫ 4 -  2 ‪x‬‬
           ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪(C ) I ( D ) = Æ‬‬        ‫ ﺃﻱ ﺃ ّ  4 ¹  2 ‪ ٬  x‬ﻭﻣﻨﻪ  2 ¹ ‪x ¹ -  َ   x‬‬
                                              ‫ﻭ  2‬                           ‫ﻥ‬                         ‫ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ 0 ¹ 4 -  2 ‪x‬‬
                                               ‫ﻭ ﻣﻨﻪ ﻟ ّﺎ  [  - ;¥-] ‪  x Î‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﺃﺳﻔﻞ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪.  ( D‬‬
                                                                                                    ‫ﻤ  2‬
                                                                                                            ‫ﻤ  [‬
                                                        ‫ﻭﻟ ّﺎ  ¥+ ;2] ‪ x Î‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ  ) ‪ (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. ( D‬‬

‫ 27‬
                                                                                                              ‫ ‐‬
                                                                                                     ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                           ‫ ‪y‬‬
                           ‫ 6‬
                                                                  ‫ ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻟـ ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ ¥- :‬     ‫ 4‬
                                ‫ ) ‪(C‬‬
                   ‫ ) ' ‪(C‬‬
                           ‫ 5‬                     ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻓﺮﺩﻳـﺔ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻘﺒﻞ  ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻢ ﻛﻤﺮﻛﺰ‬
                           ‫ 4‬
                              ‫ + ‪y = x‬‬‫ 1‬                                        ‫ﻥ‬
                                                  ‫ﺗﻨﺎﻇﺮ  ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪  ٬ (C‬ﻭﺑﻤﺎ  ﺃ ّ  1 + ‪  ( D ) : y = x‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                           ‫ 3‬
                           ‫ 2‬
                                                                ‫ﻀ‬
                                                  ‫ﻣﻘﺎﺭﺏ  ﻟﻬﺎ  ﻋﻨﺪ  ¥+  ﻓﺈﻧﻬﺎ  ﺗﻘﺒﻞ  ﺃﻳ ًﺎ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
        ‫ 1- ‪y = -x‬‬                      ‫ - ‪y = x‬‬
                                               ‫ 1‬             ‫ 1 - ‪ ( D ') : y = x‬ﻛﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻋﻨﺪ ¥-‬
                           ‫ 1‬

  ‫ ‪­6  ­4  ­2  0  1  2  3  4  5  6  x‬‬
    ‫ 1­  3­  5­‬
                                                  ‫ﻷﻥ  1 - ‪ ( D ') : y = x‬ﻫﻮ  ﻧﻈﻴﺮ 1 + ‪ ( D ) : y = x‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬
                   ‫ 1­‬
                   ‫ 2­‬
                                                                                                            ‫ ﻟﻠﻤﺒﺪﺃ‬
                                                                                                           ‫ .‬
                   ‫ 3­‬                            ‫ ( ﺗﻌﻴﻴﻦ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ  ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺑﺔ  ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) '  ‪  ٬ (C‬ﺣﻴﺚ  ) '  ‪(C‬‬   ‫ 5‬
                   ‫ 4­‬                        ‫ ﻣﻨﺤﻨﻰ  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ  ﻋﻠﻰ [¥+ ;2] ‪ ]-¥; -2[ U‬ﺑـ  1‬
                                      ‫ + ‪y = -x‬‬
                   ‫ 5­‬
                   ‫ 6­‬
                                                                                           ‫ ) ‪:  g ( x ) = - f ( x‬‬
                                                  ‫ﻫﺬﺍ  ﻣﻌﻨﺎﻩ  ﺃ ّ  ) '  ‪ (C‬ﻫﻮ  ﻧﻈﻴﺮ  )  ‪  (C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ  ﻟﻤﺤﻮﺭ‬
                                                                                                  ‫ﻥ‬
     ‫ﺍﻟﺘﺮﺍﺗﻴﺐ ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻓﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺑﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) '  ‪ (C‬ﺗﻜﻮﻥ ﻧﻈﻴﺮﺓ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺑﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )  ‪(C‬‬
                      ‫ﺃﻱ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ  1 + ‪ ( G ) : y = - x - 1  َ ( G ) : y = - x‬ﻣﻘﺎﺭﺑﺎﻥ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ) '  ‪.  (C‬‬
                                                                        ‫ﻭ‬                                  ‫ﻥ‬

                                                                                                ‫ ﺝ‬       ‫ 3‬
                                                                                             ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ  11 ﺹ 73  1 :‬
                                                                          ‫ ‪x‬‬
  ‫+ 1 +  ‪  (C )  َ   ٬ f ( x ) = x‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ  ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ  ﻓﻲ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ‬
                                       ‫ﻭ‬                                   ‫ 2‬
                                                                                ‫ ‪  f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ  ﻋﻠﻰ  }1;1-{ - ¡  ﺑـ :‬
                                                                         ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                                                ‫ ﺍﻟﻤﻨﺴﻮﺏ ﺇﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ :‬
                                                                                ‫ (  ( ﻛﺘﺎﺑﺔ  ) ‪  f ( x‬ﺑﺪﻭﻥ ﺭﻣﺰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻘﺔ :‬
                                                                                                                           ‫ 1  ﺃ‬
                                                       ‫‪ì‬‬            ‫ ‪x‬‬
                                                       ‫‪ï x + 1 + x  2  - 1 - - - ; x  + 1 ³ 0  ٬ x ΠD‬‬
                                        ‫‪  f ( x  ) = í‬ﺃﻱ‬
                                                       ‫‪ï‬‬                                                    ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬
                                                                                                       ‫ ‪f‬‬
                                                       ‫ 0 < 1 +  ‪ï - x - 1 + x  - - ; x‬‬
                                                       ‫‪ï‬‬
                                                       ‫ ‪î‬‬          ‫ 1 -  2 ‪x‬‬
              ‫‪ì‬‬            ‫ ‪x‬‬                                                  ‫‪ì‬‬            ‫ ‪x‬‬
              ‫[ ¥ + ;1 - [ ‪ï x + 1 + x  2  - 1 - - - ; x  Î‬‬                    ‫ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻜﺎﻓﺊ 1 - ³  ‪ï x + 1 + x  2  - 1 - - - ; x‬‬
              ‫‪ï‬‬
   ‫‪f ( x  ) = í‬‬                                              ‫‪ ٬ f‬ﺃﻱ‬   ‫‪( x  ) = ï‬‬
                                                                               ‫‪í‬‬
              ‫+ 1 - ‪ï-x‬‬       ‫ ‪x‬‬                                               ‫ 1 - <  ‪ï - x - 1 + x  - - ; x‬‬
                                   ‫ 1 - ; ¥-] ‪- - ; x  Î‬‬  ‫ [‬
              ‫‪ï‬‬
              ‫‪î‬‬           ‫ 1 -  2 ‪x‬‬                                            ‫‪ï‬‬
                                                                               ‫ ‪î‬‬          ‫ 1 -  2 ‪x‬‬
                                                            ‫ ( ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻧﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻋﻨﺪ ﺃﻃﺮﺍﻑ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ :‬    ‫ ﺏ‬
                                                    ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  [¥+ ;1] ‪ ٬  D f  = ¡ - {-1;1} = ]-¥; -1[ U ]-1;1[ U‬ﻭﻣﻨﻪ :‬
                     ‫‪é‬‬         ‫‪x ù‬‬          ‫‪é x 3 + x - x 2 + 1 + x ù‬‬                  ‫‪é x 3  ù‬‬
 ‫- ‪lim f ( x ) = lim ê - x - 1 + 2 ú = lim ê‬‬                               ‫¥+ = ] ‪= lim ê - 2  ú = lim  [ - x‬‬
                                                                        ‫¥-® ‪ú x‬‬
‫¥-® ‪x‬‬          ‫¥-® ‪x‬‬
                     ‫‪ë‬‬        ‫‪x - 1 û x ®-¥ ë‬‬           ‫ 1 - 2 ‪x‬‬        ‫‪û‬‬              ‫¥-® ‪ë x û x‬‬
                                                                                   ‫‪é‬‬            ‫ 1- ‪x  ù‬‬
                                                    ‫¥- = + = ‪lim f ( x ) = lim ê - x  - 1 + 2  ú‬‬
                                                      ‫<‬
                                                  ‫1- ¾¾ ‪x‬‬
                                                        ‫®‬
                                                                          ‫<‬
                                                                     ‫‪x  ¾¾ -1 ë‬‬
                                                                            ‫®‬                  ‫ 0 ‪x - 1 û‬‬
                                                                                     ‫‪é‬‬           ‫ 1- ‪x  ù‬‬
                                                       ‫¥+ = - = ‪lim f ( x ) = lim ê x  + 1 + 2  ú‬‬
                                                         ‫>‬
                                                    ‫1 ¾¾ ‪x‬‬ ‫-®‬
                                                                              ‫>‬
                                                                        ‫‪x  ¾¾ -1 ë‬‬
                                                                                ‫®‬              ‫ 0 ‪x - 1 û‬‬
                                                                                   ‫‪é‬‬            ‫ 1 ‪x  ù‬‬
                                                       ‫¥- = - = ‪lim f ( x ) = lim ê - x  - 1 + 2  ú‬‬
                                                          ‫<‬
                                                     ‫1 ¾¾ ‪x‬‬ ‫®‬
                                                                            ‫<‬
                                                                       ‫‪x  ¾¾ 1 ë‬‬
                                                                              ‫®‬                ‫ 0 ‪x - 1û‬‬
                                                                                     ‫‪é‬‬           ‫ 1 ‪x  ù‬‬
                                                          ‫¥+ = + = ‪lim f ( x ) = lim ê x  + 1 + 2  ú‬‬
                                                             ‫>‬
                                                        ‫1 ¾¾ ‪x‬‬ ‫®‬
                                                                                ‫>‬
                                                                          ‫‪x  ¾¾ 1 ë‬‬
                                                                                  ‫®‬            ‫ 0 ‪x - 1 û‬‬
                             ‫‪é‬‬       ‫‪x ù‬‬          ‫‪é x 3 - x + x 2 - 1 + x ù‬‬       ‫‪é x 3  ù‬‬
         ‫‪lim f ( x ) = lim ê x + 1 + 2 ú = lim ê‬‬                            ‫¥+ = ] ‪= lim ê 2  ú = lim  [ x‬‬
                                                                          ‫¥+® ‪ú x‬‬
        ‫¥+® ‪x‬‬          ‫¥+® ‪x‬‬
                             ‫‪ë‬‬      ‫‪x - 1 û x ®+¥ ë‬‬        ‫ 1 - 2 ‪x‬‬       ‫‪û‬‬       ‫¥+® ‪ë x û x‬‬


  ‫ 37‬
                                                                                                        ‫ ‐‬
                                                                                               ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                            ‫ (  ( ﺣﺴﺎﺏ  ) ‪  f ' ( x‬ﻭﺩﺭﺍﺳﺔ ﺇﺷﺎﺭﺗﻬﺎ :‬
                                                                                                                                  ‫ 2  ﺃ‬
                                                                                              ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪  x‬ﻣﻦ  ‪  D f‬ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍ‬
                                                                            ‫ ﻟﻤﺸﺘﻘﺔ  '  ‪  f‬ﻫﻲ :‬
                   ‫‪ì‬‬      ‫ 2  ‪1 + x‬‬                                                        ‫ 2  2 - 1 - 2 ‪ì x‬‬   ‫ ‪x‬‬
                   ‫ 2 - 1‪ï‬‬             ‫[ ¥+ ;1] ‪-; x  Î ]- 1;1[ U‬‬                                                     ‫[ ¥+ ;1] ‪-; x  Î ]- 1;1[ U‬‬
                                    ‫ 2‬                                                     ‫+ 1‪ï‬‬
                   ‫‪ï‬‬
                   ‫‪ï‬‬
                        ‫) 1 -  ‪( x‬‬                                  ‫:‬                      ‫‪ï‬‬
                                                                        ‫‪ ٬  f ' ( x  ) = ï‬ﺃﻱ‬       ‫) 1 -  2 ‪( x‬‬
                                                                                                                ‫ 2‬


      ‫‪f ' ( x  ) = í‬‬                                                                       ‫‪í‬‬
                      ‫‪æ‬‬                    ‫‪ö‬‬                                                          ‫2‬
                                                                                                                   ‫ 2 ‪x‬‬
                                                                                           ‫ 1 - ;¥-] ‪ï - 1 + x - 1 - 2  -; x  Î‬‬
                   ‫‪ï ç‬‬        ‫÷  2  ‪1 + x‬‬                                                                                                ‫ [‬
                     ‫+1 -‬
                   ‫‪ï ç‬‬                                        ‫ [‬
                                             ‫ 1 - ; ¥-] ‪-; x  Î‬‬                            ‫‪ï‬‬                       ‫ 2‬

                   ‫‪ï‬‬
                   ‫‪î è‬‬
                                        ‫ 2‬
                            ‫÷ ) 1 -  2 ‪( x‬‬ ‫‪ø‬‬                                               ‫‪ï‬‬
                                                                                           ‫‪î‬‬          ‫) 1 -  2 ‪( x‬‬
                                                                                                                              ‫ ­ ﺇﺷﺎﺭﺓ  ) ‪:  f ' ( x‬‬
                                                                             ‫‪æ‬‬                    ‫‪ö‬‬
                                                                                      ‫÷  2 ‪1 + x‬‬
                                ‫+ 1 ‪٬ f ' ( x ) = - ç‬ﻭﻣﻨﻪ  0 < ) ‪.  f ' ( x‬‬                    ‫ 2‬
                                                                                                    ‫٬‬     ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [1 - ;¥-]‬
                                                                             ‫‪ç‬‬      ‫(‬ ‫÷  1 -  2 ‪x‬‬
                                                                                              ‫ ‪)  ø‬‬
                                                                             ‫‪è‬‬
      ‫ 2 ‪1  x‬‬
       ‫+‬                                                                      ‫ 2 ‪1 + x‬‬
‫-1‬            ‫ 2‬
                   ‫- 1 = ) ‪٬ f ' ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﻟ ّﺎ  0 ³ ) ‪ f ' ( x‬ﻧﺠﺪ 0³‬
                                          ‫ﻤ‬                                               ‫ 2‬
                                                                                               ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [¥+ ;1] ‪٬ ]-1;1[ U‬‬
     ‫ ) - 2 ‪( x‬‬
            ‫ 1‬                                                              ‫ ) 1 -  2 ‪( x‬‬
                                                                                                         ‫ 2‬                 ‫ 2 ‪1 + x‬‬
 ‫٬ﺃﻱ  1 - ‪٬  1 + x £ ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  1 + ‪ ٬ 1 + x £ x - 2x‬ﻫﺬﺍ ﻳﻜﺎﻓﺊ  0 ³ ‪x - 3x‬‬
  ‫4‬         ‫ 2‬                             ‫2‬      ‫4‬        ‫ 2‬
                                                                   ‫ )‬                 ‫2‬            ‫ 2‬
                                                                                                                                         ‫ 2‬
                                                                                                                                              ‫ﻭﻣﻨﻪ  1 £‬
                                                                                                                 ‫‪(x‬‬          ‫ 2‬
                                                                                                                                     ‫ )‬
                                                                                                                                  ‫ 1 -‬
                       ‫ 2 ‪  x‬ﺃﻱ  0 = ‪  x 2  ³ 3  َ  ٬  x‬ﺃﻱ  3  = ‪.  x = -  3  َ   x‬‬
                                    ‫ﻭ‬                         ‫ﻭ‬                                    ‫‪ ٬  x ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  0 ³‬   ‫2‬     ‫ 2‬
                                                                                                                                   ‫ﺃﻱ ﺃ ّ  0 ³ )3 -‬
                                                                                                                                             ‫ﻥ‬
‫ﺇﺫﻥ  ﻟ ّﺎ ‪ x Î ]-¥; -1[ U ]-1;1[ U ù1; 3 é‬ﻧﺠﺪ  0 < ) ‪  ٬  f ' ( x‬ﻭﻣﻨﻪ  ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ  ﺗﻤﺎ ًﺎ  ﻋﻠﻰ  ﻫﺬﺍ‬
           ‫ﻣ‬                                                                              ‫‪û‬‬     ‫ﻤ ‪ë‬‬
                                                      ‫ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ . ﻷ ّ  3  - = ‪ x‬ﻻﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [¥+ ;1] ‪.  ]-1;1[ U‬‬
                                                                                                      ‫ﻥ‬
                        ‫ ﻭ ﻟ ّﺎ ‪ x Î ù 3; +¥ é‬ﻧﺠﺪ  0 > ) ‪ ٬  f ' ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ .‬
                                          ‫ﻣ‬                                                       ‫‪û‬‬       ‫ﻤ  ‪ë‬‬
                                                                                                                                         ‫ ﺏ‬
                                                                                                                ‫ ( ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪: f‬‬
                                       ‫‪x‬‬              ‫3 -  ¥-‬    ‫1‬
                                                                ‫ -‬                                  ‫ 0‬             ‫ 1‬                ‫ 3‬            ‫ ¥+‬
                                    ‫ ) ‪f ' ( x‬‬         ‫-‬      ‫-‬                                ‫-‬         ‫-‬            ‫-‬                            ‫+‬
                                                 ‫¥+‬                                 ‫¥+‬                              ‫¥+‬                                 ‫¥+‬

                                     ‫ ) ‪f ( x‬‬

                                                                            ‫¥-‬                                ‫¥-‬                     ‫‪f‬‬    ‫ ) 3 (‬

       ‫ (  ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ 1 + ‪ ( D ') : y = - x - 1  َ ( D ) : y = x‬ﻣﻘﺎﺭﺑﻴﻦ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ  ¥+ َ  ¥-  :‬
              ‫ﻭ‬                                                    ‫ﻭ‬                               ‫ﻥ‬          ‫ 3  ﺃ‬
                                     ‫‪é‬‬           ‫‪x‬‬                 ‫‪ù‬‬       ‫‪é x  ù‬‬          ‫‪é 1 ù‬‬
           ‫2 + 1 - ‪lim é f ( x ) - y ù = lim ê - x‬‬
               ‫‪ë‬‬             ‫¥-® ‪û x‬‬                  ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ‪- ( - x  - 1)  = lim ê 2  ú = lim ê ú‬‬
                                                                   ‫ ‪ú x ®-¥ ë x - 1  x ®-¥ ë x û‬‬
          ‫¥-® ‪x‬‬
                                     ‫‪ë‬‬          ‫1- ‪x‬‬               ‫‪û‬‬              ‫‪û‬‬
                                                 ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  1 - ‪ ( D ') : y = - x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻋﻨﺪ  ¥-  .‬
                                       ‫‪é‬‬         ‫‪x‬‬                 ‫‪ù‬‬       ‫‪é x  ù‬‬         ‫‪é 1 ù‬‬
             ‫2 + 1 + ‪lim é f ( x ) - y ù = lim ê x‬‬
                  ‫‪ë‬‬            ‫¥+® ‪û x‬‬                 ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ‪- ( x  + 1) ú = lim ê 2  ú = lim ê ú‬‬
            ‫¥+® ‪x‬‬
                                       ‫‪ë‬‬        ‫1- ‪x‬‬               ‫ ‪û x ®+¥ ë x - 1  x ®+¥ ë x û‬‬
                                                                                  ‫‪û‬‬
                                                   ‫ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  1 + ‪ ( D ) : y = x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻣﺎﺋﻞ ﻋﻨﺪ  ¥+  .‬
  ‫ ( ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻭﺿﻌﻴﺔ  ) ‪ (C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ) ‪ ( D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+ ;1] ٬ ﻭ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ )' ‪ ( D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ [ - ;¥-]  :‬
           ‫1‬                                          ‫ [‬                                                ‫ ﺏ‬
                                                   ‫‪x‬‬                 ‫ ‪x‬‬
                       ‫2 + 1 + ‪éf ( x ) - ( D )ù = x‬‬
                       ‫‪ë‬‬               ‫‪û‬‬                         ‫ )‬
                                                       ‫ 2 =  1 +  ‪- ( x‬‬                ‫ [‬
                                                                           ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ¥+ ;1] ‪٬ x Î‬‬
                                                  ‫1- ‪x‬‬              ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                                          ‫ ‪x‬‬
                                                                         ‫ [‬
            ‫ ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ  0 >  2 ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ¥+ ;1] ‪ ٬ x Î‬ﻭﻣﻨﻪ  ) ‪  (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ ) ‪ ( D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+ ;1] .‬
                    ‫ [‬
                                                                                        ‫ 1 - ‪x‬‬



‫ 47‬
                                                                                                                       ‫ ‐‬
                                                                                                              ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                            ‫‪x‬‬                    ‫ ‪x‬‬
        ‫2 + 1 - ‪é f ( x ) - ( D ') ù = - x‬‬
        ‫‪ë‬‬                  ‫‪û‬‬                                 ‫ )‬
                                                 ‫ 2 =  1 -  ‪- ( - x‬‬       ‫ﻭﻟﺪﻳﻨﺎ ﻛﺬﻟﻚ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  [  - ;¥-] ‪٬ x Î‬‬
                                                                                      ‫ 1‬
                                         ‫1- ‪x‬‬                   ‫ 1 - ‪x‬‬
                                                                       ‫ ‪x‬‬
      ‫ﻭﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  [  - ;¥-] ‪  x Î‬ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 <  2 ٬ ﻭﻣﻨﻪ  ) ‪  (C‬ﻳﻘﻊ ﻓﻮﻕ  )' ‪ ( D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [  - ;¥-]  .‬
                 ‫1‬                                                                               ‫ 1‬
                                                                    ‫ 1 - ‪x‬‬
                                        ‫ (  ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻭﺍﺣ ًﺍ  ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [  -]  :‬
                                             ‫1;1‬                     ‫ﺪ‬                                 ‫ﻥ‬         ‫ 4‬
    ‫ ﻣﻦ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ّ  ) ‪ f ( x‬ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﺭﺗﻴﺒﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻭ ﺗﻐﻴﺮ ﺍﺷﺎﺭﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬
                                   ‫ﻣ‬                         ‫ﻥ‬
    ‫ [  - ;¥-] ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﻭﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺣﻼ ﻭﺣﻴ ًﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ‬
                  ‫ﺪ‬                                                                                ‫1‬
                                                                            ‫ [  -] ﺣﻴﺚ  0 = ) ‪.  f (a‬‬
                                                                                                 ‫1;1‬
                                                                 ‫ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺣﺼﺮ ﻟﻠﻌﺪﺩ  ‪  a‬ﺳﻌﺘﻪ  1 - 01  :‬
 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  [  -] ‪ ٬  f ( 0 ) = 1  َ a Î‬ﻷﻥ 0 ﻫﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [  -]  ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻐ ّﺮ ﺇﺷﺎﺭﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬
              ‫ﻴ‬                         ‫1;1‬                                         ‫ﻭ‬        ‫1;1‬
                                                                                              ‫ [‬
                                                                   ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0] ﺃﻱ ﺃ ّ  [1;0] ‪.  a Î‬‬
                                                                                   ‫ﻥ‬
  ‫‪ù 1  é‬‬                                                                       ‫ 1‬           ‫ 1 ‪æ 1 ö‬‬
                                                          ‫ [‬
  ‫ ﻭ  2 = ÷ 2 ‪ ٬  f ç‬ﻷﻥ  2 ﻫﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0]  ٬ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺗﻐ ّﺮ ﺇﺷﺎﺭﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1; 2 ‪ú‬‬
        ‫‪ê‬‬                     ‫ﻴ‬
  ‫‪û‬‬     ‫ ‪ë‬‬                                                                                  ‫ ‪è ø‬‬
                                                                                            ‫‪1  é‬‬
                                                                                   ‫ ﺃﻱ ﺃ ّ  1; ‪.  a Î ù‬‬
                                                                                          ‫ﻥ ‪ú2 ê‬‬
                                                                                          ‫‪û‬‬     ‫ ‪ë‬‬
                                   ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ  ‪ a‬ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪  f ( x‬ﻣﺤﺼﻮﺭ ﺑﻴﻦ  5 ,0   َ 1 .‬
                                        ‫ﻭ‬

                                                                                      ‫ ﺝ‬       ‫ 4‬
                                                                                   ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ  11 ﺹ 73  1 :‬
         ‫ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﺪﺍﻟﺘﺎﻥ  ‪ g  َ   f‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ  [¥+ ;1[ ‪  ]-¥; -1] U‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :  1 -  2 ‪َ f ( x ) = x + x‬‬
         ‫ﻭ‬                                                                                  ‫ﻭ‬
              ‫ ‪r‬‬
            ‫‪r u‬‬
      ‫ 1 -  2 ‪  C f  َ   g ( x ) = x - x‬ﻭ  ‪ C g‬ﺗﻤﺜﻴﻼﻫﻤﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻴﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻭ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ  ) ‪:  (O ; i , j‬‬
                                                                                           ‫ﻭ‬

                                                                                                               ‫ 1  ﺃ‬
                                                                              ‫ (  ( ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥+ :‬
                                                ‫¥+ = ) ¥+ ( + ) ¥+ ( = ‪.  lim f ( x ) = lim é x + x 2  - 1 ù‬‬
                                                  ‫¥+® ‪x‬‬          ‫‪x  ®+¥ ë‬‬           ‫ ‪û‬‬
                                                                                                              ‫ ﺏ‬
                                                                             ‫ ( ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻋﻨﺪ  ¥- :‬
                                                   ‫‪é‬‬                    ‫2‬    ‫‪ù‬‬           ‫2‬   ‫ 2‬
     ‫‪lim f ( x ) = lim‬‬   ‫‪é x + x 2 - 1 ù = lim ê x + x 2  - 1 ´ x - x - 1 ú = lim  é x - x  + 1 ù‬‬
                   ‫‪x ®-¥ ë‬‬              ‫‪û x ®-¥ ê‬‬                                    ‫‪ê‬‬              ‫‪ú‬‬
    ‫¥-® ‪x‬‬
                                                   ‫‪ë‬‬             ‫‪x - x 2 - 1 ú x ®-¥ ë x - x 2  - 1 û‬‬
                                                                             ‫ ‪û‬‬
                         ‫‪é x - x 2  + 1 ù‬‬          ‫‪é‬‬     ‫1‬     ‫‪ù‬‬    ‫ 1‬
                 ‫‪= lim ê‬‬                ‫‪ú = x lim ê‬‬            ‫=‪ú‬‬      ‫ 0 =‬
                   ‫¥-® ‪x‬‬
                         ‫‪ë‬‬
                                  ‫2‬
                           ‫‪x - x -1 û‬‬          ‫¥-®‬
                                                   ‫‪ë‬‬ ‫¥-  ‪x - x - 1 û‬‬
                                                           ‫ 2‬


 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ  0 = ) ‪  lim f ( x‬ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = ‪ )  y‬ﺃﻱ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﻔﻮﺍﺻﻞ ( ﻫﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﺃﻓﻘﻲ‬
                                                                                          ‫¥-®  ‪x‬‬

                                                                                             ‫ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪.  C f‬‬
                                                             ‫ ( ﺇﺛﺒﺎﺕ ﺃ ّ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  2 = ‪  ( D ) : y‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠ‬
                                         ‫ ﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻋﻨﺪ  ¥+ :‬                      ‫‪x‬‬          ‫ﻥ‬          ‫ ﺝ‬
                                                                            ‫‪é‬‬                  ‫‪x 2  - 1 + x  ù‬‬
                   ‫‪x ®+¥ ë‬‬                ‫‪û x ®+¥ ë‬‬                      ‫(‬
                    ‫´  ‪lim é f ( x ) - ( D ) ù = lim é x 2 - 1 - x ù = lim ê x 2  - 1 - x‬‬
                                                                   ‫‪û x ®+¥ ê‬‬
                                                                            ‫‪ë‬‬
                                                                                         ‫ )‬    ‫‪x 2  - 1 + x ú‬‬
                                                                                                             ‫‪ú‬‬
                                                                                                             ‫ ‪û‬‬
                                                       ‫2‬        ‫ 2‬
                                                    ‫‪é x - 1 - x  ù‬‬           ‫‪é‬‬   ‫1-‬      ‫‪ù‬‬    ‫ 1-‬
                                            ‫‪= lim ê‬‬                     ‫‪lim‬‬
                                                                   ‫ 2 ‪ú = x ®+¥ ê‬‬        ‫=‪ú‬‬       ‫ 0 =‬
                                              ‫¥+® ‪x‬‬      ‫2‬
                                                    ‫‪ë x -1 + x û‬‬             ‫ ‪ë x - 1 + x û‬‬   ‫¥+‬


                                             ‫ ﺇﺫﻥ : ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪  ( D‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  y =  2 x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ  ‪ C f‬ﻋﻨﺪ  ¥+ .‬



‫ 57‬
                                                                                              ‫ ‐‬
                                                                                     ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                            ‫ (  ( ﺣﺴﺎﺏ  ) ‪ ٬  f ( x ) ´ g ( x‬ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺝ ﻧﻬﺎﻳﺎﺕ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ g‬ﻋﻨﺪ  ¥- َ  ¥+ :‬
                                  ‫ﻭ‬                                                                 ‫ 2  ﺃ‬
                                                                                        ‫ 2‬

                               ‫(‬              ‫()‬               ‫)‬
                ‫- 2 ‪f ( x ) ´ g ( x ) = x + x 2 - 1 x - x 2 -1 = x‬‬       ‫(‬     ‫1- 2 ‪x‬‬   ‫‪)  = x‬‬    ‫2‬
                                                                                                      ‫ 1 = 1 +  2 ‪- x‬‬
         ‫ ‪y‬‬
         ‫ 4‬                                        ‫ ﺪ ﻨﺎ  ¥+ = ) ‪  f ( x ) ´ g ( x ) = 1  َ lim  f ( x‬ﻭ  ﻨﻪ‬
                                                     ‫ ﻣ‬                          ‫ﻭ‬                      ‫ ﻟ  ﻳ‬
                                                                                   ‫¥+®  ‪x‬‬

            ‫(‬
         ‫ )  ‪3 C g‬‬                                                            ‫ 1 = ) ‪lim f ( x ) ´ lim g ( x‬‬
         ‫ 2‬                                                                   ‫¥+® ‪x‬‬          ‫¥+® ‪x‬‬
                 ‫ )  ‪(C f‬‬
         ‫ 1‬                                                                               ‫ ﻭ  ﻨ  ﻧ  ﺘ ﺘ ﻥ‬
                                                                    ‫ ﻣ ﻪ  ﺴ ﻨ ﺞ ﺃ ّ  ¥+ = ) ‪.  lim  g ( x‬‬
                                                                     ‫¥+®  ‪x‬‬

‫ ‪­4  ­2  0  1  2  3  4 x‬‬
  ‫ 1­  3­‬
       ‫ 1­‬
                              ‫ ﻭ  ﺪ ﻨﺎ  0 = ) ‪  ٬  xlim f ( x ) ´ x lim g ( x ) = 1  َ lim f ( x‬ﻣ ﻪ  ﺴ ﻨ ﺞ‬
                               ‫¥-®  ﻭ  ﻨ  ﻧ  ﺘ ﺘ‬               ‫¥-®‬
                                                                               ‫ﻭ‬                    ‫ ﻟ  ﻳ‬
                                                                                 ‫¥-®  ‪x‬‬
       ‫ 2­‬                                                                                                  ‫ﻥ‬
                                                                                        ‫ ﺃ ّ  0 = ) ‪.  lim g ( x‬‬
       ‫ 3­‬                                                                               ‫¥-®  ‪x‬‬

                              ‫ ( ﺍ ﺘ ﺴ ﺮ ﺍ ﻬ ﺪ  ﻲ  ﻬ  ﻩ ﺍ ﻨ ﻴ  ﺔ  ﻮ ﺃ ّ ﺍ ﻤ ﺤ ﻴ ﻥ  ‪  C g  َ   C f‬ﺘ ﺎ  ﺑ ﻥ‬
                               ‫ﻭ  ﻣ ﻘ ﺭ ﺎ‬              ‫ ﺏ  ﻟ ﻔ  ﻴ  ﻟ  ﻨ  ﺳ  ﻟ  ﺬ  ﻟ ﺘ ﺠ  ﻫ  ﻥ  ﻟ  ﻨ  ﻨ ﺎ‬
                                                                                         ‫ﻭ‬
                                                                                   ‫ ﻨﺪ  ¥- َ  ¥+ .‬ ‫ ﻋ‬




‫ 67‬
                                                                                         ‫ ‐‬
                                                                                ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                ‫ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭ ﻣﻦ ﻣﺘﻌﺪﺩ :‬
                                                                              ‫ ﺹ  ﺝ‬
                                                                           ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 511  83  1 :‬
                                                                            ‫ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺍﻹﺟﺎﺑﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺩﻭﻥ ﺗﺒﺮﻳﺮ‬
                                                                           ‫ :‬
                               ‫ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ  ﺍﻟﻤﻮﺍﻟﻲ  ﻟﺪﻳﻨﺎ  ﺍﻟﺮﺳﻢ  ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ )  ‪  (C f‬ﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ  ﻋﻠﻰ‬
                                                                        ‫ [¥+ ;1] ‪  D = [0;1[ U‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ :‬

                                       ‫ 1‬                                                 ‫ 2 -  ‪x 3 - 4x 2  + 3x‬‬
                                ‫= )  ‪ f ( x‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ  ‪  D‬ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  2 - ‪:  y = x‬‬
                                       ‫ 2‬                                                      ‫ 1 - ‪2 ( x‬‬‫ )‬
                                        ‫ ﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  1 = ‪ y‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟـ  )  ‪ )  (C f‬ﺧﻄـﺄ (‬           ‫ 1  ﺃ‬
                                                                                          ‫ (  ( ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴ‬
                                    ‫ ( ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  1 = ‪ x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟـ  )  ‪ )  (C f‬ﺻﺤﻴﺢ (‬     ‫ ﺏ‬
                                                ‫ ﺝ(  )  ‪  (C f‬ﻻ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴ ًﺎ ﻣﻘﺎﺭ ًﺎ ﺃﻓﻘ ًﺎ ﻭ ﻻ ﻋﻤﻮ ﻳ‬
                                      ‫ ﺩ ًﺎ ) ﺧﻄـﺄ (‬           ‫ﺑ ﻴ‬        ‫ﻤ‬
                                               ‫ 1‬            ‫ ‪bx + c‬‬
                                    ‫+ ‪:  f ( x ) = x + a‬‬                ‫ (  ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ  [ ¥+ ;1] :‬
                                                                                                      ‫ 2‬
                                               ‫2‬                     ‫ )‬
                                                            ‫ 1 - ‪2 ( x‬‬
                                                                                              ‫ ﺃ  2‬
                                                         ‫ (  - = ‪ )  c = -  ٬  b = 2  ٬  a‬ﺧﻄـﺄ (‬
                                                                         ‫ 3‬
                                                        ‫ (  2 = ‪ )  c = -  ٬  b = -  ٬  a‬ﺧﻄـﺄ (‬
                                                                         ‫ 3‬         ‫ 2‬             ‫ ﺏ‬
                                                                                                   ‫ ﺝ‬
                                                             ‫ (  1 = ‪ )  c = 3  ٬  b = 2  ٬  a‬ﺧﻄـﺄ (‬
                                                     ‫ 3(  )  ‪ (C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻋﻨﺪ ¥+  ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ :‬
                        ‫ 1‬                             ‫ 1‬                                 ‫ 1‬
                              ‫ ٬ ﺝ‬                    ‫ (  1 + ‪ )  y = x‬ﺧﻄـﺄ (  ٬ ﺏ‬
        ‫ (  2 + ‪ )  y = x‬ﺧﻄـﺄ (  (  2 - ‪ )  y = x‬ﺻﺤﻴﺢ (‬                          ‫ ﺃ‬
                        ‫ 2‬                             ‫ 2‬                                 ‫ 2‬
                                            ‫ 3 3‬
                              ‫ (  ﺃ(  )  ‪  (C f‬ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ )  A æ ; - ö‬ﺻﺤﻴﺢ (‬
                                          ‫‪ç‬‬     ‫÷‬                                                ‫ 4‬
                                            ‫ ‪è 2 2 ø‬‬
                              ‫ ﺏ(  )  ‪  (C f‬ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ )  A æ 3 ; - 5 ö‬ﺧﻄـﺄ (‬
                                          ‫÷ 4 2 ‪ç‬‬
                                          ‫‪è‬‬         ‫ ‪ø‬‬
                                   ‫ ﺝ(  )  ‪  (C f‬ﻻ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﻓﻲ ﺃﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ) ﺧﻄـﺄ (‬
                                               ‫ ( ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  1;0 [ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  1 = ) ‪  f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ :‬
                                                                                  ‫ [‬             ‫ 5‬
                               ‫ ( ﺣﻠﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﻳﻦ ) ﺻﺤﻴﺢ (  ٬ ﺝ‬
           ‫ ( ﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻮﻝ ) ﺧﻄـﺄ (‬                                ‫ (  ﺣﻼ ﻭﺍﺣﺪ ) ﺧﻄـﺄ (  ٬ ﺏ‬     ‫ ﺃ‬

                                                                              ‫ 6  ﺹ  ﺝ‬
                                                                           ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  11  83  1 :‬
                                                                       ‫ 5 -  2 ‪3x‬‬
                                                                                ‫ ‪x‬‬
                                                       ‫= )  ‪:  f ( x‬‬               ‫ ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  }5{ - ¡  ﺑـ :‬
                                                                         ‫ 5 - ‪x‬‬

                                     ‫ 1(  ¥- = ) ‪ )  lim f ( x‬ﺻﺤﻴﺢ (  2(  0 = ) ‪ ) x lim f ( x‬ﺧﻄـﺄ (‬
                                                 ‫¥+®‬                           ‫ 5® ‪x‬‬

                                                          ‫ 05‬
                             ‫+ 01 +  ‪ )  f ( x ) = 3x‬ﺻﺤﻴﺢ (‬     ‫ (  ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ  }5{ - ¡ :‬    ‫ 3‬
                                                        ‫ 5 - ‪x‬‬
                                                         ‫ﻭ‬                                        ‫ 4‬
      ‫ (  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻠﺬﺍﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻬﻤﺎ  5 = ‪  y = 3x + 10  َ   x‬ﻣﻘﺎﺭﺑﺎﻥ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪ )  f‬ﺻﺤﻴﺢ ( .‬




‫ 77‬
                                                                                    ‫ ‐‬
                                                                           ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
                                                                                                                        ‫ ﺻ‬
                                                                                                           ‫ ﺤﻴﺢ ﺃﻡ ﺧﺎﻃﺊ :‬
                                                                                                         ‫ 7  ﺹ  ﺝ‬
                                                                                                      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  11  83  1 :‬
                                                                      ‫ ﺔ  ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ * ¡  :‬
                                                                                                           ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺟﺪﻭﻝ ﺗﻐﻴﺮﺍﺕ ﺩﺍﻟ‬
                                                                                                                                           ‫ ‬
                                                                                               ‫ﻭ َ  )  ‪  (C f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ :‬

                                                                                                                              ‫ 1‬
                   ‫ (  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  1 = ‪ x‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟـ )  ‪ )  (C f‬ﺧﻄـﺄ ( )  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ  1 = ‪ x‬ﻳﻘﻄﻊ  )  ‪(  (C f‬‬
                                                                                ‫ ( ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﺮﺍﺗﻴﺐ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟـ )  ‪ )  (C f‬ﺻﺤﻴﺢ (‬   ‫ 2‬
                  ‫ ﻧﻘﺎﻁ‬
                 ‫ (  ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ 1 = ‪ y‬ﻳﻘﻄﻊ )  ‪  (C f‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ ) ﺧﻄـﺄ ( )ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻘﻄﻊ )  ‪  (C f‬ﻓﻲ 4  (‬     ‫ 3‬
                                                                              ‫ [‬
                                                           ‫ ( ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  0 = ) ‪ f ( x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻠﻴﻦ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  ¥+ ;0]  ) ﺻﺤﻴﺢ (‬     ‫ 4‬
                      ‫ ( ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [0  ¥-] ٬  3 £ ) ‪ )  f ( x‬ﺧﻄـﺄ ( ) ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻫﻮ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [0  ¥-] ٬  2 £ ) ‪. (  f ( x‬‬
                                             ‫;‬                                                             ‫;‬                  ‫ 5‬

                                                                                                         ‫ 8  ﺹ  ﺝ‬
                                                                                                      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  11  83  1 :‬
                                                                    ‫ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮﺓ ﻭ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ  [ ¥+ ;0 [  ٬ ﺇﺫﻥ :‬
                                                                                                    ‫ﻣ‬

                                                                 ‫ ﺃ(  ¥- = ) ‪ )  lim  f ( x‬ﺻﺤﻴﺢ (  ) ﻷ ّ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ (‬
                                                                                      ‫ﻥ‬
                                                                                                      ‫¥+® ‪x‬‬

                                                                               ‫ )‬
                                                      ‫ ( ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ  ‪ x‬ﻣﻦ  [ ¥+ ;0 [ :  0 ( ‪ )  f ( x ) < f‬ﺻﺤﻴﺢ (‬
                                                                                                               ‫ ﺏ‬
                  ‫ (  ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﻔﻮﺍﺻﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ) ﺻﺤﻴﺢ (  ﻷﻥ 0 ﻳﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺮﻳﻒ‬
                 ‫ (‬                         ‫ )‬                                                                  ‫ ﺝ‬

                                                                                                         ‫ 9  ﺹ  ﺝ‬
                                                                                                      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  11  83  1 :‬
                 ‫ )  ‪  (C f‬ﻫﻮ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﺪﺍﻟﺔ  ‪  f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ  ¡ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻭ ﻣﺘﺠﺎﻧﺲ ٬  َ ) ‪  ( D‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﺬﻱ ﻣﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‬
                                              ‫ﻭ‬
                                                                                                              ‫‪:  y = 1 - x‬‬

                                                    ‫ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ) ‪ ( D‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟـ )  ‪ (C f‬ﻋﻨﺪ  ¥- ﻓﺈﻥ  ¥+ = ) ‪ )  lim  f ( x‬ﺧﻄـﺄ (‬
                                                                                                                             ‫ 1‬
                                                             ‫¥-® ‪x‬‬

                                    ‫ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ) ‪ ( D‬ﻣﻘﺎﺭﺏ ﻟـ )  ‪ (C f‬ﻋﻨﺪ  ¥+ ﻓﻼ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎﺭﺏ ﺃﻓﻘﻲ ﻟـ )  ‪ ) (C f‬ﺻﺤﻴﺢ (‬  ‫ 2‬
                                          ‫ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ  3 = ) ‪ x lim f ( x‬ﻓﻼ ﻳﻤﻜﻦ ﻟـ ) ‪ ( D‬ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻘﺎﺭ ًﺎ ﻟـ  )  ‪ ) (C f‬ﺻﺤﻴﺢ (‬
                                                                ‫ﺑ‬                                  ‫¥+®‬
                                                                                                                             ‫ 3‬
                                                ‫ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ) ‪ ( D‬ﻣﻘﺎﺭ ًﺎ ﻟـ  )  ‪ (C f‬ﻋﻨﺪ  ¥+ ﻓﺈﻥ  1 = ‪ ) x lim f ( x ) + x‬ﺻﺤﻴﺢ (‬
                                                                                                         ‫ﺑ‬                     ‫ 4‬
                                                            ‫¥+®‬



                                                                                                         ‫ 02  ﺹ  ﺝ‬
                                                                                                      ‫ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ  1  83  1 :‬
                                                                             ‫ ‪sin x‬‬                                       ‫ ‪sin x‬‬
                                                                 ‫‪(  lim‬‬              ‫‪ )  lim‬ﺧﻄـﺄ ( ) ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻫﻮ  1 =‬               ‫ 1 =‬    ‫ 1‬
                                                                                                                                         ‫ (‬
                                                                    ‫ 0®  ‪x‬‬     ‫‪x‬‬                                  ‫‪x ®+¥ x‬‬

                                                                                                                              ‫ 1‬
                                                                                                    ‫ 1 = ‪ )  x lim x  sin‬ﺧﻄـﺄ (‬           ‫ 2‬
                                                                                                                                         ‫ (‬
                                                                                                                 ‫¥+®‬          ‫‪x‬‬
                                                  ‫ ‐‬
                                         ‫ ‪www.fanit  mehdi.com‬‬                     ‫ ‬                                          ‫ ‪x‬‬
                                                                                                                         ‫ 5 ‪sin‬‬
                                                                     ‫ﻊﻗﻮﻣ ﻦﻋ‬                        ‫‪ )  lim‬ﺻﺤﻴﺢ (‬                 ‫ 1 =‬    ‫ 3‬
                                                                                                                                         ‫ (‬
                                                                                                                  ‫ 0 ® ‪x‬‬   ‫‪x‬‬
                                                                                                                    ‫‪p sin x  ö‬‬
                                ‫   ‪* info@fanit ‐ mehdi.com‬‬ ‫:ﱐﻭﺮﺘﻜﻟﻹﺍ ﺪﻳﱪﻟﺍ‬                   ‫‪ )  lim sin æ‬ﺻﺤﻴﺢ (‬ ‫‪ç‬‬             ‫ 1 = ÷‬    ‫ 4‬
                                                                                                                                         ‫ (‬
                                                                                                         ‫ 0®  ‪x‬‬
                                                                                                                  ‫ ‪è 2  x ø‬‬

                                             ‫ 94 58 70 4770 (‬         ‫: ﻒﺗﺎﳍﺍ‬




                 ‫ 87‬
                                                                                                                ‫ ‐‬
                                                                                                       ‫ ﻋﻦ ﻣﻮﻗﻊ  ‪www.fanit  mehdi.com‬‬
‫ﻡ‬   ‫10 7002 8002‬
        ‫/‬    ‫:‬     ‫ﻢﻗﺭ ﺝﺍﺮﺧﻹﺍ‬

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:5
posted:10/2/2012
language:Unknown
pages:78