Your Federal Quarterly Tax Payments are due April 15th Get Help Now >>

الظواهر العابرة في دوائر التيار المستمر -2 by hamada1331

VIEWS: 39 PAGES: 5

									     ‫محاضرة رقم (26)‬                                 ‫مركز تطوير الدراسات العليا و البحوث في العلوم الهندسية‬

                                                                       ‫26‬             ‫المحاضرة رقــــــم :‬
                                ‫الظواهر العابرة في دوائر التيار المستمر -6‬             ‫عنوان المحاضرة :‬
                          ‫‪Transients in DC Circuits II‬‬

           ‫1- التصرف الطبيعي لدائرة ملف-مكثف-مقاومة ‪Natural Response of RLC Circuit‬‬
‫دراسة الصرف الطبيعي للدائرة يعني ايجاد عالقة الجهد الكهربي علي مكونات الدائرة المتصلة علي التوازي‬
 ‫عند اطالق الطاقة المخزنة بالملف أو بالمكثف. و يمكن استخدام الدائرة الموضحة بالشكل (1) ، حيث القيمة‬
‫االبتائية للجهد الكهربي علي المكثف 0‪ V‬تعبر عن الطاقة المخزنة بالمكثف ، و التيار المبدئي 0‪ I‬بالملف يعبر‬
                                                                           ‫عن الطاقة المخزنة بالملف.‬

                                      ‫‪iL‬‬                 ‫‪iR‬‬
                              ‫+‬
                     ‫‪iC‬‬
                               ‫‪VO‬‬                                          ‫‪V‬‬
                              ‫-‬                 ‫‪IO‬‬



                                                 ‫شكل (1)‬
     ‫و سيتم تحديد التصرف الطبيعي بايجاد المعادالت التفاضلية للجهد ‪ v‬عن طريق تجميع التيار في النقطة‬
                                                          ‫العلوية و حساب التيار بداللة الجهد كالتالي :‬
             ‫‪t‬‬
     ‫1 ‪v‬‬                      ‫‪dv‬‬
       ‫‪  vd  I 0  C‬‬         ‫0‪‬‬                 ‫)1(‬
     ‫0‪R L‬‬                     ‫‪dt‬‬
     ‫‪1 dv v‬‬       ‫‪d 2v‬‬
           ‫0 ‪ C 2 ‬‬                                     ‫)2(‬
     ‫‪R dt L‬‬       ‫‪dt‬‬
      ‫2‬
     ‫‪d v‬‬     ‫‪1 dv‬‬    ‫‪v‬‬
        ‫2‬
          ‫‪‬‬       ‫‪‬‬    ‫0‪‬‬                                 ‫)3(‬
     ‫‪dt‬‬     ‫‪RC dt LC‬‬

                ‫6- حساب التصرف الزمني لحالة التغير الفجائي لدائرة مقاومة-ملف-مكثف علي التوازي‬
‫‪Step Response of Parallel RLC Circuit‬‬
 ‫يتضمن هذا الجزء ايجاد الجهد الكهربي في حالة التطبيق الفجائي لمصدر جهد كهربي. و يوضح الشكل (2)‬
                                                                   ‫الدائرة المستخدمة في التحليل.‬

                                                                                       ‫+‬
                                           ‫‪iC‬‬
                                                                      ‫‪iR‬‬              ‫‪V‬‬
                                                         ‫‪iL‬‬                           ‫-‬


                                                 ‫شكل (6)‬
 ‫و سيتم التركيز علي التيار في الملف ‪ iL‬حيث انه يمثل القيمة النهائية للتيار المسحوب من المصدر، كما سيتم‬
      ‫افتراض عدم وجود طاقة مخزنة في الدائرة. و يلزم حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية و عن طريق‬
                                                              ‫تطبيق قانون كيرشوف للتيار نحصل علي:‬
     ‫‪iL  iR  iC  I‬‬                       ‫)4(‬
‫‪or‬‬



                                                     ‫1‬
     ‫محاضرة رقم (26)‬                                  ‫مركز تطوير الدراسات العليا و البحوث في العلوم الهندسية‬

          ‫‪v‬‬        ‫‪dv‬‬
     ‫‪iL ‬‬    ‫‪C‬‬       ‫‪I‬‬                       ‫)5(‬
          ‫‪R‬‬        ‫‪dt‬‬
            ‫‪di‬‬
     ‫‪vL L‬‬                                     ‫)6(‬
            ‫‪dt‬‬
     ‫‪dv‬‬       ‫‪d 2 iL‬‬
         ‫2 ‪L‬‬                                  ‫)7(‬
      ‫‪dt‬‬       ‫‪dt‬‬
          ‫‪L diL‬‬        ‫‪d 2i‬‬
     ‫‪iL ‬‬          ‫‪ LC 2L  I‬‬                 ‫)8(‬
          ‫‪R dt‬‬          ‫‪dt‬‬

     ‫‪d 2 iL‬‬    ‫‪1 diL iL‬‬   ‫1‬
         ‫2‬
            ‫‪‬‬       ‫‪‬‬   ‫‪‬‬                                 ‫)9(‬
     ‫‪dt‬‬       ‫‪RC dt LC LC‬‬
                                                                                             ‫حل المعادلة :‬
 ‫يمكن حل المعادلة بداللة القيم االبتدائية للدالة )0(‪ iL‬و ‪ diL(0)/dt‬و بالتالي نحصل علي حل يشمل جزئين :‬
                                                         ‫التصرف الطبيعي و التصرف المفروض.‬
             ‫‪i = If + function of the same form as the natural response‬‬                           ‫)01(‬
‫‪or‬‬
            ‫‪v = Vf + function of the same form as the natural response‬‬                            ‫)11(‬
                                                                            ‫حيث ‪ If‬و ‪ Vf‬القيم النهائية للدالة.‬

                                 ‫3- حساب التصرف الزمن الطبيعي لدائرة ملف-مكثف-مقاومة علي التوالي‬
‫‪The natural responses of a series RLC circuits‬‬
 ‫يمكن حساب التصرف الزمني الطبيعي بتحليل الدائرة الموضحة بالشكل (3) ، و نبدأ بحساب الجهد الكهربي‬
                                                                          ‫في الدائرة المغلقة كالتالي:‬
                     ‫‪t‬‬
            ‫1 ‪di‬‬
    ‫0 ‪Ri  L   id  V0 ‬‬                         ‫)21(‬
            ‫0 ‪dt C‬‬
                                                              ‫و بالتفاضل بالنسبة للزمن نحصل علي :‬
                 ‫2‬
       ‫‪di‬‬      ‫‪d i i‬‬
    ‫0‪R L 2  ‬‬                                     ‫)31(‬
       ‫‪dt‬‬      ‫‪dt‬‬      ‫‪C‬‬
    ‫‪d 2 i R di‬‬         ‫‪i‬‬
       ‫2‬
          ‫‪‬‬        ‫‪‬‬      ‫0‪‬‬                        ‫)41(‬
    ‫‪dt‬‬      ‫‪L dt LC‬‬


                                                                       ‫+‬
                                                       ‫)0(‪I‬‬       ‫)0(‪V‬‬
                                           ‫‪i‬‬                           ‫-‬

                                                 ‫شكل (3)‬

                                                                ‫و يمكن ايجاد المعادلة الخاصة للدائرة كالتالي:‬
         ‫‪R‬‬     ‫1‬
     ‫‪s2  s ‬‬    ‫0‪‬‬                                       ‫)51(‬
         ‫‪L‬‬    ‫‪LC‬‬
                                                                                   ‫و جذور المعادلة كالتالي :‬
                         ‫2‬
             ‫‪R‬‬    ‫‪ R ‬‬    ‫1‬
 ‫‪s1, 2  ‬‬      ‫‪   ‬‬                        ‫)61(‬
             ‫‪2L‬‬   ‫‪ 2 L  LC‬‬


                                                      ‫2‬
     ‫محاضرة رقم (26)‬                                         ‫مركز تطوير الدراسات العليا و البحوث في العلوم الهندسية‬


‫‪or‬‬
     ‫0 ‪s1, 2     2  ‬‬
                          ‫2‬
                                                                 ‫)71(‬
                                                                            ‫و تردد النيبر )‪ (α‬يمكن ايجادها كالتالي:‬
           ‫‪R‬‬
     ‫‪‬‬       ‫‪rad / s‬‬                                            ‫)81(‬
           ‫‪2L‬‬
                                                                                                      ‫و تردد الرنين :‬
               ‫1‬
     ‫‪0 ‬‬         ‫‪rad / s‬‬                                        ‫)91(‬
               ‫‪LC‬‬
                                                                                          ‫و توجد ثالثة حلول للتيار :‬

     ‫‪i (t )  A1e s1t  A2 e s2t‬‬             ‫)‪(overdamped‬‬        ‫)02(‬
                  ‫‪t‬‬                     ‫‪t‬‬
     ‫)‪i (t )  B1e cos  d t  B2 e sin  d t (underdamped‬‬       ‫)12(‬
     ‫‪i(t )  D1tet  D2 e t‬‬              ‫)22( )‪(critically damped‬‬

                    ‫4- حساب التصرف الزمني لحالة التغير الفجائي لدائرة مقاومة-ملف-مكثف علي التوالي‬
‫‪Step Response of Series RLC Circuit‬‬
 ‫تتشابه طريقة الحل مع الدائرة علي التوازي و لكن يتم الحل بالنسبة الي الجهد علي المكثف ، وسيتم استخدام‬
           ‫الدائرة الموضحة بالشكل (4) في التحليل مع افتراض أن الطاقة المخزنة في البداية تساوي صفر.‬
                                         ‫- ‪+ VR‬‬          ‫- ‪+ VL‬‬
                                                     ‫‪R‬‬                  ‫‪L‬‬                    ‫+‬
                                                                 ‫‪i‬‬                   ‫‪C‬‬       ‫‪VC‬‬
                                                                                             ‫-‬

                                                         ‫شكل (4)‬
                                                                            ‫و بتطبيق قانون كيرشوف للجهد نحصل علي:‬
                       ‫‪di‬‬
     ‫‪V  Ri  L‬‬           ‫‪ vC‬‬                                   ‫)32(‬
                       ‫‪dt‬‬
                                                                     ‫و يرتبط التيار ‪ i‬بالجهد علي المكثف ‪ vC‬بالعالقة :‬
           ‫‪dvC‬‬
     ‫‪i C‬‬                                             ‫)42(‬
            ‫‪dt‬‬
     ‫‪di‬‬      ‫‪d 2v‬‬
         ‫‪ C 2C‬‬                                      ‫)52(‬
     ‫‪dt‬‬       ‫‪dt‬‬
       ‫2‬
     ‫‪d vC R dvC vC‬‬     ‫‪V‬‬
         ‫2‬
           ‫‪‬‬      ‫‪‬‬  ‫‪‬‬                               ‫)62(‬
      ‫‪dt‬‬      ‫‪L dt LC LC‬‬
                                                                                                  ‫و توجد ثالثة حلول :‬
                 ‫‪‬‬     ‫‪‬‬
     ‫‪vC  V f  A1e  A2e‬‬‫‪s1t‬‬       ‫‪s2t‬‬
                                              ‫)‪(overdamped‬‬                            ‫)72(‬

     ‫)82( )‪vC  V f  B1et cosd t  B2et sin d t (underdamped‬‬
                 ‫‪‬‬                ‫‪‬‬
     ‫‪vC  V f  D1tet  D2e  t‬‬
                 ‫‪‬‬                     ‫)‪(critically damped‬‬      ‫)92(‬
      ‫حيث ‪ Vf‬القيمة النهائية للجهد علي المكثف ‪ vC‬و هو كما يظهر من الشكل (5) سيساوي جهد المصدر ‪.V‬‬




                                                             ‫3‬
    )62( ‫محاضرة رقم‬                               ‫مركز تطوير الدراسات العليا و البحوث في العلوم الهندسية‬


Example (5):
The initial energy stored in the circuit is zero. At t = 0, a dc current source of
24 mA is applied to the circuit. The value of the resistor is 400 Ω.
   1) What is the initial value of iL?
   2) What is the initial value of diL/dt?
   3) What are the roots of the characteristic equation?
   4) What is the numerical expression for iL(t) when t  0 ?


                                      iC                iL             iR             +

       24 mA          t<0                                                            V

                                                                                      -

Solution:
   1) Since the initial current in the inductor is zero, the inductor
       prohibits an instantaneous change in its current. Therefore
       IL(0) = 0 immediately after the switch has been opened.
   2) The voltage at the capacitor is zero at t = 0. Because v = L
       diL/dt, then:
                          diL (0  )
                                     0
                             dt
   3) From the circuit elements, we obtain:
                                  1   10 12
                         0 
                          2
                                                16  10 8
                                 LC (25 )( 25 )
     and
                                 1
                                   5 104 rad / s
                               2 RC
     Because  02   2 , the roots of the characteristic equation are real and
     distinct, thus:
                          s1  5 104  3 104  20,000rad / s
                          s2  5 104  3 104  80,000rad / s
   4) The inductor current response will be overdamped. Thus:
                                         
                     iL  I f  A1es t  A2es t
                                             1      2



      Hence, from this solution, the two simultaneous equations which
                            
      determine A1 and A2 are:
                                                
                          iL (0)  I f  A1  A2  0
                      diL
                                            
                           (0)  s1 A1  s2 A2  0
                       dt
                               
       Solving for A1 and A2 gives:
                      A1  32 mA and             
                                                 A2  8mA
       The numerical solution for iL(t) is
                                                                 
                          iL (t )  24  32 e 20, 000t  8e 80, 000 mA, t  0


                                                   4
      )62( ‫محاضرة رقم‬                            ‫مركز تطوير الدراسات العليا و البحوث في العلوم الهندسية‬


Example (6):


                                                        +
                                               VC
                                                        -

No energy is stored in the inductor or the capacitor when the switch is closed.
Find vC(t) for t  0 .

Solution:
The roots of the characteristic equation are
                                          2
                       280     280        10 6
                s1                           (1400  j 4800 )rad / s
                       0 .2    0.2  (0.1)( 0.4)
                s2  (1400  j 4800 )rad / s.
The roots are complex, so the voltage response is underdamped. Thus
                                                       
                vC (t )  48  B1e 1400t cos 4800 t  B2 e 1400t sin 4800 t , t  0
No energy is stored in the circuit initially, so both vC(0) and dvC(0+)/dt are zero.
Then:
                         vC (0)  0  48  B1
and
                         dvC (0  )
                                                
                                     0  4800 B2  1400 B1
                            dt
Solving these two equations:
              B1  48V    and      
                                    B2  14V
Therefore the solution for vC(t) is
                                                                              
                vC (t )  48  48 e 1400t cos 4800 t  14 e 1400t sin 4800 t V , t  0




                                                    5

								
To top