Docstoc

METODE DUA FASA

Document Sample
METODE DUA FASA Powered By Docstoc
					                           METODE DUA FASA


      Digunakan untuk menyelesaikan suatu PL yang memiliki minimal satu fungsi
       pembatas dengan tanda ( ) atau tanda =
      Tahap I untuk memperoleh nilai Zj = 0
       Tahap II untuk mendapatkan jawaban optimalnya.




Contoh :
       Maks Z = 250 X1 + 200 X2
       Fungsi Batasan         20X1 + 45X2 + X3                    = 10.750
                              30X1 + 25X2 + X4                    = 9750
                              X1                  -X5 + X6        = 100
                                    X5 = Var. Surplus untuk fungsi batasan 3
                                    X6 = Var. Artificial untuk fungsi batasan 3 (
       Fungsi awal Max :      Z=250X1 + 200X2
       Fungsi batasan :       20X1 + 45X2
                              30X1 + 25X2
                              X1
Dimana variabel keputusan :
X1 = Meja yang akan diproduksi
X2 = Kursi yang akan diproduksi


Fasa I : menghilangkan var. Artifisial dari basis dan tabulasi simpleks baru yang akan
diikutkan pada pasa 2.
Fasa II : Operasi simpleks untuk memperoleh jawaban optimal.


Langkah-langkah fasa I :
   1. Buatkan tabel simpleks
   2. Selesaikan kolom artificial (kolom basis)
   3. Siapkan baris Zj – Cj dengan 2 komponen terpisah, tanpa M dan dengan M.
   4. Selesaikan fasa I ini dengan melibatkan Zj – Cj dengan M. Lakukan serangkaian OBE
        sehingga var. Artificialnya keluar dari basis.
   5. Lanjutkan ke fasa II dengan memasukkan tabel akhir, tanpa kolom antificial dan
        memasukkan Zj - Cj yang tanpa M


Tabel awal untuk fasa I :
                                                                                   Ruas
  Basis          X1         X2           X3          X4         X5        X6
                                                                                   Kanan
   X3            20         45            1              0      0          0       10750
   X4            30         25            0              1      0          0       9750
   X6             1          0            0              0      -1         1        100
                -250        -200          0              0      0         M          0
 Zj – Cj
               -250 - M     -200          0              0      M          0      -100M
                -250        -200          0              0      0          0         0
 Zj – Cj
                  -1         0            0              0      1          0        -100
                                                             Dari Persamaan X     [x(-1)]


Cara mengubah nilai-nilai pada baris Zj – Cj (karena ada nilai M dikolom X6 sehingga
menjadi 0) :
   -    Elemen (5,6) = (-M) x (1) + M = 0
   -    Elemen (5,1) = (-M) x (1) + (-250) = -250-M
   -    Elemen (5,2) = (-M) x (0) + (-200) = - 200
   -    Elemen (5,3) = (-M) x (0) + (0) = 0
   -    Elemen (5,4) = (-M) x (0) + (0) = 0
   -    Elemen (5,5) = (-M) x (-1) + (0) = M
   -    Elemen (5,6) = (-M) x (100) + (0) = -100M


Komponen Zj – Cj dipisahkan antara yang dengan M dan tanpa M, tanpa perlu dituliskan lagi
M-nya. Baris Zj – Cj yang tanpa M diletakkan pada bagian atas (baris b) sedangkan baris Zj-
Cj yang dengan M dibawahnya atau (baris 7).
Basis pada tabel simpleks awal adalah X3,X4 dan X6. Ierasi pertama fasa I dapat dimulai
dengan hanya melibatkan komponen Zj – Cj yang dengan M.
Sehingga setelah dipilih ulang (hanya melibatkan komponen Zj – Cj yang dengan M saja).
                                                                                 Ruas
 Baris        X1         X2          X3         X4            X5        X6                    rasio
                                                                                kanan
     X3        20        45          1          0             0         0       10750         537,5
     X4        30        25          0          1             0         0        9750          325
     X6        1         0           0          0             -1        1        100           100
Zj – Cj        -1        0           0          0             1         0        -100
Selanjutnya sama dengan metode simpleks biasa.


Vari masuk X1, Var keluar X6, pirot adalah elemen (3,1), karena nilainya sudah 1, sehingga
tidak perlu diubah.
Lakukan OBE pada baris1, 2, dan 4 dengan mengacu pada baris 3.


Hasil iterasi 1 fasa I
                                                                                              Ruas
  Baris            X1         X2          X3         X4            X5           X6
                                                                                            kanan
     X3             0         45          1          0             20           -20           8750
     X4             0         25          0          1             30           -30           6750
     X1             1         0           0          0             -1           1             100
 Zj - Cj            0         0           0          0             0            1               0


Zj – Cj dikolom ruas kanan = 0. Lanjutkan ke fasa II dengan menghilangkan X6 (artificial)
dan memasukkan baris Zj – Cj tanpa M yang semula.


Tabel awal fasa II
Baris          X1             X2           X3             X4             X5             Ruas
                                                                                        kanan
X3             0              45           1              0              20             8750
X4             0              25           0              1              30             6750
X1             1              0            0              0              -1             100
Zj – Cj        -250           -200         0              0              0              0
Zj - Cj        0              -200         0              0              -250           25000
(5,1)   = (250) x (1) + (-250) = 0
(5,2)   = (250) x (0) + (-200) = -200
(5,3)   = (250) x (0) + (0) = 0
(5,4)   = (250) x (0) + (0) = 0
(5,5)   = (250) x (-1) + (0) = -250
(5,6)   = (250) x (100) + (0) = 25000
Siapkan kembali untuk iterasi fasa II dengan hanya menampilkan matriks dengan Zj – Cj
dibagian bawah dan tambahan kolom rasio sebagai berikut :


                                                                           Ruas
  Basis         X1           X2           X3           X4             X5           Rasio
                                                                           Kanan
   X3            0         28,333         1          -0,667           0    4250
   X4            0         0,8333         0          0,033            1     225
   X1            1            0           0          0,033            0     350
 Zj - Cj         0         8,333          0          8,333            0    81250


                                                                           Ruas
  Basis         X1           X2           X3           X4             X5           Rasio
                                                                           Kanan
   X3            0           45           1            0              20   8750    437,5
   X4            0           25           0            1              30   6750    225
   X1            1            0           0            0              -1    100      -
 Zj - Cj         0          -200          0            0          -250     25000


Selanjutnya, lakukan iterasi :
       Var. Masuk X5 (nilai Zj – Cj terkecil)
       Var. Masuk X4 (nilai rasio RK & koef. Kol X5 terkecil)
       Pivot (2,5) – bagi semua nilai pada baris 2 dengan 30
       Lakukan OBE pada baris 1, 3 & 4 dengan mengacu pada baris 2
Sehingga didapat hasil iterasi I pada fasa II seperti tabel diatas.


Karena semua Zj – Cj sudah 0 atau positif, berarti solusi optimal.
       X1     = 3250
       X2     =0
        X3      = 4250
        X4      =0
        X5      = 225
        X6      =0
    Z = 81.250


METODE PRIMAL DUAL
Sangat efektif jika :
        Fungsi tujuan     minimasi
        Fungsi pembatas      semua bertanda


Primal adalah program asal (aslinya adalah program minimasi dengan pembatas                ).
Sedangkan dual merupakan program pasangan dengan kondisi berlawanan (tujuan maksimasi
dengan pembatas         ). Program dual dirancang dengan menggunakan nama / variabel yang
lain, biasanya W.


                    PRIMAL                                        DUAL
                  Min Z = CX                                  Max Z = BT W



           C = Koefisien fungsi tujuan             CT = Pembatas dual (transpose dari C)
         X = Variabel keputusan primal                 W = Variabel keputusan dual
        A = Matriks koef fungsi pembatas                   AT = Transpose dari A
    B = nilai ruas kanan (pembatas) prima                  BT = transpose dari B


Contoh :
Min Z = 60X1 + 50X2
Fungsi pembatas (s/t): 5X1 + 10X2       50
                          12X1 + 6X2    72

                          8X1 + 8X2    64

        Karena ada 3 fungsi pembatas, maka akan ada 3 variabel baru sebagai pengganti
         variabel sebelumnya.
Hasil prog duel.

Maks Z      = 50W1 + 12W2 + 64W3

                  5W1 + 12W2 + 8W3 + W4          = 60

                  10W1 + 6W2 + 8W3 + W5          = 50

        W4 dan W5 masing-masing adalah variabel slack untuk pembatas 1 & 2
        Disederhanakan

Tabulasi simpleks :

                                                                             Ruas
  Basis           W1         W2            W3            W4          W5               Rasio
                                                                             Kanan
   W4              5         12             8            1            0          60     5
   W5             10         6              8            0            1          50    8,3
 Zj - Cj          -50        -72           -64           0            0          0


        Variabel masuk W2 dan yang keluar W4
        Pivot pada elemen (1,2)       bagi semua nilai pada baris 1 dengan 12
        Lakukan OBE pada baris 2 & 3 dengan mengacu pada 1

Hasil iterasi 1

                                                                                      Ruas
   Basis               W1          W2             W3           W4           W5
                                                                                      kanan
    W2             0,417           1             0,667        0,083          0         5
    W5                 7,5         0              4           -0,5           1         20
  Zj – Cj              20          0              -16          6             0        360

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:35
posted:9/30/2012
language:Indonesian
pages:6