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图像复原模型的 Euler-Lagrange 方程
刘福保
（长沙民政职业技术学院，湖南 长沙 410004）
摘要：在对图像复原模型进行简单介绍的基础上，利用变分基本引理推导出 3 个常用图像复原模型的
Euler-lagrange 方程，并对所得方程进行了证明。
关键词：变分法；Euler-Lagrange 方程；图像复原；总变分
中图分类号： 文献标识码：A 文章编号：1673-9833(2009)02-0000-03
The Euler-Lagrange Equation For Image Restoration Model
Liu Fubao
(Changsha Social Work College，Changsha 410004，China)
Abstract: Based on the easy introduction for image restoration and using the variation basic lemma, we derive
three Euler-Lagrange equation for three common image restoration models, and proceeds to prove equation
Key words：variational method；Euler-Lagrange equation；image restoration；total variation
0 引言 求导这个方程的过程， 即使有也相当繁琐[2,3]。因此，
本文基于变分法推导了 3 个常用的图像复原模型的
图像在传输、采集或存贮的过程中，经常引入噪 Euler-Lagrange 方程。
音和模糊量，因而图像复原是图像处理中的一个基本
问题。在一定意义上讲，图像复原模型是一个泛函求 1 图像复原模型
极值问题，因此图像复原模型可以看成一个变分问题。
为了克服图像复原过程中的不适定问题，
令 u : R R 表示原始图像， f ( x, y ) 为退化图
2
Tikhonov 和 Arsenin[1]建议考虑如下修复模型：
像， K ( x, y ) 为线性算子表示模糊， ( x, y ) 为随机高
min | Ku f |22 | u |22 ， (2)
u L ( ) L ( )
斯白噪音，则退化图像模型为：
f ( x, y) K ( x, y)u( x, y) ( x, y) 。 其中， u 是梯度算子， u W ( ) 。
1,2
图像复原的任务就是在已知退化图像 f ( x, y ) 和 修复模型 （2） 由于在局部坐标区域内相当于各项
噪音 ( x, y ) 以及点线性算子 K ( x, y ) 的情况下，求出 同性扩散算子，因此能模糊图像的边缘区域。为克服
模糊现象，Rudin 等人提出了基于偏微分的总变分
原始图像 u ( x, y ) 。从数学意义上讲，图像复原问题是
Rudin,Osher,Fatemi 简称（ROF）模型[2]：
个不适定问题，因而需要对其正则化。基于 Tikhonov
1
正则化方法[1]的图像复原模型可写为： min | Ku f |22 | u |BV ， (3)
u 2 L
1
min Ku f J (u ) ，
2
u 2 L2
（1） 其中， 为正则化因子， | u | BV 定义为：
1 | u |BV | u | dxdy 。
其中, | Ku f |22 为保真项， 为正则化参数，
2 L
由于 ROF 模型并不惩罚图像的不连续局域， 并且
J (u) 为正则化项。 能够有效地保护图像的边界，从而获得巨大成功。但
在求解式(1）的过程中，一般情况下是先求出对 是在图像的平滑区域，ROF 模型的解是分片常量，因
应的 Euler-lagrange 方程，然后利用相对应的数值方 而导致所谓的阶梯现象，由于高阶 Partial Derivatives
法解这个方程。 但在大多数已有文献中,并没有具体的 Equations 简称（PDE）要求更强的光滑性，从而能比
收稿日期：2008-12-31
作者简介：刘福保 ， 湖南蓝山人，
（1962-） 男， 长沙民政职业技术学院高级讲师，主要从事变分法研究，E-mail:lfb620520@sina.com
ROF 模型更有效地阻止震荡现象，在一定程度上克服 K * Ku K * f u 0 ，
了 ROF 模型所导致的阶梯现象。Lysaker 等人在文献
u
[3]中提出了一个高阶的 PDE 模型——四阶 PED 模型： 其中， u 满足 Neumann 边值条件 0。
1 N
min | Ku f |22 | 2u | ， （4） 定理 2 图像复原模型（3）的 Euler-Lagrange 方
u 2 L
u
其中， 为正则化因子， | u | 定义为：
2
程满足 K * Ku K * f div 0。 （7）
| u |
| 2u | 1 uxx u xy u yx u yy dxdy 。
2 2 2 2
其中，K*是 K 的伴随算子， u 满足 Neumann 边值条
L
u
2 图像复原模型的Euler-Lagrange方程 件 0 ，N 是 的单位外法向量。
N
证明 类似于定理 1 的证明，令
引理 1（变分基本引理）[4] 设 f ( x, y ) L ( ), 对
2
u u 1
任意 ( x, y ) C0 ( ) ，若
f ( x, y) ( x, y)dxdy 0 ， F x, y, u , , ( Ku f ) 2 | u |
x y 2
则 f ( x, y ) 几乎处处为 0。 1
引理 2[5] 设对任意 u ( x, y ) 都满足一定的边值条 1 u ( x, y ) 2 u ( x, y ) 2 2
件，则泛函 L[u ( x, y )] ( Ku f )
2
, (8)
2 x y
u u 2u 2u 2u 2u
F x, y, u, , , , , ,
x y xx xy yx yy
dxdy 记p
u ( x, y )
，q
u ( x, y )
，则相对于式（8）有
x y
存在极值的 Euler-Lagrange 方程（必要条件）为： u
u
F F F F y
u x p y q xx r
Fu K * Ku K * f ， Fp x ， Fq 。
| u | | u|
F F F 由引理 2 得
0,
yx s xy t yy w u
u y
u u 2u 2u K * Ku K * f x 0 ，
其中， p ，q ，r ，s ，
x y xx xy x | u | y | u |
2u 2u
t ， w 。 也就是
yx yy
定理 1 图像复原模型（2）的 Euler-Lagrange 方 1 u u
K * Ku K * f , , 0 ，
程满足 K Ku K f u 0 。
* *
（5） x y | u | x y
其中，K*是 K 的伴随算子， u 满足 Neumann 边值条 因此，图像复原模型（3）的 Euler-Lagrange 方程满足
u u
件 0 ，N 是 的单位外法向量. K * Ku K * f div 0，
N | u |
u u u
证明 令F x, y, u, , ( Ku f ) 2 | u |2 其中， u 满足 Neumann 边值条件 0。
x y N
u ( x, y) 2 u ( x, y) 2 定理 3 图像复原模型（4）的 Euler-Lagrange 方
Ku f
2
, (6) u uxy
x y
程满足 K Ku K f
* * xx
2
| u | xx | u | yx
2
u ( x, y ) u ( x, y )
不妨记 p ，q ， 则相对于式 （6）
x y u yx u yy
u u 2 2 0 9
有 Fu 2 K Ku K f ， Fp 2 ， Fq 2 | u | xy | u | yy
* *
。
x y
其中，K*是 K 的伴随算子， u 满足边值条件
由引理 2 得
u u
u u u xx u yx 0 ， xx xy 0 ，
2 K * Ku K * f 2 2 0 。 | u | x | u | y
2 2
x x y y
显然，图像复原模型（2）的 Euler-Lagrange 方程满足
u yx u yy u u
u yy u xy 0 ， 2 2 0 。 u xx u yx 0 ， xx xy 0 ，
| u | x | u | y | u | x | u | y
2 2
证明 u yx u yy
2u 2u 2u 2u 1 u yy u xy 0 ， 2 2 0 。
令 F x, y , u , ( Ku f ) | u | x | u | y
2
, , ,
xx xy yx yy 2
2 u ( x, y ) 2 3 结语
1
| u | ( Ku f ) 2
2
本文归纳和总结了三个常用的图像复原模型，并
2 xx
利用变分原理推导和证明了这三个图像复原模型的
2 2
Euler-Lagrange 方程。这将有助于理解变分原理在图像
2 u ( x, y ) 2 u ( x, y ) 2 2 u ( x, y )
(10) 复原模型中的应用。
xy yx yy
2u 2u 2u
，令 r
相对于式（10） ，s ， t ， 参考文献
xx xy yx
2u
2u
w ，从而有 Fu K Ku K f ， Fr xx ，
* * [1] Tikhnonov A，Arsenin V. Solutions of ill-posed problems[J].
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即 K * Ku K * f xx 2
| u | xx | u | yx
2
u yx u yy
2 2 0,
| u | xy | u | yy
其中， u 满足边值条件
