???????Euler-Lagrange??

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					                       图像复原模型的 Euler-Lagrange 方程

                                                       刘福保

                                      (长沙民政职业技术学院,湖南 长沙 410004)


    摘要:在对图像复原模型进行简单介绍的基础上,利用变分基本引理推导出 3 个常用图像复原模型的
Euler-lagrange 方程,并对所得方程进行了证明。
     关键词:变分法;Euler-Lagrange 方程;图像复原;总变分
     中图分类号:           文献标识码:A         文章编号:1673-9833(2009)02-0000-03


                     The Euler-Lagrange Equation For Image Restoration Model

                                                      Liu Fubao
                                  (Changsha Social Work College,Changsha 410004,China)

    Abstract: Based on the easy introduction for image restoration and using the variation basic lemma, we derive
three Euler-Lagrange equation for three common image restoration models, and proceeds to prove equation
     Key words:variational method;Euler-Lagrange equation;image restoration;total variation



0 引言                                                          求导这个方程的过程,         即使有也相当繁琐[2,3]。因此,
                                                              本文基于变分法推导了 3 个常用的图像复原模型的
  图像在传输、采集或存贮的过程中,经常引入噪                                       Euler-Lagrange 方程。
音和模糊量,因而图像复原是图像处理中的一个基本
问题。在一定意义上讲,图像复原模型是一个泛函求                                       1 图像复原模型
极值问题,因此图像复原模型可以看成一个变分问题。
                                                                  为了克服图像复原过程中的不适定问题,
令 u :   R  R 表示原始图像, f ( x, y ) 为退化图
             2
                                                              Tikhonov 和 Arsenin[1]建议考虑如下修复模型:
像, K ( x, y ) 为线性算子表示模糊, ( x, y ) 为随机高
                                                                     min | Ku  f |22          | u |22         ,   (2)
                                                                      u            L ( )              L ( )
斯白噪音,则退化图像模型为:
f ( x, y)  K ( x, y)u( x, y)   ( x, y) 。                   其中, u 是梯度算子, u  W ( ) 。
                                                                                                   1,2


    图像复原的任务就是在已知退化图像 f ( x, y ) 和                                 修复模型     (2)  由于在局部坐标区域内相当于各项
噪音 ( x, y ) 以及点线性算子 K ( x, y ) 的情况下,求出                       同性扩散算子,因此能模糊图像的边缘区域。为克服
                                                              模糊现象,Rudin 等人提出了基于偏微分的总变分
原始图像 u ( x, y ) 。从数学意义上讲,图像复原问题是
                                                              Rudin,Osher,Fatemi 简称(ROF)模型[2]:
个不适定问题,因而需要对其正则化。基于 Tikhonov
                                                                         1
正则化方法[1]的图像复原模型可写为:                                                  min | Ku  f |22  | u |BV ,                    (3)
                                                                     u 2         L
            1
        min Ku  f             J (u ) ,
                        2

        u 2           L2
                                                   (1)        其中,  为正则化因子, | u | BV 定义为:

       1                                                                    | u |BV   | u | dxdy   。
其中,      | Ku  f |22 为保真项,  为正则化参数,                                               
       2           L
                                                                  由于 ROF 模型并不惩罚图像的不连续局域,    并且
J (u) 为正则化项。                                                  能够有效地保护图像的边界,从而获得巨大成功。但
  在求解式(1)的过程中,一般情况下是先求出对                                      是在图像的平滑区域,ROF 模型的解是分片常量,因
应的 Euler-lagrange 方程,然后利用相对应的数值方                              而导致所谓的阶梯现象,由于高阶 Partial Derivatives
法解这个方程。      但在大多数已有文献中,并没有具体的                                Equations 简称(PDE)要求更强的光滑性,从而能比

收稿日期:2008-12-31
作者简介:刘福保        , 湖南蓝山人,
          (1962-) 男,    长沙民政职业技术学院高级讲师,主要从事变分法研究,E-mail:lfb620520@sina.com
ROF 模型更有效地阻止震荡现象,在一定程度上克服                                                  K * Ku  K * f  u  0 ,
了 ROF 模型所导致的阶梯现象。Lysaker 等人在文献
                                                                                               u
[3]中提出了一个高阶的 PDE 模型——四阶 PED 模型:                                    其中, u 满足 Neumann 边值条件            0。
         1                                                                                     N
     min | Ku  f |22  |  2u | ,                        (4)          定理 2      图像复原模型(3)的 Euler-Lagrange 方
     u 2         L
                                                                                        u 
其中,  为正则化因子, |  u | 定义为:
                       2
                                                                   程满足 K * Ku  K * f   div    0。 (7)
                                                                                        | u | 
      |  2u | 1         uxx  u xy  u yx  u yy dxdy 。
                            2      2      2      2
                                                                   其中,K*是 K 的伴随算子, u 满足 Neumann 边值条
              L    
                                                                     u
2 图像复原模型的Euler-Lagrange方程                                          件     0 ,N 是  的单位外法向量。
                                                                     N
                                                                        证明       类似于定理 1 的证明,令
     引理 1(变分基本引理)[4] 设 f ( x, y )  L ( ), 对
                                                       2

                                                                               u u  1
任意  ( x, y )  C0 ( ) ,若
                 
                                  f ( x, y) ( x, y)dxdy  0 ,   F  x, y, u , ,   ( Ku  f ) 2   | u |
                                                                               x y  2
则 f ( x, y ) 几乎处处为 0。                                                                                                      1
     引理 2[5] 设对任意 u ( x, y ) 都满足一定的边值条                                 1                    u ( x, y ) 2  u ( x, y ) 2  2
件,则泛函 L[u ( x, y )]                                                     ( Ku  f )   
                                                                                      2
                                                                                                                          , (8)
                                                                       2                    x   y  
                                                                                                                             
                 u u  2u  2u  2u  2u 
     
      F  x, y, u, , ,      ,    ,    ,
                  x y xx xy yx yy 
                                             dxdy                 记p
                                                                           u ( x, y )
                                                                                        ,q 
                                                                                             u ( x, y )
                                                                                                         ,则相对于式(8)有
                                                                              x                y
存在极值的 Euler-Lagrange 方程(必要条件)为:                                                                                      u
                                                                                                     u
  F   F    F    F                                                                                       y
                         
  u x  p  y  q  xx  r 
                                                                 Fu  K * Ku  K * f , Fp  x , Fq                    。
                                                                                                   | u |          | u|
         F    F    F                                   由引理 2 得
                                0,                                           
      yx  s  xy  t  yy  w                                                                     u  
                                                                                         u    y  
        u        u        2u        2u                         K * Ku  K * f     x                     0 ,
其中, p      ,q      ,r         ,s       ,
        x        y       xx        xy                                              x  | u |  y  | u |  
                                                                                                   
                                                                                                              
      2u       2u                                                                                             
t        , w      。                                              也就是
     yx       yy
     定理 1 图像复原模型(2)的 Euler-Lagrange 方                                                      1  u u  
                                                                   K * Ku  K * f    ,               ,   0 ,
程满足 K Ku  K f  u  0 。
          *            *
                              (5)                                                      x y   | u |  x y  
其中,K*是 K 的伴随算子, u 满足 Neumann 边值条                                   因此,图像复原模型(3)的 Euler-Lagrange 方程满足
  u                                                                                      u 
件      0 ,N 是  的单位外法向量.                                         K * Ku  K * f  div           0,
  N                                                                                      | u | 
                      u u                                                                          u
证明 令F  x, y, u, ,   ( Ku  f ) 2   | u |2                   其中, u 满足 Neumann 边值条件                   0。
                      x y                                                                          N
                    u ( x, y) 2  u ( x, y) 2                    定理 3      图像复原模型(4)的 Euler-Lagrange 方
   Ku  f    
            2
                                                , (6)                                      u            uxy 
                    x   y  
                                                                 程满足 K Ku  K f   
                                                                             *         *             xx
                                                                                                            2  
                                                                                                |  u |  xx  |  u |  yx
                                                                                                     2
            u ( x, y )        u ( x, y )                                                     
不妨记 p                  ,q                , 则相对于式     (6)
               x                  y                                      u yx            u yy  
                                         u            u                  2   2    0                              9
有 Fu  2  K Ku  K f  , Fp  2             , Fq  2                      |  u |  xy  |  u |  yy 
                                                                                                        
             *          *
                                                          。
                                          x           y
                                                                   其中,K*是 K 的伴随算子, u 满足边值条件
由引理 2 得
                                                                                         u   u 
                            u     u                       u xx  u yx  0 ,  xx    xy   0 ,
2  K * Ku  K * f      2     2   0 。                                        |  u | x  |  u |  y
                                                                                             2            2

                          x  x  y  y 
显然,图像复原模型(2)的 Euler-Lagrange 方程满足
                     u yx   u yy                                                                u   u 
  u yy  u xy  0 ,  2    2   0 。                                          u xx  u yx  0 ,  xx    xy   0 ,
                     |  u | x  |  u |  y                                                      |  u | x  |  u |  y
                                                                                                        2            2


  证明                                                                                                u yx   u yy 
                 2u  2u  2u  2u  1                                         u yy  u xy  0 ,  2    2   0 。
令 F  x, y , u ,                       ( Ku  f )                                                |  u | x  |  u |  y
                                                   2
                     ,    ,    ,
                xx xy yx yy  2
                                  2 u ( x, y )      2                        3 结语
             1
    |  u | ( Ku  f ) 2   
         2
                                                                                    本文归纳和总结了三个常用的图像复原模型,并
             2                  xx 
                                                                                利用变分原理推导和证明了这三个图像复原模型的
                 2                                            2
                                                                                Euler-Lagrange 方程。这将有助于理解变分原理在图像
   2 u ( x, y )    2 u ( x, y )  2   2 u ( x, y ) 
                                                                 (10)   复原模型中的应用。
  xy   yx   yy                                           
                                                                  
                                   2u       2u       2u
       ,令 r 
相对于式(10)                               ,s       , t      ,                     参考文献
                                  xx       xy       yx
                                                                           2u
     2u
w       ,从而有 Fu  K Ku  K f , Fr  xx ,
                    *      *                                                     [1] Tikhnonov A,Arsenin V. Solutions of ill-posed problems[J].
    yy                             |  2u |                                         NewYork:Halsteed Press,1977.
                                                                                 [2] Rudin L,Osher S,Fatemi E. Nolinear total variation based
      2u       2u           2u                                                    noise removal algorithm[J]. Physica D,1992,60:259-268.
     xy       yx           yy                                                 [3]   Lysaker M,Lundervold A,Tai X. Noise removal using
Fs  2 , Ft  2 , Fw  2 。
    | u|     | u|        | u|                                                       fourth-order partial differential equation with applications to
  由引理 2 知,图像复原模型   的
                (4) Euler-Lagrange                                                     medical magnetic resonance images in space and time[J].
方程满足                                                                                 IEEE Trans. Image Process,2003,12(12):1579-1590.
                          2u             u                     2          [4] 李荣华. 偏微分方程数值解法[M]. 北京:                     高等教育出版社,
                   
                        xx             yx 
                                                                                     2005.
K * Ku  K * f         2                                                    Li rongHua.Numerical Solution of Partial Differential
                    xx  |  u |     xy  |  2u | 
                                                   
                                                                                     Equations [M]. Beijing:Higher Eduction Press,2005.
                                  xx                                        [5] 老大中. 变分法基础[M]. 北京:国防工业出版社,2004.
                                                                                     Lao Dazhong.Basic variational method[M]. Beijing:National
                   2u           2u  
                                             
                xy    yy  
                                                                                     Defense Industry Press,2004.
                  2            2  0,                                       [6] 周启亚,杨高波.像素域运动对象提取算法的研究[J].湖南
             yx  |  u |  yy  |  u |                                         工业大学学报.2008.22(6):50-54
                                                                                Zhoug Qiya,Yang Gaobo.Research on Moving Object
                                        
                                                                                     Extraction from Video Pixel Domain[J].Journal of Hunan
                        u             u xy                                      University of Techndogy,2008,22(6):50-54.
即 K * Ku  K * f    xx    2  
                        |  u |  xx  |  u |  yx
                             2
                       
           u yx           u yy  
           2    2    0,
           |  u |  xy  |  u |  yy 
                                        
其中, u 满足边值条件

				
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