Get documents about "Introduction à la logique
Document Sample
Introduction à la logique
Introduction aux fonctions
logiques
Systèmes binaires
¤ Deux états fondamentaux et distincts;
¤ Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non.
Par convention:
¤ Un état est représenté par « 0 »;
¤ L’autre est représenté par « 1 ».
2
La logique Booléenne
En 1847, George Boole invente une
algèbre pour traiter les variables
binaires.
¤ Il écrira « The Mathematical Analysis
of Logic », Cambridge,
Il définit 3 opérateurs de base, ainsi
qu’une foule de règles et de
postulats.
3
Types de représentation
Les fonctions logiques peuvent être représentées
de plusieurs façons:
¤ Équations logiques
¤ Tables de vérités
¤ Logigrammes
¤ Diagrammes échelle (Ladder)
Ces représentations seront introduites avec les
fonctions de base...
4
Fonctions logiques
de base :
- NON
- ET
- OU
Fonction logique NON
En anglais: NOT
Représentation:
¤ F=A ou F = /A
Table de vérité
Entrée Sortie
A F A F
0 1
1 0 Symbole graphique
6
Fonction logique ET
En anglais: AND
Représentation:
¤ F=A*B
Table de vérité
Entrée Sortie
B A F
0 0 0
A
0 1 0 F
1 0 0 B
1 1 1 Symbole graphique 7
Fonction logique OU
En anglais: OR
Représentation:
¤ F=A+B
Table de vérité
Entrée Sortie
B A F
0 0 0
A
0 1 1 F
1 0 1 B
1 1 1 Symbole graphique 8
Autres fonctions
logiques :
- NAND Portes universelles
- NOR
- EXOR
- ID (EXNOR)
- ...
Fonction logique NON-ET
En anglais: NAND
Représentation:
¤ F=A*B
Table de vérité
Entrée Sortie
B A F
0 0 1
A
0 1 1 F
1 0 1 B
1 1 0 Symbole graphique
10
Fonction logique NON-OU
En anglais: NOR
Représentation:
¤ F=A+B
Table de vérité
Entrée Sortie
B A F
0 0 1
A
0 1 0 F
1 0 0 B
1 1 0 Symbole graphique
11
Portes universelles
Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible
de générer toutes les fonctions booléennes.
A
A+ B
Ex. Avec NOR
B
NON /(A+A) = /A
ET /(/A +/B) = //A * //B = A*B
OU /(/(A +B)) = A +B
12
Portes universelles
Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible
de générer toutes les fonctions booléennes.
B A
13
Fonction OU-EXCLUSIF
En anglais: EXOR
Représentation:
¤ F=AB /B*A+B*/A
Table de vérité
Entrée Sortie
B A F
0 0 0
/B*A
A
0 1 1 F
1 0 1
B*/A
B
1 1 0 Symbole graphique
14
Fonction NON OU-EXCLUSIF
En anglais: EXNOR
Représentation:
/B*/A+B*A
¤ F=AB
Table de vérité
Entrée Sortie
B A F
/B*/A
0 0 1
A
0 1 0 F
1 0 0 B
B*A
1 1 1 Symbole graphique
15
Fonctions de 2 variables
Il existe 16 fonctions logiques possibles ayant 2
variables.
A B F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
A B F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
16
Fonctions de 2 variables
F0 = 0 F1 = /A./B F3 = /A F5= /B F7=/(AB)
F2 = /A.B F4 = A./B F6=AB
A B F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
A B F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
17
Réalisations des
fonctions logiques :
- circuit électrique
- relais (automatisme)
- logigramme (carte de
contrôle, circuit
intégré,...)
Fonction logique NON
Interrupteur normalement fermé
A
Lampe
V
Lampe A 19
Fonction logique ET
Utilise deux interrupteurs normalement ouvert
en séries.
A B
Lampe
V
Lampe A B
20
Fonction logique OU
Utilise deux interrupteurs normalement ouvert
en parallèles.
B
A
Lampe
V
Lampe A B 21
Fonction logique NON-ET
Utilise deux interrupteurs normalement fermés
en parallèles.
B
A
Lampe
V
Lampe AB A B 22
Fonction logique NON-OU
Utilise deux interrupteurs normalement fermés
en série.
A B
Lampe
V
Lampe A B AB 23
Fonction OU-EXCLUSIF
Utilise deux interrupteurs à deux contacts
A B
A B
Lampe
V
B A BA B A epmaL 24
Fonction NON OU-EXCLUSIF
Utilise deux interrupteurs à deux contacts
A B
A B
Lampe
V
Lampe A B AB AB 25
Exercice (1)
Il est possible de représenter une fonction logique
en utilisant cette approche.
Ex. F = AB + /C
A B
C
F
V
26
Exercice (2)
F = (AB + /A./B)(BC+/CD)
A B B C
D
A B C
F
V
27
Réalisations des
fonctions logiques :
- circuit électrique
- relais (automatisme)
- logigramme (carte de
contrôle, circuit
intégré,...)
Fonctions logiques utilisant des
relais
En automatisation, on utilise les relais pour
réaliser des fonctions logiques.
Le relais est une composante électromécanique.
A A
A A
Bobine Contact Contact
normalement normalement
A A ouvert fermé
A A 29
Fonction logique NON
Relais avec un contact normalement fermé
Bobine d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V++
b
B
Lampe
V B
30
Fonction logique ET
Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en séries.
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V++
c
C D
Lampe
V C
d
V D
31
Fonction logique OU
Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en
parallèles.
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V++
e
E
V E
Lampe
F
f
V F
32
Fonction logique NON-ET
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en séries.
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V++
i
I
V I
Lampe
J
j
V J
33
Fonction logique NON-OU
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en
parallèles.
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V++
g
G H
Lampe
V G
h
V H
34
Fonction OU-EXCLUSIF
Lampe = K L = /K.L + K./L
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V++
k
K L
V K
Lampe
K L
l
V L
35
Fonction NON OU-EXCLUSIF
Lampe = M N = M.N + /M./N
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V++
m
M N
V M
Lampe
M N
n
V N
36
Réalisation : exercice
Réaliser (avec des circuits électriques et relais) :
- F = ab + c
- F = (ab + /a/b)(bc + /cd)
- F = (a + b +c)(/a + b/c + c)
37
L ’ALGEBRE DE BOOLE
Un ensemble E possède une structure
d'algèbre de Boole s'il est muni de deux lois
de composition interne associatives et
commutatives notées + et * :
les lois + et * sont distributives l'une par rapport à
l'autre et admettent un élément neutre (0 et 1
respectivement);
tout élément de E est idempotent pour chaque loi :
x + x = x et x • x = x
Tout élément x de E possède un unique élément,
dit complémenté de x, généralement noté
généralement /x , vérifiant la loi du tiers exclu : x +
/x = 1 et le principe de contradiction x * /x = 0.
Dans cette algèbre, on peut écrire : /x = 1 - x. 38
L’algèbre Booléenne : lois fond.
+ et * sont deux lois de composition interne :
Fermeture:
¤ Si A et B sont des variables Booléennes, alors
A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes.
Commutativité
¤ A+B= B+A
¤ A*B = B*A
39
L’algèbre Booléenne : lois fond.
Associativité
¤ A + (B + C) = (A + B) + C
¤ A * (B * C) = (A * B) * C
Distributivité
¤ ET sur OU: A(B + C) = AB + AC
¤ OU sur ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
2+(3*2) (2*3) + (2*2)
40
L’algèbre Booléenne
Idempotence
¤ A+A = A
¤ A*A=A
Complémentarité
¤ A+A=1
¤ A*A=0
¤ A=A
41
L’algèbre Booléenne
Identités remarquables
¤ 1+A=1 et 1*A=A
¤ 0+A=A et 0*A=0
Distributivité interne (très utile pour la
simplification algébrique des fonctions
booléennes).
¤ A + (B + C) = (A + B) + (A + C)
¤ A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
42
L’algèbre Booléenne
Théorème de De Morgan
(A + B) = A * B
et
A*B=A+B
43
L’algèbre Booléenne : théorèmes
#1 0 A 0 #2 1 A 1
#3 1 A A #4 0 A A
#5 A A A #6 A A A
#7 AB B A #8 AB B A
#9 A B C A B C #10 A B C A B C
#11 A A 0 #12 A A 1
#13 A B C A B A C #14 A B C A B A C
#15 A B C Z A B C Z #16 A B C Z A B C Z
A AB A
#17 #18 A A B A
#19 A AB A B #20 A A B AB
A B B C A C A B A C
#21 #22 AB BC AC AB AC
Le complément d’une expression quelconque s’obtient en
complémentant les variables et en permutant les opérateurs ET et OU.
44
Simplification
Méthode algébrique :
Appliquer les principes de l’algèbre de Boole.
Méthodes graphiques :
Karnaugh
Mahoney
Méthodes programmables :
Utilisation des algorithmes de simplification algébrique.
45
Règles de simplification
Règle 1 : On peut simplifier une fonction logique en regroupant des
termes à l’aide des théorèmes.
ABC + AB/C + A/BCD =
= AB(C + /C) + A/BCD
= AB + A/BCD
= A(B + /BCD) Distributivité + / *
= A[(B +/B) (B+CD)]
= A[(B+CD)]
Règle 2 : On peut ajouter un terme déjà existant à une expression
logique.
ABC + /ABC + A/BC + AB/C =
= [ABC + /ABC] + [ABC + A/BC] + [ABC + AB/C]
= BC + AC + AB
46
L’algèbre Booléenne : simplification
X = X/Y + XY = (X+ Y)(X + /Y)
X = X + XY = X(X+Y)
X + /XY= X + Y X(/X +Y) = XY
XY + /XZ + YZ = XY + /XZ
(X+Y)(/X+Z)(Y+Z) = (X+Y)(/X+Z)
XY + X/YZ = XY +XZ
(X + Y)(X + /Y + Z) = (X+Y)(X+Z)
…/... 47
L’algèbre Booléenne : expression avec
des fonctions NAND et NOR
Re-écrire l ’expression de la fonction Z en n ’utilisant :
- que des portes NOR, et puis
- que des portes NAND (après simplification).
Z = (x + /y + z)(x + /z) (/x + /y)
48
Représentations d’une fonction
logique
Table de vérité
Equation logique
49
Table de vérité vs logigrammes
Pour une table de vérité donnée, nous pouvons
trouver l’équation logique et le logigramme (ou
diagramme échelle) correspondant
Il faut utiliser l’algèbre de Boole pour simplifier.
50
Table de vérité vs logigrammes
Construction d’une table de vérité
¤ N variables
¤ N+1 colonnes
¤ 2^N lignes
¤ Chaque ligne est représentative d’une
combinaison des variables parmi les 2^N
possibles (N colonnes).
51
Table de vérité vs logigrammes
Exercice.
Soit un local ayant trois portes identifiées a, b et c. À
proximité de chacune de ces portes nous trouvons
un interrupteur à bascule que les gens manipuleront
lorsqu’ils entreront ou sortiront. Ces interrupteurs
commandent une ampoule qui éclaire le local.
Ainsi, une personne qui entre par la porte “ a ”
manipulera l’interrupteur “ a ” pour allumer
l’ampoule et cette même personne sortant par la
porte “ b ” manipulera l’interrupteur “ b ” pour
éteindre l’ampoule. Lors de l’inauguration du local,
a = 0, b = 0, c = 0, et l’ampoule L est éteinte (L = 0).
52
Formes canoniques des équations
booléennes
1° forme : Somme de produits.
F=ABC + B
2° forme : Produit des sommes.
F = (A+B)(A+C)
3° forme : n’utilise que des NAND
F = ABC * ABC * ABC * ABC
4° forme : n’utilise que des NOR
¤ F = (A+B+C)+(A+B+C)
Ex. Mettre sous la forme 3 l’expression F=ABC+ ABC + ABC + ABC
53
Ex. Mettre sous la forme 4 l’expression F=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)
Table de vérité Eq. logique
Trouver l’équation de S. ()
Entrées Sortie
C B A S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0 54
Exemple
Solution:
¤ On construit l’équation de S
Entrées Sortie
en écrivant tous les termes
C B A S donnant S=1.
0 0 0 0
0 0 1 0 ¤ Ainsi, S = 1:
0 1 0 1 si C=0 et B=1 et A=0;
0 1 1 1 ou si C=0 et B=1 et A=1;
1 0 0 0 ou si C=1 et B=0 et A=1;
1 0 1 1 ou si C=1 et B=1 et A=0.
1 1 0 1
1 1 1 0 55
Exemple
On peut donc écrire:
¤ S = /C.B./A + /C.B.A +
Entrées Sortie C./B.A + C.B./A
C B A S
0 0 0 0 On peut simplifier:
0 0 1 0 ¤ S = /C.B + B./A + C./B.A
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
Autre solution possible:
1 0 1 1 ¤ S = /C.B + C.(AB)
1 1 0 1
1 1 1 0 56
Si nous utilisions des relais...
S = /C.B + B./A + C./B.A = B.(/C + /A) + C./B.A
V++
C
B A
C B A
S
57
La simplification des équations
La simplification est essentielle.
¤ Il faut avoir le circuit le plus simple que possible...
La simplification peut être un processus long si le
système est complexe.
Heureusement, il existe des techniques simples pour
simplifier.
58
Méthodes de simplification
Il est possible d ’obtenir directement une équation sous
sa forme simplifiée en utilisant une méthode de
simplification graphique.
Méthodes de simplification graphique:
¤ Tables de Karnaugh
¤ Table de Mahoney
59
Principes de base
Représentation de la table de vérité sous forme
graphique.
Nombre de cases = nombre de lignes de la table de
vérité.
¤ Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...), n = Nombre d ’entrées
Principe de simplification : Deux termes se
simplifient s’ils ne diffèrent que par le fait qu’une
variable est présente dans un terme et son inverse
dans l’autre terme.
A/B + AB = A
On cherche à mettre en évidence les simplifications
possibles (les termes adjacents). 60
Exemple (Karnaugh)
Deux termes adjacents par
définition mais non adjacents
Entrées Sortie sur la table de vérité.
C B A S
0 0 0 0 BA
C
0 0 1 0 00 01 11 10
0 1 0 1
0 1 1 1
0 0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1 TABLE DE KARNAUGH
TABLE DE VÉRITÉ Deux termes adjacents par définition
et adjacents sur la table de vérité. 61
Principes de base (suite)
À partir de la table, on simplifie en groupant des 1
adjacents.
La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1, 2, 4, 8, ...).
Le groupe est soit rectangulaire ou carré.
Former les plus gands groupes possibles (Termes plus
simples).
Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.
62
Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 2:
¤ Entrées B et A
¤ 4 cases
A
B 0 1
00 01
0
10 11
1
63
Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 3:
¤ Entrées C, B et A
¤ 8 cases
BA
C
00 01 11 10
0 000 001 011 010
1 100 101 111 110
64
Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 4:
¤ Entrées D, C, B et A
¤ 16 cases
BA
DC
00 01 11 10
00 0000 0001 0011 0010
Codage ! 01 0100 0101 0111 0110
11 1100 1101 1111 1110
10 1000 1001 1011 1010
65
Rappel : Codes binaires
Changer
Code binaire naturel Code binaire réfléchi valeur
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 2 0 0 1 1 2
0 0 1 1 3 0 0 1 0 3
Symétrie
0 1 0 0 4 0 1 1 0 4
0 1 0 1 5 0 1 1 1 5
0 1 1 0 6 0 1 0 1 6
0 1 1 1 7 0 1 0 0 7
1 0 0 0 8 1 1 0 0 8
1 0 0 1 9 1 1 0 1 9
1 0 1 0 10 1 1 1 1 10
1 0 1 1 11 1 1 1 0 11
1 1 0 0 12 1 0 1 0 12
1 1 0 1 13 1 0 1 1 13
1 1 1 0 14 1 0 0 1 14
1 1 1 1 15 1 0 0 0 15 66
Exemple (Karnaugh)
Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A
BA /C.B.A+/C.B./A = /C.B
C
00 01 11 10
0 0 0 1 1
1 0 1 0 1
C./B.A /C.B./A+C.B./A=B./A
67
Principes de base (suite)
Les 1 des bords extrêmes sont adjacents.
¤ La table se referme sur elle même.
BA
DC
00 01 11 10
/C./A 00 1 0 1 1
/D.C./B.A 01 0 1 0 0
11 0 0 0 0 /C.B
10
1 0 1 1
68
Exemple (Mahoney)
A A
B
0 1
A A A A
B
2 3
B
0 1 5 4
B
2 3 7 6
C C
69
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 3:
¤ Entrées C, B et A
¤ 8 cases
A A A A
B
0 1 5 4
B
2 3 7 6
70
C C
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 4:
¤ Entrées D, C, B et A
¤ 16 cases A A A A
B
0 1 5 4
D
B
2 3 7 6
B
10 11 15 14
D
B
8 9 13 12
C C 71
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 5:
¤ Entrées E, D, C, B et A
¤ 32 cases
A A A A A A A A
B
0 1 5 4 20 21 17 16
D
B
2 3 7 6 22 23 19 18
B
10 11 15 14 30 31 27 26
D
B
8 9 13 12 28 29 25 24
C C C C
E E 72
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 6: A A A A A A A A
B
0 1 5 4 20 21 17 16
D
B
2 3 7 6 22 23 19 18
F
B
10 11 15 14 30 31 27 26
D
B
8 9 13 12 28 29 25 24
B
40 41 45 44 60 61 57 56
D
B
42 43 47 46 62 63 59 58
F
B
34 35 39 38 54 55 51 50
D
B
32 33 37 36 52 53 49 48
C C C C
73
E E
Exemple (Mahoney)
Entrées Sortie
C B A S
0 0 0 0
A A A A
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
B 0 0 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1 B 1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 1 0
TABLE DE VÉRITÉ C C
TABLE DE MAHONEY74
Exemple (Mahoney)
Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A
C./B.A
A A A A
B 0 0 1 0
B 1 1 0 1
/C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A
C C 75
Exercices
1 : Passer de la table de vérité 2 : Passer du tableau de
au tableau de Karnaugh. Karnaugh à la table de vérité.
Simplifier. Simplifier.
P Q F A
0 0 1 0 1
0 1 1 "00" 0 1
1 0 0 "01" 1 1
BC
1 1 1 11 0 1
10 1 0
3 : Donner l’expression. 4 : Donner l’expression.
Minimiser l’expression. Minimiser l’expression.
A A
0 1 0 1
"00" 1 "00" 1 0
"01" 1
BC
"01" 1 0
BC
11 1
11 1 1
10 76
10 1 1
Exercices
5 : Simplifier.
ab ab
"00" "01" 11 10 "00" "01" 11 10
"00" 1 "00" 1 1
"01" 1 "01" 1
cd cd
11 1 1 1 11 1 1 1 1
10 1 1 1 10 1 1 1 1
ab
ab
"00" "01" 11 10
"00" "01" 11 10
"00" x "00" 1 1
"01" 1 1 x 1 "01" 1 x 1
cd cd
11 1 1 11 x 1 x 1
10 x 10 x
77
Exercices
5 : Simplifier.
/a . b . d
ab
/a . b ab
"00" "01" 11 10 /b . /d
"00" "01" 11 10
"00" 1 1 c
"00" 1 /b . c
"01" 1 "01" 1
cd cd
11 1 1 1 11 1 1 1 1
10 1 1 1 10 1 1 1 1
S = /a . b + /b . c S = /a . b . d + /b . /d + c
ab
a . /b . /c
ab
"00" "01" 11 10
"00" "01" 11 10
/a . d
"00" 1 1
/a . b
"00" x /c . d
"01" 1 1 x 1 "01" 1 x 1
cd cd /b . d
11 1 1 11 x 1 x 1
10 x 10 x
S = /a . d + /c . d = d . (/a . /c) S = a . /b . /c + /a . b + /b . d = /a . b + /b . (a . /b + d ) 78
Exercices
6 : Simplifier. a
b
abc c
"000" "001" "011" "010" 110 111 101 100
"00" x 1 1 1 x
"01" 1 x 1 x x
ef
11 x x x x x x x x
10 x x x x x x x x
a
abc b
c
"000" "001" "011" "010" 110 111 101 100
"00" x x x x x x x x
"01" x x x x x x x x
ef
11 1 x x 1 x
10 1 1 x x x 1 79
Exercices
1 : Concevoir un circuit capable d’additionner deux bits, capable de
générer leur somme S et leur report R.
2 : Concevoir un circuit de commande d’un afficheur 7 segments pour
l’affichage des nombres 0, 1, 2, …, 9. (des états indifférents)
e3 : le poids le plus important
e0 : le poids le plus faible
80
Les états indifférents (don’t care)
Ils sont représentés par des X
En sortie, ils correspondent à des combinaisons
d’entrées pour lesquelles la sortie n’a pas été
définie.
¤ Ex.: Un réservoir ne peut être à la fois vide et
plein.
81
Contrôle de niveau d’un réservoir
h
M
Pompe 1
s
M
Pompe 2
Capteur de niveau haut b
h = 1 : plein
Capteur de niveau bas
b = 0 : vide Sélecteur de pompe
s = 0 : Pompe 1
s = 1 : Pompe 2
82
Contrôle de niveau ...
Si réservoir plein: Aucune pompe en marche;
Si réservoir vide: Les 2 pompes en marche;
Si réservoir ni vide, ni plein: Faire fonctionner la
pompe sélectionnée par le sélecteur « s ».
83
Contrôle de niveau ... M
Pompe 1
h
s
M
Pompe 2
Table de vérité:
b
Entrées Sorties
h b s P1 P2
0 0 0 1 1 Réservoir vide
0 0 1 1 1
0 1 0 1 0 Réservoir à 1/2
0 1 1 0 1
1 0 0 X X Réservoir plein
1 0 1 X X et vide ?!?
1 1 0 0 0 Réservoir plein
1 1 1 0 0 84
Contrôle de niveau ... h
0
Entrées
b
0
s
0
P1
1
Sorties
P2
1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 X X
Tables de Karnaugh:
1 0 1 X X
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
bs
h
00 01 11 10
0 1 1 0 1
P1 = /b + /h./s 0 1 3 2
1 X4 X5 0 7
0
6
bs
h
00 01 11 10
P2 = /b + /h.s
0 1 1 1 0
0 1 3 2
1 X4
X 07
5
0 85
6
Contrôle de niveau ...
Diagramme échelle:
V++
b
Seul risque:
- si le capteur b est en h s P2
panne (b=0) alors que
le réservoir est plein...
b
Les deux pompes
seront en marche !!! h s P1
86
Contrôle de niveau ...
Si on considère les X comme des 0.
bs
h
00 01 11 10
P2 = /b./h + /h.s
0 1 1 1 0
0 1 3 2
1 04 05 07 0
6
bs
h
00 01 11 10
0 1 1 0 1
P1 = /b./h + /h./s 0 1 3 2
1 0 4 05 0 7
0
6 87
Contrôle de niveau ...
Diagramme échelle (sécuritaire):
V++
b
h s P2
b
h s P1
88
Conclusion de l’exemple
Les « X » peuvent êtres utilisés dans des
groupes de 1 pour en augmenter la taille.
¤ Cela implique des équations plus simples;
Du point de vue sécurité, il peut s ’avérer
nécessaire de considérer les « X » comme des
« 0 ».
89
Les états indifférents (don’t care)
En entrée, ils permettent d’écrire les tables de
vérité sous forme plus compacte.
Entrées Sorties
h b s P1 P2
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1
Entrées Sorties
0 1 0 1 0
h b s P1 P2
0 1 1 0 1
0 0 X 1 1
1 0 0 X X
0 1 0 1 0
1 0 1 X X
0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 X X X
1 1 1 0 0 1 1 X 0 90
0
Logique combinatoire
v.s.
Logique séquentielle
Les premières méthodes
d’automatisation pour les
systèmes séquentiels.
91
La logique combinatoire et les
automatismes
La logique combinatoire peut être utilisée pour
étudier les automatismes simples.
L’exemple qui suit montre la marche à suivre...
92
Etapes de la démarche
1 Dénombrer tous les états possibles.
Établir un diagramme des phases.
Établir un diagramme des transitions.
2 Construire la table de vérité du système.
3 Trouver les équations logiques des actionneurs.
93
Plateau tournant
Cycle de fonctionnement:
¤ poussée sur bouton m;
¤ déverrouillage de W;
¤ avance du vérin V, avec
rotation du plateau;
¤ verrouillage de W;
¤ retrait de V, le plateau
restant immobile.
94
Plateau tournant
La méthode utilisée repose
sur le fait qu'en logique
combinatoire, une
combinaison d'entrées
donne une seule
combinaison de sorties.
95
Plateau tournant
Au départ, aucun capteur
n'est actionné, et les deux
vérins sont au repos.
Donc:
¤ m = 0 et a = 0 et b = 0:
¤ W = V = 0.
m a b W V
0 0 0 0 0
96
Plateau tournant
Puis, en appuyant sur m,
le vérin W est déplacé.
Donc:
m = 1 et a = 0 et b = 0
W = 1 et V = 0
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 97
Plateau tournant
Dès que le capteur a est
actionné, le vérin V
provoque la rotation du
plateau.
a = 1 et b = 0 et ce pour
? m = 1 ou m=0 (m=X)
W = 1 et V = 1.
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
98
X 1 0 1 1
Plateau tournant
Si le capteur b = 1, le vérin
W verrouille le plateau.
b = 1 et a = 1 , m = X
W = 0 et V = 1.
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
99
Plateau tournant
Lorsque le capteur a n'est
plus actionné, le vérin V
reprend sa position initiale.
a = 0 et b = 1 , m = X
V = 0 et W = 0
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
100
X 0 1 0 0
Plateau tournant
Table de vérité
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
0 X 1 0 1 1
1
0
1 X 1 1 0 1
0
1 X 0 1 0 0
101
5 lignes représentant 8 états.
Diagramme des phases
m a b W V
La méthode utilisée repose sur le fait qu'en
logique combinatoire, une combinaison d'entrées 0 0 0 0 0
donne une seule combinaison de sorties. 1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
m appuy é X 0 1 0 0
jusqu'à av oir a
m
a
b
W
V
1 2 3 4 5 6 1 102
Diagramme des transitions
m appuy é
jusqu'à av oir a W,V
m Démarche :
a 3 -chemin principal
b
W 110 -assurer combinatoire
V m a b -chemins supp. (var. en X)
1 2 3 4 5 6 1
V
7 8
111 101
W W,V W,V V
1 2 3 4 5 6
001
000 100 110 010 011
m a b
103
Diagramme des transitions
Tjrs 1 combinaison de sorties pour 1 combinaison d’entrées.
V
7 8
111 101
W W,V W,V V
1 2 3 4 5 6
000 100 110 010 011 001
m a b 2 lignes
confondues de
la table de érité
104
Plateau tournant
V
7 8
Tables de Mahoney W W,V
111
W,V
101
V
1 2 3 4 5 6
001
000 100 110 010 011
W b b b b
a 0 0 0 1
0 1 5 4
W = m./b + a./b
a 1 0 0 1 = /b.(m+a)
2 3 7 6
m m
105
Plateau tournant
V
7 8
Tables de Mahoney W W,V
111
W,V
101
V
1 2 3 4 5 6
001
000 100 110 010 011
V b b b b
a 0 0 0 0
0 1 5 4
V=a
a 1 2
1 3
1 7
1
6
m m
106
Plateau tournant - Réalisation
W (Verrouillage) A V (Rotation) B
W V
24V 0V
B A W
M
A V
Schéma de commande
électromécaniquee
107
Méthode de Huffman
Exemple où la résolution combinatoire devient impossible.
Marche (m) et Arrêt (a) d ’un Moteur (C) :
Mise en Marche : Si (a = 0 ET m = 1 ) Alors (C = 1)
Moteur en marche : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 1)
Mise à l’arrêt : Si (a = 1 ET m = 0) Alors (C = 0)
Arret : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 0)
Huffman
108
Etapes de la démarche
1 Dénombrer tous les états possibles.
Établir un diagramme des phases.
Établir un diagramme des transitions.
2 Construire la table primitive des états.
3 Construire la table réduite des états.
Définir des variables secondaires.
4 Trouver les équations logiques des
actionneurs et des variables secondaires.
109
Dénombrer tous les états
possibles. Établir un diagramme
des phases.
m
a
C
1 2 3 4 1
110
Dénombrer tous les états
possibles. Établir un diagramme
de transitions.
C
ma 2
10
C
1 5 3
00 11 00
4
01
111
Construire la table primitive des
états Code binaire réfléchi
m Etat indiff.
Etat stable a C
(1 par ligne)
1 4 X 2 0
Etat
transitoire 3 X 5 2 1 2
C
(montre 10
l ’évolution 3 4 X 2 1 1
00 11
5 3
00
C
possible ma
4
d ’un état
stable vers
1 4 5 X 0 01
un autre)
X 4 5 2 0 112
Construire la table réduite des
états
Le regroupement de lignes de la matrice primitive doit obéir
aux règles suivantes :
·Les niveaux logiques de la ou des sorties doivent être
les mêmes sur les lignes à regrouper.
·Les états sur chacune des lignes à regrouper doivent
être les mêmes ou correspondre à un X.
.Les états sont fusionnés selon la règle : > 3 > X
113
Construire la table réduite des
états
m
m
a C a C
1 4 X 2 0
3 X 5 2 1 1 4 5
X 2 0
3 4 X 2 1
1
X
4
4
5
5
X
2
0
0
3 4 5 2 1
Deux sorties différentes pour les mêmes entrées.
Introduction d ’une variable secondaire.
114
Construire la table réduite des
états
m
x a C
1 4 5
X 2 0
3 4 5 2 1
Introduction d ’une variable secondaire.
115
Trouver les équations : pour C
Pour remplir la table d'une sortie, il faut mettre dans
chaque case la valeur de la sortie pour l'état stable
correspondant au numéro d'état de la case
correspondante de la matrice contractée.
m
a C
x 1 4 5
X 2 0
m 3 4 5 2 1
x a
0 0 0 1 C = (m+x)a
1 0 0 1 116
Trouver les équations : pour x
Pour remplir la table d’une variable secondaire, il faut
mettre dans chaque case la valeur de la variable
secondaire pour l’état stable correspondant au numéro
d’état de la case correspondante de la matrice contractée.
m
a C
x 1 4 5
X 2 0
m 3 4 5 2 1
x a
0 0 0 1 x = (m+x) a
1 0 0 1 117
Exercice : Plateau tournant
(huffmann)
Aucune contrainte pour
l’opérateur.
118
Méthodes intuitives
(fondées sur la
méthode de Huffman)
Dans certains automatismes les variables secondaires
sont les sorties du système.
119
Exemple
•Un moteur qui peut tourner vers la gauche (contacteur « G »)
ou vers la droite (contacteur « D »). Ce moteur est commandé
par trois boutons :
•« m » et « n » qui sont verrouillés mécaniquement (donc
impossibles à actionner en même temps) et qui correspondent
respectivement à une rotation à gauche et une rotation à
droite;
•« a » qui est le bouton d’arrêt (prioritaire si appuyé en même
temps que « m » et « n »).
120
Exemple
m
n
a
G
D
1 2 3 4 1 5 6 4 1
G G Gauche et droite
États ayant les 2 3 en même temps
mêmes entrées 100 000 (arrêt prioritaire)
mna
7
101
1 4
000 8 001
011
D D
5 6
010 000 121
Exemple
Il faut deux variables intermédiaires pour distinguer ces trois états.
Ils se différencient grâce à leur sortie.
Les Sorties seront les variables intermédiaires.
Choisissons : x=G
et
y=D
122
Matrice réduite des états 2
G
3
G
100 000
mna
7
101
1 4
000 8 001
011
D D
5 6
010 000
m
n
a G D
xy
1 4 8 5 X X 7 2 0 0
6 4 8 5 X X X 2 0 1
X X X X X X X X X X
3 4 X 5 X X 7 2 1 0
123
m
n
Equations de x
a G D
xy
1 4 8 5 X X 7 2 0 0
6 4 8 5 X X X 2 0 1
X X X X X X X X X X
x = (m/a + x/n/a) /y 3 4 X 5 X X 7 2 1 0
Sécurité (pas de demande de rotation G et D)
m
n
a
xy x = m/a
0 0 0 0 X X 0 1
0 0 0 0 X X X 1 x = x/n/a
X X X X X X X X
1 0 X 0 X X 0 1
124
m
n
Equations de y
a G D
xy
1 4 8 5 X X 7 2 0 0
6 4 8 5 X X X 2 0 1
X X X X X X X X X X
y = (n/a + y/m/a) /x 3 4 X 5 X X 7 2 1 0
Sécurité (pas de demande de rotation G et D)
m
n y = n/a
a
xy
0 0 0 1 X X 0 0
y = y/m/a
1 0 0 1 X X X 0
X X X X X X X X
0 0 X 1 X X 0 0
125
Étude simplifiée des
automatismes à cycles
géométriques
126
Distributeur de caissettes
Suite à l’appui sur le
poussoir « m »:
¤ Extension du vérin H pour
pousser la caissette sur le
tapis
¤ Extension du vérin V pour
soulever la caissette 2
pendant la rétraction du
vérin H.
¤ Rétraction du vérin H
¤ Rétraction du vérin V
127
Au départ, capteurs b et d
actionnés et deux vérins
sont au repos.
m a b c d V H
0 0 1 0 1 0 0
128
En appuyant sur “m”,
extension du vérin H.
m a b c d V H
0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1
129
- b = 0.
- Arrivée de H en fin de
course, extension de V
m a b c d V H
0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1
x 0 0 0 1 0 1
x 1 0 0 1 1 1
130
- d = 0.
- Arrivée de V en fin
de course, rentrée de H
m a b c d V H
0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1
x 0 0 0 1 0 1
x 1 0 0 1 1 1
x 1 0 0 0 1 1
x 1 0 1 0 1 0
131
- a = 0.
- Arrivée de H en fin de
course, rentrée de V
m a b c d V H
0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1
x 0 0 0 1 0 1
x 1 0 0 1 1 1
x 1 0 0 0 1 1
x 1 0 1 0 1 0
x 0 0 1 0 1 0
x 0 1 1 0 0 0
132
- c = 0.
- Fin du cycle
Autres cas impossibles car
Vérins entrés et sortis en
même temps.
m a b c d V H
0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1
x 0 0 0 1 0 1
x 1 0 0 1 1 1
x 1 0 0 0 1 1
x 1 0 1 0 1 0
x 0 0 1 0 1 0
x 0 1 1 0 0 0
x 0 1 0 0 0 0
133
Distributeur de caissettes
m a b c d V H
0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1
x 0 0 0 1 0 1
/M M x 1 0 0 1 1 1
x 1 0 0 0 1 1
H /D D D /D /D D D /D x 1 0 1 0 1 0
x 0 0 1 0 1 0
/C 0 1 0 0 0 1 1 0 x 0 1 1 0 0 0
x 0 1 0 0 0 0
/A
C 0 X X 0 0 X X 0
C 0 X X X X X X 0
A
/C 1 1 X X X X 1 1
/B B /B
H = m.d + /b.d+/ca
= d(m+/b)+/ca
134
Distributeur de caissettes
/M M
V /D D D /D /D D D /D
/C 0 0 0 0 0 0 0 0
/A
C 1 X X 0 0 X X 1
C 1 X X X X X X 1
A
/C 1 1 X X X X 1 1
/B B /B
V = a + /b.c
135
Cycle géométrique Sortie
Cycle carré. actionnée
Deux
Un capteur actif capteurs
(associé au vérin qui actifs
ne bouge pas)
b V a,c
c c
b
a H,V
H
d d d
m b a
136
Cycle géométrique
H = (m+/b).d + a./c
c
P V O
V = a+c./b
H,V
Mise en équation
d M
H N directement du graphique
ci-contre.
b a
137
Système de perçage
Cycle en L.
a
N
h M
H
H,V H
O b
c
138
Système de perçage
a Variable x:
h M
N ¤ X=1 sur M-N-O;
H ¤ X=0 sur O-N-M.
H,V H X = a + X./b
H = X + /h
O b
c
V = X.c
139
Système de transfert
Cycle complexe:
a N
b O
V
V
W P
c
M d
e
140
Système de transfert
Variables X,Y,Z:
¤ X = 1 et Y = 0 et Z = 0
a N Sur M-N
¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 0
Sur N-M
b O ¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 1
V Sur M-O
V ¤ X = 0 et Y = 1 et Z = 1
W Sur O-M
c P ¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 1
M d Sur M-P
e
¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 0
Sur P-M
141
Système de transfert
X = c./Z + X.(/c + Y)
a N Y = a + Y./b
Z = b + Z./e
b O
V W = Z.c
V
V = V.X.(/Y./Z+Y.Z)
W P
c
M d
e
142
Machine à remplir et à boucher
Identifier des cycles
géométriques
143
