M�todos cuantitativos de Toma de Decisiones by 21c6o480

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									 Cap. 3 :


 METODOS CUANTITATIVOS
 PARA LA TOMA DE DECISIONES
INTRODUCCION
 Todos los días construimos modelos:
 - Modelos mentales de una situación.
 - Modelos a escala que tratan de representar la situación
  real.

 Nos interesa los MODELOS ECONOMICOS y MODELOS
  DE OPTIMIZACION RESTRINGIDA que también tratan
  de representar la realidad.
SISTEMA
 Sistema es un conjunto de actividades interrelacionadas entre
  si y que persiguen un objetivo común.

 Los SISTEMAS sin depender su tamaño son complejos. Una
  microempresa es afectada por los elementos externos y una
  multinacional por los factores internos.
MODELOS
 Un sistema real es complejo por lo que para estudiar
  problemas tomamos un MODELO.
 La construcción de un Modelo es una Arte y Ciencia.


 Debe tomarse en cuenta todas las variables.Y el
  comportamiento del modelo debe ser similar al
  comportamiento del sistema real.
 Una empresa posee tres plantas de producción: una en Santa Cruz,
  otra en Sucre y otra en La Paz. Los costos de producción en cada
  planta son los mismos, pero los costos de transporte difieren
  significativamente.
 Los principales puntos de demanda están en Cochabamba, Tarija y El
  Alto.
 El problema consiste en decidir cuánto se debe producir en cada planta
  con el fin de minimizar los costos de distribución del producto.
 Un gerente de un banco debe decidir cuántas cajas debe abrir para
  atender a sus clientes.
 Si abre muchas cajas el servicio será muy eficiente, pero los costos se
  incrementarán fuertemente.
 Si abre pocas cajas es posible que los clientes tengan que hacer largas
  colas para ser atendidos, y podría ser que prefieran ir a otro banco.
 Se debe decidir cuántas cajas se van a abrir.
 Un gerente de un supermercado está convencido de que se deben
  mantener altos niveles de inventarios, ya que cuando un cliente no
  encuentra un producto irá a conseguirlo en algún supermercado
  competidor.
 Pero esto implica altos costos, sobre todo en el caso de algunos
  productos difíciles de conservar.
 Su pregunta consiste en cuál debe ser el nivel adecuado de inventarios.
 Un empresario está considerando efectuar una inversión en un nuevo
    producto con el fin de lanzarlo al mercado.
   El nuevo producto podría comercializarse dos modos:
   1. Regalar pequeñas muestras de nuevo producto y
   2. Colocar algunos anuncios en revistas y televisión.
   El empresario debe escoger el plan que maximice las ventas, a un costo y
    riesgo aceptables.
TIPOS DE MODELOS CUANTITATIVOS
   NORMATIVOS Y DESCRIPTIVOS
  - Descriptivo: Este modelo solo describe la situación y su
   variación.
  - Normativo: establecen un curso de acción para arribar a la
   mejor solución y alcanzar objetivos. Las partes de este modelo
   son: - Variables de decisión y Parámetros. - Restricciones y –
   Función Objetivo.

 DETERMINISTICOS Y PROBABILISTICOS
 Es por la naturaleza del parámetro (si es de origen estocástico o
     probabilístico el Modelo es probabilístico y si es variable
     cuantificada con precisión es Modelo Determinístico.)
TIPOS DE MODELOS CUANTITATIVOS
      ESTATICOS Y DINAMICOS

-     Estático: Este modelo hace abstracción del tiempo no
      cambian las condiciones en el periodo de estudio.
-     Dinámico: Este modelo al igual que el mundo es dinámico
      establecen periodos de análisis múltiple donde parámetros
      y recursos cambian con el tiempo.
    FORMALES Y NO FORMALES
    Es formal cuando el problema se adecue a una técnica ya existente
         y es no formal cuando el problema es único y se tiene que
         desarrollar nuevos procedimientos.
MODELOS FORMALES
 Clasificación de Eppen-Gould-Schmidt

TIPO DE MODELO       CLASE DE        FRECUENCIA DE USO
                     INCERTIDUMBRE
PROGRAMACION          D              +
LINEAL
REDES (PERT CPM)       D P           +
INVENTARIOS           D P            +
SIMULACION            D P            +
PROGRAMACION           D             -
ENTERA, DINAMICA
TEORIA DE JUEGOS Y    P              -
DE COLAS
CADENAS DE MARKOV     P              -
Investigación de operaciones
   Enfoque científico y objetivo a la toma de
    decisiones y solución de problemas gerenciales
   Implica:
     Construcción de un modelo simbólico
     Analizar las relaciones entre las decisiones,
      consecuencias y objetivos
     Desarrollar una técnica de decisión
Beneficios de los Métodos Cuantitativos
para la toma de decisiones


      Provee herramientas lógicas
      Mayor precisión y cuantificación
      Visión mejorada
      Formalización
      Mejores sistemas de planificación, control, organización y
       operación
Proceso de la investigación de
operaciones
    1.   Formulación y definición del problema
    2.   Construcción de un modelo
    3.   Solución del modelo
    4.   Validación del modelo
    5.   Implementación de los resultados
Programación Lineal
 Programación Lineal es un Modelo Normativo, determinístico y
     estático.
Naturaleza y estructura de los
modelos matemáticos

 Variables y parámetros de decisión

 Restricciones

 Función Objetivo
 Programación Lineal : Formulación de
 Problemas
 Una    empresa dispone de 70 trabajadores con
 cualificaciones diferentes (Economistas, Ingenieros,
 Auxiliares Administrativos, etc..) a los que hemos de
 asignar 70 actividades también diferentes. Para decidir una
 determinada asignación de tareas deberíamos escoger de
 entre un total de 70! (Permutaciones de 70 elementos)
 aquella que maximiza el resultado final de la empresa.
 Como 70! es aproximadamente igual a 10100, aún revisando
 un 1 millón de asignaciones diferentes al segundo
 necesitaríamos aproximadamente 1087 años para revisar
 todas las asignaciones posibles.
 Este tipo de problemas requiere desarrollar modelos de
 programación matemática, otros métodos matemáticos,
 para llegar a algún tipo de conclusiones.
          Características de la P. L.
 1. Un único objetivo lineal a optimizar
  (maximizar o minimizar)
 2. Unas variables de decisión que siempre
  son continuas y no negativas
 3. Una o más restricciones lineales
 4. Un conocimiento exacto de los
  parámetros y recursos utilizados en la
  construcción del modelo.
               Formulación de Modelos
     Primero veremos como con la programación lineal
      se puede expresar matemáticamente.
 Ejemplo: Dos empresas Mineras extraen dos tipos diferentes de
    minerales, los cuales son sometidos a un proceso de trituración, con
    tres grados: alto , medio y bajo. Las compañías han firmado un
    contrato para proveer de mineral a una planta de fundición, cada
    semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado
    medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las empresas tiene
    diferentes procesos de fabricación.
 Mina                         Coste por día (miles de $US.)
         Producció(toneladas/día)
                                       Alto   Medio Bajo
 X      180                            6      3      4
 Y      160                            1      1      6
 ¿Cuántos días a la semana debería operar cada empresa para cumplir
    el contrato con la planta de fundición?
Formulación matemática básica en un
problema de I.O.

  Debemos buscar una solución que minimice el coste de
  producción de las empresas, sujeta a las restricciones
  impuestas por el proceso productivo así como el contrato
  con la planta de fundición.




   Traducción del problema en términos matemáticos
                 1. definir las variables
                  2. las restricciones
                     3. el objetivo
Formulación matemática básica en un
problema de I.O.        Restricciones

Variables                         Se recomienda primero plantear las
                                  restricciones con palabras antes de
Representan las decisiones que    pasar a su formulación matemática
puede tomar la empresa:
                                  Restricción 1. Refleja el balance
Dx = número de días a la semana   entre las limitaciones productivas
que la empresa X produce          de la fábrica y el contrato con la
Dy= número de días a la semana    planta de fundición
que la empresa Y produce          Grado
Notar que Dx0 y Dy0             Alto            6Dx+1Dy12
                                  Medio           3Dx+1Dy8
Objetivo
                                  Bajo            4Dx+6Dy24
Como objetivo buscamos
minimizar el coste                Restricción 2. Días de trabajo
                                  disponibles a la semana
                                  Dx5 y Dy5
Formulación matemática básica en un
problema de I.O.
La representación completa del problema tomaría la
siguiente forma:
Minimizar 180Dx+160Dy
Restriciones:
 6Dx+1Dy12
3Dx+1Dy8
4Dx+6Dy24
Dx5, Dy5
Dx0, Dy0
Algunas reflexiones
•   Hemos pasado de la definición del problema a su
    formulación matemática.
•   Error de especificación, el error más frecuente consiste
    en descuidar las limitaciones (restricciones,
    características de las variables, etc,)
En el ejemplo anterior:
a) Todas las variables son continuas (admitimos fracciones
   de día)
b) Existe un único objetivo (minimizar los costes)
c) El objetivo y las restricciones son lineales
     Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que
    denominamos un problema de Programación Lineal PL
 Algunas reflexiones
El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIÓN
Hemos tomado una situación real y hemos construido su
equivalente matemático MODELO MATEMÁTICO
Durante la formulación del modelo matemático nosotros
consideramos el método cuantitativo que (esperanzadamente)
nos permitirá resolver el modelo numéricamente ALGORITMO
El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de
manera gradual producen una solución numérica
Llegamos a una nueva definición de I.O.
Ciencia para la representación de problemas reales mediante
modelos matemáticos que junto con métodos cuantitativos nos
permiten obtener una solución numérica a los mismos
Dificultades


Dificultades de este tipo de enfoques:
•Identificación del problema (debemos ignorar partes o
tratar el problema entero)
•Elección del modelo matemático adecuado así como el
algoritmo adecuado para resolverlo (validación del
algoritmo)
•Dificultades en la implementación
•Velocidad (costes) que supone llegar a una solución
•Calidad de la solución
•Consistencia de la solución
EJEMPLO DE ASIGNACION DE PERSONAL
 Farmacias Bolivia en sus 9 sucursales ha decidido
  ampliar su servicio a 24 horas, con la consiguiente
  necesidad de nuevo personal de atención al cliente.
 La gerencia de la Empresa ha estimado las
  necesidades mínimas de personal por tramos
  horarios para poder cubrir los requerimientos de los
  clientes que se presenten. Se definieron 6 tramos de 4
  horas. La necesidad mínima de personal en cada
  tramo se indica en el Cuadro.
 Por otro lado, el departamento de recursos humanos
  ha informado a la gerencia que los contratos
  laborales han de ser de ocho horas seguidas, según
  normativa laboral, independientemente de los
  horarios de entrada y salida del personal.
 El problema es encontrar el número mínimo de
  personal necesario para cubrir la demanda.
   REQUERIMIENTO DE PERSONAL



              1         2         3         4         5         6
   J       00:00 -   04:00 -   08:00 -   12:00 -   16:00 -   20:00 -
            04:00     08:00     12:00     16:00     20:00     24:00



PERSONAL     9         5         3         7         5         6
   Nj
   Formulación del problema
 En primer lugar, se tienen que
  definir las variables del modelo que
  queremos desarrollar.
 Como se controlará el número de
  personal en cada turno, definimos Xj
  como la cantidad de personal que
  entra a trabajar en el turno j, en donde
  varía j=1,...,6. Es decir, hay una variable
  para cada turno.
 Las restricciones del modelo tienen que reflejar la
  necesidad de que la cantidad de personal que entren en el
  periodo j más el número de personas que entraron a trabajar
  en el turno j-1 sean suficientes para cubrir las necesidades
  del turno j (Nj).
 Esta situación queda reflejada en el Cuadro 2. En esta tabla,
  un trabajador que entra a trabajar, por ejemplo, a las 4:00,
  trabajará en los turnos 2 y 3, y por tanto, contribuirá a
  cubrir las necesidades de estos dos turnos.
 En otras palabras, el turno j estará siendo atendido por Xj-1 y
  Xj. En consecuencia, tendremos que Xj-1 + Xj (el personal que
  trabaja durante el turno j) tiene que ser, como mínimo, igual a
  Nj, que es el número mínimo de personal de la farmacia
  que sería necesario para este turno.
 En términos matemáticos la restricción es la siguiente:
   Xj-1 + Xj ≥ Nj
 El objetivo de la gerencia consiste en la minimización del
  número total de personal de atención necesario para
  cubrir las necesidades diarias. Este número será igual a X1
  +X2 +X3 +X4 +X5 +X6 que representa la suma del número de
  personal que entra en cada periodo.
 Finalmente, el modelo matemático es el siguiente:
                             6
                     min Z = ∑ Xj
                            j=1
 Con las restricciones: X6 + X1 ≥ 9    Xj > 0, j= 1,...,6
                         X1 + X2 ≥ 5
                         X2 + X3 ≥ 3
                         X3 + X4 ≥ 7
                        X4 + X5 ≥ 5
                        X5 + X6 ≥ 6
              1         2         3         4         5         6
           00:00 -   04:00 -   08:00 -   12:00 -   16:00 -   20:00 -
            04:00     08:00     12:00     16:00     20:00     24:00

  0:00      X1        X1

 04:00                X2        X2

 08:00                          X3        X3

 12:00                                    X4        X4


 16:00                                              X5        X5

 20:00      X6                                                X6

Personal     9         5         3         7         5         6
   Nj
EJEMPLO DE Programación Financiera
 El Banco BISA SA está preparando su plan de
  inversiones para los próximos dos años.
  Actualmente, la empresa tiene 1,5 millones de
  dólares para invertir y espera ingresar, gracias a
  inversiones pasadas, un flujo de dinero al final
  de los meses, 6 12 y 18 próximos.
 Por otra parte, la empresa quiere expandirse y
  tiene dos propuestas sobre la mesa.
 La primera es asociarse con la empresa Minera
  San Cristobal y la segunda con la empresa
  Gravetal SA
 En el Cuadro se muestra el flujo   de caja (MILES DE
  DOLARES)del Banco BISA SA si entrara con un 100% en cada
  uno de los proyectos.
                INICIAL   6 MESES    12 MESES   18 MESES   24 MESES

INVERSIONES                  500       400        380
PASADAS

MINERA SAN      - 1000      - 700      1800       400        600
CRISTOBAL

GRAVETAL         - 800       500       -200       - 700      2000
S.A.
 Debido a regulaciones, al Banco BISA SA no se le permite
  pedir préstamos directos.
 Pero si que puede, cada seis meses, invertir sus fondos
  excedentes (es decir, aquellos que no ha invertido en
  ningún proyecto) en un fondo que le daría un 7% cada
  seis meses.
 Por otro lado, BISA SA puede participar en cada uno de
  los proyectos con un nivel inferior al 100% y,
  consecuentemente, el flujo de caja se reducirá en la
  misma proporción. Es decir, que si decide entrar por
  ejemplo con el 50% en el proyecto de Gravetal, el flujo
  correspondiente también se reducirá en la misma
  proporción.
 El problema que se plantea BISA SA es cuanto invertir en
  cada proyecto para maximizar el dinero en efectivo que
  tendrá la empresa en dos años
Formulación del problema
 Una vez el problema ha sido identificado y los
  parámetros del modelo han sido definidos, se
  tienen que definir las variables.
 Sea X1 el porcentaje de participación en el
  proyecto Minera San Cristobal y X2 el
  porcentaje de participación en el proyecto
  Gravetal SA (0 ≤ X1 ≤ 1, 0 ≤ X2 ≤ 1). Por otro
  lado, sean S0, S6, S12 y S18 el dinero que se
  depositará en el fondo en los periodos 0, 6 12 y
  18 respectivamente.
 Para formular las restricciones del modelo se utilizará un
    razonamiento secuencial.
   La empresa dispone de 1,5 millones de dólares hoy
    (periodo 0) y las quiere gastar considerando las opciones
    siguientes:
   1. participar en el proyecto Minera San Cristobal, que
    implicaría desembolsar 1.000.000X1 dólares en el periodo
    0;
   2. participar en el proyecto Gravetal SA, teniendo que
    gastar 800.000X2;
   3. depositar el dinero al 7%
   Estas opciones no son excluyentes entre ellas. Por lo
    tanto, se tiene que cumplir la siguiente ecuación de
    equilibrio:
            1.500 = 1.000X1 + 800X2 + S0
 Al cabo de seis meses, la empresa ingresará 500.000
  dólares, gracias a inversiones realizadas
  anteriormente.
 También el dinero depositado en el fondo en el
  periodo anterior estará a disposición junto con los
  intereses: S0 + 0,07S0 .
 Por otra parte, el proyecto Gravetal SA dará una
  entrada de dinero igual a 500.000X2. Con este dinero
  tendrá que hacer frente al compromiso adquirido
  con Minera San Cristobal, 700.000X1, y depositar lo
  que quede al 7% una vez más.
 Matemáticamente:
          500 + 500X2 + 1,07S0 = 700X1 + S6
 En el periodo 12, la empresa recibirá 400.000
 dólares, de inversiones anteriores, y
 1.800000X1 del proyecto Minera San Cristobal
 y el dinero del fondo junto con los intereses.
 Con estos ingresos tendrá que cubrir el
 compromiso del proyecto Gravetal SA, 200X2 y
 depositar S12 en el fondo.
 En términos matemáticos:


    400 + 1.800X1 + 1,07S6 = 200X2 + S12
 En el periodo 18, los ingresos que tendrá
 la empresa vendrán de inversiones
 anteriores (380.000), del proyecto Minera
 San Cristobal (400.000X1) y del depósito
 realizado en el periodo anterior
 incluyendo los intereses (1,07 S12 ). Con
 este dinero tendrá que realizar un gasto
 de 700.000 X2 en el proyecto Gravetal y el
 resto puede volver a ponerlo en el fondo
 (S18). Es decir:
   380 + 400X1 + 1,07S12 = 700X2 + S18
 Finalmente, al cabo de dos años (periodo 24),
  el BISA tendrá únicamente ingresos y no
  tendrá ningún gasto. Los ingresos provienen
  de los dos proyectos (600.000 X1 + 2.000.000
  X2) y del dinero depositado en el periodo
  anterior, 1,07 S18.
 Si se define Z como los ingresos realizados en
  el periodo 24 en miles de dólares, tendremos
  que:
       Z = 600X1 + 2.000X2 + 1,07S18
 Este es el objetivo del problema: Maximizar
  los ingresos al cabo de dos años.
 Finalmente, como solo se puede invertir un máximo
  de 100% en cada proyecto, las variables X1 y X2 no
  pueden exceder la unidad. Por lo tanto, hay que
  añadir las restricciones siguientes:
      X1 ≤ 1           X2 ≤ 1
 El programa lineal se escribe de la forma siguiente:
   Max Z = 600X1 + 2.000X2 + 1,07S18
 Con restricciones:
 1000X1 + 800X2 + S0 = 1.500
 700X1 -500X2 -1,07S0 + S6 = 500
 -1.800X1 + 200X2 -1,07S6 + S12 = 400
 -400X1 + 700X2 -1,07S12 + S18 = 380
 X1 ≤ 1 ; X2 ≤ 1 ; X1, X2, S0, S6, S12, S18 ≥ 0
  Métodos de Resolución
 Un modelo matemático de decisión, por muy bien
  formulado que esté, no sirve de nada sino podemos
  encontrar una solución satisfactoria.
 Una de las características de la programación lineal
  es que, gracias a sus propiedades matemáticas, se
  consigue la solución óptima sin muchas dificultades.
 En primer lugar se verá el método gráfico, un
  sistema limitado a problemas con dos variables, y a
  continuación el método Simplex, el algoritmo más
  común para solucionar problemas lineales con
  muchas variables y restricciones.
 Un modelo matemático de decisión, por muy bien
  formulado que esté, no sirve de nada sino podemos
  encontrar una solución satisfactoria.
 Una de las características de la programación lineal es
  que, gracias a sus propiedades matemáticas, se
  consigue la solución óptima sin muchas dificultades.
 En primer lugar se verá el método gráfico, un sistema
  limitado a problemas con dos variables, y a
  continuación el método Simplex, el algoritmo más
  común para solucionar problemas lineales con
  muchas variables y restricciones.
 Anatina Toys fabrica 2 tipos de juguetes de madera,
  autitos y rompecabezas.
 Un autito se vende en Bs. 54 y requiere 20 Bs. de materia
  prima. Cada autito que se fabrica incrementa la mano
  de obra variable y los costos globales en 28 Bs.
 Un rompecabezas se vende en Bs. 42 y requiere 18 Bs. de
  materia prima. Cada rompecabezas incrementa la mano
  de obra variable y costos globales en 20 Bs.
 Para la fabricación se requiere mano de obra
  especializada: carpintera y acabados. Un autito requiere
  2 h de acabado y1 h de carpinteria. Un rompecabezas
  requiere 1h acabado y 1h de carpinteria.
 Todas las semanas Anatina Toys consigue todo el
  material , pero solo 100h de trabajo de acabado y 80h de
  trabajo de carpinteria.
 La demanda de rompecabezas es ilimitada y solo se
  vende 40 autitos por semana.
 Anatina Toys debe maximizar las utilidades semanales
  (ingresos – costos)
 Diseñar un modelo matemático y resolver por el
  metodo grafico.

 X1 = cantidad de autitos fabricados cada semana
 X2 = cantidad de rompecabezas fabricados a la semana
 La función objetivo será: Los ingresos semanales menos
  los costos de materia prima y menos los costos varables.
 Ingresos por semana = 54 X1 + 42 X2
 Costos materia prima semana = 20 X1 + 18 X2
 Costos variables semana = 28 X1 + 20 X2


 Entonces Anatina Toys quiere maximizar:
  (54 X1 + 42 X2)-(20 X1 + 18 X2)-(28 X1 + 20 X2) =
              Max Z = 6 X1 + 4 X2
Los coeficientes para X1 es 6 y para X2 es 4 que es la
 utilidad.
                   RESTRICCIONES
 Restricción 1:  100h de trabajo de acabado
          2 X1 + X2 ≤ 100
 Restricción 2: 80h de trabajo de carpintería
          X1 + X2 ≤ 80
 Restricción 3: Debido a la demanda limitada de
  autitos no debe producirse mas de 40 autitos.
          X1 ≤ 40
 Restricción 4 De signo: La producción no puede ser
  negativa. Entonces:
          X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0
                REGION FACTIBLE
Es el conjunto de todas las soluciones que satisfacen las
  restricciones. Por ej. Para X1 = 40 y X2 = 20 Cumple
Para X1 = 15 y X2 =70 No Cumple
Para X1 = 10 y X2 = 70 Cumple
Para X1 = 20 y X2 = 60 Cumple
SOLUCION OPTIMA:
En Maximización es el punto donde el valor es
 el mas alto en la función objetivo
En minimización es lo contrario.
En nuestro caso el máximo es en Max Z = 6 X1 + 4 X2
Para X1 = 20 y para X2 = 60 Max Z = 360
SOLUCION GRAFICA

								
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