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					Mastère "Astronomie et Astrophysique"   P6, P7, P11, Observatoire de Paris




                          Turbulence

                     Jacques Le Bourlot
       Observatoire de Paris & Université Paris-Diderot

                           Année 2010-2011
Education is an admirable thing, but it is well to remember from
 time to time that nothing that is worth knowing can be taught.
                                                      Oscar Wilde




                                  Voie lactée ô soeur lumineuse
                              Des blancs ruisseaux de Chanaan
                            Et des corps blancs des amoureuses
                           Nageurs morts suivrons nous d’ahan
                             Ton cours vers d’autres nébuleuses
                Guillaume Apollinaire (La chanson du mal-aimé)




                            2
Table des matières

1. Dynamique des fluides                                                                                                                     5
   1.1. Introduction . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
   1.2. Transport . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
   1.3. Conservation . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
   1.4. Equation de Navier-Stokes          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
   1.5. Conservation de l’Energie          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   15

2. Interprétations                                                                                                                         17
   2.1. Ecoulement potentiel . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17
   2.2. Équation de Navier-Stokes          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   21
   2.3. Énergie . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   23
   2.4. Vorticité . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   24

3. Turbulence classique                                                                                                                    26
   3.1. Fluctuations . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   26
   3.2. Théorie de Kolmogorov      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   28
   3.3. Le modèle k − ǫ . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   33
   3.4. Fonctions de Structure     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   35

4. Intermittence                                                                                                                           42
   4.1. Résultats expérimentaux        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   42
   4.2. Interprétation . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   47
   4.3. Le β-modèle . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   49
   4.4. Autres modèles . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   51
   4.5. Volume de dissipation .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   51
   4.6. Influence sur la chimie .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   53

5. Transport de scalaire passif                                                                                                            56
   5.1. Advection-diffusion d’un scalaire passif . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                          56
   5.2. Problème de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                         58
   5.3. Problème de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                           59

6. Résolution numérique                                                                                                                    61
   6.1. Classes de méthodes . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   61
   6.2. Direct Numerical Simulation            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   62
   6.3. Large Eddy Simulation . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   65
   6.4. SPH . . . . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   67
   6.5. PDF . . . . . . . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   67

A. Notations                                                                                                                               69



                                                       3
B. Rappels de calcul vectoriel                                                       70
   B.1. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
   B.2. Gradient de l’énergie cinétique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
   B.3. Moyennes des termes de Navier-Stokes : . . . . . . . . . . . . . . . . 71

C. Statistiques                                                                    72
   C.1. Moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
   C.2. Moments d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72




                                          4
1. Dynamique des fluides
1.1. Introduction
Ceci n’est pas (encore) un polycopié ! J’ai simplement rassemblé quelques calculs,
notes de cours, formules, etc... pour vous éviter de prendre trop de notes pendant les
cours. J’essaierai de compléter le document au fur et à mesure, donc ne l’imprimez
pas et revenez-y régulièrement sur le site.
   L’essentiel du cours est basé sur Davidson (2004) dont j’ai essayé de respecter les
notations. La principale différence est l’utilisation de “v” pour la vitesse au lieu de
“u”.
   Sur le rôle de la turbulence en astrophysique, j’espère qu’il est inutile d’insister...
   Dans tout le cours, on se place dans l’approximation “fluide” d’un gaz, c’est-à-dire
à des échelles grandes par rapport au libre parcours moyen des particules. On ne
traitera pas les problèmes de chocs (mêmes s’ils seront évoqués à l’occasion). De
même, on se limitera à l’hydrodynamique d’un fluide neutre. On négligera donc tous
les effets d’un possible champ magnétique.
   Cela permet de se limiter à des milieux isotropes. Les choses sont déjà bien assez
compliquées comme cela.


1.2. Transport
1.2.1. Points de vue Eulérien et Lagrangien
Quand on cherche à caractériser ce qui se passe dans un écoulement, il y a deux
grands “points de vue” qui se sont imposés au cours du temps.

   • Point de vue Eulérien : On examine le fluide en mouvement de l’extérieur.
     l’observateur, placé dans le “référentiel du laboratoire” regarde ce qui se passe
     en un point fixe par rapport à lui. Comme (a priori) l’écoulement n’est pas
                                                               →
     stationnaire, les grandeurs mesurées en une position − fixe vont évoluer au
                                                               r
     cours du temps. La variation d’une quantité f ( r →         →
                                                       − , t) en − est donnée par :
                                                                 r
                                               →
                                           ∂f (− , t)
                                                r
                                               ∂t

   • Point de vue Lagrangien : Cette fois-ci, on s’intéresse à une parcelle de matière
     emportée par le mouvement du fluide. Les particules fluides matérielles vont
     suivre une ligne de courant (si celles-ci sont bien définies – restons flou sur
     cet aspect pour l’instant), et les quantités physiques qui lui sont liées peuvent




                                            5
      aussi évoluer. Pour suivre cette évolution temporelle on a besoin de la “dérivée
      matérielle” ou “Lagrangienne” :
                                                     →
                                                 Df (− , t)
                                                     r
                                                    Dt

1.2.2. Dérivée Matérielle (ou Lagrangienne)
On considère donc une certaine “quantité de matière” bien précise, et on suit son évo-
lution au cours du temps. En générale, elle se déforme et se déplace. On se demande
donc comment évolue une quantité physique “attachée” à ce volume. Considérons
                →
une fonction f (− , t) définie en tout point du fluide. Pour calculer l’évolution de f
                 r
au cours du temps dans un élément de volume dV emporté par le fluide, on calcule
la limite :
                   D −                   → →                    →
                                      f (− + − δt, t + δt) − f (− , t)
                                         r    v                 r
                      f (→, t) = lim
                         r
                   Dt            δt→0               δt
   En faisant un développement limité de f ( r → →
                                               − + − δt, t + δt) au premier ordre, on
                                                    v
obtient :
                                                     ∂f       ∂f
                    → →                      →
                 f (− + − δt, t + δt) ≃ f (− , t) +
                     r     v                 r          δt +      vi δt
                                                     ∂t      ∂xi
   Et donc :
                                    D     ∂
                                       =       →
                                             +− ·∇
                                                v
                                   Dt     ∂t
   Si maintenant le volume V n’est plus infiniment petit, on peut évaluer comment
varie la somme de f dans le volume. On cherche donc à calculer :

    d                             1
                 →
              f (− , t) dV = lim
                 r                                → →
                                               f (− + − δt, t + δt) dV −
                                                  r   v                                  f (− , t) dV
                                                                                            →
                                                                                            r
    dt   V                   δt→0 δt       V                                         V

  On effectue le même développement de f que précédemment, ce qui donne :

                                                                    ∂f          ∂f
                 → →
              f (− + − δt, t + δt) dV =
                 r   v                                  f (− , t) +
                                                           →
                                                           r            vi δt +    δt            dV
          V                                     V                   ∂xi         ∂t
                                               →
   On voit que le terme qui fait intervenir f (− , t) va s’éliminer. De plus, l’intégrale
                                               r
de volume ne fait pas intervenir δt qui est une constante, et peut donc sortir de
l’intégrale avant de se simplifier. Donc :

               d                            1                    ∂f             ∂f
                           →
                        f (− , t) dV = lim
                           r                                vi       dV +          dV       δt
               dt   V                  δt→0 δt          V        ∂xi        V   ∂t
                         d                                       ∂f    ∂f
                                     →
                                  f (− , t) dV =
                                     r                      vi       +          dV
                         dt   V                     V            ∂xi   ∂t
                                                    Df
                                          =            dV
                                                V   Dt
                                       d
  On voit donc que les symboles et dt ne commutent pas directement, mais que
                      D
ce dernier devient un Dt en entrant sous le signe somme.




                                                    6
1.3. Conservation
La “mécanique des fluides” est une “mécanique”. Elle s’appuie donc sur les mêmes
principe généraux que la mécanique “normale”. En particulier, les grands principes
de conservation (de la matière, de l’énergie, ...) s’appliquent évidemment. Il est donc
nécessaire de pouvoir calculer les quantités associées dans un milieu où objet n’est
plus défini de façon aussi intuitive que peut l’être une bille par exemple.
  A titre de rappel, on va établir ici l’équation de conservation de la masse dans
un cas particulier très simplifié, celui d’un écoulement à une dimension (dans un
tuyau).
  On considère donc un fluide en écoulement dans un tuyau de section constant S.
On suppose que le profil de vitesse ne dépend pas de la position dans la direction
perpendiculaire à l’écoulement.

                     1                  2

    S     v

  Si la masse volumique du fluide est ρ(x, t), la masse contenue entre les abscisses
x1 et x2 est :
                                                x2
                              M(t) = S               ρ(x, t) dx
                                            x1

  Nous allons dériver l’équation de conservation de la masse des deux points de vue
Eulérien et Lagrangien.

1.3.1. Point de vue Eulérien
On considère un élément de volume situé entre les points x1 et x2 = x1 + dx,
considérés comme fixes dans l’espace (“référentiel du laboratoire”).

                     1                  2
    S     v

                     1                  2
    S    v

                                     v dt
               Position fixe dans l’espace (référentiel du laboratoire)




                                            7
  La masse à l’instant t entre les points x1 et x2 est :

                                   M(t) = S ρ(t) dx
  A l’instant t + dt, il faut tenir compte de la variation de densité dans l’intervalle :

                              M(t + dt) = S ρ(t + dt) dx

  La conservation de la masse nous dit que la masse “après” est égale à la masse
“avant, plus ce qui est rentré, moins ce qui est sorti, soit :

                     M(t + dt) = M(t) + S ρ1 v1 dt − S ρ2 v2 dt

  En développant les expressions de ρ(t + dt), ρ2 et v2 au premier ordre, on a :

                                                    ∂ρ
                               ρ(t + dt) = ρ(t) +      dt
                                                    ∂t
                                          ∂ρ
                                   ρ2 = ρ1 + dx
                                          ∂x
                                          ∂v
                                v2 = v1 +    dx
                                          ∂x
  En remplaçant dans l’équation de conservation, on obtient :

                     M(t + dt) − M(t) = S ρ1 v1 dt − S ρ2 v2 dt

                               ∂ρ ∂ρ          ∂v
                                 +      v+ρ      =0
                               ∂t ∂x          ∂x
  Et on obtient l’équation de continuité de la masse (1D) :

                                   ∂ρ   ∂
                                      +   (ρv) = 0
                                   ∂t ∂x

1.3.2. Point de vue Lagrangien
On suit maintenant au cours du temps un “élément de matière” (par exemple une
goutte de colorant).

                     1                   2
    S     v

                                             1’                   2’

    S         v

                              x+v dt


                                             8
              On suit une “cellule” de fluide (référentiel lié au fluide)

  On écrit cette fois l’expression de la masse au sein d’une particule fluide dont on
suit l’écoulement.

                             M(t) = S ρ(x, t) (x2 − x1 )
                    M(t + dt) = S ρ(x + v dt, t + dt) (x2′ − x1′ )
  Noter ici qu’on a explicité la dépendance de ρ en fonction de x et de t. En faisant
un développement au premier ordre, on a :
                                                      ∂ρ      ∂ρ
                    ρ(x + v dt, t + dt) = ρ(x, t) +      dt +    dx
                                                      ∂t      ∂x
                        (x2′ − x1′ ) = (x2 − x1 ) + (v2 − v1 ) dt
  Donc la conservation de la masse donne :

                                M(t + dt) − M(t) = 0
           ∂ρ                 ∂ρ
              dt (x2 − x1 ) +    dx (x2 − x1 ) + ρ(x, t) (v2 − v1 ) dt = 0
           ∂t                 ∂x
  Et pour x2 = x1 + dx, après division par dx dt :
                                  ∂ρ   ∂
                                     +   (ρv) = 0
                                  ∂t ∂x
  On constate bien qu’on arrive au même résultat.
  De façon générale (voir plus loin) on a :
                                  ∂ρ        −
                                     + ∇ (ρ →) = 0
                                            v                                     (1.1)
                                  ∂t
  Dans la suite, on utilisera souvent l’hypothèse que le fluide est incompressible (i.e.
ρ = Cte), même s’il est laissé sous le signe de dérivation. Dans ce cas, l’équation de
conservation se simplifie en :
                                         →
                                        ∇− = 0
                                          v
  Un raisonnement analogue permet d’écrire les équations de conservation de l’im-
pulsion (premier moment de la masse) et de l’énergie (deuxième moment).


1.4. Equation de Navier-Stokes
1.4.1. Conservation de l’impulsion
On cherche ici à établir une équation de conservation pour l’impulsion, analogue à
celle de la masse. En considérant un volume V , on peut calculer la quantité totale
de mouvement sous la forme :
                                         −
                                       ρ → dV
                                         v
                                        V
  En suivant l’évolution du volume V cette quantité est susceptible varier sous l’effet
des forces qui agissent sur V :



                                            9
                    dy
                                         τzy          τ zx

                                                                  τxy
              dz                          τyx                            τxz
                                      τyz



                                    dx
                       Figure 1.1.: Tenseur des contraintes.

                          →
                          −
   • Des efforts de volume F V qui s’exercent dans tout le volume.

   • Des efforts de surface agissant sur les parois de V . Ces efforts de surface com-
     portent des composantes normales à la surface, agissant donc comme des efforts
     de pression, et des efforts tangents qui exercent un cisaillement. Ils constituent
     donc un tenseur, que l’on nomme “tenseur des contraintes”, que l’on note σ ,   ¯
     de composantes σij .

On a donc :
                         d                          →
                                                    −
                                    →
                                  ρ − dV =
                                    v               FV dV +       σ dS
                                                                  ¯              (1.2)
                         dt   V                V              S

  On peut montrer que pour une large catégorie de fluides (dits “Newtonniens”) le
tenseur des contraintes peut s’écrire en fonction de la vitesse dans le fluide sous la
forme :
                                      ∂ui ∂uj          →
                                                   2 − →
                  σij = −P δij + µ        +      − ( ∇ · − ) δij
                                                           u                    (1.3)
                                      ∂xj    ∂xi   3
   Souvent (par abus de langage), on restreint le terme “tenseur des contraintes” à la
                         ¯
partie non-diagonale de σ dont les composantes sont notées τij . Les composantes de
ce tenseur des contraintes sont illustrées sur la figure 1.1 (d’après Davidson, 2004).
Pour chaque élément du tenseur, le premier indice indique la facette concernée, et
le deuxième la direction de la contrainte.
   Dans un fluide au repos, on a :

                                      σij = −P δij




                                               10
et P s’identifie donc avec la pression statique dans le fluide. Dans un écoulement
compressible, on voit qu’il apparait un terme supplémentaire sur la diagonale, pro-
              →
              − →
portionnel à ∇ · − . il y a donc une convention à faire pour définir ce qu’on appelle la
                  u
pression. Ce point n’est pas toujours explicité dans les textes et plusieurs définitions
contradictoires existent. On pourra consulter Pedlosky (2006, Course 12.800, Chap
3) à ce sujet1 .
   µ est la viscosité dynamique du fluide. On peut évaluer sa valeur dans un gaz
dilué et justifier également le fait que τij soit proportionnel au gradient de vitesse à
l’aide d’un modèle simplifié de gaz parfait dit “du 1/6”. Ce modèle ne prétend pas
donner une représentation exacte des phénomènes microscopiques, mais il procure
de très bonnes approximations et un bon sens physique.

1.4.2. Modèle “du 1/6”
Il est souvent difficile de se représenter les phénomènes de transport dans un fluide.
Un “toy model” utile pour cela (au moins dans un gaz parfait) est le modèle dit du
1/6. Au lieu de tenir compte de la distribution de vitesse réelle des particules dans
le gaz, on considère qu’elles se déplacent toutes à la vitesse moyenne, et exclusive-
ment suivant les axes du repère. Les intégrations angulaires (souvent très lourdes)
disparaissent alors totalement, et des raisonnements qualitatifs simples deviennent
possibles.

1.4.2.1. Grandeurs microscopiques
On caractérise le gaz par son nombre de particules par unité de volume n, la masse
d’une particule est m, et donc ρ = m n. La section efficace de collision entre deux
particule est σ. La vitesse moyenne d’agitation thermique est v , correspondant à
                                                                ¯
une température T .
  Le libre parcours moyen est :
                                           1
                                     λ=
                                          nσ
                                               √
  Théoriquement, il devrait y avoir un facteur 2 au dénominateur, mais on n’est
pas ici à un facteur 2 près.

1.4.2.2. Diffusion
Supposons que dans le gaz au repos macroscopique (pas de vitesse d’ensemble), les
particules soient marquées de deux façons différentes. Les particules marquées ont
                         →
une densité volumique n(− ).
                         r




 1
     Document en ligne sur le site.




                                          11
                                                   S




                                      v dt
  Du fait de l’agitation thermique, le nombre dN1 de particule traversant une surface
S perpendiculaire à la direction x en un temps dt est :
                                         1
                                 dN1 =              ¯
                                           n(x1 ) S v dt
                                         6
  Celle traversant dans l’autre sens sont en nombre dN2 tel que :
                                         1
                                 dN2 =              ¯
                                           n(x2 ) S v dt
                                         6
   Le flux à travers la surface S est donc (nombre de particule par unité de temps
et par unité de surface :
                            1 dN1 − dN2    1
                     F =                     ¯
                                        = − v (n(x2 ) − n(x1 ))
                            S     dt       6
  Les particules subissant une collision (qui leur fait changer de direction) en moyenne
tous les λ, la distance entre x1 et x2 est donc 2λ. Donc :
                                   1     ∂n      ∂n
                              F = − v 2λ
                                     ¯      = −D
                                   6     ∂x      ∂x
  On trouve donc que le flux de particule se fait depuis les concentrations élevées
vers les concentrations faibles (à contre-sens du gradient) et que le coefficient de
diffusion est :
                                        1     1 v¯
                                  D ≃ vλ =¯
                                        3     3 nσ
ce qui est correct à un facteur 2 près.

1.4.2.3. Viscosité
En raisonnant suivant la même ligne, on peut regarder se qui se passe entre deux filets
fluides ayant une vitesse macroscopique égale à V (z). On comptabilise le transfert
de quantité de mouvement de part et d’autre de la séparation horizontale entre deux
filets fluides.

                                                                   V(z2)
                                                                    x
              v dt
                        z                S

             v dt                                                  V(z1)
                                                                    x
                                  x




                                             12
                                 1            →
                                              −
                              →
                             d− 1 =
                              p        ¯
                                   n S v dt m Vx (z1 )
                                 6
                                 1            →
                                              −
                           →
                          d− 2 = n S v dt m Vx (z2 )
                            p          ¯
                                 6
  Le flux de quantité de mouvement est donc :

           → 1 ∆−
           −      →
                  p      →
                      1 d− 1 − d− 2
                         p      →
                                p      1      →
                                              −          →
                                                         −
           F =      =                     ¯
                                    = − n v m Vx (z2 ) − Vx (z1 )
               S dt   S      dt        6
                                 →
                                 −
  Ce flux est égal à une force ( ∆ p ) par unité de surface, c’est donc une contrainte.
                                 dt
Elle s’exerce suivant la direction x le long d’une facette perpendiculaire à z, c’est
                                  →
donc un cisaillement. On le note − zx . Donc :
                                    τ
                                                →
                                                −
                             − = − 1 n m v 2λ ∂ Vx (z)
                             →
                             τ zx        ¯
                                   6             ∂z
  On obtient :                            →
                                          −
                                 − = −η ∂ Vx (z)
                                 →τ zx
                                           ∂z
où la viscosité dynamique η est :
                               1       1      1 mv¯
                          η≃       ¯     ¯
                                 nmvλ = ρvλ =
                               3       3      3 σ
   On retrouve bien le fait que dans un gaz parfait la viscosité est indépendante de
la densité, et augmente comme la racine de la température.
   La viscosité cinématique ν = η est :
                                 ρ

                                       1     1 v¯
                                 ν≃      ¯
                                         vλ=
                                       3     3 nσ
  Si le gaz est à pression constante (donc si P ∝ n T = Cte), alors la viscosité
cinématique croit comme T 3/2 .
  Cette “démonstration” (un peu qualitative) montre bien que la contrainte de ci-
saillement est proportionnelle au gradient de vitesse.
  Application numérique au Milieu Interstellaire proche :

   • Pour un nuage moléculaire, on a T ∼ 100 K, nH ∼ 104 cm−3

   • La section efficace de collision typique d’un gaz atomique est de l’ordre de
     σ ∼ 10−15 cm2 .

   • Donc :
                                1 1      8 kT
                           ν≃                 ∼ 5 1015 cm2 s−1
                                3 nσ     π mH




                                         13
1.4.3. Navier-Stokes
1.4.3.1. Forme générale
On peut maintenant revenir à l’équation 1.2. En utilisant le théorème de la di-
vergence (théorème d’Ostrogradsky) pour transformer les intégrales de surface en
intégrales de volume :
                            − −
                            → →            → →
                                           − −
                             ∇ · f dV =     f · n dS
                              V                   S
                       ¯
et l’équation 1.3 pour σ , on peut écrire :
                         d                        →
                                                  −
                                    →
                                  ρ − dV =
                                    v             F dV +        ¯
                                                                σ dS
                         dt   V               V             S

                  D                       →
                                          −               →
                                                          −                →
                                                                           −
                        →
                     (ρ − ) dV = −
                        v                 ∇P dV +         ∇ · τ dV +       F dV
              V   Dt                  V               V                V
   Comme cette expression doit être valable pour n’importe quel volume V , on en
tire :
                ∂ρ−→v     → − →              →
                                             −       →
                                                     −      −
                                                            →
                                    →
                      + − · ∇ (ρ− ) = − ∇ (P ) + ∇ · τ + F
                          v          v                                      (1.4)
                  ∂t

1.4.3.2. Cas incompressible
Si la densité ρ est constante, cette équation peut s’écrire sous une forme plus ma-
                                    − →
                                    →
niable. Tout d’abord, le terme en ∇ · − disparait de l’expression de τ . Ensuite le
                                        v
       →
       −                      ∂vi   ∂vj
terme ∇ · τ . On a τij = ρν ∂xj + ∂xi peut être manipulé. On a :

                                     →
                                     −       ∂
                                     ∇ ·τ =     τij
                                            ∂xj

donc :

            ∂           ∂ 2 vi ∂ 2 vi ∂ 2 vi    ∂          ∂v1   ∂v2   ∂v3
               τij = ρν      2
                               +    2
                                      +    2
                                             +                 +     +
           ∂xj          ∂x1      ∂x2    ∂x3    ∂xi         ∂x1 ∂x2 ∂x3
               − −
               → →
  En utilisant ∇ · v = 0, on obtient :

                     ∂              ∂2   ∂2 ∂2
                        τij = ρν        + 2+ 2             vi = ρν ∇2 vi          (1.5)
                    ∂xj             ∂x2 ∂x2 ∂x3
                                      1

  L’équation de Navier-Stokes peut alors s’écrire :
                    →
                  ∂ρ−v   → − →          →
                                        −               → − →
                                 →
                       + − · ∇ (ρ− ) = − ∇ (P ) + ρν ∇2 − + F
                         v       v                      v                         (1.6)
                   ∂t
  C’est sous cette forme que nous l’utiliserons le plus.




                                             14
1.5. Conservation de l’Energie
On obtient l’équation de conservation de l’énergie en prenant le produit scalaire de
l’équation de Navier-Stokes par la vitesse. Nous l’établirons seulement dans le cas
incompressible.
                                         →
   Le produit scalaire de l’Eq (1.6) par − donne (après division par ρ) :
                                         v
             −
             →
        − · ∂ v +− ·
        →
        v        →
                 v          − · − − = −− ·
                            → → →
                            v ∇ v      →
                                       v
                                                       1−→        →
                                                         ∇ (P ) + − · ν ∇2 −
                                                                  v        →
                                                                           v
             ∂t                                        ρ

  Nous allons prendre chacun des termes successivement.
     → −
  1. − · ∂∂t : on fait apparaître l’énergie cinétique par masse et par unité de volume
          →
     v v
     par une simple manipulation :
                            →
                            −                −
                                             →     −
                                                   →                       →
                                                                           −2
                        − ·∂v =1
                        →               − · ∂ v + ∂ v ·−
                                        →              →               ∂v
                        v               v              v              = 2
                           ∂t  2             ∂t    ∂t                   ∂t

     →
  2. − ·
     v         → → →
               − · − − : de la même façon que ci-dessus, on trouve :
               v ∇ v

                                                         →
                                                         −2
                                   → → → →
                                   − ·− − =−
                                   v ∇ v   ∇
                                                         v
                                                         2
                                  →
                                  −2
                                  v    → →
                                       − −
     En ajoutant le terme (nul)    2
                                       ∇ · v , on obtient :
                        →
                        −2 →          −2
                                      →                        → →
                                                               −2 −                     −2
                                                                                        →
     −·
     →
     v                       → → →
               − ·− − + v − ·− = − ·− v
               → → →
               v ∇ v       ∇ v   v ∇                         +
                                                               v     → − →
                                                                  ∇ ·− = ∇ ·
                                                                     v
                                                                                        v −→
                                                                                           v
                        2             2                        2                        2

               −
               →
     →
  3. − ·
     v     1
           ρ
               ∇ (P ) : ce terme réécrit simplement :

                 →
                 − ·   1−→         → − P
                                      →                  → → −
                                                       P − −   →                P−
                 v       ∇ (P )   =− ·∇
                                   v               +     ∇· v =∇·                 →
                                                                                  v
                       ρ                ρ              ρ                        ρ

     →
  4. − · (ν ∇2 − ) : On repart du fait que ρν ∇2 vi =
     v         →
               v                                              ∂
                                                                τ
                                                             ∂xj ij
                                                                        (Eq 1.5). On en tire :

                 − · ν ∇2 − = 1 v
                 →
                 v        →
                          v
                                          ∂
                                             τij   =
                                                        ∂      vi τij
                                                                          −
                                                                              1 ∂vi
                                                                               τij
                                 i
                              ρ          ∂xj           ∂xj       ρ            ρ ∂xj

     Le premier terme du membre de droite est un de ceux recherchés. Reste à
     transformer le deuxième.
                            1     ∂vi        ∂vi ∂vi   ∂vj ∂vi
                              τij     =ν             +
                            ρ     ∂xj        ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj

     Avec la double sommation implicite sur i et j (qui sont donc des indices muets),
     on a :




                                           15
                          1        ∂vi ∂vi   ∂vi ∂vj   ∂vj ∂vi   ∂vj ∂vj
             2Sij Sij =                    +         +         +
                          2        ∂xj ∂xj   ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj     ∂xi ∂xi
                                                ∂vi ∂vi   ∂vi ∂vj
                               = 2Sij Sij =             +
                                                ∂xj ∂xj   ∂xj ∂xi
Donc, par identification :
                                        1     ∂vi
                                          τij     = 2ν Sij Sij
                                        ρ     ∂xj

On peut alors écrire le produit scalaire recherché.
                                    ∂         ∂
                              vi       τij =     (vi τij ) − 2ρνSij Sij
                                   ∂xj       ∂xj

Finalement, on obtient :

   ∂    v2     −
               →          v2 −
                             →           →
                                         −        P−→ + ∂           vi τij
              +∇·            v        = −∇ ·        v                        − 2νSij Sij   (1.7)
   ∂t   2                 2                       ρ    ∂xj            ρ




                                                  16
2. Interprétations
Nous allons essayer de tirer ici quelques conséquences physiques des expressions de la
conservation de la masse, de l’impulsion et de l’énergie, en revenant d’abord sur un
cas particulier d’écoulements (dits “potentiels”) afin de voir comment “de la rotation”
peut apparaître naturellement dans un fluide.


2.1. Ecoulement potentiel
2.1.1. Décomposition de Helmholz du champ de vitesse
                                                           →
                                                           − →       → − →
                                                                     −    →
                                  → → →
On écrit la vitesse sous la forme − = − c + − s , tels que ∇ ∧ − c = 0 et ∇ · − s = 0.
                                  v   v     v                  v              v
  →                                                                →
  − est la “composante solénoïdale” du champ de vitesse et − la composante
   vs                                                               vc
                                                                           →
compressible. Réciproquement, cela revient à dire que l’on peut écrire − sous la
                                                                           v
forme :
                                  − =− +− ∧−
                                  → →
                                  v   ∇φ ∇ A
                                             → →
                                    →
                                    −
où φ est un potentiel scalaire, et A un potentiel vecteur1 . On les calcule en se
ramenant à une équation de Poisson. Si :
                                             − −
                                             → →
                                             ∇· v =a
                                    → −
                                    −   →    − −
                                             → →
                                    ∇ · ∇φ + ∇ ∧ A = a

                                              ∇2 φ = a
     Et si
                                       → → −
                                       − −
                                       ∇∧ v =→  u
                                  →
                                  −    →
                                       −     − −
                                             → →     →
                                  ∇ ∧ − ∇φ + ∇ ∧ A = −
                                                     u
                                               −
                                               → →
                                             ∇2 A = −
                                                    u
                                                                        →
                                                                        −
qui est également une équation de Poisson pour chaque composante de A .
                                               →       →
  Lorsque l’une ou l’autre des composantes − c ou − s est nulle, les équations se
                                                v      v
simplifient notablement. On a déjà utilisé abondament dans ce qui précède le cas
          →
          −
   →
où − c = 0 . on a vu que c’est une conséquence de l’hypothèse de constance de la
    v
masse volumique via l’équation de conservation de la masse. On va ici considérer le
cas inverse (fluide irrotationnel) et parler un peu “d’écoulement potentiel”.




                 →
                 − → − →  →
 1
     Il suffit que ∇ · − et ∇ ∧ − existent partout et tendent vers 0 “assez vite” à l’infini.
                     v        v




                                                  17
2.1.2. Ecoulement irrotationnel
         →
         −
   →
Si − s = 0 , alors :
   v
                              − −
                              → → −   →   → − →
                              ∇ ∧ v = 0 ⇒ − = ∇φ
                                          v
   On peut trouver une fonction “potentielle” scalaire φ telle que le champ de vi-
tesse soit le gradient de ce potentiel. Il existe une littérature très riche sur ce type
d’écoulements que nous n’aborderons pas ici.
   En revanche, on peut considérer la forme que prend l’équation de Navier-Stokes
dans ce cas, en présence d’une force en volume. Pour simplifier les caculs, nous nous
limiteraons à un fluide incompressible et de viscosité nulle (Equation d’Euler). Dans
ce cas :                  →
                         ∂−v     → − →→             1−→      1−→
                             + − · ∇ (− ) = − ∇P + F
                                 v          v
                          ∂t                        ρ        ρ
      →
      − → −       →                  → − →→             →
                                                      1 −
   Si ∇ ∧ − = 0 , on a vu que − · ∇ (− ) = 2 ∇v 2 . Supposons de plus que la
            v                         v         v
                               −
                               →
force (par unité de volume) F dérive aussi d’un potentiel (ce qui sera le cas, au
                                                     →
                                                     −      −
                                                            →
hasard ( !), de la force de gravité...). Alors, avec F = − ∇Ψ, on a :

                         − ∂φ 1 − 2 − P − Ψ −
                         →       →   →   →   →
                         ∇    + ∇v + ∇ + ∇ = 0
                           ∂t  2       ρ   ρ
  On peut donc intégrer une fois par rapport à la variable d’espace, ce qui donne :
                             ∂φ 1 2 P  Ψ
                                + v + + = f (t)                                    (2.1)
                             ∂t  2   ρ ρ

où f (t) joue le rôle de “constante” d’intégration, à déterminer en fonction du pro-
blème. On a là une forme généralisée de l’équation de Bernouilli, bien connue des
étudiants de première année de physique.

2.1.3. Instabilité de Kelvin-Helmoltz
Le développement qui suit est tiré de Thomson (2007, Chap 4). Considérons le cas
d’un fluide non-visqueux placé dans un champ de pesanteur uniforme suivant z. Le
potentiel Ψ est donc ρ g z. Nous allons partir d’un écoulement uniforme, dans la
direction x horizontale (perpendiculaire à z) et où la densité ρ1 et la vitesse v1 dans
la partie z > 0 sont différentes de la densité ρ2 et la vitesse v2 dans la partie z < 0.
Comme l’ensemble est uniforme et stationnaire, on doit avoir dans l’équation (2.1)
f (t) = 0.
                              ∂φ 1 2 P           Ψ
                                  + v + + =0
                              ∂t     2      ρ     ρ
  La situation de base est illustrée sur la figure suivante :




                                          18
                                   v1                                   z
                                                      ρ
                                                       1
        g
                                                                         z=0
                                                      ρ
                                                          2

                                   v2
   Nous allons maintenant perturber cet écoulement et voir à quelle(s) condition(s)
il est stable ou non. On suppose donc que la surface horizontale qui sépare les
deux milieu est déplacée légèrement suivant (on choisi k et ω positifs sans perte de
généralité) :
                           z = ζ(x) = A exp (ikx − iωt)
où A est une amplitude faible (nous utiliserons ce fait pour pouvoir faire un dévelop-
pement perturbatif). On cherche donc à exciter un mode spatial de nombre d’onde
k et de pulsation temporelle ω. Si l’écoulement reste irrotationnel, la vitesse en tout
point peut alors s’écrire :
                                 − =v − +−
                                 →
                                 ui       →    →
                                        i e x   ∇φi
  Le terme principal est la vitesse vi initiale, et il s’y ajoute une perturbation déri-
vant d’un potentiel inconnu φi . Comme φi obéit à une équation de Laplace, et qu’on
sait que la perturbation est nulle à l’infini suivant z, on peut l’écrire sous la forme :
                           φ1 = C1 exp (−iωt + ikx − kz)
                           φ2 = C2 exp (−iωt + ikx + kz)
   Dans ces expressions, le comportement en t et x est imposé par le déplacement de
l’interface. Le comportement en z permet de faire tendre la solution vers 0 à l’infini.
   On peut maintenant écrire les conditions aux limites à l’interface pour trouver des
contraintes sur les constantes A, C1 et C2 .
   • Tout d’abord, la vitesse verticale doit suivre le mouvement de l’interface. Donc,
     en évaluant les expressions en z = 0 et en ne retenant que les termes du premier
     ordre : :
                                 ∂φ1     Dζ      ∂φ2    Dζ
                                      =      ;        =
                                 ∂z      Dt      ∂z     Dt
                                   k C1 = A (iω − ik v1 )
                                  k C2 = −A (iω − ik v2 )
   • D’autre part, on doit avoir continuité de la pression de part et d’autre de
     l’interface. Avec Ψ = ρ g z :
                                           ∂φ 1 2
                                −P = ρ        + v + gz
                                           ∂t  2
      donc :
                          ∂φ1 1 2                     ∂φ2 1 2
                     ρ1       + u1 + gz        = ρ2       + u2 + gz
                           ∂t  2                       ∂t  2



                                          19
En simplifiant le terme d’ordre 0 et en ne retenant que les termes du premier ordre,
on obtient :
                  ∂φ1 1 ∂φ1                        ∂φ2 1 ∂φ2
             ρ1       + v1    + gζ        = ρ2         + v2    + gζ
                   ∂t  2   ∂x                       ∂t  2   ∂x
  En évaluant de nouveau cette expression en z = 0 il vient :

            ρ1 (−iω C1 + ik v1 C1 + gA) = ρ2 (−iω C2 + ik v2 C2 + gA)

  On peut maintenant substituer les relations entre Ci et A, puis simplifier l’ampli-
tude A elle-même (qui doit être non nulle pour avoir une perturbation non triviale).
Finalement :
                           2   (ρ2 − ρ1 ) gk ρ1 ρ2 (v1 − v2 )2 k 2
                 (ω − k¯) =
                        v                   −                                  (2.2)
                                 (ρ1 + ρ2 )       (ρ1 + ρ2 )2
où l’on a défini une “vitesse de dérive” v par (ce qui est une simple transformation
                                        ¯
galiléenne) :
                                     (ρ1 v1 + ρ2 v2 )
                                 ¯
                                 v=
                                        (ρ1 + ρ2 )
  On voit que si le terme de droite de l’égalité est négatif ω aura une composante
imaginaire pure. Reportée dans l’expression de ζ(t) cela se traduit par une expo-
nentielle croissant au cours du temps, c’est-à-dire une instabilité. Une condition
nécessaire de stabilité est donc :
                                               (ρ2 − ρ2 )
                             (v1 − v2 )2 k <     2     1
                                                          g                      (2.3)
                                                 ρ1 ρ2
   Dans l’équation (2.2), le premier terme du membre de droite est un terme de
cisaillement, qui ne fait intervenir que la masse volumique du fluide. Si le fluide
supérieur est le moins dense (ρ2 > ρ1 ) c’est un terme stabilisateur. Sinon c’est un
terme déstabilisateur. C’est en particulier le cas si les vitesse sont égales (et donc
nulles par translation). On est alors dans le cas de l’instabilité de Rayleigh-Taylor.
   Le deuxième terme de droite de l’équation (2.2) est toujours déstabilisant. On
voit en particulier que les petites échelles sont toujours instables (k suffisamment
grand). L’équation (2.3) permet de déterminer l’échelle caractéristique où le système
se déstabilise.
   Deux remarques pour conclure :
   • La condition ci-dessus n’est que suffisante, puisque nous avons seulement consi-
     déré une perturbation irrotationnelle. La discution est beaucoup plus complexe
     pour une perturbation quelconque.

   • Aux petites échelles, la dissipation visqueuse n’est plus négligeable. La dis-
     cussion ci-dessus est donc insuffisante aussi pour cette raison, et il faut tenir
     compte de l’effet stabilisant de la diffusion.

   • Dès que la perturbation commence à croitre, l’analyse linéaire est bien sur
     insuffisante et il faut revenir à Navier-Stokes complet pour voir ce que devient
     l’écoulement. On peut quand même se dire que la croissance suivant z d’une



                                         20
          Figure 2.1.: Instabilité de Kelvin-Helmoltz au soleil couchant.


     perturbation va interférer avec le cisaillement horizontal suivant x, et que l’effet
     global devrait favoriser la formation de tourbillons (et donc rendre invalide
     l’hypothèse d’un écoulement potentiel).
L’intérêt est de montrer un mécanisme permettant de créer de la “rotation” dans le
fluide. Ce phénomène s’observe couramment, par exemple dans certaines formations
nuageuses (Fig 2.1).


2.2. Équation de Navier-Stokes
Nous prendrons ic l’équation de Navier-Stokes sous la forme :
                     →
                   ∂ρ−v   → − →          →
                                         −
                                  →
                        + − · ∇ (ρ− ) = − ∇ (P ) + ρν ∇2 −
                          v       v                      →
                                                         v
                    ∂t

2.2.1. Nombre de Reynolds
On considère qu’à une échelle de longueur typique l on a une vitesse caractéristique
v. Dans cette équation, on peut identifier trois forces (par unité de volume) :

   • Une “force d’inertie” (deuxième membre de gauche) :

                                                 ρ v2
                                        Fin ∼
                                                   l

   • Une forces de dissipation visqueuses (deuxième membre de droite) :
                                                 ρν v
                                        Fvis ∼
                                                  l2



                                          21
   • Une “force de pression” :
                                                   P
                                          Fvol ∼
                                                   l
Le dernier terme ne s’interpète pas facilement en terme de force. En revanche, on
voit tout de suite qu’il s’agit d’un terme de dissipation. Il correspond donc aux
“forces de frottement” que l’on peut trouver en mécanique classique. Celles-ci ne sont
définies que de façon empirique et macroscopiques, et correspondent à la moyenne
d’interactions microscopiques tendant à dissiper l’énergie cinétique d’un solide en
mouvement. Il en est de même ici.
   On peut également extraire, toujours par un raisonnement “aux dimensions”, deux
temps caractéristiques :

   • Un temps de dissipation :
                                                  l2
                                           tν =
                                                  ν
   • Un temps dynamique :
                                                   l
                                           td =
                                                   v
Le rapport des deux premières forces, qui est aussi le rapport de ces deux temps,
permet de définir le Nombre de Reynolds :
                                        Fin    tν   lv
                                 Re =        =    =
                                        Fvis   td   ν
   Quand Re est grand, les forces d’inertie l’emportent sur les forces de dissipation.
Le mouvement a donc le temps de se développer avant que les pertes d’énergie
n’amènent le fluide à l’arrêt. Quand Re est petit, la dissipation bloque tout dé-
veloppement. S’il y a un forçage permanent il s’établie alors un écoulement stable
(laminaire à la limite) qui ne nous intéressera pas par la suite. On constate qu’un
écoulement laminaire devient spontanément instable lorsque le nombre de Reynolds
dépasse une valeur critique de l’ordre de 1500.
   On voit aussi que dans un système isolé des mouvements complexes (lisez “de la
turbulence”) ne peuvent s’établir que pendant un temps fini. Même quand le nombre
de reynolds de départ est très grand, la dissipation visqueuse agit en permanence
dans le même sens : elle transforme de l’énergie cinétique macroscopique en agitation
thermique. Au bout d’un temps éventuellement long l’écoulement tend donc vers le
repos.
   Pour maintenir la turbulence en régime permanent il est donc nécessaire d’injecter
de l’énergie dans le système en continu pour compenser cette perte d’énergie. Nous
revenons plus loin sur cet aspect.

2.2.2. Localisation
Une des grandes difficultés dans l’étude de la turbulence est que les effets de fluctua-
tions de vitesse sont “non-locales”. En effet, en prenant la divergence de l’équation
de Navier-Stokes, on voit que :



                                           22
                → → −
                − ∂−  v    → → − →  →           → →
                                                − − P           −
                                                                →
                ∇·       + ∇ · − · ∇ − = −∇ · ∇
                                 v       v                             →
                                                            + ν ∇ · ∇2 −
                                                                       v
                     ∂t                                ρ
                                                →
                                                − →
     En utilisant l’équation B.5 (toujours avec ∇ · − = 0) :
                                                    v
                            → − − →
                            v
                                → →
                                      v
                                          −
                                          →   →
                                              − →
                                                  v
                                                       −
                                                       →    →
                                                            − →
                         ∇2 − = ∇ ∇ · − − ∇ ∧ ∇ ∧ − = − ∇ ∧ ∇ ∧ −
                                                                v

on a :
                − →
                →
               ∂∇ · −
                    v   → → − →
                        −       →                                     P        −
                                                                               → − →   →
                                                                                       − →
                      + ∇ · − · ∇ − = −∇2
                            v     v                                         −ν ∇ · ∇ ∧ ∇ ∧−
                                                                                          v
                 ∂t                                                   ρ

                                                 P          → → −→
                                                            −       →
                                           ∇2            = −∇ · − · ∇−
                                                                v     v
                                                 ρ
                                                                     −
                                                                     →
                                                              →
  C’est une équation de type “Équation de Poisson”, donc, si − → 0 à l’infini on
                                                               v
peut utiliser la formule de Biot et Savart pour en donner une solution formelle :
                                                         −
                                                         → − −−  →               ′
                                           ρ             ∇ · → · ∇→
                                                             v     v
                                      P =                                            dr′
                                          4π         V         |r − r′ |
  On voit donc qu’une fluctuation située en un point quelconque du fluide a im-
médiatement des conséquences sur la pression en tout point. Ceci est bien-sûr une
conséquence de l’hypothèse d’incompressibilité qui revient à dire que les ondes de
pression se propagent à une vitesse infinie. Même si le milieu est faiblement com-
pressible le problème demeure (avec une démonstration autrement compliquée...).


2.3. Énergie
L’équation de conservation de l’énergie s’écrit :

                   ∂      v2               v2 −
                                              → − ∇.          P−→ + ∂                 vi τij
                               = −∇.          v                 v                               − 2νSij Sij
                   ∂t     2                2                  ρ    ∂xj                  ρ
  Pour interpréter cette équation, on peut l’intégrer sur un petit volume de contrôle
V délimité par une surface S. En utilisant l’équation (B.4), on obtient :

                                                 ∂           v2
                                                                      dV =
                                                 ∂t      V   2

                        v2 −
                           →                     P−→                        ∂    vi τij
 −            ∇.           v   dV −        ∇.      v         dV +                              dV −        2νSij Sij dV
          V             2              V         ρ                     V   ∂xj     ρ                   V

                        v2 − −
                           →.→ dS −            P− −
                                                 →.→ dS +              ∂     vi τij
      =−                   v n                   v n                                       dV −       2νSij Sij dV
                   S    2                  S   ρ                  V   ∂xj      ρ                  V

Chacun de ces termes a une interprétation physique “simple” :
∂             v2
∂t    V        2
                    dV : variation d’énergie dans V



                                                             23
−       v2   →→
             − .− dS : Énergie cinétique convectée dans V
             v n
      S 2
          →.→ dS
        P− −
−     S ρ
          v n           : Travail forces de pressions sur S

         ∂     vi τij
+     V ∂xj      ρ
                        dV : Travail forces de viscosité sur S

−     V
          2νSij Sij dV : Énergie dissipée par viscosité en chaleur

On peut donc interpréter le terme “délicat “ 2νSij Sij en définissant une quantité très
importante : ǫ, l’énergie dissipée par friction visqueuse en volume :

                                            ǫ = 2νSij Sij
     Cette quantité joue un rôle fondamental dans la suite.


2.4. Vorticité
2.4.1. Définition
                                  →
                                  − →
                            →
On défini la vorticité par : − = ∇ ∧ − . Soit ωi = ∂j uk − ∂k uj et on en déduit
                            ω          v
                    → →
                    − −
immédiatement que ∇ · ω = 0 . On peut dériver une équation d’évolution de − en
                              2                                                →ω
transformant l’équation de Navier-Stokes ainsi (en utilisant l’équation (B.5)) :
                                →
                               ∂−v       →
                                     → − →      →
                                                −P        →
                                   + − · ∇ − = − ∇ + ν ∇2 −
                                     v     v              v
                                ∂t                ρ
                              →
                             ∂−v          →
                                   → → − P +v
                                               2
                                 = − ∧− − ∇
                                   v  ω                              →
                                                              + ν ∇2 −
                                                                     v
                              ∂t            ρ 2
                                                               −
                                                               →      → − −
                                                                      −   → →
   Puis en en prenant le rotationnel, et en se souvenant que ∇2 X = − ∇ ∧ ∇ ∧ X
   − −
   → →
si ∇ · X = 0 :
           − ∂−
           →     → −
                  v    → → →              − − P
                                          → →           v2       −
                                                                 →
           ∇∧       = ∇ ∧ (− ∧ − ) − ∇ ∧ ∇
                              v    ω                  +                 →
                                                             + ν ∇ ∧ ∇2 −
                                                                        v
                 ∂t                                 ρ    2
                             → −
                            ∂−ω    → → →
                                = ∇ ∧ (− ∧ − ) + ν∇2 −
                                          v    ω         →ω
                             ∂t
  Une constatation essentielle est que la pression n’intervient plus ici. On a donc une
équation locale, contrairement à l’équation d’évolution de la vitesse. La vorticité est
donc une quantité prticulièrement intéressante pour étudier les caractéristiques d’un
écoulement turbulent. Elle mesure la “quantité de rotation” présente localement et
caractérise donc bien les tourbillons.




 2
     Même dans le cas compressible.




                                                 24
                              Figure 2.2.: Une tornade aux USA.


2.4.2. Enstrophie
On défini l’enstrophie φ par :

                                               → · → = 1 ω2
                                             1− −
                                        φ=     ω ω
                                             2         2
  Cette quantité est plus ou moins l’analoque pour la vorticité de l’énergie cinétique
pour la vitesse. Attention : la notation φ n’est pas du tout universelle3 . Elle joue un
rôle fondamentale en turbulence” à deux dimensions”.




 3
     Ne pas confondre avec le potentiel scalaire introduit plus haut.




                                                  25
3. Turbulence classique
3.1. Fluctuations
Un cas important d’écoulement est celui où un champ de vitesse “simple” est soumis
à des perturbations. En particulier, on va s’intéresser ici au cas où “simple” veut dire
“régime permanent”.
                   → →
                   −
            →                   →
   On pose − = V + − où − est une fluctuation autour de l’écoulement moyen
             v           u      u
−
→
V , qui lui ne dépend pas du temps. On suppose ici que l’on peut remplacer les
moyennes d’ensemble par des moyennes temporelles pour un écoulement turbulent
“stationnaire”, c’est-à-dire que :
                                  →
                                  v    → − →
                                < − >= − = V ;
                                       v               →    −
                                                            →
                                                     < − >= 0
                                                       u

  Une composante (disons i) de Navier-Stokes est :
                               ∂vi     → − →        ∂P     ∂τij
                           ρ       + ρ − · ∇ vi = −
                                       v                +ν
                               ∂t                   ∂xi    ∂xj
  On en prend la moyenne temporelle, et on utilise le fait que l’opérateur de moyenne
commute avec les différentiations. En développant, on obtient (voir l’annexe (B.3)) :

                           → →
                           − −          → − →         ∂P     ∂τij
                   ρ       V · ∇ Vi + ρ − · ∇ u i = −
                                        u                 +ν
                                                      ∂xi    ∂xj

  Et en utilisant l’équation (B.6), et en faisant passer dans le membre de droite la
partie fluctuante du terme non-linéaire, on obtient :

                               − −
                               → →          ∂P      ∂
                       ρ       V · ∇ Vi = −     +ν     [τij − ρui uj ]             (3.1)
                                            ∂xi    ∂xj

  On voit que, formellement, on peut faire apparaître un terme qui a une forme
similaire au tenseur des contraintes τ¯ , source de la dissipation. On défini donc le
                                      ij
tenseur des contraintes de Reynolds par :
                                           R
                                          τij = −ρui uj

   Ce terme représente le flux d’impulsion moyen induit par la turbulence dans un
élément de volume.




                                               26
Figure 3.1.: Tourbillon près de la cote japonaise le 11 mars 2011 (tsunami).




                                    27
3.1.1. Fermeture
Le point important de la relation précédente est que l’équation donnant l’évolution
de la vitesse moyenne fait intervenir des corrélations croisées entre tous les termes
ui uj . Il faut donc une équation supplémentaire pour déterminer les termes ui uj .
Malheureusement, cette équation (que l’on peut écrire) fait intervenir des termes en
ui uj uk . Etc...
   Chaque nouvelle équation nécessite une équation d’un ordre supérieur pour calcu-
ler le nouveau terme introduit. C’est ce qu’on appelle le problème de la fermeture.
   Lorsque l’on veut calculer uniquement l’écoulement moyen, il faut donc choisir de
limiter le nombre d’équations que l’on écrit et décider (de façon assez arbitraire)
d’une “règle” permettant d’exprimer les termes d’ordre le plus élevé conservé en
fonction de ceux d’ordre inférieur et des autres paramètres physique.
   On construit donc une théorie approchée, dont la qualité dépend beaucoup de
l’intuition du modélisateur. En général, ces relations de fermetures ne sont valables
que dans un domaine d’application limité où elles ont été validées par comparaison
avec des expériences.
   Le modèle le plus classique en la matière (modèle dit “k − ǫ”) est présenter plus
loin, mais avant cela il nous faut des outils supplémentaires.


3.2. Théorie de Kolmogorov
Ce travail, due principalement à Andreï Kolmogorov (19003 - 1987) reste la seule
véritable avancée théorique sur la turbulence. Même si cette théorie est maintenant
dépassée (ses limites ont bien été mises en évidence), on n’a toujours pas de for-
mulation satisfaisante d’une théorie plus large. Son article fondateur date de 1941
(Kolmogorov, 1941a,b), il est complété par un article de 1962 (Kolmogorov, 1962).
  On va maintenant supposer que le “l’écoulement” est homogène, isotrope, station-
naire et sans mouvement d’ensemble. Donc :
                                              →
                                              −   →
                                                  −
                                              V = 0

  On défini :
                                                              1 2
                                u2 = u2 = u2 = u2 =
                                      x    y    z               u
                                                              3

3.2.1. Lois d’échelle
Si on se place à une échelle spatiale l (sans trop chercher à définir ce que ça veut
dire pour l’instant...), alors on peut considérer que les mouvements du fluide à cette
échelle se font à une vitesse caractéristique ul . Dans ce cas, on peut définir :
             l
   • tl ∼   ul
                 : Temps de retournement.
            u2       u3
   • ǫl ∼    l
            tl
                 =    l
                       l
                           : Taux de dissipation de l’énergie (par unité de masse).
             l ul
   • Rl =      ν
                    : nombre de Reynolds local.



                                                 28
                   Figure 3.2.: Andreï Kolmogorov (1903 - 1987)


Ces relations ne sont rien de plus que des équations aux dimensions, mais elles
permettent de fixer les idées. On défini alors l’échelle microscopique de Kolmogorov,
η comme celle pour laquelle le temps dynamique est égal au temps visqueux, c’est-
à-dire Rη = 1 :
                                         η uη
                                  Rη =        =1
                                          ν

3.2.2. Cascade de Richardson
Ce mécanisme, proposé dans les années 1920, est bien observé expérimentalement.
Il décrit la façon dont l’énergie se réparti dans l’écoulement turbulent. Dans un
fluide réel, la viscosité n’est jamais nulle ; il y a donc toujours de la dissipation. pour
maintenir le champ de vitesse, il faut donc compenser cette perte.
   Richardson postule que :

   • L’énergie est injectée à une échelle L grande.

   • L’énergie passe d’échelles en échelles de plus en plus petites (les tourbillons
     donnent naissance à des tourbillons plus petits par étirements - replis)

   • Elle est dissipée lorsque le “temps visqueux” est de l’ordre de “temps dynami-
     que”, soit à l’échelle de Kolmogorov.

Il y a donc trois gammes d’échelles dans l’écoulement :




                                           29
             Figure 3.3.: http://www.sensitivelight.com/smoke2/

   • Les grandes échelles, qui sont sensibles aux phénomènes extérieurs (conditions
     aux limites, forçages, etc...) et où l’isotropie n’est donc pas réalisée. On ne s’y
     intéressera “pas trop” ( !)
   • Les toutes petites échelles, où la viscosité domine et où il ne se passe pas grand
     chose d’intéressant.
   • Les échelles intermédiaires, dominées par la dynamique, et où l’essentiel de la
     turbulence se développe.
Richardson fait l’hypothèse qu’à ces échelles intermédiaires, le taux de dissipation
de l’énergie est indépendant de l ! Soit :
                               Rl ≫ 1 ⇒ ǫl = ǫ = Cte
  Or on connaît un ordre de grandeur de ce taux ǫ (la dernière évaluation est juste
une équation aux dimensions) :
                                                     u2
                                                      η
                                 ǫ = 2νSij Sij ∼ ν
                                                     η2
  S’il est conservé entre l’échelle d’injection L et l’échelle de dissipation η alors :
                                       u3
                                        L
                                            u2η
                                          =ν 2
                                       L    η
  On en déduit :
                                    η = (RL )−3/4 L
                                   uη = (RL )−1/4 uL
                                   tη = (RL )−1/2 tL
  Pour quelques valeurs typique du nombre de Reynolds, cela donne :



                                           30
                  Figure 3.4.: L 1204 / S140 d’après Stark & Reif (1998).

                           RL      103 105    107    109
                           L/η     178 5620 178000 5620000
                          UL /uη   5.6  18    56     180
                          tL /tη   3.2 316   3160   31600

3.2.3. Application au Milieu Interstellaire
Cet exercice ets tiré de l’examen de FC8 de 2011. La Figure 3.4 montre la région de L
1204 / S140 en infrarouge (bande R). Le nuage moléculaire est situé en haut à gauche
de l’image et est matérialisé par les isocontours de la transition J = 2 → 1 de la
molécule 13 CO. Cette raie en émission peut être considérée comme “raisonnablement”
transparente. Quelques raies d’émission provenant de cette région sont illustrées sur
la Figure 3.5.
   Le nuage est situé à d = 940 pc du Soleil1 .
   Sur la carte (Figure 3.4), on peut estimer la taille caractéristique du nuage à 15
minutes d’arc, soit environ 4.4 10−3 radians. A 940 pc, cela fait environ L ∼ 4 pc, soit
L ∼ 1.2 1019 cm. On fait ici l’hypothèse que toutes les dimensions caractéristiques
du nuage sont comparables, et donc que la longueur d’intégration le long de la ligne
de visée est du même ordre de grandeur.
   On lit directement la dispersion de vitesse dans le nuage (à grande échelle) à
partir de la largeur à mi-hauteur de la raie sur la figure 3.5 : vL ∼ 2.5 km s−1 =
2.5 105 cm s−1 . On fait ici l’hypothèse que la raie est mince et donc que sa largeur est
dominée par la dispersion de vitesse le long de la ligne de visée sur toute l’épaisseur
du nuage. Note : la raie de 12 CO, (2 − 1) est visiblement épaisse, et sa largeur
 1
     1 pc ≃ 3 1018 cm




                                            31
                          10    (774", 0)        CO 2-1




                           5




                           0

                           8
                                                 13
                                                   CO 2-1
                           6



                           4



                           2
                T A (K)




                           0
               *




                           2                          18
                                                 C O 2-1
                          1.5


                           1


                           .5


                           0




Figure 3.5.: Raies d’émission de la région de L 1204, d’après Li et al. (2002).
             L’échelle horizontale est VLSR en km−1 .




                                            32
ne donne donc pas directement une évaluation de la dispersion de vitesse. La raie
de C18 O, (2 − 1), elle, n’échantillonne que le coeur du nuage et n’est donc pas
caractéristique de l’échelle intégrale.
  Si on adopte une viscosité cinématique de l’ordre de 3 1015 cm2 s−1 (voir Sect 1.4.2.3),
on obtient :
                                 L vL   1.2 1019 2.5 105
                         Re =         ∼                  ∼ 109
                                  ν          3 1015
  L’échelle de Kolmogorov est donnée par :

                       η = L (Re)−3/4 ∼ 2 1012 cm ∼ 7 10−7 pc

  Sachant que la fréquence de la raie de 13 CO est νc ≃ 220 GHz, la longueur d’onde
est de :
                                  c     3 1010
                            λ=       =         ≃ 0.14 cm
                                  νc   220 109
L’échelle de dissipation est donc vue, à la distance de l’objet, sous un angle de
∼ 7 10−10 radians. La résolution spatiale d’un télescope étant de l’ordre de λ/D,
pour résoudre cette échelle il faudrait un diamètre de
                                 0.14
                         D∼         −10
                                        ∼ 2 108 cm ∼ 2000 km
                               7 10
  Les évaluations ci-dessus sont très grossières. On ne doit donc pas y voir plus
qu’un ordre de grandeur typique. Mais même si on s’est trompé d’un facteur 10,
on voit que l’échelle de dissipation n’est accessible qu’à l’aide de techniques de type
VLBI, telles qu’elles sont déjà pratiquées dans le domaine centimétrique (avec la raie
à 21 cm de l’hydrogène par exemple), mais pas encore dans le domaine millimétrique.


3.3. Le modèle k − ǫ
On a vu que pour résoudre l’équation (3.1) il fallait “fournir” de l’information. Soit un
moyen de fermer la chaîne d’équations donnant les moments successifs de la vitesse,
soit une prescription permettant d’évaluer le tenseur des contraintes de Reynolds
τij . Le modèle k − ǫ suit cette dernière approche. Pour cela, on écrit τij sous la
 R                                                                             R

forme :
                               R          ¯    ρ
                              τij = 2ρ νt Sij − (uk uk ) δij
                                               3
   On reconnaît dans le deuxième terme de droite un terme homogène à une pression
(et que l’on nomme pour cela, à la surprise générale la “pression turbulente”...) et
dans le premier une expression ayant la même forme que le tenseur des contraintes
habituel τij . Ce terme fait intervenir un facteur νt , homogène à ν, que l’on nomme
donc “viscosité turbulente”. Dimensionnellement, on peut écrire :

                                        νt = l Vt

où l est une longueur caractéristique, et Vt une “vitesse turbulente” caractéristique.




                                           33
   Pour l, on choisi habituellement l’échelle macroscopique L. Pour Vt , on le prend de
l’ordre de la racine de l’énergie cinétique moyenne (par unité de ρ), que l’on nomme
dans ce contexte k :
                                           1
                                      k=        u2
                                           2
   On postule donc :
                                       νt ∼ k 1/2 L
        V3           3/2
Or ǫ ∼ L ⇒ L = k ǫ . Comme tous ces raisonnement sont très qualitatifs, il faut
         t


bien mettre un coefficient de l’ordre de 1 entre les différents termes de l’égalité.
Traditionnellement, ce coefficient s’appelle “cµ ”. D’où :
                                             k2
                                       νt = cµ
                                              ǫ
   Les résultats expérimentaux suggèrent de prendre cµ ≃ 0.09.
   Il reste maintenant à trouver une équations d’évolution pour k et une autre pour
ǫ. Il se trouve que pour la première des arguments physique sérieux permettent
d’écrire :
                          ∂k
                             + u · ∇k = ∇ · (νt ∇k) + G − ǫ
                          ∂t
Avec :
                                           R
                                         τij
                                   G=           ¯
                                                Sij
                                          ρ
   On en trouve une justification, par exemple, dans Davidson (2004, p 122-126).
C’est une équation de type “advection-diffusion”, dans laquelle l’énergie est libérée
localement par un terme de cisaillement (terme “source” : G), est transportée par
advection par le champ de vitesse u tout en subissant de la diffusion qui l’étale dans
                                  ¯
le fluide (terme en ∇2 ) avant d’être finalement dégradée à l’échelle microscopique
(terme “puits” ǫ).
   En revanche, pour ǫ il n’y a pas de formulation évidente. L’expérience montre
qu’en postulant une relation de la forme :
                 ∂ǫ                          νt               Gǫ      ǫ2
                    + u · ∇ǫ = ∇ ·      ν+          ∇ǫ + c1      + c2
                 ∂t                          σǫ               k       k
et en choisissant astucieusement les coefficients ad-hoc de cette expression on obtient
des résultats en accord “raisonnable” avec les expériences de laboratoire. Un jeu de
paramètres standard est :
                           σǫ = 1.3;   c1 = 1.44;    c2 = 1.92
   Davidson (2004, p 176) donne une bonne discussion de ce modèle et de ses limites.
Pour l’essentiel, il donne des résultats corrects au coeur de la cascade (échelles in-
termédiaires) et loin des parois lorsqu’il y en a. Pour décrire proprement les couches
limites, il est souvent nécessaire de faire appel à des modèles spécifiques et de “bri-
coler” des conditions de raccordement.
   Enfin, il est bon de savoir que ce modèle, qui n’est qu’une façon intelligente d’in-
terpoler des résultats expérimentaux, est celui utilisé dans la plupart des codes
numériques commerciaux qui prétendent “résoudre” la turbulence.



                                           34
3.4. Fonctions de Structure
On a vu qu’on ne pouvait pas simplement “suivre” l’évolution de la vitesse moyenne,
et qu’il est nécessaire d’avoir des informations sur les propriétés statistiques du
champ de vitesse à toutes les échelles. On va maintenant revenir aux outils per-
mettant de caractériser ces propriétés. On se place dans un référentiel tel que la
vitesse d’ensemble est nulle (turbulence stationnaire). On suppose également que
cette turbulence est isotrope
  On défini alors u par :

                             u2 =< u2 >=< u2 >=< u2 >
                                    x      y      z

  Donc :
                              u2 = u2 + u2 + u2 = 3 u2
                                    x    y    z


3.4.1. Définitions
On défini la fonction de corrélation des vitesses par :

                                Qij = ui (x) uj (x + r)

                                                  v’
               v

                                                                i
                        r
  On défini l’incrément longitudinal de vitesse par :
                                              →
                                              −
                             ∆v(r) = ux (x + r i ) − ux (x)

  La fonction de structure longitudinale d’ordre de p est alors :

                            [∆v]p = [ux (x + rex ) − ux (x)]p

  On peut bien-sûr faire de même pour les vitesses transversales.

3.4.2. Propriétés de Qij
On peut montrer que :

   • Qij (r) → 0 si r → ∞ : Les vitesses sont découplées à l’infini

   • Qxx (rex ) → u2 si r → 0.
     1          1
       Q (0) = 2 u2 : densité d’énergie cinétique (règle de somme)
     2 ii

   • Qij (0) = − 1 τij (où τij est le tenseur des contraintes de Reynolds)
                 ρ
                    R       R




                                           35
Figure 3.6.: Fonctions f et g, tiré de Hosokawa (2007). La fonction g est celle qui
             deviens négative.

Qij étant homogène à une vitesse au carré et tendant vers u2 pour r nul, on peut
l’écrire comme le produit de cette valeur par une fonction sans dimension qui décrit
la variation en fonction de r. On pose donc :
                                  Qxx (rex ) = u2 f (r)
                                  Qyy (rex ) = u2 g(r)
  On a f (0) = 1 et limr→∞ f (r) = 0. La fonction f (r) permet de donner une
définition “propre” de la distance intégrale L par :
                                              ∞
                                   L=             f (r) dr
                                          0

   Si la turbulence est bien homogène et isotrope, alors la valeur de L ne dépend
pas de la position dans le fluide où elle est évaluée. En revanche, pour la calculer,
il faut que le “domaine expérimental” (qu’il soit numérique ou de laboratoire) soit
significativement plus grand que L ; typiquement, trois ou quatre fois. On trouvera
une discussion de ce point dans O’Neill et al. (2004).
   Les fonction f (r) et g(r) ne sont pas indépendantes :
                               1           ′         1
                        g(r) =    r 2 f (r) = f (r) + r f ′ (r)
                               2r                    2
  Enfin, on peut trouver un développement en fonction de r de la fonction f (r) au
voisinage de 0 sous la forme :
                                                r2
                                 f (r) = 1 −       + ...
                                               2λ2
  Cette expression peut servir de définition à l’échelle microscopique de longueur de
Taylor λ, qui est donc l’échelle de taille typique dans la cascade inertielle. On trouve
que :
                                   λ √
                                     = 15 (RL )−1/2
                                  L


                                              36
  λ est parfois défini par (ce qui revient essentiellement au même) :

                                                  u2
                                    λ2 = 2
                                                  ∂u 2
                                                  ∂x


  On défini alors le nombre de Reynolds à l’échelle de Taylor par :
                                       λu
                                Rλ =      ≃ 4 (RL )1/2
                                       ν
  Attention, dans cette expression, c’est bien la dispersion de vitesse u qui intervient.
En effet, u caractérise le module de la dispersion de vitesse turbulente dans le milieu
(en tout point), et λ caractérise la “portée” de la turbulence (l’échelle à laquelle ce
qui se passe en un point commence à différer significativement de ce qui se passe “à
coté”). On voit finalement que l’on a :

                                      L≫λ≫η

  Lorsque le nombre de Reynolds est suffisamment grand ces trois échelles sont bien
séparées et le domaine inertiel est bien défini. C’est pratiquement toujours le cas
dans les milieux astrophysiques, mais rarement dans les expériences numériques ou
de laboratoire.

3.4.3. Fonction de structure d’ordre 2
Rappel :
                          [∆v]2 = [ux (x + rex ) − ux (x)]2
  Cette fonction contient donc toute l’information sur les écarts quadratiques de
vitesse entre deux points du fluide, c’est-à-dire typiquement sur la variation d’énergie
cinétique turbulente. On peut montrer que :

                                [∆v]2 = 2u2 (1 − f (r))

  En effet :

                [∆v]2 = u2 (x + rex ) − 2ux (x + rex ) · ux (x) + u2 (x)
                         x                                         x


              [∆v]2 = u2 (x + rex ) − 2 ux (x + rex ) · ux (x) + u2 (x)
                       x                                          x

                      [∆v]2 = 2 u2 − 2 u2 f (r) = 2 u2 (1 − f (r))
   Ce n’est donc qu’une autre façon d’exprimer ce que contient la fonction de corréla-
tion des vitesses Qij . L’interprétation classique de [∆v]2 est qu’elle donne l’énergie
contenue dans des structures plus petites que r :
                                             4
                             [∆v(r)]2 =        [Energy(< r)]
                                             3
  Le facteur 4/3 venant simplement de ce que [∆v]2 →           4
                                                               3
                                                                   1 2
                                                                   2
                                                                     u   pour r tendant
vers ∞.



                                             37
   En pratique, il y a quand même une contribution à grande échelle à [∆v(r)]2 .
En effet, lorsque qu’un tourbillon de taille r est emporté par le fluide, il n’est pas
simplement en mouvement rectiligne uniforme (dans un référentiel Galiléen), mais
il est soumis à l’influence des tourbillons à plus grande échelle que r. Ceux-ci ne
déforment pas (ou peu) les échelles plus petites que r (du moins dans un temps court)
mais contiennent une part importante de rotation. Il y a donc une contribution de
l’énergie associée à la vorticité à grande échelle, c’est-à-dire l’enstrophie. On a donc :
                                4
                  [∆v(r)]2 =      [Energy(< r)] + r 2 [Enstrophy(> r)]
                                3

3.4.4. Loi des 2/3 de Kolmogorov
Kolmogorov a tenté de déterminer les propriétés des fonctions de structure, et parti-
culièrement de celle d’ordre 2. Pour cela, il a cherché à les exprimer en fonction des
variables décrivant l’état du fluide (r, t, ǫ, ν, etc...). En se plaçant aux échelles petites
par rapport à l’échelle d’injection (pour que l’hypothèse d’isotropie soit valable), il
a fait sa “première hypothèse de similarité” :

   • [∆v(r)]2 ne dépend que de ǫ, ν et r.

Dans ce cas, on peut l’écrire sous la forme :
                                             ˆ
                                  [∆v(r)]2 = F (ǫ, ν, r)

   De plus, comme c’est une quantité homogène à une vitesse au carré, on peut l’écrire
comme le produit d’une vitesse au carré par une fonction sans dimension construite
à l’aide d’une longueur typique. Kolmogorov a choisi l’échelle de dissipation, ce qui
donne :
                                                  r
                               [∆v(r)]2 = u2 F
                                            η
                                                  η
   On voit que dans cette expression la dépendance en ν et ǫ est cachée dans les
                                                     1/4
expressions de η et uη : uη = (νǫ)1/4 et η = (ν 3 /ǫ) , ce qui peut aussi s’écrire sous
la forme ν = uη η et u3 = η ǫ.
                       η
   Si de plus on se place à une échelle r grande par rapport à l’échelle de dissipation
η on a la “deuxième hypothèse de similarité” :

   • [∆v(r)]2 ne dépend que de ǫ et r (et plus de ν).

En effet, lorsque le nombre de Reynolds est grand les effets visqueux n’ont pas le
temps de se faire sentir. L’évolution du fluide est dominée par la dynamique. La seule
possibilité pour écrire [∆v(r)]2 est alors (sur la base d’arguments de dimension) :

                                  [∆v(r)]2 = β ǫ2/3 r 2/3

  β est appelée la “Constante de Kolmogorov”, et expérimentalement on a β ≃ 2.




                                            38
3.4.5. Un résultat exact
Davidson (2004, p 331 et suivantes) montre qu’avec des hypothèses extrêmement
peu restrictives2 on a :
                                       4          d                   4
                      [∆v(r)]3 = − ǫr + 6ν            [∆v(r)]2 = − ǫr                  (3.2)
                                       5         dr                   5
  La dernière égalité est vrai dans le régime inertiel où la dissipation est négligeable.
C’est la célèbre “loi des 4 ”, qui est un des seuls résultats exacts existant en turbulence.
                          5
  Ce résultat est une conséquence de l’équation de Karman-Howarth, qui est la
traduction en terme d’évolution des fonctions de corrélation des vitesse de l’équation
de Navier-Stokes, ...et est définitivement au-delà des limites de ce cours. Mais le
résultat doit lui être retenu !

3.4.6. Représentation spectrale
Traditionnellement en turbulence on se place souvent dans l’espace de Fourier. Un
certain nombre de développements sont plus simples à obtenir, même si cela ne
change rien à la description physique de base. En revanche, cela présente l’inconvé-
nient majeur que l’on perd toute localisation. Or, il semble bien que l’on ne puisse
décrire correctement la turbulence sans faire appel à un fond stochastique auquel se
superposent des “objets” bien identifiés (tourbillons, nappes de courant, etc...). Je
me contenterai donc de donner ici un tout petit nombre de définitions.
  Soit u(k) la transformée de Fourier (3D) de u(r). Alors, le spectre d’énergie est
        ˆ
défini par (k = |k|) :

                             E(k) δ (k − k′ ) = 2π k 2 u† (k) · u(k′ )
                                                       ˆ        ˆ

Et :                                                   ∞
                                      1
                                        u2 =               E(k) dk
                                      2               0
                                                      ∞
                                     1
                                       ω2 =               k 2 E(k) dk
                                     2            0

  Le k qui intervient ici est le nombre d’onde (k = π/r) et n’a rien à voir avec le
“k” représentant l’énergie du modèle k − ǫ.
  De cette définition du spectre d’énergie, et de la seconde hypothèse de similarité,
on peut tirer une relation équivalente :

                        [∆v(r)]2 = β ǫ2/3 r 2/3 ⇐⇒ E(k) = α ǫ2/3 k −5/3

     C’est la célèbre loi des “−5/3”. Elle est très bien vérifiée expérimentalement.




 2
     Essentiellement que la turbulence soit développée et isotrope.




                                                  39
Figure 3.7.: Spectre d’énergie expérimental d’après Pope (2000). La pente est bien
             de −5/3 dans le domaine inertiel.


3.4.7. Fonction de distribution des vitesses
                                                     →
Les études expérimentales montrent que la vitesse − et ses composantes ont une
                                                     u
distribution quasi-gaussienne (aux erreurs de mesure près). C’est normal : lorsque
l’on considère l’ensemble du fluide, il y a un grand nombre d’événements largement
indépendants les uns des autres. Les vitesses en chaque points contribuent donc de
façon indépendantes et la loi des grands nombres s’applique.
   La situation est totalement différente pour les écarts de vitesse ! Dans ce cas,
l’étude de Qij montre que les effets de corrélation sont forts et s’étendent “assez
loin”. On doit donc s’attendre à ce que la distribution des écarts de vitesse soit
non-gaussienne. C’est bien ce qui est observé. Les mesures montrent que :

   • Le moment d’ordre 3 (“Skewness”) S ≃ −0.3 − 0.5

   • Le moment d’ordre 4 (“Kurtosis”) K → ∞ si Re → ∞

Cela signifie que des différences de vitesse grandes (par rapport à la vitesse quadra-
tique moyenne) sont beaucoup plus probable qu’avec une distribution gaussienne,
d’autant plus que le nombre de Reynolds est grand, et que les écarts négatifs sont
favorisés par rapport aux écarts positifs.
   C’est ce mécanisme qui est responsable de la cascade de Richardson. En effet,
Davidson (2004) montre que l’équation d’évolution de l’enstrophie moyenne peut
s’écrire :
                        ∂ ω2
                                 = ωi ωj Sij − ν (∇ ∧ ω)2
                       ∂t 2




                                        40
     (a)         0                               (b)
                                                      0.02                  log2(F/3)
               −4                                       0
   log P(∂u)


                                                  −0.02
               −8                                                                           0

                                                                                            −0.1
               −12                                                                  S
                                                                                            −0.2

                     −6 −4 −2   0    2   4   6               −8   −6       −4   −2      0
                                ∂u                                      log2(l/L)
      (c)                                        (d)
Figure 3.8.: a) Distribution des écarts de vitesse longitudinaux (traits pleins)
             et transversaux (pointillés) b) moments d’ordre 3 et 4 en fonction
             de l’échelle (longitudinaux : symboles vides, transversaux : symboles
             pleins). Tiré de Chevillard et al. (2010).


  et le premier terme à droite du signe égal vaut :
                                                    7             3/2
                                     ωi ωj Sij ≃ − √ S0 ω 2
                                                  6 15
où S0 = S(0) est la limite du “skewness” pour une séparation nulle.
  Il ne faut pas s’attarder trop sur le facteur numérique, mais le signe “−” est
important. Une valeur négative de S (−0.4 en moyenne) se traduit par une crois-
sance de l’enstrophie qui n’est limitée qu’aux plus petites échelles lorsque le terme
proportionnel à ν devient important.
  Un moment d’ordre 3 négatif, caractéristique d’un cisaillement important est donc
nécessaire pour étirer les tourbillons plus qu’on ne les aplatit et créer des tourbillons
aux petites échelles en partant des grandes.




                                                 41
4. Intermittence
Revenons aux fonctions de structure d’ordre p. On a :
                                          < [∆v(r)]p >∝ r ξp
   Si on généralise l’argument de Kolmogorov (les lois de similarité) à une valeur de
p quelconque, on devrait avoir :
                                           p
                                      ξp =
                                           3
                                               p
   Or expérimentalement, on constate que ξp < 3 pour p > 3. C’est ce qu’on nomme
le phénomène d’intermittence, que nous allons maintenant essayer de caractériser.


4.1. Résultats expérimentaux
4.1.1. Au laboratoire
Les fonctions de structure d’ordre élevé sont très difficiles à mesurer car les barres
d’erreur croissent rapidement avec l’ordre.
   Un résultat récent, due à Berg (2006)1 (Figure 4.1) montre bien cette déviation
dans le cas des fonctions de structure Lagrangiennes. Les expériences ne sont pas
beaucoup plus facile en mesures Eulériennes, mais un article classique (Arneodo
et al., 1996) (Figure 4.2) montre également une déviation nette par rapport à la
prédiction de Kolmogorov.
   Dans les deux cas, on constate que les exposants des fonctions de structure
croissent moins vite que ce que prévoit Kolmogorov. il existe des arguments théo-
riques pour dire que ζp doit être croissant, et que la courbe ζp (p) doit avoir une
courbure négative ou nulle, mais il n’y en a pas de démonstration stricte, et ce point
est encore controversé.
   Avant de voir d’où provient cet écart, il est important de noter que ces deux
courbes ne représentent pas ζp au sens strict, mais ζp . La différence entre les deux
                                                      ∗

est que la mesure de la pente de la droite obtenue dans un diagramme “Log-Log”
de < [∆v(r)]p > n’utilise pas r en abscisse, mais < [∆v(r)]3 >. C’est ce qu’on
appelle l’hypothèse de “Self-Similarité Étendue” (Extended Self-Similarity ou ESS)
introduite par Benzi et al. (1993).
                                                            4
   La validité de cette hypothèse repose sur la “loi des 5 ” (Eq 3.2). Comme <
[∆v(r)]3 >∝ r, on doit retrouver le même exposant. l’avantage principal est que
la loi de puissance est déjà clairement visible même pour de faibles nombres de
Reynolds, alors que le régime inertiel n’est pas complètement établi. On peut donc
déterminer ζp en utilisant une gamme plus large d’expériences. En revanche, cette
hypothèse n’a toujours pas reçu de démonstration rigoureuse.
 1
     Attention, ce n’est pas dans un article “à referee”.




                                                    42
               30                                             3
                                                            2.5
                                                              2
  Log SE,ESS




                                                            1.5




                                                Ζ p E,ESS
               20
 p




                                                              1
                                                            0.5
               10                                             0
                                                            0.5
                                                                  0   2   4   6   8
                0                                                         p
                    8   8.5     9    9.5   10
                             3
                        Log SE,ESS


Figure 4.1.: Exposants des fonctions de structures Lagrangiennes, d’après Berg
             (2006).




Figure 4.2.: Exposants des fonctions de structure Eulériennes, d’après Arneodo et
             al. (1996)




                                            43
Figure 4.3.: Fonctions de distribution des incréments de centroïdes de vitesse dans
             le milieu interstellaire, d’après Hily-Blant et al. (2008).


4.1.2. Observations
Il est enfin possible d’introduire un résultat astrophysique. Le fait que la distribution
des écarts de vitesse à petite échelle présente des ailes non-gaussienne est établi dans
le milieu interstellaire.
   La figure (4.3) montre les fonctions de distribution des incréments de centroïdes
de vitesse mesurés dans un nuage diffus proche dans la direction de Polaris. Comme
pour toute observation astronomique, les données brutes obtenues sont intégrées le
long de la ligne de visée. Ici, les observations de départ sont des spectres à très haute
résolution spectrale de la transition J = 1 → J = 0 de la molécule CO.
   La largeur de la raie est très supérieure à la largeur Doppler correspondant à la
vitesse thermique des molécules. On peut donc supposer qu’elle est dominée par
la dispersion de vitesse des molécules émettrices le long de la ligne de visée. La
comparaison de deux lignes de visée proches permet donc d’obtenir “de l’information”
sur l’écart de vitesse entre ces deux lignes. Pour cela, on calcule une moyenne de la
vitesse à une certaine position dans le plan du ciel, intégrée sur la ligne de visée en
calculant la moyenne, pondérée par l’intensité de la raie, de l’écart en fréquence par
rapport au centre de la raie, converti en vitesse2 . Les fonctions de distributions sont
ensuite calculées en comparant tous les couples de points indépendants en fonction
de leur distance angulaire.
   On constate que pour des écarts importants, les distributions sont gaussiennes :
les vitesses sont indépendantes. En revanche, pour les faibles écarts, on voit se dé-
velopper des ailes non-gaussiennes de plus en plus marquées. C’est la signature de
gradients de vitesse très forts à petite échelle qui se produisent beaucoup plus sou-
 2          ∆ν       ∆v
     On a   ν0   =    c .




                                           44
Figure 4.4.: Gradients de vitesse importants observés dans Polaris (Hily-Blant &
             Falgarone, 2009).

vent que s’ils arrivaient au hasard. Ces gradients de vitesse sont bien visibles sur
certaines cartes “position-vitesse” (Figure (4.4)).
   On peut également déterminer les exposants des fonctions de structure corres-
pondants (Figure (4.5)), et on retrouve la déviation par rapport à la prédiction de
Kolmogorov. On peut en particulier calculer les moments d’ordre 4 en fonction de
l’échelle. En revanche, les moments d’ordre 3 sont difficilement accessibles sur une
quantité intégrée comme le centroïde de vitesse.

4.1.3. Structure du gaz interstellaire
Pour continuer l’analyse de l’intermittence, il est utile d’avoir une idée de la structure
du gaz au sein duquel la turbulence se développe. Dans le cadre du Milieu Inter-
stellaire, ce travail a été poursuivi depuis le début des années 80 par de nombreux
auteurs, mais en particulier par Larson.
  Il a d’abord établi une relation entre la dispersion de vitesse du gaz, telle qu’elle
est mesurée par la largeur des raies d’émission et la taille des nuages(Larson, 1981) :
                                        σ ∝ L0.4
  Puis (Larson, 1992) une relation entre la masse et la taille :
                                        M ∝ L2
  Et enfin (Larson, 2005) (et entre autres), une relation entre la température et la
densité :
                                    T ∝ n0.7
  Un résultat récent est illustré sur la figure (4.6).
  L’ensemble de la litérature est riche, et relèverait d’un cours à elle seule, mais
la principale conclusion que l’on peut tirer de ces relations, et d’autres travaux



                                           45
                                                                          de

Figure 4.5.: Exposants des fonctions de structure mesurés dans Polaris (Hily-Blant
             et al., 2008). Les points représentent les observations et la courbe en
             pointillé le modèle de She et Lévèque (voir plus loin)




Figure 4.6.: Relation entre la taille et la dispersion de vitesse dans le nuage
             NGC1333 (Brunt et al., 2010).




                                        46
similaires ou complémentaires, c’est qu’il est très probable que la structure du gaz
interstellaire soit fractale, au moins dans une certaine gamme de tailles (disons de
la plus petite taille observable à la plus grande, pour l’instant).
   Nous allons utiliser cette propriété par la suite.


4.2. Interprétation
On peut comprendre le comportement intermittent de la dissipation de la turbu-
lence en regardant comment est construite la fonction de structure. La variation de
l’exposant ζp est dominée par les ailes non-gaussiennes de la fonction de distribution
des écarts de vitesse.
                                           +∞
                                   p
                         [∆v(r)]       =        [∆v(r)]p f (∆v(r)) d (∆v(r))
                                           −∞

où f est la fonction de distribution différentielle de ∆v(r).
  Construisons 3 fonctions de distribution “artificielles” correspondant :

      • à une distance grande entre les points de mesure (r∞ ).

      • Une distance moyenne r (il y a des ailes non gaussiennes, mais peu dévelop-
        pées).

      • Une distance r ′ < r (les ailes sont plus marquées et l’asymétrie plus forte).

Naturellement, lorsque l’écart entre les points de mesure est plus petit, la valeur
moyenne de ∆v est plus faible ! les trois distributions n’ont donc pas du tout la
même largeur. On peut construire des distributions ayant ces caractéristiques à
partir de lois “NIG” (voir la définition et les propriétés en annexe (C.2.3)), notée ici
NIG(x, α, β, δ). J’ai choisi ici3 :

      • r∞ : NIG(x, 20.0, 0.0, 20.0) (quasiment une gaussienne centrée réduite)

      • r : NIG(x, 1.8, −0.1, 1.0)

      • r ′ : NIG(x, 1.4, −0.15, 0.2)

On choisi des valeurs de δ décroissantes pour simuler la diminution de la valeur
moyenne de ∆v. Le paramètre d’asymétrie β augmente lorsque l’échelle diminue,
et l’amplitude des ailes non-gaussienne augmente également (rappelons que c’est le
rapport α/δ qui compte). On peut voir l’allure de ces distributions sur la figure (4.7).
   Lorsque l’on augmente la valeur de p, les fonctions à intégrer varient comme
indiqué sur les figures (4.8) à (4.10).
   On voit que, lorsque ∆v augmente, il y a une compétition entre la diminution de
f (∆v) et l’augmentation de ∆v p . Plus p est grand, plus le poids des grandes valeurs
 3
     Attention : ces valeurs sont complètement arbitraires, et exclusivement destinées à donner des
      figures lisibles. Il faudrait un vrai modèle pour relier les paramètres de la distribution à r. Une
      analyse de données expérimentales basée sur cette famille de lois est proposée par Barndorf-
      Nielsen et al. (2004).




                                                   47
                                   p=0                                                     p=0
                                                                               2
               2                                                          10
                                                 r∞                                                  r∞
             1.8
                                                                               0
             1.6                                r                         10                        r
             1.4                             r’<r                                                r’<r
                                                                               -2
p




                                                            p
                                                                          10
NIG(∆v)*∆v




                                                            NIG(∆v)*∆v
             1.2
               1                                                               -4
                                                                          10
             0.8
                                                                               -6
             0.6                                                          10
             0.4                                                               -8
                                                                          10
             0.2
                                                                              -10
               0                                                         10
                -10         -5       0      5         10                        -10   -5    0    5        10
                                    ∆v                                                     ∆v


                          Figure 4.7.: Fonctions de distribution de ∆v(r) pour p = 1.




                                   p=2                                                     p=2
                                                                               0
              0.3                                                         10
                                                 r∞                          -1                      r∞
                                                                          10
             0.25                               r                            -2                     r
                                                                          10
                                             r’<r                            -3                  r’<r
              0.2                                                         10
p




                                                            p
NIG(∆v)*∆v




                                                            NIG(∆v)*∆v




                                                                             -4
                                                                          10
                                                                             -5
             0.15                                                         10
                                                                             -6
                                                                          10
              0.1                                                            -7
                                                                          10
                                                                             -8
             0.05                                                         10
                                                                             -9
                                                                          10
                   0                                                        -10
                                                                         10
                    -10      -5      0       5        10                       -10    -5    0    5        10
                                    ∆v                                                     ∆v


                          Figure 4.8.: Fonctions de distribution de ∆v(r) pour p = 2.




                                   p=4                                                     p=4
                                                                               0
             0.9                                                          10
                                                 r∞                          -1                      r∞
             0.8                                                          10
                                                r                            -2                     r
             0.7                                                          10
                                             r’<r                            -3                  r’<r
             0.6                                                          10
p




                                                            p
NIG(∆v)*∆v




                                                            NIG(∆v)*∆v




                                                                             -4
                                                                          10
             0.5                                                             -5
                                                                          10
             0.4                                                             -6
                                                                          10
             0.3                                                             -7
                                                                          10
             0.2                                                          10
                                                                             -8

             0.1                                                             -9
                                                                          10
              0                                                             -10
                                                                         10
               -10          -5       0      5         10                       -10    -5    0    5        10
                                    ∆v                                                     ∆v


                          Figure 4.9.: Fonctions de distribution de ∆v(r) pour p = 4.




                                                           48
                                p=6                                                          p=6
                                                                                 2
             4.5                                                            10
                                                r∞                                                     r∞
              4                                                                  0
                                               r                            10                        r
             3.5
                                            r’<r                                                   r’<r
                                                                                 -2
              3
p




                                                              p
                                                                           10
NIG(∆v)*∆v




                                                              NIG(∆v)*∆v
             2.5                                                                 -4
                                                                           10
              2
                                                                                 -6
             1.5                                                           10
              1                                                                  -8
                                                                           10
             0.5
                                                                                -10
              0                                                            10
               -10     -5         0         5           10                        -10   -5    0    5        10
                                 ∆v                                                          ∆v


                     Figure 4.10.: Fonctions de distribution de ∆v(r) pour p = 6.


de ∆v est important. Or, c’est là que les petits r finissent par l’emporter puisque
f diminue moins vite.
   On a donc bien une pente ζp qui augmente avec p, mais pour chaque nouvelle valeur
de p les points correspondants à de petites valeurs de r “montent” plus vite que ceux
correspondant aux grandes valeurs. Cela tend donc à diminuer l’augmentation de la
pente.


4.3. Le β-modèle
Une idée assez évidente suggérée par les résultats précédents sur l’intermittence est
que, lors de la cascade, tout l’espace n’est pas mobilisé. Dit autrement, lorsque l’on
passe d’une échelle l à l’échelle l/2 un grand tourbillon va donner naissance à des
petits tourbillons qui ne remplissent qu’une partie de l’espace occupé précédemment.

4.3.1. Dimension fractale
Le β-modèle formalise cette idée. A chaque échelle, on considère que l’espace est
divisé en une fraction p active, et une fraction 1 − p inactive4 . A chaque cascade, la
fraction d’espace active est multipliée par une constante β plus petite que 1.
   Si on suppose que tout l’espace est mobilisé à une échelle intégrale l0 , alors à une
échelle ln = 21 l0 la fraction d’espace occupée par la cascade est pn = β n .
              n

   Si β < 1, on voit qu’à la limite on obtient une fraction de volume nulle. “L’objet”
en question est donc un fractal. Une autre façon d’écrire la même chose est donc de
poser qu’à l’étape n le volume actif occupe une fraction de volume :
                                                                            3−D
                                                             ln
                                                     pn =
                                                             l0


  4
         Attention de ne pas confondre la fraction pn d’espace occupé après n étapes de la cascade
          avec l’exposant p de la fonction de structure. j’ai conservé la même notation parce qu’elle est
          traditionnelle dans les articles et références. En principe le contexte doit permettre de lever les
          ambiguïtés.




                                                             49
où D est sa dimension fractale. On voit bien que dans le cadre d’une cascade de
Kolmogorov ordinaire, on doit avoir pn = 1 à toutes les échelles, soit D = 3. On
peut relier D et β de la manière suivante. On peut inverser la relation entre l0 et ln ,
ce qui donne :
                                      1              ln
                              n log       = log
                                      2              l0
  D’où :
                                       log ln / log( 1 )
                                pn = β     l0        2


  On a donc :
                                                                          3−D
                                  log   ln
                                              / log( 1 )          ln
                              β         l0           2
                                                           =
                                                                  l0
                                                           log (β)
                                        D =3+
                                                            log 2
                        1                               2
  Par exemple, pour β = 2 , on obtient D = 2 ; pour β = 3 , on obtient D ≃ 2.4.

4.3.2. Dissipation d’énergie
A chaque échelle n, l’énergie n’est contenue que dans une fraction pn de l’espace. En
prenant encore une fois vn , la fluctuation de vitesse à cette échelle, comme estimation
de v et en calculant l’énergie par unité de masse, on a :
                                                                          3−D
                                          2                 2     ln
                              En ∼       vn    pn =        vn
                                                                  l0
  Le temps caractéristique nécessaire pour qu’un tourbillon à l’échelle n transfère
son énergie à l’échelle n + 1 est typiquement le temps de retournement ln /vn . On a
donc un taux de dissipation de l’énergie à l’échelle n qui est :
                                                  3               3−D
                                                 vn        ln
                                        ǫn ∼
                                                 ln        l0
  Dans la cascade inertielle, ce taux est réputé être constant, et doit donc être égal
à sa valeur à l’échelle de départ, v0 /l0 . On a donc :
                                    3


                                         3            3−D             3
                                        vn      ln                   v0
                                                                 =
                                        ln      l0                   l0
                                                 1 3−D                          D−2
                                                   − 3
                                         ln      3
                                                                          ln     3
                         vn = v0                                = v0
                                         l0                               l0

4.3.3. Fonctions de structure
On peut maintenant évaluer le comportement des fonctions de structure en iden-
tifiant les écarts de vitesse à une échelle donnée avec vn . En remplaçant (comme
d’habitude) la moyenne d’ensemble par une moyenne spatiale, on a :
                                                                                      3−D
                         p     p                 p                              ln
                     < δvn >= vn × V olume(n) = vn
                                                                                l0


                                                      50
  Donc :                                            p
                                               ln   3
                                                      +(3−D)  (1− p )
                                                                  3
                                 p         p
                           <   δvn   >=   v0
                                               l0
  On trouve donc :
                                  p                 p
                               ζp =  + (3 − D) 1 −
                                  3                 3
   On a donc une correction à la prédiction de Kolmogorov (p/3) qui dépend de
la dimension fractale du volume au sein duquel se déroule la cascade d’énergie. Si
D = 3, on retrouve K41. On voit aussi que pour p = 3 on trouve ζ3 = 1 quel que
soit D ! On a donc bien un résultat compatible avec le seul résultat analytique exact
connu sur la turbulence...
   Cependant, en mettant en évidence le facteur p, on trouve :
                                       p
                                ζp =     (D − 2) + 3 − D
                                       3
   On voit donc que ce modèle prédit une loi linéaire pour ζp . Or les données expé-
rimentales (voir par exemple la figure (4.2)) montrent une courbure négative nette.
Ce modèle est donc insuffisant.
   Pour aller plus loin, il est nécessaire de faire appel à un modèle “multi-fractal” où
l’espace est découpé à chaque échelle en un emboîtement de fractals de dimensions
différentes (random β-model par exemple). Cela nous entraînerait trop loin dans le
cadre de ce cours.


4.4. Autres modèles
Le β-modèle est donc abandonné en tant que tel, mais il a permis l’éclosion de
multiples modèles basés sur des idées similaires. Les modèles qui tiennent la corde
en ce moment sont les modèles dit “Log-Normal” et “Log-Poisson”. Ce dernier en
particulier, proposé à l’origine par She & Leveque (1994), puis développé et formalisé
par Dubrulle (1994) et She & Waymire (1995) permet de prédire :
                                                           p/3
                                       p               2
                                ζp =     +2−2
                                       9               3

qui donne bien également ζ3 = 1. Cette relation semble très bien vérifiée par l’expé-
rience (figure (4.11)).


4.5. Volume de dissipation
Une conséquence importante de l’intermittence est donc que l’énergie n’est dissipée
que dans une fraction faible du volume de fluide. Si on reprend le β-modèle pour
fixer des ordres de grandeur (il a le mérite d’être simple), on peut évaluer le nombre
d’étapes de la cascade d’énergie, et la fraction de volume concernée. En effet, on a :

                                           −3/4        1
                                     η = RL       L=      L
                                                       2n



                                               51
             5
                            K41
                            β-Model
                            Log-Poisson
             4
                            ESS Exp



             3



             2



             1



             0
                 0          2         4       6         8        10     12       14


Figure 4.11.: Exposants des fonctions de structure. Les données expérimentales
              viennent de Benzi et al. (1993)


où L est l’échelle d’injection de l’énergie, RL le nombre de Reynolds intégral, η
l’échelle de dissipation et n le nombre d’étape. On en tire donc :
                                                  3 log RL
                                          n=
                                                  4 log 2

                                          η   3−D            3
                                  pη =              = (RL )− 4 (3−D)
                                          L
soit :

                                                 pη
                     RL         n D = 2.8 D = 2.4 D = 2                D=1
                     109        22 4.4 %  0.01 % 0.2 ppm               3 10−14
                     1012       30 1.5 %   4 ppm    10−9                10−18

   On voit que la fraction de volume concernée par la dissipation est très sensible à
la dimension fractale. Elle varie de plus de 6 ordres de grandeur pour D variant de
2 à 3.
   Dans un gaz réel, si la même énergie est dissipée dans un plus petit volume, on
peut s’attendre à ce que la température soit significativement plus élevée. L’effet de
cette dissipation sur le gaz interstellaire a été étudié par Pan & Padoan (2009). Ils
observent effectivement des “poches” de gaz chaud même dans les régions les plus
denses et froides (en moyenne) du milieu interstellaire (figure (4.12)).
   La dissipation de l’énergie turbulente fait qu’une partie significative du gaz est à
une température nettement plus élevée que celle résultant du simple chauffage par les
rayons cosmiques. Jusqu’à 1 % du gaz est à une température supérieure à 40 K, alors



                                                  52
                   1        Γcr=0
                                        -27
                            Γcr=0.8 x 10 n
                                        -27
                            Γcr=2.0 x 10 n
                  0.8


                  0.6
          P(<T)




                  0.4


                  0.2


                   0
                        1                           10                    100
                                                   T(K)

Figure 4.12.: Distribution cumulée de température dans un nuage de 1 pc, d’après
              Pan & Padoan (2009).

que 80 % du gaz est à une température inférieure à la température moyenne (13 K
pour un chauffage standard). Ces chiffres montrent également que cette distribution
de température est fortement non-gaussienne.


4.6. Influence sur la chimie
De nombreuses observations du Milieu Interstellaire prouvent l’existence de proces-
sus énergétiques même dans les zones qui semblent les moins excitées. Le cas le
plus frappant est la détection de l’ion moléculaire CH+ , l’une des première molé-
cules détectées. Il n’existe qu’une seule voie de formation de CH+ , via une réaction
endothermique :
                            C+ + H2 → CH+ + H − 4650 K
   Le taux de réaction s’effondre donc dans les nuages à basse température (fi-
gure (4.13)).
   Or le taux de destruction (soit par réaction chimique, soit par photodissociation
par le rayonnement ultraviolet reste, lui, élevé. La dissipation intermittente de la tur-
bulence, qui permet d’injecter de l’énergie de façon localisée dans le gaz et de porter
une petite partie du volume de façon transitoire à des température élevées, permet de
déclencher la formation de CH+ dans l’ensemble du gaz. Celui-ci est ensuite mélangé
au reste du gaz et fini par être détruit. Mais cette relaxation est suffisamment lente
pour que les observations, qui intègrent toutes les molécules présentes sur la ligne
de visée, montrent la molécule toujours présente, quelles que soient les conditions
physique du gaz.
   Ce processus a été étudié en détail par Godard et al. (2009) dans le cas de la dis-
sipation d’un tourbillon unique (figure (4.14)). Leur modèle de “TDR” (Turbulence



                                              53
                   -10
                  10
                   -20
                  10
                   -30
                  10
                   -40
        kCH+(T)


                  10
                   -50
                  10
                   -60
                  10
                   -70
                  10
                   -80
                  10
                              2                    3
                           10                    10
                                       T (K)

 Figure 4.13.: Taux de formation de CH+ en fonction de la température du gaz.


Dominated Region) permet de retrouver les bons ordres de grandeur des colonnes
densités observées.




                                     54
Figure 4.14.: Comparaison des colonnes densité de CH et CH+ calculées par des
              modèles de nuages interstellaires dominés par les photons (gauche -
              PDR) ou par la turbulence (droite - TDR), d’après Godard et al.
              (2009).




                                       55
5. Transport de scalaire passif
5.1. Advection-diffusion d’un scalaire passif
On s’intéresse ici à l’influence de la turbulence sur la concentration spatiale d’une
quantité physique quelconque. La seule contrainte que l’on se donne sur celle-ci, est
qu’elle n’intervient pas sur la dynamique de la turbulence. C’est le sens du terme
“passif”. Cela peut s’appliquer à de nombreuses quantités physiques ; par exemple,
des abondances chimiques dans un fluide.
   Dans le milieu interstellaire, on peut ainsi considérer que les espèces ultra mino-
ritaires détectées à l’aide de leurs raies spectrales dans le domaine millimétrique ou
infrarouge sont des scalaires passifs. Compte tenu de leurs abondances ne pouvant
dépasser (au mieux) 10−4 fois la masse totale du gaz (qui est dominée par l’hydro-
gène et l’hélium), ils ne jouent aucun rôle dans la dynamique gravitationnelle ou les
propriétés d’inertie du gaz. Il faut toutefois se méfier de celles qui jouent un rôle dans
le refroidissement du gaz (et donc son bilan thermique). Si les fluctuations de tem-
pératures sont très faibles (mettons de l’ordre du %), alors on peut faire l’hypothèse
que la dynamique du gaz n’est pas perturbée. De tels écarts de températures (et
donc aussi les variations d’abondance qui les ont provoquées) sont bien des scalaires
passifs.
   Mais si les écarts de température sont assez importants pour provoquer des mo-
difications du champ de vitesse, il faut alors résoudre simultanément l’équation
de Navier-Stokes, l’équation d’évolution de l’énergie et l’équation de transport de
l’abondance de l’espèce impliquée. On n’est alors plus dans le cadre du transport
d’un scalaire “passif”.
   Nous ne considérerons pas ce cas ici. On pourra néanmoins se reporter utilement
à Cant & Mastorakos (2008) pour les bases du problème et une excellente bibliogra-
phie.
   Nous considérerons donc qu’une certaine quantité physique peut être représentée
par un scalaire C exprimé en “ce qu’il faut” par unité de volume. Par exemple,
l’abondance d’une espèce chimique dans le MIS en g cm−3 (en cgs, je sais). Du fait
de l’existence d’un champ de vitesse d’une part, et des propriété microscopique de
transport de l’autre, la conservation de la quantité se traduit par une équation de
transport de type “advection-diffusion” :
                          D
                             C=
                                ∂C   → − →
                                   + − · ∇ C = α ∆C
                                     v
                          Dt    ∂t
où α est la diffusivité.
  On voit que cette équation est exactement semblable à l’équation de Navier-Stokes
de transport de la vitesse, si ce n’est qu’il n’y a pas de terme de création analogue
au gradient de pression. Par analogie, on défini donc un nombre sans dimension



                                           56
                                                                      → −
qui mesure l’importance relative du transport convectif (le terme − · ∇v
                                                                           →
                                                                                dans
l’équation) et de la diffusion (le terme α ∆). C’est le nombre de Péclet P e :

                                              lv
                                      Pe =
                                              α
   On se place ici dans les cas où l’on a simultanément P e ≫ 1 et Re ≫ 1. De plus
on ne considérera que des échelles grandes par rapport à l’échelle de Kolmogorov et
petites par rapport à l’échelle intégrale. On reste donc dans le régime inertiel.
   Attention cependant à une difficulté. La viscosité cinématique ν et la diffusivité
α sont a priori la traduction de phénomènes microscopiques indépendants. Il n’y a
donc aucune raison qu’ils aient des ordres de grandeur comparables. Cela veut dire
qu’il y a une échelle de Kolmogorov “cinématique” η (telle Re(η) = 1), et une échelle
de Kolmogorov “diffusive ηC (telle que P e(ηC ) = 1). Des phénomènes physiques
intéressants peuvent se produire entre ces deux échelles, très différents suivant que
η > ηC ou que ηC > η.
   On peut évaluer ηC comme on a évalué η. L’invariance de ǫ donne toujours entre
l’échelle intégrale L et une échelle l quelconque :

                                      vl3  v3
                                          = L
                                       l    L
  Donc :
                                vl3 l3 α3  v 3 L3 ν 3
                                          = L3
                                 α3 l 4      ν L4
                                                   3/4
                                        α P e(l)
                                l=L
                                        ν Re
où P e(l) désigne le nombre de Péclet à l’échelle l et Re le nombre de Reynolds à
l’échelle intégrale. l’échelle de Kolmogorov associée à la dissipation de C est donc
(avec pe(ηC ) = 1) :
                                         α 3/4
                                 ηC = L         Re−3/4
                                         ν
   On voit que pour α = ν on retrouve la relation habituelle entre η et L. ηC est
la distance en dessous de laquelle la diffusion microscopique est capable de lisser
les fluctuation de concentration C. Lorsque l’on crée une surdensité locale de C,
l’homogénéisation se fait donc en deux phases :

   • Tout d’abord, le transport turbulent étire et mélange la perturbation initiale
     en créant une surface importante de contact entre les zones de haute et basse
     concentration.

   • Puis la diffusion microscopique se charge de mélanger finement les deux zones
     pour rétablir l’homogénéité.

Ici, nous resterons dans l’intervalle d’échelles situé entre L (échelle intégrale) et
sup(η, ηC ), et nous regarderons deux problèmes classiques :




                                         57
   • Si on lâche une particule en un point d’un fluide turbulent, comment s’éloigne-
     t-elle de son point de départ ? C’est ce qu’on appelle le “problème de Taylor”.
     Rappelons que si on assimile le mouvement de la particule à une marche au
     hasard, alors le résultat classique est que la distance parcourue varie comme
     la racine du temps écoulé. On verra que ce n’est pas tout-à-fait le cas ici.
   • Si on lâche deux particules très proches l’une de l’autre dans un fluide tur-
     bulent, comment s’éloignent-elles l’une de l’autre (indépendamment de leur
     position initiale) ? C’est là le problème de Richardson, et il est très différent
     du premier !
Dans les deux cas, on voit que le point de vue est plutôt (voire totalement) Lagran-
gien. En effet, on est amené à s’intéresser à ce qui se passe en suivant une particule
dans son mouvement sous l’effet de l’entraînement dû à la turbulence.


5.2. Problème de Taylor
Appelons X le vecteur repérant la position de la particule depuis son point de départ.
On a :                                                 t
                       d    2
                          X = 2 v · X = 2 v(t) ·         v(τ ) dτ
                      dt                             0
  Où v(t) est la vitesse Lagrangienne de la particule. Pour la dernière égalité, on a
utilisé le fait que v(t) = dX . On peut réécrire l’intégrale sous la forme :
                           dt
                                                   t
                           d
                              X2 = 2                   v(t) · v(t − τ ) dτ
                           dt                  0

  En considérant un grand nombre de réalisations, et en utilisant le fait que les
opération différentielles et de moyenne commutent, on obtient :
                                               t
                         d
                            X2 = 2                     v(t) · v(t − τ ) dτ
                         dt                0

   Dans cette expression, v(t) · v(t − τ ) = QL (τ ) est le tenseur des corrélations de
                                                ij
vitesse Lagrangienne. Par rapport à la fonction de corrélation des vitesses que nous
avons étudiée, il mesure la corrélation entre la vitesse d’une particule à un instant t
et la vitesse de cette même particule à un instant t+τ ultérieur. Alors que Q donnait
la corrélation entre deux position du champ de vitesse séparés par une distance r
au même instant.
   QL (τ ) étant homogène à une vitesse au carré, on peut également le dédimensionner
     ij
par la moyenne des fluctuations du carré des vitesse < u2 >. Cela permet de définir
un temps de corrélation Lagrangien tL par :
                                    ∞
                                        QL (τ ) dτ = u2 tL
                                         ii
                                0

  tL défini l’échelle de temps pendant laquelle la vitesse d’une particule reste corrélée
à elle-même. On voit alors qu’il y a deux régimes dans l’évolution de la distance
moyenne quadratique parcourue par une particule passive :



                                                   58
   • Si t ≪ tL , alors on peut considérer que QL (τ ) n’évolue pratiquement pas
                                                   ij
     pendant l’intervalle de temps t, et reste donc égal à u2 . Donc :

                                    d
                                       X2 ∼ 2 u2 t
                                    dt
     ce qui donne par intégration

                                        X2 ∝       u2 t

     La distance parcourue croît proportionnellement au temps !

   • Si t ≫ tL alors la borne supérieure de l’intégrale peut être confondue avec
     l’infini. On a donc :
                                   d
                                     X2 ∼ 2 u2 tL
                                  dt
     et par intégration on obtient :

                                       X2 ∝      u2 t1/2

     La distance parcourue croît comme la racine du temps.

On constate donc un phénomène de “cross-over” pour un temps de l’ordre de tL , le
temps de corrélation de la vitesse Lagrangienne. Pour des temps courts, le déplace-
ment est dominé par le fait que la particule est emportée par de tourbillons de taille
grande par rapport à la distance parcourue. Elle se déplace donc de façon essen-
tiellement balistique. Passé tL chaque tourbillon qui “attrape” la particule l’emmène
dans une direction aléatoire par rapport au précédent. On a donc essentiellement
une marche au hasard, et on retrouve le résultat classique sur le déplacement.


5.3. Problème de Richardson
On lâche maintenant un “nuage” de particules, et on veut connaître l’évolution de sa
taille au cours du temps. Ce nuage est évidemment également emporté par le flot en
même temps qu’il s’étend, mais on garde un point de vue strictement Lagrangien,
et on oublie donc immédiatement d’où on est parti. Ce problème est nettement plus
difficile que le précédent.
   Ce problème revient à déterminer à quelle vitesse deux particules situées sur les
bords de la tache (pour autant que celle-ci soit vraiment définie) vont s’éloigner l’une
de l’autre. Appelons R cette taille caractéristique. Pour évaluer les variations de R
considérons trois sortes de tourbillons :

   • Pour un tourbillon nettement plus grand que R, la tache conserve pour l’es-
     sentiel sa forme. Elle est emportée par le tourbillon, mais on la retrouve à
     peu près identique à elle même au bout d’un temps de retournement, ayant
     parcouru une distance de l’ordre de la taille du tourbillon. Elle se comporte
     donc quasiment comme la particule unique décrite plus haut.




                                          59
   • Pour un tourbillon nettement plus petit que R, on sait que la vitesse d’évolu-
     tion est beaucoup plus lente que la vitesse caractéristique vR . Ces tourbillons
     provoquent donc bien du mélange, mais du fait de leur taille ils se contentent
     de déformer légèrement la frontière de la tache, et il le font à un rythme lent.
     Ils ont donc une influence négligeable (à l’ordre 0) sur sa taille.
   • Un tourbillon de taille r en revanche est capable d’attraper l’ensemble de
     la tache et de la déformer en l’étirant. On peut considérer que deux point
     extrêmes vont se déplacer à une vitesse de l’ordre de la vitesse caractéristique
     vR .
On peut donc considérer que :
                                  dR
                                     ∼ vR ∼ (ǫR)1/3
                                  dt
   Où on a repris l’expression de la loi des “4/5” pour exprimer vR . Donc (en multi-
pliant par R les deux membres) :
                                    dR2
                                        ∼ ǫ1/3 R4/3
                                     dt
  Par analogie, on peut donc considérer que la moyenne des écarts quadratiques de
position entre les points de la tache de concentration varie comme :

                               d |δx|2                  2/3
                                       ∼ ǫ1/3 |δx|2
                                  dt
  Par intégration, on obtient alors :

                                      |δx|2 = g ǫ t3

   Avec un coefficient g qui vaut environ 0.4 à 0.7 d’après les modèles aux plus hautes
résolutions que l’on puisse trouver. La taille de la tache varie donc comme t3/2 . Cette
relation a effectivement été déterminée expérimentalement par Richardson à l’aide
de lâchers de ballons. Deux remarques enfin :
   • Ce comportement n’est valable que pour des échelles intermédiaires entre ηC et
     L. Dès que la dimension de la tache devient supérieure à l’échelle intégrale de la
     turbulence, il n’y a plus de tourbillons assez grands pour assurer la cohérence
     de l’ensemble. Deux points situés de part et d’autre sont alors complètement
     décorellés et évoluent donc indépendemment l’un de l’autre. On retrouve alors
     une croissance en t1/2 .
   • La croissance de la taille n’est pas du tout régulière comme l’analyse dimension-
     nelle ci-dessus pourrait le laisser croire. En pratique, elle est très intermittente :
     L’ensemble de la tache est entrainé par le flot, sans vraiment changer de taille
     jusqu’à ce que (par hasard) elle passe à proximité d’un point de divergence
     entre deux tourbillons où les extrémités sont entrainées dans des direction dif-
     férentes. Elle subit alors un étirement violent qui lui fait changer d’échelle. On
     a donc plutôt un comportement de type “vol de Levy”.




                                           60
6. Résolution numérique
Une belle illustration, tirée de Garaud et al. (2010), d’un modèle de fermeture ap-
pliquée à l’instabilité de Rayleigh-Bénard, puis à la convection turbulente dans les
étoiles en rotation est donnée Figure (6.1). Cet article montre bien comment une
bonne connaissance de la physique du problème peut permettre de proposer des
relations empiriques pour les termes d’ordre supérieur des fluctuations des champs
que l’on cherche à calculer (vitesse, température, densité, etc...). Ces relations ne
reposent pas sur des bases axiomatiques solides, mais permettent d’obtenir un jeu
d’équations fermé qui reproduit bien les mesures expérimentales. Les paramètres
libres introduits étant fixés justement pour ajuster ces mesures.
   On a ainsi un “outil d’interpolation” sophistiqué qui s’ajuste naturellement à la
physique du problème.
   En revanche, il est très dangereux de chercher à l’utiliser en dehors des limites
pour lequel il a été validé.


6.1. Classes de méthodes
On rappelle ici les principales classes de méthodes utilisées pour résoudre des sys-
tèmes d’équations aux dérivées partielles. Un cours en ligne est disponible à :
http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/
16-920j-numerical-methods-for-partial-differential-equations
-sma-5212-spring-2003/index.htm
  Traditionnellement, on distingue trois grands types de méthodes, auxquelles est
venue s’ajouter depuis quelques années une quatrième :

   • Méthodes aux Différences Finies.
     Les dérivées sont approchées par des différences de valeurs calculées sur les
     points du maillage.

   • Méthodes aux Éléments Finis.
     On écrit l’équation sous une forme variationnelle avant de la résoudre.

   • Méthodes aux Volumes finis (new).
     On intègre les équations de conservation sur de petits volumes

   • Méthodes Spectrales.
     On développe la solution sur une base de fonctions connues.

Dans les cas “physiquement intéressants”, et pour chaque type de méthode, on est
très vite confronté à l’ampleur du problème à résoudre. Quels que soient les avan-
tages ou inconvénients de telle ou telle méthode, on est obligé de sacrifier certains



                                         61
                Figure 6.1.: Jolie simulation (Garaud et al., 2010).


aspects du problème pour pouvoir en traiter “le moins mal possible” d’autres. Ci-
dessous, on évalue rapidement le coût de calcul requis pour traiter un problème de
turbulence donné par une méthode dite de “force brute”, où on ne fait aucune autre
approximation que la discrétisation inévitable du système.


6.2. Direct Numerical Simulation
La Figure (6.2) présente une simulation de la formation d’une galaxie à l’aide du code
RAMSES, d’après Bournaud et al. (2010). Cette simulation utilise les techniques
d’AMR (Adaptive Mesh Refinement). RAMSES est disponible en version “hydro”
à:
http://irfu.cea.fr/Projets/Site_ramses/RAMSES.html
et en version “MHD” à :
http://magnet.ens.fr/index.cgi?exe=839850
où vous trouverez également d’autres codes hydrodynamiques développés par des
astrophysiciens.
   Pourquoi utiliser des techniques de maillage adaptatif ? Ne peut-on simplement
entrer la physique en machine et laisser l’ordinateur se débrouiller ?
   On peut chercher à évaluer (de façon un peu naïve) le coût numérique d’une
résolution directe des équations de Navier-Stokes par une méthode de type “diffé-
rences finies”. Pour que la simulation est un sens, la taille la plus petite accessible (la
maille) doit être de l’ordre de grandeur de l’échelle de dissipation de Kolmogorov, et
la taille totale de la simulation doit être de “quelques” échelles intégrales. Le nombre
de points dans une direction est donc :




                                           62
          Figure 6.2.: Formation d’une galaxie Bournaud et al. (2010).


                               Lbox L    Lbox
                            n∼         =      (RL )3/4
                                L η       L
  Le nombre total de points dans une simulation 3D est donc :
                                                3
                                         Lbox
                           Nx = n3 ∝                (RL )9/4
                                          L

  On voit qu’il croît comme le Reynolds à la puissance 9/4, ce qui va très vite ! Si
on considère que LL ≃ 3 est un minimum, alors RL ∼ 104 nécessite 1010 points et
                   box


1024 points représentent Rλ ∼ 102 seulement.
  De plus, ce sont des calculs dépendants du temps. Le pas de temps ne peut pas
être plus grand que le temps de traversée d’une maille par le fluide, soit un pas de
                           η      −3/4
temps maximum de ∆t ∼ u ∼ L RL . Le nombre de pas de temps pour avoir une
                                u
simulation de durée T est lui :
                                      T     T 3/4
                               Nt ∼      ∼    R
                                      ∆t   l/u L
  On obtient donc un temps de calcul total qui varie comme :
                                                               3
                                          T          Lbox           3
                      tCP U ∝ Nx Nt ∼                              RL
                                         L/u          L

  Davidson (2004) donne un tableau des temps de calcul nécessaires pour diverses
simulations, que je reproduis ci-dessous. On voit que même avec l’augmentation



                                        63
rapide de la puissance de calcul il est illusoire d’espérer un jour pouvoir réaliser une
simulation numérique complète de l’évolution d’un nuage interstellaire par la force
brute. Il est donc indispensable d’utiliser des méthodes plus astucieuses, et surtout
de les adapter à la question que l’on se pose. C’est par la diversité des approches
que l’on peut progresser.




   La Figure (6.3) montre une comparaison de simulation numérique entre un code
AMR et une méthode SPH (Smooth Particles Hydrodynamics) qui est présentée
plus loin. L’article correspondant est Commerçon et al. (2008).
   Avant cela, on peut illustrer l’intérêt de spécialiser le calcul en fonction des objec-
tifs sur le cas d’une méthode très utilisée pour les applications pratiques. Dans de
très nombreux cas, on ne s’intéresse pas au détail de ce qui se passe dans le fluide,
mais seulement aux grandes échelles de l’écoulement. On voudra par exemple calcu-
ler l’effet global de l’écoulement d’une rivière sur les piles d’un pont. La turbulence
peut être très forte en période de cru de la rivière, mais ce n’est pas à l’échelle du
petit caillou que c’est important.
   On peut alors ne calculer que les grandes échelles de l’écoulement en représentant
de façon astucieuse ce qui se passe en dessous de la résolution du modèle par une
interpolation bien choisie. C’est ce qu’on appelle la “Large Eddy Simulation” (LES).




                                           64
       Figure 6.3.: Comparaison AMR vs. SPH (Commerçon et al., 2008).


6.3. Large Eddy Simulation
Comme on ne s’intéresse qu’aux grandes échelles, on filtre tout ce qui se trouve en
dessous d’une échelle limite inférieure, et on cherche une équation d’évolution pour
cette vitesse filtrée. Cette méthode est donc proche dans l’esprit de la séparation
entre partie fluctuante et moyenne faite dans l’analyse des équations de Navier-
Stokes. Mais il y a des différences importantes.
  Étant donnée une échelle l, et un filtre Gl (x), on a une vitesse filtrée u qui est un
                                                                          ¯
produit de convolution de la vitesse réelle u par le filtre :
                                      +∞
                           u(x) =          u(x − r) Gl (r) dr
                                     −∞

  Le choix du filtre est libre, et plusieurs sont utilisés. On peut citer :

   • Box filter : Gl (x) = 1/l si |x| < l/2 et 0 sinon
                                                  √
   • Gaussian filter : Gl (x) = exp (−x2 /l2 ) / (l π)

   • Sharp spectral filter : Gl (x) = sin (πx/l) / (πx)

Remarquons que l’opérateur “produit de convolution” commute avec les opérateurs
différentiels :

                                ∂u   ∂u         ∂u   ∂u
                                   =    ;          =
                                ∂t   ∂t         ∂x   ∂x


                                           65
  En revanche, en général :
                                        u=u
  A une composante, l’équation de Navier-Stokes s’écrit :
                        ∂ui    ∂               1 ∂P
                            +     (ui uj ) = −       + ν ∆ui
                        ∂t    ∂xj              ρ ∂xi

  On filtre :
                        ∂ui    ∂               1 ∂P
                            +     (ui uj ) = −       + ν ∆ui
                        ∂t    ∂xj              ρ ∂xi
   Et on se retrouve de nouveau avec le problème de la fermeture. Pour pouvoir cal-
culer ui uj , il faudrait disposer d’une équation faisant intervenir un moment d’ordre
3. On va donc comme d’habitude donner un nom à l’inconnu, et on pose (contraintes
résiduelles) :
                                     R
                                    τij = ρ [ui uj − ui uj ]
  On obtient :
                                                     R
                   ∂ui    ∂               1 ∂P   1 ∂τij
                       +     (ui uj ) = −      +        + ν ∆ui
                   ∂t    ∂xj              ρ ∂xi ρ ∂xj

  La contrainte résiduelle τij doit maintenant être représentée, et tout le travail
                             R

consiste à trouver une façon “physiquement crédible” de la calculer.
  Un modèle courant est dit de “viscosité turbulente (“eddy-viscosity”), où l’on sé-
pare ce tenseur en sa composante de compression et sa composante de cisaillement :

                               R                  1      R
                              τij = 2ρ νR Sij +     δij τkk
                                                  3
  Ce qui donne :

                 ∂ ui
                   ¯     ∂                  ¯
                                         1 ∂P ∗     ∂
                      +      u¯
                            (¯i uj ) = −        +2     (ν + νR ) Sij
                 ∂t     ∂xj              ρ ∂xi     ∂xj
        ¯
  Ici, P ∗ est une pression “modifiée” qui incorpore la pression turbulente aux petites
échelles.
  Il faut maintenant faire un choix de νR . Sur des arguments dimensionnels, on peut
écrire :
                                                     1/2
                                       2
                               νR = CS l2 2Sij Sij
avec CS un coefficient arbitraire à choisir. En pratique CS ∼ 0.1 donne des résultats
raisonnable par comparaison avec les expériences. Il se nomme le “Coefficient de
Smagorinsky”. On pourra se reporter à Davidson (2004); Lesieur (1990); Pope (2000)
pour de nombreux développements.
  La Figure (6.4) illustre ce que peut donner cette méthode sur l’explosion d’une
supernova. Elle est tirée de Röpke et al. (2007).




                                         66
                                                       t = 0.6 s
         t = 0.0 s




                                                                    2 × 108 cm
                108 cm




                     t = 3.0 s                   t = 10.0 s
                            2 × 109 cm




                                                       7 × 109 cm




 Figure 6.4.: Explosion de supernova par une méthode LES Röpke et al. (2007).


6.4. SPH
Cette approche cherche elle à suivre ce qui se passe le long de l’écoulement du fluide
au plus près des particules. Mais là aussi il n’est pas possible de descendre sous une
certaine échelle. On utilise donc un “Noyau” (“Kernel”) de taille h pour lisser ce qui
se passe en dessous, d’où le nom “Smooth Particles Hydrodynamics”
  C’est une méthode Lagrangienne, très bien adaptée à une résolution adaptative
également. Elle permet en particulier de bien “capturer” les chocs dans les écoule-
ments supersoniques. Enfin, il est facile d’y ajouter la gravité.
  On trouve une comparaison des codes AMR vs. SPH dans Kitsionas et al. (2009) :

                     AMR                              SPH
            ENZO, FLASH, TVD, ZEUS           GADGET, PHANTOM, VINE

6.5. PDF
Toutes les méthodes présentées jusqu’ici n’utilise que les moments les plus bas de la
distribution de vitesse (soit directement via des fermeture ad hoc, soit via l’utilisation
d’un kernel). Les méthodes PDF cherchent à suivre l’évolution de la fonction de
distribution des vitesse complète, et non plus seulement quelques moments comme
dans les modèles “à troncature” (k − ǫ par exemple). Pour cela, on écrit une équation
pour l’évolution de la PDF des vitesses (f ).



                                           67
   • On part d’une Équation Différentielle Stochastique (Équation de Langevin)
     pour les fluctuations de vitesse.
                                                       1/2
                                         dt     2σ 2
                         dU(t) = −U(t)      +                dW (t)
                                         TL     TL

     Dans cette équation, si dW est distribué suivant une loi normale centrée ré-
     duite, on parle de “processus de Ornstein–Uhlenbeck”.

   • On calcule f comme solution de l’équation de Fokker-Planck associée.

                            ∂fL    1 ∂            σ 2 ∂fL
                                =       (V fL ) +
                             ∂t   TL ∂V           TL ∂V 2

Avantages :

   • Grande souplesse.

   • Nombreuses extensions possibles.

   • Possibilité d’incorporer simplement des flots réactifs.

Voir Pope (2000, Chapitre 12) pour une excellente présentation.




                                         68
A. Notations
                 → − →
 • D/Dt = ∂/∂t + − · ∇ : Dérivée Lagrangienne
                 v

 • µ = ρ ν : Viscosité dynamique. [M L−1 T−1 ]

 • ν : Viscosité cinématique. [L2 T−1 ]

 • P : Pression. [M L−1 T−2 ] (note : homogène à une densité d’énergie)

 • Re : Nombre de Reynolds Re = l v/ν

 • ρ : Masse volumique. [M L−3 ]
           1   ∂vi       ∂vj
 • Sij =   2   ∂xj
                     +   ∂xi
                                 : Tenseur des “taux de contraintes” τij = 2ρν Sij

 • Sommation (convention d’Einstein) :

                                     xi yi = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

 • t : temps. [T]
              ∂v           ∂vj
 • τij = ρν ∂xi +
                j          ∂xi
                                   : Tenseur des contraintes (fluide Newtonien – partie
   non-diagonale)

 • vi : Composante de la vitesse




                                               69
B. Rappels de calcul vectoriel
B.1. Formulaire
                         → − − −
                         −    → → →     →
                                        −   → →
                                            − −
                       ∇2 X = ∇ ∇ · X − ∇ ∧ ∇ ∧ X                                            (B.1)
                                  → − −
                                  −  → →
                                  ∇· ∇∧X =0                                                  (B.2)
                                      →
                                      −   −
                                          →
                                      ∇ ∧ ∇f = 0                                             (B.3)

                                    →
                               ∇ (X − ) dV =
                                    v                     → →
                                                        X − · − dS
                                                          v n                                (B.4)
                           V                        S


B.2. Gradient de l’énergie cinétique :
Rappel, on utilise la règle de sommation implicite sur les indices doublés.
  Théoriquement, ce calcul peut se mener de façon simple et compacte en notation
tensorielle. En effet, on a :
                                 → →
                                 − ∧− =ǫ a b
                                  a   b      ijk j k
                                             i
où ǫijk est le symbole de Levi-Civita qui vaut 1 pour une permutation directe des in-
dices (ijk), -1 pour une permutation inverse, et 0 sinon. En pratique, il est peut-être
plus parlant d’écrire au moins une fois explicitement toutes les relations (malgré la
lourdeur), histoire de se convaincre que tout va bien. L’égalité cherchée sera montrée
en comparant les composantes terme à terme. Le gradient de l’énergie est :

                                       v1 ∂1 v1 + v2 ∂1 v2 + v3 ∂1 v3
                       − v2
                       →
                       ∇          =    v1 ∂2 v1 + v2 ∂2 v2 + v3 ∂2 v3
                         2
                                       v1 ∂3 v1 + v2 ∂3 v2 + v3 ∂3 v3
  Le terme non-linéaire de l’équation de Navier-Stokes est :

                                        v1 ∂1 v1 + v2 ∂2 v1 + v3 ∂3 v1
                       →→ →
                       − .− − =
                       v ∇ v            v1 ∂1 v2 + v2 ∂2 v2 + v3 ∂3 v2
                                        v1 ∂1 v3 + v2 ∂2 v3 + v3 ∂3 v3
                                → →
  Enfin, le produit vectoriel de − et − est :
                                v    ω

                   v1   ∂2 v3 − ∂3 v2            v2 (∂1 v2 − ∂2 v1 ) − v3 (∂3 v1 − ∂1 v3 )
      → →
      − ∧− =
      v  ω         v2 ∧ ∂3 v1 − ∂1 v3 =          v3 (∂2 v3 − ∂3 v2 ) − v1 (∂1 v2 − ∂2 v1 )
                   v3   ∂1 v2 − ∂2 v1            v1 (∂3 v1 − ∂1 v3 ) − v2 (∂2 v3 − ∂3 v2 )




                                            70
                                 v2 ∂1 v2 − v2 ∂2 v1 − v3 ∂3 v1 + v3 ∂1 v3
                   → →
                   − ∧− =
                   v  ω          v3 ∂2 v3 − v3 ∂3 v2 − v1 ∂1 v2 + v1 ∂2 v1
                                 v1 ∂3 v1 − v1 ∂1 v3 − v2 ∂2 v3 + v2 ∂3 v2
  Et on constate bien en comparant terme à terme que :

                           →→ → → → →
                           − .− − + − ∧ − = −                 v2
                           v ∇ v    v   ω   ∇                                (B.5)
                                                              2

B.3. Moyennes des termes de Navier-Stokes :
Pour la dérivée temporelle, pas de problème particulier :
                                 ∂vi   ∂    ∂
                             <       >= Vi + ui = 0
                                 ∂t    ∂t   ∂t
Le premier, parce qu’on suppose être autour d’un écoulement permanent, et le
deuxième par ce que ui = 0.
  pour le terme non linéaire, on a :

       → −
       v
           →       − −
                   → →        → →
                              − −        → −
                                         u
                                             →      → − →
     < − · ∇ vi >= V · ∇ Vi + V · ∇ ui + − · ∇ Vi + − · ∇ ui
                                                    u

et les deux termes du milieu sont nuls. Le quatrième donne :

                        → →
                        − · − u = u ∂ui + u ∂ui + u ∂ui
                        u ∇ i      1       2       3
                                     ∂x1     ∂x2     ∂x3
Or, en utilisant l’équation de continuité, on a :

                ∂ui uj      ∂ui      ∂uj      ∂ui      ∂ui      ∂ui
                       = uj     + ui     = u1     + u2     + u3
                 ∂xj        ∂xj      ∂xj      ∂x1      ∂x2      ∂x3

Donc :
                         → −
                         v
                             →       − −
                                     → →
                       < − · ∇ vi >= V · ∇ Vi +
                                                ∂ui uj
                                                                             (B.6)
                                                 ∂xj




                                             71
C. Statistiques
C.1. Moyennes
                                                       →
Soit une quantité φ fonction de l’espace et du temps φ(− , t) définie dans un volume
                                                       r
V et pendant un temps T . Cette quantité est accessible soit à la mesure soit au
calcul au cours d’une expérience (réelle ou numérique) que l’on peut répéter un
grand nombre (N) de fois. On peut considérer (au moins) trois types de moyennes.

  1. Moyenne spatiale :
                                        1
                                 ¯
                                 φ(t) =               →
                                                    φ(− , t) dV
                                                      r
                                        V       V

  2. Moyenne temporelle :
                                                    T
                                        1
                                ¯→
                                φ(− ) =
                                  r                       →
                                                        φ(− , t) dt
                                                          r
                                        T       0


  3. Moyenne d’ensemble (φi est mesuré lors d’une réalisation particulière) :
                                            1
                                 < φ >=                      →
                                                         φi (− , t)
                                                             r
                                            N       i


Il n’y a pas de raison particulière que ces différentes moyennes coïncident...
   Dans le cas de la turbulence homogène, on fait souvent l’hypothèse d’ergodicité
qui postule que :
                                              ¯
                                     < φ >= φ(t)
  C’est-à-dire qu’on remplace une moyenne d’ensemble par une moyenne spatiale.
Dans le cas des équations de Navier-Stokes, il n’y a aucune démonstration que cette
hypothèse soit correcte, même si les expériences et simulations semblent indiquer
que c’est le cas.


C.2. Moments d’une distribution
C.2.1. Définitions
Soit f la fonction de distribution d’une quantité u. Alors, par définition, la proba-
bilité que u prenne une valeur entre u0 et u0 + du est :

                        f (u0 ) du = P rob(u0       u       u0 + du)




                                         72
  Pour que soit bien une probabilité, il faut que f soit normalisée par :
                                      ∞
                                          f (u) du = 1
                                    −∞

  On peut alors calculer la valeur moyenne de n’importe quelle quantité g dépendant
de u par :
                                          ∞
                                g =            g(u) f (u) du
                                          −∞

   Lorsque l’on prend pour g les puissances successives de u (1, u, u2 , ...) on obtient
les moments successifs de la distribution f .
                                              ∞
                                 un =              un f (u) du
                                              −∞

  Le tableau ci-dessous rappelle le vocabulaire usuel :

                      n       Nom               English          Symbole
                      1     Moyenne              Mean              <>
                      2     Variance           Variance            σ2
                      3    Asymétrie           Skewness             S
                      4   Aplatissement        Kurtosis            K

  Plus précisément, S et K sont en général dédimensionnés à l’aide de la variance,
soit :
                                         u3
                                  S=
                                        u2 3/2
                                                   u4
                                      K=
                                                   u2 2
   Il y a une ambiguïté de notation à laquelle il faut faire attention. Avec la défini-
tion ci-dessus, on trouve K = 3 pour une distribution gaussienne. On trouve donc
également souvent la convention :

                                       u4
                                    K=      −3
                                       u2 2

  En général, le choix (arbitraire) est évident à partir du contexte, mais...

C.2.2. Exemples
C.2.2.1. Loi normale
Pour une gaussienne centrée, on a :

                                          1                 u2
                            f (u) = √              exp −
                                        2π σ 2             2 σ2




                                              73
           0.4
                                                    Gaussienne (σ=1)

          0.35

           0.3

          0.25
   f(u)




           0.2

          0.15

           0.1

          0.05

            0
                   -4          -2            0            2            4
                                             u

  Les moments sont :

   • u2 = σ 2

   • S=0

   • K=3

C.2.2.2. Distribution asymétrique
On peut se “fabriquer” une distribution asymétrique “proche” d’une gaussienne en
utilisant sa fonction de répartition cumulée (qui varie donc de 0 à 1). On pose :

                            1         x2    1           αx
                  fα (x) = √    exp −         1 + erf   √
                             2π       2     2             2
  Cette fonction est bien normée et a un paramètre d’asymétrie qui dépend de α.




                                       74
                 0.7
                                                            S>0

                 0.6


                 0.5


                 0.4
          f(u)




                 0.3


                 0.2


                 0.1


                  0
                       -4        -2          0         2          4
                                             u


                 0.7
                                                            S<0

                 0.6


                 0.5


                 0.4
          f(u)




                 0.3


                 0.2


                 0.1


                  0
                       -4        -2          0         2          4
                                             u


  Si S est positif, on trouve de nombreuses valeurs de u très faiblement négatives,
mais de temps en temps u peut prendre des valeurs positives grandes. Si S est
négatif, c’est l’inverse.

C.2.2.3. Loi de Tsallis
Une fonction ayant une valeur de K aussi grande que l’on veut est la distribution
de Tsallis :
                                                  − 1
                                              x2 q−1
                        Rq (x) = A 1 + (q − 1) 2
                                              w




                                        75
                     100
                                                                                    q=1.01
                                                                                      q=2
                                                                                      q=3


                     10-1
             Rq(x)




                     10-2




                                 Esquivel (2009)

                     10-3
                         -10                  -5                    0           5            10
                                                                    x


  Cette fonction de distribution tend vers une gaussienne lorsque le paramètre q
tend vers 1 et a des ailes d’autant plus larges que q augmente. C’est donc un bon
candidat pour représenter une distribution pouvant avoir de très larges écarts par
rapport à la moyenne. En revanche, elle est symétrique et n’est donc pas suffisante
en soi pour représenter toutes les propriétés de la distribution des écarts de vitesse.

C.2.3. “Normal-Inverse Gaussian” distribution
Je connais mal cette famille de lois, que je viens de découvrir, mais elle semble
avoir des propriétés intéressantes. Elle permet en effet de régler indépendamment
les moments d’ordre 3 et 4. C’est une loi à 4 paramètres (µ, α, β, δ) qui s’écrit :

                                    α δ K1 α            δ 2 + (x − µ)2
              NIG(x) =                                                   exp (δ γ + β (x − µ))
                                                                    2
                                          π        δ2   + (x − µ)

  K1 (x) est la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce. µ fixe la position du
sommet de la distribution, α contrôle l’amplitude des ailes, β l’asymétrie et δ est un
paramètre d’échelle (tel que N(x, δ) = N(x/δ, 1)).
  Si on défini γ = α2 − β 2 , ses premiers moments sont :
                        δβ
Moyenne : µ +            γ

               δ α2
Variance :      γ3

                     3β
Skewness :     α
                     √
                       δγ

                             2
               3 1+4 β 2
                            α
Kurtosis :             δγ




                                                             76
                                  µ=0, β=0, δ=1                                                                  µ=0, β=0, δ=1
             0.7                                                                 100
                                                      Gauss
             0.6                                      α=0.5                      10-1
             0.5                                      α=1.0
                                                      α=2.0                      10-2
    NIG(x)




                                                                        NIG(x)
             0.4
                                                                                 10-3
             0.3                                                                                                 Gauss
                                                                                 10-4                            α=0.5
             0.2
                                                                                                                 α=1.0
             0.1                                                                 10-5                             α=2.0

              0                                                                       -6
                                                                                 10
                   -6   -4   -2        0          2            4   6                       -6      -4       -2        0          2   4   6
                                       x                                                                              x



                                            Figure C.1.: Influence de α.

                                  µ=0, α=1, δ=1                                                                  µ=0, α=1, δ=1
             0.7                                                                 100
                                                      Gauss
             0.6                                      β=0.0                      10-1
             0.5                                      β=-0.3
                                                      β=-0.5                     10-2
    NIG(x)




                                                                        NIG(x)

             0.4
                                                                                 10-3
             0.3                                                                                                 Gauss
                                                                                 10-4                             β=0.0
             0.2
                                                                                                                 β=-0.3
             0.1                                                                 10-5                            β=-0.5

              0                                                                       -6
                                                                                 10
                   -6   -4   -2        0          2            4   6                       -6      -4       -2        0          2   4   6
                                       x                                                                              x



                                            Figure C.2.: Influence de β.


La fonction génératrice des moments est :

                             M(z) = exp µ z + δ                         γ−                      α2 − (β + z)2

  Rappelons que les moment successifs sont donnés par :
                                                                                                dn M
                                            E (X n ) = M (n) (0) =                                    (0)
                                                                                                 dz n
   Expérimentalement, cette distribution tend vers une gaussienne centrée pour µ =
0, β = 0 et α = δ grands (20 donne déjà une très bonne approximation).
   Les figures (C.1) et (C.2) illustrent l’allure de ces fonctions (dans le cas µ = 0).




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