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3M_CTF_Cercle

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					           Ld   14/09/2012    3M05

                                          Corrigé : Le cercle

 Exercice 1

 Déterminer les coordonnées du centre et le rayon des cercles définis par les équations suivantes :

    a) x2 + y 2 − 2x + 4y − 5 = 0                          b) 16x2 + 16 − 24x + 16y + 16y 2 = 787


Solution


  a) (x − 1)2 − 1 + (y + 2)2 − 4 − 5 = 0 ⇔ (x − 1)2 + (y + 2)2 = 10
                                                           √
     Le centre du cercle est C(1 ; −2) et le rayon vaut r = 10

                                               3              771
  b) 16x2 − 24x + 16y 2 + 16y = 771 ⇔ x2 − x + y 2 + y =
                                               2               16
              2                  2                          2                2
           3       9          1      1    771           3          1                  771 + 9 + 4   784
       x−       −    + y+          − =         ⇔ x−           + y+               −=               =     = 49
           4      16          2      4    16            4          2                      16         16
                                   3    1
     Le centre du cercle est : C     ;−     et son rayon r = 7
                                   4    2


 Exercice 2

 Déterminer la position relative des cercles
 (x − 2)2 + (y + 3)2 − 225 = 0       et   (x + 6)2 + (y − 3)2 − 25 = 0
 et les coordonnées de leur(s) éventuel(s) point(s) d’intersection.

Solution
                                                                             √         √
C1 (2 ; −3)     C2 (−6 ; 3)     δ (C1 ; C2 ) =   (−6 − 2)2 + (3 − (−3))2 =    64 + 36 = 100 = 10

r1 = 15       r2 = 5 ⇒ δ (C1 ; C2 ) = |r1 − r2 | ⇒ γ2 est tangent intérieurement à γ1

                                                                    
 (x − 2)2 + (y + 3)2 − 225 = 0          x2 − 4x + y 2 + 6y = 212         −16x + 12y = 232
                                      ⇔                             ⇔
 (x + 6)2 + (y − 3)2 − 25 = 0           x2 + 12x + y 2 − 6y = −20    x2 + 12x + y 2 − 6y = −20
                           4x + 58
⇒ −4x + 3y = 58 ⇔ y =
                              3
               16x2 + 464x + 3364
⇒ x2 + 12x +                       − 8x − 116 = −20 ⇔ 25x2 + 500x + 2500 = 0
                        9
                                                                 4(−10) + 58
⇒ x2 + 20x + 100 = 0 ⇔ (x + 10)2 = 0 ⇒ x = −10 ⇒ y =                         =6
                                                                     3
Le point de contact des deux cercles a les coordonnées (−10 ; 6)


 Exercice 3
                                                         √
 Soient γ le cercle de centre C(4 ; 2) et de rayon r =    13, et le point T(7 ; 4).
                                                             3
   a) Calculer l’équation des tangentes t1 et t2 à γ, de pente
                                                             2
   b) Combien y a-t-il de tangentes à γ passant par T. Justifiez votre réponse

   c) Etablir l’équation d’une tangente t à γ passant par T.

   d) Calculer l’angle entre les tangentes t1 (ou t2 ) et t.


Solution
Corrigé : Le cercle                                  Ld, 14/09/2012                                             2


                                                    √
 a) On applique la formule : y − c2 = m(x − c1 ) ± r m2 + 1, ce qui donne :
                        √      3 2                  3x      √
    y − 2 = 3 (x − 4) ± 13
             2                 2   +1 ⇔ y−2=           − 6 ± 13 13 4
                                                     2
            3x            13
    ⇔ 0=        −y−8±        ⇔ 3x − 2y − 16 ± 13 = 0
             2             2
    t1 : 3x − 2y − 3 = 0 et t2 : 3x − 2y − 29 = 0

                           
    − →        7−4              3                   −→       √         √
 b) CT =              =                   et    CT   =    32 + 22 = 13 = rayon de γ       ⇒     T ∈ γ   ⇒
               4−2              2
    il y a une seule tangente .


  c) L’équation de γ est : (x − 4)2 + (y − 2)2 = 13.
      L’équation de la tangente à γ au point T est : (x − 4)(7 − 4) + (y − 2)(4 − 2) = 13
      ⇔ 3x − 12 + 2y − 4 = 13 ⇔ t : 3x + 2y − 29 = 0


 d) Soit α l’angle entre t1 (de pente m1 = 3 ) et t (de pente m2 = − 3 )
                                               2                     2
                                   3
                 m1 − m2             − (− 3 )       3     12                            ∼ 67, 38◦
    tan(α) =                 = 2 3        2
                                                 =   5 = 5 ⇒ α = tan
                                                                         −1        12
                                                                                        =
               1 + m1 · m2       1 + 2 · (− 3 )
                                            2      −4                              5




 Exercice 4

 Soient les points      A(7 ; −1),       B(6 ; 4)   et    C(4 ; −4).
 Déterminer l’équation de γ, le cercle circonscrit au triangle ABC


Solution

Soient A1 (5 ; 0),    B1 ( 11 ; − 5 ),
                            2     2      C1 ( 13 ; 3 ) les milieux des côtés.
                                               2   2
              
−→  −1 
AB =                    mAB : −x + 5y + k = 0
           5
C1 ∈ mAB ⇒ − 13 + 5 · 3 + k = 0 ⇔ k = −1 ⇒ mAB : −x + 5y − 1 = 0
          2         2

−→     −2
BC =          mBC : −2x − 8y + k = 0
       −8
A1 ∈ mBC ⇒ −2 · 5 − 8 · 0 + k = 0 ⇔ k = 10 ⇒ mBC : −2x − 8y + 10 = 0 ⇔ x + 4y − 5 = 0

Cherchons O l’intersection des deux médiatrices qui correspond au centre du cercle :
                                          
 −x + 5y − 1 = 0         9y = 6            y=2
                                                    3
                      ⇒                 ⇒               ⇒ O 7; 2
                                                              3 3
 x + 4y − 5 = 0          x = 5y − 1        x= 7
                                                    3
                           
−→       7− 7             14
                                     −→                   √
OA =         3 
                    = 3            OA = 196+25 = 221
                                                  9         3
        −1 − 2 3          −35

                                                          221
L’équation du cercle est : (x − 7 )2 + (y − 2 )2 =
                                3           3                 ⇔ (3x − 7)2 + (3y − 2)2 = 221
                                                           9

				
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posted:9/15/2012
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Description: Test formatif de g�om�trie analytique sur le cercle