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注：资料来源于中国数学会均匀设计分会
前 言
沐浴在改革开发的阳光下，神州大地生机盎然，
新生事物层出不穷。在科教兴国建设社会主义的
过程中，人们所熟悉的那些传统的试验设计方法
（如对比试验设计、全面试验设计、正交试验设
计等），已不能充分满足快节奏高效率的要求。
新时期呼唤新思维，新方法。
中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计试验
设计”相结合，发明了一种全新的试验设计方法
，这就是均匀设计法。
均匀设计法诞生于１９７８年。由中国著名数学
家方开泰教授和王元院士合作共同发明。
正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可
比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的
均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还
不够强，试验次数不能充分地少。
均匀设计是另一种部分实施的试验设计方
法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、
多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好
的析因试验设计方法。它可以使试验点在试验
范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验
点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试
验结果。
下面通过制药工业中的一个实例来说
明均匀试验设计方法。
例1.1 ：阿魏酸的制备
阿魏酸是某些药品的主要成分，在制
备过程中，我们想提高阿魏酸产量。
根据试验目的，确定以阿魏酸产量作为试验
指标Y。
经过资料查阅，分析研究，选出影响阿魏酸产量的试
验因素，确定试验因素水平为：
原料配比：1.0---3.4
吡啶总量：10----28
反应时间：0.5---3.5
确定每个因素相应的水平数为7。
如何安排试验?
全面交叉试验要N=73=343次，太多了。
建议使用均匀设计。查阅均匀设计表。
“方开泰，均匀设计与均匀设计表，科学出版社
(1994)” 之附表 1
也可以浏览如下网页：
网络地址:http://www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesing
第1步： 列出试验因素水平表
表 1.1.1 试验因素水平表
x1 x2 x3
因素 原料配比 吡碇总量 反应时间
(ml) (hr)
1.0 10 0.5
水 1.4 13 1.0
1.8 16 1.5
2.2 19 2.0
平 2.6 22 2.5
3.0 25 3.0
3.4 28 3.5
第2步: 选择相应的均匀设计表
均匀设计表格式见下，其含义为：
因素数
均匀设计
Un(q s)
试验总次数 因素水平数
例如:
表 1.1.3: U 9 (94 )
表 1.1.2: U 7 (7 4 ) No. 1 2 3 4
No. 1 2 3 4 1 1 2 1 3
1 1 2 3 6 2 2 5 4 5
2 2 4 6 5 3 3 9 8 7
3 3 6 2 4 4 4 3 6 9
4 4 1 5 3 5 5 4 7 1
5 5 3 1 2 6 6 7 2 6
6 6 5 4 1 7 7 1 9 4
7 7 7 7 7 8 8 6 3 8
9 9 8 5 2
每个均匀设计表都有一个使用表，它将建议我们如何选
择适当的列安排试验因素，进行试验设计，这样可以减少“
试验偏差”。其中‘偏差’为均匀性的度量值，数值小的设
计表示均匀性好。例如 U7 (74)的使用表为：
因素数 列号 偏差
2 1, 3 0.2398
3 1, 2, 3 0.3721
4 1, 2, 3, 4 0.4760
表1.1.2: U 7 (7 4 ) 表 1.1.4:
No. 1 2 3 4 No. 1 2 3
1 1 2 3 6 1 1 2 3
2 2 4 6 5 2 2 4 6
3 3 6 2 4 3 3 6 2
4 4 1 5 3 4 4 1 5
5 5 3 1 2 5 5 3 1
6 6 5 4 1 6 6 5 4
7 7 7 7 7 7 7 7 7
第3步: 应用选择的 UD-表安排试验，设计试验方案
表 1.1.5: 试验方案 1. 将 x1, x2和 x3放入均匀设
No. 1 1
x 2
x2 x3 y 计表的1,２和3列；
3
1 1 2
1.0 13 1.5 3 0.330 2．用x1的７个水平（值）替
2 2 4
1.4 19 3.0 6 0.366 代第一列的1到 7；
3 1.8 25 1.0
3 6 2 0.294
4 2.2 10 2.5
4 1 5 0.476 3. 对第二列，第三列做同样
的替代；
5 2.6 16 0.5
5 3 1 0.209
6 3.0 22 2.0
6 5 4 0.451 4. 按设计的方案进行试验，得
3.4 28 3.5 到７个结果，将其放入最后一
7 7 7 7 0.482
列。
第 4步: 用回归模型匹配数据
首先，考虑线性回归模型:
y 0 1 x1 2 x2 3 x3 (1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到
推荐的模型为：
y 0.2142 0.0792 x3
ˆ (1.1.2)
这个结果与人们的经验不符。
然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
y 0 1 x1 2 x2 3 x3 11 x12 22 x2 33 x3
2 2
12 x1 x2 13 x1 x3 23 x2 x3 (1.1.3)
使用‘向前’的变量选择法，我们发现适宜的模型：
y 0.06232 0.25 x3 0.06 x3 0.0235 x1 x3
ˆ 2
(1.1.4)
表 1.1.6: 方差分析（ANOVA） 表
来源 df SS MS F p
回归 3 0.062190 0.020730 43.88 0.006
误差 3 0.014170 0.000472
总和 6 0.063608
14
具有 R 2 0.978, s 0.02174,
t x3 6.41, t x 2 5.64, t x1x3 4.88.
3
模型 y 0.06232 0.25 x3 0.06 x3 0.0235 x1 x3
ˆ 2
(1.1.4)
中的三项，在 5%的水平下都是显著的。
图1.1.1:
ˆ
残差与y的示意图
yy
ˆ
状态是正常的，所以模型
(1.1.4)是可接受的。
ˆ
y
16
图 1.1.2a 匹配图 图 1.1.2b 正态 Q-Q 图
图 1.1.2c偏回归图
第5步: 优化 -- 寻找最佳的因素水平组合
表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施, 其中最好的
试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人
们想找到满足下式的x1*和 x3* ：
Y ( x1 , x3 ) max Y ( x1 , x3 )
ˆ * * ˆ
这里求取max的区域为：
1 x1 3.4, 0.5 x3 3.5
且 ˆ
Y ( x1, x3 ) 0.06232 0.25x3 0.06x3 0.0235x1 x3
2
18
图 1.1.3
等值线图 (x1*,x3*)
x1x3的回归系数是正的，x3的回归系数也是正的, x1* = 3.4。
ˆ 2
Y (3.4, x3 ) 0.06232 0.3309x3 0.06 x3
在x3* = 2.7575达到最大值 。
在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575处估计响应的最大值是 51.85% 。它
比７个试验点的最好值48.2%还大。
讨论:
因素 x2 没有给响应Y予显著的贡献，我们可以选x2为
其中点 x2 = 19 ml.
求出的x1* = 3.4 在边界上, 我们需要扩大x1的试验上限。
在x1 = 3.4和 x3 = 2.7575的邻域,追加一些试验是必要的。
在第５步，一些优化算法是很有用的。
混合型水平的均匀设计
试验中各因素若有不同水平数，比如，其
水平数分别为q1，…，qk。
这时应使用相应的混合均匀设计表。见
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版
(1994).”
之附表2
每个混合水平表有一个记号，含义为：
定量因素
均匀设计 的最大数
Un(q1 × … × qk )
各定量因素
试验次数
之水平数
下表是一个混合水平均匀设计表:
此均匀设计表
试验总数ｎ为
12，用它可以
安排水平数为
６、４、３的
因素各一个。
U12(624)
1 2 3
1 1 2 3
2 1 3 2
3 2 5 1 它的试验数
4 2 6 4
5 3 1 2
ｎ为 12。可
6 3 3 1 以安排二个6
7 4 4 4 水平因素和
8 4 6 3
9 5 1 1
一个4水平因
10 5 2 4 素的设计。
11 6 4 3
12 6 5 2
此表也是混合水平均匀设计表。
23
例2 .1:在农业试验中
考虑4个因素：
平均施肥量X，分为12个水平
（70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114）；
种子播种前浸种时间T，分为6个水平（1,2,3,4,5,6）；
土壤类型B，分4种B1，B2，B3，B4；
种子品种A，分3个A1，A2，A3；
对某农作物产量的影响。可以看出前两个为定量因素，
后两个为定性因素。
如何进行试验安排？
混合型因素混合型水平的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因
素，又有定性型状态变化因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk；
这k个因素可化为k个连续变量，
其水平数分别为q1，…，qk。
又有t个定性因素G1,…,Gt，
这t个定性因素分别有d1，…，dt个状态。
可以使用“拟水平法”，或用优化方法计算，求出相应的
均匀设计表。
混合因素混合水平表有如下的记号和含义：
定性因素
定量因素 的最大数
均匀设计 的最大数
Un(q ×
1 … × q × d × …× d
k 1 t )
各定性因素
试验次数 各定量因素 之水平数
之水平数
U (12×6×4×3２ ×2２ )
例： 12
1 2 3 4 5 6 7 １２次试验。
1 1 1 1 2 3 1 2 可以安排２个
2 2 2 2 3 2 2 1 水平数为12、
3 3 3 3 2 1 1 2 6的定量因素，
4 4 4 4 3 1 2 1
以及总数为５
5 5 5 1 1 2 2 2
6 6 6 2 3 2 1 1 的一个水平
7 7 1 3 1 1 1 1 为4、两个水
8 8 2 4 3 3 2 1 平为3和两个
9 9 3 1 1 3 2 2 水平为2的定
10 10 4 2 2 2 1 2 性因素的设计。
11 11 5 3 1 1 1 1
12 12 6 4 2 3 2 2
表2.1.1 U12(12×6×4×3 )
选混合均匀设计表2.1.1
安排此试验
1 2 3 4
1 1 1 1 2
第1列安排平均施肥量X， 2 2 2 2 3
分为12个水平； 3 3 3 3 2
第2列安排种子播种前浸
4 4 4 4 3
种时间T，分为6个水
平； 5 5 5 1 1
第3列安排土壤类型B， 6 6 6 2 3
分4种B1，B2，B3，
7 7 1 3 1
B4；
第4列安排种子品种A， 8 8 2 4 3
分3个A1，A2，A3。 9 9 3 1 1
10 10 4 2 2
11 11 5 3 1
12 12 6 4 2
试验安排及结果如表2.1.2
X T B A 值
70 1 B1 A2 771
74 2 B2 A3 901
78 3 B3 A2 899
82 4 B4 A3 927
86 5 B1 A1 1111
90 6 B2 A3 1271
94 1 B3 A1 1053
98 2 B4 A3 1069
102 3 B1 A1 1187
106 4 B2 A2 1220
110 5 B3 A1 1062
114 6 B4 A2 974
为了进行分析，我们引进5个‘伪变量’。它们的记
号和取值如下：
B因素的
z31 (1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0)
z32 (0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0)
z33 (0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0)
A因素的
z41 (0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0)
z42 (1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1)
它们和 Ｘ、Ｔ 一起进行回归分析。
回归方程如下:
y 0 1 X 2T 3 Z 31 4 Z 32 5 Z 33 6 Z 41 7 Z 42
771 1 70 1 1 0 0 0 1 e1
901 1 74 2 0 1 0 0 0 e2
899 1 78 3 0 0 1 0 1 0 e3
927 1 82 4 0 0 0 0 0 1 e4
1111 1 86 5 1 0 0 1 0 2 e5
1271 1 90 6 0 1 0 0 0 3 e6
= +
1053 1 94 1 0 0 1 1 0 4 e7
1069 1 98 2 0 0 0 0 0 5 e8
1187 6 e9
1 102 3 1 0 0 1 1
1220 7 e10
1 106 4 0 1 0 0 0
1062 e11
1 110 5 0 0 1 1 1
974 e12
1 114 6 0 0 0 0 0
ˆ
0 158.96
解得 ˆ
1 8.54
回归系数的 ˆ
最小二乘估
2 12.625
计及其Ｒ和 ˆ
3 231.09
Ｆ值为： ˆ
4 208.98
ˆ
5 144.45
ˆ
6 124.50
ˆ
7 168.875
R 0.8753
F 1.84
不显著。需进一步考虑高阶回归项
若我们考虑除主效应外，再多考虑一个2次效
应和一个交互效应。这时回归方程化为
) 23 Z T( 9 2 X 8 24 Z 7 14 Z 6 33 Z 5 23 Z 4 13 Z 3 T2 X 1 0 y
1 70 1 1 0 0 0 1 70 2 0 e1
771
1 74 2 0 1 0 0 0 74 2 2 0 e2
901
1 78 3 0 0 1 0 1 78 2 0 1 e3
899
1 82 4 0 0 0 0 0 82 2 0 2 e4
927
1 86 5 1 0 0 1 0 86 2 0 3 e5
1111
1271 =
1 90 6 0 1 0 0 0 90 2 6 4 e6
+
1053
1 94 1 0 0 1 1 0 94 2 0 5 e7
1069
1 98 2 0 0 0 0 0 98 2 0 6 e8
1187
1 102 3 1 0 0 1 1 102 2 0 7 e9
1 106 4 0 1 0 0 0106 2 4 8 e10
1220
1 110 5 0 0 1 1 1 110 2 0 9 e11
1062
1 114 6 0 0 0 0 0114 2 0 e12
974
ˆ
0 3898.3642
解得
ˆ
1 98.8649
回归系数的
最小二乘估 ˆ
2 9.8600
计及其Ｒ和 ˆ
3 199.9875
Ｆ值为： ˆ
4 144.7927
ˆ
5 101.6902
ˆ
6 91.3200
ˆ
7 41.6920
ˆ
8 0.4937
ˆ
9 11.0600
R 1.0000
F 14170.5883
非常显著
方程为: ) 23 Z t( 9 2 X 8 24 Z 7 14 Z 6 33 Z 5 23 Z 4 13 Z 3 t2 X 1 0 y
其中 ˆ
0 3898.3642
1.含变量x 的两项与其它是分离的（即
ˆ
1 98.8649 可加的），最大值点在 x=100.127 。
ˆ
2 9.8600
ˆ 2.含变量z41 z42 的两项与其它是分离的，
3 199.9875 最大值点在 z41=0 z42=0，即品种3为好。
ˆ
4 144.7927
ˆ
5 101.6902 3.含变量 Ｔ z31 z32 z33 的四项与其它是
ˆ 分离的，最大值点可能在
6 91.3200
ˆ
7 41.6920 z31=1 z32=0 z33=0 类型为1，Ｔ=6
ˆ
8 0.4937 或 z31=0 z32=1 z33=0 类型为2，Ｔ=6
ˆ
9 11.0600 比较后知道为后者。
R 1.0000
F 14170.5883
所以得到最佳状态组合为
施肥量X=100.127，
浸种时间T=6，
土壤类型B取2，
种子品种A取3，
此时最大值估计为
ˆ m 0.4937 100.127 2 98.8619 100.127
y
3898.3642 20.92 6 144.7929
1321.4515
下面综述应注意的事项：
一、表的选择,因素及水平的安排
若试验中有k个定量因素和t个定性因素时，我们从
混合型均匀设计表中选出带有s=k+t列的
Un(q1×…×qk×d1×…×dt)表。
这里要求n≥k+d+1,其中d=(d1+…+dt -t).
为了给误差留下自由度，其中的n最好不取等号。
表中前k列对应k个连续变量，
表中后t列可安排定性因素。
安排n个试验，得到n个结果y1，y2，…，yn。
为了分析，首先要将定性因素之状态，依照
伪变量法，将第i个因素分别化成(di-1)个相
对独立的n维伪变量Zi1,Zi2,…，Zi(di-1)。
将这总共d=(d1+…dt-t)个伪变量与相应的k个
连续变量X1，…，Xk一起进行建模分析。
为了保证主效应不蜕化，要对混合型均匀设计
表进行挑选。
二、试验结果的回归建模分析
首先考察它们的一阶回归模型：
k t di 1
y 0 j X j ij Z ij
j 1 i 1 j 1
如果不理想,则
再考虑一些交互效应，和一些连续变量的高次效应。
显然最多可考虑的附加效应数为m个，这里
m≤n-(k+d-2)
值得指出的是，由于Zij *Zij=Zij ,因此无需
考虑伪变量的高阶效应,只考虑连续变量的高
次效应即可.
又因为Zij1*Zij2=0,j1≠j2时,因此也无需考虑
同一状态因素内的伪变量间的交互效应。
只有i1≠i2时,才有可能使Zi1j1*Zi2j2≠0，即
不同状态因素间的交互效应可能要考虑.。
此外，不要忘记考虑连续变量与伪变量的交互
效应。
至于 三个以上的状态因素间 的交互效应项
Zi1j1*Zi2j2*Zi3j3≠0的可能性就更少了
混料配方均匀设计
许多产品都是混合多种成分在一起形成的。
色素
钙 咖啡粉
香料
乳酸 发酵粉
盐 蔬菜汁
椰子汁
糖 水
面粉
咖啡面包
43 怎样确定各种成分的比例呢？
混料试验
经验 试验
有 s 个因素: X1, , Xs 满足
Xi 0, i = 1, , s 和 X1 + + Xs = 1.
试验区域为单纯形
Ts = {(x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1 + + xs = 1. }
人们提出了许多混料设计方法，如
.
单纯形格子点设计 (Scheffe, 1958)
.
单纯形重心设计(Scheffe, 1963)
轴设计(Cornell, 1975)
45
例如, 成分数 s = 3
单纯形格子点设计 单纯形重心设计
d
轴设计
这些设计的全面评价请参考：
Cornell, J. A. (1990). Experiments with Mixtures: Designs, Models and the
Analysis of Mixture Data. Wiley, New York.
46
上述设计的弱点：
许多点在Ts 的边界上；
给用户设计的选择不多。
混料均匀设计
混料均匀设计是要寻找在Ts上均匀散布的试验点。
问题: 怎样设计这些试验点呢？
变换方法
47
变换方法
给定s-1维单位立方体C s-1上的均匀设计，且用
{Ck = (ck1, ,ck,s-1), k = 1, ,n}
表示。则进行下列必要的 变换：
i 1
1 1
xki 1 cki c
s i s j
j 1 kj
(3.1.1)
1
s 1 s j
xks ckj
j 1
{xk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n} 是 Ts.上的均匀设计。
例3.1 构造T3 上带有11 个(配方)试验点的均匀设计。 48
假设我们选用 U11(112) 和相关的 Ck, k = 1, ,11:
1 4 0.0455 0.3182
2 9
0.1364 0.7727
3 7 0.2273
0.5909
4 1 0.3182 0.0455
5 11 0.4091
0.9545
U11 (11 ) 6 3 ,
2
7 6
k
k 0.5
11
c
0.5000
0.2273 ;
0.5909 0.5000
8 8 0.6818 0.6818
9 2 0.7727 0.1364
10 10 0.8636 0.8636
0.9545
11 5 0.4091
x k1 1 c k1 ;
变换公式 (4.1) 现在成为: xk 2 ck1 (1 ck 2 );
x k 3 c k1 c k 2 . (3.1.2)
用这个变换公式, 正方形[0,1]2上的均匀设计 Ck = (ck1, ck2), k = 1, ,11
导出T3上的均匀设计 Xk = (xk1, xk2, xk3), k = 1, ,11 如下:
0.7868 0.1454 0.0678
0.6307 0.0839 0.2853
0.5233 0.1950 0.2817
0.4359 0.5384 0.0256
0.3604 0.0291 0.6105
x ( xk1 , xk 2 , xk 3 ) 0.2929
0.5464 0.1607 .
0.2313 0.3844 0.3844
0.1743 0.2627 0.5630
0.1210 0.7592 0.1199
0.0707 0.1267 0.8026
0.0230
0.5773 0.3997
49
区域 T3 是一个边长为 2 的等边三角形,用 V2 表示。 50
x3
1
T3
d1
x
T3
x
d2
d3
x
1 1
x1 x2
可以证明：V2 上的任何点 (z1, z2) 到V23 上的点 (x1, x2, d1, 如果我
因此， V2 上任何点 (z1, z2) 都对应一个T的三条边之距离x3)， d2和d3,
满足 d1+d2+d3 = 1.
们像这样在V2上建立一个新坐标系统的话。
51
给定点(x1, x2, x3)，计算点(z1, z2)的公式是：
z1 2( x3 x2 ) 3
z 2 x1
图 3.1.2a 图 3.1 .2b
c2
c1
- 4-
介绍
52
53
均匀设计软件
均匀设计软件有中、英文两个版本。该软件中列举了
许多均匀的设计表，并给出了数据分析方法。
54
程序设计者杜明亮和方法指导者方开泰教授在一起
均匀设计软件可用于
*与试验设计相关的大学本科或研究生课程
*自然科学研究的试验设计
*工业试验和国防科研
*系统工程、仿真试验
（一）设计
•均匀设计表
-用好格子点法生成
-用拉丁方生成
-用优化方法生成
•带拟水平的均匀设计表
•带约束的配方设计
•无约束的配方设计
（二）数据分析
•选择变量
•建模
-前进法
-简单线性模型
-逐步回归法
-二次模型
-最优子集法
-自选模型
-自选变量
•统计诊断 •综合分析
-残差点图、正态Q-Q点图 -多响应模型分析
-偏回归点图 -优化
-拟合比较图 -预报
-等高线图 -相关系数
-三维图 -各类诊断点图
小结
我们介绍了有关均匀设计的一些知识：均匀设计表的
构造和用法；介绍了有关均匀设计软件的一些内容。
我们强调的是正确使用均匀设计表。即：能确定
试验目标，能找出影响因素及其变化范围，合理确定水
平数及其值，正确安排试验，对试验结果进行适当的分
析，得出恰当的认识。幸好，均匀设计分会研制的“均
匀设计软件Ｖ3.0”可以帮助你完成这些工作。
想了解原理者请接看下面的附录。
主要参考文献
,PPT，kaitai,Fang
含有定性因素的均匀设计,PPT, 王柱
均匀设计八讲，拷贝，方开泰
均匀设计与均匀设计表，书，方开泰
均匀设计Ｖ３.0，软件，方开泰，杜明亮
均匀设计与正交设计的关联和比较，文章，方开泰，马长兴
含有定性因素均匀设计均匀性的度量，文章, 王柱，方开泰
均匀设计理论及其应用研讨会，论文集
均匀设计论文选，第一集
均匀设计论文选，第二集
