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제2장
라플라스 변환과 선형화
제2장 overview (판서)
1차 기초반응 미방의 해석 (기초설문 문제),
라플라스 변환
라플라스 변환을 통한 미방 해석
dCA
kt, C A ( 0 ) C A0 10 mol / l
dt
제5기 한․미 대학생 연수취업(WEST) 프로그램 참가자
모집
WEST(Work, English Study, and Travel) 프로그램은 ’08년 8월 한․미 정상회담에서 합의된
어학연수와 인턴취업을 연계한 프로그램으로 글로벌 청년리더 양성사업의 일환으로 추진.
※ 어학연수(5개월)+인턴취업(최장 12개월)+여행(1개월) 등 최장 18개월
2. 신청 자격
- 대한민국 국적 소지자로서 아래의 조건을 만족하는 자
구분 4년제 대학(국내 소재에 한함) 전문 대학(국내 소재에 한함)
4학기 이상 이수한 재․휴학생, 2학기 이상 이수한 재․휴학생,
대상
최근 1년 이내 졸업생 최근 1년 이내 졸업생
영어능력 ① TOEIC 750점 이상이며, ② TOEIC 스피킹 5등급(110점) 이상*
대학평점 3.375/4.5, 3.225/4.3, 3.0/4.0 이상
대학추천 소속대학 총장명의 추천서(총장 명의 공문으로 갈음 가능)
특별시험 미실시, 정기시험 성적 제출 필수(’10.10.20(수)까지 제출 가능)
3. 참가신청 기간 및 방법
- 접수 기간 : ’10.9.20(월) 09:00 ~ ’10.10.5(화) 18:00
- 참가신청 : 교육과학기술부 글로벌인턴지원단 홈페이지(west.mest.go.kr)를 통해 참가신청서 등을 작성하고
구비서류는 추후 직접 제출하여야 합니다.
※ 구비서류 및 선발일정 등 자세한 사항은 WEST 카페(cafe.naver.com/westwhp) 안내 참조
국제교류사업(KOICA)를 통한 해
외연수 지원
공과계열 재학생들의 어학능력 향상과 전공관련 실무 연수를 위해
국제교류사업(KOICA)을 통한 해외연수를 아래와 같이 지원하오
니 신청서를 작성하시어 2010.10.18(월)까지 제출하여 주시기
바랍니다.
가. 대상국가 및 기관 : 필리핀 PCC연구소
나. 연수기간 : 2011.01.01(토) ~ 2011.02.26(토)/8주
다. 연수내용
(1) 오전 : 어학연수
(2) 오후 : 전공관련 실무(현장실습)
라. 지원대상 : 지역자원시스템공학과, 안전공학과, 화학공학부, 컴
퓨터공학과, 전자공학과, 정보제어공학과, 전기공학과 재학생
(21명 선발/인원변동 가능)
앨빈 토플러, 2007년 9월
한국사회가 극복해야 할 가장 큰 문제점은?
-교육이 역사의 흐름과 정반대로 간다
-한국 학생은 하루 10시간 이상을 자신이
미래에 필요하지 않을 지식과 존재하지도
않을 직업을 위해 시간을 허비한다.
복소수
j
e cos j sin
j
c a jb r(cos j sin ) re
집합 가 집합 나
A a
변환
B transform b
C c
D d
X=A+B*D x=a+b*d
Laplace Transformation
• LT: 공정모델의 미분 방정식을 대수방정
식으로 전환시켜 미분방정식의 해를 구
하는 방법
– LT
– 역변환: 미분방정식의 풀이
– 비선형 미분 방정식의 선형화
F ( s ) L f (t ) f (t )e dt st
0
f(t) F(s)
1 1/s
2 Laplace 2/s
transform
4 4/s
t 1/s2
F ( s ) L f (t ) f (t )e dt
st
0
f(t) F(s)
1 1/s
2 역변환 2/s
4 4/s
t 1/s2
일본 나가노 현의 어느 활화산에서
피어나오는 연기
ICSST08, 2008. 10. 2-5, Japan
Matlab 실습 1/4
• 보기 M2-1/8 (39-44쪽)
> % define symbolic variables.
> syms ______________
>
> % define functions
> f1= _____________
>
> % use inverse Laplace transform, ilaplace()
> f2=ilaplace(f1)
교재 35 쪽 전산실습
Matlab 실습 2/4
• Symbolic toolbox 를 이용하여 LT 를
수행한다.
• Matlab programming
> % define symbolic variables.
> syms a t n w;
> laplace (t)
> f3=exp(-a*t)*cos(w*t)
> laplace(f3)
> diff(f3)
교재 25 쪽 전산실습
Matlab 실습 3/4
• Inverse Laplace transform: ilaplace()
> % define symbolic variables.
> syms s t n a w;
> f1=1/(s+a)^2
> f2=ilaplace(f1)
> pretty(f2)
> f3=4*s^3+2*s^2-14
> f4=s^4-s^3+s^2-11*s+10
> f5=f3/f4
> f6=ilaplace(f5)
교재 25 쪽 전산실습, 31쪽 보기 2-10 정답 확인
Matlab 실습 4/4
• solve differential equations : dsolve()
> % define symbolic variables.
> syms y t;
> % define the differential equation given
> f1=‘5*Dy+4*y-2’
> % solve f1 using the dsolve() function.
> f2= dsolve(f1, 'y(0)=1')
> pretty(f2)
교재 25 쪽 전산실습, 31쪽 보기 2-10 정답 확인
정의 F ( s ) L f (t ) f (t )e dt st
0
• 상수 f (t ) a
a a
F ( s) L a ae st dt e st
0 s 0 s
• 지수함수 f (t ) e at
F ( s) L e
1 ( s a )t 1
at ( a s )t
e dt e
0 sa 0 sa
• 1차함수 f (t ) t
t 1 1
F ( s) L t te st dt e st 2 2
0
s s 0 s
• 삼각함수 f (t ) sin t
e st
F ( s ) L sin t sin te st dt 2 s sin t cos t 2
0
s 2 0 s
2
•라플라스 변환의 특성
• 선형성
L af (t ) bg (t ) L af (t ) L bg (t )
aL f (t ) bL g (t )
aF ( s ) bG ( s )
• 미분식의 라플라스 변환
df (t )
L sF ( s ) f (0)
dt
d 2 f (t ) d df df df
L L sL (0)
dt 2 dt dt dt dt
df df
s sF ( s ) f (0) (0) s 2 F ( s ) sf (0) (0)
dt dt
d n f (t ) n df
L n s F ( s ) s n1 f (0) s n2 (0)
dt dt
d n2 f d n1 f
s n2 (0) n1 (0)
dt dt
• 적분식의 라플라스 변환
t f ( x)dx 1 F ( s )
L
0
s
• 시간지연
L f (t ) e s F (s)
f(t) g(t) g(t) = f(t-q) u(t-q)
t t
0 0
• s평면에서 평행이동(시간지수함수의 곱)
L e at f (t ) F ( s a )
• 시간의 곱
d
L tf (t ) F (s)
ds
• 초기치 정리 • 최종치 정리
lim f (t ) lim sF ( s ) lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
t s 0
역 라플라스 변환(미분방정식 풀이, 31p)
f (t ) L1 F (s)
F(s) 를 부분분수로 만들고 각 항의 역LT를 구함
x(t) 공정 y(t)
공정 모델의 일반적 형태
bm s m bm1s m1 b1s b0
F (s) n n 1
R( s) n>m
s an1s a1s a0
•분모가 k개의 실근, q개의 중근, 한쌍의 허근을 가질때
s n an1s n1 a1s a0 (s r1 )(s r2 ) (s rk )(s p)q (s 2 vs w) 0
•부분분수로 나타내면
A A A Q1 Q2 Qq
F ( s) 1 2 k q 1
s r1 s r2 s rk ( s p ) ( s p )
q
(s p)
Bs C
2 R( s)
s vs w
•각 항을 역 라플라스 변환하면
A Q1 Bs C 1
f (t ) L1 1 L1 q
L1 2 L R( s )
s r1 ( s p) s vs w
예제 2-5
문제: 2f(t)’+f(t)=3, f(0)=1
2s 3 2s 3
F ( s) 2
2s s s(2s 1)
2s 3 3 4
F ( s)
s(2s 1) s 2s 1
1 1 3 4 1 3 1 4
f (t ) L [ F ( s)] L [ ] L [ ] L [ ]
s 2s 1 s 2s 1
3 2e 0.5t
Matlab 시각화
0.5t
f (t ) 3 2e
2s 3 2s 3
F ( s) 2
2s s s(2s 1)
• 초기치 정리
lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
• 최종치 정리
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
1 -1 1 -11 10
1
1 0 1 -10
보기 2-11 (28p) 1 0 1 -10 0
4s3 2s 2 14 2
F ( s) 4 3 2 2 4 10
s s s 11s 10 1 2 5 0
• 인수분해하고, 부분분수로 나타내면
4s 3 2s 2 14 A A Bs C
F (s) 1 2 2
( s 1)( s 2)( s 2 2s 5) s 1 s 2 s 2s 5
• 양변에 s-1을 곱하고 s대신 1을 대입
4 2 14
A1 1
(1 2)(1 2 5)
2
• 양변에 s-2을 곱하고 s대신 2를 대입
4 23 2 2 14
A2 2
(2 1)(2 2 2 5)
2
위의 A1 , A2 를 대입하고 우변을 정리하면
A1 A Bs C
2 2
s 1 s 2 s 2s 5
(3 B) s 3 (2 C 3B) s 2 (7 2 B 3C ) s (2C 20)
( s 1)( s 2)( s 2 2 s 5)
계수 비교하면 B 1, C 3
정리하면
1 2 s3
F (s)
s 1 s 2 s 2 2s 5
1 2 s 1 2
s 1 s 2 ( s 1) 2 22 ( s 1) 2 22
표 2-1로 부터
f (t ) L1 F ( s )
et 2e 2t e t cos 2t 2e t sin 2t
2.4 편차함수를 통한 표준화
– 편차변수: 어떤 공정변수의 시간에 따른 값과 정상상태 값의 차이
X (t ) x(t ) xs
편차변수의 초기조건 x(t )
x(0) xx X (0) 0
편차변수의 미분 xs
dX (t ) d dx(t )
x(t ) xs X (t )
dt dt dt
0 t
2.4.2 (종속변수의) 선형화 방법
– Taylor급수 전개에 의한 선형화
f f
f ( x , y ) f ( xs , y x ) ( xs , ys )( x xs ) ( xs , y x )( y ys )
x y
1 2 f 1 2 f
( xs , ys )( x xs )
2
( xs , y x )( y ys ) 2
2! x 2 2! y 2
1 2 f
( xs , ys )( x xs )( y ys )
2! xy
2차항 이상을 무시하면
f f
f ( x, y ) f ( xs , yx ) ( xs , ys )( x xs ) ( xs , y x )( y ys )
x y
단일변수 함수의 경우
f
f ( x) f ( xs ) ( xs )( x xs )
x
보기 2-18
1 2
mgh mv
2
h v 2 gh
v, q
q Av A 2 g h
dqs 1 A 2g
A 2 g h 1 / 2
dh 2 2 hs
q
qs
q dqs
q qs (h hs )
dh
A 2g
A 2 g hs (h hs )
h hs h 2 hs
A 2 g hs A 2g
h
2 2 hs
선형화 및 편차변수화
연습문제 15 (51쪽). dy
2 y2 y t3
dt
at t 0 , y( 0 ) 1
라플라스변환을 통한 미방풀이 순서
1. 선형화
2. 편차변수를 이용한 표준화
3. 라플라스 변환
4. 부분분수화
5. 역라플라스 변환
6. 그래프 그리기
연습문제 과제
주간: 2, 4, 7, 12, 14
야간: 2, 3, 4, 7
퀴즈 (14점): 교재 1장과 2장 +
부교재 1장 (영어)
과제풀이
homepage: http://facs.maru.net/teaching/
>공정제어>과제2
email: limyi@hknu.ac.kr
