eth-23693-01

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					                Diss. ETH No. 13774




        N umerical investigation
 of three-dimensional separation in a
       forward-facing step flow
   using a spectral element method



           A dissertation submitted to the
SWISS FEDERAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY ZURICH



                 for the degree of
            Doctor of Technical Sciences



                    presented by
                 Dirk Wilhelm

         Dipl.-Phys. University of Göttingen
                born August 26, 1968
                 citizen of Gerrnany



           accepted on recomrnendation of
           Prof. Dr. L. IGeiser, examinator
         Prof. Dr. NI. Deville, co-examinator



                     June 2000
Abstract
In this study, high-resolution simulations of the flow over a forward-facing
step (FFS) are presented. The simulations are performed using a spectral
element code that combines high accuracy with geometric flexibility. Con-
cerning this numerical approach, it is shown that for the P N - PN -2 spec-
tral elernent method, in which velo city and pressure are approximated by
polynomials of order N and N 2, respectively, numerical instabilities can
occur, depending on the formulation of the nonlinear term. An eigenvalue
analysis of the fully discretized system clearly shows that the spatial dis-
cretization is stable for the convective form but unstable for the divergence,
the skew-syrnmetric, and the standard rotational forms. It is demonstrated
that the instability is related to the divergence error of the computed so-
lution in the velo city points where continuity is not enforced. In spectral
element simulations, usually most of the computing time is spent on the
solution of the pressure equation. Therefore, an efficient direct solver which
is applicable whenever the flow domain can be decomposed into Cartesian
subdomains has been developed.

Our simulations of the three-dimensional FFS flow are aeljusted to the
configuration consielered in arecent experiment. Comparison with the ex-
perimental results shows gooel agreement of the flow topology in the step
region anel of the spanwise spacing of the characteristic streaks that form
downstream of the step. It is clernonstrated in the present work that the
three-dimensionality of the FFS flow is not inclucecl by an absolute instabil-
ity, which was suggestecl previously in the literature. Rather, it is causeel
by disturbances present in the oncoming flow to which the flow in the
step region reacts very sensitively. Furthermore. a smooth transition from
an almost two-dimensional to a fully three-elimensional state is observed
if the disturbance level is graelually increasecl. Consequently, uncler the
consiclerecl conclitions, no critical threshold below which the flow remains
two-dimensional is found.




                                     XIV
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit werden hochaufgelöste dreidirnensionale Simu-
lationen der Strömung über eine vorspringende Stufe präsentiert. Die Si-
mulationen wurden mit Hilfe eines Spektrale Elemente Verfahrens durch-
geführt, welches hohe Genauigkeit mit geometrischer Flexibilität verbindet.
Es wird gezeigt, dass für das PN - PN -2 Spektrale Elemente Verfahren, bei
dern Druck und Geschwindigkeit mit Polynomen der Ordung N bzw. N - 2
approximiert werden, numerische Instabilitäten auftreten. Eine Eigen-
wertanalyse des volldiskretisierten Systems zeigt, dass durch die räumliche
Diskretisierung des nichtlinearen Terms in verschiedenen Formulierungen
eine Instabilität induziert wird. Daraus wird gefolgert, dass die Divergenz-
Form, die schiefsymmetrische 'Form und die Standard-Rotations-Form des
nichtlinearen Terms instabil sind und nur die Konvektions- Form sowie eine
Variante der Rotations-Form stabil sind. Die Instabilität steht in engem
Zusammenhang mit Divergenzfehlern auf dem Geschwindigkeitsgitter, die
nicht direkt kontrolliert werden können, da im vorliegenden Verfahren die
Divergenzfreiheit nur auf dem Druckgitter gewährleistet wird. In Spektrale
Elemente Simulationen wird normalerweise der grösste Teil der Rechenzeit
für die Lösung der Druckgleichung aufgewendet. UnI die Rechenzeit zu
vermindern wurde ein sehr effizientes direktes Lösungsverfahren entwickelt,
das auf Gebiete angewendet werden kann, die in rechteckige Teilbereiche
zerlegt werden können.

Die durchgeführten Simulationen der dreidilnensionalen Strörnung über
eine vorspringende Stufe wurden an das Experiment von Stüer [83J ange-
passt.,. Vergleiche mit den experimentellen Ergebnissen zeigen eine sehr
gute Ubereinstimmung der Strömungstopologie im Stufenbereich und der
charakteristischen streifenartigen Strukturen im Gebiet stromabwärts der
Stufe. Es wird gezeigt, dass die Dreidimensionalität der Stufenströmung
für die hier betrachteten Reynolds-Zahlen nicht durch eine absolute Insta-
bilität hervorgerufen wird, sondern dass die Strömung im Stufenbereich
~:hr sensitiv auf Zuströrnstörungen reagiert. Weiterhin wird ein fliessender
Ubergang von einem fast zweidimensionalen zum vollständig dreidimen-
sionalen Zustand beobachtet, wenn das Störniveau graduell erhöht wird.
Folglich existiert kein kritisches Störniveau, unterhalb dessen die Strömung
vollständig zweidimensional bleibt.




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