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RDM Chap 2

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RDM Chap 2 Powered By Docstoc
					   Hautes Etudes d’Ingénieur
   13, rue de Toul
   59046 Lille Cedex




        Résistance des Matériaux
             Cours de Tronc Commun


                       CHAPITRE II
Caractéristiques géométriques des sections planes
                           Introduction

Ultérieurement, pour calculer les contraintes et les déformations des
solides étudiés, nous aurons besoin de savoir déterminer un certain
nombre de caractéristiques géométriques des sections planes :

     Centre de gravité,

     Moment statique,

     Moments quadratiques
                            I. Centre de gravité

Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy.
y
                                           Les coordonnées du centre de

YG               G                         gravité G sont définies par :


                                     XG   
                                             x.dS
                                             S
                                                                 YG   
                                                                         y.dS
                                                                         S
O              XG               x                S                           S
    Si la section S peut être décomposée n en sous-sections simples,
    d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi et yGi)
    alors :
                      n                               n

                      S .x 
                            i   Gi                    S . y 
                                                            i   Gi
              XG    i 1
                                            YG      i 1
                            S                               S
             I. Centre de gravité

Exemple :   y
                     10 mm

                       2
                                50 mm
            20             G

                 1              10 mm
            O                           x
                     50 mm

                           xG
                         II. Moment statique

    Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique
    élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité :

y                                            d x  Y.dS

        ( S)
                   dS         Ce qui donne pour l’ensemble de la section :
Y

                                 x   y.dS       soit  x  S.YG
                                        S

O              X          x
                                                De même :


                                 y   x.dS       soit  y  S.XG
                                        S
                     II. Moment statique


Remarques :
 pour tout axe passant par le centre de gravité, le moment
statique par rapport à cet axe est nul.



 si la section S peut être décomposée n en sous-sections
simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors :


                               n
                         x   Si .yGi 
                              i 1


                               n
                         y   Si .x Gi 
                              i 1
                          III. Moments quadratiques

    III.1 Moment quadratique par rapport à un axe
    Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment quadratique
    élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité :

                                                 dIOx  Y².dS
y

          ( S)                     Ce qui donne pour l’ensemble de la section :
                     dS
Y
                                                 IOx   y².dS
                                                        S


O                X             x                   De même :

                                                 IOy   x².dS
                                                         S
                  III. Moments quadratiques


Remarques :
 Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie de
la section.
 Il est toujours positif.
                            III. Moments quadratiques

        III.2 Translation d’axes : Théorème de Huygens
        Soit un élément dS de S dans le repère Oxy, et soit le repère Gxy
        qui passe par le centre de gravité G de S et dont les axes sont
        parallèles à Ox et Oy.
              y                              IOx   y².dS         avec y  YG  y'
y                                                       S


                                      Soit : I Ox       (Y ²  2.Y .y' y'²).dS
                                                            S
                                                                G       G

                  dS   y’
          G                 x         Ce qui donne :
                                 y
                       YG               IOx  YG ². dS  2.YG . y'dS   y'²dS
                                                        S               S         S

O                                x                      =S          = moment
                                                                    statique/Gx
    Finalement, on obtient : I Ox  I Gx  S.YG ²                   =0

    De même :                   I Oy  I Gy  S.X G ²
                      III. Moments quadratiques

Théorème :

Le moment quadratique par rapport à un axe est égal au moment
quadratique par rapport à un axe parallèle passant par le centre de
gravité, augmenté du produit de la surface par le carré de la distance
entre les deux axes.
Calcul pratique :
Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments
quadratiques connus IOxi et IOyi, alors:

                n                                   n
        I Ox   I Oxi                      I Oy   I Oyi
               i 1                                i 1
                        III. Moments quadratiques

   Remarque :

   Généralement, pour le calcul des contraintes et des déformations,
   nous avons besoin de connaître le moment quadratique de la section
   par rapport à son centre de gravité.
   Donc si la section peut être décomposée en n sous-sections Si de
   centre de gravité Gi et de moment quadratique IGix ou IGiy connus:



                                                                                 
        n                                          n
I Gx   I G i x  Si .YGi  YG  ²       I Gy   I G i y  Si .X Gi  X G  ²
       i 1                                       i 1
                  III. Moments quadratiques

III.3 Moment quadratique par rapport à un couple d’axe
Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit.
Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport aux
axes Ox et Oy est par définition la quantité:

                            dIOxy  X.Y.dS

Ce qui donne pour l’ensemble de la section:      I Oxy   x.y.dS
                                                         S


Théorème de Huygens:       I Oxy  I Gxy  S.X G .YG
Remarques:
 Le moment produit est une grandeur algébrique
 Si un des deux axes est un axe de symétrie pour la section
alors IOxy=0
                   III. Moments quadratiques

Calculs pratiques :
 Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de
moments produits connus IOxyi, alors:
                                       n
                              I Oxy   I Oxyi
                                      i 1


 Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à
son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n
sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par
rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors:


                                                          
                    n
           I Gxy   I G i xy  Si .X Gi  X G YGi  YG 
                                                 .
                   i 1
                          III. Moments quadratiques

    III.3 Moment quadratique par rapport à un point
    Ce moment quadratique est aussi appelé moment quadratique (ou
    d’inertie) polaire.
    Pour un élément dS, à une distance r de O,le moment quadratique
    polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la
    quantité:                                                dIo  ρ ².dS
y
                                 Ce qui donne pour l’ensemble de la section:
          ( S)
                     dS
Y
                                                            I o   r ².dS
      r                                                               S

O                X         x
Remarque: on peut écrire        r² x²y²          soit: I o     x².dS   y².dS
                                                                  S           S

Finalement, on obtient:        I o  I Ox  I Oy
                     III. Moments quadratiques

    III.3 Moment quadratique par rapport à un point
    Changement d’origine (Théorème de Huygens)

y     XG       y                                      I o  I Ox  I Oy

                                  Soit:

                                          I o  I Gx  S.YG ²   I Gy  S.X G ² 
           G              x
                     YG
                                  ou:
O                             x
                                            I o  I Gx  I Gy  S.X G ²  YG ² 

                                  Finalement, on obtient:
                                                     IoIG S.OG ²
                      III. Moments quadratiques

III.3 Remarques pratiques concernant le calcul des moments quadratiques
Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété
permet une détermination aisée dans le cas de surfaces composées
d’éléments simples.




                        1                1                 1

                              2               2             2


                            [1]+[2]      [1]+[2]          [1]-[2]
                             III. Moments quadratiques

III.4 Moments quadratiques d’axes concourants
III.4.1 Rotations d’axes
Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu par
une rotation d’angle q.
                                          Les relations liant les coordonnées dans les
          y
  q                  ( S)                 deux repères sont:

                    dS                              X  x.cosθ  y.sinθ
      y
                                                    Y  x.sinθ  y.cos θ
 Y                  X             q       Calculons le moment quadratique / OX :
                                      x
   O            x
                 IOX   Y².dS   - x.sinθ  y.cosθ  ².dS
                              S              S

              IOX   x².sin²θ  2.xy.sinθ.cosθ  y².cos²  .dS
                                                          θ
                         S
                      III. Moments quadratiques

III.4.1 Rotations d’axes

       IOX  sin²θ  x².dS  cos²θ  y².dS 2sinθcosθ  xy.dS
                      S                     S                   S

    Ce qui nous donne :

              IOX =sin²θ.IOy +cos²θ.IOx -2.sinθ.cosθ.IOxy

    En passant à l’angle double :
          1  cos 2q            1  cos 2q                 sin 2q
 cos ²q             ; sin ²q             ; sin q .cosq 
               2                     2                        2
    On obtient :
                      IOx +IOy       IOx -IOy
              IOX =              +              .cos2θ-IOxy .sin2θ
                           2            2
                       III. Moments quadratiques

III.4.1 Rotations d’axes
De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient :

                      IOx +IOy IOx -IOy
                IOY =         -         .cos2θ+IOxy .sin2θ
                          2       2
 Calcul du moment produit :

 IOXY =  XY.dS    x.cosq +y.sinq  .  -x.sinq +y.cosq .dS
          S                 S



IOXY =sinq .cosq .     y².dS- x².dS  (cos ²q  sin ²q ) x.y.dS
                        S           S                         S

 Soit :
                            IOx -IOy
                  IOXY =               .sin2θ+IOxy .cos2θ
                                2
                      III. Moments quadratiques

III.4.2 Recherche des directions principales
Il s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes
(maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY / q et
annulons ces dérivées:

              dIOX      IOx -IOy
                   =-2.          .sin2θ-2.IOxy .cos2θ=0
               dθ          2
              dIOY     IOx -IOy
                   =2.          .sin2θ+2.IOxy .cos2θ=0
               dθ         2
Ces deux expressions s’annulent pour :
                                      -2IOxy
                           tan(2θ)=
                                      IOx -IOy
                      III. Moments quadratiques

III.4.2 Recherche des directions principales
Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies par les
angles:                   
          q1 et q 2 =q1 +
                           2                      y
 Les directions ainsi déterminées                             (A)
 s’appellent les directions principales
 (ou axes principaux), elles sont
                                                   q2
 orthogonales et définies par la
                                                                     q1
 relation:            -2IOxy
           tan(2θ)=                                                    x
                                                O
                     IOx -IOy
Remarques:
 Pour les directions principales, IOXY est nul.
 Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie.
Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axe
principal d’inertie.
                       III. Moments quadratiques

III.4.3 Expression des moments quadratiques principaux
Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux
(Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY
et IOXY, la valeur de q par les solutions de l’équation:
                                            -2IOxy
                               tan(2θ)=
                                           IOx -IOy
On obtient ainsi:

                                                          2
                            IOx +IOy      IOx -IOy  2
                 I maxi =              +            +I Oxy
                               2          2 
                                                      2
                            IOx +IOy      IOx -IOy  2
                 I mini =              -            +I Oxy
                               2          2 
                        III. Moments quadratiques

III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr
Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY
                       IOx +IOy       IOx -IOy
               IOX -              =              .cos2θ-IOxy .sin2θ
                          2               2
                              IOx -IOy
                  IOXY =                 .sin2θ+IOxy .cos2θ
                                 2
Effectuons la somme des carrés, on obtient:
                                     2                       2
                     IOx +IOy       2  Ox Oy 
                                           I -I
                                                 +IOxy 2
                          2 
                                 +IOXY = 
                                             2 
                IOX -
                                             
Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R
                                                             2
                     IOx +IOy                IOx -IOy 
                                      et R=             +IOxy 2
                                                 2 
              xc =
                         2                            
                          III. Moments quadratiques

   III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr
        Icouples d’axes                                           2
                                    IOx +IOy          IOx -IOy 
                             xc =              et R=            +IOxy 2
                                       2              2 

IOxy


        Imini       IOy                IOx Imaxi
O                           C -2q1                     Iaxes

-IOxy

				
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posted:8/26/2012
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