Documents
Resources
Learning Center
Upload
Plans & pricing Sign in
Sign Out

polinomska_interpolacija

VIEWS: 18 PAGES: 14

									 POLINOMSKA
INTERPOLACIJA
                    f : [a, b]  R
           x        x0     x1   ...   xn
           y        y0     y1   ...   yn
  y




               x0     x1                      xn         x



Interpolacioni polinom: Pn ( x)  a0  a1 x    an x n
Interpolacioni zahtevi: Pn ( xk )  y k ; (k  0,1,..., n)

                a0  a1 x0    an x0  y0
                                     n


                
                a0  a1 xn    an xn  yn
                                     n
                                              n
                                      1 x0  x0
                                      1 x1  x1n
                                                         ( xi  x j )  0
                                                           i j
                                               n
                                      1 xn  xn

Greška interpolacije: Rn ( x)  f ( x)  Pn ( x), x  [a, b]
Interpolacioni polinomi:
                                  - za neekvidistantne čvorove
                                  - za ekvidistantne čvorove

                     1. LAGRANŽOV INTERPOLACIONI POLINOM

                             Pn ( x)  y0 L0 ( x)  y1 L1 ( x)    yn Ln ( x)
                                                                                   1, k  j
Lk (x ) - polinom stepena ne većeg od n sa osobinom Lk ( x j )   kj  
                                                                        
                                                                                  0, k  j
                                                        n
                                        Lk ( x)  Ak  ( x  xi )
                                                       i 0
                                                       ik
                                 L0 ( x)  A0 ( x  x1 )(x  x2 ) ... ( x  xn )
                                 L1 ( x)  A1 ( x  x0 )( x  x2 ) ... ( x  xn )
                                 
                                 Ln ( x)  An ( x  x0 )( x  x1 ) ... ( x  xn 1 )

                                                     1
Lk (x k ) = 1 Þ Ak =                                                                  , (k = 0,1,..., n ),
                       (x k - x 0 ) K (x k - x k - 1 )(x k - x k + 1 ) K (x k - x n )


                                 n       x - xi                 wn + 1 (x )
                   L k (x ) =   Õx           - xi
                                                    =               n
                                i= 0
                                i¹ k
                                         k              (x -   x k )Õ (x k - x i )
                                                                   i= 0
                                                                   i¹ k



               wn + 1 (x ) = (x - x 0 )(x - x 1 )... (x - x n )

                                    æ          ö
               n                    ç x - xi ÷
                                    çn
                                    ç
                                     n         ÷
                                               ÷           n             yk
    Pn (x ) = å y k Lk (x ) = å y k çÕ         ÷ = w (x ) å
                                               ÷
                                    ç x - x ÷
                                    çi = 0 k   ÷
                                                    nm                   n

                                                                     k )Õ ( k
              k= 0            k= 0  çi ¹ k   i ÷              (
                                                          k= 0 x - x         x - xi )
                                    ç
                                    è          ÷
                                               ø
                                               ÷                        i= 0
                                                                                        i¹ k
2. NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM ZA NEEKVIDISTANTNE ČVOROVE

Podeljene razlike:
                                    f ( xi 1 )  f ( xi )
               f [ xi , xi 1 ]                                , ( prvog reda u čvoru x i )
                                         xi 1  xi
              
                                                 f [ xi 1 ,...,xi  k ]  f [ xi ,...,xi  k 1 ]
               f [ xi , xi 1 ,...,xi  k ]                                                       , ( k-tog reda u čvoru x i )
                                                                   xi  k  xi
 Lema ( veza podeljenih razlika i vrednosti funkcije ):
                                         k
                                                                       f ( xi )
             f [ x0 , x1 ,..., xk ]  
                                        i 0   ( xi  x0 )  ( xi  xi 1 )( xi  xi 1 )  ( xi  xn )
  Npr.
                                f ( x0 )   f ( x1 )
             f [ x0 , x1 ]              
                               x0  x1 x1  x0
                                           f ( x0 )               f ( x1 )             f ( x2 )
             f [ x0 , x1 , x2 ]                                              
                                    ( x0  x1 )(x0  x2 ) ( x1  x0 )(x1  x2 ) ( x2  x0 )(x2  x1 )


  ( Dokaz leme možete pogledati na strani 121 )
 Osobine podeljenih razlika:
 1. (a 1 f1 + a 2 f2 ) é 0 , x 1, ..., x n ù= a 1 f1 é 0 , x 1, ..., x n ù+ a 2 f2 é 0 , x 1, ..., x n ù
                       x
                       ë                   û         x
                                                     ë                   û         x
                                                                                   ë                   û

 2. Podeljena razlika je simetrična funkcija čvorova, što znači da redosled čvorova nije
 važan

  Oblik Njutnovog polinoma:

 Pn ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 )    an ( x  x0 ) ... ( x  xn 1 )



Teorema 1.: Neka je funkcija f : [a, b]  R definisana na segmentu [a, b]. Dalje
neka su x0 , x1 , ..., xn različite tačke segmenta [a, b] . Polinom Pn stepena n kojim se
funkcija f interpolira u čvorovima xi , i  0,1,..., n je
             Pn ( x)  f ( x0 )  f [ x0 , x1 ]( x  x0 )  ...  f [ x0 , x1 ,..., xn ]( x  x0 ) ... ( x  xn 1 )
Dokaz: Razmotrimo grešku interpolacije Lagranžovim interpolacionim
polinomom stepena k tj. Razmotrimo razliku
                                                                                                                           
                                                                                                                           
                                        k
                                                     f ( xi )                                   k
                                                                                                             f ( xi )       
f ( x)  Pk ( x)  f ( x)  k 1 ( x)                              k 1 ( x) k f ( x)                                
                                                                                                                           
                                                        k                                                       k
                                      i 0
                                           ( x  xi ) ( xi  x j )               ( x  x j ) i0 ( xi  x) ( xi  x j ) 
                                                      j 0                       j 0                        j 0          
                                                      j i                                                   j i          
 k 1 ( x) f [ x, x0 , x1 ,...,xk ]                                                                                          (1)
Razlika Pk 1 ( x)  Pk ( x) je polinom stepena k+1, čije su nule čvorovi x0 , x1 ,..., xk
jer je Pk 1 ( x j )  Pk ( x j )  f ( x j ), j  0,1,..., k.

Zbog toga je
                                          Pk 1 ( x)  Pk ( x)  ak 1k 1 ( x)                                             (2)

Ako poslednju jednakost napišemo za                          x  xk 1 i uzmemo u obzir da je
Pk 1 ( xk 1 )  f ( xk 1 ) dobićemo

                                          f ( xk 1 )  Pk ( xk 1 )  ak 1k 1 ( xk 1 )
Poredeći ovu jednakost sa (1), za x  xk 1 dobijamo
                                                                                                                 (3)


                                      ak 1  f [ x0 , x1 ,..., xk , xk 1 ]


Iz (2) i (3) sledi da je

                            Pk 1 ( x)  Pk ( x)  f [ x0 , x1 ,..., xk , xk 1 ]k 1 ( x)

Iz jednakosti


                Pn ( x)  P0 ( x)  ( P ( x)  P0 ( x))  ( P2 ( x)  P ( x))    ( Pn ( x)  Pn 1 ( x))
                                       1                               1




sledi da je

                Pn ( x)  f ( x0 )  f [ x0 , x1 ]( x  x0 )    f [ x0 ,..., xn ]( x  x0 )  ( x  xn 1 )
                OCENA GREŠKE POLINOMSKE INTERPOLACIJE

                   f ( x)  Pn ( x)  f [ x, x0 , x1 ,..., xn ]n 1 ( x)   (T1)

Teorema 2.: Neka segment [a, b] sadrži svih n+1 čvorova interpolacije x0 ,..., xn.
Neka je, dalje f  C n1[a, b]
                            .
Tada, za proizvoljno x  [a, b], postoji  x  ( a, b) takvo da je




                                                      f ( n 1) ( x )
                        f ( x)  Pn ( x)  n 1 ( x)
                                                       (n  1)!
Dokaz: Neka je         ˆ
                       x   proizvoljan ali fiksiran element [a, b] i
                                   g ( x)  f ( x)  Pn ( x)  K ( x  x0 )  ( x  xn )
gde je K konstanta određena tako da je g ( x)  0 . Za tako izabranu konstantu K
                                                ˆ
                                         ˆ
funkcija g ima n+2 nule x0 , x1 ,, xn , x na segmentu [a, b].
Rolova teorema nam daje:
- g (x) ima bar n+1 nulu na segmentu [a, b]
- g (x) ima bar n+2 nule na segmentu [a, b]
...




- g ( n1) ( x ) ima bar jednu nulu na segmentu [a, b]

- postoji   (a, b) takvo da je g ( n 1) ( )  0 tj. g ( n 1) ( )  f ( n 1) ( )  K (n  1)!  0
odakle je
                                              f ( n 1) ( )
                                      K 
                                               ( n  1)!
za neko   (a, b) . Iz prethodnog sledi da je

                                                          f ( n 1) ( )
                                       f ( x)  Pn ( x) 
                                           ˆ         ˆ                   n 1 ( x).
                                                                                 ˆ
                                                           (n  1)!
                                     KONAČNE RAZLIKE

Definicija: Ako f : R  R i h  R , onda je
                                f ( x)  f ( x  h)  f ( x)
konačna razlika prvog reda u tački x.

Konačne razlike višeg reda:
                        k 1 f ( x)  (k f ( x)),          (k  1,2,3,...)
Ako je xi  x0  ih, (i  0,1,...) onda je

                            f ( xi )  f ( xi 1 )  f ( xi )
                            2 f ( xi )  f ( xi 1 )  f ( xi )
                            
                   Veza između podeljenih i konačnih razlika
Lema: Neka je xi  k  xi  kh  [a, b], (k  0,1,..., n), f :[a, b]  R. Tada je za
k {0,...,n}                                                    k f ( xi )
                                f [ xi , xi 1 ,..., xi  k ] 
                                                                 k! h k
Dokaz:
                                     f ( xi 1 )  f ( xi ) f ( xi )
k  1:          f [ xi , xi 1 ]                          
                                          xi 1  xi           h
                                                    m f ( xi )
Pretpostavimo da je f [ xi , xi 1 ,..., xi  m ]              za neko m<n.
                                                     m!h m
Tada je
                                                                                          m f ( xi 1 ) m f ( xi )
                                                                                                                      m 1
                                    f [ xi 1 ,..., xi  m 1 ]  f [ xi ,..., xi  m ]     m!h m         m!h m   f ( xi )
f [ xi ,..., xi  m , xi  m 1 ]                                                      
                                                     xi  m 1  xi                               (m  1)h           (m  1)! h m 1

                Njutnov interpolacioni polinom za ekvidistantne čvorove
                   Pn ( x)  f ( x0 )  f [ x0 , x1 ]( x  x0 )  f [ x0 , x1 , x2 ]( x  x0 )( x  x1 )  ....
                             .... f [ x0 , x1 ,...,xn ]( x  x0 )( x  x1 )...(x  xn 1 )


                   xi  x0  ih, (i  0,...,n)
              x  x0
smena:                s  x  x0  sh
                h
                                                         k f ( x0 )
f [ x0 , x1 ,...,xk ](x  x0 )(x  x1 )...(x  xk 1 )               s  ( x0  sh  x0  h)(x0  sh  x0  2h) ... ( x0  sh  x0  (k  1)h) 
                                                            k! h k
   k f ( x0 )                             s  k f ( x0 )
               s( s  1)...(s  k  1)   
                                           k  k!
        k!                                 

Prema tome je:
                                     s            s  2              s  n            n
                                                                                             s 
Pn ( x)  Pn ( x0  sh)  f ( x0 )   f ( x0 )    f ( x0 )      f ( x0 )    k f ( x0 )
                                     1             2                 n                  
                                                                                  k 0  k 



                                                Inverzna interpolacija

 Zadatak: rešavanje po x jednačine f(x)=y ako je f : [a, b]  R data tabelarno
                                                      x            x0          x1   ...   xn
                                                   f ( x)          y0          y1   ...   yn


  1. f je monotona: postoji f 1 ( y )                        i može se aproksimirati npr. Lagranžovim
  interpolacionim polinomom:
                                                             n           n
                                                                               y  yi
                                                     x   xk 
                                                            k 0        i 0   yk  yi
                                                                        i 0
Takođe,
       x  x0  f 1[ y0 , y1 ]( y  y0 )    f 1[ y0 ,..., yn ]( y  y0 )...( y  yn 1 )

2. f nije monotona:
                                    Pn ( x)  y         (alg. jedn. n - tog stepena)

Čvorovi ekvidistantni
                                         s                s 
                              f ( x0 )   f ( x0 )     n f ( x0 )  y
                                         1                 n
                                                           
f ( x0 )  0,   y0  y  y1  x  ( x0 , x1 ) :
                   1                      s                  s            
             s            y  f ( x0 )   2 f ( x0 )     n f ( x0 ) ,
                                            2                 n
                f ( x0 ) 
                                                              
                                                                               
                                                                               
             s  g ( s)
             sk  g ( sk 1 ), (k  1,2,...)



s  lim sk  x  x0  sh
    k 

								
To top