12الدرس رقم

Document Sample
12الدرس رقم Powered By Docstoc
					                                            ‫اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬
                                                                                  ‫اﻟﻘﺪرات اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة‬
                                                        ‫*- ﺗﻌﺮف وﺗﻤﺜﻴﻞ أﺟﺰاء ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى.‬
          ‫*- إدراك ﺣﺎﻻت اﻟﻤﻤﺎﺛﻠﺔ وﺣﺎﻻت اﻟﻼﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﻔﺎهﻴﻢ وﺧﺎﺻﻴﺎت ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى وﻧﻈﻴﺮاﺗﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء.‬
                                   ‫*- ﺗﻮﻇﻴﻒ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺴﺘﻘﺎة ﻣﻦ اﻟﻮاﻗﻊ.‬


                                            ‫اﻟﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                               ‫‪ -I‬ﺗﺬآﻴﺮ‬
                                                                 ‫1- اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮي ﻟﻸﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                           ‫* اﻟﺮﺳﻮﻣﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻻ ﺗﺤﺘﺮم ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻷﺷﻜﺎل‬




                                                       ‫* ﻟﺮﺳﻢ أﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﻘﻨﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
                                                 ‫- اﻟﺨﻄﻮط اﻟﻤﺮﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﺮﺳﻤﻬﺎ ﺑﺨﻄﻮط ﻣﺘﺼﻠﺔ‬
                                             ‫- اﻟﺨﻄﻮط اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﺮﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﻤﺜﻠﻬﺎ ﺑﺨﻄﻮط ﻣﺘﻘﻄﻌﺔ‬
                              ‫- اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﻤﺜﻠﻬﺎ ﺑﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ﻣﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ‬
                                             ‫- اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﺑﻨﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ.‬
                ‫- ﻗﻄﻌﺘﺎن ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎن ﺣﺎﻣﻼهﻤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻧﻤﺜﻠﻬﻤﺎ ﺑﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ ﺣﺎﻣﻠﻴﻬﻤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‬




                                                                                        ‫2- ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت و ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬
                                                      ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ ﺗﺴﻤﻰ ﻧﻘﻂ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ) ‪(E‬‬
                                                             ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت أﺟﺰاء ﻓﻌﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                                 ‫أ- ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ1‬
                        ‫) ‪( AB‬‬     ‫آﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻘﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﺤﺪد ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ وﺣﻴﺪ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ‬
                                                                                      ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                 ‫ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻋﺪة ﻧﻘﻂ أﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻘﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                                                                                ‫ب- ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ2‬
‫) ‪(P‬‬   ‫آﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﺤﺪد ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ‪ ( ABC‬أو‬




                                                                                         ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
              ‫* ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻋﺪة ﻧﻘﻂ أﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻘﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى.‬
 ‫* ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) أو ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ( أﻧﻬﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﻴﻦ) أو ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ( إذا آﺎﻧﺎ ) أو آﺎﻧﻮا ( ﺿﻤﻦ‬
                                                                            ‫ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى.‬

         ‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                                          ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                  ‫ج- ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ3‬
                         ‫إذا اﻧﺘﻤﺖ ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎن ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬إﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن )‪ (D‬ﺿﻤﻦ )‪.(P‬‬




                                                                              ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ هﺎﻣﺔ‬
‫ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﻔﻀﺎء و آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻦ‬
                                                                                ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺗﻪ.‬
                                                                              ‫د- ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ4‬
       ‫إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺎﻧﻬﻤﺎ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ.‬




                                                                                            ‫ذ- ﻧﺘﺎﺋﺞ‬
                                                                                          ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ1‬
                                           ‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرﺟﻪ ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪا ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                          ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ2‬
                                   ‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                  ‫3- اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ وﻣﺴﺘﻮى‬
                                                           ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                           ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼث وﺿﻌﻴﺎت ﻣﻤﻜﻨﺔ‬
                                                                           ‫اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ1: )‪ (D‬ﻳﺨﺘﺮق )‪(P‬‬




                                                                             ‫) ‪(D ) ⊂ (P‬‬   ‫اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ2:‬




                                      ‫اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ3: )‪ (D‬و)‪ (P‬ﻣﻨﻔﺼﻼن ) أي ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﻤﺎ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮآﺔ(‬




         ‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                                     ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                ‫4- اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                   ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء. ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼث ﺣﺎﻻت‬
                                                                                            ‫* ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬

                                                                                                                ‫* ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﻨﻔﺼﻼن‬
                                                                                            ‫) أي ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﻤﺎ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮآﺔ(‬


                                                                                                                 ‫* ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن‬
                                                                              ‫5- اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ‬
                                                                 ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ. هﻨﺎك ﺛﻼث ﺣﺎﻻت‬
                                                                                                ‫* ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﺎن وﻣﻨﻔﺼﻼن‬

                                                                                               ‫* ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﺎن وﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬



                                                                                                        ‫* ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﻴﻦ‬

                                                                                                          ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                             ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ EFGH‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ﻣﻦ ] ‪ [ FG‬ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ‬
           ‫‪ F‬و ‪ G‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ J‬ﻣﻦ ] ‪ [ EG‬ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ ‪ E‬و ‪ G‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ K‬ﻣﻦ ] ‪ [ EH‬ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ ‪ E‬و ‪H‬‬
                                                                                                        ‫هﻞ ) ‪ ( EI‬و ) ‪ ( JK‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬
                                                                                                                                ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                                                                 ‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬
                                                                                                   ‫) ‪( BDG‬‬     ‫ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ ( ACG‬و‬
                                  ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻟﻠﺒﺮهﻨﺔ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻧﻘﻂ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ، ﻧﺒﺤﺚ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ و ﻧﺒﻴﻦ أن هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻂ ﻣﺸﺘﺮآﺔ‬
                                                 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ ABCD‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ و ‪ P‬و ‪ Q‬و ‪ R‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ ] ‪[ AB‬‬
    ‫و ] ‪ [ AC‬و ] ‪ [ AD‬ﺣﻴﺚ ) ‪ ( PR‬ﻳﻘﻄﻊ ) ‪ ( BD‬ﻓﻲ ‪ J‬و ) ‪ ( PQ‬ﻳﻘﻄﻊ ) ‪ ( BC‬ﻓﻲ ‪ K‬و ) ‪ (QR‬ﻳﻘﻄﻊ ) ‪ (CD‬ﻓﻲ ‪I‬‬
                                                                                   ‫أﺗﺒﺚ أن ‪ J‬و ‪ K‬و ‪ I‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬
                                                                                                  ‫اﻟﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                          ‫1- اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ‬
                                                                                                         ‫أ- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                               ‫ﻧﻘﻮل إن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎن‬
                                                                                          ‫أن ﻳﻜﻮن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ‬               ‫-‬
                                                                             ‫أن ﻳﻜﻮن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﻨﻔﺼﻼن أو ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن‬                    ‫-‬
                                                                                                           ‫) ‪( ∆ ) // ( D‬‬   ‫ﻧﻜﺘﺐ‬
                                                                                                                ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                                                                ‫ﻻ ﻳﻜﻔﻲ أن ﻳﻜﻮن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﻨﻔﺼﻠﻴﻦ ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‬
                                                                                                                                        ‫ﻣﺜﺎل‬
                                                                                   ‫) ‪ ( BC‬ﻣﻨﻔﺼﻼن و ﻟﻜﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ.‬                 ‫) ‪ ( AE‬و‬
                                                                                                                            ‫) ‪( BC ) // ( AD‬‬
                                                                                                                            ‫) ‪( EF ) // ( DC‬‬

                  ‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                                                         ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                        ‫ب- ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                    ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﺧﺎرج ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ ﻳﻮازﻳﻪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                             ‫اﻟﺒﺮهﺎن‬
                                                               ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ A ∉ ( D‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻮى‬
                                                                       ‫) ‪(D‬‬   ‫وﺣﻴﺪ ) ‪ ( P‬ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ‪ A‬و‬
                                         ‫وﺣﺴﺐ ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ اﻗﻠﻴﺪس ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ، ( P‬ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ‬
                                                                                               ‫) ∆ ( ﻳﻮازي ) ‪( D‬‬
                                                                     ‫ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬      ‫إذن ) ‪ ( D‬و ) ∆ (‬
                                                                                   ‫ج- ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                               ‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪا‬
                                                                          ‫د- ﻣﺒﺮهﻨﺔ )ﻧﻘﺒﻠﻬﺎ(‬
‫إذا اﺣﺘﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﺎن ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻬﺬﻳﻦ‬
                                                                             ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ.‬




                                                                                   ‫ذ- ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
             ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﻦ آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازي أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻵﺧﺮ‬
                                                                                      ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                                   ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﻄﻊ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻘﻄﻊ اﻵﺧﺮ‬
                                                                                       ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
    ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCDE‬هﺮﻣﺎ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻟﺘﻜﻦ ' ‪ B‬و ' ‪ C‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ] ‪ [ AB‬و ] ‪ [ AC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ.‬
                                                                                               ‫أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‬
                                                                                ‫1- أﺗﺒﺚ أن )' ‪( DE ) // ( B 'C‬‬
                                                      ‫) ‪( ADE‬‬   ‫2- ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ) ‪ ( ABC‬و‬
                                                                                    ‫)' ‪( ∆ ) // ( B 'C‬‬   ‫ﺑﻴﻦ أن‬
                                                                              ‫2- ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى‬
                                                                                                  ‫أ-ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
 ‫) ‪(P‬‬   ‫) ‪ ( P‬ﻣﻨﻔﺼﻼن أو ) ‪ ( D‬ﺿﻤﻦ‬       ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﻮازﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ) ‪ ( D‬و‬
                                                                                           ‫ﻧﻜﺘﺐ ) ‪( D ) // ( P‬‬
                                                                                            ‫ب- ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
        ‫) ‪(D‬‬   ‫) ‪ ( P‬ﻳﻮازي‬   ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﻮازﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ‬
                                                                                         ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                               ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺒﺎ . ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪[ AB‬‬
                                                                              ‫و ] ‪ [ EF‬و ] ‪ [ HG‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
                                                                   ‫) ‪( JKC‬‬   ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪ ( HI‬ﻳﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                                                          ‫3- ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬
                                                                                                   ‫أ- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
                 ‫) ‪ (Q‬ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺎ ﻣﻨﻄﺒﻘﻴﻦ أو ﻣﻨﻔﺼﻠﻴﻦ.‬    ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ) ‪ ( P‬و‬
                                                                                           ‫) ‪( P ) // (Q‬‬   ‫ﻧﻜﺘﺐ‬


          ‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                                       ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                               ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                                    ‫إذا آﺎن ) ‪ ( P ) // (Q‬ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ.‬
                                                                                    ‫ب- ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
 ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا اﺷﺘﻤﻞ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻳﻮازﻳﻴﻦ‬
                                                                              ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ‬




                                                                                             ‫ج- ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                                  ‫إذا وازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺴﺘﻮى ﺛﺎﻟﺜﺎ ﻓﺎﻧﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮﻧﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‬
                                                                                              ‫د- ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
                                            ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻮى و ﺣﻴﺪ ﻣﻮاز ﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻌﻠﻮم‬
                                                                                                ‫اﻟﺒﺮهﺎن‬
                                                              ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                          ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪( P‬‬
                                                         ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ )' ‪ ( D‬ﻣﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻳﻮازي ) ‪( D‬‬
                                                           ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ )' ∆ ( ﻣﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻳﻮازي ) ∆ (‬
                                                                     ‫)' ‪ ( D‬و )' ∆ ( ﻳﺤﺪان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ) ‪(Q‬‬
                                                                                            ‫) ‪ (Q‬ﻳﻮازي ) ‪( P‬‬
                                                                                                   ‫ذ- ﻧﺘﺎﺋﺞ‬
                                        ‫- إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﺨﺘﺮق أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﺨﺘﺮق اﻵﺧﺮ‬
                                           ‫- إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﻄﻊ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻘﻄﻊ اﻵﺧﺮ‬
                                          ‫- إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازي أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻵﺧﺮ‬
                                                                                                     ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                 ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ . ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪A ∈ ( P‬‬
‫و ‪ BCD‬ﻣﺜﻠﺚ ﺿﻤﻦ ) ‪ . (Q‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪ [ AB‬و ] ‪ [ AC‬و ] ‪ [ AD‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ. اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                                                                          ‫) ‪ (CK‬ﻳﺨﺘﺮق اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪. R‬‬
                                                                                            ‫1- أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‬
                                                                   ‫) ‪(P‬‬   ‫) ‪ ( IJK‬ﻳﻮازي‬   ‫2- أﺗﺒﺚ أن اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                                                   ‫) ‪(CD ) // ( AR‬‬   ‫3- أﺗﺒﺚ أن‬
                                                                                          ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCDEFGH‬ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪[GH‬‬
                                                                            ‫1- ﻟﺘﻜﻦ } ‪( EI ) ∩ ( FH ) = {M‬‬
                                             ‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ) ‪( AM‬‬   ‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ) ‪ ( AEI‬و ) ‪( AFH‬‬
                                                            ‫2- أ- ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ ‪ E‬و ‪ F‬و ‪ D‬و ‪ C‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
                                                                           ‫ب- ﺑﻴﻦ أن ) ‪(CF ) // ( DE‬‬
                                                                             ‫) ‪(CFH ) // ( BDE‬‬        ‫3- ﺑﻴﻦ أن‬
                                                                 ‫) ‪ (CI‬ﻳﺨﺘﺮق اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪( ADH‬‬          ‫4- ﺑﻴﻦ أن‬



          ‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                                            ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                          ‫اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                     ‫‪ -I‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                          ‫1- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻧﻘﻮل إن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن اﻟﻤﻮازﻳﺎن ﻟﻬﻤﺎ و اﻟﻤﺎران‬
                                                  ‫)∆( ⊥ ) ‪(D‬‬   ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ. ﻧﻜﺘﺐ‬




                                                                             ‫ﻣﺜﺎل ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬
                                                                                    ‫) ‪( AD ) ⊥ ( AE‬‬
                                                                                      ‫) ‪( AD ) ⊥ (CG‬‬
                                                                                      ‫) ‪( EF ) ⊥ ( DH‬‬
                                                                                         ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                                                  ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ‬
                                                                                           ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
 ‫] ‪ [CB‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬    ‫‪ ABCD‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﺣﻴﺚ ‪ BD = DC‬و ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪ [ AB‬و ] ‪ [ AC‬و‬
                                                                                   ‫) ‪( IJ ) ⊥ ( DK‬‬   ‫ﺑﻴﻦ أن‬
                                                                                ‫2- ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
                                                                                  ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ1‬
          ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ‬
                                                                                   ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ2‬
                 ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻷﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ‬
                                                                                   ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                  ‫ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ أن ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺛﺎﻟﺚ دون أن ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ.‬
                                                      ‫‪ -II‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
                                                                                ‫1- ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻓﺎن ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي‬
                                                                ‫) ‪(P‬‬   ‫ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                                                        ‫2- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
     ‫) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ‬         ‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا‬
                                                                            ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪. ( P‬‬
                                                                                      ‫3- ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ‬        ‫) ‪(P‬‬   ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى‬
                                                            ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪( P‬‬   ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ‬
                                                                             ‫ﻣﺜﺎل ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬
                                                                                    ‫) ‪( AD ) ⊥ ( ABE‬‬
                                                                                       ‫) ‪( AD ) ⊥ (CHG‬‬

                                                                            ‫4- ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
                                                                               ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ1‬
        ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ‬

         ‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                                        ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                    ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ2‬
       ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ‬
                                                                                    ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ4‬
          ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻤﻮدﺑﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﺘﻀﻤﻦ اﻵﺧﺮ‬
                                                                                    ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ5‬
                   ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺎ ﻋﻤﻮدﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                                                                                      ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                        ‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬
                                          ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪ ( EB ) ⊥ ( DF‬ﺛﻢ أﺗﺒﺚ أن ) ‪( EBG ) ⊥ ( DF‬‬
                                                                                                  ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
       ‫) ‪ . ( P‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ] ‪ [ AB‬ﻗﻄﺮا ﻟـ ) ‪ (C‬و ) ∆ ( اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪. A‬‬   ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                     ‫‪M ≠B‬‬    ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ∈ ‪ S‬ﺣﻴﺚ ‪ S ≠ A‬و ) ‪; M ∈ (C‬‬
                                                                                 ‫‪. ( MB ) ⊥ ( SM‬‬   ‫)‬   ‫أﺗﺒﺚ أن‬
                                                                               ‫5- ﻣﺒﺮهﻨﺎت‬
                                                                                 ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ1‬
                           ‫ﻣﻦ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﻠﻮم.‬




                                              ‫) ‪(D‬‬   ‫‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
                                                                                   ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ2‬
                            ‫ﻣﻦ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﻠﻮم.‬




                                                  ‫) ‪(P‬‬   ‫‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                                                    ‫‪ -III‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬
                                                                                               ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
  ‫) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﺘﻀﻤﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ‬           ‫ﻧﻘﻮل ان اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬
                                                                            ‫) ‪( P ) ⊥ (Q‬‬   ‫ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﻧﻜﺘﺐ‬
                                                                             ‫ﻣﺜﺎل ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬
                                                                                    ‫) ‪( ADC ) ⊥ ( ABE‬‬
                                                                                           ‫) ‪( ADF ) ⊥ (CHG‬‬



                                                                                    ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
                                  ‫إذا ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﻼ ﻳﻌﻨﻲ أن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ أﺣﺪهﻤﺎ‬
                                                                   ‫ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ.‬
                                                                                     ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫] ‪ . [ BC‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ‬       ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪ A‬ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ‬
                                                      ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﻴﺚ ‪S ≠ A‬‬

         ‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                                       ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                      ‫) ‪(SAI ) ⊥ (SCI‬‬      ‫1- أﺗﺒﺚ أن‬
                                                 ‫) ‪(SI‬‬    ‫2- ﻟﻴﻜﻦ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ‬
                                                                      ‫) ‪( AH ) ⊥ (SC‬‬       ‫أﺗﺒﺚ أن‬
                                                                                         ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                                                          ‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬
                                                                      ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪( HEB ) ⊥ ( AGF‬‬
                                                                                ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
                                ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ ‪ A‬ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى‬
‫) ‪ . ( P‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ D‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ ، A‬و ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ) ‪ ( P‬ﺣﻴﺚ ‪ . SB = SD‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ‬
                                                                        ‫] ‪ [SD‬و ] ‪ [ DC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
                                         ‫) ‪( P ) ⊥ (SAC‬‬   ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬   ‫) ‪( AB ) ⊥ (SAC‬‬      ‫1- ﺑﻴﻦ أن‬
                                                                         ‫) ‪( AB ) ⊥ ( IJ‬‬   ‫2- ﺑﻴﻦ أن‬




         ‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                                 ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                          ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت و اﻟﺤﺠﻮم‬
                                                           ‫1- ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت‬
                            ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﻃﻮل و ﻋﺮض و ارﺗﻔﺎع ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت‬
                                                          ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ : ) ‪S = 2 ( ab + bc + ca‬‬

                                                                    ‫‪V = a.b .c‬‬     ‫اﻟﺤﺠﻢ:‬
                                                                             ‫2- اﻟﻤﻜﻌﺐ‬
                                                          ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ‬
                                               ‫2 ‪S = 6a‬‬            ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ‬
                                               ‫3‪V = a‬‬                        ‫اﻟﺤﺠﻢ‬
                                                                     ‫3 - اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ‬
                           ‫أ- ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ارﺗﻔﺎع ﻣﻮﺷﻮر ﻗﺎﺋﻢ و ‪ l‬و ‪ B‬ﻣﺤﻴﻂ و ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ‬
                                                                          ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ.‬
                                                          ‫* اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ‪S = l × h‬‬
                                                                    ‫* اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ‬
                                                                   ‫‪S T = l × h + 2B‬‬

                                                               ‫‪V = B ×h‬‬          ‫* اﻟﺤﺠﻢ‬
                                                                                 ‫4- اﻟﻬﺮم‬
                                                     ‫أ- ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ارﺗﻔﺎع هﺮﻣﺎ رأﺳﻪ ‪S‬‬
                                ‫‪ h = SH‬ﺣﻴﺚ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ S‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
                                                              ‫اﻟﻤﺘﻀﻤﻦ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪة. ﻟﻴﻜﻦ ‪B‬‬
                                                                     ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻬﺮم.‬
                                                                    ‫1‬
                                                                 ‫ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮم: ‪V = B .h‬‬
                                                                    ‫3‬
                                                             ‫5 - رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ‬
                                               ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬ﻃﻮل ﺣﺮف رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﻣﻨﺘﻈﻢ‬

                                                           ‫3 3 3‬
                                                    ‫= ‪S‬‬       ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ‪a‬‬
                                                            ‫4‬

                                                                    ‫3 2‬
                                                             ‫= ‪V‬‬      ‫‪a‬‬          ‫اﻟﺤﺠﻢ‬
                                                                   ‫21‬
                                                                 ‫6 - اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‬
                                                  ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ارﺗﻔﺎع اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ و ‪ R‬ﺷﻌﺎع‬
                                                                                   ‫ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ‬
                                                 ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ هﻲ ‪S L = 2π Rh‬‬

                                                                   ‫اﻟﺤﺠﻢ هﻮ ‪V = π R 2 h‬‬




‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                               ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬
                                                                                                              ‫6- اﻟﻔﻠﻜﺔ‬
                                                                                            ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ R‬ﺷﻌﺎع اﻟﻔﻠﻚ‬
                                                                                      ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ هﻲ:ا 2 ‪S = 4π R‬‬
                                                                                         ‫4‬
                                                                                      ‫اﻟﺤﺠﻢ هﻮ: هﻲ 3 ‪V = π R‬‬
                                                                                         ‫3‬
                                                                                      ‫7 - اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ اﻟﺪوراﻧﻲ‬
                                                                       ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ R‬ﺷﻌﺎع اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ‬
                                                                     ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ هﻲ ‪S L = π R ⋅ SH‬‬

                                                                                                ‫1‬
                                                                                             ‫اﻟﺤﺠﻢ: ‪V = π R 2 h‬‬
                                                                                                ‫3‬
                                                                                                             ‫‪h = OS‬‬
                                                                   ‫------------------------------------------------------‬
     ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ ABCD‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﺣﻴﺚ ‪ BD = DC‬و ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪ [ AB‬و ] ‪ [ AC‬و ] ‪ [CB‬ﻋﻠﻰ‬
                                                                                                             ‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
                                                                                              ‫ﺑﻴﻦ أن ) ‪( IJ ) ⊥ ( DK‬‬
                                                                                  ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬
                                                        ‫) ‪( EBG ) ⊥ ( DF‬‬     ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪ ( EB ) ⊥ ( DF‬ﺛﻢ أﺗﺒﺚ أن‬
     ‫ﻗﻄﺮا ﻟـ ) ‪ (C‬و ) ∆ ( اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪. A‬‬   ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ . ( P‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ] ‪[ AB‬‬
                                                        ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ∈ ‪ S‬ﺣﻴﺚ ‪ S ≠ A‬و ) ‪M ≠ B ; M ∈ (C‬‬
                                                                                  ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪. ( MB ) ⊥ ( SM‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪ A‬ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪ . [ BC‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ‬
                                                     ‫ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﻴﺚ ‪S ≠ A‬‬
                                                                                     ‫) ‪(SAI ) ⊥ (SCI‬‬       ‫3- أﺗﺒﺚ أن‬
                                                           ‫) ‪(SI‬‬    ‫4- ﻟﻴﻜﻦ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ‬
                                                                                      ‫) ‪( AH ) ⊥ (SC‬‬       ‫أﺗﺒﺚ أن‬
                                                                                 ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬
                                                                                   ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪( HEB ) ⊥ ( AGF‬‬
                             ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ ‪ A‬ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى‬
    ‫) ‪ . ( P‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ D‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ ، A‬و ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ) ‪ ( P‬ﺣﻴﺚ ‪ . SB = SD‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ‬
                                                                                        ‫] ‪ [SD‬و ] ‪ [ DC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
                                                     ‫) ‪( P ) ⊥ (SAC‬‬    ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬      ‫) ‪( AB ) ⊥ (SAC‬‬      ‫3- ﺑﻴﻦ أن‬
                                                                                         ‫) ‪( AB ) ⊥ ( IJ‬‬   ‫4- ﺑﻴﻦ أن‬
     ‫و ‪ . AC = 3cm‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ‬       ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCD‬ﻣﻌﻴﻨﺎ ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﺣﻴﺚ ‪BD = 3cm‬‬                            ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

                                                     ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﻴﺚ ‪SA = 8cm‬‬

                                                              ‫أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮم ‪SABCD‬‬
                                                          ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺗﺴﺎوي ‪1m‬‬
                                                             ‫2‬




             ‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬                                           ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Stats:
views:33
posted:8/21/2012
language:Arabic
pages:10