الإشتقاق - الدوال الأصلية by othnando.ads2012

VIEWS: 43 PAGES: 14

More Info
									    ‫ى: ‪2Bac PC+SVT‬‬             ‫ا‬         ‫ا وال‬          ‫-درا‬               ‫قو‬       ‫ا‬    ‫س‬      ‫-أ‬     ‫ير‬                  ‫ا ه‬        ‫ا‬
              ‫ت:‬         ‫دا‬          ‫‪Dérivation – étude de fonctions‬‬                                              ‫إ‬          ‫ذ:‬       ‫ا‬


                                                                    ‫قو‬    ‫ا‬
                                                                ‫درا ا وال‬


                                                                ‫أه اف ا رس‬

                      ‫)) ‪x ֏ ( u ( x‬‬                                                                  ‫وا ا ا‬    ‫فا دا‬
                                          ‫‪r‬‬
                                               ‫ا ا‬
                                                                                                              ‫ا‬    ‫فا‬
                                     ‫ا‬             ‫ف ا وال ا‬                                            ‫آ دا‬        ‫ف‬
                               ‫ود‬      ‫دوال‬        ‫درا‬       ‫ا‬                                    ‫ا‬       ‫ا ا ا‬     ‫ف‬
              ‫ر‬        ‫ر و‬          ‫ا وال ا‬        ‫درا‬       ‫ا‬
                                                                                               ‫ا ا ) ‪x ֏ n u( x‬‬
                                       ‫دوال‬        ‫درا‬       ‫ا‬




                                                            ‫ة‬             ‫ا رات ا‬

     ‫ور‬           ‫ا‬        ‫ا ا ا‬              ‫ور‬                                                       ‫د‬         ‫ت ا وال ا‬      ‫ب‬
                                              ‫لو‬                                          ‫إ رة دا ا‬                    ‫ر دا ا‬
          ‫ا‬   ‫وا‬          ‫لا ا‬                                                          ‫ا أو‬  ‫ول‬                      ‫إ رة دا ا‬
                    ‫ر و دوال‬       ‫دوال‬        ‫و‬                    ‫درا‬                                                       ‫ا‬
                     ‫د‬     ‫وال ا‬          ‫ا وال ا‬                                   ‫)‪f ( x) = g ( x‬‬        ‫ا‬      ‫د ت‬           ‫ا‬         ‫ا‬
‫ل‬                 ‫ا وال ا‬        ‫ق‬      ‫ا‬      ‫ل‬                      ‫ا‬
                                                                                             ‫)‪f ( x) ≤ g ( x‬‬           ‫ا‬     ‫ت‬    ‫ا‬       ‫و‬




                                                                    ‫ادات‬        ‫ا‬

                                                ‫با‬              ‫ا‬                                                     ‫تا د‬      ‫ا‬
                               ‫ت‬              ‫ءوا‬               ‫ا‬                                 ‫و ا وال ا‬            ‫ر‬  ‫ا وال ا‬
          ‫ة و ا رض‬        ‫ما‬         ‫و‬           ‫ما‬             ‫ا‬                                                     ‫د‬    ‫ا ما‬
                                                  ‫ا‬             ‫ا‬



                                                                ‫ات ا رس‬

                              ‫ا‬                        ‫ا وال ا‬                                                      ‫ت‬     ‫آ وإ‬
                      ‫ا ) آ (‬                      ‫ا‬         ‫ا‬                                                 ‫ا وال ا‬     ‫ت‬   ‫ا‬
                        ‫ا ف‬     ‫–‬                                                                                   ‫آ دا‬
                            ‫– آ‬                         ‫ر‬                                                              ‫ا ا ا‬



    ‫‪Lycée My Rachid – Aguelmous‬‬                                       ‫-1-‬                                        ‫‪Mohamed iaalou‬‬
       2Bac PC+SVT :‫ى‬                          ‫ا‬       ‫ا وال‬             ‫-درا‬                   ‫قو‬            ‫ا‬     ‫س‬            ‫-أ‬       ‫ير‬                    ‫ا ه‬              ‫ا‬
                            :‫ت‬            ‫دا‬         Dérivation – étude de fonctions                                                                    ‫إ‬         :‫ذ‬             ‫ا‬

                                                                                                                                                            ‫ت‬      ‫( - آ و إ‬I
                                                    Nombre dérive – Fonction dérivée                                                  ‫–ا ا ا‬                     ‫1(- ا د ا‬
                                                                                                                                                                          ‫ر‬
                                                            . x0 ∈ I ‫ ، و‬I ‫ح‬                             ‫ل‬                                ‫د‬             ‫ دا‬f
                     f ( x ) − f ( x0 )
            lim                                 =l              l               ‫د‬               ‫ ،إذا و‬x0           ‫ق‬                           f       ‫ل إن ا ا‬
            x → x0           x − x0
                         . f ' ( x0 )                               ‫ و‬x0         ‫ ا‬f ‫ا‬        ‫ا دا‬        l        ‫ا دا‬
            .I                     ‫آ‬        ‫ق‬                               ‫ ، إذا آ‬I ‫ا ل‬   ‫ق‬            f ‫ل إن ا ا‬
                                                .I‫ل‬             ‫ا‬           f ‫ا‬         ‫ا ا ا‬    f ' : x ֏ f ' ( x) ‫ا ا‬



                                          f ( x ) − f ( x0 )                         f ( x0 + h ) − f ( x0 )
                f ' ( x0 ) = lim                                        = lim                                                :                h = x − x0 :
                                 x → x0            x − x0                 h→ 0                   x − x0


                                                                                     . x0                               x0            ‫ق‬                          f           ‫إذا آ‬

.( 0         ‫ق‬                                 ‫و‬                f :x֏ x                         ‫.)ا ا‬                                     ‫ا‬                 ‫ا‬
                                                    . x0            ‫ق‬                                             ، x0                              f       ‫إذا آ‬
                                                                                 ‫ا‬                   ‫ا‬              ‫دا – ا ا ا‬                           ‫2(- د ا س‬
                                                                                                                                                                      1
                             ‫ا‬          (T )                        f     ‫ا ا‬                    ‫ ن‬x0               ‫ق‬                               ‫ دا‬f       ‫إذا آ‬
                                                            (T ) : y =           f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) :                       ‫د‬          ، A ( x0 , f ( x0 ) )
                                                                                                                                                                                     ‫ــ ل‬
                           . f ( x) = 1 + x :
                                           3
                                                 [ −1, +∞[ ‫ا ل‬                                                        ‫ ا ا ا د ا‬f
        .                      ‫ا أ‬        ‫ا‬   f ‫ا ا‬        (T ) ‫س‬                                                 ‫د د ا‬    f ' (0 )                                   ‫أ‬
                                                                                                                                                                             2
                f    ‫ا ا‬               ‫ا ر( ن‬                ‫) أو‬                           ‫ا‬            x0         ‫ق‬                             ‫ دا‬f   ‫إذا آ‬
                             .( f g' ( x0 ) ‫ ) أو‬f d' ( x0 ) ‫ه‬                          ‫ا‬                    A ( x0 , f ( x0 ) )                 ‫ا‬     ‫س‬

                                                                                                                                                                             3
                 f ( x ) − f ( x0 )                                      f ( x ) − f ( x0 )
‫ ن‬lim                                      = ±∞ ‫ أو‬lim±                                              = ±∞ ‫ و‬x0                                      ‫ دا‬f             ‫إذا آ‬
            ±
       x → x0            x − x0                             x → x0              x − x0
                                                     . A ( x0 , f ( x0 ) )                       ‫ا‬           ‫دي‬         ‫س‬                                   f   ‫ا ا‬


                                                                        . f ( x ) = x − 3 x2 − x :                ‫ ا ا ا د ا‬f
                                                                                      . D f = ]−∞ ,0 ] ∪ [ 1, +∞[ ‫أن‬      – (1
       .             ‫ه‬               ‫أول ا‬                  ‫ا‬              1 ‫رو‬          ‫ا‬      0     f ‫ق‬       ‫ا‬    ‫2( – أدرس‬
       Lycée My Rachid – Aguelmous                                                     -2-                                                          Mohamed iaalou
    2Bac PC+SVT :‫ى‬                           ‫ا‬            ‫ا وال‬       ‫-درا‬         ‫قو‬               ‫ا‬        ‫س‬           ‫-أ‬           ‫ير‬                ‫ا ه‬           ‫ا‬
                       :‫ت‬               ‫دا‬               Dérivation – étude de fonctions                                                        ‫إ‬         :‫ذ‬          ‫ا‬



                                                                                               . x0                   ‫ق‬                                 ‫ دا‬f
                . x0            f       ‫ا‬                    ‫ا‬        ‫ا ا ا‬      x ֏ f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) ‫ا ا‬
            . x0 ‫ار‬    f ( x) ‫ل‬                                   ‫ا‬     ‫ و ه ا‬f ( x ) ≈ f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) :
     .       ‫ار ا‬   f ( x0 + h ) ‫ل‬                                  ‫ا‬     ‫ و ه ا‬f ( x0 + h ) ≈ f ' ( x0 ) h + f ( x0 ) :
                                                                                                                    x 0 ‫ار‬                 ‫ا‬              ‫با‬          ‫ل: ا‬
                                                                                   1
                                                                      . f ( x) =         :                    ∗
                                                                                                             ℝ+                        ‫ ا‬f          ‫ا ا‬
                                                                                     x
                                                                                   .1‫د‬         ‫ار ا‬             f    ‫ا‬                     ‫ا‬            ‫دا‬        – (1
                                                                                   1                     1
                                                                             .             ‫و‬                                                                     ‫2( – ا‬
                                                                                 1.002                  0.999

                                                                                                ‫د‬            ‫ا وال ا‬                                ‫ول ا وال ا‬             -(3
‫ل‬     ‫ا‬         ‫ق‬                                f               f'    ‫ا ا‬             f                                                             f ‫ا ا‬
]−∞ , +∞[                                                  x֏0                     ]−∞ , +∞[                                          x ֏ a ,( a ∈ ℝ )
]−∞ , +∞[                                                  x֏ 1                    ]−∞ , +∞[                                          x֏ x
]−∞ , +∞[                                                  x ֏ nx n− 1             ]−∞ , +∞[                                          x ֏ x n , n ∈ ℕ ∗ − {1 }
]−∞ ,0[ ‫[∞+, 0] و‬
              +∞
                                                           x֏ −
                                                                       1           ]−∞ ,0 [ ∪ ]0 , +∞[                                x֏
                                                                                                                                                1
                                                                      x2                                                                        x
]0 ,+∞[
    +∞
                                                           x֏
                                                                      1            [0 , +∞[                                           x֏            x
                                                                  2 x
]−∞ , +∞[                                                  x ֏ cos x               ]−∞ , +∞[                                          x ֏ sin x
]−∞ , +∞[                                                  x ֏ − sin x             ]−∞ , +∞[                                          x ֏ cos x
 π         π                                             x ֏ 1 + tan 2 x             π                                            x ֏ tan x
 − 2 + kπ , 2 + kπ  ,k ∈ ℤ                                                       ℝ −  + kπ ,k ∈ ℤ 
                                                                                           2                               

                                                                                                                                       ‫توا دا‬                        ‫:ا‬
                                                                                                                         :            ‫تا‬   ‫ا‬                     ‫أ‬
                                                 2 cos x − 2                                 x −1
                                                                                               n
                                                                                                                                      2 cos x − 1
                                    . lim                                    ‫و‬      lim                         ‫و‬            lim
                                         π
                                                 2 sin x − 2                        x →1     x−1                                  π             π
                                        x→
                                             4
                                                                                                                             x→
                                                                                                                                  3     x−
                                                                                                                                                3

                                                                                                   Ecriture différentielle                                   ‫ا‬            ‫3(- ا‬

            :               ‫ا‬                             I ‫ح‬         ‫ل‬            ‫ق‬                                ‫ دا‬f                y = f ( x ) ‫إذا آ ن‬
                                                                                                                                        ∂y                dy
                 .                  ‫ا‬                ‫ا‬                  ‫ وه ا‬dy = f ' ( x ) dx ‫ أو‬f ' ( x ) =                              ‫ أو‬f ' ( x ) =
                                                                                                                                        ∂x                dx

    Lycée My Rachid – Aguelmous                                                  -3-                                                           Mohamed iaalou
       2Bac PC+SVT :‫ى‬                  ‫ا‬           ‫ا وال‬    ‫-درا‬               ‫قو‬       ‫ا‬     ‫س‬         ‫-أ‬       ‫ير‬              ‫ا ه‬              ‫ا‬
                      :‫ت‬         ‫دا‬            Dérivation – étude de fonctions                                          ‫إ‬          :‫ذ‬             ‫ا‬

                                                                                                                   ‫ا وال ا‬            ‫ت‬           ‫(- ا‬II

     ، fg ‫ و‬λ f ‫ و‬f + g ‫ ن:ا وال‬λ ∈ ℝ ‫ ، و‬I ‫ل‬                    ‫ق‬                                               ‫ دا‬g ‫ و‬f             ‫إذا آ‬
    . ( fg )' = f ' g + fg' ‫ ( و‬λ f )' = λ f ' ‫ ( و‬f + g )' = f ' + g' :                          ‫ و‬I            ‫ق‬                    ‫دوال‬
      f   1
        ‫و‬             ‫ نا ا‬I                   ‫م‬           g‫، و‬I‫ل‬                   ‫ق‬                            ‫ دا‬g ‫ و‬f             ‫إذا آ‬
      g g
                                  '                                   '
                             f  f ' g − fg'  1   g'
                           .  =        2
                                             ‫ و‬  =− 2 :                                   ‫ ،و‬I             ‫ق‬         ‫ن‬              ‫دا ن‬
                             g       g        g  g


                                                                                            .ℝ        ‫ق‬                          ‫ود‬      ‫آ‬
                                           .                                    ‫ل‬       ‫آ‬         ‫ق‬                      ‫ر‬            ‫آ دا‬
                                                    Dérivée de la composée de deux fonctions                           ‫آ دا‬                           -(III

   . x0 ∈ I              ‫ . و‬f (I) ⊂ J :   J‫ و‬I                                         ‫ا ا‬                            ‫ دا‬g ‫ و‬f
x0     ‫ق‬                      g f ‫ ، ن‬f ( x0 ) ‫ق‬                                        g ‫ و‬x0        ‫ق‬                ‫إذا آ‬ f
                                                                    . ( g f )' ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) g' ( f ( x0 ) ) :    ‫و‬
I        ‫ق‬                      g f ‫ ، ن‬f (I)                   ‫ق‬               g‫ و‬I           ‫ق‬                    f  ‫إذا آ‬
                                                               . ∀x ∈ I , ( g f )' ( x ) = f ' ( x ) g' ( f ( x ) ) :      ‫و‬
                                                                                                                                                       ‫ل‬
                                      . f ( x ) = cos ( 1 + x 2 ) :                          ℝ        ‫ا ا ا د ا‬f
                                                . I =ℝ ‫ا ل‬                              ‫ق‬          u : x ֏ 1 + x2 ‫: ا ا‬
                                                .J = ℝ ‫ا ل‬                              ‫ق‬          v : x ֏ cos x ‫: ا ا‬                                     ‫و‬
    . ∀x ∈ ℝ , f ' ( x ) = −2 x sin ( 1 + x ) ‫ و‬ℝ
                                            2
                                                           ‫ق‬                              f ‫ ن‬u ( I ) ⊂ J ‫ و‬f = v u ‫أن‬                                     ‫و‬


                 ( )
∀n ∈ ℕ ∗ , f n ' = nf ' f n− 1 : I                     ‫ق‬                       f n‫ ن‬I ‫ل‬                 ‫ق‬                    f        ‫إذا آ‬

 . ( f )' =
                     f'
                          : I          ‫ق‬                       f ‫ن‬         I                        ‫قو‬                       f        ‫إذا آ‬
                  2 f
                                                            Dérivée de la fonction réciproque                            ‫ا ا ا‬                        -(IV
                                                                                                                                              1
                                       . x0 ∈ I ‫ ، و‬ℝ       I‫ل‬                                        ‫ور‬                 ‫ دا‬f
      f ( x0 )       ‫ق‬                   f −1 ‫ ، ن ا ا‬f ' ( x0 ) ≠ 0                         x0       ‫ق‬                      f        ‫إذا آ‬
                                                                                    . ( f − 1 ) ' ( f ( x0 ) ) =
                                                                                                                       1
                                                                                                                              :           ‫و‬
                                                                                                                   f ' ( x0 )
f (I)            ‫ق‬                    f −1 ‫∀ ( ، ن ا ا‬x ∈ I , f ' ( x ) ≠ 0 ) ‫ و‬I                       ‫ق‬                    f        ‫إذا آ‬

                                                                   . ∀y ∈ f ( I ) : ( f −1 ) ' ( y ) =
                                                                                                                  1
                                                                                                                            :             ‫و‬
                                                                                                             f ' f −1 ( y )

      Lycée My Rachid – Aguelmous                                         -4-                                          Mohamed iaalou
     2Bac PC+SVT :‫ى‬                      ‫ا‬               ‫ا وال‬           ‫-درا‬                  ‫قو‬                ‫ا‬           ‫س‬           ‫-أ‬           ‫ير‬                       ‫ا ه‬                      ‫ا‬
                   :‫ت‬           ‫دا‬               Dérivation – étude de fonctions                                                                                   ‫إ‬             :‫ذ‬                     ‫ا‬

                                                                                             . x ֏ xr ‫ا ا‬                                     ‫ و‬x֏ n x ‫ا ا‬                                              :


   . ∀x ∈ ℝ + , ( n x ) ' =                                                                                                              (n∈ℕ ) x ֏
                                         1
            ∗
                                                             :           ‫[∞+, 0] و‬
                                                                               +∞                        ‫ق‬                                                ∗                    n
                                                                                                                                                                                   x        ‫ا ا‬
                                    ( )
                                                     n− 1
                                     n
                                n            x

      . ∀x ∈ ]0 , +∞[ , ( x r )' = rx r − 1 :                            ‫[∞+, 0] و‬
                                                                               +∞                         ‫ق‬                               ( r ∈ℚ ) x ֏ x      ∗                     r
                                                                                                                                                                                            ‫ا ا‬

                                                                                                                                                                                                            1‫ل‬
                                                . f ( x) = x3 + 3 x :                                                              ‫ ا‬f ‫ا ا‬                                              ‫د‬
                                     . ]0 ,+∞[ ‫ا ل‬
                                           +∞             ‫ق‬                                                              ‫ا ل [∞+, 0 [ و‬
                                                                                                                                +∞                                                          f       ‫ا ا‬
                                                                 1
. ∀x ∈ ]0 , +∞[ , f ' ( x ) = 3 x 2 +                                        :               ‫[∞+, 0] (. و‬
                                                                                                      +∞                             ‫ق‬                                             ‫ع دا‬                     )
                                                             ( )
                                                                         2
                                                                 3
                                                         3           x


                                                                                                                                                                                                            2‫ل‬
                                                                                                          2
                                                               . f ( x) = x3 + x 3 :                                                          ‫ ا‬f ‫ا ا‬                                   ‫د‬
                    ‫ع دا‬                              ) . ]0 ,+∞[ ‫ا ل‬
                                                              +∞               ‫ق‬                                                         ‫[∞+, 0] و‬
                                                                                                                                               +∞                                           f       ‫ا ا‬
                                                                                         1
                                                                             2       −                               2
           . ∀x ∈ ]0 , +∞[ , f ' ( x ) = 3 x 2 + x                                       3
                                                                                             = 3x2 +                 3
                                                                                                                                 :        ‫[∞+, 0] (. و‬
                                                                                                                                                   +∞                                   ‫ق‬
                                                                             3                                   3 x

                                                                                                                                                                                                2
     (n∈ ℕ ) ، x ֏
              ∗             n   u( x)                    ‫ نا ا‬I‫ل‬                                                             ‫قو‬                                    ‫ دا‬u                 ‫إذا آ‬
                                                                                         u' ( x )
                           . ∀x ∈ I ,            (   n   u( x) ' =   )                                           :               ‫ ،و‬I‫ل‬                ‫ا‬            ‫ق‬
                                                                                 (                  )
                                                                                                        n− 1
                                                                             n       n   u( x)

     ( r ∈ℚ ) ، x ֏ ( u ( x ) ) ‫ ن ا ا‬I ‫ل‬
                                             r
              ∗
                                                                                                                             ‫قو‬                                    ‫ دا‬u                 ‫إذا آ‬
                 . ∀x ∈ I , ( ( u ( x ) ) )' = ru' ( x ) ( u ( x ) )
                                                             r                                            r −1
                                                                                                                 :               ‫ ،و‬I‫ل‬                    ‫ا‬           ‫ق‬


                                                                                                                                                                                                            1‫ل‬
                                                     . f ( x ) = x − 3 x2 − x :                 ‫ ا‬f ‫ا ا‬       ‫د‬
                                                                     . D f = ]−∞ ,0 ] ∪ [ 1, +∞[           f ‫:ا ا‬
       . ]−∞ ,0[ ‫[∞+,1] و‬
                      +∞                               ‫ا‬        ‫آ‬      ‫ق‬              ‫و‬              x ֏ x2 − x ‫ا ا‬
                                                              :     ‫[∞+,1] و [0, ∞−] و‬+∞           ‫ا‬   ‫ق‬            f ‫إذن‬

                           . ∀x ∈ ]−∞ ,0 [ ∪ ]1 , +∞[ , f ' ( x ) = 1 −
                                                                                                                         (x      2
                                                                                                                                     −x ' )           =1 −
                                                                                                                                                                           2x −1

                                                                                                                         (                    )                        (                        )
                                                                                                                                                  2                                                 2
                                                                                                                     3       3
                                                                                                                                 x2 −x                            3        3
                                                                                                                                                                                   x2 −x


     Lycée My Rachid – Aguelmous                                                          -5-                                                                     Mohamed iaalou
     2Bac PC+SVT :‫ى‬              ‫ا‬        ‫ا وال‬      ‫-درا‬               ‫قو‬         ‫ا‬         ‫س‬                ‫-أ‬         ‫ير‬                       ‫ا ه‬             ‫ا‬
                 :‫ت‬        ‫دا‬         Dérivation – étude de fonctions                                                                     ‫إ‬         :‫ذ‬            ‫ا‬

                                                                                                                                                                      2‫ل‬
                                                                               2
                                                  . f ( x ) = ( x 2 − 1) :     3
                                                                                                                   ‫ ا‬f ‫ا ا‬                           ‫د‬
                               . D f = ]−∞ , −1[ ∪ ]1, +∞[ : ‫ ه‬f                                                   ‫ا ا‬                :
        ، ]−∞ , −1[ ‫[∞+,1] و‬
                         +∞      ‫ا‬      ‫آ‬      ‫ق‬             ‫و‬                                                             x ֏ x2 − 1 ‫ا ا‬
                         : ‫[∞+,1] و [1− , ∞−] و‬
                                             +∞          ‫ا‬    ‫آ‬                                                ‫ق‬                  f ‫إذن ا ا‬
                                                                                           2                                          1
                                                        2 2
                                                            (           )(             )              4
                                                                                                               (              )                          4x
                                                                                             −1                                   −
     ∀x ∈ ] −∞ , −1[ ∪ ]1, +∞[ : f ' ( x ) =              x − 1 ' x2 − 1                   3
                                                                                                  =     x x2 − 1                      3
                                                                                                                                              =
                                                        3                                             3                                             (
                                                                                                                                                  3 3 x2 − 1      )

                 . f ( x) = 3 1 + x :               I = [ −1, +∞[ ‫ل‬                ‫ا‬                ‫ ا ا ا د ا‬f
                              .                 J‫ل‬                             f −1               ‫دا‬    f ‫أن ا ا‬                                            – (1
. ( f −1 ) ' ( 1 )       ‫1 وا‬         ‫ا‬         ‫ق‬                       f −1               ‫أن ا ا ا‬      f (0 )                                           ‫2( – أ‬

                                                      Fonctions primitives d’une fonction                                         ‫ا‬                      ‫(- ا وال ا‬V

                                                                                                      ‫ل‬                       ‫ا‬                     ‫1(- دا أ‬

                                                                .ℝ             I‫ل‬                                     ‫د‬                       ‫ دا‬f
             . F' = f            I          ‫ق‬                       F     ‫ ، آ دا‬I ‫ل‬                  ‫ا‬             f ‫ا‬                          ‫دا أ‬

                                                                                                                                                                       ‫ل‬
                                                . f ( x) = x + 2 :                     ℝ                                 ‫ ا ا ا د ا‬f
                                                                1
       .ℝ          f‫ل‬           ‫ ه دا أ‬F ( x ) = x 2 + 2 x + 1                                        ℝ                               ‫ا‬F ‫ا ا‬
                                                                2
                                                         1
.ℝ        f‫ل‬          ‫دا أ‬           ‫ ه أ‬F ( x ) = x 2 + 2 x + −2                                     ℝ                               ‫ا‬G ‫ا ا‬
                                                         2
                                                                                                                                                              1
                                     .I                          ‫ دا أ‬F ‫ ، و‬I ‫ل‬                                            ‫د‬                      ‫ دا‬f
        .(k ∈ ℝ ) , x ֏ F ( x) + k :                            I          ‫ ه ا وال ا‬I                                   f ‫ا‬                             ‫ا وال ا‬

                                                                                                                                                                  ‫هن‬
                                                                              .I‫ل‬                         f         ‫ا‬                  ‫ دا أ‬F
      G' = F ' ‫ إذن‬G' = f             ‫ و‬I           ‫ق‬                        G ‫ ن‬I               ‫إذا آ‬    f        ‫ا‬                  ‫ دا أ‬G
        . ∀x ∈ I ,G ( x ) = F ( x ) + k :       ‫∃ . و‬k ∈ ℝ / G − F = k              ( G − F )' = 0 ‫أي‬              ‫ و‬I
‫ق‬             G ‫ ن‬k∈ℝ                ،G ( x) = F ( x) + k :        I             ‫ دا‬G ‫إذا آ‬
                    .I‫ا ل‬             f ‫ا‬          ‫ دا أ‬G       ‫ ، و‬G' = F ' = f      ‫ و‬I‫ا ل‬


     Lycée My Rachid – Aguelmous                                    -6-                                                           Mohamed iaalou
    2Bac PC+SVT :‫ى‬               ‫ا‬        ‫ا وال‬    ‫-درا‬                 ‫قو‬           ‫ا‬           ‫س‬           ‫-أ‬       ‫ير‬           ‫ا ه‬           ‫ا‬
                   :‫ت‬       ‫دا‬       Dérivation – étude de fonctions                                                           ‫إ‬     :‫ذ‬          ‫ا‬

                                                                                                                                            2
                                              . y0 ∈ ℝ ‫ و‬x0 ∈ I ‫ ، و‬I ‫ل‬                                                    ‫د‬       ‫ دا‬f
. G ( x0 ) = y0         I        f    ‫ا‬      G ‫و ة‬        ‫دا أ‬                                       I                 ‫دا أ‬          f      ‫إذا آ‬



                                                               I = ]0, +∞[
                                     1
                  . f ( x) = x3 −       +1 :                                                                 ‫ ا ا ا د ا‬f
                                     x2
                                                           .I‫ا ل‬                         f           ‫ا‬                ‫د ا وال ا‬      – (1
                            . G ( 1) = 0                  ‫ا‬I‫ا ل‬                      f           ‫ا‬       G             ‫دا ا ا‬        – (2

                                                                                                                                             3
                                                          .I                   ‫دوال أ‬                    I‫ل‬                              ‫آ دا‬
                                                                                                                                             4
                                         .k ∈ℝ ‫ ، و‬I ‫ل‬               ‫د‬      ‫ دا‬g ‫ و‬f
                                     :‫ ن‬I    g‫ و‬f      ‫ا‬       ‫أ‬  ‫ا ا دا‬      G‫ و‬F                                                          ‫إذا آ‬
                                            .I‫ا ل‬        f +g ‫ا‬      ‫ دا أ‬F + G ‫ا ا‬
                                                 .I‫ا ل‬       kf ‫ا‬      ‫ دا أ‬kF ‫ا ا‬


                                            2 x + 1, x ≤ 1
                            . f ( x) =                     :                        ℝ                        ‫ ا‬f          ‫ا ا ا د‬
                                           − x + 4 , x > 1
                                                                .ℝ                        ‫دوال أ‬                  f     ‫أن ا ا‬       – (1
                                                                            .ℝ              f ‫ا‬                        ‫د ا ول ا‬      – (2
                                     . G (0 ) = 0                       ‫ا‬ℝ               f ‫ ا‬G                         ‫دا ا ا‬        – (3



                    . f ( x ) = x cos x − sin x :                       [ 0 ,π ] ‫ل‬           ‫ا‬                        ‫ا ا ا د ا‬f
                                                                                       . [ 0 ,π ] x     f ' ( x)    ‫1( – أ‬
  g ( x ) = x sin x − cos x :                [ 0 ,π ] ‫ل‬         ‫ا‬                     ‫ا‬g ‫ا‬          ‫ا وال ا‬      ‫2( – أ- ا‬
                            . G (π ) = 0            ‫طا‬              ‫ا‬                ‫ ا‬g ‫ ا‬G             ‫ب- د ا ا ا‬



                   x                                           π
 g ( x ) = cos 2     ‫ و‬f ( x ) = tan 2 x :                    0 , 2                                ‫ا‬        ‫ا د‬              ‫ا ا‬g‫ و‬f
                   2                                                
                                        π
                                     . 0 ,  ‫ل‬
                                                         ‫ا‬             g‫ و‬f             ‫ا ا‬                            ‫د ا وال ا‬
                                            2



   Lycée My Rachid – Aguelmous                                      -7-                                                     Mohamed iaalou
2Bac PC+SVT :‫ى‬                  ‫ا‬        ‫ا وال‬      ‫-درا‬          ‫قو‬           ‫ا‬     ‫س‬          ‫-أ‬       ‫ير‬                 ‫ا ه‬             ‫ا‬
                :‫ت‬       ‫دا‬          Dérivation – étude de fonctions                                               ‫إ‬          :‫ذ‬            ‫ا‬

                                                                           ‫د‬         ‫ا وال ا‬                               ‫ول ا وال ا‬               -(2
                 I‫ل‬      ‫ا‬                          I‫ل‬       ‫ا‬     f‫ل‬              ‫ا وال ا‬           I‫ل‬                         f         ‫ا ا‬
    ]−∞ , +∞[                                    x ֏ ax + c, ( c ∈ ℝ )                             x ֏ a ,( a ∈ ℝ )
    ]−∞ , +∞[                                    x֏
                                                    1 2
                                                      x + c ,( c ∈ ℝ )
                                                                                                   x֏ x
                                                    2
    ]−∞ , +∞[                                    x֏
                                                      1
                                                         x n+ 1 + c , ( c ∈ ℝ )                                (
                                                                                                   x ֏ xn , n ∈ℕ ∗              )
                                                    n+1
    ]−∞ ,0[ ‫[∞+, 0] أو‬
                   +∞
                                                 x֏
                                                       1
                                                           x − n+ 1 + c , ( c ∈ ℝ )                x֏
                                                                                                      1
                                                                                                                (
                                                                                                          , n ∈ ℕ ∗ − {1}                       )
                                                    −n + 1                                            x n


    ]0 ,+∞[
        +∞                                       x ֏ 2 x + c ,( c ∈ ℝ )
                                                                                                   x֏
                                                                                                       1
                                                                                                        x
    ]0 ,+∞[
        +∞
                                                 x֏
                                                           1
                                                              x r +1 + c ,( c ∈ ℝ )                            (
                                                                                                   x ֏ x r , r ∈ ℚ ∗ − { −1}                    )
                                                          r+1
    ]−∞ , +∞[                                    x ֏ − cos x + c , ( c ∈ ℝ )                       x ֏ sin x

    ]−∞ , +∞[                                    x ֏ sin x + c , ( c ∈ ℝ )                         x ֏ cos x

     π         π                               x ֏ tan x + c, ( c ∈ ℝ )                          x ֏ 1 + tan 2 x
     − 2 + kπ , 2 + kπ  ,k ∈ ℤ
                       
                                                                                                     ‫ت‬        ‫وا‬                 ‫3(- ا وال ا‬
        ‫ت‬                           I‫ل‬       ‫ا‬      f ‫ل‬          ‫ا وال ا‬                        I‫ل‬                          f   ‫ا ا‬
                                                                                   x ֏ u' ( x ) ( u ( x ) ) , n ∈ ℕ ∗  (              )
                                                                                                               n
                                  1
    I       ‫م‬        u       x֏       u n + 1 ( x ) + c , (c ∈ ℝ )
                                n +1
                                    1                                                        u' ( x )
I                    u       x֏ −        + c, ( c ∈ ℝ )                            x֏
                                  u( x)                                                      u2 ( x )

                                                                                                                       (
                                                                                   x ֏ u' ( x ) ( u ( x ) ) , r ∈ ℚ ∗ − { −1}                       )
                                                                                                               r

                                         ( u ( x ) ) + c ,( c ∈ ℝ )
                                      1             r +1
I                    u       x֏
                                     r+1
                             x ֏ 2 u ( x ) + c ,( c ∈ ℝ )                                    u' ( x )
                                                                                   x֏
                                                                                               u( x)
                             x ֏ u ( x ) + v ( x ) + c ,( c ∈ ℝ )                  x ֏ u' ( x ) + v' ( x )
                             x ֏ u ( x ) v ( x ) + c, ( c ∈ ℝ )                    x ֏ u' ( x ) v ( x ) + v' ( x ) u ( x )
                                     u( x)                                                   u' ( x ) v ( x ) − v' ( x ) u ( x )
                             x֏             + c ,( c ∈ ℝ )                         x֏
                                     v ( x)                                                              (v ( x ))
                                                                                                                       2



                                 1                                                 x ֏ u' ( ax + b ) ,a ∈ ℝ ∗ ,b ∈ ℝ
                             x֏    u ( ax + b ) + c , ( c ∈ ℝ )
                                a
                                1                                                  t ֏ cos ( ω t + ϕ ) ,ω ∈ ℝ ∗ ,ϕ ∈ ℝ
                             t ֏ sin ( ω t + ϕ )
                                    ω
                                         1                                         t ֏ sin ( ω t + ϕ ) ,ω ∈ ℝ ∗ ,ϕ ∈ ℝ
                             t֏−             cos ( ω t + ϕ )
                                         ω
Lycée My Rachid – Aguelmous                                      -8-                                          Mohamed iaalou
   2Bac PC+SVT :‫ى‬                   ‫ا‬    ‫ا وال‬             ‫-درا‬                      ‫قو‬               ‫ا‬             ‫س‬        ‫-أ‬        ‫ير‬             ‫ا ه‬                ‫ا‬
                     :‫ت‬        ‫دا‬       Dérivation – étude de fonctions                                                                          ‫إ‬      :‫ذ‬               ‫ا‬



                                        x2 + 2 x
                          . f ( x) =                       :                 [ 0 ,+∞[
                                                                                  +∞                                       ‫ ا ا ا د ا‬f
                                        ( x + 1)
                                                   2


                                                                         b
                 . ∀x ∈ [ 0 , +∞[ , f ( x ) = a +                                        :                b‫ و‬a                     ‫ا‬      ‫دا د‬            – (1
                                                       ( x + 1)
                                                                                 2


                                               . [0 , +∞[ ‫ا ل‬                                     f         ‫ا‬                   ‫ا وال ا‬               ‫2( – ا‬
                          5
             . F ( 1) = :                  ‫ل [∞+ , 0[ ا‬                      ‫ا‬                f       ‫ا‬         F                 ‫ا ا ا‬               ‫3( – ا‬
                          2


                :         ‫تا‬        ‫ا‬                  ‫آ‬                I‫ل‬           ‫ا‬                              ‫ ا‬f ‫ا‬                      ‫د ا وال ا‬
                                                       x
              I = ] −∞ , −1[ , f ( x ) =                                                                    I = ℝ , f ( x ) = 3 x4 − 3 x2 + x − 1
                                              (x   2
                                                           −1   )
                                                                                                                                                                         2
               I = [ 2, +∞[ , f ( x ) =
                                                   x
                                                                                                            I = ]1, +∞[ , f ( x ) = x 2 x 3 − 1       (              )   3

                                               x2 − 1
          I = ] −∞ , +∞[ , f ( x ) = cos x sin4 x                                                         I = ]0 , +∞[ , f ( x ) = x 2 + x 3 x 2 + 1



                 .f (x ) = x x − 1 :                 [1 , +∞[ ‫ا ل‬                 ‫ا ا ا د ا‬f
                                            . ∀x ∈ [1 , +∞[ , f ( x ) = ( x − 1 ) + x − 1 ‫أن‬
                                                                                 3
                                                                                                   – (1
                                                   [1 , +∞[ ‫ا ل‬         f ‫ا‬            ‫2( – د ا وال ا‬
                                          . F (1 ) = 2            ‫ا‬f ‫ ا‬F             ‫ا ا ا‬       ‫3( – ا‬

                                        ( ‫دا ) آ‬                                                      ‫د – ا وع ا‬                          ‫ا‬               ‫ا‬              ‫(- ا‬VI

        ‫ب‬            ‫ى‬              ‫ه‬         (C ) ‫، و‬ f                x                                       ‫د‬          ‫ دا‬f ‫أن‬                     ‫ض‬
                                                                                                                         . ( O ,i , j )                                       ‫إ‬
l’asymptote verticale ou prallele à l’axe des ordonnées                                              ‫ر ا را‬                  ‫ازي‬          ‫دي أو ا‬             ‫رب ا‬           ‫1(- ا‬

    (‫دي‬         ‫) أو‬          ‫ر ا را‬      ‫ازي‬              (C )     f                        ‫رب‬            x=a ‫د‬                  ‫ذا ا‬               ‫ل إن ا‬
                                                                                     lim f ( x ) = ±∞ ‫ أو‬lim+ f ( x ) = ±∞                                       ‫إذا آ‬
                                                                                 x →a−                                         x →a



l’asymptote verticale ou prallele à l’axe des abscisses                                                             ‫را‬          ‫ازي‬           ‫أو ا‬        ‫رب ا‬               ‫2(- ا‬

    (       ‫) أو أ‬             ‫را‬       ‫ازي‬        (C )     f                            ‫رب‬               y=a ‫د‬                   ‫ذا ا‬               ‫ل إن ا‬
                                                                                     . lim f ( x ) = a ‫ أو‬lim f ( x ) = a                                        ‫إذا آ‬
                                                                                             x →−∞                                x →+∞


   Lycée My Rachid – Aguelmous                                               -9-                                                               Mohamed iaalou
2Bac PC+SVT :‫ى‬                     ‫ا‬               ‫ا وال‬       ‫-درا‬            ‫قو‬                ‫ا‬     ‫س‬          ‫-أ‬      ‫ير‬              ‫ا ه‬              ‫ا‬
                 :‫ت‬          ‫دا‬                Dérivation – étude de fonctions                                                     ‫إ‬        :‫ذ‬             ‫ا‬

                                                                                                     l’ asymptote oblique                      ‫رب ا‬            ‫3(- ا‬

                +∞ ‫ار‬             (C )     f                            ‫رب‬          y = ax + b             ‫د‬       ‫ذا ا‬                ‫ل إن ا‬
                 ( lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 ‫ و‬lim f ( x ) = ±∞ )                                             ‫ار ∞− إذا آ‬                   ‫ا ا‬
                     x →+∞                                               x →+∞

                                                        .( lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 ‫ و‬lim f ( x ) = ±∞ )                                   ‫ا ا‬
                                                           x →−∞                          x →−∞




             +∞ ‫ار‬       (C )f                     ( a ≠ 0 ) , y = ax + b ‫ذو ا د‬
                                                                ‫ر‬                                                                         ‫نا‬
                                                     f ( x)
                 . lim ( f ( x ) − ax ) = b ‫ و‬lim           = a ‫ و‬lim f ( x ) = ±∞                                                     ‫إذا آ‬         ‫إذا و‬
                   x →+∞                      x →+∞                  x →+∞     x

                                           . ( x → −∞ ) ‫ ( ب‬x → +∞ )                                       ‫إذا‬                ‫ا‬
‫ن‬            y = ax + b ‫د‬              ‫ذا ا‬         ‫ ن ا‬lim h ( x ) = 0                                f ( x ) = ax + b + h ( x )               ‫إذا آ‬
                                                                        x →∞

                                                                                             . ∞ ‫ار‬            (C )f                            ‫ر‬
                                                                                   Les branches paraboliques                                    ‫4(- ا وع ا‬
                                                                                                                                                   1
                                                                                             f ( x)
 ‫ه‬       ‫ا‬                             (C )        f            ‫ل إن ا‬              lim
                                                                                   x →+∞         x
                                                                                                       = 0 ‫ و‬lim f ( x ) = ±∞ ‫إذا آ ن‬
                                                                                                                 x →+∞

                                                                                                               . +∞ ‫ار‬                         ‫را‬
                                                                                         f ( x)
‫ه‬    ‫ا‬                             (C )        f               ‫ل إن ا‬          lim
                                                                               x →+∞         x
                                                                                                     = ±∞ ‫ و‬lim f ( x ) = ±∞ ‫إذا آ ن‬
                                                                                                                 x →+∞

                                                                                                                 . +∞ ‫ار‬                ‫ر ا را‬

                                                                                                                                                       2
                                                                              f ( x)
                 lim ( f ( x ) − ax ) = ±∞ ‫ و‬lim                                         = a , ( a ≠ 0 ) ‫ و‬lim f ( x ) = ±∞ ‫إذا آ ن‬
                 x →+∞                                                x →+∞     x                                x →+∞

     . +∞ ‫ار‬             y = ax                ‫د‬        ‫ذو ا‬             ‫ه ا‬         ‫ا‬                                 (C )
                                                                                                                          f              ‫ل إن ا‬



                                                                 −∞ ‫ار‬              (C ) f                                ‫ا وع ا‬                ‫ف‬

                                       :               ‫تا‬       ‫ا‬        f     ‫ا ا‬                                ‫أدرس ا وع ا‬                  Df ‫د‬
                                                                                                                                         1
                                 f (x ) = 3 1 − x                                                              f (x ) = x +
                                                                                                                                       x2 + x
                                                       1
                                 f( x)=                  x− 3 x                                                  f (x ) = 3 2 x + 1 − x
                                                       3

Lycée My Rachid – Aguelmous                                               - 10 -                                                  Mohamed iaalou
        2Bac PC+SVT :‫ى‬                ‫ا‬       ‫ا وال‬      ‫-درا‬           ‫قو‬        ‫ا‬           ‫س‬              ‫-أ‬        ‫ير‬                       ‫ا ه‬                      ‫ا‬
                   :‫ت‬           ‫دا‬         Dérivation – étude de fonctions                                                              ‫إ‬         :‫ذ‬                     ‫ا‬

                                                                                          ‫د‬             ‫دا‬                                       ‫ا وع ا‬

lim f ( x ) = ±∞
x →a±
                        ( )
                        . Cf                      ‫دي‬      ‫رب‬        x=a      ‫د‬        ‫ذو ا‬                   ‫ا‬

lim f ( x ) = a
x →+∞
                        +∞ ‫ار‬              (C )
                                              f                  ‫رب أ‬   y=a ‫د‬                 ‫ذو ا‬                 ‫ا‬

lim f ( x ) = a
x →−∞
                        −∞ ‫ار‬              (C )
                                              f                  ‫رب أ‬   y=a ‫د‬                 ‫ذو ا‬                 ‫ا‬

                                                          lim ( f ( x ) − ax ) = b                                y = ax + b                     ‫د‬               ‫ذو ا‬                ‫ا‬
                                     f ( x)
                                                                                                                               (C )
                                                         x →+∞

                        lim                   =a                                                         +∞ ‫ار‬                          f                                ‫رب‬
                        x →+∞    x
lim f ( x ) = ±∞
                            (a ≠ 0)                       lim ( f ( x ) − ax ) = ±∞
                                                         x →+∞
                                                                                                                       ‫ه‬       ‫ا‬                                        (C )     f

x →+∞                                                                                                   +∞ ‫ار‬              y = ax ‫د‬                              ‫ذو ا‬                ‫ا‬

                        lim
                                     f ( x)
                                              = ±∞
                                                         +∞ ‫ار‬           ‫ر ا را‬                 ‫ا‬                                               (C )     f                   ‫ا‬
                        x →+∞          x

                        lim
                                     f ( x)
                                              =0
                                                         +∞ ‫ار‬               ‫را‬                   ‫ا‬                                             (C )         f               ‫ا‬
                        x →+∞          x
                                                                                                                   y = ax + b ‫د‬                                  ‫ذو ا‬                ‫ا‬
                                     f ( x)                lim ( f ( x ) − ax ) = b                                    −∞ ‫ار‬                (C ) ‫ل‬                       ‫رب‬
                        lim                   =a           x →−∞                                                                                     f
                        x →−∞    x
lim f ( x ) = ±∞
                            (a ≠ 0)                                                                                    ‫ه‬       ‫ا‬                                        (C )
                                                          lim ( f ( x ) − ax ) = ±∞
                                                                                                                                                                                 f

x →−∞                                                    x →−∞                                          −∞ ‫ار‬              y = ax ‫د‬                              ‫ذو ا‬                ‫ا‬

                        lim
                                     f ( x)
                                              = ±∞
                                                                −∞ ‫ار‬        ‫ر ا را‬                      ‫ا‬                                               (C )      f                 ‫ا‬
                        x →−∞          x

                        lim
                                     f ( x)
                                              =0
                                                                −∞ ‫ار‬             ‫را‬                     ‫ا‬                                               (C )      f                 ‫ا‬
                        x →−∞          x

                                                                                                             ‫ف‬             ‫ا‬                –                              -(VI
                                                                             concavité d’une courbe                                                                    - (1

                                                                   .I ‫ل‬                   ‫ق‬                                    ‫د‬                ‫ دا‬f
         .                  ‫ق‬                 ‫إذا آ ن‬            ‫ا را ا‬                             ‫ا‬             (C f )                          ‫ل إن‬
          .                                    ‫إذا آ ن‬           ‫ا را ا‬                             ‫ا‬             (C f )                          ‫ل إن‬

                                                                                               Point d’inflexion ‫ف‬                                                ‫ا‬              -(2

                                              . x0 ∈ I ‫ ، و‬I ‫ح‬           ‫ل‬                ‫ق‬                                        ‫د‬            ‫ دا‬f
              .A        ‫ا‬                          ‫( إذا‬C f )                ‫ف‬        ‫ا‬                 A ( x0 , f ( x0 ) )                        ‫ل إن ا‬

    Lycée My Rachid – Aguelmous                                    - 11 -                                                              Mohamed iaalou
       2Bac PC+SVT :‫ى‬                      ‫ا‬        ‫ا وال‬    ‫-درا‬                   ‫قو‬                ‫ا‬        ‫س‬            ‫-أ‬       ‫ير‬                  ‫ا ه‬               ‫ا‬
                           :‫ت‬        ‫دا‬            Dérivation – étude de fonctions                                                               ‫إ‬         :‫ذ‬              ‫ا‬

                                                                                                                                                                     1
                                           . x0 ∈ I ‫ ، و‬I ‫ل‬                                                ‫ق‬                             ‫د‬           ‫ دا‬f
               .           ‫ا را ا‬                  ‫( ا‬C f )                                         ‫ ن‬I‫ل‬                ‫ا‬                         f ''           ‫إذا آ‬
                   .        ‫ا را ا‬                  ‫( ا‬C f )                                         ‫ ن‬I‫ل‬                   ‫ا‬                     f ''           ‫إذا آ‬
 . (C f ) ‫ف‬            ‫ا‬     A ( x0 , f ( x0 ) )     ‫ ن ا‬x 0 ‫ار‬                                      ‫تإ ر‬                    ‫ و‬x0             f ''               ‫إذا ا‬

                                                                                                                                                                     2
                                            . x0 ∈ I ‫ ، و‬I ‫ح‬    ‫ل‬                                          ‫ق‬                             ‫د‬           ‫ دا‬f
       . (C f ) ‫ف‬           ‫ا‬         A ( x0 , f ( x0 ) )   ‫ ن ا‬x 0 ‫ار‬                                         ‫إ ر‬                   ‫ و‬x0            f'                  ‫إذا ا‬



. A ( x0 , f ( x0 ) )            ‫ا‬             ‫أ‬               (C f ) ‫ن‬             x 0 ‫ار‬                      ‫إ ر‬                   ‫ و‬x0              f'               ‫إذا ا‬

                                                                                    1
                                                            .f (x ) =                           :                           ‫ا ا ا د ا‬f
                                                                            3
                                                                                x −1
                                                                                                      .f        ‫ا ا‬                          ، D f ‫1( - د‬
                                                                .               ‫ا‬           ‫د‬                  f ‫ا ا‬                           ‫2( – أدرس‬

                                          Axe de symétrie – centre de symétrie                                                       ‫آ‬       –               ‫ر‬       -(VIII
                                                                                                                                                                     ‫ت‬
               . ( a ,b ) ∈ ℝ 2 ‫و‬                                       ‫ه‬                   (C f ) ‫و‬           Df                            ‫د‬           ‫ دا‬f
           ∀x ∈ D f , ( 2 a − x ) ∈ D f
          
          .
                                              ⇔ (C f                   )                   ‫ا‬              ‫ر‬          x =a ‫د‬                     ‫ذو ا‬                ‫ا‬
           ∀x ∈ D f , f ( 2 a − x ) = f ( x )
          
                    ∀x ∈ D f , ( 2 a − x ) ∈ D f
                   
               .
                                                             ⇔ (C f                            )               ‫ا‬                ‫آ‬       Ω ( a ,b )                  ‫ا‬
                    ∀x ∈ D f , f ( 2 a − x ) = 2 b − f ( x )
                   



      .                                    (C f ) ‫ه‬                 ‫ر‬                   ،            ‫ر ا را‬          ‫ن‬                ‫ دا زو‬f                    ‫إذا آ‬
                                               . (C f ) ‫ه‬                               ‫آ‬           ،      ‫ا‬         ‫نأ‬              ‫د‬   ‫ دا‬f                    ‫إذا آ‬


                                          3
                                         x 2 − x , x ≤ 2
                                f (x ) =                        :                                        ℝ                          ‫ا ا ا د ا‬f
                                         (4 − x ) x − 2 , x > 2
                                                  3
                                         
                                          . (o , i , j )                                            ‫بإ‬              ‫ى‬                     ‫ه‬              (C f )                ‫و‬
                                      . (C f )                      ‫ر‬                   x =2               ‫د‬        ‫ا ي‬                   ‫أن ا‬

       Lycée My Rachid – Aguelmous                                      - 12 -                                                                Mohamed iaalou
‫ى: ‪2Bac PC+SVT‬‬             ‫ا‬        ‫ا وال‬     ‫-درا‬            ‫قو‬                ‫ا‬               ‫س‬             ‫-أ‬       ‫ير‬                 ‫ا ه‬          ‫ا‬
             ‫ت:‬       ‫دا‬        ‫‪Dérivation – étude de fonctions‬‬                                                                   ‫إ‬         ‫ذ:‬         ‫ا‬

                                                                                                               ‫د‬            ‫دا‬        ‫درا‬             ‫‪ -(IX‬أ‬
                                                                                                                   ‫ود‬            ‫دا‬         ‫ل1: درا‬
                  ‫1‬            ‫1‬
       ‫: 2 ‪.f ( x ) = x4 − x3 − x‬‬                             ‫ل ‪ℝ‬‬               ‫ا‬                              ‫‪f‬ا ا ا د ا‬
                  ‫4‬            ‫3‬
                                            ‫ات ‪. D f‬‬                   ‫ت‬        ‫1( - د ‪، D f‬‬
                                                                                        ‫ا‬                 ‫أ‬
                                       ‫أن ) 2 − ‪. ∀x ∈ ℝ , f ' ( x ) = x ( x 2 − x‬‬     ‫2( – أ-‬
                                                                        ‫‪.f‬‬              ‫ات ا ا‬          ‫ب- أدرس‬
                                        ‫.‬      ‫ري ا‬                    ‫) ‪(C f‬‬                       ‫ا‬    ‫3 ( - أ- د‬
                                              ‫) ‪. (C f‬‬                                           ‫ب- أدرس ا وع ا‬
                                              ‫.‬                                                 ‫) ‪(C f‬‬    ‫4(- أر ا‬
                                                                                                                       ‫ر‬          ‫دا‬        ‫ل2 : درا‬
                                             ‫‪x +4 x‬‬
                                              ‫2‬
                               ‫= ) ‪.f ( x‬‬            ‫:‬                                           ‫‪f‬ا ا ا د ا‬
                                               ‫1+ ‪x‬‬
                                            ‫ات ‪. D f‬‬                   ‫ت‬                 ‫ا‬                ‫أ‬        ‫1( – أ- د ‪، D f‬‬
                                ‫‪f‬‬     ‫ا ا‬                      ‫آ‬            ‫) 2 , 1− ( ‪Ω‬‬                           ‫أن ا‬    ‫ب-‬
                                                                      ‫أن 3 + ) 1 + ‪( x‬‬
                                                                                                      ‫2‬

                                             ‫= ) ‪. ∀x ∈ D f , f ' ( x‬‬                                                             ‫2( – أ-‬
                                                                         ‫) 1 + ‪(x‬‬
                                                                                  ‫2‬


             ‫[∞+ , 1−] و [ 1− , ∞−] .‬              ‫ا‬               ‫آ‬               ‫ب- ا‬
                                                                                    ‫‪f‬‬           ‫ا ا‬            ‫ر‬
                                   ‫.‬           ‫ري ا‬          ‫) ‪(C f‬‬       ‫ا‬      ‫3( – أ- د‬
                                             ‫ا ا ‪.f‬‬                   ‫ب- أدرس ا وع ا‬
                                            ‫.‬                      ‫) ‪(C f‬‬      ‫ج- أر ا‬
                                              ‫ا ل [∞+ , 1−] .‬         ‫را ا ‪f‬‬      ‫‪g‬‬     ‫4( -‬
         ‫.‬                     ‫ل ‪J‬‬                            ‫دا‬        ‫أن ا ا ‪g‬‬     ‫أ-‬
                                            ‫ا ل ‪.J‬‬         ‫‪x‬‬     ‫) ‪g (x‬‬
                                                                   ‫1−‬
                                                                              ‫ب- د ا‬
                                                                                                                                  ‫دا‬        ‫ل3: درا‬
                   ‫‪sin x cos x‬‬
       ‫= ) ‪،f (x‬‬               ‫:‬                           ‫‪x‬ا‬                       ‫ا‬                         ‫‪f‬ا ا ا د‬
                   ‫‪1 − cos 4 x‬‬
                                             ‫) ‪. (o , i , j‬‬                                                        ‫ه‬             ‫) ‪(C f‬‬         ‫و‬
                                                              ‫‪.f‬‬            ‫ا ا‬                                         ‫د ‪، Df‬‬          ‫1( -‬
                                                                                              ‫1‬
                                                     ‫= ) ‪. ∀x ∈ D f , f ( x‬‬                         ‫أن‬                            ‫2( – أ-‬
                                                                                          ‫‪4 sin 2 x‬‬
                                                           ‫دوره ‪. π‬‬                     ‫أن ‪ f‬دا دور‬                              ‫ب-‬
                  ‫‪π‬‬
     ‫‪ f‬ه ‪. D E = 0 , ‬‬
             ‫‪ 2‬‬                    ‫ا ا‬     ‫درا‬                ‫أن‬                      ‫ا‬             ‫د‬        ‫أن ‪f‬‬               ‫ج-‬
             ‫‪‬‬    ‫‪‬‬
                                                       ‫‪π‬‬
                                       ‫ل ‪. D E = 0 , ‬‬
                                               ‫‪ 2‬‬                     ‫ا‬                   ‫‪f‬‬       ‫ات ا ا‬                  ‫3(- أ- أدرس‬
                                               ‫‪‬‬    ‫‪‬‬
                                     ‫‪[ −π , π ] ∩ D f‬‬                       ‫ا‬                   ‫) ‪(C f‬‬                  ‫ا‬         ‫ب- أ‬
‫‪Lycée My Rachid – Aguelmous‬‬                             ‫- 31 -‬                                                                   ‫‪Mohamed iaalou‬‬
  ‫ى: ‪2Bac PC+SVT‬‬                ‫ا‬           ‫ا وال‬           ‫-درا‬                 ‫قو‬           ‫ا‬          ‫س‬       ‫-أ‬       ‫ير‬            ‫ا ه‬        ‫ا‬
               ‫ت:‬          ‫دا‬           ‫‪Dérivation – étude de fonctions‬‬                                                            ‫إ‬      ‫ذ:‬       ‫ا‬

                                                                                         ‫‪.n‬‬              ‫ا‬   ‫ر‬        ‫ا‬        ‫ي‬          ‫ل4: دا‬


                    ‫(‬               ‫)‬                           ‫1− ‪‬‬
                        ‫2‬                                                ‫‪‬‬
‫: ‪. f ( x ) = −x + 3 1+ 3x‬‬                                      ‫ل ‪ 3 , +∞ ‬‬                   ‫ا‬                     ‫‪f‬ا ا ا د ا‬
                                                                ‫‪‬‬        ‫‪‬‬
                                                                                              ‫أن : ∞− = ) ‪lim f ( x‬‬                     ‫1(-‬
                                                                                             ‫∞+→ ‪x‬‬

                                                            ‫1‬
  ‫.‬     ‫ه‬           ‫أول ا‬                    ‫ا‬          ‫−‬                    ‫ا‬       ‫‪f‬‬       ‫قا ا‬            ‫ا‬            ‫2(- أ – ادرس‬
                                                            ‫3‬
                                                                                                  ‫‪2−3 1+ 3x‬‬
                    ‫ل ‪.  − , +∞ ‬‬
                          ‫1‬
                      ‫‪‬‬        ‫‪‬‬                    ‫ا‬           ‫‪x‬‬                ‫= )‪f ' ( x‬‬                 ‫أن‬                     ‫ب-‬
                        ‫3 ‪‬‬             ‫‪‬‬                                                          ‫‪3 1+ 3x‬‬
                                        ‫ات ا ا ‪. f‬‬                       ‫ول‬              ‫أ‬         ‫ج – أدرس إ رة ) ‪f ' ( x‬‬
  ‫‪y = −x‬‬        ‫د‬       ‫ا ي‬                ‫ا‬   ‫ا‬                                                     ‫‪f‬‬     ‫ا ا‬     ‫أن‬    ‫3( –‬
                                                 ‫: ‪g ( x) = f ( x) − x‬‬                                       ‫ا ا ‪g‬ا‬      ‫4( –‬
                                 ‫ا ل ] 2 , 0[ .‬                                                           ‫أن ا ا ‪g‬‬    ‫أ–‬
            ‫ل ] 2, 0 [ .‬        ‫و ا ‪ α‬ا‬                                          ‫‪f ( x) = x‬‬              ‫أن ا د‬     ‫ب–ا‬
                    ‫.‬                       ‫بإ‬                                   ‫ى‬                       ‫ا ا ‪f‬‬        ‫5( – أر‬

                                                                                         ‫‪.n‬‬              ‫ا‬   ‫ر‬        ‫ا‬        ‫ي‬          ‫ل5: دا‬

                    ‫1‬
      ‫: ‪. f( x)= x− 3 x‬‬                                                 ‫‪x‬ا‬               ‫ا‬                   ‫‪ f‬ا ا ا د‬
                    ‫3‬
                                                                         ‫ا ا ‪. f‬‬                  ‫1(-أ- د ‪, D f‬‬
                                                                           ‫: ) 0 ( ‪ f‬و ) ‪. lim f ( x‬‬     ‫ب- أ‬
                                                                             ‫∞+→ ‪x‬‬

                ‫.‬          ‫ه‬                ‫أول ا‬                   ‫ا‬                    ‫ا‬         ‫ق ‪f‬‬           ‫ا‬         ‫2(-أ- أدرس‬
                                                                                                  ‫‪1‬‬            ‫‪1 ‬‬
                                                 ‫− 1 ‪. ∀x ∈ ]0 , +∞[ , f ' ( x ) = ‬‬                                ‫أن : ‪‬‬  ‫ب-‬
                                                                                                  ‫‪3‬‬          ‫3‬
                                                                                                                ‫‪x2 ‬‬
                                             ‫ات ا ا ‪. f‬‬     ‫ول‬                                           ‫ج- أدرس إ رة ) ‪f ' ( x‬‬
                                              ‫ار ∞ + .‬    ‫ا ا ‪f‬‬                                              ‫3(-أ- أدرس ا ع ا‬
        ‫) ‪. ( o,i , j‬‬                                  ‫بإ‬    ‫ى‬                                         ‫ا ا ‪f‬‬        ‫ب-أر‬




  ‫‪Lycée My Rachid – Aguelmous‬‬                                            ‫- 41 -‬                                                ‫‪Mohamed iaalou‬‬

								
To top