Fundamentos de matemática elementar 10

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Fundamentos de matemática elementar 10 Powered By Docstoc
					Fundamentos de' '. Matemática Elementar
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Osvaldo Dolce José Nicolau Pompeó
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Neste volume 10 - Geometria Espacial: posição e métrica - a teoria foi revisada e os exercícios selecionados e reordenados. Em cada capítulo os exercícios foram graduados do seguinte modo: os iniciais foram introduzidos por figuras, com dados numéricos e literais; os demais por enunciados, e por fim apresentamos os exercícios demonstrativos. Para todos os exercícios sào fornecidas respostas ou é apontada uma seqüência de passos que permite obter suas soluções ou demonstrações. A reordenação ea seleção dos exercícios nos capítulos de Geometria de Posição tiveram a participação do professor Luiz Belloni Jr., e nos capitulas de Geometria Métrica contamos com a colaboração expressiva dos professores Arnaldo Bentó Rodrigues, Clementino de Oliveira, Roberto Périgo e Sonia Regina Cavallini. A eles os nossos agra. decimentos pela valorizaçào da qualidade dos exercícios. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra; gostaríamos de receber dos colegas professores uma apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quais agradecemos. Os Autores.

SUDlário

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO...... I. Conceitos primitivos e postulados II. Determinação de plano 11I. Posições das retas IV. Interseção de planos

:......................

1 1 4 8 11 17 17 19 21 23 25 27 29 31

CAPÍTULO 11 - P ARALELlSMO . I. Paralelismo de retas 11. Paralelismo entre retas e planos III. Posições relativas de uma reta e um plano IV. Duas retas reversas V. Paralelismo entre planos VI. Posições relativas de dois planos VII. Três retas reversas duas a duas VIII. Ângulo de duas retas - Retas ortogonais

;......

CAPÍTULO IH - PERPENDICULARIDADE .. I. Reta e plano perpendiculares 11. Planos perpendiculares CAPíTULO IV - APLICAÇÕES.. I. Projeção ortogonal sobre um plano lI. Segmento perpendicular e segmentos oblíquos a um plano por um ponto 1I1. Distâncias geométricas IV. Ângulo de uma reta com um plano V. Reta de maior declive de um plano em relação a outro... VI. Lugares geométricos Leitura: Tales, Pitágoras e a geometria demonstrativa

35 35 48 52 52 56 59 68 69 71 78

CAPÍTULO V - DIEDROS . I. Definições .. lI. Secções . m. Diedros congruentes - Bissetor - Medida . IV. Secções igualmente inclinadas - Congruência de diedros .

80 80

82 84
93

CAPÍTULO X - CILINDRO . 215 I. Preliminar: noções intuitivas de geração de superfícies cilíndricas . 215 11. Cilindro . 217 lU. Áreas lateral e total . 220 IV. Volume do cilindro .. 220 CAPÍTULO XI - CONE .. L Preliminar: noções intuitivas de geração de superfícies cônícas 11. Cone .. IIL Áreas lateral e total .. IV. Volume do cone ..

CAPÍTULO VI - TRIEDROS I. Conceitos e elementos 11. Relações entre as faces lU. Congruência de triedros IV. Triedros polares ou suplementares V. Critérios ou casos de congruência entre triedros VI. Ângulos poliédricos convexos ,

. . . .. . . .

101

Wl 102 106 107 113 119

233 233 236 238 239 250 250 252 254 263 266

CAPiTULO VII - POLIEDROS CONVEXOS 1. Poliedros convexos 11. Poliedros de Platão lU. Poliedros regulares

. . . .

123 123
130 132

CAPÍTULO XII - ESFERA .. L Definições . lI. Área e volume .. 1I1. Fuso e cunha .. IV. Dedução das fórmulas das áreas do cilindro, do cone e da esfera ..........•......................................................... Leitura: Lobachevski' e as geometrias não euclidianas ..

CAPiTULO VIII - PRISMA L Prisma ilimitado 11. Prisma 1I1. Paralelepípedos e romboedros IV. Diagonal e área do cubo V. Diagonal e área do paralelepípedo retângulo VI. Razão entre paralelepípedos retângulos VIL Volume de um sólido VIU. ",:olume do paralelepípedo retângulo e do cubo IX. Area lateral e área total do prisma X. Princípio de Cavalieri XI. Volume do prisma XII. Secções planas do cubo XIII. Problemas gerais sobre prismas Leitura: Cavalieri e os indivisíveis CAPÍTL1LO IX - PIRÂMIDE I. Pirâmide ilimitada

. . . .. . .. .. . .. .. . . . . ..

137
137 139

143 145 146 151 153
153

CAPÍTULO XIII - SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS I. Secção de uma pirâmide por um plano paralelo à base . 11. Tronco de pirâmide de bases paralelas .. 111. Tronco de cone de bases paralelas .. IV. Problemas gerais sobre sólidos semelhantes e troncos .. V. Tronco de prisma triangular .. . VI. Tronco de cilindro

268 268
277

284 289 294 296

162 164 166
176
180

183

I;;: ~~~~~ed~

.. i~â~i·

IV. Área 1aterate

áread~;i~i·d~·pi;â~id~·:::::::::::::::::::::::::::194

..··..·..··..·..·············..·..·..·..··..·..·..··

. 185 . 185

186 189

CAPiTULO XIV INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS . I. Esfera e cubo . lI. Esfera e octaedro regular .. III. Esfera e tetraedro regular . IV. Inscrição e circunscrição envolvendo poliedros regulares . V. Prisma e cilindro .. VI. Pirâmide e cone .. VII. Prisma e pirâmide . VIII. 'Cilindro e cone ..

300 . 300

302
304 307

310

312
313

316

b

CAPÍTULO I
IX. X. XI. XII. XIII. Cilindro e esfera Esfera e cone reto : Esfera, cilindro equilátero e cone equilátero Esfera e tronco de cone Exercícios gerais sobre inscrição e circunscrição de sólidos 318 321 327 329 331

CAI'ÍTULO XV - SUPERf"ÍCIES ESÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 333 I. Superfícies de revolução 333 11. Sólidos de revolução........... 335

Introdução
~.

CAPÍTULO XVI - SUPERFÍCIES E SÓLIDOS ESfÉRICOS I. Superfícies - Definições n. Áreas das superfícies esféricas 111. Sólidos esféricos: definições e volumes IV. Deduções das fórmulas de volumes dos sólidos esféricos. Leitura: Riemann, o grande fílósofo da geometria

348 348 349 354 364 370

I. Conceitos primitivos e postulados
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS ..: ; 372

nsn:s DE VESTIBULARES
Rf:SPOST AS DOS TESTES

395
440

1. As noções (conceitos, termos, entes) geométricas são estabelecidas por meio de definições. Em particular, as primeiras noções, os conceitos primitivos (noções primitivas) da Geometria, são adotadas sem definição. Adotaremos sem definir os conceitos de:
PONTO, RETA e PLANO. ·1

A

•

o ponto A.
~/I ..,

A reta r.

O plano

OI.

Do ponto, da reta e do plano temos um conhecimento intuitivo decorrente da experiência e da observação. O espaço é o conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto desenvolveremos a Geometria EspaciM.
1

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INffiODUÇÃO INffiODUÇÃO

As proposições (propriedades) geométricas são aceitas mediante demonstrações. Em particular, as primeiras proposições, as proposições primitivas ou postulados são aceitos sem demonstração. Assim, iniciamos a Geometria com alguns postulados, relacionando o ponto, a reta e o plano.
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2.

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EXERCÍCIOS

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1. Demonstre que num plano existem infmitas retas.

3.

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Postulado da existência
a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.

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4.

Postulado da determinação

A

•

B

;;;Co.nslderemos, u,lQ plano.,q ~. nele ,~, ." I?esseJlJod~ podemos construl~ em". ~:. " "" dOIS pontos distIntos A e B, Estes"",. a'itantas retas quantas qUiser",' ,~ 1 '',''; po~tos de,terminam um~ reta T, q~~ mos::, ~sto é';'infinita~:"' !etas, ,;'" ;~ f : "'esta contlda em 0::, pOIS tem; dOIS »:' :~,,, ,_ ...'" " " " . , : ' " ' ~,;' , ' " h , " li I\l;,;"pontosdistintos .emá.Considere~;,,; IJ'- ' . ; ,"f"'" .. !>o'.;, " T . ~, id·
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a) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. b) Três pontos não co/ineares determinam um único plano que passa por eles.
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2. Quantas retas há no espaço? Demonstre.

3. Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois

5.

Postulado da inclusão

Se umá reta tem dois pontos dis· tintos num plano, então ela está contida no plano.

/j]jff}
IA '" B, r =

,

a dois distintos, se: a) A, B e C são colineares.

b) A, B, C e D não são coplanares.

4. Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?
C a,
~

AB, A E a, B E

a) .. r

5. Três retas, duas a duas concorrentes, não passando por um mesmo ponto, estão
contidas no mesmo plano.

6.

Retas concorrentes - definição

Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto comum.

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r

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=

[P]

7.

Retas paralelas - definição

a

b

a=b"a#b

\'

e A, B e C não colineares. Pelo postulado da determinação existe o plano O:: :; (A, B, C).' Pelo postulado da inclusão, temos: (A ~ B; A, B E ti) t C Analogamente temos: A C O:: e r C a.

IX,

Duas retas são paralelas se, e somente se, ou são coincidentes ou são coplanares e não têm ponto comum.

6. E comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Explique, usando argumentos de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 pernas.
3

2

•

,
INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO

11. Determinação de plano
8.
Existem quatro modos de determinar planos. 1~ 2~
3~

2~

parte: Unicidade

4~

modo: modo: modo: modo:

por por por por

três pontos não colineares. uma reta e um ponto fora dela. duas retas concorrentes. duas retas paralelas distintas.

Provemos que a: é o único plano determinado por r e P. Se existissem a: e a' por r e P, teríamos:
(a
(a'
=: =:

o primeiro modo é postulado e os demais são os três teoremas que seguem.
9. Teorema 1
Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta, então eles determinam um único plano que os contém.

(r, P); A, B E r) =- a =: (A, B, P») ==> a (r, P); A, B E r) ==> a' = (A, B, P) j

=:

a'

Logq, não existe mais que um plano (r., P). (2) Conclusão: «I) e (2» ==> 31 a I P E a e r C a.

10. Teorema 2
Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único plano que as contém.

Hipótese
(P

Tese

fi:

r) ==> (3 I a I P E a

e r C a)
Hipótese Tese (r n s = [PJ) ==> (3 I a I r C a e s C a) Demonstração
1~ parte: Existência

Demonstração
Sendo um problema de existência e unicidade, dividimos a demonstração nestas duas partes.
1~ parte: Existência

a) Construção:

a) Construção:

Tomamos em r dois pontos distintos, A e B. Os pontos A, B e P, não sendo colineares (A, B E r e P nam um plano a. b) Prova de que a é
O

fi:

r), determi-

plano de r e P.
a:
=:

Tomamos um ponto A em r e um ponto B em s, ambos distintos de P. Os pontos A, B e P, não sendo colineares (A, P E r e B fi: r), determinam um plano a. b) Prova de que a é
O

a: ;;;;: (A, B, P) ==> P E a

A

~

(A, B, P) B; A, B E r

J

plano de r e s.
==>

==>rCa:

(a

=:
=:

(a

(A, B, P); A, P E r; A ~ P) (A, B, P); B, P E s; B ~ P)

==>

S

r C a C a:

Logo, existe pelo menos o plano a construído por r e P. Indicaremos por
a
4
=:

(r, P).

(I)

Logo, existe pelo men,os o plano Ct construído, passando por r e s. Indicaremos por Ct =: (r, s). (I)
5

INTRODUÇÃO
2~

INTRODUÇÃO

parte: Unicidade

Se existissem a e a' , por r e s concorrentes, teríamos:
(a = (r, s); A, P E r; B E s) => a (a' = (f, s); A, P E f; B E s) => a'

EXERCÍCIOS
=
(A, B, P) = (A', B', P).

J
=-- ex

7. Quantos são os planos que passam por uma reta?
a'

Logo, não existe mais que um plano (r, s). (2) Conclusão: «1) e (2» 31 a I r C a e s C a.

Solução Infinitos.
a) Construção:

=--

11. Teorema 3
Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único plano que as contém. Hipótese (t#s, r
:;f;

Tese
s)

=--

(3 1 a I r C a

e s C a)

Demonstração

1~ parte: Existência
A existência do plano a = (r, s) é conseqüência da definição de retas pa. raleias (ou da existência dessas retas), pois: .
(f

Seja r a reta. Tomamos. um ponto A fora de r. A reta r e o ponto A determinam um plano 0:. Fora de 0:, tomamos um ponto B. A reta r e o ponto B determinam um plano {3. Fora de o: e (3, tomamos um ponto C. A reta r e o ponto C determinam um plano 'Y. Desse modo podemos construir, por r, tantos planos quantos quisermos, isto é, construímos infinitos planos. b) Prova: Todos os planos assim construídos passam por r, que com os pontos corres· pondentes os está determinando.

# s,

r

:;f;

s)

=-

(3 a I r C a, S C a

e

f

n

s

=

0).
8. Quantos planos passam por dOÍs pontos distintos? (1) 9. Prove que duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são coplanares. 10. Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra. Solução Sejam r e s as duas retas, P um ponto de s e C( o plano (r, P). As retas r e s determinam um plano a'. Temos, então:
(a'
:=

Logo, existe pelo menos o plano a (da definição), passando por r e s. 2~ parte: Unicidade Vamos Supor que por r e s passam dois planos a e a' e provemos que eles coincidem. Se existissem a e a', por r e s paralelas e distintas, tomando-se A e B distintos em r e P em s, teríamos:
(a, = (r, s); A, B E r; P E s) (a = (r, s); A, B E r; P E s)
=>
=>

A
S

•
Q!'

B
e

e

_

a

p

a = (A, B, P) } a' = (A, B, P)

== a

a'

Logo, não existe mais que um plano (r, s). (2) Conclusão: «(1) e (2» => 31 a I r C a e s C a.
6

(r, s), P E s)

Se o:

=

0:'

0:' =:; (r, P) =- cl := 0:. contém s, ~ntão o plano C( contém a reta s.

==-

f

7

· ,',

INTRODUÇÃO

INTRODUÇÃO

11. Num plano Q' há uma reta r e um ponto P não pertencente a r. Prove que: se conduzimos por P uma reta S, paralela a r, então s está contida em ex, 12. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Três pontos distintos determinam um plano. b) Um ponto e uma reta determinam um único plano. c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos. e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.

14. Observação
Chamamos figura a todo conjunto de pontos. Umafigura é plana quando seus pontos pertencem a um mesmo plano, e os pontos são ditos coplan~­ res; caso contrário, a figura é chamada figura reverso e os pontos, nao coplanares.

15. Posições relativas de duas retas
Em vista de definições anteriores, dadas duas retas distintas r e s, ou elas são concorrentes, ou paralelas ou reversas. Essas posições podem ser sintetizadas da seguinte forma: ' e s têm ponto comum - - r e s concorrentes ou res coplanares [ r e s não têm ponto comum __ r e s paralelas distintas ou [ r e s reversas . .

IH. Posições das retas
12. Retos reversos - definição
Duas retas são chamadas retas reversos se, e somente se, não existe plano que as contenha.

res

a

~ b------.

r e s têm ponto comum - - r e s são concorrentes

re s distintas
r reversa com s
não existe plano (r, s) e r n s === ,0

ou

a e b reversas não existe plano (a, b) e a n b === 0

[ têm ponto comum r e s não coplanares __ r e s são reversas

r e s nao

_

[r e s coplanares _ ou e ssão paralelas r .

Se as retas r e s são coincidentes (ou iguais), elas são paralelas.

13. Quadrilátero reverso - definição
Um quadrilátero é chamado quadrilátero reverso se, e somente se, não existe plano contendo seus quatro vértices.

EXERCÍCIOS
13. Prove a existência de retas reversas. Solução a) Construção: Consideremos uma reta r e um ponto P fora de r. A reta r e o ponto P determinam um plano a •.= (T, P),

I
9

Se
8

Q

(A, B, D) e C

ti:

Q,

então ABCD é quadrilátero reverso.

INTRODUÇÃO

INTRODUÇÃO

18. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): Tomemos fora de ex um ponto X. Os pontos distintos P e X determinam uma reta S '=,P X.

--

a) Duas retas ou são coincidentes ou são distinta~.
b) Duas retas ou são coplanares ou são reversas.

b) Prova de que r e s são reversas:

Se existe um plano {l ~ (r, s), temos: (r C f3 e P E {l) => f3 ~ (r, P) => {3 "" a ({l = ex, S C /1, X E s) => X E a (o que é absurdo, pois tomamos X Logo, não existe um plano contendo r e s. Assim, obtivemos 'duas retas r e s, reversas.

c) Duas retas distintas determinam um plano. d) Duas retas concorrentes têm um ponto comum. e) Duas retas concorrentes têm um único ponto comum. O Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes. g) Duas retas concorrentes são coplanares. h) Duas retas coplanares são concorrentes. i) Duas retas distintas não paralelas são reversas. j) Duas retas que não têm ponto comum são paralelas. k) Duas retas Que não têm ponto comum são reversas. 1) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes. m) Duas retas não coplanares são reversas.

€t

a).

Classifique em verdadeíro (V) ou falso (F): e s são reversas. b) r e s são reversas => r (J s = 0. c) r (J s = 0 ~ r e s são paralelas. d)r/ls,r:;r.s => rns=0. e) A condição r n s = 0 é necessária para que r e s sejam reversas. f) A condição r 0 s = 0 é suficiente para que r e s sejam reversas. g) A condição r n s = 0 é necessária para que duas retas distintas r e s sejam paralelas. h) A condição r n s = 0 é suficiente para que duas retas r e s sejam paralelas. a) r
(J

s "" 0

=> ,r

14. Prove que um Quadrilátero reverso não é paralelogramo.
15. As diagonais de um quadrilátero reverso são reversas. 16. Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta t, são reversas entre si?

17. Duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
Solução Sejam r e s duas retas reversas e t uma reta concorrente com r e concorrente com s. As retas concorrentes r e s determinam um plano a. As retas concorrentes se t determinam um plano {l. Os planos a e {3 são distintos pois, se a = {3, as retas r (de a) e s (de (3) estariam neste plano a = (3, o que é absurdo, pois contraria a hipótese de serem reversas.

IV. Interseção de planos
16. Postulado da ínterseção
Se dois plan'os distintos têm um ponto comum, então eles têm pelo menos um outro ponto comum.
(o: ~ {j, P E o:

e P E

{j

=

(3 Q I Q

~

P, Q E

Ct:

e Q E (j)

17. Teorema da interseção
Se dois planos distintos têm um ponto comum, então a interseção desses planos é uma única reta que passa por aquele ponto.

(o: ~

Hipótese jJ, P E ex, P E jJ) =

.

Tese
(3 I i I o:

n

(3

=i

e P E i)
11

10

'J~~ ..

INTRODUÇÃO

INrnODUÇÃO

Demonstração
1 ~ parte: Existência
(a ~ (3, P E a, P E (3)

=-

(3 Q "# P, Q E ex e Q E (3)
.._

[

EXERCÍCIOS
a) Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto. b) Dois planos distintos que têm uma reta comum, são secantes. c) Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes. d) Se doiS' planos têm uma única reta comum, eles são secantes. e) Dois planos secantes têm interseção vazia. . f) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns. g) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns. h) Se dois planos têm um ponto comum, eles têm uma reta comum.

ex "# {3, P E ex, P E {3] Q "# P, Q Ea, Q E (3

20. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

=-

(3

I 11

= PQ,

i C a e i C (3)

A reta i determinada pelos pontos P e Q é comum aos planos a e {3.
2~

parte: Unicidade

Da 1~ parte concluímos que todos os pontos de i estão em a e em {3. Para provarmos que i é a interseção de a e {3, basta provarmos que todos os pontos que estão em a e em {3 estâo em i. É o que segue: Se existe um ponto X tal que X E a, X E (3 e X f$. i, temos: X f/=. i = - 3 I 'Y I 'Y = O, X)
(i C X E a, 'Y (i C (3, X E {3, 'Y

21. Num plano OI há duas retas AR e CD concorrentes num ponto O. Fora de OI há um ponto P. Qual é a interseção dos planos (3 = (P, A, B) e l' = (P, C, D)?
.
~.

• •

-...

"

.

•

'.

i

. '.

. 'Y

.;~,

•

...

Solução . . Os planos {3 e 'y são distintos e P . pertence a ambos.

a,

= (i, = (i,

X}) =- 'Y X» ={3

'Y: a}
=::

AB

=- a

= f3

-

...
•

n

-... CO =(OJ -~
~ ·.l

. Os planos (X e {3 coincidem Com o plano 'Y contraria a hipótese de que a ~ {3. Logo, i é a interseção de a e {3.

(i, X), o que é absurdo, pois

O E ~c O E (3 .( O E CD =* O E l'

,

~

'.'

Logo, (3
• •

n
~

1'=
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õP.
.
~ ~

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' ••••' . oi; ~

....

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..

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••

18. Planos secantes - definição
Dois planos distintos que se interceptam (ou se cortam) são chamados planos secantes (ou concorrentes). A reta comum é a interseção desses planos ou o traço de um deles no outro.

22. Num plano OI há dois segmentos de retaAB e CD, contidos em retas não paralelas e, fora de OI, há um ponto P. Qual é a interseção dos planos (3 = (P, A, R) e l' =(P, C, D)? 23. Um ponto P é o traÇO de uma reta r num plano OI. Se {3 é um plano qualquer que passa por r, o que ocorre com a interseção OI n fJ = i?
Solução

19. Observações
(P E r, r C (3) =* P E {3

l~) Para se obter a interseção de dois planos distintos basta obter dois pontos distintos comuns a esses planos. ' 2~) Para se provar que três ou mais pontos do espaço são colineares, basta provar que eles pertencem a dois planos distintos.
12

(OI ;o!

(3, P E

OI,

P E (3) OI

P E i
passa por P.

.~.
I

/ I
/

,3

-------o _./
Ct

i

Logo, a interseçã9 de (3 com

13
/

INTRODUÇÃO

INTRODUÇÃO

24. Duas retas r e s são reversas. Em r há um ponto R e em s há um ponto S. Qual é a interseção dos planos a = (r, S) e {3 = (s, R)?

2:'

caso:

25. Qual é a interseção de duas circunferências de raios congruentes, centros comuns e situadas em planos distintos? 26. As retas que contêm os lados de um triângulo ABC furam um plano a nos pontos O, PeR. Prove que 0, P e R são colineares.
27. Os triângulos não coplanares ABC e A'B' C' são tais
~ ~

..... retas Ai e E são concorrentes em O; A C e A' C' são concorrentes em P; BC e B' C' são concorrenq~e as
~
'"" ,o,,·
",

1':') a

e b são concorrentes:

tes em R. Prove que 0, P e R são colineares.
;;'

a
a

b = fP).e ~~~ndo as igualdades Supondo, então, que existe P tal que a = b n '"'I, b =< o: n -y ~ a n (3 = c, para substltUlçoes, temos:

n

Solução· Sendo ci AR

lO=>

.... n

n b = [P] =- «(3 n -y) n (a n ",) = [P] (CI n (3) n ." :: [P) => C n l' = [P]
n
b = [PJ, então a

-. o:

n (3 n -y = [P)

--. P E c.

= (A, B,

C) e a'
.'

(O E AB, AR C a) ~. O E a (O E A'R' ,A'B' C a') --. O E a'
O ponto O pertence a a e a' distintos. Analogamente, P E CI e P E a', R E CI e R E a'. . Os pontos O, P e R, sendo comuns .a ~ e a' distintos, são coliueares, pois pertencem à interseção desses planos, que é uma única reta.

---

~

= (A~, B', C'), temos: ...................

A'R' = [OJ ... O E AR e O E A'R'

Logo, se a

nbnc

:::: (P) .

I!' conclusão: Se três planos são distintos e dois a dois secantes, segundo três retas distintas, e duas dessas retas são concorrentes, então todas as três incidem num mesmo ponto.
a

28. Teorema dos três planos secantes
Se três planos 0:, {3 e '"'I são distintos e dois a dois secantes, segundo três retas a. b, c ({3 '"'I =< a, o: n '"'I = b. o: (3 = c), estude essas três retas.

n

n

I

2~) a e b são paralelas (distintas);

I
I I

I I I
I

Solução

I?

CilSO:

Estudemos as retas a e c. As retas a e c distintas são coplanares (a, c C (3) por hipótese.
Se 3 Q 1 a

,
I
I

Por uma reta passam infinitos planos. . Então, .por a = b = c passam (3 e -y.

n c = [Q),
==>

temos, peb

'-

lo item anterior:

a.

a

n

c = (Q)

a

n

n

c :::: (Q),

As retas a, b e c podem ser coincidentes.

o que é absurdo, por contrariar a hipótese em estudo (a e b não têm ponto comum). .

.

14

15

INTRODUÇÃO

Logo, a e c são paralelas. Considerando b e c, de modo análogo, concluímos que b e c são paralelas. 2!' conclusão: Se três planos são distintos e dois a dois secantes, segundo três retas distintas, e duas dessas retas são paralelas, todas as três são paralelas (duas a duas), Reunindo as conclusões, temos o teorema dos três planos secantes: Se três planos distintos são dois a dois secantes, segundo três retas, ou essas retas passam por um mesmo ponto ou são paralelas duas a duas.

CAPÍTULO 11

Paralelismo
I. Paralelismo de retas
20. Postulado das paralelas - postulado de Euclides

29, Se dois planos que se cortam passam respectivamente por duas retas paralelas distintas (cada um por uma), a interseção desses planos é paralela às retas. 30. Duas retas distintas a e b estão num plano IX e fora de a há um ponto P. Estude a interseção dos planos f3 = (a, P) e l' = (b, P) com relação às retas a e b.
31. Complete:
a) (a b) (a c) (a

= f3 n 1', = {3 n 1',
= f3

n . ,.,

b = b = b =

Ct

Ct Ct

n 1', c = IX n f3 n /', c = Ct n (3 n . ,., c = IX fi (3)

e a

n

c

=

[P))

=-

Por um ponto existe uma única reta paralela a uma reta dada.

e a#c)

=- ...

=- .. ,
21. Transitividade do paralelismo de retas
Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si.

Hipótese

Tese

(a#c, b#c) ==> (a#b)

Demonstração

Consideremos o caso mais geral: a planares:

;t.

b, a

;t.

c, b

;t.

c e a, b, c não co-

1. Pelo postulado das paralelas concluímos que a e b não têm ponto comum. 2. As retas.a e c determinam um plano {3; b e c determinam um plano Q:' e c = 01 fi {3.
16

17

,~.:':.x;:,.: .
PARALELiSMO

..

·:===========?i:;;;ii::;;;ii:iiiiiiê.·••

ii5iiiiii·iiiiiiííiiiiiiiíii7ã7.· · ·iIi:-.·-.···.····_ili··iilI •..•.• • •

PARALELISMO ::=

Tomemos um ponto P em b e teremos 'Y

(a, P).

lI. Paralelismo entre retas e planos

22. Definição
U ma reta é paralela a um plano (ou o plano é paralelo à reta) se, e somente se, eles não têm ponto comum.
p

---------a

aI7Cf .. anCi'" 0

Os planos distintos a e 'Y têm o ponto P comum, então têm uma reta comum que nomearemos de x (não podemos dizer que é b para não admitirmos a tese).

23. Teorema da existência de retas e planos para/e/os
a) Condição suficiente

(a == fi

n

1'. x :;

Ct

n "/,

c

=

Ct

n f3

e aI/c)

=>

(aI/x e c/lx) Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.

O ponto P pertence, então, às retas b e x e ambas são paralelas à reta c. Logo, pelo postulado das paralelas, x ::;:: b. Como a 11 x e x = b, vem que a li b.

Hipótese (a([a,allb,bCa)
Demonstração

=>

Tese alia

(a li b, a

n

b

= 0)
~

=>

3 {J == (a, b)

(b C a, b C {J, a

(J) => b::;:: ex

n

{J

32. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são vértices de um paralelogramo.
33. Num quadrilátero reverso ABCD, os pontos M, N, P, Q, R e S são respectivamen-

te pontos médios de AB, AD, CD, BC, BD e AC. Prove que MNPQ, MSPR e NSQR são paralelogramos. 34. Considere um quadrilátero reverso e três segmentos: o primeiro com extremidades nos pontos médios de dois lados opostos, o segundo com extremidades nos pontos ~édios do~ outro~ dois lados opostos, o terceiro com extremidades nos pontos mé. dlOs das dIagonaIs. Prove que esses três segmentos se interceptam num ponto.
18

Se a e a têm um ponto P comum, vem:

(P E a, a C (3)

=>

P E fi

Com P E {J e P E a, decorre P E b. Então P E a e P E b, o que é absurdo visto que a n b ::;:: 0. Logo a e
Ct

~ão

têm ponto comum, isto é, aI/ Ol.
19

PARALELISMO

PARALELISMO

24. Observações
1~) Outro enunciado do teorema acima:

25. Observações
1~)

Outros enunciados do teorema anterior:

.Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma e não contem a outra, é paralelo a essa outrá.
2~) O teorema acima dá a seguinte condição suficiente:

Se dois planos são secantes e uma reta de um deles é paralela ao outro, então essa reta é paralela à interseção.
b, a C (3,al/a) =- a!lb Se uma reta dada é paralela a um plano dado, então qualquer plano que
({3
0/

n

=

Uma condição su.ficiente para que uma reta, não contida num plano, seja paralela a esse plano e ser paralela a uma reta do plano.

passa pela reta e intercepta o plano dado, o faz segundo uma reta paralela à reta dada.
(aI/O/,{3=>a,{3na=b)

=- bl/a

2 ~) Condição necessária e suficiente:

b) Condição necessária
Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano.

Uma condição necessária e suficiente para que uma reta (a), não contida num plano (a), seja paralela a esse plano, é ser paralela a uma reta (b), contida no plano. .

Hipótese

Tese
=>

aI/a

(3 b C a I al/b)

IH. Posições relativas de uma reta e um plano
26. Uma reta e um plano podem apresentar em comum:
1~)

dois pontos distintos:

a reta está contida no pllmo. a C a, anO/ = a

2':') um único ponto:
anOl=0

Demonstração

a reta e o plano são concorrentes ou a reta e o plano são secantes.· anO/ = (P)

OI

Conduzimos por a um plano {3 que intercepta a em b. . As retas a e b são coplanares, pois estão em {3, e não têm ponto comu POIS: m,
(a n a = 0"b C a) =- a Logo, aI/ b.
20

-------1
3~)

nenhum ponto comum:

n

b

=0

a reta e o pl~no são paralelos. a n a = 0
21

PARALELISMO

PARALELISMO

IV. Duas retas reversas
. • o'.

· ·.· . ·.···EXERCÍCIOS.·•.•·. · •· •· · . ' . . <
27.
Problemas que se referem a duas retas Jeversas (r e s) e a um ponto (P) devem ser analisados em três possíveis hipóteses:
J? caso: O ponto pertence a urna das retas.

35. Construa uma reta paralela a um plano dado. 36. Construa um plano paralelo a uma reta dada. 37. Se uma reta é paralela a um plano e por um ponto do plano conduzimos uma reta paralela à reta dada, então a reta conduzida está contida no plano.
~,.

2;~ caso:\) ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à outra
.;:.

reta. Por exemplo: a
(r, P)
C

a li s.

~s

..···

38.. Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à interseção. 39. Se duas retas paralelas são dadas e uma delas é paralela a um plano, então a outra é paralela ou está contida no plano. 40. Dadas duas retas reversas r e s, construa por s um plano paralelo ar. 41. Duas retas r e s são reversas. Prove que as retas paralelas a r, conduzidas por pontos de s. são coplanares. 42. Construa por um ponto uma reta paralela a dois planos
22
secante.~.

3 ~ caso: O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano Inão pa-. """ raleio à outra. (\,·f_.-·'>~.. '\. :i, . <"'. , .. ~r~ (':(' , , :
lo ' :

~

'. . ..... . "

4...'j ,I".

I.
,o.

(r, P) e O! não paralelo a s e (s, P) e fj não paralelo a r.

23

ri

PARALEUSMO

PARALELISMO

44. Construa por um ponto P um plano paralelo a duas retas reversas r e s dadas.

EXERCÍCIOS
43. Construa por um ponto Puma reta que se apóia em duas retas reversas r e s dadas.
Solução
I? caso: O ponto pertence a uma das retas. Por exemplo: PEr.' .

4 5 . Dadas duas retas reversas, existem pontos P pelos quais não passa nenhuma reta que se apóie em ambas?
46. Dadas duas retas reversas, prove que o plano paralelo a uma delas, conduzida pela outra, é único.

47. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

O problema tem infinitas soluções.
São as retas determinadas por P e . pelos pontos de s, tomados um a um.
2f' caso; O ponto e uma das retas

s

determinam um plano paralelo à outra. Por exemplo: Ct "" (r, P) e Ct li s.
O problema não tem solução, porque qualquer reta x, que passa por P e se apóia em r, está em Ct e por isso não pode se apoiar em s, visto que s n et "" 0. .
3f'ca50; ~ = (r, P), Q' não paralelo a s e f3 = (5, P), {3 não paralelo

Uma reta e um plano que têm um ponto comum são concorrentes. Uma reta e um plano secantes têm um único ponto comum. Uma reta e um plano paralelos não têm ponto comum. . Um plano e uma reta secantes têm um ponto comum. Se uma reta está contida num plano, eles têm um ponto comum. f) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano. g) Se um plano é paralelo a uma reta, qualquer reta do plano é reversa à reta dada. h) Se urna reta é paralela a um plano, existe no plano uma reta concorrente com a reta dada. i) Se uma reta e um plano são concorrentes, então a reta é concorrente com qualquer reta do plano. . j) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas do plano. k) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. I) Uma condição necessária e suficiente para uma reta ser paralela a um plano é ser paralela a uma reta do plano e não estar nele. . m)Por um ponto fora de um plano passam infinitas retas paralelas ao plano. n) Por um ponto fora de uma reta passa um único plano paralelo à reta. 48. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma, encontra a outra.
b) Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apóie em ambas.
c) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por urna, encontra a outra. d) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apóia em duas retas reversas dadas.

a) b) c) d) e)

ar.

.

O problema admite umà única 50- ' lução, que é a reta x interseção de Q' e {3.

x é concorrente com r, pois x e r são
coplanares (estão em et) e não são paralelas (pois r não é paralela a (3).

V. Paralelismo entre planos
28. Definição
Dois planos são paralelos se, e somente se, eles não têm ponto comum ou são iguais (coincidentes).

x é concorrente com s, pois x e r são
coplanares (estão em (3) e não são paralelas (pois s não é paralela a a).

A reta x é única, pois se existisse outra reta x' , distintà de x, nas condições
pedidas, teríamos o plano (x, x') com r C (x, x') e s C (x, x'), o que é absurdo.

a li {3 ~ (a
24

n

(34=

0 ou

a = (3)

25

PARALEUSMO

PARALELISMO

29. Teorema da existência de planos paralelos
a) Condição suficiente Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos.

VI. Posições relativas de dois planos
30.
Dois planos podem ocupar as seguintes posições relativas: I?) coincidentes· (ou iguais) 2?) paralelos distintos 3?) secantes

Hipótese
(a C {j, b C (j; a

nh

~ [O); a/ja, b/ja) ==>

Tese q/j{3

an[3

a

~

[3

an[3

o

an{J~

I
Demonstração
Os planos a e {j são distintos. Provemos que eles são paralelos, pelo método indireto de demonstração. Se existisse uma reta i tal que i = ex n {J, teríamos:
(a li a, a C {3, i ~ a (b /j a, b C {3, i ~ a

EXERCíCIOS

49. Se dois planos distintos são paralelos, toda reta de um deles é paralela ao outro. 50. Por um ponto P, fora de um plano a, construa um plano paralelo a a.

·51. Se dois planos são paralelos e uma reta é concorrente com um deles, então essa
reta é concorrente com o outro. 52. Se dois planos são paralelos, todo plano que encontra um deles, encontra o outro.

n (J) n (J)

=> =>

a /j i b li i

53. Se dois planos paralelos interceptam um terceiro, então as interseções são paralelas.
Solução
(<xl/{J, o:

o fato de a e b serem concorrentes e ambas paralelas a i é um absurdo,
pois contraria o postulado das paralelas (postulado de Euclides). Logo, a e {3 não têm ponto comum e, portanto, a li (J. b) Condição necessária e suficiente É imediata a condição necessária: Se dois planos distintos são paralelos, então um deles contém duas retas concorrentes, ambas paralelas ao outro. Daí temos a condição que segue: Uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos sejam paralelos é que um deles contenha duas retas concorrentes, ambas paralelas ao outro.
26

Hipótese

Tese

n 1'::

a, f3

n l' = b)

=>

(al/b)

Demonstração
1. Se o: "" {3, temos:

a :: {J

=>

a

=:o

b

~

al/b
.

2. Se o:
(o:
(a

n
=:o

{3 "" 0, temos:

n {3
n
b
fI

0, a C a, b C (J) ~ a
0, a C 1'. b C 'Y) ...

=

nb aI/ b

0

Como

e b eSJão em 'Y, vem que a /I b.

27

PARALELISMO

PARALELISMO

54. Dois planos paralelos distintos deterllÚnam em retas paralelas distintas segmentos congruentes. 55. Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ou está contida no outro. 56. Teorema da unicidade

57. Prove a transitividade do paralelismo dIe planos, is~o é, se dois planos são paralelos a um terceiro, então eles são para elos entre SI.
58. Se dois planos são, respectivamente, paralelos a dois planos que se inter~p~m, então eles se interceptam e sua interseção é paralela à interseção dos dois pnmeuos. 59. Dadas duas retas reversas, existem dois planos paralelos, e somente dois, cada um contendo uma das retas.

Por um ponto fora de um plano passa um único plano paralelo ao plano dado.

60. Conduza uma reta, que encontra uma reta dada a, seja paralela a um plano a e passe por um ponto P dado fora do plano e da reta dada. Discuta.

Solução Sejam P e
IX

VII. Três retas reversas duas a duas
os dados, P $.
IX.

31. Problemas que se referem a três retas (r, s,
vem ser analisados em duas hipóteses possíveis: J'! caso: Não existe plano paralelo às três retas. O plano conduzido por uma das retas, paralelo a outra delas, não é paralelo à terceira reta.

t), duas a duas reversas, de-

\
I
I

-.:..----l.. ,.,

....

Se existissem dois planos distintos {3 e (3' passando por P e ambos paralelos a IX, t e r í a m o s : ' . 1) {3 e (3' interceptam-se numa reta i que é paralela a
IX.

2'! caso: Existe plano paralelo às três retas. O plano conduzido por uma das retas, paralelo a outra delas, é paralelo à terceira reta.

--------5
____t

2) Tomamos em a.uma reta a, não paralela a i. A reta a e o ponto ~:. :.minam um plano a.

Pdeter-

3) O plano 'Y intercepta {3 em uma reta b (distinta de i) paralela à reta a. O plano 'Y intercepta {3' em uma reta b' (distinta de i) paralela à reta a. 4) ~s retas b e b' são concorrentes em P e ambas paralelas à reta a, o que e um absurdo, pois contraria o postulado das paralelas (postulado de Euclides). Logo, o plano paralelo a
28
IX,

[

EXEIICÍCIOS

passando por P, é único.

61. Dadas três retas r, se t, reversas duas a duas, construa uma reta x, paralela a t, concorrente com r e concorrente com s.
29

PARALELISMO

PARALELISMO

62. Dados dois planos secantes a e (3 e duas retas reversas r e s, construa uma reta x paralela a a e a {3 e concorrente com r e s. 63. Construa uma reta que se apóie em três retas r, s e t, reversas duas a duas. 64. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é concorrente com o outro. b) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser concorrente com urna reta do outro. c) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser reversa com uma reta do outro. d) Dois planos distintos paralelos têm um ponto comum. e) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um deles é paralela ao outro. f) Se dois pJanos distintos são paralelos, então uma reta de um e outra reta de outro podem ser concorrentes. g) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. h) Se dois planos distintos são paralelos, uma reta de um e uma reta do outro são reversas ou paralelas. i) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. \ ) Se dois planos são paralelos a uma reta, então são paralelos entre si. ........k) Se um plano c~)Utém duas retas paralelas ii um outro plano, então esses planos são paralelos.-:.t("'.(~.WJ·A- ""}J v <j\.'vJ, i..\.y,' <.' y. 1) Se um plano_contém duas retas distintas paralelas a Unl outro plano, então esses planos sao paralelos. m) Uma condição suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas distintas de um sejam paralelas ao outro. n) Se duas retas de um plano são, respectivamente, paralelas a duas retas concorrentes do outro plano, então esses planos são paralelos. o) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta que tem um ponto comum com um deles, tem um ponto comum com o outro. 65. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, então por qualquer ponto de uma passa uma reta que se apóia nas outras duas. b) Se três retas são, duas a duas, reversas e paralelas a um mesmo plano. então por qualquer ponto de uma passa uma reta que se apóia nas outras duas. c) Dadas três retas, duas a duas reversas, uma condição necessária e suficiente para que por quaJquer ponto de uma sempre passe uma reta que se apóia nas outras duas é as três serem paralelas a um mesmo plano. d) Dadas três refas, duas a duas reversas, sempre existe uma reta paralela a uma delas e que se apóia nas outras duas.
30

VIII. Ângulo de duas retas - Retas ortogonais
32. Postulado da separação dos pontos de um plano
Uma reta r de um plano a separa esse plano em dois subconjuntos a' e a" tais que:

a) a' n a" = 0 b) a' e a" são convexas

c) (A E a', B E a") => AB
Os subconjuntos a' e a" são chamados semiplanos abertos e os conjuntos r U ri' e r U a" são chamados semiplanos. A reta r é a origem de cada um desses semiplanos.

n

r

;é

0

33. Ângulo de duas retas quaisquer - definição

Um ângulo é chamado ângulo de duas retas orientadas quaisquer se, e somente se, ele tem vértice arbitrário e seus lados têm sentidos respectivamente concordantes com os sentidos das retas. Na figura ao lado o ângulo plano aÔb é o ângulo das retas reversas (orientadas) r e s.

o
b

~
aOb = rs

34. Observações
l~) A definição acima visa, principalmente, estabelecer o conceito de ângulo de duas retas reversas. .

2~) Se duas semi-retas têm sentidos concordantes (ou discordantes), elas estão em retas paralelas.

3~) A arbitr~riedade do vértice é garantida pelo teorema que segue:
31

PARALELISMO

PARALELISMO

35. Teoremas sobre ângulos de lados respectivamente paralelos
a) Se dois ângulos têm os lados com sentidos respectivamente concordantes, então eles são congruentes.

Analogamente, temos que OBU O' é paralelogramo e daí 00' 00' == oBB'. (3) «2) e (3»
~
~

li BB'

e

(AA' I! BB' e M' AB == A'B' (4)
I\AüB u

= BB')
=}

~

AA'B'B é paralelogramo ~

Hip6tese
( Da e O' a' têm sentidos concordanteS)

«1) e (4)
Tese

~

= L::..A'ü'B'

AÔB

= A'Ô'B'

~ aÔb

==

a'Ô'b'

Ob e O' b' têm sentidos concordantes

Demonstração
Vamos ~onsiderar o caso I!1ais geral: Oa e Ob não são coincidentes nem opostas e os angulos a6b e a'O'b' não são coplanares.

b) Se dois ângulos têm os lados com sentidos respectivamente discordantes, então eles são congruentes. É uma aplicação do teorema anterior e ângulos opostos pelo vértice. c) Se dois ângulos são tais que um lado de um deles tem sentido concordante com um lado do outro e os outros dois lados têm sentidos discordantes, então eles são suplementares.

{~---­
~;-::a

..-

.

O' .. ~----_
a'

~b

o

o'~',oo

~
o

Ci'OOOOOB'

°b'
0000

1\ I

, oo o.
, ,

_.. ~o'oooo .. b'
.,_~"-:,.

\

a

--

..

.

"a'

, ,
\
I ,

\ 1 1 \ \

, ,
'
,

I
I
OOO

Hipótese

Tese

1~.Ci'_ b >e' ,
1
o 00 o

Da e O' a' têm sentid~s concordanteS) ==> ( aÔb e a'Ô'b' ) ( Ob e O' b' têm sentidos discordantes são suplementares

01~"

I

o

Aa

Demonstração
Tomando a semiereta Ob" oposta à semi-reta Ob, temos a6b" == a' 6' b' . Como aÔb e aÔb" são suplementares, vem que aÔb e a' Ô' b' são suplementares.

Notemos que os planos ~ e Q' dos ângulos a6b e a' 6' b' são paralelos. Tomemos os pontos A E a, B E b, A' E a' e B' E b' tais que:
OA

Resumindo as conclusões acima, temos:
O,

!

==

O'A' e OB

==

O'B'.

(I)

Se dois ângulos possuem lados respectivamente paralelos, então eles são congruentes ou suplementares: a) congruentes, se os lados têm sentidos respectivamente concordan· tes ou respectivamente discordantes; b) suplementares, se os sentidos de um lado de um e um lado do outro são concdrdantes e os outros dois lados têm sentidos discordantes.
33

o quadrilátero OAA' O' é paralelogramo, pois as semi-retas õA e M
têm sentidos concordantes e os segmentos OA e O'A' são congruentes. Logo,
00' li AA' e 00':::::: AA'.
32

(2)

PARALEUSMO

36. Retas ortogonais - definição
Duas retas são ortogonais se, e somente se, são reversas e formam ângu1.Q...Le1Q.

CAPÍTULO UI

Usaremos o símbolo.l para ortogonalidade. Se duas retas a e b formam ângulo reto, então elas são perpendiculares ou ortogonais. Nesse caso usaremos a seguinte indicação: a ::!: b. a :!: b ~ (a.L b ou a.l b) Das definições acima, conclui-se que: se duas retas formam ângulo reto, toda reta paralela a uma delas forma ângulo reto com a outra. (a :!: b, b#c) =- a::!: c (a ::!: b, a#c) =- b::!: c

Perpendicularidade
I. Reta e plano perpendiculares
37. Defínição
Uma reta eum plano são perpen~ diculares se, e somente se, eles têm um ponto comum e a reta é pápendicular a todas as retas do plano que passam por esse ponto comum. Se uma reta a é perpendicular a um plano ex (ou o plano a é perpendicular à reta a), o traço de a em a é chamado pé da perpendicular.
a

66. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F); a) Duas retas perpendiculares são sempre concorrentes.
b) Se duas retas formam ângulo reto, então elas são perpendiculares..

c) d) e) f) g) h)

Se duas retas são perpendiculares, então elas fonnam ãngulo reto. Se duas retas são ortogonaís, então elas fonnam ângulo reto. Duas retas que formam ângulo reto podem ser reversas. Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares epli"e si. Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si. Se duas retas formam ângulo reto, toda paralela a uma delas forma ângulo reto com a outra.

aJ.O:'oua.la

Uma reta e um plano são oblfquos se, e somente se, são concorrentes e não são perpendiculares. ~--

38. Conseqüênéia da defínição
Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qualquer reta do plano.
34
35

ti
PERPENDICULARIDADE

:;::_
a

..

..

:

J

..

;

I

PERPENDICULARIDADE

a

x'
a
--

.--....

O'

~.------

x

~
Q,

. I

De fato, sendo a perpendicular a temos dois casos a considerar:

Q

em O e x é uma reta qualquer de

I? caso: x passa por O. Neste caso, pela definição, a 1. x.

(I)

2?) Tomemos em a doi: pontos A e A , • simétricos em relaçao a O: OA = DA', TomemOS ainda um ponto B E b e um ponto C E c, tais que BC intercepta X num ponto X (basta que B e C estejam em semiplanos opostos em relação a x), Notemos que, nessas condições, b é mediatriz de AA ' , c é mediatriz de AA ' e por isso: AB o==: A'B e AC == A'C. Notemos, ainda, que para chegarmoS à tese, basta provarmos que x é mediatriz de AA' .

a
A

a
A

2? caso: x não passa por O. Neste caso, tomamos por O uma reta x', paralela a x. Pela definição, a 1. x' e, então, a 1. x. (2) De (1) e (2) vem: (a .1 Q, X C a) => a:b x.

3':» (AB A'B,AC = A'C, BC comum) => 6ABC = 6A'BC ::$
=>

=

ABC

.r---..

==

A'BC

~

=>

(AR == A'R, ABx A<Bx. BX comum) => 6ABX == .6A'BX =>
=>

=

ABX

/"-...

= A'BX

~

39. Teorema fundamental - condição suficiente
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

XA

= XA'
XA

4':» triz de

= XA'

=>

X

é media-

Hipótese
(a ..L

b, a 1. c; b

nc =

[O]; b C a,

C

C a) =>

Tese a.l a

AA' => X 1. a ~a 1. x x genérica, x C ex, O E x

J =>a1.Q

Demonstração
l~) Para provarmos que a 1. a, devemos provar que a é perpendicular a todas as retas de ex que passam por O. Para isso, basta provarmos que a é perpendicular a uma reta x genérica de a, que passa por O.

40. Observações
a
a

I fi) Conseqüências do teorema fundamental
a) Num plano (Q) há duas retas (b e c) concorren[e~ (emP). Se uma reta (a) é perpendicular a uma delas (b em O) e ortogonal à outra (c), então essa re-. ta (o) é perpendic.ular ao plano (a). -

36

37

,
PERPENDICULARIDADE

:
PERPENDICULARIDADE

,

Hipótese (a 1. b em O, a .1 c; b n c = [PJ; b C a, Demonstração

C

Tese C a) ~ a.l. a

2~) Generalização do teorema fundamental

Em vista das conseqüências acima, vale o teorema: "!j Se uma reta forma ângulo reto com duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

Conduzindo por O uma reta c' li c, temos a 1. c'. Então: (a ..1 b, a ..1. c', b n c' = [oJ; b C a, c' C a) ~ a..l a. , b) Se u':lareta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano, então ela,z_r:rpendlcular ao plano.

a

.L b,

a
a

..1

c

a

..1. b,

a~ c
a

a .1 b, a 1- c
a

Hipótese (a.l b, a.l c; b n c = [PJ; b C a, Demonstração
I?) De que a e a são concorrentes.

Tese
C

C a)

------_8
(a :!: b, a :!: c; b

. De fato, se a li a ou a C a, conduzmdo por P uma reta a' paralela à reta a! teríamos um absurdo: num plano (a),"por um ponto (P), duas retas dis. tintas (b e c) perpendiculares a uma reta (a').
a

n

c

[OJ; b Ca, c C a)

~

a.l. a.

3~)
\
'.

Condição necessária e suficiente

o teorema enunciado acima e a conseqüência da definição de reta e pIano perpendiculares nos dão a seguinte condição necessária e suficiente:
Uma condição necessária e suficiente para que uma reta seja perpendicular a um plano é formar ângulo reto com duas retas concorrentes do plano .

Logo; a e a são concorrentes. Seja O o ponto tal que a n a = [oJ.

..........
b' -"" ... 'b

a":::'-----p-...... 1
2?) De que a ..1. a.

----.--c :
I

--'0- .... c' J
I

.

. ..-'-

a ..1

C .

~ondu~indo por O uma reta b' li b e uma reta c' li c, temos a ..1 b' e
Entao:

[

E_X_E_R_C_Í_C_IO_S

---'

(a..l b', a..l c'; b'
38

n

c'

= [oJ; b' C a,

c' C a) ~

a.l. a .•

67. Um triângulo ABC, retângulo em B, e um paralelogramo RCDE estão sítuados em planos distintos. Prove que as retas ÃB e DÉ são ortogonais.
39

·::==:::=========:::=================;:;=====:I:'~~ :.,~::::<::::.:.:::::.
PER PENDIC ULAR IDADE

.:.... . '

::::::=====:::.=============:::.=====,
PERPENDICULARIDADE

68. a, b e c são três retas no espaço tais que a .L b e c propósito das posições relativas das retas b e c?
Solução

.L

a. Que se

pod~

concluir a

ua .. 11. N um qrove que os lados opostos são ortogonaIs, assIm como as d"lagonals t am b' . em nalS, p d t d são ortogonais (em o~tros termos: prove que as arestas opostas e um te rae ro regular são ortogonais).

drilátero reverso de lados congruentes entre si e congruentes às diago-

As retas b e c podem ser: çOncorrentes, caso em que a é perpendicular ao plano (b, c); paralelas, caso em que a, b e c são coplanares; ou reversas, caso em que b e c, sendo perpendiculares à reta a, não são coplanares.
a
a

a

72. ==~_---=-----:=--~ ---::~~-~-I Uma reta a é perpendicular a um plano a num ponto O. Uma reta b de a não passa por O e uma reta c de a passa por q..e é perpendicular a b em R. Se S é um ponto qualquer da a, então a reta SR é perpendicular à reta b.

Teorema das três perpendiculares

b

c

Solução

a

Hipótese

Tese

a

concorrentes

paralelas

reversas

.L a, a n a = (O] b C a, O$. b c C a, O E c c .L b, c n b [R] SEa

=

++

SR 1. b

Demonstração
69. Dois triângulos ABC e BCD são retângulos em B. Se o cateto AB é ortogonal à hipotenusa CD, prove que o cateto BD é ortogonal à hipotenusa AC. Seja fi o plano determinado por a e c.
(a 1. a, b C a)
~(b ::!:. a, b ::!:. c; a

70. Os triângulos ABC e DBC são isósceles, de base BC, e estão situados em planos
distintos. Prove que as retas AD e BC são ortogunais. Solução
~

-

=
n

a::!:. b c = (Ol; a C fi, c C (3) => b.l fi
~

(b 1. {3, b

n (3

;;;; [RJ, SR C (3)
...

=-

,.....,.

~

b 1. SR => SR
++

.L

b.

Caso s = O, então SR = c; como c 1. b, vem que SR .1 b.

Sendo M o ponto médio de BC, as retas AM e DM são concorrentes, pois os planos (A, B, C) e (D, B, C) são distintos. DARC isósceles DDBC isósceles
=> =>

-.L

73. Uma reta a é perpendicular a um plano a num ponto O. Uma reta b de a não passa por O e uma reta c de a ~ssa por O e é concorrente com b em R. Se S é um ponto qualquer de a e a reta SR é perpendicular à reta b, então b é perpendicular a c.
(Recíproca do teorema das três perpendiculares.)

BC

-

Bê
=>

.L

ÃM J
=> .

=> BC .L DM

(A, M, D)

-..

BC

~

AD

....,.

74. Seja P o pé da reta r perpendicular a um plano {3 e s uma reta de {3 que não passa
por P. Traçando-se por P uma perpendicular a s, esta encontra s em um ponto Q. Se A é um p<lnto qualquer de r, diga qual é o ângulo de AQ com s. Justifique.

40

t=:==
PERPENDICULARIDADE

:
PERPENDICULARIDADE

H

75. Uma reta e um plano perpendiculares a uma reta em pontos distintos são paralelos.
a) Construção:

76. Duas retas não paralelas entre si são paralelas a um plano. Toda reta que forma ângulo reto com ambas, é perpendicular ao plano.
77. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles sejam secantes. b) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano. c) Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com qualquer reta do plano. d) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. e) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano. então ela está contida no plano. f) Se uma reta é ortogonal a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. g) Uma reta ortogonal a duas retas paralelás e distintas de um plano pode ser paralela ao plano. h) Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta é perpendicular à primeira e ortogonal à segunda, então ela é perpendicular ao plano. i) Se uma reta forma ângulo reto com duas retas de um plano, distintas e que têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao plano. j) Duas. retas reversas são paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas é perpendicular ao plano. k) Duas retas não paralelas entre si sãG paralelas a um plano. Se uma reta forma ângulo reto com as duas, então ela é perpendicular ao plano. 1) Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano. m) Uma reta e um plano são perpendiculares. Toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou está contida nele. n) Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, são paralelos.

l~) Tomamos o plano {3 = (a, P) e um plano "/, contendo a reta a, distinto

de (3.

'---'

2~) Em {3. pelo ponto P traçamos a reta bperpendicular à reta a. Seja

a interseção de b com a. . Em "1, construímos a reta c, passando por 0, perpendicular à reta a.
3?) As retas b e c determinam um plano ex
b) Prova:
=

°

(b, c) pedido.

I?) O plano ex

(b, c) passa por P, pois a reta b foi conduzida por P.

2?) (a .L b, a .L c; b

n

c = [O); b C ex, c C ex)

=-

a.L ex.

78. Existência e unicidade do plano perpendicular à reta por um ponto
Logo, existe pelo menos um plano (ex) passando por P, perpendicular à reta a. Por um ponto P pode-se conduzir um único plano perpendicular a uma reta a. No 2? caso (P E a), a construção é análoga, sendo (3 e 'Y planos distintos quaisquer contendo a reta a.
2~ parte: Unicidade

Solução

1? caso: P

$. a $
a).'

2? caso: P E a

No I? caso (P

$.

a).

1 ~ parte: Existência No I? caso (P

Se existissem dois planos distintos a e ex' perpendiculares à reta a, por P , teríamos:

43

PERPENDICULARIDADE

PERPENDICULARIDADE

Existência e unicidade da reta perpendicular ao plano por um ponto

19.

------------:-----:----:-:-----::--:--:==:-:-1
por u:m p?~tof pode-se conduzir uma ~nica retaperpendicula.r a um plano a. Solução
I,Q casO: P E1: a

2? caso: P E ex

1 ~ parte: Existência No I? caso (P E1: a).
h

a

a) Construção:
p

p

1) a e a' interceptam-se em uma reta i.

•

•

2) A reta a e o ponto P determinam um plano (3 que nào contém i. 3) O plano {3 intercepta a em uma reta b, perpendicular à reta á. O plano (3 intercepta a'em uma reta b', perpendicular à reta a. 4) Em {3, as retas b e b' são concorrentes em P e ambas perpendiculares à reta a, o que é absurdo, pois num plano, por um pontó;passa uma única , reta, perpendicular umá reta dada." ~,t < ..

ª

I'V

p

Logo, o plano perpendicular à reta a passando por P é único. No 2? caso (P E a), o procedimento é análogo, sendo {3 um plano qualquer que passa por a" . .

a

a

I?) Tomamos em ex duas retas b e c concorrentes num ponto O. 2?) Consideremos por P os planos (3 perpendicular à reta b e "y perpendicular à reta c (como ensina o exercício anterior). . 3?) Os planos {3 e 'Y são distintos (pois são respectivamente perpendiculares a duas retas b e c concorrentes) e têm o ponto P comum. Logo, eles se interceptam segundo uma reta a, que é a reta pedida.

44

45

.._" ~._===::~~Ê~~·í~i~~~::~;~;;.;;:;.;;.;;;;;;;.;;.;;:;::;;cii';;.;ii:;II;1

==•••••••••••

~p~,.,.:. "

_

PERPENDICULARIDADE

PERPENDICULARIDADE

80. Relacionamento entre paralelismo e perpendicularismo
b) Prova:

a) Se dois plaI10s s.ão p"erpendiculares a uma mesma reta, então eles são paralelos entre si:~' . . ,----... '
' 0 o •

A reta a passa por P, pois é a interseção dos planos {3 e "y conduzidos por P.
(b 1. (3, a C (j) (a J" b, a :h c; b

==
n

b) Se doisplano~_osão paralelos, então toda reta perpendicular a um deles é perpendlcular ao outro," . o Solução
(Oi

b

oh a

(c .l y, a C 'Y) -=>

C

oh a
Hipótese Tese
=>

c = iO); b C a, c. C a)

=-

a.l a

Logo, existe pelo menos uma reta (o) passando por P, perpendí~ular ao pla-

11 (3,

a .1 a)

a.l .13
Y
il

n~c:;/
No 2? caso (P E a), a construção é análoga, bastando tomar em a as retas b e c concorrentes no ponto P.

a

o

2~

parte: Unicidade

No I? caso (P

$

a).

Demonstração
I?) Se
Oi

2?) Se

/~

11 f3, ali f3,

sendo Çf = (3, temos: (a = (3, o 1. a) sendo ,....n {3 = 0, vem: Oi

=>

a.l f3.

I t

1. A reta a que intercepta a num pomo A, também intercepta {3 num ponto B. 2. Consideremos um plano 'Y passando pela reta a. O plano "( intercepta Oi numa reta b e intercepta fJ numa reta y e ainda b 11 y (pois ali (3).
Consideremos outro plano li, distinto de '}', passando pela reta a. O plano {j intercepta a numa reta c e intercepta (3 numa reta z e ainda c 11 z (pois a 11 (3). 3. (a 1. a em A; b C a, A E b; c C Oi, A E c) => (a.l b e a 1. c). 4. Em "(o temos: (a 1. b, blly) => a 1. y. Em li, temos: (a .l c, c 11 z) => a.l z. 5. (a .1 Y. a .1 z; y n z '= [BJ; Y C {3, z C (3) =- a.l (3.

Se existissem duas retas distintas a e a' perpendiculares a a, por P, teríamos:
1) Essas retas determinam um plano {3 = (a, a'). 2) plano (3 intercepta a em uma reta i. 3) Em {3 temos duas retas distintas a e o', passando por um ponto P e perpendiculares a uma reta i, o que é absurdo.

°

c) Se duas retas são paralelas, então todo plano perpendicular a uma delas é perpendicular à outra. d) Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si._ 81. Duas retas, respectivamente perpendiculares a dois planos paralelos, são paralelas.

Logo, a reta perpendicular aq plano a,passando por P, é única. No 2? caso (P E a), o procedimento é idêntico ao executado para p

rt

a.

82. Dois planos, respectivamente perpendiculares a duas retas paralelas, são paralelos.
47

PERPENDICULARIDADE

PERPENDICULARIDADE

11. Planos perpendiculares
41. Definição
Um plano a é perpendicular a um plano {3 se, e somente se Q' co~tém uma reta perpendicular a {3. ' • A existência de um plano perpendicular a outro baseia-se na existência de uma reta perpendicular a um plano.

2~)

Condição necessária e suficiente:

Reunindo os resultados acima, podemos formular o seguin.te enunciado: Uma condição necessária e suficiente para que dois planos secantes sejam perpendiculares é quetoda reta de um deles, perpendicular à interseção, seja perpendicular ao outro. . .
3~)

Planos oblíquos:

42. Teorema
Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de um deles é perpendicular à interseção dos planos, então essa reta é perpendicular ao outro lado.

Dois planos secantes, ,'--"". não perpendiculares, são ditos planos oblíquos. .

[

E_X_E_R_C_ÍC_I_O_S--.;...

I

Hipótese
(a .1 {3, i = a

Tese
=>

n

(3, r C a, r .1 i)

r.l {3

83. Se um plano ~ contém uma reta a, perpendicular a um plano {J, então {3 contém uma reta perpendicular a a. 84. Se uma reta a está num plano a, perpendicular a uma reta b, então a reta b também está num plano perpendicular à reta a, 85. Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta perpendicular a um deles tem um ponto comum com o outro, então essa reta está contida nesse outro plano. Solução

Df?monstração

Se a .1 {3, então Q' contém uma reta a, perpendicular a {3. Essa reta a é, então, perpendicular a i.

~

Em a, temos: (o ..1. i, r ..1. i) o!lr, Agora, se a!l r e sendo a

=>

Hipótese (a .L (3, a .1 f3, P E a, P Ea) .1

Tese a Ca

{3, Demonstração
Consideremos em a, por P, a reta x, perpendicular à interseção i dea e 13, Notemos que. x C a.

vem que r J. {3.

43. Observações
1~) Pela definição, se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer outro plano que a ~ontenha é perpendicular ao primeiro ..

,,"
/

------ ---- ---il

(a J.

Q',

{3 :> a) => {3 J.

Ct'

(a .L {3, i '" a n (3, x C a, x .1 í) = x .1 (3 (P E a, a .L (3, P E x, x .L (3) -> a = x
(a ::: X, X C a) => a C a

48

49

k:::::::============:S====================:.::qz:.•. ·~t': ::::::::=============:::t:,:..===::,==':1:":''=====1ri ':.":it::~"
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,. ..

Bibliotecâ Juvenil do Colégio de Aplicaçi
PERPENDICULARIDADE

PERPENDICULARIDADE

86. Se dois planos são perpendiculares entre si, toda reta perpendicular a um deles é paralela ou está contida no outro.

2 ~ parte: Unicidade
. tissem dois planos distintos (3 e (3' , perpendiculares a a, por r, teríamos: Se eX1S • 'd R I) Uma reta a, perpendicular a a por um ponto P de r, esta contl a em ,., e em ( 3 ' . , . '2) Duas retas a e r concorrentes em P estão determinando dois planos tintos {3 e (3' , o que é absurdo, pois contraria um teorema de determmação de plano.

87. Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular
ao outro.

:tIS-

88. Se uma reta a e um plano

<t' são paralelos, todo plano {3, perpendicular à reta a, também é perpendicular ao plano <t'.

89. Existência e unicidade

Por uma reta r não perpendicular a um plano a, existe um único plano (3 perpendicular a <t'.

Solução

,,

~
~
'

---"''''fJ'

-'--

1~ parte: Existência
a) Construção: .' oblíqua a ex
r li ex

Logo, o plano perpendicular ao plano a, passando por uma reta r não perpendicular a a, é único . rCa

90. Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então ele é perpendicular à
interseção desses planos.

--, 91. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.
b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.

I~) Por um ponto P de r conduzimos a reta a perpendicular ao plano ex. 2~) As retas a e r são concorrentes (a .1 a e r .1 ex) e então determinam

um plano {3. O plano {3 = (a, r) é o plano construído.

b) Prova:

o plano {3 contém a reta a e,

como a é perpendicular ao plano a,resulta que o plano {3 = (a, r) é perpendicular ao plano a.

c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro. d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado. e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si. f) Se dois planos são perpendiculares a um terceiro, então eles são paralelos. g) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a um deles é paralela ao outro ou está contida neste outro. h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro. i) Uma reta e um plano são paralelos. Se um plano é perpendicular ao plano da· do, entào ele é perpendicular à reta. j) Por uma reta passa um plano perpendicular a um plano dado. k) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles forma ângulo reto com qualquer reta do outro.

50

APLICAÇÕES

CAPÍTULO IV

6 4· Proíeção de uma reta )
Com base na definição anterior. temos: a) Se a reta é perpendicular ao plano, sua projeção ortogonal sobre o plano é o traço da reta no plano.

P = proj" r

Aplicações
L Projeção ortogonal sobre um plano
44. Projeção de um ponto
Definição Chama-se projeção ortogonal de um p,onto sobre um plano ao pé da perpendIcular ao plano conduzida pelo ponto. O plano é dito plano de proje. ção e a reta é a reta projetante do ponto,

b) Se a reta não é perpendicular ao plano, temos a particular definição seguinte:

Chama-se projeção ortogonal de uma reta r, não perpendicular a um plano a, sobre esse plano, ao Jraço em a, do plano ,13, perpendicular a a, conduZido por r.
a é O plano de projeção e (3 é o plar'

• .p
I

I

= proi" r

( :) :
.p'

1 1

no projetante de r.

-----.;-~
I

P' = proj" P

I

I

47. Projeção de um segmento de reta
Definição

45. Projeção de uma figura
I
•

:
I

F

Definição Chama-se projeção ortogonal de uma figura sobre um plano ao conjunto das projeções ortogonais dos pontos dessa figura sobre o plano.
52

: ;1' , I

a

tEY
I
J

1 '.'
I ,

I I

'11I
I

• ~

Chama-se projeção ortogonal so~re um plano a de um segmento AR, contIdo numa reta não perpendicular a "0:, ao ~egmento A'R' onde A' = proL A e B ::;: proL B'.

A

,.---------r:
I
I

S

I
I
I I

I

F'

S'

1----_--101

F'

= proj" F
53

•
APLICAÇÕES APLICAÇÕES

EXERCíCIOS

]

92. ~~buem seglment? de reta é paralelo a um plano, então a sua projeçã o ortO<Tona[ r o p ano e congrue nte a ele. "
93. A projeçã o ortogon al de um segmento oblíquo a um plano sobre esse plan . menor que o segmento. ,0,e

Solução

( AB oblíqua a a, A'B' = proL AB)

-

Hipótese

Tese
(A'B'

<

AB)

B

Classifique em verdade iro (V) ou falso (F): a) A projeçã o ortogon al de um ponto sobre \Im plano é um ponto. b) A projeçã o ortogon al de uma reta sobre um plano é uma reta. c) A projeçãO ortogon al de um segmento sobre um plano é sempre um segmento. d) A projeçã o ortogon al de um segmento oblíquo a um plano, sobre o plano, é menor que o segmen to. e) A projeçã o ortogon al, sobre um plano, de um segmento contido numa reta, não perpend icular ao plano, é menor que o segmento ou congrue nte a ele. O Se um segmento tem projeção ortogon al congruente a ele, então ele é paralelo ao plano de projeçã o ou está contido nele. g) Se dois segmentos são congruentes, então suas projeções ortogon ais sobre qualquer plano são congruentes. h) Se dois segment.os não congrue ntes são oblíquos a um plano, então a projeçã o ortogon al, sobre o plano, do maior deles é maior. i) A projeçã o ortogon al de um triângu lo, sobre um plano, é sempre um triângul o. Classifique em verdade iro (V) ou falso (F): 95. a) Se as projeções ortogon ais de duas retas, sobre um plano, são paralela s, então as retas são paralelas. b) Duas retas paralelas não perpend iculares ao plano de projeçã o têm projeções paralelas. c) Se os planos projetan tes de duas retas não perpendiculares ao plano de projeção são paralelos, então as projeçõ es dessas retas são paralelas. d) Se dois planos são perpendiculares, as projeçõ es dos pontos de um deles sobre o outro é o traço dos planos. e) A projeçã o ortogon al de um ângulo sobre um plano pode ser uma semi-reta. f) A projeçã o ortogon al de um ângulo sobre um plano pode ser um segmento de reta. g) A projeçã o ortogon al de um ângulo sobre um plano pode ser uma reta.

Demonstração

96. Quais as posições relativas das projeções ortogón ais, sobre um plano, de duas retas concorr entes?
97. Quais são as posições relativas das projeções ortogon ais. sobre um plano, de duas retas reversas?
-

~or A conduzimos uma reta paralela à reta E' que intercepta a reta pro Jetante
de B em B".

,'. 98. Se duas retas formam ângulo reto. uma delas é paralela ou está contida no plano de projeçã o e a outra não é perpend icular a esse plano. então as projeções ortogonais das retas, sobre o plano. são perpendiculares.

AA'B'B " é retângulo => A'B';;;;; AB" _._] 6AB"B é retângulo em B' => AB" < AB

Solução
Se uma das extremidades, por exemplo A, pertence ao plano d temos: . e proJeç ã 0,
DoAB'B é retângu lo em B' .AB'

Hipótese
r ::I:. s; s 11 ex ou s C aj ) r,não é ~erpendicular a a; ( r = pro)", r, s' = proj", s
=>

Tese
(r' 1.. s')

< AB

=>

A'B' <

AB.

54

55

1'=============================;=·==>:.:z::r:;~!.~.:. .=:===================::.:;:;:.======1 ~;,<~,". .: . .
. . :... ..
APLICAÇÕES APLICAÇÕES

Demonstração
(sta ou s C (5' 11 5, r d:. s)
0',

s'

=

proj" s)

==>

s' IIs

==>

r d:. s'

Sendo i a interseção dos planos projetantes de r e de s, temos: Ç( (i .L ar s' CO') ==> i.L s' (s' ::!:. r r ~'l. i, r e i concorrentes)=> S' .L (r; i) . Sendo s'.1. (r, i), então s'.1. 'r'e (r, i) e r; é

. /h·.·.9. /6.·.·•~.·.'.r.~··
i ,
. . . . ." .......•.

Demonstração
De fato, PP' é cateto de triângulos retângulos, que têm, respectivamente,
~ PB, PC, PD, ... como hipotenusa.

p,

---Logo, PP' < PA, PP' < PB, PP'

< PC, PP' < PD, ....

2?) a) Segmentos oblíquos com projeções congruentes são congruentes. P'A
~

..•.... ·.· ·.

.

concorre~te com s'.
Demonstração

P'B

o==>

PA

~

PB

99. ~e as projrções ~e dua~ retas, sobre um plano, S&O perpendiculares, uma delas 7paralela ou esta_contida no plano de projeção e a· outra não é perpendicular aquele plano, entao as duas retas formam ângulo reto. 100. S: duas reta.s formam ângulo reto, suas projeções ortogonais, sobre um plano, sao pe:pendl~ulares e uma delas é oblíqua àquele plano, então a outra é paralela ou esta contida no plano.

(PP' comumJ:lP'A PA = PB.

-

/"--..

<'=

=-

PP'B, P'A

~

-

= -P'B) =- 6PP'A == 6PP'B =-

b) Segmentos oblíquos congruentes têm projeções congruentes.

PA

== PB

o==>

P'A

<'=

P'B

11. Segmento perpendicular e segmentos oblíquos a um plano por um ponto
_ Se por um ponto P não pertencente a um plano Cl conduzimos os segmentos PP', PA, PE, f!C, PD, ; .. , o primeiro perpendicular e os demais oblíquos a a, com as extremIdades P , A, B, C, D, ... em a, então:
p
p

Demonstração
(PP' comum, PP'A
~

= PP'B, PA = -PB)

~-

o==>

L'lPP' A

<'=

L'lPP'B

o==>

=3?)

P'A

~

P'B.

a) De dois segmentos oblíquos de projeções não congruentes, o de maior projeção é maior. P'C

> P'A

o==>

PC

> PA

Demonstração
Considerando A' E P'C tal que P'A' P' A'
1?)

==

P'A, temos:

==

P' A

o==>

PA'

==

PA

. O ângulo PA' C é obtuso por ser ângulo externo do L'lPP' A' em que PP'A' e reto . L 'no tnangulo PA'C, temos: PA'C > PCA' e, como ao maior ...........--, ogo, A
angulo está oposto o maior lado, vem que PC > PA', ou seja, PC > PA.
57

o segmento perpendicular é menor que qualquer dos oblíquos.
56

C===='::::::======i:::=======
APliCAÇÕES

. _ . ~

*
APliCAÇÕES

b) Oe dois segmentos obliquos não congruentes, leção maior.
p'e

O

maior tem pro- -

UI. Distâncias geométricas
48. Distância entre dois pontos
Definição Chama-se distância entre dois pontos distintos A e B ao segmento de reta iíB ou a qualquer segmento congruente a AB. Se_~= B,..~ distância entre A e B é nula. . . Indicação: d A •8 = distância entre A e B.

>

P'A

Demonstração
Se P'C i::; P'A, por casos anteriores, teríamos PC ~ PA, o que contraria a hipótese. Logo, P' C > P'A. 4?)
a) De dois segmentos oblíquos não congruentes, o maior forma com a sua projeção um ângulo menor. PD

49. Distância ~~~re ~~_'p~nto e umaret~
Definição Chama-se distância entre um ponto e uma reta à distância entre tsse pon~, to e o pé da perpendic~lar à reta conduzida pelo ponto.
~'",'

-o.

>

/"'-

/"'-

PC => POP' < PCP'

P

Demonstração
PD

>

PC => P'D

> p'C

Tomando um ponto C E P'D tal que P'C
~PP'C

=

P'C, temos:

•
distância entre P e r (dp,r = dp,p.)

P'

P = P'

•

=

~PP'C'

/'..

e daí PCP;
/'..

==

/"'-

PC'P'.
/'...

= dp,P'

No triângulo PCD vem PDC< PC'P', pois, em qualquer triângulo, um ângulo externo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes a ele. Daí, então:
/'...

P E r, distância nula, .. , '3'-"-(d~:' é nula}" ....

Nota: É fundamental diferençar o conceito de distância entre o ponto P

e a reta r da distância entre o ponto P e um ponto da reta!. ~_ ~ . , " . I . '>--\-:> \..." ....... .

POC'

< PC'P'

/'...

/'..

=>

PDP'

< PC'P'

/'..

/"'-

=>

PDP'

< PCP'.

/'..

50. Distância entre duas' retas parale/as .. ~\,~~t' ~ .~~>'':.<''''
Definição
~~

.

(". :.~'

~

b) Oe dois segmentos 'oblíquos não congruentes, aquele que forma

com a sua projeção um ângulo menor é maior.
POP'
/'..

Chama-se distância entre duas retas paralelas à distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra reta. ( \:L. ;.\~:" ..........r,'' ' fj'.'" N,~. f.b,1 J { I~J-~"}i .
\. ~lr,~:,VA 1)' ""l,..l
'" ' .

<

/"'-

PCP' => PD

~-

p

>

PC

•

P

Demonstração
Se PD ~ PC, por congruência de triângulos ou pelo ítem anterior, teríamos: PDP' ~ PCP', o que contraria a hipótese. Logo, PD > PC. Nota: É importante ressaltar que nas propriedades acima todos os segmentos têm uma extremidade em P e a outra em a.

-------5
distã ' nela entre r e s
(d".

___

~ l . . . . -

s

r

=

5

P'

-.---

= =

. distância entre P e s
dp,s

:;:o

dp.p'

r = s, àistância nula

= d p.p.)

(d r •• é nula)
59

58

APUCAÇÕES

APUCAÇÔES

A definição anterior é justificada pela seguinte propriedade:

Se duas retas distintas são paralelas, os pontos de uma estão a igual
distância (são eqüidistantes) da outra. De fato, tomando dois pontos distintos A e B em r e achando as distâncias AA' entre A e s, e BB' entre B e s, o retângulo AA'B'B nos dá: AA' = BB', isto é, dA.• = dB,s'

52.

Distância entre reta e plano parale!os

A
i
I

B
I I I

I

Definição Chama-se distância entre uma reta e um plano paralelos à distância entre onto qualquer da reta e !J pla~q,,.. um P . p
p

I

•

_-,r:J~''--

:

l",;,d.L.-_
B'

s

A'

No casod~~Ee~as serem coincidentes, todas as distâncias acima são nulas. .. -'._-.--_. -..

L-.::.---

_J
=:)

Ct

P'

A definição acima é justificada pela propriedade que segue:

51. Distância entre ponto e plano
Definição

B

Se uma reta e um plano são paralelos, os pontos da r~~a ,estão a igual distância (são eqUldlstantes) do plano. AA'B'B é retângulo
~
dA,n

Chama-se distância entre um ponto e um plano à distância entre esse ponto e o P~_~'!-.~D?eI!çlicl,l1ar ao plano. _conduzida pelo ponto,
• P
p

AA'

= BB'

=:)

=

d8~a

Nota: Se uma reta está contida num plano, a distância entre eles é nula.

ti 7
60

53. Distância entre planos paralelos
Definição Chama-se distância entre dois planos paralelos à distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano.
P E a, distância nula

P'
a

distância entre P e IX (dp,.. = dp,p.)

=d

P,P'

(d P •a é nula)
[:

A distância entre um ponto P e um plano a é o segmento de reta pp', perpendicular ao plano, com uma extremidade no ponto P e a outra P no plano IX ou qualquer segmento congruente a PP'. O segmento PP' (ou qualquer segmento congruente a ele) é indicado para ser a distância entre P e a, porque de todos os segmentos com uma extremidade em P e a outra em a. PP' é o . menor" Logo, a distância entre o ponto P e o plano a é a menor das distâncias entre o ponto P e os pontos de a,

( {

;<

)
da. I!

.p ,
I

13.

I

7(
= d p,.. .. =

I I I
~
I

P'

dp,p'
61

APLICAÇÕES

APLICAÇÕES

A propriedade que justifica a definição é: Se dois planos distintos são paralelos, os pontos de um deles são eqüidistantes do outro. (A
~
I . ..

a) Construção da reta x

.~
{3

B
I

r

por s conduzimos um plano a paraleIo a r. por r conduzimos um plano {3 perpendicular a O' e seja a n {3 = t.
(r /I ex, r C {3, (3 n a = t) ~ r /I t. (r li t; r e s reversas; t C a, s C a) =>
", S

I

,

B; A, B E (3)

~

r

=

AB C {3

-

Recai-se no item anterior.

(l--l)

e t são concorrentes.

54. Distância entre duas retas reversas
Definição

Seja A o ponto de concorrência de s e t. Por A conduzimos a reta x perpendicular a r e chamamos de B a interseção dessas retas.
b) Prova de que x
.L

r e x .l. s.

Chama-se distância entre duas retas reversas à distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira. Nota: Para se achar a distância de duas retas reversas (r e s) é suficiente conduzir por uma delas (por exemplo s) um plano (a) paralelo à outra (r) e obter a distância entre esta outra reta (r) e o plano (0').
.;,

A reta x é perpendicular a r por construção. Falta provar que x .l. s. É o que segue: Em {3, temos: (f li t, x .l. f) ~ x.l. 1. Agora,

..

,

{3, t = a n {3, X C (3, x .L t) =- x.l. ex (x .1 ex, s C ex, x n s = lA]) ~ x .L s em A.
(O' .L

________ r
r ________

p

56. 2?} Unicidade do perpendicular comum a duas retas reversos

s________.

,r-

>-.::.:: -- -----

s

r'

/I r

ir-- --.-

.. ->-<::: s r'

/I r

P'

Dadas duas retas reversas r e s, a reta x, perpendicular comum a essas retas, é única . Nota: Usaremos nomenclatura e conclusões do item anterior.

A definição acima é justificada pelas propriedades que seguem:

r

n

x

~e existe outra reta x', distinta de x, perpendicular comum a r e s com "" [B'] e s n x' = (A'], temos dois casos a considerar:
l? caso: A "" A' ou B = B'.

55. 1?) Existência da perpendicular comum a duas retas reversOs
Dadas duas retas reversas r e s, existe uma reta x, perpendicular comum a essas retas (x .1. r, x .1. s).
62

disr Neste caso teríamos, por um ponto (A = A', por exemplo), duas retas ret.:snt(as x, e x' perpendiculares a uma reta (r), ·0 que é absurdo, pois as três x, x e r) estão num mesmo plano ({3).
63

APLICAÇÕES

APUCAÇÕES

2? caso: A

~

A' e B ;é B'

2': caso: A # A' e B;;t B'
e CR' = AR --.B'C .L a => B'C.L CA' =;> => 6.B'CA' é retângulo em C => =;> CB' < A'B'

De x' .1 r e x' .1 s vem:
x' .1 r, t!lr
===>

x' do t

B'C .1

-

Conduzindo B' C 1. t com C E t
CY
~-

=

--.

(x' d: t, x' .1 s) ===> x'.l (s, t)
=;>

x' .1 a
=;>

(x' .i a, X .1 IX)

x li x'.

(CB' < A'B', CB' -===> AB < NB'.

AB)

=>

As retas x e x' , sendo paralelas e distintas, determinam um plano que contém r (pois contém B e B') e contém s (pois contém A e A'), o que é absurdo, pois r e s são reversas. Logo, a reta x, perpendicular comum a r e 5 reversas, é única.

58. 4?) A distância entre r e
X

Ci.

é igual à distância e!1i!~ A e-H'-!~

:' ~~

,

De fato, pela definição de distância entre reta e plano paralelos e send~ !_$ . '1 = AB perpendicular a CY, vem: "'; ;
d"a
= da,a- = da,A

hl

Observações

57.

3~) Dadas duas retas reversas r e 5, de todos os segmentos que têm uma extremidade em cada uma das retas, o menor é aquele da perpendicular comum. - ,.- -

.

s e o plano por r, paralelo a s, é igual à distância entre A e B, o que completa
a justificação da definição dada.
2~)

1~)

Com construções análogas podemos concluir que a distância entre

A distância entre as retas reversas s e r é também a distância entre

Nota: Usaremos nomenclatura e conclusões dos dois itens anteriores. Seja AB o segmento da perpendicular comum e A'B' outro segmento nas condições do enunciado. Provaremos que AB < A'B'.

A e B, em que A e B são as interseções de s e r com a reta x, perpendicular

comum a r e s.

Demonstração
1? caso: A = A' ou B;; B'
s
A = A'

[

EXERCÍCIOS
a) Se PA é um segmenro oblíquo a um plano a. com A em a, então a distância entre P e A é a distância entre P e a. b) A distância entre um ponto e um plano é a distância entre O ponto e qualquer ponto do plano.
65

10 L Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

Neste caso, A'B' é hipotenusa de um triângulo retânguJo que tem AB por cateto, então AB < A'B'.
64

APL/CAÇÓES

APLICAÇÕES

c) A distância entre um ponto e um plano é a reta perpendicular ao plano Pelo ponto. d) A distância de um ponto P a um plano ex é a distância de P ao ponto p' de interseção de ex com a reta r, perpendicular a ri por P. e) A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre um ponto qualquer do plano e a reta. f) Adistância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre um ponto \c '. qualquer da reta e um ponto qualquer do plano. :'i) A..di,stância entre reta e plano paralelos é a distância entre um ponto qualquer ., ' , i da reta e o plano. h) A distância entre dois planos paralelos é a distân~ia entre um ponto qualquer de um e um ponto qualquer do outro, i) A distância entre dois planos paralelos distintos é igual à distância entre uma reta de um deles e o outro plano. j) A distância entre duas retas reversas é a distância entre um ponto qualquer de uma e a outra reta. k) A distância de duas retas reversas é a reta perpendicular comum a essas retas.

" 2, ) ex

-to.

J-' •

A.B e a' não é .perpendicular a AB.

~:s~rvando os
(A'

d zindo os segmentos AÃ' e BB'

~

pe~pendiculares a a, com A' ,B' E OI, triângulos coplanares AA 1 M e BB'M, temos: ~ ~
1 .

(AMA ':.-

.) A/'-..MA' == BM'k (opostos pelo vértice.» =- A == B reto, '. ,. . /'-.. , - B/'-MB' AM == BM Â == B) => t:,AA M =='-' 6BB M ==i>

==

B

-, (

AN
3~)

'. • =se BB' => d.,.A =. d".a'

'

.

Cf.

l.AB por M.

" .B" M e' . Neste caso A=:' . = :~ntãoAA'

==
..

BB',.. .
,"'

ou seja: d".A
. .

=:

da,s· .

t assa pelo ponto médio 103. Todo plano eqüidistante dos extremos de um segmen o p

102.

do segmento? 104. Dados dois pontos distintos A e B ,e uma reta r, construa um plano que passa por r e é eqüidistante de A e B. Discuta.
Solução

Todo plano que passa pelo ponto médio de um segmento é eqüidistante das extremidades do segmento.

Solução

. I?

~aso; r e Ãii

são concorrentes..

Hipótese
(AM

Tese

==

MB, M E ex)

=-

(d."A "" d."B)

Demonstração
l~) ex :J AB.

AB C

OI

=-

a) Se r passa pelo..E.0nt~ médio do segmento AB, qualquer plano que contém r é soluç~o do . problema .. Infinitas soluçoes... . t b) Se r não passa peIo . po~ médio do segmento AB, a solução é o plano a = (r, AB). a passa .• nA.r r e tem distância nula a A e a B.
}-'y

d",A "" d",B "" distância nula

2,° caso: r e
B

ÃB são

paralelas
Cf.

. O problema admite infinitas soluçoes, poiS quai quer plano ~
3? caso: r e AB são reversas.

que passa ~ por r é eqüidistante de A e. BVisto qu e AB /I ex ou AB C OI. , ' I

-

M

o problema admite duas soluções.
I~) O plano' a determinado por r e pelo ponto médio M de AB. 2~) O plano {3 que passa por r é -+-+paralelo à reta AB,
66
67

APLlCAÇOES

APLICAÇÕES

105. Dados dois pontos distintos A e B e uma reta r, construa Um plano eqüidist ante de A e B e que seja paralelo à reta r. 106. Dados dois pontos distintos A e B e uma reta r, construa um plano eqüidistant de A e B e que seja perpendicular à reta r. e 107. Dados dois pontos distintos A e B e um plano a, construa um plano eqüidistam dos dois pontos e que seja paralelo ao plano dado. Discuta. e 108. Dados ?ois pontos disti~tos A e B ~ um plano a, construa um plano eqüidistante dos dOIS pontos que seja perpendIcular ao plano dado. Discuta. 109. Dados três pontos não colineares A, B e C, determine os planos tais que cada um deles seja eqüidistante dos três pontos dados. 110. Dados três pontos não colineares A, B e C, construa por um ponto P, Um plano eqüidistante de A, B e C. . 111. Dados quatro pontos não coplanares A, B, C e D, determine os planos tais que cada um deles seja eqüidistante dos quatro pontos dados.

O 6·

Teorema

Se uma reta é oblíqua a um plano ex e o intercepta em A, então o _ ulo agudo de , com sua projeção ortogonal " sobre a é menor que an~ ulo agudo de , com qualquer outra reta de a que passa por A. O ang

Hipótese
r () a (

Tese

= [AJ,

r'

= proj" r )
=>

r não é perpendicular a a

(rr' (agudo)

< rs (agudo»

A E s, s C a

Demonstração
Seja P' = proj" P e B um ponto de s tal que AR == AP'.

A

IV. Angulo de uma reta com um plano
59. Definição
Chama-se ângulo de uma reta e um plano oblíquos ao ângulo agudo que a reta forma com a sua projeção ortogonal sobre o plano. Na figura ao lado o ângulo rr' é o ângulo entre, e a.

Notemos que pp < PB, pois pp é perpendicular a a e PR oblíquo a a. Dos triângulos PAP' e PAR, vem: (AP comum, AP' PAP'
/'...
/"..

= AB, PP'

< PB)

=>

=>

< PAB => rf' (agudo) < fi (agudo).

v.

Reta de maior declive de um plano em relação a outro

plano perpendiculares é reto. Se uma reta é paralela ou está contida num plano, o ângulo da reta com o plano é nulo. A propriedade que justifica a definição de ângulo de reta com o plano é a que segue:
68

o ângulo de uma reta e um

61. Definição
_ Se dois planos a e {j são oblíquos, toda reta de a perpendic1!lar à interseçao dos planos é chamada reta de maior declive de a em relaçao a /l. A propriedade que justifica a definição acima é a que segue:
69

APUCAÇOES APliCAÇÕES

62. Teorema
Se dois planos a e {3 são oblíquos, r é a interseção deles, e por Um ponto P de a, não pertencente a r, conduzimos duas retas concorrentes a e b, sendo a perpendicular a r, então o ângulo áf3 é maior que o ângul~

VI.
.
.

Lugares geométricos

63. Definição
Lugar geométrico é um conjun~o de pontos caracterizado por uma propriedade. . como todo conjunto de!i~ido por uma propnedade de seus elementos,

~.

Hipótese
r = a n {3, a não é perpendicular a (J, ( a C a, b C Ci, a n b = (P), a .i r, P

Tese

ti.

)

r

==*

(a{3

'"

> b.6)

A

Demonstração
a) Se a reta b é paralela à reta r, então a reta b é paralela a (J. Neste caso o ângulo é nulo e temos á/3 > b/3. b) Se b não é paralela a r, sendo a n r = [A] e b n r = (B}, no triângulo PAR retângulo em A, temos PA < PB.

a

urna figura é um lugar geometnco se: . d d a) todos os seus pontos têm essa ~ropne a e . (todo elemento do conjunto satIsfaz a propnedade); b) só os seus pontos têm essa propriedade . (todo elemento que tem a propriedade pertence ao conjunto).

bi3

64. Circunferência - definiçãO
Dados um plano ~, uma distância

r, não nula, e um ponto O E a, ch.amase circunferência de centro O e ralO r o
conjunto: ),,(0, r)

o_--~p

Os segmentos PA e PB são oblíquos a a, com A e B em a, então o menor deles, PA, forma com a sua projeção um ângulo maior. Logo, sendo P' = projq P, vem:
-

= (P

E ~ I do,p

= rl·

PA

<

-

PB ==*

PAP'

~

>

PBP' ==* a{3

~

A

>

A

b{3.

Assim, uma circunferência é um lugar geométrico. Todos os seus pontos e só eles têm a propriedade de distar r (raio) de um ponto O (centro) de seu plano.

EXERCÍCIOS

J

65. Superfície esférica - definição
. Dados um ponto O e uma distân-

112. Por um ponto P, de um plano a, construa uma reta que forme um ângulo (J (agudo, dado) com o plano a. 113. Por um ponto P, não pertencente a um plano a, construa uma reta que forme um ângulo (J (agudo, dado) com o plano CI.
114. Por um ponto P, não pertencente a um plano a, construa um plano (3, cuja reta de maior declive forme um ângulo (j (agudo, dado) com o plano cx.
70

superftcie esfenca de centro O e raio r ao lugar geolhétrico dos pontos que distam r de O. S(O, r)

CI~ r, não nula, chama-se

=

[P I do,p

=

r]

Subentende-se nesse caso que os Pontos P são do espaço.
71

APLICAÇÕES

APLICAÇÕES

66. Esquema prático para lugares geométricos
Para se provar que uma figura F é o lugar geométrico dos pontos qu têm uma propriedade p, procedemos da seguinte forma: e

2~ parte: Só os pontos de a são

"'distantes de A e B. equl Hipótese
(vY), (dy,A

Tese
~ (Y E a)

1 ~ parte: Prova-se que todos os pontos de F têm a propriedade p.
(V X) (X E F
2~

= dY,B)

=-

X tem p)

Demonstração
Se Y E AR, temos:
(Y E AB, YA==YB)

parte: Prova-se que só os pontos de F têm a propriedade p.
modo: (vY) (Y tem p Y E F) ou 2? modo: (vZ) (Z F => Z não tem p).
1~

=-

=-

Y = M

tt.

(Y

Se o lugar geométrico pedido não for de ponto e sim de outro elemento geométrico, adapta-se o procedimento acima, substituindo-se ponto pelo elemento.

= M, M E a) => Y E a. Se Y $. AR, temos: (YA == YB, AM == BM, YM comum) ==>

,6YMA

==

.6 YMB

=-

YMA == YMB => YM 1.. AB.

A

A

- -

67. Exemplos
I?) Estabelecer o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois pontos distintos A e B.
Solução Seja a O plano perpendicular ao segmento AB pelo ponto médio M de AB.

Sendo YM .1 AR e a perpendicular a AB por M, então Y E a. Logo, o plano a é o lugar geométrico pedido. Notas a) Plano mediador - definição Chama-se plano mediador de um segmento ao plano perpendicular ao segmenta pelo seu ponto médio.
b)

o

1~ parte: Todos os pontos de a são eqüidistantes de A e B.
Hipótese
(vX) (X E a) =>

Tese (dx,A = dx,B)

B

o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois pontos distintos é o plano mediador do segmento que tem esses pontos por extremidades .
2?) Estabelecer o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de três ponj tos A, B e C não colineares.
Solução

Demonstração
Se X
(X
=

M, temos:

= M, MA == MB)
;t:

=A

XA

= XB

=>

dx,A = d X •B

Se X
(AM

M, temos:
A

=-

= BM, AMX = BMX, MX comum) =,6XMA
~

Seja a o plano mediador de BC e 'Y ~ ~la~o ~edia~or de AB. Como A, B Se nao sao cohneares, então a e 'Y são cantes. Seja i a interseção de a e 'Y.

.6XMB

=-

XA == XB => dx,A

= dx,B
73

72

APLICAÇÕES

APLICAÇÕES

1~

parte

68. Determinação da superfície esférica
Tese
d X •B
=

Hipótese
("IX) (X E i) ==> (dx,A

dx,c)

Existe um único ponto eqüidistante de quatro pontos A, B, C e D não coplanares. Solução

Demonstração
(X E i, i

=
OI

OI

X E~) ~ d • XB é mediador de BC j

n ")') ~

1~ parte: Existência
= dx,c
.~

(x E i, i =

E ")' } => ")' é mediador de AB
OI

n ")')

dX •A

Sejam i, e i2 tais que:
i} .1 (A, B, D) pelo circuncentro do MBD i] .1 (S, C, D) pelo circuncentro do ,6,BCD

=> X

dx,A

2~

parte

Hipótese
(vY), (d y . A

Tese

=

dy,B

= dy,c)

==>

YE i

As retas i} e i] são coplanares, pois estão no plano n:ediador de BD'... e não são paralelas, pOIS A, B, C e D nao são coplanares. Logo i} e i] são concorrentes e O é o ponto de concorrência.

B

c
==>

o
Demonstração
d Y•B = dy,c ==> Y E 0:'; dY,A = d Y•B ==> y E ")' (Y E OI, Y E ")', i = O:' n 1') ==> Y E i

E il O E i2

==>dO.A ==>

= dO,B
do,c

=

dO,D)
d O•D

do,a =

=

do,B - do,c

=

dO.D

Logo, a reta i é o lugar geométrico procurado. Observações
l~)

Então o ponto O é eqüidistante de A, B, C e D, isto é, existe pelo menos uma superfície esférica (a de centro O) que passa por A, R, C e D.
2~

parte: Unicidade

Os pontos da reta i, sendo eqüidistantes de A e C, estão no plano

f3 mediador de AC. Então a reta i é a interseção dos p/anos mediadores dos
lados do triângulo ARC, isto é, i
2~) As interseções de
OI,

Se existe outro ponto O' eqüidistante de A, B, C e D, temos:
dO',A

=

OI

n (J n

1'.

f3 e 'Y com o plano (A, R, C) são as respectivas

mediatrizes dos lados do triângulo ABe. Essas mediatrizes interceptam-se num ponto chamado circuncentro do triângulo.
3~)

O' E i[ dO',B = do',c :;: dO'.D ==> O' E i z (O' E i[, O' E iz , Í 1 n i 2 = [O])
dO',D

== dO',a =

=>

==>

O'

= O.

Logo, a superfície esférica que passa por A, B, C e D é única. Nota: Outros enunciados para o problema acima: "Quatro pontos não Coplanares determinam uma única superfície esférica" ou "Existe uma única SUperfície esférica circunscrita a um tetraedro".
75

O lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de três pontos não colineares é a reta perpendicular ao plano do triângulo determinado pelOS pontos, conduzida pelo circuncentro desse triângulo.
74

APLlCAÇÓES

APLlCAÇÓES

EXERCÍCIOS
115.
~stabeleça

]

Dados dois pontos distintos O e P, estabeleça o lugar geométrico dos pés das per}}6. pendiculares conduzidas por P às retas que passam por O.

Solução o lugar geométrico dos pontos que vêem um segmento AR d d angulo reto. ' a o, sob Solução Seja I o conjunt o constituído da superfície esférica de diâmetr o AB menos os pontos A e B. Seja S a

supe~fície
.,'

esférica ,de diâmetro OP:,'

s

1:' parte

Hipótese
("IX), (X E E)

=-

Tese (AXB é reto)

180·

Demonstração

2! parte.
~

'.

.... :

.,
"

"

'.~. .~

',' ; Hipótese
o("IY), '(õY.i. .
. .

',

o plano (X, A, B) determina em E
uma circunferência de diâmetr o AB menos os p!:,ntos A e B, que cont~ X; logo AXB é reto. ,
2~

O

determida À OP. No plano (Y, O, p),'Com QY ,I. PY, vem.que Y.E À . , ' '~. ,',",> ~' "e'o"-(y E X, À ç:S) '.'; ,'. "',': ".", Por O (o~ por P) passam infinitas retas per'pendicúla~es à r~tà' ~p; logo, .>" O e P têm a proprie dade do lugar, . ' ..,' ":,'. L " , ',' '" ~ ':,',' o",", >,,",'. > Conclu são' ' "0 " . . ". ' " ",,'<.:~':,'." ,:.:.:.:
"_ ••••"
o ,', o "

pla~o (Y, 'O~P)
, " i'O

~ ~u~ cir~nf:r~nciao de,di~~e~rç:.~:~~
-"

PY)

=>, (YE

, Tese S).:, -

.~"..' ,

,

.....

parte

"

~,oy°€,S:'~"'~o,:
' ','

"":~",'

·o!,,~,·~.
':'~

Hipótese

Tese

..','
',0;
I:

(>ry), (AYB é reto) => Y E

E

Demonstração

O

lugargeométri~~ pedido é a superfície~sféric~ de d~ãmetro OP: '.
::"

.

~-

...

.....":

..

o plano (Y, A, B) determina em I uma circunferência de diâmetro AB . menos os pontos A e B, que chamamos de À, sendo À C E. ' No plano (Y, A, R), com A YB reto, vem que Y E À.
(Y E
À, À

117. Dados dois pontos distintos O e P, estabeleça o lugar geométrico dos pés das perpendiculares conduzidas por P aOs planos que passam por O. 118. Num plano a, há um feixe de retas concorrentes em O. Fora de a e da perpendicular a por 0, há um ponto P. Estabeleça o lugar geométrico dos pés das perpendiculares às retas do feixe, conduzidas por P. 119. Dados uma reta r e um ponto P fora de r. Estabeleça o lugar geométr ico doS pés das perpendiculares, conduzidas por P, aos planos do feixe que contém r.
77

C

L)

=>

Y E

L

Conclus~o: O lugar geométrico dos pontos que vêem um segmento sob um angulo reto é. a superflcie esférica cujo diâmetro é o segmento, menos as extremIdades do segmento.

76

_

......_iI líiifiii _

....- - - - - - -

APLICAÇÕES

LEITURA

Tales, Pitágoras e a Geometria Demonstrativa
Hygino H. Domingues Obviamente é impossível precisar as origens da geometria. Mas essas origens sem dúvida são muito remotas e muito modestas. Nessa l0!lga trajetória, segundo algu~s historiadores, a geometria passou por tres fases: (a) a fase subconscIente, em que, embora percebendo formas,tam~nhos e relaçõ~s espaciais, graças a uma aptidão natural, o h.omem nao era capaz amda de estabelecer conexões que lhe proporcI.o~assem resultados gerais; (b) a fase científica, em que, embora ernpmcamente, o homem já era capaz de formular leis gerais (por exemplo, a razão entre uma circunferência qualquer e seu diâmetro é constante); (c) a fase demonstrativa, inaugurada pelos gregos, em que o homem adquIre a capacidade de deduzir resultados gerais mediante raciocínios lógicos. . O primeiro matemático cujo nome se associa à matemática demonstrativa é Tales de Mileto (c. 585 a.C.). Tales teria provado algumas poucas e esparsas proposições, como, por exemplo, "os ângulos da b~se de um triângulo isósceles são iguais". Mas o aparecimento de c~delas de teoremas, em que cada um se demonstra a partir dos antenores, pare~e te,r ~omeçado com Pitágoras de Samos (c. 532 a.c.) ou na escola pltagonca. Pitágoras nasceu na ilha de Sarnas, colônia grega situada na JÔnia. Quando jovem viajou pelo Egi.to, pela Babilônia e, talvez, pela India, onde, a par de conhecimento científico, certamente absorveu muito da religião e do misticismo desses lugares. Com cerca de 40 anos de idade fixou-se em Crotona, também uma colônia grega, mas do sul da Itália, onde fundou sua escola. Esta escola na verdade tinha muito de uma comunidade religiosa, pois era em meio a uma vida comunitária, mística e ascética que se cultivavam a filosofia e a ciência. PitágorQS.
78

Os ensinamentos na escola pitagórica eram transmitidos oralmente sob promessa de segredo (talvez a matemática fugisse a essas nor~ ~as) e as descobertas .acaso real~za~~ ~ram at:ib~ída~ ~o líder - d~í não se saber hoje quaIs as contnbUlçoes do propno Pllagoras e qUaIS as de seus discípulos. De qualquer maneira, não restou nenhu~ documento original da matemática pitagórica, que, apesar de toda a mfluência Que exerceu, só é conhecida através de fontes indiretas. Os pitagóricos· atribuíam aos números (para eles apena.s os elementos de IN*) e às razões entre esses números um papel mUlto especial. Daí a afirmação de Aristóteles de que para eles os números eram a componente última dos objetos reais e materiais. Essa valorização da idéia de número na concepção do Universo (ditada pela própria experiência), aliada à grande ênfase que davam às investigações teóricas, levou-os a criar a teoria dos números (arítmética, como era chamada por eles). Os cálculos práticos, que para os gregos constituíam a logística, não interessavam aos pitagóricos. A limitação das concepções numéricas dos pitagóricos iria aflo- . rar, curiosamente, através do teorema hoje conhecido pelo nome do líder da escola, mas já conhecido muito tempo antes dele: "o quadrado da hipotenusa de um tnângulo retângulo é igual à soma dos quadrados de seus catetos" . (O grande mérito de Pitágoras, ou de sua escola, estaria em ter provado pela primeira vez esse resultado,) 1 Entendendo que a diagonal de um quadrado de lado unitário deveria ser uma r~ão numérica ris (em quer, s E IN* e, pode-se supor, mdc(r, s) ~ 1), os pitagóricos obtiveram ris '(r/s)2=12+12=2. Daí r 2 =2s 2. Logo, r 2 é par e portanto r tambértlé .par, digamos r = 2 t. Daí (2ty = 25 2 , do que resulta' S2 = 2t 2 e portanto s é par. Absurdo, pois . . rndc(r, s) = 1. A c~ise gerada por essa contradição levaria a matemática grega a deixar os rumos da aritmética e a trilhar decididamente os da geometria.

79

DIEDROS

CAPÍTULO V

70. Interior e exterior de um diedro
Dados dois semiplanos r o: e r fi de sITIa origem, distintos e não opostos, me sideremos os semi-espaços abertos . cO n ~ " ) ( ue não contem as respecttvas ongens ~q &' &2 e &~. como segue:
"'1'
l'

"'1' tendo r[3;

~

com origem no plano de ra e con-

Diedros
I. Definições
69. Diedro
Ângulo die~ro ou ~iedro o~ ângulo diédrico é a reunião de dois semi lanos de mesma ongem nao contIdos num mesmo plano. P
. A origem comum dos semiplanos e a aresta do diedro e os dois semiplanos são suas faces.

&;, oposto a &1;
~ com origem no plano de rfi e coo"'2' tendo ro:; &;, oposto a &2'
1~)

o: r [3

A.

= 0:13

/)

di (a. (3)

di (r)

Interior
A

Chama-se interior do diedro a{3 à interseção de &1 com &z, Interior de a{3
A

= &1 n &2'

o interior de um diedro é convexo.
Os pontos do interior de um diedro são pontos internos ao diedro. A reuniâo de um diedro com seu interior é um setor diedral ou diedro completo, também conhecido por diedro convexo.
2?) Exterior

Chama-se exterior do diedro 0:13 à reuniã~ de
(3

A

&; e aí.

Assim, ~ e (3 são dois semiplanos de mesma ongem r, distintos e não opostos.
/'-..

Exterior de a {3 =

A

&;

U

&;.

ar(3=aU(3

de um diedro é côncavo. Os pontos do exterior de um diedro são pontos externos ao diedro. ~ A reuniào de um diedro com seu exterior é também conhecida por diedro concavo.
ar(3=aUfi
/'-..

o exterior

por:

Indica-se também o diedro ~(3

71. Diedro nulo e diedro raso
Pode-se estender o conceito de diedro para se ter o diedro nulo (cujas faces são coincidentes) ou o diedro raso (cujas faces são semiplanos opostos).,
81

a r (3,
80

r:f/3.

0:(3, di (o: r (3), di

(arm,

di (r).

;:

',l,~'.:· -.~~,::

.,;-",," "'':' ....... ~.' .'.'-:,:"

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'-".' ,(~

.",' .

DIEDROS

I I

DIEDROS

11. Secções
72. Secção de um diedro
Secção de um diedro é a interseção do diedro com um plano secante à aresta. Uma secção de um diedro é um ângulo plano.
o /"'--..

75. Propriedade
Secções normais de um mesmo diedro são congruentes. De fato, duas secções normais de um mesmo diedro são secções paralelas e, portanto, são congruentes.

76. Diedro reto
Um diedro é reto se, e somente se, sua secção normal é um ângulo reto.

/'-. Na figura, aRb ou
a r {3.

;b é secção de

77. Diedro agudo
73. Propriedade
Um diedro é agudo se, e somente se, sua secção normal é um ângulo agudo. Duas secções paralelas de um diedro são congruentes.

78. Diedro obtuso
Um diedro é obtuso se, e somente se, sua secção normal é um ângulo obtuso.

De fato, as secções são dois ângulos de lados com sentidos respectivamente concordantes, e então elas são congruentes.
o

79. Diedros adjacentes
Dois diedros são adjacentes se, e somente se, as secções normais são ângulos adjacentes. Num plano perpendicular a " temos:
x
la)

74. Secção reta ou secção normal
Secção reta ou secçào normal de um diedro é uma secção cujo plano é perpendicular à aresta do diedro. Se é secção reta do diedro de aresta r, então o plano (xy) é perpendicular a r, isto é,

.o

R

z
y
(~l

x 1.. r e y 1.. r.
Na figura, x1t;; ou xy é secção reY'ta ou normal de Co:' r {3.
82

83

DIEDROS

DIEDROS

80. Diedros opostos pela aresta
Dois·diedros são opostospeia aresta se, e somente se, as secções norma' são ângulos opostos pelo vértice. IS

82. Bissetor de um diedro
Vm semiplano é bissetor de um diedro se, e somente se, ele possui origem

na ar esta do diedro e o divide em dois diedros adjacentes e congruentes.
No diedro Na secção reta

lal

y ({3')

y

a r {3 e ex' r {3' são diedros opostos pela aresta, pois as secções normais {ye

R~-'r--

-- z

l:;/ sã~ opostas pelo vértice.
x

111. Diedros congruentes 81. Congruência - definição

Bissetor -

Medida

'Y é bissetor do diedro a r {3

z é bissetriz do

ângulo ~

83. Medida de um diedro
Usando analogia com ângulo plano podemos: • definir soma de diedros; teremos: <lA secção normal do diedro soma (ou diferença) de dois diedros é congruente à soma (ou diferença) das secções normais dos diedros considerados". • definir desigualdade entre diedros; teremos:

Dois diedros são congruentes se, e somente se, uma secção normal de um é congruente a uma secção normal do outro.

r'

é
A

,"Se um diedro é maior (ou menor) que outro, a secção reta do primeiro maIor (ou menor) que a secção reta do segundo e reciprocamente". Como a congruência entre dois diedros é dada pela congruência de suas secções

A

,

Se xy e x' y' são as respectivas secções retas dos diedros a r {3 e a' " {3 , temos:

a r {3
84

= ex' r' {3'

~

xy

A

A = x' y' .

retas;

85

DIEDROS

DIEDROS

a secção reta do diedro soma é a soma das secções retas dos diedros parcela . a desigualdade entre dois diedros é dada pela desigualdade entre Suas s s, e~ çoes re t as, podemos provar que "todo diedro é proporcional à respectiva secção reta" e daí sai que:

[_--E-X-E-R-C-Í-C-IO-S----120. Construa o plano bissetor de um diedro dado. Solução
1) Conduzimos uma secção reta do di (u r (3) dado.
3)
f·

xy

{J

"A medida de um diedro é a medida de sua secção reta".

z e r determinam o plano bissetor do di
(u r

m.

1-.......---+ Y

Assim, um diedro de 30" é um diedro cuja secção normal mede 30°.

Um diedro reto mede 90 0, pois sua secção normal é um ângulo reto.

2) Construímos a bissetriz z de

xy.

x

I

I
I

121. Se dois semiplanos sâo bissetores de dois diedros adjacentes e suplementares, então eles formam um diedro relO.

I
I

-Diedro de 30°.

I

Solução

_ ,J..,

...

Sendo u r (:J e fi r'Y os diedros, d' e {3' os respectivosbissetores, num piano perpendicular a r (que determina secções retas nos diedros), temos a situação da figura abaixo. sendo a e b as medidas dos diedros indicados. vem: No espaço .Na secção reta
l,6' )
\ \

Diedro reto.

rm

84. Diedros complementares - diedros suplementares
Dois diedros são complementares se, e somente se, suas secções normais forem complementares (ou a soma de suas medidas for 90 Q ). Dois diedros são suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas for ]80° (ou suas secções normais são suplementares).
86

,
I I

I

\

,,

,

,I
",

I I

"

,
" b

la') ,,'

"

""

.. "

,,/
IX

b\ '\.6' h,)-----#~~---_(a)

a ",,"" ,,'

a

+ a + b + b = 1800 =- a + b

:=

90 0

=- di

(0I'{3') é reto.

87

DIEDROS

DIEDROS

122. Que relação exis~e entre a medida de um diedro e a medida do ângulo deter . '?llna. do por duas semI-retas de mesma origem respectivamente perpendicul ces do diedro? ares as fa·
Solução . . '. Seja~;a.6 o diedro, Pa ~ semi.re~a perpendicular a a, Pb a semi-reta perpendicular a .6, x a medida do dIedro e y a medida do ângulo aPb.
.'

Um diedro mede 100°. Quanto mede o ângulo que uma reta perpendiCular a uma 12 3 . das faces do diedro forma com o bissetor dele?
Solução

Sejam a{3 o diedro, 'Y seu bissetor e a reta r, perpendicular a a .
No espaço

Na secção reta

.

.

.

. - . ' :

. No espaço'
. .:
"'.

Na secção reta'
~

(/3)

r

~I.L-

L.L_.;... (a)

. ~ . .'

Os diedros cx-y e 'Yf3 medem 50° cada um. Na secção reta que passa por r temos a sítuação da figura acima à direita. Sendo x a medida do ângulo pedido, temos: No espaço .'
p

Na secção reta
". :.... ··P.

x

+' 50°

=

90°

==>

x:;: 40° .

Nota-se que o ângulo pedido é o complemento da metade do diedro dado independentemente da figura.
124. Dois semiplanos são bissetores de dois diedros adjacentes e complementares. Quanto mede o diedro por eles formado? 125. Duas semi-retas Or e Os são respectivamente perpendiculares às faces a e {3 de

~-----4~~O

um diedro. Se o ângulo ,'Ôs mede 50°, quanto mede O diedro a{3?

a
No p~ano (ab)~ que determina secção normal no diedro, temos as situações das fIguras aCIma (dentre outras possíveis) e daí concluímos que:

126. Uma reta perpendicular a uma face de um diedro forma um ângulo de 50° com o bissetor desse diedro. Quanto mede o diedro? 127. Prove que dois diedros opostos pela aresta são congruentes. 128. Dois diedros têm faces respectivamente paralelas. Conhecendo a medida a de um deles, qual será a medida do outro?
89

x "" Y ou x + y = 180°

88

r:::::::··:::·::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.::::.:. ,:;:.: :.::··:··::::::.:.:::~::~.:· . ~i<~':',"illl.,~'''''~;:'':'.:,.:'B:''::::::::::::=::':::::'':::::'-;;--:'::::::::::.::.::::a:::.,.:a:::::::::.:;:::.:::::> .
..."s.··· ..•.

DIEDROS

DIEDROS

129. Um diedro mede 120°, De um ponto situado no seu plano bissetor, a 12 em d aresta, traçam-se perpendiculares às duas faces e dos pés dessas perpendicular~ traçam-se perpendiculares à aresta do diedro. Calcule o perímetro do quadriláte_ ro assim formado.
Solução Sendo PB = 12 em, temos:

134. Calcule o comprimento de um segmento AB do interior de um diedro reto com A e B nas faces, sabendo que as projeções ortogonais AD e BC desse segmento sobre as faces medem respectivamente 21 em e 25 em e que a medida de CD é 15 em.
Solução Na figura ao lado, temos:
AD = 21 em, BC = 25 em, e cn = 15 em. . Os triângulos ACD e BDC são retângulos. Aplicando Pitágoras no 6.BDC, temos:

I) sen 60°

PA PB

. ,J3 PA 2"=12
PA =

6[3
AB

2) cos 60° = - PB 1 AB

BD2 + = 25 2
=>

BC2 ~ BI)2 + 15 2 = ~ BD = 20 em.

cn2 =

=- 2=i2

AB=6

Da mesma maneira, BC =6 em e PC = 6.J3 em. Portanto, o perímetro do quadrilátero PABC vale: P A + AB + BC + CP = 613 isto é.
(1213 + 12) em ou 12(

Sendo di(a~) = 90°, o /::,ADB e o tA CB são retângulos, portanto: AD 2 + BD2 = AB2 ~ 21 2 + 202 = = AB2 ~ AB = 29. Resposta: 29 em.

+ 6 + 6..[3 + 6
+ I) em.
. 135. Um segmento AB de 75 em tem as extremidades nas faces de um diedro reto. Sendo AD e BC as respectivas projeções de AB sobre as faces do diedro, a medida de AC igual a 50 em e a de BD igual a 55 em, calcule a medida do segmento CD.

'3

Resposta: 12( J3 + 1) em.

130. Um diedro mede 120°. Um ponto P do plano bissetor desse diedro dista 10 em da aresta do diedro. Calcule a distância de P às faces do diedro.

131. A distância de um ponto M, interior a um diedro, às suas faces é de 5 em. Encontre a distância do ponto M à aresta do diedro se o ângulo formado pelas perpendiculares às faces é de 120°, 132. Um ponto M dista 12 em de uma face de um diedro reto, e 16 em de outra face. Encontre a distância desse ponto à aresta do diedro.
e .. 133. Um ponto M de uma face de um dledro dIsta 15 em d~ outra f ~ce. E ~ contr a 600. distância de M à aresta do diedro, sabendo que a medIda do dIedro e de
90 I
I

136. Seja um diedro a(3. A distância de dois pontos de a ao plano (3 são respectivamente 9 em e 12 em. A distância do segundo ponto à aresta do diedro é 20 em. Encontre a distância do primeiro ponto à aresta do diedro.

137. Um plano a passa pela hipotenusa AB de um triângulo retângulo ABC; a forma Um diedro de 60° com o plano do triângulo ABC. Encontre a distãncia do vértice C do triângulo ao plano a, sabendo que os lados AC e BC medem respectivamente 6 em e 8 em.

138. Um diedro mede 120°. A distância de um ponto interior P às suas faces é de 10 em. Ache a distãncia entre os pés das perpendiculares às faces conduzidas por P.

.~

91

DIEDROS

DIEDROS

139. ABC e DBC são dois triângulos equiláteros que têm um lado comum BC e cu' planos formam um diedro de /20°. Sabendo que o lado desses triâng~los t~OS medidas iguais a m, calcule o segmento AD e a distância do ponto D ao plano A;;

IV. Secções igualmente inclinadas Congruência de diedros
85. Secções igualmente inclinadas ou secções de lados igualmente inclinados - definição
Duas secções de dois diedros (distintos ou não) são chamadas secções igualmente inclinadas (secções ii), se, e somente se, os lados de uma formam cem uma mesma semi-reta da aresta correspondente ângulos ordenadamente congruentes aos ângulos que os lados da outra formam com uma mesma semi-reta da aresta correspondente a essa outra. . .

140. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Os planos bissetores de dois diedros adjacentes suplementares são perpend'_ culares. I b) Os planos bissetores de dois diedros opostos pela aresta estão num mesmo plano. c) Se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obriga_ toriamente perpendicular à outra face. d) Se os planos bissetores de dois diedros adjacentes formam um ângulo de 26" então a soma das medidas dos dois diedros vale 90". ' e) Se um plano é perpendicular à aresta de um diedro, então será perpendicular às faces do diedro.

141. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Dois planos perpendiculares determinam quatro diedros retos. Dois diedros opostos pela aresta são congruentes. Dois diedros congruentes sâo opostos pela aresta. Duas secções paralelas de um mesmo diedro são congruentes. Duas secções congruentes de um mesmo diedro são paralelas. Duas secções normais de um diedro são congruentes. Toda secção de um diedro reto é um ângulo reto. h) Um diedro reto pode ter uma secção que é um ângulo reto. i) Dois planos secantes determjnam quatro diedros. j) Se um diedro é reto, suas faces estão contidas em planos perpendiculares entre si. a) b) c) d) e) f) g)

Nas figuras acima

J8 e a/,[j'
fd e fd'

são secções igualmente inclinadas sâo secções igualmente inclinadas
A /) ca,

Notemos que as secções ab e são igualmente inclinadas.

a

/,':--b'

e cd, ab e c

A

A

('di

,a b e c' d nao

0 ,

0, -

86. Teorema
142. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) A soma de todos os diedros consecutivos formados em torno de uma mesma aresta vale 4 retos. b) Por um ponto qualquer da aresta de um diedro, considerando-se em cada face a semi-reta perpendicular à aresta, obtém-se uma secção reta do diedro. c) Se a = 90" e b = 30" são as medidas de dois diedros adjacentes, o ângulo formado pelos bissetores desses diedros mede 60". d) Se dois diedros adjacentes são complementares, os seus bissetores formam um diedro de 45". e) O lugar geométrico dos centros das esferas tangentes às faces de um diedro é o bissetor do diedro. f) O lugar geométrico dos pontos do espaço eqüidistantes das faces de um diedro é o bissetor desse diedro.

Se dois diedros são congruentes, então eles apresentam secções igual. mente inclinadas congruentes.

Notação:
a{3, a' (3' -

ao,

~ a' b' /':-

diedros - 19ua1mente mc l'ma d as . secçoes ' secçoes retas
-

A xy, x~, y

Hipótese
f.1 ( 011-'

Tese
/>.b - /,' a = a :--b'

==

A a • (3' ou xy = x0,) y

92

93

DIEDROS

DIEDROS

Demonstração
1? caso: Os lados das secções li formam ângulos agudos (os quatro) Ou obtusos (os quatro) com uma mesma semi-reta da aresta correspondente. (Vide a1; e 0/.8' na figura.)
d

2? caso: Dois lados, um de cada secção, formam ângulos agudos com uma

5:S retos) com a mesma semi-reta da aresta correspondente. (Vide ab e a' b' (ou
na figura.)

s semi-retas da aresta correspondente e os outros dois formam ângul~ob~­

B

B'

(3

(3'

1) Consideremos em r e r' (arestas dos diedros), respectivamente, R e R' tais que VR == V R' (V e V' são vértices das secções igualmente inclinadas e R ~ V).

1) Consideremos em r e r', respectivamente, R e R' tais que:
VR

==

V'R' com R

~

V.

2) Por R e R' consideremos as secções retas A E a, B E b, A' E a' e B' E b'.

;Y e i y que determinam '

. 2) Artifício: consideremos as retas Z e t por R, e z' e t' por R', que interceptam, respectivamente, a e b, e a' e b' nos pontos A e B, e A' e B', de forma qUe: A A A.(">, ARV == A'R'V' (agudos) e BRV == B R V (agudos).

3) Chegamos à tese pela seqüência de quatro congruências de triângulos, como segue:

3) Chegamos à tese pela seqüência de quatro congruências de triângulos, Como segue:

6 VRA 6.VRB L:::.ARB L:::.A VB

==

= 6.V'R'B' (caso ALA) = L:::.A'R'B' (caso LAL L:::.A'V'B' (caso LLL).

6.V'R'A' (caso ALA)

note que xy

A

= x'y'
A

por hipótese

)

==

6.VRA = 6V'R'A' (caso ALA) 6. VRB = 6.V'R'B' (caso ALA) 6.ARB = L:::.A'R'B' (caso LAL - note que aplicamos o primeiro caso 6.AVB

Dessa última congruência vem:
A VB
94
A

= ,6.A'V'B' (caso LLL)
A VB

M(B == A~B')

=

A'V'B' =>

A/:-..,6

ao =

a'b'.

Dessa última congruência vem: A A

==

/\. A'V'B' => ab

= a'b'.
95

~

DIEDROS

DIEDROS

87. Teorema - recíproco do anterior
Se dois diedros apresentam secções igualmente inclinadas congruen_ tes, então eles são congruentes. Usando as mesmas notações e figuras do teorema anterior, temos:

88. Condição necessária e suficiente
Resumindo os dois teoremas acima, temos: Uma condição necessária e suficiente para dois diedros serem congruentes é possuírem secções igualmente inclinadas congruentes.

Hipótese
ab = a'b' ) ( a1J e a1'b' são secções ii
A

Tese
==>

A

(xy

A

==

x'y' ou a{3 - a' {3')

A

Demonstração l? caso: Usando as mesmas construções para obter V, V, R, R', A, A', R e R', chegamos à tese pela seqüência de quatro congruências de triângulos,
como segue: DVRA == DV'R'A' D VRB == D V'R'B' f'.A VB =: DA'V'B' 6ARB ::::: DA'R'B' (caso (caso (caso (caso ALA) ALA) LAL - usando a hipótese) LLL)
A

(

E_X_E_R_C_Í_C_IO_S

_

143. Dados os pontos A e B, um em cada face de um diedro e nenhum na aresta, conduza por AS um plano que determina no diedro uma secção que é um ângulo reto. Solução

a) Construção:· Seja o diedro di(a r (3), A E a e B E {3, M o ponto médio· de AB e -y o plano determinado por Me r. No plano -y, com centro em M, conduzimos uma circunferência de diâmetro congruente a AR.

Dessa última congruência: ARB
ARB
A

==
==

A A'R'R' .
x'y' ==> a{3
A

= A'R'B'

A

==>

xy

A

A

==

A a'{3'

2.0 caso: Usando as mesmas construções para obter V, V', R, R' e o mesmo artifício para obter A, A', O, S' usados no 2? caso do teorema anterior, chegamos à tese pela seqüência de quatro congruências de triângulos, como segue:
D VRA == 6 V'R'A' (caso 6 VRB ::::: t::, V'R'B' (caso 6AVB == 6A'V'B' (caso 6ARB = DA'R'B' (caso ALA) ALA) LAL LLL)

o ponto X,

interseção da circunferência com r, determina -com A e B o plano pedido.

usando a hipótese)

O problema pode ter duas, uma ou nenhuma solução conforme posição relativa de r e da circunferência.
b) Prova de que AXB é reto:
/\

A Dessa última congruência vem: ARB
I

==

Â

A'R'B'.

A A '_ Sendo ARB e A R'R' agudos, conforme artifício, e congruentes, recaI . mos no 1~ caso. Dai sai a tese.
96

No triângulo AXB, a mediana XM é ~tade de AS,

o que implica que o

triângulo é retângulo em X. Logo AXB é reto.

97

DIEDROS

DIEDROS

144. Dois triângulos isósceles congruentes ACD e BCD têm a base CD comum. Seu planos C{ :!. são perpendiculares. Sendo M o ponto médio de AB, N o PoIU~ médio de CD, CD = 2x, e designando os lados congruentes dos triângulos Por Q: a) demonstre que MN é perpendicular a AB e CD; b) calcule, em função de m e x, os comprimentos de AB e MN; c) para que valores de x, o diedro de faces CAB e DAB é um diedro reto?
Solução
.

146. Estabeleça o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois planos secantes.

."

.

:.
'.

.

.

.

a) O triângulo ABN é retângulo isósceleS, pois AN triângulos congruentes).
/'..

== BN (m~ianas de dois
.i
',~

..

.

...

ANB é a secção reta do· diedro, /'.. portanto ANB = 90°.
DC ..I. NR]

,

": "

DC 1. NA

~

DC 1. (ABN) ... CD 1. MN

~

Daí concluímos que NM é perpendicular a AB.
b) Cálculo de AR e MN:

AB = 2 MN, pois o triângulo ABN é retângulo isósceles.
AB = AN

fi

=>

AR = h(a 2 - x2 )

MN = AR => MN 2

c) Cálculo de x:
.(

Os triângulos ACR e ADB são também isósceles, de base comum AB. Para que a secção reta do novo diedro seja um ângulo reto, é necessário que CMD = 90°, o que ocorre se MN = -2-; portanto:
A

CD

. Hipótese ..
("i V), (dy,A' ,,; dy,B')

Tese,

=

l~

YE L
'\

a /3
3

Demonstração
(a)

(,6)

145. Uma condição necessária e suficiente para que uma reta, não coplanar com a aresta
de um diedro, forme ângulos congruentes com as faces do diedro e intercepte essas faces em pontos eqüidistantes da aresta.

Sendo dy,A: = dy.Ct , dy,B' = dY,fl' O plano(Y, A'. 8') determina secções retas A t R'R' nos diedros determinados por ex e {j . ..

..
99

98

Biblioteca Juveníl do Colégio
DIEDROS

de Apficaçà!

---------CAPÍTULO VI
Em (Y, A', B') temos: d y.A' :: dy.B' => Y pertence à bissetriz de A'R'B' => y E 'Y ou y E 'Y' =>. y E !:.
Conclusão: "O lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois planos
/'..

secantes é a reunião dos quatro semiplanos bissetores dos diedros determinados por esses planos".

147. Estabeleça o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de três planos dois a dois
secantes segundo três retas distintas.
Solução
\ I

Triedros

\' . ~
(1.

Dados O, 'Y,

Sejam ct e a' os planos dos bissetores dos diedros determinados por 'Y e oe sejam {3 e {3' os planos dos bissetores dos diedros determinados por oe (1,

{õ)

3 " 1 I \ I \
I \

~':

I
I
I

\

I f'

o,
=>

~1í4
I

I

I. Conceito e elementos
~

'Y e

(J

dois a

doi~

secantes
Q

=>
::

(el)

3i 1 • i 2 • i 3 • i4 1 i] ::

n

j3; i 2

o: n [3';

89. Definição
{3; i 4
::

i3

-=

c/

n

a:n

f3'.

Consideremos Provemos que
1~

E:: i] Ú i 2 U i] U i 4 •

L

é o lugar geométrico. Tese

parte Hipótese
X E

Dadas três semi-retas J;, J{;, J;, de -mesma origem V, não coplanares, consideremos os semi-espaços &1 , &2 e &3' como segue:
&[' com origem no plano (bc) e contendo v.,; &2' com origem no plano (ac) e Contendo Vb ; &3. com origem no plano (ab) e contendo v".

v

r

=>

d x ,1':: dx,ó

= dx,Q
dx,õ :: dx,õ = d x.•

Demonstração

xE r
2~

=>

[x E ou X E cl XE{3 ou X E j3'
O!

dx,'Y}

=>

Tese

parte Hipótese

b
I

Tese
=>

dy,ó

= dy ,1' = dy ,.
=>

YEr

Triedro determinado por
&2

v.., ~ e v" é a intersecção dos semi-espaços &1
n &2 n
&3

e &3'
V (a, b, c) = &(

Hipótese

dy,ó = .d y,7 => X E ou X E [ dy,õ = d y ,. - - X E j3 ou X E (3'

o:

o:'} """"'" ~

X E i." ..... _

Conclusão:

E

i 1 U i) U i3 U i4 é o lugar geométrico procurado.

Sob uma outra orientação, o ente definido acima é chamado setor triedralou ângulo sólido de três arestas. Segundo essa orientação, o triedro é a reunião dos três setores angulares definidos por J;;, J{ e J{.
101

100

TRIEDROS

TRIEDROS

90. Elementos
V é o vértice; J-;; , J-í" Yc são as arestas;
/\ /\.. /\ /\ /\ /\ aVB, aVe e bVc ou ab, ac e bc são as faces ou ângulos de face. di (a) , di(b), di(c) são os diedros do triedro; cada um deles é determinado por duas faces do triedro. O triângulo ABC com um único vértice em cada aresta é uma secção do triedro.

v

I?) Da congruência dos triângulos B' VC e BVC, vem que B'C 2?) No triângulo ABC,
AC < AB + BC
=>

==

BC;

AB' + B'C < AB + BC

=>

AB' < AB.

De AB' < AB decorre, considerando os triângulos B' VA e B VA, que ab' < ab.
b
/'..
/'..

(2)

Somando-se as relações (2) e (1), temos: ab' + b'c <-ab + bc => ac < ab + bc.
"........
~

.,.,........,

/"'o...

..............

~

...............

a

Sendo a maior face menor que a soma das outras duas, concluímos que qualquer face de um triedro é menor que a soma das outras duas.

Um triedro notável é aquele cujas faces são ângulos retos e cujos diedros são diedros retos. Esse triedro é chamado triedro tri-retângulo (ou triedro triretangular).

".-,

c

92. Nota
Se fI' f2 e f3 são as medidas das faces de um triedro, temos: f,<f 2 +f3 •
f2 f3
(1) I f2
-

11. Relações entre as faces
91. Teorema
Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas.

< fI + f] <=> f2 - f 3 < fi] < fi + f 2 <=> f 3 - f 2 < fi

#-

f3 I

<

fi

(2)

De (1) e (2) vem:

I

I

[2 -

{lI

<

f.

<

f2 + f 3

j

93. Teorema
A soma das medidas em graus das faces de um triedro qualquer é menor que 360°.

Demonstração
Supondo que a1: é a maior face do triedro V(a, b, c), vamos provar que ac < ab Para isso, construímos em
A
~

+ bc.

A

(tese)

Demonstração

a'

v fie um

"" ângulo b' c tal que
b'c

Sendo ab, ac e bc as medidas das faces de um triedro V(a, b, c), provemos que:
.........

/""-

""

/'..

.......

==

bc.

"'-

(I)

ab + ac

".....

+ bc < 360 0 •

/'..

(tese)

,,

,

Tomando-se um ponto B em b e um ponto B' em b' , tais que VB == VB', e considerando uma secção ABC, como indica a figura, temos:
102

Para isso, consideremos a semireta Va' oposta a Va; observemos que V(a', b, c) é um triedro e
b

bc < ba' + ca'.

""

.........

/'-

a

-~,-,- ,-~~,
b
103

(1)

~:i.::::::::::::
TRIEDROS

.:::.::::):.::::.::=.':.:::::=:.:::=:::::l:::. :.))'·;·~:r.••:.•.•)··:.:)::~·~":t:j:·===···:::j========::====== ::·====::::·;:==:::·::::::1
:..· : : : v :
TRIEDROS

"" "" 9s ângulos ab e ba' são adjacentes e suplementares, o mesmo ocorrendo com ac e clt' . Então:
ab

149. Duas faces de um triedro medem respectivamente 100 0 e 135 0 • Determine o intervalo de variação da terceira face. Solução

"" + ba' = âC + éã' =
/"-.

180°) 180°

J

:=>

+

..-.... ab

+ ac + lba'

............

..............

~ ca'J = 360°
L - - - -

...........

:=>

.....-.. ............. ab + ac

+ b~ < 3600
I

............

Sendo x a medida da terceira face, temos: 0° < x < 180 0 (1) 100 0 + 135 0 + x < 360 0 => X < 125 0 (2) 1135° ~ 100° 1 < x < 135° '+ 100°=> 35 0 < x < 235° (3)
«(1), (2), (3»

(1) - - - -

-.J

94. Resumo
1) Em qualquer triedro:

=> 35°

<

x

< 125

0

Cada face é menor que a soma das outras duas e a soma das medidas (em graus) das faces é menor que 360°. 2) Uma condição necessária e suficiente para que fi' f2 e f3 sejam medidas (em graus) das faces de um triedro é:
0°

150. Num triedro duas faces medem respectivamente 110° e 140°. Determine o intervalo de variação da medida da terceira face.

< f] < 180° 0 0 < f2 < 180° 0 0 < f 3 < 180 0 f] + f 2 + f 3 < 360 e 1 f 2 - f 3 I < f] < f 2 + f 3
0

151. Determine o intervalo de variação de x, sabendo que as faces de um triedro medem
fi =
X,

f 2 = 2x - 60°, f 3

=

30°.

152. Se um triedro tem suas faces iguais, entre que valores poderá estar compreendida cada uma de suas faces?

EXERCÍCIOS
153. Prove que pelo menos uma face de um triedro tem medida menor que 120°. 148. Existem triedros cujas faces medem respectivamente: a) 40°, 50°, 90° b) 90°, 90°, 90 0 Solução a) Não, pois, sendo 1/2 - /3 1 < f, < /2 + fj, temos I 50° - 40° 1 < 90° < 50° + 40° (que é falso). b) Sim, pois 190°-90°1 <90°<90° + 90°; 90° +90° + 90° < 360°; 0° <90°< 180°; c) Não, pois 0
0

c) 200 0 , 100°, 80° d) 150°, 140°, 130°

Solução

154. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) b) c) d) Existe triedro cujas faces medem respectivamente 40 0 , 90° e 50°. Existe triedro com as faces medindo respectivamente 70 0 , 90° e 150°. Existe triedro com as três faces medindo 120° cada uma. Se num triedro duas faces medem respectivamente 150 0 e 120°, então a terceira face é obrigatoriamente a menor. e) Se dois triedros são congruentes, então eles são opostos pelo vértice. f) Três semi-retas de mesma origem determinam um triedro. g) Num triedro tri-retângulo cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.

< 200 < 180°
0

(que é falso). (que é falso).
0

d) Não, pois 150 + 140 + 130° < 360°
0 0

e) Sím, pois 17° - 3° I < 5° < 7 0 + 30 ; 3° + 5° + 7° < 3600; 0 0° < 5° < 1.80°; 0° < 7° < 180 0 •

< 3° < 180

0

155. Três retas, r, s e t, coplanares e incidentes num ponto V, quantos triedros determinam?
105

104

+,

..
TRIEDROS TRIEDROS

111. Congruência de triedros
95. Definição
Um triedro é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre suas arestas e as do outro, de modo que: seus diedros são ordenadamente congruentes aos diedros do outro e suas faces são ordenadamente congruentes às faces do outro.

Exemplos: Dois triedros opostos pelo vértice (ou simétricos em relação a um ponto) são inversamente congruentes. Dois triedros simétricos em relação a um plano (um é imagem especular do outro) são inversamente congruentes.

v

v

t

a

_ .... _ _

......-_,._........--r...

? ..

~

c

t
b'

..

~

.. '..:.
~ [ab

b

V(a, b, c) = V(a', b', c')

== a'b', bc == b'c', ca == c'a' diCa) == diCa'), di(b) == di(b'), di(c) == di(c')
y'

/:-..

/'..Â

ÂA.

A

V(a, b, c) e V' (a', b', c') inversamente congruentes V (a', b', c') e V (a", b", c") inversamente congruentes V(a, b, c) e V (a", b", CU) diretamente congruentes

Observação Para descobrir qual o tipo de congruência entre os triedros V(a, b, c) e V (u', b', c'), consideram-se dois "observadores" identificados com as arestas correspondentes Va e V' a', com as "cabeças" voltadas para os vértices e "olhando para dentro" dos triedros. a) Se Vb está à direita (ou à esquerda) do primeiro observador e V' b' está à direita (ou à esquerda) do segundo, a congruência é direta. b) Se Vb está à direita (ou à esquerda) do primeiro e V' b' está à esquerda (ou à direita) do segundo, a congruência é inversa.

Por exemplo, dois diedros opostos pelo vértice, como V(x, y, z) e V(x' , y' , z') da figura ao lado, são congruentes, pois:
..".,.......,

z'

xy

= x'y',
"......

xz

.............

= x'z',
..............

/"'..

yz

=

...............

y'z'

e

di(x) di(z)

=

==

di(x'), di(y) di(z').

= di(y'),
z

y

IV. Triedros polares ou suplementares
97. Definição
Um triedro é polar de outro se, e somente se: I?) tem mesmo vértice do outro, suas arestas são respectivamente perpendiculares aos planos das faces do outro e 3~) formam ângulos agudos com as arestas correspondentes do outro.
2~)

96. Tipos de congruência
Existem dois tipos de congruência entre triedros.

1.° tipo: Congruência direta - "quando os triedros podem ser superpoStos por movimento de rotação e translação". 2 ~ tipo: Congruência inversa - "quando os triedros são congruentes (satisfazem a definição), mas não são superponíveis".
106

107

TRIEDROS

TRIEDROS

Assim, V(x, y, z) é polar de V(a, b, c) se, e somente se: Vx, Vy, Vz são respectivamente perpendiculares aos planos (b, c), (a, c),
(a, b), ~ ax, by e cz são agudos.
a
/', .r... .r...

Demonstração

v

Vx ..1 (b, c)

VX.l Vb
=>

"~o

,

[

=>

Va .1 (y, z)

Vx ..1 Vc

" ."

'"

m
y

Hip.

=>

Vy

..l (a, c)

VY..lva
=)

"~,-o '"
'.

""
,

[ Vy ..1 Vc
~..............

,//
",v,.

"~=) Vb .1 (x, z)
=)

Tese

VZ..l Va

:;.<-- .... "
// ....

Vz ..1 (a, b)
s
A A A

=>

[ Vz .1. Vb /'
A A

~=) Vc
A

..1 (x, y)

(xa, xb e xc são agudos) => (ax, by e cz são agudos)

Vem, n, o) é polar de Ver, s, t) se, e somente se: Vm; Vn, Vo são respectivamente perpendiculares aos planos (s, 1), (r, t), (r, s), e mr, ns, ot são agudos.
/'.r... "'-

100. Propriedade fundamental de triedros polares
Veremos a seguir três itens que caracterizam os triedros polares: primeiro um lema (teorema auxiliar) sobre diedros, depois um teorema, que é a propriedade em si, e, por fim, as conseqüências de aplicações práticas.

98. Nota
Notemos que, seo triedro V(a, b, c) é tri-retângulo, então, pela unicidade da perpendicular a um plano por um ponto, ele coincide com seu polar V(x, y, z). O triedro trí-retângulo é autopolar.

x=a

101. Lema
z=c
(Antes do enunciado, veja a primeira da.: figuras de triedros polares, notando [3, 1', y, Z, a e V.) "Se por um ponto V da aresta a de um diedro (1J1') conduzimos as semi-retas: Vy, perpendicular a {3, situada no semi-espaço que contém l' e tem origem no plano de f3, e Vz, perpendicular a 1', situada no semi-espaço que contém IJ e tem origem no plano de "'I, então o ângulo.Q obtido é suplemento da secção reta do diedro (.61') = di(a)."

y=b

99. Propriedade
Se um tríedro V(x, y, z) é polar do triedro V(a, b, c), então esse triedro V(a, b, c) é polar do primeiro V(x, y, z).

Demonstração Hipótese Tese
V(x, y, z) é polar de V(a, b, c) => V(a, b, c) é polar de V(x, y, z)
108

Vamos demonstrar para o caso em que o diedro é obtuso. Nos outros casos a demonstração é análoga.

,

109

Atz

TRIEDROS

TRIEDROS

1) Vy .1 13 Vz .1 'Y

==-

Vy .1 aJ Vz .1 a

=-

103. Conseqüências
1~) Se dois triedros são congruentes entre si, então seus polares também são congruentes entre si.

=- a.l (y, z) ~ rhn = (y, z) n di({3'Y)
é secção normal do diedro <I3'Y)'

Hipótese V(x, y, z) e V(a, b, c) são polares ) V'(x', y', z') e V'(a', b', c') são polares ( V(a, b, c) == V'(a', b', c')
A.

Tese
=O>

2) No plano de y, my + yz = mz = 1 reto J
~+m=~=l~o
A
À

Z,

m e n, temos:
À

V(x, y, z) = V'(x', y', z')

A

Á

A

A

~ YZ+~=2

A

A

retos

p..

=O>

yz+mn=2 retos

/'-.

t

Demonstração Se V(a, b, c) == V'(a', b', c'), concluímos seis congruências (pela definição), uma das quais é: dita) = dita').

Logo, o ângulo

y''t é suplemento da secção normal m1 do diedro 13'Y.

102. Teorema
"Se dois triedros são polares, cada face de um é suplementar da secção reta do diedro oposto no polar."

Dessa congruência entre diedros podemos concluir uma congruência entre faces dos polares, como segue: dita)

= dita')

=>

2r - dita)

= 2r A

dita')

=O>

fi = y~'.

Ainda da congruência entre V(a, b, c) e V' (a', b', c'), outra das congruências que concluímos é: bc
A.,

Identificando os diedros com suas secções retas (notemos que a medida do diedro é a medida de sua secção reta), temos: Hipótese v..(a, b, c) e V(x, y, ( sao polares Tese

== b'c'.
A . .

Dessa congruência entre faces podemos concluir uma congruência entre diedros dos polares, como segue: bc = b'c'
A..

A

=O>

2r - bc

A..

= 2r -

b'c'

=>

dl(X)

== dl(X').

O+ Z») :a + ( {y +

dita) = 2r di(b) = 2r di(c) = 2r

bC

ãC áB

+ di(x) = 2r) + di(y) = 2r + di(z) = 2r

Assim, das seis congruências entre faces e diedros que saem de = V(a', b', c'), concluímos seis outras congruências entre diedros e faces de V(x, y, z), e V (x' , y', z'). Logo, V(x, y, z) = V(x', y', z').
V(a, b, c)
2~) Em qualquer triedro, a medida de um diedro (em graus) aumentada em 180 0 supera a soma dos outros dois.

Demonstração A primeira expressão da tese + dita) = 2r é uma simples adaptação da expressão y'z + m'h = 2 retos provada no lema. Pode-se dizer que ela é o próprio lema. As outras cinco expressões têm demonstrações análogas à primeira, bastando fazer as adaptações de letras.
110

fi

Demonstração
fi, f2 e h as medidas (em graus) das respectivas faces opostas no polar.

Sejam di, d 2 e d; as medidas (em graus) dos diedros de um triedro e

111

TRIEDROS

TRIEDROS

Das relações entre as faces temos f, < f2 + .h. Como h = 180 o - d" f2 = 180° - d1 e f3 = 180 0 - d3• temos: fi < f 2 + f) ==> 180°-di < (l80 0 -d2 ) + (l800-d,) ==> d2 + d) < 180° + di. Logo, d 2

[

E_X_E_R_C_ÍC_I_O_S

_

< 180 + di' Analogamente: di + d 3 < 180 0 + d 2 di + dz < 180 0 + d 3
+
d3
0

156. Pode haver triedro cujos diedros meçam 40°, 120° e 15°? Por quê?
Solução

3 ~) A soma dos diedros de um triedro está compreendida entre 2 retos (180°) e 6 retos (540°). 2r < diCa) + di(b) + di(c)

Não, pois, sendo d J = 40", d] = 120 0 e d3 == 15° no polar, temos: fi = 140°, f 2 ~ 60° e /3 = 165° e 140° + 165 0 + 60° < 360° (que é falso).

<

6r

157. Existem ângulos triedros cujos diedros medem respectivamente:

Demonstração
Pela definição de triedro, cada diedro é menor que 2 retos, logo diCa) Considerando as faces

+

xy, xz e yz do polar, temos:
==>

di(b)

+ di(c) < 6r.

a) 90°,90°,90° b) 60°, 60°, 60" c) 200°, 300°, 100° d) 120°, 200°, 15°

e) 125°,165°,195° f) 175°, 99°, 94°
g) 100", 57°, 43° h) 110°, 100°, 70°

{y + {Z + yZ < 4r
==>

==>

diCa)

+ di(b) +

[2r-di(c)] + [2r-di(b)] + [2r-di(a)] < 4r di(c) > 2r

158. Podem os diedros de um triedro medir respectivamente 40 0 ,50° e 60°1 Por quê? 159. Se um diedro de um triedro é reto, entre que valores deve estar compreendida a soma das medidas dos outros dois diedros?

104. Nota
Da relação I f 2 - f 3 I < fI < f 2 + f 3 entre as faces de um triedro sai a relação 2r - I d j - d2 I > di > (d 2 + d3) - 2r entre os diedros de um triedro. De fato, considerando f"f] tas a di' d} e d3 , temos: I f 2 - f) I < fi < f2 + f).

160. Dois diedros de um triedro medem respectivamente 60° e 110°. Dê o intervalo de variação da medida do terceiro diedro.

V. Critérios ou casos de congruência éntre triedros
lOS. Preliminar
=>

eiJ as faces do polar respectivamente oposI?) A definição de congruência de triedros dá todas as condições fundamentais que devem ser satisfeitas para que dois triedros sejam congruentes. Essas condições (seis congruências: três entre faces e três entre diedros) são totais, porém existem condições mlnimas para que dois triedros sejam congruentes. Estas condições mínimas são chamadas casos ou critérios de congruência. Cada caso ou critério traduz uma condição necessária e suficiente para que dois triedros sejam congruentes.
113

E, aplicando o teorema fundamental, vem: 1 2r - d2 - (2T - d3) I < 2r - di < 2r - d2 + 2r - d3
I 2r - d 2 - 2r + d 3 J < 2r - di < 4r - (d 2 + d J) => I d 3 - d 2 I < 2r - di < 4r - (d 2 + d3 ) ==> ==> - 2r + I d J - d z I < - d J < 2r - (d 2 + d 3) = => 2r - I d3 - dz I > di > - 2r + (d 2 + d3)
112

=-

==>

TRIEDROS

TRIEDROS

2?) Figura e elementos para as demonstrações

Demonstração
c'

v

Se Te T' têm DFD, pelo teorema fundamental, os polares P e P' têm FDF e, pelo caso anterior, são congruentes. Ora, se P e P' são congruentes, seus polares Te T' também o são.

v' ~-----'-+-- b'

108. 3? critério: FFF
"Se dois triedros têm, ordenadamente congruentes, as três faces, então eles são congruentes."

a'

Notação: T

V(a, b, c) P polar de T
=

T' = V'(a', b', c') P' polar de T'

Hipótese

106. I? critério: FDF
Se dois triedros têm, ordenadamente congruentes, duas faces e o diedro compreendido, então eles são congruentes.
Hipótese Tese
(2) (3)

.§ = (
"

ab = a'b'

",...

ac == a'c'

fe'

-

(1»)
(2) (3)
==>

Tese
T

= T'

Demonstração

tes a'b' ~(b) -",di(b') ( bc == b'c'
ab

«3» dos diedros di(b) e di(b'), respectivamente.
Então, di(b) == di(b') (4). Analogamente: di(c) == diCa') di(c) == di(c')
(5) (6)

As faces áê e ?C' são secções igualmente inclinadas ((1) e (2» e congruen-

'"

==

/'-

(1»)

==>

T== T'

«1), (2), (3), (4), (5), (6» => T

==

T'

Demonstração

109. 4? critério.: DDD
"Se dois triedros têm, ordenadamente congruentes, os três diedros, então eles são congruentes."
Demonstração

As faces áCe élC' são secções igualmente inclinadas «1) e (3» de diedros congruentes (2); então, áC ==?c' (4). As faces bC e b~' são secções igualmente inclinadas «(1) e (4» e congruendos diedros diCa) e diCa'), respectivamente. Então, diCa) == diCa') (5). tes As faces;;; e Çb' são secções igualmente inclinadas «3) e (4» e congruentes(l) dos diedros di(c) e di(c'), respectivamente. Então, di(c) == di(c') (6). «1), (2), (3), (4), (5), (6» ==> T == T'

«3»

Se Te T' têm DDD, pelo teorema fundamental, os polares P e P' têm FFF e, pelo casO anterior, são congruentes. Ora, se P e P' são congruentes, seus polares Te T' também o são.

107. 2? critério: DFD
"Se dois triedros têm, ordenadamente congruentes, dois diedros e a face compreendida, então eles são congruentes."
114

110. Nota
Para efeito de memorização é bom comparar os casos FDF, DFD e FFF com os casos de congruência entre triângulos LAL, ALA e LLL.
115

~:

J

;<

;

;

ir

'l

'J

,o:

:::;:
-.1''-", ;:-:'__ . ' -

".

'f

t

;
"

,

,

TRIEDROS
TRIEDROS

163. A que distância do vértice de um triedro tri-retângulo deve passar um plano para que a secçào obtida seja um triângulo equilátero de lado i?

l.-

E_X_E_R_C_Í_C_IO_S

J
v

164. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Em todo triedro tri-retângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta. b) Se dois diedros de um triedro medem respectivamente 40° e 70°, o terceiro diedro pode medir 70°. c) Se um plano intercepta as arestas de um triedro tri-retângulo nos pontos A, B, C eqüidistantes de seu vértice V, a secção determinada é um triângulo equi· látero. d) Se um plano intercepta as arestas de um triedro nos pontos A, B, C eqüidistantes de seu vértice V, a secção determinada é um triângulo equilátero. e) Cada face de um triedro é maior que a soma das outras duas. f) Três retas r, s e t incidentes num ponto V determinam 8 triedros. g) Três retas r, s e t não coplanares e incidentes num ponto V determinam 8 triedros. h) Se dois triedros são opostos pelo vértice, então eles são congruentes. 165. Demonstre que, se um triedro tem um diedro reto, o cosseno da face oposta ao diedro reto é igual ao produto dos cossenos das faces que formam o diedro reto. 166. Seja um triedro de vértice V, cujos ângulos das faces medem 60° cada um. Considere os segmentos VA "'" VB == VC = 9 em sobre suas arestas. Determine o comprimento do segmento AP, sendo P o pé da perpendicular à face oposta à aresta VA.

161. Num triedro V(a, b, c) as faces éiê e bi: m~dem cada uma 45° e formam um diedro reto. Determine a medida da face ab.
Solução Por um ponto P da aresta c a uma distância ede V conduzimos uma secção reta do diedro di(c). Sendo os triângulos VPN e VPM retângulos isósceles, temos:

VM == VN = i./2. Mas o D.PMN também é retângulo isósceles e MN
=

e12.

M a

'11'---------.:" c
logo

b

Portanto, VM == VN == MN

=- 6. VMN equilátero,

a1; =

162, Um plano intercepta as arestas de um triedro tri-retângulo, determinando um triângulo de lados a, b e c. Determine as distâncias dos vértices desse triângulo ao vértice do triedro tri-retângulo.
A

Solução Sendo DA VC, DA VB, 6.BVC, retângulos, temos:

167. Um ponto A é interior a um triedro tri-retângulo. As distâncias desse ponto às arestas do triedro medem a, b e c. Calcule a distância OA, sendo O o vértice do triedro.
Solução

B

Seja OA
(1) (2) (3)
+

=

d.

====x2
y2 Z2 a 2 + b2
2
-

c

(4) - (3)

c2 a2

===-

x -

r----a 2 + b2 - c2
2
2

Traçando AP, perpendicular a uma face do triedro (vide figura), temos:

(4) - (1)

b 2 + cl
2

-

Y

~

b +

~2 -

a2

2 2 2 x2 +y2 + z2 = a + b + c 2 Sendo d
d

(4) - (2)

a 2 + c2 - b 2
2

Z

JL~2_b2

fL+
117

116

I

3"

T

TRIEDROS

TRIEDROS

168. Dado um triedro V(a, b, c), construa uma semi-reta Vx que forme ângulos con. gruentes com as arestas do triedro.

A

VI. Angulos poliédricos convexos
111. Conceito e elementos
Dado um número finito n (n ;;:: 3) de semi-retas VaI> Val , Va 3 , •• "' Va n , de mesma origem V, tais que o plano de duas consecutivas (Va j e Va l , Va l e V03 , ••• , Va n e Va j ) deixa as demais num mesmo semi-espaço, consideremos n semi-espaços EI> E l , E 3 , ••• , E n , cada um deles com origem no plano de duas semi-retas consecutivas- e contendo as restantes.

v

Ângulo poliédrico convexo determinado por Va" Va l a interseção dos semi-espaços E J , El , EJ , •• "' E n •

,

Va;, ... , Va n é

169. Os planos determinados pelas arestas de um triedro e pela bissetriz da face oposta inten:eptam-se numa reta. 170. As bissetrizes internas de duas faces de um triedro e a bissetriz do ângulo adjacente e suplementar à outra face são coplanares. 171. Sendo a, (3 e 'Y os planos conduzidos pelas arestas de um triedro e perpendiculares aos planos das faces opostas, prove que a, /3 e 'Y têm uma reta comum. 172. No plano de cada face de um triedro conduz-se pelo vértice a perpendicular à aresta oposta. Prove que as três retas assim obtidas sào coplanares.
118

o ponto V é o vértice, as semiretas Vai' Va], V03 , ... , Vansão as n I/'./'-. /"'-. arestas e os angu os aja], 0]0;, " " anal são as n faces do ângulo poliédrico, Ele também possui n diedros, cada um deles determinado por duas faces consecutivas.
A

v

SuperJfcie de um ângulo poliédrico é a reunião de suas faces.

112. Secção é um polígono plano com um único vértice em cada aresta.
119

d

TRIEDROS

TRIEDROS

113. Notas
Sn)
===>

Tese
So

< 4r

I?) O ângulo poliédrico convexo acima definido pode assumir outros nomes: pirâmide i/imitada ou limitada ou ângulo sólido.

Demonstração
2?) O triedro é um ângulo poliédrico convexo de 3 arestas.

114. Relações entre as faces
São generalizações das duas propriedades válidas para triedros:
1 ~)

"Num ângulo poliédrico convexo, qualquer face é menor que a soma das demais".

Consideremos: O ângulo poliédrico convexo V(a j , x, a4 , ••• , an ), cujas (n - 1) faces somam S(n-])' O triedro V(a]> x, 03)' em que temos: "" a/'- < a"'" + xa3 ( 1) a, 2x
2

a1
82
X

Hipótese
(ã;à2 é a maior face)
/'..

Tese
===>

(a l a2

<

/'.

a2 a3

+ ... + al:in)

/'.

e ainda a soma: /'o. /'. /'o. ai a2 + a3 a4 + a 4a 5 + Com isso temos: . /'... So = Sp + ala] So-I = Sp + a~x +

... +

/'-..

aoal

=

Sp'

xa]

Demonstração
Os planos (a], a3 ), (a1> a4 ),
... ,

(a], an-]) dividem o ângulo poliédrico em (n - 2) triedros. Aplicando a rela-

v

e, em vista de (1), vem: So < 80 - 1 , Repetindo-se o processo, vem: So-l < 8 0 - 2 < ... < 8]. Então: Sn

ção entre faces a cada um deles, vem:

< S3 e, como S3 <

4r, conclui-se que: Sn

< 41'.

< aza3 + ai a3 "" < a3à 4 + a"" 4 "" ala] la
ai a2
ai ao-)
./'....

/'.

/'..

/'.

115. Congruência
Dois ângulos poliédricos são congruentes quando é possível estabelecer uma correspondência entre as arestas de um e as do outro, de modo que as faces e os diedros correspondentes sejam ordenadamente congruentes.

""

<

:in-I ao

/'-.

+

a Ja n

,.....

Somando membro a membro:
a j a2
2~)

<

a2 a]

/'.................

+

a3 a4

+ ... +

............

alao

116. Ângulo poliédrico regular
Um ângulo poliédrico convexa é regular se, e somente se, as faces são todas congruentes entre si.
121

"Num ângulo poliédrico convexo, a soma das faces é menor que quatro ângulos retos".
120

TRIEDROS

CAPÍTULO VII
y'

EXERCÍCIOS

....

'.'

:i 1

173 As faces de um ângulo poliédrico convexo medem respectivamente /00, 20°, 30°, 40 ° e x. Dê o intervalo de variação de x.

Poliedros Convexos
174. As medidas das faces de um ângulo tetraédrico convexo são 120°, 140°,90° e x. Dê o intervalo de variação de x. 175. Qual é o intervalo de variação de x para que 20°, 30°, 120° e x sejam as medidas das faces de um ângulo poliédrico convexo? 176. As faces de um ângulo heptaédrico convexo medem respectivamente 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, x e 160°. Entre que valores x pode variar?

I. Poliedros convexos
117. Superfície poliédrica limitada convexa
Superfície poliédrica limitada convexa é a reunião de um número finito de polígonos planos e convexos (ou regiões poligonais convexas), tais que: a) dois polígonos não estão num mesmo plano; b) cada lado de polígono não está em mais que dois polígonos; c) havendo lados de polígonos. que estão em um só polígono, eles devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno; d) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço (condição de convexidade). As superfícies poliédricas limitadas convexas que têm contorno são chamadas abertas. As que não têm contorno são chamadas fechadas.
Elementos: uma superfície poliédrica limitada convexa tem: faces: são os polígonos; arestas: são os lados dos polígonos; vértices: são os vértices dos polígonos;

177. Existem ângulos poliédricos convexos cujas faces medem, respectivamente:
a) b) c) d) e)

40°, 60°, 30°, 150 0 100°, 120°, 130°, 70° 4°, 5°, 6°, 7°, 8° 60°, 60°, 60°, 60°, 60 0
108°, 108°, 108°

178. Quantos tipos de ângulos poliédricos convexos podemos formar:
a) com todas as faces iguais a 60° b) com todas as faces iguais a 90° c) com todas as faces iguais a 120°

179. Qual é o número máximo de arestas de um ângulo poliédrico convexo cujas faces são todas de 70"?

ângulos: são os ângulos dos polígonos.
122 123

r:::::::e:":: : '==================11••••==·:::.========.===========.:.:=':::;====::i:r:i:i=======Ci
POLIEDROS CONVEXOS POLIEDROS CONVEXOS

118. Nota
Uma superfície poliédrica limitada convexa aberta ou fechada não é uma região convexa.

Demonstração
a) Por indução finita referente ao número de faces, vamos provar, em caráter preliminar, que, para uma superfície poliédrica limitada convexa aberta, vale a relação:

119. Poliedro convexo
Consideremos um número finito n (n ~ 4) de polígonos planos convexos (ou regiões poligonais convexas) tais que: a) dois polígonos não estão num mesmo plano; b) cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos; c) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semiespaço. Nessas condições, ficam determinados n semi-espaços, cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e contém os restantes. A interseção desses semi-espaços é chamado poliedro convexo. Um poliedro convexo possui:faces, que são os polígonos convexos; arestas, que são os lados dos polígonos e vértices, que são os vértices dos polígonos. A reunião das faces é a superfície do poliedro.

em que

J.;; é o número de vértices,
Ao é o número de arestas e

F a é o número de faces da superfície poliédrica limitada aberta.
Para o polígono abaixo

I) Para F o

=

1.

,Neste caso a superfície se reduz a um polígono plano convexo de n lados e, então, v,;' = n, Ao = n. Temos:

V. = 7 A. = 7

V a

-

A a + Fa

=

n - n

+ 1 = 1

==>

v,. =

A. + F. 1.

l.

Logo, a relação está verificada para F a

120. Congruência
Dois poliedros são congruentes se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus elementos de modo que as faces e os ângulos poliédricos de um sejam ordenadamente congruentes às faces e ângulos poliédricos do outro. Da congruência entre dois poliedros sai a congruência das faces, arestas, ângulos e diedros.

2) Admitindo que a relação vaIe para uma superfície de F' faces (que possui V' vértices e A' arestas), vamos provar que também vale para uma superfície de F' + 1 faces (que possui F' + 1 = F] faces, v,; vértices e Ao arestas). Por hipótese, para a superfície de F' faces, A arestas e V' vértices vale:
I

V' - A' + F'

=

1.

121. Relação de Euler
Para todo poliedro convexo, ou para sua superfície, vale a relação

Acrescentando a essa superfície (que é aberta) uma face de p arestas (lados) e considerando que q dessas arestas (lados) coincidem com arestas já existentes, obtemos uma nova superfície com Fo faces, A a arestas e v,; vértices tais que:

V-A+F=2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número
de faces do poliedro.
124

Fa Aa

v..

+ 1 = A' + p -:- q = V' + P - (q +
= F'

(q arestas coincidiram) 1)

(q arestas coincidindo, q + 1 vértices coincidem) 125

e'#
POLIEDROS CONVEXOS POLIEDROS CONVEXOS

Formando a expressão vem: Va
I
-

v.; y

Aa

+ F a e substituindo os valores acima,
.I

Aa + Fa

I

:::

~ V' + P - (q + 1) - (A' + P - q) + (F' + 1)
'-

::: V' + P - q - 1 - A' - P

+q-

F'

+

1 ::: V' - A' + F'

Com Ya - A a + F a = V' - A' + F' provamos que essa expressão não se altera se acrescentamos (ou retiramos) uma face da superfície. Como, por hipótese, V' - A' + F' ::: 1, vem que

Veja ao lado a figura de um poliedro para o qual não vale a relação de Euler. Note que ele possui: V ::: 16, A = 32 e F = 16. Então: V - A + F = 16 - 32 + 16 = O.

v.. - A
o que prova a relação preliminar.

a

+ Fa

:::

1

b) Tomemos· a superfície de qualquer poliedro convexo ou qualquer superfície poliédrica limitada convexa fechada (com V vértices, A arestas e F faces) e dela retiremos uma face. Ficamos, então, com uma superfície aberta (com t;;: vértices, A a arestas e F a faces) para a qual vale a relação Va - A a + Fa ::: 1. Como Ya = V; A a
:::

... E:7.. ~: .. .
: ....
'

122. Poliedro euleriano
Os poliedros para os quais é válida a relação de Euler são chamados poliedros eulerianos. Todo poliedro COnvexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo.

.":"

'"',

-

...

EXERCÍCIOS
+
(F - 1)

A e F" ::: F - 1, vem V - A

1, ou seja:
180. Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcule o número de arestas e de vértices do poliedro.

V-A+F=2 Nota: O teorema de Euler está ligado a um conceito que engloba o de poliedro convexo, razão pela qual vale para este. Exemplos

Número de arestas: nas 6 faces triangulares temos 6 x 3 arestas e nas 5 faces quadrangulares 5 x 4 arestas. .Cada aresta é comum a duas faces; todas as aresta.s foram contadas 2 vezes. Então: 2A == 6 x 3 + 5 x 4 => 2A == 38 => A:::: 19. Número de vértices: com F = 11 e A == 19 na relação V- A + F:::: 2, temos: V - 19 + 11 :::: 2, ou seja, V == lO. 181. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.
127

I

I

----l.

I

",

V- A
126

+ F ::: 9 - 18 + 11 ::: 2

V -A + F

14 - 21

+

9

2

•
POLIEDROS CONVEXOS POUEDROSCQNVEXOS

182. Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro? 183. Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro. 184. Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número. de faces quadrangulares é igual a 5.

194. Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que os números de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro.

195. Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em duas unidades. Calcule o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.
196. Um poliedro convexo de 24 arestas é formado apenas por faces triangulares e quadrangulares. Seccíonado por um plano convenientemente escolhido, dele se pode destacar um novo poliedro convexo, sem faces triangulares, com uma face quadrangular a mais e um vértice a menos que o poliedro primitivo. Calcule o número de faces do poliedro primitivo.

185. Um poliedro convexo tem 11 vértices. o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.
186. Calcule o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares de um poliedro com 20 arestas e 10 vértices.

197. Ache o número de vértices de um poliedro convexo que tem
b faces de
;

(J

faces de f lados.

187. Um poliedro de sete vértices tem cinco ângulos tetraédricos e dois ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?
Solução

m lados e c faces de n lados. Discuta.

I ,

123. Propriedade
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é S = (V- 2)· 4r em que V é o número de vértices e r é um ângulo reto.

Arestas: O número de arestas dos 5 ângulos tetraédricos é 5 X 4 e o número de arestas dos 2 pentaédricos é 2 X 5; notando que cada aresta foi con· tada duas vezes. pois é comum a dois ângulos poliédricos. temos: 2A = 5 x 4 + 2 X 5 ~ 2A = 30 ~ A = 15. Faces: Com V

=

7eA

= 15 em

V- A

+ F = 2, vem F = 10.
Demonstração
V. A e F são, nessa ordem, os números de vértices, arestas e faces do poliedro. Sejam nJ. n2. n 3, .... n F os números de lados das faces 1, 2, 3, F, ordenadamente. A soma dos ângulos de uma face é (n - 2) . 2r. .Para todas as faces. temos: S 2) . 2r + (n z - 2) . 2r + (n 3 - 2) . 2r + + (n F - 2) . 2r = n l • 2r - 4r + n 2 • 2r - 4r + n 3 • 2r - 4r + + n F • 2r - 4r = (n l + n2 + n3 + ... + nF) • 2r -l4r - 4r - 4rJ
(Dl v

188. Ache o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triedros.

189. Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por cinco triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.
190. Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais triedros. Sabendo que o poliedro tem: número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares, 11 faces pentagonais. e no total 21 faces. calcule o número de vértices do poliedro convexo. 191. O "cuoo-octaedro" possui seis faces quadradas e oito triangulares. Determine o número de faces. arestas e vértices desse sólido euleriano. 192. O tetraexaedro possui 4 faces triangulares e 6 faces hexagonais. Determine o número de faces. arestas e vértices desse sólido, sabendo que ele é euleriano.

=

=

F vezes

Sendo

193. Num poliedro convexo, 4 faces são quadriláteros e as outras triângulos. O número de arestas é o dobro do número de faces triangulares. Quantas são as faces?
128

n J + n2 + nJ + ... + n F

= lA (pois cada aresta foi contada duas vezes em n J + n2 + n3 + ... + nF)'
129

a

""
POLIEDROS CONVEXOS

,
substituindo, vem: S

= 2A . 2r +
F

F . 4r ~ S

= (A -

1
!

POUEDROS CONVEXOS

Substituindo (1) e (2) em (3) e depois dividindo por 2A, obtemos:
2A _ A

F) . 4r.

(1)

I

Como vale a relação de Euler,
Y - A

fi
(2)

I

m

+ 2A = 2 n

=:::>

_1

m

1 2

+ _1 = _1_ n A

(4)

=2

~ Y - 2

= A-F.

Sabemos que n ~ 3 e m ~ 3. Notemos, porém, que se m e n fossem simultaneamente maiores que 3 teríamos:
m

Substituindo (2) em (1), temos: [ S

=

(Y - 2) . 4r

J

> 3

o:>

n>3

o:>n>';4 __1_~_1~ n """ 4

m~ 4 ~ ~ ~

+J

o:>-+-~-~---+-~O

1 m

1 n

1 2

1 m

1 2

1 n

11. Poliedros de Platão
124. Definição
as três seguintes condições:
Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz

o que contraria a igualdade (4), pois A é um número positivo. . Concluímos então que, nos poliedros de Platão, m ;;::; 3 ou n = 3 (isto significa que um poliedro de Platão possui, obrigatoriamente, triedro ou

triângulo):
1~)

Para m = 3 (supondo que tem triedro). .

a) todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas, b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas, c) vale a relação de Euler (V - A + F = 2).

Em (4) vem:

125. Propriedade
Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão.

1~

i

- 1 - -1 = - t i l =:::> >n

6

A

n

6

~

n

< 6.

ltffi
,3 3 3 4

n

3

5

_ Então, n = 3 ou n = 4 ou n = 5 (respectivamente faces triangulares ou quadrangulares ou pentagonais).
2~)

Demonstração
Para n Usando as condições que devem ser verificadas por um poliedro de Platão, temos: a) cada uma das F faces tem n arestas (n ~ 3), e como cada aresta está em duas faces: n .F
=:

=3

(supondo que tem triângulo).

m n
3 4 5 3 3 3

Em (4):

_1__

.l.. =
6

m

_1 => A

_1_.>.l.. m 6

=>

m

< 6.

2A ~ F

=

2A. n

(1)
oI:~
I

b) cada um dos V ângulos poliédricos tem m arestas (m ~ 3), e como cada aresta contém dois vértices: m.Y=2A ~
c) Y - A
130

I

Então, m = 3 ou m = 4 ou m = 5 (respectivamente ângulos triédricos ou tetraédricos ou pentaédricos). Resumindo os resultados encontrados no 1~ e no 2? • concluímos que os poliedros de Platão são determinados pelos pares (m, n) da tabela ao lado, sendo, portanto, cinco, e somente cinco, as classes de poliedros de Platão.

m 3 3 3 4 5

n

v=

2A, m

(2)

+ F == 2

(3)

3 4 5 3 3
'.

131

POLIEDROS CONVEXOS

1
I

I

POLIEDROS CONVEXOS

Conseqüência Para saber o número de arestas A, o número de faces F e o número de vértices V de cada poliedro de Platão, basta substituir em (4) os valores de m e n encontrados e depois trabalhar com (1) e (2). Exemplo .. Uma das possibilidades encontradas para m e n foi m Com esses valores em (4), temos:
_I __ + _I I
1.-

127. Propriedade

I

Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros regulares. Demonstração Usando as condições para um poliedro ser regular, temos: a) suas faces são polígonos regulares e congruentes, então todas têm o mesmo número de arestas; b) seus ângulos poliédricos são congruentes, então todos têm o mesmo número de arestas. Por essas conclusões temos que os poliedros regulares são poliedros de Platão e portanto existem cinco e somente cinco tipos de poliedros regulares: tetraedro regular, hexaedro regular, octoedro regular, dodecaedro regular e ícosaedro regular.

=3en
30.

=:

5.

= _1_
A

3 Em (2) '. Em (I):

2 V F

5

~ _J~ 30

=:

_1_ ~ A A

=

=
=

2.330 2 /0

== V

= 20.
=
12.

=-

F

Como é o número de faces que determina nome, o poliedro de nosso exemplo é dodecaedro. Notemos que m =: 3 significa ângulos triédricos (ou triedros) e n = 5, faces pentagonais.

'i
f'
i

126. Nomes dos políedros de Platão
Procedendo como indicamos.no problema acima, temos, em resumo: m

Tetraedro regular

Hexaedro regular

Octaedro regular

n
3
4

. ' ..... ..... « .

A 6

V

F 4
6
8
12

. nome . Tetraedro Hexaedro OCtaedro Dodecaedro Icosaedro

.,

3

4
8 6

.,

.'

3
4
3
5

12 12 30 30

3
5

20
12

3

20

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

111. Poliedros regulares
Um poliedro convexo é regular quando: a) suas faces sâopolígonos regulares e congruentes, b) seus ângulos poliédricos são congruentes.
132

128. Observação
Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular.
133

POLIEDROS CONVEXOS

'r

POLIEDROS CONVEXOS

EXERCÍCIOS
198. Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?
Solução (A = 15, V = lO, V - A + F = 2) =x faces quadrangulares e y pentagonais, então:
X [

203. Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas. 204. Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica aberta que resta. 205. Demonstre que, em qualquer poliedro convexo, é par o número de faces que têm número ímpar de lados. Solução Tese (F3

S

=

32r

=-

(V - 2) . 4r

=

32r

==

V

=

10 F = 7

+ F + F7 + ... é par
j

4x + 5y = 30 ~ x = 5 e y

+ Y= 7

=

2

199. Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um:
a) tetraedro; b) hexaedro; c) octaedro; d) dodecaedro; e) icosaedro.

De fato, da relação (2) temos: 3F 3 + 4F 4 + 5F j + 6Fó + 7F7 + ... = 2A ==- F) + F s + F 7 + = 2A - 2F) - 4F4 - 4Fs - 6Fó - . . . =- F 3 + Fj + F7 + ... = 2(A - F3 - 2F4 - 2F j - 3Fó - 3F7 o que prova a tese.

~
...)

200. Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas tem de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos? 201. A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720°. Calcule o número de faces, sabendo que é os 2/3 do número de arestas. 202. Primeira generalização das relações entre número de vértices, arestas e faces de um poliedro euleriano. Solução Seja um poliedro convexo em que:
F3 F4 Fj Fó

206. Segunda generalização das relações entre número de vértices, arestas e faces de um poliedro euleriano. Solução Seja um poliedro convexo em que:
VJ representa o número de ângulos triédricos, V4 representa o número de ângulos tetraédrícos, Vj representa o número de ângulos pentaédrícos,

Vó representa o número de ângulos hexaédricos, número número número número de de de de faces faces faces faces triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais,

representa' o representa o representa o representa o

Então: V = V3 + V4 + Vs + V6 + (3) Se cada aresta une dois vértices, temos:
2A = 3V 3

+ 4V4 +

5V s

+

6V,6

+

o..

(4)

Então F = F3 + F4 + F j + F ó + '" (1) Sendo cada aresta comum a duas faces, teremos:
2A = 3F3

+ 4F 4 + 5F + 6Fó +...
j

(2)

207. Demonstre que, em qualquer poliedro convexo, é par o número de ângulos poliédricos que têm número ímpar de arestas. 208. Demonstre que em qualquer poliedro convexo vale a relação: 2F = 4 + V 3 + 2V4 + 3V s + 4V ó + 5V 7 + ...

134-

135

POLIEDROS CONVEXOS

Z09. Demonstre que em Qualquer poliedro convexo vale a relação: 2V ",,4 + F] + 2F4 + 3Fs + 4F6 + 6F7 +
...... ·,r.. :.,"

CAPÍTULO VIII
'","

... ; Solução.'
Tomando

. -:; '" nando A nessaS rclações'~' obtemos: > ...:" :. ..: ·';2V "" 4 4- F}'+ 2F4 +' 3F s +4F~:~.'~'

as r~lações(l) ~ (2) do ex~rcício 204, a relação de Euler e eJimi- '.,
.
:,

. . .

~.

'.:'" .

. :

-

····1··

.."-'

...... .. : '
"

'".

...

210. Em qualquer poliedro euleriano, a soma do número de faces triangulares com o número de triedros é superior ou igual a 8.
qualquer estão limitados por:
a) A

Prisma
1 1
I. Prisma ilimitado
129. Definição'
Consideremos uma região poligonal convexa plana (polígono plano convexo) A, A l ••• A" de n lados e uma rela r não paralela nem contida no pIano da região (polígono). Chama-se prisma ilimitado convexo ou prisma conveXQ indefinido à reunião das retas paralelas a r e que passam pelos pontos da região poligonal d.ada. Se a região poligonal (polígono) . AI A} '" A n for côncava, o prisma ilimitado resultará côncavo.

211. Demonstre que os números F, V, A, das faces, vértices e arestas de um poliedro
.
b) A

+6

~ 3F ~ 2A

+

6.~ 3V ~ 2A

212. Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo com 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais reguiares, como em uma bola de futebol. Qual é O número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos?

1 1
j

1

!

130. Elementos
Um prisma ilimitado convexo possui: n arestas, n diedros e n faces (que são faixas de plano).
137

136

PRISMA PRISMA

131. Secções
Secção é uma região poligonal plana (polígono pLano) com um só vértice em cada aresta.

Demonstração
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é igual a (n - 2) . 2 retos. Como a secção reta do prisma é um polígono convexo de n lados, e a medida de cada ângulo desse polígono é a medida do diedro correspondente pois o pLano do polígono determina secção reta no diedro, então a soma do~ diedros é igual a (n - 2) . 2 retos.

Secção reta ou secção normal é uma secção cujo plano é perpendicular
às arestas.

11. Prisma
134. Definição
Consideremos um polígono convexo (região poligonal convexa) ABCD ... MN situado num plano ~ e um segmento de reta PQ, cuja reta suporte intercepta o plano a. Chama-se prisma (ou prisma convexo) à reunião.de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ, com uma extremidade nos pontos do polígono e situados num mesmo semi-espaço dos determinados por a. Podemos também definir o prisma como segue: Prisma convexo limitado ou prisma convexo definido ou prisma convexo é a reunião da parte do prisma convexo ilimitado, compreendida entre os planos de duas secções paralelas e distintas, com essas secções.

132. Superfície
A superfície de um prisma ilimitado convexo é a reunião das faces desse prisma. É chamada superfície prismática convexa i/imitada ou indefinida.

133. Propriedades
1~) Secções paralelas de um prisma ilimitado são polígonos congruentes.

De fato, pelo paralelismo das arestas e pelo paralelismo dos planos de duas secções, podemos concluir que estas secções têm lados congruentes (lados opostos de paralelogramos) e ângulos congruentes (ângulos de lados respectivamente paralelos). Logo, as secções são congruentes.
2~) A soma dos díedros de um prisma ilimitado convexo de n arestas é igual a (n - 2) . 2 retos.

Prisma ilimitado

Prisma
139

138

ii
PRISMA

:;
PRISMA

135. Elementos

o prisma possui:
2 bases congruentes (as secções citadas acima). n faces laterais (paralelogramos). (n + 2) faces. n arestas laterais. 3n arestas, 3n diedros, 2n vértices e 2n triedros.

arestas

do

aresta lateral

r
I I
~l-:..._

I

t

I

i
I

-.l...

I I I

""

Prisma reto (pentagonal) Prisma (hexagonal)

Prisma oblíquo (heptagonal)

Prisma regular (hexagonal)

140. Natureza de um prisma
Um prisma será triangular, quadrangular. pentagonal, etc., conforme a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc.

136.

A altura de um prisma é a distância h entre os planos das bases.

Devemos observar que para o prisma é válida a relação de Euler: V - A + F = 2n - 3n + (n + 2) = 2 =- V - A + F = 2.

137. Secções
Secção de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepta todas as arestas laterais. Notemos que a secção de um prisma é um polígono com vértice em cada aresta lateral. Secção reta ou secção normal é uma secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais.

EXERCíCIOS
213. Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: a} 7 faces; b) 8 faces; c) 15 arestas;
Q

d) 24 arestas.

214. Prove que a soma dos ângulos de todas as faces de um prisma de n faces laterais vale S = (n - 1) . 8r, em que r = 90
•

1~

solução

138. Superfícies
Superfide lateral é a reunião das faces laterais. A área desta superfície é chamada área lateral e indicada por Ai' Superfide total é a reunião da superfície lateral com as bases. A área desta superfície é chamada área total e indicada por Ar.

Se o prisma tem n faces laterais. sua base é um polígono convexo de /1. lados, e a soma dos ângulos internos desse polígono é dada por (n - 2) ·2r. Cada face lateral é um paralelogramo e a soma dos ângulos internos de cada uma é 4r. Como o prisma possui 2 bases e n faces laterais. vem:
S = 2 . (n - 2) . 2r + n· 4r ... S = n . 4r - 8r ~. S = (n - 1) . 8r.
2~

+ n . 4r ... S =

n . 8r - 8r

~

139. Classificação
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Num prisma reto as faces laterais são retângulos. Prisma oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das bases. Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
140

solução
(V - 2) . 4r, temos: S = (2n - 2) .

o prisma possui 2n vértices. Sendo a soma dos ângulos das faces dada por
S
=

4r

==>

S = (n - 1) . 8r.

141

r;üãã1?4U 't

jJ

F"

PRISMA

PRISMA

215. Ache a natureza de um prisma, sabendo que a soma dos ângulos das faces é
72 retos.

111. Paralelepípedos e romboedros
141. Paraleleplpedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo é a reunião de seis paralelogramos.

216. Ache a natureza de um prisma, sabendo que a soma dos ângulos das faces é 32 retos.
217. Calcule a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma oblíquo, sabendo que o prisma tem 8 faces. 218. A soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é igual a 96r. Calcule a soma dos ângulos internos de uma de suas bases. 219. Quantas diagonais possui um prisma cuja base é um polígono convexo de n lados?

142. Paralelepípedo reto é um prisma reto cujas bases são paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo reto é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases).
143. Paralelepfpedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro é uni prisma reto cujas bases são retângulos. A superfície total de um paralelepípedo retângulo é a reunião de seis retângulos.
retângulo paralelogramo

Solução
Observemos que, quando nos referimos às diagonais de um prisma, não levamos em consideração as diagonais das bases e das faces laterais do prisma. Seja então um prisma cuja base é um polígono convexo de n lados. Unindo um vértice de uma das ba. ses aos vértices da outra base, temos (n - 3) diagonais (eliminamos duas diagonais de face e uma aresta). Como existem n vértices na base tomada, o número totaI de diagonais do prisma é n . (n - 3).

/
I

,
I

I I

I L

_
/. /.
/

}-----

I I 1 I I I I

,
/.

/

Paralelepípedo (oblíquo)

Paralelepípedo reto

Paralelepípedo reto-retângulo

144. Cubo é um paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes.
220. Prove que o número de diagonais de um prisma é igual ao dobro do número de diagonais de uma de suas bases. 221. Calcule a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma que possui 40 diagonais. 222. Calcule a soma dos ângulos diedros de um prisma que tem por base um polígono convexo de n lados.
142

145. Romboedro é um paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. A superfície total de um romboedro é a reuniao de seis losangos.
146. Romboedro reto é um paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. A superfície total de um romboedro reto é a reunião de quatro quadrados (faces laterais) com dois losangos (bases).
143

PRISMA

PRISMA

147. Romboedro reto-retângulo ou cubo é um romboedro reto cujas bases
são quadrados. A superfície de um romboedro reto é a reunião de seis quadrados.
quadrado

IV. Diagonal e área do cubo
148. Dado um cubo de aresta a, calcular sua diagonal
Solução
d e sua área total S.

Romboedro (oblíquo)

Romboedro reto

Romboedro reto-retângulo

I:, .'
Solução· .

:·1

_, -

~

•

"...

',',

'J'

~

',:

EXER"Cí'CIOS·<". '.

.

"'I
"~
., <

base Ifacel

D

C

D'

223. Calcule a soma dos ângulos das faces de um paralelepípedo.

224. Calcule a soma dos diedros formados pelas faces de um paralelepípedo. 225. Mostre que as diagonais de um paralelepípedo retângulo são congruentes. 226. Mostre que as diagonais de um paralelepípedo retângulo interceptam-se nos res· pectivos pontos médios.

'L3J
A

d

a

B

B

a) Cálculo de d Inicialmente calculemos a medida f de uma diagonal de face: No ,0.BAD: No ,0.BDD':

= aZ + a 2 d 2 = a2 + f2
f2
=>

=>

f2

=

2a2 ~ f

=>

d 2 = a 2 + 2a2

= a-J2. => d2 = 3a2

=>

Pelas arestas opostas (BC e EH, .. AD e FG) passam planos diagonais Que determinam no paralelepípedo secções que são paralelogramos. As diagonais do paralelepípedo são díagonais desses paralelogramos. Como as diagonais de um paralelogramo se interceptam nos respectivos pontos médios, as diagonaís do paralelepípedo também o fazem.

H

G

d

= ali

b) Cálculo de S

A superfície total de um cubo é a reunião de seis quadrados congruentes de lado a. A área de cada um é a 2 • Então, a área total do cubo é:
/

I I

a
_

I
I 1-

S
227. Mostre Que a secção feita em um paralelepípedo, por um plano que intercepta 4 arestas paralelas, é um paralelogramo.
144

=

6a2

,/

/

a

a
145

r:::::::::::,:,,:::::::::,::::::::::::e:·,:,·::= :,,':'~:';::=====:c;:·:·.~:::::=;;::=t:;======::::::):::::=:.:.:::::<:.========::::::::::.'==:====:;:1

PRISMA

PRISMA

V. Diagonal e ·área do paralelepípedo retângulo
149. Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, calcular as diagonais f" h e f3 das faces, a diagonal do paralelepípedo e sua área total S.
Solução
Base
Secção diagonal

I
a) cubo

,

EXERCICIOS
Calcule a medida da diagonal e a área total dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo: b) paralelepípedo retângulo c) paralelepípedo retângulo

o

c

a) Cálculo de fI, f2 e h. Sendo fI a diagonal da face ABCD (ou A'B'C'D'), temos:

,'"
I'"
==>

... r
"L.__
~

1
_

m
.~,

.....

"'-;..<"

.

2,0 em

"I" 2,0 em

1~

T }.. --.; --- '.; ~ ~'; 1
.
."
~

.. 2,0 em

I\/;5 em

3,0 em

ft =

a2 + b2

fI

= Ja2 + b 2 •

Represente através de expressões algébricas a medida da diagonal e a área total dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo: , a) cubo b) paralelepípedo retângulo c) paralelepípedo retângulo

Sendof2 a diagonal da face ABB'A' (ou DCC'D') ef3 a diagonal da face ADD'A' (ou BCC'B'), temos:

b) Cálculo de d. No f'..BDD': d 2

I

I
I
I

I·"

x

= ft + c2 ~ I d2 = a2 +b2 + c21=>d
1..:::...

I'

.J- - .... -

c) Cálculo da área total S. A área total do paralelepípedo é a soma das áreas de seis retângulos: dois deles (ABCD, A'B' C' D') com dimensões a e b, outros dois (ABB'A', DCC'D') com dimensões a e c e os últimos dois (ADD'A' , BCC' B') com dimensões b e c. Logo,

1--·

---.II\~ x

"""...

\

DA"'~_~ _ _~_...

230. Calcule a medida da aresta de um cubo de 36 m] de área total.
c

A'f-~,!------=--r
( (

231. Calcule a diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões y, (y + J) e
(y - J).

DJ------------- C ,
f_

S = 2ab + 2ac + 2bc ==>

A

a

B

232. Calcule a medida da diagonal de um cubo, sabendo que a sua área total mede 37,5 em], 233. Calcule a medida da terceira dimensão de um paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4 em e 7 em e que sua diagonal mede 3 fiO em.
147

s
146

2(ab + ac + bc)

r:=====*R.'
PRISMA PRISMA

234. Calcule a medida da aresta de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo excede em 2 em a diagonal da face.

Sabendo que (a servando que a2
• o",

+ b' + C)2 + b 1 + e1
•

'"

=

a2 + b 2 + ç2 + 2(ab + ac + bc) e obd2 e 2(ab + ae + be) = S, temos: d2

, (a + b + cf
Substituindo 'os valores,. vem:
(6W = I 250

+ S.
S = 2 350.
'\

+S

=>

Resposta: A á!ea total, do paralelepípedo é 2 ~50 cm2~
~-

.... '. :.s .

. ;

.... "; ..... --.:
1

.

':'.

~',.

.~
'

235. Sabe-se que a diagonal de um cubo mede 2,5 em. Em quanto se deve aumentar a aresta desse cubo para que sua diagonal passe a medir 5,5 em? 236. A aresta de um cubo mede 2 em. Em quanto se deve aumentar a diagonal desse cubo de modo que a aresta do novo cubo seja igual a 3 em? 237. Em quanto diminui a aresta de um cubo quando a diagonal diminui eni'3

241. Determine a diagonal de um paralelepípedo, sendo 62 em sua área total e 10 em a soma de suas dimensões. 242. Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro dia· gonais é igual à soma dos quadrados das doze arestas. 243. Dois paralelepípedos retângulos têm diagonais iguais, e a soma das três dimensões de um é igual à soma das três do outro. Prove que as áreas totais de ambos são iguais. 244. Determine as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos números 1, 2, 3 e que a área total do paralelepípedo é 352 em 2 •
.• '!II
~,

J3 em'?

238. A diferença entre as áreas totais de dois cubos é 164,64 em2 • Calcule a diferença entre as suas diagonais, sabendo que á aresta do menor mede 3,5 em. 239. Calcule a aresta de um cubo, sabendo Que a soma dos comprimentos de todas as arestas com todas as diagonais e com as diagonais das seis faces vale 32 em, 240. Determine a área total de um paralelepípedo retângulo cuja diagonal mede 25.J2 em, sendo a soma de suas dimensões igual a 60 em.
....
.~
~,.

.., ,-

~.

•

'

<.
_. l-:

-

" ••
",

<

.,'"

,;

Solução" '.
>' .

.." .

"
'.

'. -.'

.~~

~','

'."

~ -~

Solução

Considerando o panlIelepípedo de dimensÕes a, b e c, com a diagonal ,',', " d = 25.J2:

': .. I , 2 J ' , .~,:., ,.'.,',:, :~ " ' " .' S '= 352= 2(ab + ac + bc) =; 352 ~ ab +. ac + ,bc== 176 (2) " 'Sub~tituin~o (l)em(2): veni: ' ,: " , ' ' . ' .' . , 1k.2k+lk>3k+2k~3k=176'·~'llk2=176 '~' k)'';''16 => k=4.
"
~

, a

,c", ==-::-= k ,>aÔ
~,b"

.." ' (a = k b "" 2k c,;;:· 3k)',(I)'

....

"

.

Retornandoa (1), temos:

a ';"'4,

b ~ 8 e e == li.

d2

'"

==

=>

a2 + b 2 + ç) '. (25,;2)2"" a 2 + b 2 + c2 a 2 + b2 + c2 = I 250

==

Resposta: As dimensões são 4 em; 8 em e 12 em.
==>

245, Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos números 5, 8, 10 e que a diagonal mede 63 em. 246. As dimensões de um paralelepípedo são inversamente proporcionais aos números 6, 4 e 3. Determíne·as,sabendo Que a área total desse paralelepípedo é 208 m 2 • 247. As dimensões x, y e Z de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a a, b e e. Dada a diagonal d, calcule essàs dimensões.

Dados: a + b + c = 60.

148

149

I::::::::·:·,:i::::::·::.===C:·:='::=====·li::l\'
PRISMA

l'Ji~iioleca

Juvenil do Colégío da Aplica
PRISMA

248. Com uma corda disposta em cruz, deseja-se amarrar um pacote em forma de ortoedro, cujas dimensões são 1,40 m, 0,60 m e 0,20 m. Se para fazer os nós gastam-se 20 em, responda: Quantos metros de corda serão necessários para amarrar o pacote? 249. As dimensões de um ortoedro são inversamente proporcionais a r, se t. Calcule essas dimensões, dada a diagonal d.
.
.

VI. Razão entre paralelepípedos
150.

r~tângulos

A razão entre dois paralelepípedos retângulos de bases congruentes é igual à razão entre as alturas.

"

.,.

Solução Sejam x, y
1 x =-k r .

Sejam P(a, b, h,) e P(a, b, h1 ) os paralelepípedos em que a, b, h , e a, b, h] são as respectivas dimensões.
P(a, b, h,) Trata-se de demonstrar que: --"--'--'----"-'P(a, b, h 1 )
~

e z as

dimensões:
x2

+

y2

+
I

Z2 ::: d2

(1)

-h .
1

h,

.

y =-k

s

z"".l..k t
r t
,-\

==

Demonstração
J'! caso: h, e h] são comensuráveis
"o

==

s t '-, x =,==--1k; " r s ... _-,, ,,---_ t

Y

=~Jk. :'" r s t"_a_' ~

.

z

=..::-::-=-=--' k : .. ..... r s t __ I t .;...

r s /-\

.~

"

. Mudando a constante para K.

= - k , vem: -.
r 5

',',

"

;

"

.

t

X

:

x = st K

. y :::: r t K

z = rsK

(2)

T
h1
X

""

~

..

x
X

X

x
Substituindo em (2), vem a resposta:
a
_

1

X

x
a

T ·"'1
"

h2

x

x=

JS2t 2 + r2 e + r2 s2

==~s,;,t:::::d~==- .
'

P(a, b, h ,)

P(a, b, h 2 )

Sendo h, e h] comensuráveis, existe um segmento x submúltiplo comum de h, e h1 :
p .
250. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são inversamente proporcionais a r, 5, t. Calcule essas dimensões, sabendo que a área é S. 251. As áreas de três faces adjacentes de um ortoedro estão entre si como p, q e r. A área total é 2 elo Determine as três dimensões. 252. Se a aresta de um cubo mede ]00 em, encontre a distância de um vértice do cubo à sua diagonal.
150

x]
=
p . X]
. X

(1)

q·x
Construindo os paralelepípedos X(a, b, x), temos:

P(a, b, h,) P(a, b, h2 )

==-

P(a, b, h , ) P(a, b, h2 )

J:...
q

=q

(2)

De (1) e (2) vem:

P(a, b, h l ) P(a, b, h2 )

h = -h

J

2

151

PRISMA PRISMA

2:' caso: h/ e h 2 são incomensuráveis

VII. Volume de um sólido
151. Volume de um sólido ou medida do sólido é um número real positivo associado ao sólido de forma que:
sólidos congruentes têm volumes iguais; se um sólido S é a reunião de dois sólidos S/ e 52 que não têm pontos interiores comuns, então o volume de S é a soma dos volumes de S/ com 52'
2~)
1~)

1-11"--- a - - - I ..
Sendo h} e h2 incomensuráveis, não existe segmento submúltiplo comum de h/ e h2 • Tomemos um segmento y submúltiplo de h1 (y "cabe" um certo número inteiro n de vezes em h2 , isto é, h 2 = ny). Por serem h/ e h 2 incomensuráveis, marcando sucessivamente y em h}, temos que, chegando a um certo número inteiro m de vezes, acontece que: my < h[ < (m + l)y. Operando com as relações acima, vem: my < h l < (m + l)Y]. ny = h2 = ny

Os sólidos são medidos por uma unidade que, em geral, é um cubo. Assim, o volume desse cubo é 1. Se sua aresta medir 1 em (um centímetro), seu volume será 1 cmJ (um centímetro cúbico). Se sua aresta medir 1 m, seu volume será 1 mJ •

152. Dois sólidos são equivalentes se, e somente se, eles têm volumes iguais na mesma unidade de volume.

VIII. Volume do paralelepípedo retângulo e do cubo
n
(3)

=-

I

m h[ m + -<-<--n
h2

153. Seja P(a,

b, c) o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c.

Construindo os paralelepípedos Y(a, b, y), temos: mY < P(a,~, h[) < (m +~ l)Y) nY ...,. P(a, b, h2 ) - nY
===>

Vamos medir esse paralelepípedo com o cubo unitário, isto é, com o paralelepípedo P(l, 1, 1). Para isso, estabeleceremos a razão P(a, b, c) P(l, 1, 1) , que será o volume procurado. P(a, b, c) P(l, 1, 1)

....!!!.... n

< P(a, b,

h l ) < m + 1 (4) P(a, b, h2) n

Ora, sendo y submúltiplo de h 2 , pode variar, e dividindo y, aumentamos n. Nessas condições,
m + 1 - m e ....::..:::---'----=n n

formam um par de classes contíguas que definem um único número real, que é
h/ h2

v=

pela expressa0 (3) e

_

P(a b h) "I P(a, b, h 2 )

pela expressão

(4).

P(a, b, c) P(l, 1, I)

c

Como esse número é único, então: P(a, b, h 1 ) ~ h[ P(a, b, h2 ) -~.
152 a 153

PRISMA

PRISMA

Consideremos, então, os paralelepípedos P(a, b, c), P(a, b, 1), P(a, 1, 1) e P(l, 1, 1) em que 1 é a unidade de comprimento. P(a, b, c) P(a, b, 1)
I I I
I I

154. Conclusões
1~) O volume de um paralelepípedo retângulo é o produto das medidas de suas três dimensões. 2~) Tomando como base a face de dimensões a e b, indicando por B a área dessa base (B = a· b) e a altura c por h, podemos escrever:

P(a, 1, 1)

P(1, 1, 1)

C

/r-----

/b

@~': ~' (~~~~~'
a

[1),
.
1 ...' •...•. 1 .
~

[
1

V

=

B· h

/

/

r- .

1

":

. 1

Isto é:
O volume de um paralelepípedo retângulo é igual ao produto da área da base pela medida da altura.

a

a

1

Com base na propriedade do item anterior. temos:
3~)

Volume do cubo
C =

P(a, b, c) P(a, b, 1) P(a, b, 1) P(a, 1, 1) P(a, 1, 1) P(1, 1, 1)

c 1 b 1 a 1

(l)

bases (a, b) congruentes

No cubo de aresta a, temos b = a e

a.
3

(2)

bases (a, 1) congruentes

V

a.b .c

=

V = a.a.a

=

I V=a

(3)

bases (1, 1) congruentes

Multiplicando-se membro a membro (1), (2) e (3): P(a, b, c) P(a, b, 1) P(a, b, 1) P(a, 1, 1) P(a, 1, 1) P(I, 1, 1)
===>

=a- .b . - c
1 1 1

==>

EXERCÍCIOS
253. Calcule a área total e o volume dos paralelepípedos,. cujas medidas estão indica· das abaixo. a) cubo b) paralelepípedo retângulo
c) cubo

P (a, b, c) = ~ . l . ~ P(I,I,I) 111

V =a- .b . - c 111

=

V

=

(medida de a) . (medida de b) . (medida de c)

que será representada simplesmente por V=a·b·c em que a, b e c são as medidas das dimensões do paralelepípedo retângulo na unidade escolhida.
154
~II

L:

,J- __ ......

/T : .1
~y

2 em

~'2cm "I~m
155
b

~:.:::.:::'.:::::::::::':.

=:::=::::.::========••II• • • • • • • • • • •&=~,;;:::===••••••••••••••••••••••••••••••••
PRISMA

PRISMA

254. Represente através de expressões algébricas a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas medidas estâo indicadas abaixo. a) paralelepípedo retângulo b) cubo

268. Enche-se um recipiente cúbico de metal com água. Dado que u~ g.alão do líquido tem um volume de 21600 em] e sendo 120 em a aresta do recipiente, calcule o
número de galões que o recipiente pode conter. 269. Calcule o volume de um cubo, sabendo que a distância entre os centros de duas faces contíguas é de 5 em.

.... l]
' I
-"--

c) paralelepípedo retângulo

..

-1

f

~%

'.. b ~ "'-

Solução '.'
.

.'

.

. '

.

255.
256. Calcule a diagonal, a área total e o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que as suas dimensões são 5 em, 7 em e 9 em. 257. Determine as medidas da aresta e da diagonal de um cubo cujo volume é 1728 em 3 • 258. Calcule o volume de um cubo cuja área total mede 600 em]. 259. Determine o volume de um cubo de área total 96 em2 • 260. Quer-se confeccionar um cubo por meio de uma folha de zinco de 8,64 m 2• Qual será O comprimento da aresta do cubo? Qual será o volume do cubo? 261. Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo, cuja soma das medidas das arestas vale 30 em. 262. Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal de uma face mede 5 J2 em. 263. Expresse a área total e o volume de um cubo: a) em funçâo da medida da diagonal da face (j); b) em função da medida da sua diagonal (d). 264. Calcule as medidas da aresta e da diagonal de um cubo, sabendo que seu volume é oito vezes o volume de um outro cubo que tem 2 em de aresta. 265. Se aumentamos a aresta de um cubo em 2.J5 em, obtemos um outro cubo cuja diagonal mede 30 em. Determine a área total e o'volume do cubo primitivo. 266. Em quanto aumenta o volume de um cubo, em mentada em 1 em?

.

...

:

.

'. Sejam A e B os centros das duas, '. faces contíguas ~ C ponto médio da· . aresta comum: às. faces consi c . .. deradas. "',.,".' . Apli~ando a r~lação de Pitágoras, vem:·
? •••

.:.'

..

a1 ",,)---.

/

._

.•Ioc.-_ _

/

~---"

I"

,il

a

A~'~f2;,C ....
.

25 => a = 5 ~2
.

/cm.'
....
..

~'.
. '. ........ ·v:. -..

il

'. Volume: .. Y = aJ => V = (5.j2y
=>

=>

' . . B .•

V

'T'.

250-J2
........
-. ",:. -~ i:. ~.' ,-,- •.

,. Resposta: O volume do cubo
.' ,,-: ..'.":J,

é 250 J2 em3 •
:..._'.~ _.: ...., '_',:..

,,'.'"....•.:.. :.

'.'

*'''.

." . ~. . : t.· •

270.

o segmento de reta que liga um dos vértices de um cubo ao centro de uma da~
faces opostas mede 60 em. Calcule o volume desse cubo.

271. Calcule o volume de um cubo, sabendo que quando se aumenta sua aresta err I metro a área lateral do mesmo cresce 164 m 2 •

enr, se a aresta de 1 metro é au-

I

272. A medida da superfície total de Um cubo é 726 em'. Quanto devemos aumentai sua diagonal para que o volume aumente 1 413 em 3 ? 273. Calcule a aresta e a área total de um cubo de volume igual ao do ortoedro cuja dimensões são 8 em, 27 em e 125 em. 274. Calcule o comprimento da aresta e a área total de um cubo equivalente a um pa ralelepípedo retângulo, cujas dimensões são 8 em, 64 em e 216 em.

267. O que ocorre com a área total e com o volume de um cubo quando: a) a aresta dobra; b) a aresta é reduzida a 1/3;
156

c) a aresta é reduzida à metade; d) sua aresta é multiplicada por K.

275. O volume de um paralelepípedo retângulo vale 270 d~3. U~a de suas arestas me de 5 dm e a razão entre as outras duas é 2/3. Determme a area total desse parale lepípedo.
15

PRISMA

PRISMA

276. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 3, 6 e 9. Calcule essas dimensões, a área total e o volume do paralelepípedo, sabendo que a diagonal mede 63 em.

283. Calcule as dimensões de um ortoedro cuja diagonal mede 13 em, de área total 192 em l , e sabendo que a área da secção por um plano por duas aresras opostas é 60 em2 •

277. As dimensões a, b e e de um ortoedro são proporcionais a 6, 3 e 2. Sabendo que a área total é 288 em2 , calcule as dimensões, a diagonal e o volume do paralele10· pípedo.
278. A altura de um ortoedro mede 10 em e as bases são quadrados de diagonal em. Calcule a área da superfície lateral e o volume.

284. Determine o volume de um ortoedro de 90 em 2 de superfície, supondo que quatro faces do ortoedro são retângulos congruentes e que cada uma das outras é . um quadrado de área igual à metade da área do retângulo. 285. Um cubo e um ortoedro têm ambos soma das arestas igual a 72 em. A dimensão menor do ortoedro é 2/3 da aresta do cubo e a dimensão maior do ortoedro é 4/3 da dimensão menor do ortoedro. Determine a relação entre os volumes de ambos os sólidos.
286. Uma banheira tem a· forma de um ortoedro cujas dimensões são 1,20 m de comprimento, 0,90 m de largura e 0,50 m de altura. Quantos litros de água pode conter? Se toda a água da banheira for colocada em um depósito em forma de cubo de 3 m de aresta, que altura alcançará a água?

512

279. Determine a área de uma placa de metal necessária para a construção de um depósito em forma de ortoedro (aberto em cima), sabendo que o depósito tem 2 m de largura, 1,50 m de altura e 1,20 m de comprimento.
280. A área de um paralelepípedo reto-retângulo é 720 em2 • Determine seu volume, sabendo que a soma de suas dimensões vale 34 em e que a diagonal de uma das faces vale 20 em.

Solução Sendo x, y e Z as dimensões, temos:

I
~

287. A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60 em, sendo a sua base um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base. Determine o volume do paralelepípedo retângulo.
Solução Com os elementos caracterizados na figura ao lado, temos: No triângulo ABC, vem sen 60° =

S =720

=-

xy

+

xz

+

yz = 360(1)

x + y + Z ~ 34 í2) x2 +y 2 ~ fT =- x2 +

h = 60

y2

= 400.

(3)

De (2) vem;

d

h
=>

T =

,[3

60
d
=>

(x

+ y + zf

= 34

2

==>

.~

+

Z2

+ 2l(XY +
.

X"Z

+ YZ)J == 1 156.

400 Com (3) e (I), temos: 400 + Z2 + no = I 156
==> .Z2

360

=-

d

= =

4O~3

tg 60°

J!.. ... ,J3 =..2Q.
f .

f

= 36

=-

Z

= 6.

Substituindo z = 6 em (2), ficamos com: x + y = 28. (x + y = 28, x2 + y2 = 400) x = 16 e y = 12 (ou x = 12 e Y = 16). Volume: V = x . y • Z =-> V = 12 . 16 . 6 V = 1 152.

Na base, temos: f = aJi Volume: V = B . h
=>

=>

a

fi

= 20../3
=>

=>

a = 10

16.
=
36000.

=-

V

=

a2 . h

V == (l0.J6)2 . 60

=-

Resposta: O volume é 36000

em 3•

Resposta: O volume é 1 152

em 3 .
288. Calcule a área total S de um paralelepípedo retângulo em função de seu volume Vedo lado ede sua base, sabendo que a base é um quadrado. 289. Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que a soma de duas delas é 25 m, o volume 900 m3 e a área total 600 m]. 290. Determine o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que duas dimensões têm igual medida e que a diagonal mede 9 em, sendo 144 em] sua área total.
159

281. Determine as dímensões e o volume de um ortoedro, sendo a soma de suas di· mensões igual a 45 em, a diagonal da base igual a 25 em e a área total igual a J 300 em]. 282. Determine o volume e a área total de um paralelepípedo retângulo, dada a soma de suas dimensões 43a, a diagonal 25a e a área de uma face 180a2.
158

mnrwrvrrr
PRISMA

•
PRISMA

291. A área da superfície total de um cubo é igual à de um ortoedro de área 216 errr. A altura do ortoedro é de 3 em e uma das dimensões da base é 1/3 da outra. Determine a relação entre os volumes de ambos os sólidos. 292.' Calcule a área total de um paralelepípedo retângulo, sendo 192 em 3 o seu volume, a diagonal o triplo da diagonal de uma das faces de menor área, que é o triplo da menor dimensão do paralelepípedo.
T ..;.'.. '.'

297. Calcule as medidas x e y das arestas de dois cubos, conhecendo a soma x + y (I dado) e a soma dos volumes y3 (v é dado). Discuta. Solução

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1

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I,

,.

293. Cinco cubos podem ser dispostos um sobre o outro, formando um ortoedro, Também podemos dispor 6 cubos iguais aos anteriores, pondo 3 sobre 3, obtendo um outro ortoedro. Determine a razão entre os volumes e a razão entre as áreas dos ortoedros obtidos.
294. Com seis cubos iguais, construímos um ortoedro, dispondo os cubos um sobre o outro de maneira que suas faces estejam exatamente superpostas. Determine a relação entre as áreas do ortoedro e de um cubo, sendo os volumes dos cubos os mesmos.

298. Demonstre que: a) em um cubo as arestas são igualmente inclinadas em relação a uma diagonal qualquer. . b) em um cubo as projeções das arestas sobre qualquer das diagonais são iguais à terça pai-te da diagonal. 299. Sabendo que as faces de um cubo são inscritíveis em círculos de 7,2911' em? de área, calcule:
a) a medida da sua diagonal; b) a medida de sua área total; c) a medida de seu volume. 300. Demonstre que, em todo paralelepípedo, a soma dos quadrados das áreas das secções, determinadas pelos seis planos diagonais, é igual ao dobro da soma dos quadrados das áreas das seis faces.

295, Dos ortoedros que podemos formar dispondo de oito cubos iguais, determine o ortoedro de menor superfície.
296. Sobre a base quadrada de um ortoedro, constrói-se exteriormente a ele um cubo que tem por base o quadrado cujos vértices são os pontos médios da base do 01'toedro. Determine o volume e a área da superfície do sólido assim obtido, sabendo que a altura do ortoedro é os 2/3 do lado da base e a soma de suas dimensões é de 16 em.
160
~

301. a) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesmo volume, qual o de menor
superfície?
b) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesma superfície, qual o de maior

volume?

161

--,...-.

.... -_-.......

_----

":'

PRISMA

PRISMA

IX. Área lateral e área total do prisma
155.
A área lateral (AI) de um prisma é a soma das áreas das faces laterais.

157. No prisma reto a aresta lateral é igual à altura (a = h) e a base é secção reta. Então:
At
AI

= 2p . a = Ar + 2B

=>

1~·At.,:" 2p~

J

a=h

r

=>

I'. A. l = 2p ',h+ 2B]

1

Seja um prisma de aresta lateral medindo a e fI' f2 , ••• f n as medidas dos lados de uma secção reta. Cada face lateral é um paralelogramo de base a e altura igual a um lado da secção reta.

secção reta

158. No pris"ia regular, a aresta.lateral é igual à altura (a = h) e a base, que é secção reta, é um polígono regular.
Cálculo da- área de· base B

A área da base (B) é a soma de
Assim, Ar
=

n triângulos de base f (medida do lado) e altura m (medida do apótema). Então:

at\

+ af2 + ... + aio = l(1'1 + li + ... + 1'n )J . a
v

f. B=n· ( - 2 -

m)

=>

B

=

(o· f)m ·2

2p

mas,
n€

= 2p = medida do
2p· m 2

perímetro

I
h

Daí, em que

2p é a medida do perímetro da secção reta a é a medida da aresta lateral.

1
2p· m => AI

B

156.

A área total de um prisma é a soma das áreas das faces laterais (AI) com as áreas das bases (duas bases). Assim, AI
=

Cálculo da área total: A,
AI = 2p . a => AI = 2p . h

AI

=

Ar

+ 2B

=>

AI

= 2p· h +

= 2p(h + m)

Ar

+ 2B

=>

[

AI

= 2p . a +

2B

O]

[ AI = 2p (h + m)

J
163

em que B é a área de uma base.
162

PRISMA

x.

Princípio de Cavalieri

159. Como introdução intuitiva, suponhamos a existência de uma coleção finita de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de mesmas dimensões e, conseqüentemente, de mesmo volume. Imaginemos ainda a formação de dois sólidos com essa coleção de chapas, como indicam as figuras A e B abaixo.

Qualquer plano {3, secante aos sólidos A e B, paralelo a a, determina em A e em B superfícies de áreas iguais (superfícies equivalentes). A mesma idéia pode ser estendida para duas pilhas com igual número de moedas congruentes.

Sólido A

Sólido B

sólidos equivalentes

(pilhas de livros ou de folhas)

o fato que acabamos de caracterizar intuitivamente é formalizado pelo princípio de Cavalieri ou postulado de Cavalieri (Francesco Bonaventura Cavalieri, 1598-1647) que segue:
160.
Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).

Tanto no caso A como no B, a parte de espaço ocupada (o "volume ocupado") pela coleção de chapas é o mesmo, isto é, os sólidos A e B têm o mesmo volume. Agora, imaginemos esses sólidos com base num mesmo plano a: e situados num mesmo semi-espaço dos determinados por a.

L...-

volumes iguais----..J

A aplicação do princípio de Cavalieri, em geral, implica a colocação dos sólidos com base num mesmo plano, paralelo ao qual estão as secções de áreas iguais (que é possível usando a congruência).
165

164

."

~:.

:.,., ,

c=mn
PRISMA

s
PRISMA

XI. Volume do prisma
161. Consideremos um prisma P I de altura
h e área da base B , = B e um paralelepípedo retângulo de altura h e área de base B 2 = B (o prisma e o paralelepípedo têm alturas congruentes e bases equivalentes).

163. Observação

Suponhamos, sem perda de generalidade, que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano ex e estão num dos semi-espaços determinados por a. Qualquer plano {3 paralelo a ex, que secciona P j , também secciona P 2 , e as secções (B; e B;. respectivamente) têm áreas iguais, pois são congruentes às respectivas bases.

Consideremos um prisma oblíquo de área da base B, altura h e aresta lateral a. Seja ex o plano da base e S uma secção reta situada num plano 'Y que forma com ex um diedro de medida 8. Notemos que S é a projeção ortogonal de B sobre o plano y. Daí vem:
S = B . cos

(B;

=

BI ,

B~

=

B2 , B1

=

B2 == B)

==;.

B;

=

e.

Bi

Então, pelo princípio de Cavalieri, o prisma P j e o paralelepípedo P 2 têm volumes iguais.

o ângulo entre a e h também é e(ângulos de lados respectivamente perpendiculares). Donde sai:
h

Vp I = Vp

~

= a . cos o.

Como J-;,1 == B1h, ou seja, "Vp2 == B . h. vem damente:

Ji"

== B· h; ou, resumi-

Substituindo B e h na expressão do volume do prisma, vem:
V == B . h
==;.

I V == B· h
162. Conclusão

V

= _~S_ . a cos
cos a

a

==;.

I .

V

=

S.a

B == S e a

Notando que a expressão também é válida para um prisma reto, em que = h. temos:

o volume de um prisma é o produto da área da base pela medida da altura.
166

o volume de um prisma é o produto da área da secção reta pela medida da aresta lateral.
167

PRISMA

PRISMA

EXERCíCIOS
302. Calcule a área lateral, a área total e o volume dos prismas, cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo. a) Prisma reto (triangular) h) Prisma regular (hexagonal) c) Prisma oblíquo (base quadrada)

307. Determine a medida da aresta da base de um prisma triangular regular, sendo seu volume 8 m 3 e sua altura 80 em. 308. Um prisma reto tem por base um hexágono regular. Qual é o lado do hexágono e a altura do prisma, sabendo que o volume é de 4 m3 e a superfície lateral de 12 m l ? 309. Num prisma oblíquo a aresta lateral mede 5 em, a secção reta é um trapézio isósceles cuja altura mede 8 em e as bases medem 7 em e 19 em, respecúvamente. Calcule a área lateral desse prisma. 310. Determine a área total de um prisma triangular oblíquo, sendo a sua secção reta um triângulo equilátero de 1613 cm2 de área e um dos lados da secção igual à aresta lateral do prisma. 311. Um prisma triangular regular tem a aresta da base medindo 10 dm. Em quanto se deve aumentar a altura, conservando-se a mesma base, para que a área lateral do novo prisma seja igual à área total do prisma dado?

T

2,5 em

1
1---1
1 em

303. Represente através de expressões algébricas a área lateral, a área total e o volume dos prismas, cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo. a) Prisma regular (triangular) b) Prisma regular (hexagonal) c) Prisma reto (triangular)

5x

,
(

(

A,

2a

2

.-T~; .~.
//~

(

".\

\

,

I·

k

I--a-I
304. A base de um prisma de 10 em de altura é um triângulo retângulo isósceles de 6 em de hipotenusa. Calcule a área lateral e o volume do prisma. 305. Calcule o volume e a área total de um prisma, sendo sua secção reta um trapézio isósceles cujas bases medem 30 em e 20 em e cuja altura mede 10.J2 em e a área lateral 640 em2. 306. Determine a área lateral e o volume de um prisma reto de 25 em de altura, cuja base é um hexágono regular de apótema 4,f3 em.
168

Supondo que a altura hdo prisma teve um a~m~nto x' v;m: = Ail + 2B => Ali = 3(10· h) + 2.25.[3 => tl 30h A i2 = 3 . (lO . h 2 ). => A iz = 30 . (h + x) .
ALI

À

+ 50.[3
5,[3

All == Ar,;

=:>

30h

+ 50.[3 = 30(h + x)

=>

30x

= 50.f3 =-

x=-3-'

Resposta: -3-' dm.

5&

169

PRISMA PRISMA

312. Um prisma tem por base um triângulo equilátero cujo lado é a e a altura desse prisma é igual ao dobro da altura do triângulo da base. Determine o seu volume. 313. A aresta da base de um prisma hexagonal regular é r e a aresta lateral é s. Sabendo que esse prisma é equivalente a um outro triangular regular, cuja aresta da base é s e cuja aresta lateral é r, calcule a relação entre r e s. 314. Calcule o volume de um prisma hexagonal regular com 3 m de altura, sabendo que se a altura fosse de 5 m o volume do prisma aumentaria em 6 mJ •

324. A secção reta de um prisma oblíquo é um losango, cujas diagonais são diretamente proporcionais a 3 e 4. Calcule a área lateral do prisma, sabendo que sua aresta lateral mede 10 em e. que a área de sua secção reta é igual a 54 em]. Solução Sendo B a área, i o lado, de D as diagonais do losango, temos:

I

315. A aresta da base de um prisma hexagonal regular mede 8 em. Em quanto se deve diminuir a altura desse prisma de modo que se tenha um novo prisma com área total igual à área lateral do prisma dado? 316. Calcule o volume de um prisma triangular regular de 5 J3 em de altura, sabendo que a área lateral excede a área da base em 56 J3 em 2 • 317. A altura de um prisma reto mede 15 em e a base é um triângulo cujos lados medem 4 em, 6 em e 8 em. Calcule a área lateral e o volume do sólido. 318. Calcule a medida da aresta lateral de um prisma cuja área lateral mede 72 dm sendo os lados da secção reta respectivamente 3 dm, 4 dm e 5 dm.
1 ,

2"1 _______ h
)-

d

~

e

_
D

I

: 2
I

~=~=k
B
=

}

D· d 54· B = - 2 -

~

4k·3k 2

54

=-

k:::: 3

f2 =

(~r

+

(~r

==>

319. A aresta lateral de um prisma reto mede 12 m; a base é um triângulo retângulo de 150 m 2 de área e cuja hipotenusa mede 25 m. Calcule a área total e o volume desse prisma. Sendo Ar a área lateral, temos: 320. Um prisma pentagonal regular tem 8 em de altura, sendo 7 em a medida da aresta da base. Calcule a área lateral desse prisma. 321. Calcule a área lateral do prisma oblíquo, cuja secção reta é um triângulo equilátero de 413m 2 de área, sabendo que a aresta lateral é igual ao perímetro da secção reta. 322. Calcule a área total e o volume de um prisma hexagonal regular de 12 m de aresta lateral e 4 m de aresta da base. 323. Um prisma hexagonal regular tem a área da base igual a 96 J3 em 2 • Calcule a área lateral e o volume do prisma, sabendo que sua altura é igual ao apótema da base.
170

f =

.1l- . 2

AI == 4 . Cf . a)
Resposta~

==>

AI =' 4 .

~.
2

10

==>

Ar = 300.

300 cm 2 _

325. Um prisma reto tem por base um losango em que uma de suas diagonais é os 3/4 da outra, e a soma de ambas é 14 em. Calcule a área total e volume desse prisma, sabendo que sua altura é igual ao semiperímetro da bàse.

°

326. Calcule a área lateral de um prisma oblíquo, sendo 8 em a medida de sua aresta lateral, a secção reta do prisma um losango de 125 ernl de área e a razão das diagonais desse losango igual a 2/5.
17]

PRJSMA
PRISMA
'.~t..

:r

327. Determine a medida da aresta e a área total de um prisma reto que tem por base um triângulo equilátero. sendo a altura do prisma igual à medida do lado do triângulo equilátero. e o volume, 2 jj em 3 • 328. Calcule o volume e a área total de um prisma cuja base é um triângulo equilátero de 6 dm de perímetro, sendo a altura do prisma o dobro da altura da base. 329. Calcule o volume de um prisma triangular regular, sendo todas suas arestas de mesma medida e sua área lateral 33 m1 • 330. Um prisma de 3 m de altura tem por base um quadrado inscrito em um circulo de 2 m de raio. Qual é o seu volume? 331. Um prisma reto tem por base um quadrado inscrito em um círculo de 8 em de raio. Sabendo que O volume do prisma é de 768 em J • determine a área total. 332. Calcule o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total tem 144 m2 , sabendo que sua área lateral é igual ao dobro da área da base. 333. A base de um paralelepípedo oblíquo é um quadrado de lado a. Uma das arestas laterais é b e forma um ângulo de 6()0 com os lados adjacentes da base. Determine o volume do paralelepípedo. Solução
H

que o plano (EQP) é perpendicular a AD).

334. Determine o volume de um prisma triangular oblíquo. sendo a base um triângulo equilátero de lado o == 4 dm e a aresta lateral de 4 dm. que forma um ângulo de 60° com a base do prisma.
G

335. Calcule o volume de um paralelepípedo reto. que tem por altura 10 em e por base um paralelogramo cujos lados medem 8 em e 12 em, sabendo que o ângulo entre esses lados vale 60°.
E

336. Qual é o volume de um prisma reto no qual a base é um octógono regular de 2 m de lado e a superfície lateral é 28 m2 ? .

iJb
A
A

f

P
Q

b

60° . Q .
b

2
A

2

60°

Cálculo da área da base:

v

= B . h=-

V == a 2

•

h

(1)
Aoetógono

A aresta lateral AE == b é igualmente inclinada em relação aos lados AB =o a e AD =o a da base. A altura EP = h tem extremidade P sobre a diagonal AC da base. Conduzindo PQ perpendicular ao lado AD com Q em AD, temos os triângulos retângulos AQE e AQP e EPQ (notemos

=

AqnadradO

+ 4 Atriãngul~
do octógono regular é o,
:=

B = SI + 48 2

O ângulo externo

Qe

172

173

PRCSMA

PRISMA

. Conseqüentemente, o ângulo interno ai vale:
ai'

Cálculo dos elementos (indicados na figura): Do quadrado vem: 2a = h =
. r:: .
~
--;=-

=
=
r·

180° - ae ~ ae

=

180

0

-

45

0

=

135°.

,J6
~2

=;.
<

h ='

J3

e a

,f3
2

O lado x é obtido pela lei dos cossenos:

x2··

22

+'

22

- 2 . 2 . 2 cos 135°

==

2 x2 .4. J . = 4 + + 8.-

, . '.'
.0;',

'.'
",:;'

.' .

';13
f
=

2

Do triângulo equilátero OeD, ~em:T = a

J.

~,Xl

4(2 +12)

~'~l

= 4(2

+ fi)
..
;;'
~.

~

0'2 :

2:s~n ;35: =:::' s~' ';" fi' . .:
....
~.

-.;....

.:,.'

.

.<
"l).

,

"

'i.

Jt

Substituindo, temos: "',::- .:: ;.' ", ~~. ~ ... ' ,~'< ~~ .•, " , ' _./":,, ;,'''')'" ;"f B ,~. Sj' +'4S2 .. ~" B = 4(2.+ +4 ~. B '=8( fi +1).,- ,: '" ~ ,~, ..:. ~:'1. : ' ;': .' ,'t.. "._.\-.' .' i": ".,.,'1 . . ;.,-'i. ~.{~?- J:d ;,:,.~.,. Cálculo do volume: '. o';, .., I'.' . c" 'oi'. '. ,,. ,. ,., •. " .. . ; " " 'A

12)
'·4

fi

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. Resposta: O volume

éi4(!2 .~~

3?) Área total: AI .
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1) m3 .•
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o'. " ,.

3./3' --o . ==:.' 2
\
'.
".,~

337. Calcule o volume de um prisma regular cuja área lateral mede 240 m , sendo a base um dodecágono regular de 2 m de lado. 338. Um prisma regular hexagonal é cortado por um plano perpendicular a urna aresta de uma base, segundo um quadrado de diagonal J6 m. Calcule a área da base,
a área lateral. a área total e o volume do prisma.
.~
; ~. ,"
-~

2

4?) Volume

V

B ~ h' ""=."V = -.'-2-': ~3 .

. ;"~':3JJ

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-_'2.

"V.; .

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Resposta:B

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Solução: Prisma' Secção >Base .

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';j< . . .
I

3:{3 ·'"m:;Âr': 6Hm2;

~'= '9'~3:2'e' y' ~'-2..<mJ~:· .'.~~

339. Calcule o volume de um prisma hexagonal regular sabendo que o plano que contém a menor diagonal da base e o centro do sólido produz uma secção quadrada de 2 m de lado. 340. Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de área total igual a 12 dm 2 , sendo J dm a altura do prisma.

T
h

1
2a 174

h

341. Calcule o lado da base e a altura de um prisma hexagonal regular, sendo A sua área lateral e volume V. 342. Calcule o perímetro da base de um prisma hexagonal regular, sabendo que o prisma é equivalente a um cubo de aresta a, cuja diagonal tem medida igual à altura do prisma.
175

PRISMA

PRISMA

XII. Secções planas do cubo
164. Secção hexagonal do cubo
Consideremos o cubo ABCDEFGH (vide figura) e sejam M, N, O, P, e R os respectivos pontos médios de EH, EF, AF, AB, BC e CH. I?) Os pontos M, N, O, P, Q e R pertencem ao plano mediador da diagonal DG.
Demonstração
E

E

M

H

3?) Fixado um cubo, como ele possui quatro diagonais, os planos mediadores dessas diagonais determinam quatro hexágonos regulares como secçãO no cubo.

º

R

o
A ""'-'""--_J

c

@
I ....

/-- ..

I'

".'

.

, .

/

165. Outras secções planas do cubo
As secções planas de um cubo podem ser polígonos de 3, 4, 5 e 6 lados, isto é, triângulo, quadrilátero, pentágono e hexágono. Vejamos isso nas figuras:

P
M

B
H

Os segmentos DM e GM, DN e GN, DO eGO, DP e GP, DQ e GQ, DR e GR são congruentes entre si por serem hipotenusas de triângulos retângulos congruentes entre si. Por exemplo: 6DME == 6GMH =* DM

,"

,/

,
Triângulo Trapézio Quadrado

==

GM.

Portanto, os pontos M, N, O, P, Q e R, sendo eqüidistantes de De G. estão no plano mediador de DG. Note-se que esse plano é perpendicular à diagonal do cubo pelo centro dele.
2?) MNOPQR é um hexágono regular.

Demonstração

Retângulo

Retângulo (secção diagonal)

Os lados são congruentes, pois a medida deles é metade da medida da diagonal da face do cubo. (Sendo a a aresta do cubo, temos MN = NO = OP := PQ = QR =
=

RM

= .L. af2 = a.J2 .)
2 2

Os ângulos internos do hexágono lvfNOPQR são todos congruentes entre si por serem congruentes ao ângulo externo do triângulo equilátero ACE (ângulos de lados respectivamente paralelos).
176

Pentágono

Hexágono
177

PRISMA

PRISMA

EXERCÍCIOS
343. Por duas arestas opostas e paralelas de um cubo de aresta a passa um plano. Determine a natureza do polígono da secção e calcule sua área.

Da secção BPC, temos:
p

==>

344. Se a aresta de um cubo mede 6 m, calcule a área da sua secção diagonal.
345. Secciona-se um cubo de aresta a por um plano que contém duas arestas opostas, obtendo-se um retângulo cuja área mede S. Exprima a área total do sólido em função da área da secção diagonal. 346. Calcule a área do triângulo que se obtém unindo-se o centro de uma face de um cubo com as extremidades de uma aresta da face oposta, sabendo que a medida . da aresta do cubo vale 5 em. Solução Cálculo dos elementos indicados na figura:

150 4
.-~

.B
".

--.
'.'.,

.
.~.,

,

,.
.',. ..... ~ • ...,t

r- "

~'!,:

'f"

• , ~;

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-'.'·5.fi 2· 5 • -.-2-

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.
~

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• '1'.
..~

'.'.-'

". ' , ' •. 25 J5 -' Resposta: A área da secç~~ ~.--4-.- ~m2.
:.t&!. ,:.-} ,

..

c

Do triângulo ABP, em que P é o centro de uma das faces opostas a BC:

347. A secção determinada por um plano em um cubo é um hexágono regular. Calcule a razão entre a área desse hexágono e a área do círculo circunscrito a ele. 348. Um cubo de área total igual a 31,74 em 2 é cortado por um plano, de modo a se obter uma secção hexagonal regular. Calcule o lado do quadrado inscrito no triângulo equilátero de perímetro igual ao do hexágono obtido. 349. Seja dado um cubo ABCDEFOH cuja aresta mede a. Pela diagonal BE de uma das faces e o ponto médio P da aresta OH, paralela a essa face, faz-se passar um plano. a) Demonstre que a secção do cubo por esse plano é um trapézio isósceles. b) Calcule os lados do trapézio e a área da secção em função da aresta do cubo.

p
==>

12

==>

f2 =

lQ.. + 25
4

=->

B
==>

f=

5./6 2

.

350. Pelas extremidades de três arestas que partem de um vértice A de um cubo traçamos um plano. Mostre que a secção é um triângulo equilátero, Mostre também que a diagonal do cubo que parte de A é perpendicular ao plano da secção e precise a posição dó ponto onde ela é perpendicular. Calcule também a área do triângulo equilátero.
179

178

I
PRISMA

:t

r

"

:

:;

::' ,,:C

wo-",> ~,:,

q

'"

:

j'

::

: ::

:
PRISMA

j)

XIII. Problemas gerais sobre prismas

1 Qual é a altura de um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de lado 36 . a, para que o seu volume seja igual ao volume de um cubo de aresta a?
36 2 . Se um cubo tem suas arestas aumentadas em 50%. em quanto aumentará seu volume?

363. Procura-se construir um cubo grande empilhando cubos pequenos e todos iguais.
351. Calcule os ângulos formados pelos pares de faces laterais de um prisma, cuja secção reta é um triângulo de lados respectivamente iguais a 13 m, 13 fi m e 13 m. 352. Calcule a medida do menor ângulo diedro formado pelas faces laterais de um prisma, sabendo que os lados da secção reta desse prisma triangular medem, respectivamente, 3 em, 3 f3 em e 6 em. 353. Calcule a medida do ângulo que a diagonal de um cubo forma com: a) as faces; b) as arestas.

Quando se coloca um certo número de cubos pequenos em cada aresta, sobram cinco; se se tentasse acrescentar um cubo a mais em cada aresta, ficariam faltando trinta e dois. Quantos são os cubos pequenos? .

364. Os pontos J e 1 são os pontos médios das arestas do cubo sugerido na figura. a) Calcule, em função da medida e da aresta do cubo, a distância de I a J. b) Determine a medida

.........

(J

do ângulo

1KJ.

354. Calcule o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangular regular de 64 [2 m l de volume forma com as arestas laterais. sabendo que as arestas da base do prisma medem 4 m. 355. Dado um prisma hexagonal regular de 2 m de aresta da base e 213m de altura, considere duas diagonais paralelas de uma das bases e as diagonais da outra base paralelas àquelas. Calcule o volume de um dos prismas triangulares em que fica dividido o prisma hexagonal dado, quando são traçados os quatro planos diagonais definidos por pares daquelas quatro diagonais das bases. 356. Calcule o volume de um prisma triangular oblíquo cujos lados da base medem 13a, 14a e 15a, uma aresta lateral mede 26a e sua projeção sobre o plano da base mede lOa. 357. Calcule o volume de um prisma quadrangular oblíquo, sendo 20 em a medida de sua aresta lateral, sabendo que a secçào reta é um paralelogramo em que dois lados consecutivos medem 9 em e 12 em e formam um ângulo de 30°. 358. A secção de um paralelepípedo oblíquo é um quadrilátero que tem um ângulo de 45 ° compreendido entre lados que medem 4 em e 8 em,. O comprimento da aresta lateral é igual ao semiperímetro dessa secção. Calcule o volume do poliedro. 359. Calcule o volume de um prisma oblíquo, sabendo que a base é um hexágono regular de lado R = 2 em e que a aresta L, ínclinada 60 0 em relaçào ao plano da base, mede 5 em. 360. Determine o volume e a área lateral de um prisma reto de 10 em de altura e cuja base é um hexágono regular de apótema 3 jj em.
180

365. No cubo abaixo, faz-se um corte pelo plano que passa pelos vértices A, C e N, retirando-se o sólido (ABCN) assim obtido. Determine o volume do sólido restante em função de a, sabendo que a é a medida do lado.

o

c

366. Considere um cubo ABCDEFGH de lado 1 unidade de comprimento, comq na figura. M e N são os pontos médios de AB e CD, respectivamente. Para cada ponto P da reta AE, seja Q o ponto de interseção das retas PM eBF. a) Prove que o 6.PQN é isósceles. b) A que distância do ponto A deve estar o ponto P para que o 6.PQN seja retângulo?

p

E

F

181

PRISMA

PRISMA

367. Uma caixa d'água com a forma de um paralelepípedo reto de I m x I m de base

e

~

LEITURA

m de altura está sobre uma laje horizontal com água até a altura h.

Suponhamos que a caixa fosse erguida lateralmente, apoiada sobre uma das arestas da base (que é mantida fixa), sem agitar a água. Assim sendo, a água começaria a transbordar exatamente quando o ângulo da base da caixa com a laje medisse 30°. Calcule a altura h.

Cavalieri e os Indivisíveis
Hygino H. Domingues Ao início do século XVII, os métodos deixados pelos gregos para cálculos de áreas e volumes, apesar de sua beleza e rigor, mostra~a~­ se cada vez menos adequados a um mundo em franco progresso CIentIfico. Pois faltavam a eles operacionalidade e algorit~os para implementá-los. E como não havia ainda c0!1dições matemáttcas d~ o~­ ter esses requisitos, os métodos então surgIdos era~ semp're ?~S~IV~IS de críticas - como o mais famoso deles, a geometna dos mdlvISlvels, de Bonaventura Cavalieri (1598-1647). O milanês Cavalieri foi um dos matemáticos mais influentes de sua época. De família nobre, Cavalieri seguiu paralelamen~e a carre!r~ religiosa e a atividade científica. Discípulo de Gahleu Gahlel (1564-1642), por indicação deste ocupou desde 1629 a cátedra de Matemática da Universidade de Bolonha, ao mesmo tempo que era o superior do mona.stério de São Jerônimo. Cavalieri foi também ast~ôno­ mo, mas, se ainda é lembrado, isso se deve em grande parte ao metodo dos indivisíveis que desenvolveu a partir de 1626. Cavalieri não definia, em suas obras sobre o assunto, o que vinham a ser os indivisíveis. Segundo ele, porém, uma figura plana seria formada por uma infinidade de cordas paralelas entre si e uma figura sólida por uma infinidade de secções planas paralelas entre si - a essas cordas e a essas secções chamava de indivisíveis. Num de seus livros "explicava" que um sólido é formado de indivisíveis, assim como um livro é composto de páginas. Do ponto de vista lógico, essas idéias envolviam uma dificuldade insuperável. Como uma figura de extensão finita poderia ser formada de uma infinidade de indivisíveis, tanto mais que estes não possuem espessura?
183

368. Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que elas estão em progressão aritmética, que a área total é S e a diagonal é d. Discuta. 369. A soma dos diedros formados pelas faces laterais de um prisma triangular com
uma de suas bases está compreendida entre dois e quatro retos.

370. A soma dos diedros formados pelas faces laterais de um prisma convexo de n faces com uma de suas bases é superior a 2 retos e inferior a 2 (n - J) retos. 371. Se a secção reta de um prisma é um polígono equilátero, a soma das distâncias de um ponto, tomado no interior do sólido às faces laterais e às bases, é constante. 372. A soma das distâncias dos vértices de um paralelepípedo a um plano que não o intercepta é igual a 8 vezes a distância do ponto de concurso de suas diagonais
a esse plano.

373. A soma dos quadrados das distâncias de um ponto qualquer aos oito vértices de
um paralelepípedo é igual a oito vezes o quadrado da distância desse ponto ao ponto de concurso das diagonais, mais a metade da soma dos quadrados das diagonais.

374. Um cubo é seccionado por um plano que passa por uma de suas diagonais. Como
deverá ser traçado esse plano para que a área da secção seja mínima?

375. É dado um cubo de aresta Q. Secciona-se o cubo por um plano que forma um ângulo de 30° com uma das faces e passa por uma diagonal dessa face. Determi·
ne os volumes dos sólidos resultantes.

376. Na figura ao lado, os planos OAB e
OAe formam entre si um ângulo de 30°, As retas OB e oe são perpendi. culares li reta DA. O segmento OP, do plano OAB, é unitário e forma um ân· gula a com OA (O < a < 90°). Seja ORS TQP o prisma assim construído: Te S são as projeções ortogonais de P sobre DA e OB; Q e R são as projeções ortogonais de P e S sobre o plano OAC.

A

c o

a) Determine o volume do prisma em função de a. b) Qual o valor de tg a quando O volume do prisma é máximo?
182

o princípio de Cavalieri, ainda bastante usado no ensino de geometria métrica no espaço, facilita bastante a aceitação da idéia de indivisível: "Sejam dois sólidos A e B. Se todos os planos numa certa direção, ao interceptarem A e B, determinam secções (indivisíveis) de áreas iguais, então A e B têm mesmo volume" (fig. 1). (Fig.1) De alcance maior foram certos teoremas estabelecidos por Cavalieri relacionando os indivisíveis de um paralelogramo com aqueles dos triângulos determinados por uma de suas diagonais. Se o indica genericamente os primeiros e x os segundos (fig. 2), Cavalieri "provou" que
A
\

CAPÍTULO IX

Pirâmide
I. Pirâmide ilimitada
166. Definição
Consideremos uma região poligonal plano-convexa (polígono planoconvexo) AI A 2 ... A n de n lados e um ponto V fora de seu plano. Chama-se pirâmide ilimitada convexa ou pirâmide convexa indefinida (ou ângulo poliédrico ou ângulo sólido) à reunião das semiretas de origem em Ve que passam pelos pontos da região poligonal (polígono) dada.
AI A 2

B

\

Z ,/"
(P" Ig.

•

\ onde os somatórios não têm o sentido atual (são x\ infinitos e correspondem à idéia de "integrar" os
2

/\

Y' i..

a ;: : : 2 i.. X', Y'

L a2

;:::::

3

I x2 ,•

(*)

o

~

c indivisíveis para formar as figuras). Se o paralelo• ~ I , gramo e um retangu Io de atura b· ,sua area Y' a LJ

v

é igual ao produto de um divisível pelo "número" b de indivisíveis, isto é, I 0= ob. Usando então a primeira das relações de (*), obtém-se a área do triângulo:
y y

I x = ~ Ea = ~
2

ab.

~

x

A segunda das relações de (*) permite calcular a área compreendida entre a curva y=x 2 e o eixo x, de O até a (fig. 3). Segundo as idéias de Cavalieri, essa área vale Lx 2 , pois cada um de seus indivisíveis (ordenadas) vale x 2 • Mas, pela relação citada:

Lx2
o o

=

+

Ea2 ,

onde E0 2 é a área do retângulo OABC. Mas essa área é dada também por o . 0 2 = 0 3 a x (base vezes altura). Logo, a área sombreada (Fig.3) é 0 3 /3, resultado correto. Foram tantas as críticas que Cavalieri recebeu pelo seu método, embora este funcionasse (como no exemplo anterior), que certa vez disse: "O rigor é algo que diz respeito à filosofia e não à matemática".

Se a região poligonal (polígono) ... Ao for côncava, a pirâmide ilimitada resulta côncava.

167. Elementos
Uma pirâmide ilimitada convexa possui: n arestas, n diedros e n faces (que são ângulos ou setores angulares planos).
185

184

PIRÂMIDE

PIRÂMIDE

168. Secção
É uma região poligonal plana (polígono plano) com um só vértice em cada aresta.

171. Elementos
Uma pirâmide possui:
1 base (a secção acima citada), n faces laterais (triângulos), n + 1, faces, n arestas laterais, 2n ar,:stas, 2n dle~ro~, n + 1 vértices, n + 1 angulos pohedncos e n triedros.

169. Superfície
A superfície de uma pirâmide ilimitada convexa é a reunião das faces dessa pirâmide. É uma superfície poliédrica convexa ilimitada.

aresta

Para uma pirâmide é válida a relação de Euler: V-A+F=(n+ 1)-2n+(n+
l)",,2~
~V-A+F","2

11. Pirâmide
170. Definição
Consideremos um polígono convexo (região poligonal convexa) ABC ... MN situado num plano Q e um ponto V fora de Q. Chama-se pirâmide (ou pirâmide convexa) à reunião dos segmentos com uma extremidade em Ve a outra nos pontos do polígono.
V é o vértice e O polígono ABC '" MN, a base da pirâmide. Podemos também definir a pirâmide como segue: Pirâmide convexa limitada ou pirâmide convexa definida ou pirâmide conVexa é a parte da pirâmide ilimitada que contém o vértice quando se divide essa pirâmide pelo plano de uma secção, reunida com essa secção.
V
V

aresta
da base

tríedro

172. Altura
A altura de uma pirâmide é a distância h entre o vértice e O plano da base.

173. Superfícies
Superj{cie lateral é a reunião das faces laterais da pirâmide. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por A f • Superfície total é a reunião da superfície lat~ral çom a ~up~rfkie da base da pirâmide. A área dessa superfície é chamada area total e mdlcada por AI'

174.Natureza
Natureza de uma pirâmide: uma pirâmide será triangular, quadrangular, pentagonal, etc., conforme a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc.
face lateral

•
h

/

175. Pirâmide regular
Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Numa pirâmide regular as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Chama-se apótema de uma pirâmide regular à altura (relativa ao lado da base) de uma face lateraL

186

187

t.· __

lIÍíII·'.:.· ..

·IIIÍII_-

·.,~IIiIII. .lIÍíII_ _

·lil i.'

1IiilIlí

(

_~:q;::~i

;'__ __

t.:.·l1li

:.1l1li

_l1li

l1li·.).·.·.. : ·..

:I11III1
PIRÂMIDE

PIRÂMIDE

38 O. Determine a soma dos ângulos internos da base de uma pirâmide, sendo 24 retos a soma dos ângulos internos de todas as faces dessa pirâmide.

3 81 . Prove que a soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide de n faces late· rais vale S = (n - 1) . 4r.
Solução

A soma dos ângulos (5') de todas as faces é a soma dos ângulos da base, que é (n - 2) . 2r, com a soma dos ângulos das faces laterais, que é n ·:2r: ..
apótema da base Pirâmide regular hexagonal Tetraedro regular

"'-

S

=

(n - 2) . 2r -+ n . 2r = 2 . n . 2r - 4r = (n - 1) . 4r.

176. Tetraedro
Tetraedro é urna pirâmide triangular. Tetraedro regular é um tetraedro que tem as seis arestas congruentes en-

382. Calcule a soma dos ângulos das faces de uma pirâmide cuja base é um polígono convexo de n lados. 383. Ache a natureza de uma pirâmide que possui: a) 6 faces b) 8 faces c) 12 arestas d) 20 arestas

tre si.

177. Nota
É comum encontrarmos referências a pirâmide reta para diferenciar de pirâmide oblíqua. Deve-se, então, entender que a pirâmide reta é aquela cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Caso

111. Volume da pirâmide
178. Secção paralela à base de um tetraedro
Quando se secciona uma pirâmide triangular (tetraedro) por um plano paralelo à base:
1~)

a base seja um polígono circunscritível, isto é, admita uma circunferência inscrita, o centro dessa circunferência (incentro do polígono), em geral, é adotado como o centro da base.

v

EXERCÍCIOS
377. Ache a natureza de uma pirâmide, sabendo que a soma d0s ângulos das faces é 20 retos. . 378. Ache a natureza de uma pirâmide, sabendo que a soma dos ângulos das faces é 56 retos. 379. Calcule o número de diagonais da base de uma pirãmide, sabendo que a soma dos ãngulos internos de todas as suas faces é igual a 32 retos.
188

As arestas laterais e a altura ficam divididas na mesma razào.

De fato, as retas A'H' e AH são paralelas, pois são interseções de Plan?s paralelos por um terceiro; logo, A os tnângulos VH' A' e VHA são semelhantes e portanto:

----h' h

-

J0t =

VA'

VH' VH

B

189

PIRÂMIDE

PIRÂMIDE

2?)
aS

Sendo T j e T 2 os dois tetraedros, B j e B2 as áreas das bases e H j e H 2 alturas, temos, por hipótese:

A secção e a base são triângulos semelhantes. De fato, os ângu!os da secção (DA'BT') e os ângulos da base (DABe), por terem lados respectIvamente paralelos, são congruentes. Donde se conclui que a secção A'B'C' e a base ABC são triângulos semelhantes. A razão de semelhanças é 6.VA'B' - DVAB

r'

como segue:

r--------------- ----r------------------,, 1 B'
I
I

B'
'

h ' ]

I

==>

VA' = A'B' VA AB A'B' A'C'

=-

AB=h
B'C h' h

A'B'

h'

=-

I
I

I I I
I

H, ~ h
1 I
I

H] = h

,
I

f\B==AC==BC==

I

I I I

Portanto, os triângulos A'B' C' e ABC são semelhantes sendo!t..- a , h razão de semelhança. 3?) A razão entre as áreas da secção e da base é igual ao quadrado da razão de suas distâncias ao vértice. De fato, sendo B'D' e BD duas respectivas alturas da secção e da base,

-L

.J-

Demonstração
Podemos supor, sem perda de generalidade, que as bases equivalentes estão num plano OI e que os vértices estão num mesmo semi-espaço dos determinados por OI. Considerando qualquer plano secante {3, paralelo a OI, distando h' dos vértices e determinando em T j e T2 secções de áreas B; e B;, temos:

vale:

AB =

A'B'

B'D'

l3I)"

B'D'

l3I)"

== h"
(B'D') (BD)

h'

Logo, Área (DA'B'C') . Area (.6ABC)
=>

-l (A'C') 2= -1 - -

2

(AC)

==
h

A'C'
~

. Bi)

B'D'

[:: ==

(~y

Á~ea (.6A'B'C') = lL . JL _
Area (DABC) h h -

(lL)2

Como B j == B2 , da igualdade acima vem B; == B;. Se as secções têm áreas iguais (B; = B;), pelo princípio de Cavalieri os sólidos T j e T2 têm volumes iguais (são equivalentes), isto é, V TJ = VT2 ,

179. Equivalência de tetraedros 180. Decomposição de um prisma triangular
Du~s pirâmides triangulares (tetraedros) de bases de áreas iguais (bases eqUIvalentes) e alturas congruentes têm volumes iguais (são equivalentes).
190

Todo prisma triangular é soma de três pirâmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si (de volumes iguais).
191

~~:=::~::$t::4::5r;::::"
ESFERA

§-=:.

:*~~~~:~:~:C::;~.:~·~:~~~~.·..~.,C~Z.··.·_~. •.-.:~:.Z~:~.~~:~j~~.~ ~~:~;~~~:.ft.:1~.:.:.'~.'." : . .~..~ ~ •.• :.,~'.U.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.".~.'.'.=.=.'. J•..•
ESFERA
2 67 5 . Determine o raio de uma esfera de superfície 36 'Ir em •

.

.....

EXERCÍCIOS
,

676. Determine a área do círculo da esfera cujas distâncias polares são de 5 em e 3 em. Solução· Sendo r o raio da secção e d o diâmetro da esfera, vem:
d2

669. Calcule a área e o volume das esferas. cujas medidas estão indicadas abaixo.
a)

b)

=

52

+ 32 =-

d = ,,34.

"r;;; .'

Relações métricas (ah = be) no /::..P f AP] retângulo em A: d.
r

r = 5·3
15

:;>

J34.r

;>=

15 ...,.

= 1.6 em

""r= ,134
Área da secção: S.

670. Represente, nas esferas abaixo. através de expressões algébricas: a) a área do fuso b) a área total e o volume da cunha

S =
.' R

11" r

2

='A'

S '"

'li

(

J34 .
I

15

)2

=- S - '. 34
em1•

_2251l"

. esposta:

area o crrcu o e

d"· .

. 2257f

~

677. Calcule a área de uma secção plana feita a uma distância de 12 em do centro de uma esfera de 37 em de raio. 678. A secção plana de uma esfera feita a 35 em do centro tem 144 'li em l de área. Calcule a área do circulo máximo dessa esfera. 679. Calcule a distância de uma secção plana de uma esfera ao centro da esfera. sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada pela secção plana e que o raio da esfera mede 17 em. 671. Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raío 20 em, sendo 21 em a distância do plano ao centro da esfera. 672. O raio de uma esfera mede 53 em. Um plano que secciona essa esfera ddetermfina nela um círculo de raio 45 em. Obtenha a distâncía do plano ao centro a es era. 673. Um plano secciona uma esfera de 34 em de diâmetro. Determine o raio da secção obtida, sendo 8 em a distância do plano ao centro da esfera. 674. Determine o diâmetro de um círculo cuja área é igual à superfície de uma esfera de raio r.
256

680.

a raio de uma esfera mede 41 em. Determine a razão entre as áreas das secções obtidas por dois planos, sendo de 40 em e 16 em as respectivas distâncias desses planos ao centro da esfera.

,681. Determine a área e o volume de uma esfera de 58 em de diâmetro. 682. Determine a área de uma esfera, sendo 2304 'li em] o seu volume. 683. Calcule a distância polar de um círculo máximo de uma esfera de 34 em de diâmetro.
257

==================::.W1l/;;'. .~." =
PIRÂMIDE PIRÂMIDE

•

Seja o prisma triangular ABCDEF.

181. Volume do tetraedro
F

D

D F · ,.......---~ A C C

/

f!!J
\'E
\
.

\

.. ~E
.
'.'

D

F

S' B a área da base e h a medida da altura do prisma do item anterior. eJa e Notemos que B' a área da base e h é a medida da altura do tetraedro T,.

Em vista do teorema anterior e fazendo V T /

=

VTz

=

V TJ

=

Vr :

\

\

.
V T,

+

V Tl

· + V T) = Vpnsma

=

3VT .

~ B·h
.

= 5:·31.B.h~1 L
o·.. .•... .

.c.

T2 T2

= ;u(DEF) = E(CDF)
D

A

\
B

B

A'

, 01
E
\

182. Volume de uma pirâmide quo/quer
Seja B a área da base e h a medida da altura de uma pirâmide qualquer. Esta pirâmide é soma de (n - 2) tetraedros.

Y
\

C h

TI

= E(ABC)

T3

= E(ACD)
+

T,

= E(ABC) e a

Cortando esse prisma pelo plano (A, C, E), obtemos o tetraedro pirâmide quadrangular E(ACFD).

+

Bn- 2 h

~

1

dro T2

Cortando a pirâmide E(ACFD) pelo plano (C, D, E), obtemos o tetrae= C(DEF) [ou T2 = E(CDF)) e ~ = E(ACD). Temos, então: Prisma ABCDEF

= TI +

T 2 + T 3 =>

Vprisma

= VT

I

+ VTZ + VTJ •

As pirâmides T, = E(ABC) e T] = C(DEF) têm o mesmo volume, pois possuem as bases (A BC e DEF) congruentes e a mesma altura (a do prisma). Então, VT } = VT2 • (1) As pirâmides T] = E(CDF) e T3 = E(ACD) têm o mesmo volume, pois têm as bases (CDF e A CD) congruentes (note que CD é diagonal do paralelogramo ACFD) e mesma altura (distância de E ao plano ACFD). Então, VTz = VTJ • (2) . De (J) e (2) vem: VT }
192
=

~ 1L._V_=~_~_B_'h_'1
183. Conclusão

VT2

=

VTJ •

o volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base pela medida da altura.
193

.~.-------..........PIRÂMIDE

.......- - -..........-···..··~~7~~~\:=:========= ...
PIRÂMIDE

IV. Área lateral e área total da pirâmide
184.
A A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais.
j,

[

Calcule a área lateral, a áre~ total e o ~olume das pirâmides regulares, cujas me384. didas estão indicadas nas fIguras abaixo.
""

----a)

EXERCÍCIOS

soma das áreas dos triângulos que são faces laterais.

b)

185.

A área total de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais com a área da base. área da base.

186. Pirâmide regular
Numa pirâmide regular, sendo:
2p

-I"
385. De um tetraedro regular de aresta a, calcule: a) a área total (AI) b) a medida h da altura
c) o seu volume (V)

4cm

k

medida do perímetro da base

m "" medida do apótema da base
m'

medida do apótema da pirâmide,

temos:
Solução
2p

Área lateral: Ar = nAiS .=-

~. ~ f~' =At

I

A

AI = pm'

B

Área total: AI

= Ar

+ B

=-

= pm'

+ pm

=-

I AI = p(m +m'}

]
D B

-1
a ,'3 2

-r
-~-=~~

2 a

,'3

a

/3

3

2

3

Volume: V

+

B.h

=

I'-_V_=_-~_p_m_._h_

Relação: m'2

= h2 +

1
C

Gf
1 I

_l
D

a

m2•

C

o ângulo a entre o apótema da base m e o apótema da pirâmide m' é o ângulo que a face lateral forma com a base.
194

Tetraedro

Face (base)

195

----------..IIllIIIllI---------------.. .--.. .
PIRÂMIDE
• I. _.
~

-IIII!I-..._:::!g.;lIilII,.~IlII.,~~~~~~.~ ;:.~

. .•

r:.; ..i' .'_ _. . ' .

..._ _

iIiI

..........._ ..._ ..........

PIRÂMIDE

4 De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32 dm 39 . e que o apótema da pirâmide mede 6 dm. Calcule:

2

a) Área total: AI = 4 . B
b) Cálculo da altura:

a) a aresta da base (i); b) o apótema da base (m); c) a altura da pirâmide (h);

d) a aresta lateral (a); e) a ~rea lateral (Ar); f) a area total (Ar)·

.

..,"~

...

=
V '=
,

Ei~m~ .u}ind~h --~•
" 1 ="3 B· 'h
2

Solução
V' V

c) Volume: V

~L.
,'3,.,

a

, • .[3,

, ; , "a 2 .f3 " em que: B =~:e h '=' , a .[6" entao '. 3 •. ,
"

O

C

...
. ':'

.....

4
2

a.fi.; 13,_ =3'

"

'

V

,

= a3 .fi.
12

... ...

.....,.....

... ,
/

.....

C
/

,0/
Jt
I'"

.....

r: = f6 e V 3 Resposta: At; = a ..J;}" ' h " a 3

=

a 12' J2
3

/

,- .....
A

m'J
M
f

,

... ,
"-

I"
386. Sabendo que a aresta de um tetraedro regular mede 3 em, calcule a medida de sua altura, sua área total e seu volume. 387. Determine a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que sua superfície total mede 9 J3 em 2 •
a) aresta da base
2 e

A \4

.. \8

=

B

=c=>

f2 = 32

-=>

f =

m=
m

f = 4

J2 dm .

b) apótema da base

.
=:>

e m'=2.

4J2' m =-2m2

=

2 2 dm

.J2

388. Calcule a altura e o volume de um tetraedro regular de área total 12 J3 em}.
389. Determine a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que seu volume mede 18.[2 m3. 390. Calcule a área total de um tetraedro regular cujo volume mede 144 J2 m3.

c) altura da pirâmide
f:,.VOM: h2 = m'2 -

=

h2 = 62 - (2,[2)2 -

h =

2h dm
2.]li dm

d) aresta lateral

.6 VMC: a2 = (m')2 +
e) área lateral
A, = 4, -

(i)

2 ""'" a2

= 62 + (

4

f)
-

2

~

a=

391. Determine a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que, aumentada em 4 m, sua área aumenta em 40 jj m2 • 392. Calcule a medida da altura de um tetraedro regular, sabendo que o perimetro da base mede 9 em.
393. Calcule a aresta da base de uma pirâmide regular, sabendo que o apótema da pirâmide mede 6 em e a aresta lateral 10 em.
196

I 2

t·

D

m,

A, - 4 . 1.- . 4 fi 2

.6

AI = 48 fi dm 2 .

f) área total AI = Ar + B

=-

~

=

48..f2 + 32

=

AI = 16(3 J2 + 2) dm

-

2

395. A base de uma pirâmide de 6 em de altura é um quadrado de 8 em de perímetro. Calcule o volume.
197

J~

IIIil_.·.·!"

··.'··IIIilIllil_Illi

~""",··~ . Z i'\~N~.:~"~:.iC: •. =

:t:::.:.:.:::.::::::::::::::::::::::::===========
PIRÂMIDE

PIRÂMIDE

I
Substituindo em (a), vem:
V ==

396. Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular cuja aresta lateral mede 82 em e cuja aresta da base mede 36 em. 397. Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sendo 7 m a medida do seu apótema e 8 m o perímetro da base. 398. Determine a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular de 7 em de apótema, sendo 2 em o raio do círculo circunscrito à base. 399. Calcule a medida da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a área da base mede 64 m 2 e que a altura da pirâmide é igual a uma das diagonais da base. 400. Calcule o volume de um tetraedro tri-retangular, conhecendo os lados a, b, c, da face oposta ao triedro tri-retangular. . Solução Sejam x, y e z as medidas das ares. tas do triedro tri-retângulo. O tetràedro é uma pirâmide de altura z e base um triângulo retângulo de catetos x e y.
V=
=>

_l~
24

12(-a2

+ b 2 + c2)(a 2 - b 2 + c2)(a 2 + b2 - c2)

401. Numa pirâmide triangular PABC, o triedro de vértice Pé tri-retângulo. O triângulo ABC da base é equilátero de lado 4 em. Calcule o volume da pirâmide.
402. Uma pirâmide tem por base um retângulo cuja soma das dimensões vale 34 em, sendo uma delas os 5/12 da outra. Determine as dimensões da base e a área total da pirâmide, sabendo que a altura mede 5 em e a sua projeção sobre a base é o ponto de interseção das diagonais da base. 403. Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas dimensões medem 10 em e 24 em, respectivamente. As arestas laterais são iguais à diagonal da base. Calcule a área total da pirâmide. 404. Calcule a área da base de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros, sendo 81 J3 em2 a soma das áreas desses triângulos. 405. Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que uma em e que o apótema da pirâmide mede 5 em. diagonal da base mede

.1 B - h 3
1

=>

V =L 3

(.1 2

x y) . Z

=>

3.J2

V =

li xyz

(a)

406. Determine a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sendo 144 em 2 a área da base da pirâmide e 10 em a medida da aresta lateral. 407. Determine a área da base, a área lateral e a área total de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a altura e a aresta da base medem 10 em cada uma. 408. Calcule a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo que a diagonal da base da pirâmide mede 8 J2 em e a aresta lateral é igual à diagonal da base.
-

Cálculo de x, y e z:

x +
2

y2 =

c

2

(I)
=>

(I)

+

(2)

+

(3)

+ Z2 = bZ (2) y2 + 2 == a 2 + b2 + ç2 2x + 2y 2 + 2z
x2
2

Z2

=

a2

(3)

=>

x2 +
(4) - (I)
=

y2

+

Z2

== a + b 2
-

2

2

+ c

2

(4)

=>

Z2

a2 + b 2 2 2

c2

=>

Z

==

~

a 2 + b2 2
2 -

c2
Z C

409. Sendo 192 m 2 a área total de uma pirâmide quadrangular regular e 312m o raio do círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide. 410. Uma pirâmide regular hexagonal de 12 em de altura tem aresta da base medindo
- 3 - em. Calcule:

(4) - (2)

=>

y2

2 2 = a - bZ + c

=>

y ==

~a

b2 + 2

(4) - (I)

=>

2 2 xL. = -a + b + 2

CZ

=>

x '==

~-a

10Jj

2

+ :2 + c

2

apótema da base (m), apótema da pirâmide (m'), aresta lateral (a), área da base (B), área lateral (Ai), área total (AI) e o volume (V).
199

198

J
PIRÂMIDE

IIIlII

IlIi

...

."'I__ . ::::'::::.:::::==::::::===================== IIi"".V
,:~~n~=:'j'1ll'l~;~:-:-:

I

Biblioteca Juvenil do Colégro de Aplicaçâe
PIRÂMIDE

Solução

412. Calcule a aresta lateral de uma pirâmide regular, sabendo que sua base é um hexágono de 6 em de lado, sendo 10 em a altura da pirâmide. 413. A base de uma pirâmide regular é um hexágono inscrito em um círculo de 12 em de diâmetro. Calcule a altura da pirâmide, sabendo que a área da base é a décima parte da área lateraL 414. Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 3 em sua altura e 10 em a medida da aresta da base. 415. Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal cujo apótema mede 20 em, sendo 6 em a medida do raio da base. 416. Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo 8 em e a

Pirâmide

Base

Face lateral

área lateral igual a.l.. da área totaL Calcule a altura e a área lateral dessa pirâmide. 5 Apótema da base: m = -2-

f.[3

~

m

=

--3-- . 2

10.[3

13

=>

m = 5 em.
417. A aresta lateral de uma pirâmide quadrangular regular mede 15 em e a aresta da base 10 em. Calcule o volume.

Apótema da pirâmide: (m')2 = h 2 + m 2 f)2 Aresta lateral: a 2 = (m')2 + (2"

=>

(m')2 = 122 + 52

=>

m' = 13 em.
418. Calcule o volume de uma pirâmide de 12 em de altura, sendo a base um losango cujas diagonais medem 6 em e 10 em.

=>

'( a 2 = 13 2 + -3-

513)2 =>

2 ,-a = 3~1399cm.
419. Se a altura de uma pirâmide regular hexagonal tem medida igual à aresta da base, calcule o seu volume, sendo a a aresta da base.

Area da base: B

,.

= 6.2

I

fm

=>

B

. I 1013 = 6 . 2 .- 3 - . 5 =>

B, 50 v3 cm 2.

r::

, Area lateral:

Ar =

6 .-

1,

223

(m

=>

r;; I 1O~3 A" = 6 . - . - - . 13

420. Determine a razão entre os volumes de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta da base mede a, sendo a a medida de sua altura, e uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado a e altura a. 421. Calcule a razão entre os volumes de duas pirâmides, P I e P2 , sabendo que os vértices são os mesmos e que a base de P 2 é um quadrado obtido ligando-se os pontos médios da base quadrada de P J • 422. A área da base de uma pirâmide regular hexagonal é igual a 216 fj m 2 • Deter· mine o volume da pirâmide, sabendo que sua altura mede 16 m. 423. Determine o volume de uma pirâmide triangular regular, sendo 2 m a medida da aresta da base e 3 m a medida de suas arestas laterais.

=>

AI = 130 v3 em .

r;;

2

Área total: At = AI

+B

=

13013

+ 5013

=>

Al = 180.J3 cm 2.
r:-

Volume: V

= ...L B . h
3

=> V =

r.31 . 50.,t3 . 12

=> V ==

200..J 3 cm 3 •

411. Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal cujo apótema mede 4 em e a aresta da base mede 2 em.
200

424. O volume de uma pirâmide triangular regular é 64 fj em J • Determine a medida da aresta lateral, sabendo que a altura é igual ao semiperímetro da base.
201

1 ...---------..-..-----IIiIII-.. --..
PIRÂMIDE

----ÍIIiI---.. '~;,.:::";.:~t:(;:'*:oJ'~\:::::::::::::::::::::::::::::::::::::
lIl ........
PIRÂMIDE

425. Uma pirâmide triangular tem para base um triângulo de lados 13, 14 e 15; as ou425 tras arestas medem - - . Calcule o vo Iume.
8

428. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de aresta a. Solução

Solução

v
As arestas laterais sendo congruentes, a projeção ortogonal do vér~i­ ce sobre o plano da base é o CIrcuncentro O (centro da circunferência circunscrita) do triângulo .ARe. A altura é VO.
V ==

+

A

B .h

(1)

Tomando o a como unidade, vem: Área da base:
B:= ~p(p-a)(p-b)(p-C)] a := 13, b == 14, c == 15 B

Área: A área de uma face (S) é a área de um triângulo equilátero de lado a;
B

.

portanto, S == - 4 - ' A superfície total é a reunião de 8 faces; então: A, == 8 . S

a 2 ,ij

=>

.J21 . 8 . 7 . 6 => B

84

=-

a 2 /j A, == 8 . - 4 -

=:>

A,

Altura:
R == abc 4S

R =

13 . 14 . 15 4.84

R ==

J2..
8 105·

Volume: O octaedro regular é a reunião de 2 pirâmides de base quadrada de lado a e de altura igual à metade da diagonal do quadrado; então:
V== 2

h ==

2

1h (3"" B .)

=-

V = 2

(1 a 3'

2 •

a -2-

/2 )

=>

a V = -3-

3

5.

Substituindo em (1). vem:

429. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de 2 em de aresta. V 1470 430. Calcule o volume da pirâmide quadrangular regular, sabendo que sua base é ciro cunscrita a um círculo de 6 em de raio e que a aresta lateral mede 12 em.

V ==

1 105 3 . 84· -2-

=>

Resposta: 1470. 426. Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular, sabendo que o apótema da base mede 4 em e o apótema da pirâmide 5 em. base 427. Uma pirâmide triangular regular tem as medidas da altura e da aresta dad iguais a 6 em. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume essa pirâmide.
202

431. Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 6 em e área
lateral igual a 5/8 da área total. Calcule a altura, a área lateral e o volume dessa pirâmide. 432. Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 em o perímetro da base e 30 em a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais. 433. Calcule o volume de uma piràmide regular hexagonal, sendo 6 em a medida da aresta da base e la em a medida da aresta lateral.
203

I
PIRÂMIDE PIRÂMIDE

434. O volume de uma pirâmide regular hexagonal é 6013 rrr, sendo 4 m o lado do hexágono. Calcule a aresta lateral e a altura da pirâmide. 435. A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 3 m. Calcule a altura e o volume dessa pirâmide, sendo a superfície lateral 10 vezes a área da base. 436. A base de uma pirâmide é um triângulo cujos lados medem 13 m, 14 m e 15 m. As três arestas laterais são iguais, medindo cada uma 20 m. Calcule o volume da pirâmide. 437. O volume de uma pirâmide é 27 m 3 • sua base é um trapézio de 3 m de altura, seus lados paralelos têm por soma 17 m. Qual é a altura dessa pirâmide? 438. Determine o volume de uma pirâmide triangular cujas arestas laterais são de medidas iguais, sabendo que o triângulo da base tem os lados medindo 6 m, 8 m e 10 m e que sua maior face lateral é um triângulo equilátero. 439. A área lateral de uma pirâmide triangular regular é o quádruplo da área da base. Calcule o volume, sabendo que a aresta da base mede 3 em. 440. Calcule as áreas lateral e total de uma pirâmide triangular regular, sabendo que sua altura mede 12 em e que o perímetro da base mede 12 em. 441. Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área total é 36.J3 em] e o raio do círculo inscrito na base mede 2 em. 442. Calcule a medida do diedro formado pelas faces laterais com a base de uma pirâmide regular, sabendo que o apótema da pirâmide mede o dobro do apótema da base. . 443. Determine a medida da altura e da aresta lateral de uma pirâmide que tem por base um triângulo equilátero de lado 16 em, sabendo que as faces laterais formam com o plano da base ângulos de 60°. Solução' O apótema da base m é dado por
m=-·--=--

Cálculo da altura h: No triângulo VGM, temos: tg 60°
:=

~
m

=>

h = m

J3

h = 8

~. 13 =

8.

Cálculo da aresta lateral a:
1~

modo:

O apótema m' da pirâmide é dado por:
(m')2 = h2
=>

+

m 2 => (m')2 = 82 + (8

fr

=>

(m')2 = 64

+ 192
9

=

768

9'

No 6.VMC, vem:
a 2

= (m')2 +

(~r

=>

a2 =

768

9

+

82 => a!= 768

9

+

64

=>

a

=

~ I ~44

=>

a =-3-

8m

a=-3-'

8.[2l

v
444. Uma pirâmide tem por base um triângulo equilátero de lado a. As faces laterais formam com o plano da base diedros de 60°. Calcule a altura, o comprimento das arestas e o volume da pirâmide.

I 3

f.!3
2

f.!3
6

em que
m =

e=

16. Portanto,

A

c

445. Uma pirâmide tem por base um hexágono regular de lado a, e cada aresta lateral da pirâmide mede 2a. a) Qual o ângulo que cada aresta lateral forma com o plano da base? b) Calcule, em função de a, a área lateral, a área total e o volume da pirâmide.

-6-

16E = -3-' 8E
B

446. Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 em de aresta da base e 2/5 em de aresta lateral. Calcule o ângulo que a face lateral forma com a base.
205

204

..
PIRÂMIDE PIRÂMIDE

447. As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular de 6 m de aresta da base formam 60 U com o plano da base. Calcule o volume Ve a área total dessa pirâmide. 448. Duas arestas opostas de uma pirâmide quadrangular regular medem 2 m e formam, no interior do sólido, um ângulo de /20°. Calcule o volume da pirâmide. 449. Determine o volume de uma pirâmide cuja aresta lateral forma um ângulo de 60" com a diagonal do retângulo da base, sendo 28 m o perímetro desse retângulo e 314 a razão entre suas dimensões. 450. A base de uma pirâmide é um losango de lado 15 dm. A face lateral forma com a base um Angulo de 45°. A maior diagonal da base mede 24 dm. Determine o volume da pirâmide.

A solução f - /0 não convém pois, sendo e == 10, o apótema m' resulta m' =,13 e o apótema da base m =
1-

_ 10~3
f

f T.1]

resulta m = 5 ~'3 e,

com isso, teremos a hipotenusa m' menor que o cateto m. Resposta: A aresta da base mede 2..J3 em.

453. Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular, sendo 20 em a medida de sua aresta lateral e 36.J3 em o perimetro do triângulo da base. 454. Consideremos uma pirâmide de base quadrada, em que uma aresta lateral é perpendicular ao plano da base. A maior das arestas laterais mede 6 em e forma um ângulo de 45° com a base. Calcule a área da base e o volume da pirâmide. 455. A água da chuva é recolhida em um pluviômetro em forma de pirâmide quadrangular regular. Sabendo que a água alcança uma altura de 9 em e forma uma pequena pirâmide de 15 em de aresta lateral e que essa água é vertida em um cubo de 10 em de aresta, responda: que altura alcançará a água no cubo? 456. Calcule a superfície lateral, a superfície total e o volume de uma pirâmide que tem por vértice o centro da face de um cubo de aresta a e por base a face oposta. 457. Uma pirâmide regular tem a base coincidente com uma das faces de um cubo de aresta a e é exterior ao cubo. Calcule a altura da pirâmide em função da aresta a do cubo, sabendo que o volume do cubo somado com o volume da pirâmide é 3a3 •

451. Calcule o volume de uma pírâmide triangular cuja base tem os lados medindo 12 em, 15 em e 9 em, a aresta lateral 12,5 em e sabendo que a projeção do vértice da pirâmide coincide com o circuncentro da base.
452. Calcule a aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 30 área lateral e 2 em a medida da aresta lateral.

f7

J3 em] a

Solução

v
F

v
E

A
F A
B

D

458. Um tetraedro regular SABe de aresta a é cortado por um plano que passa pelo vértice A e pelos pontos D e E situados respec[Ívamente sobre as arestas SB e Se.
B

!-r-/
Face

C

Sabendo que SD = SE ==

~

se, ache o volume da pirâmide ASDE.
V
~·B·h

Pirâmide
Af

Base

Solução

A

I

=

30 ~ 3 ". 6·
r-

(I fm' ) = 30 ~r:; 2' 3
= a 2 => (m')2+ 1200

10./3 ". t'm' = 1O,J3 ... m , = - f ~
=(lfi)2 ... 4(m')2+f 2 = 112 C
S

3

(I)

5

6VMC:(m')2+
4 ( ~f

(+f
= III

10 fi

)2 + i

2

='> - -

1'2

+ 1'2

= 112

==
J3

1'4-1121'2 + 1200 - O ou I' == 10.

B

a

C

Resolvendo a equação acima, obtemos: i = 2

B

206

.
I
1

~

207

PIRÂMIDE

PIRÂMIDE

Área da base: B -

~

(:). ( : ).

~
aJ3.J2
3

Chamemos de J-j, Vz e ltJ os volumes das pirâmides VABC, A VMP e AMPCB, respectivamente.

Altura: A altura de ASDE é a distância entre A e o plano SDE; então h é igual à altura do tetraedro regular de aresta a, isto é,
h =

a.J6
3

Substituindo B e h em (I), vem:

V

= ..l..
\

a<l1, . a.f2· Jg
64 '3

=-

Cálculo de h: Distância de A ao plano VBC. Área 6.VBC = J... (,SC)(VQ) =- Área .f:.VBC =' J.... 12.2 .f4l = 12 .f4lcm2 2 2 .
VI

459. Uma pirâmide quadrangular regular tem as arestas laterais congruentes às arestas da base. Determine a área da secção obtida nesse poliedro por um plano que passa pelo vértice e pelos pontos médios de dois lados opostos da base, sendo a a medida das arestas laterais. 460. Os lados da base de uma pirâmide triangular são AB = 20 em, BC = 12 cm e AC == 16 em. As três arestas laterais são VA = VB = VC = 10..]2 em. Faz-se passar um plano secante pelo vértice A e pelos pontos médios Me P das arestas. VB e VC, respectivamente. Calcule os volumes das pirâmides de vértice A e de bases VMP e MPCB, respectivamente.

== -1
3
h

1 (Área LWBC) . h ...... - . 12~41 . h == 320 3

=-

=$

==...l1!L

4J4i
Ví:

=>

h

==

-ªº- em
J4:i

Cálculo de

Área f:. VMP "" V2

I

4

. (Área 6 VBC)

.

=-

Área f:. VMP = 3..J41 cm 2

~

Solução

! ="3 (Área f:. VMP) . h =-

V? ::: 1..- . 3 .f4l. ,,41. V 2 ~~ 3

=-

= 80 cm 3

v

v
v
Cálculo de
V3
B
:::

ltJ:
=V3 == 320 - 80

VI - VI

=-

V3 = 240.

Resposta: Os volumes são respectivamente 80 em 3 e 240 em].
A~~--

461. Calcule a área da secção determinada em um tetraedro regular, por um plano que contém uma aresta do tetraedro e é perpendicular à aresta oposta, sabendo que a área total do tetraedro vale 6413 m2 •

c

(VO)2

=

(I0./2)2-1()l VO = 10

(VQ)2 = (10 J2)2 - 62

VQ =

2m

462. Seja um triedro de vértice S, cujos ângulos das faces medem 60°. Tomamos SA = a e pelo ponto A traçamos um plano perpendicular a SA, que corta as outras arestas em B e C. Calcule as arestas do tetraedro SABC, sua área total e seu volume.
209

208

....

PIRÂMIDE

PIRÂMIDE

463. A base de uma pirâmide de vértice V é um hexágono regular ABCDEF, sendo A B = 6 em. A aresta lateral VA é perpendicular ao plano da base e igual ao segmento AD. Prove que quatro faces laterais são triângulos retângulos e ache as suas áreas. Solução
\j

464. Calcule o volume de uma pirâmide regular de altura h, sabendo que essa pirâmide tem por base um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é mr e a relação entre a superfície lateral e a área da base é k. 465. Se K é a medida da aresta de um tetraedro regular, calcule a altura do tetraedro em função de K. 466. A base de uma pirâmide reta de altura 3r é um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio r. Determine o volume da pirâmide.

F

E

467. Seja ABCD um tetraedro regular. Do vértice A traça-se a altura AH. Seja Mo ponto médio do segmento AH. Mostre que as semi-retas MB, MC e MD são as arestas de um triedro tri-retângulo.

A

o

o

468. A figura é a planificação de um poliedro convexo (A = B = C = D; E '" F). Calcule seu volume.

a) Prova de que quatro faces laterais são triângulos retângulos:
. VA .1 plano (ABCDEF)
=>

o

[VA .1 AB VA J. AF

=> =>

f::,VAB é retângulo em A . 6. VAF é retângulo em A CD .1 plano (VAC) 6. VCD é retângulo.
=>

C pertence à circunferência de diâmetro AD

=>

~~ ~ ~g]
E.

=>

Aml.logamente, 6 VED é retângulo em
b) Cálculo das áreas:

1~)

Os triângulos VAB e VAFtêm área igual a

~

. 6·12 = 36 em

2

469. Seja A BCDEFGH um cubo no qual AB, AC, AD, EF, EG, EH são seis de suas 12 arestas, de sorte que A e E são vértices opostos. Calcule o volume do sólido BCDFGH em termos do comprimento f das arestas do cubo.
•

F

\

\ \
\

,

I

2~) Os triângulos

VCD e VED têm áreas S iguais.

\' ";4,,.....
A

-

Cálculo de S:

S =

-4- (CD) . (VC)
=- (ACf =- (VC)2

=12 2

S
-

= 3 . (VC)
62

(1)

6.ACD
6VAC

=-

(AC)2 = 108

470. É possível construir uma pirâmide regular de 7 vértices com todas as arestas congruentes, isto é, da mesma medida? Justifique.
VC

(VA)2 => (VC)2 = 252

=-

Substituindo em (1), vem:

S=3·6n..-S

471. Calcule o volume de uma pirâmide P I quadrangular regular, dado o volume de uma pirâmide P2 igual a 48 m3 e sabendo que a base de P I é formada pelos pontos médios das arestas da base de P 2 , e cujo vértice é um ponto pertencente à altura de P2 , estando esse ponto situado a 1I3 do vértice de P2.
211

210

PIRÂMIDE

PIRÂMIDE

472. Na figura, a pirâmide regular de base ABCD e altura VH possuí todas as arestas medindo 4 m. Sabendo que J-í é ponto médio de VH e que M, , M 2 , M J e M. são pontos médios dos lados da base ABCD, forneça: a) o valor do lado MIM]; b) a área do polígono M,M2 M 3 M.; c) o volume da pirâmide ~M,M2M3M.. A

v

481. Demonstre que os segmentos que unem os vértices de uma pirâmide triangular com os barícentros das faces opostas se inter.ceptam em um ponto e se dividem por esse ponto na relação 1/3. 482. Obtenha um ponto do interior de um tetraedro que, unido aos quatro vértices, determine quatro tetraedros equivalentes.

c

483. Consideremos um tetraedro ARCD e um ponto P em seu interior. Traçamos AP, BP, CP e DP, que cortam as faces opostas em M, N, R e Q. Demonstre que:
PM AM

+

PN BN

+ PR +...f.Q..
CR DQ

= 1.

473. Na pirâmide ARCDE, a base é um retângulo de 6 m por 4 m. A aresta DE é a altura e mede 8 m. Prove que as quatro faces laterais são triângulos retângulos e calcule a área total da pirâmide. 474. Entre o volume V, a área lateral A, a área total S de uma pirâmide quadrangular regular existe a relação: 36 yZ = S (S - A) (2A - S).
475. Prove que o volume de um tetraedro ABCD é a sexta parte do produto da menor distância entre duas arestas opostas AB, CD, pela área do paralelogramo cujos lados são iguais e paralelos a essas arestas.
476. Prove que o volume de um tetraedro é igual à terça parte do produto de uma aresta pela área do triângulo, projeção do sólido sobre um plano perpendicular a essa aresta.

484. Se dois tetraedros têm um triedro comum, seus volumes são proporcionais aos produtos das arestas desse triedro.
1 1 1 AM + AN + AQ ':" cte.
"",.;
• , ••• " '. ~ • I

Solução

,'"

5

• Sejam S{AJB,C,) e S(Afi]C2 )cis tetraedros com o triedro S comum.

CPí ~. altura relativa à face SA ,B l'
'....

477. Todo plano conduzido por uma aresta de um tetraedro e pelo ponto médio da aresta oposta divide o tetraedro em duas partes equivalentes.
478. Sejam a, b, c as arestas do triedro tri-retângulo de um tetraedro e h a altura relativa ao vértice desse triedro. Demonstre que:

C2Cí = altura relativa à face SA:lJ2 . H =' altura de SA}B1relativa aSA,
h= altura de SAfi2 relativa ti SA]
,

.

.' .'

..

'i' '.' .'. ' ' ..'. 3" (Área SA1B.)· C.Cj
------"""-=
Volume S(A BC) -

..!.. ,(Área SA2B2). •' C c' 3

479. Consideremos um triedro tri-retângulo ABCD de vértice A, um ponto P interior, cujas distâncias às faces ABC, ARD, ACD são a, b, c, e pelo ponto P façamos passar um plano que corta as arestas AR, AC, AD em M, N, Q.
a) Demonstre que AOQ

=

~V2 -

1 . -3 (SAI)' H . CjCí

+ A~ + A~

=

1 e reciprocamente.

..L (SA z) • h . CzCí 2

b) Como deve ser escolhido esse plano para que o volume do tetraedro AMNQ seja mínimo? 480. Prove que o plano bissetor do ângulo diedro de um tetraedro divide a aresta oposta em segmentos proporcionais às áreas das faces do diedro.
212

Substituindo!!- e C1Cí , vem: h C 2Ci

213

I
PIRÂMIDE

-

;

...

:

$

;

"

:

.. {;t

485. Seja uma pirâmide triangular regular ABCD e um ponto P situado na sua altura AH. Por esse ponto passamos um plano qualquer que intercepta as arestas do triedro de vértice A, sendo M, N, Q os pontos de interseção; então: 486. A base de uma pirâmide é um paralelogramo. Determine o plano que a divide em dois sólidos de iguais volumes, sabendo que esse plano contém um dos lados da base. 487. Prove que, em todo tetraedro de arestas opostas ortogonais: a) os produtos das arestas opostas estão na razão inversa das mais curtas distâncias entre essas arestas; b) as somas dos quadrados das arestas opostas são iguais e a soma dos quadrados dos produtos das arestas opostas é igual a quatro vezes a soma dos quadrados das quatro faces; c) a soma dos seis diedros e dos doze ângulos formados pela interseção de cada aresta com as duas faces que ela corta é igual a doze ângulos retos. 488. Mostre que a secção obtida da interseção de um plano com um tetraedro é um paralelogramo. 489. Prove que a soma dos volumes das pirâmides que têm por bases as faces laterais de um prisma e por vértice comum um ponto O qualquer interior a uma das bases é constante. Calcule o valor dessa constante, se o volume do prisma é V. 490. Consideremos um triedro de vértice Pe sobre suas arestas os segmentos PA = a, PB = b, PC = c, de maneira que a área lateral da pirâmide PABe seja igual a 3 d 2 • Determine as medidas de a, b, c, de modo que o volume dessa pirâmide seja máximo sabendo que BCP = a, CPA = (3 e APB = <p. 491. Em um tetraedro: a) a soma dos quadrados de dois pares de arestas é igual à soma dos quadrados das arestas opostas do terceiro par mais quatro vezes o quadrado da distância entre os pontos médios destas duas últimas arestas; b) a soma dos quadrados das seis arestas é igual ao quádruplo da soma dos quadrados dos três segmentos que unem os pontos médios das arestas opostas. 492. Se um tetraedro tiver três faces equivalentes, a reta que une o vértice comum a essas três faces ao ponto de concurso das medianas da face oposta estará igualmente inclinada sobre os planos dessas três faces e reciprocamente. 493. Seja um triedro de faces iguais, e consideremos os segmentos AM = AN = =: AP = a, todos partindo do vértice A. Qual deve ser o valor comum do ângulo dessas faces para que: a) a superfície lateral do tetraedro AMNP, de base MNP, seja máxima? b) o volume desse tetraedro seja máximo?
214

CAPÍTULO X

Cilindro
I. Preliminar: noções intuitivas de geração de superfícies cilíndricas
187. Superjfcies regradas desenvolvÍvás cilíndricas são superfícies geradas por uma reta g (geratriz) que se mantém paralela a uma reta dada r (direção) e percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz).
9 #r

São superfícies regradas por serem geradas por retas e desenvolvidas por poderem ser aplicadas, estendidas ou desenvolvidas num plano (planificadas) sem dobras ou rupturas.

188.

Como exemplos, temos: • se a diretriz é uma reta não paralela a r, a superfície cilíndrica gerada é um plano. • se a diretriz é um segmento de reta não paralelo a r, a superfície cilíndrica gerada é uma faixa de p/ano. • se a diretriz é um pollgono (linha poligonal fechada), cujo plano concorre com r, a superfície cilíndrica gerada é uma superfiCie prismática ilimitada.
215

CILINDRO

CILINDRO

• se a diretriz é uma circunferência cujo plano concorre com r, a superfície cilíndrica gerada é uma superfície cilíndrica circular. E, ainda: se o plano da circunferência é perpendicular a r, temos uma superflcie ciltndrica circular reta.

190. Consideremos um circulo (região circular) de centro O e raio r e uma reta
s nâo paralela nem contida no plano do círculo.
Chama-se cilindro circular ilimitado ou cilindro circular indefinido à reuniâo das retas paralelas a s e que passam pelos pontos do círculo.

s

(~/
Plano Faixa de plano

11. Cilindro
191. Definição
Consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r, situado num plano a, e um segmento de reta PQ, não nulo, não paralelo e não contido em a. Chama-se cilindro circular ou cilindro à reunião dos segmentos congruentes e paralelos a PQ, com uma extremidade nos pontos do círculo e situados num mesmo semi-espaço dos determinados por a. Podemos também definir o cilindro comO segue.

Superfície prismática cilíndrica de rotação ou revolução é uma superfície gerada pela rotação (ou revolução) de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo), fixa, sendo a reta g paralela e distinta da reta e. Considera-se que cada ponto da geratriz descreve uma circunferência com centro no eixo e cujo plano é perpendicular ao eixo. A superfície cilíndrica de revolução de eixo e, geratriz g e raio r é o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância dada (r) de uma reta dada (e).
216

Superfícíe cilíndrica circular

189.. Superfi'cie

a essas secções.

192. Cilindro é a reunião da parte do cilindro circular ilimitado, compreendida entre os planos de suas secções circulares paralelas e distintas em relação

217

I:'::::::::::::::::i::::::::::::':::::':::=====:::13=:~H:~C\::'i.=ii:~,y.~; :.. :.::::::.::::.,:>:::.:.. :::.,;:.:j:.,::::;::::::;.::.:a:·: .
CILINDRO

t:::::::·:.

::::::::::31
CILINDRO

193. Elementos

Cilindro oblíquo
I

Cilindro reto

Cilindro de revolução

o cilindro possui:
2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos (as secções citadas acima). Geratrizes: são os segmentos com uma extremidade em um ponto da circunferência de centro O e raio r e a outra no ponto correspondente da circunferência de centro O' e raio r.

f

cb

e

~T
h (altural

T
h

-t
/...

eiXo~
p
base

_1

-- j---" '
....

.0 1

T
h

r é o raio da base.

o eixo de um cilindro é a reta determinada peJos centros das bases.
197. Secção meridiana
Secção meridiana é a interseção do cilíndro com um plano que contém a reta 00' determinada pelos centros das bases. A secção meridiana de um cilindro oblíquo é um paralelogramo e a secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo.

194. A altura de um cilindro é a distância

h entre os planos das bases.

195. Superfícies
Superjk:ie lateral é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por AI' Superjicie total é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. A área dessa superfície é a área total e indicada por A/,

2r

Cilindro reto

Secção meridiana

196. Classificação
Se as geratrizes são oblíquas aos planos das bases, temos um cilindro circular oblfquo. Se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases, temos um cilindro circular reto.

198. Cilindro equilátero
Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado; portanto, apresenta:

h = 2r

T
219

g

h

2r.

1

o cilindro circular reto é também chamado cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um dos seus lados.
218

I

q

...

'"

.;

.;::

=
r

..

::

..

....

,.~."

;:-.
...

~""", ;

:;:: .

:

.'.

"'::

)

,

}j

CILINDRO

CILINDRO

111. Áreas lateral e total
199. Área lateral
A superfície lateral de um cilindro circular reto ou cilindro de revolução é equivalente a: um retângulo de dimensões 21rr (comprimento da circunferência da base) e h (altura do cilindro). Isso significa que a superfície lateral de um cilindro de revolução desenvolvida num plano (planificada) é um retângulo de dimensões 21rr e h.

Suponhamos que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano a e estão num dos semi-espaços determinados por a.

T
ih
h

Portanto, a área lateral do cilindro é

Qualquer plano (3 paralelo a a, que secciona o cilindro, também secciona o prisma e as secções (B; e B;, respectivamente) têm áreas iguais, pois são congruentes às respectivas bases.

Nota: A dedução mais rigorosa desta fórmula encontra-se no final do capítulo XII, no item 230. iguais.

Então, pelo princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes

200. Área total
A área total de um cilindro é a soma da área lateral (Ar) com as áreas das duas bases (B = 1fr); logo:

,vcilindro =

V prisma

AI

= Ar + 28 =>

AI

= 211"rh + 211"[2

,
=l

superfície lateral

T
h

Corno Vprisma ou resurrúdamente:

=

BJ. h, ou seja, Vprisma

= B . h, vem que Vdiill<1rQ

=

B . h;

= to AI ~o2íTr_~h _~tr) ':.1

L-----,.~---Jl

I

~hr~

(b;;J

I
Conclusão:

IV. Volume do cilindro
201. Consideremos um cilindro de altura h e área da base B}
= B e um prisma de altura h e área da base B] = B (o cilindro e o prisma têm alturas congruentes e bases equivalentes).
220

o volume de um cilindro é o produto da área da base pela medida da altura.
Se B

= 1rr,

temos: [. V.

=

1rr 2 h

J
221

.~-,~(;s.-'-}-·.~~\T0~~\~~~"?: 't:.~:-'·~";t;~J{~~T~~i;,;f;':.À~~'w;·;.\~71iS;:I:'~,=~~~::;;:~~:~~~:~<o~~w~1;;?f,~;~~~~~~~,w~#~;rr:',1"~~~i:-~.::~.'.)~'tf.~~fr.~~~~~~~~~~"'<-~~'~~·:t~~,!f.~~'%-~~~~~~~~~if'~
~.

u'"

"-.; .

CILINDRO

CILINDRO

EXERCÍCIOS
494. Calcule a área lateral, a área total e o volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo.

498. Calcule a medida da área lateral de um cilindro circular reto, sabendo que o raio da base mede 4 em e a geratriz 10 em. 499. O raio de um cilindro circular reto mede 3 em e a altura 3 em. Determine a área lateral desse cilindro.
500. Determine o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral de um cilindro equilátero de raio r. 501. Demonstre que, se a altura de um cilindro reto é a metade do raio da base, a área lateral é igual à área da base. 502. Um cilindro tem 2,1 em de altura e 0,4 em deraio da base. Calcule a diferença entre a área lateral e a área da base. 503. Qual a altura de um reservatórío cilíndrico, sendo 150 m o raio da base e 900 7r m2 sua área lateral? 504. Constrói-se um depósito em forma cilíndrica de 8 m de altura e 2 m de diâmetro. Determine a superfície total do depósito. 505. Calcule a medida do raio da base de um cilindro equilátero, sabendo que sua área total mede 30011" em2 e a geratriz 40 em.

a) cilindro equilátero

b) cilindro reto

c) semicilindro reto

2cm

T 1

2,5cm

T 1

1---+1 lcm
, 495. Represente através de expressões algébricas a área lateral, a área total e o volume dos cilindros cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo.

506. Determine a medida da geratriz de um cilindro reto, sendo 2507r em 2 a medida de sua área lateral e 10 em o raio de sua base.
507. A área lateral de um cilindro de 1 m de altura é 16 m 2 • Calcule o diâmetro da base do cilindro. 508. Calcule a área lateral, a área total e o volume de um cilindro equilátero de raio igual a r.
+

a) cilindro equilátero

b) cilindro reto

c) semicilindro reto

2x

T

T
7r
2

1

;-----, 1

T
2a

1

Solução a) área lateral

496. Calcule o volume do cilindro oblíquo da figura ao lado em função de g.

h

AI = 27rrh J
= 2r
=>

AI
AI

= hr·

2r

= 47rr 2
A,

b) área total

A,
B

= AI
="ll"r 2

+ 2B)

=>

.

;'

...

A,

-_·-cr·_··~ I

1 1

h = 2r

c) volume

497.

V = 7rr2 h

=>

V

222

223

::=
CILINDRO

tI.;:

usa

CILINDRO

509. Determine a área lateral de um cilindro equilátero, sendo 15 em a medida de sua geratriz. 510. Calcule a área total de um cilindro que tem 24 em de diâmetro da base e 38 em de altura. 511. Determine a medida do raio de um círculo cuja área é igual à área total de um cilindro equilátero de raio r. 512. Determine a área lateral e o volume de um cilindro de altura 10 em, sabendo que a área total excede em 50 em 2 sua área lateral. 513. Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço que tem 10 m de diâmetro e 15 m de profundidade? 514. Um vaso cilíndrico tem 30 dm de diâmetro interior e 70 dm de profundidade. Quantos litros de água pode conter aproximadamente? 515. O raio interno de uma torre circular é de 120 em, a espessura 50 em e o volume 145 11" m 3 • Qual é a altura da torre? 516. Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de 30 em. A água colhida pelo pluviômetro depois de um temporal é colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 20 11" em. Que altura havia alcançado a água no pluviômetro, sabendo que no recipiente alcançou 180 mm? 517. Qual o valor aproximado da massa de mer,cúrio em quilogramas, necessária para encher completamente um vaso cilíndrico' de raio interno 6 em e altura 18 em, se a densidade do mercúrio é 13,6 glem 3 ?

519. O que ocorre com o volume de um cilindro quando o diâmetro da base dobra? E quando quadruplica? E quando fica reduzido à metade?

520. Determine o volume de um cilindro de revolução de 10 em de altura, sendo sua área lateral igual à área da base. 521. Determine o volume de um cilindro reto, sabendo que a área de sua base é igual
à sua área lateral e a altura igual a 12 m.

522. O desenvolvimento da superfície lateral de um cilindro é um quadrado de lado a. Determine o volume do cilindro.
523. Determine a altura de um cilindro reto de raio da base r, sabendo que é equivalente a um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e e.

524. A altura de um cilindro reto é igual ao triplo do raio da base. Calcule a área lateral, sabendo que seu volume é 46875 11" em 3 . 525. Qual é a altura aproximada de um cilindro reto de 12,56 em 2 de área da base, sendo a área lateral o dobro da área da base?

526. Determine a área lateral de um cilindro reto, sendo S a área de sua secção meridiana.

527. Determine a razão entre a área lateral e a área da secção meridiana de um cilindro reto. 528. Calcule a área lateral de um cilindro equilátero, sendo 289 em 2 a área de sua secção meridiana. 529. Determine o volume de um cilindro reto de raio r, sabendo que sua área total é igual à área de um círculo de raio 5r. 530. Determine a área total de um cilindro. sabendo que a área lateral é igual a 80 em] e a sua secção meridiana é um quadrado.

".

v

·V = V ""

7rf

2

11"'

h 62

•

18

'Ir'

36· 18

:=:

648

11"

~m3.

531. Determine a área total de um cilindro equilátero, sendo S a área de sua secção meridiana. 532. Qual a razão entre a área total e a área lateral de um cilindro equilátero? 533. Uma pipa cilíndrica tem profundidade de 4,80 dm. Determine a medida do seu diâmetro, sabendo que a sua capacidade é de 37680 litros. (Adote 11" = 3,14.) 534. A altura de um cilindro é os 513 do raio da base. Determine a área da base desse cilindro, sendo 64 11" em] sua área lateral. 535. A área total de um cilindro de raio r e altura h é o triplo da área lateral de um outro cilindro de raio h e altura r. Calcule r em função de h.
225

b) Densidade
d =...!!!... =- 13 6 = ~ => m = 8 812,811" V ' 64811" m == 8812,8 . 3,14 = 27672, 192 == 27672,2 g == 27,672 kg

518. Calcule a área lateral, a área total e o volume de um cilindro reto de 5 em de . raio, sabendo que a secção meridiana é equivalente à base.
224

I",'
CILINDRO

.~.

•
CILINDRO

'l

536. Se a altura de um cilindro reto é igual ao raio da base, então a superfície lateral é igual à metade da superfície totaL

537. Calcule o raio da base de um cílindro reto em função do seu volume Veda sua
área lateral A(.

I
f,

546. Multiplica-se por k a altura e o raio de um cilindro de revolução. Como se modifica a sua área lateral?

547. Determine a área lateral de um cilindro, sendo 150
do que sua altura mede o triplo do raio da base.

1(

em2 sua área total e saben-

538. Calcule a área lateral de um cilindro de revolução, conhecendo seu volume Ve seu raio da base r.

548. Calcule a área lateral de um cilindro reto, sendo 12 m2 sua área total e o raio / /5 da altura. 549. Determine a medida da altura de um cilindro reto de raio da base igual a 5 em, sendo sua área total igual a 50 vezes a área de um circulo cujo raio tem medida igual à altura do cilindro.

539. Determine a área lateral, a area total e o volume de um cilindro equilátero de
altura h.

540. Num cilindro de revolução com água colocamos uma pedra. Determine o volume dessa pedra, se em virtude de sua imersão total a água se elevou 35 em, sendo 50 em o raio da base do cilindro. 541. O desenvolvimento de uma superfície cilíndrica de revolução é um retângulo de 4 em de altura e 7 em de diagonal. Calcule a área lateral do cilindro. 542. Determine a área lateral de um cilindro reto de 30 1r em2 de área total, sendo o raio da base 3/2 da medida da altura do cilindro.
:"

550. O volume de um cilindro de revolução é igual ao produto da área total pela quarta parte da média harmônica entre o raio e a altura. (Nota: Média harmônica entre dois números é o inverso da média aritmética dos inversos desses números.)

551. Determine o raio da base de um cilindro equilátero, sabendo que a área lateral excede em 4 ". em 2 a área da secção meridiana.
552. Quanto se deve aumentar o raio da base de um cilindro reto de raio r e geratriz g, de modo que a área lateral do segundo cilindro seja igual à área total do primeiro?
553. Com uma folha de zinco de 5 m de comprimento e 4 m de largura podemos construir dois cilindros, um segundo o comprimento e outro segundo a largura. Determine em qual dos casos o volume será maior. 554. Com uma prancha retangular de 8 em de largura por 12 em de comprimento podemos construir dois cilindros, um segundo o comprimento e outro segundo a largura. Determine em qual dos casos o volume :será menor.
555. Um cilindro de revolução de raio da base r e um semicilindro de revolução de raio da base R são equivalentes e têm áreas laterais iguais. Calcule a relação entre

.....
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Sendo r o raio da. base e h a altura; temos:

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14

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A t = 12~.

Solução

em

2

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VA = iTr h
AliA;
=

543. Determine a medida da altura e do raio de um cilindro reto, sendo 9/5 sua razão, nessa ordem, e 270 11" em 2 a área lateral. 544. Calcule a área lateral de um cilindro, sabendo que a base está circunscrita a um hexágono regular de 30 em de perímetro e cuja altura é o dobro do raio da base.
545. Determine a medida da altura de um cilindro de 30 de volume.
226
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21rrh

T
h

1
Sólido A

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r
22:7

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retângulo

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Sólido B

AtIB ) == RH ('R' + 2)

1

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r

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CILINDRO

!
CILINDRO
',f

V A == V B ==>

'llT2h

==

-.L 1I"R2H 2,

==>

(1)

565. Com uma folha de cartolina em forma retangular, de base f e altura h, construímos a superfície lateral de um cilindro de altura h e volume V. Calcule r em fun· ção de h e V.

AtA == Ata' ==>2nh == RH (11" + 2) . 2h' . 2 r .' R (I) + (2) ~ ~ == R H ~ == - " - R H (11" + 2) " 27l"rh 7l" + 71' + 2"

~
y

-

r·

R,

"" - - - ,, 1f + 2

11"

566. Determine a área total Ar de um cilindro reto, em função do seu volume Ve da sua altura h.

556. Um cilindro de revolução é dividido em dois semicilindros. Sendo 20 11" em 2 sua área da base e 8 em sua altura, determine a área total do semicilindro.

567. Calcule o raio, a altura e a área total de um cilindro circular reto que tem volume igual ao de um cubo de aresta a e área lateral igual à área da superfície do cubo.

557. Determine a altura de um cilindro reto em função da àltura h de um semicilindro,
sabendo que as áreas laterais são iguais e as bases equivalentes.

558. Calcule a altura de um cilindro em função de sua área lateral A e e da área da
base B.

559. Calcule o raio da base de um cilindro de área total 1ft? e altura h. 560. A geratriz de um cilindro oblíquo mede 8 em e forma um ângulo de 45 ° com a base, que é um círculo de 3 em de raio. Calcule o volume do cilindro. 561. Calcule o volume de um cilindro cujo raio da base mede 5 em, sabendo que as geratrizes de 15 em formam com o plano da base um ângulo de 60°. 562. Quanto se deve aumentar a geratriz de um cilindro reto para que a área total do novo cilindro seja o triplo da área lateral do primeiro? 563. Dois cilindros têm a mesma área lateral e raios de 9 em e 12 em. Calcule a reÍação entre seus volumes e a relação entre suas áreas totais, sabendo que a altura do primeiro é 10 em. 564. A diferença entre a área da base e a área lateral de um cilindro de raio, e altura h é igual à área de um círculo de raio h. Calcule a medida de r em função de h.
Solução Dado: h. B - Ai ==
==> Acírculo ==>

Área total: A(==Af
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1f)<i2

Resposta: r"" - ' h 3}

a~:ji9a i'i;i 4'i'2,i 'i '-i- , A t = - (27 1f iii i 9 'ii

=

568. Determine a razão entre o volume de um cilindro reto e um prisma triangular regular, sendo a área lateral do cilindro igual à área lateral do prisma e o raio
do cilindro
O

dobro da aresta da base do prisma.

569. Um prisma quadrangular regular e um cilindro circular reto têm mesma altura e mesmo volume. Sabendo que a área lateral do prisma é 2 fi em 2 , cal.
11'

cule a área lateral do cilindro. Pede-se: ,. 1I'r
2 -

570. Determine a razão entre a área lateral de um cilindro reto e a área lateral de um
-

27l"r h == 1I'h2 ==> r 2

2hr - h2 == O (resposta)

=o.

semicilindro, sabendo que seus volumes e suas alturas são iguais.

r

==>

r '= (1 + 12)h ou [ r == (l - J2)h

571. Determine a relação entre os volumes de dois cilindros retos, sabendo que suas áreas laterais são iguais e seus raios são, respectivamente, R e r.

(esta não convém)

Resposta: r = (l

+

J2) h.

572. Dados dois cilindros com altura igual a 5 em, a diferença entre os volumes é igual a 400 7l" errr e a diferença entre os raios é igual a 8 em. Determine o raio do cilindro de maior volume.
229

228

: :CILINDRO

:,.
I I

:

f;

•

L ..

··ti
CILINDRO

t

573. Dão-se as áreas totais 1811" m2 e 32 11" m2 de dois cilindros. Cada um tem por raio e por altura, respectivamente, a altura e o raio do outro. Determine os dois volumes. 574. Calcule a altura de um cilindro circular reto em função de sua área total 2 e sua área lateral 2 11" A.
11"

579. Dentre os cilindros de revolução abertos em uma das bases, de área total 2 'lra2 , determine o raio da base e a altura daquele de volume máximo. 580. Dentre os cilindros de revolução equivalentes, determine o raio da base e a altura daquele de menor área total. 581. Determine o volume de um cilindro de revolução em função de sua área total2'1rS e sua área lateral 2 11" A . 582. Trace um plano paralelo à base de um cilindro de raio r e altura h, de modo que a base seja média proporcional entre as duas partes em que fica dividida a super· fície lateral. 583. Um suco de frutas é vendído em dois tipos de latas cilíndricas: uma de raio r cheia até a altura h e outra de raio r/2 e cheía até a altura 2h. A primeira é vendida por CRI 3,00 e a segunda por CRI 1,60. Qual a embalagem mais vantajosa para o comprador? 584. Um cilindro circular reto tem raio de base R e altura H.A média harmônica entre R e H é 4. A área total do cilindro é 5411". Calcule o volume do cilindro e suas áreas da base e lateral. 585. Um produto é embalado em latas cilíndricas (cilindros de revolução). O raio da embalagem A é igual ao diâmetro de B e a altura de B é o dobro da altura de A. Assim, 'l' C1 m d ro A [altura h b . ralO d a ase 2R CT d B [altura 2h 1 m ro raio da base R
(B)

S

575. Calcule o volume de um cilindro de revolução de raio igual a 5 dm, sabendo que esse cilindro cortado por um plano paraielo ao eixo e a uma distância de 3 dm desse eixo apresenta uma secção retangular equivalente à base.

I

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Área do retângulo
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Área da base "~ 8h ,=
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Volume: V= B, h
.. 625 Resposta: -811"2

.'y' .'625 1 "2. :, .. Y =' 11" 52"25. "-'-7f~' . 8 .,.='~. - 7 8

IA)

dm 3 •

a) As embalagens são feitas do mesmo materíal (mesma chapa). Qual delas gasta mais material para ser montada? b) O preço do produto na embalagem A é CR$ 780,00 e na embalagem B é CR$ 400,00. Qual das opções é mais econômica para o consumidor, supondose as duas latas completamente cheias? 586. Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio r, dispostos corno indica a figura, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível.

576. Um cilindro equilátero de raio da base r é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo e a uma distância d desse eixo. Calcule a medida da distância d, se a área da secção do plano com o cilindro é igual à área da base do cilindro. 577. Um plano secciona um cilindro paralelamente ao eixo e forma um arco de 60° com a base do cilindro. A altura do cilindro é de 20 em. Determine a área da secção, se a distância do plano ao eixo é de 4 em. 578. Dentre os cilindros de revolução de área total 2 e a altura daquele de maior volume.
230
1f

a2, determine o raio da base

231

IC'::::.:.:,.::::::::::::::::::,:::::::::,::::::::::.::::: .::::::::::·:'·::f:····~t:.~ . .. :.~..r~.

,
j

:..• ·:::t:,:::.:.::.:1::::::::::::::::::·:.:. .:..:.:.:. :.:::::::::..::::::::.::::':::'::::1:::::11
CAPÍTULO XI

CILINDRO

587. Começando com um cilindro de raio 1 e altura também l, define-se o procedi-

mento de colocar sobre um cilindro anterior um outro cilindro de igual altura e raio 2/3 do raio do anterior. Embora a altura do sólido fictício resultante seja infinito, seu volume pode ser calculado. Faça esse cálculo. 588. Uma garrafa de vidro tem a forma de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura 4 em e raios das bases R e r, respectivamente.

I

Cone
Se o volume V(x) de um líquido que atinge uma altura x da garrafa se expressa segundo O gráfico a seguir, quais os valores de R e de r?

I. Preliminar: noções intuitivas de geração de superfícies cônicas
202. Superficies regradas desenvolviveis cônicas são superfícies geradas por uma reta g (geratriz) que passa por um ponto dado V (vértice) e percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz).. com V fora de d.

x{em)

589. O sólido da figura foi obtido seccionando um cilindro circular reto de la em de altura por um plano perpendicular às bases. Calcule o volume desse sólido.

\

203. Como exemplos, temos:
• se a diretriz é uma reta, a superfície cônica gerada é um plano menos a reta paralela à diretriz. ' • s~ _a diretriz. é ~m segmento de reta, a superfície cônica gerada é a reumao de dOIS angulos (setores angulares) opostos pelo vértice. • se a ~iretriz,é ~ma linha poligonal fechada (polígono) cujo plano não contem o vertlce (V), a superfície cônica gerada é a reunião de duas superfícies de ângulos poliédricos (superfícies poliédricas ilimitadas ou superfícies de pirâmides ilimitadas) opostas pelo vértice.
233

1-1-1\
I3 cmI3 em

590. Um sólido S está localizado entre dois planos horizontais IX e {3 cuja distância é 1 metro. Cortando o sólido por qualquer plano horizontal compreendido entre IX e (3 obtém-se como secção um disco de raio 1 metro. a) Pode-se garantir que o sólido S é um cilindro? Por quê? b) Calcule o volume de S.
232

CONE

CONE

• se a diretriz é uma circunferência cujo plano não contém o vértice. a superfície cênica gerada é uma superfície cênica circular (de duas folhas). • se a diretriz é uma circunferência de centro O e a reta VO é perpendicular a seu plano. a superfície cônica é uma superfície cônica circular reta (de duas folhas).

204. Superfície c6nica de rotação ou
revolução é uma superfície gerada pela rotação (ou revolução) de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo), fixa, sendo a reta g oblíqua ao eixo e. O vértice (V) é a interseção das retas g e e.
(Vj

Considera-se que cada ponto da geratriz (com exceção de V) descreve uma circunferência com centro no eixo e cujo plano é perpendicular ao eixo. Plano. menos a paralela a d por V
I

I

Reunião de dois ângulos opostos pelo vértice

A superfície cônica de revolução acima citada é,dita de segunda espécie. Ela possui duas folhas. Se a geratriz é uma semi-reta
(Vg), oblíqua ao eixo (e) e de origem (V)

.
'

nele, temos uma superfície cônica de primeira espécie. É a mais comum; possui uma folha .

""
I

I

Reunião de duas superfícies piramidais indefinidas (superfície de uma pirâmide ilimitada de segunda espécie)

205. Cone circular ilimitado
Consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r e um ponto V fora de seu plano. Chama-se cone circular ilimitado ou cone circular indefinido à reunião das semi-retas de origem em Ve que passam pelos pontos do círculo

Superfície cônica circular
234

Superfície cônica circular reta

1_

i

235

CONE

CONE

11. Cone
206. Definição
Consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r situado num plano a e um ponto V fora de a. Chama-se cone circular ou cone à reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em Ve a outra nos pontos do círculo. Podemos também definir o cone como segue.

211. Classificação
Os cones podem ser classificados pela posição da reta VO em relação ao plano da base: Se a reta VO é oblíqua ao plano da base, temos um cone círcular oblfquo. Se a reta VO é perpendicular ao plano da base, temos um cone circular
reto.

O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos.

/

Cone é a parte do cone ilimitado que contém o vértice quando se divide este cone pelo plano de uma secção circular, reunida com esta secção.

207.

I
raio da base base

Cone oblíquo

Cone reto

Cone de revolução

208. Elementos
O cone possui:
uma base: o círculo de centro O e raio r ou a secção citados acima. geratrizes: são os segmentos com uma extremidade em Ve a outra nos

O eixo de um cone é a reta detenninada pelo vértice e pelo centro da base. A geratriz de um cone circular reto é também dita apótema do cone.

vértice:

pontos da circunferência da base. o ponto V citado acima.

212. Secção merídíana
É a interseção do cone com um plano que contém a reta VO. A secção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um triângulo isósceles.

v

r é o raio da base.

209.

A altura de um cone é a distância entre o vértice e o plano da base.

210. Superfícies
Superjk:ie lateral é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por A/. Superjk:ie total é a reunião da superfície lateral com O círculo da base. A área dessa superfície é chamada área total e indicada por AI'
236

Cone reto

Secção meridiana
237

CONE

CONE

213. Cone equilátero
É um cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero.
g

b) A área de um setor circular é dada pela fórmula da área de um triângulo: Asetor

=

1-

(comprimento do arco) . (raio)

=

2r

h

= r13

Assim,

A,

=

1 T'

2'11"r· g

=>

L' Á~'.~
~.

fi

•

IH. Áreas lateral e total
214.
I.

Nota: A dedução mais rigorosa desta fórmula encontra-se no final do capítulo XII, no item 232.

A superfície lateral de um cone circular reto ou cone de revolução de raio da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 27fr. Isso significa que a superfície la~ teral de um cone de revolução desenvolvida num plano (planificada) é um setor circular cujo raio é g (geratriz) e comprimento do arco 27ff.

216. Área total
A área total de um cone é a soma da área lateral (A,) com a área da base (B = 1fr); logo:
superfície lateral

21/"r

Sendo O o ângulo do setor, este ângulo é dado por:

o=
215.

21rT rad g

ou

360r O = - - graus.
g

A área lateral do cone pode então ser calculada como segue: a) comprimento do arco 21rg área do setor 2 1rg ]

IV. Volume do cone
~ A, = _2~1r_~-1f-'g_1r=g2_
..

IA, =

7fT g

I

----Ar
238

217. Consideremos um cone de altura H/ = h e área da base B) = B e um tetraedro de altura H] = h e área da base B 1 = B (o cone e a pirâmide têm alturas congruentes e bases equivalentes).
239

CONE

CONE

Suponhamos que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano que os vértices estão num mesmo serni-espaço dos determinados por o!.

O!

e

v,

[

EXERCíCIOS
a) cone equilátero b) cone reto c) semicone

1
iguais.

T
_

I
B' 1B' _2 _

T
.l

591. Calcule a área lateral, a área total e o volume dos cones cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo.

Qualquer plano secante (3 paralelo a o!, distando h' dos vértices que seccionam o cone, também secciona o tetraedro, e sendo as áreas das secções B; e B;, respectivamente, temos:

.

I ,

BI
Como B j = B 2 = B, vem que B; = B;.

B2
",.

592. Represente através de expressões algébricas a área lateral, a área total e o volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo. a) cone reto b) cone equilátero c) semicone equilátero

Então, pelo princípio de Cavalieri, o cone e o tetraedro têm volumes

Vcone
Como ~etroedro
VcOIle
--

= Vtetraedro
V,etrcedro

= -1 B2 h, ou seja,
3

3" B . h,

].

vem que

~

Bh; ou resumidamente:
V
1 =3

Bh.

593. Determine a medida da altura de um cone cuja geratriz mede 10 em, sendo 12 em o diâmetro de sua base. 594. Determine a medida do diâmetro da base de um cone de revolução cuja geratriz mede 65 em, sendo 56 em a altura do cone. 595. Calcule a medida da altura de um cone de raio r. sabendo que sua base é equivalente à secção meridiana. 596. Determine a medida do raio da base de um cone de revolução cuja altura mede 3 em e cujo volume é 97f em3 • 597. Determine a medida do raio da base de um cone de revolução de altura 3 em, sendo 16. em 3 o seu volume.
241

Conclusão:

o volume de um cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura.
Se B

~

7>'. temos:

I

V

3 ; '-----'----_.......:.

= _1 1fr2 h

I

240

j
CONE CONE

598. Um cone equílátero tem raio da base r. Calcule: a) a área lateral; b) a medida em radianos do ângulo do setor circular equivalente à superfície lateral; c) a área total; d) o volume. Solução Notemos que g
h "" 2r
'=

605. Calcule a área total e o volume de um cone equilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24 'lI em2 •
.I.

606. Determine a área lateral de um cone cujo raio da base mede 5 em, sendo 60° o ângulo que a geratriz forma com a base do cone. 607. Determine a área total de um cone cuja altura mede 12 em e forma um ângulo de 45 ° com a geratriz. 608. O raio da base de um cone mede 12 em. Sabendo que a altura forma um ângulo de 60° com a geratriz do cone, determine sua área lateral. 609. A geratriz de um cone de revolução forma com o eixo do cone um ângulo de 45°. Sendo A a área da secção meridiana do cone, calcule sua área total. 610. A planificação da superfície lateral de um cone de revolução é um setor circular de 90°. Calcule a razão entre o raio da base do cone e a geratriz do cone.
:'+>.

2r e

~ 2
'=

~

",

r.fi.

I~) Área lateral
AI

1frg

==-

AI "" 21fr 2

2~) Ângulo do setor circular
(j",

21fr
g

(J

'=

211"r 2r

=-

(J

11" rad

Solução .. Ângulo do setor circular:. 360r . r . ", . (J "" - - graus = 360°. ' g , g 'o ,~. Razão entre o raio da base do co' ne ~. a geratriz: r (}90° = .' 360 .;=. 360° ,""
,i,

3~) Área total

Ar "" AI

+B

=>

At

4?) Volume
V ""

-L 1I"r2 h
3

=>

V ""

-L 1fr2
3

•

r J3

=>

V

g

599. Calcule o raio e a altura de um cone de revolução cujo desenvolvimento é um semicírculo de raio a. 600. A geratriz de um cone mede 14 em e a área da base 80 11" em 2 • Calcule"a ~edida da altura do cone. 601. Determine a medida da área lateral de um cone equilátero, sendo 20 em a medida da sua geratriz. 602. Determine a área total de um cone, cuja secção meridiana é um triângulo equilátero de 8 dm de lado. 603. Determíne a medida da área lateral e da área total de um cone de revolução, sabendo que sua altura mede 12 em e sua geratriz 13 em. 604. Determine a medida da altura de um cone equilátero cuja área total mede
5411"

.... . ' , '. .., 1 Resposta: A razão entre Ô raiada base e a geratriz do coné é-. "'. ..... "', ...~ 4 ....

611. Determine a razão entre o raio da base e a geratriz de um cone de revolução, sabendo que o desenvolvimento da superfície lateral do cone é um setor circular cujo ângulo mede 600. 612. Determine a altura de um cone, sabendo que o desenvolvimento de sua superfície lateral é um setor circular de 135 ° e raio igual a 10 em. 613. Determine o ângulo central de um setor circular obtido pelo desenvolvimento da superfície lateral de um cone cuja geratriz mede 18 em e o raio da base 3 em. 614. Determine a medída do ângulo do setor circular resultante do desenvolvimento sobre um plano da superfície lateral de um cone cuja altura e cujo raio estão na

em2 •

242

______1

r_a_z_ãO_314.

243

CONE CONE

615. A área da base de um cone de revolução é 1/3 da área total. Calcule o ângulo do setor circular que é o desenvolvimento da superfície lateral do cone. 616.

Solução
r
:=

o diâmetro da base de um cone circular reto mede 3 m e a área da base é 2/5
da área total. Calcule o ângulo do setor circular que é o desenvolvimento da suo perfície lateral do cone.

raio da base comum

11/ = altura do cone 11 2 = altura do cilindro
Dados: r = 8
V cone = Vá/
:=

617. Determine a área total de um cone, sendo 40 em o diâmetro de sua base e 420 em 2 a área de sua secção meridiana. 618. Determine a superfície lateral de um cone cuja área da base mede 6,2511" em 2 , sendo 4 em a medida da sua altura.
619. Um cone tem 8 em de altura e 15 em de raio. Outro cone tem 15 em de altura e 8 em de raio. Quanto a área lateral do primeiro excede a área lateral do segundo? 620. Determine a medida da altura de um cone, sendo 42 em o diâmetro da base e 1050 11" em2 sua área total. 621. A altura de um cone circular reto cujo raio da base mede r é 'lrr. Sendo 3 em a medida do apótema do hexágono regular inscrito na base, determíne a área da secção meridiana do cone. 622. O que ocorre com o volume de um cone de revolução se duplicarmos sua altura? E se duplicarmos o raio de sua base? 623. As dimensões de um paralelepíped~ retângulo são a, b e e. Qual é a altura de um cone equivalente se o raio da base do cone mede a? 624. O volume de um cilindro reto é 1225 1r em3 e sua altura é 35 em. Determine o volume de um cone de revolução, sendo sua base a mesma do cilíndro e sua geratriz a geratriz do cílíndro. 625. Determíne o volume de um cone de revolução cuja secção meridiana é um triângulo isósceles de área 4,8 dm2, sendo 3 dm a altura do cone. 626. Determine a área lateral de um cone, sendo 3 em sua altura e 5 em a soma da medida da geratriz com o raio da base. 627. Determine a geratriz do cone de revolução, sabendo que a área da base é equiva. lente à secção meridiana do cone e que a altura desse cone mede 9 11" em. 628. O volume de um cone de revolução é 128 11" cm3, sendo 8 em o lado do hexágono inscrito em sua base. Determine a relação entre a área total do cone e a área total de um cilindro que tenha o mesmo volume e a mesma base do cone. Calcule ainda a medida do ângulo do setor circular obtido do desenvolvimento da super· fície lateral do cone.
244

12811'.

.I?) Relação entre as áreas totais .

Vcone

:=

1281l'

...

=- ...L 11' • .82 • hl 3
+ ht)
2
2

== 1Í811"
g2

=-

hl = 6
82 =-.
=>
g =

(r ; 8, h 1 = 6, g2 =r2

~

= ~. +
2

10

A {COM

= 1frg + 1fr =12811'
=>

Alçone' =

2 11"' 8

+ 11'·8· 10

At cone == 1441r

V~il

:=

A· = 27l"rh, lei! '

+

• h 2 = 128'1r hz 2 . . 2 => AI =2"1r·g·2+2·'Ir·g 2 => AI. = 1601r 27fr . . d l . cil

7fr h z = 128 "Ir. => 'Ir' 8 . Alto". _ 9 f\~l -10
CJ

=-

=

Al"",e ~cd

=

144 'Ir 16011"

=>

2?) Ângulo do setor
21r' g 21l"
r

3600)

=>

211"·10 _

3600]

.=.

_-o a

2'1r·8 __ a

629. Com um setor circular de 120 0 e raio R, construímos um cone. Calcule a área total e o volume do cone. 630. Determine o ângulo central de um setor obtido pelo desenvolvimento da superfície lateral de um cone cujo raio da base mede 1 em e cuja altura é 3 em. 631. Um cone circular reto tem 24 em de altura e 7 em de raio. Calcule em radianos a medida do ãngulo do setor circular que se obtém pelo desenvolvimento da superfície lateral do cone. 632. Um cone circular reto de altura h = 3 m tem área lateral igual a 6 'Ir m 2 • Determine o ângulo que a geratriz g faz com a reta suporte da altura 11. 633. Um cilindro e um cone têm mesmo volume e igual altura h. Determine o raio do cilindro em função do raio r da base do cone. 634. Calcule a altura, a área lateral e o volume de um cone de revolução de raio R e base equivalente à secção meridiana. 245

L

CONE

CONE

635. Determine a razão entre a base e a superfície lateral de um cone que tem altura igual ao diâmetro da base. 636. Sendo 7/5 a razão entre a área lateral e a área da base de um cone, determine a medida do raio da base e da geratriz, sabendo que a altura do cone mede 4 ,}6 em. 637. Um cilindro e um cone têm altura h e raio da base r. Sendo r O dobro de 11, determine a razão entre a área lateral do cilindro e a área lateral do cone. 638. Determine o volume de um cone cujo raio da base mede r, sendo 3 r a soma das medidas da geratriz com a altura do cone. 639. Calcule o raio da base de um cone de revolução, conhecendo sua área total e sua geratriz g.
11'

650. Um sólido é formado pela superposição de cone sobre um cilindro de raio da base r. Sendo a altura do sólido o triplo do raio r e a área lateral do sólido o quíntupIo da área da base do cilindro, calcule o volume do sólido em função de r.

651. Um semicone tem área lateral igual a (f2 11" + 2) em 2 • Determine a medida da sua geratriz, sabendo que o raio da base tem medida igual à altura do semi cone.
652. Determine a medida do raio da base e da geratriz de um cone, sendo h a medida de sua altura e 1f m 2 sua área total.

653. Calcule o volume de um cone de revolução, conhecendo a área lateral A e o apó· tema g. 654. Calcule o volume de um cone de revolução, conhecendo a área total S e a altura h. 655. Calcule o volume V de um cone de revolução em função de sua área lateral A e de sua área total S. 656. Determine o volume de um cone de revolução, conhecendo o raio da base r e sua área total S.
657. Entre o volume V, a área lateral A e a área total S de um cone de revolução, tem-se: 9 'Ir V2 = S(S - A)(2A - S).

a2

640. Determine o volume de um cone de revolução cuja área lateral é igual aA, sabendo que a geratriz do cone é igual a 4/5 do diâmetro da base do cone. 641. Determine o volume de um cone de revolução, sendo 126 e 200 1f em) sua área total.
11"

em 1 sua área lateral

642. Calcule o volume de um cone equilátero em funçâo de sua área total S. 643. O raio da base, a altura e a geratriz de um cone reto formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Determine esses elementos, sabendo que o volume do cone é 14411" em]. 644. Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto, obtém-se um setor circular de raio 10 em e ângulo central 135°. Calcule o volume desse cone.
645. Um semicone reto tem altura igual ao raio e o volume é 57611" em]. Calcule a área lateral do semicone.

658. São dados um cone e um cilindro de revolução. Esses sólidos têm a mesma altura e são equivalentes. A área lateral do cilindro é igual à área total do cone. Exprima o volume do cone em funçâo do seu raio R.

Solução Elementos: do cilindro: r, h

646. A geratriz de um cone de revolução mede 25 em e a diagonal menor do hexágono regular inscrito na base do cone mede 7 J3 em. Determine a área total e o volume do cone. 647. Determine o volume de um cone de revolução cuja área lateral é 60 11" em), sendo 4,8 em a distância do centro da base à geratriz do cone.
648. O diâmetro da base de um cone mede os 3/5 da sua altura e a área lateral é 100 dm 2 • Calcule a medida da geratriz do cone. 649. Demonstre que o volume de um cone é igual ao produto da sua área lateral pela terça parte da distância do centro de sua base à geratriz do cone.
246

= -3
AI_ == A tcone clI
2R 13 ~ h
=;>

I

do cone: R(dado), h, g . . RJ] ?iR2 h =;> r == - -

3

211'fh'O' 1I"Rg + "lrR2

=>

2rh

=

Rg + R2

Substituindo r e considerando g =
=

Ih

2

+ R) , temos:
h- R
=>
=

r---R-;h 2 + R2 + R2
3

=;>

T "3
2

.;h 2

1.1-----' 2

+R

=>

J2 2 - - --hR 4J3 gh
~ h
=

+ R2 == h2 + R2

4J3 R ou h

= O (não

convém).

247

CONE

CONE

Calculando o volume do cone, vem:

Substituindo B

Voone =

3' 1rRl h =~

I

Voone
'Ir R

:::;

3'1rR 1 . 4,i3 R

1"~

=-

2 3"" 1f •

16r2

•

1l"(4rF e H = 3 r, vem: 11 3r = 411" =;> r 3 = 8" = r = "2'
=

= 1r R 1

Resposta: Vcone -

413 3

3

.

Calculando a altura H e o raio:

H = 3r

=-

H

="2
J 2" m
e R

3

R :::; 4r

=-

R

2

659. O raio da base, a altura e o apótema (geratriz) de um cone reto formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Determine esses elementos, sendo 37,68 em3
o volume do cone. Adote
'Ir =

Respostas: H :::;

= 2 m.

3,14.

.

660. Quanto se deve aumentar a altura e diminuir o raio da base de um cone de revolução para que seu volume permaneça constante?

663. No cálculo do volume de um cone reto, o calculista se enganou, trocando as medidas do raio e da altura. O volume do cone aumentou ou diminuiu? Discuta. 664. A base de um cone reto é equivalente à secção meridiana. Se o raio da base mede Im, calcule a altura do cone. 665. Um cone circular tem raio 2 m e altura 4 m. Qual é a área da secção transversal, feita por um plano, distante I m do seu vértice? 666. Dado um tetraedro regular de aresta
L:

661. Dado um cone circular reto e um cilindro circular reto de mesma altura e mesma base, mostre que a área lateral do cilindro é menor que 2 vezes a área lateral do cone.

662. Pediu-se para calcular o volume de um cone circular reto, sabendo-se que as dimensões da geratriz, do raio da base e da altura estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Por engano, ao se calcular o volume do cone, usou-se a fórmula do volume do cilindro circular reto de mesmo raio e de mesma altura do cone. O erro obtido foi de 4 1r m3 • Dê a altura e o raio do cone. Solução

---~~---~~:r----G

.......---'1____

x-rLS
x

a) Determine, em função de L, o volume V do cone circular circunscnto, isto é, do cone que tem vértice num vértice do tetraedro e base circunscrita à face oposta do tetraedro. b) Determine, em função de L, a área lateral A do cilindro circular reto circunscrito, isto é, do cilindro que tem uma base circunscrevendo uma face do tetraedro e altura igual à altura do tetraedro.

_

_

667. A geratriz de um cone reto forma um ângulo Oi com o plano da base. Sendo V o volume do cone, determine O raio da base e a altura do cone. 668. As figuras abaixo representam um cone de revolução, seus elementos e a planificação de sua superfície lateral.
I

G, R e H em P.A. =- (G = x + r, R = x, H = x - r) em que r é a razão (positiva) e x é o termo médio da P.A. Do triângulo retângulo, temos:
x
2

V

+ (x - r)l

= (x

+ r)2
= =

=erro

x = 4r ou x

=- Xl - 4xr O (não convém)
5r, R
=

o
=

=

x(x - 4r)

o =-

\

I
I

As dimensões são G
=

4r e H

3r.
4rr

1 1
1

BH -

I 3" B H

2
3

BH

2
3

.,,---1--.. .._ 8 __

I I I I

h
A

BH

,j

248

L

O O' Expresse {3 em função de Oi.

A

249

., do Colégio de Apllcaç, Bibliotecà Juvem
ESFERA

CAPÍTULO XII

220. Secção
Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera. Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da secção, vale a relação:
S2

Esfera
I. Definições
218. Esfera
Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja menor ou igual a r. A esfera é também o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contéOl o diâmetro.
e
I

=

r2

-

d 2•

Teorema de Pitágoras no L-.Oi\1A:
r 2 = d2

+

S2.

221. Elementos: pólos - equador - paralelo - meridiano
Pólos relativos a uma secção da esfera são as extremidades do diâmetro perpendicular ao plano dessa secção. Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos:
p6/os: sào as interseções da superfície com o eixo. equador: é a secção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície. para/elo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É "paralela" ao equador. meridiano: é uma secção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.
e

1

pólo~!p\
paralelo .

C+-

meridiano

219. Superfície
Chama-se superjfcie da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r. A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo.
250

P,

P,

222. Distância polar
Distância polar é a distância de um ponto qualquer de um paralelo ao pólo.
Um ponto A da superfície de uma esfera tem duas distâncias polares: ~ A e ~A.
251

ESFERA

ESfERA

Sendo:

clépsidra

anticlépsidra

r o raio da esfera,
d a distância do plano de uma secção ao centro,

Pl e P2 as distâncias polares de um ponto A. Usando relações métricas no D.PJ A P2 , temos:
(AP l)2

= (P 1P 2)· (PJM) => pi = 2r(r-d)
i'
~

(AP 2 )2 = (P 1P2)·(P2M) => p~ = 2r(r + d)

Cilindro equilátero

Cilindro equilátero e os dois cones

Reunião dos dois cones

Sólido X, cilindro menos os dois cones

\

11. Área e volume
223. Área da esfera
A área da superfície de uma esfera de raio r é igual a 411'r 2 •

r ,.
~i

J
,

Consideremos agora uma esfera de raio r e o s~lido X descrito acima.

A dedução desta fórmula encontra-se no final deste capítulo, no item 231.

@)
" d
..

I

I,.tt]\ : . . · . r-.. ·j.

.. [
.

.

.

.

i"!.SPQ é isósceles: SP = d => PQ = d.

224. Volume .da esfera
. Consideremos um cilindro equilátero de raio da base r (a altura é 2 r) e seja S o ponto médio do eixo do cilindro. Tomemos dois cones tendo como bases as do cilindro e S como vértice comum (a reunião desses dois cones é um sólido chamado c1épsidra). Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois cones vamos chamar de sólido X (este sólido X é chamado antic/épsidra).
252

Suponhamos que a esfera seja tangente a um plano a, que o cilindro (que originou o sólido X) tenha base em a e que os dois sólidos, esfera e sólido X, estejam num mesmo semi-espaço dos determinados por a. Qualquer plano secante {1, paralelo a a, distando d do centro da esfera (e do vértice do sólido X), também secciona o sólido X. Temos: Área da secção na esfera = (círculo) Área da secção no sólido X (coroa circular)
11'8 2

=

1I"(r2

-

d2)

= ?rr2 - 1I'd2 = 1l'(r2 - d 2)
253

•
ESFERA
ESFERA

As áreas das secções na esfera e no sólido X são iguais; então, pelo principio de Cavalieri, a esfera e o sólido X têm volumes iguais.

b) com ex em radianos
21l' _ _ 41l'r 2 } ex - - A fuso
~

Vesfera = Vsóiido X Mas:
Vsólido

x =

Vcilindro -

2 V cone 3

:::

1l'r2 ,.2 r - 2 '

(t.

'lfr 2 • r)

=
227. Cunha esférica
É a interseção de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contém o diâmetro da esfera,

= 1I"r2 • 2r - 2
Ou seja: V. sfera

3
=

1l'r3

= ~ 1l'C3'
1I"r 3 •
'11" 3

~

Conclusão: O volume de uma esfera de raio r é ;
~. ;;: "

r

A cunha é caracterizada pelo raio da esfera e pela medida do diedro.

f
111. Fuso e cunha
225. Fus() esférico

V

. 4 ..
-'1I"t3

Q

=:;'

.

3

.

]
228. Volume da cunha
arco equatorial

É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica.
O ângulo a, medida do diedro, medido na secção equatorial, é o que caracteriza o fuso,

Sendo cc a medida do diedro, temos:

a) com a em graus:

360 - - ~ 3
0

3 1l'f ]

~

aO _ _

Vçunha

226. Área do fuso
Sendo cc a medida do diedro, temos: a) com a em graus
b) com ex em radianos:

3~: =~7.:J =
254

r A,." ~ ~]

211" _ _

j

7l"r

3 ]

=

IL:

cu _V__ nh _._ _

a __

2_r~_a_]
255

Vcunha

&&

ESFERA

ESFERA

684. Determine a superfície de uma esfera, sendo 2671" em o comprimento da circunferência do círculo máximo.
685. Determine o raio de uma esfera, sendo 28871" em] o seu volume.

. e o diâmetro de uma esfera obtida da fusão de duas esferas de 10 em 700. Deterrnm de diâmetro.

701.

Sabendo que o diâmetro de uma esfera é os 3/5 do diâmetro de uma outra esfera, calcule a razão entre as áreas dessas duas esferas.

686. Uma esfera oca tem 1 dm de raio exterior e 1 em de espessura. Determine o volume da parte oca da esfera. 687. Determine o volume de uma esfera de 10071" em 2 de superfície. 688. Determine a medida do raio de uma esfera, sabendo que seu volume e sua super· fície são expressos pelo mesmo número. 689. Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual à distância m do plano ao centro da esfera. Obtenha a superficie e o volume da esfera em função de m. 690. Determine a medida da superfície e do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede 1/5 do raio de outra esfera cujo volume é 4 500 II em]. 691. A cúpula de uma igreja é uma semi-esfera apoiada sobre um quadrado de 12 m de lado (isto é, o círculo base da semi-esfera está inscrito nesse quadrado). Determine a superfície da cúpula. 692. Determine a medida do raio de uma esfera, sabendo que o raio de um círculo menor mede 5 em e que sua distância polar mede 13 em. 693. Determine a distância polar de um círculo menor de uma esfera sendo 10 em o raio da esfera e 6 em a distância do círculo ao centro da esfe:a.. 694. Os pólos de um círculo menor de uma esfera distam, respectivamente, 5 em e 10 em do plano do círculo. Determine o raio desse círculo. 695. Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r. Determine a altura do cilindro. 696. Um cone é equivalente a um hemisfério de 25 em de diâmetro. Determine a área lateral do cone, sabendo que as bases do cone e do hemisfério são coincidentes. 697. Duas esferas de metal de raios 2 r e 3 r se fundem para formar uma esfera maior. Determine o raio dessa nova esfera. 698. Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo de 6 em de raio. A área do sólido é igual à superfície de uma esfera de raio 6 em. Determine a relação entre os volumes do sólido e da esfera. 699. Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 em e 8 em. Calcule a área da secção feita na esfera de raio maior por um plano tangente à outra esfera.
258

e ocorre com o volume de uma esfera quando duplicamos a medida de seu . '? 702. O qu raio? E quando triplicamos a medIda do seu raIO.

703.

O que ocorre com o volume de uma esfera quando o raio aumenta 100%? E quando aumenta 300%? E quando diminui 50%?

704. O que ocorre com a superfície de uma esfera quando o raio aumenta 2000/0? E quando aumenta 150%? E quando diminui 2!%? 705. O raio de uma esfera mede 16 em. De um ponto P situado a 41 em do centro da esfera traçam-se tangentes à esfera. Determine o comprimento dos segmentos com extremídades em P e nos pontos de tangência com a esfera. bem como a distância do centro da esfera ao plano do circulo de contato e o raio desse círculo.
Solução

T

p

O

'~.X·
IZ
I

.

Y.

.
circunferência de contato

Q

41

.

XI

P

Sejam x, y e z, respectivamente, o comprimento do segmento PT, a distância OQ do centro da esfera ao plano do circulo e o raio do círculo de tangência. Aplicando relações métricas (Pitágoras. lY = a . m, oh PTO retângulo em T. vem:
~

be) no triângulo

x

= 5./57
som
41

41 . y
41· z
=

162 ~ y = 256 41 16· x ~. 41·
Z·=

16· 5.[57 ~ z =

Resposta: Na ordem pedida: 5.J57 cm,

2:1 em

e

80.J57 em.
41

259

ESFERA

ESFERA

706. Supondo a Terra esférica e o metro a décima milionésima parte do quarto do meridiano, determine a superfície da Terra em km 2 • 707. Determine a superfície de uma esfera de 5 em de raio. Em quanto aumenta a superfície, ao aumentar o raio em 1 em? 708. A área de uma secção plana de uma esfera é 14411" em2 • Calcule a superfície da esfera, sabendo que a distância ao centrO da esfera é 5 em. 709. Uma esfera tem 2511" em2 de superfície. Em quanto devemos aumentar o raio, para que a área passe a ser 64 'Ir em2 ?

722. A superfície de uma esfera mede 14411" em2 e é igual à área total de um cilindro que tem o mesmo raio da esfera. Determine a relação entre os volumes de ambos os sólidos. 723. Uma esfera é equivalente a um cilindro reto cuja área total é igual a 4211" em2 • Sendo 3 em o raio do cilindro, determine: a) o raio da esfera; b) a relação entre a área da esfera e a área total de um cone reto que tenha a mesma base e a mesma altura do cilindro dado. 724. Fabricou-se uma caldeira de tal maneira que as bases de dois hemisférios coincidissem com as bases de um cilindro. Sendo o diâmetro do cilindro os 3/5 de sua altura e a superfície da caldeira equivalente a uma esfera de raio R, determine a relação entre o volume da caldeira e o volume da efera de raio R. 725. Duas esferas tangentes entre si tangenciam internamente uma outra esfera. Sen· do 10 em o diâmetro da esfera maior, determine a relação entre os volumes das esferas tangentes internamente, sabendo que sua soma é 2/3 do volume da esfera maior. 726. Um cubo e uma esfera têm igual superfície. Qual dos sólidos tem maior volume? 727. A área total de um cubo e a área de uma superfície esférica são iguais. Qual a razão entre o raio da superfície esférica e a medida de uma aresta do cubo? 728. A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone reto são iguais. Determine o raio da esfera, sabendo que o volume do cone é 12 11" dm 3 e o raio da base é 3 dm. 729. Determine o ângulo do fuso de uma esfera, sendo 32411" em2 a área da esfera e 5411" em 2 a. área do fuso. 730. Qual é a área de um fuso de 28° pertencente a uma esfera de 411" m2 de superfície? 731. Determine a área de um fuso de 45° em uma esfera de 10 em de raio. 732. Um fuso de 10° de uma esfera de I em de raio é equivalente a uma secção plana da esfera. Determine a distância da secção ao centro da esfera. 733. Determine a área de um fuso, cujo ângulo mede 30°, em uma esfera de 18 em de raio. 734. Determine a distância de uma secção plana de uma esfera ao centro dessa esfera, sabendo que o raio da esfera mede 12 em e que a área do fuso de 60° é equivalente à área dessa secção.
261

-

710. Determine a área de um círculo obtido da secção plana de uma esfera, sendo o raio da esfera r, e 15 em a distância desse plano ao centro da esfera. 711. Determine a superfície de uma esfera em função do comprimento da circunferência e do círculo máximo da esfera. 712. Determine a superfície de uma esfera em função da área A do círculo máximo da esfera. 713. O círculo máximo de uma esfera tem um triângulo equilátero inscrito. Determine a superfície da esfera em função da medida a do lado desse triângulo. 714. A área obtida da secção plana em uma esfera é A. Sendo r o raio da esfera, determine a distância do plano ao centro da esfera. 715. Determine o volume de uma esfera em função do comprimento da circunferência C do círculo máximo da esfera. 716. Uma esfera tem I m de raio. Qual será ~ raio de uma esfera cujo volume é 1/5 do volume da primeira esfera? 717. Determine a razão entre as áreas de um cubo e uma esfera, sabendo que seus volumes são iguais. 718. Um cubo de chumbo de aresta a foi transformado numa esfera. Determine a superfície da esfera em função de a. 719. Calcule em em3 o volume de uma esfera, sabendo que o diâmetro perpendicular a um círculo menor de 10 em de raio é dividido por esse círculo em dois segmentos de razão 2/5. 720. Uma esfera, um cilindro e um cone têm o mesmo volume e o mesmo raio. Calcule a razão entre a altura do cilindro e a do cone. 721. Determine a diferença entre a área da maior e da menor das secções obtidas por um ponto P, a uma distância d do centro da esfera.
260

.•.. ;

,.;.,

$iJ.C.•~..

;'

.y 6>6n'

-1.\!OiRt.-

ESFERA

735. Calcule a área total e o volume de uma cunha esférica de 30°, sendo r o raio da esfera. 736. Determine o volume de uma cunha, cujo ângulo mede 60°, em uma esfera cujo volume mede 288 11" m3 •
737. Qual é o volume de uma cunha de 30°, pertencente a uma esfera de 972 volume?
11"

IV. Dedução das fórmulas das áreas do cilindro, do cone e da esfera
Jt

m 3 de

738. Determine as medidas dos raios de duas esferas, sabendo que sua soma vale 20 cm e que o fuso de 60° na primeira é equivalente ao fuso de 30° na segunda.
739. Um fuso de 60° de uma esfera é equivalente a um fuso de 30° de uma outra esfera. Determine os raios dessas esferas, sendo 24 em sua soma.

Colocamos no final deste capítulo a dedução das expressões das áreas is do cilindro e do cone e da área da superfície esférica. É a melhor manaei:r:que encontramos para justificar as expressões já incluídas nos itens 199, 214 e 223.

229. Noção intuitiva
Se considerarmos uma superfície limitada de área A e sobre ela formarmos um sólido de altura x de bases "paraleIas", teremos, indicando com V, o volume do sólido ("prismas" reunidos com "cilindros") de base A e altura x.

740. Determine o raio de uma cunha esférica de 45°, sabendo que é equivalente a um hemisfério de 10 em de diâmetro.
741. Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate) de raio 0,5 em podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1,0 em?

742. Um observador (O), do ponto mais alto de um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma distância d. Sejam h e R a altura do farol e o raio da Terra, respectivamente.
a) Como R é muito maior que h, pode-se admitir que 2 R + h ::::: 2 R. Assim, prove, usando a aproxima2 ção indicada, que d = J R h . b) O raio da Terra tem, aproximadamente, 6300 km. Usando a fórmula do item a, calcule a distância (d) do horizonte, quando o observador está a uma altura h "" 35 m.

v

Ax => A

v
x

Esta última igualdade é verificada para qualquer x. Intuitivamente, uma superfície é imaginada como urna "placa sólida" de "espessura infinitamente pequena". Por isso, se uma "pLaca sólida" de volume Vp e espessura x for tal que a expressão (função)

743. Uma esfera de raio 5 em, ao ser seccionada por um plano distante 3 em do seu
centro, determina uma área S. Então, calcule o valor de

.

/IT .

-p~ tem sentido (é definida) para

v
x

x =

O, então

744. Um plano intercepta uma esfera perpendicularmente a um de seus diâmetros num ponto P distinto do centro e ínterior a esse diâmetro.
a) Prove que a interseção é um círculo. b) Determine (em função do raio r da esfera) a distância do ponto P ao centro. a fim de que o círculo interseção tenha área igual à metade da de um círculo máximo da esfera.
262

Vp - - (para x x

=

O) será definida como a área da placa.

. Assim agindo, poderemos deduzir as expressões das áreas: lateral do cilindro, superfície esférica, lateral do cone. Nestes casos, o artifício que acima procuramos generalizar é mais real e simples, como veremos a seguir.
263

J~;.{~_ . . ~~~..•'..~.~)~".''.'~'.'.C.~.•.~.~.7.i'.'.'.·. •;.~.,.,.,~....~~.;~~.; ..J~"~~~~~:~~$ . ~
ESFERA

1"

•.. l~ .• "':.'.'

. . .:,'

«

;.

. .....'.

(::

...

i,"-;"

ESFERA

230. Área lateral do cilindro de revolução

232. Área lateral do cone de revolução

1
h

I
h

1
V - p = 1fh(2r + x)
x
Então, para x = O, vem: A L == 1rh(2r + O)

_1

Por semelhança entre triângulos, calculamos y e Z em função de x.

2-=..!..
=>

I

x

r

==>

z == JL x
r

Ar

=

2nh

J

Segue--se:

Vp

::::

"3 1r (r
Z,

1

+

y)2 . (h

.

+ z) -

3

1

1rf2 h.

231. Área da superfície esférica

Substituindo y e

temos:

v p = ~ r(r + 3
==>

X)3 -

~ 1fT3 3
~

==>

V ==
p

-.i. -x-(r + 3

x)J - r 3 J

==>

Vp == -.!. 1r[3r2 x + 3rx 2 + x3 ) 3
V
-p

=Ent- para x ao,
O, vem:

x

= -4
=

3

'K(3r2 + 3rx + x2 )

=

Então, para x
A

= O,
'Ir (3

vem:

j

r2

+ 3 r . O + 02 ] ~

I A =4

'll"f2

I

1 AI.. "" -3

11"

[3 r g -

3 g2 O + L 02 ] h h2r

~

IA

1=

71'rg
265

4U

L

·ü

ESFERA

LEITURA

Lobachevski e as Geometrias não Euclidianas
Hygino H. Domingues E tudo começou com Euclides (c. 300 a.c.) ... Em sua obra-prima Os elementos a geometria foi construída sobre cinco postulados. Um deles, em especial, certamente não traduzia nenhuma experiência concreta. Além disso Euclides só o enunciou depois de provar o máximo possível de teoremas sem usá-lo. Ei-Io: Postulado V: "Se num plano duas retas a e b são interceptadas por uma transversal c de modo a a formar um par de ângulos colaterais internos de soma menor que 180 0 , então essas retas, prolongadas indeb finidamente, se cortam (fig. 1) do lado em que estão os ângulos conC/ + (3 < 180 siderados" . Na verdade Euclides trabalha(Fig.l) va, em sua geometria, como em particular no postulado V, com segmentos de reta que prolongava num ou noutro sentido, conforme necessitasse, ao invés de retas infinitas acabadas, como se faz hoje. E o que esse postulado afirma equivale, na versão moderna da geometria euclidiana, a admitir que por um ponto fora de uma reta não há mais que uma paralela à reta. Entre as implicações importantes do postulado V está o teorema que assegura ser a soma dos ângulos internos de um triângulo igual a um ângulo raso. Desde os tempos de Euclides dezenas de matemáticos tentaram provar esse postulado, a partir dos outros quatro, achando que se tratasse na verdade de mais um teorema. Um deles foi Nicolai I. Lobachevski (1792-1856), um russo natural da atual cidade de Gorki cuja vida acadêmica sempre esteve vinculada à Universidade de Kazan, desde seu ingresso como aluno em 1807 até seu afastamento do cargo de reitor, que ocupou de 1827 a 1846. Diga-se de passagem que o fato de Lobachevski ter alcançado.a reitoria da Universidade de Kazan não foi um prêmio a seus méritos científicos. Estes jamais foram reconhe0

cidos devidamente durante sua vida. Pelo contrário, urna versão de suas idéias geométricas, datando de 1829-30, chegou a ser recusada para publicação pela Academia de Ciências de S. Petersburgo. Numa certa altura de suas tentativas de provar o postulado V, Lobachevski passou a admitir que isso poderia ser impossível. Admitir essa impossibilidade acarreta que se pode tomar como postulado a existência de mais de uma paralela a uma reta por um ponto fora dela. E foi o que ele acabou fazendo, resultando daí uma nova geometria de resultados surpreendentes. Por exemplo, nessa geometria (hoje conhecida por geometria hiperbólica) a soma dos ângulos internos de um triângulo vale menos que 1800 • Cabe então a pergunta: tamanha liberdade é válida em matemática? Não é difícil nos convencermos de que sim. Primeiro notemos que a geometria considerada por Euclides ao chegar ao postulado V referia-se a um plano. Ademais, o conceito de reta é primitivo: não se define, é tão-somente caracterizado por alguns postulados ou axiomas. Assim, pode-se pensar: e se em vez do plano considerássemos outra superfície, não poderia haver nesta algum ente que fizesse o papel análogo ao da reta no plano, perante o mesmo conjunto de postulados? Tanto isso é possível que em 1868 o matemático italiano Eugênio Berltrami (1835-1900) descobriu um modelo para a geometria hiperbólica, apseudo-esfera, superfície que lembra dois chifres infinitamente longos ligados por seus extremos (fig. 2). Nessa superfície, por um ponto fora de urna "reta" há mais do que uma paralela a essa reta. Claro que "reta" nesse caso indica (Fig. 2) o ente da pseudo-esfera cuja idéia corresponde à de reta de um plano. Na figura 2pode-se visualizar como ocorre, bem como que a soma dos ângulos internos de um "triângulo" vale menos que um ângulo raso. A partir desse modelo, a geometria que o próprio Lobachevski chamava de imaginária passou a ser matematicamente real. As geometrias não euclidianas, objeto das pesquisas de Lobachevski, eram um verdadeiro tabu em sua época, daí a marginalização científica de que foi vítima o geômetra russo (agravada pelo fato de trabalhar num local muito distante dos grandes centros da Europa ocidental). Mas isso não impediu que se tornasse público que foi ele o primeiro a publicar um trabalho sobre geometrias não euclidianas (1826). E ganhou, assim, a primazia de ter acabado com o mito da verdade absoluta na matemática.

266

267

SÓLIDOS SEMELHANTES -

TRONCOS

CAPÍTULO XIII

234. Razão de semelhança
É a razão entre dois elementos lineares homólogos. Representaremos por k. Assim:

Sólidos Semelhantes Troncos
I. Secção de uma pirâmide por um plano paralelo à base
233.
Seccionando uma pirâmide por um plano paralelo à base, separamos essa pirâmide em dois sólidos: o sólido que contém o vértice que é uma nova pirâmide e o sólido que contém a base da pirâmide dada que é um tronco de pirâmide de bases paralelas.

-t 1
h

I
H

_J

I
•

.~
A,

=

~.~.~

=' k'

4.H ..

j

(razão de semelhança)

v

v

v

235. Propriedades
Considerando duas pirâmides semelhantes, temos:
1?)

A razão entre as áreas das bases é igual ao quadrado da razão de semelhança.
A

c
B

A

c
B

B

. De fato, as bases são polígonos semelhantes e a razão entre suas áreas e o quadrado da razão de semelhanças.

A nova pirâmide e a pirâmide primitiva têm a mesma natureza, os ângulos ordenadamente congruentes e os elementos lineares homólogos (arestas das bases, arestas laterais, alturas, ... ) são proporcionais. Dizemos que elas são semelhantes.
268

I

b
B
269

SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS

SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS

Base b

Base B

Sendo

Área lateral de V(ABC .. MN) AL Área lateral de V(A'B'C' "0 M'N') A"
o

0;=

0;=

temos:
=>
D'

. ~. , " " Pirâmide V(ABC MN) - Plramlde V(A BC ... M N) =(bVAB ~ bVA'B', 6VBC - 6VB'C', .,. 6VMN - .6VM'N',
o. o

/:::.VNA - 6VN'A')
,.,

=••
0

~~

'VB'
0;=

---vB

0;=

= VN = AR = BC = ...
(razão de semelhança)

VN'

A'B'

B'C'

=:

~

N' A' _ h
-

H =k

l· .

k,

b

B

= '~=(M'J
k'.
temos:

Considerando Área do 6. VA'B' Área do 6. VB'C'

= ti
t2

Área do .6VAB = T j Área do .6 VBC = T 2

A propriedade acima é da Geometria Plana, porém sua demonstração acompanha os itens da propriedade que segue. Basta fazer a analogia.
2?)

Área do .6VN' A'

Área do .6VNA

= T n-2

A razão entre as áreas laterais é igual ao quadrado da razão de semelhança. . .

1 _t_

=:

TI

~
T2

=

000

=

~ = k2
T n- 2

0

v

v·

Fazendo a razão entre as áreas laterais, vem: Ar tI + 12 + ... + t n- 2 AI k 2 T 1 + k 2T 2 + A L = TI + T 2 + + T n- 2 => A L = TI + T 2 +
'00

+ k 2 T n- 2 + T n- 2

[
3?)
B

~ = k'

]

A razão entre as áreas totais é igual ao quadrado da razão de semelhança. Temos: ~ B

1'--.-.

_~_-_k'_~_~._k_2,_~_~--.:..-(_~_)_'J

= k2 ==

b
271

270

SÓLIDOS SEMELHANTES ~ TRONCOS

SÓLIDOS SEMELHANTES -

TRONCOS

Fazendo a razão entre as áreas totais, vem:
~

AT

Ar + b AL + B

~

At AT

k2

•

AL k2B AL + B

+

237. Exemplo de aplicação
A que distância do vértice se deve passar um plano paralelo à base de
uma pirâmide (ou cone) para que:

I
4?)
A razão entre os volumes é igual ao cubo da razão de semelhança.

a) a razão entre as áreas das bases da nova pirâmide (cone) e da pirâmide (cone) dada seja a/b? Solução

BL a -=B2 b
=>

: ~ (~l']
H

~

Temos:

~

::=

k
-

x =~
,:b

~

Fazendo a razão entre os volumes, vem:
_1 bh v 3 -= V _1 BH 3

L:

lT HL
,
I
I
I I
L

~

v V

(~). (~)
v

=>

x

H,ia
~

ih

(resposta)

b) a razão entre os volumes do tronco obtido e da pirâmide (cone) primitiva seja p/q?

V
Devemos notar ainda que:

Solução Observando a figura, vemos que V;,> - VI é o volume do tronco, e pelo enunciado temos:
V2
-

,
I I
I
L

I

v, I
-..-

~ = k 3 ~ ~ = k2 • k

v

V

V

V

=

BJB'

bJb

V
,2

I I

I
I

VI

=..E..q

I

236. Observações
1~)

V2
Daí vem que:

----+-

As propriedades acima são facilmente adaptadas para cones seme-

lhantes. Elas podem ser generalizadas para duas superfícies ou dois sólidos semelhantes quaisquer: • A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. • A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança.
272
2~)

q-p q

(resposta)

273

~. . .;çplf?F:~i~ij,.-~'. *;:_:jf·~Yf~a..?.;:c-:1-~-~~~~~~~·'?-\T<O~'·:·--:·"--:-:~~-'~-~"
~

..

'j

.. ,>.

";'

SÓLIDOS SEMELH ANTES SÓLIDOS SEMELH ANTES - TRONCOS

TRONCOS

tronco C) a razão entre as áreas laterais da nova pirâmid e (cone) e do obtido seja mln?

C [_- --,- E-X -ER --C -I' _I_O_S
""~
n
mAr I ~
==?

l

-A 1'/ é a área lateral do tronco , e Observ ando a figura, vemos que A r1 pelo enunci ado temos:
Ai, Ai2 - ArI

Soluçã o

, ,
I I
I

cujas medidas es745. Conside re as pirâmides quadran gulares regulares semelhantes, tão indicadas abaixo.

Dai vem que:

A(2

= mAr2 ==>

= mAr2 m =---n)A,I m+n
n

I I

I I

t
a) b) c) d) e) Calcule a razão de semelha nça. Calcule a medida do lado da base da pirâmid e menor. obtidas ? Calcule as áreas das bases das pirâmid es. Qual a razão entre as áreas a razão entre os volumes obtidos ? Calcule os volumes das pirâmid es. Qual entre cada Conside re as razões obtidas nos itens c e d. Existe alguma relação uma dessas razões e a razão de semelha nça? Justifiq ue.

A"

Aez
A'I A fl

=
:=

m+ n

==:0-

x
H
Jm:n

==>

X

=

(~r

H~

m: n (respos ta)

(cone) d) a razão entre os volume s do tronco obtido e da nova pirâmi de seja ris? Soluçã o V Observ ando a figura. vemos que 2 lo enunci ado temos:
V Z -V 1
VI
:=

o dobro do volume 746. Determine a aresta de um cubo, sabendo que seu volume é de aresta A. de um outro cubo o de lado 747. Sabend o que a altura de uma pirâmid e é 20 em e suá base é um quadrad da altura e do lado da base de uma pirâmid e semelha nte 12 em, calcule a medida de 120 crn3 de volume.
748.

-

VI é o volume do tronco , e pe-

r
S

Daí vem que:

VI

s
r
:=

Vz
VI Vz VI V2
274

+ s
x
H

TI", L
~ r + s
==>
X

, •
I
I I I

que o plano Determine o volume de uma pirâmid e de 8 em de altura, sabendo laterais determi na na pirâmid e uma formad o pelos pontos médios de suas arestas secção de 3 em 2 de superfície.

I
I

V, :

-l.

V2
I

I
I

--+-

I

sua altura Seccion ando uma pirâmid e por um plano paralelo à base e que divide Determine em dois segmentos de medidas iguais, obtemo s uma pirâmid e menor. menor obtida. a razão entre o volume da primeira pirâmide e o volume da pirâmide 750. por um plano A que distânci a do vértice devemos cortar um cone de revolução, base, de modo que o volume do cone destaca do seja 1/8 do volume paralelo à do primeir o cone? Determ ine 3 Uma das arestas de um tetraedr o de volume 80J] em mede 10 em. a aresta homólo ga mede 5 em. o volume de um tetraedr o semelhante, sabendo que 752. Determ ine o Uma ~irâmide de 8 m de altura tem a aresta lateral medind o 9 m. lateral homólo ga de uma outra pirâmíd e, sabendo que ~ompnmento da aresta e semelha nte à primeir a e que sua altura mede la m.
275

749.

751.

=

(l): ]

==>

:=

:=

H'~

s

r + s (respos ta)

r:;:.::

1C

·::,.:;: :=""t"=::::;'"t:::Z==N';tt: 'i ~!.:7"7"';"':", :~":=::Z:'l"tt==::w:j' : ::1

SÓLIDOS SEMELHANTES ~ TRONCOS

I
238. Volume

SÓLIDOS SEMELHANTES -

TRONCOS

'753. Um cilindro tem 2 m de altura e 1 m de raio. Determine as dimensões de um cilindro semelhante, cuja superfície lateral seja 1/4 da superfície lateral do primeiro.

I I. Tronco de pirâmide de bases paralelas
Dedução da fórmula que dá o volume do tronco de pirâmide de bases paralelas. Dados: área B da base maior, área b da base menor e h a medida da altura do tronco.

754. A base de uma pirâmide tem 225 m 2 de área. A 213 do vértice corta-se a pirâmi. de por um plano paralelo à base. Ache a área da secção.
755. Um plano paralelo à base de um cone secciona-o, determinando dois cones CI e C2 cujos volumes estão na razão 2/3. Sendo 9 em a medida da geratriz do cone maior, determine a geratriz do cone menor. 756. Em um cone de 10 em de altura traça-se uma secção paralela à base que dista 4 em do vértice do cone. Qual a razão entre a área da secção e a área da base do cone?

757. A altura e o raio da base de um cone de revolução medem respectivamente 4 m e 3 m. Que dimensões tem um cone semelhante de volume igual ao triplo do
primeiro?

758. Uma pirâmide tem altura he área da base B. A que distância do vértice deve ser con'duzido um plano paralelo à base para que a área da secção seja b?
759. Uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo tem 40 em, 30 em e 20 em de dimensões. Determine as dimensões de uma caixa semelhante à primeira, de modo que sua capacidade seja o quádruplo da primeira. 760. O plano que dista 3 m da base de uma pirâmide secciona-a segundo um polígono de 8 m 2 de área. Calcule o volume da pirâmide, sabendo que sua base tem área igual a 18 m2 • 761. Uma pirâmide de 10 m de altura tem por base um hexágono regular. A 4 m do vértice, traça-se um plano que secciona a pirâmide paralelamente à base. Sendo 8 m2 a área da secção, determine o volume da pirâmide. 762. Duas pirâmides de alturas iguais têm suas bases sobre um mesmo plano. Um pIano secciona as duas pirâmides paralelamente às bases, determinando na primeira pirâmide uma secção de área 144 em 2 • Obtenha a área determinada pelo plano na segunda pirâmide, sabendo que as áreas das bases das pirâmides sào respectivamente 225 em2 e 900 em l • 763. Determine a medida da altura e do lado da base de uma pirâmide regular hexagonal, sabendo que seu volume é 8/27 do volume de uma pirâmide semelhante cuja altura mede 10 em e cujo lado da base mede 4 em. 764. Dois poliedros semelhantes P I e P z têm áreas iguais a 8 em) e 12 em2 , respectivamente. Determine o volume de P I , sendo 36 em 3 o volume de P z . 765. A aresta lateral PA de uma pirâmide mede 4 m. Que comprimento devemos tomar sobre essa aresta, a partir do vértice, para que um plano paralelo à base divida a pirâmide em dois sólidos equivalentes?
276

Solução Sejam Vo volume procurado, H 2 a altura da pirâmide original, H I a altura da pirâmide nova, Vz o volume da pirâmide original e VJ o volume da pirâmide nova.
Assim:

v
~

V

iB(H 1 + h ) - i bH ]

~

V

= _1 [Bh +
3

(B - b) . H 1)

(1)

Cálculo de H I em função dos dados:
B (H 2)2 H] b -

~

H2 Hl

=

JB
Jb

~

H[ + h H]

JB -.Jb
h "3 [ B

(2)

Substituindo H, (2) em (1):
V
=;

_1 [Bh

+ (B _ b)

3

h Jb ] ==> JB-.Ih

V

+ (B - b)· ~ ~b .Ih ] -

Considerando que:
B - b = (,JB)2 - (~)2 na expressão acima, ternos:

(.JB + .Jb) (.JB - ~ ) e substituindo B -

b

277

SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS

SÓUDOS SEMELHANTES - TRONCOS

v = l3

[B +

(JB
V

+

Jb) . .Jb] = l 3
3
h

[B +

,iB . b

+ bJ

Solução
Sejam Re L as respectivas medidas dos lados das bases (que supomos

=

.

[B +

~
>j

B·b + b] .

.. 1 .

terem n lados). Área lateral

239. Área lateral e área total
Tronco de pirâmide qualquer
A, AI
=

Ar
~

:=

n . A"apézio
j

:;. AI =

n .
:=

(L ; f)
(P

m'

nLm' 2

+

nem'
2

A .:= Pm'

+

pm' :; A r
"Ar
:=

+ p)m'

soma das áreas das faces laterais (trapézios) = A, + B + b

(P

+ p)m'"

Área total
AI = Ar

Tronco de pirâmide regular Tronco de pirâmide regular é o tronco de bases paralelas obtido de uma pirâmide regular. Num tronco piramidal regular:
a) as arestas laterais são congruentes entre si; b) as bases sâo polígonos regulares semelhantes; c) as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si. A altura de um desses trapézios chama-se apótema do tronco.

+ B + b em que B:= P . M, b := p .

fi

Logo:

['At'=::(P+ p)m"+'PM+ pm
EXERCÍCIOS

]

766. Calcule a área total dos troncos de pirâmides cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo. a) quadrangular regular b) hexagonal regular

Área lateral e área total de um tronco de pirâmide regular
Dedução das fórmulas que dão a área lateral e a área total de um tronco de pirâmide regular de bases paralelas. Dados: perímetro da base maior = 2P perímetro da base menor = 2p apótema da base maior =o M apótema da base menor = m apótema do tronco = m' Pede-se: A, e AI do tronco.
278

f-3

cm-j

767. As bases de um tronco de pirâmide são dois pentágonos regulares cujos lados medem 5 dm e 3 dm, respectivamente. Sendo essas bases paralelas e a medida do apótema do tronco de pirâmide 10 dm, determine a área lateral desse tronco. 768. ~termine a medida do apótema de um tronco de pirâmide regular cujas bases sao triângulos equiláteros de lados 8 em e 12 em, respectivamente, e a área lateral do tronco J80 em}. 279

4

)r::::+
SÓLIDOS SEMELHANTES TRONCOS

SÓLIDOS SEMELHANrES -

TRONCOS

769. Determine a superfície total de um tronco de pirâmide de bases paralelas, sendo as bases quadrados de Jados 20 em e 8 em respectivamente, e a altura do tronco
igual ao lado da base menor.

770. Um tronco de pirâmide regular tem para bases paralelas dois quadrados cujos lado~ medem 16 em e 6 em, respectivamente; o apótema do tronco mede 13 em.
Determine a área total desse tronco.

A área Iater aI é igual a três vezes a área de uma face lateral, ou seja: . 2 _. ) = A == 3· (- -+ 8 4 =- A-60 em2 . Ar '" 3 . Atrap<,ziO 2

771. Determine o volume de um tronco de pirâmide de 279.J3 em] de superfície total, sendo as bases hexágonos regulares de 9 em e 3 em de Jado, respectivamente. 772. Um tronco de pirâmide tem por volume 98.J3 em J e por bases dois triângulos equiláteros de lO em e 6 em de lado, respectivamente. Determine a altura do tronco. 773. Um tronco de pirâmide de 6 m de altura tem por base inferior um pentágono de área 20 m1 • Um Jado desse pentágono mede 4 m, sendo 3 m a medida do seu
homólogo na base superior. Determine o volume do tronco de pirâmide.

b) Área total

~ '82 13 22 ,,3 ri 2 . At",A('T B+b=A, =60+-'-+--=A,=(60+ 17~3)cm 4,4

c) Volume Cálculo da altura do tronco cno 6AFA': h 2 = 52 - (2 ~ 3)2
V
=
=
=>

h2

=

13

=-

h = ~ I3 .

r-c

774. Calcule o volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas bases têm" área 36 dm1 e 144 dm 1 • 775. Um tronco de pirâmide regular tem como bases triângulos equiláteros cujos lados medem, respectivamente, 2 em e 8 em. A aresta lateral mede 5 em. Calcule
a área lateral, a área total e o volume desse tronco. Solução

h 3

[B

+

~B· b
= 7

,-----:-

+ b) == -3- --4- +

,fl3

[64

13

8 . 2 .J3 4

+

4

4

13 ]

Jl3'. 21 /3
3

,f39 cm)

776. Determine o volume de um tronco de pirâmide cujas bases são ~riângulos equiláteros, sabendo que a área da base maior é 24 em] e que a razao de ~e~e~hança entre os lados das bases é 2/3. sendo 6 em a altura do tronco de ptramlde. 777. Qual o volume de um tronco de pirâmide regular hexagonal, de ~esta lateral 5 m, 2 cujas áreas das bases medem, respectivamente, 54.J3 m] e 6 'Í 3 m ?

778.
A

o apótema de uma pirâmide triangular regular mede 39 em e o apótema da. b,as~,
J5 em. Calcule a área total e o volume do tronco que se obtém cortando a plrarmde, a 24 em do vértice, por um plano paralelo à base.

c
'6
Tronco Face lateral

779. Determine a medida da altura de um tronco de pirâmide regular, sabendo que seu volume é 342.f3 em], sendo as bases hexágonos cujos lados medem 4 em e 6 em, respectivamente.

a) Área lateral Cálculo da altura da face no ~DA': f2 = 52 - 32 .... f = 4 em.

780. Dadas as medidas B B' h das áreas das bases e da altura, respectivamente, de Um tronco de pirâmide, determine a altura da pirâmide da qual se obteve o tronco. 781. Dados os lados a e b das bases quadradas de um tronco d~ pirâmide, de~er~ine a altura do tronco, considerado regular, de modo que a area lateral seja Igual à soma das áreas das bases. 281

280

SÓLIDOS SEMELHANTES - maNCOS

SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS

782. Calcule o erro que se comete tomando para volume de um tronco de pirâtnid e o produto da semi-soma das áreas das bases pela altura.
b) Cálculo do volume

783. Determine o volume de um tronco de pirâmide regular. sabendo que as bases sào quadrados de diagonais em e 8 f2 em, respectivamente, e que a aresta Ia. teral forma com a diagonal da base maior um ângulo de 45°.

4.J2

V

e-;.

~

[B

+ .[Bb + bl

4 na fórmula, vem: . . SubstllUln do h - 8 B == 400 e b == 6 ~.
V ==

784. O volume de um tronco de pirâmide hexagonal regular de bases paralelas é igual a 40 mJ • Sua altura mede 3 m e a área da base maior 20 m 2 • Calcule a relação que existe entre os lados dos hexágonos das bases. 785. Determine a área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular, sendo 4 dtn o lado da base menor e sabendo que uma aresta lateral forma um ângulo de 60. com um lado da base maior, dado o apótema do tronco igual a 1 dm. 786. Determine a área total de um tronco de pirâmide regular, sendo as bases paralelas hexagonais, em que o lado da maior base mede 10 em e a altura do tronco é igual ao apótema da maior base, sabendo ainda que as faces laterais do tronco formam com a base maior um ângulo diedro de 60°. 787. O volume de um tronco de pirâmide regular é 109 dm3; as bases são triângulos equiláteros de 5 dm e de 7 dm de lado. Calcule a altura. 788. O apótema de um tronco de pirâmide regular mede 10 dm, as bases são quadrados de lados, respectivamente, 8 dm e 20 dm. Calcule o volume.
SoluçãO

+-

[400

+

1400 . 64

+

641

= ~

[400

+

20 . 8

+

3 64] = 1664 dm •

m tronco de pirâmide regular são quadrados cujas diagonais medem d do 5 em 789. As bases de u 4 em e 10.[2 em, respectivamente. Determine o volume o tronco, sen a medida da aresta lateral.

J2

O apótema de um tronco de pirâmide regular tem 5 em; as bases são quadrados 790. de 4 em e la em. Ca Icu Ie ovo Iume.
791. Determine a área total de um tronco de pir~mid~ quadran~ular regular, sendo 8 em e 6 em as medidas dos lados das bases mfenor e supenor. sabend~ ~u~ as faces laterais formam um ângulo de 60° com a base maior do tronco de puamlde. 792. A aresta lateral de um tronco de pirâmide triangular re~ular m~de ~ m ~ for:: um ângulo de 60° com a base maior. O raio do ~í:cu.lo CHcunscnto a maior b mede 4 m. Encontre o volume do tronco de plramlde. 793. Um tronco de pirâmide tem por bases dois octógonos re~u)ares cujos lados ~:~ dem 4 em e 2 em respectivamente. A altura do tronco e de J~ em. Determ I ' o volume do tronco de pirâmide. bem como o vo Iume d " a plraml de total na qua está contido o tronco.

c
A

794. Considere o triedro tri-retângulo, cujas arestas são os semi-eixos Ox, Oy e Oz. Sobre Ox marque um ponto A tal que OA = 3 m; sobre Oy marque B tal que 08 == 4 m e sobre 0<; marque e tal que oe = h.

c

B

a) Seccionando a pirâmide OABe por um plano paralelo à base OA B q~e~pa:'se

a) Cálculo da altura no 6MNM': h2 = ]lY- 62

pelo ponto médio de
=>

oe, calcule as áreas das bases do tronco de plramlde
. ~ . . ..

h == 8 dm.

b) Determine o volume do tronco de puamlde, se a arca do tnangu o

resultante.

I ABe for

igual a 12 m 2 •
282
283

~~:.:.· f~ :.j_.·~:.t~:.I•.:~:.: .•:.:~I.:.-~:~:~:~:.I.:~'I~:.,.~:.:~P~I~':._~II~:~t.-.:.?:.:.;.=_:~::~~_.I . •: •. .. .I •. _~~~~~i~=~2:Z:=f== ..• ~
•• ••

SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS SÓLIDOS SEMELHANTES TRONCOS

111. Tronco de cone de bases paralelas
240. Volume
Dedução da fórmula que dá o volume do tronco do cone de bases pa----.,..-,.. raleIas.
I
I

241. Área lateral e área total
Dedução das fórmulas que dão , lateral e a área total de um trona area II ço de c on e reto de bases para e as. Dados:
R = raio da base maior r = raio da base menor g == geratriz do tronco

,
I I I
I

,
I

I I
I
;

A f1
I

I

:
I •

A t2
I I

I
I

Dados:
R

raio da base maior r = raio da base menor h = altura Pede-se: V

v, : -+- v2 I
: I

Pedem-se: AI e A, do tronco.

A,
I
I

I I

I I I I

V I
I

,

I I
I
I

I

• •

I

= volume do tronco.

••
Solução

Solução Área lateral Sejam Ar, AI1 e A e as áreas la2 terais, respectivamente, do tronco, do cone destacado e do cone primitivo. Então:
A e, A I2
-

A/ == 7r R O 2 - 7rrO, ==

1rR(G, + g)-7rrO, == 7r[Rg + (R-r)O,]
Cálculo de H, em função dos dados:
H2 R H,

H,

r

~

+
H,

h

R

r

~

H,

hr R- r

Cálculo de OI em função dos dados:
6ADE - 6EFC
=.?

AE EC

DE FC

~

G,
g

rg
R - r

(2)

Substituindo H, de (2) em (1):
V =....!... [R2h + 3

Substituindo OI de (2) em (1), temos:
= 7rh [R2 3

(R2-r2)~] R-r

+ (R + r)(R-r)--!--]
R-r

Ai

'='

11"

[R . g

+ (R - r).

R- r

rg

] == 7r [Rg

+ rg]

A, == 1r(R

+ r)g

1i

285
284

I:·::::::,::::::::::::::::::'.:.::::t:.::::::.::,:::':::.===::,.:::~:>::~/:':~;;".;~'~~,:.;~:i~':,J""j/:f':',!'!:r:'.:.:·,·::::::::.x::=·::m:':,:: . ..
SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS

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1 ,:;::.:.

::5:1

SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS

Observação:
A dedução acima justifica a propriedade: A superfície lateral de um tronco de cone reto de raios R e r e geratriz g é equivalente a um trapézio de bases 27rR e 21fr e altura g.
~=

resen tc, Por meio de uma expres199. R P I ébrica, a área total do tronco _e sao a ge reto obtido a partir da planide con ficaçãO ao lado.

27rR + 21rr

2

g

AI = 1f(R + r)g!
Área total

Determine os raios, a altura e o apótema de um tronco de cone, sendo o raio ~aior 800. o dobro do menor, a altura, o dobro do raio maior e o volume 2241[/3 dm . 801. Determine o volume de um tronco de cone, sendo 10 em e 30 em as medidas respectivas dos raios das bases e 29 em a medida de sua geratriz.

802. Determine a altura de um tronco de cone, sabendo que os raios das bases medem, respectivamente, 3 m e 2 m, sendo 207r m 3 o seu volume.

At

= 7r[R(g +

R)

+ reg + r)}

803. Determine a área lateral e a área total de um tronco de cone, sabendo que os raios de suas bases medem 11 em e 5 em e que a altura do tronco mede 8 em. 804. Determine a área lateral de um tronco de cone cuja altura mede 8 em, sendo os raios das bases 4 em e 10 em, respectivamente.

_____ E_X_E_R_C_ÍC_I_O_S
a) cone reto
1 em

J

805. Os raios das bases de um tronco de cone de revolução medem 6 me 4 m. Calcule a altura para que a área total seja o dobro da área lateral.

795. Calcule o volume dos troncos de cones, cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo. b) cone reto

8~

81:"",.

806. A área lateral de um tronco de cone vale 5607l' em 2 • O raio da base maior e a geratriz têm medidas iguais. O raio da base menor vale 8 em e a altura do tronco mede 16 em. Determine a geratriz. 807. Os diâmetros das bases de um tronco de cone de revolução são, respectivamente, 22 me 4 m. Qual o diâmetro de um cilindrn de mesma altura do tronco e de mesmo volume? 808. Os raios das bases de um tronco de cone medem, respectivamente, 4 em e 6 em. Calcule a altura desse tronco, sabendo que a área lateral é igual à soma das áreas das bases.
809. A medida do raio da base menor de um tronco de cone é 10 em e a geratriz forma com a altura um ângulo de 45°. Determine a medida do raio da base maior, sabendo que o volume do tronco de cone é 3997r em 3 • 810. ~ plano que contém uma das bases de um cilindro equilátero contém uma das ases de um tronco de cone. Sabendo que as outras duas bases, do cilindro e do ~onco, são comuns, calcule a relação entre os volumes do cilindro e do tronco de cone, sabendo que as bases comuns têm raios 10 em, sendo 30 em a medida a geratriz do tronco do cone. Um tronco de Cone reto tem bases circulares de raios R e r. Qual a altura para qUe a Superfície lateral seja igual à soma das superfícies das bases?

r = O,6emeR = 1,Oem

796. A geratriz de um tronco de cone reto mede 4 dm e os raíos das bases, respectivamente, 3 dm e 2 dm. Calcule a área total e o volume. 797 .. Determine a medida da altura, o volume e as áreas das bases de um troncO de cone, sabendo que sua geratriz mede 12,5 em e os raios das bases menor e maior estão na razão 2/3, sendo 50 em a sua soma. 798. Determine o volume de um tronco de cone, sabendo que sua área total é 1207r em 2 , sendo 4 em e 7 em as medidas dos raios das bases, respectivamente.
286

287

.<,.,'",

:',~

SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS

SÓLIDOS SEMELHANTES -

TRONCOS

812. A altura de um tronco de cone mede 1 m. O diâmetro da base maior é duas Ve o diâmetro da base menor. A geratriz forma um ângulo de 45° com o plano ~s base maior. Determine o volume do tronco de cone. a 813. Os raios das bases de um tronco de cone medem 20 em e la em, sendo que a gera. triz forma com o plano da base maior um àngulo de 45°. Determine o volume do tronco de cone. 814. Determine o apótema de um tronco de cone de bases paralelas, sabendo que a soma de suas circunferências equivale à circunferência de um círculo de raio R e que a superfície lateral equivale à superfície desse círculo. 815. Um cilindro e um tronco de cone (circulares retos) têm uma base comum e mesma altura. O volume do tronco é a metade do volume do cilindro. Determine a razão entre o raio da base maior e o raio da base menor do tronco. 816. Se a altura de um tronco de cone é igual a quatro vezes a diferença dos raios das bases, o volume desse tronco é igual à diferença dos volumes de duas esferas cujos raios são os raios das bases do tronco de cone.

Problemas gerais sobre sólidos semelhantes e troncos .

f

_, ...

.-,..."

.~.;

.....

--.:;

823.

~m cilíndro semelhante ao ~ri~eiro, sabendo que o volume do segundo Cilindro
é o triplo do volume do pnmeuo.
A área determinada pela secção plana paralel~ à .ba~e de uma pirâ~i~e ?e ~5 em de altura é os 3/5 da área da base. Calcule a dIstanCIa da base da puamlde a seco ção plana.

raio de um cilindro mede 10 em e a altura 20 em. Determine as dimens.õ.es de

824.

817. Numa secção plana feita a uma distância de 2 m do centro de uma esfera, está inscrito um triângulo equilátero de área 3.J3 m 2 _ Determine o volume do tronco de cone circular cujas bases são a secção referida e a secçâo diametral que lhe é paralela.
818_ Em um tronco de cone de revolução, os raios das bases e a altura medem, respec. tivamente, r, 2r, 4r. a) Ache a área lateral do tronco. b) A que distância x da base maior se deve fixar um ponto V, sobre o eixo do cone, de modo que sejam iguais as áreas laterais dos dois cones, tendo V por vértice e por bases as do tronco.

825. Secciona-se uma pirâmide PABCDE por um plano paralelo à base, determinando o pentágono MNORS. Sendo PA e PM, respectivamente, 15 melO m e a superfície ABCDE, 375 em?, calcule a área do pentágono MNQRS. 826. Determine o volume de um cone cuja superfície lateral é os 3/4 da superfície de um cone semelhante de altura 21 em e raio da base 20 em. . 827. Um plano paralelo à base de um cone secciona-o a uma distância d ?o vé~tice do cone. Sendo g a geratriz do cone e r o raio da base do cone, determme a area da secção, sendo A a área da base do cone. 828. Duas pirâmides têm alturas iguais a 14 m cada uma. A primeira tem por base um quadrado de lado 9 m e a segunda um hexágono de 7 m de lado. Um p.lano secciona as duas pirâmides a 6 m do vértice. Obtenh~ ~ r:lação entre as areas das secções determinadas na primeira e na segunda puamlde. 829. Determine a distância do vértice de um cone a um ponto de sua geratriz, sabendo que um plano contendo esse ponto e paralelo à base do cone secciona-o, dividi~­ do a superfície lateral do cone em duas superfícies equivalentes, e que a geratnz do cone mede 36 em.
830. Dado um cone circular reto, a que distância do vértice se deve traçar um plano paralelo à base de modo que o volume do tronco, assim determinado, seja metade do volume do cone dado.

819. Sobre base comum foram construídos dois cones retos (um dentro do outro). O raio da base é R. Um plano paralelo à base, que passa pelo vértice do cone menor, intercepta o cone maior segundo um círculo de raio r. A altura do cone me· nor é h. Ache o volume do sólido compreendido entre as superfícies laterais desses dois cones.
820. Dois troncos de cone TI e 7] têm uma base comum de raio igual a 8 em, sendo as outras bases círculos concêntricos. Sabendo que o raio da base maior de TI é igual a 14 em e o volume de TI é o triplo do volume de T2 , determine a razão entre as áreas das bases não comuns dos troncos 72 e TI' nessa ordem. 821. Sendo a geratriz de um tronco de cone a soma dos raios das bases do tronco, então a metade da altura do tronco é média geométrica entre os raios das bases e o volume do tronco é igual ao produto de sua área total pela sexta parte da altura. 822. Determine as medidas dos raios das bases de um tronco de cone de revolução, sendo h a medida de sua altura, g a medida de sua geratriz e a2 h .,. /3 o seU volume. Discuta.
288

831. A que distância do vértice devemos traçar um plano paralelo à bas~ de u~ .c?ne cujo raio da base mede 7 em e altura 24 em, de modo que o cone fIque dlYldldo em dois sólidos equivalentes?

289

SÓLIDOS SEMELHANTES TRONCOS

4:::
A que distâncias das bases de um cone ?e 12 .~ ~e altura ~devemos p~ssar doi~ 832. planos paralelos à base para que o sólido fique dlVldldo em tres partes eqmvalentes.

I ::\

•...:.::: :::::::: M ..:

j

-

SÓLIDOS SEMELHANTES _ TRONCOS

837. Sabendo que o semiperímetro da secção meridiana de um cone d Ir:; e revo uçao mede (6 + 3 ... 2) em e que essa secção é um triângulo retângulo isósc I d . a que distância do vértice devemos traçar um plano paralelo à ba:eeds, etermme . I Id .. d . o cone para que a area atera o novo cone seja a qumta parte a area lateral do cone maior.

Solução

838. Um plano paralelo à base de um cone, de geratriz g e raio de base r, secciona-o.
Sabendo que a área da base do cone obtido é média geométrica entre as duas partes em que fica dividida a superfície lateral do cone, determine a distância do vértice do cone a esse plano.

839. Determine a distância do vértice de um cone a um plano que o secciona paralelamente à base, sabendo que o raio do cone mede r, sua geratriz g e que a secção obtida é equivalente à área lateral do tronco de cone formado. 840. Consideremos um cone de revolução de geratriz g e raio da base r. Determine a distância do vértice do cone a um plano que o secciona paralelamente à sua base de modo que os dois sólidos obtidos tenham superfícies totais equivalentes.

=>

12-x 12 =

~3,

1

==-

12 .e-

i

= 4

V9 ==

=- . x=

4(3 ,... 3JC))
12 - y = 4 ~'i.8==

841. A altura de um cone de revolução e o raio da base medem 1 em e 5 em, respectivamente. A que distância do vértice devemos traçar um plano paralelo à base do cone de modo que o volume do tronco de cone seja média geométrica entre o cone dado e o cone menor formado? 842. Um cone tem 32011" m] de área total e 12 m de altura. Calcule o volume e a área lateral do tronco obtido pela secção desse cone por um plano paralelo à base e distante 9 m dessa base. 843. O volume de uma pirâmide é Ve a aresta lateral é f. Ache um ponto da aresta, tal que o plano paralelo à base, passando por ele, determine uma pirâmide de volume V'. 844. Uma pirâmide tem o volume V = 15 dm 3 e uma de suas arestas (laterais) mede 32 em. Pelo ponto A (dessa aresta lateral), à distância de 4 em do vértice da pirâmide, conduz-se o plano paralelo à base (da pirâmide). Calcule o volume de cada um dos sólidos obtidos por esse plano. 845. A geratriz de um cone mede 4 m. A que distâncias do vértice se devem traçar, sobre a geratriz, planos paralelos à base do cone de modo que o cone fique dividido em 3 sólidos de volumes 2 m J , 3 m l e 5 m l ?
846. Uma pirâmide triangular regular tem de aresta lateral 10 dm e para apótema da base 3 dm. Corta-se essa pirâmide por um plano paralelo à base e cuja distância ao vértice é 4 dm. Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido. 847. Dada uma pirâmide de 12 metros de altura, a que distância do vértice devemos passar dois planos paralelos à base para obter três volumes iguais?
291

3r2::' 12 - y v 12 ~.

3J3.
,c~
';:"

y= 4(3 - ~118)

Resposta: 4(3 - ~)m e (3 -

.

.>'';"

3~/8)m.

r"·

833. Corte uma pirâmide de altura h por um plano paralelo à base, de modo que o volume da pirâmide menor seja /18 do volume do tronco. 834. Num cone de revolução, a geratriz tem g em e a área da base B em área de uma secção feita a t em do vértice.
2 •

Calcule a

835. Um ângulo poliédrico PABCD é seccionado por um plano perpendicular à ares~: PA obtendo-se por secção um losango ABCD de la em de lado. Sabendo q Q o di'edro da aresta PA do ângulo poliédrico dado mede 60 e.~ue. o segme,nt? PA mede 10 em, calcule a distância do vértice P do ângulo poltednco ao vertlce C do losango secçào. 836. Um plano paralelo à base de um cone secci~ma-o, ~eterminando dois cones .C] Sendo g e R respectivamente, a geratnz e o raIO da base de C] , deter~me e C2' • '. • a distância do vertlce do cone C j a base do cone menor C2' sab en d o que a area lateral de C] é igual à área total do cone menor C 2 •
290

SÓLIDOS SEMELHANTES -

TRONCOS SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS

848. Corta-se um tronco de pirâmide de bases paralelas por um plano paralelo às ba. ses e cuja relação das distâncias a essas bases é m : n. Ache a área da secçào ' conhecendo as áreas B e b do tronco. Solução
I

853.

A que distâncias do vértice se devem traçar, sobre a altura de um cone, planos aralelos à base do cone, de modo que o cone fique dividido em 3 sólidos de vofumes iguais, sendo 21 m a altura do cone?
A aresta lateral PA de uma pirâmide mede 20 m. Que comprimento devemos tomar sobre essa aresta, a partir do vértice, para que dois planos paralelos à base dividam a pirâmide em três sólidos cujos volumes são proporcionais a 4, 5 e 6?

"Ih
m n
=>
I

H 2 - H( H3 - H2

(1)
I I

I

I \ I \ I \

854.
\
\
\

I
'.,-1'/

I
I
I

l!L "" -Jb
H2 H2

,fx ,fx

H1 H3

5 ......................\

b'I

H3 - - = -_.

fB

~

855. Dois planos paralelos à base de uma pirâmide dividem-na em três sólidos, que, considerados a partir do vértice da pirâmide, têm volumes diretamente proporcionais aos números 27,98 e 91. Calcule as distâncias dos dois planos secantes ao da base, sabendo que a altura da pirâmide é igual a 12 em. 856. É dado o cone circular reto cujo raio da base tem comprimento r e cuja geratriz faz com o plano da base um ângulo de 60°. Determine a que distância do vértice deve ser traçado um plano paralelo à base para que a área total do tronco de cone, assim determinado, seja igual a 7/8 da superfície total do cone.

Substituindo H J e H 3 em (I):
H2-~H2

Jt)

m
n

fB ,fx

m n

H2

-

H2

857. A área lateral de uma pirâmide regular de base quadrada é 240 m 2 • O comprimento do lado da base é 312 da altura. Conduz-se um plano paralelo ao plano da base; a secção está a 1/4 da altura, a partir do vértice. Qual a área da secção? 858. A que distância do vértice de um cone circular reto de raio R e geratriz g se deve passar um plano paralelo à base, de modo que a área da secção seja igual à da superfície lateral do cone? 859. Um cone circular tem raio 2 m e altura 4 m. Qual é a área da secção transversal, feita por um plano, distante 1 m do seu vértice? 860. Dado um tronco de cone reto, cuja altura é igual a 3 m e cujas bases têm raios ~ m e J m, respectivamente, divida esse tronco de cone por um plano paralelo as bases, de maneira que o volume da parte adjacente à base maior seja equivalente a 8 vezes o volume da outra parte. 861.
Conhecidos os raios r e R das bases de um tronco de cone de bases paralelas, determine o raio de uma secção paralela às bases, tal que divida o tronco em duas partes cujos volumes estão na razão a : b.
a~es, de modo que a razão entre os volumes dos sólidos obtidos é p/q. Ache a area da secção, conhecendo as áreas B e b das bases do tronco.

=- TI J;. =- J;. ""
Resposta:

n.Jb '" m JB - m.rx

=X=

(m + n),fx "" m.JB + n Jb

m + nJt) JB
m+n

==>

(m fB + TI fb )2
m+n

+ nJb)2 (mm + n . m

849. A que distância do vértice de uma pirâmide estão situadas duas secções feitas por planos paralelos à base da pirâmide, cujas áreas são 49 m 2 e 64 m1 , respectivamente, e sendo 30 m a distância entre elas?

850. A altura de uma pirâmide é dividida em seis partes iguais e pelos pontos de divisão são traçados planos paralelos à base. Sabendo que a área da base é 360, determine a soma das áreas das cinco secções da pirâmide pelos referidos planos.
851. Como deve ser dividida a altura de uma pirâmide, paralelamente à base, para obter duas partes de volumes iguais? Generalize para n partes equivalentes.

862.

~ecciona-se um tronco de pirâmide de bases paralelas por um plano paralelo às

863.

852. A aresta lateral PA de uma pirâmide mede 12 m. Que comprimento devemos tomar sobre essa aresta, a partir do vértice, para que um plano paralelo à base divi· da a pirâmide em dois sólidos cujos volumes são proporcionais a 3 e 4?
292

Co~s~deremos a pirâmide regular SABC de altura H, tendo por base o triângulo

lstanCla x do vértice devemos seccionar a pirâmide por um plano paralelo à base, de modo que a área da secção A'B' C' seja igual à área do círculo inscrito em ABC?

~~u~lat~ro ABC de lado a. Seja r o raio do círculo inscrito nesse triângulo. A que

293

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TRONCOS

SÓLIDOS SEMELHANTES ~ TRONCOS

864. A geratriz AB de um tronco de cone mede 13 m e os raios das bases 3 m e 8 111 respectivamente. A partir do ponto B, pertencente à base maior, que comprimen: to devemos tomar sobre AR para que um plano paralelo às bases seccione esse tronco, determinando, na parte superior do tronco dado, outro tronco de COne de volume ~ m 3 ? 865. Determine a relação entre os volumes de dois troncos de pirâmides de igual altura obtidos da secção por um plano paralelo às bases de um tronco de pirâmide de bases paralelas, sendo a e b as áreas das bases do tronco de pirâmide primitivo. 866. As bases de um tronco de pirâmide são quadrados de lados 24 em e 12 em, sendo a altura do tronco 36 em. Um plano intercepta o tronco de pirâmide no ponto de interseção de suas diagonais, paralelamente às bases. Calcule o volume dos dois sólidos obtidos. 867. Um plano secciona uma pirâmide onde uma de suas arestas mede 12 em. Sendo esse plano paralelo à base da pirâmide e 315 a razão entre os volumes da pirâmide menor e tronco de pirâmide, determine as medidas dos segmentos em que a aresta fica dividida por esse plano. 868. Dois planos paralelos às bases de um tronco de cone de raios r e R seccionam o tronco, dividindo-o em três sólidos de volumes iguais. Determine a relação entre as áreas das secções.
161br

243.

Volume de um tronco de prisma triangular
São dados: a área de uma secção reta = S as medidas a, b e c das arestas laterais.
1~) Tronco de pr~smatriangular com uma base perpendicular às

arestas laterais
. . Essa base e secçao reta e tem area S .
~..- ..-"-

~. ... ". ~ Pi:rãmide
,- ......

.

h ""'-::.----::~ , h
C

-

..-~

8,

b

a

Com a decomposição indicada na figura, temos: Volume do tronco = Volume do prisma + Volume da pirâmide ou seja:
V

V. Tronco de prisma triangular
242. Conceito
Consideremos: um prisma ilimitado; dois planos, não paralelos, secantes a esse prisma; a interseção desses dois planos externa ao prisma ilimitado. Nessas condições, o sólido que é a reunião das duas secções com a parte do prisma ilimitado compreendida entre os dois planos é chamado tronco de sendo

S.a+-1B.h 3 1 I

Área do trapézio

(c - a)

+ (b 2

a)

h, temos:

V = S . a + _I . (c - a) + (b - a) . h . h[

3
e Considerando que S
tronCO
=

2
h· h}

vem:

2
de prisma

V=s ·a + 3(h + C-2a)-Z-1 = S·a + 3(b + c-2a).S = S (a+b+c) 1 h·h 1 3

prisma.
As secções são as bases do tronco de prisma.
294

295

::'

'.,

SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS

2~)

Tronco de prisma triangular qualquer
el/

o plano de uma secção reta (de
área S) divide o tronco de prisma em dois do tipo considerado acima.

do clhn r

sas condições, o sólido que é a reunião das duas secções com a parte .. Nd~ ilimitado compreendidas entre os dois planos é chamado tronco de

'(Tldro circular. O segmento com extremidades nos centros das secções é o eixo.

v
V

= S'

Xl

'+-

+ VII YI + ZI + S.
=

VI

245. Volume e área lateral
XZ

+ Yz + Zz ~
3

3

Dado um tronco de cilindro circular de raio r e eixo e, podemos obter um cilindro circular reto que lhe é equivalente e tem mesma área lateral.

Conclusão

o volume de um tronco de prisma triangular é o produto da área da secção reta pela média. aritmética das arestas laterais.
• te
I .... __ I 'l-,
I ....

"-

\

VI. Tronco de cilindro
244. Conceito
Consideremos: um cilindro circular ilimitado; dois planos não paralelos, secantes a esse cilindro; a interseção desses dois planos externa ao cilindro ilimitado.

Assim, temos para o tronco do cilindro:

v = V ..

cllmdro

v = 'lrrz , e
A.t =
211'f •

A=A(CIlindro i

e

[
869.

E_X_E_R_C_ÍC_I_O_S

_

u~ prisma triangular regular é seccionado por um plano não paralelo à sua base, o tendo-se um tronco de prisma cujas arestas laterais medem 3 em, 5 em e 7 em, ~eSpectivamente. Sendo 5 em a medida da aresta da base, determine o volume esse tronco de prisma.
297

296

"

'\ ;:;";
".l

SÓUDOS SEMELHANTES -

TRONCOS

SÓLIDOS SEMELHANTES -

TRONCOS

870. Calcule o volume dos troncos cujas medidas estão indicadas nas fi . . gUras abai a) tronco de pnsma tnangular b) tronco de cilindro xo.

"I' dro circular Teto é cortado por . Um CII 10o não paralelo a sua base, re· unI P ~ no sólido ilustrado na figulan lcule o volume desse sólido em sul ra. C a . da base r, d Ima· do rato a a tUfa ' termoS l ' . AS '" a e da atura ffilmma " XlnI3 CD '" b.

B
D

a
b

...... --~ .....
C

0,5 em
8,0 em

Uma secção plana que contém o eixo de ~m tronco de cilindro é um tra~ézjo cu· 878. jas bases menor e maior medem, respectivamente, h em e H em. Duplicando a base menor, o volume sofre um acréscimo de Determine H em função de h.

+

em relação ao seu volume original.

879. Na figura abaixo representamos: dois planos, ex e
871. Re~re~en~e através de expressões algébricas o volume dos troncos cujas medidas estao mdlcadas nas figuras abaixo.
a) tronco de prisma triangular b) tronco de cilindro
O ângulo

{l, cuja interseção é a .ret: r.e entre eles é 45°; uma reta s perpe.n~icular ao ~lano ex, tal ~ue. a dl.stancIa entre as retas r e s é igual a 40 em e um CIlindro de raIO 5 em, cUJO eixo e a reta s. Determine o volume do tronco de cilindro, limitado pelos planos ex e {lo

J-=:i x
2

I
40 em

872. Determi?e o volume de um tronco de prisma, sabendo que sua base é um triângu· lo equI1atero de lado 10 em e a soma das arestas laterais é 24 em.

873. ~s medidas.das geratrizes maior e menor de um tronco de cilindro de revolução sao, respect1va~ente, 10 em e 8 em. Determine a medida do raio da secção rela, sabendo que a area lateral do tronco de cilindro mede 54 'li" em2.
,.~

874. A secção reta de um tronco do prisma triangular de volume Vem 3 tem área de B em). Duas arestas laterais são a e b. Determine a outra. 875. Calcule a medida da área lateral e do volume de um tronco de cilindro de revolução cuja área da base mede 3611" em), sendo seu eixo igual ao diâmetro da base. 876. De~onstre que? volume de um tronco de prisma triangular é igual ao produto da area da secçao reta pela distância dos centros de gravidade das duas bases. 298

CLJ -I

I

.J__

t

299

Biblíotacà Juvenil do Colégio de Aplica
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

CAPÍTULO X I V - - - - - - -__

247.

Esfera circunscrita ao cubo
Cálculo do raio (R) da esfera circunscrita a um cubo de aresta a. Solução

Inscrição e Circunscrição

de Sólidos
Neste capítulo apresentaremos sob forma de problemas a inscrição e a circunscrição dos sólidos mais comuns: prisma, pirâmide, poliedros em geral, , cilindro, cone e esfera.

o diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo.
2R =

a.J3 ~

R =

a.J3 2

I. Esfera e cubo
246. Esfera inscrita em cubo
Cálculo do raio (r) da esfera inscrita num cubo de aresta a. Solução

[
a

EXERCÍCIOS

880. Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 1 dm de aresta. 881. Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 em de aresta. 882. Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera de 8 em de raio. 883. Determine a área lateral e o volume de um cubo circunscrito a uma esfera de 25 11' cm 2 de superfície. 884. Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total ~ede 54 cm2. . 885. 886. 887.
2,30411' em 3 •

Determine. o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo volume mede Determine a razão entre a área da esfera e a do cubo inscrito nessa esfera.

o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo.
2r=a~r=a

C:alcule a razão entre os volumes de dois cubos, cIrcunscrito a uma mesma esfera.

O

primeiro inscrito e o segundo

2

300

301

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓliDOS

INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓliDOS

888. Determine a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a

cubo de aresta

Q.

ulJl

Esfera
Solução

inscrita em um octaedro regular

889. Calcule o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo raio mede r. 890. Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medid A da superfície da esfera. a 891. Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medida V do volume da esfera. . 892. Determine a área da superfície esférica circunscrita a um cubo, em função da medida A da área total do cubo.

Cálcu Io d o raio (r) da esfera inscrita num octaedro regular de aresta a.

A

a12
2

T

893. Determine a distância do centro de uma esfera inscrita em um cubo a um dos vértices do cubo, sabendo que a superfície da esfera mede 54,76 lT em2.
894. Determine a diagonal de um cubo circunscrito a uma esfera na qual urna cunha de 60° tem área total igual a 6011" em 2.
M

a ~2-j

J

895. Uma esfera está inscrita em um cubo. Calcule o volume do espaço compreendido entre a esfera e o cubo, sabendo que a área lateral do cubo mede 1447l" em2.
896. Cada vértice de um cubo é centro de urna esfera de raio igual a 4 em; sendo 8 em

a medida da aresta do cubo, calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.

o raio da inscrita é a altura OH do triângulo retângulo AOM. Aplicando relações métricas no MOM (hipotenusa x altura = produto dos catetos):
--·r 2

a.J3

a.J2 . ~
2 2

=:;>

r =

aJ6
6

.lI. Esfera e octaedro regular
248. Esfera circunscrita ao octaedro regular
Cálculo do raio (R) da esfera circunscrita a um octaedro regular de aresta a. Solução

Nota: A distância entre duas faces paralelas do octaedro regular é 2 r.

[

EXERCÍCIOS

897. Calcule o volume de um octaedro regular inscrito em urna esfera de volume igual a 36 'Ir em J • 898. Determine o volume compreendido entre uma esfera de raio r e um octaedro regular inscrito nessa esfera.

quadrado).

o diâmetro

da esfera é igual à diagonal do octaedro (diagonaJ do
2R ==

S99. Determine a área total do octaedro regular inscrito em uma esfera cujo círculo máximo tem 36 It cm 2 de área. 900. Duas esferas são circunscrita e inscrita em um mesmo octaedro. Calcule a razão entre seus volumes.
303

a,J2 =-

R ==

a.J2
2

302

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INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

901. Calcule o perímetro P e a área S da secção produzida num octaedro regul . "A arCJr. . cunscnto a uma esfera de ,16 dm de dtametro pelo plano que conrém o c dessa esfera e que é paralelo a uma das faces do octaedro. entro

sfera inscrita e esfera circunscrita ao tetraedro regular 251. E J'
Cálculo do raio da esfera inscrita (r) e da esfera circunscrita (R) a um drO regular de aresta a. retrae
Solução

902. Dada uma esfera de

m de diâmetro, considere o octaedro regular nela' crito, bem como o plano paralelo a duas faces opostas do octaedro, tal que Jns. distâncias a essas duas faces sejam diretamente proporcionais aos númeross~as 2. Calcule a área da secção que o plano considerado produz no octaedro regUlar~

612

IH. Esfera e tetraedro regular
250. Propriedade
"Num tetraedro regular, a soma das distâncias de um POnto interior qualquer às quatro faces é igual à altura do tetraedro." Sendo o centro (O) um ponto interior do tetraedro regular, para ele vale a propriedade acima, isto é: x + y + z + t = h e, como x = y = Z = t = r, vem
4r = h ~ r
e como R + r
=

Demonstração
D

_1_. h 4

h, então:
R

Sendo I um ponto interior; x, y, e t as respectivas distâncias às faces ABC, ABD, ACD e BCD, devemos provar que:
Z

lh . 4
=-- e

z

Sendo h

x+y+z+t=h
em que h é a altura do tetraedro.

A_-v.Jc--- C
x B

a16 ,temos.. r 3

016
12

R

al6
4

252. Esfera tangente às arestas
. O raio da esfera tangente às arestas de um tetraedro regular é média geométnca (ou média proporcional) entre os raios das esferas inscrita e circunscrita ao mesmo tetraedro.
A

De fato, a soma dos volumes das pirâmides IABC, IABD, IACD e IBCD é igual ao volume de ABCD. Sendo S a área de uma face do tetraedro, vem: 1 1 - Sx + - Sy 3 3 então:

D

Solução

+ -1
3

1 Sz + - St 3

= -1 Sh
3
A

c

da R, r e x são os respectivos raios t s esferas circunscrita, inscrita e angente.
B

o

x+y+z+t

h.
B

f:..AMO - 6NEO =>

~
r

=

...B... ~
x

c
305

304

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INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

_____ EX_E_R_C_Í_C_IO_S

J

Inscrição e circunscrição envolvendo IV. poliedros regu1 ares
253. Tetraedro regular e octaedro regular
. Cálculo da aresta (x) do octaedro regular determinado pelos pontos médas arestas de um tetraedro regular de aresta a. Solução
A
A

903. Um tetraedro regular é inscrito numa esfera de 12 em de diâmetro. Qual o volu_ me do tetraedro? 904. Um tetraedro regular é circunscrito a uma esfera. Se a área da superfície da esfera é 3'lr m2 , calcule o volume do tetraedro.

dlos

905. Determine a área total e o volume de um tetraedro regular circunscrito a uma esfera de raio R.
D

906. Determine o volume da esfera inscrita num tetraedro regular de aresta a.
907. Calcule a área da superfície da esfera circunscrita a um tetraedro regular de aresta a.

B

B

6
a

C

C

908. Calcule as áreas e os volumes das esferas inscrita e circunscrita a um tetraedro
regular de aresta a. 909. Determine a medida da aresta de um tetraedro regular em função do volume V da esfera circunscrita.

x

a = aresta do tetraedro = aresta do octaedro

M e R sào pontos médios dos lados do LiABC: x

a

2 .

254. Cubo e octaedro regular
Cálculo da aresta (x) do octaedro determinado pelos centros das faces
de um cubo de aresta a.

910. Em uma esfera inscreve-se um tetraedro regular e neste tetraedro regular inscreve-se
uma nova esfera. Determine a relação entre as superfícies das esferas.

Solução

911. Em um tetraedro regular inscreve-se uma esfera e nesta esfera inscreve-se um novo tetraedro regular. Determine a relação entre os volumes dos dois tetraedros.

a

2

a

=: :=

x

aresta do cubo aresta do octaedro

aJ2
2
306

307

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255. Octoedro regular e cubo
Cálculo da aresta (x) do cubo determinado pelos centros das face um octaedro regular de aresta a. S de Solução

C_--E-X-ER-C-Í-C-I-O-S----..J
912. Dado um tetraedro regular de aresta a, determine: a) a aresta do octaedro cujos vértices são pontos médios das arestas do tetraedro; b) a aresta do cubo cujos vértices são centros das faces do octaedro obtido acima; c) a aresta de um novo octaedro, cujos vértices sào centros das faces do cubo obtido acima. 913. Determine o volume de um tetraedro inscrito num cubo de 3 m de aresta. 914. O segmento AB de medida 8 cm é uma das diagonais de um octaedro regular. Calcule a área total do hexaedro convexo, cujos vértices sào os pontos médios das arestas do octaedro dado.

aJ2
2

a

=

aresta do octaedro

X

= aresta do cubo

915. Calcule a razão entre as áreas totais A e B, respectivamente, de um cubo e do octaedro regular nele inscrito. 916. Escolha 4 dos vértices de um cubo, de modo a formar um tetraedro regular. Sendo V o volume do cubo, qual o volume desse tetraedro? 917. Dado um tetraedro regular, estude o poliedro P que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro. Se f é o lado do tetraedro, calcule a área total e o volume de P. 918. Dado um cubo de aresta igual a f, considera-se o octaedro que tem por vértices os centros das faces do cubo. Calcule a área da superfície esférica inscrita no octaedro. 919.

Os centros das faces do octaedro são baricentros dessas faces, então:
2 ali x = - · - - ==:> x = - 323

aJ2

256. Cubo e tetraedro regular
Cálculo da aresta (x) do tetraedro regular com vértices nos vértices de um cubo de aresta a. Solução
ACBJD, é tetraedro regular

a

= aresta do cubo
aresta do tetraedro

A 1 f'---++--'::"'-~:;,(r'I

~ados um cubo e um tetraedro regular nele inscrito, considere Q plano que conteu: o centro do cubo e que é paralelo a uma das faces do tetraedro. Calcule a ralao entre as áreas das secções que esse plano produz nos dois sólidos dados.

x

x

a{2 c
A

o
309

308

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V. Prisma e cilindro

C_--E-X-ER-C-Í-C-I-O-S---257. Prisma inscrito em cilindro
Um prisma regular hexagonal está inscrito num cilindro equilátero. Qual é a ra920. zão entre as áreas laterais do prisma e do cilindro?

Eles têm a mesma altura. Basta trabalhar nas bases.
921. Determine o volume de um cilindro circunscrito ao cubo cujo volume é 343 em 3 •

92 2 . Em um prisma triangular regular se inscreve um cilindro. Que relação existe entre as áreas laterais desses dois sólidos?
I

I
I

o raio da base do cilindro
é o raio da circunferência circunscrita à base do prisma.
_,

923. Calcule o volume do sólido que se obtém quando de um cubo de aresta 5 em retiramos um cilindro de diâmetro 3 em. 924. Calcule o volume do cilindro inscrito num prisma reto, de altura 12,5 em, cuja base é um losango de diagonais 8 em e 6 em. 925. Determine o volume de um cilindro de revolução circunscrito a um prisma triangular de 12 em de altura, sendo a base do prisma um triâ~gulo isósceles cujo ângulo do vértice mede 3D", sendo 5 em a medida da base do triângulo. 926. Um cilindro de 30 em de diâmetro está inscrito em um prisma quadrangular regular de 20 em de altura. Determine a diferença entre a área lateral do prisma e a área lateral do cilindro.

I
I

I
I I
.=:~.I-

Base

258. Cilindro inscrito em prisma

927. Em um cilindro circular reto de raio R e altura h, inscreva um paralelogramo retângulo de base quadrada e calcule a área total desse paralelepípedo.

928. Consideremos um prisma hexagonal regular de altura h, cujo lado da base Rlede a, e um cilindro inscrito e circunscrito a esse prisma.

o raio da base do cilindro
é o raio da circunferência inscrita na base do prisma.
,""
.........

a) Calcule a área lateral e o volume do prisma. b) Calcule a área lateral e o volume de cada um dos cilindros. c) Determine a razão entre as áreas laterais e os volumes dos dois cilindros.

Base

310

311

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VI. Pirâmide e cone
259. Pirâmide inscrita em cone

Det~rm~ue a altura da pirâmide de base quadrada é o triplo do lado da base e beD o lado da base mede a. que a U~ cma do cone é os 5/3 do lado do hexágono regular e a soma da geratriz com apot/eado é 16 m. Determine o apótema do cone e o lado do hexágono, bem como
ane relO tem por base um círculo circunscrito a um hexágono regular. O

'ne a área lateral e o volume de um cone circunscrito a uma pirâmide, sa-

esse. . I ,. " o volume da pirâmide que tem por base o hexagono regu ar e por vemce, o vertlce do cone.

o raio da base do cone é
o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide.
Base

933.

a raio

de um cone é igual ao raio de uma esfera de 144 1f em 2 de superfíci.e, a eratriz é os 5/3 do raio. Determine a razão entre os volumes de ambos os sóhdos ~ o volume da pirâmide regular de base hexagonal inscrita no cone.

VII. Prisma e pirâmide
260. Cone inscrito em pirâmide regular
261. Prisma inscrito em pirâmide
Caso o prisma seja inscrito na pirâmide, destacar as semelhanças:

o raio da base do cone é
m' o apótema da base da pirâmide. A geratriz do cone é o apótema da pirâmide. Base
A

6ADE - 6ABC; 6EFC 6ADE 6ABC; 6EFC.

s
A

EXERCíCIOS

]

D

c

A

929. A área total de um cone reto é 9611" em2 e o raio da base mede 6 em. Determine o volume do cone e da pirâmide de base quadrada inscrita no cone. 930. Uma pirâmide quadrangular regular está inscrita em um cone de revolução. O perímetro da base da pirâmide mede 2012 em. Calcule a altura do cone, sabendo que a sua geratriz tem o mesmo comprimento da diagonal da base.
312

B

cci!' Nota: Se tivermos cilindro inscrito em pirâmide, basta circunscrever ao lndro um prisma.
313

t::::

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a

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J.M.. ,: t.

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+

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

_____ E_X_ER_C_ÍC_I_O_S

J
A
I

INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

ine o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces Deter m ~ 93 5 . do paralelepípedo reto-retangu Io d e d'Imensoes a, b , c. Dada a medida f da aresta de um cubo, determine a área late;al. e o volume de uma pirâmide que tem para base uma face do cubo e para vertlce o centro da face oposta. Calcule o volume do cubo inscrito numa pirâmide quadrangular regular a 6 m de altura e 3 m de aresta da base, sabendo que o cubo tem vértices sobre as arestas da pirâmide.

934. Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base igual a 1 e a alt igual a h. Seccione-a com um plano paralelo à base de modo que o prisma Ufa " 'd I ' qUe tem por bases a secçao d a plraml e com o pano consl'd erad o e a projeção OH gonal dessa secção sobre a base da pirâmide, tenha superfície lateral 482 • ObtO~ nha a distância da secção ao vértice da pirâmide. e

937.

Solução
A

938. Dá-se a altura h de uma pirâmide regular de base quadrada e constrói-se sobre a base um cubo, de modo que a face oposta à base corte a pirâmide num quadrado de lado a. Calcule o lado da base da pirâmide.
2 939. Um prisma quadrangular regular de 12.J2 m de área lateral está inscrito num octaedro regular de 3213 m 2 de área total. Calcule o volume do prisma, sabendo que seus vértices pertencem a arestas de octaedro.

! I
E ,-',- 1 y,:2 i
~2-!

i

i

_.dD
f

__._.-r.ds
C

i

r

940. Num paralelepípedo retângulo a, b, c, assinalemos os pontos médios de todas as arestas e unamos dois a dois aqueles pontos médios que pertencem a arestas concorrentes num mesmo vértice. Suprimindo os oito tetraedros que ficam assim determinados nos triedros do paralelepípedo, obtém-se um poliedro. Determine o volume desse poliedro em função de a, b, c. 941. Prove que o volume do tetraedro regular é a terça parte do paralelepípedo circunscrito. 942. Determine a razão entre o volume de um octaedro regular e o volume de um cilindro equilátero circunscrito a esse octaedro. 943. Um vaso cilíndrico cujo raio da base é r e cuja altura é 2 r está cheio de água. Mergulha-se nesse vaso um tetraedro regular até que sua base fique inscrita na base do cilindro. Há transbordamento da água. Retirando-se o tetraedro do vaso, qual é a altura da coluna de água'?

'-'---J2
2

Sendo x a distância pedida e y a aresta da base do e.:isma, vem: Área lateral

= 45 2 ==
x h

4· y(h - x)

=

45 2

=-

y(h - x)

=

52

(1)

y-

,J2
2
2

Da semelhança:

=~

==

y

x

h .

Em (1): ~ (h - x)

=

52

~ x2 - hx + 52 h

= O~ x =

h

+ Jh(h 2

452)

Condição: h - 4S 2 ? O

=-

h?l 45 2 •

314

315

~JI •.-

I !I:•.•.••.• .------:_--.--,
INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓUDOS

- ..-

111.111;111,•..1II ,•.• ·

~!iI!,:!'!I . .•.III.~), ••I!l!_L·'.·!..!II!.IIIlIIr'"i""I I:;:~(:" /,.~;:I!I::,.!III_! _ .• .• '. .•~• •• •.•' ••• .

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IIII!I-- --_.,:II!I:!II; ---.,i:!;.:-_-,
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓUDOS

VIII. Cilindro e cone
262. Cilindro circular reto inscrito em cone reto
A

C_--E-X-E-R-CÍ-C-IO-S----.......
Determine o volume do cilindro equilátero inscrito num cone de revolução, sen94 4 . do 24 em a altura do cone e J2 em o raio da base do cone. Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro 945. de revolução nele inscrilO cuja geratriz seja igual ao raio da base.
É dado um cone cujo raio da base é R e cuja altura é h. lnscreva um cilindro 946. de modo que a área lateral deste seja igual à área lateral do cone parcial, determinado pela base superior do cilindro.

947. Em um cone de geratriz g e altura h, inscrevemos um cilindro determinando um cone menor cuja base coincide com uma base do cilindro. Obtenha a altura do cilindro, sabendo que a área lateral do cone menor é igual à área lateral do cilindro.

Usando os elementos indicados nas figuras, temos:
.6ADE - L'.ABC => ...!... G L'.EFC - 6ABC => 6ADE - 6EFC =>

= _f_ =
R

H-h H
f

9il8. Inscreva um cilindro num cone dado de raio R e ap6tema G, de modo que a área lateral do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa cujas circunferências são a base do cilindro e a do cone.

G-g
G
g G- g

R R
f

h H

R-

f

=

H-h h

949. Um cilindro de revolução tem raio R e altura 2 R. No seu interior constroem-se dois cones, cada um tendo por vértice o centro de uma das bases do cilindro e por base a base oposta do cilindro. Calcule a porção do volume do cilindro exterior aos dois cones.
950. Em um cone de revolução inscrevemos um cilindro cuja altura é igual ao raio da base do cone. Determine o ângulo que o eixo do cone e sua geratriz formam, sabendo que a superfície total do cilindro e a área da base do cone estão entre si como 3/2.

Nota: Caso se tenha prisma inscrito em cone, basta circunscrever um cilindro ao prisma.
5

951. Um Cone e um cilindro têm uma base comum, e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine a medida do ângulo formado peb eixo do cone e sua geratriz, sabendo que as superfícies totais do cilindro e do COne estão entre si como 7/4. 952. Em um cone cuja geratriz g forma com o plano da base um ângulo a, inscrevemos um prisma regular quadrangular; sendo as arestas laterais do prisma congruentes, determine a superfície total do prisma.

A
':"1

B

953. Um Cone de revolução tem o vértice no centro de uma face de um cubo de aresta a e a base circunscrita à face oposta do cubo. Determine a diferença entre o voluIlle do cubo e o volume do cone.
317

316

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

IX. Cilindro e esfera
263. Cilindro circunscrito a uma esfera

C_--E-X-E-R-C-ÍC-I-O-S----

o cilindro circunscrito a uma esfera é um cilindro equilátero cujo raio da base é igual ao raio da esfera.

-I
h'" 2r
...

954. 955.

Uma esfera está inscrita em um cilindro de 1507f em2 de área total. Determine a área e o volume dessa esfera. Determine a área total de um cilindro equilátero circunscrito a uma esfera de superfície 400 11' m2 •

h

='

lr

-

\

956. Determine a área de uma esfera inscrita em um cilindro de revolução cuja secção meridiana tem 225 em 2 de área.
3 957. Determine o volume da .esfera inscrita no cilindro de volume 18 em •

264. Cilindro inscrito numa esfera

958. Determine a razão entre os volumes de uma esfera e do cilindro equilátero nela inscrito. 959. Um cilindro está circunscrito a uma esfera. Determine as razões da superfície e do volume da esfera para a superfície e o volume do cilindro. 960. Determine a altura de um cilindro inscrito em uma esfera de raio r, sendo 2 a área total do cilindro.
7(

o raio da base r e a altura h de um cilindro inscrito numa esfera de raio R guardam entre si a relação:
(2r)2 + h2
:=

(2R)2..

02

961. Determine a razão entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito e o volume de um cilindro equilátero inscrito em uma esfera. 962. Em uma esfera de raio r, inscrevemos um cilindro de modo que o raio da esfera seja igual ao diâmetro do cilindro. Calcule a área lateral, a área total e o volume do cilindro em função de r. 963. Determine o volume compreendido entre uma esfera e um cilindro, sabendo que o cilindro está circunscrito à esfera e que a área total do cilindro somada à área da esfera é /6011' cnrl. 96<1. Determine o volume de um cilindro equilátero circunscrito a uma esfera, sabendo qUe o cilindro equilátero inscrito nessa mesma esfera tem volume igual a 2501f em J •
965.

.' 'd cilindro inscriNota: Tendo a esfera e um prIsma, basta conSl erar um to ou circunscrito ao prisma.

c

9l1e o raio da base da vasilha mede r, responda: em quanto se elevará o nível da
agua contida na vasilha, sabendo que a esfera está totalmente submersa na água?

Em lima vasilha de forma cilíndrica colocamos uma esfera de raio R. Sabendo

B,
B2
"'1 1

Note o cilindro.
318

Note o cilindro.

A altura é o diâmetrO.

A área lateral de um cilindro reto é 487r em2 e sua altura é 8 em. Sabendo que o cilindro está inscrito em uma esfera, detennine o raio da esfera e a relação entre o volume do cilindro e o volume da esfera. Calcule ainda a relação entre o volu':1 e do cilindro equilátero inscrito nessa mesma esfera e o volume do cilindro conSI ct erado.
319

•

::::zv..
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

.

~._--

--......

INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

967. Inscreva um cilindro circular reto de área lateral d. Discuta.

1[

02 numa esfera de diâm
etro

X. Esfera e cone reto
265. Esfera inscrita em cone reto
A

968. Prove que a área total de um cilindro equilátero é igual à média aritmética d áreas das esferas inscrita e circunscrita ao cilindro. as 969. Num cilindro de raio r inscreve-se uma esfera. Mostre que a razão entre o volum da esfera e o do cilindro é 213. e
970. Calcule a área total do prisma hexagonal regular de 8 m de altura, inscrito esfera de 10 m de diâmetro.

A

A

num
a
D

971. Em uma esfera de raio R. inscrevemos oito esferas iguais. Sabendo que cada esfera tangencia outras três e tangencia a esfera maior, determine os raios das esfe. ras inscritas considerando que os seus centros sâo os vértices de um cubo.
972. Seis esferas de mesmo raio 4 em têm por centros os centros das faces de um cubo e são tangentes exteriormente, cada uma, a outras quatro. Calcule o raio da esfera tangente exteriormente a essas seis esferas.

o

973. No interior de um cubo regular de aresta a, existem 9 esferas de mesmo raio r. O centro de uma dessas esferas coincide com o centro do cubo e cada uma das demais esferas tangencia a esfera do centro e três faces do cubo. Exprima a em função de r.
974. Uma esfera de raio R está colocada em uma caixa cúbica, sendo tangente às paredes da caixa. Essa esfera é retirada da caixa e em seu lugar são colocadas 8 esferas iguais. tangentes entre si e também às paredes da caixa. Determine a relação entre o volume não ocupado pela esfera única e o volume não ocupado pelas 8 esferas.
975. Demonstre que a afirmativa abaixo é verdadeira: Inscreve-se um cubo C em uma esfera E. Nesse cubo inscreve-se uma esfera E'. Inscreve-se um novo cubo C' na esfera E'. A área total do cubo C' é 2S/3'K, em que S é a área da esfera E. 976. Num cubo está inscrita uma esfera de raio R. Calcule a área lateral do cone re~~ cuja base está circunscrita a uma das faces do cubo e cujo vértice é o centrO esfera. tangencia todas as faces do prisma. Nesse prisma circunscrevemos uma outra fera. Determine a relação entre os volumes das duas esferas. . re s978. Tomam-se dois vértices opostos de um cubo e pelos pontos médios das selS aubO tas que não passam por esses vértices traça-se um plano secante que divide ~ c qUe em dois sólidos e em cada um desses sólidos inscrevemos uma esfera. °rel aessas esferas tangenciam três faces do cubo e o plano secante, determlOe a ção entre o volume de cada esfera e o volume do cubo. 977. Em um prisma regular quadrangular inscrevemos uma esfera, de tal maneIra eS
. que

gencia :; ~s~e~:~tro da circunferência segundo a qual a superfície cônica tanD é o ponto de tangência.
L'lADO - 6ABC
=>

o~

o centro da esfera inscrita (Oe é bissetriz).

~

=

r

_

H - r

H R G x é calculado no MDO retângulo em D:

x == (H-r)2-r2

2

=>

X

= ~H(H-2r).
basta considerar um

cOne

ín%:~~ ~aso. s: t~dnha esfera in~crita. em pirâmide.
a plraml e e a esfera Inscnta no cone.
S

s

c

pa

B

Note a a

na ügla com o caso acima.

I .

B

Note os pontos K, F e M.
321

320

i

.; ;
.. ~

.

: :':

',", ;,-,

;;

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

EXERCÍCIOS
do cone estão ligados ao raio da esfera pela relação:

~
I a a lura h

rmine a área da esfera inscrita em um cone equilátero cuja área lateral De te } mede 501f em . D termine o volume de uma esfera inscrita em um cone de revolução cujo raio d: base mede 6 em e cuja área total mede 967f em}. Uma esfera é inscrita num cone reto, com os elementos:
r - raio da esfera; R - raio da base do cone;

979. Quando um cone está circunscrito a uma esfera de raio a, o raio r e

ar- - f2
Solução
A A

I

1

=

2 ah .

G - geratriz; H- altura. c) dados H e R, calcule G e r; d) dados H e r, calcule G e R.

Resolva os problemas: a) dados G e R, calcule H e r; b) dados G e H, calcule R e r;
A

987. Determine o volume e a área lateral de um cone em função da altura h do cone

h-a

OI
I

I b

~
1

Jh(h-2a)
.0
\

e do raio r de uma esfera inscrita nesse cone.

,

988. Em uma cavidade cônica, cuja abertura tem um raio de 8 em e de profundidade 3213 em, deixa-se cair uma esfera de 6 em de raio. Ache a distância do vértice
da cavidade cônica ao centro da esfera.

a ',
'~

989. Uma esfera é colocada no interior de um vaso cônico com ~55 em de geratriz e ~30 em de altura. Sabendo que os pontos de tangência das geratrizes com a superfície esférica estão a 3 em do vértice, calcule o raio da esfera.
990. Determine o ângulo do vértice de um cone, sabendo que a razão entre a superfície da esfera inscrita e a área total do cone é igual a 4/9.

6ADO - 6J\BC

=O>

Jh(h - 2a) h

= -

a
r

'=>

h - 2a h
2a
=

Dividindo por ai:' h - 2a _ 1 a2 h -(2'"

==>

h

a2 h - a2 h

f2

=>

991. Determine a altura e o raio da base de um cone de revolução em função do raio da esfera inscrita r e do raio da esfera circunscrita R. sabendo que a geratriz do Cone mede 5 r.
992. Determine o volume de um cone, sabendo que uma esr~ra de raio r inscrita no cone tangencia-o internamente num ponto P de sua geratriz a uma distância d do vértice do cone.

980. Num cone circular reto de 18 m de altura, inscreve-se uma esfera de 5 m de raio.
Calcule o diâmetro da base e a geratriz do cone.

Determine a área de uma semi-esfera inscrita em um cone equilátero, sabendo que a base do cone contém o círculo maior da semi-esfera e que o raio da base do Cone mede 36 m. Em um cone inscrevemos uma semi-esfera de tal modo que o círculo maior dessa semi-esfera está contido na base do cone. Determine o ângulo do vértice do cone, sabendo que a superfície do cone e a superfície da esfera estão entre si como 1815. Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de revolução, sabendo
~ue a base do cone está inscrita numa face de um cubo de aresta 3a e o vértice

981. Numa esfera de 6 em de raio circunscreve-se um cone reto de raio 12 em. Calcule
a altura e a geratriz do cone.

982. Calcule o diâmetro da esfera inscrita em um cone de revolução cujo raio da base mede I2 em e a geratriz 20 em. 983. Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de 15 em de apótem a e 18 em de diâmetro da base.
322

o cone está no centro da face oposta.

323

:.
INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

.

,.~

'''''.','

I

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

996. Prove que a razão entre o volume de qualquer cone (circular reto) e o da esfera inscrita é superior ou igual a dois. vOlullJe 997. Uma esfera de raio R é tangente às três faces de um triedro, cada uma das . mede 60°. Ache a distância do vértice do triedro ao centro da esfera. qUalS 998. Em uma pirâmide triangular PABC, as arestas PA, PC e PB sào duas a d perpendiculares. Sabendo que as arestas AR e BC medem 10 em e a aresta ~~ mede 6 em, determine o raio da esfera inscrita nessa pirâmide. 999. Determine a relação entre o volume de uma pirâmide regular hexagonal e o volume de uma esfera inscrita nessa pirâmide, sabendo que a base da pirâmide e cada face lateral estão inscritas em circunferências de raio r.

cone

Nota: Caso se tenha esfera circunscrita a pirâmide, basta considerar um . 'rcunscrito a pirâmide e trabalhar com o cone e a esfera.
Cl

Note a analogia com o caso acima.
1000. Determine o raio de uma esfera inscrita em uma pirâmide regular hexagonal, sabendo que a aresta da base dessa pirâmide mede 2 e a aresta lateral mede 6. 1001, Em uma pirâmide regular hexagonal, cujo ângulo diedro da base mede a. inscrevemos uma esfera de raio r. Determine a relação entre o volume da esfera e o volume da pirâmide.

Note os pontos K e Oj.

[

E_X_E_R_C_ÍC_I_O_S

_

1002. Calcule a geratriz de um cone reto de raio 6, inscrito numa esfera de diâmetro 12,5.

266. Esfera circunscrita a um cone reto
A A

Solução
A

A

Do triângulo retângulo ARe vem: g2 = 25 . h 2
(I)
25 2
=;>

2R

1

h

6 = h(2~ - h)
2

!2R-h{
c

B

=> =>

2 h2
h,

'-

25 h + 72 :::: O
8 e h2 =
9 2

==

=

IT-o
g~

--

c
SUbstituindo h, e h] em (1), temos:
gr =

c
9
~

Do triângulo retângulo ARe vem:
g2
324

~ ,8 -= 2

g = 10
I

2'2 -=

25

g2 -

...!1..
2

Resposta: A geratriz mede 10 ou 7,5.

= 2R

' h

r2

= h(2R -

h)
325

t·

,':;~·1.;~::.~.~"."_:;,:'.:.'--_.::•..: li:.:·.:_•.,

a' •. : ,. : .

_

:

_.'

__

I

INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

1003. Determine a altura de um cone reto inscrito em uma esfera de raio igu I sendo a área lateral do cone o dobro da área da base . a a 18 Ctn , 1004. Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cone de revol _ raio da base mede 10 em e cuja altura mede 20 em. uçao

Esfera, cilindro equilátero e cone equilátero
Cilindro equilátero circunscrito a uma esfera
Dada uma esfera de raio r, calcular a área da base (B), área lateral (A(), to tal (A ) e o volume do cilindro equilátero circunscrito.
t .

CUjo

área
1005. Calcule o volume da esfera circunscrita ao cone equilátero cujo raio d ,. a base e 19uaI a 2 <ir:: em. 3 1006. Sendo h e g os comprimentos, respectivamente, da altura e da geratriz d cone, calcule o volume da esfera circunscrita a esse tone. e Um 1007. Determine o volume e a área lateral de um cone em função de sua altura h do raio R da esfera circunscrita ao cone. e 1008. Calcule o raio da base de um cone circular reto, circunscrito a uma esfera de raio unitário, sabendo que o diâmetro da esfera é igual ao segmento maior da secção áurea da altura daquele cone. 1009. Dado num plano 1r um triângulo equilátero ARe de lado i, sobre a perpendicular em A ao plano 1r toma-se um ponto D tal que AD = 2i. Determine a posição do centro e calcule o raio da esfera circunscrita ao tetraedro ABCD. 1010. Demonstre que o raio da esfera tangente às seis arestas de um tetraedro regular é média proporcional entre o raio da esfera inscrita e o raio da esfera circunscrita ao mesmo tetraedro.
1011. Dada a superfície esférica de centro C e raio R, considere um plano passando pelo centro.

Solução Elementos: Seja R o raio da base e H a altura do cilindro. Então:

R = r eH

= 2r.

H = 2r

Área da base: B = 11" r 2 Área lateral: AI' = 21r r . 2 r ~ ~ AI' = 41rr 2 Área total: A, AI' + 2B ~ ~ AI = 61rr 2 Volume: V

I

1
•

= B. H

~

V = 1I'r2

2r

~

V = 211'r 3

268. Cone equilátero circunscrito a uma esfera
Calcular a área da base (B), área lateral (A f ), área total (Ar) e volume do cone equilátero circunscrito. Solução
do cone.
A

Seja x a altura e y o raio da base

O é baricentro ~ x
6ABC ~
~

= 3r (2y)2 = y2 + 9r2 ~
=

y2

3r2
= 1ry2

Área da base: B ':} B = 311'r 2
a) Determine a razão entre o volume da esfera e o volume do cone circular retO inscrito na semi-esfera como na figura ao lado. b) Determine a razão entre a área da superfície esférica e a área lateral do mesIllO cone.
326

~

c

Área lateral: AI Área total: A, Volume: V 3

= 1rY
AI'

. 2y = 2 1ry2 ~ AI' = 61rr2

+

B

~

A, 3

= 61r r 2
•

+

3 7l' r2

~

A,

=

911' r2

_1_ B . x ~ V

=

_1_ . 311'r 2

3r ~ V = 31rr J
327

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓUDOS

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

269. Relações envolvendo cilindro equilátero e cone equilót circunscritos à mesma esfera eto
a) Entre as áreas totais calculadas e a área da superfície esférica

XII. Esfera e tronco de cone
271 .
Esfera circunscrita a tronco de cone reto de bases paralelas

AT "

[11.

= 611" r 2

AT

COSl('

-

9 11" r 2

Acsr.

= 411" r 2

Observemos que

I

A;cil.

=

AI,""" . Ae,r.

I

:0,
I
I

b) Entre os volumes calculados e o volume da esfera

Vesr.
.Observemos que

I~il. = Vcone": Ve,r.i
OK é mediatriz da geratriz LM. Os problemas recaem em circunferência circunscrita a trapézio isósceles.

270. Relações envolvendo cilindro equilátero e esfera inscrita
Considerando o cilindro equilátero circunscrito e a esfera, temos:
a) A área lateral do cilindro é igual à área da superfície esférica.

2 3
_4_ 11"(3

272. Esfera inscrita em tronco de cone reto de bases paralelas"
Vosr. =-Vcil.
2

3

Vosr. -- = Vcil.

3 ---=--- = 2 2 1I"r3 3

Condição para o tronco de cone" ser circunscritível a uma esfera.
g = R

o,

+

r

EXERCÍCIOS

]

o" Sendo x o raio da esfera, do tnangulo retângulo AOB vem:

x2
1012. Determine a razão entre o volume de um cone equilátero inscrito em uma esfera e o volume do cilindro equilátero circunscrito à mesma esfera. 1013. Dada uma esfera de raio R:
a) calcule B, AI. A, e V do cilindro equilátero inscrito na esfera; b) calcule B, AI> AI e V do cone equilátero inscrito na esfera; c) estabeleça uma relação (a melhor) entre o volume do cilindro, do cone e da esfera acima.

= R . r.

Essa conclusão iambém pode sair do 6JJEF.

1014. Prove que a área total de um cone equilátero inscrito em uma esfera é igual a J/4 da área total do cone equilátero circunscrito à mesma esfera.
328

Ou t~onco d~ pirâmide, deve-se primeiro considerar um tronco de cone inscrito e a clrcunscnto ao tronco de pirâmide e depois trabalhar com o tronco de cone
esfera.
329

em

Nota: Em problemas que envolvem circunscrição ou inscrição de esfera

t:·:···:::::::::::·:::::.:::::::::::~,:. ::.::::::~:.:·:::::::··:··:··:ZV::··;>-<I;,·~>~·.·'~:·i~:~" .:...~:::. . .• '~~:~,::,~,~<",~-::,
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

:,i:t:: : : : : : : : : : :~>::::::".:::::::. : ..

:::í::::::::::a

INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

_ _ _ _E_X_E_R_C_Í_C_IO_S
tronco de cone seja o dobro do volume da esfera?

J
e do

}{III. Exercícios gerais sobre inscrição e
circunscrição de sólidos
9.J3 11" / 8 em3 ,
1021. Determine o volume de uma pirâmide hexagonal regular inscrita em um cone
equilátero de volume

1015. Num tronco de cone de revolução é inscrita uma esfera. Sendo o raio da f de 2 em, quais devem ser os raios das bases do tronco para que o Volu~s era

1022. Exprima, por uma igualdade, que "o volume do cilindro equilátero é igual à
soma dos volumes da esfera e do cone nele inscritos". Solução Do triângulo AGB vem:
R .r
V"onco

1023. Qual a relação entre os volumes da esfera inscrita em um cilindro equilátero

=

4

(I)

= 2 . V esfera

=-

I

e do cone cuja base é a base do cilindro, sendo o vértice do cone o centro da base superior do cilindro?

1024. Em um recipiente cilíndrico de 20 em de altura colocamos duas esferas, uma
sobre a outra, de tal maneira que essas esferas tangenciem as bases do cilindro e a sua superfície lateral. Determine a diferença entre o volume do cilindro e o volume das duas esferas.

11"4 =- -- (R2 3
=

+ R . r + r 2)

2 • ..!. 11" ,2 3 3

==

l~B
12 (2)

1025. Um plano secciona uma esfera de raio r, determinando um círculo que é base
de um cilindro e um cone de revolução inscritos nessa esfera. Sabendo que o cilindro e o cone estão situados num mesmo semi-espaço em relação ao plano e que os volumes do cilindro e do cone são iguais, determine a distância do centro da esfera ao plano. 1026. Em um cilindro de 28811' em3 de volume e raio 6 em estão contidos dois cilindros; de mesma altura que o cilindro dado e de diâmetros iguais ao raio da base do cilindro dado. Calcule a relação entre as áreas laterais dos dois cilindros e do cilindro dado. 1027. É dado um cone circular reto de altura 8 dm. cortado por um plano paralelo à base, a uma distância 3 dm do vértice. Inscrevendo no tronco de cone que resulta um tronco de pirâmide hexagonal e sabendo que o raio da base menor do tronco de cone é I dm. calcule o volume do tronco de pirâmide inscrito. 1028. Um cone equilátero está inscrito numa esfera de raio igual a 4 m. Determine a que distância do centro da esfera deve-se traçar um plano paralelo à base do cone, para que a diferença das secções (na esfera e no cone) seja igual à área da base do cone. 1029. Determine o volume de um cone reto, sabendo que seu vértice coincide com o centro de uma esfera, sua base é circunscrita à base de um cubo inscrito nessa mesma esfera e que o raio da esfera mede r. 10 30. Um cone é circunscrito a duas esferas de raio 2 e 1. Sabendo que essas duas esferas são tangentes exteriormente, determine o volume do sólido compreendido entre o cone e essas duas esferas.
331

=- R2 + Rr + r 2 De (I) e (2) vem:
R 2 + r 2 + 2Rr
=

16 => R2. + r2

20 =>R+r=2J5j

=> R-r=2
Resposta:

,J5

+ 1 e

,J5 -

1.

1016. Calcule o volume da esfera inscrita num tronco de cone circular reto cujos raios
das bases medem 1 me 4 m, respectivamente.

1017, Que relação deve existir entre os raios das bases e a altura de um tronco de cone
reto para que o mesmo seja circunscritível a uma esfera?

1018. Determine a área de um tronco de cone circunscrito a uma esfera de raio R.
sabendo que o volume do tronco é igual ao triplo do volume da esfera.

10 19. Determine o volume de um tronco de cone circunscrito a uma esfera de 10 em
de raio, sabendo que o raio da base maior do tronco é o quádruplo do raio da base menor.

1020. Determine a área total e o volume de um tronco de cone em função de sua altura h e da sua geratriz g, sabendo que o tronco circunscreve uma esfera de raio r.
330

INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS

1031. O vértice de um cone de revolução com o centro de uma esfera e a base é a ção feita nessa esfera por um plano distante 4 em do centro. Sendo o vol~ec. desse cone 12 'li'" em 3 • calcule a área e o volume da esfera. me

~-------CAPÍTULO XV-

1032. Determine o volume de um cone de revolução,. sabendo que seu vértice coincide
com o centro da base de um outro cone de ralO R e que sua base coincide cOm a secção determinada por um plano que secciona esse outro cone a uma distân_ cia hl3 do vértice.

1033. Uma esfera de raio r circunscreve um cone equilátero. Um plano que secciona
a esfera e o cone paralelamente à base do cone detem1ina duas secções de tal modo que a diferença entre as áreas dessas secções é equivalente à área da base do cone. Determine a distância da base do cone ao plano secção.

Superfícies e Sólidos de Revolução
I. Superfícies de revolução
273. Definição
Consideremos um semiplano de
origem e (eixo) e nele uma linha g (ge-

1034. Uma esfera está inscrita em um cone de altura h e raio da base r. Obtenha
a distância do vértice do cone ao plano que seeeiona esse cone e a esfera determinando duas secções cuja soma das áreas é 13 11" 136, sendo esse plano paralelo à base do cone.

r

1035. Sabendo Que as bases de dois cones coincidem e que os vértices estão situados
em semi-espaços opostos em relação a essas bases, determine o volume da esfera inscrita nesse sólido, sendo 3 em o raio da base comum e 5 em as medidas das geratrizes dos cones.

1036. Determine o volume do espaço limitado pelos troncos de pirâmide quadrangular e cone, sabendo que a base menor do tronco de cone está apoiada na base
menor do tronco de pirâmide e que a base maior do tronco de cone está apoiada na base maior do tronco de pirâmide, sendo 10 em e 6 em as arestas da base maior e menor, respectivamente, do tronco de pirâmide, 3 em e 1 em os raios das bases e 12 em a altura do tronco de cone.

ratriz); girando esse semiplano em torno de e, a linha g gera uma superfície, que é chamada superfície de revolução. Salvo aviso em contrário, considera-se revolução completa (de 360° em torno do eixo).

Exemplos
e
A

e
B

~
j

i

et-? ,A

, -.
!
I

i
I

I
B

,

! __ J.
r

i

,

I

i

.......

c
A poligonal ABCD gera a superfície total de um cilindro.
333

~ segmento AB gera a superfície laeral de um cilindro.
332

k:": : : : : : : : : : : : : : : .

:=:.:::,::4::::::::::::.=::==:::':"~:::.:v:.:~?;,s,:,~",!0~,:~. ::."::':;:':'===:.::::.:::.=====::t::.:::::::::.:::.:'::::::::=1 .: . . •. ~~"~/~::y~::" . . .
SUPERFÍCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

e

2? modo:
e

0-)
AI

Usando a fórmula
A

I

Q
I
I

I I

=

211"fd
CG .d

B'

B

e(11 que A é a área da superfície gerada. f é o comprimento da geratriz. d é a distância do centro de gravidade da geratriz ao eixo.

I
I

GI
i

o segmento AB gera a superfície lateral de um cone.
e

A poligonal ARe gera a superfície to-

11. Sólidos de revolução
e

tal de um cone.

275. Definição

!

Q
A

y

e

O
a

I

i

t'

B

I
1~

Consideremos um semiplano de origem e (eixo) e nele urna superfície S; girando o semiplano em torno de e, a superfície S gera um sólido chamado sólido de revolução.

c

Exemplos
e

e

o
o segmento AB gera a superfície lateral de um tronco de cone.
A poligonal ABCD gera a superfície total de um tronco de cone.

I

e
I

274. Área
O cálculo da área de uma superfície de revolução pode ser feito de dois modos:

~----;---I

I

modo: te
j

Retângulo gerando cilindro de revolução.

Triângulo retângulo gerando cone de revolução.

Trapézio retângulo gerando tronco de revolução.

, . Usando as expressões de area lateral e de area tota 1que con hecelllOS (do cilindro, do cone, do tronco de cone, etc.).
334

Outros exemplos de sólidos de revolução, assim como de superfícies de volução, aparecerão no próximo capítulo.
335

A

SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

276. Volume
m~~.

b) Volume do cilindro de revo"luçã o (raio r, altura h). revolução pode ser feito de d .
~

o cálculo do volume de um sólido de
I? modo:

V == 2;rSd
s==r.hed==_l r

2

h

Usando as expressões dos volumes dos sólidos (cilindro, cone, tronco de cone, etc.).

~ V == 2;r . rh . _1_ r
2

=>

2? modo:
Usando a fórmula

e

V

=

21l"Sd

~
I

I I I

c) Área lateral de um cone de revolução (raio r, geratriz g).

e

em que V é o volume do sólido gerado. S é a área da superfície geradora. d é a distância do centro de gravidad~

da superfície ao eixo.

:_-~--~ (j)
S

I
I

=> Ar

== 2;r· g . == 1frg

1 2

r ~

I I

I

=> Ar

Observação

As fórmulas A = 2;rfd e V = 2;rSd, fórmulas de Pappus-Guldin (Pappus - matemático grego do início do século IX; Guldin - padre Guldin, matemático suíço do século XI), só devem ser aplicadas quando o centro de gravidade da geratriz for de fácil determinação e o d não apresentar dúvidas; caso contrário, usam-se os primeiros modos para obter área e volume de sólidos de revolução.

d) Volume de um cone de revolução (raio r, altura h). V== 21fSd

e

}

S == _1_ rh e d == _1_ r 2 3

~

277.

~ V == 21r • _1 rh. -.L r 2 3
Exemplos de utilização das fórmulas A
=

=>

21l"fd e V = 27rSd:
e

a) Área lateral do cilindro de revolução (raio r, altura h).

C;-,

I

A = 21l"fd f=hed=r ~ Ar = 2;rhr = => AI == 21frh

J

e) Área lateral do tronco de cone de revolução (raios R e r, geratriz g).

e

=
d = r I

A = 2;rfd

h

I

A I == 21fg . R+r 2 ~ AI' == ;r(R + r)g

~

336

337

SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

V = 27r Sd, em vista do exposto na observação sobre a utilização dessa fór~~l~r

Nota: O volume de um tronco de cone de revolução não é calculad

Solução
a)

f) Determinação do centro de gravidade de uma semicircunferência,

e
I

e
I

A = 27rfd com A = 47rr,f = obtemos d 411"r 2

e I

Q

CU

Ó
I

=>d=lr 11"

(

"

_----c~--_:.
.
- ..... _ -

\... .

.

l....__ __ --- - _ .....

b',

g) Determinação do centro de gravidade de um semicírculo,
e
I

e
I

C0
=>

-4 7I"r 3 3

=

7I"r2 211" ' - - ,d => 2
371"

V. =

1-

1I'h2 (n + m)

=>

=> d

4 --r

Sendo bc = ah Substituindo h, vem:

=>

h =

bc. a

EXERCÍCIOS
1037. Dado um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a,

]

(bc 'a => a . a b c b) Tese: - - = + -. Va Vb Vc
3. Demonstração

V = •

-.!.. 7r .

)2

a) calcule os volumes dos sólidos gerados quando o triângulo gira em torno de b(Vb ), em torno de c(Vc ) e em torno de a(Va ); a b c b) prove que- = +V '• Va Vb c c) supondo que b > c, compare Va , V b e Ve338

_ _..:.:a----:-__=_ _ a _ I ~ membro 1 b2 c2 - V. -

311'-a-

339

SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

SUPERFlclES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

c) b

>

c ... a

> b>

c
,

10 44 . Um triângulo retângulo isósceles, girando em torno de um dos catetos, gera um
sólido cujo volume é ; temos:
m 3 • Calcule a hipotenusa.

. V. Estabelecendo a razão vb
c
2 - -1l"c -b

1045. Calcule o volume do sólido gerado por um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos medem 3 m, ao girar em torno da paralela à hipotenusa traçada pelo
vértice do ângulo reto. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 em e um cateto mede os 3/4 1046. do outro cateto. Determine o volume do sólido obtido ao girar 360 0 o triângulo ao redor de sua hipotenusa.

Vb
Vc

-----= 1rb2~ b

+
3
1f

a

c

<

. O triângulo retângulo, girando emtarno do menor cateto, gera o sólido de volume maior,

1047. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo em 0

. .' . . . • . '. V .... , "

Est~belecendo a' ràzãci .

v:'.

torno da hipotenusa, sabendo que um dos ângulos do triângulo é de 60 e que a hipotenusa tem medida 2a .

temos:. '.

Va Vb

--'-.3_ _ a__ :;; ~ < -..l. 'lfc2b a' 3
_

b c ---- .
2 2

1048. Calcule a área e o volume gerados pela rotação da figura dada em torno do eixo indicado XY.

o triângulo retângulo, girando em torno da hipotenusa, gera o sólido
de volume menor.
".>
.c

Solução

I? modo: calculando diretamente. a) Área
SABe
= SAB

1038. Um triângulo escaleno de lados 13 em, 14 em e 15 em gira 3600 em torno do lado de 14 em. Determine a área e o volume do sólido obtido. 1039. Seja um triângulo de base a e altura h. Giramos o triângulo em torno de um eixo paralelo à base e que contém o baricentro do triângulo. Qual é o volume do sólido gerado? 1040. Determine o volume de um sólido gerado por um triângulo de base a e altura h, sabendo que esse triângulo gira 3600 em torno de sua base.

+

SAC

+

SBC

t gerada (lateral) lateral)' (coroa) por tronco (tronco

t

t

t

B'

· Ü
A

e I
3a
2

r:"'>

i

--------1;jxT
a
a
.
1-. 2

~

a

! a./3
I

a

C----py.1
i

ARe
tronco de cone: AI Fórmulas [ coroa circular: A SABe:;;
11"
:=

=

1f(R + r)g 2 11" (R2 - r )

(za + 3 a) a + tr (3 a + a) a + 1f[(2a)2 - a 2] ... z 2

1041. Um triângulo isósceles ABC gira ao redor de uma reta paralela à base BC e passando pelo seu vértice A. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que a base mede 3 em e os lados congruentes .medem 4 em. 1042. Um triângulo isósceles tem os lados congruentes medindo 20 em cada um, e o ângulo do vértice 120 0 • Determine a área e o volume do sólido gerado por esse triângulo quando gira em torno de sua base. 1043. Determine a área e o volume do sólido gerado por um triângulo isósceles .qu,e gira em torno da base que mede 10 em, sendo 120 0 a medida do ângulo do vertlce do triângulo.
340

7 5 2 ... SABe = - 1fa2 + - 1fa2 + 31fa2 ... SABe 9tra

2

Z

b) Volume
V ABC
~

= V XABY

-

V XACY

t

t

gerado tronco tronco por ABC de cone de cone Fórmula: V
=

~ (R 2 +
3

Rr

+ r 2 ).

341

r::::::::::::::/:::,:a:,::~",:,:::::~::::::::::::::':':::::::::::::::::::~:::::::':'':": " ~':\$)'.':'~:'~'~'~'~"~':'ij, :':'" :":': ::::.:.'::::':':':::': ::::::::::'::::::::''::::'::::::.::':':::::::::::::::::1
SUPERFlcIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

VAlle

~
. a

;

•

a

~

[(2af

+
a

(2a) .

e;) + (3
2 }

a 2

nZ
a2] =>
"j

1053. Determine o volume e a área de um sólido gerado quando um triângulo equilátero de lado a gira em torno de um eixo perpendicular a um dos seus lados e que passa pela extremidade desse lado. 1054. Determine o volume e a área de um sólido gerado por um triângulo equilátero ABe que faz uma rotação de 360 0 em torno de um eixo que é perpendicular à sua altura AM e passa pelo vértice A do triângulo, sabendo que a medida do lado do triângulo é igual a m. 1055. SejaABCum triângulo equilátero de lado a. Prolonga-se a base BCaté um ponto D, tal que CD = a. Pelo ponto D, levantamos uma perpendicular ao segmento BD e fazemos girar o triângulo em torno de DE, que é perpendicular a BD. Determine o volume e a área do sólido gerado. 1056. Determine a área total e o volume do sólido gerado por um quadrado de lado a, sabendo que faz uma rotação de 360 0 em torno de um de seus lados.

V

;

1 [(;ar ez
3
+

) .a + a

ARC

~ ~ . -~~ 4a2

"aIi (
Z
•

3

+

3 a2

9a 2 9a 2 3a2 + .-- - - - ~ - - 4 4
V ARC ~ -4-'

=>

V Alle ~ ~

7f

-2-" -2-

a.J3

9a2

=>

3 J3

1fa

r

modo: usando as fórmulas de Pappus-Guldin.

a) Área
A
~

21rí'd
-~,

com í' = 3 a e d = ,
A

3a

2 ' vem:
B

~.c:-:--~\;--: • lJ
a

A

!
[

1057. Calcule o volume e a área do sólido gerado pela rotação de um quadrado de lado a, em torno de um eixo que passa por um de seus vértices e é paralelo a uma de suas diagonais. 1058. Um quadrado de lado igual a m gira em torno de um eixo que passa pela extremidade de uma diagonal e é perpendicular a essa diagonaL Determine a área e o volume do sólido gerado. 1059. Determine O volume do sólido gerado por um retângulo que gira 360 0 em torno de urna reta r paralela aos maiores lados do retângulo, distando 6 em do lado mais próximo, sendo 10 em e 15 em as medidas do comprimento e da altura do retângulo.

211"' 3a'

k

2

,,;,

A

C- - - - - - -f a

b) Volume
V = hSd
1

com S "" e d

2" a . -2-

a J;

~

a1 ,J3 -4a2 ~ij 3a
=>

= -~

3a

vem V = 21r . - - - . - 2 ' 4 2

1060. Girando um retângulo de 8 em por 12 em ao redor de cada um de seus lados. obtemos dois cilindros. Determine o volume e a superfície total dos dois cilindros. 1061. Um paralelogramo de lados 27 em e 12 em e ângulo entre os lados de 60 0 gira em torno de um eixo que contém o seu maior lado. Determine a área e o volume do sólido obtido. 1062. As áreas laterais dos cilindros gerados por um mesmo retângulo que gira ao redor de cada lado são iguais. 1063. Um retângulo de 4 em de comprimento e 3 em de largura gira ao redor de um eixo. situado no seu plano, paralelo ao maior lado e à distância de J em desse lado . Calcule o volume do sólido gerado pela revolução desse retângulo.
I

1049. Calcule o volume e a área do sólido gerado por uni triângulo equilátero de lado a que gira ao redor de um dos seus lados. 1050. Determine o volume de um sólido gerado por um triângulo equilátero de lado a, quando gira em torno de um eixo paralelo a um de seus lados, sabendo que esse eixo passa pelo vértice oposto a esse lado.

1051. Calcule o volume do sólido gerado por um triângulo equilátero de lado a ~ue gira em torno de um eixo que contém um vértice e é paralelo à altura relativa a outro vértice.
1052. Consideremos um triângulo equilátero ABC de lado 5 em. Do ponto D, médio de AB, traçamos a perpendicular DE até A e. Executando uma re~oluçãoco~­ pleta em torno de AC, calcule o volume do sólido gerado pela ftgura DEC .
342

I
.--Â..

1064. As diagonais de um losango de 5 em de lado estão na razão 1 : 2. Ache o volume do sólido que se obtém quando o losango dá um giro de 360 0 em torno de um de seus lados.
343

J

i',;'",,,::,,,,:~'y,gJiv,,.·~h~~;>"~>f·"'!>~',,,,""'·~~'~m~;')~\~,;·,::'"'S!"'""~:';'~"'2'mPt',';;:":"<;;f' ·';~f~''''..i\'·-~~~~i~~~",'''''m''''~~};'l'""';';:7:~:::''~~~;:~''''''~':'''''''1>'r.':r''1~~~:f.~J~;~.1!<~
.-si-'

SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

1065. Um losango de lado 36 em e ângulo agudo 60 0 gira em torno de um eixo passando por um vértice e perpendicular à sua maior diagonal. Encontre a área e o volume do sólido obtido. 1066. Um trapézio ABCD retângulo em B tem por bases AB = 24 em e CD = 13 em e por altura BC = 16 em. Qual é o volume do sólido que se obtém quando este gira em torno de AB? 1067. Um trapézio retângulo gira em torno do segmento adjacente aos ângulos retos. Sendo 68 em] a área do trapézio e as bases lO em e~7 em, determine o volume do sólido obtido. 1068. Determine o volume do sólido obtido quando giramos ,um trapézio isósceles de altura h, em tomo da base maior, sendo a medida dessa base igual a m e 45 o o ângulo agudo do trapézio. 1069. Determine a medida do sólido obtido pela rotação de um hexágono regular, de lado 8 em, em torno de um de seus lados. 1070. Sabendo que OABCD é um semi-hexágono regular de

1078. Um triângulo equilátero ABC tem lado a; por um ponto P da base BC traçamse as paralelas PR e P~, respectivamente, aos lados AB e A C, que concorrem com A C e AS, respectIvamente em R e S. Determine a distância x = PB, de modo que o .v?lume do sólido g.t;rado pelo paralelogramo PRAS seja 2/3 do volume do soltdo gerado pelo tnangulo ABC, quando a figura girar ao redor ' de BC. 1079. Sej~ dado um par?lelogramo ABCD de lado AD = a e AB = b. Mostre Que, se guarmos sucessivamente em 360 0 o paralelogramo em torno de AD e de AB, obteremos os volumes Vo e Vb que estão na razão b/a. Solução

o
1

D

I

~

c
,

iZJ"~ 1/

/

m de lado, calcule
A

V'O{
"

c

a área da superfície gerada pela poligonal ABCD em rotação completa em torno do diâmetro AOB. 1071. Um triângulo gira 360 em torno de cada um de seus lados, gerando três sólidos de volumes inversamente proporcionais aos lados do triângulo. 1072. Conhecendo a área A do triângulo gerador de um cone e a área total B do cone, calcule o apótema e o raio da base. 1073. Demonstre que, se fazemos girar um triângulo qualquer em torno de um de seus lados, o volume do sólido obtido é igual ao produto da área do triângulo pelo círculo descrito pelo ponto de interseção das medianas. 1074. Quando um triângulo retângulo isósceles gira ao redor de uma reta conduzid.a pelo vértice do ângulo reto, paralelamente à hipotenusa ele gera um volume equIvalente à esfera que teria a hipotenusa por diâmetro. 1075. As áreas laterais dos cones gerados por um mesmo triângulo retângulo que gira em torno de cada cateto são inversamente. proporcionais aos catetos fixos. 1076. Os volumes dos cones gerados por um triângulo retângulo que gira em torno de cada cateto são inversamente proporcionais aos catetos fixos. 1077. Representando por Vo ' Vb e Vc os volumes dos sólidos gerados por um triângulo retângulo a, b, c, quando gira respectivamente em torno de hipotenusa a, dos catetos b e c, verifique a identidade:
0

. . ~----t-- -F j--

.

b

a
_

"
a
B.... · ...

B

B

O sólido gerado por ABCD é equivalente ao gerado por FBCE (girando em torno de AD).

V. '" 7rx 2 a
Área de ABCD =ax = by Estabelecendo a razão, vem:
=o>

Vb
x

7ry2b

b

y

a

~:
1081.

=

;~~~

=

(~r . ~

=o>

=o>

1080. Os volumes dos cilindros gerados por um retàngulo que gira em torno de cada lado são inversamente proporcionais aos lados fixos. O volume de um cilindro circular reto é igual ao produto da área do retângulo gerador pelo comprimento da circunferência que descreve o ponto de concurso das·.diagonais do retângulo. O volume de um cilindro circular gerado por um retângulo, de área A em 2, é de B em.!. Calcule o raio. Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo que, se o fizermos girar sucessiva~ente em t?rno de dois lados adjacentes, os volumes dos cilindros gerados serao, respectivamente, Ve V'.

1082. 1083.

_1
V~

1_+
v~

I
V~ .

344

345

SUPERFÍCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

SUPERFíCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

1084.

seu plano, paralelo a um de seus lados, e externo ao retângulo, é igual ao pro~ duto da área do retângulo pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro do retângulo.

o volume do sóIído gerado por um retângulo girando em torno de um eixo d

VCEA

=

11" r -3- [(2r) 2 + (2r) . (r) + r 2 ] -

I 4 2"" '"3 1I"r3

1085. Sendo a o lado de um losango e () um de seus ângulos, exprima em função de a e () o volume do sólido que se obtém girando o losango em torno de Um de
seus lados.
b) Área

V CEA = -

7

3

1I"r 3

-

. 3

~ 1I"r 3

2

1086. Um retângulo de dimensões a e b gira em torno de uma reta de seu plano, para.
leia aos lados de medida b e cuja distância ao centro do retângulo é d > al2 Determine a superfície total e o volume do sólido anular gerado pelo retângulo:

. SCEA. = SCE + SEA + SAC
'{ , .. lateral' ( .. '1 ). ( i '. f" . f'" )'. '. de tronco .... cucu o super lCle es enca

..
.

1087. Sobre a base de um retângulo e exteriormente a ele constrói-se um triângulo isós.
ceIes cuja base coincide com a base do retângulo. Sendo um pentágono a figura formada e sabendo que a base do triângulo excede a sua altura em 19 em e qUe os perímetros do triângulo e do retângulo são respectivamente de 50 em e 70 em, determine a relação entre os volumes do cone e do cilindro obtidos quando gira. mos o triângulo e o retângulo ao redor de um eixo que passa pelos pontos mé. dios das bases do retângulo.

'-r

.'.

.

.

.

~

SCEA :::: 1I"(2r
=Co

+

r) . r:]2

+

. . 1I"(2r)2

+

2

I

4 11"c2 :=.
=Co

SCEA'; 3:]211"r 2 '+ 411"r 2

+

211"r 2

SCEA = 3(2

+ .j2hr 2
".-.
;'

":,

1088. Um trapézio isósceles está inscrito em um círculo e suas bases se encontram em semiplanos opostos em relação ao centro do círculo. Sendo as bases 12 em e 16 em e o raio do círculo 10 em, determine o volume do sólido obtido pela rotação completa do trapézio ao redor da base maior e o volume do cilindro obtido quando giramos ao redor de um lado um quadrado que tenha a mesma área do trapézio.

1091. A medida do raio de um círculo é 20 em. Por um ponto P situado a 50 em do centro traçam-se duas tangentes ao círculo. Sejam A e R os pontos de tangência e AR a corda obtida. Efetuando uma rotação do triângulo PAR em torno do diâmetro paralelo a AB, obtemos um sólido. Calcule o volume desse sólido. 1092. Consideremos um hexágono regular inscrito em um círculo de raio R. Efetuando uma rotação do círculo em torno de um diâmetro que passa pelos pontos médios de dois lados paralelos do hexágono, calcule a razão entre os volumes gerados pelo círculo e pelo hexágono.

1089. Consideremos um semicírculo ADC de centro O e de diâmetro AC = 2a. Prolongamos OA até um ponto R, tal que OA = AR; e pelo vértice B traçamos
a tangente BM ao semicírculo. Determine a medida de BM e o ângulo MÊC compreendido entre a tangente e o diâmetro prolongado. Depois calcule a área e o volume do sólido obtido quando efetuamos uma rotação em torno de BO da figura BMO.

1090. Num círculo de centro O e raio r, traçam·se dois diâmetros perpendiculares AR e CD; traça-se BC e prolonga-se até interceptar em E a tangente ao círculo por A. Gira·se o triângulo ARE em torno de AR. Calcule o volume e a área gerada
pela superfície CEA compreendida entre as retas AE, EC e o arco AC. Solução a) Volume VCEA = VOCEA - VOCA tronco de cone
e

1093. As questões abaixo (a, b, c, d, e) referem-se à figura ao lado, em que são dados OA = 1 em eAG = 2 em.

OA
E G

AG

1 em 2 em

DI--""'"

--1....,,------. E

•

I ""2 esfera
B

•

a) Ache a área da superfície esférica de raio OB. b) Ache a medida de CF. c) Ache a área do quarto da coroa circular ABEC. d) Ache o volume do sólido que se obtém girando o triângulo OAG em torno da reta OE. e) Ache a área lateral do sólido que se obtém girando o trapézio CFGD em torno da reta OE.

346

347

SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

CAPÍTULO XVI

280. Outra definição para co/ata e zona esférica
Seccionando uma superfície esférica por dois planos paralelos entre si, dividimos essa superfície em três partes; a que está entre os dois planos, reunida às duas circunferências-secção, é chamada zona esférica, e cada uma das outras duas, reunidas à respectiva circunferência-secção, é chamada calota es-

férica.

e

Superfícies e Sólidos Esféricos
I. Superfícies - Definições
e

I

e

I
calotas esféricas
e

zona esférica

278. Calota esférica
É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:
a) passa pelo centro da circunferência que contém o arco; b) passa por um extremo do arco e não o intercepta em outro ponto; c) é coplanar com o arco. zona esférica )
'----

279. Zona esférica
É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:
a) passa pelo centro da circunferência que contém o arco; b) não passa por nenhum extremo do arco nem intercepta o arco em outro ponto; c) é coplanar com O arco.
348

e

11. Áreas das superfícies esféricas
281. Área da calota e área da zona esférica
A = 21l"Rh

Veja a dedução no item 296.

em que: R é o raio da circunferência que contém o arco (é o raio da superfície esférica); h é a projeção do arco sobre o eixo.
Acalota

=

2 11" R h c• lo •a

Azona = 2 1r R hzona
349

~~.'__.':IÍI:__, , " _ " "__"'
SUPERÃC(ES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

"".'' '_' ' íiIi.·.(Illiií''·IÍÍI'.' ' •.IiílI:_..__:· ·~~ ";>H'::;' :.•. ~::,~~,.'_

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SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

282. Área da superfície da esfera
A superfície da esfera pode ser entendida, por extensão, como uma calota (ou zona) esférica de altura igual ao diâmetro (h = 2 R). Daí, a área da superfície esférica é:
A h·R· 2R h
=>

Calculando h, no triângulo retângulo PTO, temos:
R2 = (R - h)(x + R) => h

Rx = --.:~­ x+R

h 2R =
.'

.x 2(x + R) .
".".

r

A

= 41TR2 'I

Substituind? x e R. vem: 2 R = 2(300 + 6300)
.' . . . '1', ' : .. '.' ', .

'..

, , ' h'

300

._h_

2R

=

44"

1.

Resposta: 44 da superfície da Terra.
..... :'
.. '".'.

EXERCICIOS
'1$,'"

~. '~' ';".
;~ ,\~,
'

,"

1099. Determine a altura a que deve se elevar um astronauta para ver 1/36 da superfície da Terra.

';;r;..

1094. Determine a área de uma calota esférica de 75 em de altura de uma esfera de 70 em de raio. 1095. Determine a área de uma esfera em que uma zona de 10 em de altura tem área de 1207r em2. 1096. Determine o volume de uma esfera, sabendo que uma calota dessa esfera tem 47 em de altura e 1987f em] de área. 1097. Determine a altura de uma zona esférica, sabendo que sua área é igual ao quíntuplo da área do círculo máximo da esfera na qual está contida. 1098. Qual é a fração da área da superfície da Terra suposta esférica (raio = 6300 km) observada por um cosmonauta que se acha à altura de 300 km? '
f

1100. Admitindo a Terra como esférica, determine a altura e a área da calota esférica observada por um astronauta que sobrevoa a Terra, no instante em que ele se enCQntra na altitude de 9 vezes o raio terrestre. Adote o raio da Terra como unidade de medida. 1101. Um ponto luminoso está situado a 2 m de distância de uma esfera de raio igual a 4 m. Qual o valor da área da porção iluminada da esfera? 1102. Determine a que distância x da superfície de uma esfera de raio R deve ficar um ponto M. a fim de que a calota visível desse ponto seja uma fração dada l/m da superfície da esfera. 1103. Uma esfera é seceionada por um plano a 3 em do centro da esfera. Sabendo que as áreas das calotas determinadas estão entre si como 3/5, calcule o volume da esfera. 1104. Consideremos duas esferas concêntricas. A esfera exterior é seccionada por um plano tangente à interior, determinando uma calota esférica de 1007f em] de área. Calcule o raio da esfera exterior. sendo 3 em a medida do raio da esfera interior. 1105. Seccionando uma esfera por um plano, obtemos duas calotas cujas áreas estão na razão 2/5. Calcule a superfície da esfera, sendo 4 em a medida da corda do arco gerador da menor calota. 1106. Um arco de 60°, pertencente a uma circunferência de raio la em, gira em torno de um diâmetro que passa por uma de suas extremidades. Determine a área da calota gerada. 1107. Calcule a razão entre as duas calotas esféricas em·que uma superfície esférica é dividida por um plano que passa por uma face do cubo inscrito.

\~u;

'W ;

~.

"'~.. ~. ~, ~

'~\\ ~< ~,
,k, \ \..

~~_ Sejam. " ~," . i = 300 a altitude;> R ;: 6300 o raio da Terra e·' h a altura da calota visível.

. O problema pede:
, ...

,.

A

calol~

.

Asup,esf,

AC'llota
Asup.esf.

350

351

.......
I

SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

1108. Corta-se uma esfera de raio R por um plano Ç(. A diferença das áreas das calo_ tas obtidas é igual à área da secç.ào determinada pelo plano. Qual a distânCia do plano ao centro da esfera? 1109. Dada uma circunferência de raio R e diâmetro CB, uma corda AC é tal que, girando a figura em torno de AB, a área da calota gerada por A C e a área lateral do cone de geratriz ACestão na razão M : (mln > 1). Calcule a projeção de AC sobre BC.
Solução
Acalota

1115. Determine o raio de uma esfera, sabendo que a diferença entre a sua área e a de uma sua zona de 5 em de altura é igual à área de um fuso de 60° da mesma esfera. 1116. A soma das áreas de um fuso de 60° e de uma zona esférica de 8 em de altura é igual a 312 da área da esfera. Determine o volume da esfera.
1117. Uma zona esférica e um fuso de uma mesma esfera têm áreas iguais. A altura da zona é 1In do raio. Calcule o arco equatorial do fuso.

m
n

./2R (2R":-0

1118. Dois planos eqüidistantes do centro de uma esfera de raio R seccionam essa esfera, determinando uma zona cuja área é igual à soma das áreas de suas bases . Obtenha a distância entre esses dois planos. 1119. A que distância do centro de uma esfera devemos traçar um plano para que a área da zona (calota) determinada seja igual à área lateral de um cone cuja base é o círculo da secção do plano com a esfera e cujo vértice é o centro da esfera, sendo 10 em a medida do raio da esfera? 1120. Um cone está inscrito em uma esfera de raio r. A área lateral do cone é a quinta parte da área de uma zon~de altura igual à altura do cone. Determine a distância do centro da esfera à base do cone.

Ar cone

=-

f

21rRx ::o.!!L 1rYZ fi

=(1)

C 1"---------'-"----'1 B

2R-x

=-

2Rxn == myz

Do triângulo ACB retângulo em A, vem: yz=xJ2R(2R-x)
(1) e (2)
=;.

(2)

=-

2Rxn "" mxJ2R(2R '-- x)

==

m2 x "" 2R(m 2 - n 2 ) ~

x =

m2 - n2 2 ·2R m

1121. Um plano secciona uma esfera de raio r a uma distância d do centro da esfera, determinando uma zona (calota) cuja área é igual à área de uma outra esfera de raio igual ao triplo de d. Obtenha essa distância d.
1122. Dois planos seccionam uma esfera, sendo que o prímeiro passa pelo centro da esfera e o segundo a uma distância d do centro da esfera. Sabendo que a área da zona esférica determinada por esses dois planos é igual à soma das áreas do círculo máximo da esfera com a área da secção à distância d do centro da esfera, obtenha d.

Resposta: A projeção mede

·2R.

1110. Determine a distância de um plano secante ao centro de uma esfera, sabendo que a maior calota determinada por esse plano tem área igual à média geométrica entre a área da menor calota e a área da esfera na qual estão contidas as calotas. 1111. A geratriz de um cone forma com o eixo um ângulo de 30°, sendo esse cone circunscrito a uma esfera de raio 12 em. Obtenha a área da menor calota determinada pelo círculo de contato das duas superfícies.
1112. Determine O raio da esfera na qual seja possível destacar uma calota de altura igual a 2 m e cuja área seja igual ao triplo da área lateral do cone, tendo o vértice no centro da esfera e por base a base da calota.

1123. É dado um semicírculo AS de raio R e um ponto P no prolongamento do diâmetro. Calcule OP, de modo que a tangente PC possa gerar em torno do diàmetro uma área igual à área gerada pelo arco ACem torno do mesmo diâmetro.

A

~p I' _I
R B

x

1113. Determine a medida da área de uma zona cujos raios das bases medem 3 em e 5 em, respectivamente, sendo 8 em a medida da altura da zona.
1114. Uma zona esférica de 5 em de altura é equivalente a um fuso esférico de 45° da mesma esfera. Determine o volume e a área da esfera.
352

1124. Seja uma esfera de raio R cortada por um feixe de N planos que tem uma reta comum, determinando nesta N + 1 sólidos. Sendo S a superfície total desses sólidos, prove que:

S 27rR2 - 2

'i(

N.
353

·

;

..•

t.

.::

...•

: ..

.:

::

te:::: .

...

:

...

... -.

:

..

:: =I

SUPERf!CIES E S6L1DOS ESFÉRICOS

SUPERFíCIES E SÓUDOS ESFÉRICOS

UI. Sólidos esféricos: definições e volumes
283. Segmento esférico de duas bases
Consideremos um segmento circular de duas bases e um eixo (reta) perpendicular a essas bases pelo centro e que divide o se,gmento ,em duas p~~tes congruentes. Girando uma dessas partes em torno do eiXO, obtem-se um sohdo que é chamado segmento esférico de duas bases.

285. Segmento esférico de uma base
Consideremos um segmento circular de uma base e um eixo (reta) perpendicular a ela pelo centro e que divide o segmento em duas partes congruentes. Girando uma dessas partes em torno do eixo, obtém-se um sólido que é chamado segmenTo esférico de uma base.
e
e
I

C-D

e

286. Volume
Decorre da fórmula do volume do segmento esférico de duas bases, faf) == f e f] == O.

284. Volume

zendo:

v

== ?fh [3(rt

6

+ r1) + h2 ]

287. Outra definição para os segmentos esféricos
em que ri é a medida do raio de uma base r2 é a medida do raio da outra base e • ) h é a medida da altura (projeção do arco sobre o eIxo. Veja a dedução no item 293.
354

Seccionando uma esfera por dois planos paralelos entre si, dividimos a esfera em três partes; a que está compreendida entre os dois planos, reunida aos dois círculos-secção, é chamada segmento esférico de duas bases, e cada uma das outras duas, reunidas ao respectivo círculo-secção, é chamada segmento

esférico de uma base.
355

~~:,Xx·i:;~.iJ:~:~r~;:~'i:w.#:[J;-r~;~~~-I~~-i~~~~;rL~;~,qtr~:i~:~~'~~_~;~i4fr·~~~;~~~.~~'1fl.~~~~~~:~~~-~~~·~:~~~rJ~~1~_~'.~~!W~~~~~J.~1i~~?~~~~~~~.~~~~~~?t.i~~ . ,~"~', ~ ""

SUPERFÍCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

e
segmento { esférico de uma base

e } segmento esférico de uma base

2 1127. Determine o volume de um segmento esférico cuja calota tem lOO1f em de área,

estando ambos situados em uma esfera de 20 em de diâmetro.

1128. Determine o volume do segmento esférico obtido da secção de uma esfera de 10 em de raio, por um plano, que passa a 2 em do centro da esfera.
1129. Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo 4 em a altura do segmento e 8 em os diâmetros das bases. 1130. Uma esfera de 18 m de raio é seccionada por planos perpendiculares a um diâmetro, dividindo-o em partes proporcionais a 2, 3 e 4. Calcule as áreas totais e os volumes dos sólidos determinados.
Solução

}
segmento esférico de uma base }

esférico de duas bases segmento esférico de uma base

..,moO!,

288. Volume da esfera
A esfera pode ser considerada, por extensão, um segmento esférico em que fi = 0, f 2 = O e h = 2R. Daí, o volume da esfera é:
h
,-"--

I{
e
1
i

h1
r1

I I

r1

,,1
IIIj

h2
r2 r2

12

r2 I
~

r2 2
~

/

h3

16
I

/

I

v

11'"(2 R) [3(0 6

+ O) + (2R)2J
'-v-'

===>

h
Os sólidos determinados são segmentos esféricos. a) Cálculo dos elementos caracterizados na figura. R=18 h[=2k h 2 =3k h 3 =4k h l + h 2 + h 3 = 36 =- 9k = 36 =- k = 4 h l '"" 8 h 2 = 12 h 3 = 16

'--

E_X_E_R_C_ÍC_I_o_s

l

rr =

Dos triângulos retângulos vem: 8 . 28 =- ri = 224

16 ·20

=-

r~

320

b) Cálculo das áreas e volumes. Do segmento esférico I. A t = Acalota + Acirculo =- A t = 21f R h I + 1f rr ==> A t = 21f . 18 . 8 + 1f' 224 =- A t = 51271" m 2
1f h l 2 71" . 8 2944 2 V = --[3rr + h.] ~ V = ~-[3·224 + 64] ~ V = --1fm 6 6 3

1125. Determine o volume de um segmento esférico de uma base, sendo de 1611'" m2 a área da base e 2 m a altura do segmento. 1126. O raio da base e a altura de um segmento esférico de uma base medem, respectivamente, 8 em e 12 em. Determine o volume do segmento esférico.
356

357

. -:'~c.-.:. ~· :' Ir:::::·,:··:·::::::::;:--:;:,i":-:::::::::·:::=:::;:-::===::':!:'::::·.55:.-::_":_:f::::"':"-:::'::::::::::::::=========::-:":::::::::::::::::::::
.., ' , ••
'~ ·.:-.':'...

••_

.

••

, i

;;:;; ;';';,:'

i

I
SUPERFlcIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS SUPER.FÍCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

Do segmento esférico lI.AI

= Aron.

+

Acírculo I

+

=> AI

= 211" ' 18· 12 +

~ ~ = 21fRh2 + 'lrr} + 'lrr~ ~ 11" • 224 + 11" . 320 ~ AI = 97611' m2
Aci.-culo 11

De (1) e (2) saem: x '"' ; R Substituindo x e y em V, temos:

y =-R

2 5

V =

1f:

2

[3(r7 + rn + hn ~ V
m3

=

'Ir~2

[3(224 + 320) + 122 }

=>

V =
=>

~ V = 355211'

1 16 -;r 2 '3 'li" • 25 R2 . 2x + 6" . 5
V =

16 4 R(3· 25 R2 + 25 RZ)

=:>

Do segmento esférico IH. A.. = Ae~loUl + Acírcu[O - . AI =, 2'l1"Rh 3 + 1l'd =0>'" => A t = 2 . 1f • 18 . 16 + -;r'. 320 =:> ~ = 89611' ml

25

12 1fR3

1l' h) 2 2 . V = - - [3r2 + h J ) 6
V =. 9 728 'Ir m) . 3

=-

'K 16 V = _ _ [3·320 + 162 ] 6
o

=>

1134. Seja dada uma esfera de filio R em um ponto P distante h > R do seu centro. Considere-se o cone indefinido, formado pela totalidade das retas tangentes à esfera, traçadas pelo ponto P. Calcule o volume do sólido, cujos pontos são internos ao cone e externos à esfera.
1135. Uma esfera de 30 m de diâmetro foi seccionada por dois planos paralelos do mesmo lado do centro e distantes deste centro 12 In e 8 m, respectivamente. Calcule a área da zona compreendida entre esses planos e o volume do segmento esférico compreendido entre esses dois planos. 1136. Obtenha a distância entre o centro de uma esfera e um plano que a secciona deterrrrinando um segmento esférico, de tal maneira que o volume do segmento esférico seja igual ao volume de um cone de revolução cuja base é a secção da esfera e cujo vértice é o centro da esfera, sendo r o raio da esfera. 1137. Seccionando um hemisfério de raio r, por um plano paralelo à base, obtemos um segmento esférico de uma base. Sendo o volume desse segmento igual ao volume de um cilindro cuja base é a secção e cuja altura é igual à distância entre o plano e a base do hemisfério, determine essa distância. 1138. Num segmento esférico de uma só base, de uma esfera e raio R, está inscrito um cone, cujo vértice é um dos pólos relativos a sua base. Qual a área da base, sea razão entre o volume do cone e o do segmento esférico é igual à constante K? (Discuta o problema.)

1131. Determine o volume dç um segmento esférico de duas bases, sabendo que está situado em uma semi-esfera de 20 em de raio e que as suas bases distam 3 em e 6 em, respectivamente, do centro da semi-esfera. 1132. Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo /5 em a medida do raio da esfera na qual está contido o segmento esférico e sabendo que as bases paralelas do segmento esférico distam cada uma 6 em do centro da esfera. 1133. Dada uma esfera S de diâmetro AR = 2R, considera-se o cone C de altura AB e de raio R. Calcule o volume do sólido comum à esfera S e ao cone C. Solução cone de raio x e altura 2 R - y, com um segmento esférico de raio x e altura y.
V=
-1l'X2

A

o sólido comUm é a reunião de um

I 3

(2R-y)

1fY + -[3x2 + y2J

6

289. Setor esférico
B

Cálculo de x e y. Da semelhança: -

x
R

::;
2

2R - Y 2R

=-

x =

2R - Y 2

(1)

É o sólido de revolução obtido pela rotação de um setor circular em torno de um eixo tal que:

Do triângulo ACB: x = y(2R - y).

(2)

a) passa pelo vértice do setor circular; b) não intercepta o arco do setor circular ou o intercepta num extremo; c) é coplanar com o setor circular.
359

358

t
SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

f

SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

291. Anel esférico
e e

. É um sólido de revolução que se obtém pela rotação de um segmento circular (de uma base) em torno de um eixo tal que:

a) passa pelo centro do círculo que define o segmento circular; b) não intercepta o arco do segmento circular ou intercepta-o num dos extremos; c) é coplanar com o segmento circular.
e

e

e

e

e

290. Volume do setor

Iv
em que R é a medida do raio do setor (note que é o raio da esfera) e h é a medida da altura do setor (projeção do arco sobre o eixo). Nota: A esfera pode ser considerada, por extensão, um setor esférico de altura h '"" 2R.
v

292. Volume do anel

~i

r R' . 2 R h

=

I~.~v_=_4~3~1l'~R_3~
________________c4m

em que
h é a medida da altura (projeção do arco sobre o eixo) e
f é a medida da corda (base do segmento circular).

360

_

361

.. I:::::::::::::::::::::::::':=:::;::::.:::::::::::::.:.:$j:·;.·:':t:.·.:"~·"':.::::,,::::.:::.:....:::.::::::::.: : : : : : : .:::::::'::::':::::'::::::'::::$:::::::;:'·::::'1
"
SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

-

SUPERF!CIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

U50. Deduza a fórmula do volume do segmento esférico, supondo conhecida a fór-

'---

E_X_E_R_C_Í_C_IO_S
co. Determine o volume do setor.

J

mula do volume do setor esférico. Solução Dividamos em 2 casos:

1139. Numa esfera de 1 m de raio, uma zona de 1 m2 serve de base a um setor esféri-

1140. Um setor esférico tem volume igual a 2007r sua zona de base tem área igual a 1007r em2 • Determine o volume da esfera a qual pertence o setor esférico.
1141. O volume de um setor esférico é igual a 1i507r em 3 • O raio da esfera no qual está contido mede 15 em. Determine a medida da área da zona correspondente. 1142. Determine a medida do raio de uma esfera cujo volume é igual ao volume de um setor de uma esfera de 1 m de raio e tendo por base uma zona de 801(" em 2 •

enr,

1.0 caso: Uma das bases do segmento esférico é círculo máximo da esfera.
V sogro.

=

V'<lor

+
2

V con<.

V..W ,

= 3"

2

7rR H = -6- 4R

1rH

2

=>

1143. Um setor drcular AOB, pertencente a um círculo de 10 em de raio, gira em torno do diâmetro POQ. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que o raio AO forma com o diâmetro POQ um ângulo de 60 0 e que o raio 08 forma
com o mesmo diâmetro um ângulo de 45 o.

1144. Dois setores esféricos de uma mesma esfera e de mesmo volume têm necessariamente a mesma altura?

V,egm. =

7rH [3 (R2[ + R2) + H2] 6

1145. O volume de um setor esférico é proporcional ao quadrado ou ao cubo do raio?
Justifique.

2~ caso: Nenhuma das bases do segmento esférico é círculo máximo da

esfera. Recaímos em soma ou diferença de dois segmentos do I? caso.
~.

1146. Uma esfera de raio R é furada segundo um setor esférico cujo vértice coincide
com o centro da esfera. Determine a expressão que dá o raio da circunferência segundo o qual o setor corta a esfera, de tal maneira que o volume do setor seja l/n do volume da esfera. 1147. Um anel esférico é gerado por um segmento circular cuja corda mede Vo volume do anel, calcule a projeção da corda sobre o eixo.

-t

H

.t H,

H2 .-J__• ~

r.

Sendo

1148. Determine o volume gerado pelo segmento circular AMB, girando ao redor do diâmetro PQ, sendo a corda AB deste segmento igual a 5 em, a distância do ponto A ao eixo igual a 3 em e a distância do ponto B ao eixo igual a 6 em. 1149. Dado um hemisfério H, definido por seu círculo máximo C e pelo pólo correspondente P, determine o volume interior a H e exterior a quatro cones, tendo
P para vértice comum e para bases quatro círculos iguais, situados no plano

I

t l

H

I
I

V..gm.

=

Vs<gm' l +vsegm·z "" [3(Rt + R 2 )

11':1

+ HtJ

± 7r:2

[3(R 2

+

RD

+ Hi)

C, tangentes interiormente a este círculo e exteriormente entre si.
362

1

f

...
363

SUPERFíCIES E SÓUDOS ESFÉRICOS SUPERFíCIES E SÓliDOS ESFÉRICOS

em que
'" ~ [3RfH) + 3R2H) + Hr ± 3R 2 H2 ± 3R~H2 ± Hil
6
R~
~.-"-

+

H~

Rr + Hr

DA = AA' = DP, = DP2 = R ("raio da esfera") C,PI = rI e C2 P2 = r 2 (raios das bases do segmento esférico)

=~[3RfH[ + 3R~HI + 3H~HI + Hj±3RrH2±3HfH2±3R~H2±Hi]. 6

=
=

DCI = C1QI = d, e DC2 = C2 Q2 = d2 Cj C2 = h = di - d2

= 2'-[3RT<H 1 ±HJ + 3R~(HI±H2) + m±3HfH2 + 3H.m±HlI
6

Nessa figura devemos reconhecer: a) o segmento esférico gerado pela rotação

~

.

' .

"I

I
de

= ~ [(3(Rr + 3R3) (H[ ± H 2)
6

'-,,---'

+ (H) ± HYl
~

H

H

Df C2~"P,
C .
A' P,

ao redor do eixo DA;

b) o cilindro gerado pela rotação

IV. Deduções das fórmulas de volumes dos sólidos esféricos
A dedução das fórmulas de volumes dos sólidos esféricos (segmento es-

o

de

C'~
c, A
C'

t

Ci

ao redor do eixo DA;
,

férico, setor esférico e anel esférico) pode ser feita a partir do segmento esférico de raios r, e r2 e altura h.

c) o tronco de cone gerado pela rotação

293. Volume do segmento esférico
Consideremos a figura abaixo: de

o~
c,
~
•

d) a parte da anticlépsidra gerada pela rotação

~
Q2

ao redor de DA e
o,

.

Df
de
A

' f-----~Ci
o,

--O~Cí
ao redor de DA.

Pelo visto no item 224 o segmento esférico é equivalente à parte da antic1épsidra acima e, então, seu volume é dado pela diferença entre os volumes do cilindro e do tronco de cone acima identificados.
364

365

t:·:::::::.====i:.=::====
SUPERFÍCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

.,

...
>

;

.i

,

;

g -tW::

ti

:

::

: ="'::1

SUPERFÍCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

Então:

vem: Vsetor
=

~ 6

[3 R 2 + 3r 2 + h 2 - 2 r 2 ]

~ V"tor =

1r h [3Rl + 6

~] ~ vsetor Rl

1rh . 4R2 6

=>

2? caso: Nenhum dos raios do contorno do setor circular é perpendicular ao eixo. Recaímos em soma ou diferença de dois setores do I? caso.

[ V=

~ [3 (rJ + rD + h'lj

T
h

1
V selor
V'elor 1

Nota: Da fórmula do volume do segmento esférico de duas bases sai a do volume do segmento esférico de uma base e a do volume da esfera.

± Vsetorl

=

~ 1rR2(h 1 ± h 2)
3 '-.,--' h

294. Volume do setor esférico
Sendo conhecida a fórmula do volume do segmento esférico, deduzimos a fórmula do volume do setor esférico, dividindo em três casos:

=

IL-._V_sel_or~=_-=;

h _1l"_R_2__

1.° caso: Um dos raios do contorno do setor circular (que gera o setor esférico) é perpendicular ao eixo.
V setor ;:; V segro, esf, -

3? caso: Um dos raios do contorno do setor circular (que gera o setor esférico) está contido no eixo.

V cone

Vsegro, -

1l"h [3 r 1 + h2] 6
h)

Sendo Vsegm. es f .

=

1l"h [3 (R2 6

+ r 2) + h 2]
V eane

1l"rZh e Veooe = - 3 366

=

21rrz h 6

= ; r2 (R

367

SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

SUPERFÍCIES E SÓLIDOS ESfÉRICOS

=>

V,elOr

=

--

7r h [3 r Z 6

+

7f r2 h 2 1 + -3 (R - h)

296. Área da calota ou da zona esférica
Para o cálculo destas áreas vamos utilizar a noção estabelecida no item 229.

Do triângulo retângulo: r 2 V seror
=

= R2 -

(R - h Y

=

2 R h - h 2•

~ [(2Rh - hZ)h
=

+
h3

h J + 2R(2Rh - h 2 )]

==-

=- v setor

..lI..-. [2Rh 2 6

-

+

h3

+

4R zh - 2RhZ ]
f';.

V""toc=

3

1

" .

7rR h

2

.

o volume do segmento esférico correspondente à zona (ou calota) esférica é dado por:
295. Volume do anel esférico
e

VI = 7rR2h-+7fh(dr + dl- dz

+ dn+
x, o volume é:

cb
Vanel = Vsegm. esf.
V segm. =
-

Para a esfera concêntrica de raio r 7r(R

V troncO de cone
r 2) 2

+ x)h -

1rh [3 (r 2 + [ 6

+ h

+
=-

1rh(dr + di - d z + dD-

Z

]

Portanto: Vz - VI
V p = 1r(R

V tronco

=

7rh [r21 + r I r 2 + r 2] 2

+ x)2h - 1rR 2 h

=>

3

íT(2R + x)hx Então, para x
Azo n• (ou calota)

V
=>
-p

x

=

1r(2R

+ x)h

vem: = 1r (2 R + O) h = 2 1r R h
= 0,

I'
íT h f2 6
368

A lOo •

(ou c.101')= . 21r

Rh

<I

369

e

I ,
.~

SUPERFíCIES E SÓLIDOS ESFÉRICOS

LEITURA

Riemann, O Grande Filósofo da Geometria
Hygino H. Domingues Qual a menOT distância entre dois pontos? O leigo (porque é leigo) dirá que é a medida do segmento de reta com extremidades nesses pontos. Mas, e se se trata de dois pontos A e B sobre uma superfície esférica (da Terra, por exemplo) e se procura o menor caminho de um ao outro sobre essa superfície? Ora, se os pontos estão perto um do outro, então o segmento de reta A B pode fornecer uma boa aproximação; caso contrário (pode-se provar), a resposta é o menor dos arcos do círculo máximo da esfera por esses dois pontos. Questões como essa levam às seguintes indagações: não seria importante uma geometria intrínseca da superfície esférica, em vez de considerá-la tão-somente como uma parte do espaço tridimensional euclidiano? O mesmo não é válido para outras suG. F 8emlrard Riemann (1826-1866). perfícies? A resposta afirmativa parece óbvia. No entanto, a geometria eu-o c1idiana reinava de maneira tão absoluta até as primeiras décadas do século XIX que nem sequer se cogitava dessas questões. Immanuel Kant (l 724-1 804), o mais respeitado filósofo do século XVIII, apoiava suas idéias numa suposta verdade inquestionável dessa geometria. Em 1826 Lobachevsky golpeou fatalmente o mito da unicidade da geometria euclidiana (ver pág. 266), mas, por motivos vários, seu trabalho não alcançou grande repercussão nos primeiros tempos. De qualquer maneira, isso não bastava; era preciso buscar uma visão global da geometria, através de idéias gerais, em espaços de dimensão qualquer. Inclusive o quadro das geometrias não euclidianas se completaria como subproduto dessa abordagem. Quem brilhantemente inaugurou esse trabalho foi G. F. Bernhard Riemann (1826-1866). Filho de um pastor luterano, Riemann nasceu na aldeia de Breselens, Hanover, na Alemanha. Além da pobreza, teve de lutar sempre
370

contra a timidez e a fragilidade física. Aos 19 anos de idade, atendendo a orientação paterna, ingressa na Universidade de Gottingen para estudar filosofia e teologia. Mas sua vocação prevaleceu e acabou cursando matemática, o primeiro ano em Gottingen, transferindo-se depois para Berlim. De volta a Gottingen, obtém em 1851 o título de doutor, sob a orientação de Gauss, com uma tese que introduz as hoje chamadas superj(cies de Riemann. Sua carreira acadêmica foi rápida: em 1859 já sucedía Dirichlet na cadeira de matemática de Gõttingen. Em 1862, um mês após seu casamento, adoece gravemente; os quatro anos seguintes passou-os em tratamentos. E morreu na Itália, ainda sem completar 40 anos, onde procurara um clima melhor para inutilmente combater sua tuberculose. Nessas condições não é de estranhar que a obra matemática de Riemann não seja vasta; mas é uma das mais importantes em todos os tempos pelos novos e produtivos campos que abriu. Dos mais inovadores é um trabalho seu de 1854 sobre os fundamentos em que se baseia a geometria. Nele aparece a importante distinção entre "infinito" e "ilimitado", que no futuro teria papel importante na teoria da relatividade. Por exemplo, os círculos máximos de uma esfera são finitos (percorrendo-os sempre se volta ao ponto de partida) mas ilimitados (pode.se percorrê-los indefinidamente). Daí a uma geometria sem retas paralelas não vai muito. Isso, contudo, exige dois outros afastamentos da geometria euclidiana para evitar contradições: que as "retas" sejam finitas (porém ilimitadas) e que eventualmente possam se cruzar em mais de um ponto. Mas haverá alguma superfície cuja geometria intrínseca correspanda a tais imposições? Sim, a superfície esférica (por exemplo), tomando como "retas" os círculos máximos (que sempre se interceptam em dois pontos). Dois resultados dessa geometria podem ser visualizados na figura: "a soma dos ângulos de um triângulo é maior que 180'''' e "todas as perpendiculares a uma mesma 'reta' cortam-se num ponto' Enfim a geometria estava totalmente livre.
I •

371

•

1
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

33. É análogo ao anterior (veja um octaedro num tetraedro).
34. Use o fato de que as diagonais de um pllralelogramo imerceptam-se nos respectivos pontos médios.

59. Método indireto e aplique o exercicio 38. 60. a C a; O problema não tem solução. a I a e {3 = (a, P) é secame com a; O problema não tem solução. a I a e {3 ~ (a, P) é paralelo a a - infinitas soluções ..e..; a concorrentes - uma ~~âl:l61. No I ~ caso, o problema admite solução única (analise a figura deste caso). No 2~ caso, o problema não tem solução. 62. Chame de / a interseção de a e (3. Recai no exCf-·

3S. Tome uma reta no plano e, por um ponto fora do plano uma paralela a essa reta. Infinitas soluções.

Respostas \ dos Exercícios
Capítulo 1
i. Resolvido.

36. Por um pomo fora da reta conduza uma paralela a ela. Por esta reta conduzida, passe um plano. Infinitas soluções.
37. Resolvido. 38. É aplicação do exercício 37. 39. Use o método indireto de demonstração e sições de reta e plano.
p0-

cíci061.
63. Tome um ponto P numa das retas e a solução é a imerseção x dos planos determinados por P e pelas outras duas retas. No I? caso há restrições para P. 64. a) b) c) d)
F V V F e) V f)F g) F h) V b) V c) V d) V i) j) k) I)
F F F F

40. Por um ponto de uma: conduza uma reta paralela à outra.
20. a) V
b) V
c) F d) V e) F g) V

41. É aplicaçâo do exercício 37.

m) F n) V o) F d) F
g) F h) V

f)V

h) V

21. ,Resolvido.

42. Basta conduzir pelo ponto uma reta paralela à interseção dos planos. 43. Resolvido. 44. No I? caso e no 2?'caso o problema não tem solução. No 3? caso basta conduzir, por P, as retas r' e s' respectivamente paralelas a r e s. 4S. Existem infinitos pontos P. Analise o 2? caso.
I

65. a) F 66. a) V b) F

c) V e) V f)F

2. Infinitas. 3. a) 3 retas:
b) 6 retas:

22. Sendo O tal que

ÃÊl n

êõ

=

101,

então

;O, iD, éõ Ã8, M, ;O, OC, iiD e éõ

(3

n ..,

=

õP.

23. Resolvido.
14. a

4. Nenhum, um só ou quatro. S. Resolvido. 6. Postulado da determinação de f!lanos. 7. Resolvido.

n

{3 =

RS

46. Use o método ,indireto e o exercício 311,

Capítulo 111
67. (AB.L BC, BC 11 DE) .. AB 1 DE
68. Resolvido.

2S. É O conjunto formado pelas extremidades do diãmetro comum. 26. Os pontos O, P e R pertencem à interseçào de dois planos que é uma unica reta.
27. Resolvido. UI. Resolvido.

8. Infinitos.
9. A concorrente está contida no plano das paralelas. 10. Resolvido.

1

47. a) F b) V c) V d) V
43. a) F

e) V f) F

i) F j) V

1) V m) V
n) F

g) F h) F
b) V (3

k) F
c) F

69. Use o teorema fundamental.
d) F
o!

49.

(o!

n

= q"

a C (3) .. a

n

= ti>

.. a 11 a

70. Resolvido. 71. O pomo médio de uma aresta e a aresta oposta determinam um plano perpendicular à primeira.

11. Faça o plano (r, P) coincidir com o plano (r, sI.

29. Aplique o 2? caso do teorema dos 3 planos secantes.

n.

a) F

b) F

c) F

d} V

e) V

13. Resolvido.
14. Use o método indireto de demonstração. 15. Use o método indireto de demonstraçào. 16. Não são obrigatoriamente reversas. Podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. 17. Resolvido.
18. a) V

x, a e b ou incidem num mes30. Se x = (3 mo ponto (I? caso do teorema dos 3 planos secantes) ou x 11 a e x 11 b (2? caso do mesmo teorema).
31. a) a c) a

n ')',
n

50. Basta considerar, por P, duas retas respectiva· mente paralelas a duas retas concorrentes do plano. SI. Analise as posições relativas da reta com o pia· no. Método indireto e exercício 37. 52. Aplique o exercicio SI. 53. Resolvido. S4. Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. 55. Use o método indireto.

72. Resolvido.

73. Tome o mesmo plano fj do exercicio 72 e prove
que

b .L (3.

n

b

c =
=

IPi
' :Pi ou (a 11 b, a 11 c, b 11 c)

74, É reto. Justificação: é o teorema das três per. pendiculares. 7S. Prove que a reta é paralela a uma rela do plano. 76. Por um ponto do plano conduza duas retas res. pectivamente paralelas às retas dadas. 77. a) b) c) d) V F V F e) V f)F g) V h) F i) V
j) V k) V

Mbll~b/c

nbnc

b} V c) F d) V
19. a) F

e} V f} F g) V c) F d) V

h) F i) F j) F e) V f} F

k} F I) V m)V
g)

56. Resolvido.

Capítulo 11
32. Use o fato de que o segmento com extremidades nos pontos médios de dois lados de um 1riãngulo é paralelo e metade do terceiro lado.

57. Aplique o exercício 56.

I) F m)V n) V

sa.

b) V

V h) F

Eles se interceptam: aplique o método indireto e o exercício 56. Na outra parte aplique o exercício 53 duas vezes.

78. Resolvido. 79. Resolvido.

372

373

rdl

I· ,15

:'"

RESPOSTAS DOS EXERCiclOS

RESPOSTAS DOS EXERCíCIOS

80. a) b) c) d)

Use o método indireto e o exercício 78. Resolvido. Considere no plano duas retas concorrentes. Pelo ponto onde uma das retas fura o pIa· no, passe uma paralela à outra. Use a uni. cidade.

102. Resolvido. 103. Não. O plano pode ser paralelo ao segmento. 104. Resolvido. 105. Passe por M. ponto médio de AB, uma reta r' /I r. Infinitas soluções (nos 3 casos possíveis). 106. Basta conduzir por M, ponto médio de AB, o plano perpendicular a r. Se r ! Ã1i, infinitas soluções; caso contrário, solução linica. 107. Por M trace um plano paralelo a a. Se Ã8

124. 45" 125. 50" ou 130· 126. 80· 127. Trace uma secção reta e recaia em ângulos opostos pelo vérl ice, 128. a ou 180" -a 129. Resolvido. 130. 5./3 em 131. /O cm 132. 20cm 133. lOiJ em 134. Resolvido. 135. 10 em 136. 15 cm 137. -S-cm 138. 10cm

157. a) sim b) não

c) não d) não

e) não fl nâo

g) sim
h} sim

158. Não. As faces do polar mediriam 140", 130' e 120·, o que é impossível. 159. Entre 90" e 270'. 160. lO"

lll. Use o exercício 80 b e d. 82. Use o exercicio 80 e e a. 83. Considere em {1 uma reta b perpendicular à in· terseção. 84. Pelo ponto P, interseção de Cf com b, conduza uma reta i perpendicular à reta a. Veja o plano (b, I). 85. Resolvido. 86. Use o exercício 85. 87. Basta aplicar a definição de planos perpendi· culares. 88, Tome b em a, paralela à reta a. Use o exercício 80 e. 89. Resolvido. 90. Métooo indireto, usando o exercício 89. 91. a) F b) V c) F d) F e) F f) F

<

li

<

lJO"

161. Resolvido. 162. Resolvido. 163 .

/I a

r.f6 6
c) V d) F
e}

ou Ã8 C a, infinitas soluções. Se Ã1i e a con· correntes, solução linica. 108. Pelo ponto médio de nilas soluções.

n, conduza r .l

164. a) V b) F

F

g} V

Cf.

Infi·

fl F

h) V

109. Todos os planos do feixe de planos paralelos a (A, B, C). Tome os pontos médios dos lados do triângulo A BC e descubra mais três feixes de planos. 110. Se P q:. (A, B, q como ponto médio dos lados do triângulo A BC, temos 3 soluCÕCS e mais uma que é o plano, por P, paralelo ao (A, B. C).

125

165. VIa, b, c) tem diCa) reto. Tome A em Va e por ele trace a secção reta do diCa) determinando B em Vb e C em Vc. Use o teorema de Pitágoras em 3 triângulos e o teorema dos cossenos no triângulo VBC. 166.

JJ6 cm

111, Analise o tetraedro A BCD. Observe o octaedro
cujos vértices são os pontos médios das arestas do tetraedro. Ache 7 planos. 112. Por Pconduza uma reta e .L a. Por e passe um plano {1. Em {1, conduza g tal que efrg = 90"-0. Infinitas soluções (só em (1 há duas). 113. Veja o exercicío anterior. 114. Por P conduza g tal que ià=f1. Em a trace t .l g. O plano pedido é o (l, P'j. Infinitas so· luções. 115. Resolvido.

139•

~'~
2' 4
b) V c) F d) V
b) V
c) F
e) F

167. Resolvido. 168. Resolvido. d) F
g) F h) V
e) V e} V

g) V h) V i) F

j) V k) F

140. a) V 141. a) V b) V 142. a) V

fl V
c) V

i} V j} V

169, No lriedro V(a, b, e), tome A E a, B E b e C E c tais que liA "" IIB"" vc. Sendo G o baricentro do .:lABC, a rela comum é

Vã.

d) V

flV

170. As bissetrizes estão no plano determinado por

143. Resolvido. 144. Resolvido. 145. Analise dois casos: I~: ÃBorlogonal a r (é imediato). 2~: ÃB não ortogonal a r. Sai por congruência de lriângulos e perpendicularidade de reta e plano. 146. Resolvido. 147. Resolvido.

MP e b', sendo M

e P

OS

respectivos pontos

Capítulo IV
92. Lados opostos de um retângulo são con· gruentes. 93. Resolvido. 94. a) V b) F c) F 95. a) F b) V d) V e) V c) V d) V f)V g) F e) V f)F h) F i) F g) V

médios de BC e AB e b' a bissetriz de que lia' é oposta a Valo

a'Vc (em

171. Por um ponto A E Va, A ;" 11. conduza um plano perpendicular a lia determinando Bem e C em c. A reta comum é e o ortocemro do .:lABC.

?

VII,

em que H

116. Resolvido. 117. O lugar geométrico é a superfície esférica de diâmetro DP. 118, O lugar é uma circunferência >.., contida em a, de diâmetro DP', sendo P' a projeção ortogonal de P sobre a. 119. Ê uma circunferência }.., contída n.Q..Plano perpendicular a r por P, de diãmelro DP, sendo O' a interseção de r com aquele plano.

Capítulo VI
148. Resolvido. 149. Resolvido. 150. 30' 151.

172. Conduza os planos Cf, 13 e 'Y do problema 171. As t rês retas são perpendiculares à reta comum de a, 13 e 'Y pelo pomo V. 173. Resolvido. 174. O·

96. Duas retas concorrentes 011 duas retas coinci· dentes ou uma reta e um ponto pertencente a ela. 97. Paralelas, concorrentes, ou lima rela e um pon· to fora dela. 98. Resolvido. 99. Prove que s.l (i. r'). Veja o exercício 98. 100. Prove que s· .l (r, r') e s .l (r, r'). Daí sai que s /I $', ou seja, s 11 a ou s C a 101. a) F b) F c) F
d) V e) F f)F
g) V h) F i) V

175. 70" 176.

Capítulo V
120. Resolvido.
UI. Resolvido.

152.

< x < 110' 30" < x < 90" O' < x < 120·
c)F
e) F
g} V

< x < /O" < x < 170" lO" < x < 50'

153. Resolvido. 154. a) F b} V

d) V

f)F

DF
k) F

122. Resolvido.

I ,

155. oito 156. Resolvido.

177. a) não Dl não c} sim d} sim e} sim 178. a) 3, 4 ou 5 faces b) 3 faces c) Não é possivel. 179. 5

lU. Resolvido.

374

I

375

À

r
RESPOSTAS DOS EXERClclOS

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

Capítulo VII
180. Resolvido. \81. 10 182. 6

Capítulo VIII
213. a) prisma penragonal

1 I ,

238. 239.

2,8J3 em
3 +

263. a) S = 3f2,

v = rJ,2
4

b) prisma hexagonal e) prisma pentagonal d) prisma oetagona!
214. Resolvido. 215. prisma decagonal 216. prisma pentagonal 217. 40 r 218. 22 r

,J3 +

8

em
3.f2

b) S = W.
264. 4 em,
265. S

V- _ _ 9

d'5

240. Resolvido.

45 em
V

183. 8
184. 9

241.

,fJ8 em
d 2•

= J 152 em 2•

= I 536.'3 em)

242. Basla usar a expressão de

266. 0,030 m)
267. a) A área é Quadruplicada;

185. 11
186. 8 e 4 187. Resolvido.

24); Note Que (a+b+c)l = tP+S.

o volume fica mulliplicado por 8.
144. Resolvido. 245.

b) A área é reduzida a
o volume

...!..
9'

188. 10
189. 29,68 e 41 190. 26 191. 14, 24 e 12 192. 10, 24 e 16

2\9. Resolvido. 220. 56 r
221. (n - I) . 4r

551 em, 8J2J em e 10m em
ad ; bIS .
cd

e reduzido a ...!... . 27
...!.;
4

246. 4 m, 6 m e 8 m
247.

c) A área é reduzida a

222. 2160° 223. 10800
224. O número de diagonais M um poligono de

J~+~+~

J~+~+~' J~+~+~

o volume

e reduzido a

t.

193. 20
\94. 20

n

248.5

m

d) A área é multiplicada por k 2; o volume é multiplicado por k).

lados é n( - 3) . 1
225. Use congruência de triângulos relângulos.

249. Resolvido.

26ll. 80 aalões

195. 3 triangulares, 2 quadrangulares e I pemagonal
1%.13 197.

26'. Resolvido.
250.
Srs

226. Resolvido.
227. Use o falO de que dois planos paralelos inler-

2t(r+s+t)

270. 48

ooof6 em)

4+a(t-2)+b(m-l)+c(n-2). (at+bm+cn) 2 '
deve ser par.

271.8000 m) 251. ,

eepram um terceiro em relas paralelas. 228. a) d =

198. Resolvido.
199. a) 720°

513 +

~

p(r+q +p)

rq

;f

rp .t~ P9 .. q(r+ q + p)' r(r+ q+ p}

I

272.343 em
273. 30 em; S 400 em2 274. 4S em; 13 824 em1 275. 258dm2

em, S = 37,5 cm

2

b) 2160°

c) 1440" d) 64800

e)

3600·
b) d =
c) d

.J57
2

em, S = 28 cml
S ~ 27 em 2

252. looJ6 em 3
253. a) S - 24 em 2• V = 8 em'
V =

200. 7 rriangulares e 5 penlagonais

lOI. 4 202. 6 rriangulares e 3 Quadrangulares
203. n, 9 e 19

.J6t = -2-em,

b) S = 3O,SO cm 2 , V - 10.500 em'
e) S -

276. - - em, Yo,II4 em. 2

9.fi4

_ r.-;

27 JI4

CID' 6237

2"

em2•

13,50em2•

3,375 em)

567.fi4 em)
277. 12 em. 6 em. 4 em; 14 em; 288 em) 278. 200 em2 ; 250 em)

229. a) d = xD, S = 6x2 b) d = aJJ4. S = ?2a 2
e) d =

254. a) S .. 4a2, V

=~ 2
6x, V .. 6x1 + 3x2

204. Resolvido.
2OS. Resolvido.
206. Resolvido. 207. Vide o exercicio 205. 208. Em 2V - 2A + 2F = 4, substitua 2A com

Jh2 + 6)(
2

+

5, S

= 6x2 +

12x

+4

b) S = 61>2, V = b3
e) S = 16x.2

+

279. 12

m2

230.
231.

J6m h y2 +

280. Resolvido.

255.3 m
256. d =

281. 20 em. 15 em. 10 em; V - 3000 em'

vérlkes.
209. Resolvido. 210. Em 4 V - 4A + 4F '" 8. subslilUa 2A com faces e outros 2A com vértices.

5E 232. -2- em
233.5 em
234. Resolvido.

Ji5S em.

S .. 286 crn2,

V '" 315 em)

281. V

= 2 880 a); S =
em

I 224 cm2

257. 12 em, 12,,13 em 258. 100 em)

233. 4 em, 12 CI1l, 3 em ou (7 +
(7-[i3)

ili) em, S

em,

259. 64cm'
260. 1,2 m; 1.728 m)

284. 54 em'
285. V""ocdro : V~ = 208; 243

211. Prove primeiro que 3F ~ 2A e 3V ~ 2A. UIilize essas desigualdades e a relação de Euler para provar as demais. 212. V = 60 (átomos) A = 90 (ligações)

235.
236.

J3 em
.[3 em

2116. 540 t; 0.06 m
261. d = 2,SD em.' S = 37.5 em 2 ;

V = 15,625 em)
V=I25cm)

287. Resolvido.

262.d=SJ)cm;

S=ISOcm2;

237. 3 em

283 .

~ + 2t2 t
3n

376

RESPOSTAS DOS EXERCíCIOS

RESPOSTAS DOS EXERCíCIOS

2119. 10 m. IS m. 6 m
2CM1. 112 em) ou 108 em)

311. Resolvido.
312
- 2f1õ)

291. Vcubo

: V O<1O<11ro

= 6 : (11

. ~ 4
s

J47.

h

3J3 23/6<2-,[3) em 10

363, Jd +5 _ /2d

2

L

S; Jd2 +S; Jd 2 +S +

~ 2d 2-5

3
em que

292. Resolvido.
293.

313. 6r = 314. 9 m! 315.

~

'"

J 3 6 ' d 2 < 55 (as dimensões além 4
6

J411. 349.
11 760

de reais devem ser positivas).

~ e1
11

4D em
em l ou em l

a) O plano (8, E, P) inlercepta as faces oposIa, do cubo em segmentos paralelos.

369. Use o falo de a soma dos diedros de um triedro estar entre 2 retos e 6 retos.
370. É a generalização do e~ercício anterior. 371. Prove que a soma das distâncias do enunciado . V 2S l e e a constante S + -r-o em que •. o Ia do d a secção, Sé a área da secção e V é o volume do prisma. 372. Use base média de um trapézio. 313. Use a relação de Stewart da Geomelria Plana ou a expressão da mediana de um lriângulo qualquer. 374. O plano deve passar por uma diagonal e pelo ponto medio de uma aresta. A área mínima

294

'3

316. 60 317. A,

= 270cm2 , = 1 020m 2,

V - 45f15 em l

r:: a12 a-h b) bases: a.J2 e -2-; -2-; S

9a = -8-

l

295. O ortoedro de menor superfície é o cubo.
296. 18(8 +

318. 6 dm

l5> cm J ; 240 cm 2

319. A,

V - 1800m l

297. Resolvido. 298. a) Observe os triângulos formados pela diagc nal, aresta e diagonal de uma face. b) Relação métrica nO triângulo adma. 299. 2,7.[6 em; 87,48 em2; 39,366,12 em) 300. Desenvolvimenlo algébrico. 301. a) cubo de aresta b)

320. 280em l 321. 144 ml 322. A,

3541 Os lados do lriângulo sâo di~gon~is das rac.es. • . Os exilemos da diagonal eslao a Igual dlslaneia dos vérlices do triângulo. PontO médio
S~--

a 213
2

323. A, =

= 48(6 + 5) 19213 cm2 ,
em2,

ml ,

V = 28S.J3

ml
352. 30·

VaI 152 em l

35\. 45°,90°,45.

324. Resolvido. 325. A,

iV. cubo de aresta S/6
6
.....

= 248

V = 240 em l
cm2

353. a) are eos
b)

16 13 3" ou arc sen -3ou are sen-

326. 80.{29cm 2
327. 2 em, A,

= 2(6 + J)

13 arc eos -3-

J6
3

. a2J6 e--.
2

3112. a) A, =. 42 cm 2,

= 54 cm 2• V = 21 em l

328. V 329.

= 6 dm l ,
mJ
4

A, = 14J3 dm 2

354. 45· 355. 6m l

375. VI

b) A, = 15 cm l • A, =
V",
c) Ar

.l. (10+ n> cm 2, 2

al J6 = --, Vz = 36

- - - a] 36

36 -

.f6

1153

356. 2016 al
357. 1 080 em l

75
2

b) tg a

= .J2

cml
= 6(3+55) em 2,

330. 24 m)
331. 64(4 + 3-'2> cm 2 332. 108 ml

= 3O.f3 em2, A,

35l1. 19212 em]

35'. 45 em]

Va 455 em) 2

333. Resolvido.

360. V =

54013 em 2 ;

Capítulo IX
311. pirâmide hexagonal

334. 24 dm l

A( = 36Oem 2
361. 4n a 3
362. 237.5"lo 363. 32

3ll3.a) Ar'" 6a 2,

A. =

12+5

2

a2. V

=

5

2

a

335. 480& eml 336. Resolvido. 337. 120(2+ J) em l 338. Resolvido.

378. pirâmide pemadecagonal

379. 27
380. 10 retos 381. Resolvido. 382. (n-I)' 4 retos 3113. a) b) c) d) pirâmide pirâmide pirâmide pirâmide pentagonal heptagonal hexagonal deeagonal

b) A, = 15)[2, A, '" 3(5 + .J3)ll2, V = 15.[3 )[
. 4
c) Ar

= .1... k2, •., A 3

=

J.2.. kl ' 6

V _

-

...L kl 12

339.

4J2 ml

364. a) aR,

+ 5) cm l • V = 90 cm! 305. A, = 20(32 + 25[2) cm 2, V = 200012 em l
304. A, = 60(1

340. (6 +.J3 4/3 V

J3 + 12.[3) dml
fi
A2

3

b)

iÍÕ

= are eos 2aJ5

15.

306, Ar = 1200eml , V = 2 400Ji em!
301.

341. - - ' _ , _ ' _ 3 A 24 V 342.

5 365. 6al
366. a} Observe os triângulos PAM e ABM.
b)

3&4.

a)

~
9

12 700
m,

2a12

25[3 em 2 A, = 25(1 + [3) ero 2 b) A( = 4816 cm 2 A, = 24.f3(l + 212) cm 2 • Ar
;=

308.

4h

3[3
2

m

343. É um retângulo de dimensões Q e Q!i; ~,J2. 344. 365 cm2 345. A, '" 35..[2 346. Resolvido.

J3 . 2"" umdades de comprimento
r;

V = 4817 em l

309. 2l0cm 2
310. A, = 32(6+[j)cm2

3()7. _.[j m
3

385. Resolvido .
JlI6. ~6 em; 9-13 em2 e -4- cm]

r.

9.[2

378

,

379
, i j f .i!

.Mlit

:::c1:

I

RESPOSTAS DOS EXERcíCIOS

RESPOST AS DOS EXERClclOS

387.3em 381.

242 em; 2,f6 cm~

423.
424.

m 3
4J93
3

m)

l 451. 180cm

477. Note que os lelraedros têm mesma allura e bases equivalentes. 478. Utilize a relação melriça no triângulo retângulo: I 1 I h2 ~ b2 + 7' em que b e c sao catetos e h é a allura relativa à hipOtenusa.
419. a) Observe que a soma dos volumes de P(AMN), P(AMQ) e P(ANQ) é o volume de A (MNQ).

452. Resolvido.

m.6m
390. 144& m2 J91.3m 392. Mem 393. 16em 394. Resolvido. 39S. 3 em)

em

l 453. 57613 cm

l 2 454. 9 cm ; 9,[2 cm
l

425. Resolvido.

426. 4S.[j em

455. 8,64 em
456. AI

427. B

= 9./3 cm 2; ~ = 9m em 2;
([13 +
I) cm 2; V = 1813 em)

= a2 E;

A, = 9.[3
428. Resolvido.

A, =
457. 6a

(E + ljal:

V

= ...!...a)
3

b) Deve ser escolhido de modo que: PA PB~3b e PC=3c. Plana).

~3u,

396. "',

= 4 320 cm2:

A,

= 108(40 + 3,13) cm2
=

429. 8,,3 cm2;

r.

- '-

812
3

em)

4116. Use o teorema da bissetriz inrema (Geom~ria

397. "'I =

28 m2: A, = 32 m2 24/3 em2

458. Resolvido. 459. a2

398. 1\,

= 21,[3 ern 2, AI

43t. 288.f2 em3
431. 4 em, 60 cm2, 48 cm~ 432. 24.fi em) 433. 144,[3 cm~ 434. a

J2

4

399. 192 rn 2
400. Resolvido.

481. Tome dois dos segmentos citados, use seme· Ihança de triângulos e a propriedade do bariceOITo.

401.

8.f2 cm~
3
em 2

1
15 = -2-m

402. 10 em e 24 em e 10(37 + 12,[2) em 2 403. ~(5J6S1 + 24[)3j + 120)
404. SI cm2 405. 3Oem2

=
2

17 2m, h

I I
f

:

460. Resolvido. 461. . 16.]2 ro 2
;~ Ir- 2 a-\.2 462. 2a, a 3, AI = (2)3+,2)a; V = - 3

J3

482. Considere o segmento com extremidades num vértice e no baricentro da face oposta. O ponto quc divide esse segmento na razâo 3 : 1 a par· tir do vértice é o ponto pedido.
483. Estabeleça uma a uma as razões entre os volu· mes de P(BCD), P(ACD), P(ABD), P(ABC) e o volume de ABCD.

435. 9.[jj m, 243m m)

4

463. Resolvido. (n + 2)h l ·tg--"464. J{k 2 - I) n + 2

484. Resolvido. 485. Use o resultado do exercício 484. 486. Se A (BCDE) é a pirâmide, o plano é definido por B, C e X, em que X é um ponto de AD tal
que AD = - - 2 - '

436. 105195 ml

406. 192 em 2
407. A b -

2m

2
em 2,

465.

kJ6
3
2

~ = 25m cm 2,

437.
.oll.

A, ' 25(/39

+

.J3) cm2

~m
17

466. 3fj rl
467. Calcule MH. HB, MB e use o recíproco da relação de Pitágoras.

408. 64.[7

em 2

4OJ3 rn l
8

AX

f5 -

I

409. 4./2 m

439. 9m em)

4".

Resolvido.

411. AI

= 24 em 2; A,

=

6(f3 + 4) em 2

440. A, =

4J327 cm2, A,

= 4.)3{JlO9

+

I) cm2

850 46&. -3469 •

4U.2[34em 41J.9rnem

441. 2./3 cm 442. 00° 443. Resolvido .

~ 3

487. a) Use o exercício 475. b) Traçe as alturas CH e DH das faces ABC eABD. c) Cada diedro. com 2 dos ângulos citados, dá 2 retas.
488. Use paralelismo.

. 414. A,

A,

= 60m cm 2; - 30(5,13 + 2J2i) cm 2
cm~

444.~;
2

am; a~!3
6

470. Não é possível. Observe que a base seria um hexágono regular.

489.

.!.V 3
2sena ;b=d sen (j sen rp 2 sen lO
sel1 a sen

24

471 ~m) . 3
490. a = d
a2;

415. 360 cm 2: 18(20+ 3,13) cm2 416.

2.!s cm; 96 crn 2

445. a) 60°;
AI

b) A, = 3m

417. 500J7 3 4111. 120em l 419. a 42.0.6 421. 2
l

3(5 + 2

m)

2

472. 2-12 m; 8 m 2; 812

a2, V _

~
2

3 A, = 12(7+,[5) m2

m~
c
= d

2 seo tl . sen rp sen ",'

473. Os triângulos sâo retângulos em D, D. A e C.

13

446. 60° 447. 36.[3

f3
2

ml ; 108 m2

474. Paria da expressão de Ve substitua os elementos em funçâo de S e A. 475. Sendo ASCD o tetraedro. procure trabalhar com um prisma BCDAEF.

491. a) Use a relação de Stewarl ou a expressão da mediana de um ITiângulo. b) Use o ilem a.

4411. 2 ml
449. 80./3 m l

492. Use o exercício 480.
493. a) A superfície laleral é máxima se A PB ~ 9Q•• b) O volume é máximo se PABC é tetraedro lri· retângulo.

422. 1152,fi m J

450. 2592 dml S

t

476. Sendo A8CD o telraedro e DB'C' a projeção, prOCUre raciocinar com um prisma DB'CABE.

380

381

RESPOSTAS DOS EXERCíCIOS

RESPOSTAS DOS EXERClclOS

Capítulo X
494. a) Ar = 4" em1, A, = fu- eml, V = 2Jr eml b) Ar =' 5" em 2, A, =' 7" =2. V = 2.5 eml c) A r = 120(11" + 2) mm 2• A, = 8{2h + 30) mm1 , V =48011" mm l
524. 3 7SO"
525.2 em cm 2

552. Deve aumentar

g'
com-

r

579. r - h - - 3

af6

553. O volume maior é aquele segundo o prirmnto.

s54. O volume menor é aquele segundo a largura.
55S. Resolvido. 5S6. [32JS

5.... r _ 3fV. h c>u. ~h'
581. TAJS - A

= 2 llV

~h

495. a) Ar = 4"x 2, A, = 6-1<x2, V
b)

5'2. O plano deve ser traçado a uma distância

='

2,,)ll
11"33

At = 7"r 2, A, = 9n2, V

c) ~ 8

= 2(" + 2)a2, A,

=

7" rl 2 (h+4)a 2, V =

=

526. S"
527.... 528. 289... em l 529 23Tr
l

+ (5 + 4JS)4...) çml

557.
SSII.

Jü....

h+Jh1 -,.l 2

da base. sendo h

~

r.

21"

+ 2) h

496. [3 1I"gl
497. 5 em
4911. 80" cm 2

A(

533. A primeira embalagem é mais vantajosa para o comprador. 5ll4. 5411", 911", 3611" 535. a) A embalaiem A gasta mais material
(SA

'-2-·

530. 120 em 2 531 532

21f~-;-

rB
2

499. 18" cm 2

.

31'S

2

559.

-h+~

>
:

S8)'

b) A embalagem A
(VA 2Vu)'

é mais econômica

500. 2r
501, Saia da A( e chegue na B. 502. 2... 503. 3 em2

568. 36hr em)

'2
~.
em 2

3

561

.

375,!3T em)

536. R = 2[3 + 3 r
3

2

533. 10m
534.

m

562. Deve aumentar 2g - r; g = geratriz e r da base. V _ 3 563. ~ - 4'

= raio

537. Use P.G. ilimitada. Y = 9;. 538. R = 3 em e r - 2 em 539. 13° (4" - 3,[3)

504. 18" m2
505. S06

Jl. em
4

535. r = 2 h 5J6. Verifique que

"A; - 26

A" _

19

em'

At

=

~.
2

564. Resolvido.

.

11. cm 2
~m

537.~ A(
538.~
r
l 2 539 .11", 3Th '. Th hl. 2 4

565. 2
566.

~

V 1I"h

591. a) Não. porém o sólido é equivalente a um cilindro. (Veja o principio de Cavalieri.) b) V s

= ...

54>7.

S4l1l.

" Resolvido.
em 2

~(j;hV

+

~)

567. Resolvido.

509. 225"

568. 4,ÍJ
569. 1 em l 570. 571.

Capítulo XI
591. a) At
='

510. I 200. em 2 511.

r.J6

540. 87 soo... em 3
541.

242,.. em 2; 3 so.rm

A" A,

36311" em2;

512. 100 cm 2; 250". em J

4133 em 2
1 =

...12
11"+2

V =~em3
b) Ar =
em 2;

513. 375

ro'

542. Resolvido.

= S0(2+ m)rcm1;
~ = 12('1'+ I) cm1 õ

543. h * 9[3 em;
544. lOOTem1 .

5.[3 em

.!.. r
e)

V = 350011" em3

514. 49455 litros

3

S71. 9 em 573. V t '"

515. 100 m
516. 8 em 517. Resolvido. 5 UI. A( = 25,,2 em 2; A, V = 125,,2 eml

545. 5 m
546. Aumenta t 2 vezes.

~ m)'
125

V
2 -

'

--:t25"m

2073611"

J

(151"+ 24) cm2; 2 V - 61l"em]

~ =...L

= 251«" + 2) em 2;

547

2251" . - 2 - em 2

574.

J

S-A
12

A

592. a) Ar -

1l"(2+[i7) ..!....- h2; A" = ....::.:.::...:.,..:..:....:.... h2;

m
8

8

2
519. - o volume quadruplica - o volume fiea J6 vezes maior o volume fica reduzido a

5411. 10 m 2

.575. Resolvido.

V: ...!....hl
b) Ar - 21"r2; AI = 311"1 2; V = -

+

549.

I +

fiO(
10

574.

rf16::;2
4

.fi
3

em
577.

n

J

5SO. Parta do produto citado e eheJue ao volume. 5SI.

~cm2
3

520. 4000" em)
521. 6 91h ro3

~ 11"- 1 ...

571.

r = a.fi. h
3

=

2a./3
3

382

383

RESPOSTAS DOS EXERClcros

RESPOSTAS DOS EXERCíCIOS

59J. 8 em

594. 66em
595.
11"

4 2!2 629. A, = -rR!; V'"' _ _ ,..Rl 81 9
630.

65~.
656.

v

~ (S - A)
3
1 -

r

.JIõ .. rad = (36.[lõf
5

596. 3cm
597. 4em 591. Resolvido.

+J5

'IJ

I AL (5 -

A)l

6111. 3364... em2 ;
682. 57611" em]

97 55611' em}

(S - A).. 683. 17,{2 em

3

2.-Sr]

631.

~;

10' rad

657. Parta do 2? membro, substitua S e A e chegue ao I? membro. 658. Resolvido. 659. r = 3 em; h
~ = .. R2~.-l + 1;

684. 67611" em]
6115. 6em

599. 2"-2600. 2figem
6fl I. 2OO1r em l 6fl2. 48,.. dm l
603. Ar

a.

J3 a

631. 30" 633.

636. 971... cm 3

r.f3
3

= 4 em; g = 5 em

687.

~
3

... cm3

634. h = rR; ~

V

..]R3 = -3-

61iO.

(2r - h) ...:....._---'-

+ ~h2 + 4rh ou
2

688. 3
689. 8..

= 65... eml

A,

= 90.. em!

635.

.f5
5

(

(2r - h) -2Jh2 ...=:....-.:.:'-----=-:....- + 4rh para r > 2h )

J2

m3, 8..- ml
36.. em)

3
690. 36. eml ;

604. 3./6 em

~. r = 10cro,·g = 14em

661. No cone, g 662. Resolvido.

>

h.

605. 24,.. em); 3610' em 2
606.

637.
UII.

2.f5
5
4'11"3

'91. 72,.. mZ
692. 693. 694.

663. a) Se r>h. então VJ> V]. O volume diminui.

50,..eml

6fl7. 144..-(1
601.

+

f2} em!

9

609.

961r,f3 em2 ...(1 + f2}A 6"
1

-8

63'.
....... 4ll
641.

+ Jg2
2

b) Se r = h, então /11 = /I]. O volume não se alterou. c) Se r<h, então /11< /I]' O volume aumentou.

12~

em

+

4a2

s.f5 em ou 4.f5 em 2.f5 em
4r

664• .. m

610. Resolvido. 611-

~~" ~J
3

195A 2..,

665.

4

11"

m-

,

69S'T
696.
27
b)

10 = '12. 3""" ~S5cm
613. 60" 614. 28S"

_4Or_J4iJ,--4~81_emJ
sr;5
911"

a)

.fi, .-(l

666.

212
J

625~"
T

em 2

11'(2
697. 6911.

641.

667. r =
4

3I3V 'J~

h=~

ru

JV . tg].,.

J3 -2-

643. 3

mem,
64

ffi em, 5
3

mem

668. ~ = 2". sen '"

2 699. 161 .. em

61S. ISO" 616. 240"
617. 98011' em!

644.

---1I"Cffi

375.[55

700. 106.em
701.
2~

645. ~

= 72 (4 (..../2 +
em 3

2) em!

9

6111. 2,5rJn,25 em!
619. 11911' em!

646. A, = 224,.. em], V
647. 9611'

= 39211' em 3

Capítulo XII
669. a) A .

702. Aumenta oito vezes; aumenta vinte e sele vezes.

=

10,24,.- em! V

= 5,46 em}
b) AI

703. Aumenta 700"70; aumenta 63OO17t; diminui

12,5"70.

620. 20cm

6411.

IO~

621. 1211' eml
621. O volulne dobra; o voh.me quadruplica. 623. - -

fu

670 a)...!... x]

12

~

;

x

2

704. Aumenta 900"7.; aumenta 625"1.; diminui

6.25"70.
705. Resolvido.

649. Parta do produto e chegue ao volume.
19'11"3 650. - 9 671, 29 em

V ~ ~xJ

71

3bc

..a

706.

16· lOS km l

11"

'24.

35,..fIi9O

3

em

)

651. 2 em

671. 28 em I h! + 1
Jh 2 + 2
673. 15 em

707. A

=

10011" em2; aumenta 44.. em].

708. 67611' em]

625. 2.56.. dm J
6Ui.

652. t
'53.
654.

= ~; 8 =
A2J~g4 - A2
3,.- g
2 1

674. 4 r 675. Jem
676. Resolvido.

709. 1,5 em

2s-cm

136..

2

679. - 2 - em
680.

n.f3

710.

1I"(r] -

225) em

r

>

15

627. 9~em
6211. Resolvido.

hS!
3(rh2

671. 1225,.- em 2 618. 1l69,.. em!

+ 2S)

27 ru

m'

r

e1

711. 4A

384

385

e

t::::::::·.:::::::::::·:::::::::::·::::::::::t:.::=========::=::~:;:::::::=:===::===::====================
RESPOSTAS DOS EXERcíCIOS
2

==::1

RESPOSTAS DOS EXERCIClOS

713

4.. a

·
714.

J..
cl

3

r - A

2

742. a) Use o teorema de Pitágoras e a aproxima· ção sugerida. b) 21 km 1f 743. 4

766. a) 14 em2 767. 200 dm!
168.6em 769. 1024 em l 770.864 em! 771. 351,)3 eml 2

b) 3(8 + 5(3) em l

197. h = 7,5 em; V = 41501f em); b = 4001fem2 B = 9001rem2 798. 12411' em)

744. a) Use o teorema de Pitágoras.
b)

715. 6".2 716.

7!)9.

if+

d2
2

39 W

x2..
R = 4 dm, h

800. r

= 2 dm,

= 8 dm,

a

=

2m dm

m

81H. 9 10011' em)

717. 3

lrT 'J9;

712.6 em

8()2.~m
19 803. Ar = 160ll' em! A, 11M. 140.... em 2
=

.718. 2a 2

ff

Capítulo XIII
745. a)
1 2"
d}

773.~m)
2

306.. em 2

174.336 dm l

719. -17I5Jloc m1 --1f 3

.!.
8

175. Resolvido.

24 805. -S-m
306.20em

b) 2,5 em
e)
746. A

e} Sim. veja a teoria.

716.228 em) 711. 18.fi ml
778. J 9505 cm!; S 700,"3 em l 779. gem 180.
~....;.-=-

720.3 721...d 2
722

.!.
4

807, 14 m
808.

'3
b}

4

747. h

fi = 10 em, f = 6em

:!s;,. = __3_~
VT 8

hIB

+

3.{5

809. 13 cm

723. a) 3 em

l2

748. 32 em) 749. S
750.

JB-.{8'

724. 21.[6 64
725. Os volumes das esferas são iguais. 726. O volume do cubo é maior.

2"
4m
45

h

781.~ a+ b
782.

1I10.~= Vc
1111. 2Rr R+r

8 + 3.{5

3

151. 1013 em)
752.

..!!. (JB - .)b)2
6

727.,[6;
21f 728. .[6dm 729. 60° 730 755.
m2

753. r =

+

783. 22412 em) 3

IIU. 7" 3

m)

813

m; h = 1 m

184.
735.

((2 =

3-

.J5
2

.

l000r
3

em

)

814, li = R
1115.

754. 100 m!

· 45

J!. 11'

3(18 em

736.

(,13 + 6) dm 2 50(6 + 5.[6) em2

f

= 1 + J3
+ ,(2)
r

756.

25

4

816. Demonstração. 787. 109J3 dm 36

731. 501f em! 212 732. --cm 3 733. lOs.. em 2 734. 413 em 735 · 41fr l . ~ 3 • 9
ml

757. h = 4 758. h

Jt

(3 em; r = 3 (3 em

788. Resolvido. 789. 52[7 em l 190. 208 em l 791. 156 em 2

811. 811' (3 3

B18. 3mll' r!, 4 + m 3 119.

759. 40 J.,{4 em; 20 Jj4 em; 30 Jj4·cm

..L 11'
3

760. 54 ml
761.

R!rh R-r

792.42 ml
m) 793. VT = 224(12 + I} em) Vp = 256(12 + I) em l 120. 23 -

5~

4[l9 em
49
~~-~--,-

736. 481f

737. SI1f m J 738. r

762. 576 em 2 I) em; R

821. Demonstração.

= 20(12 -

= 20(2 - ,J2} em

763. h

= ~em' f = ..!-em 3' 3

794. a) 6 m2 e

2- m2
2

b)

21,'3
5

ml

822. x = _I
_ Y I

2

2 (~ --=----:..--=-~:_ + 4a + h! - g2

3

~"'------;-') g2 - h 2

739. r '" 24{12 - l) em; R = 24(2 740. :5 741. S

-12} em

795. a) 2,79511' em l

b) O,7341f em)

f4: em

764. 16 HemJ
765.

H4m

796. 331f dm2; 19m ll' dml 3

-"2

(~

4a + h - g2 3

2

2

..,------;-,) -~g.2--nh·2

eom lI2 - 4a2

< h2 <

g2

386

387

RESPOSTAS DOS EXERC!CIOS

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

823. r

= 10 B
m2

824. 3 (5 825.

m) em

em; h

= 20 ~"3 em

851. x 852.

=
7

h«;x.
2
I

= h 30
~--;;

Capítulo XIV
880. : dm 3

907. 3ra

2

2
908. 909.

5~

12 (147

~;
6
6fi,

3:Jra

2

;

lrfi, a

l

;

rfi, a 3

826. I OSOlrJ"3 em 3 827. -'--2
g- - r

853. 7 (i8 m; 7 ~ m 854. 4

881. 864./3 r em 3 882. 4 096,[3 cm3 9
883. 100 cm2 ; 125 em 3
884. 27./3 r 2 em)

2

216

8

A . d2

f900
3

m; 4

rn m

~. )(V
~--;

828.
829. 8JO.

8h
49

855. 6 em e 2 em 856.

910.9
911. 27 912. a) ~
b)

18J2 em
h

312 r
4

l!4
.2

857. 9 858.

m2
R

885.
886.

4'E
2
lr

a12
6

8

em

3

.2

c) ~ 6

913.9 m 3

JRg(g2 - R2)

831. 12 ~em 832. Resolvido.

914.~em2
3
915. 2h
916•

859.

-;m
3 aR3

r

887. 888.

h
9
9

833. h 113 3

1160. O plano deve passar a 2 m da base maior.
861. 862.

834

.

~ rg 2 - B

+ br 3 a+ b

h
9

.:L
3
o

835. 20 em 836. h(g - R)

~ ( PB~ :
26

t r
Jb

889. 8r)!3
390. AJA 3lr[3;

f2./3 f]j2 917. Pé octaedro regular, _ _, _ _
2 24

918.~
3
919.

863. 7 864. -3-m 865. 7a

837. 3m em

5
838. ~ g 839. ,g(g - r) 840. (g

+ 4W + b a + 4,,1ab + 7b

191.~

2.- ou -!8 3

rE

920.

2.r

+ r)

J

866. 9 728 em 3 e 2 368 em 3 867. 6(2 - (3) em
868. (

192.~ 2
193. J41,07 em 894. 12.,13 em
895. 36lrh (6 - ...) cm3
ll96. (512 -

921. lr' 922.

~ em 3
2
3/3 lr

g?-V,r

3 R3
2Rl

+ 2r3 )2
+ r3

A~ =
A",,,,oOo

1141.

~ 3 ~ J5
,~ f~v
15 l. 7665 ill d m, Sl2 d m 3

869.

125h eml
4
b) 2 em 3

51:r) em3

923.

5(25 - 9;) em)

3 600r 3. 11 600r 2 842 . 7 m, 49 m 843. 844.

870. a) 2,25 em 3 871. a) 13xl 872. 200[3 em 3 873. lcm 874. C

897. 36eml
898.

924. 72r em]

~ r 3 {r 3

925. 300r em]
I)
926. 600{4 - ...) em 2

899. 14413 em 2
900.
(a

927. 4R(R

+ hh}

313

4W ~ 845. - S - m; 2 ~4 m
846. 63h dm3

= 83V -

r. 3:Jra2 • h 928. a) .3lr· a· h: - - 4 - b) 2nh . nlh

+ b)

901. 9 dm; 27[3 dm2 S 902. nJ3 m2 903.

875. 144r em!, V = 432lr cm 3
876. Demonslração. 877.

--3--; --3-c)

4lrJ3 ha

4lra2

•

h

847. 4 ~ m; 4 {18 m
8411. Resolvido. 849. 240 m e 210 m 850. 550

+..

96h em3
s/i R3

r 2 (a

+ b)

904.9 m)
905. 24./3 R2;

~
A t,

=

J3;
2

~
V c,

=

24

878. H = 2h 879. I ODOr em l

388

1,

906.~
216

929. V< = 96". em 3; Vp = 192 em 3 930.5.,13 em

389

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

RESPOSTAS DOS EXERCíCIOS

931. -2932. g 933.

ra l

9S5. 6001' 01 2 956. 2251'
144,f3 rol; '6 = 6 OI

980. R

=

7,5 m. G = 19,501

1002. Resolvido. 1003. 27 em
1004

+;

= 10 OI, V ~
144./3 em J

em 2

981. H = 16 em, C = 20 em 982. 2R = 12 cm 983.

957. 12 em l

934. Resolvido.

935.
936.

+
'2JS.
h
5

958. 4fi 3
959.

24~

•
·

152625 r

6

cm

J

r em)

1005

abc

3; 3

2

2
a2
-

984.

l~

~ em1 3

r

em2
1006

f
2-

960. H", - - r -

r2

98S. 36 r cm l 986. a) H = JG2 - R2; r

· 6

~ . ..t.. l
h
2
=

937. 8m l 938.

1161.

2.12
Ar
= ...

=

R,fG2=Ri

R+C
G+J02-H2

1007. V = 1rh (2R - h) ; Ar 3 1008.

rbhR(2R - b)

±Jh2

4ah

1162. ' eom h ~ 4a

E r 2, V =

./3 r rJ 4
2

b) R

=

~ HJG2-Rl -iGl - H2; r ~ -~==

.fS + 1
2

939. 9fi ml ou 3..[2 OI)
940.

A, =

(+ + [j) n
em
)

c) G = JH2
d) G =

+

R2; r

=
R

"6 abe

+

RH
1H2 + R2 2r)

1009. Posição do ~ntro: é a interseção do plano me· diador de AD com a reta perpendicular ao plano ABC peJo cirellneentro do triânglllo

1163

.

128 r

3

H(H - r). ; R
JH(H - 2r)

= -;=::::::::rH====JH(H -

R

~ 2,fJ , ,; .
b) 2./2

941. Demonstração. 942•
943.

964. 500J2 ... em)
4 R) 96S.~

.2... -3r

987. ~; 1fr(h - r) . h

1010. Demonstraçào. 1011. a) 4

3(h - 2r)

h - 2r

r./6
41r
l

966. R = 5 em, VciI• V"I.

_~, ~
125 V(;1.

=

mE
144

988. 10 cm
9l!'}. --cm

3 1012. 16
1013. a) B V =

.f3o
2

944. 4321r em

967. diâmelro da base
X

+
2
8

.R2; A, = 2 rR2; A, = 3. R2;

945. 2 (2 + ./3) 9
946. raio da base _ 2 Rh 2h + Jh 2 + R2 '

=

2 + 2a2 + Jd 2 - 2a 2 -'-'---;;"""2""""::"':""---::::""

Jd

990~ . 3

fi .. Rl
1.. TR2.• 4
l.. rR l
•

ahura
y =

991. 992.

+ R2 altura = _....;..~==~ 2 + R2 2h +
hJh 2

Jd2 + la 2 + Jd 2 - 2a 2 ---'""""";:2:-----

H =
..,2

2R'

25

r2

10 Rr 25 r - 2R

1» B V'"

A = 1.. ...R2. A r 2 • I

=.!. "JW'' 4

Jh

condição: d ~ %8. Demoostra\iio.

an

Cr + ~)l 3d 2

947.~
g

993. 2916 ... em 2 994. 2 arc sen

e) Vl;1. = V<Ofl(

VC> f.

+ 2h

969. Demonstração.
R,h
=

2.. 011 2 are
6

sen

...L
6

1014. Demonstraçào.
1015. Resolvido.

948. r =
949 .

R~ C ~
I T

JG-R(JG+R-Ji

970. 9(16 971.

+ 3D) 01 2
I)
I) cm

995. 9.. a)(.f5 - 2)
2

~ 6

R<J2 +

1016
•

32. mJ
3

972. 4(.j2

9%. DemOnstração. 9'/7. 3R

1017.

~

=

~

950. arelg

973.
3

~

.(2[3 + 3)r

9'/8.
999

4(10 11

,{34)

cm

1018. 12.. R2

9S I. are sen

"5

974. Os volumes são iguais.

1019. 3 500.. em) 1020. A, = ; 1021. (4g 2 - h2 ), V =

952. 6(~)
12
+ Ig a
953. a J (6 - r)
6

975. Demonstração.
976.

6./3

J6 ... R2
2(3 + h)l

5r
llHfO.

~h

(2g 1 -h 1 + 2r2)

977. 3.J3
978.

5W + 3J2
8

~eml
16

1001

. ~

.J3 19 ...

1022. 2 1023.

'h
979. Resolvído.

2 .. 19

.!!.
2

~
V<

= 2

390

391

RESPOSTAS DOS EXERClclOS

RESPOSTAS DOS EXERCfcIOS

1024. - ) - em J
1025.

s001I'

1049. V

= .a
4

J ,

A =

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1079. Resolvido. 1080. Demonstração. 1081. Demonstração. 1082. 'irA

1102.~,m
m-2

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1"""'~ .,.",. 2
1051. -,;a].[3 4 1052

1103. 2 304 r em J
11 04 .

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1027. 48SJ3 dml

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2

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18
10211. Im 1029. 2n 27
J

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1083. x

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~~ • Y= ~ 'lrV~.
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1105. 56 ... cm2 1106. 100 'iI' cm 2 1107.2-..{3 1108.

J3
emJ

1053.

J3:.- a] . 2 V = - . A = 3... a
4

1084. Demonstração.

1085... aJ 1086. A
=

sen z 6
4ro (a

(.rs - 2)R
<1'5 2}r

Imo. 2~

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1109. Resolvido.
lJIO.

1054. ;

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J •

1087. Vru. = 6Vcone 1088. V til. = 2744". em]; V sol.

1031. 100 em2,

~ ..

emJ

1055. V = 3.[3 'Ir a 4

A = 9 u2

=-)- ". em

7840

J

1111. 144 'li" em z
1112.

103Z. 2"'
1033.
1034.

i 2h s

1056. V = ...a], A - 4

n

2

1089. BM

=

r. . 3+./3 a,3, MBC - 30°; A = - 2 - ...a2
'lra J

Tcm

1057. V = -ra]./2, A - 4'1ra Z

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lHJ. 16D4 r em 2
1114. 32

~
h T

10511.

./2 ... m], 4./2 ... mZ

v =21090. Resolvido. 1091. 7

~ 'li" em J ;

1600

'Ir

cm 2

1059. 3 300 ... em J

ICHiO. AI = 480 ... em2
1061. 2916
'Ir

)92121 cmJ
21

1115. 3 cm 1116. 36 r cm)
1111. ;

1035

2304:.l • 12S em

em]; 468,)3

'Ir

em2

1092.

1613
rad
I) 2r
1f

1062. Demonstração. 1036. 4(196 - Il..) em l

1063. 60

em 3

1093. a) 20
b)

ClJ'lz

d)

~cmJ
3
4

ml.

(,[2 -

Capítulo XV
1037. Resolvido. 1038. 1039

1064. 80 em]
1065. 69984 ... ern l ; S 184crnz

-..!.. em
2

c: _ _ em 2 3./5...

)

1Jl9. 5{4 -

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12800".

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1120.

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I +J6fi3 r,d
I) r

1067. S84

'Ir

em]
3

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1122.

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8". ah

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1068. (3 m - 4 b.) r h 2
1069. 2304
1070.
'Ir

(.[3 -

]()40.

". . h2 . a
3

em 3

1123. 3 R

20013 mZ

1041. S;'Ir emJ
1042. 40011' em3; 2 00013
'Ir

Capítulo XVI
I~.

1124. Demonstração. 1125.

1071. Demonstração. em l 1072. R =
"

I B2 2

10 500 ... cmz

5~ .. ml

h A2 .
'Ir

1095.I44rem 2
11196. aproximadamente 12,52 r crn l

1126. 612 r crn J
1127.

3
1043. 2;1r emz.
1~.

25~'" eml

g =

+ 4r AZ -Jr2:::::''lrB=(~B=Z-==4="'A=2=-)
B2

B

'

109~•. ~ 2
1098. Resolvido.

62~

'Ir

eml

,[2m
1r •

1073. Demonslração.

1408 r J 1128. - - 3 - em

UM!!. 9 .

fi ml

1074. Demonstração. 1075. Demonstração. 1076. Demonstração.

1046.

.1...QE..!.. em]
5
8]

1099. ~ 11
1100. h 1101

1129. -3- r em J
1130. Resolvido.
1131. 1137 r em)

224

1047 ..!..

. 2

lon.

Demonstração.

= ...!..0 ' A = 1.. rRI R 1 S

1041. Resolvido.

1.7B• ...!..ou )

~
3

. ~m2 3

1132. 2 556 .. em J IU3. Resolvido.

392

-k

_

393

i.l.1"Io:-'::

RESPOSTAS DOS EXERCíCIOS
r

1134.

T . 7 . (h -

RZ

R)l

1143. 1000 (,[2± I).. em2 3 1144. Sim; vide expressão do volume. 1145. Ao quadrado; vide a fórmula.

1135. 120.. m l ; V = 1484 r cmJ 3 1136. 1131.

(.fs 2

I) r
I) r

]]46. )n-I ·2R. n > I
n 6V 1141. rfl

(,/3 2

1138. k(2 - 3k) ,..R2, t < (I - k)l 3
1139. I '3 ml

2-

1148.

~r

cmJ

1149.

i (4.[2 rH

S)rRJ

Testes de Vestibulares
Paralelismo - Perpendicularidade
1. (ITA.70) Quando a projeção de um ângulo 6 sobre um plano paralelo a um deseus lados é um ângulo relo. podemos afirmar que: .
a) 90·

1140. 288 r emJ 1141. 270 em! 1142.

JlSO. -6- [3(RI + RD + H2j
1151. Resolvido.

f20 em

< 8 < 180·

d) S

b) 6 < 90·
c) 6 = 90·

= 2,.. Rd e)' nenhuma das respostas anteriores é válida

2. (CESCEM·70) Do enunciado abaixo: "A condição neceS'Járía e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano que não a contém é que ela seja paralela a uma reta desse plano." Podemos concluir que: a) A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos. b) A condição ser necessária significa que: loda rela paralcla a uma reta de um plano é paralela a este plano. c) A condição ser suficienle significa que: lodo plano paralelo a uma rela conterá todas as retas paralel~ à rela dada. d) A condição ser necessária significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada ~ esta reta por um qualquer de seus pontos. e) Nenhuma das anteriores. 3. (CESCEM-73) Sejam G, H e /, respectivamente. os pontos de encontro das medianas, allura~ e bissetrizel do triângulo A8C. Quaisquer que sejam os comprimentos OA 08 e OCo podemos cooclUlr que: a) b) c) d) e)
P coincide com J. P coincide com H. P coincide com G.

P não coincide com nenhum dos pontos G, H e I. Pé eqüidístante dos pontos A. B e C.

394

39

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TESTES DE VESTIBULARES

TESTES DE VESTIBULAR8

4. (U.MACK.-73) Marque uma das alternativas: a) b) c) d) e) se existir um(a) e um(a) só se exiscirern exatamente dois (duas) distinto(a)s se existir um númerO finito porém maior que 2 se existirem infinito(a)s se não existir nenhum(a)

9. (U .MACK-80) Considerando-se as afirmações abaixo, assinale a alternativa correIa: ( - Se uma reta é paralela a dois planos, eOlâo esses planos são paralelos. 11 - Dadas duas reI as reversas, sempre existe reta que se apóia em ambas. 11 r - Se um plano é perpendicular a dois planos secames, entâo é perpendicular à imerseção desses planos a) b) c) d) e) Somen te a afi rmação ( é verdadei ra. Somente a afirmação li é verdadeira. São verdadeiras as afirmações li e m, apenas. Todas as afirmações são verdadeiras. Nenhuma afirmaçâo é verdadeira.

de modo que as afirmações que se seguem fiquem corretas:
I ~ reta perpendicular a duas retas reversas.
2~ plano paralelo a duas retas reversas.

3~ dadas duas retas reversas e não ortogonais, plano comendo uma das retas e perpendicular

à outra.

10. (FUVEST-80) São dados cinco pontos não coplanares A, R, C, D,

4? retas
~

ÃÕ e

êõ reversas, plano por Cf> e eqüidistante dos pontos A e B.

AE

.L

E., Sabe-se que ABCD é um retângulo AB e AE 1. AD. Pode-se conduir que são perpendiculares as relas:
b) EC e CA c) EB e BA
d) EA e AC
e) AC e BE

a) EA e EB

5. (lTA-77) Sejapum plano. SejamA, B, CeD pomos depeMum ponto qualquer não penencenteap. Então: a) se C dividir o segmento AB em partes iguais a MA = MS, então o segmento MC é perpendicular a p, b) se ABC for um triãngulo equilátero e D for eqüidistante de A, B e C, então o segmento MD é perpendicular a p. c) se ABefor um triãngulo equilátero e D for eqüidistantede A, Be C, então MA o segmento MD é perpendicular a p,

11. (PUC-SP-80) Assinale a afirmação verdadeira;

= MB = MCimplica que

a) b) c) d) e)

Dois planos paralelos a uma rela são paralelos entre si. Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si. Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si. Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si, Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.
~rpendículares a

d) se ARC for um triângulo equilátero e o segmento MD for perpendicular a p, então D é eqüidistante de A, R e C. e) Nenhuma das respostas anteriores. 6. (U.MACK.-79) Considere as afirmações:

12. (PUC-SP-BI) Dois planos 13 e 1 se cortam na reta, e são

um plano a. Então:

a)

13 e

'l'

são perpendiculares.
0<. 0<,

b) r é perpendicular a

d) todo plano perpendicular a a encontra r, e) existe uma reta paralela a " e a '.

c) r é paralela a

I - Se uma reta é paralela a dois planos, enião estes planos são paralelos. 11 - Se dois planos são paralelos, toda reta de um é paralela a uma reta do outro, IH . Se duas retas são reversas, então existe uma úniça perpendicular comum a elas.
Então: a) b) c) d) e) todas são verdadeiras. somente a H é verdadeira. somente a III é verdadeira. sOl1lCJlte a I é verdadeira. somente H e III são verdadeiras.

13. (U.F,BA-81) Sendo" e (J dois planos e r] podem ser:

ri

e '] duas relaS, tais que"

li 13,

'1 .L "

e ']

11 13 ,então

rI '

a) paralelas a 0<, b) perpendiculares a

13.

c) coincidentes. d) oblíquas.

e) ortogonais.

14. (U,F.UBERLÂNDIA-82) Das alternativas abaixo I - Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos em re si, 11 - Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um fonna um ãngulo reto com qualquer ret! do outro. 111 - Distãncia entre duas retas é a distância entre um ponto qualquer de uma e a outra_ IV - Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, então por qualquer ponte de uma passa reta que se apóia nas oulras duas. pode-se afirmar que: a) b) c) d) e) todas as alternativas são verdadeiras. lodas as alternativas são falsas. apenas a ahernativa I é falsa. apenas a alternativa I é verdadeira, apenas as alternativas I, II e 111 são verdadeiras.

7. (U.MACK.-79) O lriãngulo MNP retâng.,lo em N e o paralelogramo NPQR siwam-se em planos distintos. Então, a afirmação "MN e QR são segmentos ortogonais": a) é sempre verdadeira. b) c) d) e) não pode ser analisada por falta de dados. é verdadeira somente se MN = QR, nunca é verdadeira. é verdadeira somente se MN = 2QR.

8. (PUC-SP-80) Se r e b) c) d) e)

s são retas reversas, entâo pode-se garamir que: a) todo plano que contém r lambém contém s.
existe um plano que contém r e é perpendicular as, elliste um único plano que comém r e s. existe 11m plano que contém r e é paralelo a s. toda reta que encontra, encontra s.

15, (FUVEST-82) Sejam

r e s duas retas distintas. Podemos afirmar que sempre:

a) existe uma reta perpendicular a , e a s.' b) , e S determinam um único plano, c) existe um plano que comem s e não inlercepta '. d) existe uma rela que é paralela a r e a s, e) existe um plano que contém r e um único ponto de s.

TESTES DE VESTIBULARES

TESTES DE VESTIBULARES

16. (U.MACK.-B2) Considere as afirmações:

21. (U.F.PE-83) Considere as seguintes sentenças:

J • Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a pelo menos uma reta do plano. " . Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passam infinitos planos perpendiculares ao plano considerado. IIJ . Se duas retas quaisquer são paralelas a um plano, então elas são paralelas uma a outra.
Podemos afirmar que: a) b) c) d) e) {Odas as afirmações são correras. apenas a primeira afirmação é correta. apenas a segunda afirmação é correta. apenas a segunda e a terceira afirmações silo corretas. apenas a primeira e a segunda afirmações são correras.

J - Se dois planos distintos têm um ponto comum. então terão também outro ponto comum, distinto

ma) b) c) d) e)

do primeiro. II . Três pontos distintos determinam um único plano. A disrância entre dois pontos de uma reta é um número real que depende da unidade da medida escolhida.

Assinale a alternativa correta: Apenas II é falsa. ! e II são falsas. li e III são verdadeiras. I. Il e III são falsas. Apenas I é verdadeira.

11. (PLJC-SP-82) Um triângulo isósceles ASC, com AB = SC ~ 30 e AC = 24, tem o lado AC contido em um plano a e o vértice B a uma distância 18 de a. A projeção ortogonal do triângulo ABC sobre o plano '" é um triângulo: a) b) c) d) e) retângulo. obtusângulo. equilátero. isósceles, mas não equilátero. semelhante ao triângulo ASC.

22. (U.F.PELOTAS-83) Assinale a afirmativa verdadeira: a) Por um ponto qualquer exisre uma única reta perpendicular a um plano dado. b) Dadas duas retas reversas, qualquer plano Que passa por uma encontra a outra. c) Se dois planos são paralelos, toda reta que tem um ponro comum com um deles, tem um ponto comum com o ourro. 23. (FUVEST-83) Dados um plano a) b) c) d) e)
(X

e uma reta r, podemos afirmar que:

18. (F.C.M.STA.CASA-82) Na fig\1ra ao lado, tem-se o triângulo ARC tal que. AB está contido num plano a, C $ Ci e os ângulos de vértices S e C medem, respectivamente, 70° e 60°. Se r 11 Ci, r n AC ~ [AI), r n BC = !NJ, s contém a bissetriz do ângulo e r n s = (Xl. enrão a medida do ~ ãngulo AXN, assinalado, é:

00

existe um plano (3 que contém r e é ptrpendicular a 1:>:. existe um único plano f3 que contêm , e é perpendicular a a. existe um plano (S que contém r e é paralelo a a. existe um único plano f3 que contém, e é paralelo a <>. qualquer plano f3 que contém r intercepta o plano (x.

a) 165"

b) 155° c) 145°

d) 130· e) 120·

24. (PUC-SP-83) Os planos" e (J são paralelos. A reta r é perpendicular a " e a reta s é perpendicular a 13. Pode-se concluir que, e s: a) não rêm ponto comum. b) são perpendiculares. c) são reversas. d) são ortogonais. e) são coplanates.

15. (U.F.GO-83) O lugar geométrico dos ponros do espaço eqüidislantes de três pontos nào colineares é: 19. (PUC-Sl'-83) Em relação ao plano <>. os ponros A e 8 estào no mesmo semi.espaço e os pontos A e C estão em semi-espaços opostos. Em relação ao plano ", os pontos A e B estào em semi-espaços opostos, bem como os pomos A e C. Pode-se concluir que o segmento BC: a) b) c) d) e) a) uma esfera. b) uma circunferência. c) Um plano. d) uma reta. e) um ponto.

é paralelo a a

n (3. encomra I:>: e {l. encontra 1:>:, mas não (3. encontra iJ, mas não a. não encontra", nem {J.

26. (U:F.SE-84) Sejam C< e fJ dois planos paralelos e 'Y um plano oblíquo a eles. A interseçào de 'Y com" e (3 e constituída por: a) retas paralelas. b) reras Ortogonais. c) Um plano, paralelo a a e (J. d) retas reversas, não ortogonais. e) retas concorrentes, não perpendiculares.

2(\. (f.SANTANA-B3) Sejam a e (3 dois planos paralelos e seja r uma reta de <>. Assinale a sentença verdadeira: a) b) c) d) e) Toda rera de 13 i: paralela a r. Toda reta perpendicular a {3 é perpendicular a r. Não existe em (S uma reta paralela a r. Se s é uma reta de 13, não paralela a r, existe em (3 uma rera concorrenre com s e paralela a r. Se s é uma reta de (S, não paralela a r, exisre em 13 uma reta paralela a s, que é paralela a r.

27. (VUNESP_84) Seja a um plano e b uma reta não perpendicular a <>. Então: a) nào existe plano passando por b perpendicular a a. b) exisrem . . . , no mtOlmo, dOls planos passando por b e perpendiculares a Ci. c) existe um e um só plano passando por b e perpendicular a Ci. d) existe um a In f'lmdade de planos passando por b e perpendiculares a a. . . e) rodo plano passando por b não é perpendicular a a.
3~

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Bi.iliio~ecéÍ Juvenil do Colêgío
TESTES DE VESTIBULARES

de Apl

TESTES DE VESTIBULARES

211. (U.F.PE.84) Assinale a alternaliva correIa, considerando r, s e

I

como sendo retas no espaço.

34.

(CESESP-86) Assinale, demre as proposições abaixo, aquela que é falsa. a) Se uma reIa é perpendicular a dois planos, esles são paralelos enrre si. b) Se dois planos são paralelos, qualquer reta conlida em um deles é paralela ao oUlro. c) Se dois planos são paralelos, qualquer plano concorrente e não coincideme com um deles é concorrenle com o oUlrO. d) Dado um plano .. e uma rela r não comida nele lal que r é perpendicular a outra reia que, por sua vez, é perpendicular a 11'. emilo r é paralela a ... e} Alguma das proposições A, B, C ou D é falsa.

a) Se r e s são ambas perpendiculares a I, enlão r e S são paralelas. b} Se r é perpendicular a se s é perpendicular a I, enlão r é perpendicular a r. c} Se r é perpendicular a se s é perpendicular a I, enlão r e I são paralelas. d} Se r é perpendicular a se
CI

é um plano que comém s, enlão r é perpendicular a

CI.

e} Se r e I são perpendiculares a s no mesmo pOnto, enlão existe um plano que contem r e I e é perpendicu· lar as. 29. (CESESP·85) Uma e só uma das allernalivas abaixo é falsa. Assinale-a. a) Por um pomo P óe uma reta r no espaço passam infinilas relas perpendiculares a r. b} Se no espaço duas retas se interceplam, elas delerminam um único plano que as contém. c) Duas retas no espaço determinam um plano se, e somenle se, elas são concorrentes ou paralelas. d) Se três retas não coplanares têm um \inico pomo comum, elas delerminam Irês planos. e) Cinco ponlos não coplanares delerminam, no máximo, Irês planos. 30. (PUC-SP-85) Qual das afirmações abaixo e verdadeira? a) Se uma rela é paralela a dois planos. então esses planos sào paralelos. b) Se duas retas concorrentes de um plano são. respeçtivamente, paralelas a duas retas deóulro plano, então esses planos sào paralelos. . c) Se uma rela é paralela a um plano, então essa reta é paralela a todas as relas do plano. 31. (VUNESP-85) Das afírmações abaixo: I - Duas relas perpendiculares a um mesmo plano 5ão coplanares. JI - Duas relas paralelas a um mesmo plano são paralelas enlre si, lJI - Se um plano imercepla dois OUlros planos em retas paralelas, eOlão os dois planos são paralelos. lemos que: a) apenaS uma ~ falsa. b) apenas uma é verdadeira. c) apenas duas são verdadeiras.
~ 32. (U.F.PR-85) Analisando a figura. na qual a reta

35. (U.F.R.PE-88) Considere um prisma regular de base hexagonal.

E'

D'

C·

F

c

Assinale as proposições verdadeiras e as proposições falsas nos itell5 abaixo: d) todas são falsas. e} rodas são verdadeiras.
m

a) Os segmentos AF e A'F" determinam retas paralelas. b) O plano da face A BE'A' é perpendicular ao plano da base. c} os segmenlos AB e 1':'D' não são coplanares. d} Os segmentos AB e AF delerminam um ângulo de 50·. e) Os planos das faces AA'F' F e CC'D'D são paralelos. 36. (COVEST-89) Assinale as proposições verdadeiras e as proposições falsas, dentre os itens abaixo: a) Se duas retas dislintas, no espaço, não são paralelas, então elas são concorrentes. b) Se dois planos são paralelos, enlão toda rela de um deles t paralela a qualquer rela do OUIr<>. c) Se dois planos são seçanres, então uma reta de um deles pode não inlerceptar o outro plano. d) Se dois planos são paralelos, então loda rela de um deles é paralela ao OUITO plano. e) Se dois planos são perpendiculares, toda rela de um deles é perpendicular ao oulro plano. 37. (FATEC90) Se considerarmos as retas suportes das arestas de um cubo. então o número de pares de retas reversas que podemos formar é:
a} 8

m

é perpendicular ao plano" e 11 ~ uma reta deste mesmo plano, pode·se concluir correlameme que: a) m é perpendicular a n. b) me 11 determinam um plano perpendicular a a. c) m pertence a
CI.

d) a soma dos ângulos fl e .13, é igual a 90°. e) o Iriângulo MNN, é equilárero.

M

I
h

b) 16

c}

24

d) 32

e) 40

JJ. (PUC-SP-85) Um ângulo Q é relo. Seja

um plano. Quantas das quatro seguinles afirmações são correias?
'Ir

1

38. (FUVEST-90) Os segmenlos VA, VB e VC são areslas de um cubo. Um plano a, paralelo ao plano A BC, divide esse cubo em duas panes iguais. A interseção do plano OI com o cubo é um: a) b) c) d) e) triângulo. quadrado. rei ângulo. pentágono. hexágono.

I 11 111 IV

-

A projeção ortogonal de a sobre é um ângulo relo. Se um Jado de a é paralelo a :1', então a projeçAo orrogonal de " sobre A projeção ortogonal de a sobre 11' pode ser ângulo raso. A projeção ortogonal de a sobre 11' não pode ser ângulo nulo. b) 1
c) 2

é um ângulo reto.

a) O

d) 3

e) 4

9.

40]

TESTES DE VESTIBULARES
~-~-=<--,

TESTES DE VESTIBULARES

39. (UNESP-91) Sejam a e {3 planos perpendiculares, a n (3 = r. Em a considera-se uma reta s perpendicular a r, s n r = (A), e em fi considera-se I oblíqua a r, I n r = (A). Dentre as afirmações:
I) s é perpendicular a fi. 11) I é perpendicular a S,

45. (PUC-SP-83) São dados três planos, dois a dois perpendiculares. Deseja-se construir uma esfera, de raio

dada R, tangente aos (rês planos. Quantas soluções tem o problema? a) uma
b) três

c) quatro

d) oito

e) depende de R

111) ü plano determinado por s e I é perpendicular a fi. IV) Todo plano perpendicular a s e que não contém A é paralelo a (3.

46. (CESGRANRIO~84) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices do poliedro é:
a) 80

pode-se garantir que: a) somente I é falsa. b) somente 11 é falsa. c) someme 1II é falsa. d) somente IV é falsa. e) nenhuma é falsa.

b) 60

c) SO

d) 48

e) 36

47. (CESESr-86) De um navio no ponto M (ver figura abaixo), pretende-se medir a altura NP de uma ilha. O ângulo NMP mede exatamente 30·. Deslocando-se 1 km numa direção MQ, perpendicular a MP, a nova visada do topo da ilha forma 60 Q com OM. Qual a medida, em quilômetros, mais aproximada da altura NP?

40. (U.C.SALVADüR-92) Sejam o plano a e a reta r, paralela a a. Nestas condições, é verdade que:

a) b) c) d)

toda reta paralela a r está contida em a .. toda reta perpendicular a r é perpendicular a a. toda reta ortogonal a r é perpendicular a a. existem retas paralelas a r que são perpendiculares a a.

N

e) existem retas conlidas em a que não são paralelas a r.

Diedros - Triedros -

Poliedros convexos

41. (PUC-SP-79) A soma dos diedros de um triedro está compreendida entre:

a) 3 retos e 6 retos.
b) 1 reto e 2 retos.

d) 2 retos e 5 retos. e) 3 retos e 5 retos.
a) I

c) 2 retos e 6 retos. 42. (PUC-SP-80) Qual é o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas? a) hexaedro
b) octaedro c) dodecaedro
43. (F.C.M.STA.CASA-80) Considere as proposições:

b)

[j

c)

[j/2

d)

f3J3

e)

Fi

d) icosaedro e) tridecaedro

48. (ESCOLA NAVAL-88) Um poliedro convexo é formado por 10 faces triangulares e 10 faces pentagonais. O número de diagonais desse poliedro é:
a) 60

b) 81

c) 100

d) 121

e) 141

49. (CESGRANRlü-89) Se um poliedro regular tem exatamente três diagonais, então o seu número de arestas é:
a) 12

1 - Dois ãngulos dão situados em um mesmo plano e de lados paralelos:
1~ têm sempre medidas iguais; 2~ determinam planos paralelos. 11 - Se uma reta é paralela a um planO, todo plano conduzido pela reta e cortando o primeiro plano dá uma interseção paralela à reta dada. 111 - De um ponto tomado no interior de um ângulo diedro, duas perpendiculares às faces formam um ângulo suplementar desse diedro.

b) 10

c) 8

d) 6

e) 4

Prisma
51l. (PUC-SP-81) Quantas diagonais possui um prisma pentagonal?

Então assinale: a) b) c) d) e) se somente as proposições I e Il eSliverem corretas. se somente as proposições 1 e III estiverem correIas. se somente as proposições Il e IH estiverem corretas. se todas as proposições estiverem corretas. se nenhuma proposição estiver correta.

a) 5

b) 10

c) 15

d) 18

e) 24

SI. (U.C.MG-81) O volume, em litros, de um cubo de 5

em de aresta é de:
d) 12,500
e) 125,00

44. (U.MACK.-81) Um poliedro convexo tem 15 faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro oulros partem 4 arestas e dos restantes partem 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:
a) 75

1 I I
1

a) 0,0125

b) 0,1250

c) 1,2500

52.

(U.F.RS~81) Uma caixa tem 1 m de comprimemo, 2 m de largura e 3 m de altura. Uma segunda caixa de mesmo volume tem comprimento x metros maior do que o da anlerior, largura x metros maior do que a da anterior e allura x metros menor do que a da anterior. Ü valor de x é:

b) 53

c) 31

d) 45

e) 25

~~

~[j

~~

~~

~5
403

~402

\

I ti

~'1S'~.'

;

"

TESTES DE VESTIBULARES

TESTES DE VESTIBULARES

53. (U.F.ES.82) Uma formiga mora na superfície de um cubo de aresta a. O menor cantinh.o que ela deve seguir para ir de um vértice ao vértice oposto tem oomprimento:

63. (U.C.MG-85) A medida do cosseno do ângulo formado por uma diagonal de um cubo e cada urna das arestas concorrentes em um mesmo vértice é igual a:
a) _1-

a) a12

b) aJ3

c) 3a

d) (1

+ ..[2)a

e) a.Js

b) _1_

/2
c) -3-

54. (CESGRANRIO-82) O ângulo APH formado pelas diagonais AF e FH de faces de um cubo vale:
a) 30· b) 45° c) 60°

.f2

-13

d)

2"""

,{3

e) _3_

12
5 em

64. (CESGRANRIO-85) Na figura, cada aresta do cubo mede 3 em. Prolongando-se uma delas de 5 em, obtemos o ponto M. A distância, em centímetros. de M ao vértice A é:
a)
b)

d) 90°
e) 108°

c)

251 182 8-13

c

d) 8/2
e) 9

55. (U.F.UBERLÂNDlA-82) Dá-se um prisma reto com 20 m de altura, sendo a base um paralelogramo cujas dimensões são 8 m e /O J2 m. Qual é o volume desse prisma, sabendo-se que um dos ângulos da base mede 135°1
a)

65. (CESGRANRIO-85) Numa cozính.a de 3 m de comprimento, 2 m de largura e de 2,80 m de altura, as portas e janelas ocupam urna área de 4 m 1 • Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselh.a a compra de /0% a mais da metragem a ladrilh.ar. A melragem de ladrilh.os a comprar é: a) 24,40
rol

b) 24,80 m 2

c) 25,50 m 2

d) 26,~ m!

e) 26,80 m 2

1800 m)

d) I 650 m l

e) 1150 m)

66. (VUNESP-85) As faces de um paralelepipedo retangular têm por área 6 e"r, 9 c"r e 24 e"r. O volume deste paralelepípedo é: a) J 296 cm l b) 48 cm l c) 39 em l d) 36 em l e)

56. (F.C.M.STA.CASA-82) Dispondo-se de uma falh.a de cartolina, medindo 50 em de comprimento por 30 em de largura. pode-se conslruir uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8 em de lado em cada canto da folh.a. O volume dessa caixa, em emi, será:
a) 1 244

&f6 em)

b) I 828

c) 2 324

d) 3808

e) 12000

67. (U.F.BA-85) Um prisma hexagonal regular tem para altura a diagonal de um cubo de aresta a. Se o volume do cubo é igual ao do prisma, a aresta da base do prisma mede:

51. (U.F.RS-83) Se A. B, C e D são os centros das faces laterais de um cubo de volume 8, então a área do polígono cujos vértices são A, B, C e D é;

a) a.J3

b) a12

c) -3-

a.J3

a12 d) -3-

e)-2-

a.f3

a) 2

b) 12

c) 4

d) 212

e) 812

68. (PUC-SP-85) Se a área da base de um prisma diminui de 10% e a altura aumenta de 20%, o seu volume: a) aumenta de 8%. b) aumenta de 15 %. c) aumenta de 108%. d) diminui de 8%. e) nào se altera.

58. (U.F.GO-8.'l) A aresta, a diagonal e o volume de um cubo estão, nesta ordem, em progressão geométrica. A área total deste cubo é;
a) 6,{3 b) 6 (2,{3 - I)

d) 12

e) 18

c) 3

69. (CESESP-86) Assinale a única alternativa cuja expressão alg~ríca correspondente é o volume do sólido da figura abai.o.
a) (x

59. (U.F.PELOTAS-83) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são inversamente proporcionais aos números 12, 6 e 4. Se sua área total é 88 em 1 , o seu volume, em em), é;
a) 288

b) 144

c) 128

d) 64

e) 48

60. (U.E.BA.84) As arestas de um paralelepípedo retângulo medem 3 em, 4 em e 5 em. A medida da diagonal desse paralelepípedo, em em, é:

b) xl c) x2 d) x' e) x)

+ y) (x - y)x + 2x\- + xl - xy + y2 + x3y - xyl + 2x 2 - xyl _

y)

a) 512

b) 812

c) 10.12

d) 1212

e) 1512

61. (U.F.PA-84) Qual a área total de um paralelepípedo reto cujas dimensões são 2, 3 e 4 em?

x

~M~

~H~

~M~

~~~

~n~

62. (U.F.RN-84) Considere um paralelepípedo com 12 m de comprímento, 4 m de largura e 3 m de altura. Se o seu volume for aumentado de 624 mi, então sua altura aumentará de:
a) 1 m

b) 9 m

c) li m

d) 13 m

e) 12 m

404

405

I "

TESTES DE VESTIBULARES

TESTES DE VESTIBULARES

7(l. (FATEC-87) Na figura ao lado, tem-se um prisma
reto cuja diagonal principal mede A área total desse prisma é: a) 30~2 b) 24a 2
2 c) 18a d) 12a2

lI/fi.

74. (CESGRANRIO-88) Um tanque cúbico, com face inferior horizomal, tem de volume 1 mJ e cODtém agua até sua metade. Após mergulhar uma pedra de granito, o oivel d'água subiu 8 em. O volume dessa pedra é:
a) 80 em 3 b) 800 cm 3 l c) 8000 em

d) 80 000 cm l e) 800 000 cm l

75. (VUNESP-88) O volume de ar contido em um galpão com a forma e dimensões dadas pela figura abaixo é:
a)

e) 00 2

288

b) 384 c) 480 d) 360 71. (CESGRANRIO-87)
e) 768

D,...-

C---,-=,...-O_'_...,...-._....,C'

a

3

A

8 -

A'

B'

76. (VUNESP-89) Quantos cubos A precisa-se empilhar para formar o paralelepípedo B?

Fia. Ir
Seja ABCDA'B'C'/y um prisma obllquo de bases quadradas, mostrado em perspectiva na figura I. Na figura 11 o prisma é visto de cima sobre a base ABCD_ O lado da base mede 1/ e cada aresta lateral faz ângulo de 45 o com os planos das bases. Então o perímetro da secção reta do prisma é:
a) a

a) 60

b) 47
c) 94

d) 39

e) 48

b)

(2 + ,(2) 2a (I + ,(2)

d) 3a
e) 4a

c) 2a,[2

72. (FUVF.ST-87) Qual é a distância entre os cenlros de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4?
a) 2

b) 212

c) 4

d)

4J2

e) 8

73. (CESGRANRJ0-87

r

B

77. (U.F.MG-89) A capacidade de um reservatório em forma de um paralelepipedo retângulo, cujas dimensões são 50 em, 2 m e 3 m, é, em litros:
a) 3

b) 30

c) 300

d) 3000

e) 30000

78. (COVEST-89) Uma caixa de embalagem de ceno produto tem a forma de um prisma reto com 50 em d~ comprimento, 40 em de largura, 30 em de altura. e seu volume total é 7% maior do que o volume útil. Indique o valor mais próximo do volume útil.

Considere a pirâmide AEGH inscrita no cubo ABCDEFGH de aresta distância de H ao plano AEG vale:
a) -2-

a, como se vê na figura. Entâo a
e)~
2

a) O,OSS m 3 b) 0,OS2 m 3

c) 0,056 m3
d) O,OS4 m 3
e) O,OS7-m 3

ah

b)~
3

e)-2-

a.J2

d)

ah
3

i

I
\

406

407

TESTES DE VESTIBULARES

TESTES DE VESTIBULARES

79. (U.F.R.PE-90) Uma armação de arame na forma de um prisma relO de base retangular está apoiada no assoalho horizontal. Uma lâmpada situada acima do objeto projeta sua sombra no assop-lho. [ndependentemente da posição da lãmpada, sempre acima do objeto, que afirmações sâo verdadeiras e que afirmações são falsas? a) A sombra do retângulo EFGH é um retãngulo. b) A sombra do -retângulo BCOF é um retângulo. c) A sombra do retângulo EFGH pode coincidir com ABCD. . d) A sombra do retângulo ABFE é um trapézio. e) Os comprimentos das arestas EF e FG são proporcionais aos comprimentos de suas sombras.

83. (U.C.SALVADOR-91) No prisma reto de base triangular, da figura, todas as arestas medem 2 m.

l-D----'
o volume desse
a)

E H==:=::==~

F

prisma, em metros cúbicos, é:

úi

b) 2.[3

c)

4

d) 4..[2

80. (U.F.VIÇOSA-90) A figura abaixo é um paralelepipedo de base quadrada e de vértIces A, B, C, D, E, F, G e H. Sabe-se que um plano intercepta o paralelepípedo, como na figura. Dessa interseção resulla o quadrilátero MNOP, cujos lados ON e OP formam ângulos de 30· com a face ABCD. Se a área da base do paralelepípedo vale 3, então o perímetro de MNOP vale:
a) 8

84. (U.F.CE-91) Os cinco cubos idênticos e justapostos formam uma cruz, como mostra a figura. Se a área tOlal da cruz é 198 em1 , então o volume, em em3 , de cada cubo é igual a:
a)

b) 4

212

c) 8

e) 64

c) 6

b) 3~3

d) 27

d) 10 e) 12
p

85. (FUVEST-FGV-9l) Na figura a seguir I e Jsão os cenlros das faces BCOFe EFOH do cubo A BCDEFGH de aresta ·u. Os comprimentos dos segmentos AI e lJ são respectivamente:

o

a) -2-' a,2
b) -2-'-2-

a,r6

r::;

a./6
r

aE

c) a,'6, -281. (IT A-90) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x em. Sua altura é igual ao me-

alI?

nor lado de um triângulo ABC inscritível num círculo de raio x em. Sabendo-se que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo de lados 3 em, 4 em e 5 em, o volume do prisma em em 3 é:
a) - - xl

d}

a,I6 ~ alI"2
a '2

f2
3

e) 2a,

c

b)

212 l -5- x

c)lO x
d)

3/3
cc

l

86. (V.F.CE-92) As dimensões da base de um paralelepípedo retângulo P são 3 m e 5 m, respectivamente, e seu volume é 60 m3• O comprimento, em metros, do maior segmento de reta que une dois pontos de P

é igual a:

~xl
!O

~~

~~

~~

~~

~~

e) n.d.a. 82. (CESGRANRI0-9J) Se a diagonal de uma face de um cubo mede 5/], então o volume desse cubo é:
a) 600,J

b) 625

c) 225

d) 125

e) lOOjJ

408

L')'"

87. (U.F.MG-92) Um depósito em forma de paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões internas: 14 m, 22 me 6 m. Pretende-se encher totalmente esse depósito com caixas ctlbicas de mesmo volume e de dimensões inteiras. O número mínimo de caixas desse lipo que enchem [O[almente o depósito é: b) 308
c) 616

d) 1078

e) 1848

409

/
TESTES DE VESTIBULARES TESTES DE VESTIBULARES

Pirâmide
88. {PUC-RS-SO) Se "t" é a medida da aresta de um tccraedro regular, então sua altura mede:
a) -3-

en

b)~2-

e.J3

c) -4-

f.J3

d) -3-

e.f6

r,f(,
e)-9-

93. (CESGRANRIO-SO) Considere uma pirâmide hexagonal regular de altura h e lado da base t, como mostrada na figura. Traça-se o segmento GD ligando o vértice D ao ponto G que divide a aresta VC ao meio. Se Oi é o ângulo agudo formado por GD e sua projeção na base da pirâmide, entâo tg Oi é:
a)
b)

v

89. (U.F.PR-SO) Calculando a distância de um ponto do espaço ao plano de um triângulo equílátero de 6 unidades de comprimento de lado, sabendo que o·ponto eqüidista 4 unidades dos vértices do triângulo, obtêm-se: a) b) c) d) e) 6 unidades.

" 3f

h3

d)

~'2f

h "3

h 2f
-eh/2:

e)

-eB C

h,'3

A

o

5 unidades.
4 unidades. 3 unidades. 2 unidades.

c)

94.

(F.C.M.STA.CA~A-81)

No tetraedro representado na figura abaixo, têm-se AD .1. BD; AD .1. DC;

1:. (BÂD) 1:. (CAD). Então. pode-se concluir que:
a) BD = DC b) AD = DC c) AB < BC d) AC < BD e) AD

90. (CE8GRANRIO-SO) Para fazer o telbado de uma casa de cartolina, um quadrado de centro O e de lado 2f é recortado, como mostra a figura I. Os lados AB= CD = EF = GH medem f..[3 . Montado o telhado (figura U), sua altura h é:

<

DB

o

95. (U.F.RS-8l) Uma barraca piramidal é sustentada por 6 hastes metálicas de 4 m de comprimento, cujas extremidades sào o vértice da pirâmide e os 6 vértices da base respectivamente. A base é um polígono hori-

zontal. inscritíveJ, cujos lados têm todos o mesmo comprimento 2,4 m. A altura da barraca, em metros, é:
a) 2,2

B

2i

"l
h

AH

b) 2,5

...

... '"

c) 2,7

d) 3,0
e) 3,2

F)-ff3--IE
Fig. I Fig.II 96. (U.F.ES-82) Considere um cubo de aresta igual a 1 em. Sejam ABCD e A'B'CD' duas faces opostas desse cubo. Podemos obter uma pirâmide tomando o quadrado ABCD como base e A' como vértice. A área lateral dessa pirâmide mede:
a} (I + ;'Z} em! b) 2 (I + /"i} em! c) (3 + /2:) cmz

a)

..!:.
2

b)

.E:.
5

d) (2 -

E)e

e) -5-

Ih

d} 2 (2 + ,'2} cm! e} (2 + ,Z} em!

91. (F.C.M.STA.CASA-SO) Sejam dados um tetraedro regular e um ponto interno qualquer. Sejam e I· as distâncias desse ponto às quatro faces do tetraedro. Podemos então afirmar que: a) seu volume V =

x, y,

<:

~

S (x

+y -

<:

+ 1)2 (com S: área de uma face). + z).
(z - t)

97. (ITA-S3) Consideremos uma pirâmide regular cuja base quadrada tem área que mede 64 em'. Numa se· ção paralela à base Que dista 30 mm desta, inscreve-se um círculo. Se a área deste círculo mede 41f em 1 • entào a altura desta pirâmide mede: a} I em b) 2 em c) 4 em d) 6 em e) 60 em

b) sua altura h = x + y + z + I. c) sua área total A = h 1 (x + y - I d) a área de uma face S = e) n.d.a.

~

(x

+ y)

+ x.

98. (U.F.PA-S4) O volume de uma pirâmide regular quadrangular cujas faces laterais são triângulos equiláte-

ros de lado 4 em vale:
a)

165 3

b) 32,'2 3

c) 16.;'2:

d)-3-

20,2

e) 32,2

92. (PUC-SP-SO) Os triângulos equiláteros ABC e DEFpossuem lados iguais a 2 e estão em planos paralelos, cuja distância é 2. As retas AD, BE e CF são paralelas entre si. O volume do tetraedro ACDE é:
a) -3-

2/3

b)

Ü
6

c)

,i3

6

d) -2-

35

e)

,'3 8

99. (U.F.SE-84) A base de uma pirãmide regular é um triângulo equilátero cujo lado mede 8 em. Se a altura dessa pirâmide mede 5,:j em. o seu volume, em em 3 , é: a) IS,'3 b) 36 e} 80 d) 72

410

4lJ

/
TESTES DE VESTIBULARES TESTES DE VESTIBULARES

100. (CESGRANRIO-84) Em um tetraedro OABe, os ângulos entre as arestas que concorrem em O são todos iguais a 90·. Se OA = 3, OS = 5 e OC = 12, o comprimento da maior aresta do tetraedro é:
a) 20

101. (VVNESP-85) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, onde

b) 15

c) .13

d)~
2

M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao retirar as 8 pirâmides é igual a:
a)

e) 12

1111. (CESGRANRlü-84) A figura mostra a vista de cima de uma pirâmide VABCD de base retangular ABCD. A proíeção ortogonal do vértice V, sobre o plano da base, divide a aresta CD ao meio. Se AS 10, BC 5 e a altura da pirâmide é 5, então o comprimento da aresta VB é:

J.. V 2
2. V 4
1.. V
3

d)
e)

l.. V
6

=

=

b)
c}

1.. V
8
N

a)~
3
b)
c)

A.._---------...
e)

..!12

5D
108. (CESESP-85) Considere um octaedro regular, cuía aresta mede 6
D

5.[5
2

em e um de seus vértices V repousa sobn um plano P perpendicular ao eixo que contém V (ver figura). Prolongando-se as quatro arestas que parten do outro vértice V, que está na perpendicular a P em V, até interceptar o plano P, forma-se uma pirãmid\ regular de base quadrangular.
V'

101. (CESGRANRJO-84) Em um cubo de aresta 3,[6, considera-se o tetraedro VARC, como indicado na figura. O volume do tetraedro é:
a) 2

V
/

--------':"11
//,

/
/

/

/
,/ /

t

,/

/

d)

.J6
3

b) c)

J2
1[3

e) I

, ,
t
j

,L----

, ,
I
I
/

I I

I ,

r

I

t ,/ /

/

8
,/ /'

I,' "'-----_ ... -

t I

, ,-

,r
/

/

,,

,,

,,

-----

,,

A

,,

--::

'-

,

,

103. (VUNESP-84) Seja V = kW, onde:
a) 5

v o volume
b) 6

do cubo de aresta a e W
c) 7

° volume do tetraedro regular de aresta a. Então
d)8<k<9
e) 9 < k < 10

<

k

<

6

< k < 7

<

k

<

8

104. (U.F.PA-85) O pcrímetroda base de umapirãmide hexagonal regular é14 m; e a altura 6 m. O volume dessa pirâmide mede: a) 12& rol b) 26& rol c) 39.[3 ro 3 d) 48.[3 m l e) w.J3 m l

Assinale, então, dentre as alternativas abaixo, a única que corresponde à área total dessa pirâmide assir construida.
a)

9.{3 cm 2
cm 2
cm 2

b} JóJ3
c} 144

d) cm2 e) 108,[3 cm l

IM

lOS. (U.F.PA-85) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais. Se a diagonal da base mede 3 em, então o volume mede, em unidades cúbicas:
b)

(.[3 + I)

E..
4

c)

27.{3 -2-

d) 9,[3

z

e)-z-

3D

109. (CESESP-86) Três buracos X, Ye Z, abertos em um terreno plano, têm suas bocas em forma de quadrad, na disposição da figura. A área do quadrado Z é o dobro da área do quadrado Y. Os buracos Ye Z tel forma de prisma e Xtem forma de pirâmide. A profundidade é a mesma para os três buracos. (Ver figura Assinale a alternativa que define a relação verdadeira entre os volumes de X, Y e Z.
a) V, = Vy + Vz b) Vy = V,+Vz c) V, = Vz d)

Illlí. (CESESP-85) Assinale, dentre as alternativas abaixo, a única que completa corretamente a sentença. "Unindo-se, dois a dois, os pomos médios das arestas contíguas de um tetraedro regular obtém-se... a) b) c) d) e) ainda um tetraedro regular." um hexaedro regular." um octaedro regular." um icosaedro regular." um dodecaedro regular,"

v, + Vy

= V

e) Vy

= Vz

z

412

41:

,
TESTES DE VESTIBULARES TESTES DE VESTIBULARES

110. (U.F.MG-S7) Sabe-se que, no tetraedro da figura, AB = 4 m, BD = 5 m, AD "" 3 Se CD é perpendICular ao plano de ABD, então o volume elo tetraedro, em mi , é:
a) c)

m e DÂC

'" 60.

115. OTA·8S) Considere uma pirâmide qualquer de ahura h e de base B. Traçando-se um plano paralelo à

.
base B, CIlja distância ao vértice da pirâmide é .f5 h

6[3 C 2[3

~][3
d)
e)

.[7

em, obtém-se uma secção plana de área f7 ctTi. Então

a área da base B da pirâmide vale:
d) _ _ em?

JsJ3

717
JS

413
b)

2JS 2 - ] - cm
7.fi
2

e) _7_ cm2

15
t.
O raio do

A

c) -S-cm

B

116. (ITA-8S) As arestas laterais de uma pirâmide regular de 12 faces laterais têm comprimento
111. (CESGRANRIO-S7) Seja VABC um tetraedro re-

círculo circunscrito ao polígono da base desta pirâmide mede

gular. O cosseno do ângulo a que a aresta VA faz com o plano ARe é:

v

~

/. Então o volume desta pirâmide vale:

.[j
a) -]-

d)

12 t J

e) -4-

,f2 t l

d)
e)

1.
2

b)

J3
2

f2
3

1J7. (U.F .MG-S9) Na figura, as pirâmides OABCD e O'ABCD são regulares e têm todas as arestas congruentes. 2 Se o segmento 00' mede 12 em, então a área da superfície da figura é, emcm ;

c)

.J2
2
A

c

a) 24,[3 b) 36,[3
e}

O

nJJ
A

d) 108.{3 e) 144./3

8

112. (ESCOLA NAVAL-S8) Numa pirâmide triangular V - ABC. a base ABC é um triângulo equilátero e as arestas VA, VB, f~nnam um triedro lri-retângulo. A tangente do ângulo diedro formado por uma face lateral com a base e Igual a:

o'
118. (ITA-90) Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular A BC. O segmento A V, de comprimento unitário, perpendicular à base. Os ângulos das faces laterais. no vlftice V, são todos de 45 graus. Deste modo. o volume da pirâmide será igual a:

VC:

a)

.J3 ]
fi

b)

.J3 2
.fIj

e

. c) I

d)

,J2

e)

.J3

113. (FUVEST-SS) Qual a allura de uma pirâmide quadrangular que tem
a) b) c)

as oito arestas iguais a
e)

!2?

a)

.!. ~2.J2 6

2

d)

1. JÜi 6

1

,(2

d)

5.S

.J3

b)
c)

114. {CESGRANRlO-88) Numa pirâmide VABCDEF regular hexagonal, uma aresta lateral é o dobro de uma aresra da base (veja figura). O ângulo AÍ/D, formado por duas aresta~ laterais opostas, mede:
0 a) 30 b) 4So c) 60°

.!. ~2 - 12 6

e) n.d.a.

v

1. b - 12 3

dj 75 0 e) 90·

119. (ITA-91) As arestas da base de uma pirâmide triangular regular medem t em e as faces laterais ~âo triângu-

los retângulos. O volume desta pirâmide é:

~-~~ 6
A

.[j

~-~~ 12
e) n.d.a.

J2

o

b) c)

.fi
12

(J

em!
em)

.J3 24 t l

414

415

1:::·:;::::::::::·::':::::==:::::::::==========:::I:::'
TESTES DE VESTIBULARES

· :·::C:··di.:...: ::...~~ ~.:fi~.~.'&!;: .... .•. ...

TESTES DE VESTIBULARES

120. (U.E.CE-92) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular é 6 em e sua altura 8 em O I dessa pirâmide, em em], é: . Vo ume
a) 4.[3

b)

5/3

e) 6,iJ

d)

7/3

128. (F.C.M.STA.CASA-80) Um cilindro com eixo horizontal de J5 m de comprimento e diâmetro interno de 2 8 m contém álcool. A superfície livre do álcool determina um retângulo de área 90 m • Qual o desnível entre essa superfície e a geratriz de apoio do cilindro?
a) 6 m b)..[7 m
c)

121, (U.E.RJ-92) ABCD é um tetraedro no qual ABC é um triângulo equilátero de lado a e a aresta AD é pendicular ao plano ABC. Sabendo-se que o ângulo diedro das faces ABC e DBC é 45 Q o volu p~­ tetraedro é: ' me o

b)~
8

3

d)~

)

d) (4 + e) (4 -

(4 - ..[7) m [7) m ..[7) m

ou

(4 + fi)

m

4

129. (PUC-SP-81) Quantos mililitros de tinta podem ser acondicionados no reservatório cilíndrico de uma can~­ ta esferográfica, sabendo que seu diâmetro é 2 mm e seu comprimento é /2 em? a) 0,3768
b) 3,768

c) 0,03768

d) 37,68

e) 0,003768

Cilindro
122. (ITA-72) Dado um cilindro de revolução de raio re altura h, sabe-se que a media harmônica entre o raio , e a altura é 4 e que sua área total é 21r u.a. O raio r deve satisfazer a relação:

130. (U.F.BA-81) L
a) 2 (L

+2

é o volume de um cilindro cuja área lateral é L. O raio do cilindro é igual a:
b) 2 (L + 2) L

+

I)

_

c)~ 2

d)..!::.2

e) 4

a) r
b) r

3

-

r +2 4r
r2
2

=

O
2 = O
=

d) r 3

-

3r - 2

=

O

3

-

c) r 3

+ 5r.,- r + I

e) nenhuma das respostas anteriores

O

131. (U.C.PR-82) Temos dois vasilhames, geometricamente semelhantes. O primeiro é uma garrafa das de vinho, cuja altura é 27 em. O segundo é urna miniatura do primeiro, usado como propaganda do produto, e cuja altura é 9 em. Quantas vezes seria preciso esvaziar o conteúdo da miniatura na garrafa comum, para enchê-Ia completamente? a) 3 vezes b) 9 vezes c) 18 vezes d) 27 vezes e) 36 vezes

123. (CESCEM-77) O líquido cootido em uma lata cilíndrica deve ser distribuído em potes também cilíndricos cuja altura é

~

da altura da lata cujo diâ metro da base é

+

do diâmelro da base da lata. O numero de

potes necessários é:
a) 6
b) 12

132. (CESGRANRIO-83) Um tonel cilíndrico, sem tampa e cheio de água, lem /O dm de altura e 5 dm de raio da base. Inclinando-se o tonel de 45·, o volume da água derramada é, aproximadamente:

c) 18

d) 24

e) 36

a) 145 dm;

b) 155 dm;

c) 263 dm 3

d) 353 dm;

e) 392 dm
2

l

124. (ITA-77) Se S é a área total de um cilindro reto de altura h, e se m é a razão direta entre a área lateral e a soma das áreas das bases, então o valor de h é dado por:
a) h =

~ 2.. (m + I) S

d) h =

~ 4.. (m + 1) S

133. (U.F.RN-84) Se um cilindro reto tem área lateral e volume, respectivamente, iguais a Ú m e ...ml, então sua altura vale: e) S m d) 4 m c) 3 m b) 2 m a) 1 m
134. (U.F.GO-84) Um pedaço de cano, de 30 em de comprimento e lO em de diâmetro interno, encontra-se na posição vertical e possui a parte inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água:

b) h

~4~ (~+

2)

e) nenhuma das alternativas anteriores

a) ultrapassa o meio do cano. b) transborda. c) não chega ao meio do cano.

d) enche o cano até a borda. e) atinge exatamente o meio do cano.

c) h =

~ 2>r (m + 2) S
aproximadamente, uma caixa d'água cilíndrica com 2 melros de
c) 2450

135. (U.F.PA-84) Dois cilindros equiláteros A e B têm os raios da base iguais a r J e r2 , respectivamente, A razão

us. (PUC-SP-80) Quantos lilroS comporta,
diãmetro e 70 em de altura?
a) 1250

entre os raios

!L é igual a ~
'2
2

. Então, a razão entre os volumes de A e B é:

b) 2200

d) 3140

e) 3700

a)

l""6
2

I

c)

'"8

I

e)

12

1

126. (PUC-~S-80) Dois cilindros, um de altura 4 e outro de altura 6, lêm para perimetro de suas bases 6 e 4, respecllvamente. Se VI é o volume do primeiro e V2 o volume do segundo, então:
a) VI

b)...!...

d)

J.... 4
c) 12...

= V~

b) VI

= 2V2

c) VI

= 3V~

d) 2V I

= 3V2

e) 2V I

= Vl

136. (U.F.PA-8S) Um cilindro circular reto tem o raio igual a 2 em e alrura 3 em. Sua superfície lateral mede: a) 6.. cm l b) 9... cm 2

127. (U.F.GO-80) Para encher um reservatório de água que tem a forma de um cilindro circular reto são necessárias 5 horas. Se o raio da base é 3 m e a altura 10 m, o reservatório recebe água à razão de: a) /8.. m3 por hora. b) 30.. m 3 por hora. c) 61r m] por hora. d) 20'lf m3 por hora. e) lO.. m] por hora.

cm~

d) IS... cm

2

e) 16.. cm

2

IJ7. (U.F.PA-85) A área lateral de um cilíndro de revolução é metade da área da base. Se o perímelro de sua seção meridiana é 18 m, o volume vale: a) 8.. m 3 b) 10.. m] c) 121r m l d) 16'1f m
l

e) 20.. m]

416

417

A

_____________________________-

..1 .""""'""".""'.,.'' ' '"'"Sj·ií"'.·..-----------------------------------".=.' ' ' "'.
1

I~~.

TESTES DE VESTIBULARES

TESTES DE VESTIBULARES

US. (U.MACK.-75) A altura de um cilindro é 20. Aumentando-se o raio desse cilindro de S, a área lateral do novo cilindro fica igual à área total do primeiro. O raio do primeiro cilindro é igual a:
a) lO b) 8
c) 12

143. (FATEC-90) Seja Vo volume de um cilindro reto. Se a área da seção transversal reta deste cilindro diminui de 20% e a altura aumenta de 50~., então o volume do novo cilindro é:
a) 0,20 V

d) 5

e) 6

b) 0,50 V

c) 0,80 V

d) V

e) 1,20 V

139. (CESESp-86) Cid possui um aquário em acrílico, de forma cúbica, cuja aresta mede 20 em e, desejando modificar·lhe a forma para a de um cilindro reto de mesma altura que o cubo, descolou as partes soldadas e desfe;t as dobras, observando entào que o mesmo, quando planificado, apresentava·se como uma peça inreiriça confonne a Iígura abaixo.

144. (FUVEST-91) A uma caixa d'água de forma cúbica com / metro de lado está acoplado um cano cilíndrico com 4 em de diâmetro e 50 m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. Solta·se a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou chei07
a) 90 em

b) 92 em

c) 94 em

d) 96 em

e) 98 em

145. (U.C.SALVADOR-91) Você tem um copo, com a forma de um cilindro circular reto, e, para colocar água nele, você dispõe de um recipiente com a forma de um cone reto. Se O raio da base e a altura do copo 530, respectivamente, o dobro do raio da base e o dobro da altura do recipiente, quantas vezes você precisará encher totalmente o redpiellte e deuamar a água no copo para enchê·lo completamente?
a) 4

r

a1

.. Oz

, a3 ,.
.1

I I

b) 8

c) 12

d) 16

e) 24

146. (U.F.MG-92) Dois cilindros têm áreas laterais iguais. O raio-do primeiro é igual a um terço do raio do segundo. O volume do primeiro é VI . O volume do segundo cilindro, em função de VI' é igual a:

141. (U.C.SALVADOR-92) Um recipiente tem a forma de um cilindro reto cujo raio da base mede 20 em. Se, ao colocar-se uma pedra nesse tanque, o nivel da água subir 0,8 mm, o volume dessa pedra será de,
apro~jmadamente:

a) 101,5 cm 3
Para obler a nova forma, pretende recortar do quadrado Qj um círculo de área máxima. que servirá de base ao aquário. O comprimento do retângulo formado pelos quadrados Q" Qz' QJ e Q. deverá ser encurlado para fonnar a superfície lateral do cilindro. Tomando 'Ir = 3,/4, assinale a alternativa correspondente ao percentual de redução do volUme do novo aquário em relação ao origi nal.
a) 78,2"70

b) 100,5 cm 3

c} 97,5 em 3

d) 95,8

çm3

e) 94,6 cm l

b) 21,5"70

c) 7 ,85'l'0

d) 2,15'lo

e) .f2o~

Cone
140. (FUVEST-89) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6 em contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu / em, enlão o raio da esfera é:
a) I em
b) 2cm

143. (U.f.PR-80) A geratriz de um cone mede /3 em e o diâmetro da sua oase·/O em. O volume do cone é:
a) 100", em)

c) 3 em

d) 4cm

e) 5 cm

d) 325".

em3

3
3 1 3D/he) - - - c m

3

141. (U. F. 1110-90) As áreas das superfícies laterais de dois cilindros retos VI e V}' de bases circulares, são iguais. Se as ahuras e os raios das bases dos dois cilindros são, respectivamente, H I ; R" H/, R}, pode-se afirmar que a razão entre os volumes de VI e VI' nessa ordem, é:
a)

..!:!.L
H2

b)

~
R2

c)

.!!L
H~

e) - -

RI

2

149. (U.MACK.-SO) Um cone e um prisma quadrangular regular retos têm bases de mesma área. O prisma tem altura 12 e volume iaual ao dobro do volume do cone. Então, a altura do cone v"le:
a) 18

R~

b}~.
3

c} 36

d) 24

e) 8.r

142. (U.f.MG-90) Num cilindro reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, a área de uma seçào perpendicular às bases, contendo os centros dessas. é 64 mI . Entào, a área lateral desse cilindro, em m 2 , é:
a) 8"

ISO. (F.C.M.STA.CASA-81) Se o raio da base, a altura e a geratriz de uni cone circular reto constituem,'nessa ordem, uma P.A. de razão igual a 1, o volume desse cone é, em unidades de volume:
_ a} 2". 3

b) (r.7"7) ". ,3 + 1

c) 12...

d) 16".

80". e) -3-

b) 16...

c) 32".

d) 64...

e) 12811'

418

419

11~'iI''.'_

__

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ME

TESTES DE VESTIBULARES

I
151). (CESESP-8S) Considere as proposições: c) 2 d) 4 e) 6

TESTES DE VESTIBULARES

J51. (U.F.MG-SI) Um cone circular reto t~ raio da base igual a 3 e altura igual a 6. A razão entre o ~olume e a área da base é:

a)

.J2

b) I,S

152. (U.C.MG-SI) O ~olume, em
a)
'I'

eni,

da figura formada por um cone e um cilindro circulares retos, é:

1 - A curva resultante da interseção de um cone reto com um plano não paralelo à sua base é sempre uma elipse. II - A curva resultante da interseção de um cone reto com um plano é necessariamente uma hipérbole, ou uma elipse, ou uma parábola. [11 - A interseção, não vazia, de um cone com um plano é dada por uma equação do 2~ grau que não define um par de retas.

b) 2". c) h
d) 4"
e) S" " I

3cm

Assinale, então, a única alternativa correta: a) b) e) d) e) Apenas as proposições ] e II são verdadeiras. Apenas a proposição 11 é falsa. As proposições 1, II e III são verdadeiras. As proposições I, n e III são falsas. Apenas a proposição I é verdadeira.

2cm

---

I

R = 1 em
J53. (U.C.MG-SI) O raio da base de um cone de reyolução é 10 em, e a altura 30 em: Se o raio aumentar J e a altura diminuir 3 em, a razão entre o segundo yolume e o primeiro é de:
a) 0,333

em
160. (U.F.PA-8S) Um cone equilátero tem área de base 4", cm]. Qual sua área lateral? a) 2lI' cm

b) I,OS9

c) 1,321

d) 2,021

e)

3,000

b) 4.. em

c) 8" em

d) .16" em

e) 321r cm

154. (ITA-SI) Qual o volume de um cone circular reto, se a área de sua superfície lateral é de 24;' elTl e o raio de sua base mede 4 em?
a)

16 ""'3 .[2ij l 201l'cm

c) ~T cm 3
d)

54

b) -4-Tcm3

,f24

~ ,f24... cm 3

161. (FUVE5T-92) Um çopo tem a forma de um cone com altura 8 cm e raio de base 3 em. Queremos encbê-Io com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possfvel a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser:
a) 3'cm

S

ISS. (U.F.PA-84) Num cone reto, a altura mede 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total vale:
a) S2...

b) 36,..

d) 16,..

e) 12...

156. (U.E.LONDRINA-84) A altura de um cone circular reto é 12 em e seu volume é 64", em3 • A geratriz desse cone mede, em cm: a) 2m

b) 6 em c) 4 em d) 4./3 em e) 4f.i em

b) 4m

c) 6m

d)

s.flci

e) lo.!1Õ 162. (FATEC-8S) A fim de que não haja desperdído de ração e seus animais estejam sempre bem nutridos, um fazendeiro construiu um recipiente com uma pequena abertura na parte inferior, que permite a reposição automática da alimentação, conforme mostra a figura abaixo. A çapaddade total de armazenagem do recipiente, em metros cúbicos, é:
a)

151. (U.E.BA-84) Um cone circular reto tem altura 3JS em e raio da base 5 em. Esse cone é cortado por um plano paralelo a sua base, distando dela 0,75 em. A área total do cone obtido com essa secção, em enl, é: a) 16...
b) 20"

c) 2S...

d) 36'1'

e) 40,..

158. (CESGRANRIO-84) Um recipiente cênico, com altura 2 e raio da base 1, çontém água até a metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do recipiente, como mostra a Fig. n. A distância do nível da água ao vértice, na situação da Fig. lI, é:

8"'+3"
4m

40

b) 24r c) 28... d) 48..

e) impossíyel de ser determinada, pois faltam informações.

em

V
Fig. I
a)

Fig.1/
c)

l..
2

b)

.±. 3

.f3

d)

f7

e)

!J6

/
421

420

f....
. l".••

c::;=;=;:.~me==rttT=;t===~
TESTES DE VESTIBULARES TESTES DE VESTIBULARES

163. (COVEST·U.F.PE-U.F.R..PE-88) Considere uma taça de vinho de forma cônica, conforme a figura. Assinale as proposições verdadeiras e as proposições fal5M nos itens abaixo: a) O volume de vinho na taça aumenta quando a altura h aumenta. b) O volume do vinho na taça é diretamente proporcional à altura h. c) O volume do vinho é inversamente proporcionai à a1lura h. d) Sabendo-se as alturas hJ , h2 e O volwne VI correspondente a h I ' o volume V, correspondente a h, pode ser calculado através de uma regra de três direta. e) O volume do vinho não é diretamente proporcional, nem inversamente proporcional à altura h.

168. (CESGRANRIO-90) Um tanque cônico, de eixo vertical e v~rtiee para baixo, tem água até a metade de sua altura. Se a capacidade do Ianque é de 1 200 e, entào a quantidade de água nele existente é de:
a) 600

r

b) 450

t

c) 300 1

d) 200 1

e) 150

t

J69. (U.E.CE-91) Um cone circular reto de volume desse cone, em em, mede:

~

11'

cm J tem a1lura igual ao raio da base. Então, a geratr;z
d)

b) 2.[j

c)

3./2

313

164. (ITA-88) A geratriz de um cone circular reto forma com o eixo deste cone um ângulo de 45·. Sabendo-se que o perímetro de sua secção meridiana mede 1 em, podemos afirmar que a área total deste cone vale:
a) ;
b) c)
]f ]f

170. (CESGRANRIO-91) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser coloca· da para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade ele areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo?
a)

5 minutos

(2á - 2) cm 2

d) ; (./2 - 1) em2
e)
]f

b) 10 minutos

d) 20 minutos e) 30'minutos

No inIcio

36 minutos após

c) IS minutos

(!2 - 1) cm2 (.[3 - 1) cm2

(.fs - I) cm1

165. (FATEC-89) Suponllam-se dois cones retos, de modo que a altura do primeiro é quatro vezes a altura do segundo e o raio da base do primeiro é a metade do raio da base do segundo. Se VI e V2 são. respectivamente, os volumes do primeiro e do segundo cone:
a) VI = V2 b) V 1 = 2V1 c) 2V 1 = 3V1

171. (U.F.MG~92)Considerem-se dois cones. A altura do primeiro é o dobro da altura do segundo; o raio da base do primeiro é a metade do raio da base do segundo. O volume do segundo é de 96.... O volume do primeiro é: e) 192..d) 144... c) 128..b) 64", a) 48 ...

d) 3V 1 = 2V 2 e) 2V I = V 2

Esfera
172. (CESESP-86) Pretende-se construir um tanque com a f<,>rma e dimensões da figuraao lado. Sabendo-se que o hemisfério, o cilindro circular .reto e o cone circular reto, que constituem o referido tanque, têm igual volume, assinale, dentre as alternativas abaixo, a ÚJÚca que corresponde às relações existentes entre as dimensões indicadas.
a)

166. (U.F.MG-89) Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto, com seu vértice apontando para baixo. O raio do topo é igual a 9 m e a altura do tanque é de 17 m. Pode se afllmar que o volume V da água no tanque, como função da altura h da água, é:
a) V =
b) V =

27
...h
3

...11]

R

=h

=

9
...h3 c) V = -3-

d) V = 3-o'h 3
e) V = 9...h
3

T 1
h
b) 3.fiõ em
c) 2GJ2 em

b) 3R = h c) 4R = h d) 2R = h e) h = 3R

H = 3H
= 3H = 3H

= H

173. (CESGRANRID-77) Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta por 12 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede:
a) 2..R 2

d) 3...R 2
e)

J67. (FUVEST-90) Um pedaço de clUtolina possui a forma de um semicírcuJo de raio 20 em. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa?
a).

b) 4...R 2
c)

~ ,..R 2

J0.f3 em

d) 20 cm

e) lO em

~R2
4

422

423

TESTES DE VESTIBULARES

TESTES DE VESTIBULARES

174. (CESGRANRIO-80) Um tanque cilíndrico com água tem raio da base R. Mergulha-se nesse tanque

uma esfera óe aço e o nivel da água sobe (vide figura). O raio da esfera é:

:6

R

~R

!

181. (CESGRANRIO·g3) Supondo a Terra esférica de centro C, o comprímenlo do paralelo PP' ·mostra~ do na figura é a metade do Equador EE. A latitude (PêE) do paralelo é:
a) 30·

Pólo Norte

a)~
4

d)~
2

16

b)~
16

e)~
3

b) c) d) e)

40° 45° 60" 70°

E'

E

c)~
5 Pólo Sul

175. (F.M.ABC·80) Assinale a verdadeira: a) A área da coroa circular de raios R e r (R > r > O) é S b) A área do triângulo de lados a, b, c é S =
=

'If(R - r)}.

a~e

.

182. (CESGRANRI0-83) ABC éum actante de superfície esférica de raio 6 centrada na origem O, como se vê na figura. O segmento OM, do plano yOZ, faz ângulo de 60" com Oy. Se o plano AOM corta o octante segundo o arco AM,J:n!ào o comprimento

c) Numericamente, o volume de Qualquer esfera é maior do que a respectiva área. d) Num cubo de aresta 1, a soma da diagonal interna com a diagonal da base é aproximadamente .... e) O volume do tetraedro regular de aresta a é

deAM é:
a) 3..-

d)
2

1!..
3
B

J

aJ

.

b) J.-.[3
c) 27./3

e) 6...

v

176. (Y.UNlf.RS·80) Um plano secciona uma esfera determinando um circulo de raio igual à distância do pIano ao centro da esfera. Sendo 36.. a área do círculo, o volume da esfera é:
a) 192,J2'1f

)(

b) 576'1f

c) 576.0...

d) I 296...

e) 7 776...

177. (PUC·SP-81) Qual é o raio de uma esfera 1 milhão de vezes maior (em volume) que uma esfera de raio 11
a) 100 000 b) 10
c) 10000

. d) 1000

e) 100

183. (U.F.PE-83) Uma esfera de centro De raio igual a 5 em é cortada por um plano P, resultando desta jnterse~ ção uma circunferência de raio igual a 4 em. Assinale, entâo, a alternativa que fornece a distâncía de.o a P. a) 10 em b) S

178. (U.F.RS-81) Uma panela cilíndrica de 20 em de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura de 16 em. O número de doces em formato de bolinhas de 2 em de raio'que se podem obter com toda a massa é:
a) 300

Cm

c) 2 em

d) I em

e) 3 em

b) 250

c) 200

d) 150

e) 100

184. (U.F.RS-84) Duas bolas concêntricas têm raios medindo j2 e ./6. A interseção da bola maior com um plano tangente à bola menor deterntina uma região plana de área: .
a)
'If

b) 2..

c) 4...

d) 6>'

e) 8..-

179. (U.F.MG-82) Duas bolas metálicas, cujos raios medem 1 em e 2 em, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular cuja altura mede 3 em. O raio do cilindro, em em, é:
a)

185. (U.E.LONDRINA-84) Um cilindro circular reto e uma esfera sâo equivalentes. Se o raio da esfera e o raio da base do cilindro têm medida 1, a área lateral desse cilindro é:

1...
2

b) 2

c) 6

d) 2J+

e) 2.[3

a)~:Jf
3

b)

.l.!.. ...
3

c)

....!2.. ...
4

d)

.3.. ..
3

e)

J.... ...
4

180. (CESCEM.72) Supondo a Terra esférica com circunferência meridiana de 40 OOQ km, a área de um fuso horário é de:
c) _2_ 108 km l

186. (U.f.PA-84) Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual à distância do plano ao centro da esfera. Sendo 25" a área do círculo, o volume da esfera é:
IOO,f2 a) -3-"

3..-

e) :

.-2 km2

b) 500,2...

r;;

500/2 c) - 3 - ...

d)

I 000.0 ..-

3

I ()()()". e) - - 3 -

d)

.i. ...
3

108 km 2

187. (V.f.PA·8S) O circulo máximo de uma esfera mede 6.. <'mo Qual a) 12... cm
l

O

volume da esfera? e) '144" cm)

b) 24..- em)

c} 36.. em 3

d) 72... em3

424

425

4

TESTES DE VESTIBULARES
J 188. (CESESP-85) Uma sonda espacial, em forma de um cone circular reto de volume igual a 16" m cuja altura é seis vezes o raio da base, colidiu com um asteróide de forma esférica e, por ter este uma baixa densi-

TESTES DE VESTlBULA

dade, penetrou-lhe de tal modo que o terço médio de seu eixo (altura do cone) coincidiu com o diâmetro do asteróide. Assinale, então, qual, dentre as alternativas abaixo, corresponde ao volume do asteróide antes da colisão.
a) 32 ../3 ro'

194. (ITA-92) Um cone de revolução está circunscrito a uma esfera de ra.·o R Se ai ' d b d . d base . a turaooconeforl ao o ro o rlUo a , entao a area de sua superfície lateral mede: em.
a)
b)
c)

..!. (I + ,f5}2 R2 cm 2
4

b) 256../3 m

'

c) 32.,[2-../3 m

'

d) 96... rol

e) 16.../3 m '

"..J5 4
1T

(I

+ JS)2

R2 cm2

e) n,d.a.

189. (U.F.R.PE-87) Um reservatório de gás eombustlvel de forma esfaica está apoiado numa estrutura metálica conforme indicado na figura ao lado. Sabendo que a distância de A a B é de 4 m e de 2 m do ponto B ao ponto C, indique o valor aproxima. do do volume do reservatório, entre as alternati vas abaixo.
a) 580 rol

4

"5

(I + E) RZ cm2
a figura.

195. (U.F.MG-92) Observe

Um plano intercepta uma esfera segundo um círculo de diãmetro da esfera, 12 em. O volume do cone de vértice D e base de diâmetro AB ~:

AS

.

O ân

gu o

I AÔB ed
m

• e 90 e o

I

d) 512 rol
e) 505 m '

b) 545 m ' c) 523 m l

A

A,

B

190. (FUVEST-89) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6 em contém água :ué uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do re(;ipiente ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1 em, então o raio da esfera é: a) J em b) 2 em c) 3 em

B

d) 4 em

e) 5 cm

191. (ITA-89) Justapondo-se as bases de dois cones retos e idênlicos de altura H, forma-se um sólido de volume \'. Admilindo-se que a área da superflcie deste sólido é igual à área da superfície de uma esfera de raio H e volume V, a razão v/V vale:

a) 9r

b) 36121<'

d) 144.[2...

fiI-1 a) - - I b) - - 4 I C)--4-

.m -

4

d) - - 4 e} --4--

Jl1-1

e) 1304...

fI9 -

1

Sólidos semelhantes_ Troncos
1%. (lTA-71) Dado um cone reto de at' I h ale ' um plano paraJelo à base fi ~er nz g e a _tura .' c ular a .que distância do vértice devererno.s pas ,a Im e que a secçao obtida seja eQulval~ute à área lateral do tronco forma.
a) b) c)
197.

. Ji5 -

192. (COVEST-89) Num tanque aberto, em forma de cubo, existem 5/0 mJ de álcool. No .interior do referido tanque é colocada uma esfera, que se ajusta perfeitamente ao tanque, OJi seja, a esfera fica inscrita no cubo. Se a aresta do cubo mede 10 m, assinale dentre os ilens abaixo as proposições verdadeiras e as proposições falsas. a) b) c) d) el Não haverá derramamento de álcool. O volume da esfera e menor que o volume de álcool. O derramamento de álcool é de aproximadamente 34 m3 • O volume da esfera é maior que o volume de álcool. O derramamento de álcool é de aproximadamente }()() n/.

.fi<i=b) fg(g-~).

dI Jh2

_

g

~g2 _

hZ

Ji - Jg

e) nenJnima das respostas anteriores.

2 - h2

(FEI-72) Na figura temos: OA - OB = õC = 2 cm õA' = õIf =õC - I cm O volume da Parte d a f'Igura entre os planos A'O'C ' e A BC e: a) metade do Volume de DABC.
b)

c

1\)3. (VUNESP-92) Considere uma circunferência C de raio r num plano o: e aponte a única alternativafa/sa. a) b) c) d) e) Ex.istem superfícies esféricas cuja interseção com <X é C. Existe apenas uma superfície esférica de raio r cuja interseção com a é C. Dentre as superfícies esféricas que interceptam Ci segundo C, há uma de raio menor. Dentre as superficies esféricas Que inlerceptam a segundo C, há uma de raio maior. Se r ;;, r. há duas, e apenas duas, superfícies esféricas de raio I cuja interseção com", é C.

-L
3

A
e)

c) ~

8

26

426
4

$

r:::: &, W'5±b#
Ot
TESTES DE VESTIBULARES 193. (ITA-73) Seja Suma semi-esfera de raio R dado. Sejam p e q dois planos paralelos e distantes entre si

coe
TESTES DE VESTIBULARE: 201. (CESGRANRIO-79) Uma cesta de liJlo (Figura I) tem por faces laterais trapézios: isósceles (Figura IJ) por fundo um quadrado de 19 em de lado (estamos desprezando a espessura do material de que é feil a cesta). A altura da cesta em ,cm é: a) 30 x

.li. e tais

2 b e c são as interseções dep e q com S. Seja X O valor da menor das distâncias d e D. onde d é a distância entre p e a base de S, e D é a distância entre q e a base de S.

que interceptam S paralelamente à sua base. Seja T o tron~o de cone com bases b e c. onde

19 25

b) 9,Jll
Então o volume de T, como função de x, O ~ r ~
a)

e)

3OI*'

T ' vale:
d)

R

c)
2

7Jl9

'Ir: (: R
2

_

~_
2x.2 2x
2 -

Rx +

K)

'Ir:

2 (~ R -

2x -

Rx -

K)
a) 44

b)
c)

2 ~ (.2. R 12 4 2 ~ (.2. R 12 4

R" + K) R" - K)

e) n.d.a.

202. (V.UNlf.RS-80) Uma pirâmide de altura 6 e área da base 27 é interceptada por um plano cuja distânci ao vértice é 2 e que é paralelo ao plano da base. O volume do tronco de pirâmide assim determinado (

b) 46

c) 48

eI) 50

e) 52

203. (U.f.GO-80) O volume de um tronco de cone circular reto com base de raio R. cuja altura é a quarta par1 da altura h do cone correspondente, é:

199.' (CESGRANRIO-77) Uma ampulheta repousa numa mesa como mostra a figura (I) (o' cone B completamente cheio de areia), A posição da ampulheta é invertida. A figura (11) mostra o instante em que cada cone contém metade da areia. Nesse instante, a areia no cone B forma um cone de altura:

a)

li'

R h

2

b)

li'

R h

2

4·'

12

c) 55""R h

2

192

d) 3"" R h 192

2

3", R 2 h e) - - -

4

,

204. (PUC-SP-81) O volume ele um tronco de pirâmide ele bases paralelas e altura h é dado por

V =

~ (8+ S' + ..rs:-s)~ anele S e S' sâo as áreas das bases. Se as bases de um tronco de pirâmi,

são quadrados de lados 3 e 4 e se a altura é .5, então o seu volume é:

a)..1L

f3 b) .!!. 2

a)-3-

175./3

b)73

d) 25

+ .JJ

e)~
3

c) ..1L ~

205. (VUNESP-84) Seja P 1 uma pirâmide regular, cuja base é um quadrado de lado a. Cortamos P, por u plano paralelo a base e que dista da base de metade da altura h de P 1 • Seja P1 a pirâmide menor resulta te desse corte, VJ o volume de p/ e V1 o volume ·de Pl' Então:

111

til)

a) não dá para comparar os volumes VI e V 2 .

d)3..<V<3.. 9 2 8

e) 200. (U,MACK.·77) Na figura ao lado, b é a medida da
aresta de,um cubo e aresta da base de uma pirâmide de altura h; m é a medida do lado do quadrado ABCD. Então exisle b: a) b) c) d) e) se h = 2 m. se h = 3 m. se h - 4 m. quaisquer que sejam h e m, Nâo sei. c) VI é igual a 8 vezes V2 206. (CESGRANRIO.84) Um recipiente cônico, com al· tura 2 e raio da base 1. contém água até a metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do recipiente. Como mostra a Fig. 11. A distância do nível da água ao vértice, na situação da Fig. li, é:

-t-

< Vz <

~l

v

a)

2..
2

,
I

,
b) c)

.±.
3

I

I
}

.- .b

.fi d) 1/7
e) ~

Fig. I

V Fig.1I

428

I

+,
:il!

42~

TESTES DE VESTIBULARES

207. (CESGRANRIO-S5) De um cone de centro da base O e de altura H (Fig. I), obtém-se um tronco de cone de altura H/2 (Fig. 11). Neste tronco, faz-se um furo cônico com vértice 0, como indicado na Fig. 111. Se o volume do cone da Fig. I é V, então o volume do sólido da Fig. III é:

213. (!TA-92) Num cone de revolução, o perímetro da seção meridiana mede 18 em e o ãngulo do setor circular mede 288°. Considerando-se o tronco de cone cuja razão entre as áreas das bases é ; ,então sua área total mede:

~I

")'-1:0--'
-'--.

c)

~cm

16(hr

2

e) n.d.a.

------ ~ --.0
Fig. I

H/~l-~
Fig. "

-ED
c)~
S

Inscrição e circunscrição de sólidos
Fig.1II

) &4

3V

b)~
2

d)~
3

e)~
7

214. (ITA-70) Um bloco de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto, com base quadrada de lado 5 em e com altura 1 m. Tal bloco tem uma cavidade cilíndrica, sendo que o eixo do cilindro que determina a cavidade passa pelo centro do paralelepípedo e faz com o plano da base um ãngulo de 45 graus. O cilindro corta ambas as faces do paralelepípedo segundo uma circunfetência de raio 1 m. Qual é O volume do bloco?
a) (75 - ...) m3

20S. (CESGRANRIO-SS) Um cone circular reto é cortado em duas PIlrtes por um plano paralelo à sua base e que passa pelo ponto médio da sua altura. Se v e V são os volumes.da menor e da maior dessas partes, respectivamente, então ~ vale:
c) ..!.. . 7 e)

b) (25 - 2...) m 3

e) nenhum dos resultados acima é válido
3

1.9

c) (25 -

~

...) m

209. (ITA-SS) A geratriz de um cone circular reto forma com o eixo deste cone um ãngulo de 45°. Sabendo-se que o perímetro de sua secção meridiana mede 2 em, podemos afirmar que a área total deste cone vale:
a) ;

215. (PUC-SP-72) Num cubo de aresta a, inscreve-se uma esfera, depois um cubo nesta esfera, neste último cubo, e assim indefinidamente. O limite da soma dos volumes de todos os cubos será:

(Ü'2 - 2) cm2
2

d) ; (J2 - I) cm2
e)

b)

c)

...(J2 - I) cm ...(J3 - I) cm2

...(JS - I) cm 2
~)

nenhuma das anteriores

210. (U.F.MG-S9) Corta-se uma pirâmide regular de base quadrangular e altura 4 em por um plano paralelo ao plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos obtidos sejam iguais. A altura do tronco de pirâmide obtido é, em centímetros:
a) I

:216. (CESCEM-73) Em uma caixa cúbica de aresta 1 são colocadas N J esferas maciças, cada uma delas com
diâmetro esferas é:

b) 4- 2 ~

~

,Ninteiro, estritamente positivo. A diferença entre o volume do cubo e o volume ocupado pelas

c)2

d)4-J2
e) 4 -

12

a) igual a 1 b) igual a 1 -

;

.

d) estritamente crescente com N. e) estritamente decrescente com N.

;

.

211. (VUNESP-90) Um cone reto tem raio da base R e altura H. Secciona-se esse cone por um plano paralelo à base e distante h do vértice, obtendo-se um cone menor e um tronco de cone, ambos de mesmo volume. Então:
a) h

c) igual a 1 _ -

4~ .

"
217. (!TA-73) Seja L o comprimento do eixo de uma caldeira cilíndrica terminada por duas semi-esferas. Sabese que a área da superfície total da caldeira é 4...k 2, com O < k < da caldeira valem: e) n.d.a.

=

H

2

~

h) h

H

J2

c) h

= -2-

H~

d) 3h = H ~

e) h =

Hfi
3

~ . As dimensôes da parte cilíndrica

212. (ITA-92) Uma seção plana que contém o eixo de um tronco de cilindro é um trapézio cujas bases menor e maior medem, respectivamente, h em e H em. Duplicando-se a base menor, o volume sofre um acréscimo de

~

em relação ao seu volume original. Deste modo: b) H = 2 h
~

a) 2H = 3 h

H = 3h

d) 2H

5h

e) n.d.a.

430

431

. .. ,.
'~'
"

TESTES DE VESTIBULARES
218. (ITA-H) Consideremos um cone de revolução de altura h, e um cilindro nele inscrito. Seja d a distância do vértice do cone à base superior do cilindro. A altura H de um segundo cilindro inscrito neste cone (dife-

TESTES DE VESTIBULARES

223. (PUC-SP-79) A soma de todas as arestas de um cubo mede 24 m. O volume da esfera inscrila no cubo é
a)

renle do primeiro) e de mesmo volume do primeiro é dada por:
a) H ..

2. .. m]
}

b)

1.- 7r m] 4

c)

..!.. ..
2

m)

3 d) 2

li"

mJ

e)

.i. 3

'li"

m]

(b - .fh=d)
3
d) H =
e) o.d.a.

(li +

d - J(h - d) (h + 2

3d»)

"

b) H
c) H =

(li:':~) 3
(h-d+h~) 2

224. (U.MACK.-79) Vime e sete esferas maciças de chumbo, de raio J metro, devem ser acondicionadas tn uma unica caixa, após o que, todo "espaço" rCStame da caixa deve ser completado com água. Dispondo-se .someme de 5 caixas cúbicas distimas, aquela na qual o volume de água adicionada é mínimo é a de capaCidade, em metros cubicos, igual a:
a) 108..

b) 2h

c) 36".

d) 72r

e) Slr

225_ (PUC-RS-SO) O volume do cubo inscrito numa esfera de raj~ 3 é:
a) 2W

219. (lTA-73) Um oetaedro regular é inscrito nwn cubo, que esrá inscrito numa esfera, e que está inscrita num telraedro regular. Se o comprimento da aTesta do tetraedro é /, qual é o comprimemo da aresra do octaedro?

b) 12f3

c)

s-!3

d) 613

e)

25

a)

~27

r2

b)J+

c)

[f

d)

..!..
6

226. (ITA-SO) Considere uma esfera insctila num cone circular reto tal que a área da superficie lotai do cono é n vezes a área da superfície da esfera, ri > J. Se o volume da esfera é r em] e se a área da base do con, é s cm", o comprimento em centímetro da alt.ura do cone é dado por: a) ris

. e) n.d.a.

b) (nt)/s

c) (2nr)/s

d) (3nr)/s

e) (4nr)/s

:UO. (CESCEM-74) Duas esferas de raios 3 m e 4 m tem

cemto no eixo do cone da figura, são tangentes entre si e ao cone. A altura h do cone mede:

227. (U.F.UBERLÂNDlA-SO) A área de uma esfera,a área lotaI do' cilindro equilálero circunscrito a ela e ~ área total do cone equilátero também circunscrito a essa esfera são proporcionais aos números:
a) 1,2,4

b) 3, 4, 5

c) 4, 6,9

d) 1,2,3

e) 2,4,7

a)

.f3 512 -7- m
m
h

b) 32ff
d) 32 m

228. (U.F. PE-81) Considere um tanque em forma de um cone invertido de raio de base 6 m e altura 8 m. Deixa se cair denlro do tanque uma esfera de raio 3 m. Assinale a alternativa correspondente à distância do cen tro da esfera ao vértice do cone.
a) 4 m

b) 2 m

c) 5 m

d).lO m

e) 6 m

.•
e) 21 m

229. (PUC-SP-S2) Uma pirâmide quadrangular regular é inscrita num cubo de aresta g. A área tOlal da piràrnid. é igual a: .
a) a2
b) a 2

d) a 2 (2

[5

+ JS)

c) ...2

(I + v's)

e) a2 (5 +

.J5)

221. (FUVEST-77) Um tetraedro tem um triedro lri-retângulo de arestas a, b, c e está circunscrito a uma esfera de raio r que tangencia as faces do citado triedro em P, Q e R. Os lados do triângulo PQR são: a) proporCionaIS a

230. (U. F .RS-82) Ocone e o cilindro da figura são circulares rero~ e tem a mesma base, alcura e área lateral; se a geralriz do cone mede 4, então a medida da altura é:
a) I b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

. .

P+i1 c

.fõí+? b

e

,JiTi:7
II

b) proporcionais a ll, b e c. .. ob (JC bc c ) proporCionaiS a -c- , b e d) iguais a r

o .

.[2 .

c) perpendiculares às faces do triedro. 222. (ITA-78) Se numa esfera de raio R, círcunscrevemos um cone reto cuja geratriz é igual ao diãmetr(l da base, então a expressão do volume deste cone em função do raio da esfera é dada por:
a) 3 - R'

231. (U.F.ES-82) Enche-se um /lJVO cilíndrico de alrura h = 20 em e raio da base r = 2 cm com esferas tangen tes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: c) 80... cm' 2.12. (CESGRANRIO_S2) Uma cesta cilíndrica de 2 m de alrura e raio da base J m está cheia de bolas de diâme tro igu ai à quarta parte de J m. Se cerca de 50% da capacidade da cesta correspondem aos espaços vazios o número mais aproximado de bolas que a cesta comém é:
a) 100

d)

4/3 ... RJ
3

b) 3.fi ... RJ 2
c)

e) n.d.a.

J.!3 li R

J

b) 150

c)

215

d) 3S5

e) 625

432

433

e ::;et'
TESTES DE VESTIBULARES

TESTES DE VESTIBUlARES

233. (U.F.PR-83) A área tolal do prisma triangular regular inscrito num cilindro circular reto de 10 em dc altura e de J51t em 2 de base é:

375 2 a I -2-em
b) -2-cmc)

241. ICESGRANRIO-87) Uma esfera está contida num cilindro circular reto e tangencia suas bases e sua superficie lateral. como se vê na figura. Então a razão entre a área da esfera e a área total do cilindro é:

375,13

,

'ir
a)

..!.
2

d) e)

1-

..

Joon cm
2

2

b)
c)

13
1..
4

...!...
4

234. (U.F.RS-84) Um cubo de lado o é inscrito em um cilindro. A área lateral do cilindro é:

a) ..!.!.4
1 1( a 5 b)--4-, 2 1( a ~2 c)--2-

d)

1(

a2 ,2

-

242. (FATEC-87) Seja g a geratriz de um cone circular reto inscrito num cilindro circular reto de altura h e raio

235. (ITA-85) Um tronco de cone reto com bases paralelas está inscrito em uma esfera cujo raio mede 2 m. Se os raios das bases do tronco de cone medirem, respectivamente, , me 2' m, então o seu volume medirá~
a)

da base 3. Se a razão entre a área da superficie total do cone c a área da superficie total do cilindro é enlão g é igual a:
a)

~

,

~ 1(~ (J4"=? - ~I
3

- r2)

d)
e)

2. ".~ 04 - r 2 + lb 3
~d
2

~)

-1.. + 2.. h
8 8

d)

-1..+ J!!..
7 7

b)
c)

~

rr (J4 -

2

~ + li=?)
r2 -

U4 - ~ + 2JJ=?)

b)
cl

1.. +.2. h
8 8

e)

1..+~
7 7

2.. .. ~ U4 3

2f1=7')
eM?
e) -3- ". em
32]
.t

.§.!!..
1

236. (U.F.PA-85) Qual o volume da esfera inscrita em um cilindro cujo volume é 16'1r

I

2 a) - ' r cm l 3

4 b) 3

.] 'Ir cm

.

8 J c) - " cm 3

16] d) -)- 'Ir em

243. (VUNESP-87) O quadrado MNPQ está situado na base (também um quadrado) da pirâmide reta VABCD e seus lados são paralc)os~ respectivos de ABCD. Se os seentos MR. NS, PT e QL .são perpendiculares à base da pirâmide, se AM = MP PCe se AB <I em e VY = 3 an, o volume do pnsma MNPQRSTL abaixo é: .

=

=

237. (lTA-85) Uma esfera de raio r = .[3 em está inscrita Dum prisma hexagonal regular que, por sua vez. está inserilO numa esfera de raio R. Pode-se afirmar que a medida do raio R vale:
a)

a) Tcml

32

v

f7 em

b).f+

em

c)

213 em

d) -2-cm

f7

e)

4,[3 em

b)

..!.!. cm l 9
~
cml

238. (VUNESP-SS) Um cilindro é circunscrito a um prisma relO, cuja base é um hexágono regular. Seja Se a área lateral do cilindro e Sp a do prisma. Então

c)
d)
e)

.!s.... está'. 'Sp
d) entre 1,3 e i,<I. e) entre 1,4 e i.5.

li. cmJ 9 2!. cm]
9

c

a) entre J e I, i. b) entre I, I e 1,2. c) entre 1,2 e 1,3.

239. (U.F .MG-87) Um cone circular tem sua base inscrita em uma face de um cubo de aresta o e vértice na face oposta. O volume desse cone é:
b)

A 0.::244. (U.F.R.PE-87) Indique o valor da área lateral. em das faces de um cubo de aresta medindo L ano
a) L.f3 cm l 2 b) L .[3 cm2 c) L 2 /i cm l

""

..!... a J
6

errr, do SÓlido cujos vértices slo os centros de simetri,
d) SL2 cro2 e) 3L2 cm2
.

240. (U.F. MG·87) A razão entre os volumes dos cubos circunscrito e inscrito em uma esfera de raio R é:
a) , ]

b) 2

c) 3

d)

33

c)

.f6
i
)

I

434

43!

411ft

TESTES DE VESTlBULAREE TESTES DE VESTIBULARES 253. (ITA-73) Seja B' C' a projeção do diàmetro BC de

245. (U.F .VIÇOSA-89) Uma esfera tem raio não nulo r e volume V = .!.... 'li" r J • . 3 a ela, em função de V. é:

o volume do cubo circunscrito
e)~ ....

a)7

3V

b)~

..

c)~
'li"

d)~

.

246. (ITA-S9) Os lados congruentes de um triângulo is6sçeles formam um ângulo de 30 graus e o lado oposto a este ângulo mede x em. Este triângulo é a base de uma pirâmide de altura H em, que està inscrita em

um circulo de raio r sobre a rela tangente t por um ponto M deste círculo. Seja 2k a razão da área total do tronco do cone iterado pela rotaçâo do trapézio BC D'C' ao redor da rela tangente I e área do circulo dado. Qual é o valor de k para que a medida do segmento MB' seja igual à metade do raio r?
a) k
-}-

c'
M

um cilindro de revolução. Deste modo, o volume V. em centímetros cúbicos, deste cilindro é igual a: a) 2?r xZ H b) xZ H . c) ; 11',(- H d) 3". Xl- H e) .. .,:z- H
247. (ITA-89) Um cone e um cilindro, ambos retos. possuem o mesmo volume e bases idênticas. Sabendo-se

+..

11

d)k-..L

2

B'

b) k
UIillI

que ambos são inscritíveis em
a)

esfera de raio R, então a altura H do cone será igual a:
c)

c) l:

15 4 2

e) nenhuma das respostas anteriores

. t

.!- R
S

b)

2. R
2

.i. R
3

d)

2- R
3

e)

.1.. R
5

254. (ITA-74) Seja

248. (U.F.MG-90) A razão entre as áreas totais de um cubo e do cilindro reto nele inscrito, nessa ordem, é:
a)

lO'

b)

2.' ...
2

d)

2'Ir

e)

~
11'

24!t. (U.E.CE-91) A área total, em em , de um cubo inscrito numa esfera de raio 2 em é:

c um quarto de circunferência AR de raio R e centro O. e seja r a reta tangente a c em A. Traça-se pelo centro O de c uma reta que corta e num ponto M, e corta a reta tangente num ponto N, distintos de A. Seja k ~ razão entre o volume gerado pelo setor OAM e o volume gerado pelo t(iãngulo OAN, ambos obtidos girando-se de 2". em torno de AO. O comprimento do segmento AN é igual ao raio R se:
a) I
c) O

t B
N

a) 16

b) 32

c) 16-J3

d) 32,{3

< k < 2,5
< k :s;; 2

250. (U.MACK.-7S) A razão entre o volume de um cone, de altura igual a 4 vezes o raio da esfera inscrita, e o volume desta esfera é: .
a) 2

b) 2,S ~ k ~ }

d) O < k < 1,5 e) n.d.r.a~

O..•~

.... A

b) 3

c) 4

d)

-.!
3

e)

..L
4

25S. (ITA-75) As medidas dos catetos de um triângulo retàngulo são (sen x) em e (cos x) em. Um estudante

251. (U .F.BA·92) Considerando-se um cubo de aresta 2
a) b) c) d) e)

-J3 em inscrito numa esfera, pode·se afirmar:

O volume da esfera é 36-.. cm J • O volume do cone circular reto inscrito no cubo é 6 11' em3. A área lateral do cilindro equilátero circunscrito na esfera é 18-.. enI. A área total do tetraedro de aresta igual à do cubo é 12 ,f3 crt? O volume do sólido limiiado por uma face do cubo e a superfície esférica é (6r -

calculou o volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa, e obleve como . resultado 1< em]. Considerando este resultado como certo, podemos afirmar que:
a) x =

J3

..!..
6

b)

x = ..!.. . 3

c) x = .!..
4

d) x

= ..::.. 5

e) n.d.a.

256. (lTA-77) Considere um triâniUlo retângulo inscrito em uma circunferência de raio

li

tal que a projeção

4J3) cmJ •

de um dos catetos sobre a hipotenusa vale.!!... (m ;<; l). Considere a esfera gerada pela rotação desta

m

circunfe.-ência em tomo de um de seus diàmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotaçào do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:

Superfícies e sólidos de revolução
252. (PUC-SP-71) A medida dos lados de um triângulo equilátero ABC é a. O triângulo ABC gira em torno de uma (eta r do plano do triângulo, paralelo ao lado BC e passando pelo vértice A. O volume gerado por esse triângulo mede:

a) 2 _RJ (mm- I 3 "

)2

c) 2) _R3 (mm+ •

1)2.,

e) nenhuma das alternalivas anteriores

a) -3b)

w~
J

B

s

C

257. (~UC-SP-80) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2 e um dos ângulos mede 60". Girando-se o

tnângulo em torno do cateto menor, obtém-se um cone cujo volume é igual a:
a)
11'

..!!...
2
l

b) ?r.f3

-)-

11.f3 c) - 6 -

d)

..!.. 2

".f2 e) - 3 -

c) wa l

258. (V.UNIF.RS-BO) O volume do sólido gerado pela revolução de um triângulo equilátero de lado (/ em tomo

de um de seus lados é:
a)

d) ha 2
wal

.L 11' aI
4

e) -5-

A

437
436

TESTES DE VESTIBUlARES

TESTES DE VESTIBULARE~

259. (U.MACK.•81) Na figura ao lado o retângulo A BCD faz uma rotação completa em torno de AB. A razlo entre os·volumes gerados pelos triângulos ABD e BCD é:
a) 1
b)

o

265. (UNICAP-87) Faz-se girar, de 360°, um triângulo retângulo de catetos medindo I em e 3 em em [Orne do cateto de maIOr medida. O volume do sólido obtido por este procedimenco é:
a) ; em
l

b) h em]

c) ... em l

\

d)

+..

cm l

e)

1... ... em l
2

d) e)

..!...
3

h
.

\

264i. (CESGRANRIO·89) Um triângulo relângulo, de lados 3, 4 e 5, gira em tomo do seu maior cateto gerandc um cone de revolução. O volume desse cone mede: . '
a) lO.. b) 12... c) Ih d) IS... e) 20...

..!...
2

..!...
4
C

c) 3

B

267. (U.F.MG-90) Os lados de um triãngulo isósceles medem 5 em, 6 em e 5 em. O volume do sólido que se obtém girando-o em tomo de sua base, em cm~ é:
a) 16".

260. (ITA·82) A figura hachurada abaixo é a seÇão transversal de um sólido de revolução em torno do eixo x. A parte tracejada é formada por um setor circular de raio igual a 1 e ângulo igual a 60°. O segmento de reta AB é paralelo ao eixo x. A área da superfície tolal do sólido mede:

b) 24...

c) 32..-

d) 48,..

e) 75,..

268. (1TA-90) Considere a região do plano cartesiano xOy definida pelas desigualdades
x - y " l, x + y ~ J e (x - Ir + yl " l. O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo x é igual a:

(D - i) . . b) (D++)
a)
T

a) :

7r

b)

~

"

c) :

(2 -

12) 1r

d)

~ (J2 - I) ~

e) n.d.a.

e)

2!..
2
269. (UNESP-91) No Irapézio ABCD da figura os ãngulos internos em A e B são retos, e o ângulo

C)(D+~)T
261: (U.F.RS-83) Na figura, o triângulo tem catetos a e b. Se V. e Vb são os volumes dos sólidos &erados pelas rotações de 360° do triângulo em tomo de a e b, respectivamente. e Vb · = 2 V",. então tg Q é:
c)

interno em D é tal que sua tangente vale ~. Se _ _ 6 AD = 2 . AB, o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da rela por B e C é dado por:

,{):
a
I

O

,
I

.f2

e) 4

d) 2

262. (ITA-83) Ao girarmos o gráfico da função

f(x) =

X ; x E [O; I) [

-J~-1

b)

U)

'

..-a

J

:no.

(ITA-91) Considere a regiâo do plano cartesiano xy definido pela desigualdade:

2 x + y2 - 2x + 4y + 4 " O.
Quando esta região rodar um ângulo de ;. radianos em torno da reta y + x sólido cujo volume é igual a:

,

b

+1

=

O, ela irá gerar um

hx - X" ; x E
d) 2...

,

(I; 2)

4... a) - 3

b)

2.!..
3

c) ~

3

d)~
9

e) n.d.a.

em torno do eixo das abscissas (eixo dos x), obtemos uma superfície de revolução cujo volume é:

a)~

3

b)

.2':...
2

c)

T

e) 3T

271. (U.F.MG-92) Considerem-se um retângulo ABCD e dois cilindros: um obtido girando-se .4BCD em [Orno de AB e o Oulro, girando-se o re[ângulo em torno de BC. A raz~o enlre a soma dos volumes dos dois cilindros e a área do relângulo. nessa ordem, é 10.... O penmelro do retângulo é:
a) 10

263, (U.F.PE-84) Considere um quadrado de lado f e uma reta contendo uma de suas diagonais. Assinale a alternativa correspondente ao volume do sólido que obtemos ,\uando giramos o quadrado de 180° em tomo dessa reta.
b) Ti

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

l.f2 T

272. (ITA-(2) Num cone de revolução, o perímetro da seção meridiana mede /8 em e o ângulo do setor circular mede 288". Considerando-se o tronco de cone cuja razão entre as áreas das bases é 419, então sua área total mede:

164. (U.F.MG-S7) Na figura, a reta r é paralela a BC, e o triângulo ABC é tal que BÃC - 90°, BC = a e a altura relativa à hipotenusa é h. Então, o volume do sólido gerad() pela mtação do triângulo em tomo
de,~

e) n.d.a. 273.
(lT ~.(2) Um cone de revoluçâo está circunscrito a uma esfera de raio R em. Se a altura do cone for igual ao obro do raio da base, então a área de sua superfície lateral mede:
a) :

c
a
h a
2

a)
b)

Th

2

d) ;

a h

2

i ..

(I + ,(5)2 R' eM'

c) ...

,[5 (I + 15) R2 cm2
4

e) ; h2 a
B

e) n.d.a.

c) ~a2 h

b) ~(I +-!5)2R2cm2

T

l5

.

438

439

•
TESTES DE VESTI'ui
259. (U.MACK.·81) ~--------------.-.,;---------------ABCD faz. uma ro, A razão entre os . ABDe BCDé:
a) 1

b)

1.
2

c) 3

260. (IT A·82) A figar x. A parte tracej de reta AB é par

Respostas· dos Testes

b)(f)++) . (f) + ~) Ir
c)

161. (U.F.RS-83) Na rotações de 360·

162. (ITA-S3) Ao gir

em torno do eixo
a)..!..
3 163. (U.F.PE-84) Con Assinale a alterna 180· em torno d
a) lri 3

.[2

12

264. (U.f.MO-87) Na e a altura relativa

de ré:
a)

Irh
3

2

a

b)~lrh2·a
c) ... a2 b

438


				
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